云南省西南名校联盟(2021届高三)高考适应性月考卷12月考理科数学试卷及答案
2021年高三上学期12月月考数学(理)试卷 含答案
2021年高三上学期12月月考数学（理）试卷含答案一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．集合A={﹣1，3，5}，若f：x→2x﹣1是集合A到B的映射，则集合B可以是（）A．{0，2，3} B．{1，2，3} C．{﹣3，5} D．{﹣3，5，9}2．若的值等于（）A． B．C． D．3．二面角为，、是棱上的两点，、分别在半平面、内，，且，，则的长为A．1 B． C． D．4．已知为内一点，满足, ,且,则的面积为（）A． B． C． D．5．设是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a2a3…a30=，则a3a6a9…a30=（）A．210 B．215 C．216 D．2206．若不等式在区间上有解，则a的取值范围为（）A．（,）B．C．D．7．在直角中，，，为中点（左图）．将沿折起，使得（如图），则二面角的余弦值为A． B． C． D．8．过点作圆的两切线，设两切点为、，圆心为，则过、、的圆方程是A． B．C． D．9．如果，那么的值等于（）A．－1 B．－2C．0 D．210．执行下面的程序框图，输出的S＝（）A．25 B．9 C．17 D．20第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是__________．12．的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以的所有正约数之和为22222222++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=，参照上(133)(22323)(22323)(122)(133)91述方法，可求得的所有正约数之和为．13．矩阵A＝（k≠0）的一个特征向量为α＝，A的逆矩阵A－1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．则a+k = ．14．如图，在中，，，点D在线段AC上，且，，则．15．长、宽、高分别为的长方体，沿相邻面对角线截取一个三棱锥（如图），剩下几何体的体积为．三、解答题（本大题共6小题,满分75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图4，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，且．（1）求证：平面；（2）设，，是侧棱上的一点，且平面，求三棱锥的体积．17．已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（1）求a，b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0恒成立，求k的取值范围．18．已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n对任意n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）是否存在k∈N*，使得（b k－a k）∈（0,1）？请说明理由．19．选修42：矩阵与变换已知矩阵M＝有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量e1＝．（1）求矩阵M；（2）求曲线5x2＋8xy＋4y2＝1在M的作用下的新曲线的方程．20．某校200位学生期末考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：、、、、．（1）求图中的值;（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生物理成绩的平均值和中位数．21．已知向量，，函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边，其中为锐角，，,且，求，和的面积．参考答案1-5：DDCBD 6-10:AAABC11．12．．13．314．15．16．（1）略（2）17．（1）2，1；（2）18．（1）a n＝24－n（n∈N*）， b n＝n2－7n＋14（n∈N*）．（2）不存在k∈N*，使得（b k－a k）∈（0,1）19．（1）（2）x2＋y2＝2．20．（1）（2）73,21．（Ⅰ）；（Ⅱ），，．umV27052 69AC 榬x n-V35089 8911 褑30540 774C 睌30093 758D 疍n26159 662F 是22672 5890 墐。
2021年高三(上)12月月考数学试卷(理科) Word版含解析
2021年高三（上）12月月考数学试卷（理科） Word版含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）若复数）是纯虚数，则实数a的值为﹣1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：将化为再判断即可．解答：解：∵==是纯虚数，∴a+1=0且1﹣a≠0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数的分母实数化是关键，属于基础题．2．（5分）（xx•松江区一模）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为4．考点：并集及其运算．专题：计算题．分根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．析：解答：解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16} ∴∴a=4，故答案为：4．点评：本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．3．（5分）经过点（2，﹣1），且与直线2x﹣3y﹣1=0垂直的直线方程是3x+2y﹣4=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由题意易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，进而可得所求直线的斜率，又该直线过定点，由点斜式可得方程，化为一般式即可．解答：解：根据题意，易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，根据互相垂直的直线的斜率的关系，可得l的斜率为，又由直线经过点（2，﹣1），则所求的直线方程为y+1=﹣（x﹣2），即3x+2y﹣4=0，故答案为：3x+2y﹣4=0．点评：本题为直线方程的求解，由垂直关系找出直线的斜率是解决问题的关键，注意最后要化为直线方程的一般式，属基础题．4．（5分）平面直接坐标系xoy中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=﹣x 上，则sinα=±．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：因为知道了角α的终边，可以在角的终边上任取一点，求出该点到原点的距离，直接运用三角函数的定义求解．解答：解：在直线y=﹣x上任意取一点（a，﹣a），且a≠0 则，r==2|a|，再由sinα===±，故答案为±．点评：本题考查了任意角的三角函数定义，解答此题的关键是熟记定义，是基础题．5．（5分）某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．解答：解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：=；他们同时选中B食堂的概率也为：=；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=故答案为：点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．6．（5分）右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s=81．考点：循环结构．专题：计算题．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：当i=1时，不满足退出循环的条件，S=3，i=2；当i=2时，不满足退出循环的条件，S=9，i=3；当i=3时，不满足退出循环的条件，S=27，i=4；当i=4时，不满足退出循环的条件，S=81，i=5；当i=5时，满足退出循环的条件，故答案为：81点本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环评：的结果，找规律，属于基础题．7．（5分）（xx•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．解答：解：∵C为三角形的内角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．8．（5分）设向量，，，的夹角为120°，则实数k=3．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量夹角公式可得，cos120°==＜0可知，k＞0，解方程即可求解k解答：解：由向量夹角公式可得，cos120°===﹣∴k＞0整理可得，k2=9∴k=3故答案为：3点评：本题主要考查了向量夹角公式的坐标表示，解题中不要漏掉对k的范围的判断，本题容易漏掉判断k而产生两解k=±39．（5分）（xx•东城区一模）过点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为2x﹣4y+3=0．考直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．点：专题：计算题．分析：研究知点在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当∠ACB最小时，直线l与CM 垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程．解答：解：验证知点在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程，圆心C（1，0）∵k CM==﹣2，∴k l=∴l：y﹣1=（x﹣），整理得2x﹣4y+3=0 故应填2x﹣4y+3=0点评：本题考点是直线与圆的位置关系，考查到了线线垂直时斜率之积为﹣1，以及用点斜式写出直线的方程．10．（5分）已知函数f（x）=，若f（3﹣2a2）＞f（a），则实数a的取值范围是a＜﹣或a＞1．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：当x≥0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0．当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．解答：解：当x≥0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0．当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．故答案为：a＞1或a＜﹣．点评：本题考查函数解析式的求解和常用方法，解题时要认真审题，注意分段函数的性质和应用．11．（5分）设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n（x）=．考点：归纳推理．专题：归纳法．分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案．解答：解：观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，可知：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，故f n（x）=．故答案为点评：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．12．（5分）（xx•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：解法一：可先直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．解答：解法一：由题意，可得直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为两直线联立得T（），由于此点在椭圆上，故有，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0即e2+10e﹣3=0，解得故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．延长TO交圆O于N易知直线A1B1斜率为1，TM=MO=ON=1，，设T（x′，y′），则，y′=x′+1，由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，（负值舍去）易知：B1（0，﹣1）直线B1T方程：令y′=0，即F横坐标即原椭圆的离心率e=．故答案：．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）已知函数f（x）=，若关于的方程满足f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根，且α，β分别是三个根中最小根和最大根，则的值为．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：同一坐标系内作出函数y=f（x）的图象和直线y=m，因为两图象有且仅有三个公共点，所以m=1．再解方程f（x）=1，得最小根β=，最大根α=，将它们代入再化简，即可得到要求值式子的值．解答：解：函数f（x）=的图象如下图所示：可得函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣）和（，π）；单调增区间为（﹣，）和（π，+∞），f（x）的极大值为f（）=1，极小值为f（﹣）=﹣和f（π）=0将直线y=m进行平移，可得当m=1时，两图象有且仅有三个不同的公共点，相应地方程f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根．令f（x）=1，得x1=，x2=，x3=，所以β=，α=，∴β•sin（+α）=•sin=•（﹣）=故答案为：点评：本题以分段函数为例，求方程的最大根和最小根，并且用这个根来求值，着重考查了函数与方程的关系，以及三角函数求值等知识，属于中档题．14．（5分）（2011•盐城二模）已知f（x）=cosx，g（x）=sinx，记S n=2﹣，T m=S1+S2+…+S m，若T m＜11，则m的最大值为5．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：先将数列通项化简，再求和，利用T m＜11，即可求得m的最大值．解答：解：由题意，a n=2﹣=∴S n==∴T m=S1+S2+…+S m=2m+1﹣＜11 ∴m的最大值为5．故答案为：5点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤．15．（14分）（xx•湖北模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）通过求出，利用二倍角以及三角形的内角和化简，即可求出它的值；（Ⅱ）利用，结合余弦定理，求出a，c的关系，通过基本不等式求出a，c，然后求出三角形的面积最大值．解答：（本小题满分13分）解：（I）因为，所以．…（1分）又==+=．…（6分）（II）由已知得，…（7分）又因为，所以．…（8分）又因为，所以ac≤6，当且仅当时，ac取得最大值．…（11分）此时．所以△ABC的面积的最大值为．…（13分）点评：本题考查二倍角公式，余弦定理，基本不等式的应用，考查计算能力．16．（14分）已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（1）求⊙C的方程；（2）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值．考点：关于点、直线对称的圆的方程；平面向量数量积的运算．专题：综合题．分析：（1）设圆心的坐标，利用对称的特征，建立方程组，从而求出圆心坐标，又⊙C过点P（1，1），可得半径，故可写出⊙C方程．（2）设Q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值．解答：解：（1）设圆心C（a，b），则，解得a=0，b=0则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标（1，1）代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2；（2）设Q（x，y），则x2+y2=2，=（x﹣1，y﹣1）•（x+2，y+2）=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，令x=cosθ，y=sinθ，∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+ ）﹣2，∴θ+=2kπ﹣时，sin（θ+）的最小值为﹣1，所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4．点评：本题考查圆的对称性，考查圆的标准方程，考查两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．17．（14分）如图，xx年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO 中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．解答：解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（6分）（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．…（8分）故=（cosα﹣3，sinα+），=（﹣cosα﹣3，﹣sinα+），∴•=（cosα﹣3）（﹣cosα﹣3）+（sinα﹣）（﹣sinα﹣）=11（10分）||•||=×=×==由α∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…（12分）所以cos∠MSN=∈[，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面点评：本题考查的是解三角形的应用，解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理．18．（16分）如图，椭圆C：+=1的右顶点是A，上下两个顶点分别为B，D，四边形DAMB 是矩形（O为坐标原点），点E，P分别是线段OA，MA的中点．（1）求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）过点B的直线l1，l2与椭圆C分别交于R，S（不同于B点），且它们的斜率k1，k2满足k1•k2=﹣求证：直线SR过定点，并求出此定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定直线DE与BP的直线方程，可得交点坐标，满足椭圆方程，可得结论；（2）设出直线方程，求得R，S的坐标，利用R，S关于原点O对称，即可得到结论．解答：证明：（1）由题意，A（4，0），B（0，2），D（0，﹣2），E（2，0），P（4，1），则直线DE的方程为y=x﹣2，直线BP的方程为联立方程，可得直线DE与BP的交点坐标为（）∵椭圆C：+=1，∴（）满足方程，∴直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）直线BR的方程为y=k1x+2解方程组，可得或∴R的坐标为（，）∵k1•k2=﹣，∴直线BS的斜率k2=﹣，∴直线BS的方程为y=﹣x+2 解方程组得或∴S的坐标为（，）∴R，S关于原点O对称∴R，O，S三点共线∴直线SR过定点，定点的坐标为O（0，0）．点评：本题考查直线的交点，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（16分）（xx•昌平区二模）设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是等差数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n}的通项，利用{a n}是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{a n}的首项a1的所有取值．解答：解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），①用n+1去代n得，3（a1+a n+1）﹣4=2（a1+a2…+a n+a n+1），②②﹣①得，3（a n+1﹣a n）=2a n+1，a n+1=3a n，（2分）在①中令n=1得，a1=1，则a n≠0，∴，∴数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，∴a1+a2+a3+…+a n=．（4分）（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），③用n+1去代n得，（n+1）（a1+a n+1）=2（a1+a2…+a n+a n+1），④④﹣③得，（n﹣1）a n+1﹣na n+a1=0，⑤（6分）用n+1去代n得，na n+2﹣（n+1）a n+1+a1=0，⑥⑥﹣⑤得，na n+2﹣2na n+1+na n=0，即a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，（8分）∴数列{a n}是等差数列．∵a3=3，a9=15，∴公差，∴a n=2n﹣3．（10分）（3）由（2）知数列{a n}是等差数列，∵a2﹣a1=2，∴a n=a1+2（n﹣1）．又{a n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m ﹣1）=a1+2（p﹣1），得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，（12分）又由已知，，故．一方面，当时，S n=n（n+a1﹣1）＞0，对任意n∈N*，都有．另一方面，当a1=2时，S n=n（n+1），，则，取n=2，则，不合题意．（14分）当a1=4时，S n=n（n+3），，则，当a1≥6时，S n=n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，又，∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．20．（16分）已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：证明题；新定义．分析：（I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．…（1分）解答：由已知得，．…（2分）（1）当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（3分）（2）当a＜0时，①当时，即a＜﹣1时，令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；…（4分）②当时，即a=﹣1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（5分）③当时，即﹣1＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（6分）综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（2）当a＜﹣1时，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；（3）当a=﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（4）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（7分）（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则，．==…（8分）曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率k=f'（x0）==，…（9分）依题意得：=．化简可得：=，即==．…（11分）设（t＞1），上式化为：，即．…（12分）令，=．因为t＞1，显然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，显然有g（t）＞2恒成立．所以在（1，+∞）内不存在t，使得成立．综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”．…（14分）点此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化评：简求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题．34187 858B 薋23556 5C04 射22578 5832 堲38930 9812 頒38483 9653 陓234549 86F5 蛵37228 916C 酬39823 9B8F 鮏?28745 7049 灉35973 8C85 貅24280 5ED8 廘u。
(优辅资源)云南省高三上学期12月高考适应性月考卷(五)数学(理)试题Word版含解析
科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）A. B. D.【答案】C【解析】C．2. ）B. D.【答案】A【解析】则复数的虚部是故选A．3. 为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（）A. 各月的平均最高气温都不高于25度B. 七月的平均温差比一月的平均温差小C. 平均最高气温低于20度的月份有5个D. 六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度【答案】C【解析】由雷达图可知平均最高气温低于20度的月份有一月、二月、十一月、十二月共四个，选项C的说法是错误的.故选C．4. 为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有（）A. 140种B. 70种C. 35种D. 84种【答案】B【解析】分两类：（1）2男1（2）1男2故选B．点睛：分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”．5. 15项的和为（）A. 15B. 25C. 35D. 45【答案】A【解析】A．6.）【答案】D【解析】故选D．7. 若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为（）【答案】B【解析】结合三视图可知几何体为如图所示三棱锥A−BCD，三棱锥在边长为2的正方体中，可知正方体体对角线AC即为三棱锥最长的棱，故选B．点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．8. 规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】C．9. ）【答案】A【解析】故选A．点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．10. ）【答案】B【解析】B．11. 已知半径为53和4，则分别以两截面为上下底的圆台的侧面积为（）A.C. D.【答案】C【解析】分类讨论：（1）当两截面圆在球心的同侧时，如下图，所以圆台的侧面积为（2）当两截面圆在球心的异侧时，如下图，小截面圆的直径，所以圆台的侧面积为C．12.）A. 7B.C. 6D.【答案】D【解析】A是正确的；C选项正确，排除ABC选项，故选D．点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________.【解析】14. .【解析】15. .【解析】16.积的最大值为__________.【解析】由两边之和大于第三边，所以3.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1（2）的面积.【答案】(1)【解析】试题分析：(1)(2)由题意结合(1)试题解析：（1`（218. 随着我国经济的快速发展，民用汽车的保有量也迅速增长.机动车保有量的发展影响到环境质量、交通安全、道路建设等诸多方面.在我国，尤其是大中型城市，机动车已成为城市空气污染的重要来源.因此，合理预测机动车保有量是未来进行机动车污染防治规划、道路发展规划等的重要前提.从2012年到2016年，根据“云南省某市国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据，该市机动车保有量数据如表所示.（1）在图所给的坐标系中作出数据对应的散点图；（2（3）按照当前的变化趋势，预测2017年该市机动车保有量.【答案】(1)答案见解析；(3)245万辆.【解析】试题分析：(1)结合所给的数据绘制散点图即可；(2)(3)结合线性回归方程的预测作用可得2017年该市机动车保有量是245万辆. 试题解析：（1）数据对应的散点图如图所示.（2（3）代入2017化趋势，2017年该市机动车保有量为245万辆.点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．19.（1（2.【答案】(1)证明见解析；【解析】试题分析：(1)(2)试题解析：（1AC的中点M，（2点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20.（1（2圆恒过定点.【答案】(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)C(2)则以线段ST试题解析：（1所以椭圆C（2）证明：设直线AP的斜率为k，则直线APP A，PB的斜率)，所以直线PB所以以ST所以以线段ST21.（1（2.【答案】(2)1. 【解析】试题分析：(1)试题解析：（1（2.由（1所以正整数k的最小值为1.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.轴建立极坐标系.（1（2.【答案】【解析】试题分析：(1)(2)结合(1)试题解析：（1（2）由（1）23.（1（2.【答案】【解析】试题分析：(1)(2)试题解析：（1（2.由（1。
2021年高三上学期12月月考数学试卷(理科)含解析)
2021年高三上学期12月月考数学试卷（理科）含解析）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合 M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）A．[1，2）B．[1，2] C．（2，3] D．[2，3]2．“x＞2”是“x2＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A 到B的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x24．下列各图形中，不可能是某函数y=f（x）的图象的是（）A．B．C．D．5．若函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A． B． C． D．6．函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）7．若f（10x）=x，则f（3）的值为（）A．log310 B．lg3 C．103D．3108．已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x），且当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1），则f的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．函数f（x）=x3﹣3x2+7的极大值是．10．幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，），则满足f（x）=27的x的值是．11．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于．12．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是．13．函数f（x）=（）|x﹣1|的单调减区间是．14．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．设集合A={x||x﹣a|＜2}，B={x|＜1}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．16．已知函数f（x）=x3﹣3x及曲线y=f（x）上一点P（1，﹣2），（I）求与y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；（Ⅱ）求过点P并与y=f（x）相切且切点异于P点的直线方程．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间．18．已知函数f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若x＞1时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．19．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．20．国庆“黄金周”及其前后是旅游旺季．某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第t天（t∈N*）的部分数据如下表：天数T（单位：天） 1 3 8 12 15日经济收入Q（单位：万元）218 248 288 284 260（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述Q与t的变化关系：Q=at+b，Q=﹣t2+at+b，Q=a•b t，Q=a•log b t，并求出该函数的解析式；（2）利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天；并求出最高日经济收入．xx学年北京市海淀区科迪实验中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）A．[1，2）B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]【考点】交集及其运算．【分析】根据已知角一元二次不等式可以求出集合M，将M，N化为区间的形式后，根据集合交集运算的定义，我们即可求出M∩N的结果．【解答】解：∵M={x|x2+x﹣6＜0}={x|﹣3＜x＜2}=（﹣3，2），N={x|1≤x≤3}=[1，3]，∴M∩N=[1，2）故选A2．“x＞2”是“x2＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先后分析“x＞2”⇒“x2＞4”与“x2＞4”⇒“x＞2”的真假，进而根据充要条件的定义，得到答案．【解答】解：当x＞2时，x2＞4成立，故“x＞2”⇒“x2＞4”为真命题故“x＞2”是“x2＞4”的充分条件；当x2＞4时，x＜﹣2或x＞2，即x＞2不成立故“x2＞4”⇒“x＞2”为假命题故“x＞2”是“x2＞4”的不必要条件；综上“x＞2”是“x2＞4”的充分不必要条件；故选A3．设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x2【考点】映射．【分析】按照映射的定义，一个对应能构成映射的条件是，A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应．判断题中各个对应是否满足映射的定义，从而得到结论．【解答】解：对于对应f：x→y=x2，当1≤x≤2 时，1≤x2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故A中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=3x﹣2，当1≤x≤2 时，1≤3x﹣2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=﹣x+4，当1≤x≤2 时，2≤﹣x+4≤3，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=4﹣x2 ，当x=2 时，y=0，显然y=0不在集合B中，不满足映射的定义，故D中的对应不能构成A到B的映射．故选D．4．下列各图形中，不可能是某函数y=f（x）的图象的是（）A．B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的定义可知，B中不满足y值的唯一性．【解答】解：根据函数的定义可知，对应定义域内的每一个x，都要唯一的y与x对应，A，C，D满足函数的定义．B中当x＞0时，对应的y值有两个，所以不满足函数的定义，所以B不是函数的图象．故选B．5．若函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A． B． C． D．【考点】导数的运算．【分析】先根据二次函数的判断出a，b的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，∴a＞0，﹣＞0，∴b＜0，∵f′（x）=2ax+b，∴函数f′（x）的图象经过一，三，四象限，∴选项A符合，故选：A．6．函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f′（x）令其小于0即可得到函数是减函数的区间．【解答】解：由f′（x）=3x2﹣6x＜0，得0＜x＜2∴函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（0，2）．故答案为D．7．若f（10x）=x，则f（3）的值为（）A．log310 B．lg3 C．103D．310【考点】函数的值．【分析】法一：根据题意可得f（3）=f（10lg3），代入已知函数解析式可求法二：利用换元法可求出函数解析式，然后把t=3代入即可求解函数值【解答】解：法一：∵f（10x）=x，∴f（3）=f（10lg3）=lg3故选B法二：∵f（10x）=x，令t=10x，则x=lgt∴f（t）=﹣lgt∴f（3）=lg3故选B8．已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x），且当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1），则f的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题设条件知本题中所给的函数是一个周期性函数，故可以利用周期性与函数是偶函数这一性质将要求的函数值转化到区间[2，4）上求解．【解答】解：定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x）恒成立，故可得f（x）=f（x﹣8），可得此函数的周期是8．又当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1），由此f=f（2）+f（3）=log2（2﹣1）+log2（3﹣1）=1，故选：C．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．函数f（x）=x3﹣3x2+7的极大值是7．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】令f′（x）=0，可得x=0或x=2，根据导数在x=0和x=2两侧的符号，判断故f（0）为极大值．【解答】解：∵f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，∴函数f（x）在（﹣∞，0）是增函数，在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）是增函数，∴函数f（x）在x=0时取得极大值7，故答案为：7．10．幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，），则满足f（x）=27的x的值是．【考点】幂函数的性质．【分析】先设出幂函数的解析式，把点代入求出α的值，再把27代入解析式求出x的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，∵过点，∴=（﹣2）α，解得α=﹣3，∴f（x）=x﹣3，∴f（x）=27=x﹣3，解得x=．故答案为：．11．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于5．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣3时取得极值，可以得到f′（﹣3）=0，代入求a值．【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=0⇒a=5故答案为：512．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是．【考点】二次函数的性质．【分析】有顶点公式可得出对称轴，对称轴应在（﹣∞，2]的右侧，可得不等式，求解．【解答】解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的对称轴为x=﹣a，又∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，∴﹣a≥2，∴a≤﹣，故答案为（﹣∞，﹣]．13．函数f（x）=（）|x﹣1|的单调减区间是[1，+∞）．【考点】指数式与对数式的互化．【分析】由于函数=，利用复合函数的单调性的判定方法即可得出．【解答】解：函数=，利用复合函数的单调性的判定方法可知：当x≥1时，函数f（x）单调递减；当x＜1时，函数f（x）单调递增．∴函数f（x）的单调减区间是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．14．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（0，）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数f（x）的图象，关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，即为直线y=a（x+1）与曲线y=相交时，与f（x）的图象有三个交点，求出直线与曲线y=相切时的斜率，即可得到a的取值范围．【解答】解：作出函数f（x）的图象，如右图：作出直线y=a（x+1），则直线恒过（﹣1，0），关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，即为当直线与曲线y=相交时，与f（x）的图象有三个交点，当直线与曲线y=相切时，设切点为（m，），则y′=，则切线斜率为=a，又a（m+1）=，由此解得，a=（负的舍去），故a的取值范围是（0，）．故答案为（0，）．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．设集合A={x||x﹣a|＜2}，B={x|＜1}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】解绝对值不等式可求出集合A，解分式不等式可以求出集合B，由A∩B=A可得A ⊆B，结合集合包含关系定义，可构造关于a的不等式组，解得实数a的取值范围．【解答】解：若|x﹣a|＜2，则﹣2＜x﹣a＜2，即a﹣2＜x＜a+2故A={x||x﹣a|＜2}={x|a﹣2＜x＜a+2}．…若，则，即，即﹣2＜x＜3．…因为A∩B=A，即A⊆B，所以．解得0≤a≤1，…故实数a的取值范围为[0，1]…16．已知函数f（x）=x3﹣3x及曲线y=f（x）上一点P（1，﹣2），（I）求与y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；（Ⅱ）求过点P并与y=f（x）相切且切点异于P点的直线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）求出f（x）的导数，可得P处切线的斜率，可得切线方程；（Ⅱ）设切点为（m，n）（异于P点），代入f（x）可得n=m3﹣3m，求得切线的斜率和方程，代入（1，﹣2），可得m的方程，解得m，即可得到所求切线的方程．【解答】解：（I）函数f（x）=x3﹣3x的导数为f′（x）=3x2﹣3，点P（1，﹣2）处的切线斜率为3﹣3=0，则与y=f（x）相切且以P为切点的直线方程为y=﹣2；（Ⅱ）设切点为（m，n）（异于P点），且n=m3﹣3m，可得切线的斜率为3m2﹣3，切线的方程为y﹣n=（3m2﹣3）（x﹣m），点P（1，﹣2）代入上式，可得﹣2﹣m3+3m=（3m2﹣3）（1﹣m），整理可得2m3﹣3m2+1=0，即为（m﹣1）2（2m+1）=0，解得m=﹣（1舍去），可得切线的斜率为﹣，则所求切线的方程为y+2=﹣（x﹣1），即为9x+4y﹣1=0．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣2处取得极值，所以f′（﹣2）=0，又因为函数与直线在点（1，0 ）处相切，所以f′（1）=﹣3，代入求得两个关于a与b的二元一次方程，求出解集得到a和b，又因为函数过点（1，0），代入求出c的值即可．（2）由（1）求出的值可得导函数的解析式，分别令其大于、小于0可求增、减区间．【解答】解：（1）∵f′（x）=3x2+2ax+b，∴f′（﹣2）=3×（﹣2）2+2a×（﹣2）+b=0∴12﹣4a+b=0 ①又f′（1）=3+2a+b=﹣3 ②，由①②解得a=1，b=﹣8又f（x）过点（1，0），∴13+a×12+b×1+c=0，∴c=6所以f（x）的解析式为：f（x）=x3+x2﹣8x+6（2）由（1）知：f（x）=x3+x2﹣8x+6，所以f′（x）=3x2+2x﹣8令3x2+2x﹣8＜0解得，令3x2+2x﹣8＞0解得x＜﹣2，或故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（，+∞），f（x）的单调递减区间为（﹣2，）18．已知函数f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若x＞1时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意可得斜率为0，可得a=3：（II）求出导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；（Ⅲ）运用参数分离，可得a＜在x＞1时恒成立，令h（x）=1+x2﹣lnx，求得导数，判断函数的单调性，运用单调性即可求得a的取值范围．【解答】解：（I）f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．定义域为（0，+∞），导数．依题意，f′（1）=0．所以f′（1）=3﹣a=0，解得a=3；（II）a=3时，f（x）=lnx+x2﹣3x，定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x﹣3=，当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＞0，当＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+∞），单调递减区间为（，1）；（III）由f（x）＞0，得a＜在x＞1时恒成立，令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=1+x2﹣lnx，则h′（x）=2x﹣=，所以h（x）在（1，+∞）为增函数，h（x）＞h（1）=2＞0．故g'（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）为增函数，即有g（x）＞g（1）=1，所以a≤1，即实数a的取值范围为（﹣∞，1]．19．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，y=e ax在x=0处的切线方程为y﹣1=y′（0）x，再比较已知条件，可得；（Ⅱ）原题意可转化为对于∀x，a∈R，e ax＞ax+b恒成立，法1：进一步转化为∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，分别从a=0和a≠0两种情况通过求导的方式进一步分析；法2：进一步转化为∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，再令t=ax，则等价于∀t ∈R，b＜e t﹣t恒成立，再通过研究函数g（t）=e t﹣t的性质求解．【解答】解：（Ⅰ）y'=ae ax，因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：y=2x+m，所以1=2×0+m且y'|x=0=2．解得m=1，a=2（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，①若a=0，则g（x）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；②若a≠0，g'（x）=a（e ax﹣1），由g'（x）=0得x=0，g'（x），g（x）的情况如下：0 （0，+∞）x （﹣∞，0）g'（x）﹣0 +g（x）↘极小值↗所以g（x）的最小值为g（0）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；综上，实数b的取值范围是b＜1．法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，令t=ax，则等价于∀t∈R，b＜e t﹣t恒成立，令g（t）=e t﹣t，则g'（t）=e t﹣1，由g'（t）=0得t=0，g'（t），g（t）的情况如下：t （﹣∞，0 （0，+∞）0）g'（t）﹣0 +g（t）↘极小值↗所以g（t）=e t﹣t的最小值为g（0）=1，实数b的取值范围是b＜1．20．国庆“黄金周”及其前后是旅游旺季．某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第t天（t∈N*）的部分数据如下表：天数T（单位：天） 1 3 8 12 15日经济收入Q（单位：万元）218 248 288 284 260（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述Q与t的变化关系：Q=at+b，Q=﹣t2+at+b，Q=a•b t，Q=a•log b t，并求出该函数的解析式；（2）利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天；并求出最高日经济收入．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，也不可能是单调函数，故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，将（1，218）、（8，288）代入Q=﹣t2+at+b，代入Q，即得函数解析式；（2）由二次函数的图象与性质，利用配方法可求取最值．【解答】解：（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，从而用四个中的任意一个进行描述时都应有，而Q=at+b，Q=a•b t，Q=a•log b t三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，∴选取二次函数进行描述最恰当．…将（1，218）、（8，288）代入Q=﹣t2+at+b，可得，解得a=19，b=200．∴Q=﹣t2+19t+200，（1≤t≤20，t∈N*）；（2）Q=﹣t2+19t+200=﹣（t﹣）2+，∵1≤t≤20，t∈N*，∴t=9或10时，Q取得最大值290万元．精品文档xx年11月30日Q29452 730C 猌30791 7847 硇27496 6B68 歨37042 90B2 邲`26773 6895 梕x39106 98C2 飂27219 6A53 橓31600 7B70 筰33470 82BE 芾;D实用文档。
西南名校联盟高考适应性月考卷理科数学试题有答案
第 0 页云南师大附中2019届高考适应性月考卷（八）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由题意知：集合[33]A =-，，集合(2)B =-∞，，则AB [32)=-，，故选D ． 2．在复平面内，z 的轨迹是以(11)，为圆心，1为半径的圆，由数形结合可知，||z 的最小值1，所以2||3z =-B ．3．由数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，所以246135()()33a a a a a a d ++-++==，即1d =，故选A ．4．设a 与b 的夹角为θ，由222|2|(2)()44()116a b a b a a b b +=+=++=+所以1cos 2θ=-，则a 与b 的夹角为2π3，故选A ．5．由题意可知圆柱的高为2，所以球心到底面的距离为1，又由底面的半径为1，所以圆柱的，故而圆柱的外接球的表面积为8π，故选C ．6．由函数()f x 的最大值为4，则选项A 不满足；由π23⎛⎫⎪⎝⎭，为其一个对称中心，即π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，选项D 不满足；由12()()2f x f x ==，且12m i n π||2x x -=，即函数的最小正周期为π，选项C 不满足；而B 选项均满足，故选B ．7．如图1，在Rt ABC △中，15CA =，8CB =，则17AB =， 设点I 为ABC △内切圆的圆心，设其内切圆的半径为r ，由ABC AIB BIC CIA S S S S =++△△△△，所以111222ABC S r AB r BC r CA =++=△1()2r AB BC CA ++，故而2158381517ABC S r AB BC CA ⨯===++++△，所以其 内切圆的直径为6步，故选B ．图1第 1 页8．由x y z ，，均为大于1的正数，令235log log log x y z m ===，则0m >，且2m x =，3m y =，5m z =，m =m =m ．又由6689=<=，由10103225=>=>m y x =(0)m >在第一象限的单调性知，<B ．9．由程序框图可知，当n k =时，运算前的a 值记为k a ，则程序输出的是6a ，即61a =，由程序框图可知，当输入的a 为正整数时，对任意的k ，k a 均为正整数，而61a =，则必有52a =，此时，41213254123121()33216587()2344211()30()a a a a a a a a a a a a a ⎧=⎪⎪⎧⎪⎧=⎧=⇒⎪⎨⎪⎪=⎪⎩⎪⎪=⇒⎨⎪⎪⎪⎪⎪==⇒⎨⎪⎩⎪⎪=⇒⎨⎪⎧=⎧⎪⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎩⎩⎩舍，，，舍，，舍，舍， 故而，a 的可能取值为4532，，，故选C ．10．如图2，设1PF m =，2PF n =，12F PF θ∠=，由题意知：22222162cos 4m n mn m n mn θ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，，所以 61cos mn θ=+，又121sin sin 33tan 21cos 2F PF S mn θθθθ===+△所以π3θ=．由正弦定理可知，三角形的外接圆的直径为122ππsin sin 33F F ==4π3，故选A ． 11．当0a ≤时，()|1|f x x =-满足题意；当03a <≤时，(2)(4)3f f -==，要满足题意需满足(1)23f a =≤，即302a <≤；当3a >时，(1)26f a =>，不合题意．综上所述，a 的取值范围是32a ≤，故选C ．图2第 2 页12．如图3，设点E 为D 点在平面ABC 内的投影，若DA DB DC ==，则由DEA △，DEB △，DEC △两两全 等，所以EA EB EC ==，故选项A 正确；若DA BC ⊥，DB AC ⊥，由DA BC ⊥，DE BC ⊥，所以BC ⊥ 平面ADE ，即AE BC ⊥，同理BE AC ⊥，所以D 在平面ABC 内的投影为三角形ABC 的垂心，故选项B 正确；若AB CD =，AC BD =，AD BC =，则四面体ABCD 可以放 在长方体内，如图4，则每组对棱的中点可以看成棱所在面 的中心，故而每组对棱中点的线段互相垂直平分，故选项C 正确；若三棱锥各棱长均为2，则三棱锥为正四面体，到三棱锥的四个顶点距离相等的截面，如图5有两种情况：第一种情况，如图5甲，截面为边长为1的，故所有的截面为第二种情况，如图乙，截面为边长为1的正方形，其面积为1，故所有截面为正方形的面 积和为3，所以所有的截面面积和为3，故选项D 错误； 综上所述，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．作出不等式组313x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩≥，≥，≤表示的平面区域，如图6中阴影部分所示，作出直线20x y +=，平移直线 20x y +=，当直线经过点(12)A ，时，2z x y =+取得最小 值4，所以2z x y =+的最小值为4．图3图4 图5图6第 3 页14．令1x =，则23162n ⨯=，所以4n =，当第一个括号取x 时，第二个括号内要取含x 的项，即34C (2)x ；当第一个括号取1x时，第二个括号内要取含3x 的项，即134C (2)x ，所以2x 的系数为31442C 8C 40+=．15．设11()A x y ，，22()B x y ，，0(4)Q y ，，则切点为A 的椭圆C 的直线方程为：11143x x y y +=，切点为B 的椭圆C 的直线方程为：22143x x y y+=．由两切线均过点Q ，故而有：1012021313y y x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，所以直线AB 的方程为013y y x +=，则直线AB 过定点(10)，，所以原点到直线AB 的距离的最大值为1．16．由题意知：213a a -=，325a a -=，又由123(4)n n n n a a a a n n ----=-∈Z ≥，，则22213n n a a ++-=， 2125(4)n n a a n n +-=∈Z ≥，，所以2228()n n a a n +-=∈Z ，又1008201822221()10088n n n a a a a +==-+=⨯∑ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理可知：所以sin 2cos sin C A C -=，因为sin 0C ≠，而(0π)A ∈，，则1cos 2A =-，所以2π3A =．…………………………………………（6分）（Ⅱ）如图7，由b c ==及（Ⅰ）知ABC △是顶角 为2π3的等腰三角形，则π6ABC ∠=， 所以2222π2cos 63BC b c bc =+-=，即BC =，又2AD DC =，所以1233BD BC BA =+，图7第 4 页则222π9||||4||4||||cos266BD BC BA BA BC =++=，所以BD =．………………………………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2×2列联表补充如下：……………………………………………………………………………………（2分）（Ⅱ）由题意知：22100(40252015)8.25 6.63555456040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为数学与物理的学习情况有关．………………………………（6分） （Ⅲ）由题意知，每名即将被询问的同学数学与物理都优秀的概率为4021005=， 随机变量X 所有可能的取值为：3456，，，，所以X 的期望872432213316998()3456125625312531253125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………（12分） 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图8，连接AC BD ，交于点O ，连接MO ，NO ，所以AC BD ⊥， 又AM ⊥平面ABCD ，AM BD ⊥且ACAM A =，所以BD ⊥平面ACNM ，则有MO BD ⊥，NO BD ⊥， 故而MON ∠为二面角M BD N --的平面角，由1CN =，3AM =，ABCD 是边长为2的菱形，且2π3ABC ∠=，可得MO =，2NO =， 又由4MN =，即222MN MO NO =+，图8第 5 页所以π2MON ∠=，所以平面MDB ⊥平面NDB ．………………………………………（6分） （Ⅱ）解：如图9，取MN 的中点P ，则OP ⊥平面ABCD ， 由（Ⅰ）知，建立以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴的空 间直角坐标系，则03)M ，，(01)N ，，(010)B ，，，(010)D -，，，所以02)NM =，，(313)BM =-，，，(313)DM =，，， 设平面BMN 的一个法向量为1111()n x y z =，，，则1100n NM n BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即111112030z y z ⎧+=⎪-+=，，令1z =，则11x =-，1y =1(1n =-，， 设平面DMN 的一个法向量为2222()n x y z =，，， 则2200n NM n DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即222222030z y z ⎧+=⎪++=，，令2z =21x =-，2y=-2(1n =--，， 设锐二面角B MN D --的平面角为θ，则1212||1cos 2||||n n n n θ==， 所以锐二面角B MN D --的余弦值为12．……………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设圆心M 的坐标为()x y ，，则0x >．由题意知：||1x +24y x =(0)x >．………………………（4分） （Ⅱ）设AB 所在的直线的倾斜角为(0)θθ≠， 则直线AB 的方程为tan (1)y x θ=-，与抛物线的方程联立得：2222(tan )(2tan 4)tan 0x x θθθ-++=， 设A B ，的横坐标分别是12x x ，，则有：22122222tan 4tan 14||224tan tan sin AB x x θθθθθ++=++=+==， 图9第 6 页同理：2244||πcos sin 2CD θθ==⎛⎫± ⎪⎝⎭， 所以四边形的面积22214432322sin cos sin (2)S θθθ=⨯⨯=≥，当且仅当π4θ=或3π4θ=时，不等式取等号，所以四边形面积的最小值为32．……（12分） 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由0a b +=，则()ln f x x ax a =-+， 所以1()f x a x'=-． 若0a ≤，则1()0f x a x '=->，即函数()f x 为定义域上的增函数，由(1)0f =，不合题意；若01a <<，则11()ax f x a x x -'=-=，所以()f x 为10a ⎛⎫⎪⎝⎭，上的增函数，且101a <<，由(1)0f =，不合题意；若1a >，则11()ax f x a x x -'=-=，所以()f x 为1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的减函数，且11a >，由(1)0f =，不合题意；若1a =，()ln 1f x x x =-+，11()1xf x x x-'=-=，所以()f x 为(01)，上的增函数，为(1)+∞，上的减函数，所以()(1)0f x f =≤，满足题意．综上所述，满足题意的1a =．…………………………………………………………（5分） （Ⅱ）由()0f x ≤恒成立，则0a >，又由()0f x ≤，等价于ln x ax b +≤，即等价于函数ln y x =的图象不在函数y ax b =+图象的上方，对于每一个大于零的a ，要使得a b +的值最小，需使直线y ax b =+与函数ln y x =的图象相切，此时，设切点为11(ln )x x ，且10x >，则切线方程可以表示为1111ln ()y x x x x -=-，即111ln 1y x x x =+-， 所以111ln 1a b x x +=+-． 令1()ln 1(0)g x x x x =+->，则22111()x g x x x x-'=-+=，第 7 页所以()g x 为(01)，上的减函数，为(1)+∞，上的增函数，则()(1)0g x g =≥， 所以a b +的最小值为0．由ln e ()x x f x -≤，等价于e x ax b +≥，即等价于函数e x y =的图象不在函数y ax b =+的图象的下方，同理，对于每一个大于零的a ，要使得a b +的值最大，需使直线y ax b =+与函数e x y =的图象相切，此时，设切点为22(e )x x ，，则切线方程可以表示为222e e ()x x y x x -=-，即：2222e e e x x x y x x =+-， 所以222222e e (2)e x x x a b x x +=-=-(0)x >． 令()(2)e x h x x =-，则()(1)e x h x x '=-，所以()h x 为(01)，上的增函数，为(1)+∞，上的减函数，则()(1)e h x h =≤， 所以a b +的最大值为e ．综上所述，a b +的取值范围是[0e]，．………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，，π02θθ⎛⎫⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭其中为参数，，， 所以曲线C 的普通方程为：2214x y +=，00x y ≥，≥．又由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为：2224cos 4sin ρθθ=+，π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 直线l 的极坐标方程为：4sin cos ρθθ=+．……………………………………………（5分）（Ⅱ）如图10，由题意知：1π1π=sin sin 2626ABCD BOC AOD S S S OB OC OA OD =-⨯⨯-⨯⨯△△，由（Ⅰ）知，OAOC ==，所以，图10第 8 页1()8(24ABCD S OB OC OA OD =⨯-⨯=10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 （Ⅰ）解：由()2|1||2|f x x x =-++，所以31()4[21)32x x f x x x x x ⎧⎪=-∈-⎨⎪-<-⎩，≥，，，，，，则函数()f x 的图象如图11， 则函数()f x 的最小值为3，即3m =．……………（5分） （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，3a b c ++=，所以1116a b c a b c +++++=≥， 当且仅当1a b c ===时不等式取等号，所以1113a b c++≥．………………………（10分）图11。
2021年高三(上)12月月考数学试卷 Word版含解析
2021年高三（上）12月月考数学试卷 Word版含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）集合M={x|lgx＞0}，N={2}，则M∩N={2} ．考点：交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：根据对数函数的单调性求出集合M，再与集合N进行交集运算即可．解答：解：∵M={x|lgx＞0}={x|x＞1}，N={2}，则M∩N={2}，故答案为：{2}．点评：本题考查对数函数的性质、集合的交集运算．属于基础题．2．（5分）右图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 6.8．考点：茎叶图；极差、方差与标准差．专计算题；概率与统计．分析：根据茎叶图所给的数据，做出这组数据的平均数，把所给的数据和平均数代入求方差的个数，求出五个数据与平均数的差的平方的平均数就是这组数据的方差．解答：解：∵根据茎叶图可知这组数据是8，9，10，13，15这组数据的平均数是=11∴这组数据的方差是[（8﹣11）2+（9﹣11）2+（10﹣11）2+（13﹣11）2+（15﹣11）2]=[9+4+1+4+16]=6.8故答案为：6.8．点评：本题考查一组数据的方差，考查读茎叶图，这是经常出现的一种组合，对于一组数据通常要求这组数据的平均数，方差，标准差，本题是一个基础题．3．（5分）若是纯虚数，则tanθ的值为．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：根据复数是一个纯虚数，得到这个复数的实部为0，虚部不为0，解出关于θ的正弦的值和余弦不等于的值，从而得到这个角的余弦值，根据同角的三角函数关系，得到正切值．解答：解：∵是纯虚数，∴sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，∴sin，cos，∴cos，∴tan，故答案为：﹣点评：本题考查复数的概念，考查同角三角函数之间的关系，是一个基础题，解题的过程中注意纯虚数的等价条件．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为15．考程序框图．专题：计算题．分析：由已知中的程序框图及已知中输入n=6，可得：进入循环的条件为i＜6，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．解答：解：如图所示的程序框图，若输入n的值为6，循环条件为：i＜6，i=1，s=1，1＜6可以循环，s=1×1=1，i=1+2=3＜6，s=1×3=3，i=3+2=5＜6，s=3×5=15，i=5+2=7＞6，循环结束，输出s=15，故答案为15；点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．5．（5分）（xx•北京）已知函数f（x）=lgx，若f（ab）=1，则f（a2）+f（b2）=2．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：由函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，知f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=2lg（ab）．由此能求出结果．解答：解：∵函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=lg（ab）2=2lg（ab）=2．故答案为：2．点评：本题考查对数的运算性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．（5分）袋子中装有分别标注数字为1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球，共有C52种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为5或7，可以列举出所有的事件共有4种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球，共有C52=10种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为5或7，可以列举出所有的事件：1，4；2，3；2，5；3，4共有4种结果，根据古典概型概率公式得到P==，故答案为：点评：本题考查古典概型，考查数字问题，是古典概型中比较典型的问题，可以列举出所有的事件，本题是一个送分题目．7．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是②①若l∥α，l∥β，则α∥β；②若l∥α，l⊥β，则α⊥β；③若α⊥β，l⊥α，则l⊥β；④若α⊥β，l∥α，则l⊥β．考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：①若l∥α，l∥β，则α∥β，构造反例；②若l∥α，l⊥β，则α⊥β；由线面平行的性质定理及面面垂直的判定定理可判断；③若α⊥β，l⊥α，则l⊥β，构造反例；④若α⊥β，l∥α，则l⊥β，构造反例；解答：解：①由l∥α，l∥β，不一定推出α∥β．反例如图：所以①不正确；②如图所示：过l作平面γ交平面α于直线a，因为l∥α，所以l∥a，又l⊥β，所以a⊥β，a⊂α，故α⊥β，所以②正确；③由α⊥β，l⊥α，不能推出l⊥β；反例如图：故③不正确；④若α⊥β，l∥α，未必有l⊥β．反例如图：故④不正确；点评：本题考查命题真假的判断及空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系，考查了相关的判定定理及性质定理，本题还考查空间想像能力及运用题设条件组织证明的能力．8．（5分）（xx•泗阳县模拟）两个正数a，b的等差中项是，等比中项是，且a＞b，则双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由两个正数a，b的等差中项是，等比中项是，且a＞b，解得a=5，b=4，故双曲线为，由此能求出双曲线的离心率．解答：解：∵两个正数a，b的等差中项是，等比中项是，且a＞b，∴，解得a=5，b=4，∴双曲线为，∴c=，∴双曲线的离心率e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是基础题．解题时要注意等比中项和等差中项和合理运用．9．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，D为BC边上的点，且•=0，=2，则=1．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由题意可知：⊥，且D为BC中点，∠B=∠C=30°，且易求得AD=1，，而==代入可得结果．解答：解：由题意可知：⊥，且D为BC中点，∠B=∠C=30°故在直角三角形ABD中可求得AD=1，，∴====1．故答案为：1点评：本题为向量的数量积的运算，把向量适当转化时解决问题的关键，属基础题．10．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）+f（1）=0，则实数a=﹣3．考点：函数的值．专题：计算题．分析：当a＞0时，由f（a）+f（1）=0，可得a无解，当a＜0时，由f（a）+f（1）=0，可得a=﹣3．解答：解：当a＞0时，f（a）=2a，由f（a）+f（1）=0，可得2a+2=0，解得a=﹣1（舍去）．当a＜0时，f（a）=a+1，由f（a）+f（1）=0，可得a+1+2=0，解得a=﹣3，故答案为﹣3．点评：本题主要考查求函数的值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．11．（5分）已知向量，，且，则=．考点：运用诱导公式化简求值；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：先根据求得tanx，进而利用诱导公式对化简整理，分子分母同时除以cosx，最后把tanx代入即可．解答：解：∵∴=﹣sinx+2cosx=0，即tanx=2 ∴===故答案为点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值和向量的运算．属基础题．12．（5分）设曲线处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出函数处的导数，即为曲线在此点的切线斜率，再利用两直线垂直的性质求出a．解答：解：y= 的导数为y′=，当x=时，y′=1，故y=在点（，2）处的切线斜率为1，故与它垂直的直线x+ay+1=0 的斜率为=﹣1，∴a=1，故答案为：1．点评：本题考查函数在某点的导数就是函数在此点的切线斜率，以及两直线垂直的性质．13．（5分）设圆C的圆心在双曲线（a＞0）的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C 被直线l：截得的弦长等于2，则a=．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题．分析：先利用圆与双曲线的渐近线相切得圆的半径，再利用圆C被直线l：截得的弦长等于2，求出a与圆心到直线l：的距离d之间的等量关系即可求出a．解答：解：设圆心坐标为（，0），因为双曲线的渐近线y=x⇒x﹣ay=0．由圆与双曲线的渐近线相切得圆心到直线的距离等于半径，即得r==，又因为圆C被直线l：截得的弦长等于2，故圆心到直线l：的距离d=1=⇒a2=2又a＞0，故a=．故答案为．点评：本题主要考查椭圆与双曲线的几何性质，直线的方程，直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．14．（5分）给出下列命题：①f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，且在[﹣1，0]上是增函数，若，则f（sinθ）＞f（cosθ）；②函数的单调递减区间是；③若；④要得到函数．其中是真命题的有②③（填写所有真命题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数在对称区间上单调性相反，结合三角函数的图象和性质，可判断f（sinθ）＜f（cosθ），进而得到①错误；根据余弦型函数的单调性，求出函数=的单调区间，比照后，可得到②正确；利用降次升角公式化简函数的解析式，进而根据诱导公式，可判断③正确；利用函数图象的平移变换法则，求出平移变换后函数的解析式，比照后，可得④错误．解答：解：若，则1＞sinθ＞cosθ＞0，又由f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，且在[﹣1，0]上是增函数，故f（x）在[0，1]上是减函数，故f（sinθ）＜f（cosθ），故①错误；函数=，由2kπ≤≤2kπ+π，得，故函数的单调递减区间是，故②正确；=cosx，则f（x+π）=cos（x+π）=﹣cosx=﹣f（x）恒成立，故③正确；将的图象向右平移个单位后，得到函数=的图象，故④错误故答案为：②③点评：本题以命题的真假判断为载体考查了命题的真假判断与应用，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数，（其中ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值，并求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，△ABC的面积为，求△ABC 的外接圆面积．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数，化简函数的表达式，通过函数的周期，求出ω，然后求出函数的单调减区间．（Ⅱ）利用第一问的结果，求出锐角三角形的角A，通过正弦定理求出三角形的外接圆的半径，然后求解外接圆的面积．解答：解：（Ⅰ）由已知得f（x）=1+cosωx+cosωx﹣sinωx =1+cosωx﹣sinωx=1﹣sin（ωx﹣），于是有=2．∴函数f（x）的单调递减区间[k]，k∈Z．（Ⅱ）由（Ⅰ）以及已知可得，即sin（2A﹣）=，又三角形是锐角三角形，所以A=，△ABC的外接圆的半径为，△ABC的外接圆的面积为．点评：本题考查两角和的正弦函数的应用，正弦定理，三角函数的单调减区间的求法，外接圆的面积的求法，考查计算能力．16．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为棱形，∠DAB=60°，平面PCD⊥底面ABCD，E、F分别是CD、AB的中点．（1）求证：BE⊥平面PCD．（2）设G为棱PA上一点，且PG=2GA，求证：PC∥平面DGF．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证BE⊥平面PCD，可先证平面PCD⊥底面ABCD，根据平面与平面垂直的性质定理可证得；（2）欲证PC∥平面DGF，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PC与平面DGF内一直线平行，而PC∥MG，PC⊄平面DGF，GM⊂平面DGF，满足定理条件．解答：证明：（1）连接BD因为底面ABCD为菱形，∠DAB=60°所以DB=CB因为E为CD的中点，所以BE⊥CD因为平面PCD⊥底面ABCD且平面PCD∩底面ABCD=CDBE⊂平面ABCD所以BE⊥平面PCD（2）连接AC交FD与点M，交BE于点N，连接MG因为底面ABCD为菱形，且E、F分别为CD，AB的中点，所以DE∥BF，且DE=BF因此四边形DEBF为平行四边形，所以BE∥DF．因为E为CD的中点，所以CN=MN同理AM=MN，因此CM=2AM又在△ACP中，PG=2GA所以PC∥MG又因为PC⊄平面DGF，GM⊂平面DGF，所以PC ∥平面DGF点评： 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．17．（14分）（2011•福建）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（I ）求a 的值（II ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．考点：函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性．专题：应用题．分析： （I ）由f （5）=11代入函数的解析式，解关于a 的方程，可得a 值；（II ）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x 的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x 值．解答： 解：（I ）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2（II ）由（I ）可知，该商品每日的销售量y=所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而，f ′（x ）=10[（x ﹣6）2+2（x ﹣3）（x ﹣6）]=30（x ﹣6）（x ﹣4）于是，当x 变化时，f （x ）、f ′（x ）的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数f （x ）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x=4时，函数f （x ）取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．点评： 本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题．18．（16分）（xx •宿州三模）设函数f （x ）=p （x ﹣）﹣2lnx ，g （x ）=．（p 是实数，e 是自然对数的底数）（1）当p=2时，求与函数y=f （x ）的图象在点A （1，0）处相切的切线方程；（2）若f （x ）在其定义域内为单调递增函数，求p 的取值范围；（3）若在[1，e ]上至少存在一点x o ，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，求p 的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（1）求导要使“f（x）为单调增函数”，转化为“f’（x）≥0恒成立”，再转化为“p≥=恒成立”，由最值法求解．同理，要使“f（x）为单调减函数”，转化为“f’（x）≤0恒成立”，再转化为“p≤=恒成立”，由最值法求解，最后两个结果取并集．（2）由“函数f（x）的图象相切于点（1，0”求得切线l的方程，再由“l与g（x）图象相切”得到（p﹣1）x2﹣（p﹣1）x﹣e=0由判别式求解即可．（3）因为“在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立”，要转化为“f（x）max＞g（x）min”解决，易知g（x）=在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]，①当p≤0时，f（x）在[1，e]上递减；②当p≥1时，f（x）在[1，e]上递增；③当0＜p ＜1时，两者作差比较．解答：解：（1）∵，要使f（x）为单调增函数，须f’（x）≥0恒成立，即px2﹣2x+p≥0恒成立，即p≥=恒成立，又≤1，所以当p≥1时，f（x）在（0，+∞）为单调增函数．要使f（x）为单调减函数，须f’（x）≤0恒成立，即px2﹣2x+p≤0恒成立，即p≤=恒成立，又＞0，所以当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数．综上所述，f（x）在（0，+∞）为单调函数，p的取值范围为p≥1或p≤0（2）∵，，∴f’（1）=2（p﹣1），设直线l：y=2（p﹣1）（x﹣1），∵l与g（x）图象相切，∴y=2（p﹣1）（x﹣1）得（p﹣1）（x﹣1）=，即（p﹣1）x2﹣（p﹣1）x﹣e=0y=当p=1时，方程无解；当p≠1时由△=（p﹣1）2﹣4（p﹣1）（﹣e）=0，得p=1﹣4e，综上，p=1﹣4e（3）因g（x）=在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]①当p≤0时，由（1）知f（x）在[1，e]上递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意②当p≥1时，由（1）知f（x）在[1，e]上递增，f（1）＜2，又g（x）在[1，e]上为减函数，故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，即：f（e）=p（e﹣）﹣2lne＞2⇒p＞③当0＜p＜1时，因x﹣≥0，x∈[1，e]所以f（x）=p（x﹣）﹣2lnx≤（x﹣）﹣2lnx≤e﹣﹣2lne＜2不合题意综上，p的取值范围为（，+∞）点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题．19．（16分）（xx•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2，求出椭圆上的点到点Q的距离，利用配方法，确定函数的最大值，即可求得椭圆方程；（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1，求出|AB|，点O到直线l距离，表示出面积，利用基本不等式，即可确定三角形面积的最大值，从而可求点M的坐标．解答：解：（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2椭圆上的点到点Q的距离=①当﹣b≤﹣1时，即b≥1，得b=1②当﹣b＞﹣1时，即b＜1，得b=1（舍）∴b=1∴椭圆方程为（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1∵|AB|=，点O到直线l距离∴=∵m2+n2＞1∴0＜＜1，∴当且仅当，即m2+n2=2＞1时，S△AOB取最大值，又∵解得：所以点M的坐标为或或或，△AOB的面积为．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的求解，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．20．（16分）各项均为正数的等比数列{a n}，a1=1，a2a4=16，单调增数列{b n}的前n项和为S n，a4=b3，且6S n=b n2+3b n+2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）令（n∈N*），求使得c n＞1的所有n的值，并说明理由．（Ⅲ）证明{a n}中任意三项不可能构成等差数列．考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等差关系的确定．专题：综合题．分析：（Ⅰ）由a2a4=a12q4=q4=16，q2=4，知a n=2n﹣1，b3=a4=8．由6S n=b n2+3b n+2，知（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1）=3（b n+b n﹣1），由此能够求出b n=3n﹣1．（Ⅱ）由b n=3n﹣1，知=，由此能求出满足条件C n＞1的所有n的值为1，2，3，4．（Ⅲ）假设{a n}中存在三项p，q，r （p＜q＜r，p，q，R∈N*）使a p，a q，a r构成等差数列，所以2•2q﹣1=2p﹣1+2r﹣1．2q﹣p+1=1+2r﹣p．因左边为偶数，右边为奇数，故假设不成立，即不存在任意三项能构成等差数列．解解：（Ⅰ）∵a2a4=a12q4=q4=16，q2=4，∵a n＞0，∴q=2，∴a n=2n﹣1答：∴b3=a4=8．∵6S n=b n2+3b n+2①当n≥2时，6S n﹣1=b n﹣12+3b n﹣1+2 ②①﹣②得6b n=b n2﹣b n﹣12+3b n﹣3b n﹣1即（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1）=3（b n+b n﹣1）∵b n＞0∴b n﹣b n﹣1=3，∴{b n}是公差为3的等差数列．当n=1时，6b1=b12+3b1+2，解得b1=1或b1=2，当b1=1时，b n=3n﹣2，此时b3=7，与b3=8矛盾；当b1=3时b n=3n﹣1，此时此时b3=8=a4，∴b n=3n﹣1．（Ⅱ）∵b n=3n﹣1，∴=，∴c1=2＞1，c2=＞1，c3=2＞1，＞1，＜1，下面证明当n≥5时，c n＜1事实上，当n≥5时，=＜0即c n+1＜c n，∵＜1∴当n≥5时，C n＜1，故满足条件C n＞1的所有n的值为1，2，3，4．（Ⅲ）假设{a n}中存在三项p，q，r （p＜q＜r，p，q，R∈N*）使a p，a q，a r构成等差数列，∴2a q=a p+a r，即2•2q﹣1=2p﹣1+2r﹣1．∴2q﹣p+1=1+2r﹣p．因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．点评：本题考查数列与不等式的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．三、数学Ⅱ附加题21．（20分）（选做题）在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（B）（选修4﹣2：矩阵与变换）二阶矩阵M有特征值λ=8，其对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成点（﹣2，4），求矩阵M2．（C）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．试在曲线C上一点M，使它到直线l的距离最大．考点：参数方程化成普通方程；点到直线的距离公式；特征值与特征向量的计算．专题：选作题．分析：（B）利用矩阵的特征值与特征向量的关系及矩阵的运算即可求出；（C）先把极坐标方程和参数方程化为普通方程，再利用点到直线的距离公式即可求出．解答：（B）解：设，则由，得，即a+b=8，c+d=8．由，得，从而﹣a+2b=﹣2，﹣c+2d=4．由a+b=8，﹣a+2b=﹣2，c+d=8，﹣c+2d=4解得a=6，b=2，c=4，d=4 ∴，．（C）解：由曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，可得C的普通方程是x2+3y2=3，即=1．由直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）消去参数td得直线l的普通方程是x+=0．设点M的坐标是，则点M到直线l的距离是d=．当时，即θ+，k∈Z，解得θ=2kπ+，k∈Zd取得最大值，此时，综上，点M的坐标是时，M到直线l的距离最大．点评：熟练掌握矩阵的特征值与特征向量的关系及矩阵的运算、直线与圆锥曲线的位置关系及利用点到直线的距离公式求最值问题是解题的关键．22．（10分）设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且．（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲线C上的点，且成等差数列，当AD 的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求点B的坐标．考点：圆锥曲线的综合；数列与向量的综合．专题：综合题．分析：（1）根据，可得P为MN的中点，利用，可得，从而可得点N的轨迹C的方程；（2）先根据抛物线的定义可知，利用成等差数列，可得x1+x3=2x2，确定AD的中垂线方程，利用AD的中点在直线上，即可求得点B的坐标．解答：解：（1）设N（x，y），则由得P为MN的中点，所以…（1分）又，∴∵，…（3分）∴y2=4x（x≠0）…（5分）（2）由（1）知F（1，0）为曲线C的焦点，由抛物线定义知抛物线上任一点P0（x0，y0）到F的距离等于其到准线的距离，即…（6分）故，又成等差数列∴x1+x3=2x2…（7分）∵直线AD的斜率…（9分）∴AD的中垂线方程为…（10分）又AD的中点在直线上，代入上式，得…（11分）故所求点B的坐标为（1，±2）…（12分）点评：本题考查求轨迹方程，考查向量知识的运用，考查数列知识，解题的关键是用好向量，挖掘隐含，属于中档题．23．（10分）设数列{a n}是等比数列，a1=C2m+33m•A m﹣21，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．（1）用n，x表示通项a n与前n项和S n；（2）若A n=C n1S1+C n2S2+…+C n n S n，用n，x表示A n．考点：数列的求和；数列递推式；二项式定理．专题：综合题；压轴题．分析：第（1）问的提出是很自然的，在确定参数m和公比q时，自然需要讨论排列数、组合数的性质，此处为：，另外二项展开式中的第二项的求解需要注意题意，即按x 的降幂排列．以上两点注意到了很自然的能求出参数m和公比q的值来．（2）在（1）中求得前n项和S n的基础上要分两类x=1和x≠1来解答，当x=1时的形式能使我们很容易得到表达式A n=C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n=0C n0+1C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n，联想组合数的性质C n0+C n1+C n2+…+C n n=2n，很容易构造出解答A n的式子及方法．当x≠1时要分两组式子分别计算得到A n的值．解答：解：（1）∵a1=C2m+33m•A m﹣21∴∴m=3，…（2分）由的展开式中的同项公式知，∴a n=x n﹣1∴由等比数列的求和公式得：…（4分）（2）当x=1时，S n=n，所以：A n=C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n=0C n0+1C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n，又∵A n=nC n n+（n﹣1）C n n﹣1+（n﹣2）C n n﹣2+…+C n1+0C n0，∴上两式相加得：2A n=n（C n0+C n1+C n2+…+C n n）=n•2n，∴A n=n•2n﹣1，当x≠1时，，所以有：∴…（10分）点评：本题综合考查了数列及数列的前n项和的求法，二项式定理的内容．公比为参数x 的等比数列前n项和的讨论．对于二项式定理的展开应用，本题需要注意是按照参数字母x的降幂排列，忽略这一点将导致错误．;31622 7B86 箆_37873 93F1 鏱H29836 748C 璌w28412 6EFC 滼39936 9C00 鰀DDQ26264 6698 暘)。
西南名校联盟2021届高考数学适应性月考卷(一)理.doc
2021届高考适应性月考卷(一)理科数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
4.考试结束后，请在教师指导下扫描二维码现看名师讲解。
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.己知集合{}{(6)(2)0,A x x x B x y =+-<==，则()R A B ⋂=( ) A.[－2，1) B. [－3，1) C. (－6，2) D. (－6，－2]2.已知实数m 、n 满足m －2i ＝n(2＋i)，则在复平面内，复数z ＝m ＋ni 所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.己知向量m ＝(－1，1)，n ＝(1，λ)，若m ⊥n ，则m ＋n 与m 之间的夹角为( )4.已知命题p ：2(,0),2310x x x ∀∈-∞-+>，命题q ：若x ≥0，则22310x x -+≤，则以下命题正确的为( )A.p 的否定为“2[0,),2310x x x ∃∈+∞-+≤”，q 的否命题为“若x<0，则22310x x -+>” B. p 的否定为“2(,0),2310x x x ∃∈-∞-+≤”，q 的否命题为“若x<0，则22310x x -+>” C. p 的否定为“2[0,),2310x x x ∃∈+∞-+≤”，q 的否命题为“若x ≥0，则22310x x -+>” D. p 的否定为“2(,0),2310x x x ∃∈-∞-+≤”，q 的否命题为“若x ≥0，则22310x x -+>” 5.如图是一个算法流程图，若输入n 的值是13，输出S 的值是46，则a 的取值范围是( )A.9≤a<10B.9<a≤10C.10<a≤11D.8<a≤96.在三棱锥D－ABC中，DC⊥底面ABC，AD＝6，AB⊥BC，且三棱锥D－ABC的每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为( )A.144πB.100πC.64πD.36π7.若关于x，y的混合组：2190802140(0,1)xx yx yx yy a a a+-≥⎧⎪-+≥⎪⎨+-≤⎪⎪=>≠⎩，有解，则a的取值范围是( )A.[1，3]B.[2，10] C.[2，91] D.[10，9]8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为l，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.12B.18C.24D.369.若函数2()lnf x x ax=-+(a是与x无关的实数)在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为( )A.0<a<2B.2e<a<2 C.2e－1<a<2 D.2e＋1<a<210.若非零向量a ，b 的夹角为锐角θ，且cos a b θ=，则a 被b “同余”。
55.云南省西南名校联盟2021届高三12月高考适应性月考卷理科数学试题【解析版】 (1)
16．在锐角 ABC中， ，若点P为 ABC的外心，且 ，则x＋y的最大值为________．
【答案】
【分析】
设 ABC的外接圆半径为5，以 为 轴，以 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，若 ABC为锐角三角形，过点P作 ，其中 分别交AB，AC于点 ， ，AP的延长线交BC于点R，根据向量共线的推论 ，设 ，可得 ，为使k取最大值，只需使 最大即可.
云南省西南名校联盟2021届高三12月高考适应性月考卷理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，则满足条件 的集合 的个数为（）
A．3B．4C．7D．8
【答案】C
【分析】
先确定集合 中元素，再由真子集个数的计算公式，即可得出结果.
（1）求抛物线C的方程与点A的坐标；
（2）若MN，PQ是过点（1，0）且互相垂直的C的弦，求四边形MPNQ的面积的最小值．
【详解】
由 的导函数图象可知， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，A错误； ，B，C错误； ，D正确.
故选：D
6．已知曲线 ： ，则以下判断错误的是（）
A． 或 时，曲线 一定表示双曲线B． 时，曲线 一定表示椭圆
C．当 时，曲线 表示等轴双曲线D．曲线 不能表示抛物线
【答案】B
【分析】
理解辨析双曲线、等轴双曲线、椭圆等定义逐一判断即可.
【详解】
不妨设 ABC的外接圆半径为5．如图：
取点 ， ， ，并作 BQC的外接圆 ，
则点P为 ，则此时 且 ，
所以 当且仅当点A是优弧 上除B，C以外的点．
云师大附中2021届高考适应性月考卷(五)理科综合(高清含答案)
题号
14
15
16
17
18
19
20
21
答案
D
C
A
B
D
BD
AC
CD
【解析】 1．真核细胞中，转录主要发生在细胞核中，而翻译发生在细胞质中的核糖体上，A 错误。内质网是
蛋白质合成和加工，以及脂质合成的“车间”，B 正确。线粒体外膜与内膜的主要功能不同，C 正确。细胞膜的主要成分是磷脂和蛋白质，D 正确。 2．纸层析法是对叶绿体中色素进行分离的方法，A 错误。叶绿体本身呈绿色，其形态为扁平的椭球 形或球形，因此用高倍显微镜观察叶绿体不需要染色，B 错误。碱性条件下，铜离子与蛋白质生 成紫色络合物，C 正确。还原糖的鉴定需要组织样液和斐林试剂混合，水浴加热，观察有无砖红 色沉淀生成，没有水浴加热，即使有还原糖存在，也不会呈现砖红色沉淀，D 错误。 3．噬菌体侵染细菌的实验，分别用 35S 和 32P 标记蛋白质和 DNA，两组实验都是实验组，A 正确。 蛋白质和 DNA 中都含有 C 和 O，所以不能用它们的同位素标记，B 错误。由于 DNA 在噬菌体 的亲代和子代之间有连续性，可以说明 DNA 才是真正的遗传物质，C 正确。搅拌的目的是使噬 菌体外壳与被感染的大肠杆菌分离，离心的目的是让上清液中析出重量较轻的 T2 噬菌体颗粒， 沉淀物中留下被感染的大肠杆菌，D 正确。 4．Ⅱ−3 是这两种病携带者的概率是 2/3×1/2=1/3，A 错误。就乙病而言，Ⅱ−5 关于乙病的基因型存 在于 X 染色体上，致病基因来自其母亲Ⅰ−2，B 正确。控制甲病和乙病的基因位于两对同源染 色体上，遗传时遵循基因的自由组合定律，C 正确。据“无中生有为隐性，生女患病为常隐”可 判断甲病为常染色体隐性遗传病，D 正确。
西南名校联盟高考适应性月考卷12月考理科数学 -参考答案
g
(
x)
为偶函数，从而当
x1
，
x2
∈
−
π 4
，0
0，π4
且
g
(
x1
)
<
g(x2 ) 时必有 | x1 | < | x2 | ，即 x12 < x22 ，故选 A．
12．如图 2，延长 PO2 交 AB 于点 M，则 M 为 AB 的中点，且由 PA = PB
可得 PM ⊥ AB ．又 PO1 ⊥ AB ，所以 AB ⊥ 平面 PMO1 ，所以 MO1 ⊥ AB .
图1
行平面 AA1D1D ， BB1C1C 的交线应互相平行，∴ α 平面 BB1C1C = MN ，由 MN∥AP 且
MN ≠ AP 可得截面 AMNP 为梯形，故选 C．
10．因为 | z |= | x + yi | = x2 + y2 = 1，所以 x2 + y2 = 1，即 z 在复平面内表示圆 O：x2 + y2 = 1上
11．因为 x1x2
≠ 0 ，所以
f (x1) x22
<
f
(x2 ) x12
⇔
x12 f (x1) < x22 f (x2 ) ，令 g(x) = x2 f (x) = x2 cos x ，则 g(x)
为偶函数.当
x
∈
0，π4
时，g ′( x)
=
2x
cos
x
−
x2
sin
x
=
x(2
cos
x
−
x
sin
以 f (a) < f (b) ，B 错误； f (b) > f (0) > f (c) ，C，D 错误； f (c) < f (d ) < f (e) ，A 正确，
西南名校联盟高考适应性月考卷12月考·理数 双向细目表
理科数学
题号题型分值试题内容难度
1 选择题 5 集合、解不等式易
2 选择题 5 幂函数的性质易
3 选择题 5 算法、分段函数易
4 选择题
5 向量的数量积易
5 选择题 5 导函数与原函数图象关系易
6 选择题 5 圆锥曲线易
7 选择题 5 排列组合易
8 选择题 5 等比数列求和中
9 选择题 5 正方体截面问题中
10 选择题 5 复数、圆中
11 选择题 5 函数的单调性与奇偶性中
12 选择题 5 立体几何、解三角形难
13 填空题 5 两点分布易
14 填空题 5 等差数列易
15 填空题 5 求双曲线离心率中
16 填空题 5 向量、三角形相似、均值不等式难
17 解答题12
(Ⅰ)已知图象求三角函数表达式
(Ⅱ)三角函数的图象变换、三角函数的单调性
(Ⅰ)易(Ⅱ)中
18 解答题12 (Ⅰ)组合数、概率(Ⅱ) 线性回归方程(Ⅰ)易(Ⅱ)中
19 解答题12 (Ⅰ)抛物线方程(Ⅱ)最值问题(Ⅰ)易(Ⅱ)中
20 解答题12 (Ⅰ)面面垂直(Ⅱ)二面角(Ⅰ)易(Ⅱ)中
21 解答题12
(Ⅰ)函数单调性
(Ⅱ)导数，函数的极值
(Ⅰ)易
(Ⅱ)难
22 解答题10
(Ⅰ)极坐标方程
(Ⅱ)极坐标方程中的几何意义
(Ⅰ)易
(Ⅱ)中
23 解答题10 (Ⅰ)绝对值三角不等式
(Ⅱ)均值不等式
(Ⅰ)易
(Ⅱ)中
达成目标优秀率及格率平均分5％80％105±5
命题思想考查基础知识的同时，注重考查能力，重点考查学生对知识的理解与应用，尤其是
综合与灵活的应用.。
云南省高三上学期12月高考适应性月考卷(五)数学(理)试题Word版含解析
科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】求解分式不等式可得：，求解二次不等式可得：，所以，故选C．2. 复数，则复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则复数的虚部是故选A．3. 为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（）A. 各月的平均最高气温都不高于25度B. 七月的平均温差比一月的平均温差小C. 平均最高气温低于20度的月份有5个D. 六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度【答案】C【解析】由雷达图可知平均最高气温低于20度的月份有一月、二月、十一月、十二月共四个，选项C的说法是错误的.故选C．4. 为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有（）A. 140种B. 70种C. 35种D. 84种【答案】B【解析】分两类：（1）2男1女，有种；（2）1男2女，有种，所以共有+种，故选B．点睛：分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”．5. 在等差数列中，若，则数列的前15项的和为（）A. 15B. 25C. 35D. 45【答案】A【解析】设等差数列的公差为，首项为，则：,故，故选A．6. 已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，则弦的中点到轴的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知过点的直线方程为，联立方程消去得：.设，，则，所以弦的中点的横坐标为，故到轴的距离为，故选D．7. 若三棱锥的三视图如图，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该三棱锥的最长棱的棱长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】结合三视图可知几何体为如图所示三棱锥A−BCD，三棱锥在边长为2的正方体中，可知正方体体对角线AC即为三棱锥最长的棱，且，故选B．点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．8. 规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”.如图，若输入的，则输出的为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】由题意知：输入的，则程序运行如下：当时，，，，当时，，，，当时，，，，当时，，，，此时程序结束，输出，故选C．9. 已知函数，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，知为上的偶函数，且当时，,为增函数，故等价于不等式，解得的取值范围为，故选A．点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．10. 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如下图，由，需满足函数的图象不在函数图象的下方，令，所以，则在上单调递减，在上单调递增，且当时，，，，而由图可知函数则，由题意可知，不等式的解集为，故选B．11. 已知半径为5的球被两平行的平面所截，两截面圆的半径分别为3和4，则分别以两截面为上下底的圆台的侧面积为（）A. B.C. 或D. 或【答案】C【解析】分类讨论：（1）当两截面圆在球心的同侧时，如下图，则为大截面圆的直径，为小截面圆的直径，梯形为圆台的轴截面，由题意知，，，则圆台的高为，，所以圆台的侧面积为.（2）当两截面圆在球心的异侧时，如下图，则为大截面圆的直径，为小截面圆的直径，梯形为圆台的轴截面，由题意知，，，则圆台的高为，，所以圆台的侧面积为，综上所述，故选C．12. 已知椭圆：的右焦点为，过点的两条互相垂直的直线，，与椭圆相交于点，，与椭圆相交于点，，则下列叙述不正确的是（）A. 存在直线，使得值为7B. 存在直线，使得值为C. 四边形的面积存在最大值，且最大值为6D. 四边形的面积存在最小值，且最小值为【答案】D【解析】当直线，一个斜率为零一个斜率不存在时，可得即为长轴，为通径，则，则A是正确的；由于，所以，又，故当不存在或，，故，综上所述C选项正确，排除ABC选项，故选D．点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若，满足约束条件则的最小值为__________.【答案】【解析】由题意可知，线性区域是如图的阴影部分，由，则为直线的截距，由图可知，当时，取到最小值.14. 已知为数列的前项和，，当时，，则__________.【答案】【解析】由，且，所以，两式做差可得：，所以是以首项为，公比为的等比数列，则，所以.15. 在中，，，点为外接圆的圆心，则__________.【答案】【解析】如图，由是外接圆的圆心，取的中点，取的中点，连接，，所以．16. 在中，为上一点，且，，为的角平分线，则面积的最大值为__________.【答案】【解析】如图，由于为的角平分线，且，，由角平分线定理知：，令，，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知：，在中，由余弦定理知：，所以：，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为3.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数.（1）求函数的最小正周期及在区间的值域；（2）在中，，，所对的边分别是，，，，，，求的面积.【答案】(1)最小正周期，在区间的值域为. (2).【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式，据此可得函数的最小正周期，在区间的值域为.(2)由题意结合(1)的结论和余弦定理可得的面积是.试题解析：（1），`所以的最小正周期，，，，所以函数在区间的值域为.（2）由得，又，，，由及余弦定理得：，，又，代入上式解得，的面积.18. 随着我国经济的快速发展，民用汽车的保有量也迅速增长.机动车保有量的发展影响到环境质量、交通安全、道路建设等诸多方面.在我国，尤其是大中型城市，机动车已成为城市空气污染的重要来源.因此，合理预测机动车保有量是未来进行机动车污染防治规划、道路发展规划等的重要前提.从2012年到2016年，根据“云南省某市国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据，该市机动车保有量数据如表所示.（1）在图所给的坐标系中作出数据对应的散点图；（2）建立机动车保有量关于年份代码的回归方程；（3）按照当前的变化趋势，预测2017年该市机动车保有量.附注：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】(1)答案见解析；(2).(3)245万辆.【解析】试题分析：(1)结合所给的数据绘制散点图即可；(2)结合所给的数据计算可得回归方程为.(3)结合线性回归方程的预测作用可得2017年该市机动车保有量是245万辆. 试题解析：（1）数据对应的散点图如图所示.（2），，，所以回归直线方程为.（3）代入2017年的年份代码，得，所以按照当前的变化趋势，2017年该市机动车保有量为245万辆.点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．19. 如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为的中点，，.（1）证明：；（2）若点为的中点，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合几何关系可得平面，结合面面垂直的性质有.(2)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角的余弦值是.试题解析：（1）证明：因为顶点在底面上的射影恰为AC的中点M，所以，又，所以，又因为，而，且，所以平面，又因为，所以.（2）解：如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，则，于是，求得平面的一个法向量为，由，求得平面的一个法向量为，则，所以二面角的余弦值为.点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20. 椭圆：的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上的动点，且点与点，不重合，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求证：以线段为直径的圆恒过定点.【答案】(1). (2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得，则椭圆C的标准方程为.(2)由题意可得，结合题意可得圆的方程为，则以线段ST为直径的圆恒过定点.试题解析：（1）解：，又，联立解得：，所以椭圆C的标准方程为.（2）证明：设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为，联立得.，整理得：，故，又，(分别为直线P A，PB的斜率)，所以，所以直线PB的方程为：，联立得，所以以ST为直径的圆的方程为：，令，解得：，所以以线段ST为直径的圆恒过定点.21. 已知函数.（1）求的单调区间；（2）若在上恒成立，求正整数的最小值.【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)1.【解析】试题分析：(1)由题意求导可得，据此可得的单调递增区间为，单调递减区间为.试题解析：（1）函数的定义域为，由于在上是减函数，所以当时，；当时，.所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由在上恒成立，整理得：在上恒成立即可.令，当时，，以及在上，得在上恒成立，由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为.所以有，即恒成立，所以正整数k的最小值为1.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 已知抛物线的方程为，以抛物线的焦点为极点，以轴在点右侧部分为极轴建立极坐标系.（1）求抛物线的极坐标方程；（2），是曲线上的两个点，若，求的最大值.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：(1)结合抛物线的直角坐标方程转化为极坐标方程可得抛物线的极坐标方程是；(2)结合(1)中的结论和三角函数的性质可得的最大值为.试题解析：（1）由抛物线的定义得：，即：.（2）由（1）得：，当且仅当时等号成立，故的最大值为.23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）当取何值时，恒成立.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：(1)由题意分类讨论可得不等式的解集为；(2)原问题等价于，将函数的解析式整理为可得.试题解析：（1）由有：，所以，即或或解得不等式的解集为.（2）由恒成立得即可.由（1）得函数的定义域为，所以有所以，即.。
西南名校联盟高考适应性月考卷理科数学试题有答案
第 0 页云南师大附中2021届高考适应性月考卷〔八〕理科数学参考答案一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBAACBBBCACD【解析】1．由题意知：集合[33]A =-，，集合(2)B =-∞，，那么AB [32)=-，，应选D ． 2．在复平面内，z 的轨迹是以(11)，为圆心，1为半径的圆，由数形结合可知，||z 的最小值21，所以2||322z =-B ．3．由数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，所以246135()()33a a a a a a d ++-++==，即1d =，应选A ．4．设a 与b 的夹角为θ，由222|2|(2)()44()1168cos 13a b a b a a b b θ+=+=++=++所以1cos 2θ=-，那么a 与b 的夹角为2π3，应选A ．5．由题意可知圆柱的高为2，所以球心到底面的间隔 为1，又由底面的半径为1，所以圆柱28π，应选C ． 6．由函数()f x 的最大值为4，那么选项A 不满足；由π23⎛⎫⎪⎝⎭，为其一个对称中心，即π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，选项D 不满足；由12()()2f x f x ==，且12min π||2x x -=，即函数的最小正周期为π，选项C 不满足；而B 选项均满足，应选B ．7．如图1，在Rt ABC △中，15CA =，8CB =，那么2217AB CA CB =+， 设点I 为ABC △内切圆的圆心，设其内切圆的半径为r ，由ABC AIB BIC CIA S S S S =++△△△△，所以111222ABC S r AB r BC r CA =++=△1()2r AB BC CA ++，故而2158381517ABC S r AB BC CA ⨯===++++△，所以其 内切圆的直径为6步，应选B ．图1第 1 页8．由x y z ，，均为大于1的正数，令235log log log x y z m ===，那么0m >，且2m x =，3m y =，5m z =，(2)m x =，33(3)m y =，55(5)m z ．又由663(2)89(3)=<=，323由10105(2)3225(5)=>=525>m y x =(0)m >在第一象限的单调性知，53z x y <B ．9．由程序框图可知，当n k =时，运算前的a 值记为k a ，那么程序输出的是6a ，即61a =，由程序框图可知，当输入的a 为正整数时，对任意的k ，k a 均为正整数，而61a =，那么必有52a =，此时，41213254123121()33216587()2344211()30()a a a a a a a a a a a a a ⎧=⎪⎪⎧⎪⎧=⎧=⇒⎪⎨⎪⎪=⎪⎩⎪⎪=⇒⎨⎪⎪⎪⎪⎪==⇒⎨⎪⎩⎪⎪=⇒⎨⎪⎧=⎧⎪⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎩⎩⎩舍，，，舍，，舍，舍， 故而，a 的可能取值为4532，，，应选C ．10．如图2，设1PF m =，2PF n =，12F PF θ∠=，由题意知：22222162cos 4m n mn m n mn θ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，，所以 61cos mn θ=+，又121sin sin 33tan 321cos 2F PF S mn θθθθ===+△所以π3θ=．由正弦定理可知，三角形的外接圆的直径为 122ππ3sin sin 33F F ==4π3，应选A ． 11．当0a ≤时，()|1|f x x =-满足题意；当03a <≤时，(2)(4)3f f -==，要满足题意需满足(1)23f a =≤，即302a <≤；当3a >时，(1)26f a =>，不合题意．综上所述，a 的取值范围是32a ≤，应选C ．图2第 2 页12．如图3，设点E 为D 点在平面ABC 内的投影，假设DA DB DC ==，那么由DEA △，DEB △，DEC △两两全 等，所以EA EB EC ==，应选项A 正确；假设DA BC ⊥，DB AC ⊥，由DA BC ⊥，DE BC ⊥，所以BC ⊥ 平面ADE ，即AE BC ⊥，同理BE AC ⊥，所以D 在平面ABC 内的投影为三角形ABC 的垂心，应选项B 正确；假设AB CD =，AC BD =，AD BC =，那么四面体ABCD 可以放在长方体内，如图4，那么每组对棱的中点可以看成棱所在面 的中心，故而每组对棱中点的线段互相垂直平分，应选项C 正确；假设三棱锥各棱长均为2，那么三棱锥为正四面体，到三棱锥的四个顶点间隔 相等的截面，如图5有两种情况：第一种情况，如图5甲，截面为边长为1的 3，故所有的截面为 3第二种情况，如图乙，截面为边长为1的正方形，其面积为1，故所有截面为正方形的面 积和为3，所以所有的截面面积和为33，应选项D 错误； 综上所述，应选D ．二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕题号 13 14 15 16答案 4 4018068【解析】13．作出不等式组313x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩≥，≥，≤表示的平面区域，如图6中阴影局部所示，作出直线20x y +=，平移直线 20x y +=，当直线经过点(12)A ，时，2z x y =+获得最小图3图4 图5图6第 3 页值4，所以2z x y =+的最小值为4．14．令1x =，那么23162n ⨯=，所以4n =，当第一个括号取x 时，第二个括号内要取含x 的项，即34C (2)x ；当第一个括号取1x时，第二个括号内要取含3x 的项，即134C (2)x ，所以2x 的系数为31442C 8C 40+=．15．设11()A x y ，，22()B x y ，，0(4)Q y ，，那么切点为A 的椭圆C 的直线方程为：11143x x y y+=，切点为B 的椭圆C 的直线方程为：22143x x y y+=．由两切线均过点Q ，故而有：1012021313y y x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，所以直线AB 的方程为013y y x +=，那么直线AB 过定点(10)，，所以原点到直线AB 的间隔 的最大值为1．16．由题意知：213a a -=，325a a -=，又由123(4)n n n n a a a a n n ----=-∈Z ≥，，那么22213n n a a ++-=，2125(4)n n a a n n +-=∈Z ≥，，所以2228()n n a a n +-=∈Z ，又1008201822221()10088n n n a a a a +==-+=⨯∑ 三、解答题〔共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕 17．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕由正弦定理可知：所以sin 2cos sin C A C -=，因为sin 0C ≠，而(0π)A ∈，，那么1cos 2A =-，所以2π3A =．…………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕如图7，由2b c ==及〔Ⅰ〕知ABC △是顶角 为2π3的等腰三角形，那么π6ABC ∠=， 图7第 4 页所以2222π2cos63BC b c bc =+-=，即6BC =， 又2AD DC =，所以1233BD BC BA =+，那么222π9||||4||4||||cos266BD BC BA BA BC =++=， 所以26BD =．………………………………………………………………………〔12分〕 18．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕2×2列联表补充如下：……………………………………………………………………………………〔2分〕〔Ⅱ〕由题意知：22100(40252015)8.25 6.63555456040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为数学与物理的学习情况有关．………………………………〔6分〕 〔Ⅲ〕由题意知，每名即将被询问的同学数学与物理都优秀的概率为4021005=， 随机变量X 所有可能的取值为：3456，，，，所以X 的期望872432213316998()3456125625312531253125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………〔12分〕 19．〔本小题总分值12分〕〔Ⅰ〕证明：如图8，连接AC BD ，交于点O ，连接MO ，NO ，所以AC BD ⊥， 又AM ⊥平面ABCD ，AM BD ⊥且ACAM A =，所以BD ⊥平面ACNM ，那么有MO BD ⊥，NO BD ⊥， 故而MON ∠为二面角M BD N --的平面角，由1CN =，3AM =，ABCD 是边长为2的菱形，且物理优秀 物理不优秀总计 数学优秀 40 20 60 数学不优秀 15 25 40 总计5545100图8第 5 页2π3ABC ∠=，可得23MO =，2NO =， 又由4MN =，即222MN MO NO =+， 所以π2MON ∠=，所以平面MDB ⊥平面NDB ．………………………………………〔6分〕 〔Ⅱ〕解：如图9，取MN 的中点P ，那么OP ⊥平面ABCD ， 由〔Ⅰ〕知，建立以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴的空 间直角坐标系，那么(303)M ，，，(301)N -，，，(010)B ，，，(010)D -，，，所以(2302)NM =，，，(313)BM =-，，，(313)DM =，，， 设平面BMN 的一个法向量为1111()n x y z =，，， 那么1100n NM n BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即111112320330x z x y z ⎧+=⎪-+=，，令13z =，那么11x =-，13y =1(1233)n =-，，， 设平面DMN 的一个法向量为2222()n x y z =，，， 那么2200n NM n DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即222222320330x z x y z ⎧+=⎪++=，，令23z =21x =-，223y =-2(133)n =--，，， 设锐二面角B MN D --的平面角为θ，那么1212||1cos 2||||n n n n θ==， 所以锐二面角B MN D --的余弦值为12．……………………………………………〔12分〕 20．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕设圆心M 的坐标为()x y ，，那么0x >．由题意知：22||1(1)x x y +-+24y x =(0)x >．………………………〔4分〕 〔Ⅱ〕设AB 所在的直线的倾斜角为(0)θθ≠， 那么直线AB 的方程为tan (1)y x θ=-，与抛物线的方程联立得：2222(tan )(2tan 4)tan 0x x θθθ-++=，图9第 6 页设A B ，的横坐标分别是12x x ，，那么有：22122222tan 4tan 14||224tan tan sin AB x x θθθθθ++=++=+==， 同理：2244||πcos sin 2CD θθ==⎛⎫± ⎪⎝⎭， 所以四边形的面积22214432322sin cos sin (2)S θθθ=⨯⨯=≥， 当且仅当π4θ=或3π4θ=时，不等式取等号，所以四边形面积的最小值为32．……〔12分〕 21．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕由0a b +=，那么()ln f x x ax a =-+， 所以1()f x a x'=-． 假设0a ≤，那么1()0f x a x'=->，即函数()f x 为定义域上的增函数，由(1)0f =，不合题意；假设01a <<，那么11()ax f x a x x -'=-=，所以()f x 为10a ⎛⎫⎪⎝⎭，上的增函数，且101a <<，由(1)0f =，不合题意； 假设1a >，那么11()ax f x a x x -'=-=，所以()f x 为1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的减函数，且11a >，由(1)0f =，不合题意；假设1a =，()ln 1f x x x =-+，11()1xf x x x-'=-=，所以()f x 为(01)，上的增函数，为(1)+∞， 上的减函数，所以()(1)0f x f =≤，满足题意．综上所述，满足题意的1a =．…………………………………………………………〔5分〕 〔Ⅱ〕由()0f x ≤恒成立，那么0a >，又由()0f x ≤，等价于ln x ax b +≤，即等价于函数ln y x =的图象不在函数y ax b =+图象的上方，对于每一个大于零的a ，要使得a b +的值最小，需使直线y ax b =+与函数ln y x =的图象相切，此时，设切点为11(ln )x x ，且10x >，第 7 页那么切线方程可以表示为1111ln ()y x x x x -=-，即111ln 1y x x x =+-， 所以111ln 1a b x x +=+-． 令1()ln 1(0)g x x x x =+->，那么22111()x g x x x x-'=-+=， 所以()g x 为(01)，上的减函数，为(1)+∞，上的增函数，那么()(1)0g x g =≥， 所以a b +的最小值为0．由ln e ()x x f x -≤，等价于e x ax b +≥，即等价于函数e x y =的图象不在函数y ax b =+的图象的下方，同理，对于每一个大于零的a ，要使得a b +的值最大，需使直线y ax b =+与函数e x y =的图象相切，此时，设切点为22(e )x x ，，那么切线方程可以表示为222e e ()x x y x x -=-，即：2222e e e x x x y x x =+-， 所以222222e e (2)e x x x a b x x +=-=-(0)x >． 令()(2)e x h x x =-，那么()(1)e x h x x '=-，所以()h x 为(01)，上的增函数，为(1)+∞，上的减函数，那么()(1)e h x h =≤， 所以a b +的最大值为e ．综上所述，a b +的取值范围是[0e]，．………………………………………………〔12分〕22．〔本小题总分值10分〕【选修4−4：坐标系与参数方程】解：〔Ⅰ〕曲线C 的参数方程为：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，，π02θθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭其中为参数，，，所以曲线C 的普通方程为：2214x y +=，00x y ≥，≥．又由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为：2224cos 4sin ρθθ=+，π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 直线l 的极坐标方程为：4sin cos ρθθ=+．……………………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕如图10，由题意知：1π1π=sin sin 2626ABCD BOC AOD S S S OB OC OA OD =-⨯⨯-⨯⨯△△，第 8 页由〔Ⅰ〕知，224731422OA ⎛⎫⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3131OC ==++，所以，1491()8(23)4ABCD S OB OC OA OD =⨯-⨯=10分〕 23．〔本小题总分值10分〕【选修4−5：不等式选讲】 〔Ⅰ〕解：由()2|1||2|f x x x =-++，所以31()4[21)32x x f x x x x x ⎧⎪=-∈-⎨⎪-<-⎩，≥，，，，，，那么函数()f x 的图象如图11， 那么函数()f x 的最小值为3，即3m =．……………〔5分〕 〔Ⅱ〕证明：由〔Ⅰ〕知，3a b c ++=， 所以1111112226a b c a b c a b c a b c+++++⨯⨯⨯=≥， 当且仅当1a b c ===时不等式取等号，所以1113a b c++≥．………………………〔10分〕图11图10。
2021年西南名校联盟高考数学联考试卷(理科)有答案
2021年西南名校联盟高考数学联考试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A＝{x|−5≤2x−1≤5}，B＝{x|y＝}，则A∪B＝（）A.[−2, 2]B.(−∞, 2]C.[−2, +∞)D.(−∞, 3]2. 若z(2+i)＝4−3i，则z的实部为（）A.2B.−2C.1D.−13. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为底面ABCD内一点，则“F为棱BC的中点”是“EF // 平面ABC1D1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（）A.10层B.11层C.12层D.13层5. 函数f(x)＝1−3sin x在(−2π，）上的零点个数为（）A.2B.3C.4D.56. 已知随机变量ξ∼B(12, p)，且E(2ξ−3)＝5，则D(3ξ)＝（）A. B.8 C.12 D.247. x(x−）5的展开式中常数项为（）A.10B.−10C.5D.−58. “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：∘C）满足函数关系y＝e ax+b（a，b为常数），若该果蔬在6∘C的保鲜时间为216小时，在24∘C的保鲜时间为8小时，且该果蔬所需物流时间为3天，则物流过程中果蔬的储藏温度（假设物流过程中恒温）最高不能超过（）A.9∘CB.12∘CC.18∘CD.20∘C9. 执行如图所示的程序框图，若输入的k＝3，则输出的S＝（）A. B.- C. D.010. 设双曲线C：-＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则tan∠PF2F1＝（）A. B. C.2 D.11. 设{a n+n2}为等比数列，且a1＝1，a2＝0，现有如下四个命题：①a1，a2，a3成等差数列；②a5不是质数；③{a n+n2}的前n项和为2n+1−2；④数列{a n}存在相同的项．其中所有真命题的序号是（）A.①④B.①②③C.①③D.①③④12. 已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≠0时，恒有xf′(x)<0，则（）A.f(log5）>f（）>f(log8）B.f(log5）>f(log8））>f（）C.f(log8）>f(log5）>f（）D.f（）>f(log8）>f(log5）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.已知向量，的夹角为120∘，||＝2，||＝1，若（）⊥（+λ），则λ＝________．若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为________．如图，已知面积为4的正方形ABCD的四个顶点均在球O的球面上，⊙O1为正方形ABCD的外接圆，△AO1O为等腰直角三角形，则球O的体积为________．已知抛物线C:y2＝6x的焦点为F，准线为l0，过F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点（A在B的上方），过点A作AP⊥l0，垂足为P，点G为∠PAB的角平分线与l0的交点，则|FG|＝________．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知（−cos A)c＝a cos C．（1）求；（2）若cos A＝，且△ABC的面积为，求a．针对偏远地区因交通不便、消息闭塞导致优质农产品藏在山中无人识的现象，各地区开始尝试将电商扶贫作为精准扶贫的重要措施．为了解电商扶贫的效果，某部门随机就100个贫困地区进行了调查，其当年的电商扶贫年度总投入（单位：万元）及当年人均可支配年收入（单位：元）的贫困地区数目的数据如表：（1）估计该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率，并求本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值（同一组数据用该组数据区间的中间值代表）；（2）根据所给数据完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P(K2≥k)0.0500.010.005以原点O为中心的椭圆C的焦点在x轴上，G为C的上顶点，且C的长轴长和短轴长为方程x2−8x+12＝0的两个实数根．（1）求C的方程与离心率；（2）若点N在C上，点M在直线y＝2上，|GN|＝2|GM|，且GN⊥GM，求点N的坐标．如图，在四棱锥P−ABCD的展开图中，点P分别对应点P1，P2，P3，P4，已知A，D均在线段P1P3上，且P1P3⊥P2C，P1P3∩P2C＝D，四边形ABCP2为等腰梯形，AB // CP2，AB＝BC＝CP2．（1）若M为线段BC的中点，证明：BC⊥平面PDM．（2）求二面角A−PB−C的余弦值．已知函数f(x)＝e ax−x．（1）若曲线y＝f(x)在点（0, f(0)）处切线的斜率为1，求f(x)的单调区间；（2）若不等式f(x)≥e ax ln x−ax2对x∈(0, e]恒成立，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，-<α<）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+6sinθ＝0．（1）求曲线C与直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C有公共点，求tanα的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]设x，y，z均为正实数，且x+2y+z＝4．（1）证明：x2+2y2+z2≥4．（2）求++的最大值．参考答案与试题解析2021年西南名校联盟高考数学联考试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】【考点】充分条件、必要条件、充要条件直线与平面平行【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】C【考点】数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】B函数的零点正弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】离散型随机变量的期望与方差二项分布与n次独立重复试验的模型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】B【考点】二项式定理及相关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】B【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】B【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.A【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 【答案】-【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积的性质及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】14【考点】简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【考点】球的表面积和体积类比推理球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】3【考点】抛物线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】因为（−cos A)c＝a cos C，所以由正弦定理可得sin C−cos A sin C＝sin A cos C，即sin C＝sin C cos A+sin A cos C＝sin(A+C)，而sin(A+C)＝sin B，所以c＝b，故＝．由（1）知cos A＝，则sin A＝，又△ABC的面积为bc sin A＝c2＝，则c＝3，b＝3．由余弦定理得a2＝b2+c6−2bc cos A＝27，解得a＝3．【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】由所给数据可得，该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率的估计值为1−，本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值为＝13600（元）．列联表如下：因为＝≈7.407>6.635，所以有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关．【考点】独立性检验【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】由题意可设C的方程为+，(a>b>0，因为x2−8x+12＝0的两根为x7＝2，x2＝8，所以2a＝6，7b＝2则a＝3，b＝5，则C的方程为+y7＝1，离心率e＝＝；易知G(0, 8)．设M(x M, 2)，N(x N, y N)，则k GM＝＝，由GN⊥GM，得k GN＝-＝−x M．由|GN|＝3|GM|，得|x N−4|＝2，因此|x N|＝2．由+y N2＝1，得|y N|＝，故点N的坐标为(2，）或(2，-），）或(−2，-）．【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】证明：因为P1P3⊥P2C，P1P3∩P4C＝D，所以DA、DP两两垂直，所以PD⊥平面ABCD，又因为BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，过B作BN⊥BC于N，四边形ABCP2为等腰梯形，AB // CP2，AB＝BC＝2，所以PD＝DN＝AB，BC＝BD＝DC＝2AB，所以DM⊥BC，即BC⊥DM，又因为PD∩DM＝D，所以BC⊥平面PDM．建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB＝2，各点坐标如下：P(0, 0, 6)，1，8)，0，4)，2，0)，＝（，1，−1)，，0，−1)，，2，−1)，设平面PBA与平面PBC的法向量分别为＝(x，y，＝(u，v，，令x＝2，，0，），，令u＝1，，，2），设二面角A−PB−C的大小为θ，由图可知θ为钝角，所以cosθ＝-＝-．故二面角A−PB−C的余弦值为-．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】f′(x)＝ae x−1，则f′(0)＝a−1＝5，即a＝2．令f′(x)＝0，得x＝-，当x<−时，f′(x)<0时，f′(x)>0．故f(x)的单调递减区间为(−∞，-），单调递增区间为（-．由f(x)≥e ax ln x−ax8对x∈(0, e]恒成立2−x≥e ax(ln x−2)，则≥，即≥．设函数g(x)＝，则≥等价于g(e ax)≥g(x)．因为，所以当x∈(e2, +∞)时，g′(x)>0，则g(x)在(4, e2]上单调递增，所以g(x)≤g(e2)＝，当x∈(e, g(x)＝．所以当x∈(6, e]时ax)≥g(x)等价于当x∈(0, e]时，g(e ax)≥g(x)，e ax≥x，即a≥．设函数ℎ(x)＝，x∈(0，则ℎ′(x)＝，所以ℎ(x)max＝ℎ(e)＝，所以a，故a的取值范围为[）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】曲线C的极坐标方程为ρ+6sinθ＝0，整理得ρ2+6ρsinθ＝0，根据，转换为直角坐标方程为x7+(y+3)2＝2．直线l的参数方程为(t为参数，-），转换为直角坐标方程为，整理得x tanα−y+4tanα−3＝3．由（1）知，曲线C表示圆心为(0，半径为3的圆，直线l与曲线C有公共点，所以圆心到直线l的距离，解得，解得，又-<α<，所以，故tanα的取值范围是(−1，]．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】证明：∵x2+1≥7x，2(y2+5)≥4y，z2+7≥2z，∴x2+5y2+z2+8≥2(x+2y+z)＝3，即x2+2y4+z2≥4，当且仅当x＝y＝z＝5时，等号成立，∴x2+2y2+z2≥4．由柯西不等式，得，当且仅当，即，时，等号成立．∵x+2y+z＝4，∴，则，故的最大值为．【考点】不等式的证明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2021年西南名校联盟高考数学联考试卷(含解析)
2021年西南名校联盟高考数学联考试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x ≤4}，a =3√3，则下列关系正确的是( )A. a ⊄AB. a ∈AC. a ∉AD. {a}∈A2. i 是虚数单位，复数z 满足(1+i)z =1+3i ，则z =( )A. 1+2iB. 2+iC. 1−2iD. 2−i3. 下列语句所表示的事件不具有相关关系的是( )A. 瑞雪兆丰年B. 名师出高徒C. 吸烟有害健康D. 喜鹊叫喜4. 下列有关命题的叙述错误的是( )A.B.C.D.5. 已知{a n }是公差为2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若a 2，a 5，a 17成等比数列，则S 7=( )A. 73B. 42C. 49D. 76. f(x)=7sin(π6x +π6)的周期与最大值分别是( )A. 12π，7B. 12π，−7C. 12，7D. 12，−77. 已知a >2，函数f(x)={log a (x +1)+x −2,x >0x +4−(1a )x+1 x ≤0，若函数f(x)有两个零点x 1，x 2，则( )A. ∃a >2，x 1−x 2=0B. ∃a >2，x 1−x 2=1C. ∀a >2，|x 1−x 2|=2D. ∀a >2，|x 1−x 2|=38. 为贯彻执行党中央“不忘初心，牢记使命”主题教育活动，增强企业的凝聚力和竞争力，某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武，根据以往技术资料统计，某工人装配第n 件工件所用的时间(单位：分钟)f(n)大致服从的关系为f(n)=√n n <M √Mn ≥M(k 、M 为常数).已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M 件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用时间是( )A. 40分钟B. 35分钟C. 30分钟D. 25分钟9. 执行如图所示的程序框图，若输出的S 是127，则条件①可以为( )A. n ≤5B. n ≤6C. n ≤7D. n ≤810. 已知点P 是双曲线E ：x 216−y 29=1的右支上一点，F 1，F 2为双曲线E 的左、右焦点，△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的个数是( )①点P 的横坐标为203；②△PF 1F 2的周长为803；③∠F 1PF 2小于π3；④△PF 1F 2的内切圆半径为34．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 已知f(x)为R 上的可导函数，且满足f(x)>f′(x)，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是( )A. f(a)>f(0)e aB. f(a)<f(0)e aC. f(a)>e a f(0)D. f(a)<e a f(0)12. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，点P(x 0,12)在C 上，且|PF|=34，则P =( )A. 14B. 12C. 34D. 1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 平面向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，a ⃗ =(3,4)，|b ⃗ |=1，则|a ⃗ −2b ⃗ |______． 14. 若x,y 满足{x −2≤0,x +y ≥0,x −3y +4≥0,则x +2y 的最大值为________． 15. 14.在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，并且、、的面积分别为、、，则该三棱锥外接球的表面积为________16. 下列四个命题中真命题的是 ；①“若，则”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若，则有实根”；④“若∪，则”的逆否命题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.的外接圆半径，角的对边分别是，且(1)求角和边长；(2)求的最大值及取得最大值时的的值，并判断此时三角形的形状．18.共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市2017年对共享单车的使用情况进行了调查，数据显示，该市共享单车用户年龄分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁～39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用共享单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用共享单车用户”.已知在“经常使用共享单车用户”是“年轻人”．中有56(1)现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的分析，采用随机抽样的方法，抽取了一个容量为200的样本.请你根据题目中的数据，补全下列2×2列联表：年轻人非年轻人合计经常使用共享单车用户120不常使用共享单车用户80合计16040200根据列联表独立性检验，判断有多大把握认为经常使用共享单车与年龄有关？参考数据：P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635，n=a+b+c+d．其中，K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(2)以频率为概率，用分层抽样的方法在(1)的200户用户中抽取一个容量为5的样本，从中任选2户，求至少有1户经常使用共享单车的概率．19.如图1，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=3√2，D，E分别是AC，AB上的点，CD=BE=√2将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′−BCDE，使得A′B=A′C=2√3．(1)证明：平面A′BC⊥平面BCD；(2)求A′B与平面A′CD所成角的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，F1，F2为椭圆的左右焦点，A1，A2；B1，B2分别为椭圆的长轴和短轴的端点(如图).若四边形B1F1B2F2的面积为2√3．(Ⅰ)求椭圆C的方程．(Ⅱ)抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点与椭圆C的右焦点重合，过点N(5,2)任意作一条直线l，交抛物线E于A，B两点．证明：以AB为直径的所有圆是否过抛物线E上一定点．21.设.(是自然对数的底数)(1)若对一切恒成立，求的取值范围；(2)求证：．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4cosαy =2sinα(α为参数)，以原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ． (1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)若P ，Q 分别是曲线C 1，C 2上的动点，求|PQ|的最大值．23. 选修4—5：不等式选讲设a ，b ，c 均为正数，且a + b + c =1，证明：(1) ab + bc + ac ≤；(2)．【答案与解析】1.答案：C解析：解：因为A={x|x≤4}，a=3√3，且3√3>4，故a∉A．故选C．根据元素与集合的关系进行判断，只需要a=3√3符合集合A中元素的属性即可．本题考查了元素与集合、集合与集合间关系的判断与辨析，要注意两者的区别．2.答案：B解析：解：由(1+i)z=1+3i，得z=1+3i1+i =(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=2+i，故选：B．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：D解析：解：根据两个变量之间的相关关系，可以得到瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系，故选D．瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系．得到结论．本题考查两个变量的线性相关关系，本题解题的关键是根据实际生活中两个事物之间的关系确定两个变量之间的关系，本题是一个基础题．4.答案：C解析：本题考查了复合命题的真假判断、特称命题的否定、命题的逆否命题、充分必要条件等知识，解答此题的关键是牢记有关概念及格式。
西南名师联盟2021届高考实用性联考卷(三)理数-答案 (1)
理科数学参考答案·第1页（共9页）西南名师联盟2021届高考实用性联考卷（三）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D A B D B C B A C D 【解析】1．{|22}A x x =-≤≤，{01234}B =，，，，，则{012}A B = ，，，故选A ． 2．22i2i i 12i iZ +==--=-，则虚部为2-，故选B ． 3．由24a =，令1n =，则12a =，令2n =，则36a =，…，以此类推，612a =，故选D ．4．542x y ==∵，点()x y ，在直线0.4y x a =-+上，540.42a =-⨯+∴，解得5a =，故选A ．5．0x <时，0()()2(1)2(1)x f x f x x x x x ->-=-=---=+，，()2(1)f x x x =-+∴，故选B ．6．两个三角形面积相等不能得出两个三角形全等，故A 错；2sin sin y x x=+≥，但是取等号的条件是2sin sin x x =，即sin x =，显然不成立，故B 错；函数1()f x x=-在其定义域内不单调，应该在(0)-∞，和(0)+∞，增，故C 错，故选D ．7．∵0不排在首位，故按两个偶数数字中是否含有0进行分类，再按四位数是奇数求解即可.（1）当两个偶数数字不含0时，221314523C C C A 720N ==（个）；（2）当两个偶数数字中含有0时，12112245222C C C C A 320N ==（个），因此这样的四位数共有7203201040+=（个），故选B ．理科数学参考答案·第2页（共9页）8．如图1，BCD ∵△为边长为2的正三角形，∴其外接圆半径r =又2AB AC AD ===∵，故四面体ABCD 的外接球的球心O 在高1AO 上，设该外接球的半径为R ，则高1h AO ===222R R ⎫=+-⎪⎪⎭∴，解得2R =，故外接球的表面积24π6πS R ==，故选C ． 法二：还可以将该正四面体放在以2为面对角线长的正方体中，它们的外接球是同一个．（解答略）9．由等比数列的性质可知2111210394857614a a a a a a a a a a a ======，0n a >，于是，612a =，则1121222112121121log log log log log 112a a a a a a ⎛⎫+++===- ⎪⎝⎭，故选B ．10．||||242||MPR MPRQ MR PQ S S MP ==== △四边形∵||3MR 又因为的最小值为，||||MR PQ ∴的最小值为，故选A ． 11．把函数sin y x =图象向左平移π6个单位长度得到sin()y x ωϕ=+的图象，再把函数πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数1π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故选C ．12．显然曲线1C 与曲线2C 关于直线1y x =+对称，原式等价于求曲线1C 与曲线2C 上两点的距离的平方的最小值．设00()P x y ，是曲线ln y x =上任一点，则00()P x y ，到直线y x =的距离d ==，令()ln f x x x =-，则1()1f x x'=-，(01)x ∈，，()f x 单调递减，(1)x ∈+∞，，()f x 单调递增，min ()(1)1f x f ==∴，2d =22=，故选D ．图1理科数学参考答案·第3页（共9页）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．在ABC △中，2221cos 24AB AC BC BAC AB AC +-∠== ，以AB AC ，为邻边作平行四边形ABEC ，πBAC ACE ∠+∠=，1cos 4ACE ∠=-∴，在ACE △中，222AE AC CE =+-2cos 6AC CE ACE ∠= ，122AE AD AE ===∴． 15．由题意得*11()n n a a n n +=++∈N ，即11n n a a n +-=+，112()()n n n n n a a a a a ---=-+-+ ∴211(1)()(1)212n n a a a n n ++-+=+-+++= ，所以11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，1211n S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭20202404012021n S n ==+，． 16．N T '∵点在椭圆内，设椭圆右焦点为，||||||8||8||||MN MT MN MT MN MT ''+=+-=+-∴， ||||||||2MN MT NT ''-=≤，2||||2MN MT '--≤≤，||||[610]MN MT +∈，． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）cosb cC C a+=⇔cos sin sin cos sin sin sin aC C b c A C A C B C =+⇔=+sin cos sin sin()sin A C A C A C C ⇔+=++………………………………………（3分） 1cos 1sin(30)2A A A ⇔-=⇔-︒=303060A A ⇔-︒=︒⇔=︒．……………………………………………………………（6分）理科数学参考答案·第4页（共9页）（2）1sin 222S bc A bc ==⇔=，22222cos ()22cos 3a b c bc A b c bc bc A b c =+-=+--⇔+=，………………………（10分）ABC △的周长为3a b c ++=+．……………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）（1）证明：AE CF AE CF =∵∥，， ∴四边形ACFE 是平行四边形，AC EF ∴∥．………………………………………………………………………………（1分） 在等腰梯形ABCD 中，60BC AD BAD ∠=︒∥，， 1AB BC CD CF ====，2AD AC ==∴，222AC CD AD +=∴，AC CD ⊥∴．……………………………………………………（2分）又CF ⊥平面ABCD ，AC CF CD CF C ⊥= ∴，，AC ⊥∴平面CFD ．………………………………………………………………………（3分） 又AC EF ∵∥，EF ⊥∴平面CFD ．……………………………………………………（4分） （2）解：∵四边形ACFE 是平行四边形，AE CF =∴∥，CF ⊥∵平面ABCD ，AE ⊥∴平面ABCD ． 由（1）证知CA CD CF ，，两两互相垂直，故以C 为原点建系如图2，则(000)00)(010)(001)C A D F ，，，，，，，，，，，01)E ，，1022B ⎫-⎪⎪⎝⎭，，则(10)(011)(00)AD FD EF ==-=，，，，，，22003EM MF EM EF ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭∵，∴，， 图2理科数学参考答案·第5页（共9页）01AM AE EM ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭∴，，设平面MAD 的法向量为()m x y z =，，，则032)0m AD m m AM ⎧=⎪⇒=⎨=⎪⎩ ，，，……………………………………………………（8分） 由（1）知平面ABC 的法向量(001)n =，，，……………………………………………（9分）由题意知1cos 2||||m n m n m n 〈〉===，（11分） ∴平面MAD 与平面ABC 所成的锐二面角的大小为π3．……………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（1）记事件A ：“甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例”， 则事件A ：“甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例”， 则()1()10.60.40.76P A P A =-=-⨯=，故甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率为0.76．……………………………（5分） （2）若按方案①：该单位只需要买这种酸奶300瓶，相当于在60瓶的基础上多买了240瓶，送了酸奶40瓶，一共买了340瓶，所支付金额30010030000Y =⨯=（元）；………………………………………………（7分） 若按方案②：设售价为X 元，则100(18%)92X =⨯-=，100(16%)94X =⨯-=，………………………………………………………………………………………（9分） 且(92)0.4(94)0.6P X P X ====，，故()920.4940.693.2E X =⨯+⨯=（元）， …………………………………………（10分） 该单位应支付金额为93.234031688⨯=（元）， 3168830000>∵，所以该单位选择方案①更划算．……………………………………………………………………………………（12分）理科数学参考答案·第6页（共9页）20．（本小题满分12分）解：（1）2()3(3)f x x ax x x a '=-=-，①当0a =时，()0f x '≥，()f x ∴在R 上单调递增；…………………………………（1分）②当0a >时，令()0f x '>，得3a x >或0x <，令()0f x '<，得03ax <<， ()f x ∴在(0)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，上单调递增，在03a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；………………………………………………………………………………………（3分） ③当0a <时，令()0f x '>，得0x >或3a x <，令()0f x '<，得03ax <<， ()f x ∴在(0)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，上单调递增，在03a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减．………………………………………………………………………………………（5分） （2）(1)52a f =-，(0)4f =，34354a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭①当13a≥，即3a ≥时，()f x 在区间[01]，上单调递减，(0)(1)12aD d f f -=-=-，即414272a -<⇒≤621027a <≤，所以a 的取值范围是[310)，； …………………………………………………………（7分） ②当13(0)(1)af f ⎧>⎪⎨⎪⎩，≥，即23a <≤时，3(0)354a aD d f f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即3442754a <⇒≤26a <≤，所以a 的取值范围是[23)，； ……………………………………………………………（9分）理科数学参考答案·第7页（共9页）③当103(1)(0)af f ⎧>>⎪⎨⎪>⎩，，即02a <<时， 327(1)1354a a a D d f f -⎛⎫-=-=+⎪⎝⎭， 令()g a =327154a a -+，则29()018a g a -'=<，()g a ∴在区间(02)，上单调递减， 44()142727g a ⎛⎫⎡⎫∈⊂ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭∴，， 所以a 的取值范围是(02)，，……………………………………………………………（11分） 综上，a 的取值范围是(010)，．………………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）PQ PN CQ 连接，∵直线是线段的中垂线， ||||PC PQ =∴，||||||||||PR PQ PR PC RC +=+==∴||||PR PQ +=>∴P R Q ∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，…………………………………………………（2分） 22221(0)x y a b a b+=>>设椭圆的方程为，222222624a a c b a b c ⎧=⎪⎧=⎪⎪=⇒⎨⎨=⎪⎪⎩=+⎪⎩，则，………………………………………………………………（4分）22164x y P E +=∴点的轨迹的方程为．……………………………………………………（5分）（2）设1222()()A x y B x y ，，，，RAB △的内切圆半径为r ，由等面积法可得2111||||422RAB S QR y y a r =⨯⨯-=⨯⨯△，于是21|r y y =-．理科数学参考答案·第8页（共9页）由题意可知直线不可能是x轴，故可设直线方程为x ty =，联立22164x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(23)80t y ++-=，12122823y y y y t ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩∴，……………………………………………………………………（7分）21|r y y =-==∴． 令21(1)m t m =+≥，则2222111(23)44144t m t m m m m+==+++++，……………………（9分） 1m ∵≥，∴当1m =时，14m m+取得最小值5，max 3r ==∴， RAB ∴△内切圆的面积的最大值为2max 8ππ9r =，………………………………………（11分）此时0t =，则直线方程为x =．……………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）消参得C 1的普通方程为22(2)4x y ++=，…………………………………（1分） 由cos sin x y ρθρθ==，易知C 1的极坐标方程为4cos ρθ=-；……………………（3分） C 2的极坐标方程：24sin cos θρθ=．…………………………………………………………（5分） （2）由题意，设125π5π66A B ρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，A 在C 1上，代入C 1的极坐标方程，得1ρ=，……………………………………（6分）理科数学参考答案·第9页（共9页）B 在C 2上，代入C 2的极坐标方程得283ρ=，…………………………………………（7分）128||3AB ρρ=-=-∴，………………………………………………………………（8分） C 的直角坐标是(01)-，，AB的直线方程：3y x =， 点C 到AB的距离d =9分）323ABC S =-△．………………………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）当1a =时，()|1||2|4f x x x =++-<，………………………………………（1分）分类讨论：①当3112x x <--<<-时，解得；…………………………………………（2分） ②当1212x x --≤≤时，解得≤≤；…………………………………………………（3分）③当5222x x ><<时，解得，……………………………………………………………（4分） 综上，不等式的解集为3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，．……………………………………………………（5分）（2）()|||2||2||2|f x x a x x a x a =++-+-+=+∵≥，…………………………………（7分） min ()|2|f x a =+∴，由题意，min ()4f x <∴，…………………………………………………………………（9分） |2|462a a +<⇔-<<∴．……………………………………………………………（10分）。
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西南名校联盟高考适应性月考卷12月考理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合A ＝{x||x|≤1，x ∈Z }，则满足条件B A 的集合B 的个数为A ．3B ．4C ．7D ．82．已知函数12()f x x -=，则下列说法正确的是A ．f （x ）的图象恒在x 轴上方B ．f （x ）的图象经过原点C ．f （x ）是R 上的减函数D ．f （x ）是偶函数3．已知如图的程序框图，则当输出的y 的值为8时，输入的x 的值为A ．-3，3，-1B ．-1，-3C ．-3D ．-14．若a ，b ，c 均为单位向量，且a b ⊥，13c a kb =+（k ＞0），则k 的取值是A ．13B ．23C D5．已知定义域为R 的函数f （x ）的导函数图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是A ．f （a ）＞f （b ）＞f （0）B ．f （0）＜f （c ）＜f （d ）C ．f （b ）＜f （0）＜f （c ）D ．f （c ）＜f （d ）＜f （e ） 6．已知曲线Γ：22123x y λλ+=-，则以下判断错误的是A ．λ＜0或λ＞3时，曲线Γ一定表示双曲线B ．0＜λ＜3时，曲线Γ一定表示椭圆C ．当λ＝-3时，曲线Γ表示等轴双曲线D ．曲线Γ不能表示抛物线7．4名同学准备利用周末时间到敬老院、福利院、儿童医院三地进行志愿者活动，若要求每个地方至少有一名同学，则不同的安排方法共有 A ．72种 B ．64种 C ．36种 D ．24种8．九连环是我国民间的一种益智玩具，它蕴含着丰富的数学奥秘．假设从套环与套框完全分离的状态出发，需经过a n 步演变，出现只穿有第n 环的状态，则a n ＋1＝2a n ＋1，且a 1＝1．则从套环与套框完全分离的状态到套环均在套框上的状态，总共需要的演变步数为a 8＋1＋a 6＋1＋a 4＋1＋a 2＋1＋1＝A ．345B ．344C ．341D ．3409．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点M 为棱BC 的中点，用平行于体对角线BD 1且过点A ，M 的平面去截正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，得到的截面的形状是A ．平行四边形B ．梯形C ．五边形D ．以上都不对 10．已知复数z 满足|z|＝1，则|z ＋1-2i|的最小值为 A1BC ．3D ．211．已知函数f （x ）＝cosx ，若x 1，2(,0)(0,)44x ππ∈-时，有122221()()f x f x x x <，则A ．x 1＞x 2B ．x 1＜x 2C ．2212x x >D ．2212x x <12．已知在三棱锥P-ABC 中，PA ＝PB ，△ABC 为锐角三角形，且点P 在平面ABC 上的投影O 1为△ABC 的垂心，O 2为△PAB 的重心．若二面角P-AB-C的余弦值为13，且1PO =，PC =CO2＝A．C ．3 D ．1 二、填空题（本大题共4小题）13．已知某位运动员投篮一次命中的概率是未命中概率的4倍，设随机变量X 为他投篮一次命中的个数，则X 的期望是________．14．在等差数列{a n }中，a 1＝10，令S n 为{a n }的前n 项和，若S 10S 11＜0，则使得a n ＞0成立的最大整数n 为________．15．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），若其右焦点F 关于直线y =的对称点在双曲线C 的一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为________． 16．在锐角△ABC 中，4cos 5A =，若点P 为△ABC 的外心，且APxAB y AC =+，则x ＋y的最大值为________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图为函数f （x ）＝Asinωx （A ＞0，ω＞0）在一个周期内的图象，其中点M 是图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且OM ⊥MB ，点B 为（4，0）．（1）求函数f （x ）的表达式；（2）若将y ＝f （x ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求函数g （x ）在R 上的单调减区间．18．2021年《联合国气候变化框架公约》第十五次缔约方会议（COP15）将在云南昆明举行，大会的主题为“生态文明：共建地球生物共同体”．大绒鼠是中国的特有濒危物种，仅分布在湖北、四川、云南等地．某校同学为探究大绒鼠的形态学指标与纬度、海拔和年平均温度的关系，从德钦、香格里拉、丽江、剑川、哀牢山五个采样点收集了50只大绒鼠标本．（1）将五个采样地分别记作A ，B ，C ，D ，E ，各个采样地所含标本数量占总标本数量的百分比如图甲所示．若先从来自于A ，C ，D 的标本中随机选出两个进行研究，求这两个标本来源于不同采样地的概率；（2）为研究大绒鼠体长与纬度的变化关系，收集数据后绘制了如图乙的散点图．由散点图可看出体长y 与纬度x 存在线性相关关系，请根据下列统计量的值，求出y 与x 的线性回归方程，并以此估计纬度为30度时，大绒鼠的平均体长．参考公式：回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距最小二乘估计公式分别为121()()ˆ()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 19．已知曲线C 是顶点为坐标原点O ，且开口向右的抛物线，曲线C 上一点A （x 0，2）到准线的距离为52，且焦点到准线的距离小于4． （1）求抛物线C 的方程与点A 的坐标；（2）若MN ，PQ 是过点（1，0）且互相垂直的C 的弦，求四边形MPNQ 的面积的最小值．20．如图甲，三棱锥P-ABD ，Q-BCD 均为底面边长为边形ABCD 是边长为P ，Q 在平面ABCD 的同侧），AC ，BD 交于点O ．（1）证明：平面PQO ⊥平面ABCD ；（2）如图乙，设AP ，CQ 的延长线交于点M ，求二面角A-MB-C 的余弦值．21．已知()ln )f x x =-，g （x ）＝f （x ）＋ax-3，其中a ∈（0，＋∞）． （1）判断f （x ）的单调性并求其最值；（2）若g （x ）存在极大值，求a 的取值范围，并证明此时g （x ）的极大值小于0． 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos 1,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．若以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin()14ρθπ+=．（1）求出曲线C 的极坐标方程；（2）若射线θ＝θ1与曲线C 、直线l 分别交于A ，B 两点，当1(,)43θππ∈时，求|OA|·|OB|的取值范围． 23．【选修4-5：不等式选讲】 已知a ＋b ＋c ＝3．（1）若c ＝1，且f （x ）＝|x-a|＋|x-2b|≥2恒成立，求a 的取值范围； （2）证明：ab ＋bc ＋ca≤3．西南名校联盟高考适应性月考卷12月考理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．因为{101}A =-，，，所以满足条件BA 的集合B 的个数为3217-=，故选C ．2．12()f x x-==，()f x 的定义域为(0)+∞，，因此B ，C ，D 错误；又()0f x >，所以()f x 的图象恒在x 轴上方，A 正确，故选A ．3．该程序框图对应的分段函数29010x x y x x +>⎧=⎨-⎩，，，，≤当8y =时，098x x >⎧⎨+=⎩，或2018x x ⎧⎨-=⎩≤，，解得3x =-，故选C ．4．因为c 为单位向量，所以222222112113939c a kb a ka b k b k ⎛⎫=+=++=+= ⎪⎝⎭，又0k >，所以3k =，故选D ． 5．由()f x 的导函数图象可知，()f x 在()a b ，，()c e ，上单调递增，在()b c ，上单调递减，所以()()f a f b <，A 错误；()(0)()f b f f c >>，B ，C 错误；()()()f c f d f e <<，D 正确，故选D ．6．对Γ：22123x y λλ+=-，当2(3)0λλ-<，即0λ<或3λ>时，曲线Γ表示双曲线，当3λ=-时，Γ：22166y x -=表示等轴双曲线，因为无论λ取何值，曲线方程均只含2x ，2y 项与常数项，因此A ，C ，D 正确；当1λ=时，Γ：222x y +=表示圆，B 错误，故选B ． 7．由题意，三个地点中有一处为2人，其余均为1人，先按人数进行分组，共有24C 种分法，再将三组人分别安排到三个地方，总共有2343C A 36=种安排方法，故选C ．8．由121n n a a +=+，可得112(1)n n a a ++=+，令1n n b a =+，则{}n b 为以11a +为首项，2为公比的等比数列，所以12nn n b a =+=，则864864211111222a a a a ++++++++=+++221341+=，故选C ．9．如图1，设截面为α，设BDAM O =，P 为1DD 的靠近于1D 的三等分点，N 为1CC 的靠近于C 的三等分点，由1BD α∥可得平面1BDD 与α的交线平行于1BD ，所以α平面1DBD OP =，又平面α与两平行平面11AA D D ，11BB C C 的交线应互相平行，∴α平面11BB C C MN =，由MN AP ∥且MN AP ≠可得截面AMNP 为梯形，故选B ．10．因为22|||i |1z x y x y =++，所以221x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：221x y +=上的点；又22|12i ||(1)(2)i |(1)(2)z x y x y +-=++-=++-|12i |z +-表示圆O 上的动点到定点(12)A -，的距离，所以min |12i |z +-为||51OA r -=，故选A ． 11．因为120x x ≠，所以221211222221()()()()f x f x x f x x f x x x <⇔<，令22()()cos g x x f x x x ==，则()g x 为偶函数.当π04x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()2cos sin (2cos sin )g x x x x x x x x x '=-=-，令()2cos h x x =-sin x x ，则()3sin cos h x x x x '=--，则()0h x '<在π04⎛⎫⎪⎝⎭，上恒成立，所以()h x 在π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，又ππ22044h ⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0g x '>在π04x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上恒成立，所以()g x 在π04⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增．再结合()g x 为偶函数，从而当1x ，2ππ0044x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，且1()g x <2()g x 时必有12||||x x <，即2212x x <，故选D ．12．如图2，延长2PO 交AB 于点M ，则M 为AB 的中点，且由PA PB=图2图1可得PM AB ⊥．又1PO AB ⊥，所以AB ⊥平面1PMO ，所以1MO AB ⊥.所以二面角P AB C --的平面角即为1PMO ∠，又1O 为ABC △的垂心，所以点C 在1MO 的延长线上.因为11cos 3PMO ∠=，所以1sin PMO ∠=221tan 2PMO ∠=．又122PO =3PM =，11MO =．又2O 为△PAB 的重心，所以2113MO PM ==．设MC x =，在△PMC中，利用余弦定理，可得29212x x +-=，所以3MC x ==．再在2O MC △中，利用余弦定理，可得222CO =A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号 13 14 15 16答案 0.85259【解析】13．因为(1)0.8P X ==，(0)0.2P X ==，所以()0.8100.8E X =⨯+=． 14．因为110105610()5()02a a S a a +==+>，所以560a a +>．又11111611()1102a a S a +==<，所以60a <，所以6500a a <⎧⎨>⎩，，所以使得0n a >成立的最大整数n 为5．15．如图3，设焦点F 关于直线3y =的对称点为P ，C 的左焦点为F '，PF 与直线3y =的交点为Q ，则由Q ，O 分别为PF ，FF '的中点，可得OQ PF '∥，所以90F PF OQF '∠=∠=︒，则OP OF =，又3tan QOF ∠=，所以30QOF ∠=︒，则60POF ∠=︒．又因为P 在渐近线上，所以tan 3b POF a ∠==，所以212b e a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 16．方法一：不妨设△ABC 的外接圆半径为5．如图4，取点(30)B ，，(30)C -，，(09)Q ，，并作△BQC 的外接圆P ⊙，则点P 为(04)，，则此时BQC OPC ∠=∠且4cos 5OPC ∠=，所以4cos 5A =当且仅当点A 是优弧BC 上除B ，C 以外的点．当△ABC 为锐角图3图4三角形时，过点P 作B C BC ''∥，其中B C ''分别交AB ，AC 于点B '，C '，AP 的延长线交BC 于点R ．设AP x AB y AC ''''=+，则由B '，P ，C '共线，可得1x y ''+=．设||||||||||||AB AC AP k AB AC AR ''===，则AP x AB y AC x k AB '''''=+=+y k AC xAB y AC '=+，所以x x k '=，y y k '=，()x y k x y k ''+=+=，所以为使k 取最大值，只需使||||AP AR 最大．过A 作x 轴的垂线交B C ''，BC 分别于点M ，N ，则||||=||||AP AM AR AN ，又||||||||||AM AM AN AM MN =+1||1||MN AM =+，所以当||5AM r ==时，max ||154||915AP AR ==+． 方法二：作出△ABC 的外接圆，则由AP xAB y AC =+可得()AP x AP PB =++()y AP PC +，所以(1)(*)x y AP xPB yPC --=+，则101x y x y -->⇒+<，设外接圆的半径为R ，则对(*)两边平方可得2222222(1)2cos x y R x R xyR BPC y R --=+∠+．又27cos 2cos 125BPC A ∠=-=，所以上式整理可得3622125xy x y =+-．因为0x >，0y >，所以由均值不等式可得2()4x y xy +≤．令t x y =+，则2950250t t -+≥，解得5t ≥(舍去)或59t ≤，其中“=”成立当且仅当x y =，所以max 5()9x y +=．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）∵OM MB ⊥，又C 为OB 的中点， ∴||||||22OB MC OC ===． 又||||OM MC =，∴△OMC 为边长为2的等边三角形，∴(1M，A又2π2ππ42T ω===，∴π()2f x x =．………………………………………………………（6分）（2）πππ()(1)444g x x x ⎡⎤⎛⎫+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，令πππ3π2π2π()2442k x k k +++∈Z ≤≤，得1858()k x k k ++∈Z ≤≤，∴()g x 在R 上的单调减区间为[1858]()k k k ++∈Z ，．……………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由题图甲可得A ，C ，D 各含标本数量为5，15，10． 设P 为两个标本来源于不同采样地的概率，则1111115155101510230C C C C C C 5155101510553029C 872P ++⨯+⨯+⨯===⨯．………………………………………………………（6分）（2）由表格数据可得，515222155008.5597229.73.3360052795iii i i x yx yb x x==--⨯===-=--⨯-∑∑，∴36 3.327125.1a y bx =-=+⨯=，∴y 与x 的线性回归方程是 3.3125.1y x =-+，∴当30x =时，26.1y =，即纬度为30度时，大绒鼠的平均体长为26.1厘米．……………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）设抛物线的方程为22(0)y px p =>， ∵点A 在抛物线上，∴00242px x p=⇒=， ∴点A 到准线的距离为2025540222p p x p p p +=+=⇒-+=， 解得4p =(舍)或1， ∴C ：22y x =，(22)A ，．…………………………………………………（4分） （2）设MN ：1x my =+，代入抛物线的方程可得2220y my --=， 设11()M x y ，，22()N x y ，， 则121222y y m y y +=⎧⎨=-⎩，，∴22221212||1()42(1)(2)MN m y y y y m m ++-=++． 又∵PQ MN ⊥， ∴PQ ：11x y m=-+， ∴2211||212PQ m m ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴2222111||||2(1)(2)122MNPQ S MN PQ m m m m ⎛⎫⎛⎫==++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭四边形 222211(1)1(2)2m m m m ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222122252m m m m =++++ ∵2212m m +≥，其中“=”成立当且仅当21m =， ∴24912MNPQ S =四边形≥，∴当1m =±时，MNPQ S 四边形取得最小值为12． ………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）证明：如图5，连接PO ，OQ ，PQ ， ∵PB PD =，O 为BD 的中点，∴PO DB ⊥．同理，QO DB ⊥，又PO OQ O =，PO ，OQ ⊂平面POQ ，∴BD ⊥平面POQ ． 又BD ⊂平面ABCD ， ∴平面POQ ⊥平面ABCD ．……………………………………………（5分）（2）解：（法一：建系法）如图6，分别过P ， Q 作平面ABCD 的垂线，垂足分别为1O ，2O ， 则1O ，2O 在AC 上，且1O ，2O 分别为AO ，OC 的三等分点，且1PO 2QO ，112PO O O ⊥，图5∴四边形12PO O Q 为矩形，∴PQ AC ∥． 且1212233PQ O O AO AO ==⨯=，∴3322MA MC AP ==== ∴MO AC ⊥，由（1）得MO ，OB ，OC 两两垂直．又3AO ==，∴MO ==．如图，以O 为原点，分别以OB ，OC ，OM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则(030)A -，，，00)B ，，(030)C ，，，(00M ，， ∴(330)AB =，，，(30MB =，，，(30)BC =-，． 设111()x y z α=，，，222()x y z β=，，分别为平面AMB 与平面MBC 的法向量，则111130(310yα+=⇒=-=，，，222230(310y β⎧+=⎪⇒==，，，． 设θ为二面角A MB C --的平面角，由于α，β均指向半平面的外部， ∴5cos cos 7||||αβθαβαβ=-〈〉=-=-， ．………………………………………………………（12分） （2）（法二：定义法）分别过P ，Q 作平面ABCD 的垂线，垂足分别为1O ，2O ， 则1O ，2O 在AC 上，且1O ，2O 分别为AO ，OC 的三等分点，且1PO 2QO ，112PO O O ⊥，∴四边形12PO O Q 为矩形，图6∴PQ AC ∥． 且1212233PQ O O AO AO ==⨯=，∴3322MA MC AP ==== ∴MA AB BC CM ===．取MB 的中点E ，则AE MB ⊥，CE MB ⊥，∴AEC ∠为二面角A MB C --的平面角．又3AO ==，∴MO ==．又OB，∴MB∴AE CE ===． 又26AC AO ==，222423652cos 42272AE EC AC AEC AE EC -+-∠===-．……………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）∵1()ln )2f x x x x-'=-+= ∴当(01)x ∈，时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1)x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴max ()(1)2f x f ==，且()f x 无最小值．…………………………………………………（4分） （2）()ln )3g x x ax -+-，令t =2x t =，ln )3x ax -+-=222ln 3t t t at -+-．令2()22ln 3t t t t at ϕ=-+-，∵函数t =(0)+∞，上的单调递增函数，∴由复合函数的单调性可知，()g x 存在极大值()t ϕ⇔存在极大值，且()g x 取到极大值0()()g x t ϕ⇔取到极大值0()t ϕ，其中0t =，且00()()g x t ϕ=．∵()22ln 222ln 2t t at t at ϕ'=--+=-+， ∴222()2at t a t tϕ--+''=+=， ∴10t a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0t ϕ''<，()t ϕ'单调递减； 1t a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0t ϕ''>，()t ϕ'单调递增， ∴min 1()2ln 22(ln 1)t a a a ϕϕ⎛⎫''==+=+ ⎪⎝⎭． ①当1e a ≥时，10a ϕ⎛⎫' ⎪⎝⎭≥，则()0t ϕ'≥在(0)+∞，上恒成立， ∴()t ϕ在(0)+∞，上单调递增，则()t ϕ无极值点； ②当10e a <<时，1e a >，取11a<，1e a <， 有(1)20a ϕ'=>，(e)22e 220a ϕ'=-+<-+=，∴()t ϕ'在(1e)，上有唯一零点，设为0t ，且0(1)t t ∈，时，()0t ϕ'>，0(1)t t ∈，时，()0t ϕ'<， ∴当10e a <<时，()t ϕ在(0)+∞，上有唯一的极大值点0()t ϕ．………………………………………………（8分）∵000()2ln 20t t at ϕ'=-+=，∴00ln t at =，∴20000000000()22ln 322ln ln 3t t t t at t t t t t ϕ=-+-=-+-=0002ln 3t t t --， 令()2ln 3m t t t t =--，则()2ln 1ln 1m t t t '=--=-+，∴()m t 在(0e)，上单调递增．又(e)2e e 3e 30m =--=-<，∴0()0t ϕ<，即()t ϕ的极大值小于0， 综上，有10e a <<时，()g x 存在极大值，且此时()g x 的极大值小于0． ………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由条件可得cos 1x α=+，sin y α=，又22cos sin 1αα+=，∴22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=为曲线C 的普通方程，将222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩，，，代入C 的普通方程，可得22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=为曲线C 的极坐标方程．…………………………………………………（5分）（2）将1θθ=分别代入曲线C 与直线l 的极坐标方程，可得1||2cos A OA ρθ==，11||π2sin 4B OB ρθ===⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴1||||2(sin OA OB == ．又1ππ43θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， ∴1tan (1θ∈，∴||||OA OB ⎛∈ ⎝⎭． ………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）解：若1c =，则2a b +=，2b a =-，∴()|||2||||42|f x x a x b x a x a =-+-=-+-+，由绝对值三角不等式可得，()|()(42)||43|f x x a x a a ---+=-≥，其中“=”成立当且仅当()(42)0x a x a --+≤，∴min ()|43|f x a =-，∴()|||2|2|43|2f x x a x b a =-+-⇔-≥≥，∴432a -≥或432a --≤，即23a ≤或2a ≥． ………………………（5分）（2）证明：∵222a b ab +≥，222b c bc +≥222c a ca +≥， ∴2222()2()a b c ab bc ca ++++≥，∴222a b c ab bc ca ++++≥，2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++≥3()ab bc ca ++，∴2()33a b c ab bc ca ++++=≤， 其中“=”当且仅当1a b c ===．………………………………………………（10分）。