高考数学(文)名师讲义：第7章《平面解析几何》(4)【含解析】
高中数学典型例题解析(第七章平面解析几何
[例1]求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.错解：设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为，消去得整理得直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为正解：①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切.②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.③一般地，设所求的过点的直线为,则，令解得k = ,∴所求直线为综上，满足条件的直线为：[例2]已知曲线C：与直线L：仅有一个公共点，求m的范围.错解：曲线C：可化为①，联立，得：，由Δ＝0,得.错因：方程①与原方程并不等价，应加上.正解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为.[例3]已知双曲线，过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P为AB中点.（2）设过P的直线方程为，代入并整理得：∴，又∵∴正解：接以上过程，考虑隐含条件“Δ>0”，当k=2时代入方程可知Δ<0，故这样的直线不存在.[例4]已知A、B是圆与x轴的两个交点，CD是垂直于AB的动弦，直线AC和DB相交于点P，问是否存在两个定点E、F, 使| | PE |－| PF | | 为定值？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由.设P ( x, y ), C ( ) , 则 D (),由A、C、P三点共线得①由D、B、P三点共线得②①×②得③又, ∴，代入③得，即点P在双曲线上，故由双曲线定义知，存在两个定点E (－, 0 )、F (, 0 )（即此双曲线的焦点），使| | PE |－| PF | | = 2 (即此双曲线的实轴长为定值).[例5]已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P 和Q，且OP⊥OQ，｜PQ｜=，求椭圆的方程.解：设所求椭圆的方程为=1.，③设方程③的两个根分别为、，则直线y=x+1和椭圆的交点为P(,+1)，Q(,+1)由题设OP⊥OQ，｜OP｜=，可得或(1)或(2)或=1 ，或 =1.[例6]已知椭圆C1：＝1，抛物线C2：，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点。
高中数学平面解析几何的常见题型及解答方法
高中数学平面解析几何的常见题型及解答方法在高中数学学习中，平面解析几何是一个重要的内容，也是考试中的重点。
平面解析几何主要研究平面上的点、直线、圆等几何图形的性质和关系，通过坐标系和代数方法进行分析和解决问题。
下面我们将介绍一些常见的平面解析几何题型及解答方法，希望能给同学们提供一些帮助。
一、直线方程的求解直线方程的求解是平面解析几何中的基础内容。
常见的题型有已知直线上的两点，求直线方程；已知直线的斜率和一点，求直线方程等。
这里我们以已知直线上的两点，求直线方程为例进行说明。
例如，已知直线上的两点为A(2,3)和B(4,5)，求直线方程。
解题思路：设直线的方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
根据已知条件，我们可以列出方程组：3 = 2k + b5 = 4k + b解方程组，得到k和b的值，从而得到直线方程。
解题步骤：1.将方程组改写为矩阵形式：| 2 1 | | k | | 3 || 4 1 | | b | = | 5 |2.利用矩阵的逆运算，求出k和b的值。
3.将k和b的值代入直线方程y = kx + b，即可得到直线方程。
通过这个例子，我们可以看到求解直线方程的方法是通过已知条件列方程组，然后通过矩阵运算求解出未知数的值，最后将值代入直线方程得到结果。
二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是平面解析几何中的一个重要内容。
常见的题型有直线与圆的切线问题、直线与圆的交点问题等。
这里我们以直线与圆的切线问题为例进行说明。
例如，已知圆的方程为x^2 + y^2 = 4，直线的方程为y = 2x - 1，求直线与圆的切点坐标。
解题思路：首先，我们需要确定直线与圆是否有交点。
当直线与圆有交点时，我们可以通过求解方程组得到交点坐标。
当直线与圆没有交点时，我们需要判断直线与圆的位置关系，进而确定是否有切点。
解题步骤：1.将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
2.求解二次方程，得到x的值。
《平面解析几何》课件
向量运算
向量的加法和减法
向量加法和减法是向量运 算中的基本运算，包括向 量的平移、旋转和拉伸等。
向量的数量积和向量 积
在所有的线性代数中，向 量的数量积和向量积是最 常用的向量积运算之一。
向量的投影
向量的投影是计算向量在 投影方向上的长度的一种 方法，是一种常用的数学 概念，应用广泛。
二次曲线
椭圆 双曲线 抛物线
《平面解析几何》PPT课 件
本课程介绍平面解析几何，一门研究平面上点、直线、圆、二次曲线等图形 的位置关系和相互运算的学科。
简介
什么是平面解析几何
是最基础的空间几何的入门课，学习解析几何可以帮助你更好地理解各种数学问题。
历史发展
解析几何的提出是十七世纪科学革命时期的一项重要成就。
坐标系
直角坐标系
由平面上到定点F1、F2的距离之和为定常值 2a。
双曲线也由平面上到定点F1、F2的距离之差 为定常值2a。
抛物线是是一个平面曲线，因其具有完美的抛 物线形状而得名。
结论
平面解析几何的应用
平面解析几何是现代数学的一个分支，它对于计 算机科学、物理学、经济学、心理学等学科都有 非常重要的应用。
本课程的主要内容回顾
截距法是三种构图法之一，大大简化了复 杂的运算。
3 法线式
4 点斜式
数学中，直线的法线式是表示某直线在某 点处垂直的一条直线的代数式。
在点斜式中，直线上任意一点的坐标及其 方向与坐标平面上已知一点相对应的斜率 确定。
圆的方程
标准式
以坐标系原点为圆心，以半 径长为圆的方程。
一般式
圆的一般式是用Ax2 + Ay2 + Bx + By + C = 0的形式表示 的。
高考数学中的平面解析几何知识点整理
高考数学中的平面解析几何知识点整理平面解析几何是高中数学的重要知识点，也是高考数学必考的部分。
平面解析几何涉及坐标系、直线、圆、双曲线、椭圆、抛物线等内容，需要注重理论的掌握、题目的练习和解题技巧的提高。
本篇文章就高考数学中平面解析几何的知识点进行整理和总结，帮助学生更好地应对高考数学。
一、坐标系坐标系是平面解析几何的基础，需要掌握笛卡尔坐标系和极坐标系。
笛卡尔坐标系是平面上以两条相互垂直的直线为坐标轴，确定一点的位置需要用到两个数，称为该点的坐标。
极坐标系是以圆心为原点，以极轴为基准线的坐标系。
一个点在极坐标系中的坐标表示为(r，θ)，其中r为该点到圆心的距离，θ为该点与极轴正方向的夹角。
二、直线直线是平面解析几何中最基本也最重要的图形。
直线的斜率、截距和两点式都是需要掌握的公式。
斜率表示直线在笛卡尔坐标系中的倾斜程度，截距表示直线与坐标轴的交点，两点式表示直线经过的两个点的坐标。
三、圆圆是平面上与一个点距离相等的点的集合。
圆的一般式、标准式、参数式都是需要掌握的公式。
一般式表示圆心坐标为(h，k)，半径为r的圆，标准式表示圆心在原点，半径为r的圆，参数式表示圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆，其中参数t在区间[0，2π)内变化。
四、椭圆椭圆是平面上到两个固定点F1和F2距离之和等于常数2a的点的集合。
椭圆的标准式、参数式和离心率都是需要掌握的公式。
标准式表示椭圆的长轴在x轴上，椭圆的中心在原点，离心率小于1；参数式表示椭圆的中心在(a，b)处，椭圆的长轴倾斜角度为θ，离心率小于1。
五、抛物线抛物线是平面上到一个定点F距离等于到另一个定点D的距离的平方的定点P的集合。
抛物线的标准式、参数式和焦距都是需要掌握的公式。
标准式表示抛物线的焦点在原点，开口朝上或朝下；参数式表示抛物线的焦点在(a，b)处，开口朝上或朝下。
六、双曲线双曲线是平面上到两个定点F1和F2距离之差等于常数2a的点的集合。
双曲线的标准式、参数式和离心率都是需要掌握的公式。
数学课件——高考 平面解析几何专题学习
专题 平面解析几何【高考导航】在对口高考中，平面解析几何主要掌握以下两种题型：一、求直线的方程、判断直线的位置关系，二、求圆锥曲线的方程，解多种圆锥曲线的综合题、直线与圆锥曲线的综合题。
求直线的方程，关键要根据已知条件，合理选用点斜式、斜截式、两点式、截距式或一般式。
使用直线方程的特殊形式时，要特别注意经过原点的直线、竖线、水平线等特例，并要求最后结果用一般式表示。
求圆锥曲线的方程，关键要紧扣圆锥曲线的定义，灵活应用圆锥曲线的性质，求圆锥曲线的方程。
解多种圆锥曲线的综合题，关键要找到不同曲线之间的位置关系，再采用待定系数法求方程。
直线与圆锥曲线的综合题，常把直线方程代入圆锥曲线方程,得到关于x(或y)的一元二次方程,再用韦达定理求解。
【真题回访】1.设有直线l 1:3x+2y+1=0，l 2:x+y+1=0, l 3:3x-5y+6=0,则过l 1与l 2与的交点，且与l 3垂直的直线的一般式方程为 。
【解】5x+3y+1=02.若抛物线y 2=2px(p>0)过点M(4,4)，则点M 到准线的距离d=(A)A) 5 B) 4 C) 3 D) 23.已知双曲线经过点(4,-3) ,且焦点在x 轴上,渐近线方程是y=±21,则该双曲线的方程是(A)A) x 2-4y 2=4 B) x 2-3y 2=7 C) x 2-4y 2=-4 D) x 2-3y 2=-74.圆x 2+y 2+2x+6y+9=0的圆心到直线3x-4y=4的距离为 1 。
【仿真题型】求直线的方程、判断直线的位置关系【例1】已知直线l 与点A(3，3)，B(5，2)的距离相等，且过两直线3x-y-1=0和x+y-3=0的交点，求直线l 的方程． 【解】解方程组⎩⎨⎧=-+=--03013y x y x ，得交点(1，2)． 设直线l 的方程为y-2=k(x-1),(1)当直线l ∥AB 时,k=k AB =-0.5,∴直践l 的方程为：x+2y-5=0(2)当直线l 与线段AB 相交时,AB 的中点为M(4，25)，又M 在直线l 上，由直线方程的两点式，求得直线方程为：x-6y+11=0【例2】一光线经过点P(2，3)，射到直线l：x+y+1=0上，反射后经过点Q(1，1)，(1)求入射线所在的直线的方程；(2)求这条光线从P到Q的长度。
高中数学知识点归纳平面解析几何的性质与运算
高中数学知识点归纳平面解析几何的性质与运算高中数学知识点归纳——平面解析几何的性质与运算一、引言在高中数学学习中，平面解析几何是一门重要的数学分支，它将代数和几何相结合，通过运用坐标系的方法来研究平面上的几何性质和相互关系。
本文将对平面解析几何的性质与运算进行归纳总结。
二、平面解析几何的基本概念1. 坐标系平面解析几何中，常使用直角坐标系来描述平面上的点。
直角坐标系由两个相互垂直的轴组成，分别称为x轴和y轴。
点在坐标系中的位置可由其坐标表示，标有符号的数对(x, y)即表示点的坐标，其中x 表示横坐标，y表示纵坐标。
2. 距离公式在平面解析几何中，计算两点之间的距离是常见的操作。
根据勾股定理，可以得到点A(x₁, y₁)和点B(x₂, y₂)之间的距离公式：d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)3. 斜率公式斜率是平面解析几何中的重要概念，表示直线的倾斜程度。
对于直线上的两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，可以使用斜率公式计算斜率：斜率k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)4. 中点公式平面解析几何中，中点是指线段的中点，可以通过中点公式求得。
对于线段的两个端点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，中点的坐标为：中点M(x, y) = ((x₁+ x₂)/2 , (y₁+ y₂)/2)三、平面解析几何的性质1. 平行性质平面解析几何中，两条直线平行的判断条件之一是它们的斜率相等。
若两条直线的斜率分别为k₁和k₂，则当k₁= k₂时，两条直线平行。
2. 垂直性质两条直线垂直的判断条件之一是它们的斜率之积为-1。
若两条直线的斜率分别为k₁和k₂，则当k₁ * k₂ = -1时，两条直线垂直。
3. 距离性质平面解析几何中，根据距离公式可得，点P(x, y)到直线Ax + By +C = 0的距离为：d = |Ax + By + C| / √(A² + B²)4. 判定点是否在直线上对于直线Ax + By + C = 0和点P(x₀, y₀)，若Ax₀ + By₀ + C = 0，则表明点P在直线上。
平面解析几何
平面解析几何一、引言平面解析几何是解析几何的一个重要分支，研究平面上各种几何图形和关系的数学理论。
它通过代数方法来研究平面几何问题，既可以从代数的角度分析几何图形的性质，也可以从几何的角度推导出代数方程式。
平面解析几何的发展既受到古希腊几何学的影响，也得益于近代代数学的发展。
本文将介绍平面解析几何的基本概念、方程与性质，并以一些例题加以说明。
二、坐标系在平面解析几何中，我们引入了坐标系的概念。
坐标系可以通过两个互相垂直的坐标轴来确定平面上的一个点的位置。
我们将水平轴称为x轴，垂直轴称为y轴，它们的交点为原点O，以O为起点，沿着x 轴为正向，沿着y轴为负向。
对于平面上的任意一点P(x, y)，x称为横坐标，y称为纵坐标。
这样，平面上的每个点都可以通过一个有序数对(x, y)来表示。
三、直线的方程在平面解析几何中，直线是最基本的几何图形之一。
一条直线可以用方程来表示。
如果直线与x轴的交点为A(a, 0)，与y轴的交点为B(0, b)。
根据相似三角形的性质，我们可以得到直线的斜率k=b/a。
斜率表示了直线上两个不同点之间的“斜率”，即两个点沿着横轴的变化与纵轴的变化之间的比值。
直线的方程可以表示为y=kx+b，其中b是直线与y轴的交点。
四、直线的性质直线的性质在平面解析几何中是非常重要的。
首先，两条垂直的直线的斜率之积等于-1。
这是因为斜率是两个坐标变量之间的比值，对于两条垂直的直线来说，斜率之积为-1。
其次，两条平行直线的斜率相等。
这是因为两条平行直线的斜率都是沿着横轴的变化与纵轴的变化之间的比值，所以它们相等。
最后，两条直线相交于一点的充分必要条件是它们的方程组有唯一解。
这是因为两条直线相交于一点，意味着它们有且只有一个公共点。
五、圆的方程圆是另一个重要的几何图形，在平面解析几何中也有其特殊的方程。
一个圆可以用(x-a)²+(y-b)²=r²表示，其中(a, b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
高三数学复习讲义——平面解析几何基础知识苏教版
(四)平面解析几何初步（搜集、整理：柳金爱）51．平面内两点间的距离公式:12PP =52．定比分点公式：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩．中点坐标公式：121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩． 53．直线的倾斜角与斜率的关系式：tan (90)k θθ=≠．斜率公式：121212()y y k x x x x -=≠-． 54．直线方程的几种形式及适用条件：（斜截式）y kx b =+;直线的斜率存在且在y 轴上的截距为b （点斜式）11()y y k x x -=-;经过点11(,)x y 且直线的斜率存在（两点式）11122121(,)y y x x x x x x y y x x --=≠≠--;已知直线经过两点11(,)x y ,()22,x y （截距式）1(0)x y ab a b +=≠;已知直线在x,y 轴上的截距分别为a,b .（一般式）0(,)Ax By C A B ++=不同时为零．★（参数方程）__________;____________.★(极坐标方程)_____________;________★55．两条直线的“夹角”公式：211221121212tan |||1|k k A B A B k k A A B B θ--==++． “到角”公式：2112tan 1k k k k θ-=+ 561122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=++=57.圆的定义：(1)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆;(2)平面内到两定点的距离的平方和等于两定点的距离平方的点的轨迹是圆;(3)平面内到两定点连线的乘积等于-1的点的轨迹是圆;(4)平面内到两定点的距离之比为正常数(常数不为1)的点的轨迹是圆.58.圆的四种方程（1）圆的标准方程222()()x a y b r -+-=（2）圆的一般方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->. ★（3）圆的参数方程00cos ()sin x x r y y r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数. (4)圆的直径式方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--= (圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).59.(1)点与圆的位置关系有三种:在圆外——点与圆心之间的距离大于半径;在圆上——点与圆心之间的距离等于半径;在圆内——点与圆心之间的距离小于半径.(2)直线与圆的位置关系有三种:相离——圆心到直线的距离大于半径;相切——圆心到直线的距离等于半径;相交——圆心到直线的距离小于半径.(3)圆与圆的位置关系有五种:外离——两圆心之间的距离大于两圆半径之和；外切——两圆心之间的距离等于两圆半径之和;相交——两圆心之间的距离大于两圆半径之差的绝对值且小于两圆半径之和;内切——两圆心之间的距离等于两圆半径之差的绝对值;内含——两圆心之间的距离小于两圆半径之差的绝对值.60.了解空间直角坐标系的有关概念及公式.实际上,空间直角坐标系充分地体现了立体几何与平面解析几何的完美结合,是必修2内容的总结.。
平面解析几何
平面解析几何
101
Contents
目录
01. 基础知识
02. 直线与圆
03. 椭圆与双曲线
04. 多边形与圆
极坐标系与参数方程
Part One
基础知识
平面解析几何的定义
解析几何：研 究几何图形的 代数性质的数
学分支
平面解析几何： 研究平面上点 的坐标、向量、 直线、圆锥曲 线等几何图形
极坐标系与参数方程的应用
曲线的表示：利用极坐标系和参 数方程可以简洁地表示曲线的形
状和位置
曲线的变换：利用极坐标系和参 数方程可以实现曲线的平移、旋
转、缩放等变换
A
B
C
D
曲线的求解：利用极坐标系和参 数方程可以方便地求解曲线的方
程和性质
曲线的拟合：利用极坐标系和参 数方程可以对实验数据进行拟合，
得到曲线的方程和性质
相贯：直线 穿过圆心， 且与圆有两 个交点
Part Three
椭圆与双曲线
椭圆的基本性质
定义：平面内到两个定点 的距离之和为常数的点的 集合
焦点：椭圆有两个焦点， 位于椭圆的长轴上
离心率：椭圆的离心率等 于椭圆的焦点到椭圆中心 的距离除以椭圆的长轴
标准方程：椭圆的标准方 程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和 b分别表示椭圆的长轴和 短轴
感谢您的观看与聆听
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极坐标系中的点与平面解析几 何中的点之间可以相互转换。
参数方程的基本概念与性质
01
02
03
04
参数方程的定义： 用参数表示的方 程，如x=f(t), y=g(t)
参数方程的性质： 参数方程可以表 示曲线、曲面等 几何图形
2024高考数学平面解析几何知识点
2024高考数学平面解析几何知识点
在2024年高考数学中，平面解析几何是一个重要的知识点，主要包括以下几个部分：
1. 有向线段和直线：了解有向线段和直线的概念，掌握直线的方程式和参数方程，理解直线的倾斜角、截距等概念。
2. 圆：掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆心、半径、弦、直径等概念，会求圆的方程和圆心、半径等。
3. 椭圆、双曲线和抛物线：掌握椭圆、双曲线和抛物线的标准方程和性质，理解焦点、准线、离心率等概念，会求这些曲线的方程和相关性质。
4. 参数方程和极坐标：了解参数方程和极坐标的概念，掌握参数方程和极坐标的转换关系，会求参数方程和极坐标的方程。
5. 平面几何的基本概念：理解平面几何中的点、线、面的概念，掌握基本性质和定理，如平行线、垂直线、角等概念和性质。
6. 解析几何的基本方法：掌握解析几何中的基本方法，如向量法、解析法等，理解这些方法的几何意义和代数表示，能够运用这些方法解决一些平面几何问题。
7. 圆锥曲线的应用：理解圆锥曲线的应用，如椭圆用于卫星轨道、双曲线用于光学等，了解圆锥曲线在日常生活和科学研究中的应用。
以上是2024年高考数学平面解析几何的主要知识点，考生需要熟练掌握并能够灵活运用。
同时，也需要注重理解和应用，不要死记硬背。
高中数学专题讲义：平面解析几何
高中数学专题讲义：平面解析几何第1讲 直线的方程最新考纲 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.知 识 梳 理1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时,我们取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；②规定：当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0,π). (2)直线的斜率①定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时,其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率,斜率通常用小写字母k 表示,即k ＝tan__α；②斜率公式：经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.2.直线方程的五种形式名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线3.若点P 1,P 2的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( ) (2)直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过点P (x 0,y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示.( )(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( )解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°,α2＝45°时,α1＞α2,但其对应斜率k 1＝－1,k 2＝1,k 1＜k 2. (2)当直线斜率为tan(－45°)时,其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等,则其倾斜角一定相等.(4)当直线的斜率不存在时,不可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2.(2017·衡水金卷)直线x －y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.120°D.150°解析 由题得,直线y ＝x ＋1的斜率为1,设其倾斜角为α,则tan α＝1,又0°≤α＜180°,故α＝45°,故选B. 答案 B3.如果A ·C <0,且B ·C <0,那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0,在y 轴上的截距－CB >0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限. 答案 C4.已知A (3,5),B (4,7),C (－1,x )三点共线,则x ＝______.解析 ∵A ,B ,C 三点共线,∴k AB ＝k AC ,∴7－54－3＝x －5－1－3,∴x ＝－3.答案 －35.(必修2P100A9改编)过点P (2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为________. 解析 当纵、横截距为0时,直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为0时,设直线方程为x a ＋y a ＝1,则2a ＋3a ＝1,解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0. 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0考点一 直线的倾斜角与斜率(典例迁移)【例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3 (2)直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,3)为端点的线段有公共点,则直线l 斜率的取值范围为________.解析 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α, 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3,所以12≤cos α≤32,因此k ＝2·cos α∈[1,3].设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1,3]. 又θ∈[0,π),所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3,即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.(2)如图,∵k AP ＝1－02－1＝1,k BP ＝3－00－1＝－3,∴直线l 的斜率k ∈(－∞,－3]∪[1,＋∞). 答案 (1)B (2)(－∞,－3]∪[1,＋∞)【迁移探究1】 若将题(2)中P (1,0)改为P (－1,0),其他条件不变,求直线l 斜率的取值范围.解 ∵P (－1,0),A (2,1),B (0,3), ∴k AP ＝1－02－（－1）＝13,k BP ＝3－00－（－1）＝ 3.如图可知,直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.【迁移探究2】 将题(2)中的B 点坐标改为B (2,－1),其他条件不变,求直线l 倾斜角的范围. 解 如图：直线P A 的倾斜角为45°, 直线PB 的倾斜角为135°,由图象知直线l 的倾斜角的范围为[0°,45°]∪[135°,180°).规律方法 直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论.由正切函数图象可以看出,当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时,斜率k ∈[0,＋∞)；当α＝π2时,斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时,斜率k ∈(－∞,0).【训练1】 (2017·惠州一调)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[0,π) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π 解析 设直线的倾斜角为θ,则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1,1],所以－1≤ tan θ≤1,又θ∈[0,π),所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π,故选B. 答案 B考点二 直线方程的求法【例2】 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0),倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10),且到原点的距离为5.解 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式. 设倾斜角为α,则sin α＝1010(0≤α<π), 从而cos α＝±31010,则k ＝tan α＝±13. 故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4). 即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知纵横截距不为0,设直线方程为xa ＋y12－a＝1, 又直线过点(－3,4),从而－3a ＋412－a ＝1,解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时,所求直线方程为x －5＝0满足题意； 当斜率存在时,设其为k ,则所求直线方程为y －10＝k (x －5), 即kx －y ＋10－5k ＝0. 由点线距离公式,得|10－5k |k 2＋1＝5,解得k ＝34. 故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知,所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.规律方法 根据各种形式的方程,采用待定系数的方法求出其中的系数,在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否,凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性. 【训练2】 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P (4,1),且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1,－3),倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)经过点B (3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. 解 (1)设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a , 若a ＝0,即l 过点(0,0)和(4,1), ∴l 的方程为y ＝14x ,即x －4y ＝0.若a ≠0,则设l 的方程为x a ＋ya ＝1, ∵l 过点(4,1),∴4a ＋1a ＝1, ∴a ＝5,∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知,直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知：设直线y ＝3x 的倾斜角为α ,则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3,∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点A (－1,－3),因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1), 即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知,所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4),由点斜式得y －4＝±(x －3). 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0. 考点三 直线方程的综合应用【例3】 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限,求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ,交y 轴正半轴于B ,△AOB 的面积为S (O 为坐标原点),求S 的最小值并求此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0, 令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值,直线总经过定点(－2,1).(2)解 由方程知,当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ,在y 轴上的截距为1＋2k ,要使直线不经过第四象限,则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0； 当k ＝0时,直线为y ＝1,符合题意,故k 的取值范围是[0,＋∞).(3)解 由题意可知k ≠0,再由l 的方程, 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0,B (0,1＋2k ). 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4,“＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ,即k ＝12, ∴S min ＝4,此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.规律方法 在求直线方程的过程中,若有以直线为载体的求面积、距离的最值问题,则可先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.【训练3】 已知直线l 过点P (3,2),且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,如图所示,求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程. 解 法一 设直线方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0,b ＞0), 点P (3,2)代入得3a ＋2b ＝1≥26ab ,得ab ≥24,从而S △ABO ＝12ab ≥12,当且仅当3a ＝2b 时等号成立,这时k ＝－b a ＝－23, 从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0. 法二 依题意知,直线l 的斜率k 存在且k ＜0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0), 且有A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ，0,B (0,2－3k ),∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋（－9k）＋4（－k）≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2（－9k）·4（－k）＝12×(12＋12)＝12.当且仅当－9k＝4－k,即k＝－23时,等号成立,即△ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.[思想方法]1.直线的倾斜角和斜率的关系：(1)任何直线都存在倾斜角,但并不是任意直线都存在斜率.(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k 0k>0不存在k<02.在求直线方程时,.用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零；若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.[易错防范]1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.2.根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.3.截距为一个实数,既可以为正数,也可以为负数,还可以为0,这是解题时容易忽略的一点.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析 直线的斜率为k ＝tan α＝3,又因为0°≤α＜180°,所以α＝60°. 答案 B2.已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心,且与直线x ＋y ＋1＝0垂直,则直线l 的方程是( ) A.x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C.x ＋y －3＝0D.x －y ＋3＝0解析 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3),又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直,所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0,化简得x －y ＋3＝0. 答案 D3.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析 ∵直线的斜率k ＝－1a 2＋1,∴－1≤k ＜0,则倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案 B4.(2017·高安市期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( )A.6x －4y －3＝0B.3x －2y －3＝0C.2x ＋3y －2＝0D.2x ＋3y －1＝0解析 因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32,所以所求直线l的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,化为一般式,得6x －4y －3＝0.答案 A5.(2016·广州质检)若直线l 与直线y ＝1,x ＝7分别交于点P ,Q ,且线段PQ 的中点坐标为(1,－1),则直线l 的斜率为( ) A.13B.－13C.－32D.23解析 依题意,设点P (a ,1),Q (7,b ),则有⎩⎨⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5,b ＝－3,从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.答案 B6.(2017·深圳调研)在同一平面直角坐标系中,直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析 当a >0,b >0时,－a <0,－b <0.选项B 符合. 答案 B7.(2016·衡水一模)已知直线l 的斜率为3,在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数,则直线l 的方程为( ) A.y ＝3x ＋2 B.y ＝3x －2 C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2解析 ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12,∴直线l 在y 轴上的截距为2,∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2,故选A. 答案 A8.(2017·福州模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a ＞0,b ＞0)过点(1,1),则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为( ) A.1B.2C.4D.8解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a ＞0,b ＞0)过点(1,1), ∴a ＋b ＝ab ,即1a ＋1b ＝1,∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab ＝4,当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立.∴直线在x 轴,y 轴上的截距之和的最小值为4. 答案 C 二、填空题9.已知三角形的三个顶点A (－5,0,),B (3,－3),C (0,2),则BC 边上中线所在的直线方程为________.解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12,∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5,即x ＋13y ＋5＝0.答案 x ＋13y ＋5＝010.若直线l 的斜率为k ,倾斜角为α,而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π,则k 的取值范围是________.解析 当π6≤α<π4时,33≤tan α<1,∴33≤k <1. 当2π3≤α<π时,－3≤tan α<0, 3≤k ＜0,∴k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1∪[－3,0).答案 [－3,0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，111.过点M (3,－4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________. 解析 ①若直线过原点,则k ＝－43, 所以y ＝－43x ,即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点,设直线方程为x a ＋ya ＝1, 即x ＋y ＝a .则a ＝3＋(－4)＝－1, 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝012.直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0,则直线l 恒过定点________. 解析 直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0, 由⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2,y ＝－2, 所以直线l 恒过定点(2,－2). 答案 (2,－2)能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.已知直线l 过点(1,0),且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍,则直线l 的方程为( )A.4x －3y －3＝0B.3x －4y －3＝0C.3x －4y －4＝0D.4x －3y －4＝0解析 由题意可设直线l 0,l 的倾斜角分别为α,2α,因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12,则tan α＝12,所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43,所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1),即4x －3y －4＝0. 答案 D14.(2017·成都诊断)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点,且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4,则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 B.[－1,0] C.[0,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析 由题意知y ′＝2x ＋2,设P (x 0,y 0),则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4,则0≤k ≤1,即0≤2x 0＋2≤1,故－1≤x 0≤－12.答案 A15.已知直线l 过坐标原点,若直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是________.解析 设直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)的公共点为P (x ,y ). 则点P (x ,y )在线段AB 上移动,且A (2,4),B (3,2),设直线l 的斜率为k .又k OA ＝2,k OB ＝23.如图所示,可知23≤k ≤2. ∴直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，216.在平面直角坐标系xOy 中,设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点,直线OA 的倾斜角为45°,过点A 作x 轴的垂线,垂足为H ,过H 作OA 的平行线交半圆于点B ,则直线AB 的方程是________. 解析 直线OA 的方程为y ＝x , 代入半圆方程得A (1,1),∴H (1,0),直线HB 的方程为y ＝x －1, 代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32. 所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1,即3x ＋y －3－1＝0. 答案3x ＋y －3－1＝0第2讲 两直线的位置关系最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.知 识 梳 理1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1,l 2,其斜率分别为k 1,k 2,则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地,当直线l 1,l 2的斜率都不存在时,l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1,l 2斜率都存在,设为k 1,k 2,则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直. 2.两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解.3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2. 特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|＝x2＋y2.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0,y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行线间的距离公式一般地,两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0,l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2| A2＋B2.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.()(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2＋B1B2＝0.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()解析(1)两直线l1,l2有可能重合.(2)如果l1⊥l2,若l1的斜率k1＝0,则l2的斜率不存在.答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2.(2016·北京卷)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A.1B.2C. 2D.2 2解析圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1,0),由y＝x＋3得x－y＋3＝0,则圆心到直线的距离d＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.答案 C3.(2017·郑州调研)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行,则m＝()A.2B.－3C.2或－3D.－2或－3解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行,则有2m ＝m ＋13≠4－2,故m ＝2或－3.故选C. 答案 C4.直线2x ＋2y ＋1＝0,x ＋y ＋2＝0之间的距离是________. 解析 先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0,则两平行线间的距离为d ＝|2－12|2＝324. 答案3245.(必修2P89练习2改编)已知P (－2,m ),Q (m ,4),且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0,则m ＝________.解析 由题意知 m －4－2－m ＝1,所以m －4＝－2－m ,所以m ＝1.答案 1考点一 两直线的平行与垂直【例1】 (1)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0,l 2：x ＋ay ＋3＝0平行,则a 等于( ) A.－1 B.2 C.0或－2D.－1或2(2)已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1,l 2：ax ＋2y ＝0,若l 1⊥l 2,则a ＝________.解析 (1)若a ＝0,两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3,此时两直线相交,不平行,所以a ≠0；当a ≠0时,两直线平行,则有a －11＝2a ≠13,解得a ＝－1或2. (2)因为l 1⊥l 2,所以k 1k 2＝－1.即(－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1,解得a ＝－2. 答案 (1)D (2)－2规律方法 (1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x ,y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【训练1】 (1)(2017·重庆一中检测)若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直,则实数a 的值为( ) A.12B.32C.14D.34(2)(2017·西安模拟)已知a ,b 为正数,且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行,则2a ＋3b 的最小值为________.解析 (1)由已知得3(a －1)＋a ＝0,解得a ＝34.(2)由两直线平行可得,a (b －3)＝2b ,即2b ＋3a ＝ab ,2a ＋3b ＝1.又a ,b 为正数,所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a ≥13＋26a b ·6ba ＝25,当且仅当a ＝b ＝5时取等号,故2a ＋3b 的最小值为25.答案 (1)D (2)25考点二 两直线的交点与距离问题【例2】 (1)已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限,则实数k 的取值范围是________.(2)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等,则直线l 的方程为________.解析 (1)法一由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0,即k ＝－12,则两直线平行)∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.又∵交点位于第一象限, ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.法二 如图,已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0),B (0,2). 而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2),表示这是一条过定点P (－2,1),斜率为k 的动直线. ∵两直线的交点在第一象限,∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点), ∴动直线的斜率k 需满足k P A ＜k ＜k PB . ∵k P A ＝－16,k PB ＝12. ∴－16＜k ＜12.(2)法一 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1),即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1,即|3k －1|＝|－3k －3|,∴k ＝－13. ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1), 即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x ＝－1,也符合题意. 法二 当AB ∥l 时,有k ＝k AB ＝－13,直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1),即x ＋3y －5＝0. 当l 过AB 中点时,AB 的中点为(－1,4). ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1规律方法 (1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0,y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |,到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ,y 的系数化为相等.【训练2】 (1)曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ,则点P (3,2)到直线l 的距离为( ) A.722B.922C.1122D.91010(2)(2017·河北省“五个一名校联盟”质检)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行,则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2B.823C. 3D.833解析 (1)曲线y ＝2x －x 3上横坐标为－1的点的纵坐标为－1,故切点坐标为(－1,－1).切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1,故切线l 的方程为y －(－1)＝－1×[x －(－1)],整理得x ＋y ＋2＝0.由点到直线的距离公式,得点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722. (2)因为l 1∥l 2,所以1a －2＝a 3≠62a ,所以⎩⎨⎧a （a －2）＝3，2a 2≠18，a ≠2，a ≠0，解得a ＝－1,所以l 1：x －y ＋6＝0,l 2：x－y ＋23＝0,所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823,故选B.答案 (1)A (2)B 考点三 对称问题【例3】 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0,点A (－1,－2).求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1,－2)对称的直线l ′的方程.解(1)设A ′(x ,y ),再由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点,如M (2,0),则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上. 设对称点为M ′(a ,b ),则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ,则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3).又∵m ′经过点N (4,3),∴由两点式得直线方程为9x －46y ＋102＝0. (3)法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点, 如M (1,1),N (4,3),则M ,N 关于点A 的对称点M ′,N ′均在直线l ′上.易知M ′(－3,－5),N ′(－6,－7),由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二 设P (x ,y )为l ′上任意一点, 则P (x ,y )关于点A (－1,－2)的对称点为 P ′(－2－x ,－4－y ),∵P ′在直线l 上,∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0, 即2x －3y －9＝0.规律方法 (1)解决点关于直线对称问题要把握两点,点M 与点N 关于直线l 对称,则线段MN 的中点在直线l 上,直线l 与直线MN 垂直.(2)如果直线或点关于点成中心对称问题,则只需运用中点公式就可解决问题.(3)若直线l 1,l 2关于直线l 对称,则有如下性质：①若直线l 1与l 2相交,则交点在直线l 上；②若点B 在直线l 1上,则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上.【训练3】 光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入,遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射,求反射光线所在的直线方程.解 法一 由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2.∴反射点M 的坐标为(－1,2).又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5,0),设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0,y 0), 由PP ′⊥l 可知,k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02,又Q 点在l 上,∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32（x 0－5）－y 0＋7＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0. 法二 设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0,y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ,y ),则y 0－y x 0－x＝－23,又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上,∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x 02－（y ＋y 0）＋7＝0.可得P 点的横、纵坐标分别为 x 0＝－5x ＋12y －4213,y 0＝12x ＋5y ＋2813, 代入方程x －2y ＋5＝0中,化简得29x －2y ＋33＝0, ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.[思想方法]1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1,l 2,l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题. [易错防范]1.在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率,可根据判定定理判断,若直线无斜率,要单独考虑.2.在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时,一定要注意将两方程中x ,y 的系数分别化为相同的形式.基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2,直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12,则k 1≠k 2,且k 1k 2≠－1.故选C. 答案 C2.(2017·刑台模拟)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 依题意得,直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎨⎧a （a －2）＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1,因此选C. 答案 C3.过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( ) A.19x －9y ＝0 B.9x ＋19y ＝0 C.19x －3y ＝0D.3x ＋19y ＝0解析 法一由⎩⎨⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为：y ＝37－197x ＝－319x ,即3x ＋19y ＝0.法二 设直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0, 即(1＋2λ)x －(3－λ)y ＋4＋5λ＝0,又直线过点(0,0), 所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0, 解得λ＝－45,故所求直线方程为3x ＋19y ＝0. 答案 D4.直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A.x ＋2y －1＝0 B.2x ＋y －1＝0 C.x ＋2y ＋3＝0D.x ＋2y －3＝0解析 设所求直线上任一点(x ,y ),则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ,y )在直线x －2y ＋1＝0上,即2－x －2y ＋1＝0,化简得x ＋2y －3＝0. 答案 D5.(2017·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10,则m ＝( ) A.7B.172C.14D.17解析 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0),即2x ＋6y ＋2m ＝0,因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离10,所以|2m ＋3|4＋36＝10,求得m ＝172,故选B. 答案 B6.平面直角坐标系中直线y ＝2x ＋1关于点(1,1)对称的直线方程是( ) A.y ＝2x －1 B.y ＝－2x ＋1 C.y ＝－2x ＋3D.y ＝2x －3解析 在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0,1),B (1,3),则点A 关于点(1,1)对称的点为M (2,1),点B 关于点(1,1)对称的点为N (1,－1).由两点式求出对称直线MN 的方程为y ＋11＋1＝x －12－1,即y ＝2x －3,故选D. 答案 D7.(2017·成都调研)已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°,直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直,则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( ) A.(3,3) B.(2,3) C.(1,3)D.⎝⎛⎭⎪⎫1，32解析 直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝33,因为直线l 2与直线l 1垂直,所以k 2＝－1k 1＝－3,所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2),直线l 2的方程为y ＝－3(x －2).两式联立,解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1,3).故选C. 答案 C8.从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上,则反射光线所在的直线方程为( )A.x ＋2y －4＝0B.2x ＋y －1＝0C.x ＋6y －16＝0D.6x ＋y －8＝0解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12,所以直线的方程为y －3＝12(x －2),其与y 轴的交点坐标为(0,2),又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3),所以反射光线过点(－2,3)与(0,2),由两点式知A 正确. 答案 A 二、填空题9.点(2,1)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为________.解析设对称点为(x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0－2＝－1，x 0＋22－y 0＋12＋1＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝3，故所求对称点为(0,3).答案 (0,3)10.若三条直线y ＝2x ,x ＋y ＝3,mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点,则m 的值为________. 解析 由⎩⎨⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0, 即m ×1＋2×2＋5＝0,∴m ＝－9. 答案 －911.(2017·沈阳检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2),B (4,－2)等距离,则直线l 的方程为________.解析 显然直线l 的斜率不存在时,不满足题意； 设所求直线方程为y －4＝k (x －3), 即kx －y ＋4－3k ＝0,由已知,得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2, ∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝012.(2016·长沙一调)已知入射光线经过点M (－3,4),被直线l ：x －y ＋3＝0反射,反射光线经过点N (2,6),则反射光线所在直线的方程为________.解析 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ,b ),则反射光线所在直线过点M ′, 所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －（－3）·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1,b ＝0.又反射光线经过点N (2,6), 所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1, 即6x －y －6＝0. 答案 6x －y －6＝0能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.(2017·洛阳模拟)在直角坐标平面内,过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ,则|MP |2＋|MQ |2的值为( ) A.102B.10C.5D.10解析 由题意知P (0,1),Q (－3,0),∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直,∴M 位于以PQ 为直径的圆上,∵|PQ |＝9＋1＝10,∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10,故选D. 答案 D14.如图所示,已知两点A (4,0),B (0,4),从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是( ) A.210 B.6 C.3 3D.2 5解析 易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4,由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2),点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0),则光线所经过的路程即A 1(4,2)与A 2(－2,0)两点间的距离. 于是|A 1A 2|＝（4＋2）2＋（2－0）2＝210. 答案 A15.设m ∈R ,过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ,y ),则|P A |·|PB |的最大值是________.解析 易知A (0,0),B (1,3)且两直线互相垂直, 即△APB 为直角三角形,∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝|AB |22＝102＝5.当且仅当|P A |＝|PB |时,等号成立. 答案 516.在平面直角坐标系内,到点A (1,2),B (1,5),C (3,6),D (7,－1)的距离之和最小的点的坐标是________.解析 设平面上任一点M ,因为|MA |＋|MC |≥|AC |,当且仅当A ,M ,C 共线时取等号,同理|MB |＋|MD |≥|BD |,当且仅当B ,M ,D 共线时取等号,连接AC ,BD 交于一点M ,若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小,则点M 为所求.∵k AC ＝6－23－1＝2, ∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1), 即2x －y ＝0.①又∵k BD ＝5－（－1）1－7＝－1,∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1),即x＋y－6＝0.②由①②得⎩⎨⎧2x－y＝0，x＋y－6＝0，解得⎩⎨⎧x＝2，y＝4，所以M(2,4).答案(2,4)第3讲圆的方程最新考纲掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.知识梳理1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a,b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.平面上的一点M(x0,y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)d＞r⇔M在圆外,即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)d＝r⇔M在圆上,即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)d＜r⇔M在圆内,即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0,B＝0,D2＋E2－4AF>0.()解析(2)当a＝0时,x2＋y2＝a2表示点(0,0)；当a＜0时,表示半径为|a|的圆.(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0,即m＜14或m＞1时才表示圆.答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.(2015·北京卷)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2解析由题意得圆的半径为2,故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2,故选D.答案 D3.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部,则实数a的取值范围是()A.(－1,1)B.(0,1)C.(－∞,－1)∪(1,＋∞)D.a＝±1解析因为点(1,1)在圆的内部,所以(1－a)2＋(1＋a)2<4,所以－1<a<1.答案 A4.(2016·浙江卷)已知a∈R,方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.解析由已知方程表示圆,则a2＝a＋2,解得a＝2或a＝－1.当a＝2时,方程不满足表示圆的条件,故舍去.当a＝－1时,原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0,化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25,表示以(－2,－4)为圆心,半径为5的圆.答案(－2,－4) 55.(必修2P124A4改编)圆C的圆心在x轴上,并且过点A(－1,1)和B(1,3),则圆C的方程为________.解析设圆心坐标为C(a,0),∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上,∴|CA|＝|CB|,即（a＋1）2＋1＝（a－1）2＋9,解得a＝2,所以圆心为C(2,0),半径|CA|＝（2＋1）2＋1＝10,∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案(x－2)2＋y2＝10考点一圆的方程【例1】(1)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1),则圆C的方程为________.(2)已知圆C经过P(－2,4),Q(3,－1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,则圆C的方程为________.解析(1)法一由已知k AB＝0,所以AB的中垂线方程为x＝3.①过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2),即x＋y－3＝0,②联立①②,解得⎩⎨⎧x＝3，y＝0，所以圆心坐标为(3,0),半径r＝（4－3）2＋（1－0）2＝2,所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.法二设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0),∵点A(4,1),B(2,1)在圆上,故⎩⎨⎧（4－a）2＋（1－b）2＝r2，（2－a）2＋（1－b）2＝r2，又∵b－1a－2＝－1,解得a＝3,b＝0,r＝2,故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＝0),将P,Q两点的坐标分别代入得⎩⎨⎧2D－4E－F＝20，3D－E＋F＝－10.①②又令y＝0,得x2＋Dx＋F＝0.③设x1,x2是方程③的两根,由|x1－x2|＝6,得D2－4F＝36,④由①,②,④解得D＝－2,E＝－4,F＝－8,或D＝－6,E＝－8,F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.答案(1)(x－3)2＋y2＝2(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0规律方法求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法：(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.【训练1】(1)(2016·天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x－y＝0的距离为455,则圆C的方程为________.(2)(2017·武汉模拟)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心,与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为________.解析(1)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上,设C(a,0),且a＞0,所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝2a5＝455,解得a＝2,所以圆C的半径r＝|CM|＝4＋5＝3,所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.(2)抛物线y2＝4x的焦点为(1,0),准线为x＝－1,故所求圆的圆心为(1,0),半径为2,所以该圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.答案(1)(x－2)2＋y2＝9(2)(x－1)2＋y2＝4考点二与圆有关的最值问题【例2】已知实数x,y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值.解原方程可化为(x－2)2＋y2＝3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆.(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设yx＝k,即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时|2k－0|k2＋1＝3,解得k＝±3(如图1).所以yx的最大值为3,最小值为－ 3.。
高中数学中的平面解析几何
高中数学中的平面解析几何平面解析几何是高中数学中的重要内容之一，它是研究平面上的几何图形和几何关系的一门学科。
通过数学分析和计算方法，我们可以揭示平面上的几何规律，并解决相应的几何问题。
本文将介绍平面解析几何的基本概念、常见定理和应用。
一、平面坐标系在平面解析几何中，我们通常引入平面坐标系来描述平面上的点和图形。
平面坐标系由横坐标轴x和纵坐标轴y所构成，它们相互垂直，并将平面分为四个象限。
设平面上一点P的坐标为(x,y)，其中x表示横坐标的值，y表示纵坐标的值。
二、平面上的点和向量在平面解析几何中，点是最基本的要素。
点P(x,y)表示平面上的一个具体位置。
而向量则表示平面上的一个有方向和大小的量。
向量由起点和终点确定，可以用箭头表示，例如向量AB。
向量的大小表示为|AB|，方向则由指向终点的箭头确定。
三、平面上的直线平面解析几何中研究的另一个重要对象是直线。
平面上的直线可以通过一般式方程、点斜式方程或两点式方程来表示。
一般式方程为Ax+By+C=0，其中A、B、C为实数且A和B不同时为0；点斜式方程为y-y₁=k(x-x₁)，其中(x₁,y₁)为直线上的一点，k为直线的斜率；两点式方程为(y-y₁)/(x-x₁)=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)，其中(x₁,y₁)和(x₂,y₂)为直线上的两点。
四、平面上的曲线除了直线外，平面解析几何还研究了各种曲线，如抛物线、圆、双曲线等。
这些曲线可以通过特定的函数方程来描述。
例如，抛物线的标准方程为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
五、平面上的距离和中点在平面解析几何中，我们可以计算两点之间的距离和直线段的中点。
设平面上两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，则两点之间的距离为|AB| =√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)。
若直线段AB的中点为M(xₘ,yₘ)，则中点的坐标可以通过求取x和y的平均值得到。
高考数学-平面解析几何(含22年真题讲解)
高考数学-平面解析几何（含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为13，A 1,A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1→⋅BA 2→=−1，则C 的方程为（ ） A ．x 218+y 216=1 B ．x 29+y 28=1 C ．x 23+y 22=1 D ．x 22+y 2=1【答案】B 【解析】 【分析】根据离心率及BA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−1，解得关于a 2,b 2的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率e =c a =√1−b 2a 2=13，解得b 2a 2=89，b 2=89a 2，A 1,A 2分别为C 的左右顶点，则A 1(−a,0),A 2(a,0)，B 为上顶点，所以B(0,b).所以BA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−a,−b),BA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−b)，因为BA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BA 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−1 所以−a 2+b 2=−1，将b 2=89a 2代入，解得a 2=9,b 2=8， 故椭圆的方程为x 29+y 28=1.故选：B.2．【2022年全国甲卷】椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP,AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ） A ．√32B ．√22C ．12D ．13【答案】A 【解析】 【分析】设P (x 1,y 1)，则Q (−x 1,y 1)，根据斜率公式结合题意可得y 12−x 12+a 2=14，再根据x 12a 2+y 12b 2=1，将y 1用x 1表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】解：A(−a,0)，设P(x1,y1)，则Q(−x1,y1)，则k AP=y1x1+a ,k AQ=y1−x1+a，故k AP⋅k AQ=y1x1+a ⋅y1−x1+a=y12−x12+a2=14，又x12a2+y12b2=1，则y12=b2(a2−x12)a2，所以b2(a2−x12)a2−x12+a2=14，即b2a2=14，所以椭圆C的离心率e=ca =√1−b2a2=√32.故选：A.3．【2022年全国乙卷】设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=（）A．2 B．2√2C．3 D．3√2【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，F(1,0)，则|AF|=|BF|=2，即点A到准线x=−1的距离为2，所以点A的横坐标为−1+2=1，不妨设点A在x轴上方，代入得，A(1,2)，所以|AB|=√(3−1)2+(0−2)2=2√2.故选：B4．【2022年全国乙卷】（多选）双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C的两支交于M，N两点，且cos∠F1NF2=35，则C的离心率为（）A．√52B．32C．√132D．√172【答案】AC 【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到2b=3a或a=2b，即可得解，注意就M,N在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G，若M,N分别在左右支，因为OG⊥NF1，且cos∠F1NF2=35>0，所以N在双曲线的右支，又|OG|=a，|OF1|=c，|GF1|=b，设∠F1NF2=α，∠F2F1N=β，在△F1NF2中，有|NF2|sinβ=|NF1|sin(α+β)=2csinα，故|NF1|−|NF2|sin(α+β)−sinβ=2csinα即asin(α+β)−sinβ=csinα，所以asinαcosβ+cosαsinβ−sinβ=csinα，而cosα=35，sinβ=ac，cosβ=bc，故sinα=45，代入整理得到2b=3a，即ba =32，所以双曲线的离心率e=ca =√1+b2a2=√132若M,N均在左支上，同理有|NF 2|sinβ=|NF 1|sin (α+β)=2c sinα，其中β为钝角，故cosβ=−bc ，故|NF 2|−|NF 1|sinβ−sin (α+β)=2c sinα即a sinβ−sinαcosβ−cosαsinβ=csinα， 代入cosα=35，sinβ=ac ，sinα=45，整理得到：a4b+2a =14， 故a =2b ，故e =√1+(b a)2=√52，故选：AC.5．【2022年北京】若直线2x +y −1=0是圆(x −a)2+y 2=1的一条对称轴，则a =（ ） A ．12 B ．−12C ．1D ．−1【答案】A 【解析】 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为(a,0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a +0−1=0，解得a =12． 故选：A ．6．【2022年新高考1卷】（多选）已知O 为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x 2=2py(p >0)上，过点B(0,−1)的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为y =−1B ．直线AB 与C 相切C ．|OP|⋅|OQ|>|OA |2D ．|BP|⋅|BQ|>|BA|2【答案】BCD 【解析】 【分析】求出抛物线方程可判断A ，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B ，利用距离公式及弦长公式可判断C 、D. 【详解】将点A 的代入抛物线方程得1=2p ，所以抛物线方程为x 2=y ，故准线方程为y =−14，A 错误； k AB =1−(−1)1−0=2，所以直线AB 的方程为y =2x −1，联立{y =2x −1x 2=y ，可得x 2−2x +1=0，解得x =1，故B 正确；设过B 的直线为l ，若直线l 与y 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点， 所以，直线l 的斜率存在，设其方程为y =kx −1，P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)， 联立{y =kx −1x 2=y，得x 2−kx +1=0，所以{Δ=k 2−4>0x 1+x 2=k x 1x 2=1，所以k >2或k <−2，y 1y 2=(x 1x 2)2=1，又|OP|=√x 12+y 12=√y 1+y 12，|OQ|=√x 22+y 22=√y 2+y 22， 所以|OP|⋅|OQ|=√y 1y 2(1+y 1)(1+y 2)=√kx 1×kx 2=|k|>2=|OA|2，故C 正确； 因为|BP|=√1+k 2|x 1|，|BQ|=√1+k 2|x 2|，所以|BP|⋅|BQ|=(1+k 2)|x 1x 2|=1+k 2>5，而|BA|2=5，故D 正确. 故选：BCD7．【2022年新高考2卷】（多选）已知O 为坐标原点，过抛物线C:y 2=2px(p >0)焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（ ） A ．直线AB 的斜率为2√6 B ．|OB|=|OF|C ．|AB|>4|OF|D ．∠OAM +∠OBM <180°【答案】ACD 【解析】 【分析】由|AF |=|AM |及抛物线方程求得A(3p 4,√6p2)，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得B(p 3,−√6p3)，即可求出|OB |判断B 选项；由抛物线的定义求出|AB |=25p 12即可判断C 选项；由OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ <0，MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ <0求得∠AOB ，∠AMB 为钝角即可判断D 选项. 【详解】对于A ，易得F(p2,0)，由|AF |=|AM |可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为p2+p2=3p 4，代入抛物线可得y 2=2p ⋅3p 4=32p2，则A(3p 4,√6p2)，则直线AB 的斜率为√6p23p 4−p2=2√6，A 正确； 对于B ，由斜率为2√6可得直线AB 的方程为x =2√6+p2，联立抛物线方程得y 2−√6−p 2=0，设B(x 1,y 1)，则√62p +y 1=√66p ，则y 1=−√6p3，代入抛物线得(−√6p 3)2=2p ⋅x 1，解得x 1=p3，则B(p 3,−√6p3)，则|OB |=√(p 3)2+(−√6p 3)2=√7p 3≠|OF |=p 2，B 错误； 对于C ，由抛物线定义知：|AB |=3p 4+p 3+p =25p 12>2p =4|OF |，C 正确；对于D ，OA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(3p 4,√6p 2)⋅(p 3,−√6p 3)=3p 4⋅p 3+√6p 2⋅(−√6p 3)=−3p 24<0，则∠AOB 为钝角， 又MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−p 4,√6p 2)⋅(−2p 3,−√6p 3)=−p 4⋅(−2p 3)+√6p 2⋅(−√6p 3)=−5p 26<0，则∠AMB 为钝角，又∠AOB +∠AMB +∠OAM +∠OBM =360∘，则∠OAM +∠OBM <180∘，D 正确. 故选：ACD.8．【2022年全国甲卷】设点M在直线2x+y−1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M 的方程为______________．【答案】(x−1)2+(y+1)2=5【解析】【分析】设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在⊙M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：∵点M在直线2x+y−1=0上，∴设点M为(a,1−2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴√(a−3)2+(1−2a)2=√a2+(−2a)2=R，a2−6a+9+4a2−4a+1=5a2，解得a=1，∴M(1,−1)，R=√5，⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.故答案为：(x−1)2+(y+1)2=59．【2022年全国甲卷】记双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值______________．【答案】2（满足1<e≤√5皆可）【解析】【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线y=±ba x中0<ba≤2即可求得满足要求的e值.【详解】解：C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，所以C的渐近线方程为y=±bax,结合渐近线的特点，只需0<ba ≤2，即b2a2≤4，可满足条件“直线y=2x与C无公共点”所以e=ca =√1+b2a2≤√1+4=√5，又因为e>1，所以1<e≤√5，故答案为：2（满足1<e≤√5皆可）10．【2022年全国甲卷】若双曲线y 2−x 2m 2=1(m >0)的渐近线与圆x 2+y 2−4y +3=0相切，则m =_________．【答案】√33【解析】 【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可． 【详解】解：双曲线y 2−x 2m2=1(m >0)的渐近线为y =±xm ，即x ±my =0，不妨取x +my =0，圆x 2+y 2−4y +3=0，即x 2+(y −2)2=1，所以圆心为(0,2)，半径r =1，依题意圆心(0,2)到渐近线x +my =0的距离d =√1+m 2=1，解得m =√33或m =−√33（舍去）．故答案为：√33．11．【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(−1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】(x −2)2+(y −3)2=13或(x −2)2+(y −1)2=5或(x −43)2+(y −73)2=659或(x−85)2+(y −1)2=16925；【解析】 【分析】设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； 【详解】解：依题意设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，若过(0,0)，(4,0)，(−1,1)，则{F =016+4D +F =01+1−D +E +F =0 ，解得{F =0D =−4E =−6 ，所以圆的方程为x 2+y 2−4x −6y =0，即(x −2)2+(y −3)2=13；若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，则{F =016+4D +F =016+4+4D +2E +F =0 ，解得{F =0D =−4E =−2 ， 所以圆的方程为x 2+y 2−4x −2y =0，即(x −2)2+(y −1)2=5； 若过(0,0)，(4,2)，(−1,1)，则{F =01+1−D +E +F =016+4+4D +2E +F =0 ，解得{F =0D =−83E =−143 ，所以圆的方程为x 2+y 2−83x −143y =0，即(x −43)2+(y −73)2=659；若过(−1,1)，(4,0)，(4,2)，则{1+1−D +E +F =016+4D +F =016+4+4D +2E +F =0，解得{F =−165D =−165E =−2 ， 所以圆的方程为x 2+y 2−165x −2y −165=0，即(x −85)2+(y −1)2=16925；故答案为：(x −2)2+(y −3)2=13或(x −2)2+(y −1)2=5或(x −43)2+(y −73)2=659或(x −85)2+(y −1)2=16925；12．【2022年新高考1卷】写出与圆x 2+y 2=1和(x −3)2+(y −4)2=16都相切的一条直线的方程________________．【答案】y =−34x +54或y =724x −2524或x =−1 【解析】 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】圆x 2+y 2=1的圆心为O (0,0)，半径为1，圆(x −3)2+(y −4)2=16的圆心O 1为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为√32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图，当切线为l 时，因为k OO 1=43，所以k l =−34，设方程为y =−34x +t(t >0)O 到l 的距离d =√1+916=1，解得t =54，所以l 的方程为y =−34x +54，当切线为m 时，设直线方程为kx +y +p =0，其中p >0，k <0，由题意{√1+k 2=1√1+k2=4 ，解得{k =−724p =2524，y =724x −2524 当切线为n 时，易知切线方程为x =−1， 故答案为：y =−34x +54或y =724x −2524或x =−1.13．【2022年新高考1卷】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12．过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE|=6，则△ADE 的周长是________________． 【答案】13 【解析】 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，即3x 2+4y 2−12c 2=0，根据离心率得到直线AF 2的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE 的方程：x =√3y −c ，代入椭圆方程3x 2+4y 2−12c 2=0，整理化简得到：13y 2−6√3cy −9c 2=0，利用弦长公式求得c =138，得a =2c =134，根据对称性将△ADE 的周长转化为△F 2DE 的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a =13. 【详解】∵椭圆的离心率为e =ca =12，∴a =2c ，∴b 2=a 2−c 2=3c 2，∴椭圆的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，即3x 2+4y 2−12c 2=0，不妨设左焦点为F 1，右焦点为F 2，如图所示，∵AF 2=a ，OF 2=c ，a =2c ，∴∠AF 2O =π3，∴△AF 1F 2为正三角形，∵过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段AF 2的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为√33，斜率倒数为√3， 直线DE 的方程：x =√3y −c ，代入椭圆方程3x 2+4y 2−12c 2=0，整理化简得到：13y 2−6√3cy −9c 2=0，判别式∆=(6√3c)2+4×13×9c 2=62×16×c 2， ∴|CD |=√1+(√3)2|y 1−y 2|=2×√∆13=2×6×4×c 13=6，∴ c =138， 得a =2c =134，∵DE 为线段AF 2的垂直平分线，根据对称性，AD =DF 2，AE =EF 2，∴△ADE 的周长等于△F 2DE 的周长，利用椭圆的定义得到△F 2DE 周长为|DF 2|+|EF 2|+|DE|=|DF 2|+|EF 2|+|DF 1|+|EF 1|=|DF 1|+|DF 2|+|EF 1|+|EF 2|=2a +2a =4a =13. 故答案为：13.14．【2022年新高考2卷】设点A(−2,3),B(0,a)，若直线AB 关于y =a 对称的直线与圆(x +3)2+(y +2)2=1有公共点，则a 的取值范围是________． 【答案】[13,32] 【解析】 【分析】首先求出点A 关于y =a 对称点A ′的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解：A (−2,3)关于y =a 对称的点的坐标为A ′(−2,2a −3)，B (0,a )在直线y =a 上， 所以A ′B 所在直线即为直线l ，所以直线l 为y =a−3−2x +a ，即(a −3)x +2y −2a =0；圆C:(x +3)2+(y +2)2=1，圆心C (−3,−2)，半径r =1， 依题意圆心到直线l 的距离d =√(a−3)2+22≤1，即(5−5a )2≤(a −3)2+22，解得13≤a ≤32，即a ∈[13,32]； 故答案为：[13,32]15．【2022年新高考2卷】已知直线l 与椭圆x 26+y 23=1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且|MA|=|NB|,|MN|=2√3，则l 的方程为___________． 【答案】x +√2y −2√2=0 【解析】 【分析】令AB 的中点为E ，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，利用点差法得到k OE ⋅k AB =−12，设直线AB:y =kx +m ，k <0，m >0，求出M 、N 的坐标，再根据|MN |求出k 、m ，即可得解； 【详解】解：令AB 的中点为E ，因为|MA |=|NB |，所以|ME |=|NE |， 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 126+y 123=1，x 226+y 223=1，所以x 126−x 226+y 123−y 223=0，即(x 1−x 2)(x 1+x 2)6+(y 1+y 2)(y 1−y 2)3=0所以(y 1+y 2)(y 1−y 2)(x 1−x 2)(x 1+x 2)=−12，即k OE ⋅k AB =−12，设直线AB:y =kx +m ，k <0，m >0，令x =0得y =m ，令y =0得x =−m k ，即M (−m k ,0)，N (0,m )，所以E (−m 2k ,m2)， 即k ×m2−m 2k=−12，解得k =−√22或k =√22（舍去），又|MN |=2√3，即|MN |=√m 2+(√2m)2=2√3，解得m =2或m =−2（舍去）， 所以直线AB:y =−√22x +2，即x +√2y −2√2=0；故答案为：x+√2y−2√2=016．【2022年北京】已知双曲线y2+x2m =1的渐近线方程为y=±√33x，则m=__________．【答案】−3【解析】【分析】首先可得m<0，即可得到双曲线的标准方程，从而得到a、b，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；【详解】解：对于双曲线y2+x2m =1，所以m<0，即双曲线的标准方程为y2−x2−m=1，则a=1，b=√−m，又双曲线y2+x2m =1的渐近线方程为y=±√33x，所以ab =√33，即√−m=√33，解得m=−3；故答案为：−317．【2022年浙江】已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点A(x1,y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x1<0<x2．若|FB|=3|FA |，则双曲线的离心率是_________．【答案】3√64【解析】【分析】联立直线AB 和渐近线l 2:y =ba x 方程，可求出点B ，再根据|FB|=3|FA|可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率． 【详解】过F 且斜率为b4a 的直线AB:y =b4a (x +c)，渐近线l 2:y =ba x ， 联立{y =b4a (x +c)y =b a x，得B (c 3,bc 3a )，由|FB|=3|FA|，得A (−5c 9,bc 9a), 而点A 在双曲线上，于是25c 281a 2−b 2c 281a 2b 2=1，解得：c 2a 2=8124，所以离心率e =3√64. 故答案为：3√64．18．【2022年全国甲卷】设抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F ，点D (p,0)，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，|MF |=3． (1)求C 的方程；(2)设直线MD,ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN,AB 的倾斜角分别为α,β．当α−β取得最大值时，求直线AB 的方程． 【答案】(1)y 2=4x ； (2)AB:x =√2y +4. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得|MF|=p +p2，即可得解；（2）设点的坐标及直线MN:x =my +1，由韦达定理及斜率公式可得k MN =2k AB ，再由差角的正切公式及基本不等式可得k AB =√22，设直线AB:x =√2y +n ，结合韦达定理可解.(1)抛物线的准线为x =−p2，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ， 此时|MF|=p +p2=3，所以p =2， 所以抛物线C 的方程为y 2=4x ； (2)设M(y 124,y 1),N(y 224,y 2),A(y 324,y 3),B(y 424,y 4)，直线MN:x =my +1，由{x =my +1y 2=4x 可得y 2−4my −4=0，Δ>0,y 1y 2=−4，由斜率公式可得k MN =y 1−y 2y 124−y 224=4y1+y 2，k AB =y 3−y 4y 324−y 424=4y3+y 4，直线MD:x =x 1−2y 1⋅y +2，代入抛物线方程可得y 2−4(x 1−2)y 1⋅y −8=0，Δ>0,y 1y 3=−8，所以y 3=2y 2，同理可得y 4=2y 1， 所以k AB =4y3+y 4=42(y1+y 2)=k MN 2又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为α,β， 所以k AB =tanβ=k MN 2=tanα2，若要使α−β最大，则β∈(0,π2)， 设k MN =2k AB=2k >0，则tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k 1+2k 2=11k+2k ≤2√1k⋅2k=√24，当且仅当1k =2k 即k =√22时，等号成立，所以当α−β最大时，k AB =√22，设直线AB:x =√2y +n ，代入抛物线方程可得y 2−4√2y −4n =0， Δ>0,y 3y 4=−4n =4y 1y 2=−16，所以n =4， 所以直线AB:x =√2y +4. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.19．【2022年全国乙卷】已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0,−2),B (32,−1)两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P (1,−2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =TH ⃑⃑⃑⃑⃑ ．证明：直线HN 过定点． 【答案】(1)y 24+x 23=1(2)(0,−2) 【解析】 【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解. (1)解：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A (0,−2),B (32,−1)， 则{4n =194m +n =1 ，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1.(2)A(0,−2),B(32,−1)，所以AB:y +2=23x ，①若过点P(1,−2)的直线斜率不存在，直线x =1.代入x 23+y 24=1，可得M(1,2√63)，N(1,−2√63)，代入AB 方程y =23x −2，可得T(√6+3,2√63)，由MT ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =TH ⃑⃑⃑⃑⃑ 得到H(2√6+5,2√63).求得HN 方程：y =(2−2√63)x −2，过点(0,−2).②若过点P(1,−2)的直线斜率存在，设kx −y −(k +2)=0,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2). 联立{kx −y −(k +2)=0x 23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2−6k(2+k)x +3k(k +4)=0，可得{x 1+x 2=6k(2+k)3k 2+4x 1x 2=3k(4+k)3k 2+4 ，{y 1+y 2=−8(2+k)3k 2+4y 2y 2=4(4+4k−2k 2)3k 2+4 ， 且x 1y 2+x 2y 1=−24k3k 2+4(∗) 联立{y =y 1y =23x −2 ,可得T(3y 12+3,y 1),H(3y 1+6−x 1,y 1).可求得此时HN:y−y2=y1−y23y1+6−x1−x2(x−x2)，将(0,−2)，代入整理得2(x1+x2)−6(y1+y2)+x1y2+x2y1−3y1y2−12=0，将(∗)代入，得24k+12k2+96+48k−24k−48−48k+24k2−36k2−48=0,显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,−2).【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.20．【2022年新高考1卷】已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．【答案】(1)−1；(2)16√29．【解析】【分析】（1）由点A(2,1)在双曲线上可求出a，易知直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，P(x1,y1),Q (x2,y2)，再根据k AP+k BP=0，即可解出l的斜率；（2）根据直线AP,AQ的斜率之和为0可知直线AP,AQ的倾斜角互补，再根据tan∠PAQ=2√2即可求出直线AP,AQ的斜率，再分别联立直线AP,AQ与双曲线方程求出点P,Q的坐标，即可得到直线PQ的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线PQ的距离，即可得出△PAQ的面积．(1)因为点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，所以4a2−1a2−1=1，解得a2=2，即双曲线C:x22−y2=1易知直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，P(x1,y1),Q(x2,y2)，联立{y =kx +m x 22−y 2=1可得，(1−2k 2)x 2−4mkx −2m 2−2=0，所以，x 1+x 2=−4mk 2k 2−1,x 1x 2=2m 2+22k 2−1，Δ=16m 2k 2+4(2m 2+2)(2k 2−1)>0⇒m 2−1+2k 2>0．所以由k AP +k BP =0可得，y 2−1x2−2+y 1−1x 1−2=0，即(x 1−2)(kx 2+m −1)+(x 2−2)(kx 1+m −1)=0， 即2kx 1x 2+(m −1−2k )(x 1+x 2)−4(m −1)=0， 所以2k ×2m 2+22k 2−1+(m −1−2k )(−4mk2k 2−1)−4(m −1)=0，化简得，8k 2+4k −4+4m (k +1)=0，即(k +1)(2k −1+m )=0， 所以k =−1或m =1−2k ，当m =1−2k 时，直线l:y =kx +m =k (x −2)+1过点A (2,1)，与题意不符，舍去， 故k =−1． (2)不妨设直线PA,PB 的倾斜角为α,β(α<β)，因为k AP +k BP =0，所以α+β=π， 因为tan∠PAQ =2√2，所以tan (β−α)=2√2，即tan2α=−2√2， 即√2tan 2α−tanα−√2=0，解得tanα=√2，于是，直线PA:y =√2(x −2)+1，直线PB:y =−√2(x −2)+1， 联立{y =√2(x −2)+1x 22−y 2=1可得，32x 2+2(1−2√2)x +10−4√2=0，因为方程有一个根为2，所以x P =10−4√23，y P = 4√2−53，同理可得，x Q =10+4√23，y Q = −4√2−53．所以PQ:x +y −53=0，|PQ |=163，点A 到直线PQ 的距离d =|2+1−53|√2=2√23， 故△PAQ 的面积为12×163×2√23=16√29．21．【2022年新高考2卷】已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y =±√3x ． (1)求C 的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上，且x1> x2>0,y1>0．过P且斜率为−√3的直线与过Q且斜率为√3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.=1【答案】(1)x2−y23(2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得a,b的关系，进而利用a,b,c的平方关系求得a,b的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(x0,y0),由③|AM|=| BM|等价分析得到x0+ky0=8k2；由直线PM和QM的斜率得到直线方程，结合双曲线的方k2−3，由②PQ//AB等价转化为ky0=3x0，由程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率m=3x0y①M在直线AB上等价于ky0=k2(x0−2)，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)=√3，∴b=√3a，∴c2=a2+右焦点为F(2,0)，∴c=2,∵渐近线方程为y=±√3x，∴bab2=4a2=4，∴a=1，∴b=√3．=1；∴C的方程为：x2−y23(2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而x1=x2，已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为y=k(x−2),则条件①M在AB上，等价于y0=k(x0−2)⇔ky0=k2(x0−2)；两渐近线的方程合并为3x2−y2=0,联立消去y并化简整理得：(k2−3)x2−4k2x+4k2=0设A(x3,y3),B(x3,y4),线段中点为N(x N,y N),则x N=x3+x42=2k2k2−3,y N=k(x N−2)=6kk2−3,设M(x0,y0),则条件③|AM|=|BM|等价于(x0−x3)2+(y0−y3)2=(x0−x4)2+(y0−y4)2, 移项并利用平方差公式整理得：(x3−x4)[2x0−(x3+x4)]+(y3−y4)[2y0−(y3+y4)]=0，[2x0−(x3+x4)]+y3−y4x3−x4[2y0−(y3+y4)]=0,即x−x N+k(y0−y N)=0,即x0+ky0=8k2k2−3；由题意知直线PM的斜率为−√3, 直线QM的斜率为√3, ∴由y1−y0=−√3(x1−x0),y2−y0=√3(x2−x0), ∴y1−y2=−√3(x1+x2−2x0),所以直线PQ的斜率m=y1−y2x1−x2=−√3(x1+x2−2x0)x1−x2,直线PM:y=−√3(x−x0)+y0,即y=y0+√3x0−√3x,代入双曲线的方程3x2−y2−3=0,即(√3x+y)(√3x−y)=3中，得：(y0+√3x0)[2√3x−(y0+√3x0)]=3,解得P的横坐标：x1=2√3(y+√3x+y0+√3x0),同理：x2=2√3(y−√3xy0−√3x0)，∴x1−x2=√3(3y0y02−3x02+y0),x1+x2−2x0=−3x0y02−3x02−x0,∴m=3x0y,∴条件②PQ//AB等价于m=k⇔ky0=3x0，综上所述：条件①M在AB上，等价于ky0=k2(x0−2)；条件②PQ//AB等价于ky0=3x0；条件③|AM|=|BM|等价于x0+ky0=8k2k2−3；选①②推③:由①②解得：x 0=2k 2k 2−3,∴x 0+ky 0=4x 0=8k 2k 2−3,∴③成立；选①③推②：由①③解得：x 0=2k 2k 2−3，ky 0=6k 2k 2−3， ∴ky 0=3x 0，∴②成立； 选②③推①：由②③解得：x 0=2k 2k 2−3，ky 0=6k 2k 2−3，∴x 0−2=6k 2−3， ∴ky 0=k 2(x 0−2)，∴①成立. 22．【2022年北京】已知椭圆：E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为2√3． (1)求椭圆E 的方程；(2)过点P(−2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当|MN|=2时，求k 的值． 【答案】(1)x 24+y 2=1(2)k =−4 【解析】 【分析】（1）依题意可得{b =12c =2√3c 2=a 2−b 2，即可求出a ，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设B (x 1,y 1)、C (x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB 、AC 的方程，表示出x M 、x N ，根据|MN |=|x N −x M |得到方程，解得即可； (1)解：依题意可得b =1，2c =2√3，又c 2=a 2−b 2， 所以a =2，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)解：依题意过点P (−2,1)的直线为y −1=k (x +2)，设B (x 1,y 1)、C (x 2,y 2)，不妨令−2≤x 1<x 2≤2，由{y −1=k (x +2)x 24+y 2=1 ，消去y 整理得(1+4k 2)x 2+(16k 2+8k )x +16k 2+16k =0， 所以Δ=(16k 2+8k )2−4(1+4k 2)(16k 2+16k )>0，解得k <0，所以x 1+x 2=−16k 2+8k 1+4k 2，x 1⋅x 2=16k 2+16k 1+4k 2，直线AB 的方程为y −1=y 1−1x 1x ，令y =0，解得x M =x11−y 1， 直线AC 的方程为y −1=y 2−1x 2x ，令y =0，解得x N =x21−y 2， 所以|MN |=|x N −x M |=|x21−y 2−x11−y 1|=|x 21−[k (x 2+2)+1]−x 11−[k (x 1+2)+1]| =|x 2−k (x 2+2)+x 1k (x 1+2)| =|(x 2+2)x 1−x 2(x 1+2)k (x 2+2)(x 1+2)|=2|x 1−x 2||k |(x 2+2)(x 1+2)=2，所以|x 1−x 2|=|k |(x 2+2)(x 1+2)，即√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=|k |[x 2x 1+2(x 2+x 1)+4] 即√(−16k 2+8k1+4k 2)2−4×16k 2+16k 1+4k 2=|k |[16k 2+16k 1+4k 2+2(−16k 2+8k 1+4k 2)+4]即81+4k 2√(2k 2+k )2−(1+4k 2)(k 2+k )=|k |1+4k2[16k 2+16k −2(16k 2+8k )+4(1+4k 2)]整理得8√−k =4|k |，解得k =−4 23．【2022年浙江】如图，已知椭圆x 212+y 2=1．设A ，B 是椭圆上异于P(0,1)的两点，且点Q (0,12)在线段AB 上，直线PA,PB 分别交直线y =−12x +3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值； (2)求|CD|的最小值．【答案】(1)12√1111；(2)6√55．【解析】 【分析】（1）设Q(2√3cosθ,sinθ)是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出|PQ|2，再根据二次函数的性质即可求出；（2）设直线AB:y =kx +12与椭圆方程联立可得x 1x 2,x 1+x 2，再将直线y =−12x +3方程与PA 、PB 的方程分别联立，可解得点C,D 的坐标，再根据两点间的距离公式求出|CD |，最后代入化简可得|CD |=3√52⋅√16k 2+1|3k+1|，由柯西不等式即可求出最小值． (1)设Q(2√3cosθ,sinθ)是椭圆上任意一点,P(0,1),则|PQ|2=12cos 2θ+(1−sinθ)2=13−11sin 2θ−2sinθ=−11(sinθ+111)2+14411≤14411，当且仅当sinθ=−111时取等号，故|PQ|的最大值是12√1111.(2)设直线AB:y =kx +12,直线AB 方程与椭圆x 212+y 2=1联立,可得(k 2+112)x 2+kx −34=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，所以{x 1+x 2=−kk 2+112x 1x 2=−34(k 2+112)， 因为直线PA:y =y 1−1x 1x +1与直线y =−12x +3交于C ,则x C =4x 1x1+2y 1−2=4x 1(2k+1)x 1−1,同理可得,x D =4x 2x 2+2y 2−2=4x 2(2k+1)x 2−1.则|CD|=√1+14|x C −x D |=√52|4x 1(2k +1)x 1−1−4x 2(2k +1)x 2−1|=2√5|x 1−x 2[(2k +1)x 1−1][(2k +1)x 2−1]|=2√5|x 1−x 2(2k +1)2x 1x 2−(2k +1)(x 1+x 2)+1|=3√52⋅√16k 2+1|3k+1|=6√55⋅√16k 2+1√916+1|3k+1|≥6√55×√(4k×34+1×1)2|3k+1|=6√55， 当且仅当k =316时取等号，故|CD |的最小值为6√55.【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．1．（2022·全国·模拟预测）设M 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点，P 是C 上的一个动点，当P 运动到下顶点时，PM 取得最大值，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】设()00,P x y ，由()0,M b ，求出()2220PM x y b =+-消元可得，22342220222c b b PM y a b b c c⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭，再根据0b y b -≤≤以及二次函数的性质可知，32b bc -≤-，即可解出． 【详解】设()00,P x y ，()0,M b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PM x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0b y b -≤≤，由题意知当0y b =-时，2PM 取得最大值，所以32b b c -≤-，可得222a c ≥，即0e 2<≤故选：C ．2．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知圆229:4O x y +=，圆22:()(1)1M x a y -+-=，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得π3APB ∠=，则实数a的取值范围是（ ）A ．[B ．[C ．D ．[[3,15]【答案】D【解析】 【分析】由题意求出OP 的距离，得到 P 的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案． 【详解】由题可知圆O 的半径为32，圆M 上存在点P ，过点P 作圆 O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得60APB ∠=︒，则30APO ∠=︒， 在Rt PAO △中，3PO =， 所以点 P 在圆229x y +=上，由于点 P 也在圆 M 上，故两圆有公共点. 又圆 M 的半径等于1，圆心坐标(),1M a ， 3131OM -≤≤+∴，∴24≤≤，∴a ∈[[3,15]. 故选：D.3．（2022·全国·模拟预测（文））已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）一个虚轴的顶点为()0,B b ，右焦点为F ，分别以B ，F 为圆心作圆与双曲线的一条斜率为正值的渐近线相切于M ，N 两点，若ON =，则该渐近线的斜率为（ ）A ．12 B ．1 C D 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线倾斜角的正切值表达出ON =，再化简得到4224200b a b a --=求解即可 【详解】由题意，如图，设NOF θ∠=，则因为该渐近线的斜率为ba ，故tanb aθ=，cos acθ==，sin bcθ==，又因为圆与渐近线相切，故BM OM ⊥，FN ON ⊥，故2cos sin 2b OM OB OB c π-θθ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，cos ON OF a θ==,所以a =，即2，所以4224200b a b a --=，即()()2222450b a b a -+=，故2240b a -=，即2a b =，故该渐近线的斜率为12b k a ==故选：A4．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，12AF F △的内切圆半径为1r ，12BF F △的内切圆半径为2r ，若12r r >，且直线l 的倾斜角为60︒，则12r r 的值为（ ） A ．2 B ．3CD．【答案】B 【解析】 【分析】根据内切圆的性质及双曲线的定义求出两内切圆圆心的横坐标，由正切函数求解即可. 【详解】记12AF F △的内切圆圆心为C ，边1212,,AF AF F F 上的切点分别为M ，N ，E ，则C ，E 横坐标相等，则1122||||,,AM AN F M F E F N F E ===，由122AF AF a -=，即()12||||2AM MF AN NF a +-+=，得122MF NF a -=，即122F E F E a -=，记C 的横坐标为0x ，则()0,0E x ，于是()002x c c x a +--=，得0x a =，同理12BF F △的内心D 的横坐标也为a ， 则有CD x ⊥轴，由直线的倾斜角为60︒，则230OF D ∠=︒，260CF O ∠=︒， 在2CEF △中，122tan tan 60r CF O EF ∠=︒=，可得12r =， 在2DEF △中，222tan tan 30r DF O EF ∠=︒=，可得22r =，可得123r r ==．故选：B5．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知双曲线22214x y b-=的左､右焦点分别为12,,F F 过左焦点1F 作斜率为2的直线与双曲线交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14，则b 的值是（ ）A ．2 BC ．32D【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法设()11,A x y 、()22,B x y ，作差即可得到2121212124y y y y b x x x x -+⋅=-+，再根据斜率公式，从而得到2124b =，即可得解；【详解】解：设()11,A x y 、()22,B x y ，则2211214x y b -=，2222214x y b-=， 两式相减可得()()()()1212121221104x x x x y y y y b-+--+=，P 为线段AB 的中点，122p x x x ∴=+，122p y y y =+， 2121212124y y y y b x x x x -+∴⋅=-+，又12122AB y y k x x -==-，121214y y x x +=+， 2124b ∴=，即22b =，b ∴= 故选：D.6．（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、有焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，离心率2e =，点Q 为双曲线右支上的一点，点(0,4)P ．当1||QF PQ +取最小值时，2QF 的值为（ ） A．1) B．1) C．1 D．1【答案】B 【解析】 【分析】由题意求得a,b,c ,即可得双曲线的方程，结合双曲线的定义确定当1||QF PQ +取最小值时Q 点的位置，利用方程组求得Q 点坐标，再利用两点间的距离公式求得答案. 【详解】由题意可得24,2a a == ，又2e =，故4c = ， 所以22212b c a =-= ，则双曲线方程为221412x y -= ，结合双曲线定义可得221||4||||4QF PQ QF PQ QF PQ +=++=++， 如图示，连接2PF ,交双曲线右支于点M ，即当2,,P Q F 三点共线， 即Q 在M 位置时，1||QF PQ +取最小值，此时直线2PF 方程为4y x =-+ ，联立221412x y-=，解得点Q的坐标为2,6-,( Q 为双曲线右支上的一点)，故21)QF =， 故选：B7．（2022·上海市七宝中学模拟预测）若双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦点相同，且12a a >给出下列四个结论：①22221221a a b b -=-；②1221a b a b >； ③双曲线1C 与双曲线2C 一定没有公共点； ④2112a a b b +>+；其中所有正确的结论序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①④【答案】B 【解析】 【分析】对于①，根据双曲线的焦点相同，可知焦距相同，可判断22221221a a b b -=-；对于②，举反例可说明1122a b a b <；对于③，根据120a a >>可推得12<b b ，继而推得1212b ba a <，可判断双曲线1C 与双曲线2C 一定没有公共点；对于④，举反例可判断.【详解】对于①：∵两双曲线的焦点相同，∴焦距相同，∴22221122a b a b +=+，即22221221a a b b -=-，故①正确；对于②：若1a =，2a =11b =，2b 1122a b a b <，故②错误； 对于③：∵120a a >>，∴22221221a a b b -=->0，∴2221b b > ，即12<b b ，即1212b b a a <，双曲线1C 与双曲线2C 一定没有公共点，故③正确； 对于④：∵22221221a a b b -=-，∴12121221()()()()a a a a b b b b +-=+-，∵12a a >且12<b b ，∴12211212a ab b b b a a +-=+- ， 若12a =，21a =，11b =，22b =，则1212a a b b +=+，故④错误. 故选：B8．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，M 为双曲线右支上的一点，若M 在以12F F 为直径的圆上，且215,312MF F ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A．(B．)+∞C．()1D．1⎤⎦【答案】D 【解析】 【分析】由12MF MF ⊥可得1212sin MF c MF F =∠、2212cos MF c MF F =∠，由双曲线定义可构造方程得到2114caMF F π=⎛⎫∠- ⎪⎝⎭；由正弦型函数值域的求法可求得离心率的取值范围.【详解】M 在以12F F 为直径的圆上，12MF MF ∴⊥，12112sin MF MF F F F ∴∠=，22112cos MF MF F F F ∠=，1212sin MF c MF F ∴=∠，2212cos MF c MF F =∠， 由双曲线定义知：122MF MF a -=，即21212sin 2cos 2c MF F c MF F a ∠-∠=，21212111sin cos 4c a MF F MF F MF F π∴==∠-∠⎛⎫∠- ⎪⎝⎭； 215,312MF F ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，21,4126MF F πππ⎡⎤∴∠-∈⎢⎥⎣⎦，211sin 42MF F π⎤⎛⎫∴∠-∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，214MF F π⎛⎫∠-∈ ⎪⎝⎭⎣⎦，1c a ⎤∴∈⎦，即双曲线离心率的取值范围为1⎤⎦.故选：D.9．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点,A B ，若2ABF 是边长为4的等边三角形，则C 的离心率为（ ） A ．3 BCD ．2【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线定义可推导得244AF a ==，求得1a =；在12BF F △中，利用余弦定理可求得12F F ，进而得到c ，由ce a=可求得离心率. 【详解】224AB BF AF ===，1212BF BF AF a ∴-==，又212AF AF a -=，244AF a ∴==，解得：1a =，16BF ∴=， 在12BF F △中，由余弦定理得：2221212122cos 283F F BF BF BF BF π=+-⋅=，解得：12F F =2c =，c ∴=∴双曲线C 的离心率ce a==故选：B.10．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．110,,132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由题可知六个P 点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设(,)P x y 是第一象限内的点，分112PF F F =或212PF F F =，列方程组求得P 点横坐标x ，由0x a <<可得离心率范围；或结合椭圆的性质列出不等关系即得． 【详解】法一：显然，P 是短轴端点时，12PF PF =，满足12F F P 为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，设(,)P x y 是第一象限内使得12F F P 为等腰三角形的点，若112PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪=，又222a b c =+， 消去y 整理得：222224240c x a cx a c a +-+=， 解得22a ac x c --=(舍去)或22a acx c -+=， 由0x a <<得220a aca c-+<<，所以112c a <<，即112e <<，若212PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪=，又222a b c =+， 消去y 整理得：222224240c x a cx a c a --+=， 解得22a ac x c -=或22a ac x c +=，22a aca c +>舍去．所以220a aca c-<<，所以1132c a <<，即1132e <<，12e =时，2a c =，12PF F △是等边三角形，P 只能是短轴端点，只有2个，不合题意． 综上，e 的范围是111(,)(,1)322⋃．法二：①当点P 与短轴的顶点重合时，12F F P 构成以12F F 为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的12F F P ；②当12F F P 构成以12F F 为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点P 满足12F F P 为等腰三角形即可，则1122PF F F c ==或2122PF F F c == 当12PF c =时，则2c a >，即12c e a =>，则112e <<，当22PF c =时，则有22c a c c a>-⎧⎨<⎩，则1132e <<，。
高中数学平面解析几何知识点归纳
高中数学平面解析几何知识点归纳高中数学平面解析几何知识点有哪些你知道吗?近年的高中数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，一起来看看高中数学平面解析几何知识点，欢迎查阅!高中数学平面解析几何知识点平面解析几何初步：①直线与方程是解析几何的基础，是高考重点考查的内容，单独考查多以选择题、填空题出现;间接考查则以直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识综合为主，多为中、高难度试题，往往作为把关题出现在高考题目中。
直接考查主要考查直线的倾斜角、直线方程，两直线的位置关系，点到直线的距离，对称问题等，间接考查一定会出现在高考试卷中，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题。
②圆的问题主要涉及圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的'集合性质的讨论，难度中等或偏易，多以选择题、填空题的形式出现，其中热点为圆的切线问题。
③空间直角坐标系是平面直角坐标系在空间的推广，在解决空间问题中具有重要的作业，空间向量的坐标运算就是在空间直角坐标系下实现的。
空间直角坐标系也是解答立体几何问题的重要工具，一般是与空间向量在坐标运算结合起来运用，也不排除出现考查基础知识的选择题和填空题。
高中数学平面解析几何知识点平面解析几何，又称解析几何(英语：Analytic geometry)、坐标几何(英语：Coordinate geometry)或卡氏几何(英语：Cartesian geometry)，早先被叫作笛卡儿几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。
解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线，使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面，同时研究它们的方程，并定义一些图形的概念和参数。
平面解析几何基本理论坐标在解析几何当中，平面给出了坐标系，即每个点都有对应的一对实数坐标。
最常见的是笛卡儿坐标系，其中，每个点都有x-坐标对应水平位置，和y-坐标对应垂直位置。
高中数学高考专题讲义 26 平面解析几何(四)
标准方程y2＝2px(p>0)性质范围x≥0，y∈R 准线方程x＝－p2标准方程x2＝2py(p>0)范围y≥0，x∈Rp 准线方程y＝－3．(2009·山东文)设斜率为2的直线的面积为4，则抛物线方程为( A ．y 2＝±4x [答案] B[解析] 本小题考查抛物线的有关概念以及直线与抛物线关系．由已知得抛物线焦点为F ⎝ ⎛a4⎛．(2010·重庆文)已知过抛物线答案] 2解析] 本题考查抛物线的定义 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)抛物线y 2＝4x ，焦点为(1，c )，准线为AF |＝x 1－(－1)＝2，所以x 1＝则AF 与x 轴垂直，|BF |＝|AF |＝．(2009·海南宁夏文)已知抛物线(2,2)为AB 的中点，则抛物线C 答案] y 2＝4x解析] 本题主要考查直线与抛物线的位置关系和学生的分析问题、解决问题的能力．由题意设抛物线方程为y 2＝2由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝x ，得x 2＝2px ，∴x 1＝0，x 2＝2p ，y 1＝0，y 2＝∴A (0,0)，B (2p,2p )又∵P (2,2)为AB 的中点，∴∴y 2＝4x .．已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点(1)求动点P 的轨迹方程；跟踪练习1：若例题中点A的坐标变为(2,3)[解析] 将x＝2代入抛物线方程，得∵3>2，∴点A在抛物线的外部．∵|PA|＋|PF|≥|AF|＝∴A、P、F三点共线时有最小值，最小值为2.命题方向：抛物线的标准方程与几何性质[例2] 根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线(2)过点P(2，－4)；(3)抛物线焦点F在x轴上，直线[分析] (1)设出抛物线方程，利用待定系数法求解．(2)可考虑“点差法”表示直线[解析] (1)由已知条件，可设抛物线的方程为∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，∴y 1·y 2＝－p 2，x 1·x 2＝y 1·y 224p 2＝p 24. 当k 不存在时，直线方程为x ＝p2，这时y 1＝p ，y 2＝－p ，则y 1·y 2＝－p 2，x 1·x 2＝p 24.因此，总有y 1·y 2＝－p 2，x 1·x 2＝p 24成立.(2)由抛物线定义：|AF |等于点A 到准线x ＝－p2的距离.∴|AF |＝x 1＋p 2，同理：|BF |＝x 2＋p2.∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p .②又∵y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，∴x ＝1k y ＋p 2.∴x 1＋x 2＝1k (y 1＋y 2)＋p由方程①知：y 1＋y 2＝2pk.∴x 1＋x 2＝2pk2＋p ③将③代入②得|AB |＝2p k 2＋2p ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ＝2p sin 2θ(3)如图，S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|AF |·sin θ＋12|OF |·|BF |·sin θ＝12|OF |·sin θ(|AF |＋|BF |)＝12·|OF |·|AB |·sin θ ＝12·p 2·2p sin 2θ·sin θ＝p 22sin θ.(4)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24，|NF ||BC |＝|AF ||AB |， 根据抛物线的几何性质，[分析] (1)设A ，B 两点坐标，通过求导，求(2)用弦长公式表示|AB |待定p .[解析] (1)证明：由题意设x 1<x 2，M (x 0，－2p )．由x 2＝2py 得y ＝x 22p ，则y ′＝所以k MA ＝x 1p ，k MB ＝x 2p.因此直线MA 的方程为y ＋2直线MB 的方程为y ＋2p ＝x p所以x 122p ＋2p ＝x 1p (x 1－x 0)，①x 222p ＋2p ＝x 2p(x 2－x 0)，② 由①－②得x 1＋x 22＝x 1＋x 2－因此x 0＝x 1＋x 22，即2x 0＝x 1＋x 2.所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．(2)由(1)知，当x 0＝2时，将其代入①、②并整理得x 12－4x 1－4p 2＝0， x 22－4x 1－4p 2＝0，所以x 1、x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根， 因此x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2，又k AB ＝x 222p －x 122p x 2－x 1＝x 1＋x 22p ＝x 0p ，所以k AB ＝2p.由弦长公式得|AB |＝1＋k AB 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋4p216＋16p 2.又|AB |＝410， 所以p ＝1或p ＝2.因此所求抛物线方程为x 2＝2y 或x 2＝4y .[点评] (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；注意“设而不求”的方法．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 跟踪练习4已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A 、B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．[解析] (1)证明：如图所示，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k x ＋，消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理得y 1·y 2＝－1. ∵A 、B 在抛物线y 2＝－x 上， ∴y 12＝－x 1，y 22＝－x 2，y 12·y 22＝x 1x 2. ∵k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB .(2)直线过N 点(－1,0)，∴S △OAB ＝12|ON ||y 1－y 2|＝12|y ∴|y 1－y 2|＝210.[解析] 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p2.又圆x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16. 则－P2＝－1，∴p ＝2.3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在[答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 与x 轴垂直时，x 1＋x 2＝2，与y 轴垂直时，只一个交点，故AB 不与两轴垂直，设过焦点F (1,0)的直线l ：y ＝k (x －1)，则k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －y 2＝4x 消去y 得，k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5，解得k ＝±233.4．(2009·天津理)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝( ) A.45B.23C.47D.12[答案] A[解析] 本小题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的关系等． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵|BF |＝2，∴12＋x 2＝2，∴x 2＝32，∴B (32，－3)，(取y 2＜0)又AB 过M (3，0)点，∴AB 所在直线方程为y ＝2(2＋3)(x －3)． 代入y 2＝2x 得x 1＝2，又C 点横坐标为－12.∴S △BCFS △ACF ＝x 2－－12x 1－－12＝32＋122＋12＝45.故选A. 5．(2009·全国Ⅱ理)已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23 C.23D.223[答案] D[解析] 本题考查抛物线的定义，以及分析问题解决问题的能力、运算能力． 设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋y 2＝8x，消去y 得k 2x 2＋4x (k 2－2)＋4k 2＝0，∴x 1＋x 2＝－k2k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2，又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0，∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4， ∴－k2k 2＝5，∴k 2＝89，∵k >0，∴k ＝223.6．(2008·宁夏、海南)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2)D ．(1，－2)[答案] A[解析] 如图，求|PQ |＋|PF |的最小值即求|PA |＋|PQ |的最小值(PA ⊥l )， 当A 、P 、Q 三点共线时，|PA |＋|PQ |最小，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，故选A. 7．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则ΔAKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8[答案] C[解析] 如图所示，抛物线方程为y 2＝4x ，∴F (1,0)，F 1(－1,0)，根据抛物线的定义，AK ＝AF ，又∠AFx ＝60°，∴ΔAKF 是等边三角形，由F 作FM ⊥AK 于M ，则有MK ＝2，∴等边三角形边长为4，∴S △AKF ＝34×42＝4 3. 8．对于任意n ∈N *，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交于A n 、B n 两点，以|A n B n |表示该两点的距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2012B 2012|的值是( )A.20102011B.20112012 C.20112013D.20092010[答案] C[解析] 设A n (x n,0)，B n (x ′n,0)， 则x n ＋x ′n ＝2n ＋1n 2＋n ，x n x ′n ＝1n 2＋n ，|A n B n |＝|x n －x ′n |＝x n ＋x ′n2－4x n x ′n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n＋1n 2＋n 2－4n 2＋n ＝1n 2＋n ＝1n n ＋＝1n －1n ＋1， ∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A n B n |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1， ∴当n ＝2012时，结果为20122013.[点评] 由条件知A n 、B n 的横坐标x 1、x 2是方程(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0的两根， ∴x 1＝1n ＋1，x 2＝1n ，∴|x 1－x 2|＝1n －1n ＋1. 二、填空题9．(2010·重庆理)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为________．[答案] 83[解析] 如右图，设|AF →|＝m ， |FB →|＝n ，由1m ＋1n ＝2P 得1m ＋1n＝1，即13n ＋1n ＝1，∴n ＝43， ∴AB 中点到准线的距离d ＝m ＋n 2＝123＋432＝83.10．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是______米． [答案] 4 2[解析] 设抛物线拱桥的方程为x 2＝－2py ，当顶点距水面2米时，量得水面宽8米， 即抛物线过点(4，－2)代入方程得16＝4p ∴p ＝4，则抛物线方程是x 2＝－8y ， 水面升高1米时，即y ＝－1时，x ＝±2 2 则水面宽为42米．11．设P 是抛物线y ＝x 2上的点，若P 点到直线2x －y －4＝0的距离最小，则P 点的坐标为________． [答案] (1,1)[解析] 解法1 设P 点坐标为(x 0，x 02)，由点到直线的距离公式得d ＝|2x 0－x 02－4|5＝55|x 02－2x 0＋4|2.到抛物线y＝ax2的准线的距离为＝－14a，p>0)过点A(1，－2)．l，使得直线l与抛物线的方程；若不存在，说明理由．本小题主要考查直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想、分类与整合思想．·1，，其准线方程为x＝－1.＝－2x＋t4＋8t≥0，[点评] 一般地，若平面内动点则轨迹为圆．3．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆[解析] ∵PQ 平分∠F 1PA ，且PQ ⊥∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|PA |∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|PA |＋|PF 2|)∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．4．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F A ．1B ．2C [答案] C[解析] 若与双曲线右支交于两点A ，若与左右两支各有一交点A 、B ，则|AB此时弦长为4的弦有两条．∴共3条．5．如图所示，过点P (0,2)的直线和抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 在直线x ＝2上，则弦AB 的长为________．[答案] 2 5[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 的中点M ⎝⎛⎭⎪⎫2，y 1＋y 22，由y 12＝8x 1，和y 22＝8x 2相减得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2)，∵k PM ＝k AB ，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝y 1＋y 22－22－0令y 1＋y 2＝2b ，则有b 2－2b －8＝0，∴b ＝4或b ＝－2，于是M (2,4)或M (2，－2)． ∵M (2,4)在抛物线上(舍去)．∴M 的坐标为(2，－2)，从而k AB ＝－2.∴AB ：y ＝－2x ＋2，将其代入抛物线方程得x 2－4x ＋1＝0. ∴|AB |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝[1＋－22]42－4×1＝215.6．两动直线l 1、l 2分别经过O (0,0)和A (0,2)，且方向向量分别为(1，λ)和(λ，－1)，则它们交点的轨迹方程是________．[答案] x 2＋y 2－2x ＝0[解析] 当λ＝0时，l 1与l 2的交点为(0,0)；当λ≠0时，kl 1＝λ，kl 2＝－1λ，l 1：y ＝λx ，l 2：y －2＝－1λx ，l 1与l 2的方程相乘可得：x 2＋y 2－2y ＝0.(当λ＝0时也适合此式)综上可得交点的轨迹方程为x 2＋y 2－2y ＝0.(当λ＝0时，也适合此式)[点评] 一般地，过点A (x 0，y 0)，方向向量为a ＝(λ，μ)的直线方程为：λ(y －y 0)－μ(x －x 0)＝0.7．已知△ABC 的两个顶点为A (－2,0)，B (0，－2)，第三个点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 重心的轨迹方程．[解析] 设C (x 1，y 1)，重心G (x ，y )，由重心坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋0＋x 13＝x0－2＋y13＝y，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ＋2y 1＝3y ＋2，∵C (x 1，y 1)在曲线y ＝3x 2－1上，∴3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1，化简得y ＝(3x ＋2)2－1＝9x 2＋12x ＋3，(2)设过定点T (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解析] (1)由已知得直线l 1⊥l 2，l 1y ＝33x ，l 2y ＝－3x ， ∵点P (x 1，y 1)在直线l 1上运动，点Q (x 2，y 2)在直线l 2上运动， ∴y 1＝33x 1，y 2＝－3x 2， 由|PQ |＝2，得(x 12＋y 12)＋(x 22＋y 22)＝4， 即43x 12＋4x 22＝4⇒x 123＋x 22＝1， ∴动点M (x 1，x 2)的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2，将其代入x 23＋y 2＝1，化简得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0， 设A (x 3，y 3)、B (x 4，y 4)，∴Δ＝(12k )2－36×(1＋3k 2)>0⇒k 2>1， 且x 3＋x 4＝－12k 1＋3k 2，x 3x 4＝91＋3k 2，∵∠AOB 为锐角，∴OA →·OB →>0，即x 3x 4＋y 3y 4>0⇒x 3x 4＋(kx 3＋2)(kx 4＋2)>0， ∴(1＋k 2)x 3x 4＋2k (x 3＋x 4)＋4>0.将x 3＋x 4＝－12k 1＋3k 2，x 3x 4＝91＋3k 2代入上式，化简得13－3k 21＋3k 2>0⇒k 2<133. [点评] 轨迹方程实质上是动点的横、纵坐标所满足的方程，因此探求轨迹方程实质上是寻求动点坐标所满足的等量关系，这就需要我们在情境中挖掘其等量关系，从而找到动点坐标所满足的方程．由k 2>1且k 2<133，得k ∈(－393，－1)∪(1，393)．跟踪练习2已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列． (1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 的坐标为(x 0，y 0)，记θ为PM →与PN →的夹角，求tan θ.[解析] (1)设P (x ，y )，则PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )，PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )，MN →＝－NM →＝(2,0)， ∴MP →·MN →＝2(1＋x )，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1，NM →·NP →＝2(1－x )， 由题意⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12＋x ＋－x－x －＋x，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3x >0，所以点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(不含端点)． (2)点P 的坐标为(x 0，y 0)，而PM →·PN →＝x 02＋y 02－1＝2. 又|PM →|·|PN →|＝＋x 02＋y 02×－x 02＋y 02＝24－x 02.所以cos θ＝PM →·PN →|PM →|·|PN →|＝14－x 02， ∵0<x 0≤3，∴12<cos θ≤1，∴0≤θ<π3，∴sin θ＝1－cos 2θ＝1－14－x 02， 故tan θ＝sin θcos θ＝1－14－x 0214－x 02＝3－x 02＝|y 0|.3.命题方向：代入法求曲线方程[例3] 如右图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 1，y 1)，则N 点的坐标为(2x －x 1,2y －y 1)． ∵点N 在直线x ＋y ＝2上， ∴2x －x 1＋2y －y 1＝2，① 又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2， ∴y －y 1x －x 1＝1.即x －y ＋y 1－x 1＝0.② 由①、②联立，解得∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①由(1)知，点A 的坐标为(－2,0)设点B 的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．∴A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2x 24＋y 2＝1，消去y 整理得，(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0. 由韦达定理得，－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，∴x 1＝2－8k21＋4k2，从而y 1＝4k1＋4k 2，∴|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫－2－2－8k 21＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 1＋4k 22＝41＋k 21＋4k 2， 由|AB |＝425，得41＋k 21＋4k 2＝425， 整理得32k 4－9k 2－23＝0，即(k 2－1)(32k 2＋23)＝0， 解得k ＝±1.∴直线l 的倾斜角为π4或3π4.②设线段AB 的中点为M ，由①得M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2. 1°当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴， ∴QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(2，－y 0)， 由QA →·QB →＝4得，－4＋y 02＝4⇒y 0＝±2 2. 2°由k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为 y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8k 21＋4k 2， 令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k2.由QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(x 1，y 1－y 0)， ∴QA →·QB →＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－－8k 21＋4k2＋6k 1＋4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k1＋4k 2＋6k 1＋4k 2＝k 4＋15k 2－＋4k22＝4.整理得7k 2＝2，∴k ＝±147， ∴y 0＝±2145，综上所述，y 0＝±22或±2145.跟踪练习4＝12x 12＋2x 1＋＋74＝12x 1＋2＋74， ∵－2≤x 1≤2，∴当x 1＝2时，|PB |max ＝52，此时，P 点坐标为(2,0)．（五）思想方法点拨：1．常见的轨迹(1)在平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是连结两定点的线段的垂直平分线． (2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线．(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，以定长为半径的圆．(4)平面内到定点的距离与到定直线距离之比等于常数(定点不在定直线上)的点的轨迹是圆锥曲线．当常数大于1时，表示双曲线；当常数等于1时，表示抛物线；当常数大于0而小于1时，表示椭圆．定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线．(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线． 2．求轨迹的常用方法(1)直译法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x 、y 的等式得到轨迹方程，这种方法称之为直译法. 用直译法求动点轨迹的方程一般有建系、设点、列式、代入、化简、证明六个步骤，但最后的证明可以省略.(2)定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.(3)代入法：形成轨迹的动点P (x ，y )随另一动点Q (x ′，y ′)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得， 则可先将x ′、y ′用x 、y 表示，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法. (4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x 、y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．(5)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程． 3．轨迹问题还应区别是“求轨迹”，还是“求轨迹方程”．一般说来，若是“求轨迹方程”，求到方程就可以了；若是“求轨迹”，求到方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型．有时候，问题仅要求指出轨迹的形状．如果能绕过求轨迹方程这一环节直接根据定义及已知知识指出轨迹是什么曲线，则可不求轨迹方程．4．直线与圆锥曲线相交弦长问题(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝1＋1k2|y 2－y 1|，其中求|x 2－x 1|与|y 2－y 1|时，通常作如下变形|x 2－x 1|＝x 1＋x 22－4x 1x 2，|y 2－y 1|＝y 1＋y 22－4y 1y 2，使用韦达定理即解决．(2)当斜率k 不存在时，直线为x ＝m 的形式，可直接代入求出交点纵坐标y 1、y 2得弦长|y 1－y 2|.(3)经过圆锥曲线焦点的弦(也称焦点弦)的长度．应用圆锥曲线的定义转化为两个焦半径之和，往往比用弦长公式简捷．5．二次曲线求最值的方法(1)代数法：归结为求函数的最值问题，利用“配方法、判别式法、不等式法”等代数方法求解． (2)几何法：利用二次曲线的几何性质结合图形性质求解．（六）课后强化作业一、选择题1．(2010·山东文)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②①－②得y 12－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p y 1＋y 22，∴k AB ＝1＝p 2⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，∴准线方程式为：x ＝－1，故选B.2．过点(0，－12)的直线l 与抛物线y ＝－x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为( )A ．－12B ．－14C ．－4D ．无法确定[答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程y ＝kx －12，代入抛物线方程得2x 2＋2kx －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－k ，x 1x 2＝－12.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－12)(kx 2－12)＝(k 2＋1)x 1x 2－12k (x 1＋x 2)＋14＝－12(k 2＋1)－12k (－k )＋14＝－14.3．已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2－y 2＝1 C ．y 2＝4xD ．x ＝0[答案] C[解析] 动点到(1,0)和直线x ＝－1的距离相等，所以其轨迹方程为y 2＝4x . 4．已知动点P (x ，y )满足10x －2＋y －2＝|3x ＋4y |，则P 点的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．两相交直线[答案] A [解析] 条件化为2x －2＋y －2＝|3x ＋4y |5，即为点P (x ，y )到定点F (1,2)的距离与到定直线lx[2，＋∞) D．的直线l平行，或渐近线C.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内x 1＋x 2＝64k 2－8k 4k 2－1＝16，即8k 2－k 4k 2－1＝2， ∴k ＝2，∴所求方程为2x －y －15＝0.解法2：设A 、B 坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)则 x 12－4y 12＝4，(1)x 22－4y 22＝4，(2)(1)－(2)得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，∵P 是线段AB 的中点，∴x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2y 1＋y 2＝2.∴直线AB 的斜率为2， ∴直线AB 的方程为2x －y －15＝0.[点评] 用“点差法”解决圆锥曲线中点弦等有关问题较为方便，注意进行总结．三、解答题12．(2010·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F .设过点T (t ，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹；(2)设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标．[解析] 本主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力．由题设得A (－3,0)，B (3,0)，F (2,0)．(1)设点P (x ，y )，则PF 2＝(x －2)2＋y 2，PB 2＝(x －3)2＋y 2. 由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－(x －3)2－y 2＝4，化简得x ＝92.故所点P 的轨迹为直线x ＝92. (2)由x 1＝2，x 129＋y 125＝1及y 1>0，得y 1＝53，则点M (2，53)，从而直线AM 的方程为y ＝13x ＋1；由x 2＝13，x 229＋y 225＝1，及y 2<0，得y 2＝－209，则点N (13，－209)，从而直线BN 的方程为y ＝56x －52. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝13x ＋1，y ＝56x －52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7，y ＝103.所以点T 的坐标为(7，103)．轴上，离心率为3，两个焦点分别为的方程为：a 2＋b2＝⎩⎪a ＝3 33的方程为：36＋9＝＝2×||×2＝2×63×2＝6 3.⎪⎧Δ＝4k 2＋－k 2。
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第四节直线与圆、圆与圆的位置关系
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
知识梳理
一、点与圆的位置关系
若圆(x－a)2＋(y－b) 2＝r2，那么点(x0，y0)在
圆上⇔__________________；
圆外⇔_________________；
圆内⇔___________________.
二、直线与圆的位置关系
直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交．有两种判断方法：
1．代数法(判别式法)．
Δ>0⇔________；Δ＝0⇔________；Δ<0⇔________.
2．几何法：圆心到直线的距离⎩⎪⎨⎪
⎧
d <r ⇔ ；d ＝r ⇔ ；d >r ⇔ .
一般宜用几何法． 三、圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系：相离，外切，相交，内切，内含． 设圆O 1与圆O 2的半径分别为r 1和r 2，于是有 1.||O 1O 2>r 1＋r 2⇔相离． 2.||O 1O 2＝r 1＋r 2⇔外切． 3.||r 1－r 2<||O 1O 2<r 1＋r 2⇔相交． 4.||O 1O 2＝||r 1－r 2⇔内切． 5.||O 1O 2<||r 1－r 2⇔内含． 四、弦长求法
一般采用几何法：弦心距d ，圆半径r ，弦长l ，则d 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫l 22
＝r 2.
一、()x 0－a 2＋()y 0－b 2＝r 2 ()x 0－a 2＋()y 0－b 2>r 2
()x 0－a 2＋()y 0－b 2<r 2
二、1.相交 相切 相离 2.相交 相切 相离
基础自测
1．直线y ＝kx ＋2与圆：x 2＋y 2＝1没有公共点的充要条件是( )
A ．k ∈(－2，2)
B．k∈(－3，3)
C．k∈(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．k∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)
解析：由圆心到直线的距离公式可得d＝
|2|
1＋k2
>1，
解得－3<k< 3.故选B.
答案：B
2．(2013·陕西卷)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 不确定
解析：点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外⇒a2＋b2＞1.
圆O(0,0)到直线ax＋by＝1距离d＝
1
a2＋b2
＜1等于圆的半
径，故直线与圆相交．故选B.
答案：B
3．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．
解析：圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－2)2＝1，
又相交所得弦长为2，故相交弦为圆的直径，
由此得直线过圆心(1,2)，故所求直线方程为2x－y＝0.
答案：2x－y＝0
4．如图，已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：()x －12＋()y －12
＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为______．
解析：由题图可知，过圆心作直线l ：x －y ＋4＝0的垂线，则AD 长即为所求．
∵C ：()x －12＋()y －12＝2的圆心为C ()1，1， 半径为2，
点C 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离为d ＝||
1－1＋42
＝22，
∴|AD |＝|CD |－|AC |＝22－2＝2， 故C 上各点到l 的距离的最小值为 2. 答案： 2
1．(2013·重庆卷)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )
A．6 B．4 C．3 D．2
解析：由题意知，圆的圆心坐标为(3，－1)，
圆的半径长为2，
|PQ|的最小值为圆心到直线x＝－3的距离减去圆的半径长，所以|PQ|min＝3－(－3)－2＝4.故选B.
答案：B
2．(2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆的半径为1，圆心在l上．
(1) 若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a 的取值范围．
解析：(1)由y＝2x－4，y＝x－1联立方程组，
解得圆心坐标C(3,2)，
所以圆方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1，
因为切线斜率不存在时，不合题意， 所以设切线方程为y ＝kx ＋3，
所以|3k －2＋3|1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝－34， 所以切线方程为y ＝3或y ＝－3
4x ＋3.
(2)设C (a,2a －4)，则圆方程为(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1， 设M (x 0，y 0)，由题意(x 0－a )2＋(y 0－2a ＋4)2＝1，
因为MA ＝2MO ，所以x 20＋(y 0－3)2＝4x 20＋4y 2
0， 即x 20＋(y 0＋1)2＝4，
因为点M 存在，
所以圆(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1与圆x 2＋(y ＋1)2＝4有公共点，即两圆相交或相切，
所以(2－1)2≤d 2≤(2＋1)2， 即1≤(a －0)2＋2≤9， 所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，125.
1．(2012·安庆二模)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，直线l ：2x ＋y ＝0，则圆C 上的点到直线l 的距离最大值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：直线l ：2x ＋y ＝0是确定的，
圆上的动点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加上
圆的半径．
圆的圆心为(1，－2)，
半径为3，
因为点(1，－2)在直线l：2x＋y＝0上，
所以，最大距离为圆的半径3.故选C.
答案：C
2．(2013·江门一模)已知x、y满足x2＋y2＝4，则z＝3x－4y ＋5的取值范围是()
A．B．
C．D．
解析：z＝3x－4y＋5 即直线3x－4y＋5－z＝0，
由题意可得直线和圆x2＋y2＝4有交点，
故有|0－0＋5－z|
9＋16
≤2，
化简得－10≤z－5≤10，解得－5≤z≤15.故选A. 答案：A。