高中数学人教A版必修一 第三章 函数的应用 单元检测 (6)

章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝1log 0.5(2x ＋1)，则函数f (x )的定义域为( )【导学号：97030124】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．(0，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0 【解析】 要使函数有意义，只需⎩⎨⎧2x ＋1＞0，log 0.5(2x ＋1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－12，2x ＋1＜1，解得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜0.故选C.【答案】 C2．已知函数t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 100的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(小时)表示达到打字水平N (字/分钟)所需的学习时间，N 表示打字速度(字/分)，则按此曲线要达到90字/分钟的水平，所需的学习时间是( )A ．144小时B ．90小时C ．60小时D ．40小时【解析】 t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 100＝－144lg 110＝144.【答案】 A3．下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是( ) A ．y ＝2x 2－x ＋3 B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13xC ．y ＝x 23D ．y ＝log 12x【解析】 ∵y ＝2x 2－x ＋3的对称轴x ＝14，∴在区间(0,1)上不是增函数，故A 错；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 及y ＝log 12x 为减函数，故B ，D 错；y ＝x 23中，指数23>0，在[0，＋∞)上单调递增，故C 正确．【答案】 C4．如图1为函数y ＝m ＋log n x 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的是( )图1A ．m <0，n >1B ．m >0，n >1C ．m >0,0<n <1D ．m <0,0<n <1【解析】 当x ＝1时，y ＝m ，由图形易知m<0，又函数是减函数，所以0<n <1. 【答案】 D5．已知f (x )＝a －x (a ＞0且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a >1 C ．a <1D ．0<a <1【解析】 ∵f (－2)＞f (－3)，∴f (x )＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x是增函数，∴1a ＞1，∴0＜a＜1，则a 的取值范围是0＜a ＜1，故选D.【答案】 D6．(2015·山东高考)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c<bC ．b <a <cD ．b <c<a【解析】 因为函数y ＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b<a<1.因为函数y＝x0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c>1.综上，b<a<c.【答案】C7．已知函数f(x)＝lg (1－x)的值域为(－∞，1]，则函数f(x)的定义域为() A．[－9，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－9,1) D．[－9,1)【解析】因为函数f(x)＝lg (1－x)的值域为(－∞，1]，所以lg (1－x)≤1，即0<1－x≤10，解得－9≤x<1，所以函数f(x)的定义域为[－9,1)．【答案】D8．已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝a x(a＞0且a≠1)，且f(log 1 24)＝－3，则a的值为()A.3B．3C．9 D.3 2【解析】∵f(log 124)＝f⎝⎛⎭⎪⎫log214＝f(－2)＝－f(2)＝－a2＝－3，∴a2＝3，解得a＝±3，又a＞0，∴a＝ 3.【答案】A9．已知f(x)＝a x，g(x)＝log a x(a>0且a≠1)，若f(3)·g(3)<0，则f(x)与g(x)在同一坐标系里的图象是()【解析】∵a>0且a≠1，∴f(3)＝a3>0，又f(3)·g(3)<0，∴g(3)＝log a3<0，∴0<a<1，∴f(x)＝a x在R上是减函数，g(x)＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，故选C.【答案】 C10．设偶函数f(x)＝log a|x＋b|在(0，＋∞)上具有单调性，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为()A．f(b－2)＝f(a＋1)B ．f (b －2)>f (a ＋1)C ．f (b －2)<f (a ＋1)D ．不能确定【解析】 ∵函数f (x )是偶函数，∴b ＝0，此时f (x )＝log a |x |.当a >1时，函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上是增函数，∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b －2)；当0<a <1时，函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上是减函数，∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b －2)．综上可知f (b －2)<f (a ＋1)．【答案】 C11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 【解析】 由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，(a －2)×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138，选B .【答案】 B12．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．0＜a ＜1 B ．0＜a ＜2，a ≠1 C ．1＜a ＜2D ．a ≥2【解析】 令g (x )＝x 2－ax ＋1(a ＞0，且a ≠1)，①当a ＞1时，g (x )在R 上单调递增，∴Δ＜0，∴1＜a ＜2；②当0＜a ＜1时，g (x )＝x 2－ax ＋1没有最大值，从而函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)没有最小值，不符合题意．综上所述：1＜a ＜2.故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则用a ，b 表示log 125的值为________． 【解析】 ∵lg 2＝a ，lg 3＝b ，∴log 125＝lg 5lg 12＝1－lg 22lg 2＋lg 3＝1－a 2a ＋b .【答案】 1－a2a ＋b14．方程log 2(9x －1－5)＝log 2(3x －1－2)＋2的解为________．【解析】 依题意log 2(9x －1－5)＝log 2(4·3x －1－8)，所以9x －1－5＝4·3x －1－8， 令3x －1＝t (t >0)，则t 2－4t ＋3＝0，解得t ＝1或t ＝3，当t ＝1时，3x －1＝1，所以x ＝1，而91－1－5<0，所以x ＝1不合题意，舍去； 当t ＝3时，3x －1＝3，所以x ＝2,92－1－5＝4>0,32－1－2＝1>0，所以x ＝2满足条件．所以x ＝2是原方程的解． 【答案】 215．已知当x ＞0时，函数f (x )＝(2a －1)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞0，且a ≠12的值总大于1，则函数y ＝a 2x －x 2的单调增区间是________. 【导学号：97030126】【解析】 由题意知：2a －1＞1，解得a ＞1，设t ＝2x －x 2，则函数y ＝a t 为增函数，∵函数t ＝2x －x 2的增区间为(－∞，1)，∴函数y ＝a 2x －x 2的单调增区间是(－∞，1)．【答案】 (－∞，1)(或(－∞，1]) 16．给出下列结论：①4(－2)4＝±2； ②y ＝x 2＋1，x ∈[－1,2]，y 的值域是[2,5]； ③幂函数图象一定不过第四象限；④函数f (x )＝a x ＋1－2(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(－1，－1)； ⑤若ln a ＜1成立，则a 的取值范围是(－∞，e )． 其中正确的序号是________．【解析】 ①4(－2)4＝2，因此不正确；②y ＝x 2＋1，x ∈[－1,2]，y 的值域是[1,5]，因此不正确；③幂函数图象一定不过第四象限，正确；④当x ＝－1时，f (－1)＝a 0－2＝－1，∴函数f (x )＝a x ＋1－2(a ＞0，a ≠1)的图象过定点(－1，－1)，正确；⑤若l n a ＜1成立，则a 的取值范围是(0，e)，因此不正确．综上所述：只有③④正确．【答案】 ③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求值： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2； (2)log 2512·log 45－log 133－log 24＋5log 52. 【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝32－1－49＋49＝12.(2)log 2512·log 45－log 133－log 24＋5log 52＝－14＋1－2＋2＝34.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a 2x ＋2a x －1(a ＞1，且a 为常数)在区间[－1,1]上的最大值为14.(1)求f (x )的表达式；(2)求满足f (x )＝7时，x 的值．【解】 (1)令t ＝a x ＞0.∵x ∈[－1,1]，a ＞1，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，f (x )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，故当t ＝a 时，函数f (x )取得最大值为a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3，∴f (x )＝32x ＋2×3x －1.(2)由f (x )＝7，可得32x ＋2×3x －1＝7，即(3x ＋4)·(3x －2)＝0，求得3x ＝2，∴x ＝log 32.19．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .图2(1)画出函数f (x )的图象；(2)根据图象写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域．【解】 (1)先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图象．(2)函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)．(1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f (x )≥g (x )中x 的取值范围． 【解】 (1)由⎩⎨⎧x －1＞0，3－x ＞0，得1＜x ＜3.∴函数h (x )的定义域为(1,3)． (2)不等式f (x )≥g (x )，即为log a (x －1)≥log a (3－x )．(*)①当0＜a ＜1时，不等式(*)等价于⎩⎨⎧1＜x ＜3，x －1≤3－x ，解得1＜x ≤2.②当a ＞1时，不等式(*)等价于⎩⎨⎧1＜x ＜3，x －1≥3－x ，解得2≤x ＜3.综上，当0＜a ＜1时，原不等式解集为(1,2]； 当a ＞1时，原不等式解集为[2,3)．21．(本小题满分12分)若函数y ＝f (x )＝a ·3x －1－a3x －1为奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域．【解】 ∵函数y ＝f (x )＝a ·3x －1－a 3x－1＝a －13x －1， (1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0， 即2a －13x－1－13－x －1＝0，∴a ＝－12. (2)∵y ＝－12－13x －1，∴3x －1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－13x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)∵x ≠0，∴3x －1＞－1.∵3x －1≠0，∴0＞3x －1＞－1或3x －1＞0. ∴－12－13x －1＞12或－12－13x －1＜－12.即函数的值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y >12或y <－12. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x . (1)求证：f (x )是奇函数； (2)求证：f (x )＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ； (3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 1－ab ＝2，求f (a )，f (b )的值. 【导学号：02962019】 【解】 (1)证明：由函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ，可得1－x 1＋x >0，即x －11＋x <0，解得－1<x <1，故函数的定义域为(－1,1)，关于原点对称．再根据f (－x )＝lg 1＋x1－x＝－lg 1－x1＋x＝－f(x)，可得f(x)是奇函数．(2)证明：f(x)＋f(y)＝lg1－x1＋x＋lg1－y1＋y＝lg(1－x)(1－y)(1＋x)(1＋y)，而f⎝⎛⎭⎪⎫x＋y1＋xy＝lg1－x＋y1＋xy1＋x＋y1＋xy＝lg1＋xy－x－y1＋xy＋x＋y＝lg(1－x)(1－y)(1＋x)(1＋y)，∴f(x)＋f(y)＝f⎝⎛⎭⎪⎫x＋y1＋xy成立．(3)若f⎝⎛⎭⎪⎫a＋b1＋ab＝1，f⎝⎛⎭⎪⎫a－b1－ab＝2，则由(2)可得f(a)＋f(b)＝1，f(a)－f(b)＝2，解得f(a)＝32，f(b)＝－12.。