第一部分 层级二 专题1 第2讲 高考数学(文科)二轮总复习 层级2 保分专题1 函数与导数
2020高考数学(文科)二轮总复习保分专题1 函数与导数第一部分 层级二 专题1 第3讲
课时跟踪检测(三) 导数的简单应用一、选择题1．已知函数f (x )的导函数f ′(x )满足下列条件： ①f ′(x )>0时，x <－1或x >2； ②f ′(x )<0时，－1<x <2； ③f ′(x )＝0时，x ＝－1或x ＝2. 则函数f (x )的大致图象是( )解析：选A 根据条件知，函数f (x )在(－1,2)上是减函数，在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数，故选A.2．若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a 的值为( )A ．e －12 B ．2e －12 C ．e 12D ．2e 12解析：选B 依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′| x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎨⎧a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得⎩⎨⎧x 0＝e ，a ＝2e －12.3．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．0D. 2解析：选B ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a2≥1，得a ≥2. 又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2.综上，a ＝2.4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)解析：选C f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a 2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C.5．设函数f (x )满足2x 2f (x )＋x 3f ′(x )＝e x，f (2)＝e 28，则x ∈[2，＋∞)时，f (x )的最小值为( )A.e 22B.3e 22C.e 24D.e 28解析：选D ∵2x 2f (x )＋x 3f ′(x )＝e x ，∴当x ≠0时，此等式可化为f ′(x )＝e x －2x 2f (x )x 3.∵f (2)＝e 28，∴f ′(2)＝e 2－8×f (2)23＝0.令g (x )＝e x －2x 2f (x )，则g (2)＝0，g ′(x )＝e x－2[x 2f ′(x )＋2xf (x )]＝e x－2e x x ＝e xx (x －2)．当x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )≥0，则g (x )在[2，＋∞)上单调递增，g (x )的最小值为g (2)＝0，则f ′(x )≥0恒成立，∴f (x )的最小值为f(2)＝e28.故选D.6．(2019·重庆七校联考)函数f(x)(x>0)的导函数为f′(x)，若xf′(x)＋f(x)＝e x，且f(1)＝e，则()A．f(x)的最小值为eB．f(x)的最大值为eC．f(x)的最小值为1 eD．f(x)的最大值为1 e解析：选A设g(x)＝xf(x)－e x，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)－e x＝0，所以g(x)＝xf(x)－e x为常数函数．因为g(1)＝1×f(1)－e＝0，所以g(x)＝xf(x)－e x＝g(1)＝0，所以f(x)＝e xx ，f′(x)＝e x(x－1)x2.当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)在x＝1处取得最小值．所以f(x)≥f(1)＝e.二、填空题7．(2019·西安八校联考)已知曲线f(x)＝e x＋x2，则曲线在(0，f(0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为________．解析：由题意，得f′(x)＝e x＋2x，所以f′(0)＝1.又f(0)＝1，所以曲线在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0，所以该切线与x，y轴的交点分别为(－1,0)，(0,1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为12×1×1＝1 2.答案：1 28．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )>0，得函数的增区间是(－∞，－2)及(2，＋∞)，由f ′(x )<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3.答案：(－3，－1)∪(1,3)9．若函数f (x )＝(x 2＋ax ＋3)e x 在(0，＋∞)内有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax ＋3)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋3]e x ，令g (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋3.由题意知，f (x )在(0，＋∞)内先减后增或先增后减，结合函数g (x )的图象特征知，f (x )在(0，＋∞)内先减后增，故a ＋3<0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋22>0，a ＋3＝0，解得a ≤－3.答案：(－∞，－3] 三、解答题10．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程； (2)讨论f (x )的单调性．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x ，f (e)＝e ＋1，f ′(x )＝1x ＋1，f ′(e)＝1＋1e ，∴曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y －(e ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1e (x －e)，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋1x .(2)f ′(x )＝1x －2ax ＋1＝－2ax 2＋x ＋1x ，x >0，①当a ≤0时，显然f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a >0时，令f ′(x )＝－2ax 2＋x ＋1x ＝0，则－2ax 2＋x ＋1＝0，易知Δ>0， 设方程的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)， 则x 1x 2＝－12a <0，∴x 1<0<x 2， ∴f ′(x )＝－2ax 2＋x ＋1x＝－2a (x －x 1)(x －x 2)x，x >0，令f ′(x )>0，得x ∈(0，x 2)，令f ′(x )<0得，x ∈(x 2，＋∞)，其中x 2＝1＋8a ＋14a， ∴函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋8a ＋14a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋8a ＋14a ，＋∞上单调递减．11．(2019·烟台模拟)设函数f (x )＝ln x －2mx 2－n (m ，n ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有最大值－ln 2，求m ＋n 的最小值． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －4mx ＝1－4mx 2x ，当m ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当m >0时，令f ′(x )>0，得0<x <m2m ， 令f ′(x )<0，得x >m2m ，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 2m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当m ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最大值． 当m >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 2m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ，＋∞上单调递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＝ln m 2m －2m ·14m －n ＝－ln 2－12ln m －12－n ＝－ln 2， ∴n ＝－12ln m －12， ∴m ＋n ＝m －12ln m －12. 令h (x )＝x －12ln x －12(x >0)， 则h ′(x )＝1－12x ＝2x －12x ， 由h ′(x )<0，得0<x <12； 由h ′(x )>0，得x >12，∴h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．∴h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12ln 2，∴m ＋n 的最小值为12ln 2. 12．设函数f (x )＝(1－x 2)e x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≤ax ＋1，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝(1－2x －x 2)e x .令f ′(x )＝0，得x ＝－1－2或x ＝－1＋ 2. 当x ∈(－∞，－1－2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－1－2，－1＋2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－1＋2，＋∞)时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增．(2)令g (x )＝f (x )－ax －1＝(1－x 2)e x －ax －1. 令x ＝0，可得g (0)＝0. g ′(x )＝(1－x 2－2x )e x －a ， 令h (x )＝(1－x 2－2x )e x －a ，则h′(x)＝－(x2＋4x＋1)e x当x≥0时，h′(x)<0，h(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以h(x)≤h(0)＝1－a，要使f(x)－ax－1≤0在x≥0时恒成立，需要1－a≤0，即a≥1，此时g(x)≤g(0)＝0.综上所述，a的取值范围为[1，＋∞)．。
教师目录 高考数学(文科)二轮复习讲义
一、数学抽象、直观想象
二、逻辑推理、数学运算
三、数学建模、数据分析
专题一三角函数、三角恒等变换与解三角形第1讲三角函数的图象与性质(小题)
第2讲三角恒等变换与解三角形(小题)
第3讲三角恒等变换与解三角形(大题)
规范答题示例1三角恒等变换与解三角形
专题二数列
第1讲数列、等差数列与等比数列(小题) 第2讲数列求和及数列的简单应用(大题) 规范答题示例2数列
专题三立体几何
第1讲空间几何体、空间中的位置关系(小题)
第2讲立体几何(大题)
规范答题示例3立体几何
专题四概率与统计
第1讲概率与统计(小题)
第2讲概率与统计(大题)
规范答题示例4概率与统计
专题五解析几何
第1讲直线与圆(小题)
第2讲圆锥曲线的方程与性质(小题)
第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题) 第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题) 规范答题示例5圆锥曲线
专题六函数与导数
第1讲函数的图象与性质(小题)
第2讲基本初等函数、函数的应用(小题)
第3讲导数的简单应用(小题)
第4讲导数的热点问题(大题)
规范答题示例6函数与导数
专题七系列4选讲
第1讲坐标系与参数方程(大题)
第2讲不等式选讲(大题)
第1讲集合、复数与常用逻辑用语
第2讲不等式
第3讲平面向量
第4讲程序框图与推理证明
第5讲古典概型与几何概型
第6讲数学文化
回扣1集合、常用逻辑用语、不等式与推理证明回扣2复数、程序框图与平面向量
回扣3三角函数、三角恒等变换与解三角形
回扣4数列
回扣5立体几何
回扣6概率与统计
回扣7解析几何
回扣8函数与导数。
第一部分 层级二 专题2 第2讲 高考数学(文科)二轮总复习 层级2 保分专题2 三角函数与解三角形
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(2)因为 α∈π4，π，所以 2α∈π2，2π，又 sin 2α＝ 55，所以 2α∈π2，π，α∈π4，π2，
所以 cos 2α＝－255.又 β∈π，32π，所以 β－α∈π2，54π，故 cos(β－α)＝－31010，所
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|规 律 方 法 | 1．正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理． [注意] 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．
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2．三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式 S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A，一般是已知哪一个角就使用 含该角的公式． (2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．
解：(1)∵S△ABC＝12acsin B＝ 23accos B， ∴tan B＝ 3. 又 0<B<π，∴B＝π3.
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(2)∵sin A＝3sin C，由正弦定理得，a＝3c，∴a＝6.
由余弦定理得，b2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，
∴b＝2 7.
∴cos
A＝b2＋2cb2c－a2＝22×722＋×222－762＝－
的面积
S＝12bcsin
A＝12×8
3
3×12＝2
3
3 .
[答案]
23 3
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(2)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知△ABC 的面积为3sain2 A. ①求 sin Bsin C； ②若 6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC 的周长．
高考数学二轮复习全程课件详解
备考要点和注意事项
1 备考要点
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2 时间管理
分享时间管理的技巧和方法， 让你能够在有限的时间内完 成复习。
3 考场策略
提供考场策略和应对方法，帮助你在考试中发挥出最佳状态。
评析考试
对考试评析，解读评分标准和 评卷要求，帮助你了解考试评 分的原则。
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分析数学二轮复习的分数分布 情况，帮助你了解分数分布的 情况和趋势。
常见易错题及解题技巧
易错题剖析
剖析常见易错题的原因， 帮助你避免常见的错误。
错误分析
分析常见错误的解题思路 和解题方法，帮助你避免 犯同样的错误。
解题技巧
高考数学二轮复习全程课 件详解
本课程提供全面的高考数学二轮复习资料，包括考试大纲和题型解析，并重 点突破知识点。我们分享解题技巧和方法，并通过典型题目的解析和讲解帮 助你理解。评析高分答案，分享常见易错题和解题技巧，同时介绍备考要点 和注意事项。
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解题技巧和方法分享
1 推理和分析
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2 图像和图表
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典型题目解数学二轮复习中的常见填空
题的解题技巧和方法，帮助你快速答
专题一 第2讲 高考数学(文科)二轮复习讲义
第2讲 三角恒等变换与解三角形(小题)热点一 三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化．例1 (1)(2019·榆林模拟)若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525 B.255C.2525或255D.55或525答案 A解析 因为α，β都是锐角，且cos α＝55<12， 所以π3<α<π2，又sin(α＋β)＝35，而12<35<22，所以3π4<α＋β<5π6，所以cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－45，sin α＝1－cos 2α＝255， cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝2525. (2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 C解析 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin [α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4.(3)3sin 220°－1cos 220°＋64sin 220°＝________. 答案 32解析 因为3sin 220°－1cos 220°＝3cos 220°－sin 220°sin 220°cos 220°＝(3cos 20°＋sin 20°)(3cos 20°－sin 20°)14sin 240°＝2cos (20°－30°)2cos (20°＋30°)14sin 240°＝16cos 10°cos 50°sin 240°＝16sin 80°sin 40°＝32sin 40°cos 40°sin 40°＝32cos 40°，所以3sin 220°－1cos 220°＋64sin 220°＝32cos 40°＋64×12(1－cos 40°)＝32.跟踪演练1 (1)(2019·晋中模拟)若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α等于( ) A.63 B.223 C.33 D.13答案 D解析 由题意，根据诱导公式可得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α，又由余弦的倍角公式，可得cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝13. (2)(2019·吕梁模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝cos 2β1－sin 2β，则( ) A ．α＋β＝π2B ．α－β＝π4C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2答案 B解析 tan α＝cos 2β1－sin 2β＝cos 2β－sin 2βcos 2β＋sin 2β－2sin βcos β＝(cos β＋sin β)(cos β－sin β)(cos β－sin β)2＝cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋β， 又因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α＝π4＋β，即α－β＝π4.热点二 利用正弦、余弦定理解三角形1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sinC 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc. 3．三角形的面积公式：S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .例2 (1)(2019·衡阳联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2bc －c b －bc＝3，△ABC 外接圆的半径为3，则a ＝________. 答案 3解析 由题意可得a 2－c 2－b 2bc ＝3，根据余弦定理可知cos A ＝－32， 所以sin A ＝12，根据正弦定理可得asin A ＝6，所以a ＝3.(2)(2019·广州市铁一中学、广州大学附属中学、广州外国语学校联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，a ＝7，且△ABC 的面积为332，则△ABC 的周长为________． 答案 5＋7解析 因为A ＝π3，a ＝7，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得7＝b 2＋c 2－bc ； 又△ABC 的面积为332，所以12bc sin A ＝332，所以bc ＝6，所以b ＋c ＝(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋2bc ＝5， 所以周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.跟踪演练2 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为S ，且a ＝1,4S ＝b 2＋c 2－1，则△ABC 外接圆的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．π D.π2答案 D解析 由余弦定理得，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a ＝1， 所以b 2＋c 2－1＝2bc cos A ， 又S ＝12bc sin A ,4S ＝b 2＋c 2－1，所以有4×12bc sin A ＝2bc cos A ，即sin A ＝cos A ，所以A ＝π4，由正弦定理得，1sin π4＝2R ，得R ＝22，所以△ABC 外接圆的面积为π2.(2)(2019·潮州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，BC 边上的高为a 2，则b2c ＋c2b 的最大值是________． 答案2解析 因为BC 边上的高为a2，所以12×a 2×a ＝12bc sin A ，即a 2＝2bc sin A ，可得b 2c ＋c 2b ＝b 2＋c 22bc ＝a 2＋2bc cos A 2bc＝2bc sin A ＋2bc cos A2bc＝sin A ＋cos A＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4≤2， 当A ＝π4时，等号成立，故b 2c ＋c2b的最大值是 2. 热点三 正弦、余弦定理的实际应用1．用正弦定理和余弦定理可解决距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题或物理问题等．2．解决三角形应用题的基本思路实际问题――→画图数学问题――――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解． 3．用正、余弦定理解决问题的一般步骤：(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，选择便于计算的定理．例3 (1)某游轮在A 处看灯塔B 在A 的北偏东75°的方向上，距A 12 6 海里处，灯塔C 在A 的北偏西30°的方向上，距A 8 3 海里处，游轮由A 处向正北方向航行到D 处时再看灯塔B 在南偏东60°的方向上，则此时灯塔C 与游轮的距离为( ) A ．20 海里B ．8 3 海里C ．23 2 海里D ．24 海里答案 B解析 如图所示，在△ABD 中，∠DAB ＝75°，∠ADB ＝60°，∴B ＝180°－75°－60°＝45°， 由正弦定理得AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，∴AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24.在△ACD 中，AD ＝24，AC ＝83，∠CAD ＝30°， 由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30° ＝242＋(83)2－2×24×83×32＝192， ∴CD ＝8 3.(2)如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶，线段AB 的长度为600 m ，在A 处测得∠DAB ＝30°，在B 处测得∠DBA ＝105°，且此时看楼顶D 的仰角∠DBC ＝30°，已知楼底C 和A ，B 在同一水平面上，则此楼高度CD ＝________m ．(精确到1 m)答案 212解析 在△ABD 中，由正弦定理， 得BD sin 30°＝ABsin (180°－105°－30°)，由AB ＝600，得 BD ＝600sin 30°sin 45°＝3002，在Rt △BCD 中，因为∠DBC ＝30°，所以CD ＝12BD ＝1502≈212.跟踪演练3 (1)如图，为了测量两山顶D ，C 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，在A 位置时，观察D 点的俯角为75°，观察C 点的俯角为30°；在B 位置时，观察D 点的俯角为45°，观察C 点的俯角为60°，且AB ＝ 3 km ，则C ，D 之间的距离为________km.答案5解析 在△ABD 中，∵∠BAD ＝75°，∠ABD ＝45°，∴∠ADB ＝60°，由正弦定理可得AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD ，即3sin60°＝AD sin45°， ∴AD ＝3sin45°sin60°＝ 2 km ，由题意得∠ABC ＝120°，∠BAC ＝∠BCA ＝30°， ∴BC ＝AB ＝ 3 km ，∴AC ＝3 km ，在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos ∠DAC ＝5，即CD ＝ 5 km. (2)如图所示，为测量竖直旗杆CD 的高度，在旗杆底部C 所在水平地面上选取相距421m 的两点A ，B ，在A 处测得旗杆底部C 在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D 的仰角为60°；在B 处测得旗杆底部C 在东偏北10°的方向上，旗杆顶部D 的仰角为45°，则旗杆CD 的高度为________m.答案 12解析 设CD ＝x ，x >0.∵在Rt △BCD 中，∠CBD ＝45°， ∴BC ＝x .∵在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°， ∴AC ＝CD tan 60°＝x3. 在△ABC 中，∵∠CAB ＝20°，∠CBA ＝10°， ∴∠ACB ＝180°－20°－10°＝150°，∴由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 150°，即(421)2＝13x2＋x2＋2·x3·x·32＝73x2，∴x＝12.∴旗杆CD的高度为12 m.真题体验1．(2016·全国Ⅲ，文，9)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A 等于( )A.310 B.1010C.55D.31010答案 D解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD ＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以sin A ＝31010.2．(2018·全国Ⅱ，理，15)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 答案 －12解析 ∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.3．(2018·全国Ⅰ，文，16)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________． 答案233解析 ∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ， ∴由正弦定理得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C . 又sin B sin C >0，∴sin A ＝12.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝4bc >0，∴cos A ＝32，bc ＝4cos A ＝833， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.押题预测1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝________. 答案33解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝ 12cos α＋32sin α＋cos α ＝32cos α＋32sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝33. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C1＋cos 2B ，C 是锐角，且a＝27，cos A ＝13，则△ABC 的面积为________．答案 72解析 由正弦定理可得b cos C c cos B ＝sin B cos Csin C cos B ，又由余弦的倍角公式可得1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2C2cos 2B ，所以sin B sin C ＝cos C cos B ，即sin 2B ＝sin 2C ，所以B ＝C 或B ＋C ＝π2，又cos A ＝13，所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以B ＝C ， 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，整理得2b 2－2b 23＝28， 解得b ＝c ＝21，所以S ＝12bc sin A ＝7 2.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝30°，C ＝45°，c ＝3，点P 是平面ABC 内的一个动点，若∠BPC ＝60°，则△PBC 面积的最大值是________． 答案938解析 ∵A ＝30°，C ＝45°，c ＝3， ∴由正弦定理a sin A ＝c sin C ，可得a ＝c ·sin Asin C ＝3×1222＝322.又∠BPC ＝60°，∴在△PBC 中，令PB ＝m ，PC ＝n ， 由余弦定理可得cos ∠BPC ＝m 2＋n 2－922mn ＝12，∴m 2＋n 2－92＝mn ≥2mn －92(当且仅当m ＝n ＝322时等号成立)，∴mn ≤92，∴S max ＝12mn sin ∠BPC ＝938.A 组 专题通关1．(2019·河南名校联盟联考)已知cos α＝24，则cos(π－2α)等于( ) A ．－328B ．－34C.328D.34答案 D解析 由题意，利用诱导公式求得cos(π－2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝1－2⎝⎛⎭⎫242＝34. 2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值为( ) A. 3 B.33C ．－33D ．－ 3答案 D解析 因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.3．(2019·吕梁模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos B ＝ac ，则该三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案 A解析 由2cos B ＝ac 及余弦定理得2×a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－b 2ac ＝a c ，整理得c 2＝b 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形．4．(2019·黄冈调研)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且C ＝π4，c ＝2，a ＝x ，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围是( ) A.2<x <1 B.2<x <2 C ．1<x <2 D ．1<x < 2答案 B解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ， 即x sin A ＝2sin π4，可得sin A ＝12x ， 由题意得，当A ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4且A ≠π2时，满足条件的△ABC 有两个，所以22<12x <1，解得2<x <2， 则x 的取值范围是()2，2.5．(2019·甘肃省静宁县第一中学模拟)某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( ) A ．5 km B ．5 2 km C ．5 3 km D ．10 km答案 C解析 根据题意画出相应的图形，如图所示，其中C 为灯塔，A 为某船开始的位置，B 为船航行15 km 后的位置．由题意可得，在△ABC 中， ∠CAB ＝∠B ＝30°，AB ＝15， ∴∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin C，∴BC ＝AB ·sin ∠CAB sin C ＝15×sin 30°sin 120°＝15×1232＝53，即船与灯塔的距离是5 3 km.6．(2019·韶关调研)已知2cos ()α－βcos β－cos ()α－2β＝24，则1－tan 2α1＋tan 2α等于( )A ．－34B ．－43C.34D.43答案 A解析 2cos ()α－βcos β－cos ()α－2β＝2cos ()α－βcos β－cos ()α－β－β ＝2cos ()α－βcos β－cos ()α－βcos β－sin ()α－βsin β ＝cos ()α－βcos β－sin ()α－βsin β ＝cos ()α－β＋β＝cos α， ∴cos α＝24，sin 2α＝1－cos 2α＝78， ∴tan 2α＝7，从而1－tan 2α1＋tan 2α＝－34.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，c ＝7，且△ABC 的面积为332，则△ABC 的周长为( )A ．1＋7B ．2＋7C ．4＋7D ．5＋7答案 D解析 在△ABC 中，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ， 则sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ， 即sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，∵sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，由余弦定理可得，a 2＋b 2－c 2＝ab ，即(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7，又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，∴ab ＝6，∴(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，a ＋b ＝5， ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.8．已知α为锐角，则2tan α＋3tan 2α的最小值为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3 答案 D解析 方法一 由tan 2α有意义，α为锐角可得α≠π4，∵α为锐角，∴tan α>0，∴2tan α＋3tan 2α＝2tan α＋3(1－tan 2α)2tan α＝12⎝⎛⎭⎫tan α＋3tan α≥12×2tan α·3tan α＝3，当且仅当tan α＝3tan α，即tan α＝3，α＝π3时等号成立．方法二 ∵α为锐角，∴sin α>0，cos α>0， ∴2tan α＋3tan 2α＝2sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＝4sin 2α＋3cos 2α2sin αcos α＝sin 2α＋3cos 2α2sin αcos α＝12⎝⎛⎭⎫sin αcos α＋3cos αsin α≥12×2sin αcos α·3cos αsin α＝3， 当且仅当sin αcos α＝3cos αsin α，即α＝π3时等号成立．9．已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ等于( ) A ．－43或0B.43或0 C ．－43D.43答案 A解析 因为2sin θ＝1－cos θ，所以4sin θ2cos θ2＝1－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2＝2sin 2θ2， 解得sin θ2＝0或2cos θ2＝sin θ2，即tan θ2＝0或2，又tan θ＝2tanθ21－tan2θ2，当tan θ2＝0时，tan θ＝0；当tan θ2＝2时，tan θ＝－43.10．(2019·安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是( ) ①若a 2＋b 2<c 2，则C >π2；②若ab >c 2，则C >π3；③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2；④若2ab >(a ＋b )c ，则C >π2；⑤若()a 2＋b 2c 2<2a 2b 2，则C <π3.A ．①②③B ．①②⑤C ．①③④D ．①③⑤答案 D 解析对于①，a 2＋b 2<c 2，可以得出cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以C >π2，故正确；对于②，ab >c 2⇒cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >2ab －ab 2ab ＝12，得出C <π3，故错误； 对于③，其逆否命题为“若C ≥π2，则a 3＋b 3≠c 3”．当C ≥π2时，c 2≥a 2＋b 2⇒c 3≥ca 2＋cb 2>a 3＋b 3，即a 3＋b 3≠c 3成立，故正确；对于④，取a ＝b ＝2，c ＝1，满足2ab >(a ＋b )c ，利用余弦定理得C <π3<π2，故错误；对于⑤，因为2abc 2≤(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，所以有c 2<ab ，即cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >2ab －ab 2ab ＝12，所以C <π3，故正确，所以正确命题的序号是①③⑤.11．(2019·宜昌调研)已知锐角△ABC 外接圆的半径为2，AB ＝23，则△ABC 周长的最大值为( ) A ．4 3 B ．6 3 C ．8 3D ．12 3答案 B解析 ∵锐角△ABC 外接圆的半径为2，AB ＝23， ∴c sin C ＝2R ，即23sin C ＝4，∴sin C ＝32，又C 为锐角， ∴C ＝π3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝4，∴a ＝4sin A ，b ＝4sin B ，c ＝23， ∴a ＋b ＋c ＝23＋4sin B ＋4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B＝6sin B ＋23cos B ＋23＝43sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＋23， ∴当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，a ＋b ＋c 取得最大值43＋23＝6 3.12．(2019·黄冈调研)已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝R 2与函数y ＝2sin x 的图象有唯一交点，且交点的横坐标为α，则4cos 2α2－α－2sin 2α等于( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3 答案 B解析 根据题意，圆C ：x 2＋(y －1)2＝R 2与函数y ＝2sin x 的图象有唯一交点， 则圆C 在交点处的切线与函数y ＝2sin x 在交点处的切线重合； 又由交点的横坐标为α，则交点的坐标为(α，2sin α)， 对于y ＝2sin x ，其导数y ′＝2cos x ，则有y ′|x ＝α＝2cos α，则有2sin α－1α－0＝－12cos α，变形可得α＝2cos α(1－2sin α)＝2cos α－4sin αcos α， 则4cos 2α2－α－2sin 2α＝2⎝⎛⎭⎫2cos 2α2－1－αsin 2α＝2cos α－(2cos α－4sin αcos α)2sin αcos α＝2.13．(2019·黄山质检)cos346°·cos419°＋sin14°·sin121°＝________. 答案22解析 cos346°·cos419°＋sin14°·sin121° ＝cos 14°cos 59°＋sin 14°sin 59°＝cos ()59°－14° ＝cos 45°＝22. 14．(2019·吕梁模拟)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b ＝c ，若m ＝(a 2,2b 2)，n ＝(1，sin A －1)，m ·n ＝0，则∠A 等于________． 答案 π4解析 在△ABC 中，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，因为b ＝c ，则a 2＝2b 2－2b 2cos A ＝2b 2(1－cos A )，又由m ·n ＝a 2＋2b 2(sin A －1)＝0， 解得a 2＝2b 2(1－sin A )，所以1－sin A ＝1－cos A ，则tan A ＝1， 又0<A <π，所以A ＝π4.15.(2019·茂名模拟)《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示)，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后(没有完全断开)，树干与底面成75°角，折断部分与地面成45°角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是________米(结果保留根号)．答案 52＋5 6解析 如图所示， 设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠AOB ＝75°，∠ABO ＝45°， 所以∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AO sin 45°＝AB sin 75°＝10sin 60°，所以OA ＝1063(米)，AB ＝152＋563 (米)，所以OA ＋AB ＝52＋56(米)．16. 如图，在△ABC 中，BC ＝2，∠ABC ＝π3，AC 的垂直平分线DE 与AB ，AC 分别交于点D ，E ，且DE ＝62，则BE 2＝________.答案 52＋3解析 如图，连接CD ，由题设，有∠BDC ＝2A ，所以CD sin π3＝BC sin 2A ＝2sin 2A ， 故CD ＝3sin 2A. 又DE ＝CD sin A ＝32cos A ＝62， 所以cos A ＝22，而A ∈(0，π)，故A ＝π4， 因此△ADE 为等腰直角三角形，所以AE ＝DE ＝62. 在△ABC 中，∠ACB ＝5π12，所以AB sin 5π12＝2sin π4， 故AB ＝3＋1，在△ABE 中，BE 2＝(3＋1)2＋⎝⎛⎭⎫622－2×(3＋1)×62×22＝52＋ 3. B 组 能力提高17．(2019·广东省中山一中等七校联考)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B, C 分别在x 轴和y 轴非负半轴上，点A 在第一象限，且∠BAC ＝π2， AB ＝AC ＝4，那么O, A 两点间距离的( )A ．最大值是42，最小值是4B ．最大值是8，最小值是4C ．最大值是42，最小值是2D ．最大值是8，最小值是2答案 A解析 设∠CBO ＝θ⎝⎛⎭⎫0≤θ<π2，E 为BC 的中点， 当θ＝0时，如图1，此时点C 与点O 重合，易知OA ＝4；图1 图2当0<θ<π4时，A ，O ，E 三点构成如图2的三角形，根据题意，可知∠OBC ＝∠BOE ，∠AEB ＝π2， AE ＝OE ＝2 2 ，则∠AEO ＝π2＋2θ， ∴cos ∠AEO ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2θ＝－sin 2θ，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴OA 2＝OE 2＋AE 2－2OE ·AE cos ∠AEO＝16＋16sin 2θ，即 16<OA 2<32，解得4<OA <42；当θ＝π4时，如图3，四边形ABOC 是正方形，OA ＝42，图3 图4当π4<θ<π 2时，A ，O ，E 三点构成如图4的三角形， ∴∠AEO ＝π2＋()π－2θ， ∴cos ∠AEO ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋()π－2θ＝－sin 2θ，2θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 同理可求得4<OA <4 2.18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若CD ＝1 且⎝⎛⎭⎫a －12b sin A ＝(c ＋b )(sin C －sin B )，则△ABC 面积的最大值是________．答案 155解析 如图，设∠CDA ＝θ，则∠CDB ＝π－θ，在△CDA 和△CDB 中，分别由余弦定理可得cos θ＝c 24＋1－b 2c ，cos(π－θ)＝c 24＋1－a 2c， 两式相加，整理得c 22＋2－(a 2＋b 2)＝0， ∴c 2＝2(a 2＋b 2)－4.①由⎝⎛⎭⎫a －12b sin A ＝(c ＋b )(sin C －sin B )及正弦定理得⎝⎛⎭⎫a －12b a ＝(c ＋b )(c －b )，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab 2，② 由余弦定理的推论可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝14， ∴sin C ＝154.把①代入②整理得a 2＋b 2＋ab 2＝4， 又a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴4≥2ab ＋ab 2＝5ab 2，故得ab ≤85. ∴S △ABC ＝12ab sin C ≤12×85×154＝155. 即△ABC 面积的最大值是155.。
2019年高考数学(文科)二轮专题辅导教师用书：第一部分 第二层级 重点、增分板块
重点增分专题一函数的图象与性质[全国卷3年考情分析]式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的判断及函数的奇偶性、周期性等．(2)此部分内容有时也出现在选择、填空中的压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大．考点一函数的概念及其表示保分考点·练后讲评[大稳定——常规角度考双基]1.[求函数的定义域]函数y＝log2(2x－4)＋1x－3的定义域是()A．(2,3)B．(2，＋∞) C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＞0，x －3≠0解得x ＞2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选D.2.[分段函数求函数值]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫ 12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2，故选B.3.[分段函数解不等式](2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)解析：选D 法一：①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．法二：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D. 4.[分段函数求参数值或范围]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，y ＝(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1]内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12.答案：⎣⎡⎭⎫0，12 [解题方略]1．函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略[小创新——变换角度考迁移]1.[概念型新定义函数问题]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝，那么f 2 019(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C ∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2，∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3，∴f 2 019(2)＝f 3×672＋3(2)＝f 3(2)＝2.2.[性质型新定义函数问题]已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3.[函数与概率交汇问题]已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[－1,3]，则任取一点x 0∈[－1,3]，使得f (x 0)≥0的概率为( )A.34B.13C.12D.14解析：选C 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[－1,3]，所以由f (x )≥0，解得0≤x ≤2，又x ∈[－1,3]，所以f (x 0)≥0的概率为24＝12.考点二 函数的图象及应用 增分考点·广度拓展题型一 函数图象的识别[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e－xx 2的图象大致为()(2)(2019届高三·广州测试)已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是( ) A ．y ＝x ln x B ．y ＝x ln x －x ＋1 C ．y ＝ln x ＋1x －1D ．y ＝－ln xx ＋x －1 [解析] (1)∵y ＝e x －e－x是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －1e >0，排除D 选项．又e>2，∴1e <12，∴e －1e>1，排除C 选项．故选B.(2)对于选项A ，当x ＝2时，2ln 2＝ln 4＞ln e ＝1，由图象可知选项A 不符合题意；对于选项B ，当x ＝e 时，eln e －e ＋1＝1，由图象可知选项B 不符合题意；对于选项C ，当x ＝e 时，ln e ＋1e －1＝1e ＜1，由图象可知选项C 不符合题意，故选D.[答案] (1)B (2)D[解题方略]寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法题型二 函数图象的应用[例2] (1)(2018·枣庄检测)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)(2)函数f (x )＝－x 2＋3x ＋a ，g (x )＝2x －x 2，若f (g (x ))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－e ，＋∞) B ．[－ln 2，＋∞) C ．[－2，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－12，0 [解析] (1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0， 作出函数f (x )的图象， 如图，观察图象可知，函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)如图所示，在同一坐标系中作出y ＝x 2＋1，y ＝2x ，y ＝x 2＋32的图象，由图象可知，在[0,1]上， x 2＋1≤2x ＜x 2＋32恒成立，即1≤2x －x 2＜32，当且仅当x ＝0或x ＝1时等号成立， ∴1≤g (x )＜32，∴f (g (x ))≥0⇒f (1)≥0⇒－1＋3＋a ≥0⇒a ≥－2， 则实数a 的取值范围是[－2，＋∞)． [答案] (1)C (2)C [解题方略]1．利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．2．利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.考点三 函数的性质及应用 增分考点·深度精研 [析母题——高考年年“神”相似][典例] 定义在R 上的奇函数f (x )，满足在(0，＋∞)上单调递增，且f (－1)＝0，则f (x ＋1)＞0的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(－1,0) B ．(0，＋∞) C ．(－2，－1)∪(1,2) D ．(－2，－1)∪(0，＋∞)[解析] 由f (x )为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，且f (－1)＝0，可得f (1)＝0，作出函数f (x )的示意图如图所示，由f (x ＋1)＞0，可得－1＜ x ＋1＜0或x ＋1＞1，解得－2＜x ＜－1或x ＞0，所以f (x ＋1)＞0的解集为(－2，－1)∪(0，＋∞)．[答案] D[练子题——高考年年“形”不同]1．本例中条件变为：若f (x )为偶函数，满足在[0，＋∞)上单调递减，且f (－1)＝0，则f (x ＋1)＞0的解集为________．解析：由f (x )为偶函数，在[0，＋∞)上单调递减， 且f (－1)＝0，得f (1)＝0. 由f (x ＋1)＞0，得|x ＋1|<1. 解得－2<x <0，所以f (x ＋1)的解集为(－2,0)． 答案：(－2,0)2．已知函数g (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，且f (x )＝g (|x |)，若f (log 2x )＋f (log 12x )≤2f (1)，则实数x的取值范围为________．解析：因为f (x )＝g (|x |)，所以函数f (x )是偶函数，又因为g (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )在区间(－∞，0)为减函数，在区间[0，＋∞)上是增函数．又因为log 12x ＝－log 2x ，所以f (log 2x )＋f (log 12x )≤2f (1)等价于f (log 2x )≤f (1)，所以－1≤log 2x ≤1，解得12≤x ≤2，所以实数x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2.答案：⎣⎡⎦⎤12，2 3．已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x ＜0时，g (x )＝－lg(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围为________．解析：因为奇函数g (x )满足当x ＜0时，g (x )＝－lg(1－x )， 所以当x ＞0时，－x <0，g (－x )＝－lg(1＋x )， 所以当x ＞0时，g (x )＝－g (－x )＝lg(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，lg (1＋x )，x ＞0.因为f (x )在其定义域上是增函数， 所以f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ， 解得－2<x <1，所以实数x 的取值范围为(－2,1)． 答案：(－2,1)[解题方略]1．函数3个性质及应用2．函数性质综合应用的注意点(1)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．(2)一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．[多练强化]1．(2018·南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则()A．f(0)＞f(log32)＞f(－log23)B．f(log32)＞f(0)＞f(－log23)C．f(－log23)＞f(log32)＞f(0)D．f(－log23)＞f(0)＞f(log32)解析：选C∵log23＞log22＝1＝log33＞log32＞0，且函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(log23)＞f(log32)＞f(0)，又函数f(x)为偶函数，∴f(log23)＝f(－log23)，∴f(－log23)＞f(log32)＞f(0)，故选C.2．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)解析：选B函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝a2对称，令a＝2可得与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图象．故选B.3．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2 D．50解析：选C法一：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.法二：由题意可设f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.4．(2018·郑州第二次质量预测)已知函数f (x )满足f (x ＋1)＋f (－x ＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是( )A ．f (x －1)＋1是偶函数B ．f (x －1)－1是奇函数C ．f (x ＋1)＋1是偶函数D ．f (x ＋1)－1是奇函数解析：选D 法一：因为f (x ＋1)＋f (－x ＋1)＝2，所以f (x )＋f (2－x )＝2，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(1,1)中心对称，而函数y ＝f (x ＋1)－1的图象可看作是由y ＝f (x )的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y ＝f (x ＋1)－1的图象关于点(0,0)中心对称，所以函数y ＝f (x ＋1)－1是奇函数，故选D.法二：由f (x ＋1)＋f (－x ＋1)＝2，得f (x ＋1)－1＋f (－x ＋1)－1＝0，令F (x )＝f (x ＋1)－1，则F (x )＋F (－x )＝0，所以F (x )为奇函数，即f (x ＋1)－1为奇函数，故选D.数学抽象——抽象函数与函数的三大性质[典例] 定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f (x )＝log 12(1－x )，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，32上是( ) A ．减函数且f (x )>0 B ．减函数且f (x )<0 C ．增函数且f (x )>0D ．增函数且f (x )<0[解析] 当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，由f (x )＝log 12(1－x )可知f (x )单调递增且f (x )>0，又函数f (x )为奇函数，所以在区间⎣⎡⎭⎫－12，0上函数f (x )也单调递增，且f (x )<0.由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )知，函数f (x )的周期为32，所以在区间⎝⎛⎭⎫1，32上，函数f (x )单调递增且f (x )<0.故选D.[答案] D [素养通路]数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包括：从数量与数量关系，图形与图形关系中抽象出数学概念与概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律与结构，并用数学语言予以表征．本题由函数的奇偶性得到其对称区间的单调性，由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )得知f (x )的周期，进而得出f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，32上的性质．考查了数学抽象这一核心素养．[专题过关检测]A 组——“12＋4”满分练一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x ，x <0，所以f (－2)＝－(－2)＝2，所以f (f (－2))＝f (2)＝22＝4.2．(2018·潍坊统一考试)下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝2xD ．y ＝log 2|x |解析：选B 因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A 、C ，又y ＝－x 2＋1在(0， ＋∞)上单调递减，y ＝log 2|x |在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.3．已知函数f (x )＝4|x |，g (x )＝2x 2－ax (a ∈R )．若f (g (1))＝2，则a ＝( ) A ．1或52B.52或32C ．2或52D ．1或32解析：选B 由已知条件可知f (g (1))＝f (2－a )＝4|2－a |＝2，所以|a －2|＝12，得a ＝52或32.4．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5的定义域和值域都是[1，a ]，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，所以f (x )在[1，a ]上是减函数，又f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. 5．(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：选D 法一：令f (x )＝－x 4＋x 2＋2， 则f ′(x )＝－4x 3＋2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝±22，则f ′(x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫0，22， f (x )单调递增；f ′(x )<0的解集为⎝⎛⎭⎫－22，0∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞，f (x )单调递减，结合图象知选D. 法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A 、B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316>2，所以排除C 选项．故选D.6.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C 由图象可得a ×(－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，∴a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.7．设函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )(x ∈R ，a ＞0且a ≠1)是偶函数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：选A 法一：因为函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )(x ∈R ，a ＞0且a ≠1)是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，所以－x 3(a －x ＋m ·a x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )，即x 3(1＋m )(a x ＋ a －x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以1＋m ＝0，即m ＝－1.法二：因为f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )是偶函数，所以g (x )＝a x ＋m ·a －x 是奇函数，且g (x )在x ＝0处有意义，所以g (0)＝0，即1＋m ＝0，所以m ＝－1.8．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x ＞0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3 解析：选A 当a ＞0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a ＞0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.9．函数f (x )＝1sin x －x的图象大致为( )解析：选A 由题意知，函数f (x )为奇函数，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除C 、D ，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝1sin π2－π2＜0，故排除选项B. 10．已知函数f (x )在(－1,1)上既是奇函数，又是减函数，则满足f (1－x )＋f (3x －2)＜0的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫34，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫34，1解析：选B 由已知得f (3x －2)＜f (x －1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜3x －2＜1，－1＜x －1＜1，3x －2＞x －1，解得12＜x ＜1，故选B.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3(a －3)x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x ＞1，对于任意的x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]＞0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．[1,3)解析：选D 由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]＞0，得函数f (x )为R 上的单调递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，3(a －3)＋2≥－4a ，解得1≤a ＜3.故选D.12．(2018·洛阳一模)已知a ＞0，设函数f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2 017B ．2 019C ．4 038D ．4 036解析：选D 由题意得f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x＋1＝2 019－22 019x ＋1. 因为y ＝2 019x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，所以f (x )＝2 019－22 019x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，所以M ＝f (a )，N ＝f (－a )，所以M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 038－22 019a＋1－22 019－a ＋1＝4 036. 二、填空题 13．函数y ＝log 5(x ＋1)5－x的定义域是________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，5－x ＞0得－1＜x ＜5，∴函数y ＝log 5(x ＋1)5－x的定义域是(－1,5)． 答案：(－1,5)14．函数f (x )＝ln 1|x |＋1的值域是________．解析：因为|x |≥0，所以|x |＋1≥1. 所以0＜1|x |＋1≤1.所以ln 1|x |＋1≤0， 即f (x )＝ln1|x |＋1的值域为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]15．(2018·福州质检)已知函数f (x )对任意的x ∈R 都满足f (x )＋f (－x )＝0，f ⎝⎛⎭⎫x ＋32为偶函数，当0＜x ≤32时，f (x )＝－x ，则f (2 017)＋f (2 018)＝________.解析：依题意，f (－x )＝－f (x )， f ⎝⎛⎭⎫－x ＋32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋32， 所以f (x ＋3)＝f (－x )＝－f (x )， 所以f (x ＋6)＝f (x )， 所以f (2 017)＝f (1)＝－1，f (2 018)＝f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＋32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋32＝f (1)＝－1，所以f (2 017)＋f (2 018)＝－2. 答案：－216．若当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象始终在函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象的下方，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝(x －1)2和y ＝log a x 的图象，由于当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象恒在函数y ＝log a x 的图象的下方，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 2≥1，解得1<a ≤2. 答案：(1,2]B 组——“12＋4”提速练一、选择题1．已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝f (2x )log 12(2－x )的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫12，2解析：选B 要使函数y ＝f (2x )log 12(2－x )有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 12(2－x )＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0＜2－x ＜1，解得32≤x ＜2.2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 与y ＝log a a x (a ＞0且a ≠1) B ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3C ．y ＝x 2－8与y ＝x －8D ．y ＝ln x 与y ＝12ln x 2解析：选A 对于选项A ，y ＝x 与y ＝log a a x ＝x (a ＞0且a ≠1)的定义域都为R ，解析式相同，故A 中两函数表示同一函数；B 、D 中两函数的定义域不同；C 中两函数的对应法则不同，故选A.3．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝1x －xB ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝2x解析：选A “∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”等价于f (x )在(0，＋∞)上为减函数，易判断f (x )＝1x －x 满足条件．4．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则g (f (－7))＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选D 函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，令x ＜0，则－x ＞0，f (－x )＝log 2(－x ＋1)， 因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x ＋1)， 所以g (x )＝－log 2(－x ＋1)(x ＜0)， 所以f (－7)＝g (－7)＝－log 2(7＋1)＝－3， 所以g (－3)＝－log 2(3＋1)＝－2.5．(2018·合肥质检)函数y ＝ln(2－|x |)的大致图象为( )解析：选A 令f (x )＝ln(2－|x |)，易知函数f (x )的定义域为{x |－2<x <2}，且f (－x )＝ ln(2－|－x |)＝ln(2－|x |)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除选项C 、D.当x ＝32时，f ⎝⎛⎭⎫32＝ln 12<0，排除选项B ，故选A. 6．已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，134 B ．(－∞，－3) C ．(－3，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫134，＋∞ 解析：选D 依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈ [－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a >x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a >－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立．设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋134 (－1≤x ≤2)，当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝134，因此a ＞134，故选D. 7．(2018·南昌模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x >1，若f (1)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,2)B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[1，＋∞)解析：选C 法一：∵f (1)是f (x )的最小值， ∴y ＝2|x －a |在(－∞，1]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，2|1－a |≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，|1－a |≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0≤a ≤2， ∴1≤a ≤2，故选C.法二：当a ＝0时，函数f (x )的最小值是f (0)，不符合题意，排除选项A 、B ；当a ＝3时，函数f (x )无最小值，排除选项D ，故选C.8．(2018·福州质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x ，x ＞0，则满足不等式f (x 2－2)>f (x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：选C 法一：因为当x ＞0时，函数f (x )单调递增；当x ≤0时，f (x )＝0，故由 f (x 2－2)>f (x )，得⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2－2>x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2＞0，解得x >2或x <－2，所以x 的取值范围是 (－∞，－2)∪(2，＋∞)，故选C.法二：取x ＝2，则f (22－2)＝f (2)，所以x ＝2不满足题意，排除B 、D ；取x ＝－1.1，则f [(－1.1)2－2]＝f (－0.79)＝0，f (－1.1)＝0，所以x ＝－1.1不满足题意，排除A ，故选C.9.如图，把圆周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A (0,1)，一动点M 从点A 开始逆时针绕圆运动一周，记AM ＝x ，直线AM 与x 轴交于点N (t,0)，则函数t ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D 当x 由0→12时，t 从－∞→0，且单调递增，当x 由12→1时，t 从0→＋∞，且单调递增，所以排除A 、B 、C ，故选D.10.函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0解析：选C ∵f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象与x 轴，y 轴分别交于N ，M ，且点M 的纵坐标与点N 的横坐标均为正，∴x ＝－b a >0，y ＝bc2>0，故a <0，b >0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c >0，c <0，故选C.11．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：选C 作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．12．在实数集R 上定义一种运算“★”，对于任意给定的a ，b ∈R ，a ★b 为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：(1)a ★b ＝b ★a ；(2)a ★0＝a ；(3)(a ★b )★c ＝c ★(ab )＋(a ★c )＋(c ★b )－2c . 关于函数f (x )＝x ★1x ，有如下说法： ①函数f (x )在(0，＋∞)上的最小值为3； ②函数f (x )为偶函数； ③函数f (x )为奇函数；④函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)； ⑤函数f (x )不是周期函数． 其中正确说法的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 对于新运算“★”的性质(3)，令c ＝0，则(a ★b )★0＝0★(ab )＋(a ★0)＋(0★b )＝ab ＋a ＋b ，即a ★b ＝ab ＋a ＋b .∴f (x )＝x ★1x ＝1＋x ＋1x ，当x >0时，f (x )＝1＋x ＋1x ≥1＋2x ·1x ＝3，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，∴函数f (x )在(0，＋∞)上的最小值为3，故①正确；函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f (1)＝1＋1＋1＝3，f (－1)＝1－1－1＝－1，∴f (－1)≠－f (1)且f (－1)≠f (1)，∴函数f (x )为非奇非偶函数，故②③错误；根据函数的单调性，知函数f (x )＝1＋x ＋1x 的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故④正确；由④知，函数f (x )＝1＋x ＋1x 不是周期函数，故⑤正确．综上所述，所有正确说法的个数为3，故选C.二、填空题13．(2018·惠州调研)已知函数f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝________.解析：由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝⎛⎭⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4. 答案：－414．已知函数f (x )的图象关于点(－3,2)对称，则函数h (x )＝f (x ＋1)－3的图象的对称中心为________． 解析：函数h (x )＝f (x ＋1)－3的图象是由函数f (x )的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f (x )的图象关于点(－3,2)对称，所以函数h (x )的图象的对称中心为 (－4，－1)．答案：(－4，－1)15．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)，则当－1<f (－1)<1时，a 的取值范围为________．解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－1)＝f (1)＝log a 2. 因为－1<f (－1)<1，所以－1<log a 2<1， 所以log a 1a<log a 2<log a a .①当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a <2，a >2，解得a >2；②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a >2，a <2，解得0<a <12.综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 答案：⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 16．已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R )在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断： ①f (5)＝0；②f (x )在[1,2]上是减函数； ③函数f (x )没有最小值；④函数f (x )在x ＝0处取得最大值； ⑤f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中正确的序号是________．解析：因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以f (1＋x )＝－f (1－x )＝－f (x －1)，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数．由题意知，函数y ＝f (x )(x ∈R )关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．答案：①②④重点增分专题二 基本初等函数、函数与方程[全国卷3年考情分析]出现在第7～11题的位置，有时难度较大．(2)函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，题目可能较难，应引起重视．考点一 基本初等函数的图象与性质 增分考点·深度精研[析母题——高考年年“神”相似][典例] (1)若当x ∈R 时，函数f (x )＝a |x |(a >0，且a ≠1)满足f (x )≤1，则函数y ＝log a (x ＋1)的图象大致为( )(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，函数f (x )是单调递减函数，则f (log 25)，f ⎝⎛⎭⎫log 315，f (log 53)的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫log 315<f (log 53)<f (log 25) B ．f ⎝⎛⎭⎫log 315<f (log 25)<f (log 53) C ．f (log 53)<f ⎝⎛⎭⎫log 315<f (log 25) D ．f (log 25)<f ⎝⎛⎭⎫log 315<f (log 53) [解析] (1)由a |x |≤1(x ∈R )，知0<a <1，又函数y ＝log a (x ＋1)的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移一个单位而得，故选C.(2)因为f (x )在R 上为偶函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫log 315＝f (－log 35)＝f (log 35)． 由对数函数的单调性可知，log 25>log 35>1>log 53>0. 又因为f (x )在[0，＋∞)上为单调递减函数，所以f (log 53)>f (log 35)>f (log 25)，即f (log 53)>f ⎝⎛⎭⎫log 315>f (log 25)． [答案] (1)C (2)D[练子题——高考年年“形”不同]1．本例(1)变为：若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：选B ∵y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}，∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称．因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.2．本例(1)变为：若函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )解析：选C 法一：由函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，得2a ＝4，∴a ＝2，则g (x )＝|log a (x ＋1)|＝|log 2(x ＋1)|，将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位长度(纵坐标不变)，然后将x 轴下方的图象翻折上去，即可得g (x )的图象，故选C.法二：由函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，得2a ＝4，∴a ＝2，即g (x )＝|log 2(x ＋1)|，由g (x )的定义域为{x |x >－1}，排除B 、D ；由x ＝0时，g (x )＝0，排除A.故选C.3．本例(2)变为：已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈[0，＋∞)时，函数f (x )是单调递增函数，则f (log 25)，f ⎝⎛⎭⎫log 315，f (log 53)的大小关系是________． 解析：由对数函数的单调性知log 25>log 53>log 315.又f (x )在R 上为奇函数且当x ∈[0， ＋∞)时，f (x )为增函数，∴f (x )在R 上为增函数．∴f (log 25)>f (log 53)>f ⎝⎛⎭⎫log 315. 答案：f (log 25)>f (log 53)>f ⎝⎛⎭⎫log 315[解题方略] 基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，若底数a 的值不确定，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y ＝x α的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．[多练强化]1．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b解析：选B ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.2．若函数y ＝a －a x (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵当a >1时，函数y ＝a －a x 在[0,1]上单调递减，∴a －1＝1且a －a ＝0，解得a ＝2；当0<a <1时，函数y ＝a －a x 在[0,1]上单调递增，∴a －1＝0且a －a ＝1，此时无解．∴a ＝2，因此log a56＋log a 485＝log 2⎝⎛⎭⎫56×485＝log 28＝3.故选C. 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x－1，x ≤0，x 12，x >0在区间[－1，m ]上的最大值是2，则m 的取值范围是________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x－1，x ≤0，x 12，x >0作出函数的图象，如图所示，因为函数f (x )在[－1，m ]上的最大值为2，又f (－1)＝f (4)＝2，所以－1<m ≤4，即m ∈(－1,4]．答案：(－1,4]考点二 函数与方程 增分考点·广度拓展 题型一 确定函数零点个数或所在区间[例1] (1)(2018·邯郸月考)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)(2)(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________． [解析] (1)法一：因为f (1)＝0＋1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数f (x )的零点所在区间为(1,2)，故选B.法二：函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作出图象如图所示．由图可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)． (2)由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝0.∵x ∈[0，π]，∴3x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，19π6， ∴当3x ＋π6取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为3. [答案] (1)B (2)3 [解题方略]1．判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上； (2)利用零点存在性定理进行判断；(3)画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．2．判断函数零点个数的3种方法题型二 根据函数的零点求参数的范围[例2] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)(2)已知定义域为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18.若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，33 B.⎝⎛⎭⎫0，22 C.⎝⎛⎭⎫0，55 D.⎝⎛⎭⎫0，66[解析] (1)令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.(2)∵f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，f (x )是偶函数，∴f (1)＝0，∴f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为2的周期函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，作出函数y ＝f (x )与g (x )＝log a (x ＋1)的图象如图所示，∵两个函数图象在(0，＋∞)上至少有三个交点，∴g (2)＝log a 3>f (2)＝－2，且0<a <1，解得0<a <33，故选A. [答案] (1)C (2)A[解题方略]利用函数零点的情况求参数的范围的3种方法直观想象——数形结合法在函数零点问题中的应用[典例] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象的交点的个数．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x－4的零点有2个．故选B.[答案] B [素养通路]直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．本题是函数零点个数问题，基本思路是数形结合，即把函数拆分为两个基本初等函数，这两个函数图象的交点个数即为函数的零点个数，对于不易直接求解的方程的根的个数的讨论，也是通过根据方程构建两个函数，利用两函数图象交点个数得出对应方程根的个数．考查了直观想象这一核心素养．[专题过关检测]A 组——“12＋4”满分练一、选择题1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数解析：选D 设幂函数f (x )＝x a，则f (3)＝3a＝3，解得a ＝12，则f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．2．函数y ＝a x ＋2－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过的点是( )A ．(0,0)B ．(0，－1)C ．(－2,0)D ．(－2，－1)解析：选C 令x ＋2＝0，得x ＝－2，所以当x ＝－2时，y ＝a 0－1＝0，所以y ＝a x ＋2－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过点(－2,0)．3．(2019届高三·益阳、湘潭调研)若a ＝log 32，b ＝lg 0.2，c ＝20.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．b <a <c C ．a <b <cD ．b <c <a解析：选B 由对数函数的性质可得a ＝log 32∈(0,1)，b ＝lg 0.2<0.由指数函数的性质可得c ＝20.2>1，∴b <a <c ，故选B.4．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y＝f (x )＋3x 的零点个数是2.故选C.5．已知函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，－log 32) B ．(0，log 52) C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)解析：选C ∵函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，且f (x )在(1,2)内单调， ∴f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1.6．(2018·贵阳适应性考试)已知奇函数f (x )在R 上是减函数，且a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 3110，b ＝f (log 39.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．b >a >cD ．c >a >b解析：选B ∵f (x )是奇函数，∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 3110＝f ⎝⎛⎭⎫－log 3110＝f (log 310)． 又∵log 310>log 39.1>log 39＝2>20.8，且f (x )在R 上单调递减， ∴f (log 310)<f (log 39.1)<f (20.8)，即c >b >a ，故选B.7．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数解析：选D 由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x－1在(－1,1)上是增函数，∴f (x )在(－1,1)上是增函数．选D. 8．若函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x，则f (2)＋g (4)＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D 法一：∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称， 又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ＝2x ，∴g (x )＝log 2x ， ∴f (2)＋g (4)＝22＋log 24＝6.法二：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ，∴f (2)＝4，即函数f (x )的图象经过点(2,4)，∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，∴函数g (x )的图象经过点(4,2)，∴f (2)＋g (4)＝4＋2＝6.9．设函数f (x )＝a x －k －1(a >0，且a ≠1)过定点(2,0)，且f (x )在定义域R 上是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )解析：选A 由题意可知a 2－k －1＝0，解得k ＝2，所以f (x )＝a x －2－1，又f (x )在定义域R 上是减函数，所以0<a <1.此时g (x )＝log a (x ＋2)在定义域上单调递减，且恒过点(－1,0)，故选A.10．已知函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，且a ≠1)，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 B ．(0，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，－14 D.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 解析：选A 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，2x 2＋x ∈(0,1)，因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，恒有f (x )>0，所以0<a <1，由2x 2＋x >0得x >0或x <－12.又2x 2＋x ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋142－18，由复合函数的单调性可知，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－12.11．设方程10x ＝|lg(－x )|的两根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<1解析：选D 作出函数y ＝10x ，y ＝|lg(－x )|的图象，由图象可知，两个根一个小于－1，一个在(－1,0)之间，不妨设x 1<－1，－1<x 2<0， 则10x 1＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)． 两式相减得：lg(－x 1)－(－lg(－x 2))＝lg(－x 1)＋lg(－x 2) ＝lg(x 1x 2)＝10x 1－10x 2<0，即0<x 1x 2<1.12．(2018·陕西质检)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x <1时，f (x )＝x ，则函数g (x )＝f (x )－ln|x |的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 依题意，可知函数g (x )＝f (x )－ln|x |的零点个数即为函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝ln|x |的图象的交点个数．设－1≤x <0，则0≤x ＋1<1， 此时有f (x )＝－f (x ＋1)＝－(x ＋1)， 又由f (x ＋1)＝－f (x )， 得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， 即函数f (x )以2为周期的周期函数．而y ＝ln|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，ln (－x )，x <0，在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象与y ＝ln|x |的图象如图所示， 由图可知，两图象有3个交点，即函数g (x )＝f (x )－ln|x |有3个零点，故选B.二、填空题13．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝log 2(x 2＋a )且f (3)＝1， ∴1＝log 2(9＋a )，∴9＋a ＝2，∴a ＝－7. 答案：－714．(2019届高三·南宁二中、柳州高中联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≤0，log12x ，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫14＋f ⎝⎛⎫log 216＝________.解析：由题可得f ⎝⎛⎭⎫14＝log 1214＝2，因为log 216<0，所以f ⎝⎛⎭⎫log 216＝⎝⎛⎭⎫12log 216＝2log 26＝6，故f ⎝⎛⎭⎫14＋f ⎝⎛⎭⎫log 216＝8.答案：815．有四个函数：①y ＝x 12；②y ＝21－x ；③y ＝ln(x ＋1)；④y ＝|1－x |.其中在区间(0,1)内单调递减的函数的序号是________．解析：分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(0,1)内单调递减．答案：②④16．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，。
第一部分 层级二 专题7 第2讲 高考数学(文科)二轮总复习 层级2 保分专题7 选修系列4
当x≤－12时，由f(x)＜2得－2x＜2，
解得－1<x≤－12；
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当－12＜x＜12时，f(x)＜2恒成立； 当x≥12时，由f(x)＜2得2x＜2，解得12≤x＜1， 所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．
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(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，即－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1 ＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0，
第一部分 高考层级专题突破 层级二 7个保分专题 师生共研
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专题七 选修系列(4) 第二讲 不等式选讲
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感悟真题 考点突破 课时跟踪检测
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1．(2019·全国卷 Ⅱ )已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)． (1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集； (2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)． 当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0； 当x≥1时，f(x)≥0， 所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．
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2．利用绝对值的几何意义解题 由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的 距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的 不等式，用绝对值的几何意义求解更直观．
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第1部分 层级2 专题6 第2讲 高考数学(理科)二轮总复习 层级2 保分专题6 解析几何
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专题六 解析几何 第二讲 圆锥曲线的方程与性质
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感悟真题 考点突破 课时跟踪检测
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栏目Байду номын сангаас航
1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆3xp2 ＋yp2＝1 的一个焦点，则 p
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|练题点|
1．(一题多解)(2019·辽宁五校联考)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为 y＝± 3x，
则该双曲线的标准方程是( ) A．71x62－1y22 ＝1 C．x2－y32＝1
B．y32－x22＝1 D．32y32－2x32 ＝1
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解析：选 C 解法一：(定义法)若双曲线的焦点在 x 轴上，设其标准方程为ax22－by22＝
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2．已知抛物线 y2＝2x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，若 A(3,2)，则|PA|＋|PF| 的最小值为________，此时点 P 的坐标为________．
解析：将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6. 因为 6>2，所以点 A 在抛物线内部，如图所示． 过点 P 作 PQ⊥l 于点 Q，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|， 当 PA⊥l，即 A，P，Q 三点共线时，|PA|＋|PQ|最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最 小值为72，此时点 P 的纵坐标为 2，代入 y2＝2x，得 x＝2，所以所求点 P 的坐标为(2,2)．
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第1部分 层级2 专题6 第1讲 高考数学(理科)二轮总复习 层级2 保分专题6 解析几何
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明考情 1．近两年圆的方程成为高考全国卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏 下，多以选择题或填空题形式考查． 2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴 题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综 合问题上．
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(2)化圆 C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0(r>0)为(x－1)2＋(y－2)2＝r2， 可得圆心坐标为(1,2)，半径为 r， 由圆心(1,2)到直线 l：3x－4y－15＝0 的距离 d＝|3×13－2＋4×－24－215|＝4，且|AB|＝6， 得 r2＝32＋42＝25. ∴圆 C 的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.故选 B．
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3．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线 l：mx＋y＋3m－ 3＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两 点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点．若|AB|＝2 3，则|CD|＝________.
解析：设圆心到直线 l：mx＋y＋3m－ 3＝0 的距离为 d，则弦长|AB|＝2 12－d2＝ 2 3，得 d＝3，即|3mm－2＋13|＝3，解得 m＝－ 33，则直线 l：x－ 3y＋6＝0，数形结合可 得|CD|＝co|As B30| °＝4.
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2．已知圆 C 的圆心在 y 轴上，点 M(3,0)在圆 C 上，且直线 2x－y－1＝0 经过线段 CM 的中点，则圆 C 的标准方程是( )
A．x2＋(y－3)2＝18 B．x2＋(y＋3)2＝18 C．x2＋(y－4)2＝25 D．x2＋(y＋4)2＝25
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2018届高考数学二轮复习 第一部分 层级二 75分的重点保分题精析精研 保分专题(二)基本初等函数、函数与方
②当 m>1 时，0<m1 <1，如图②，要使 f(x)与 g(x)的图象 在[0,1]上只有一个交点，只需 g(1)≤f(1)，即 1＋m≤(m－1)2， 解得 m≥3 或 m≤0(舍去)．
－x＋1，x≤1， 即 g(x)＝－x2＋6x－5，1<x≤4，
x－1，x>4，
由yy＝ ＝－x－x21＋，6x－5， 得 A(4,3)， f2(x)＝－x2＋6x－5 的顶点坐标为 B(3,4)，
要使方程 g(x)＝a 有四个不同的实数解，即函数 g(x)的图象与函数 y＝a 的图象有四个不同交点，数形结合可得 3<a<4，故选 D.
2．某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月
份的月销售量 Q(x)(百台)进行统计，得数据如下：
x(月份) Q(x)(百台)
12 3 45 6 9 10 8 6
根据表中的数据，你认为能较好地描述月销售量 Q(x)(百台)
与时间 x(月份)变化关系的模拟函数是
()
A．Q(x)＝ax＋b(a≠0)
加以综合解答．
[即学即用·练通] 1．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有
某型号电脑 6 台，乙分公司现有同一型号的电脑 12 台．现
A 地某单位向该公司购买该型号的电脑 10 台，B 地某单
位向该公司购买该型号的电脑 8 台．已知从甲地运往 A，
B 两地每台电脑的运费分别是 40 元和 30 元，从乙地运往
[答案] B
[类题通法] 基本初等函数的图象与性质的应用技巧
第一部分 层级二 专题4 第1讲 高考数学(文科)二轮总复习 层级2 保分专题4 立体几何
A. 6 C. 3
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B.2 D. 2
(3)某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等腰直角三角形，俯视图的轮廓是直 角梯形，则该四棱锥的各侧面面积的最大值为( )
A．8 B．4 5 C．8 2 D．12 2
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[解析] (1)截去两个三棱锥后的几何体的侧视图可以看见的实线段为 AD1，AD， DD1，D1B1，AB1，而线段 B1C 被遮住，在侧视图中为虚线，所以侧视图为选项 B 中 的图形．故选 B.
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5．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信 的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半 正多面体”(图①)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正 多面体体现了数学的对称美．图②是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都 在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有________个 面，其棱长为________．
①
②
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解析：先求面数，有如下两种方法． 解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为 48 可知，其上部分有 9 个面， 中间部分有 8 个面，下部分有 9 个面，共有 2×9＋8＝26(个)面． 解法二：一般地，对于凸多面体 顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2.(欧拉公式) 由题图知，棱数为 48 的半正多面体的顶点数为 24. 故由 V＋F－E＝2，得面数 F＝2＋E－V＝2＋4的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )
A．28＋6 5 C．56＋12 5
B．60＋12 5 D．30＋6 5
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第一部分 层级二 专题1 第1讲 高考数学(文科)二轮总复习 层级2 保分专题1 函数与导数
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|规 律 方 法 | 对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如 f[g(x)] 的函数求值时，应遵循先内后外的原则．
[提醒] 对于分段函数，已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根 据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的 自变量的取值范围．
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[解析]
(1)解法一：令
y＝f(x)＝－x4＋x2＋2，则
f′(x)＝－4x3＋2x＝－4xx＋
2 2
x－ 22，当 x<－ 22或 0<x< 22时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当－ 22<x<0 或 x> 22时，f′(x)<0，
f(x)单调递减．由此可得 f(x)的图象大致为 D 中的图象．故选 D.
R
的偶函数，所以
f
1 log34
＝
f(
－
log34)＝
f(log34)．又因为
23
log34＞1＞2－3＞2－2＞0，且函数
f(x)在(0，＋∞)单调递减，所以
1 flog34
2
3
＜f(2－3)＜f(2－2)．故选 C.
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3．(2018·全国卷Ⅱ)已知 f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足 f(1－x)＝f(1
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析考情
1．高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度 中等偏下．
2．对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象， 通过数形结合的思想解决问题．
第一部分 层级二 专题6 第1讲 高考数学(文科)二轮总复习 层级2 保分专题6 解析几何
课时跟踪检测(十二) 直线与圆一、选择题1．圆心为(4,0)且与直线 3x －y ＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋y 2＝1 B ．(x －4)2＋y 2＝12 C ．(x －4)2＋y 2＝6D ．(x ＋4)2＋y 2＝9解析：选B 由题意知，圆的半径为圆心到直线3x －y ＝0的距离，即r ＝|3×4－0|3＋1＝23，故圆的方程为(x －4)2＋y 2＝12，故选B. 2．(2019·长青模拟)过点P (0,1)的直线l 与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则该直线的斜率为( )A ．±1B ．±2C ．±3D ．±2解析：选A 由题意设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，半径为r ＝1，又弦长|AB |＝2，所以圆心到直线的距离为d ＝ r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝1－12＝22，所以有|k |k 2＋1＝22，解得k ＝±1. 3．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)可化为x2＋(y－a)2＝a2，由题意，M(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以a2＝a22＋2，解得a＝2(a＝－2舍去)．所以圆M：x2＋(y－2)2＝4，所以两圆的圆心距为2，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．4．在等腰三角形MON中，|MO|＝|MN|点O(0,0)，M(－1,3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为()A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0解析：选C因为|MO|＝|MN|所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以k MN＝－k MO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0.5．(2019·重庆模拟)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝1上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,2 2 ] B．[2,4]C．[1,2] D．[1,3]解析：选D由直线x＋y＋2＝0可得A(－2，0)，B(－2，0)，∴|AB|＝2，又圆心(2，0)到直线的距离d＝|2＋0＋2|2＝2，∴点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离得最小值为2－1＝1，最大值为2＋1＝3， 则△ABP 的面积的最小值为12×2×1＝1，最大值为12×2×3＝3，故选D. 6．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选C 解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x 2＋y 2＝4，得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)＞0，y 1＋y 2＝2kk 2＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1，因为OM→＝OA →＋OB →， 故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2＋1，2k k 2＋1，又点M 在圆C 上．故4(k 2＋1)2＋4k 2(k 2＋1)2＝4，解得k ＝0. 解法二：由直线与圆相交于A ，B 两点，OM→＝OA →＋OB →，且点M 在圆C 上，得圆心C (0,0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半，即为1，即d ＝11＋k2＝1，解得k ＝0.二、填空题7．已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数a 的取值范围为_____________________________________．解析：由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆O 上到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d ＜r ＋1＝2＋1＝3，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2＜3， 解得a ∈(－32，32)． 答案：(－32，32)8．过点C (3,4)作圆x 2＋y 2＝5的两条切线，切点分别为A ，B ，则点C 到直线AB 的距离为________．解析：以OC 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，因为AB 为圆C与圆O ：x 2＋y 2＝5的公共弦，所以AB 的方程为x 2＋y 2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝5－254，化简得3x ＋4y －5＝0，所以C 到直线AB 的距离d ＝|3×3＋4×4－5|32＋42＝4.答案：49．已知直线l ：ax －3y ＋12＝0与圆M ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，且∠AMB ＝π3，则实数a ＝________.解析：直线l 的方程可变形为y ＝13ax ＋4，所以直线l 过定点A (0,4)，且该点在圆M 上．圆的方程可变形为x 2＋(y －2)2＝4，所以圆心为M (0,2)，半径为2.如图，因为∠AMB ＝π3，所以△AMB 是等边三角形，且边长为2，高为3，即圆心M 到直线l 的距离为3，所以|－6＋12|a 2＋9＝3，解得a ＝±3.答案：±3 三、解答题10．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解：(1)由题设可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2＜1.解得4－73＜k ＜4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得，4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.11．(2019·武汉模拟)已知圆C 经过点A (0,0)，B (7,7)，圆心在直线y ＝43x 上． (1)求圆C 的标准方程；(2)若直线l 与圆C 相切且在x ，y 轴截距相等，求直线l 的方程．解：(1)根据题意，设圆C 的圆心为(a ，b )，半径为r ，则其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆C 经过点A (0,0)，B (7,7)，圆心在直线y ＝43x 上，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，(a －7)2＋(b －7)2＝r 2，b ＝4a 3，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝4，r ＝5.则圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25. (2)若直线l 与圆C 相切且在x ，y 轴截距相等， 分两种情况讨论：①直线l 经过原点，设直线l 的方程为y ＝kx ，则有|3k －4|1＋k 2＝5， 解得k ＝－34，此时直线l 的方程为y ＝－34x ；②直线l 不经过原点，设直线l 的方程为x ＋y －m ＝0，则有|7－m |1＋1＝5，解得m ＝7＋52或m ＝7－5 2.此时直线l 的方程为x ＋y ＋52－7＝0或x ＋y －52－7＝0.综上，直线l 的方程为y ＝－34x 或x ＋y ＋52－7＝0或x ＋y －52－7＝0.12．(2019·南昌模拟)如图，已知圆O 的圆心在坐标原点，点M (3，1)是圆O 上的一点．(1)求圆O 的方程；(2)若过点P (0,1)的动直线l 与圆O 相交于A ，B 两点．在平面直角坐标系xOy 内，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)点M (3，1)是圆O 上的一点，可得圆O 的半径为3＋1＝2， 则圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)若直线l 的斜率为0，可得直线方程为y ＝1，A (3，1)，B (－3，1)， 由|P A |＝|PB |可得|QA |＝|QB |即Q 在y 轴上，设Q (0，m )， 若过点P (0,1)的动直线l 的斜率不存在，设直线方程为x ＝0， 则A (0,2)，B (0，－2)，由|QA ||QB |＝|P A ||PB |可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －2m ＋2＝13，解得m ＝1或4，由Q 与P 不重合，可得Q (0,4)， 下面证明斜率存在且不为0的直线与圆的交点，也满足|QA ||QB |＝|P A ||PB |成立． 若直线的斜率存在且不为0，可设直线方程为y ＝kx ＋1，联立圆x 2＋y 2＝4，可得(1＋k 2)x 2＋2kx －3＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，可得x 1＋x 2＝－2k 1＋k 2，x 1x 2＝－31＋k 2， 由k QA ＋k QB ＝y 1－4x 1＋y 2－4x 2＝kx 1＋1－4x 1＋kx 2＋1－4x 2＝2k －3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k －3·x 1＋x 2x 1x 2＝2k －3·2k 3＝0， 可得QA 和QB 关于y 轴对称，所以QP 为△BQA 中∠BQA 的角平分线，由角平分线定理得|QA ||QB |＝|P A ||PB |.综上，符合条件的点Q 存在，其坐标为(0,4)．。
第一部分 层级二 专题1 第1讲 高考数学(文科)二轮总复习 层级2 保分专题1 函数与导数
课时跟踪检测(一) 函数的图象与性质一、选择题1．已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2 解析：选B 要使函数y ＝有意义，需满足⎩⎨⎧3≤2x ≤6，log 12(2－x )>0，即⎩⎨⎧32≤x ≤3，0<2－x <1，解得32≤x <2.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x ，x <0，则f [f (－2)]＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x ，x <0，所以f (－2)＝－(－2)＝2， 所以f [f (－2)]＝f (2)＝22＝4.3．设函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )(x ∈R ，a >0且a ≠1)是偶函数，则实数m 的值为()A．－1 B．1C．2 D．－2解析：选A解法一：因为函数f(x)＝x3(a x＋m·a－x)(x∈R，a>0且a≠1)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以－x3(a－x＋m·a x)＝x3(a x＋m·a －x)，即x3(1＋m)(a x＋a－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以1＋m＝0，即m＝－1.解法二：因为f(x)＝x3(a x＋m·a－x)是偶函数，所以g(x)＝a x＋m·a－x是奇函数，且g(x)在x＝0处有意义，所以g(0)＝0，即1＋m＝0，所以m＝－1.4．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0”的是()A．f(x)＝1x－x B．f(x)＝x3C．f(x)＝ln x D．f(x)＝2x解析：选A由题意可知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选A. 5．(2019·南昌模拟)函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为()解析：选A 令f (x )＝ln(2－|x |)，易知函数f (x )的定义域为{x |－2<x <2}，排除选项C ；且f (－x )＝ln(2－|－x |)＝ln(2－|x |)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除选项D ；当x ＝32时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 12<0，排除选项B.故选A.6．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎨⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，则g [f (－7)]＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选D 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，所以令x <0，则－x >0，f (－x )＝log 2(－x ＋1)， 因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x ＋1)， 故g (x )＝－log 2(－x ＋1)(x <0)，所以f (－7)＝g (－7)＝－log 2(7＋1)＝－3，所以g (－3)＝－log 2(3＋1)＝－2.7．已知奇函数f (x )在R 上是减函数，且a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 3110，b ＝f (log 39.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．b >a >cD ．c >a >b解析：选B ∵f (x )是奇函数，∴a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 3110＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 3110＝f (log 310)．又∵log 310>log 39.1>log 39＝2>20.8，且f (x )在R 上单调递减，∴f (log 310)<f (log 39.1)<f (20.8)，即c >b >a ，故选B.8．已知函数f (x )在(－1,1)上既是奇函数，又是减函数，则满足f (1－x )＋f (3x －2)<0的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 解析：选B 由已知得f (3x －2)<f (x －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<3x －2<1，－1<x －1<1，3x －2>x －1，解得12<x <1，故选B.9．(2019·唐山模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x ＋1)＝f (1－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (31)＝( )A ．0B ．1C．－1 D．2解析：选C由f(x＋1)＝f(1－x)及f(－x)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[1－(x＋1)]＝f(－x)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(31)＝f(4×8－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1，故选C.10．(2019·江西红色七校联考)若f(x)＝e x－a e－x为奇函数，则满足f(x－1)>1e2－e2的x取值的范围是()A．(－2，＋∞) B．(－1，＋∞)C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)解析：选B由f(x)＝e x－a e－x为奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即e－x－a e x＝a e－x－e x，得a＝1，所以f(x)＝e x－e－x，则f(x)在R上单调递增，又f(x－1)>1e2－e2＝f(－2)，所以x－1>－2，解得x>－1，故选B.11.如图，把周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A(0,1)，一动点M从点A开始逆时针绕圆运动一周，记AM＝x，直线AM与x轴交于点N(t,0)，则函数t＝f(x)的图象大致为()解析：选D 当x 由0→12时，t 从－∞→0，且单调递增，当x 由12→1时，t 从0→＋∞，且单调递增，所以排除A 、B 、C ，故选D.12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x ＜0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0＜|x 1|＜|x 2|下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)＜0B ．f (x 1)＋f (x 2)＞0C ．f (x 1)－f (x 2)＞0D ．f (x 1)－f (x 2)＜0解析：选D 函数f (x )的图象如图所示．f (－x )＝f (x )，则函数f (x )是偶函数，且在x ＝0处取得最小值．又0＜|x 1|＜|x 2|则f (x 2)＞f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)＜0.二、填空题13．已知函数f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝________.解析：由已知得，f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4. 答案：－414．已知函数f (x )的图象关于点(－3,2)对称，则函数h (x )＝f (x ＋1)－3的图象的对称中心为________．解析：函数h (x )＝f (x ＋1)－3的图象是由函数f (x )的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的，又f (x )的图象关于点(－3,2)对称，所以函数h (x )的图象的对称中心为(－4，－1)．答案：(－4，－1)15．(2019·广州模拟)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，且函数y ＝f (x ＋1)为奇函数，当0≤x <1时，f (x )＝x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.解析：因为f (x )是R 上的偶函数，y ＝f (x ＋1)为奇函数，所以f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x )，即f (x )的周期T ＝4，因为0≤x <1时，f (x )＝x 2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14.答案：－1416．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x >1，若f (1)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f (1)是f (x )的最小值，∴y ＝2|x －a |在(－∞，1]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，2|1－a |≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，|1－a |≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0≤a ≤2，∴1≤a ≤2. 答案：[1,2]。
第一部分 层级二 专题3 第1讲 高考数学(文科)二轮总复习 层级2 保分专题3 数列
课时跟踪检测(六) 等差数列、等比数列一、选择题1．(2019·郑州模拟)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d ＝( )A ．1B ．2C ．3D.53解析：选B 在等差数列{a n }中，S 3＝3(a 1＋a 3)2＝3(a 1＋6)2＝12，解得a 1＝2.又a 3＝a 1＋2d ＝2＋2d ＝6，解得d ＝2，故选B.2．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 2·a 6＝9a 4，a 2＝1，则a 1的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－13D.13解析：选D 设数列{a n }的公比为q ，由a 2·a 6＝9a 4，得a 2·a 2q 4＝9a 2q 2，解得q 2＝9，所以q ＝3或q ＝－3(舍)，所以a 1＝a 2q ＝13.故选D.3．(2019·长沙模拟)已知在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0，b n ＝log 2a n ，则数列{b n }的前10项和等于( )A ．130B ．120C ．55D ．50解析：选C 由a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0可知，{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n，故b n ＝log 2a n ＝n ，故数列{b n } 的前10项和为S 10＝10×112＝55.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选A 由a 4＋a 6＝2a 5＝－6得a 5＝－3，则公差为－3＋115－1＝2，所以由a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13≤0得n ≤132，所以前6项和最小，故选A.5．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ＜0，b ＞0)有两个不同的零点x 1，x 2，－2和x 1，x 2三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－5x －4B ．f (x )＝x 2＋5x ＋4C ．f (x )＝x 2－5x ＋4D ．f (x )＝x 2＋5x －4解析：选C 由韦达定理可以断定x 1＞0，x 2＞0，故2x 1＝x 2－2，x 1x 2＝4，解得x 1＝1，x 2＝4，所以－a ＝x 1＋x 2＝5，b ＝x 1x 2＝4，f (x )＝x 2－5x ＋4.故选C.6．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n ＝3，n ∈N *.若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 019＝( )A ．92 018B ．272 018C ．92 019D ．272 019解析：选D 由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列．数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n ，b n ＝3n . 又c n ＝ba n ＝33n ，∴c 2 019＝33×2 019＝272 019，故选D. 二、填空题7．已知等差数列{a n }的前9项和等于它的前4项和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.解析：设数列{a n }的公差为d ，由S 9＝S 4及a 1＝1，得9×1＋9×82d ＝4×1＋4×32d ，所以d ＝－16.又a k ＋a 4＝0，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(k －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋1＋(4－1)×－16＝0，解得k ＝10.答案：108．(2019·自贡模拟)若等比数列{a n }满足a n >0(n ∈N *)，公比q ＝2，且a 1·a 2·…·a 30＝230，则a 1·a 4·a 7·…·a 25·a 28＝________.解析：因为230＝a 1·a 2·…·a 30＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 4·a 4q ·a 4q 2·…·a 25·a 25q ·a 25q 2·a 28·a 28q ·a 28q 2＝(a 1·a 4·…·a 25·a 28)3q 30，又q ＝2，所以a 1·a 4·a 7·…·a 25·a 28＝1.答案：19．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为________升．解析：自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.答案：176 三、解答题10．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1， 可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ， 则a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又a 2＝2S 1＋1＝3，a 1＝1，所以a 2＝3a 1. 故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n －1(n ∈N *)．(2)设{b n }的公差为d .由T 3＝15，即b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5， 故b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ， 又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，由a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列， 可得(5－d ＋1)·(5＋d ＋9)＝(5＋3)2， 解得d ＝2或d ＝－10.因为等差数列{b n }的各项为正， 所以d >0，所以d ＝2，则b 1＝3， 所以T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .11．(2019·南宁二中、柳州高中联考)已知a 1＝2，a 2＝4，数列{b n }满足：b n＋1＝2b n ＋2且a n ＋1－a n ＝b n .(1)求证：数列{b n ＋2}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：由题知，b n ＋1＋2b n ＋2＝2b n ＋2＋2b n ＋2＝2，∵b 1＝a 2－a 1＝4－2＝2，∴b 1＋2＝4，∴数列{b n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)可得，b n ＋2＝4·2n －1，故b n ＝2n ＋1－2. ∵a n ＋1－a n ＝b n ， ∴a 2－a 1＝b 1， a 3－a 2＝b 2， a 4－a 3＝b 3， …a n －a n －1＝b n －1.累加得，a n －a 1＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1(n ≥2)，a n ＝2＋(22－2)＋(23－2)＋(24－2)＋…＋(2n －2) ＝2＋22(1－2n －1)1－2－2(n －1)＝2n ＋1－2n ，故a n ＝2n ＋1－2n (n ≥2)． ∵a 1＝2＝21＋1－2×1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1－2n (n ∈N *)．12．(2019·太原模拟)已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n 项和为(2n －1)·3n ＋12.(1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．解：(1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列， 所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0，所以q ＝3或－1，而q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)． 因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －1)·3n ＋12.所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(2n －3)·3n －1＋12(n ≥2)．两式相减得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)， 因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)， 当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2得b 1＝1，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列．所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝34·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <34.因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，故实数m 的最小值为34.。
第一部分 层级二 专题7 第2讲 高考数学(文科)二轮总复习 层级2 保分专题7 选修系列4
课时跟踪检测(十五) 不等式选讲1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4. 则|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|.即f (x )＝⎩⎨⎧ －2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.故不等式f (x )＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|＜1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1，不符合；若a ＞0，则|ax －1|＜1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0＜x ＜2a ， 所以2a ≥1.故0＜a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2]．3．(2019·长春模拟)已知f (x )＝|x ＋1|＋|ax －a ＋1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若x ≥1时，不等式f (x )≥x ＋2恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥3化为|x ＋1|＋|x |≥3.若x ＜－1，则－x －1－x ≥3，则x ≤－2；若－1≤x ≤0，则x ＋1－x ≥3，无解；若x ＞0，则x ＋1＋x ≥3，即x ≥1.所以不等式f (x )≥3的解集为(－∞，－2]∪[1，＋∞)．(2)当x ≥1时，不等式f (x )≥x ＋2化为x ＋1＋|ax －a ＋1|≥x ＋2，即|ax －a ＋1|≥1.所以当x ≥1时，不等式|ax －a ＋1|≥1恒成立．由|ax －a ＋1|≥1，得ax －a ＋1≤－1或ax －a ＋1≥1，即a (x －1)≤－2或a (x －1)≥0.当x ≥1时，不等式a (x －1)≤－2不恒成立；当x ≥1时，若不等式a (x －1)≥0恒成立，则a ≥0.所以a 的取值范围为[0，＋∞)．4．(2019·洛阳模拟)已知函数f (x )＝|3x ＋3|＋|x －a |.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )＞4的解集；(2)若f (x )＞3x ＋4对任意的x ∈(－1，＋∞)恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|3x ＋3|＋|x －2|即f (x )＝⎩⎨⎧ －4x －1，x ≤－1，2x ＋5，－1＜x ＜2，4x ＋1，x ≥2，当x ≤－1时，不等式f (x )＞4，即－4x －1＞4，解得x ＜－54，所以x ＜－54；当－1＜x ＜2时，不等式f (x )＞4，即2x ＋5＞4，解得x ＞－12，所以－12＜x ＜2；当x ≥2时，不等式f (x )＞4，即4x ＋1＞4，解得x ＞34，所以x ≥2.所以不等式f (x )＞4的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. (2)由题意知，当x ＞－1时，f (x )＝3x ＋3＋|x －a |＞3x ＋4恒成立，即|x －a |＞1在(－1，＋∞)上恒成立，作出函数y ＝|x －a |的图象(图略)，由图易知，⎩⎨⎧a ＜－1，|－1－a |≥1，得a ≤－2. 所以a 的取值范围为(－∞，－2]．5．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)求不等式f (x )≥3－2|x |的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋|x ＋3|的最小值为m ，正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求证：a 2b ＋b 2a ≥4.解：(1)当x ≥1时，x －1≥3－2x ，解得x ≥43，∴x ≥43；当0＜x ＜1时，1－x ≥3－2x ，解得x ≥2，无解；当x ≤0时，1－x ≥3＋2x ⇒x ≤－23，∴x ≤－23.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≥43或x ≤－23. (2)证明：∵g (x )＝|x －1|＋|x ＋3|≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4，∴m ＝4，即a ＋b ＝4.又a 2b ＋b ≥2a ，b 2a ＋a ≥2b ，∴两式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋a ≥2a ＋2b ， ∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ＝4.当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．6．(2019·武汉调研)设函数f (x )＝|x ＋1|.(1)若f (x )＋2x ＞2，求实数x 的取值范围；(2)设g (x )＝f (x )＋f (ax )(a ＞1)，若g (x )的最小值为12，求a 的值．解：(1)f (x )＋2x ＞2，即|x ＋1|＞2－2x ⇒⎩⎨⎧ x ＋1≥0，x ＋1＞2－2x 或⎩⎨⎧x ＋1＜0，－x －1＞2－2x⇒x ＞13，∴实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. (2)∵a ＞1，∴－1＜－1a ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)x －2，x ∈(－∞，－1)，(1－a )x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－1a ，(a ＋1)x ＋2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，易知函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递增，则g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝1－1a . ∴1－1a ＝12，解得a ＝2.7．(2019·福州模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋a |＋3a ，a ∈R .(1)若对于任意x ∈R ，总有f (x )＝f (4－x )成立，求a 的值；(2)若存在x ∈R ，使得f (x )≤－|2x －1|＋a 成立，求a 的取值范围． 解：(1)解法一：因为f (x )＝f (4－x )，x ∈R ，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称．又f (x )＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a 2＋3a 的图象关于直线x ＝－a 2对称， 所以－a 2＝2，所以a ＝－4.解法二：因为f (x )＝f (4－x )，x ∈R ，所以|2x ＋a |＋3a ＝|2(4－x )＋a |＋3a ，所以|2x ＋a |＝|8－2x ＋a |即2x ＋a ＝－(8－2x ＋a )或2x ＋a ＝8－2x ＋a (舍去)， 所以a ＝－4.(2)解法一：存在x ∈R ，使得f (x )≤－|2x －1|＋a 成立，等价于存在x ∈R ， 使得|2x ＋a |＋|2x －1|＋2a ≤0成立，等价于(|2x ＋a |＋|2x －1|＋2a )min ≤0.令g (x )＝|2x ＋a |＋|2x －1|＋2a ，则g (x )min ＝|(2x ＋a )－(2x －1)|＋2a ＝|a ＋1|＋2a .所以|a ＋1|＋2a ≤0.当a ≥－1时，a ＋1＋2a ≤0，a ≤－13，所以－1≤a ≤－13；当a ＜－1时，－a －1＋2a ≤0，a ≤1，所以a ＜－1.综上，a ≤－13.解法二：由f (x )≤－|2x －1|＋a 得，|2x ＋a |＋|2x －1|≤－2a ， 而|2x ＋a |＋|2x －1|≥|a ＋1|由题意知，只需满足|a ＋1|≤－2a ，即2a ≤a ＋1≤－2a ， 即⎩⎨⎧ 2a ≤a ＋1，a ＋1≤－2a ，所以a ≤－13.。
第一部分 层级二 专题2 第1讲 高考数学(文科)二轮总复习 层级2 保分专题2 三角函数与解三角形
课时跟踪检测(四) 三角函数的图象与性质一、选择题1．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．1解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cosα＋1)2＝0，∴cos α＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.2．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5，故选B.3．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：选D 由题图可知，T 2＝54－14＝1，所以T ＝2，ω＝π，又由题图知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝0，即π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π4＋2k π，k ∈Z ，此时f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4＋2k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4，k ∈Z ，由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D.4．(2019·长沙模拟)已知将函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(2<ω<10)的图象向右平移π6个单位长度之后与f (x )的图象重合，则ω＝( )A ．9B ．6C ．4D ．8解析：选B 将函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(2<ω<10)的图象向右平移π6个单位长度后得函数y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋π3的图象，结合题意得－ωπ6＝k π，k ∈Z ，即ω＝－6k ，k ∈Z .因为2<ω<10，所以ω＝6.5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2的图象在y 轴左侧且离y 轴最近的最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，3、最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，m ，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2xB ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2xD ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：选A 解法一：设函数f (x )的最小正周期为T ，根据相邻最高点与最低点的横坐标的关系，有T 2＝－π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝π2，∴T ＝π，∴|ω|＝2ππ＝2.又由三角函数图象最高点的纵坐标为3，得A ＝3，∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)或f (x )＝3sin(－2x ＋φ)．将点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，3代入函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)中，得3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝3，解得φ－π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π＋56π(k ∈Z )，而|φ|<π2，∴φ无解；将点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，3代入函数f (x )＝3sin(－2x ＋φ)中，得3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝3，解得φ＋π3＝2k π＋π2(k∈Z )，即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又|φ|<π2，∴φ＝π6，即f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6.故选A.解法二：将x ＝－π6代入函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6中，得f (x )＝3，即点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，3在函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6的图象上；将x ＝－π6代入函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6中，得f (x )＝－3，即点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，3不在函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象上；将x ＝－π6代入函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3中，得f (x )＝332，即点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，3不在函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的图象上；将x ＝－π6代入函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3中，得f (x )＝－332，即点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，3不在函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，故选A.6．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若x 1x 2<0，且f (x 1)＋f (x 2)＝0，则|x 2－x 1|的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，＋∞ 解析：选B f (x 1)＋f (x 2)＝0⇔f (x 1)＝－f (x 2)，|x 2－x 1|可视为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )，函数y ＝－f (x )的图象的交点的横坐标的距离，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象如图所示，设A ，B 分别为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )、函数y ＝－f (x )的图象的两个相邻交点，因为x 1x 2<0，且当直线y ＝m 过f (x )的图象与y 轴的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，直线为y ＝32，|AB |＝π3，所以当直线y ＝m 向上移动时，线段AB 的长度会增加，当直线y ＝m 向下移动时，线段AB 的长度也会增加，所以|x 2－x 1|>π3.故选B.二、填空题7．如图，在直角坐标系中，角α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，角β⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<β<0的终边分别交单位圆于A ，B 两点，若B 点的纵坐标为－513，且满足S △AOB ＝34，则sin α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos α2－sin α2＋12的值为________． 解析：因为sin β＝－513>－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<β<0，所以－π6<β<0.且cos β＝1－sin 2β＝1213.又0<α<π2，S △AOB ＝12OA ·OB sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ＝34，所以∠AOB ＝π3，所以∠AOB ＝α－β＝π3，即α＝β＋π3.所以sin α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos α2－sin α2＋12＝3sin α2cos α2－sin 2α2＋12＝32sin α＋12cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＋π6＝cos β＝1213.答案：12138．(2019·桂林模拟)若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝________.解析：因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3.所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12.答案：129．已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的最大值是________．解析：由题意，得f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，k ＝0时，－π8≤x ≤3π8，即函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8上单调递增．因为函数f (x )在[0，m ]上单调递增，所以0<m ≤3π8，即m 的最大值为3π8.答案：3π8 三、解答题10．已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．解：(1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2. (2)原式可化为f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期是π.由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．11．(2019·江西七校联考)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0<ω<3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得，f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0≤φ≤π2的图象的相邻两对称轴之间的距离为π2，且在x ＝π8时取得最大值1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，98π时，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3，求x 1＋x 2＋x 3的取值范围．解：(1)由题意得T 2＝π2⇒T ＝π⇒2πω＝π⇒ω＝2， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 所以φ＝2k π＋π4，k ∈Z ， 因为0≤φ≤π2，所以φ＝π4， 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(2)画出该函数的图象如图，当22≤a <1时，方程f (x )＝a 恰好有三个根，且点(x 1，a )和(x 2，a )关于直线x ＝π8对称，所以x 1＋x 2＝π4，π≤x 3<9π8，所以5π4≤x 1＋x 2＋x 3<11π8，即x 1＋x 2＋x 3的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π4，11π8.。
第一部分 层级二 专题3 第2讲 高考数学(文科)二轮总复习 层级2 保分专题3 数列
课时跟踪检测(七) 数列的通项与求和一、选择题1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＝126，则n ＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选D 因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以{a n }是首项和公比均为2的等比数列，所以S n ＝2(1－2n )1－2＝126，解得n ＝6.2．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2.若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N *)，则m ＝( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：选B 因为a m ＝a 1a 2a 3a 4＝a 41qq 2q 3＝24×26＝210＝2m ，所以m ＝10，故选B.3．已知等差数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 2，则a 8＝( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：选D 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得3＋3d ＝1＋d ，解得d ＝2，d ＝－1(舍去)，所以a 8＝1＋7×2＝15，故选D.解法二：S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，由S 3＝a 2可得3a 2＝a 2，解得a 2＝3，a 2＝0(舍去)，则d ＝a 2－a 1＝2，所以a 8＝1＋7×2＝15，故选D.4．(2019·泰安模拟)数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，那么a 2 019＝( )A ．1B ．－2C ．3D ．－3解析：选A 因为a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3)，所以a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1＝－a n －2(n ≥3)．所以a n ＋3＝－a n (n ∈N *)， 所以a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，故{a n }是以6为周期的周期数列． 因为2 019＝336×6＋3，所以a 2 019＝a 3＝a 2－a 1＝3－2＝1.故选A.5．(2019·兰州模拟)已知函数f (n )＝⎩⎨⎧n 2(当n 为奇数时)，－n 2(当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( ) A ．0 B ．100 C ．－100D ．10 200解析：选B 由题意得，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100，故选B.6．已知数列{a n }满足a n ＝n n ＋1，则a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 2 0182 0182的值为( )A.2 0182 019B.2 0172 019C.2 0184 035D.2 0172 018解析：选A 由题意得，因为数列{a n }满足a n ＝nn ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2的通项公式为a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 2 0182 0182＝1－12＋12－13＋…＋12 018－12 019＝1－12 019＝2 0182 019.二、填空题7．(2019·太原模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1a n ＋1＋1＝12，且a 2＝2，则a 4＝________.解析：因为数列{a n }满足a n ＋1a n ＋1＋1＝12，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，所以数列{a n＋1}是等比数列，公比为2，则a 4＋1＝22(a 2＋1)＝12，解得a 4＝11.答案：118．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为________．解析：由S 6>S 7>S 5，得S 7＝S 6＋a 7<S 6，S 7＝S 5＋a 6＋a 7>S 5，所以a 7<0，a 6＋a 7>0，所以S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)>0，所以S 12·S 13<0，即满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为12.答案：129．数列{a n }中，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)，则S n ＝________.解析：当n ≥2时，将a n ＝S n －S n －1代入a n ＝2S 2n 2S n －1，得S n －S n －1＝2S 2n2S n －1，化简整理，得S n －S n －1＝－2S n －1·S n ，两边同除以－S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，又1S 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为2的等差数列，所以1S n＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以S n ＝12n －1.答案：12n －1三、解答题10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .而a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n)1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.11．(2019·洛阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝2a n(a n ＋1)(a n ＋1＋1)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，得a 1＝1；当n ≥2时，有S n －1＝2a n －1－1，所以a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n－1.所以{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，故通项公式a n ＝2n －1. (2)由(1)知，b n ＝2a n (a n ＋1)(a n ＋1＋1)＝2n (2n －1＋1)(2n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋1－12n ＋1， T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋1－121＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋1－122＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1－123＋1＋…＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋1－12n ＋1＝2n －12n ＋1. 12．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由题意知，a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由题意知，S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)·b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1. 令c n ＝b na n，则c n ＝2n ＋12n .因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1＝32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－2n ＋12n ＋1， 所以T n ＝5－2n ＋52n .。
第一部分 层级二 专题4 第2讲 高考数学(文科)二轮总复习 层级2 保分专题4 立体几何
课时跟踪检测(九)空间位置关系A组一、选择题1．已知直线m，n和平面α，β，则使m⊥α成立的一个充分条件是() A．m⊥n，n∥αB．m∥n，n⊥αC．m⊥n，n⊂αD．m∥β，β⊥α解析：选B由m⊥n，n∥α，可推出m⊂α或m∥α或m与α相交；由m∥n，n⊥α，得m⊥α；由m⊥n，n⊂α可推出m⊂α或m∥α或m与α相交；由m∥β，β⊥α可推出m⊂α或m∥α或m与α相交．故选B.2．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．②④解析：选D若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a与c相交或a与c异面，所以①是假命题；由平行于同一直线的两条直线平行，所以②是真命题；若a∥γ，b∥γ，则a∥b或a与b相交或a与b异面，所以③是假命题；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以④是真命题．故选D.3．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDE⊥平面ABCD．平面P AE⊥平面ABC解析：选C如图，由题意知DF∥BC，由此可得BC∥平面PDF，故A正确；由题意知BC⊥PE，BC⊥AE，所以BC⊥平面P AE，所以DF⊥平面P AE，平面P AE⊥平面ABC，故B、D正确．选C.4．(2019·长沙模拟)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2 3.若点M是线段A1C的中点，则直线BM与底面ABC所成角的正切值为()A.12 B.13C.23 D.34解析：选C过点M作MN⊥AC于N，连接BN，则∠MBN为直线BM与底面ABC所成角，由题意可知，MN＝2，BN＝3，所以tan ∠MBN＝MNBN ＝2 3.5．如图是某几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为P A，PD的中点．在此几何体中，以下结论一定成立的是()A．BE∥PFB．EF∥平面PBCC．平面BCE⊥平面P ADD．PB与DC所成角为60°解析：选B如图所示，连接EF，BE∥PF显然不正确，是异面直线，选项A不正确；∵E，F分别为P A，PD的中点，∴EF∥AD.∵AD∥BC，∴EF∥BC，EF ⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC，选项B正确；由于不能推出线面垂直，故平面BCE⊥平面P AD不成立，选项C不正确；直线PB与DC所成角就是PB与AB所成角，不确定为60°，选项D不正确．故选B.6．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝2BC，E是CD上一点．若AE⊥平面PBD，则CEED的值为()A.32 B.52C．3 D．4解析：选C∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AE.当AE⊥BD时，AE⊥平面PBD，此时△ABD∽△DAE，则ABAD ＝ADDE.∵AB＝2BC，∴DE＝14AB＝14CD，∴CEED＝3.故选C.二、填空题7．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P 到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为________．解析：如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.又PE＝PF＝3，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝3，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝PE2－OE2＝(3)2－12＝ 2.答案： 28．如图，在四面体ABCD中，CD＝4，AB＝2，E，F分别是AC，BD的中点，若EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于________．解析：如图，取AD的中点M，连接ME，MF，则ME∥CD，MF∥AB，则∠MEF为EF与CD所成的角，且ME＝12DC＝2，MF＝12AB＝1，因为EF⊥AB，所以EF⊥MF，所以在Rt△MEF中，∠MEF＝30°.答案：30°9.如图，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在平面ABCD上的正投影F恰在AC上，FG∥BC，AB＝AE＝2，∠EAB＝60°.有以下四个命题：①CD⊥平面GEF；②AG＝1；③以AC，AE作为邻边的平行四边形的面积是8；④∠EAD＝60°.其中正确命题的个数为________．解析：如图，连接EG.由题意知EF⊥平面ABCD，又∵AB⊂平面ABCD，∴EF⊥AB.∵FG∥BC，BC⊥AB，∴AB⊥FG.又EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，且EF∩FG＝F，∴AB⊥平面EFG.∵AB∥CD，∴CD⊥平面EFG，故①正确；∵AB⊥平面EFG，∴AB⊥EG.在Rt△AGE中，∵∠EAB＝60°，AE＝2，∴AG＝12AE＝1，故②正确；∵AB＝2，∴AG＝12AB.又∵FG∥BC，∴F为AC的中点．∵AC＝2AB＝22，∴AF＝12AC＝ 2.又∵AE＝2，∴EF＝AE2－AF2＝ 2.连接EC，∴S△ACE＝12AC·EF＝12×22×2＝2，∴以AC，AE作为邻边的平行四边形的面积为2S△ACE＝4，故③错误；如图，过点F作FM⊥AD于点M，连接EM，则AM＝1.∵EF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴EF⊥AD.又FM∩EF＝F，∴AD⊥平面EFM，∴AD⊥EM，∴Rt△EAG≌Rt△EAM，∴∠EAM＝∠EAG＝60°，故④正确．∴正确命题的个数为3.答案：3 三、解答题10．(2019·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.(1)证明：BE ⊥平面EB 1C 1；(2)若AE ＝A 1E ，AB ＝3，求四棱锥E －BB 1C 1C 的体积．解：(1)证明：由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故B 1C 1⊥BE .又BE ⊥EC 1，B 1C 1∩EC 1＝C 1，所以BE ⊥平面EB 1C 1.(2)由(1)知∠BEB 1＝90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ， 所以∠AEB ＝∠A 1EB 1＝45°， 故AE ＝AB ＝3，AA 1＝2AE ＝6.如图，作EF ⊥BB 1，垂足为F ，则EF ⊥平面BB 1C 1C ，且EF ＝AB ＝3. 所以四棱锥E －BB 1C 1C 的体积 V ＝13×3×6×3＝18.11．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠DAB ＝π3，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ＝PD ＝102.(1)证明：PB⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．解：(1)证明：如图，取AD的中点H，连接PH，HB，BD.∵底面ABCD是边长为1的菱形，∴AD＝AB＝1，又∠DAB＝π3，故△ABD为等边三角形．∴BH⊥AD.∵P A＝PD，H为AD的中点，∴PH⊥AD，又PH∩BH＝H，∴AD⊥平面PHB，又PB⊂平面PHB，∴AD⊥PB，又AD∥BC，∴PB⊥BC.(2)∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC，∴点A与点H到平面PBC的距离相等．由(1)知AD⊥平面PHB，∴BC⊥平面PHB，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PHB.如图，过点H作HM⊥PB于M.由平面PHB∩平面PBC＝PB，知HM即点H到平面PBC的距离．∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PH⊂平面P AD，PH⊥AD，∴PH⊥平面ABCD，又BH⊂平面ABCD，∴PH⊥BH.PH＝P A2－AH2＝32，BH＝3 2，∴PB＝PH2＋BH2＝3，∴HM＝PH·BHPB＝32×323＝34.12．如图，已知三棱锥P－ABC中，PC⊥AB，△ABC是边长为2的正三角形，PB＝4，∠PBC＝60°.(1)证明：平面P AC⊥平面ABC；(2)设F为棱P A的中点，在AB上取点E，使得AE＝2EB，求三棱锥F－ACE 与四棱锥C－PBEF的体积之比．解：(1)证明：在△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝2，PB＝4，由余弦定理可得PC＝23，∴PC2＋BC2＝PB2，∴PC⊥BC.又PC⊥AB，AB∩BC＝B，∴PC⊥平面ABC.∵PC⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面ABC.(2)设三棱锥F－ACE的高为h1，三棱锥P－ABC的高为h，则V F－ACE ＝13×S△ACE×h1＝13×S△ABC×23×h×12＝13×S△ABC×h×13＝13×V P－ABC.∴三棱锥F－ACE与四棱锥C－PBEF的体积之比为1∶2.B组1．如图，四棱锥P－ABCD中，侧面P AD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝12AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)证明：BC∥平面P AD；(2)若△PCD的面积为27，求四棱锥P－ABCD的体积．解：(1)证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，故BC∥平面P AD.(2)如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝12AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形．则CM⊥AD.因为侧面P AD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面P AD∩平面ABCD ＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.设BC＝x，则CM＝x，CD＝2x，PM＝3x，PC＝PD＝2x.取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，所以PN＝14 2x.因为△PCD的面积为27，所以12×2x×142x＝27.解得x＝－2(舍去)或x＝2.于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2 3.所以四棱锥P－ABCD的体积V＝13×2×(2＋4)2×23＝4 3.2．(2019·永州模拟)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BCD＝60°，AC与BD 交于点O .以BD 为折痕，将△ABD 折起，使点A 到达点A 1的位置．(1)若A 1C ＝6，求证：平面A 1BD ⊥平面ABCD ； (2)若A 1C ＝22，求三棱锥A 1－BCD 的体积．解：(1)证明：∵在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BCD ＝60°，AC 与BD 交于点O .以BD 为折痕，将△ABD 折起，使点A 到达点A 1的位置，A 1C ＝6，∴A 1O ⊥BD ，OC ＝OA 1＝3，∴OC 2＋OA 21＝A 1C 2，∴OC ⊥OA 1，∵OC ∩BD ＝O ，∴OA 1⊥平面ABCD ，∵OA 1⊂平面A 1BD ，∴平面A 1BD ⊥平面ABCD .(2)设点A 到平面BCD 的距离为d ，∵OC ＝OA 1＝3，A 1C ＝22，∴12×3×d ＝12×22×3－2，解得d ＝263，S △BCD ＝12×BD ×OC ＝12×2×3＝3，∴三棱锥A 1－BCD 的体积V ＝13×d ×S △BCD ＝13×263×3＝223.3．(2019·辽阳模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ACD ＝45°，CD ＝2，△P AC 是边长为2的等边三角形，P A ⊥CD .(1)证明：平面PCD⊥平面ABCD；(2)在线段PB上是否存在一点M，使得PD∥平面MAC？说明理由．解：(1)证明：如图，取CD的中点E，连接PE，AE.∵∠ACD＝45°，CD＝2，AC＝2，∴AD＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos ∠ACD＝2，∴△ACD是等腰直角三角形，AD＝AC，∴AE⊥CD.又P A⊥CD，P A∩AE＝A，∴CD⊥平面P AE，又PE⊂平面P AE，∴CD⊥PE.∴PE＝PC2－CE2＝1，又AE＝12CD＝1，P A＝2，∴PE2＋AE2＝P A2，∴PE⊥AE，又AE⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，CD∩AE＝E，∴PE⊥平面ABCD，又PE⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD.(2)当M为PB的中点时，PD∥平面MAC.理由：如图，连接BD交AC于O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O 是BD 的中点，又M 是PB 的中点，∴OM ∥PD ，又OM ⊂平面MAC ，PD ⊄平面MAC ，∴PD ∥平面MAC .4．(2019·江西五校联考)如图，在多面体ABCDM 中，△BCD 是等边三角形，△CMD 是等腰直角三角形，∠CMD ＝90°，平面CMD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，点O 为CD 的中点．(1)求证：OM ∥平面ABD ；(2)若AB ＝BC ＝2，求三棱锥M －ABD 的体积．解：(1)证明：∵△CMD 是等腰直角三角形，∠CMD ＝90°，点O 为CD 的中点，∴OM ⊥CD .∵平面CMD ⊥平面BCD ，平面CMD ∩平面BCD ＝CD ，OM ⊂平面CMD ， ∴OM ⊥平面BCD .∵AB ⊥平面BCD ，∴OM ∥AB .∵AB ⊂平面ABD ，OM ⊄平面ABD ，∴OM ∥平面ABD .(2)解法一：由(1)知OM ∥平面ABD ，∴点M 到平面ABD 的距离等于点O 到平面ABD 的距离．如图，连接OB ，∵AB ＝BC ＝2，△BCD 是等边三角形，点O 为CD 的中点，∴S △BOD ＝12S △BCD ＝12×34×BC 2＝38×4＝32.如图，连接OA ，则V 三棱锥M －ABD ＝V 三棱锥O －ABD ＝V 三棱锥A －OBD ＝13S △BOD ·AB ＝13×32×2＝33.∴三棱锥M －ABD 的体积为33.解法二：由(1)知OM ∥平面ABD ，∴点M 到平面ABD 的距离等于点O 到平面ABD 的距离． 如图，过O 作OH ⊥BD ，垂足为点H .∵AB ⊥平面BCD ，OH ⊂平面BCD ，∴OH ⊥AB . ∵AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，AB ∩BD ＝B ， ∴OH ⊥平面ABD .∵AB ＝BC ＝2，△BCD 是等边三角形，∴BD ＝2，OD ＝1，OH ＝OD ·sin 60°＝32. 如图，连接OA ，OB ，则V 三棱锥M －ABD ＝V 三棱锥O －ABD ＝13×12×AB ·BD ·OH ＝13×12×2×2×32＝33.∴三棱锥M －ABD 的体积为33.。
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课时跟踪检测(二) 基本初等函数、函数与方程一、选择题1．函数f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 易知f (x )＝ln x －2x 2的定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递增．∵f (1)＝－2<0，f (2)＝ln 2－12>0，∴f (1)·f (2)<0，∴根据零点存在性定理知，f (x )＝ln x －2x 2的零点所在的区间为(1,2)．故选B.2．(2019·成都模拟)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b解析：选D 由已知得，c ＝log 23>log 2e ＝a >1，b ＝ln 2<1，∴c >a >b ，故选D.3．定义一种运算：g ⊗h ＝⎩⎨⎧g (g ≥h )，h (g <h )，已知函数f (x )＝2x ⊗1，那么函数f (x －1)的大致图象是( )解析：选B 由定义知，当x ≥0时，2x ≥1，∴f (x )＝2x ，当x <0时，2x <1，∴f (x )＝1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，1，x <0，其图象易作出，f (x －1)的图象可由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到，故选B.4．(2019·南宁模拟)若函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，则f (2)＋g (4)＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D 解法一：∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝2x ，∴g (x )＝log 2x ，∴f (2)＋g (4)＝22＋log 24＝6. 解法二：∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，∴f (2)＝4，即函数f (x )的图象经过点(2,4)，∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，∴函数g (x )的图象经过点(4,2)，∴f (2)＋g (4)＝4＋2＝6.5．函数f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( )A ．(－2,4)B ．(－4，－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：选C 令2e x －1>2(x <2)，解得1<x <2； 令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10.故不等式f (x )>2的解集为(1,2)∪(10，＋∞)． 6．函数f (x )＝x 2lg x －2x ＋2的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于y 轴对称解析：选B 因为f (x )＝x 2lgx －2x ＋2，所以其定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为f (－x )＝x 2lg x ＋2x －2＝－x 2lg x －2x ＋2＝－f (x )，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．7．若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是( )解析：选B由函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象可知，a＝3，所以y＝3－x，y＝(－x)3＝－x3及y＝log3(－x)均为减函数，只有y＝x3是增函数，故选B.8．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则()A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．c<b<a解析：选C函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，则m＝0，则f(x)＝2|x|－1，a＝f(log0.53)＝2log23－1＝2，b＝f(log25)＝2 log25－1＝4，c＝f(0)＝20－1＝0，故c<a<b，故选C.9．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L甲＝－5x2＋900x－16 000，L乙＝300x－2 000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为()A．11 000元B．22 000元C．33 000元D．40 000元解析：选C设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售(110－x)辆，故利润L＝－5x 2＋900x －16 000＋300(110－x )－2 000＝－5x 2＋600x ＋15 000＝－5(x －60)2＋33 000，∴当x ＝60时，有最大利润33 000元．10．(2019·安庆模拟)定义在R 上的函数f (x )，满足f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋1)＝f (x －1)，若g (x )＝3－log 2x ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选B 由f (x ＋1)＝f (x －1)得f (x )的周期为2，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象，由图可知有两个交点，即函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点有2个，所以选B.11．(2019·保定模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝－2x ＋1，设函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－1<x <3)，则函数f (x )与g (x )的图象所有交点的横坐标之和为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (x ＋1＋1)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以f (x )的周期为2.又f (x )为偶函数，所以f (1－x )＝f (x －1)＝f (x ＋1)，故f (x )的图象关于直线x ＝1对称．函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|的图象关于直线x ＝1对称，在同一坐标系内作出f (x )与g (x )在(－1,3)上的图象，如图，由图可知四个交点的横坐标关于x ＝1对称，其和为2×2＝4，故选B.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13x ＋1，x ≤1，ln x ，x >1，若方程f (x )－ax ＝0恰有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1e C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，43 D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞解析：选B 方程f (x )－ax ＝0有两个不同的实根，即直线y ＝ax 与函数f (x )的图象有两个不同的交点．作出函数f (x )的图象如图所示．当x >1时，由f (x )＝ln x ，得f ′(x )＝1x ，设直线y ＝kx 与函数f (x )＝ln x (x >1)的图象相切， 切点为(x 0，y 0)，则y 0x 0＝ln x 0x 0＝1x 0，解得x 0＝e>1，则k ＝1e ，即y ＝1e x 是函数f (x )＝ln x (x >1)的图象的切线．当a ≤0时，直线y ＝ax 与函数f (x )的图象有一个交点，不合题意； 当0<a <13时，直线y ＝ax 与函数f (x )＝ln x (x >1)的图象有两个交点，但与射线y ＝13x ＋1(x ≤1)也有一个交点，共有三个交点，不合题意；当a ≥1e 时，直线y ＝ax 与函数f (x )的图象至多有一个交点，不合题意； 只有当13≤a <1e 时，直线y ＝ax 与函数f (x )的图象有两个交点，符合题意．故选B.二、填空题13．有四个函数：①y ＝x 12；②y ＝21－x ；③y ＝ln(x ＋1)；④y ＝|1－x |.其中在区间(0,1)内单调递减的函数的序号是________． 解析：分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(0,1)内单调递减．答案：②④14．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝⎩⎨⎧－2，0<x <1，1，x ≥1，则不等式log 2x －[log 14(4x )－1]·f (log 3x ＋1)≤5的解集为________．解析：原不等式等价于⎩⎨⎧log 3x ＋1≥1，log 2x －[log 14(4x )－1]≤5或⎩⎨⎧0<log 3x ＋1<1，log 2x ＋2[log 14(4x )－1]≤5，解得1≤x ≤4或13<x <1， 所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤13，4.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤13，415．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，所以当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0，得a ＝2x ，因为2x 单调递增且0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1.答案：(0,1]16．某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝⎩⎨⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时，已知甲在某日10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时；②当x ∈[－6,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少； ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间． 其中，所有正确结论的序号是________．解析：∵某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时，∴24k ＋6＝16，即4k ＋6＝4，解得k ＝－12，∴t ＝⎩⎨⎧64，x ≤0，2－12x ＋6，x >0.①当x ＝6时，t ＝8，故①正确；②当x∈[－6,0]时，保鲜时间恒为64小时，当x∈(0,6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少，故②错误；③此日10时，温度为8 ℃，此时保鲜时间为4小时，而随着时间的推移，到11时，温度为11 ℃，此时的保鲜时间t＝2－12×11＋6＝2≈1.414(小时)，到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③错误；由③可知，到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故④正确．答案：①④。