高一年级第三次月考数学练考题

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2021-2022学年辽宁省六校协作体高一(下)第三次月考数学试卷(含答案解析)

2021-2022学年辽宁省六校协作体高一（下）第三次月考数学试卷1. 若复数z 满足iz =2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A. (2,4)B. (2,−4)C. (4,−2)D. (4,2)2. 下列命题正确的是( )A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C. 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面D. 棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形 3. sin77∘cos43∘+sin13∘cos47∘的值为( ) A. 12B. √32C. −12D. −√324. 将函数y =sin(2x +π4)图象上的所有点的横坐标变为原来的0.5倍(纵坐标不变)，然后再向右平移π6个单位长度，则所得图象的函数解析式是( )A. y =sin(4x −7π12) B. y =sin(4x −5π12) C. y =sin(x +5π12) D. y =sin(x +π12)5. 下列命题正确的有( )A. ∃α，β使得等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立B. ∀α，β都有tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβC. 已知α，β为第一象限角，若α>β，则sinα>sinβD. 若sinα+cosα=√32，则角α是第一象限角6. 玩具制造商设计并投产一种全新的益智玩具”智慧立方”它的形状为正四面体．通过大量的人体力学实验得知当“智慧立方系数“=12√2V−√3S+5aa∈[4,7]时尺寸最适合3−6岁的小朋友把玩，其中V 是正四面体的体积，S 是正四面体的表面积．则棱长a 尺寸最合适范围是( )A. [0.5,2]B. [0.5,1]C. [0.5,2.5]D. [1,2]7. 如图，四边形ABCD 四点共圆，其中BD 为直径，AB =4，BC =3，∠ABC =60∘，则△ACD的面积为( )A. √36 B. √32C. 5√36 D.7√368. 在△ABC 中，AB =5，AC =4，∠BAC =60∘，D 为BC 的中点，点E 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，直线CE 与AD 交于点P ，则cos∠DPE =( )A. 45 B. √61122 C.√241482D. 24259. 已知复数z ，z 1，z 2，下列命题错误的有( ) A. 若z =z 1⋅z 2，则|z|=|z 1|⋅|z 2| B. 若z 1⋅z 2∈R ，那么z 1+z 2∈R C. 若z 1+z 2∈R ，那么z 1⋅z 2∈R D. 若|z 1⋅z 2|=1，那么z 1=1z 210. 函数f(x)=sin2x1+cos2x ，则( ) A. f(x)的值域为RB. f(x)在(π,2π)上单调递增C. f(x)有无数个零点D. f(x)在定义域内存在递减区间11. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别为棱AB ，CC 1，C 1D 1的中点，动点Q ∈平面MNP ，DQ =AB =2，则( )A. AC 1//MNB. 直线PQ//平面A 1BC 1C. 正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D. 点Q 的轨迹长度为2π12. 已知△ABC 中，AB =AC =√2,BC =2,D 是边BC 的中点，动点P 满足PD =1,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( )A. x+y的值可以等于2B. x−y的值可以等于2C. 2x+y的值可以等于−1D. x+2y的值可以等于313. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=sinB=3sinC，则a+b=______，ccosA=______.14. 已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为______ ；该圆锥的体积为______ .15. f(x)=sin(x+θ)⋅cosx为奇函数，那么θ的一个取值为______.16. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1；点E，F分别为AB、CD中点；那么长方体ABCD−A1B1C1D1外接球表面积为______；三棱锥的D1−BEF外接球的体积为______.17. 已知平面向量a⃗，b⃗ ，c⃗，满足a⃗=(1,−√3)，|b⃗ |=2，|c⃗|=1.(1)若a⃗与b⃗ 共线，求向量b⃗ 的坐标；(2)若(2a⃗+c⃗ )⊥(a⃗−3c⃗ )，求向量a⃗，c⃗的夹角．18. 正棱锥S−ABCD的底面边长为4，高为1.求：(1)棱锥的侧棱长和侧面的高；(2)棱锥的表面积与体积．19. 已知函数f(x)=asin(π2x +φ)(a >0,0<φ<π)的图象如图，其中A ，B 分别为最高点和最低点．C ，D 为零点，M(0,√3),S △ABD =4. (1)求f(x)的解析式；(2)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022)的值．20. 如图所示，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 是AB 的中点．(1)证明：BC 1//平面A 1CD ；(2)设AA 1=AC =CB =2，AB =2√2，求几何体BDC −A 1B 1C 1的体积．21. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且2S =−√3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，作AB ⊥AD ，使得如图所示的四边形ABCD 满足∠ACD =π3，AD =√3.(1)求B；(2)求BC的取值范围．22. 已知向量m⃗⃗⃗ =(sinx,1),n⃗=(√3cosx,−1).令函数f(x)=(m⃗⃗⃗ +n⃗ )⋅m⃗⃗⃗ .2(Ⅰ)求函数f(x)的最大值；(Ⅰ)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于D.其中，函数f(C)恰好为函数f(x)的最大值，且此时CD=f(C)，求3a+b的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：复数z满足iz=2+4i，则有z=2+4ii =(2+4i)i−1=4−2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是(4,−2)，故选C.由题意可得z=2+4ii，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为4−2i，从而求得z对应的点的坐标．本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：对于A，棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定是全等的平行四边形，A错误；对于B，用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，B错误；对于C，四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，C正确；对于D，棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，D错误．故选：C.棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，A错误；用平行于底面的平面去截棱锥，才满足，B错误；棱台的侧面不一定是等腰梯形，D错误，C正确．本题考查棱柱、棱锥、棱台的结构特征，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角差的余弦公式，诱导公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．结合诱导公式与两角差的余弦公式，即可得解．【解答】解：sin77∘cos43∘+sin13∘cos47∘=cos13∘cos43∘+sin13∘sin43∘=cos(13∘−43∘)=cos(−30∘)=√32.故本题选B.4.【答案】B【解析】解：将函数y =sin(2x +π4)图象上的所有点的横坐标变为原来的0.5倍(纵坐标不变)，可得y =sin(4x +π4)的图象；然后再向右平移π6个单位长度，则所得图象的函数解析式是y =sin(4x −4π6+π4)=sin(4x −5π12)，故选：B.由题意，利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：选项A ，当α=β=0时，sin(α+β)=0，sinα+sinβ=0，即选项A 正确；选项B ，当α=β=π4时，等式两边均没有意义，即选项B 错误；选项C ，取α=2π+π6，β=π3，满足α，β为第一象限角，且α>β，所以sinα=12，sinβ=√32，此时sinα<sinβ，即选项C 错误；选项D ，若sinα+cosα=√32，即√2sin(α+π4)=√32，所以sin(α+π4)=√64，显然α不只是第一象限角，即选项D 错误．故选：A.选项A ，取特殊值，α=β=0，代入运算，可判断；选项B ，取特殊值，当α=β=π4时，等式两边均没有意义；选项C ，取α=2π+π6，β=π3，代入运算，可判断；选项D ，由辅助角公式，可得sin(α+π4)=√64，显然α不只是第一象限角．本题考查三角函数中的综合问题，熟练掌握特殊角的三角函数值，辅助角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：如图正四面体ABCD 中，H 是△BCD 的中心，则AH 是高，AH ⊥DH ，正四面体棱长为a ，则S △BCD =√34a 2，DH =23×√32a =√33a,AH =a −(√33a)=√63a ， V =13×√34a 2×√63a =√212a 3,S =4S △BCD =√3a 2，所以12√2V−√3S+5a a=12√2×√212a 3−√3×√3a 2+5aa =2a 2−3a +5，由4≤2a 2−3a +5≤7，又a >12，因此解得1≤a ≤2. 故选：D.求出正四面体的体积和表面积，计算出12√2V−√3S+5aa，然后解相应不等式可得．本题考查了正四面体的体积和表面积，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：在△ABC 中，∵AB =4，BC =3，∠ABC =60∘， ∴由余弦定理得AC =√42+32−2×4×3×12=√13，由正弦定理，得BD =ACsin∠ABC=√13sin60∘=2√393，在Rt △ABD 和Rt △BCD 中，AD =√BD 2−AB 2=√523−16=2√33， CD =√BD 2−BC 2=√523−9=5√33， ∵∠ADC =180∘−∠ABC =120∘，∴△ACD 的面积为S =12×2√33×5√33×√32=5√36. 故选：C.先在△ABC 中利用余弦定理求出边AC ，再利用正弦定理求出直径BD ，进而利用直角三角形求出AD ，CD ，再利用三角形的面积公式进行求解．本题考查三角形的面积的求法，考查余弦定理等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， ∵D 为BC 的中点，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )， ∵点E 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =45a ⃗ ， ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −b ⃗ =45a ⃗ −b ⃗ ，∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=14(a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2)=14(25+2×5×4×12+16)=614，|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(45a ⃗ −b ⃗ )2=1625a ⃗ 2−2×45a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=16−16+16=16， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )⋅(45a ⃗ −b ⃗ )=25a ⃗ 2−110a ⃗ ⋅b ⃗ −12b ⃗ 2=1， ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√612，|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， ∴cos∠DPE =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√612⋅4=√61122. 故选：B.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =45a ⃗ −b ⃗ ，利用向量法可求cos∠DPE. 本题考查向量法在解三角形的应用，属中档题．9.【答案】BCD【解析】解：对于A ，由复数模的运算性质可知，|z 1z 2|=|z 1|⋅|z 2|，即|z|=|z 1|⋅|z 2|，故选项A 正确；对于B ，由复数的定义可得当z 1⋅z 2∈R 时，z 1+z 2不一定属于R ，如z 1=i ，z 2=i ，z 1⋅z 2=−1∈R ，z 1+z 2=2i ∉R ，故选项B 错误；对于C ，若z 1+z 2∈R ，可举例z 1=i ，z 2=−i ，则z 1+z 2=0∈R ，但z 1⋅z 2∉R ，故选项C 错误；对于D ，若|z 1⋅z 2|=|z 1|⋅|z 2|=1，可举例z 1=−i ，z 2=−i ，但z 1=z 2≠1z 2，故选项D 错误．故选：BCD.利用复数模的运算性质判断选项A ，由复数的定义可判断B ，由特殊例子判断选项C ，D. 本题考查了复数的综合应用，涉及了复数模的运算性质、虚数的定义、复数的几何意义，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：f(x)=sin2x1+cos2x =2sinxcosx2cos 2x =tanx ，(x ≠kπ+π2,k ∈Z)，其值域为R ，故A 正确；在(π,2π)上，f(3π2)不存在，B 错误；显然f(kπ)=0，k ∈Z ，零点为x =kπ，k ∈Z 有无数个，C 正确；在定义域内每一个区间(kπ−π2,kπ+π2)，k ∈Z 上，函数都是增函数，无减区间，D 错误．故选：AC.利用二倍角公式，同角关系化简函数式，再根据正切函数性质即可判断得解．本题考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简中的应用，考查了正切函数性质，属于基础题．11.【答案】BCD【解析】解：连接AC1，BC1，取BC1中点H，连接MH，易得AC1//MH，则AC1MN不平行，A错误；如图，取棱D1A1，A1A，BC的中点E，F，G，易得MF//NP，M∈平面MNP，则MF⊂面MNP，同理可得EF，EP，GM，GN⊂平面MNP，即正六边形EFMGNP为正方体被平面MNP截得的截面，C正确；由C选项知：平面MNP即平面EFMGNP，易得FM//A1B，又FM⊄平面A1BC1，A1B⊂平面A1BC1，则FM//平面A1BC1，同理可得NG//平面A1BC1，又NG//PM，则PM//平面A1BC1，PM∩FM=M，则平面EFMGNP//平面A1BC1，又PQ⊂平面EFMGNP，则直线PQ//平面A1BC1，B正确；连接DB1，易得DB1与平面EFMGNP交于正方体的体心O，连接DB，易得DB⊥MG，又B1B⊥平面ABCD，MG⊂平面ABCD，则B1B⊥MG，又DB，BB1⊂平面DBB1，DB∩BB1=B，则MG⊥平面DBB1，DB1⊂平面DBB1，则MG⊥DB1，同理可得GN⊥DB1，又MG，GN⊂平面MNP，MG∩GN=G，则DB1⊥平面MNP，OQ⊂平面MNP，则DB1⊥OQ，又DO=12DB1=12×√4+4+4=√3，则OQ=√DQ2−DO2=1，即点Q的轨迹为以O为圆心1为半径的圆，故点Q 的轨迹长度为2π，D 正确．故选：BCD.取BC 1中点H ，由AC 1//MH 即可判断A 选项；取棱D 1A 1，A 1A ，BC 的中点E ，F ，G ，由EF ，EP ，GM ，GN ⊂平面MNP 即可判断C 选项；先判断平面EFMGNP//平面A 1BC 1，由PQ ⊂平面EFMGNP 即可判断B 选项；连接DB 1，先判断DB 1⊥平面MNP ，进而求得点Q 的轨迹为以O 为圆心1为半径的圆即可判断D 选项．本题考查线面平行，考查学生的推理能力，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：连接AD ，∵AB =AC ，D 是边BC 的中点，∴AD ⊥BC ，以D 为坐标原点，BC ，AD 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系∵AB 2+AC 2=BC 2，∴AB ⊥AC ，∴AD =12BC =1，∴A(0,1)，B(−1,0)，C(1,0)， ∵PD =1，∴点P 的轨迹为以D 为圆心，1为半径的圆， ∴设点P 的坐标为(cosθ,sinθ)(θ∈R)， ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(cosθ,sinθ−1)=x(−1,−1)+y(1,−1)， ∴{cosθ=−x +y sinθ−1=−x −y ， ∴{x =1−sinθ−cosθ2y =1−sinθ+cosθ2， A .x +y =1−sinθ−cosθ2+1−sinθ+cosθ2=1−sinθ∵−1≤sinθ≤1，∴0≤1−sinθ≤2，即0≤x +y ≤2，故A 正确； B .x −y =1−sinθ−cosθ2−1−sinθ+cosθ2=−cosθ，∵−1≤cosθ≤1，∴−1≤−cosθ≤1，即−1≤x −y ≤1，即−1≤x −y ≤1， ∴x −y 的值不可以为2，故B 错误C .2x +y =1−sinθ−cosθ+1−sinθ+cosθ2=32−32sinθ−12cosθ=32−√102sin(θ+φ)，其中cosφ=3√1010，sinφ=√1010，且φ为锐角， ∵−1≤sin(θ+φ)≤1，32−√102≤32−√102sin(θ+φ)≤32+√102，即32−√102≤2x +y ≤32+√102， ∵32−√102+1=5−√102>0，3105−V10∴32−√102>−1，∴2x +y 的值不可以等于−1，故C 错误， D .x +2y =1−sinθ−cosθ2+1−sinθ+cosθ=32−32sinθ+12cosθ=32−√102sin(θ−φ)，其中cosφ=3√1010，sinφ=√1010，且φ为锐角， ∵−1≤sin(θ−φ)≤1， ∴32−√102≤32−√102sin(θ−φ)≤32+√102，即32−√102≤x +2y ≤32+√102，∵32−√102<3<32+√102，∴x +2y 的值可以等于3，故D 正确，故选：AD.以点D 为原点、边BC 为x 轴建立平面直角坐标系，写出相关点坐标，设出P(cosθ,sinθ)，利用平面向量的坐标运算得到{x =1−sinθ−cosθ2y =1−sinθ+cosθ2，再结合角的范围逐一验证各选项．本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．13.【答案】616【解析】解：由正弦定理及sinA =sinB =3sinC ，得a =b =3c ，所以a+bc =6，由余弦定理知，cosA =b 2+c 2−a 22bc=9c 2+c 2−9c 22⋅3c⋅c=16.故答案为：6；16.利用正弦定理化角为边，可得a=b=3c，从而知a+bc的值，再利用余弦定理，可得cosA的值．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】2√33π【解析】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由πl=2πr，解得l=2r，又S=πr2+πr⋅2r=3πr2=3π，所以r2=1，解得r=1；所以圆锥的母线长为l=2r=2，圆锥的高为ℎ=√l2−r2=√22−12=√3，所以圆锥的体积为V=13πr2ℎ=13π×12×√3=√33π.故答案为：2，√3π3.根据圆锥的结构特征，求出底面圆半径和母线长、高，即可计算圆锥的体积．本题考查了圆锥的结构特征与表面积、体积的计算问题，是基础题．15.【答案】0(答案不唯一)【解析】解：因为f(x)为奇函数，则f(0)=sinθ=0，θ=kπ，k∈Z，当θ=kπ，k∈Z时，k为偶数时，f(x)=sinxcosx=12sin2x，是奇函数k为奇数时，f(x)=−sinxcosx=−12sin2x，是奇函数，所以θ的一个值为0.故答案为：0(答案不唯一).由奇函数的性质f(0)=0，求出θ，代入检验后可得结论．本题主要考查函数奇偶性的性质，三角函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】6π11√11π6【解析】解：长方体对角线长为l=√22+12+12=√6，所以长方体外接球半径为R=l2=√62，表面积为S=4π×(√622)=6π；如图，G，H，I，J分别是A1D1，AD，BC，B1C1中点，则GHIJ是矩形，平面GHIJ//平面CDD1C1，E，F分别是AB，CD中点，则EF//AD，而AD⊥平面CDD1C1，所以EF⊥平面CDD1C1，所以EF⊥平面GHIJ，而EF⊂平面D1EF，EF⊂平面BEF，所以平面D1EF⊥平面GHIJ，平面BEF⊥平面GHIJ，由EF⊥平面CDD1C1，D1F⊂平面CDD1C1，得EF⊥D1F，而EF⊥EB，设平面GHIJ与D1E，BF，EF的交点分别为N，M，Q，则N，M，Q分别是D1E，BF，EF的中点，所以N，M分别是ΔD1EF和△EFB的外心，在平面GHIJ内过N作PN⊥NQ，过M作PM⊥QM交PN于点P，由EF⊥平面CDD1C1，得EF⊥PNEF⊥PM，而NQ∩EF=Q，NQ，EF⊂平面D1EF，所以PN⊥平面D1EF，同理PM⊥平面BEF，所以P是三棱锥D1−BEF的外接球球心，四边形PMQN是圆内接四边形，由长方体性质知∠NQH=∠D1FD=π4，所以∠NQM=3π4,NQ=12D1F=√22,MQ=12，MN=√1 2+14−2×√22×12×cos3π4=√52，由PM⊥平面BEF，BM⊂平面BEF，得PM⊥BM，PQ=MNsin∠NQM =√52sin3π4=√102,PM=√PQ2−QM2=32，BM=12BF=√22，所以PB=√PM2+BM2=√112，所以三棱锥的D1−BEF外接球的体积为V=4π3×(√1132)=11√116π.故答案为：6π;11√116π.求出长方体的对角线即为长方体外接球的直径，由此可得球表面积，设G，H，I，J分别是A1D1，AD，BC，B1C1中点，可证明EF⊥平面GHIJ，设平面GHIJ与D1E，BF，EF的交点分别为N，M，Q，在平面GHIJ内过N作PN⊥NQ，过M作PM⊥QM交PN于点P，证得P是三棱锥D1−BEF的外接球球心，在四边形PMQN中求得四边形外接圆直径，然后求出PN，再求出三棱锥的D1−BEF 外接球的半径后可计算体积．本题考查了长方体外接球的表面积和三棱锥外接球的体积计算，属于中档题．17.【答案】解：(1)设b⃗ =(x,y)，由题意得−√3x −y =0，x 2+y 2=4，解得x =12，y =−√32或x =−12，y =√32，所以b ⃗ =(12,−√32)或(−12,√32)；(2)若(2a ⃗ +c ⃗ )⊥(a ⃗ −3c ⃗ )，则(2a ⃗ +c ⃗ )⋅(a ⃗ −3c ⃗ )=2a ⃗ 2−5a ⃗ ⋅c ⃗ −3c ⃗ 2=0，所以8−5a ⃗ ⋅c ⃗ −3=0，所以a ⃗ ⋅c ⃗ =1，设向量a ⃗ ，c ⃗ 的夹角θ，所以cosθ=a⃗ ⋅c ⃗ |a⃗ ||c ⃗ |=12×1=12，由θ∈[0,π]，得θ=π3.【解析】(1)由已知结合向量共线定理的坐标表示可求； (2)由已知结合向量数量积的性质的坐标表示可求．本题主要考查了向量共线定理及向量数量积性质的坐标表示的应用，属于基础题．18.【答案】解：(1)设SO 为正四棱锥S −ABCD 的高，则SO =1，作OM ⊥BC ，则M 为BC 中点，连结OM ，OB ，则SO ⊥OB ，SO ⊥OM ，BC =4，BM =2，则OM =2,OB =2√2，在Rt △SOD 中，SB =√SO 2+OB 2=√1+8=3，在Rt △SOM 中，SM =√5， ∴棱锥的侧棱长为3，侧面的高为√5.(2)棱锥的表面积：S =S 正方形ABCD +4S △SBC =4×4+4×(12×4×√5)=16+8√5 几何体的体积为：13×4×4×1=163 【解析】(1)直接利用公式计算； (2)直接利用公式计算；本题考查了几何体的表面积、体积，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵f(x)=asin(π2x +φ)，∴周期T =2ππ2=4，∴CD =T 2=2，∴S△ABD=12×CD×(y A−y B)=12×2×2a=4，∴a=2，∴f(x)=2sin(π2x+φ)，又M(0,√3)，∴f(0)=2sinφ=√3，∴sinφ=√32，又M为上升点，且0<φ<π，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(π2x+π3)；(2)由(1)知f(x)的周期为4，又2023=4×505+3，∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022)=[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]×505+f(0)+f(1)+f(2)=(√3+1−√3−1)×505+(√3+1−√3)=1.【解析】本题考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，三角函数的图形与性质，由三角函数的周期性求和，考查了方程思想与化归转化思想，属于中档题．(1)根据三角函数的周期，振幅，三角形面积，y轴交点建立方程即可求解；(2)通过函数的周期性即可求解．20.【答案】证明：(1)连接AC1交A1C于E，连接ED，如图，则E是AC1中点，又D是AB中点，所以ED//BC1，又ED⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1//平面A1CD；解：(2)因为AC =BC =2,AB =2√2，所以AC ⊥BC ，所以S △ABC =12×2×2=2,S △ACD =12S △ABC =1， V BCD−A 1B 1C 1=V ABC−A 1B 1C 1−V A 1−ACD =2×2−13×1×2=103. 【解析】(1)连接AC 1交A 1C 于E ，连接ED ，证明ED//BC 1后得证线面平行； (2)由直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积减去三棱锥A 1−ACD 的体积可得．本题考查了线面平行的证明和几何体的体积计算，属于中档题．21.【答案】解：(1)由2S =−√3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得2×12acsinB =−√3accosB ，即sinB =−√3cosB ，可得tanB =−√3，因为B ∈(0,π)，所以B =2π3.(2)设∠BAC =θ，则∠CAD =π2−θ，∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理得ACsin∠ADC =ADsin∠ACD ，可得AC =ADsin∠ADCsin∠ACD=√3⋅sin(θ+π6)sin π3=2sin(θ+π6)，在△ABC 中，由正弦定理得ACsinB =BCsinθ，∴BC =√3+π6)sinθ=√3(√32sin 2θ+12sinθcosθ)=√3−√3cos2θ)+1 =2√33sin(2θ−π3)+1，因为0<θ<π3，可得−π3<2θ−π3<π3，当2θ−π3=π3时，即θ=π3，可得2√33sin π3+1=2，当2θ−π3=−π3时，即θ=0，可得2√33sin(−π3)+1=0，所以BC 的取值范围是(0,2).【解析】(1)利用三角形的面积公式，向量的数量积运算化简即可．(2)利用正弦定理，三角恒等变换得到BC =2√33sin(2θ−π3)+1，再利用正弦函数的图象与性质求解即可．本题考查了正弦定理的应用，三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)∵m →=(sin⁡x,1),n →=(√3cos⁡x,−12)，∴m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(sinx +√3cosx,12)，∴f(x)=sinx(sinx+√3cosx)+1 2=sin2x+√3sinxcosx+1 2=1−cos2x2+√32sin2x+12=sin(2x−π6)+1，∴f(x)的最大值为2；(Ⅰ)由f(C)恰好为函数f(x)的最大值可得f(C)=sin(2C−π6)+1=2，即sin(2C−π6)=1，∵0<C<π，解得C=π3，则CD=f(C)=2，在△ACD中，由CDsinA =ADsin12C，可得AD=1sinA，在△BCD中，由CDsinB =BDsin12C，可得BD=1sinB，∴c=1sinA +1sinB，在△ABC中，asinA =bsinB=csinC=1sinA+1sinB√32=2√33(1sinA+1sinB)，则可得a=2√33(1+sinAsinB),b=2√33(sinBsinA+1)，则3a+b=2√3(1+sinAsinB )+2√33(sinBsinA+1)=2√3⋅sinAsinB+2√33⋅sinBsinA+8√33，∵sinA>0，sinB>0，∴3a+b≥22√3⋅sinAsinB ⋅2√33⋅sinBsinA+8√33=4+8√33，当且仅当√3sinA=sinB等号成立，故3a+b的最小值为4+8√33.【解析】(Ⅰ)根据数量积运算结合降幂公式以及辅助角公式化简f(x)，根据正弦函数的值域可得结果；(Ⅰ)根据条件求得c，C，由正弦定理表示a，b，利用基本不等式求解．本题考查了正弦型函数的最值问题以及正弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．。

高中高一数学上学期第三次月考试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题

2015-2016学年某某省某某市航天高中高一（上）第三次月考数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．）1．设集合A={x|x﹣1＞0}，B={x|2x＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1或x＞1}2．若，且α是第二象限角，则cosα的值等于（）A． B． C．D．3．为了得到函数的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度4．下列四个函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）A．y=tanx B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=|cosx|5．幂函数y=x m（m∈Z）的图象如图所示，则m的值可以为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．26．函数y=ax2+bx+3在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞）上是减函数，则（）A．b＞0且a＜0 B．b=2a＜0C．b=2a＞0 D．a，b的符号不确定7．根据表格内的数据，可以断定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是（）x ﹣1 0 1 2 3e x0.37 1 2.72 7.39 20.08x+2 1 2 3 4 5A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）8．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是（）A．cos0＜cos＜cos1＜cos30°B．cos0＜cos＜cos30°＜cos1C．cos0＞cos＞cos1＞cos30°D．cos0＞cos＞cos30°＞cos19．若lgx﹣lgy=a，则=（）A．3a B．C．a D．10．若sinα，cosα是关于x的方程4x2+2x+3m=0的两根，则m的值为（）A．B． C．D．11．设函数f（x）=，若方程f（x）=m有三个不同的实数解，则m的取值X围是（）A．m＞0或m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．﹣1＜m＜0 D．m＜012．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．已知角α的终边经过点P（﹣4，3），则cosα=．14．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是．15．函数，则=．16．当x＞0时，不等式（a2﹣3）x＞（2a）x恒成立，则实数a的取值X围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17．已知（1）求tanα的值；（2）求的值．18．设，（1）在下列直角坐标系中画出f（x）的图象；（2）若f（t）=3，求t值．19．已知x∈[﹣，]，（1）求函数y=cosx的值域；（2）求函数y=﹣3（1﹣cos2x）﹣4cosx+4的值域．20．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3；当x=6π时，y有最小值﹣3．（1）求此函数的解析式；（2）求此函数的单调区间．21．已知二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，某某数q的取值X围；（2）问：是否存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51？若存在，求出q的值，若不存在，说明理由．22．已知函数．（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域；（2）若对任意x∈[0，+∞），总有f（x）＜3成立，某某数a的取值X围．2015-2016学年某某省某某市航天高中高一（上）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．）1．设集合A={x|x﹣1＞0}，B={x|2x＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1或x＞1}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：x＞1，即A={x|x＞1}，由B中不等式变形得：2x＞0，得到B=R，∴A∩B={x|x＞1}，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若，且α是第二象限角，则cosα的值等于（）A． B． C．D．【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由sinα的值，以及α的X围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值即可．【解答】解：∵sinα=，α是第二象限角，∴cosα=﹣=﹣．故选C【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．为了得到函数的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵由y=sinx到y=sin（x﹣），只是横坐标由x变为x﹣，∴要得到函数y=sin（x﹣）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度．故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题．4．下列四个函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（）A．y=tanx B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=|cosx|【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数单调性，周期性和奇偶性分别进行判断即可得到结论．【解答】解：A．函数y=tanx为奇函数，不满足条件．B．函数y=|sinx|满足既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数．C．y=cosx的周期为2π，不满足条件．D．y=|cosx|在（0，）上是减函数，不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的周期性，奇偶性和单调性．5．幂函数y=x m（m∈Z）的图象如图所示，则m的值可以为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【考点】幂函数的性质．【专题】应用题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】由给出的幂函数的图象，得到幂指数小于0，且幂函数为偶函数，即可判断答案．【解答】解：根据幂函数的图象可知函数在第一象限内单调递减，且为偶函数．则m＜0且为偶数，故选：C．【点评】本题主要考查幂函数的图象和性质，要求熟练掌握幂函数的性质的应用．6．函数y=ax2+bx+3在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞）上是减函数，则（）A．b＞0且a＜0 B．b=2a＜0C．b=2a＞0 D．a，b的符号不确定【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】利用对称轴的公式求出对称轴，根据二次函数的单调区间得到，得到选项．【解答】解：∵函数y=ax2+bx+3的对称轴为∵函数y=ax2+bx+3在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞）上是减函数∴∴b=2a＜0故选B【点评】解决与二次函数有关的单调性问题，一般要考虑二次函数的开口方向、对称轴．7．根据表格内的数据，可以断定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是（）x ﹣1 0 1 2 3e x0.37 1 2.72 7.39 20.08x+2 1 2 3 4 5A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】令f（x）=e x﹣x﹣2，求出选项中的端点函数值，从而由根的存在性定理判断根的位置．【解答】解：由上表可知，令f（x）=e x﹣x﹣2，则f（﹣1）≈0.37+1﹣2＜0，f（0）=1﹣0﹣2=﹣1＜0，f（1）≈2.72﹣1﹣2＜0，f（2）≈7.39﹣2﹣2＞0，f（3）≈20.09﹣3﹣2＞0．故f（1）f（2）＜0，故选：C．【点评】考查了二分法求方程近似解的步骤，属于基础题．8．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是（）A．cos0＜cos＜cos1＜cos30°B．cos0＜cos＜cos30°＜cos1C．cos0＞cos＞cos1＞cos30°D．cos0＞cos＞cos30°＞cos1【考点】余弦函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先将1和化为角度，再根据余弦函数的单调性，判断出四个余弦值的大小关系．【解答】解：∵1≈57.30°，∴≈28.56°，则0＜＜30°＜1，∵y=cosx在（0°，180°）上是减函数，∴cos0＞cos＞cos30°＞cos1，故选D．【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，以及弧度与角度之间的转化，属于基础题．9．若lgx﹣lgy=a，则=（）A．3a B．C．a D．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】直接利用对数的性质化简表达式，然后把lgx﹣lgy2a代入即可．【解答】解： =3（lgx﹣lg2）﹣3（lgy﹣lg2）=3（lgx﹣lgy）=3a故选A．【点评】本题考查对数的运算性质，考查计算能力，是基础题．10．若sinα，cosα是关于x的方程4x2+2x+3m=0的两根，则m的值为（）A．B． C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用韦达定理求得sinα+cosα=﹣，sinα•cosα=，再利用同角三角函数的基本关系求得sinα•cosα=﹣，从而求得 m的值．【解答】解：∵sinα，cosα是关于x的方程4x2+2x+3m=0的两根，∴sinα+cosα=﹣，sinα•cosα=，再根据1+2sinαcosα=，∴sinα•cosα=﹣，∴m=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查韦达定理、同角三角函数的基本关系，属于基础题．11．设函数f（x）=，若方程f（x）=m有三个不同的实数解，则m的取值X围是（）A．m＞0或m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．﹣1＜m＜0 D．m＜0【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数y=f（x）和直线y=m有3个不同的交点，数形结合可得m的取值X 围．【解答】解：由题意可得函数y=f（x）和直线y=m有3个不同的交点，如图所示：当﹣1＜m＜0时，函数y=f（x）和直线y=m有3个不同的交点，故选C．【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．12．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】函数f（x）=1+asinax的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为|a|，周期为，周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象．【解答】解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：，∵|a|＞1，∴T＜2π，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π．对于选项A，a＜1，T＞2π，满足函数与图象的对应关系，故选D．【点评】由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．已知角α的终边经过点P（﹣4，3），则cosα=．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题．【分析】先求出角α的终边上的点P（﹣4，3）到原点的距离为 r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣4，3）到原点的距离为 r=5，由任意角的三角函数的定义得cosα==．故答案为：．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，考查计算能力．14．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是（π﹣2）rad ．【考点】弧长公式．【专题】计算题．【分析】由题意，本题中的等量关系是扇形的周长等于弧所在的圆的半周长，可令圆心角为θ，半径为r，弧长为l，建立方程，求得弧长与半径的关系，再求扇形的圆心角．【解答】解：令圆心角为θ，半径为r，弧长为l由题意得2r+l=πr∴l=（π﹣2）r∴θ==π﹣2故答案为：（π﹣2）rad．【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，且能利用公式建立方程进行运算，本题考查对公式的准确记忆能力15．函数，则= ﹣．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式先求出f（x）=，再把cos=代入，能求出结果．【解答】解：∵===，∵cos=，∴==．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意诱导公式的合理运用．16．当x＞0时，不等式（a2﹣3）x＞（2a）x恒成立，则实数a的取值X围是a＞3 ．【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意结合幂函数的单调性列关于a的不等式组得答案．【解答】解：∵x＞0时，不等式（a2﹣3）x＞（2a）x恒成立，∴，解得：a＞3．故答案为：a＞3．【点评】本题考查函数恒成立问题，应用了幂函数的单调性，同时注意指数式的底数大于0且不等于1，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17．已知（1）求tanα的值；（2）求的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】综合题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）直接弦化切，即可求tanα的值；（2）法一：求出sinα，cosα，分类讨论求的值．法二：原式分子分母同除以cos2α，弦化切，即可求的值．【解答】解：（1）∵，∴tanα=﹣tanα+1（2）法一：由（1）知：，∴或当，时，原式=当，时，原式=综上：原式=法二：原式分子分母同除以cos2α得：原式==【点评】本题考查同角三角函数关系，考查学生的转化能力，属于中档题．18．设，（1）在下列直角坐标系中画出f（x）的图象；（2）若f（t）=3，求t值．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题；作图题．【分析】由分段函数，按照基本函数作图，第一段一次函数，第二次二次函数，第三次为一次函数，要注意每段的定义域．【解答】解：（1）如图（2）由函数的图象可得：f（t）=3即t2=3且﹣1＜t＜2．∴t=【点评】本题主要考查分段函数的作图和用数形结合解决问题的能力，分段函数知识点容量大且灵活，是高考的热点，在解决中要注意部分与整体的关系．19．已知x∈[﹣，]，（1）求函数y=cosx的值域；（2）求函数y=﹣3（1﹣cos2x）﹣4cosx+4的值域．【考点】余弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得函数y=cosx的值域．（2）把函数y的解析式化为y=3（cosx﹣）2﹣，结合cosx∈[﹣，1]，利用二次函数的性质求得y的值域．【解答】解：（1）∵y=cosx在[﹣，0]上为增函数，在[0，]上为减函数，∴当x=0时，y取最大值1；x=时，y取最小值﹣，∴y=cosx的值域为[﹣，1]．（2）原函数化为：y=3cos2x﹣4cosx+1，即y=3（cosx﹣）2﹣，由（1）知，cosx∈[﹣，1]，故y的值域为[﹣，]．【点评】本题主要考查余弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题．20．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3；当x=6π时，y有最小值﹣3．（1）求此函数的解析式；（2）求此函数的单调区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）由题意得到A和周期，代入周期公式求ω，在由点（π，3）在此函数图象上结合φ的X围求得φ，则函数解析式可求；（2）直接由复合函数的单调性求函数的单调区间．【解答】解：（1）由题意可知：A=3，，∴T=10π，则，∴y=3sin（φ），∵点（π，3）在此函数图象上，∴，．φ=．∵|φ|＜，∴φ=．∴y=3sin（）；（2）当，即﹣4π+10kπ≤x≤π+10kπ，k∈Z时，函数y=3sin（）单调递增，∴函数的单调增区间为[﹣4π+10kπ，π+10kπ]（k∈Z）；当，即π+10kπ≤x≤6π+10kπ，k∈Z时，函数单调递减，∴函数的单调减区间为[π+10kπ，6π+10kπ]（k∈Z）．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数图象的求法，考查了复合函数的单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”的原则，是中档题．21．已知二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，某某数q的取值X围；（2）问：是否存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51？若存在，求出q的值，若不存在，说明理由．【考点】二次函数的性质．【专题】存在型；分类讨论；转化思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则，即，解得实数q的取值X围；（2）假定存在满足条件的q值，结合二次函数的图象和性质，对q进行分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）若二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3的图象是开口朝上，且以直线x=8为对称轴的抛物线，故函数在区间[﹣1，1]上为减函数，若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则，即，解得：q∈[﹣20，12]；（2）若存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51，当0＜q≤8时，f（8）=q﹣61=﹣51，解得：q=10（舍去），当8＜q＜10时，f（q）=q2﹣15q+3=﹣51，解得：q=9，或q=6（舍去），综上所述，存在q=9，使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．22．已知函数．（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域；（2）若对任意x∈[0，+∞），总有f（x）＜3成立，某某数a的取值X围．【考点】函数恒成立问题．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）法一、把a=1代入函数解析式，由指数函数的单调性求得f（x）在（﹣∞，0）上的值域；法二、令换元，由x的X围求出t的X围，转化为二次函数求值域；（2）由f（x）＜3，即，分离参数a，然后利用换元法求函数的最小值得答案．【解答】解：（1）法一、当a=1时，，由指数函数单调性知f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，∴f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（﹣∞，1）的值域为（3，+∞）；法二、令，由x∈（﹣∞，0）知：t∈（1，+∞），∴y=g（t）=t2+t+1（t＞1），其对称轴为直线，∴函数g（t）在区间（1，+∞）上为增函数，∴g（t）＞g（1）=3，∴函数f（x）在（﹣∞，1）的值域为（3，+∞）；（2）由题意知，f（x）＜3，即，由于，在[0，+∞）上恒成立．若令2x=t，，则：t≥1且a≤h min（t）．由函数h（t）在[1，+∞）上为增函数，故φmin（t）=φ（1）=1．∴实数a的取值X围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查了指数函数的单调性，训练了分离变量法，是中档题．。

高一数学下学期第三次月考试题

2017－－2018学年第二学期高一第三次月考数学试卷第Ⅰ卷(选择题,共6０分)一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共６0分。

在每小题只有一项是符合题目要求的、1。

假如向量,,那么( )A、 B。

C。

D、2、已知,则下列结论正确的是( )Ａ、 B。

Ｃ、 D、3。

已知点,,向量,若,则实数的值为( )A、5 Ｂ、６Ｄ、84、在等比数列中,若,的值为( )A。

Ｂ。

4 Ｄ、6４5、某种产品的广告费支出与销售额(单位:万元)之间有如下对应数据:依照上表可得回归方程,则的值为( )Ａ。

B、 C。

D、６。

变量满足,目标函数,则的最小值是( )A、ﻩB、Ｃ、D、７、在区间上随机取一个数,使得的概率为( )Ａ、 B、 C、D、8、设,若的最小值为( )A、 C、 D、９。

我们把形如“”和“”形式的数称为“锯齿数"(即大小间隔的数),由,,,四个数组成一个没有重复数字的四位数,则该四位数恰好是“锯齿数”的概率为( )A、ﻩB、Ｃ。

ﻩ D、10.在数列中,,则数列的前项和的最大值是( )A。

B。

Ｃ。

D、１1、在中,,,,则的值等于( )Ａ。

Ｂ、Ｃ、 D、１2。

在中,角为钝角,,,为边上的高,已知,则的取值范围为( )A、 B、 C。

D。

第II卷(共90分)二、选择题:本大题共4小题,每题5分,共20分、13、课题组进行城市空气质量调查,按地域把个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为,,、若用分层抽样从中抽取个城市,则丙组中应抽取的城市数为____＿＿__、１4、在等差数列中,,,则__＿___＿＿、1５。

数列中,,,则数列的通项公式、１6、在中,内角的对边分别为,若,且,则的面积最大值为______＿＿＿_。

三、解答题:共7０分,在答题卡上写出必要的解题过程或证明步骤才能得分17。

(本小题满分1０分)已知关于的不等式的解集为、(1)求实数的值;(２)解关于的不等式:(为常数)。

１8、(本小题满分１2分)已知数列满足,且,(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列的前项和、19。

河北省2022-2023学年高一上学期月考(12月)数学试卷含解析

河北省2022-2023学年高一上学期月考（12月）数学试卷考试时间：120分钟；满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A={x|x2−x−2>0}，则∁R A=( )A. {x|−1<x<2}B. {x|−1≤x≤2}C. {x|x<−1}∪{x|x>2}D. {x|x≤−1}∪{x|x≥2}2. 设a=3x2−x+1，b=2x2+x，则( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b3. 下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0,+∞)时，均有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0”的是( )B. f(x)=x2−4x+4A. f(x)=12(x)C. f(x)=2xD. f(x)=log124. 函数y=ln(2x−x2)的单调递增区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (−∞,1)D. (1,+∞)5. 对于某个与正整数n有关的命题P，若n=k(k∈N∗)时命题P成立可以推得n=k+1时命题P成立，则下列命题中必为真命题的是( )A. 若n=m+2(m∈N∗)时命题P不成立，则n=2m时命题P不成立B. 若n=2m(m∈N∗)时命题P不成立，则n=m+2时命题P不成立C. 若n =2m (m ∈N ∗)时命题P 不成立，则n =2m 时命题P 不成立D. 若n =2m(m ∈N ∗)时命题P 不成立，则n =2m 时命题P 不成立 6. 若方程2x +ln 1x−1=0的解为x 0，则x 0所在的大致区间是( ) A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (5,6)7. 计算(log 32+log 23)2−log 32log 23−log 23log 32的值为( ) A. log 26B. log 36C. 2D. 18. 已知f(x)是定义域为(−1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m −2)+f(2m −3)>0，那么实数m 的取值范围是( )A. (1,53)B. (−∞,53)C. (1,3)D. (53,+∞)9. 已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是( )A. f(x)=2xln|x|B. f(x)=2|x|ln|x|C. f(x)=1x 2−1D. f(x)=1|x|−1|x|10. 如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x =t(0≤t ≤a)经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y =f(t)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。

2021-2022学年上海市七宝中学高一下学期3月月考数学试卷(含详解)

七宝中学2021学年第二学期高一年级3月练习数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分60分，每题5分）1.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=__________2.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________．3.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C =__________.4.已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴,则ϕ=.5.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.6.若向量a 与b共线，且1==a b r r ，则+= a b ______．7.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为___________．8.若不等式()πsin π06x a b x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则a b +的值等于______．9.已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为________．10.已知函数()tan()(0,2f x A x πωϕωϕ=+><，()y f x =的部分图像如下图，则()24f π=____________.11.函数2π()4coscos()2sin ln(1)22x f x x x x =---+的零点个数为_________．12.给出下列四个命题：①在ABC 中，若π2C >，则sin cos A B <；②已知点()0,3A ，则函数sin y x x =-的图象上存在一点P ，使得1PA =；③函数2cos 2cos y x b x c =++是周期函数，且周期与b 有关，与c 无关；其中真命题的序号是______．（把你认为是真命题的序号都填上）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A.f (x )=│cos 2x │B.f (x )=│sin 2x │C.f (x )=cos│x │D.f (x )=sin│x │14.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.3144AB AC -B.1344AB AC -C .3144+AB ACD.1344+AB AC15.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21 方向，且塔顶的仰角为81 ，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39 方向，则该塔的高度约为（）A.265米B.279米C.292米D.306米16.已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A.1()()4y f x g x =+- B.1()()4y f x g x =--C.()()y f x g x = D.()()g x y f x =三、解答题（本大题共有4题，满分70分）17.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ35π6sin()A x ωϕ+055-0（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．18.在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝2A ．（1）求cos A 的值；（2）求c 的值．19.为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD ，30AB m =，15AD m =．为保护D 处的一棵古树，有关部门划定了以D 为圆心、DA 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB 边上的点E ，出线口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与封闭区边界相切，EF 右侧的四边形地块BCFE 将作为绿地保护生态区（计算长度精确到0.1m ，计算面积精确到20.01m ）（1）若20ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入线口E 在AB 上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20.已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．（1）求函数()f x 的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程()()f x g x m +=在[)0,2π内有两个不同的解α，β．求实数m 的取值范围；（3）在第（2）的条件下，证明：()22cos 15m αβ-=-．七宝中学2021学年第二学期高一年级3月练习数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分60分，每题5分）1.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=__________【答案】35-##0.6-【解析】【分析】根据已知直线得到tan θ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出2cos θ的值，然后根据二倍角余弦公式即可求解．【详解】根据题意可知：tan 2θ=，所以22222cos 11cos sin cos tan 15θθθθθ===++，所以213cos 22cos 12155θθ=-=⨯-=-.故答案为：35-.2.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________．【答案】 2π.【解析】【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.【详解】函数()2sin 2f x x ==142cos x -,周期为2π【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.3.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C =__________.【答案】23π【解析】【分析】根据正弦定理到35a b =，75c a =，再利用余弦定理得到1cos 2C =-，得到答案.【详解】3sin 5sin A B =，则35a b =，2b c a +=，故75c a =.根据余弦定理：22222294912525cos 32225a a a abc C ab a a +-+-===-⋅，故23C π=.故答案为：23π.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.4.已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴,则ϕ=.【答案】4π【解析】【详解】因为直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴，所以5244T πππ=-=，所以22T ππω==，1ω=，所以()sin()f x x φ=+，又因为4x π=是()f x 的一条对称轴，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈，而0φπ<<，所以4πφ=．5.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.【答案】1【解析】【详解】由题意知：()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+=()()sin[]2sin cos x x ϕϕϕϕ++-+=()sin cos x ϕϕ++()cos sin x ϕϕ+-()2sin cos x ϕϕ+=()cos sin x ϕϕ+-()sin cos x ϕϕ+=()sin[]x ϕϕ+-=sin x ，即()sin f x x =，因为x R ∈，所以()f x 的最大值为1.考点：本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解，熟练公式是解答好本类题目的关键.6.若向量a 与b共线，且1==a b r r ，则+= a b ______．【答案】0或2【解析】【分析】由题可知a 与b相等或互为相反向量，据此即可求a b + 【详解】向量a 与b 共线，且a b = ，∴a 与b相等或互为相反向量，当a 与b相等时，22a a b ==+ ，当a 与b互为相反向量时，0=0a b =+ ．故答案为：0或2．7.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为___________．【答案】8【解析】【详解】试题分析：因,故,由题设可得,即,所以,所以,应填.考点：余弦定理及三角形面积公式的运用．【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边的关系及,先求出,在运用余弦定理得到.8.若不等式()πsin π06x a b x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则a b +的值等于______．【答案】56【解析】【分析】作出y ＝πsin π6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在[－1，1]上的图像，作出符合题意的y ＝x a b --的图像即可求出a 、b ，从而得到答案．【详解】设函数y=πsin π6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(),,x a b x a f x x a b x a b x a -+-<⎧=--=⎨--⎩，下面分析它们的性质，以作出它们的图像.①对函数y=πsin π6x ⎛⎫+⎪⎝⎭，[]1,1x ∈-时，π5π7ππ[,666x +∈-，∴当5πππ066x -+ 或π7πππ66x + ，即116x -- 或516x时，πsin π06x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；当π0ππ6x <+<，即1566x -<<时，πsin π06x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭．②对(),,x a b x a f x x a b x a b x a -+-<⎧=--=⎨--⎩，则()f x 在(),a -∞上单调递减，在(),a +∞上单调递增，且()f x 的图像关于直线x a =对称.若不等式()πsin π06x a b x ⎛⎫--+⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则当116x --或516x时，0x a b -- ；当1566x -<<时，0x a b -- ．为使f (x )满足上述条件，其图像仅能如图所示：15066f f ⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1516623a -+∴==，又5510663f b ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则12b =，115326a b ∴+=+=﹒故答案为：56﹒9.已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为________．【答案】π2【解析】【详解】由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2ππ422ωω+=⇒=考点:本题主要考查三角函数的性质.10.已知函数()tan()(0,2f x A x πωϕωϕ=+><，()y f x =的部分图像如下图，则()24f π=____________.【解析】【分析】先求出周期，从而可得ω，代入38x π=函数值为0，结合已知ϕ的范围，可求得ϕ，最后由(0)1f =可得A ．【详解】由题意3()2882T πππ=-⨯=，∴22T ππωπ===，又3tan(2)08πϕ⨯+=，3()4k k Z πϕπ+=∈，而2πϕ<，∴4πϕ=，(0)tan(20)14f A π=⨯+=，1A =，∴()tan(2)4f x x π=+，∴(tan(2)tan 242443f ππππ=⨯+==．【点睛】本题考查正切函数的图象与性质，解题时必须掌握正切型函数的周期、零点等知识．本题属于基础题型．11.函数2π()4coscos()2sin ln(1)22x f x x x x =---+的零点个数为_________．【答案】2【解析】【详解】因为2π()4coscos()2sin ln(1)22x f x x x x =---+所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数有2个零点．考点：二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点．12.给出下列四个命题：①在ABC 中，若π2C >，则sin cos A B <；②已知点()0,3A ，则函数3sin y x x =-的图象上存在一点P ，使得1PA =；③函数2cos 2cos y x b x c =++是周期函数，且周期与b 有关，与c 无关；其中真命题的序号是______．（把你认为是真命题的序号都填上）【答案】①③【解析】【分析】根据三角形为锐角三角形，结合三角函数的单调性，可判断①；化简3sin y x x =-，结合其图象，可判断②；谈论b 是否为0，分析函数的周期情况，判断③.【详解】对于①，在ABC 中，若π2C >，则π2A B +<,故π022A B π<<-<，故sin sin()cos 2A B B π<-=,故①正确；对于②，3sin 2cos()6y x x x π=-=+，作出其靠近y 轴部分图象如图示：由图象可知，函数3sin y x x =-的图象上不存在点P ，使得1PA =，故②错；对于③，当0b =时，211cos cos 222y x c x c =+=++，该函数的周期为π，与c 无关，当0b ≠时，211cos 2cos cos 22cos 22y x b x c x b x c =++=+++，该函数的周期为2π，与c 无关，故函数2cos 2cos y x b x c =++是周期函数，且周期与b 有关，与c 无关，③正确，故答案为：①③二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A.f (x )=│cos 2x │B.f (x )=│sin 2x │C.f (x )=cos│x │D.f (x )=sin│x │【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos 2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；14.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.3144AB AC -B.1344AB AC -C.3144+AB ACD.1344+AB AC【答案】A 【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+ ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.15.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21 方向，且塔顶的仰角为81 ，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39 方向，则该塔的高度约为（）A.265米B.279米C.292米D.306米【答案】C 【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度．【详解】如图所示，△ABC 中，AB ＝1000，∠ACB ＝21°+39°＝60°，∠ABC ＝90°﹣39°＝51°；由正弦定理得，10005160AC sin sin =︒︒，所以AC 10005160sin sin ⋅︒=︒；Rt △ACD 中，∠CAD ＝18°，所以CD ＝AC •tan 18°10005160sin sin ⋅︒=⨯︒tan 18°10000.77710.8660⨯=⨯0.3249≈292（米）；所以该塔的高度约为292米．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的边角关系的应用问题，也考查了计算能力，是基础题．16.已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A.1()()4y f x g x =+- B.1()()4y f x g x =--C.()()y f x g x = D.()()g x y f x =【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，210221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C.故选：D.三、解答题（本大题共有4题，满分70分）17.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ35π6sin()A x ωϕ+055-0（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．【答案】（Ⅰ）π()5sin(26f x x =-；（Ⅱ）π6．【解析】【详解】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12sin()A x ωϕ+0505-0且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(26f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈．由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6．考点：“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．18.在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝2A ．（1）求cos A 的值；（2）求c 的值．【答案】（1）3；（2）．【解析】【详解】(1)因为a ＝3，b ＝，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得sin a A ＝sin 2A.所以2sin cos sin A A A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝9.所以c ＝sin sin a CA＝5.19.为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD ，30AB m =，15AD m =．为保护D 处的一棵古树，有关部门划定了以D 为圆心、DA 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB 边上的点E ，出线口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与封闭区边界相切，EF 右侧的四边形地块BCFE 将作为绿地保护生态区（计算长度精确到0.1m ，计算面积精确到20.01m ）（1）若20ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入线口E 在AB 上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）23.3m（2）AE =2255.14m .【解析】【分析】（1）作DH EF ⊥，结合三角函数的顶柜表示出EF ，即可求出结果；（2）设ADE θ∠=，结合三角函数的顶柜表示出,AE FH ，然后表示出面积，结合诱导公式以及正切的二倍角公式进行化简，进而结合不等式即可求出结果.【小问1详解】作DH EF ⊥，垂足为H ，连接DE ，则EF EH HF =+15tan 2015tan 50=+ 23.3m ≈，【小问2详解】设ADE θ∠=，则()15tan ,15tan 902AE FH ==-θθ，2ADEF ADE DFHS S S =+ ()1121515tan 1515tan 90222=⨯⨯⨯+⨯⨯- θθ15130tan 152tan 2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭θθ2151tan 30tan 1522tan ⎛⎫-=+⨯ ⎝⎭θθθ22513tan 4tan ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭θθ，因为tan 0θ>，所以13tan tan +≥θθ，当且仅当13tan tan θθ=，即3tan 3θ=时，等号成立，此时2ADEF S =，且15tan AE ==θ，所以最大面积为222531530255.14m 2⨯-≈.20.已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．（1）求函数()f x 的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程()()f x g x m +=在[)0,2π内有两个不同的解α，β．求实数m 的取值范围；（3）在第（2）的条件下，证明：()22cos 15mαβ-=-．【答案】（1）()2sin f x x =；对称轴方程为(Z)2x k k ππ=+∈（2）(（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律可得：()2sin f x x =，从而可求对称轴方程．（2）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得()())f x g x x ϕ+=+（其中sin ϕ=cos ϕ=，从而可求|1<，即可得解．（3）由题意可得sin()αϕ+=sin()βϕ+=．当0m ≤<可得2()αβπβϕ-=-+，当0m <<时，可得32()αβπβϕ-=-+，利用三角函数诱导公式以及倍角公式即可证明结论.【小问1详解】将()cos g x x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2cos y x =的图象，再将2cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到2cos()2y x π=-的图象，故()2sin f x x =，从而函数()2sin f x x =图象的对称轴方程为(Z)2x k k ππ=+∈．【小问2详解】()()2sin cos ))f xg x x x x x x ϕ+=+=+=+（其中sin ϕ=cos ϕ=依题意，sin()x ϕ+=[0，2)π内有两个不同的解α，β，当且仅当|1<，故m 的取值范围是(．【小问3详解】因为α，β)x m ϕ+=在区间[0，2)π内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=，sin()βϕ+=．当0m ≤<2()2παβϕ+=-，即2()αβπβϕ-=-+；当0m <<时，32()2παβϕ+=-，即32()αβπβϕ-=-+；所以2222cos()cos 2()2sin ()1115m αββϕβϕ-=-+=+-=-=-．。

2021-2022学年四川省峨眉第二中学校高一年级下册学期3月月考数学(理)试题【含答案】

2021-2022学年四川省峨眉校高一下学期3月月考数学（理）试题一、单选题1．若(1,3)a =，则||a =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4B【分析】根据向量模的坐标表示运算即可. 【详解】(1,3)a =，||2a →∴==. 故选：B2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为() A 1B ． 1C ．D ．2＋C【分析】由A 与B 的度数求出sin A 与sin B 的值，再由a 的值，利用正弦定理即可求出b 的值．【详解】由正弦定理可知：a b sinA sinB=，b 4asinBsinA===，故选C ．本题主要考查正弦定理的应用，要求熟练掌握正弦定理的公式． 3．已知()3,1a =，()2,5b =-，则32a b -=（） A ．()2,7 B ．()13,7- C ．()2,7- D ．()13,13B【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示可得结果. 【详解】由已知可得()()()3233,122,513,7a b -=--=-. 故选：B.4．在ABC 中，cos cos cos A B Ca b c==，则ABC 一定是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形D【分析】由题意结合正弦定理可得到sin sin si cos s o n co c s A B CA B C==，进而得tan tan tan A B C ==，由此可判断答案. 【详解】由题意cos cos cos A B Ca b c==，知cos 0,cos 0,cos 0A B C ≠≠≠，根据正弦定理可得：sin sin si cos s o n co c s A B CA B C==, 故sin sin sin cos cos cos A B CA B C==，即tan tan tan A B C == , 而0,,A B C π<< ，故A B C == , 则ABC 一定是等边三角形, 故选：D5．在 ABC ∆中，若222b c a bc +-=，则角A 的值为 A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°B【详解】222b c a bc +-= 两边同时除以2bc 得2221,222b c a bc bc bc +-==1cos ,2A ∴=60.A ∴=故本题正确答案是 .B6．在数列{}n a 冲，已知112a =-，121n n a a +=-，则3a =（）A ．5-B ．4-C ．3-D ．2-A【分析】由递推公式先计算2a ，再计算3a ．【详解】因为112a =-，121n n a a +=-，所以212()122a =⨯--=-，32(2)15a =⨯--=-．故选：A ．7．已知||5a =，||3b =，且a ，b 的夹角θ的余弦4cos 5θ=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（） A ．125B ．4C ．125-D ．4-D【分析】根据向量a →在向量b →上投影的定义求解即可.【详解】因为||5a =，且a ，b 的夹角θ的余弦4cos 5θ=-，所以向量a 在向量b 上的投影为4||cos ,5()45a ab →→→<>=⨯-=-，故选：D8．若平面四边形ABCD 满足：0AB CD +=，()0AB AD AC -⋅=，则该四边形一定是（） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形B【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形. 【详解】0AB CD +=，AB DC ∴=,所以四边形ABCD 为平行四边形， ()0AB AD AC -⋅=, 0DB AC ∴⋅=，所以BD 垂直AC ，所以四边形ABCD 为菱形. 故选：B9．若平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且||||2==a b ，||4c =，则||a b c ++等于（）A ．6B ．8C ．2或8D ．6或4-C【分析】三个平面向量两两夹角相等，易知夹角大小为23π或0，再利用向量数量积的运算律有2()a b c a b c ++=++，即可求模.【详解】由题意，平面向量a ，b ，c 的两两夹角相等，可知夹角均为23π或0，且||||2==a b ，||4c =，2222()222a b c a b c a b c a b a c b c ⋅++=++=⋅++⋅+++∴当夹角为23π时，a b c ++=2=，当夹角为0时，a b c ++=8.故选：C10．在ABC 中，已知()()3b c a b c a bc +-++=，且2cos sin sin B C A =，则ABC 的形状为（） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 B【分析】由题意,可知()sin sin A B C =+,展开并代入原式,可得到()sin 0B C -=,可求出B C =，再由()()3b c a b c a bc +-++=，结合余弦定理可求出A ,即可判断出ABC 的形状. 【详解】由题意,()()sin sin πsin sin cos sin cos A A B C B C C B =-=+=+, 则2cos sin sin cos sin cos B C B C C B =+⇔()sin cos cos sin sin 0B C B C B C -=-=, 又πb c π-<-<，则B C =,由()()3b c a b c a bc +-++=可得22()3b c a bc +-=，即222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，由0A π<<，知3A π=，综上可知即ABC 的形状是等边三角形. 故选：B11．在三角形ABC 中，1a =，3b =，30A =︒，则满足这个条件的三角形个数是（）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．0D【分析】由正弦定理判断．【详解】由正弦定理sin sin a bA B=得sin 3sin 303sin 112b A B a ︒===>，无解．故选：D ．12．若2,1,3a b c ===，且·1a b =-，则··a c b c +的最大值是．A ．1 BC D ．2C【详解】由题意()222?1,?···3a b a a b b a c b c a b c a b c +=++=∴+=+≤+=,故选C. 二、填空题13．在ABC 中，::3:2:1A B C =，则sin :sin :sin A B C =_________.2【分析】由角的比值结合三角形内角和定理求出角，直接计算正弦值即可得解. 【详解】::3:2:1A B C =, 90,60,30A B C ∴=︒=︒=︒,1sin :sin :sin 22A B C ∴==,故2:3:114．已知数列{}n a 中，11a =，()*12n n a a n N +-=∈，则n a =_________.21n -12n -+【分析】由等差数列的通项公式即得．【详解】因为()*12n n a a n N +-=∈，所以数列{}n a 是等差数列，公差2d =，又11a =，所以12(1)21n a n n =+-=-．故21n -．15．已知正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，则a b c ++的模等于____.22由向量加法法则可求出a b c ++，从而可求出模.【详解】解.221122a b c AB BC AC AC ++=++==+= 故答案为: 22.16．如图，AD 是ABC 的内角∠BAC 的平分线，BE 是边AC 的中线，且AD 与BE 交于点O ，||3AB =，||2AC =，若AO AD λ=，BO BE μ=，则λμ+=_________.118【分析】根据角平分线、中线的性质，利用向量的加法、减法、数乘运算化简即可求解.【详解】在ABE △中，AO 是角平分线，所以1123==ACAE EO AB OB AB =， 34BO BE →→∴=, 即34μ=，在ABC 中，AD 是角∠BAC 的平分线，所以32==AB BD AC DC . 35BD BC →→∴=, 35AD AB BD AB BC →→→→→∴=+=+,又33153()44288AO AB BO AB BE AB BA BC AB BC →→→→→→→→→→=+=+=+⨯+=+,58AO AD →→∴=，即58λ=，5311848∴+=+=λμ，故答案为.118三、解答题17．已知i ，j 分别是x ，y 轴上的单位向量，且2=-+a i j ，b i kj =+． (1)若//a b ，求实数k 的值； (2)若a b ⊥，求k 的值． (1)12-；(2)2.【分析】（1）根据给定条件，利用向量共线的坐标表示计算作答. （2）根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示计算作答.【详解】(1)因i ，j 分别是x ，y 轴上的单位向量，不妨令i ，j 的方向分别与x ，y 轴正方向一致，则由2=-+a i j ，b i kj =+，得(2,1)a =-，(1,)b k =，又//a b ，则有210k --=，解得12k =-，所以实数k 的值是12-.(2)由（1）知，(2,1)a =-，(1,)b k =，因a b ⊥，则有·20a b k =-+=，解得k =2，所以k 的值是2.18．已知数列{}n a 中，2n a n pn q =-+，10a =，24a =-.(1)求5a ；(2)判断66是不是该数列中的项?若是，是第几项? (3)当n 为何值，n a 有最小值?并求出最小值． (1)54a =- (2)是，第12项(3)当3n =或4时，n a 有最小值，最小值为6-【分析】（1）由已知求得,p q 得n a ，5n =代入易得5a ；（2）解方程66n a =可得；（3）结合二次函数性质可得．【详解】(1)由题可知110a p q =-+=，2424a p q =-+=-，解之得p =7，q =6．可得276n a n n =-+，所以54a =-.(2)设数列{}n a 的第n 项为66，则27666n a n n =-+=，即27600n n --=，解之得n =12或－5（舍去），所以66是数列{}n a 的第12项．(3)因为227257624n a n n n ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，当n =3或4，n a 最小．此时346a a ==-，故当n =3或4时，n a 有最小值为6-．19．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin c a B b A =+. (1)求角A 的大小；(2)若5a =，sin C B =，求b ，c 的值． (1)4A π=(2)b =c =【分析】（1）由两角和的正弦公式及正弦定理可求出tan 1A =，即可得解；（2）由正弦定理及余弦定理建立方程，求解即可. 【详解】(1)由题可知，sin sin cos sin sin C A B B A =+，即sin()sin cos cos sin sin cos sin sin A B A B A B A B B A +=+=+，化简得cos sin sin sin A B B A =，即cos sin A A =，得tan 1A =. 由0A π<<知4A π=.(2)因为22222252cos a b c bc A b c ==+-=+，由正弦定理可得c =，所以22259252b b b =-⨯⨯=，解得b =c =20．如图所示，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船，奉命以/小时的速度追截走私船，此时走私船正以20海里/小时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船并求出所需时间．缉私船应沿北偏东60°6. 【分析】在ABC 中，由余弦定理求得BC ，由正弦定理求得ABC ∠，在BCD △中，由正弦定理求得∠BCD ，得BD ，由速度公式可得时间．【详解】设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获（在D 点）走私船，则3CD t =海里，BD =20t 海里．在ABC 中，由余弦定理，有222222cos (31)22(31)BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-1262⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭则6BC 又sin sin BC AC BAC ABC =∠∠，2sin 6ABC ∴∠=，∴∠ABC =45°，故B 点在C 点的正东方向上．∴∠CBD =90°+30°=120°，在BCD △中，由正弦定理得，sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，sin 1sin 2203BD CBD BCD CD t⋅∠∴∠===，∴∠BCD =30°，则缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．又在BCD △中，∠CBD =120，∠DCB =30°，∴∠CDB =30，6BD CB ==206BD t ==6t =故缉私船应沿北偏东60°621．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan b a B =，且A 为钝角． (1)证明：2A B π-=；(2)求2sin sin B C +的取值范围． (1)证明见解析; (2)31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）根据正弦定理、同角三角函数间的基本关系及诱导公式即可得证；（2）由（1）可得22C B π=-,再由诱导公式及二倍角的余弦公式化简为22sin 12sin B B +-，由二次函数的性质可求取值范围.【详解】(1)tan b a B =，sin sin sin tan sin cos BB A B A B=⋅=⋅， sin 1cos AB∴=，sin cos A B =，因为A 为钝角， sin sin()cos sin 2A A B B ππ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为A π-，2B π-均为锐角，故2A B ππ-=-，即2A B π-=.(2)2A B π-=，2A B π∴=+，()22C A B B ππ=-+=-.22sin sin 2sin sin 22sin cos 22sin 12sin 2B C B B B B B B π⎛⎫+=+-=+=+- ⎪⎝⎭，02B π<<，0222C B ππ<=-<，04B π∴<<，sin B ⎛∈ ⎝⎭. 当1sin 2B =时，2sin sin B C +取得最大值为32，当sin 0B =时2sin sin B C +取得最小值1，所以sin B ⎛∈ ⎝⎭时，2sin sin B C +的取值范围为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 22．已知向量(3,1)a =-，13,2b ⎛= ⎝⎭.(1)求证：a b ⊥；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使得()23x a t b =+-，y ka tb =-+，且x y ⊥，求函数关系式()k f t =；(3)若2()2g t at at =-，满足(2,)t ∈+∞时，()()f t g t >恒成立，求a 的取值范围． (1)证明见解析 (2)()()2134k f t t t ==-(3)3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由垂直的坐标表示证明；（2）由0x y ⋅=可得关系式，从而求得函数式()k f t =；（3）不等式变形为即24830t at a -+->在(2,)t ∈+∞恒成立．令2()483y h t t at a ==-+-，t >2．分类讨论确定()h t 在(2,)+∞上的最小值，由最小值大于0可得．【详解】(1)12121(1)02a b x x y y ⋅=+=+-=，a b ∴⊥.(2)x y ⊥，()()22223()3x y a t b ka tb ka t t b ⎡⎤∴⋅=+-⋅-+=-+-⎣⎦()2430k t t =-+-=，解之得()()2134k f t t t ==-.(3)由()()f t g t >对(2,)t ∈+∞恒成立，即()221324t t at at ->-在(2,)t ∈+∞恒成立．2t >，∴原不等式可化简为()21324t at a ->-，即24830t at a -+->在(2,)t ∈+∞恒成立．令2()483y h t t at a ==-+-，t >2．当2a ≤2时，即a ≤1时，()y h t =在(2,)+∞上单调递增，则()(2)488310h t h a a >=-+-=>恒成立，故a ≤1．当2a >2时，即a >1时，函数()y h t =在(2,2)a 上单调递减，在(2,)a +∞上单调递增，要使2()4830h t t at a =-+->在(2,)t ∈+∞恒成立，即min [()]0h t >，则222min (2)48834830y h a a a a a a ==-+-=-+->，即24830a a -+<，解之得，1322a <<，故有312a <<.综上，要使()()f t g t >对(2,)t ∈+∞恒成立，则a 的取值范围为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.。

高一下学期第三次月考数学试卷(附含答案)

高一下学期第三次月考数学试卷（附含答案）试卷满分150分（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.下列说法正确的是（） A.经过三点有且只有一个平面 B.经过一条直线和一个点有且只有一个平面 C.四边形是平面图形D.经过两条相交直线有且只有一个平面2.在ABC △中，AC=1，AB =和BC=3，则ABC △的面积为（）D.3.设m ，n 是两条不同的直线，α和β是两个不同的平面（） A.若m n ⊥ n α∥，则m α⊥B.若m β∥βα⊥，则m α⊥C.若m β⊥ n β⊥ n α⊥，则m α⊥D.若m n ⊥ n β⊥ βα⊥，则m α⊥4.在ABC △中4a = 3b = 2sin 3A =，则B =（） A.6π B.3π C.6π或56π D.3π或23π5.如图在长方体1111ABCD A B C D -中2AB = 11BC BB == P 是1A C 的中点，则直线BP 与1AD 所成角的余弦值为（）A.13C.36.某车间需要对一个圆柱形工件进行加工该工件底面半径15cm 高10cm 加工方法为在底面中心处打一个半径为cm r 且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r 的值应设计为（）cmC.4D.57.已知在ABC △中2B A C =+ 2b ac =，则ABC △的形状是（） A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形8.与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（）22C.D.二、多项选择题（本大题共4小题每小题5分共计20分.在每小题给出的四个选项中至少有两个是符合题目要求的请把答案填写在答题卡相应位置上）9.如图已知正方体1111ABCD A B C D - M N 分别为11A D 和1AA 的中点，则下列四种说法中正确的是（）A.1C M AC ∥B.1BD AC ⊥C.1BC 与AC 所成的角为60°D.CD 与BN 为异面直线10.在ABC △中角A B C 的对边分别是a b c 下列关系式恒成立的是（） A.cos cos c a B b A =⋅+⋅B.22sin1cos 2A BC +=+ C.()22cos cos a b c a B b A -=⋅⋅-⋅D.tan tan tan 1tan tan A BC A B+=-11.如图在正四棱锥S ABCD -中E M N 分别是 BC CD SC 的中点动点P 在线段MN 上运动时下列四个结论恒成立的是（）A.EP AC ⊥B.EP BD ∥C.EP ∥平面SBDD.EP ⊥平面SAC12.如图在正方体1111ABCD A B C D -中M 、N 分别为正方形ABCD 、11BB C C 的中心，则下列结论正确的是（）A.平面1D MN 与11B C 的交点是11B C 的中点B.平面1D MN 与BC 的交点是BC 的三等分点C.平面1D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点D.平面1D MN 将正方体1111ABCD A B C D -分成的两部分的体积之比为1：1三、填空题（本大题共4小题每小题5分共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13.在ABC △中若4AB = 7AC = BC 边的中线72AD =，则BC =______.14.已知圆锥的顶点为P 底面圆心为O 高为1 E 和F 是底面圆周上两点 PEF △面积的最大值为______.15.正四棱台的上、下底面的边长分别为2 4 侧棱长为2，则其体积为______.16.过正方体1111ABCD A B C D -顶点A 作平面α 使α∥平面11A B CD 11A D 和11D C 的中点分别为E 和F ，则直线EF 与平面α所成角为______.四、解答题（本大题共6小题共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）一个几何体由圆锥和圆柱组成其尺寸如图所示. （1）求此几何体的表面积；（2）如图点P Q 在几何体的轴截面上 P 为所在母线中点 Q 为母线与底面圆的交点求在几何体侧面上从P 点到Q 点的最短路径长.18.（本题满分12分）在ABC △中角A B C 的对边分别是a b c cos cos 3cos b A a B c A +=.（1）求cos A ；（2）若2a = 求ABC △面积的最大值.19.（本题满分12分）已知正三棱柱111ABC A B C -中2AB = M 是11B C 的中点. （1）求证：1AC ∥平面1A MB ；（2）点P 是直线1AC 上的一点当1AC 与平面ABC 所成的角的正切值为2时求三棱锥1P A MB -的体积.20.（本题满分12分）在ABC △中角A B C 的对边分别是a b c 已知cos cos b A a B b c -=-. （1）求A ；（2）若点D 在BC 边上且2CD BD = cos B =求tan BAD ∠. 21.（本题满分12分）在四棱锥P ABCD -中90ABC ACD ∠=∠=︒ 30BCA CDA ∠=∠=︒ PA ⊥平面ABCD E F 分别为PD PC 的中点 2PA AB =. （1）求证：平面PAC ⊥平面AEF ；（2）求二面角E AC B --的余弦值.22.（本题满分12分）如图在一条东西方向的海岸线上的点C 处有一个原子能研究所海岸线北侧有一个小岛岛上建有一个核电站.该岛的一个端点A 位于点C 的正北方向处另一个端点B 位于点A 北偏东30°方向且与点A 相距10km 研究所拟在点C 正东方向海岸线上的P 处建立一个核辐射监测站. （1）若4km CP = 求此时在P 处观察全岛所张视角APB ∠的正切值；（2）若要求在P 处观察全岛所张的视角最大问点P 应选址何处？参考答案17.（1）由题设此几何体是一个圆锥加一个圆柱其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和.圆锥侧面积())21122S a a π=⨯⨯=；圆柱侧面积()()22224S a a a ππ=⨯=；圆柱底面积23S a π=∴几何体表面积为)222212345S S S S a a a a πππ=++=++=.（2）沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面展开如图.则PQ ===∴P 、Q 两点间在侧面上的最短路径长为. 18.（1）因为cos cos 3cos b A a B c A +=由正弦定理得sin cos cos sin 3sin cos B A B A C A += ∴()sin 3sin cos A B C A +=∴sin 3sin cos C C A =.在ABC △中sin 0C ≠ ∴1cos 3A =；（2）由（1）知1cos 3A =由22sin cos 1A A += A 为锐角得sin A =由余弦定理可知222123b c a bc +-= 因为2a =∴2233122b c bc +-= ∴22212336bc b c bc +≥=+ 即3bc ≤ 当且仅当b c ==所以1sin 2ABC S bc A =≤△ ABC △. 19.（1）证明：连接1AB 交1A B 于点N 连接MN因为四边形11AA B B 为平行四边形 11AB A B N ⋂=，则N 为1AB 的中点因为M 为11B C 的中点，则1MN AC ∥∵1AC ⊂/平面1A MB MN ⊂平面1A MB 故1AC ∥平面1A MB . （2）因为1CC ⊥平面ABC ∴1AC 与平面ABC 所成的角为1CAC ∠因为ABC △是边长为2的等边三角形，则2AC =∵1CC ⊥平面ABC AC ⊂平面ABC ∴1CC AC ⊥，则11tan 2CC CAC AC ∠==所以 124CC AC ==∵1AC ∥平面1A MB 1P AC ∈ 所以点P 到平面1A MB 的距离等于点1C 到平面1A MB 的距离因为M 为11B C 的中点，则11111211222A MC A B C S S ===△△则1111111111433A P A MB C A MB B A C M C M V V V BB S ---===⋅=⨯=△.20.（1）解：因为cos cos b A a B b c -=-由余弦定理可得22222222b c a a c b b a b c bc ac +-+-⋅-⋅=-化简可得222b c a bc +-= 由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==因为0A π<< 所以 3A π=.（2）解：因为cos B =，则B 为锐角所以 sin 3B ===因为A B C π++= 所以 23C B π=-所以22211sin sin sin cos cos sin 333232326C B B B πππ⎛⎫=-=-=⨯+⨯=+⎪⎝⎭设BAD θ∠=，则23CAD πθ∠=-在ABD △和ACD △中由正弦定理得sin sin BD AD B θ==sin sin 3CD AD C πθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭因为2CD BD =(3sin 3πθθ⎛⎫-=⎪⎝⎭(1sin 3sin 22θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sin θθ=+所以tan tan BAD θ∠===21.（1）由题意设AB a =，则2PA AC a == 4AD a =CD =∴PD == 又PA ⊥平面ABCD AC ⊂面ABCD∴PA AC ⊥，则在Rt PAC △中PC =在PCD △中222CD PC PD +=，则CD AC ⊥ 又CD ⊂面ABCD 有PA CD ⊥ 又AC PA A ⋂= 故有CD ⊥面P AC 又E F 分别为PD PC 的中点即EF CD ∥ ∴EF ⊥面P AC 又EF ⊂面AEF ，则平面PAC ⊥平面AEF ；（2）过E 作EH AD ⊥ 易知H 为AD 中点若G 是AC 中点连接EH HG EG∴GH AC ⊥ EH AC ⊥ GH EH H ⋂= 故AC ⊥面EHG 即EGH ∠是二面角E AC D --的平面角∴由图知：二面角E AC B --为EGH π-∠易知EH PA ∥，则EH ⊥面ABCD GH ⊂面ABCD 所以EH GH ⊥在Rt EHG △中EH a = GH =，则2GE a =∴cos 2EGH ∠=，则二面角E AC B --的余弦值为()cos 2EGH π-∠=-.22.（1）设APB θ∠= 由题意知AC CP ⊥ AC = 4km CP = 30yAB ∠=︒ 所以tanCAP ∠==即30CAP ∠=︒ 8km AP = 1803030120PAB ∠=︒-︒-︒=︒ 在BAP △中10km AB =由正弦定理得 ()sin sin sin 60AB AP AP ABP θθ==∠︒- 即()108sin sin 60θθ=︒-化简得13sin θθ= 即tan θ=所以此时在P 处观察全岛所张视角APB ∠. （2）过点B 作BD CP ⊥于点D 设km CP x =由（1）得当5x >时点P 在点D 的右侧 ()5km PD x =-，则tan BD BPC PD ∠==当05x <<时点P 在点D 的左侧 ()5km PD x =-，则tan 5BD BPC PD x ∠=-=-.又tan APC ∠=，则当0x > 且5x ≠时有())24tan tan 5108x BPC APC x x θ+=∠-∠==-+. 当5x =时点P 与点D 重合tan tan CD CAD AC θ=∠== 满足上式所以)24tan 5108x x x θ+=-+.令4x t +=，则)tan 445410813t t t t t θ===>---++- ⎪⎝⎭因为14424t t +≥=，则0tan θ<≤= 当且仅当1444t t =>即12t = 8x =时取等号此时tan θ。

精品解析：福建师范大学第二附属中学2022-2023学年高一3月月考数学试题(解析版)

福建师大二附中2021-2022学年第二学期高一年段月考数学试题一､选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,3,5}M =,{3,4}U N =ð,则M N = （）A. {1} B. {1,2}C. {1,5}D. {1,2,5}【结果】C 【思路】【思路】依据集合地交集和补集地概念即可求出结果.【详解】由题意可得{1,2,5}N =,则{1,5}M N ⋂=.故选：C.2. 已知向量()7,6AB = ,()3,BC m =- ,()1,2AD m =-,若A ,C ,D 三点共线,则m =（）A.32B.23C. 32-D. 23-【结果】D 【思路】【思路】依据三点共线地向量表示即可求解.【详解】(4,6)AC AB BC m =+=+,因为A ,C ,D 三点共线,所以AC 与AD共线,所以42(6)m m ⨯=-+,解得m =23-．故选：D.3. 下面表达正确地个数为（）①面积，压强，速度，位移这些物理量都是向量②零向量没有方向③向量地模一定是正数 ④非零向量地单位向量是唯一地A. 0B. 1C. 2D. 3【结果】A 【思路】【思路】依据向量地定义和性质,逐项判断正误即可.【详解】①错误,只有速度,位移是向量．②错误,零向量有方向,它地方向是任意地．③错误,|0|0.=④错误,非零向量a 地单位向量有两个,一个与a 同向,一个与a反向．故选：A.4. 已知弧长为3π地弧所对地圆心角为6π,则该弧所在地扇形面积为（）A.B.1π3C.2π3D.4π3【结果】B 【思路】【思路】先求得扇形地半径,由此求得扇形面积.【详解】依题意,扇形地半径为π32π6=,所以扇形面积为1ππ2233⋅⋅=.故选：B5. 在ABC 中,内角,,A B C 地对边分别为,,a b c ,已知5c =,23B π=,ABC,则b =（）A. B. 7C. D. 6【结果】B 【思路】【思路】依据5c =,23B π=,ABC,求得a ,再利用余弦定理求解.【详解】因为5c =,23B π=,ABC,所以112sin 5sin 223ABC πS ac B a ==⨯⨯=,解得3a =,由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,2925253cos493π=+-⨯⨯⨯=,所以7b =,故选：B6. 已知函数()f x 是定义在R 上地奇函数,()(4)f x f x =+,且(1)1f -=-,则(2020)(2021)f f +=（）A. 1- B. 0C. 1D. 2【结果】C 【思路】【思路】由()(4)f x f x =+得函数地周期性,由周期性变形自变量地值,最后由奇函数性质求得值．【详解】∵()f x 是奇函数,∴(0)0,(1)(1)1f f f ==--=,又()(4)f x f x =+,∴()f x 是周期函数,周期为4．∴(2020)(2021)(0)(1)011f f f f +=+=+=．故选：C ．7. 如图,圭表是中国古代通过测量日影长度来确定节令地仪器,也是作为指导汉族劳动人民农事活动地重要依据,它由“圭”和“表”两个部件组成,圭是南北方向水平放置测定表影长度地刻板,表是与圭垂直地杆,正午时太阳照在表上,通过测量此时表在圭上地影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时,太阳光线与圭所在平面所成角分别为α,β,测得表影长之差为l ,那么表高为（）A.tan tan tan tan l αβαβ- B.()tan tan tan tan l βαβα- C.tan tan tan tan l βαβα- D.()tan tan tan tan l αβαβ-【结果】C【思路】【思路】由题意画出图形,找出线面角,设AB x =,然后求解三角形得结果.【详解】如图,设表高AB x =,在ACD △中,CAD βα∠=-,由正弦定理有sin sin sin()AC CD lCAD αβα==∠-,所以sin sin()l AC αβα⋅=-,在直角三角形ABC 中,sin ABACβ=,即sin sin sin sin sin sin()sin cos cos sin l x AC l αβαβββαβαβα⋅=⋅==⋅--tan 1tan tan 1tan tan tan l l ββαααβ-==-.故选：C8. 已知△ABC 地内角A ,B ,C 地对边分别为a ,b ,c ,若2c sin C =（a +b ）（sin B -sin A ）,则当角C 得到最大值时,B =（）A.3πB.56πC.2πD.23π【结果】D 【思路】【思路】利用正弦定理, 把2sin ()(sin sin )c C a b B A =+-转化成只含有边地等式, 然后利用余弦定理及基本不等式求得cos C 地最小值, 即可求解.【详解】2c sin C =（a +b ）（sin B -sin A ）中利用正弦定理, 得22()()c a b b a =+- ,即2222b a c -=,则由余弦定理得222223cos 24a b c a b C ab ab+-+==,由均值不等式得2234a b ab +=…当且仅当b =时等号成立, 则易知角C 地最大值为6π.当b =时, 22232a a c -=,则a c =,所以2,6663A CB πππππ===--=, 故选：D.二､多选题：本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出地选项中,有多项符合题目要求全部选对地得5分,部分选对地得2分,有选错地得0分9. 下面结论正确地是（）A. 在ABC 中,若A B >,则sin sin A B>B. 在锐角三角形ABC 中,不等式2220b c a +->恒成立C. 在ABC 中,若cos cos a B b A c -=,则ABC 是直角三角形D. 在ABC 中,若360b A ==︒，,三角形面积S =,【结果】ABC 【思路】【思路】利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A 。

数学高一月考试卷

数学高一月考试卷数学高一月考试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合A∩∁UB=()A.{2,5}B.{3,6}C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}2.已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A.5B.4C.3D.23.已知集合A={x|x2-2x0}，B={x|-5x5}，则() p=A.A∩B=∅B.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B4.设P，Q为两个非空实数集合，定义集合PxQ={z|z=a÷b，a∈P，b∈Q}，若P={-1,0,1}，Q={-2,2}，则集合PxQ中元素的个数是()A.2B.3C.4D.55.已知全集U=Z，集合A={x|x2=x}，B={-1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A.{-1,2}B.{-1,0}C.{0,1}D.{1,2}6.若集合P={x|3A.(1,9)B.[1,9]C.[6,9)D.(6,9]7.下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A.e0=1与ln1=0B.log39=2与912=3C.8-13=12与log812=-13D.log77=1与71=78.若loga7b=c，则a，b，c之间满足()A.b7=acB.b=a7cC.b=7acD.b=c7a9.有以下四个结论：①lg(lg10)=0;②ln(lne)=0;③若10=lgx，则x=10;④若e=lnx，则x=e2.其中正确的是()A.①③B.②④C.①②D.③④10.已知2a∈A，a2-a∈A，若A只含这两个元素，则下列说法中正确的是()A.a可取全体实数B.a可取除去0以外的所有实数[C.a可取除去3以外的所有实数D.a可取除去0和3以外的所有实数11.集合A中的元素y满足y∈N且y=-x2+1，若t∈A，则t的值为()A.0B.1C.0或1D.小于等于112.设a，b∈R，集合A中含有0，b，ba三个元素，集合B中含有1，a，a+b三个元素，且集合A与集合B相等，则a+2b=()A.1B.0C.-1D.不确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中的横线上)13.已知集合A={0,2,3}，B={x|x=ab，a，b∈A且a≠b}，则B的子集有________个.14.已知集合A={-2,1,2}，B={a+1，a}，且B⊆A，则实数a的值是________.9.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人..15.如果集合A={x|ax2+2x+1=0}只有一个元素，则实数a的值为________.16.已知集合A中只含有1，a2两个元素，则实数a不能取的值为________.三、解答题(本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.已知函数f(x)=x2-3x-10的两个零点为x1，x2(x118.设集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}，(1)若A∩B={2}，求实数a的值;(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围;(3)若U=R，A∩(∁UB)=A，求实数a的取值范围.19.若所有形如3a+2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6-22是不是集合A中的元素.20.设集合A中含有三个元素3，x，x2-2x.(1)求实数x应满足的条件;(2)若-2∈A，求实数x.高一数学学习方法1弃重求轻，培养兴趣女生数学能力的下降，环境因素及心理因素不容忽视。

2021-2022学年河北省保定市唐县一中高一(下)月考数学试卷(6月份)(含答案解析)

2021-2022学年河北省保定市唐县一中高一（下）月考数学试卷（6月份）1. 已知复数z 满足(z −1)(1+2i)=−2+i ，则|z|=( ) A. √2B. 2√2C. 2D. 12. 为调整学校路段的车流量问题，对该学校路段1∼15时的车流量进行了统计，折线图如图，则下列结论错误的是( )A. 9时前车流量在逐渐上升B. 车流量的高峰期在9时左右C. 车流量的第二高峰期为12时D. 9时开始车流量逐渐下降 3. 在△ABC 中，若b =2，A =120∘，三角形的面积S =√3，则三角形外接圆的半径为( ) A. √3B. 2C. 2√3D. 44. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A. 若m//α，n//β，且α//β，则m//n B. 若α⊥β，m ⊥α，则m//β C. 若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n D. 若m//α，n ⊥β，且α⊥β，则m//n5. 如图，圆锥的轴截面ABC 为等边三角形，D 为弧AB ⏜的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AC 和DE 所成角的余弦值为( )A. √33 B. √63 C. √22 D. √246. 在△ABC 中，∠B =900，BC =6，AB =4，点D 为边BC 上靠近点B 的三等分点，点E为边AC 的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 7B. −7C. 2D. −27. 已知sinα+2sinβ=1，cosα+2cosβ=√3，则cos2(α−β)=( )A. 12B. −12C. −78D. 788. 已知三棱锥P−ABC中，PA=√23，AB=3，AC=4，AB⊥AC，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为( )A. 16B. 28C. 64D. 969. 已知a⃗，b⃗ ，c⃗是三个平面向量，则下列叙述错误的是( )A. 若|a⃗|=|b⃗ |，则a⃗=±b⃗B. 若a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗，且a⃗≠0，则b⃗ =c⃗C. 若a⃗//b⃗ ，b⃗ //c⃗，则a⃗//c⃗D. 若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |10. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的有( )A. 若A>B，则sinA>sinBB. 若acosA=bcosB，则△ABC一定为等腰三角形C. 若acosB−bcosA=c，则△ABC一定为直角三角形D. 若a 2+b 2>c 2，则△ABC 一定为锐角三角形11. 在对某中学高一年级学生身高(单位：cm)的调查中，随机抽取了男生23人、女生27人，23名男生的平均数和方差分别为170和10.84，27名女生的平均数和方差分别为160和28.84，则( )A. 总样本中女生的身高数据比男生的离散程度小B. 总样本的平均数大于164C. 总样本的方差大于45D. 总样本的标准差大于712. 已知函数f(x)=sin(2x +π3)，将f(x)图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则( )A. g(x)的图象向左平移π24个单位后对应的函数是偶函数 B. g(x)在[π12,π3]上单调递减 C. 当x =7π24时，g(x)取最大值 D. 直线y =12与g(x)(0<x <3π2)图象的所有交点的横坐标之和为19π413. 如图所示为一个平面图形的直观图，则它的原图形四边形ABCD 的面积为______.14. 已知sin(π6+α)=13，则cos(2π3−2α)=______.15. 已知非零向量a⃗，b⃗ ，c⃗满足a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗，a⃗与c⃗的夹角为2π，|c⃗|=2，则向量b⃗ 在向量a⃗上3的投影向量的模为______.16. 已知三棱柱ABC−A1B1C1，侧棱AA1⊥底面ABC，E，F分别是AB，AA1的中点，且AC= BC=2，AC⊥BC，AA1=4，过点E作一个截面与平面BFC1平行，则截面的周长为__________.17. 已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(x,3)，c⃗=(y,2)，且a⃗//b⃗ ，a⃗⊥c⃗ .(1)求b⃗ 与c⃗；(2)若m⃗⃗⃗ =2a⃗−b⃗ ，n⃗=a⃗+c⃗，求向量m⃗⃗⃗ 与n⃗的夹角的大小．18. 已知函数f(x)=(√3sinωx−cosωx)⋅cosωx+1(其中ω>0)，若f(x)的一条对称轴离2.最近的对称中心的距离为π4(1)求y=f(x)解析式；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足(2b−a)cosC=ccosA，且f(B)恰是f(x)的最大值，试判断△ABC的形状．19. 某校100名学生期中考试化学成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均分及中位数；(3)若这100名学生化学成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x：y1：12：13：24：520. 西昌市邛泸旅游风景区在邛海举行搜救演练，如图，A，B是邛海水面上位于东西方向相距3+√3公里的两个观测点，现位于A点北偏东60∘、B点西北方向的D点有一艘渔船发出求救信号，位于B点南偏西75∘且与B点相距3√6公里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30公里/小时．求：(1)观测点B与D点处的渔船间的距离；(2)C点的救援船到达D点需要多长时间？21. 如图，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF//CE，BF⊥BC，BF<CE，BF=2，AB=1，AD=√5(Ⅰ)求证：BC⊥AF(Ⅰ)求证：AF//平面DCE(Ⅰ)若二面角E−BC−A的大小为120∘，求直线DF与平面ABCD所成的角．22. 已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60∘，又PD⊥平面ABCD，点E是棱AD的中点，F在棱PC上，(1)证明：平面BEF⊥平面PAD；(2)试探究F在棱PC何处时使得PA//平面BEF.答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵复数z满足(z−1)(1+2i)=−2+i，∴z=(−2+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)+1=1+i，∴|z|=√12+12=√2.故选：A.根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由折线图知，9时前车流量在逐渐增加，选项A正确；车流量的高峰期在9时左右，选项B正确；12时是车流量的第二高峰期，选项C正确；12时左右车流量又有些回升，所以9时开始车流量逐渐下降错误，选项D错误．故选：D.根据题意由折线图，对应分析题目中的命题是否正确即可．本题考查了折线图的应用问题，也考查了数据分析和处理能力的数学核心素养．3.【答案】B【解析】【分析】由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．【解答】解：△ABC中，∵b=2，A=120∘，三角形的面积S=√3=12bc⋅sinA=c⋅√32，∴c=2=b，∴△ABC是等腰三角形，故B=12(180∘−A)=30∘，再由正弦定理可得bsinB =2R=2sin30∘=4，∴三角形外接圆的半径R=2，故选：B.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．在A中，m与n平行或异面；在B中，m//β或m⊂β；在C中，由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n；在D中，m与n相交、平行或异面．【解答】解：在A中，若m//α，n//β，且α//β，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若α⊥β，m⊥α，则m//β或m⊂β，故B错误；在C中，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故C正确；在D中，若m//α，n⊥β，且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故D错误．故选：C.5.【答案】C【解析】【分析】本题考查异面直线所成角，圆锥的性质，属于基础题．底面圆的圆心为O，由OE//AC得异面直线AC和DE所成角等于直线OE与直线DE所成角．【解答】解：设底面圆的圆心为O，半径为R.连接EO，DO.因为O，E分别为BA，BC的中点，所以OE//AC，OE=R.因为D为弧AB中点，所以DO⊥AB，又平面ABC⊥平面ABD，所以DO⊥平面ABC.所以DO⊥OE，又OD=R，所以△ODE为等腰直角三角形，所以∠OED=45∘..因为OE//AC，所以异面直线AC和DE所成角为∠OED，故余弦值为√22故选：C.6.【答案】D【解析】解：如图建立平面直角坐标系：所以B(0,0)，A(0,4)，C(6,0)，所以D(2,0)，E(3,2)，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−4)⋅(3,2)=2×3+(−4)×2=−2，故选：D.对Rt △ABC 建立平面直角坐标系，得出点的坐标，再计算AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出答案．本题考查向量的数量积，解题中需要理清思路，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：将sinα+2sinβ=1两边平方，得sin 2α+4sinαsinβ+4sin 2β=1①；将cosα+2cosβ=√3两边平方，得cos 2α+4cosαcosβ+4cos 2β=3②； ①+②得1+4cos(α−β)+4=4，所以cos(α−β)=−14. 所以cos2(α−β)=2cos 2(α−β)−1=2×(−14)2−1=−78. 故选：C.将条件中的两个等式两边平方，相加得cos(α−β)的值，再利用二倍角公式求cos2(α−β)的值．本题三角恒等变换中的平方和关系、和差角公式、二倍角公式，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵三棱锥P −ABC 中，PA =√23，AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，PA ⊥面ABC ， ∴以AB ，AC ，AP 为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P −ABC 的外接球， ∴三棱锥P −ABC 的外接球的半径R =√23+9+162=2√3，设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a ，则R =√3a2=2√3，解得a =4，∴此三棱锥的外接球的内接正方体的体积V =a 3=43=64. 故选：C.以AB ，AC ，AP 为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P −ABC 的外接球，三棱锥P −ABC 的外接球的半径R =2√3，设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a ，则R =√3a2=2√3，解得a=4，由此能求出此三棱锥的外接球的内接正方体的体积．本题考查三棱锥的外接球的内接正方体的体积的求法，考查三棱锥及外接球、球的内接正方体等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量平行、向量垂直、向量模的运算性质，属于中档题．对A：举反例即可进行判断；对B：当a⃗与b⃗ ，a⃗与c⃗垂直时，满足条件，但结论不一定成立；对C：取b⃗ =0⃗，即可进行判断；对D：利用向量垂直性质，结合模的运算即可进行判断．【解答】解：对A：当a⃗=(1,0)，b⃗ =(0,1)时，满足|a⃗|=|b⃗ |，但a⃗≠±b⃗ ，故A错误；对B：当a⃗与b⃗ ，a⃗与c⃗垂直且a⃗≠0⃗时，满足a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗=0，但结论不一定成立，故B错误；对C：取b⃗ =0⃗，则a⃗//b⃗ ，b⃗ //c⃗，但a⃗与c⃗不一定平行，故C错误；对D：当a⃗⊥b⃗ 时，即a⃗⋅b⃗ =0，则|a⃗+b⃗ |²=|a⃗|²+|b⃗ |²+2a⃗⋅b⃗ =|a⃗|²+|b⃗ |²，|a⃗−b⃗ |²=|a⃗|²+|b⃗ |²−2a⃗⋅b⃗ =|a⃗|²+|b⃗ |²，即a⃗⊥b⃗ 时，|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，故D正确；故选：ABC.10.【答案】AC【解析】解：选项A中，由A>B，可得a>b，根据正弦定理得sinA>sinB，即选项A正确；选项B中，结合正弦定理及acosA=bcosB，知sinAcosA=sinBcosB，所以sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，所以△ABC为等腰或直角三角形，即选项B错误；选项C中，由余弦定理及acosB−bcosA=c，知a⋅a 2+c2−b22ac−b⋅b2+c2−a22bc=c，化简得a2=b2+c2，即选项C正确；选项D中，由余弦定理知，cosC=a 2+b2−c22ab>0，所以角C为锐角，但角A，B不确定，所以选项D错误．故选：AC.选项A中，结合“大角对大边”与正弦定理，可判断；选项B 中，利用正弦定理化边为角，再结合二倍角公式，可判断；选项C 中，利用余弦定理化角为边，再结合勾股定理，可判断；选项D 中，由余弦定理可得角C 为锐角，但角A ，B 不确定．本题主要考查三角形形状的判断，熟练掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：因为方差越小，数据的离散程度越小，所以总体样本中女生的身高数据比男生的离散程度大，A 错误；由已知可得样本的平均数为23×170+27×16050=164.6，B 正确；设23名男生的身高分别为a 1，a 2，…，a 23，27名女生的身高分别为b 1，b 2…b 27，则a 1+a 2+…+a 23=23×170，123[(170−a 1)2+…+(170−a 23)2]=10.84， b 1+b 2+…+b 27=27×160，127[(160−b 1)2+…+(160−b 27)2]=28.84，∴23×1702−2×170×23×170+(a 12+⋯+a 232)=23×10.84， ∴a 12+⋯+a 232=23×10.84+23×1702，同理b 12+b 22+⋯+b 272=27×28.84+27×1602，故总体方差150[(164.6−a 1)2+⋯+(164.6−a 23)2+((164.6−b 1)2+…+(164.6−b 27)2]，=150[50×164.62−2×164.6×50×164.6+(a 12+⋯+a 232)+(b 12+b 22+⋯+b 272)]，=150×[50×164.62−2×164.6×50×164.6+23×10.84+23×1702+27×28.84+27×1602]， =45.4，C 正确；由C 可知标准差约为6.7，D 错误．故选：BC.对于A ，利用方差的性质即可判断；对于B ，利用平均数的计算公式即可判断；对于C ，利用方差计算公式即可判断；对于D ，利用标准差公式即可判断．本题主要考查了方差及平均数的计算，属于基础试题．12.【答案】AD【解析】解：由已知：函数f(x)=sin(2x +π3)图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，可得g(x)=sin(4x +π3)，对于A ：函数g(x)向左平移π24个单位，得到g(x +π24)=sin(4x +π6+π3)=cos4x ，显然g(−x)=g(x)，故g(x)为偶函数，A 正确；对于B ：因为x ∈[π12,π3]，故2π3≤4x +π3≤5π3，显然y =sinx 在[2π3,5π3]上不单调，亦即函数g(x)=sin(4x +π3)在[π12,π3]上不单调，B 错误；对于C ：当x =7π24时，g(7π24)=sin(7π6+26π)=sin(3π2)=−1是最小值，C 错误；对于D ：令g(x)=12，即sin(4x +π3)=12，(0<x <3π2)，令4x +π3=2kπ+π6(k ∈Z)或4x +π3=2kπ+5π6(k ∈Z)，解得x =kπ2−π24或x =kπ2+π8(k ∈Z)，当k =0时，x =π8，当k =1时，x =11π24或5π8，当k =2时，x =23π24或9π8，当k =3时，x =35π24，故所有的交点的横标之和为：π8+11π24+5π8+23π24+9π8+35π24=19π4，故选项D 正确．故选：AD.首先利用三角函数的平移变换求出函数的解析式，根据三角函数的性质可判断A ；求出 4x +π3整体的范围，即可判断B ；将x =7π24代入解析式中求值，即可判断C ；令g(x)=12，求出0<x <3π2内的所有的根，即可判断D.本题考查三角函数的据图求式问题，同时考查了三角函数的图象与性质间的联系，属于中档题．13.【答案】4【解析】解：根据题意，由直观图知，四边形A′B′C′D′是平行四边形，且边A′B′、A′D′分别在x′轴、y′轴上，∠B′A′D′=45∘，故四边形ABCD 是平行四边形，AB =A′B′=2，AD =2A′D′=2，∠BAD =90∘，则ABCD 是边长为2的正方形，所以四边形ABCD 面积为4. 故答案为：4.根据题意，分析原图的性质，进而计算可得答案．本题考查斜二测画法的应用，涉及平面图形的直观图，属于基础题．14.【答案】−79【解析】【分析】本题主要考查诱导公式和余弦的二倍角公式，属于中档题．因为cos(π3−α)=sin(π6+α)=13，利用二倍角公式求得cos(2π3−2α)的值．【解答】解：因为 cos(π3−α)=sin(π6+α)=13，∴cos(2π3−2α) =2cos 2(π3−α)−1=2×19−1=−79，故答案为−79.15.【答案】1【解析】【分析】本题考查向量的数量积，解题中需要理清思路，属于基础题．由向量的数量积的可得向量b ⃗ 在向量a ⃗ 上的投影为a⃗ ⋅b ⃗ |a⃗ |=a⃗ ⋅c ⃗ |a⃗ |=|c ⃗ |cos <a ⃗ ，c ⃗ >，即可得出答案．【解答】解：向量b ⃗ 在向量a ⃗ 上的投影为a ⃗ ⋅b ⃗|a ⃗ |=a ⃗ ⋅c ⃗ |a ⃗ |=|c ⃗ |cos <a ⃗ ，c ⃗ >=2×cos 2π3=−1，所以向量b ⃗ 在向量a ⃗ 上的投影向量的模为1，故答案为：1.16.【答案】√3+2√2+2√5【解析】【分析】本题考查面面平行的判定定理等基础知识，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养，是中档题．取AF 的中点G ，分别在CC 1，BC 上取点H ，M ，使HC 1=14CC 1，BM =14BC ，连接EG ，GH ，HM ，EM.推导出GH//平面BFC 1，MH//平面BFC 1，从而可得平面EGHM//平面BFC 1.依次求出四条边的长度，由此能求出所求的截面周长．【解答】解：如图，取AF的中点G，分别在CC1，BC上取点H，M，使HC1=14CC1，BM=14BC，连接EG，GH，HM，EM.又F，G分别是AA1，AF的中点，∴FG=14AA1.又AA1//CC1，AA1=CC1，∴FG//HC1，FG=HC1，∴四边形FGHC1为平行四边形，∴GH//FC1，GH=FC1，GH⊄平面BFC1,FC1⊂平面BFC1,∴GH//平面BFC1.∵HC1=14CC1，BM=14BC，∴MH//BC1，MH=34BC1，MH⊄平面BFC1,BC1⊂平面BFC1,∴MH//平面BFC1.又MH∩GH=H，MH，GH⊂平面EGHM，∴平面EGHM//平面BFC1.又AA1⊥平面ABC，AC=BC=2，E，F分别是AB，AA1的中点，AC⊥BC，AA1=4，∴AB=2√2，AF=A1F=2，∴EG=12BF=12√AF2+AB2=√3，GH=FC1=√A1F2+A1C12=2√2，HM=34BC1=34√BB12+B1C12=32√5.在△BEM中，BM=14BC=12，BE=√2，∠EBM=45∘，∴EM2=BM2+BE2−2BM⋅BEcos45∘=14+2−2×12×√2×√22=54，∴EM=√52，∴平面EGHM的周长为EG+GH+HM+EM=√3+2√2+32√5+√52=√3+2√2+2√5，即所求的截面周长为√3+2√2+2√5.故答案为：√3+2√2+2√5.17.【答案】解：(1)由a⃗//b⃗ 得，2×3−1×x=0，所以x=6，即b⃗ =(6,3)，由a⃗⊥c⃗得，2×y+1×2=0，所以y=−1，即c⃗=(−1,2).(2)由(1)得m⃗⃗⃗ =2a⃗−b⃗ =2(2,1)−(6,3)=(−2,−1)，n⃗=a⃗+c⃗=(2,1)+(−1,2)=(1,3)，所以m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=(−2)×1+(−1)×3=−5，|m⃗⃗⃗ |=√(−2)2+(−1)2=√5，|n|⃗⃗⃗⃗⃗ =√12+32=√10，所以cos⟨m⃗⃗⃗ ,n⃗ ⟩=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗|m⃗⃗⃗ ||n⃗|=√5×√10=−√22，所以向量m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为3π4.【解析】(1)利用向量共线的坐标运算，求出x，然后利用向量垂直，数量积为0，求解y，即可得到结果．(2)求出向量m⃗⃗⃗ 与n⃗，然后求解向量m⃗⃗⃗ 与n⃗的夹角即可．本题考查向量共线以及向量垂直条件的应用，向量的数量积的求法，夹角的求法，是中档题．18.【答案】解：(1)由于函数f(x)=√3sinωx⋅cosωx−cos2ωx+12=√32sin2ωx−12(2cos2ωx−1)=√32sin2ωx−122cos2ωx=sin(2ωx−π6)，∵f(x)的对称轴离最近的对称中心的距离为π4，∴T=π，∴2π2ω=π，故ω=1，∴f(x)=sin(2x−π6)；(2)由于(2b−a)cosC=ccosA，由正弦定理得(2sinB−sinA)cosC=sinC⋅cosA，∴2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)，∵sin(A+C)=sin(π−B)=sinB>0，2sinBcosC=sinB，∴sinB(2cosC−1)=0，∴cosC=12，∵0<C<π，∴C=π3；∴0<B<2π3，∴−π6<2B−π6<7π6，根据正弦函数的性质可知，f(B)是f(x)的最大值1，此时2B−π6=π2，即B=π3，∴A=π3，∴△ABC为等边三角形．【解析】(1)利用三角恒等变换化简函数，根据正弦型函数的性质求周期即可得解；(2)利用正弦定理及三角恒等变换可得C=π3，再由正弦型函数的性质及题意知f(B)=1求出B，即可判断三角形的形状．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，三角形形状的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)依题意，10×(2a+0.02+0.03+0.04)=1，解得a=0.005，(2)这100名学生化学成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05= 73(分)，化学成绩在区间[50,70)内的频率为0.45，在区间[50,80)内的频率为0.75，则化学成绩的中位数x0∈(70,80)，则有(x0−70)×0.03=0.05，解得x0≈71.67，所以这100名学生化学成绩的中位数为71.67.(3)由频率分布直方图知，化学成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数分别为：5人，40人，30人，20人，由数表知，数学成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数分别为：5人，20人，20人，25人，所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100−5−20−20−25=30(人).【解析】(1)利用给定的频率分布直方图的各小矩形面积和为1，计算作答．(2)利用频率分布直方图计算平均数、中位数的方法求解作答．(3)求出化学成绩在各分组区间内的人数，再按给定人数比的关系即可计算作答．本题考查了频率分布直方图，学生的数学运算能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)在△ABD中，∠BAD=30∘，∠ABD=45∘，则∠ADB=105∘，∴sin∠ADB=sin105∘=sin(60∘+45∘)=sin60∘cos45∘+cos60∘sin45∘=√6+√24，由正弦定理BDsin∠BAD =ABsin∠ADB，∴BD=ABsin30∘sin105∘=√6(公理).(2)在△BCD中，BC=3√6，BD=√6，∠CBD=15∘+45∘=60∘，由余弦定理得CD=√BC2+BD2−2BC⋅BDcos60∘=√42，∴救援船所需时间为t=√4230(小时).【解析】(1)求出△ABD的三个内角，利用正弦定理可求出BD的长；(2)利用余弦定理求出CD，结合救援船行驶的速度可求得所需的时间．本题考查有关三角形知识的运算，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC，又∵BF⊥BC，AB，BF⊂平面ABF，AB∩BF=B，∴BC⊥平面ABF.∵AF⊂平面ABF，∴BC⊥AF.(2)∵BF//CE，BF⊄平面CDE，CE⊂平面CDE，∴BF//平面CDE.∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AB//平面CDE，又AB，BF⊂平面ABF，AB∩BF=B，∴平面ABF//平面CDE，∵AF⊂平面ABF，∴AF//平面DCE.(3)如图过F作FN与AB的延长线垂直，N是垂足，连结DN.∵BC⊥AB，BC⊥BF，∴∠ABF就是二面角E−BC−A的平面角，∴∠ABF=120∘，∠FBN=60∘.∴BN=1BF=1，FN=√3，2∵AB=1，AD=√5，∠BAD=90∘，∴DN=√AD2+AN2=3.∵BC⊥平面ABF，BC⊂平面ABCD，∴平面ABF⊥平面ABCD，又平面ABF∩平面ABCD=AB，FN⊥AB，∴FN⊥平面ABCD，∴∠FDN是直线DF与平面ABCD所成的角，∴tan∠FDN=FNDN =√33，∴∠FDN=30∘.∴直线DF与平面ABCD所成的角为30∘.【解析】本题考查了线面垂直，线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题．(1)由BC⊥BF，BC⊥AB得出BC⊥平面ABF，故BC⊥AF；(2)由AB//CD，BF//CE得平面ABF//平面CDE，于是AF//平面CDE；(3)过F作FN与AB的延长线垂直，N是垂足，连结DN.则可证明FN⊥平面ABCD，于是∠FDN为所求角，利用勾股定理求出FN，DN计算tan∠FDN即可得出∠FDN的大小．22.【答案】(1)证明：∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60∘，∴△ABD是等边三角形，∵E是AD的中点，∴BE⊥AD.∵PD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴PD⊥BE.又AD∩PD=D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴BE⊥平面PAD，又BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD.(2)解：连结AC交BE于M，连结FM.∵PA//平面BEF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF=FM，∴PA//FM.∴PFFC=AMCMPFFC=AMMC,又△AME∽△CMB，∴AMCM=AEBC=12AMCM=AEBC=12,∴PFFC=12PFFC=12.∴F在棱PC靠近P的三等分点时，PA//平面BEF.【解析】本题考查了面面垂直的判定，线面平行的性质，属于中档题．(1)根据BE⊥AD，BE⊥PD可得BE⊥平面PAD，故而平面BEF⊥平面PAD；(2)连结AC交BE于M，连结FM，根据线面平行可得PA//FM，于是PFFC PFFC=AMMC=AEBC=12.。

黑龙江高一高中数学月考试卷带答案解析

黑龙江高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合，则 ()A．B．C．D．2.已知数列是等差数列，，则 ()A．B．C．D．3.的内角的对边分别为，若，,则等于（）A．B．2C．D．4.数列满足，则 ()A．B．C．D．5.在中，角的对边分别为，若，则的形状一定 () A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6.设等差数列的前项和为，若，则的值为 ()A．B．C．D．7.在中，，若点满足，则 ()A．B．C．D．8.等比数列各项均为正数且,则 () A．B．C．D．9.已知等差数列的前项和是，若，，则最大值是 () A．B．C．D．10.在中,角所对边分别为,若成等比数列，且，则 () A．B．C．D．11.如右图所示，从气球测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球的高度是m，则河流的宽度等于()A．mB．mC．mD．m12.定义为个正数的“均倒数”．若数列的“均倒数”，，则（）A．B．C．D．二、填空题1.角的终边过点，则_________．2.在中，,，则=_________．3.已知等差数列,的前项和分别为和,若,则_______．4.设等比数列满足，，则的最大值为__________．三、解答题1.已知等差数列中，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列前项和，求的值．2.设中的内角的对边分别是，已知．（Ⅰ）求的周长；（Ⅱ）求．3.已知向量．（Ⅰ）若且，求角；（Ⅱ）若，求函数的最小正周期和单调递增区间．4.等差数列的前项和为．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．5.在中，内角的对边分别是，满足．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若且，求的取值范围．6.已知数列中，，数列满足．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列中的最大项和最小项，说明理由．黑龙江高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.设集合，则 ()A．B．C．D．【答案】D【解析】,所以选D2.已知数列是等差数列，，则 ()A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，由等差数列通项公式可得：，，又，所以，故选A点睛：考察等差数列的通项公式，根据题意先观察条件下角标的关系，先求出d，然后进行解答3.的内角的对边分别为，若，,则等于（）A．B．2C．D．【答案】D【解析】由余弦定理，得,则，即，解得或（舍）.【考点】余弦定理.4.数列满足，则 ()A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得：，所以依此类推：点睛：本题考察了数列的概念，递推数列，根据已知条件逐步进行计算即可求出结果，注意计算的准确性5.在中，角的对边分别为，若，则的形状一定 ()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】利用正弦定理，可转化为：,根据内角和，诱导公式：,联立上述两式可得：,又因为在三角形中，所以,即等腰三角形点睛：考察正弦定理的和三角和差公式应用，主要能学会借助于角化边的技巧以及三角形内角和的特征来进行解答即可6.设等差数列的前项和为，若，则的值为 ()A．B．C．D．【答案】B【解析】因为等差数列的前项和为，所以仍然成等差数列，又，,,,所以,所以：,所以点睛：通过等差数列和的性质可得仍然成等差数列，此结论比较重要也是解题的关键.7.在中，，若点满足，则 ()A．B．C．D．【答案】D【解析】又题得：三角形△ABC中，又，，点睛：本题考查向量的加减法，考查三角形法则，所以学生务必理解此法则，也是解题关键8.等比数列各项均为正数且,则 ()A．B．C．D．【解析】等比数列各项均为正数，，则=点睛：利用等比数列性质若则9.已知等差数列的前项和是，若，，则最大值是 ()A．B．C．D．【答案】C【解析】由等差数列的前n项和的公式可得：故则，故在数列中，当时，，当，所以时，达到最大值点睛：本题考察等差数列的求和公式的性质，要求出前n项和的最大值即要找出数列有多少项正数项即可10.在中,角所对边分别为,若成等比数列，且，则 () A．B．C．D．【答案】B【解析】成等比数可得：，所以.11.如右图所示，从气球测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球的高度是m，则河流的宽度等于()A．mB．mC．mD．m【答案】C【解析】在直角中，，所以，在直角中，，所以,所以河流的宽度，故选C.【考点】三角形的实际应用.12.定义为个正数的“均倒数”．若数列的“均倒数”，，则（）A．B．C．D．【解析】由已知得数列的“均倒数”，可得，则，所以，又，所以=点睛：本题的解题关键是用到了求和的方法之一：列项相消的原理二、填空题1.角的终边过点，则_________．【答案】【解析】根据可得答案2.在中，,，则=_________．【答案】【解析】中，点睛：求出，然后利用向量的坐标运算求解向量的数量积.3.已知等差数列,的前项和分别为和,若,则_______．【答案】【解析】根据等差数列的性质，由.【考点】等差数列的性质.4.设等比数列满足，，则的最大值为__________．【答案】【解析】设等比数列的公比为q,由所以于是当n=3或4时，取到最大值点睛：高考中数列的客观题大多数都是具有小、巧、灵活的特点，求解时要注意方程思想及数列的相关性质的应用，尽量避免小题大做三、解答题1.已知等差数列中，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列前项和，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）设的公差为，由已知条件解出，．所以．（2）由（1）知．由可得，即，解得或，又，故．点睛：借此题主要熟记等差数列的通项公式即可，然后根据求和公式便可轻松解决2.设中的内角的对边分别是，已知．（Ⅰ）求的周长；（Ⅱ）求．【答案】（1）5；（2）【解析】本试题第一问中，利用余弦定理，解得c=2,然后利用三角形的周长公式，可知a+b+c=1+2+2=5；第二问中，解：（Ⅰ）,所以c="2," 的周长为a+b+c=1+2+2=5（Ⅱ）因为a<c,A<C，故A为锐角，，3.已知向量．（Ⅰ）若且，求角；（Ⅱ）若，求函数的最小正周期和单调递增区间．【答案】（1）或（2）周期单调递增区间为．【解析】（1）根据可得得或（2）由得然后根据正弦函数单调区间即可求解试题解析：（1）或或（2）周期单调递增区间为．点睛：解本题关键要熟悉向量的平行的结论，然后结合三角函数化简的公式以及单调区间的求法便可以轻松解决此题4.等差数列的前项和为．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】（1）根据可求得通项（2）根据裂项相消法可得前n项和试题解析：（1）当时，1当时，数列的通项公式为（2）点睛：本题求利用到=，然后结合数列通项公式的特点，考虑对n分奇偶两种情况，结合等差数列和等比数列的求和公式即可求解5.在中，内角的对边分别是，满足．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若且，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知得化简得 ,故．（2）因为，所以，由正弦定理故-因为，所以，所以．点睛：本题主要运用三角恒等变换，熟练运用三角和差公式以及二倍角公式，然后对求三角形有关边的线性运算的最值问题，通常是利用正弦定理将其转化为角的问题，借助三角函数来进行最值解答，在运算中要注意角度的取值范围.6.已知数列中，，数列满足．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列中的最大项和最小项，说明理由．【答案】（I）证明见解析；（II）当时，取得最小值，当时，取得最大值.【解析】（I）因为，，即可得到，得到证明；（II）由（Ⅰ）知，则，设，利用函数的单调性，即可得到结论.试题解析：（Ⅰ）证明：因为，所以又所以数列是以为首项，1为公差的等差数列（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则设，则f（x）在区间和上为减函数．所以当时，取得最小值－1，当时，取得最大值3【考点】等差数列的概念；数列的单调性的应用.。

2019-2020学年度高一数学第三次月考试题

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高一数学第三次月考试题______年______月______日____________________部门满分：150分时量：120分钟姓名：__________ 一、选择题（每小题5分，共60分）1、设集合，则=（）{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===)(B C A U ⋂ A ． B ． C ． D ．{}2{}2,3{}3{}1,32、已知函数，则函数的大致图像为（）xx x f 1+=)(()y f x =3、函数f （x ）＝log3x －8＋2x 的零点一定位于区间（）A ．（5，6）B ．（3，4）C ．（2，3）D ．（1，2）4、若，，，则（）．6.03=a 2.0log 3=b 36.0=cA ．B ．C ．D ．b c a >>c b a >>ab c >>a c b >>5、用一个平面去截正方体，则截面不可能是（） A.正三角形 B.正方形 C.正五边形D.正六边形6、下列函数中，与函数相同的函数是（）y x = A ． B ．C ．D ．xx y 2=2y x =ln xy e =xy 22log =7、点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．14π7π72π7143π8、函数y ＝x2－4x ＋1，x ∈[1,5]的值域是( )A ．[-2,6]B ．(－∞,-3 ]C ．[－3，＋∞)D ．[－3,6]9、若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（）A ．B ．C ．D ．ππ2π3π410、已知m ，n 是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，下列结论正确的是（）γβα、、（1）若m//n ，n//，且ββααα//,，则⊂⊂n m （2）若则,//,n m n =βα βα//,//m m （3）若βαγβγα//,//,//则（4）若n n //m ,,m ,//则且==βγαγβαA ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）11、异面直线a ，b 所成的角60°，直线a ⊥c ，则直线b 与c 所成的角的范围为( )．A ．[30°，90°] B．[60°，90°] C ．[30°，60°]D ．[30°，120°]12、对于函数，若在其定义域内存在两个实数，当时，的值域也是，则称函数为“科比函数”．若函数是“科比函数”，则实数的取值范围（）()f x (),a b a b <[],x a b ∈()f x [],a b ()f x 2)(++=x k x f kA ．B ．C ．D ．]2,49(--]0,49(-]0,2[-),2[+∞-二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知函数是奇函数，则实数的值为______________．2()21xf x a =-+a 14、方程的解集是 .0=27+•12-39xx15、一平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面四边形的面积等于．a16、给出下列四个命题：①函数（且）与函数（且）的定义域相同；x y a =0a >1a ≠log x a y a =0a >1a ≠②函数与的值域相同；3y x =3x y =③函数与都是奇函数；11221x y =+-2(12)2x xy x +=⋅ ④函数与在区间上都是增函数，2(1)y x =-12x y -=[0,)+∞其中正确命题的序号是（把你认为正确的命题序号都填上）．三、解答题（共70分）17、（满分10分）已知集合，集合．}51|{≥-≤=x x x A 或{}22|+≤≤=a x a x B（1）若，求和；1-=a B A B A（2）若，求实数的取值范围．B B A = a18、（满分10分）已知是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足条件以下条件：,.()f x ()()()f xy f x f y =+(2)1f = （1）求证：. (8)3f =(2)求不等式的解集.()3(2)f x f x >+- 19、（满分12分）已知函数。

2018-2019(含答案)高一(上)第三次月考数学试卷

2018-2019（含答案）高一（上）第三次月考数学试卷..............................................................................................................................................................2018.11.08一、选择题（每题5分，共50分）1.sin(−1380∘)的值为（）A.−12B.12C.−√32D.√322.下列命题中正确的是（）A.终边在y轴非负半轴上的角是直角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β=α+k⋅360∘，k∈Z，则α与β终边相同3.若函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A.若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a, b)使得f(c)=0B.若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a, b)使得f(c)=0C.若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a, b)使得f(c)=0D.若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a, b)使得f(c)=04.终边落在X轴上的角的集合是（）A.{β|β=k⋅360∘, k∈Z}B.{β|β=(2k+1)⋅360∘, k∈Z}C.{β|β=k⋅180∘, k∈Z}D.{β|β=k⋅180∘+90∘, k∈Z}5.若函数f(x)=a x−x−a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是（）A.{a|a>1}B.{a|a≥2}C.{a|0<a<1}D.{a|1<a<2}6.图中的图象所表示的函数的解析式为（）A.y=32|x−1|(0≤x≤2)B.y=32−32|x−1|(0≤x≤2)C.y=32−|x−1|(0≤x≤2)D.y =1−|x −1|(0≤x ≤2)7.若α是第四象限的角，则π−α是（） A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角8.函数f(x)={x 2+2x −3,(x ≤0)lnx −2,(x >0)的零点个数为（）A.0B.1C.2D.39.某种动物繁殖数量y （只）与时间x （年）的关系为y =alog 2(x +1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到（） A.300只 B.400只 C.500只 D.600只10.某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低（）元． A.2元 B.2.5元 C.1元 D.1.5元二、填空题（每题5分，共25分）11.用“二分法”求方程x 3−2x −5=0，在区间[2, 3]内的实根，取区间中点为x 0=2.5，那么下一个有根的区间是________．12.钟表经过1小时15分，时针转了________（填弧度）．13.已知函数f(x)=x 2+ax +a −1的两个零点一个大于2，一个小于2，则实数a 的取值范围是________．14.设角α的终边过点P(5a, 12a)(a ≠0)，则sinα=________．15.设正△ABC 边长为2a ，点M 是边AB 上自左至右的一个动点，过点M 的直线l 垂直与AB ，设AM =x ，△ABC 内位于直线l 左侧的阴影面积为y ，y 表示成x 的函数表达式为________．三、解答题（共16、17、18每小题12分，19、20、21每小题12分，共75分）16.写出与370∘23′终边相同角的集合S ，并把S 中在−720∘∼360∘间的角写出来．17.表示角的终边在图中阴影区域内的角的集合（不包括边界）．18.已知tanα=−1，求sin2α+2sinαcosα−3cos2α的值．219.证明：函数f(x)=lnx+2x−6在区间(2, 3)内有唯一的零点．20.扇形AOB的周长为8cm．(1)若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB．21.对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立，则x0称为f(x)的不动点，f(x)=ax2+(b+1)x+(b−1)(a≠0)．(1)已知函数有两个不动点为3，−1，求函数的零点．(2)若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围．答案1. 【答案】D【解析】所求式子中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．．【解答】解：sin(−1380∘)=sin(−1440∘+60∘)=sin(−4×360∘+60∘)=sin60∘=√32故选D2. 【答案】D【解析】举出反例−270∘，可判断A；举出反例−240∘，可判断B；举出反例300∘，可判断C；根据终边相同角的关系，可判断D【解答】解：−270∘终边在y轴非负半轴上的角，但不是直角，故A错误；−240∘是第二象限角，但不是钝角，故B错误；300∘是第四象限角，但不是负角，故C错误；若β=α+k⋅360∘，k∈Z，则α与β终边相同，故D正确；故选D3. 【答案】C【解析】先由零点的存在性定理可判断D不正确；结合反例“f(x)=x(x−1)(x+1)在区间[−2, 2]上满足f(−2)f(2)<0，但其存在三个解{−1, 0, 1}”可判定B不正确；结合反例“f(x)=(x−1)(x+1)在区间[−2, 2]上满足f(−2)f(2)>0，但其存在两个解{−1, 1}”可判定A不正确，进而可得到答案．【解答】解：由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B，可通过反例“f(x)=x(x−1)(x+1)在区间[−2, 2]上满足f(−2)f(2)<0，但其存在三个解{−1, 0, 1}”推翻；同时选项A可通过反例“f(x)=(x−1)(x+1)在区间[−2, 2]上满足f(−2)f(2)>0，但其存在两个解{−1, 1}”；故选C．4. 【答案】C【解析】根据轴线角的定义，我们逐一判断四个答案中角的集合表示的角的终边的位置，比照后即可得到答案．【解答】解：A中，{α|α=k⋅360∘, K∈Z}，表示所有终边落在X非负半轴上的角，不满足要求；B中，{α|α=(2k+1)⋅360∘, K∈Z}，表示所有终边落在X正半轴上的角，不满足要求；C中，{α|α=k⋅180∘, K∈Z}，表示所有终边落在X轴上的角，满足要求；D中，{α|α=k⋅180∘+90∘, K∈Z}表示所有终边落在Y轴上的角，不满足要求；故选：C5. 【答案】A【解析】由题意可得函数y=a x(a>0，且a≠1)与函数y=x+a的图象有两个交点，当0<a<1时两函数只有一个交点，不符合条件；当a>1时，因为函数y=a x(a>1)的图象过点(0, 1)，而直线y=x+a所过的点(0, a)一定在点(0, 1)的上方，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：设函数y=a x(a>0，且a≠1)和函数y=x+a，则函数f(x)=a x−x−a(a>0且a≠1)有两个零点，就是函数y=a x(a>0，且a≠1)与函数y=x+a的图象有两个交点，由图象可知当0< a<1时两函数只有一个交点，不符合条件．当a>1时，因为函数y=a x(a>1)的图象过点(0, 1)，而直线y=x+a所过的点(0, a)，此点一定在点(0, 1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是{a|a>1}．故选A．6. 【答案】B【解析】求已知图象函数的解析式，常使用特殊值代入排除法．【解答】解：由已知函数图象易得：点(0, 0)、(1、32)在函数图象上将点(0, 0)代入可排除A、C将(1、32)代入可排除D故选B．7. 【答案】C【解析】先求出α的表达式，再求−α的范围，然后求出π−α的范围．【解答】解：若α是第四象限的角，即：2kπ−12π<α<2kπk∈Z所以2kπ<−α<2kπ+12π，k∈Z2kπ+π<π−α<2kπ+3π2k∈Z故选C．8. 【答案】C【解析】根据分段函数分段的标准分别研究函数在每一段上的零点的个数，然后得到整个函数的零点个数．【解答】解：当x ≤0时，f(x)=x 2+2x −3，令f(x)=0解得x =−3或1（正值舍去）当x >0时，f(x)=lnx −2，令f(x)=0解得x =e 2故函数f(x)={x 2+2x −3,(x ≤0)lnx −2,(x >0)的零点个数为2，分别为−3、e 2 故选C ． 9. 【答案】A【解析】根据这种动物第1年有100只，先确定函数解析式，再计算第7年的繁殖数量．【解答】解：由题意，繁殖数量y （只）与时间x （年）的关系为y =alog 2(x +1)，这种动物第1年有100只∴100=alog 2(1+1)， ∴a =100，∴y =100log 2(x +1)，∴当x =7时，y =100 log 2(7+1)=100×3=300．故选A ．10. 【答案】D【解析】根据经济效益为每件获利×每天卖出商品件数，可构建函数关系式，利用配方法，即可求得所求每件单价．【解答】解：设每件降价0.1x 元，则每件获利(4−0.1x)元，每天卖出商品件数为(1000+100x)．经济效益：y =(4−0.1x)(1000+100x) =−10x 2+300x +4 000=−10(x 2−30x +225−225)+4000 =−10(x −15)2+6 250． ∴x =15时，y max =6 250．即每件单价降低1.5元，可获得最好的经济效益．故选D ．11. 【答案】[2, 2.5]【解析】方程的实根就是对应函数f(x)的零点，由 f(2)<0，f(2.5)>0 知，f(x)零点所在的区间为[2, 2.5]．【解答】解：设f(x)=x 3−2x −5， f(2)=−1<0，f(3)=16>0， f(2.5)=1258−10=458>0，f(x)零点所在的区间为[2, 2.5]，方程x 3−2x −5=0有根的区间是[2, 2.5]，故答案为[2, 2.5]． 12. 【答案】5π24【解析】利用钟表表盘的特征解答．时针每分钟走0.5∘．然后转化为弧度，求解即可．【解答】解：钟表经过1小时15分，就是分针经过75分钟，那么时针转过的角度是0.5∘×75=37.5∘．它的弧度数是：37.5π180=5π24．故答案为：5π24．13. 【答案】(−∞, −1)【解析】根据函数f(x)=x 2+ax +a −1的两个零点一个大于2，一个小于2，可得f(2)<0，从而可求实数a 的取值范围【解答】解：∵函数f(x)=x 2+ax +a −1的两个零点一个大于2，一个小于2， ∴f(2)<0，∴22+2a +a −1<0 ∴a <−1∴实数a 的取值范围是(−∞, −1)．故答案为：(−∞, −1) 14. 【答案】±1213【解析】根据题意，算出原点到P 的距离，再由三角函数的定义即可算出sinα的值．【解答】解：由题意可得x =5a ，y =12a ，∴r =√(5a)2+(12a)2=13|a|， ∴sinθ=y r=12a 13|a|=±1213，故答案为：±1213． 15. 【答案】y ={√32x 2(0<x ≤a)−√32x 2+2√3ax −√3a 2(a <x ≤2a)【解析】由于△ABC 位于直线x =l 左侧的图形的形状在x 取不同值时，形状不同，故可以分当0<x ≤1时（此时满足条件的图形为三角形）和当1<x ≤2时（此时满足条件的图形为四边形）二种情况进行分类讨论，最后综合讨论结果，即可得到函数f(x)的表达式．【解答】解：当直线l 平移过程中，分过AB 中点前、后两段建立y 与x 的函数表达式． (1)当0<x ≤a 时，此时满足条件图形为以x 为底，以√3x 为高的三角形 y =12x ⋅√3x =√32x 2；(2)当a <x ≤2a 时，此时满足条件图形为△OAB 减一个以(2a −x)为底，以√3(2a −x)为高的三角形所得的四边形y =12⋅2a ⋅√3a −12(2a −x)⋅√3(2a −x)=−√32x 2+2√3ax −√3a 2．所以，y ={√32x 2(0<x ≤a)−√32x 2+2√3ax −√3a 2(a <x ≤2a)16. 【答案】解：根据题意得：S ={x|x =k ⋅360∘+370∘23′, k ∈Z}，又∵S 中在−720∘∼360∘间的角，k 取−3，−2，−1时 ∴所求的角：−709∘37′，−349∘37′，10∘23′；【解析】根据S 的范围，分别令k =−3，−2，−1即可求出相应元素β的值；【解答】解：根据题意得：S ={x|x =k ⋅360∘+370∘23′, k ∈Z}，又∵S 中在−720∘∼360∘间的角，k 取−3，−2，−1时 ∴所求的角：−709∘37′，−349∘37′，10∘23′；17. 【答案】解：(1)图中阴影区域内的角的集合：{θ|k ⋅180∘+45∘<θ<k ⋅180∘+90∘}． (2)图中阴影区域内的角的集合：{θ|k ⋅360∘−210∘<θ<k ⋅360∘+150∘}．【解析】由题意直接利用终边相同的角的集合的表示方法表示即可．【解答】解：(1)图中阴影区域内的角的集合：{θ|k ⋅180∘+45∘<θ<k ⋅180∘+90∘}． (2)图中阴影区域内的角的集合：{θ|k ⋅360∘−210∘<θ<k ⋅360∘+150∘}． 18. 【答案】解：∵tanα=−12， ∴原式=sin 2α+2sinαcosα−3cos 2αsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tanα−3tan 2α+1=14−1−314+1=−3．【解析】所求式子分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简为sin 2α+cos 2α，分子分母除以cos 2α化简，将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanα=−12， ∴原式=sin 2α+2sinαcosα−3cos 2αsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tanα−3tan 2α+1=14−1−314+1=−3．19. 【答案】证明：∵x ∈(2, 3)， ∴f′(x)=1x +2>0，∴函数f(x)=lnx +2x −6在区间(2, 3)内单调递增，① 又f(2)=ln2−2<0，f(3)=ln3>0，∴函数f(x)=lnx +2x −6在区间(2, 3)内有零点，②由①②得：函数f(x)=lnx +2x −6在区间(2, 3)内有唯一的零点．【解析】当x ∈(2, 3)时，f′(x)=1x +2>0，利用函数的单调性即可证明结论．【解答】证明：∵x ∈(2, 3)， ∴f′(x)=1x +2>0，∴函数f(x)=lnx +2x −6在区间(2, 3)内单调递增，① 又f(2)=ln2−2<0，f(3)=ln3>0，∴函数f(x)=lnx +2x −6在区间(2, 3)内有零点，②由①②得：函数f(x)=lnx +2x −6在区间(2, 3)内有唯一的零点．20. 【答案】解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意知{2r +l =812lr =3，解得： {r =3l =2或{r =1l =6∴α=lr =23或6；; (2)∵2r +l =8， ∴S =12lr =14l ⋅2r ≤14(l+2r 2)2=14×(82)2=4，当且仅当2r =l ，即α=lr =2时，面积取得最大值4， ∴r =2，∴弦长AB =2sin1×2=4sin1．【解析】(1)根据周长和面积列出关于r 和l 的方程组，解方程组即可．; (2)根据周长和S =12lr =14l ⋅2r 以及均值不等式求出最大值，进而得出半径，即可求出弦长．【解答】解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意知{2r +l =812lr =3，解得： {r =3l =2或{r =1l =6∴α=lr =23或6；; (2)∵2r +l =8， ∴S =12lr =14l ⋅2r ≤14(l+2r 2)2=14×(82)2=4，当且仅当2r =l ，即α=lr =2时，面积取得最大值4， ∴r =2，∴弦长AB =2sin1×2=4sin1．21. 【答案】解：(1)∵函数f(x)有两个不动点为3，−1， ∴{3=9a +3(b +1)+(b −1)−1=a −(b +1)+(b −1)，解得{a =1b =−2． ∴f(x)=x 2−x −3．令x 2−x −3=0，解得x =1±√132． ∴函数f(x)的两个零点分别为1±√132．; (2)∵对任意实数b ，函数恒有两个相异的不动点， ∴ax 2+(b +1)x +(b −1)=x 即ax 2+bx +(b −1)=0有两个不相等的实数根， ∴a ≠0，△=b 2−4a(b −1)>0恒成立，即b 2−4ab +4a >0对于任意实数恒成立， ∴△1=(−4a)2−16a <0恒成立，化为a(a −1)<0，解得0<a <1． ∴实数a 的取值范围是(0, 1)．【解析】(1)由于函数f(x)有两个不动点为3，−1，利用不动点的新定义可得{3=9a +3(b +1)+(b −1)−1=a −(b +1)+(b −1)，解出即可得到a ，b ；再利用一元二次方程的解法即可得出；; (2)对任意实数b ，函数恒有两个相异的不动点⇔ax 2+(b +1)x +(b −1)=x 有两个不相等的实数根⇔a ≠0，△=b 2−4a(b −1)>0对于任意实数恒成立，⇔△1=(−4a)2−16a <0恒成立，解出即可．【解答】解：(1)∵函数f(x)有两个不动点为3，−1， ∴{3=9a +3(b +1)+(b −1)−1=a −(b +1)+(b −1)，解得{a =1b =−2． ∴f(x)=x 2−x −3．令x 2−x −3=0，解得x =1±√132． ∴函数f(x)的两个零点分别为1±√132．; (2)∵对任意实数b ，函数恒有两个相异的不动点， ∴ax 2+(b +1)x +(b −1)=x 即ax 2+bx +(b −1)=0有两个不相等的实数根， ∴a ≠0，△=b 2−4a(b −1)>0恒成立，即b 2−4ab +4a >0对于任意实数恒成立，∴△1=(−4a)2−16a<0恒成立，化为a(a−1)<0，解得0<a<1．∴实数a的取值范围是(0, 1)．。

2023-2024学年湖南省邵阳市邵东一中高一(下)第三次月考数学试卷+答案解析

2023-2024学年湖南省邵阳市邵东一中高一（下）第三次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a，，复数满足，则()A. B. C. D.2.设D为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是()A. B.C. D.3.设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列四个命题中，正确命题的序号是()①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，则A.①②B.②③C.③④D.①④4.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为()A.9：4B.4：3C.3：1D.3：25.如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形ABCD的直观图，若，则四边形ABCD周长为()A.B.4C.D.86.已知a，b，c分别是三内角A，B，C的对边，且满足，则的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形7.在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1、圆心在线段含端点上运动，点P是圆Q 上及其内部的动点，则的取值范围是()A. B. C. D.8.《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，，当阳马体积为时，堑堵的外接球的体积的最小值为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知i是虚数单位，以下四个说法中正确的是()A.B.复数的虚部为iC.若复数，满足，则D.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为圆10.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是()A.若，则的外接圆的面积为B.若，且有两解，则b的取值范围为C.若，且为锐角三角形，则c的取值范围为D.若，且，O为的内心，则的面积为11.如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，P为线段上的动点，则下列结论正确的是()A.存在点P，使得直线PM与直线为异面直线B.存在点P，使得C.若P为线段的中点，则三棱锥与三棱锥体积相等D.过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

安徽省蚌埠市2020届高三(5月)下学期第三次教学质量检查考试数学(理) (含答案)

蚌埠市2020届高三年级第三次教学质量检查考试数学(理工类)本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

ðB)＝1.已知集合A＝{x|x2－5x＜－4}，集合B＝{x|x≤0}，则A∩(RA.(－1，0)B.(－1，4)C.(1，4)D.(0，4)2.已知i为虚数单位，则复数(2－i)2的共轭复数为A.5－4iB.5＋4iC.3－4iD.3＋4i3.已知等差数列{a n}中，前n项和S n满足S10－S3＝42，则a7的值是A.3B.6C.7D.94.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是A.2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B.2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C.2019年我国居民每月消费价格逐月递增D.2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降5.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>离心率为3，则双曲线C 的渐近线方程为 A.y ＝±22x B.y ＝±2x C.y ＝±22x D.y ＝±24x 6.已知向量a ，b 的夹角为23π，a ＝(1，2)，a ·(a ＋2b)＝0，则|b|等于 A.5 B.25 C.153 D.2153 7.劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某高中计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀。

职高高一数学月考试卷

职高高一数学月考试卷职高高一数学月考试卷职高高一数学月考试卷是一份重要的评估工具，用于衡量学生在一个月内对数学知识的掌握程度。

本文将介绍这份试卷的结构、主题和相关知识点，以及如何准备应对考试。

一、试卷结构职高高一数学月考试卷分为两个部分：选择题和解答题。

选择题包括10道题目，每题3分，共30分；解答题有5道题目，每题20分，共100分。

整张试卷总分为130分。

二、主题和知识点1、选择题选择题主要考察学生的计算、推理、空间想象等基本能力。

具体包括：实数运算、代数式化简、方程求解、平面几何、立体几何等知识点。

这些题目覆盖了高中数学的基础内容，意在让学生掌握数学的基本概念和方法。

2、解答题解答题包括了一些综合性和应用性的题目，旨在培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。

题目可能涉及函数、三角函数、向量、概率统计等知识点，以及一些实际问题的数学应用。

这些题目需要学生理解题意、分析问题、运用所学知识解决问题，并准确表达解题过程。

三、备考建议1、复习基础知识回顾初中数学的基础知识，例如实数、代数式、方程、平面几何等，为高中数学的学习打好基础。

2、建立知识框架在学习高中数学知识时，要建立清晰的知识框架，理解每个概念的定义、性质和用法。

这样有助于在考试时快速找到解题思路。

3、练习解题方法选择题的解题方法多样，需要学生掌握多种解题技巧。

解答题则需要学生具备综合运用知识的能力，因此多练习不同类型的题目对提高解题能力很有帮助。

4、注重错题总结每次练习或考试后，要及时总结分析错题，找出自己的薄弱环节，有针对性地进行复习和巩固。

5、培养数学思维在学习数学的过程中，要注重培养自己的逻辑思维和创新能力，这将有助于解决更复杂的问题。

同时，要善于将数学理论与实际问题相结合，提高运用数学知识解决实际问题的能力。

四、总结职高高一数学月考试卷是评估学生在一个月内学习成果的重要工具。

为了在考试中取得好成绩，学生需要全面掌握初中数学的基础知识，建立清晰的知识框架，并不断提高自己的解题能力和数学思维。

高一数学下学期第三次月考试题文扫描试题

2021-2021学年高一数学下学期第三次月考试题文〔扫描版〕高一年级数学〔文科〕试题1-12BDADC DBAAC BA 13.49 14.2815.3 16.29 17.511- 18.(1)1200(2)319.[]2,1)2(),62sin(2)()1(-+=πx x f 20.(1)312-•=n n a21.〔Ⅰ〕由f 〔x 〕=2sin 2〔4π+x 〕+3cos2x=1﹣cos 〔2π+2x 〕+3cos2x=1+sin2x+3cos2x =1+2sin 〔2x+3π〕，由由2k π﹣2π≤2x+3π≤2k π+2π，k ∈Z ，得k π﹣512π≤x ≤k π+12π，k ∈Z 所以函数的单调递增区间为．k ∈Z ．〔Ⅱ〕由f 〔x 〕﹣m=2得f 〔x 〕=m+2，当x ∈时，2x+3π∈[3π，43π]，由图象得f 〔0〕=1+2sin 3π=1+，函数f 〔x 〕的最大值为1+2=3，∴要使方程f 〔x 〕﹣m=2在x ∈上有两个不同的解，那么f 〔x 〕=m+2在x ∈上有两个不同的解，即函数f 〔x 〕和y=m+2在x ∈上有两个不同的交点，即≤m+2＜3，﹣1≤m ＜1．22.解: 〔Ⅰ〕因为{}n a 是等差数列,所以342522,a a a a +=+=又34117,a a ⋅= 所以34,a a 是方程2221170x x -+=的两根.又0d >,所以34a a <. 所349,13,4a a d ===,11a =，43n a n =-.〔Ⅱ〕22n S n n =-,那么222,12n n n b n n -==-此时()()2113636373637n n b n f n n b n n n n+===+++++149≤=. 当且仅当36,6n n n ==时,()f n 获得最大值149. 励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高一数学下学期第三次月考试题文含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高一年级下学期第3次月考数学试卷〔文科〕一、选择题〔此题一共有12个小题，每一小题5分，一共60分〕那么A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量数量积的坐标运算法那么运算即可.【详解】向量那么应选C.【点睛】此题考察向量数量积的坐标运算，属根底题.的终边与单位圆的交于点,那么A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的定义求出，的值代入即可.【详解】根据角的终边与单位圆交于点，可得∴，那么应选：B．【点睛】此题主要考察任意角的三角函数的定义及其应用，属于根底题．中，，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的前n项和，可把用和表示，再把代入，即可得到解答．【详解】∵在等差数列中，，.应选：A．【点睛】此题考察等差数列的前项和，以及等差数列的性质，属根底题.．满足，求首项A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可得到公比，再由可求首项.【详解】由可得由等比数列的通项公式可得应选B.【点睛】此题考察等比数列的概念及通项公式。

属根底题.那么【答案】D【解析】【分析】两式两边分别平方然后作差即可.【详解】两式相减得应选D.【点睛】此题考察向量数量积的运算，属根底题.满足，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】等比数列满足，那么，根据，求出即可求.【详解】等比数列满足，那么应选B.【点睛】此题考察等比数列根本量的计算机前项和公式，属根底题.向右平移个单位后得到一个偶函数，那么的一个值为【答案】A【解析】【分析】由中函数的图象向右平移个单位得到一个偶函数，可得当时，函数取最值，即求出的表达式后，结合，可得满足条件的的一个值．【详解】将函数向右平移个单位后函数图象对称的解析式为，假设平移后得到一个偶函数，那么时，函数取最值那么，由，的一个值为.应选A.【点睛】此题考察的知识点是函数的图象变换，正弦函数的对称性，其中纯熟掌握正弦型函数的图象和性质是解答此题的关键．满是等差数列，首项，使获得最小时的值A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题得到数列的通项公式，由可求出获得最小时的值.【详解】由题可得数列的通项公式，由可得使获得最小时的值是7.应选A.【点睛】此题考察等差数列的通项公式，利用邻项变号法求得的值.属根底题.且，求与向量一共线的单位向量A. B.或者C. D.或者【答案】D【解析】【分析】由向量且可得求出即可得到与向量一共线的单位向量.【详解】】由向量且可得解得那么与向量一共线的单位向量，即或者.应选D.【点睛】此题考察向量的模及单位向量，属根底题.中，角为的内角且，假设依次成等差数列，那么角A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由依次成等差数列，得到，将代入，利用，利用三角恒等变形可求由此可求.【详解】由依次成等差数列，得到，由题，且，故应选A.【点睛】此题考察三角函数的恒等变形，属中档题.,为数列的前项和，求使不等式成立的最小正整数A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题利用裂项求和方法可得，代入不等式，解出即可得出．【详解】数列,．不等式，即，解得．∴使得不等式成立的最小正整数的值是2021．应选C.【点睛】此题考察了等差数列的通项公式与求和公式、方程与不等式的解法、裂项求和方法，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．12.是上的奇函数，，那么数列的通项公式为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由在上为奇函数，知，令，那么，得到．由此可以求出数列{的通项公式．【详解】由题是上的奇函数故，代入得：∴函数关于点对称，，令，那么，得到．∵，倒序相加可得，即，应选：B．【点睛】此题考察函数的根本性质，借助函数性质处理数列问题问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解．属难题二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕满足前项和，那么数列的通项公式为_____________【答案】【解析】【分析】由中前项和，结合，分别讨论时与时的通项公式，并由时，的值不满足时的通项公式，故要将数列的通项公式写成分段函数的形式．【详解】∵数列前项和，∴当时，，又∵当时，，故，故答案为：.【点睛】此题考察的知识点是等差数列的通项公式，其中正确理解由数列的前n项和S n，求通项公式的方法和步骤是解答此题的关键．14.那么_____________【答案】【解析】【分析】根据，两式平方后相加即可求得.【详解】∵，①②∴①2+②2有：，，即答案为.【点睛】此题考察两角差的三角函数的计算，属根底题.15.如图，正方形的边长为，且，连接交于，那么______________【答案】【解析】【分析】以为原点，，所在直线为轴，建立直角坐标系，求得的坐标，由三角形的相似可得，即有的坐标，向量的坐标，再由向量的加减和数量积的坐标表示，即可得到所求值．【详解】以为原点，，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，那么，由可得那么，即即有故答案为-69．【点睛】此题考察向量的数量积的求法，注意运用坐标法，考察化简运算才能，属于中档题．的前项和为，，假设对任意的恒成立，那么实数的取值范围_________________【答案】【解析】【分析】求出，问题转化为恒成立，令，根据函数的单调性求出的最大值，从而求出的范围即可．【详解】∵数列的前项和为，，，假设对任意的对任意的恒成立，即恒成立，令，那么，令，解得：令，解得：故在递增，在递减，故，故.【点睛】此题考察了等比数列的性质，考察函数恒成立问题，考察函数的单调性以及求函数的最值问题，是一道中档题．中满足〔1〕求数列的通项公式〔2〕从第几项开场为负数【答案】(1);(2)从第7项起为负数.【解析】【分析】〔1〕由为等差数列，可得，由，可求数列的通项公式〔2〕设即，可求.【详解】〔1〕为等差数列，又.〔2〕设即所以从第7项起为负数.【点睛】此题考察等差数列的通项公式，属根底题．18.〔1〕假设，求的值〔2〕求的最大值【答案】(1)-6;(2).【解析】【分析】〔1〕，可求.，由此可求的值.〔2〕由，可求的最大值.【详解】〔1〕.〔2〕从而.【点睛】此题以向量为背景考察三角函数的有关性质，属中档题.的前项和为，且满足〔1〕求数列的通项公式和前项和〔2〕设，令，求【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】〔1〕由，解得．〕由题意可知那么，由此得，从而得到数列的通项公式和前项和；〔2〕那么，即可求出.【详解】〔1〕由题意可知那么即所以为公比的等比数列令那么所以，.〔2〕那么.【点睛】此题考察等比数列的通项公式的求法和数列前项和，解题时要纯熟掌握数列的性质和应用，注意裂项相消法的灵敏运用．过两点，且圆心在直线上〔1〕求圆的方程〔2〕假设直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程【答案】(1);(2)或者.【解析】【分析】〔1〕把点、的坐标代入圆的HY方程，圆心坐标代入直线，利用待定系数法求得系数的值；〔2〕分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况．①当直线的斜率不存在时，满足题意，易得直线方程；②当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，那么直线的方程为：，由点到直线的间隔公式求得的值．【详解】(1)设圆的圆心坐标为，半径为设圆的方程为由题意可得所以圆方程为.〔2〕因为直线经过点，且被圆截得的线段长为圆心到直线的间隔为当直线的斜率不存在时，的方程为〔8分〕此时圆心到直线的间隔恰好为2，符合条件当直线的斜率存在时，设直线的方程为那么圆心到直线的间隔为即此时直线的方程为〔11分〕综上所述直线的方程为或者【点睛】此题考察了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的间隔公式，点到直线的间隔公式，圆的HY 方程，属于中档题．21.其最小值为〔1〕求当时，求的值〔2〕求的表达式〔3〕当时，要使关于的方程有一个实数根，务实数的取值范围【答案】(1)-4;(2);(3)或者.【解析】【分析】〔1〕假设，代入计算求的值；〔2〕分类讨论，求的表达式；〔3〕令，欲使有一个实根，那么只需，即可务实数的取值范围．【详解】(1)当时，.〔2〕，那么；令那么,，对称轴为当；〔4分〕②当,当.综上所述.〔3〕设,那么函数h(t)在上有且只有一个零点,,解得或者.【点睛】此题考察函数的最值，考察三角函数知识的运用，考察学生分析解决问题的才能，属于中档题．和等比数列，其中的公差不为.设是数列的前、、是数列的前项，且.〔Ⅰ〕求数列和的通项公式；〔Ⅱ〕假设数列为等差数列，务实数；〔Ⅲ〕构造数列，，，，，，，，，…，，，，，…，，…，假设该数列前项和，求的值.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)或者;(Ⅲ)34.【解析】试题分析：(1)由题意列出方程组求得数列的首项，公差，那么其通项公式为，进一步即可求得数列的通项公式为(2)利用等差数列的通项公式是关于n的一次函数列出方程组，求解方程组可得或者;(3)结合题意分组求和得到关于m的方程，解方程讨论可得.试题解析：〔Ⅰ〕设等差数列的公差为〔〕，由、、是数列的前项，且得，因为，所以，故的通项公式为；而，，所以等比数列的公比，的通项公式为；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，因为数列为等差数列，所以可设，，，所以即对总成立，不妨设，，，那么对总成立，取，，得，解得，即，解得或者．令．当时，，因为，所以为等差数列；当时，，因为，所以为等差数列．综上，或者．另解：由〔Ⅰ〕知，因为数列为等差数列，所以，，必成等差数列，所以，即，解得或者．令．当时，，因为，所以为等差数列；当时，，因为，所以为等差数列．综上，或者．〔Ⅲ〕设从到各项的和为，那么因为，所以，因此．当时，，当时，，所以，可设后面有项，那么，所以，，因此，即的值是．。

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高一年级数学练考题姓名：班级：考号：
一、选择题
1.具备哪一个条件的棱柱是直棱柱( )
A.有一个侧面是矩形的棱柱
B.有两个侧面是矩形的棱柱
C.底面是正多边形的棱柱 D一条侧棱和底面垂直的棱柱
2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的左视图为
( )
3．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( ) A．－1 B．1 C．3 D．－3
4．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为( ) A．相交、平行或异面 B．相交或平行 C．异面 D．平行或异面
5．下列四个结论：
①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；
②两条直线没有公共点，则这两条直线平行；
③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；
④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．分别过点A(1,3)和点B(2,4)的直线l1和l2互相平行且有最大距离，则l1的方程是( ) A．x－y－4＝0 B．x＋y－4＝0 C．x＝1 D．y＝3
7．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为( ) A．－1或 3 B．1或3 C．－2或6 D．0或4
8．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均
为全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角边
长为1，那么这个几何体的体积为（）
A．1
6
B．
1
3
C．
1
2
D．1
主视图左视图
俯视图
9．如图P 为矩形ABCD 所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M 为PB 的中点,给出下面四个命题:①OM ∥面PCD;②OM ∥面PBC;③OM ∥面PDA;④OM ∥面PBA.
其中正确命题的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
10．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）
A ．2π
B ．4π
C ．8π
D ．16π
11．对于直线m 、n 和平面α、β,能得出α⊥β的一个条件是( )
A ．m ⊥n,m ∥α,n ∥β
B ．m ⊥n,α∩β=m,n α
C ．m ∥n,n ⊥β,m α
D ．m ∥n,m ⊥α,n ⊥β
12．如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中,①BM 与ED 平行;②CN 与BM 成60°角;③CN 与BE 是异面直线;④DM 与BN 是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是(
)
A.①②③
B.②④
C.③④
D.②③④
二、填空题 13．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆：x 2＋y 2
＝1相交于A 、B 两点，且|AB |＝3，则∠AOB ＝________.
14．已知直线5x ＋12y ＋a ＝0与圆x 2－2x ＋y 2＝0相切，则a 的值为________．
15．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．
16．若一个圆锥的轴截面是等边三角形,
则这个圆锥的全面积是________．
三、解答题．
17．已知点P(－4,2)和直线l：3x－y－7＝0．求：
(1)过点P与直线l平行的直线方程； (2)过点P与直线l垂直的直线方程.
18．如图所示，在棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
求证：(1)DM∥平面APC；(2)平面ABC⊥平面APC．
19．已知一个几何体的三视图如图所示，试求它的表面积和体积．(单位：cm)
20．从点A(－4,1)出发的一束光线l，经过直线l1：x－y＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B(1，6)，求入射光线l所在的直线方程．
21．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0．
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．。