高考数学一轮复习第9章概率第1讲随机事件的概率知能训练轻松闯关文北师大版
高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第2讲排列与组合知能训练轻松闯关理北师大版
【2019最新】精选高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第2讲排列与组合知能训练轻松闯关理北师大版1．不等式A＜6×A的解集为( )A．[2，8] B．[2，6]C．(7，12) D．{8}解析：选D.由题意得＜6×，所以x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12.又x≤8，x－2≥0，所以7＜x≤8，x∈N*，即x＝8.2．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种B．63种C．65种D．66种解析：选D.共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C＋C＋CC＝66(种)．3．(2016·山西省考前质量检测)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )A．60种B．48种C．30种D．24种解析：选B.由题知，不同的座次有AA＝48(种)，故选B.4．(2016·长沙模拟)若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有( ) A．12对B．18对C．24对D．30对解析：选C.依题意，注意到在正方体ABCDA1B1C1D1中，与直线AC构成异面直线且所成的角为60°的直线有BC1，BA1，A1D，DC1，注意到正方体ABCDA1B1C1D1中共有12条面对角线，可知所求的“黄金异面直线对”共有＝24(对)，故选C. 5．(2016·济南模拟)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有( )A．48种B．72种C．96种D．108种解析：选B.记四棱锥为EABCD，第一步，确定四棱锥顶点E的颜色，相应的方法数有C＝4种；第二步，确定顶点A的颜色，相应的方法数有C＝3种；第三步，确定顶点D的颜色，相应的方法数有C＝2种；第四步，确定顶点B，C的颜色，相应的方法数有3种．因此由分步乘法计数原理得满足题意的方法数共有4×3×2×3＝72种，故选B.6．(2016·衡水调研)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )A．80种B．90种C．120种D．150种解析：选D.将5名教师先分成3组，有两种分法，即一所学校1人，另两所学校分别2人，或一所学校3人，另两所学校分别1人，共有·C·C,A)＋\f(C·C·C,A)))·A＝150种．7．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种．解析：把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A 种排法；第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数为A＝12(种)．其中正确的有一种，所以错误的共A－1＝12－1＝11(种)．答案：118．(2016·南昌模拟)安排A，B，C，D，E，F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人．考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，安排方法共有________种．解析：第一种情况当B照顾老人甲时，有CC＝24种安排方法；第二种情况当B照顾老人丙时，有CC＝18种安排方法，所以一共有42种安排方法．答案：429．(2016·河南省高考适应性测试)3对夫妇去看电影，6个人坐成一排．若女性的邻座只能是其丈夫或其他女性，则坐法的种数为________．解析：当女性有3人相邻时，有2A(A＋1)＝36种坐法；当女性只有2人相邻时，有2A(1＋1)＝24种坐法，所以共有36＋24＝60种坐法．答案：6010．在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则该数为“驼峰数”．比如：“102”“546”为“驼峰数”，由数字1，2，3，4，5这五个数字构成的无重复数字的“驼峰数”的十位上的数字之和为________．解析：三位“驼峰数”中1在十位的有A个，2在十位的有A个，3在十位上的有A 个，所以所有三位“驼峰数”的十位上的数字之和为12×1＋6×2＋2×3＝30.答案：3011．用五个数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的自然数，问：(1)四位数有几个？(2)比3 000大的四位偶数有几个？解：(1)首位数字不能是0，其他三位数字可以任意，所以四位数有CA＝96(个)．(2)①若4在首位，则个位数字必是0或2，有CA个数，②若3在首位，则个位数字必是0或2或4，有CA个数．所以比3 000大的偶数且是四位数的有CA＋CA＝30(个)．12．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A种情况．所以符合题意的七位数有CCA＝100 800(个)．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有CCAA＝14 400(个)．(3)(1)的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有CCAAA＝5 760(个)．1．(2016·江西省九校联考)将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力、投篮三项比赛中(假设这些比赛都不设人数上限)，每人只参加一项，则共有x种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人时，则共有y种不同的方案，则x＋y的值为( )A．1 269 B．1 206C．1 719 D．756解析：选A.6名同学报名参加跳绳、接力、投篮三项比赛，每人只参加一项，每人有3种报名方法，根据分步乘法计数原理可得x＝36＝729；而每项比赛至少要安排一人时，先分组有114、123、222，即有CC,A)＋CCC＋\f(CCC,A)))＝90种，再排列有A＝6种，所以y＝90×6＝540种；故x＋y＝1 269.2．(2016·安徽省皖北协作区联考)从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．解析：由题意知，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声的情况，共分以下8类：当选择3个不同按键时，有C种方法；当选择4个不同按键时，有C种方法；…；当选择10个不同按键时，有C种方法，所以不同的和声数为C＋C＋…＋C＝(C＋C＋C＋C＋C＋…＋C)－(C＋C＋C)＝210－(1＋10＋45)＝968.答案：9683．现有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员．解：(1)任选3名男运动员，方法数为C，再选2名女运动员，方法数为C，共有C·C ＝120种方法．(2)法一：至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理可得总选法数为CC＋CC＋CC＋CC＝246(种)．法二：“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有C－C＝246(种)．(3)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法，不选女队长时，必选男队长，其他人任意选，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时共有(C－C)种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种)．4．有4个不同的球与4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球分别放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理知，共有CCCA＝144(种)．(2)恰有1个盒内有2个球，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C种方法．4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有C,A)·A种方法．故共有CCA＋\f(CC,A)·A))＝84(种)．。
2020届高中数学一轮复习北师大版随机事件的概率学案Word版
第1讲 随机事件的概率[最新考纲]1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式.知 识 梳 理1．频率与概率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An 为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率，简称为A 的概率．2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B )B ⊇A (或A ⊆B ) 相等关系若B ⊇A 且A ⊇BA ＝B 并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件) A ∪B (或A ＋B )交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件)A ∩B (或AB )互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．辨析感悟1．对随机事件概念的理解(1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件．(√)(2)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不可能事件．(√)(3)(2018·广州调研C项)“下周六会下雨”是随机事件．(√)2．对互斥事件与对立事件的理解(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(√)(5)(2018·郑州调研B项)从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张，“抽取黑桃”与“抽取方块”是对立事件．(×) 3．对频率与概率的理解(6)(教材练习改编)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)(7)(教材习题改编)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率为13.(√)(8)(2018·临沂调研改编)甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是0.3，甲不输的概率为0.8，则甲、乙二人下成和棋的概率为0.5.(√)[感悟·提升]两个区别一是“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件，如(5)中为互斥事件．二是“频率”与“概率”：频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率.学生用书第179页考点一事件的关系与运算【例1】一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则()．A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件解析根据互斥与对立的定义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω(Ω为必然事件)，故事件B，C是对立事件．答案 D规律方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．【训练1】对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．解析 设I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A ∩B ＝∅，A ∩C ＝∅，B ∩C ＝∅，B ∩D ＝∅.故A 与B ，A 与C ，B 与C ，B 与D 为彼此互斥事件，而B ∩D ＝∅，B ∪D ＝I ，故B 与D 互为对立事件． 答案 A 与B ，A 与C ，B 与C ，B 与D B 与D考点二 随机事件的概率与频率【例2】 某小型超市发现每天营业额Y (单位：万元)与当天进超市顾客人数X 有关．据统计，当X ＝700时，Y ＝4.6；当X 每增加10，Y 增加0.05.已知近20天X 的值为：1 400，1 100，1 900,1 600,1 400,1 600,2 200,1 100,1 600,1 600，1 900，1 400,1 100,1 600,2 200,1 400,1 600,1 600，1 900，700. (1)完成如下的频率分布表：近20天每天进超市顾客人数频率分布表 人数7001 1001 4001 6001 9002 200频率120420(2)假定今天进超市顾客人数与近20天进超市顾客人数的分布规律相同，并将频率视为概率，求今天营业额低于10.6万元高于4.6万元的概率．解 (1)在所给数据中，进超市顾客人数为1 100的有3个，为1 600的有7个，为1 900的有3个，为2 200的有2个．故近20天每天进超市顾客人数频率分布表为 人数 700 1 100 1 400 1 600 1 900 2 200 频率120320420720320220(2)由已知可得Y ＝4.6＋X －70010×0.05＝1200X ＋1.1， ∵4.6<Y <10.6，∴4.6<X200＋1.1<10.6， ∴700<X <1 900.∴P (4.6<Y <10.6)＝P (700<X <1 900)＝P (X ＝1 100)＋P (X ＝1 400)＋P (X ＝1 600)＝3 20＋420＋720＝1420＝710.即今天营业额低于10.6万元高于4.6万元的概率为7 10.规律方法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．【训练2】某市统计的2010～2018年新生婴儿数及其中男婴数(单位：人)见下表：时间2010年2018年2018年2018年新生婴儿数21 84023 07020 09419 982男婴数11 45312 03110 29710 242(1)试计算男婴各年的出生频率(精确到0.001)；(2)该市男婴出生的概率约是多少？解(1)2010年男婴出生的频率为f n(A)＝n An＝11 45321 840≈0.524.同理可求得2018年、2018年和2018年男婴出生的频率分别约为0.521,0.512,0.513.(2)由以上计算可知，各年男婴出生的频率在0.51～0.53之间，所以该市男婴出生的概率约为0.52.学生用书第180页考点三互斥事件、对立事件的概率【例3】(2018·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？审题路线(1)分别求等候人数为0人、1人、2人的概率⇒根据互斥事件的概率求和公式可求．(2)思路一：分别求等候人数为3人、4人、5人及5人以上的概率⇒根据互斥事件的概率求和公式可得．思路二：转化为求其对立事件的概率⇒根据P(A)＝1－P(A)可求．解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D ＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.规律方法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．【训练3】一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解法一(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412＝13，P(A3)＝212＝16，P(A4)＝112.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34；(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.法二(利用对立事件求概率)(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－212－112＝34.(2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－112＝11 12.1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．2．从集合角度理解互斥和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．创新突破11——全面突破概率与其它知识的综合问题【典例】(2018·新课标全国Ⅱ卷)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位： t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)．求T 的数学期望．突破1：购进130 t 农产品全部售出还是有剩余是解题的关键； 突破2：T 为X 的函数是分段函数；突破3：由函数求得利润T 不少于57 000元时的X 的范围； 突破4：根据直方图估计概率；突破5：找出所有的T 的取值，列出分布列，求出数学期望． 解 (1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000. 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000. 所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X <130，65 000，130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T 45 00053 00061 00065 000P 0.10.20.30.4所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.[反思感悟] (1)本题是一道分段函数、频率直方图、随机事件概率的综合问题，解本题的关键所在是“购进了130 t该农产品”是否全部售出．考查了考生的逻辑思维能力、数据处理能力．(2)在频率分布直方图中，纵轴上的数据表示“频率÷组距”，不能与“频率”混淆．(3)可以用频率来估计概率的值．【自主体验】(2018·四川卷)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)运行次数n 输出y 的值为1的频数输出y 的值为2的频数 输出y 的值为3的频数30 14 6 10 … … … … 2 1001 027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n 输出y 的值为1的频数输出y 的值为2的频数 输出y 的值为3的频数30 12 11 7 … … … … 2 1001 051696353当n ＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大．(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数X 的分布列及数学期望．解 (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：输出y 的值为1的频率 输出y 的值为2的频率 输出y 的值 为3的频率 甲 1 0272 100 3762 100 6972 100 乙1 0512 1006962 1003532 100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量X 可能的取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (X ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49， P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29，P (X ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝127.故X 的分布列为X 0 1 2 3 P8274929127所以E (X )＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1. 即X 的数学期望为1.对应学生用书P365基础巩固题组一、选择题1．(2018·大连模拟)某城市2018年的空气质量状况如下表：污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率P1101613730215130其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50＜T ≤100时，空气质量为良；100＜T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2018年空气质量达到良或优的概率为( )．A.35B.1180C.119D.56解析 由题意可知2018年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35. 答案 A2．(2018·漳州调研)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )． A ．至多有一张移动卡 B ．恰有一张移动卡 C ．都不是移动卡 D ．至少有一张移动卡解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件． 答案 A 二、填空题3．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如下图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．解析 由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为1432＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5. 答案 32 0.437 5 三、解答题4.如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查， 调查结果如下：所用时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数 6 12 18 12 12 选择L 2的人数416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径． 解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得频率为：所用时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L 1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1；同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)＞P(B1)，∴乙应选择L2.。
高考数学大一轮复习 第九章 概率 9.1 随机事件的概率课时规范训练 文 北师大版
【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第九章概率 9.1 随机事件的概率课时规范训练文北师大版[A级基础演练]1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分别是0.2、0.2、0.3、0.3则下列说法正确的是( )A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件解析：由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．答案：D2．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15B.25C.35D.45解析：将同色小球编号．从袋中任取两球，所有基本事件为：(红，白1)，(红，白2)，(红，黑1)，(红，黑2)，(红，黑3)，(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白1，黑3)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(白2，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，共有15个基本事件，而一白一黑的共有6个基本事件，P＝615＝25.故选B.答案：B3．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为( )A．0.3 B．0.5C．0.8 D．0.7解析：由互斥事件概率公式知重量大于40克的概念为1－0.3－0.5＝0.2，又∵0.5＋0.2＝0.7，∴重量不小于30克的概率为0.7.答案：D4．(1)某人投篮3次，其中投中4次是________事件； (2)抛掷一枚硬币，其落地时正面朝上是________事件； (3)三角形的内角和为180°是________事件． 解析：(1)共投篮3次，不可能投中4次； (2)硬币落地时正面和反面朝上都有可能； (3)三角形的内角和等于180°. 答案：(1)不可能 (2)随机 (3)必然5．从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率P (A ∪B )＝________(结果用最简分数表示)．解析：一副扑克中有1张红桃K,13张黑桃，事件A 与事件B 为互斥事件，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝152＋1352＝726.答案：7266．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.答案：19287．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P (A 1)＝15100＝320，P (A 2)＝30100＝310， P (A 3)＝25100＝14. 因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件，所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝320＋310＋14＝710. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.8．如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人， 故由调查结果得频率为：(3)121212择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，P (A 1)＞P (A 2)，∴甲应选择L 1.同理，P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P (B 1)＜P (B 2)，∴乙应选择L 2.[B 级 能力突破]1．(2016·黄冈模拟)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10，则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )A ．0.40B ．0.30C ．0.60D ．0.90解析：依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.答案：A2．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( )A ．0.45B ．0.67C ．0.64D ．0.32解析：P (摸出黑球)＝1－0.45－0.23＝0.32. 答案：D3．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.78解析：4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝78.答案：D4．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析：从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数的种数为6，其中一个数是另一个数的两倍的数对为1,2和2,4.故符合条件的概率为26＝13.答案：135．从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布表如下：解析：由表中可知这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数为：20－1－2－3＝14.故约占苹果总数的1420＝0.70，即70%.答案：706．(2016·孝感模拟)已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．解析：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与取2粒黑子的概率的和，即为17＋1235＝1735.答案：17357．在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率； (2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率．解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A ，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B .从六种中随机选两种共有(0,1)、(0,2)、(0,3)、(0,4)、(0,5)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)，15种．(1)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的取法有2种：(0,4)、(1,3)，故P (A )＝215.(2)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于1”的取法有1种：(0,1)；“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于2”的取法有1种：(0,2)，故P (B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋115＝1315.。
高三数学一轮复习 随机事件的概率课件 北师大版
解答：(1)由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不 可能事件． (2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是 黑球”是随机事件． (3) 由 于 口 袋 内 装 的 是 黑 、 白 两 种 颜 色 的 球 ， 故 取 出 一 个 球 不 是 黑 球 ， 就 是 白 球．因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件．
【例3】国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：
命中环数 10环 9环 8环 7环 概 率 0.32 0.28 0.18 0.12
求该射击队员射击一次 (1)射中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率． 思维点拨：该射击队员在一次射击中，命中几环不可能同时发生，故是彼 此互斥事件，利用互斥事件概率的公式求其概率．另外，当直接求解不容 易时，可先求其对立事件的概率．
3．需准确理解题意，特别留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”等语 句的含义.
(2009·全国Ⅱ)(本题满分12分)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组 有10名工人，其中有6名女工人，现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机 抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核． (1)求从甲、乙两组各抽取的人数； (2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； (3)求抽取4名工人中恰有2名男工人的概率.
10.4 随机事件的概率
(了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义， 了解频率与概率的区别/了解互斥事件、对立事件的意义及其概率 运算公式．)
1．必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件． 2．不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，
高考数学一轮复习第9章概率第1讲随机事件的概率课件文北师大版
1．辨明两个易误点 (1)易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而 概率是一个常数． (2)对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件 不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
王的混合后的扑克牌(52 张)中，随机抽取 1 张，事件 A黑桃”，则概率 P(A∪B)＝
7
___2_6____(结果用最简分数表示)．
解析：因为 P(A)＝ 1 ，P(B)＝13，且 A 与 B 是互斥事件．所
52
52
以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝ 1 ＋13＝14＝ 7 . 52 52 52 26
(和事件) _____，则称此事件为事件A与
事件B的并事件(或和事件)
符号表示
B⊇A
________ (或__A_⊆_B____)
A＝B
________
A∪B
________ (或A＋B)
定义
若某事件发生 交事件 _当_且__仅_当__事_件_A_发__生_且__事_件__B_发_生_______
考点一 随机事件的关系
一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 表 示向上的一面出现奇数点，事件 B 表示向上的一面出现的点 数不超过 3，事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4， 则( D ) A．A 与 B 是互斥而非对立事件
2.概率与频率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否 出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的
【高考领航】高考数学总复习 101 随机事件的概率课件 北师大
2．某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示：
年降水量(单 [100,150) [150,200) [200,250) [250,300)
位：mm)
概率
0.12
0.25
0.16
0.14
(1)求年降水量在[100,200) (mm)范围内的概率；
(2)求年降水量在[150,300) (mm)范围内的概率．
第一节 随机事件的概率
目标定位
学习指向
1.了解随机事件发生的不确定 性和频率的稳定性． 2.了解概率的意义，了解频率 与概率的区别． 3.了解两个互斥事件的概率加 法公式.
1.多以选择题或填空题的形式直接 考查互斥事件的概率及运算，而 随机事件的有关概念和频率很少 直接考查． 2.互斥事件、对立事件发生的概率 问题有时也会出现在解答题中， 多为应用问题.
2．若我们用 A 表示事件 A 发生，则事件 A 没有发生称为事件 A 的 对立事件 ，记作 A ，P( A )＝ 1－P(A) ．
3．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： 0≤P(A)≤1 . (2)必然事件的概率 P(E)＝ 1 . (3)不可能事件的概率 P(F)＝ 0 .
4．若事件 A 是必然事件，事件 B 是不可能事件，则事件 A 与
考点三 互斥事件与对立事件的概率
某服务电话，打进的电话响第 1 声时被接的概率是 0.1；响 第 2 声时被接的概率是 0.2；响第 3 声时被接的概率是 0.3；响第 4 声时被接的概率是 0.35.
(1)打进的电话在响 5 声之前被接的概率是多少？ (2)打进的电话响 4 声而不被接的概率是多少？ 【思路点拨】 (1)可用互斥事件加法公式求解． (2)可用对立事件概率公式求解．
高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第4讲随机事件的概率知能训练轻松闯关理北师大版
【2019最新】精选高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第4讲随机事件的概率知能训练轻松闯关理北师大版1．设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为( ) A．两个任意事件B．互斥事件C．非互斥事件D．对立事件解析：选B.因为P(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件．故选B.2．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30，40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为( )A．0.3 B．0.5C．0.8 D．0.7解析：选D.由互斥事件概率加法公式知，重量大于40克的概率为1－0.3－0.5＝0.2.又因为0.5＋0.2＝0.7，所以重量不小于30克的概率为0.7.3．从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是( )A. B.310C. D.35解析：选C.“取出的2个球全是红球”记为事件A，则P(A)＝.因为“取出的2个球不全是红球”为事件A的对立事件，所以其概率为P(A)＝1－P(A)＝1－＝.4．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是( ) A. B.23C. D.13解析：选A.乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为＋＝. 5．(2016·中山模拟)从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数，上述事件中，是对立事件的是( )A．①B．②④C．③D．①③解析：选C.从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，有三种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数．其中至少有一个是奇数包含一奇一偶，两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件，而①中的事件可能同时发生，不是对立事件，故选C.6．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A. B.1235C. D．1解析：选C.设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.7．某城市2015年的空气质量状况如表所示：其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2015年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2015年空气质量达到良或优的概率为P＝＋＋＝.答案：358．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．解析：设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C ＝∅，B∩D＝∅.故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝∅，B∪D ＝I，故B与D互为对立事件．答案：A与B、A与C、B与C、B与D B与D9．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有________个．解析：摸到黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n个，则＝，故n＝15.答案：1510．某次知识竞赛规则如下：主办方预设3个问题，选手能正确回答出这3个问题，即可晋级下一轮．假设某选手回答正确的个数为0，1，2的概率分别是0.1，0.2，0.3，则该选手晋级下一轮的概率为________．解析：记“答对0个问题”为事件A，“答对1个问题”为事件B，“答对2个问题”为事件C，这3个事件彼此互斥，“答对3个问题(即晋级下一轮)”为事件D，则“不能晋级下一轮”为事件D的对立事件，显然P()＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，故P(D)＝1－P()＝1－0.6＝0.4.答案：0.411．对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：(1)求次品出现的频率(次品率)；(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？解：(1)次品率依次为0，0.02，0.06，0.054，0.045，0.05，0.05.(2)由(1)知，出现次品的频率在0.05附近摆动，故P(A)＝0.05.(3)设进衬衣x件，则x(1－0.05)≥1 000，解得x≥1 053，故至少需进货1 053件．12．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56，所以x＝0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z＝1，所以z＝0.04.由派出医生最少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋0.04＝0.44，所以y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.。
高考数学一轮复习第九章概率统计与统计案例第一节随机事件的概率课件文北师大版
(3)某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开 奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个．设 1 张奖券中特等奖、一等 奖、二等奖的事件分别为 A，B，C.求： ①P(A)，P(B)，P(C)； ②1 张奖券的中奖概率； ③1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
求概率为13.
②由题目中的天数得出频率，如下：
包裹件数范围 0～100 101～200 201～300 301～400 401～500
包裹件数(近似处理) 50
150
250
350
450
天数
6
6
30
12
6
频率
0.1
0.1
0.5
0.2
0.1
若不裁员，则每天可揽件的上限为 450 件，公司每日揽件数情况如下：
[解析] ①P(A)＝1 0100，P(B)＝1 10000＝1010， P(C)＝1 50000＝210. ②因为事件 A，B，C 两两互斥，所以 P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1 0100＋1100 ＋210＝1 60100. 故 1 张奖券的中奖概率为1 60100. ③P(A－＋B－)＝1－P(A＋B)＝1－(1 0100＋1010)＝1908090.
nA ＝___n____为事件 A 出现的频率． (2)概率：对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A) 稳定在某个常数上，把这个常数记作__P_(_A_)__，称为事件 A 的概率．
3．事件的关系与运算
名称
条件
结论
符号表示
包含关系
A 发生⇒B 发生
事件 B_包__含___事件 A(事件 A包__含___于_事件 B)
2015届高考数学(文)一轮复习备考学案第9章第1节《随机事件的概率》(北师大版)
第一节随机事件的概率对应学生用书P1461．概率(1)在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．我们把这个常数叫做随机事件A的概率，记作P(A)．(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．(3)概率的几个基本性质①概率的取值范围：0≤P(A)≤1.②必然事件的概率：P(A)＝1.③不可能事件的概率：P(A)＝0.④概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．⑤对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．2．互斥事件和对立事件1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．2．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．[试一试]1．甲：A 1，A 2是互斥事件；乙：A 1，A 2是对立事件，那么( ) A ．甲是乙的充分但不必要条件 B ．甲是乙的必要但不充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：选B 两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立．2．在2013年全国运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )A.310 B.58 C.710D.25解析：选A 从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P ＝310.利用集合方法判断互斥事件与对立事件1．由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．2．事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．[练一练]1．(2014·赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( ) A.18 B.38 C.58D.78解析：选D 至少一次正面朝上的对立事件的概率为18，故P ＝1－18＝78.2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有1个白球，都是白球 B ．至少有1个白球，至少有1个红球 C ．恰有1个白球，恰有2个白球 D ．至少有1个白球，都是红球解析：选C 结合互斥事件和对立事件的定义知，对于C 中恰有1个白球，即1白1红，与恰有2只白球是互斥事件，但不是对立事件，因为还有2只都是红球的情况，故选C.对应学生用书P1471．(2013·泉州一模)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件解析：选D由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()A．至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡解析：选A至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.3．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则()A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件解析：选D根据互斥事件与对立事件的意义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥但不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件．[类题通法]判断事件关系时的注意事项(1)利用集合观点判断事件关系(2)可以写出所有试验结果，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所求事件的关系．[典例] (2013·广州模拟)将一枚骰子先后抛掷两次，观察向上的点数． (1)求点数之积是4的概率；(2)设a ，b 分别是将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数，求式子2a －b ＝1成立的概率．[解] 将一枚骰子先后抛掷两次，向上的点数共有36种不同的结果．(1)将一枚骰子先后抛掷两次，向上的点数分别记为a ，b ，点数之积是4对应以下3种情况：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. 因此，点数之积是4的概率为P 1＝336＝112.(2)由2a －b ＝1得2a －b ＝20，∴a －b ＝0，∴a ＝b .而将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数相等对应以下6种情况：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝6. 因此，式子2a －b ＝1成立的概率为P 2＝636＝16.在本例条件不变的情况下求：(1)在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率；(2)两颗骰子向上的点数均大于等于4的概率.解：(1)由题意可知，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为55＋4＋3＋2＋1＝13.(2)此事件对应(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)9种情况，∴P ＝936＝14. [类题通法]求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有： (1)列举法，(2)列表法，(3)利用树状图列举． [针对训练](2013·江苏高考)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．解析：基本事件总数为N ＝7×9＝63，其中m ，n 都为奇数的事件个数为M ＝4×5＝20，所以所求概率P ＝M N ＝2063.答案：2063[典例] (2014·唐山统考)已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为( )A.16，16 B.12，23 C.16，23D.23，12[解析] “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为1－12－13＝16.设“甲不输”为事件A ，则A 可看做是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P (A )＝16＋12＝23.(或设“甲不输”为事件A ，则A 可看做是“乙胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23)[答案] C [类题通法]求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A )，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．[针对训练](2013·北京东城模拟)有编号为1,2,3的三个白球，编号4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球．(1)求取得的两个球颜色相同的概率； (2)求取得的两个球颜色不相同的概率． 解：从六个球中取出两个球的基本事件是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共计15个．(1)记事件A 为“取出的两个球是白球”，则这个事件包含的基本事件是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个，故P (A )＝315＝15；记“取出的两个球是黑球”为事件B ，同理可得P (B )＝15.记事件C 为“取出的两个球的颜色相同”，A ，B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝25.(2)记事件D 为“取出的两个球的颜色不相同”，则事件C ，D 对立，根据对立事件概率之间的关系，得P (D )＝1－P (C )＝1－25＝35.对应学生用书P148[课堂练通考点]1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17 B.1235 C.1735D ．1解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.2．(2013·昆明调研)从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是( )A.110 B.310 C.710D.35解析：选C “取出的2个球全是红球”记为事件A ，则P (A )＝310.因为“取出的2个球不全是红球”为事件A 的对立事件，所以其概率为P (A )＝1－P (A )＝1－310＝710.3．(2013·黄冈一模)设集合A ＝B ＝{1,2,3,4,5,6}，分别从集合A 和B 中随机取数x 和y ，确定平面上的一个点P (x ，y )，我们记“点P (x ，y )满足条件x 2＋y 2≤16”为事件C ，则C 的概率为( )A.29B.112C.16D.12解析：选A 分别从集合A 和B 中随机取数x 和y ，得到(x ，y )的可能结果有36种情况，满足x 2＋y 2≤16的(x ，y )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)这8种情况，故所求概率为P (C )＝836＝29，故选A.4．(2014·潍坊模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m ”为事件A ，则P (A )最大时，m ＝________.解析：m 可能取到的值有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，对应的基本事件个数依次为1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，∴两次向上的数字之和等于7对应的事件发生的概率最大．答案：75．(2014·绍兴调研)黄种人人群中各种血型的人所占的比例见下表：已知同种血型的人可以互相输血，O 型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B 型血，若他因病需要输血，问(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)对任一人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血分别记为事件A ′，B ′，C ′，D ′，它们是互斥的．由已知，有P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35.因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B ′∪D ′，根据概率加法公式，得P (B ′∪D ′)＝P (B ′)＋P (D ′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A ′∪C ′，且P (A ′∪C ′)＝P (A ′)＋P (C ′)＝0.28＋0.08＝0.36.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．从1,2,3,4,5中随机抽三个不同的数，则其和为奇数的概率为( ) A.15 B.25 C.35D.45解析：选B 从1,2,3,4,5中随机抽三个不同的数共有(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5)共10种情况，其中(1,2,4)、(1,3,5)、(2,3,4)、(2,4,5)中三个数字和为奇数，所以概率为25.2．甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0,5,10三个数字，每人则可喊0,5,10,15,20五个数字，当两人所出数字之和等于某人所喊数字时喊该数字者获胜，若甲喊10，乙喊15时，则( )A ．甲胜的概率大B ．乙胜的概率大C ．甲、乙胜的概率一样大D ．不能确定谁获胜的概率大解析：选A 甲、乙两人喊拳，每人用手出0,5,10三个数字，有(0,0)，(0,5)，(0,10)，(5,0)，(5,5)，(5,10)，(10,0)，(10,5)，(10,10)，共9种情况．若甲喊10，则有(0,10)，(5,5)，(10,0)，共3种情况获胜，所以甲胜的概率为13；乙喊15时，有(5,10)，(10,5)，共2种情况获胜，所以乙胜的概率为29.所以甲胜的概率大．3．连续抛掷两颗骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角记为α，则α∈⎝⎛⎭⎫0，π4的概率为( ) A.518 B.512 C.12D.712解析：选B 依题意得a ＝(m ，n )共有36种情况，其中与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝⎛⎭⎫0，π4需满足nm ＜1，即m ＞n ，则有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(5,4)，(6,4)，(6,5)，共15种情况．所以所求概率为1536＝512.4．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为W ，从W 中随机取点M (x ，y )．若x ∈Z ，y ∈Z ，则点M 位于第二象限的概率为( )A.16 B.13 C ．1－π12D ．1－π6解析：选A 画出平面区域，列出平面区域内的整数点如下：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12个，其中位于第二象限的有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以所求概率P ＝16.5．(2014·安庆一模)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设两条直线l 1：ax ＋by ＝2与l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，则点P (36P 1,36P 2)与圆C ：x 2＋y 2＝1 098的位置关系是( )A ．点P 在圆C 上B ．点P 在圆C 外 C ．点P 在圆C 内D ．不能确定解析：选C 易知当且仅当a b ≠12时两条直线相交，而a b ＝12的情况有三种：a ＝1，b ＝2，此时两直线重合；a ＝2，b ＝4，此时两直线平行；a ＝3，b ＝6，此时两直线平行，而投掷两次的所有情况有36种，所以两条直线平行的概率P 1＝236＝118.两条直线相交的概率P 2＝1－336＝1112，∴点P (2,33)，点P 与圆心(0,0)的距离为4＋1 089＝ 1 093＜ 1 098，故点P 在圆C 内． 6．某城市2013年的空气质量状况如下表所示：T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2013年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2013年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.答案：357．(2013·北京海淀区期末)一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有1个红球的概率为________．解析：“从中任取5个球，至少有1个红球”是必然事件，必然事件发生的概率为1. 答案：18．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．解析：由题意知“出现奇数点”的概率是事件A 的概率，“出现2点”的概率是事件B 的概率，事件A ，B 互斥，则“出现奇数点或2点”的概率为P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.答案：239．从装有编号分别为a ，b 的2个黄球和编号分别为c ，d 的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：(1)第一次摸到黄球的概率； (2)第二次摸到黄球的概率．解：(1)第一次摸球有4种可能的结果：a ，b ，c ，d ，其中第一次摸到黄球的结果包括：a ，b ，故第一次摸到黄球的概率是24＝0.5.(2)先后两次摸球有12种可能的结果：(a ，b )、(a ，c )、(a ，d )、(b ，a )、(b ，c )、(b ，d )、(c ，a )、(c ，b )、(c ，d )、(d ，a )、(d ，b )、(d ，c )，其中第二次摸到黄球的结果有6种：(a ，b )、(b ，a )、(c ，a )、(c ，b )、(d ，a )、(d ，b )．故第二次摸到黄球的概率为612＝0.5. 10．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛．(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率； (2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率．解：基本事件空间包含的可能结果有：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6个．(1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，事件A 包含的可能结果有：甲乙丙，乙甲丙，共2个，则P (A )＝26＝13.所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为13.(2)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B ，事件B 包含的可能结果有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲，共4个，则P (B )＝46＝23.所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为23.第Ⅱ组：重点选做题1．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为( )A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4解析：选D P (a ，b )的个数为6个．落在直线x ＋y ＝2上的概率P (C 2)＝16，若在直线x ＋y ＝3上的概率P (C 3)＝26，落在直线x＋y ＝4上的概率P (C 4)＝26，落在直线x ＋y ＝5上的概率P (C 5)＝16.2．(2013·南昌模拟)三张卡片上分别写有字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．解析：记写有字母E 的两张卡片分别为E 1，E 2，则三张卡片随机排成一行的所有可能情况为，，，共6种，其中三张卡片恰好排成英文单词BEE 的事件个数为2，故所求的概率P ＝26＝13.答案：13。
高考数学一轮复习 必考部分 第十篇 概率 第1节 随机事件的概率应用能力提升 文 北师大版
第十篇概率(必修3)第1节随机事件的概率知识点、方法题号概率与频率3,9,10事件及其关系1,2互斥事件及对立事件的概率4,5,6,7,8,14综合应用11,121.(2015重庆期末)下列事件是随机事件的是( D )(1)连续两次掷一枚硬币,两次都出现正面向上(2)异性电荷相互吸引(3)在标准大气压下,水在1℃时结冰(4)任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数(A)(1)(2) (B)(2)(3) (C)(3)(4) (D)(1)(4)解析:(1)是随机事件;(2)是必然事件;(3)是不可能事件;(4)是随机事件.2.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,事件“至少1名女生”与事件“全是男生”( C )(A)是互斥事件,不是对立事件(B)是对立事件,不是互斥事件(C)既是互斥事件,也是对立事件(D)既不是互斥事件也不是对立事件解析:“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两个女生”两种情况,这两种情况再加上“全是男生”构成全集,且不能同时发生,互为对立事件.3.给出下面三个命题:①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是错误!未找到引用源。
;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中真命题的个数为( A )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①由概率的概念知,从中任取100件,可能有10件次品,并不是必有10件次品,故①是假命题.②抛硬币时出现正面的概率是错误!未找到引用源。
,不是错误!未找到引用源。
,故②是假命题.③频率和概率不是一回事,故③是假命题.4.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是错误!未找到引用源。
,那么概率是错误!未找到引用源。
的事件是( A )(A)至多有一张移动卡 (B)恰有一张移动卡(C)都不是移动卡 (D)至少有一张移动卡解析:因为事件“2张全是移动卡”的概率是错误!未找到引用源。
高考数学统考一轮复习 第九章 概率、统计与统计案例 第二节 古典概型(教师文档)教案 文 北师大版
学习资料第二节 古典概型授课提示：对应学生用书第172页[基础梳理]1．基本事件的特点(1）任何两个基本事件是互斥的． (2)任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．2．古典概型（1）定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型． ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．②每个基本事件出现的可能性相等．（2)计算公式：P (A )＝错误!.(3）如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是错误!；如果某个事件A 包括的结果有m 个,那么事件A 的概率P （A ）＝错误!。
［四基自测］1．(基础点：与数字有关的古典概型）一个盒子里装有标号为1，2,3，4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是（ ）A.错误! B 。
错误!C 。
错误! D.错误!答案：D2．(基础点：与数字有关的古典概型)从1，2，3，4这四个数字中任取两个数,这两个数恰为一奇一偶的概率是( ）A.错误!B.错误!C.错误! D 。
错误!答案：D3．（基础点：与所取元素有关的古典概型）盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率为________．答案：错误!4．(基础点:与分配有关的古典概型)现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为________．答案：错误!授课提示:对应学生用书第172页考点一 古典概型的简单应用挖掘 基本事件的确定/ 自主练透［例］ （1)（2019·高考全国卷Ⅱ）生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( ) A.23B 。
错误!C 。
错误! D.错误!［解析］ 记5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2,则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3),(a 1,a 2，b 1)，（a 1,a 2，b 2），(a 1，a 3，b 1）,(a 1,a 3，b 2），（a 1，b 1,b 2)，(a 2，a 3，b 1），(a 2，a 3，b 2),（a 2，b 1，b 2),(a 3,b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1,a 2，b 1)，（a 1，a 2，b 2）,(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2),(a 2,a 3，b 1），（a 2，a 3,b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为错误!＝错误!.故选B.[答案] B(2）(2019·高考全国卷Ⅲ）两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是（ ）A 。
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【2019最新】精选高考数学一轮复习第9章概率第1讲随机事件的概率
知能训练轻松闯关文北师大版
1．设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为( )
B．互斥事件
A．两个任意事件
D．对立事件
C．非互斥事件解析：选B.因为P(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事
件．故选B. 2．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30，40]
克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为( )
A．0.3
B．0.5
D．0.7
C．0.8
解析：选D.由互斥事件概率加法公式知，
重量大于40克的概率为1－0.3－0.5＝0.2.
又因为0.5＋0.2＝0.7，
所以重量不小于30克的概率为0.7. 3．从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是
( )
A. B.3
10
C. D.3
5解析：选C.“取出的2个球全是红球”记为事件A，则P(A)＝.因为“取出的2个球不全是红球”为事件A的对立事件，所以其概率为P(A)＝1－P(A)＝1－＝. 4．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是( )
A. B.2
3
C. D.1
3解析：选A.乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为＋＝. 5．(2016·中山模拟)从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数，上述事件中，是对立
事件的是( )
B．②④
A．①
D．①③
C．③解析：选C.从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，有三种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数．其中至少有一个是奇数包含一奇一偶，两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件，而①中的事件可能同时发生，不是对立事件，故选C.
6．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子
的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
B.12
A.
35
C.
D．1
解析：选C.设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.
100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2015年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2015年空气质量达到良或优的概率为
P＝＋＋＝.
答案：3
5
8．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．
解析：设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C ＝∅，B∩D＝∅.故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝∅，B∪D ＝I，故B与D互为对立事件．
答案：A与B、A与C、B与C、B与D B与D
9．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有________个．
解析：摸到黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n个，则＝，故n＝15.
答案：15
10．某次知识竞赛规则如下：主办方预设3个问题，选手能正确回答出这3个问题，即可晋级下一轮．假设某选手回答正确
的个数为0，1，2的概率分别是0.1，0.2，0.3，则该选手晋级下一轮的概率为________．
解析：记“答对0个问题”为事件A，“答对1个问题”为事件B，“答对2个问题”为事件C，这3个事件彼此互斥，“答对3个问题(即晋级下一轮)”为事件D，则“不能晋级下一轮”为事件D的对立事件，显然P()＝P(A∪B∪C)＝P (A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，故P(D)＝1－P()＝1－0.6＝0.4.
答案：0.4
11．对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：
(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；
(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？解：(1)次品率依次为0，0.02，0.06，0.054，0.045，0.05，0.05.
(2)由(1)知，出现次品的频率在0.05附近摆动，
故P(A)＝0.05.
(3)设进衬衣x件，
则x(1－0.05)≥1 000，
解得x≥1 053，
故至少需进货1 053件．
12
(1)
(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，
得0.1＋0.16＋x＝0.56，所以x＝0.3.
(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，
得0.96＋z＝1，所以z＝0.04.
由派出医生最少3人的概率为0.44，
得y＋0.2＋0.04＝0.44，
所以y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.。