数学规划建模
数学建模线性规划与整数规划
数学建模线性规划与整数规划数学建模是一门将实际问题转化为数学问题，并利用数学方法解决的学科。
线性规划和整数规划是数学建模中常用的两种模型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将重点介绍线性规划和整数规划的概念、模型形式以及求解方法。
一、线性规划（Linear Programming）线性规划是一种在约束条件下求解线性目标函数最优解的数学模型，它的基本形式可以表示为：Min（或Max）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CₙXₙSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁ₙXₙ ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂ₙXₙ ≤ b₂...Aₙ₁X₁ + Aₙ₂X₂ + ... + AₙₙXₙ ≤ bₙX₁, X₂, ... , Xₙ ≥ 0在上述模型中，C₁,C₂,...,Cₙ为目标函数的系数，Aᵢₙ为不等式约束条件的系数，bᵢ为不等式约束条件的右端常数，X₁,X₂,...,Xₙ为决策变量。
线性规划的求解可以通过单纯形法或内点法等算法实现。
通过逐步优化决策变量的取值，可以得到满足约束条件并使目标函数达到最优的解。
二、整数规划（Integer Programming）整数规划是在线性规划基础上增加了决策变量必须取整的要求，其模型形式为：Min（或Max）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CₙXₙSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁ₙXₙ ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂ₙXₙ ≤ b₂...Aₙ₁X₁ + Aₙ₂X₂ + ... + AₙₙXₙ ≤ bₙX₁, X₂, ... , Xₙ ≥ 0X₁,X₂,...,Xₙ为整数整数规划在实际问题中常用于需要求解离散决策问题的情况，如装配线平衡、旅行商问题等。
然而，由于整数规划问题的整数约束，其求解难度大大增加。
求解整数规划问题的方法主要有分支定界法、割平面法、遗传算法等。
三维路径规划数学建模
三维路径规划数学建模
三维路径规划数学建模是指在三维空间中寻找一条最优路径的
过程。
这个问题涉及到三维空间中的点和障碍物，以及路径的长度、曲率等因素。
在进行数学建模之前，我们需要定义一些基本概念和符号：
- 三维空间中的点可以使用三维坐标表示，例如 (x, y, z)。
- 障碍物也可以使用几何体表示，如球体、立方体等。
- 路径可以看作是一系列连接在一起的点的集合，我们可以用点的坐标来表示路径。
数学建模的过程包括下面几个步骤：
1. 定义目标：
- 确定起点和终点的位置。
- 确定路径长度、曲率等目标函数。
2. 建立数学模型：
- 将三维空间划分为离散的网格。
- 根据障碍物的位置，在网格中标记障碍物的位置。
- 使用图论算法，如A*算法、Dijkstra算法等，在离散网格中搜索最优路径。
- 可以通过调整网格分辨率和障碍物的大小来平衡计算复杂度和路径的精确性。
3. 求解最优路径：
- 根据建立的数学模型，在离散网格中搜索最优路径。
- 可以通过动态规划、贪心算法等方法求解。
- 通过计算路径长度、曲率等目标函数，评价路径的优劣。
- 可以通过调整模型参数和算法来优化路径的求解过程。
4. 优化路径：
- 根据求解得到的最优路径，对路径进行优化。
- 可以使用插值算法，如Bezier曲线、样条插值等，使路径更加平滑。
- 可以根据实际应用需求，进一步优化路径的特性，如避免突然变化的曲率、尽量避开障碍物等。
以上是三维路径规划数学建模的基本过程，具体建模方法和算法选用可以根据实际问题和需求进行调整和优化。
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常用的数学建模方法，它通过建立线性函数和约束条件，寻找最优解。
线性规划可以应用于各种实际问题，如生产调度、资源分配、运输问题等。
通过确定决策变量、目标函数和约束条件，可以建立数学模型，并利用线性规划算法求解最优解。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量为整数。
整数规划模型常用于一些离散决策问题，如旅行商问题、装箱问题等。
通过引入整数变量和相应的约束条件，可以将问题转化为整数规划模型，并利用整数规划算法求解最优解。
三、非线性规划模型非线性规划是一类目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。
非线性规划模型常见于工程设计、经济优化等领域。
通过建立非线性函数和约束条件，可以将问题转化为非线性规划模型，并利用非线性规划算法求解最优解。
四、动态规划模型动态规划是一种通过将问题分解为子问题并以递归方式求解的数学建模方法。
动态规划常用于求解具有最优子结构性质的问题，如背包问题、最短路径问题等。
通过定义状态变量、状态转移方程和边界条件，可以建立动态规划模型，并利用动态规划算法求解最优解。
五、排队论模型排队论是一种研究队列系统的数学理论，可以用于描述和优化各种排队系统，如交通流、生产线、客户服务等。
排队论模型通常包括到达过程、服务过程、队列长度等要素，并通过概率和统计方法分析系统性能，如平均等待时间、系统利用率等。
六、图论模型图论是一种研究图结构和图算法的数学理论，可以用于描述和优化各种实际问题，如网络优化、路径规划、社交网络等。
图论模型通过定义节点、边和权重，以及相应的约束条件，可以建立图论模型，并利用图算法求解最优解。
七、随机模型随机模型是一种考虑不确定性因素的数学建模方法，常用于风险评估、金融建模等领域。
随机模型通过引入随机变量和概率分布，描述不确定性因素，并利用概率和统计方法分析系统行为和性能。
八、模糊模型模糊模型是一种用于处理模糊信息的数学建模方法，常用于模糊推理、模糊控制等领域。
数学建模第4讲线性规划
解 编写M文件xxgh1.m如下：
c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6];
A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08];
b=[850;700;100;900]; Aeq=[]; beq=[];
8 4 x1 8 3 x2 32 x1 24 x2
因检验员错检而造成的损失为：
(8 25 2% x1 8 15 5% x2 ) 2 8x1 12 x2
2024/8/3
数学建模
故目标函数为：
min z (32 x1 24 x2) (8x1 12 x2 ) 40 x1 36 x2
0 0 0 0.5 1.2 1.3];
b = [800; 900];
Aeq=[1 0 0 1 0 0
010010
0 0 1 0 0 1]; beq=[400 600 500];
To MATLAB (xxgh3)
vlb = zeros(6,1);
vub=[];
[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
解: 编写M文件xxgh2.m如下：
x1
min z (6
3
4)
x2
x3
s.t.
1
0
1 1
1 0
x1 x2 x3
120
50
30 0 20
x1 x2 x3
c=[6 3 4];
A=[0 1 0];
b=[50];
Aeq=[1 1 1];
beq=[120]; vlb=[30,0,20];
数学建模工作规划
一、背景与目的随着我国经济社会的快速发展，数学建模作为一种重要的研究方法，在各行各业中得到广泛应用。
为了提高数学建模能力，培养创新型人才，特制定本工作规划。
二、工作目标1. 提高数学建模理论水平，掌握常用数学建模方法。
2. 培养团队协作精神，提高数学建模实践能力。
3. 发表高质量数学建模论文，提升团队在国内外的影响力。
三、工作内容1. 学习与培训（1）深入学习数学建模理论，包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图论等。
（2）参加国内外数学建模竞赛，了解竞赛规则和评分标准。
（3）邀请专家学者进行讲座，拓宽知识面，提高研究能力。
2. 实践与项目（1）结合实际需求，开展数学建模项目研究，如城市规划、环境保护、交通运输等。
（2）针对具体问题，运用数学建模方法进行求解，提高解决实际问题的能力。
（3）总结经验，撰写数学建模论文，争取在国内外期刊发表。
3. 团队建设（1）选拔和培养团队成员，提高团队整体实力。
（2）加强团队内部沟通与协作，形成良好的团队氛围。
（3）定期组织团队活动，增进成员间的感情。
四、实施步骤1. 制定详细的学习计划，明确学习目标和进度。
2. 每月至少开展一次数学建模实践活动，提高团队实战能力。
3. 每季度组织一次团队交流活动，分享经验，共同进步。
4. 每年至少参加一次国内外数学建模竞赛，提升团队知名度。
5. 定期总结工作，对工作规划进行调整和优化。
五、保障措施1. 加强组织领导，明确责任分工。
2. 提供必要的经费和资源支持，为数学建模工作提供保障。
3. 定期对团队成员进行考核，激发团队活力。
4. 建立激励机制，鼓励团队成员积极参与数学建模工作。
通过本工作规划的制定与实施，我们相信能够提高团队的整体数学建模能力，为我国经济社会发展贡献一份力量。
数学建模(线性规划).
1）模型建立。
①决策变量。决策变量为每年年初向四个项目的投资 额，设第i(i=1,2,3,4,5)年年初向A,B,C,D(j=1,2,3,4) 四个项目的投资额为xij（万元）。 ②目标函数。设第五年年末拥有的资金本利总额为z， 为了方便，将所有可能的投资列于下表1.2
表1.3 三个货舱装载货物的最大容许量和体积
前舱 重量限制/t 10
中舱 16
后舱 8
体积限制/m3
6800
8700
5300
现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信息 如表1.4，最后一列指装运后获得的利润。
表1.4 四类装运货物的信息
货物1 货物2 货物3 货物4
质量/t 18 15 23 12
空间/(m3/t) 480 650 580 390
利润(元/t) 3100 3800 3500 2850
应如何安排装运，使该货机本次飞行利润最大？
1）模型假设。问题中没有对货物装运提出其他要 求，我们可做如下假设：
①每种货物可以分割到任意小； ②每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布； ③多种货物可以混装，并保证不留空隙。 2）模型建立。 ①决策变量：用xij表示第i种货物装入第j个货舱的重 量（吨），货舱j=1,2,3分别表示前舱、中舱、后舱。
年份
1 x11
2 x21 x23 x24
3 x31 x32 x34
4 x41
5
项目
投资限额/万 元
A B C D
年年末回收的本利之和，于是， 目标函数为 ③约束条件 z 1.15x41 1.25x32 1.40 x23 1.06 x54
数学建模-数学规划模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
数学建模-整数规划
整数规划
Integer Programming
数信学院 任俊峰
2012-4-15
数学建模之整数规划
整数规划模型（IP）
如果一个数学规划的某些决策变量或全部决策 变量要求必须取整数，则称这样的问题为整数规 划问题，其模型称为整数规划模型。 如果整数规划的目标函数和约束条件都是线性 的，则称此问题为整数线性规划问题.
松弛问题最优解满足整数要求，则该最优解为整数 规划最优解；
数学建模之整数规划
整数线性规划的求解方法
从数学模型上看整数规划似乎是线性规划的 一种特殊形式，求解只需在线性规划的基础上，通 过舍入取整，寻求满足整数要求的解即可。 但实际上两者却有很大的不同，通过舍入得到
的解（整数）也不一定就是最优解，有时甚至不能
1 xj 0
选中第j个项目投资 不 选中第j个项目投资
max Z 160 x 1 210 x 2 60 x 3 80 x 4 180 x 5 210 x 1 300 x 2 150 x 3 130 x 4 260 x 5 600 x x2 x3 1 1 x3 x4 1 x x 1 5 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0 或 1
1 2
14 x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x1 , x 2 0
数学建模之整数规划
用图解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有 z = 29/6 现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得到4 个点即(1，3) (2，3) (1，4) (2，4)。显然，它们都不可能 是整数规划的最优解。
数学建模之整数规划
例5 固定费用问题
数学建模中的整数规划与线性规划
数学建模中的整数规划与线性规划数学建模是指利用数学方法解决实际问题的过程，其中整数规划和线性规划是常用的数学建模技术。
本文将探讨数学建模中的整数规划和线性规划的基本原理、应用领域以及解决实际问题的方法。
一、整数规划整数规划是指在线性规划的基础上，将决策变量限制为整数的优化问题。
在实际问题中，有些变量只能取整数值，而不能取小数值。
整数规划的数学模型可以表示为：$max\{cx:Ax≤b,x\geq0,x为整数\}$其中，c是目标函数的系数向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的常数向量，x是决策变量。
整数规划的应用非常广泛，比如生产调度、资源配置、旅行商问题等。
整数规划不仅可以帮助企业进行生产计划，还可以优化物流配送路线，解决旅行商的最优路径问题等。
二、线性规划线性规划是指目标函数和约束条件均为线性关系的优化问题。
线性规划的数学模型可以表示为：$max\{cx:Ax≤b,x\geq0\}$线性规划在数学建模中是最常用的优化工具之一，广泛应用于生产计划、资源分配、投资组合等领域。
通过线性规划，可以找到目标函数在约束条件下的最优解，从而为决策提供科学依据。
三、整数规划与线性规划的联系整数规划是线性规划的一个特例，即当决策变量限制为整数时，线性规划就变成了整数规划。
因此，整数规划可以通过线性规划来求解，但是整数规划的求解难度要高于线性规划。
在实际问题中，有时候整数规划难以求解，此时可以采用线性规划来近似求解。
例如，可以将决策变量限制为小数，然后通过计算得到的解来指导实际决策。
当然，这种近似解不一定是最优解，但可以提供一种可行的解决方案。
四、整数规划与线性规划的求解方法针对整数规划和线性规划问题，有多种求解方法。
其中，常用的方法包括暴力搜索、分支定界法、割平面法等。
暴力搜索是一种基础的求解方法，通过枚举所有可能的解来寻找最优解。
这种方法的好处是可以找到全局最优解，但计算时间较长，适用于问题规模较小的情况。
数学建模常用算法模型
数学建模常用算法模型在数学建模中，常用的算法模型包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论算法以及遗传算法等。
下面将对这些算法模型进行详细介绍。
1.线性规划：线性规划是一种用于求解最优化问题的数学模型和解法。
它的目标是找到一组线性约束条件下使目标函数取得最大（小）值的变量取值。
线性规划的常用求解方法有单纯形法、内点法和对偶理论等。
2.整数规划：整数规划是一种求解含有整数变量的优化问题的方法。
在实际问题中，有时变量只能取整数值，例如物流路径问题中的仓库位置、设备配置问题中的设备数量等。
整数规划常用的求解方法有分支界定法和割平面法等。
3.非线性规划：非线性规划是一种求解非线性函数优化问题的方法，它在实际问题中非常常见。
与线性规划不同，非线性规划的目标函数和约束函数可以是非线性的。
非线性规划的求解方法包括牛顿法、拟牛顿法和全局优化方法等。
4.动态规划：动态规划是一种用于解决决策过程的优化方法。
它的特点是将问题划分为一系列阶段，然后依次求解每个阶段的最优决策。
动态规划常用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题，例如背包问题和旅行商问题等。
5.图论算法：图论算法是一类用于解决图相关问题的算法。
图论算法包括最短路径算法、最小生成树算法、网络流算法等。
最短路径算法主要用于求解两点之间的最短路径，常用的算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
最小生成树算法用于求解一张图中连接所有节点的最小代价树，常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。
网络流算法主要用于流量分配和问题匹配，例如最大流算法和最小费用最大流算法。
6.遗传算法：遗传算法是一种借鉴生物进化原理的优化算法。
它通过模拟生物的遗传、变异和选择过程，不断优化问题的解空间。
遗传算法适用于对问题解空间有一定了解但难以确定最优解的情况，常用于求解复杂的组合优化问题。
总结起来，数学建模中常用的算法模型包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论算法以及遗传算法等。
数学建模四大模型归纳
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
●旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n个城市，城市i与j之间的距离为d，找一条经过n个城ij市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
●车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP问题是VRP问题的特例。
●车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j个工作和m台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
数学建模,第五章 数学规划模型
数学建模,第五章数学规划模型数学建模：第五章数学规划模型在数学的广袤领域中，数学规划模型是解决实际问题的有力工具之一。
它帮助我们在各种限制条件下，寻找最优的解决方案，从而实现资源的合理分配、效益的最大化等目标。
数学规划模型的应用场景极为广泛。
比如在生产制造领域，企业需要决定生产何种产品、生产多少数量，以在有限的资源和时间内获得最大的利润；在物流运输中，如何规划运输路线，使得运输成本最低、时间最短；在资源分配方面，如电力分配、水资源分配等，怎样做到公平且高效。
数学规划模型主要包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划等类型。
线性规划是其中最为基础和常见的一种。
它的目标函数和约束条件都是线性的。
举个简单的例子，一家工厂生产两种产品 A 和 B，生产A 产品每件需要 2 小时的加工时间和 1 公斤的原材料，生产B 产品每件需要 3 小时的加工时间和 2 公斤的原材料。
工厂每天有 10 小时的加工时间和 8 公斤的原材料可用，A 产品每件利润 3 元，B 产品每件利润 5 元。
那么，为了获得最大利润，应该分别生产多少件 A 和 B 产品呢？我们可以设生产 A 产品 x 件，生产 B 产品 y 件，目标函数就是利润最大化 3x ＋ 5y，约束条件则是 2x ＋3y ≤ 10 和 x ＋2y ≤ 8 以及x ≥ 0，y ≥ 0。
通过求解这个线性规划问题，我们就能得出最优的生产方案。
非线性规划则是目标函数或约束条件中至少有一个是非线性的。
比如在一个生产过程中，成本函数可能不是简单的线性关系，而是与产量的平方或者其他非线性函数相关。
整数规划要求决策变量取整数值。
例如在人员安排问题中，只能安排整数个人，不能有半个人的情况。
动态规划则适用于多阶段决策问题。
比如在项目投资中，每年都要决定是否投资以及投资多少，需要考虑不同阶段的收益和成本。
建立数学规划模型的一般步骤包括：首先，明确问题的目标和约束条件。
这需要对实际问题进行深入的分析和理解，将其转化为数学语言。
数学建模：常见的线性规划问题求解方法
数学建模：常见的线性规划问题求解方法1. 引言在数学建模中，线性规划是一种常见的数学模型。
它通常用于求解优化问题，在多个约束条件下找到使目标函数最大或最小的变量值。
本文将介绍几种常见的线性规划问题求解方法。
2. 单纯形法单纯形法是一种经典且高效的线性规划问题求解方法。
它通过不断移动基变量和非基变量来搜索可行解集，并在每次移动后更新目标函数值，直到达到最优解。
该方法适用于标准形式和松弛法形式的线性规划问题。
2.1 算法步骤1.初始化：确定基变量和非基变量，并计算初始相应坐标。
2.计算检验数：根据当前基变量计算检验数，选取检验数最小的非基变量作为入基变量。
3.计算转角系数：根据入基变量计算转角系数，并选择合适的出基变量。
4.更新表格：进行行列交换操作，更新表格中的各项值。
5.结束条件：重复2-4步骤，直至满足结束条件。
2.2 优缺点优点： - 单纯形法的时间复杂度较低，适用于小规模线性规划问题。
- 可以处理带等式约束和不等式约束的线性规划问题。
缺点： - 在某些情况下，单纯形法会陷入梯度消失或梯度爆炸的情况，导致无法找到最优解。
- 处理大规模问题时，计算量较大且可能需要较长时间。
3. 内点法内点法是另一种常见的线性规划求解方法。
与单纯形法不同，内点法通过在可行域内搜索目标函数的最优解。
它使用迭代过程逼近最优解，直到满足停止条件。
3.1 算法步骤1.初始化：选取一个可行解作为初始点，并选择适当的中心路径参数。
2.计算对偶变量：根据当前迭代点计算对偶变量，并更新目标函数值。
3.迭代过程：根据指定的迭代更新方程，在可行域内搜索目标函数的最优解。
4.结束条件：重复2-3步骤，直至满足结束条件。
3.2 优缺点优点： - 内点法相对于单纯形法可以更快地收敛到最优解。
- 在处理大规模问题时，内点法的计算效率更高。
缺点： - 内点法需要选择适当的中心路径参数，不当的选择可能导致迭代过程较慢。
- 对于某些复杂的线性规划问题，内点法可能无法找到最优解。
01线性规划数学建模
01-线性规划(数学建模) 线性规划是一种数学建模技术，用于解决一类特定的优化问题。
这些问题通常涉及到在一组线性约束条件下最大化或最小化一个线性目标函数。
线性规划的应用广泛，包括诸如生产计划、货物运输、资源分配等问题。
线性规划的基本模型由以下三个要素组成：1.决策变量：这是我们希望优化的变量。
它们通常是连续的实数变量，可以在问题中自由设定其范围。
2.目标函数：这是我们希望最大化或最小化的函数。
目标函数通常是决策变量的线性函数。
3.约束条件：这些是限制决策变量选择的条件。
它们通常是由决策变量的线性不等式或等式表示。
线性规划问题的一般形式可以表示为：最大化（或最小化）目标函数: c^T x在满足以下条件的情况下：Ax = bx >= lbx <= ub其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右侧常数向量，lb和ub分别是决策变量的下界和上界。
线性规划问题的求解方法有很多种，其中最常用的方法是使用单纯形法。
单纯形法的基本思想是通过在约束条件下不断迭代，寻找最优解。
在每次迭代中，我们根据目标函数的系数和约束条件，计算出每个约束条件的"优势"，然后选择具有最大优势的约束条件进行扩展，直到找到最优解或确定无解。
线性规划问题在现实世界中的应用非常广泛。
例如，我们可以使用线性规划来安排生产计划，使得总成本最低。
我们也可以使用线性规划来分配资源，使得某种资源的需求总和不超过供应总和。
下面是一个具体的例子：假设我们有一个公司，生产三种产品：A、B和C。
每种产品都有各自的生产成本（单位成本），以及各自的预期销售量（单位售价）。
我们希望确定每种产品的生产量，以使得总生产成本最低，同时总销售收入最高。
这个问题可以通过一个线性规划来解决。
我们可以将生产量作为决策变量，将总生产成本和总销售收入分别作为目标函数和约束条件。
通过求解这个线性规划问题，我们可以得到最优的生产计划。
数学建模30种经典模型matlab
一、概述数学建模是数学与实际问题相结合的产物，通过建立数学模型来解决现实生活中的复杂问题。
Matlab作为一个强大的数学计算工具，在数学建模中具有重要的应用价值。
本文将介绍30种经典的数学建模模型，以及如何利用Matlab对这些模型进行建模和求解。
二、线性规划模型1. 线性规划是数学建模中常用的一种模型，用于寻找最优化的解决方案。
在Matlab中，可以使用linprog函数对线性规划模型进行建模和求解。
2. 举例：假设有一家工厂生产两种产品，分别为A和B，要求最大化利润。
产品A的利润为$5，产品B的利润为$8，而生产每单位产品A 和B分别需要8个单位的原料X和10个单位的原料Y。
此时，可以建立线性规划模型，使用Matlab求解最大化利润。
三、非线性规划模型3. 非线性规划是一类更加复杂的规划问题，其中目标函数或约束条件存在非线性关系。
在Matlab中，可以使用fmincon函数对非线性规划模型进行建模和求解。
4. 举例：考虑一个有约束条件的目标函数，可以使用fmincon函数在Matlab中进行建模和求解。
四、整数规划模型5. 整数规划是一种特殊的线性规划问题，其中决策变量被限制为整数。
在Matlab中，可以使用intlinprog函数对整数规划模型进行建模和求解。
6. 举例：假设有一家工厂需要决定购物哪种机器设备，以最大化利润。
设备的成本、维护费用和每台设备能生产的产品数量均为已知条件。
可以使用Matlab的intlinprog函数对该整数规划模型进行建模和求解。
五、动态规划模型7. 动态规划是一种数学优化方法，常用于多阶段决策问题。
在Matlab 中，可以使用dynamic programming toolbox对动态规划模型进行建模和求解。
8. 举例：考虑一个多阶段生产问题，在每个阶段都需要做出决策以最大化总利润。
可以使用Matlab的dynamic programming toolbox对该动态规划模型进行建模和求解。
数学建模在城市规划中的作用
数学建模在城市规划中的作用城市规划是一门综合性的学科，旨在通过科学的方法进行城市的可持续发展和优化。
而数学建模则是运用数学模型解决现实问题的工具。
数学建模在城市规划中发挥着重要的作用，可以帮助规划者对城市进行精确的分析和预测，从而制定出科学合理的规划方案。
一、地理信息系统模型地理信息系统（GIS）是一种用来捕获、存储、管理、分析和展示地理空间数据的系统。
在城市规划中，利用GIS可以绘制出城市的详细地图并标示出不同功能区域。
通过数学建模，可以将GIS模型与城市规划结合起来，实现对城市发展和区域规划的分析和决策支持。
比如可以利用GIS模型分析人口密度、交通流动等因素，从而合理规划道路和公共设施的布局。
二、交通流量预测模型交通拥堵是现代城市面临的一个重要问题。
利用数学建模，可以建立起交通流量预测模型，通过对历史数据的分析，预测未来的交通流量，并在城市规划中采取相应的措施，如增设交通信号灯、调整路网布局等，以缓解交通拥堵。
这些模型还可以考虑人口增长、经济发展等因素，对不同时间段和场景下的交通流动进行预测和规划。
三、环境保护与气候模型随着城市化进程的加快，环境污染和气候变化成为了城市规划的重要考虑因素。
数学建模可以通过建立环境保护模型来帮助城市规划者制定环境保护政策和措施。
例如，利用空气质量模型可以预测不同区域的空气污染水平，从而指导规划者合理布置工业区和居住区。
此外，数学建模也可以用于气候模型的建立，预测气候变化对城市的影响，例如温度变化、降雨量等，为城市规划提供决策支持。
四、经济发展与土地利用规划模型城市的经济发展和土地利用往往存在较为复杂的关系。
数学建模可以帮助城市规划者进行城市经济发展和土地利用规划的分析和决策。
例如，经济增长模型可以预测未来的经济发展趋势，并结合土地利用模型，指导规划者合理布局商业区、工业区和住宅区等。
这些模型还可以考虑土地资源利用的限制和环境保护的需求，从而实现城市的可持续发展。
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一、基本知识例1 要从甲城调出蔬菜2000吨，从乙城调出蔬菜1100吨，分别供应A地1700吨，试问，该怎样运输费用最小。
例2 某工厂又一批长度为5米的钢管（数量充分多），为制造零件的需要，要将它们截成长度分别为1400毫米，950毫米，650毫米的管料，而且这三种管料要按2：4：1的比例配套生产，就是说每制造一个成品分别需要2根1400毫米，4根950毫米，1根650毫米的管料。
把一根一定长度的钢管截成n段需要的管料时，一般要产生残料，例如，把5米的钢管截成1400毫米的3根和650毫米的1根，要剩残料150号毫米；如果截成1400毫米的2根和950毫米的两根，要剩残料300毫米。
现在的问题是如何截分才能使截下来的三种管料，既能配套，又使残料最少。
挑选其中一种省料的截法（例如截法5），当然可以是残料最少，但是满足不了配套要求，所以我们必须同时采取若干种截法，配合起来，在完成配套要求的条件下，使总的残料最少。
用x i(i=1,2,……，8)表示采用第i种截法所截钢管的数量，那么截出的1400豪米的管料数量是：3x1+2x2+2x3+x4+x5截出的900毫米的数量是：2x2+3x4+x5+5x6+3x7+x8截出的650毫米的数量是x1+3x3+x4+4x5+3x7+6x8根据配套要求，它们应分别等于2a,4a,a(a是套数)，我们先让a等于某一个正整数，例如a=1,求出x i以后，如果a i是分数，就乘以x i的分母的最小公倍数，这时候残料总长度S=150x1+300x2+250x3+100x4+50x5+250x6+200x7+150x8例3 设某企业有m种不同的资源（如原料、能源、资金等）用来生产n种产品，用a ij表示生产一个单位第j种产品所消耗的第i种原料的数量，用c j（j=1,2,……，n）表示第j 种产品的单位价值，而这个企业现存的第i种资源的数量是b i（i=1,2,……，m），现在要来做一个能够充分利用现有资源的生产计划，使每种产品在不超过现有资源的条件下总产值最大。
思考题有甲、乙两种产品，都需要经过两道工序，甲产品每单位需第一道工序2小时，第二道工序3小时。
而乙产品则分别是3小时和4小时。
第一道工序可供利用的时间是16小时，第二道工序可供利用的时间是24小时。
每生产一个单位的乙产品会产生2个单位的副产品丙，且不需外加任何费用。
丙产品一部分可以出售赢利，其余的只能加以销毁。
出售产品甲每单位能赢利4元，乙产品为10元。
丙产品为3元，但是丙产品如果售不出去，那么每单位的销毁费用是2元。
预测表明，最多可售出5个单位的丙产品。
要求决定使利润最大的甲和乙的产量，试建立此问题的线性规划模型。
二、案例分析回收固体废弃物问题塞维特（Save－It）公司经营一个回收中心，专门从事四种固体废弃物的回收，并将回收物处理，混合成为可销售的产品。
根据混合是各种材料的比例，可将该产品分成不同的等级（参照表1）尽管在混合各种等级产品是允许一定的机动性，但每一等级产品中各种材料的最大最小值都必须符合下面质量标准的规定。
（最大和最小值是根据该材料的重量在该等级产品总重量中的比例来确定的。
）在两种较高等级的产品中，有一种特定材料的比例是固定的。
这些规定与混合的成本以及每一等级产品的售价都在表1中给出。
回收中心可以从一些渠道定期的收集到所需的固体废弃物，因此，可以获得维持稳定作业的处理量。
表2给出了中心每周可以收集到每种材料的数量以及处理成本。
塞维特公司是绿地组织的全资公司，绿地组织是一个专门从事与环境有关业务的组织。
塞维特公司的收益将全部用于支持绿地组织的其他活动，而绿地组织每周可获得$30,000的捐款，专门用于固体废弃物的处理。
公司的董事会要求塞维特公司的管理层将这一捐款合理分配使用在各种材料上，务必将所收集到的固体废弃物中至少一半数量的废弃物加以处理。
这些附加的约束如表2所示。
管理层决定在表1和表2所列的约束之内，有效地将各种材料分配到各等级的产品中去，以实现每周的总利润最大（总收入减总成本）。
表1 塞维特公司产品数据表2塞维特公司固体废弃物的有关数据这是一个线性规划问题，为了该问题建模，首先要明确问题所涉及的活动，资源，收益以及确定的需求。
这一步的关键在于管理层的目标是将每种材料最优的分配给每一等级的产品。
每一种材料与产品的组合都是一个决策：多少的材料用于这一等级的产品？因此，要决策的是每周将多少磅的每一种材料加入到每一等级的产品中去。
因为资源有限，收益受到规定，以及确定的需求，该问题就有了相当多的约束，归纳如下：有限的资源：四种固体废弃物所能获得的数量如表2的第2栏所示，此外，表1的第2栏还表明材料1与材料3的用量有限，这些有限的资源都将形成资源的约束条件。
规定的受益：收益是指所收集和处理的每一种材料，表2的右边显示最低可接受的收益水平是可获得的材料的一半，而表1规定材料2的最低可接受的施用量，这些都是收益约束。
确定需求的约束：1.表1第2栏所示的材料4的固定用量。
2.表2右边所示的处理固体废弃物的固定开销。
管理层的目标是使得三种等级的产品所能实现的每周总利润最大，因此，这就是该问题的总绩效测度。
这一测度可通过在销售总收入中减去混合处理的总成本计算出。
$30,000的捐款全部用于处理固体废弃物，这一部份在计算利润时不能包含在成本里，因此，混合成本将是唯一的成本。
这样，对于每一等级的产品，每磅的利润是将表1第四栏的销售价减去第3栏的混合成本计算出的。
建模：若用xy X 表示每周分配给x 等产品的材料y 的数量，则有如下数学模型： 目标函数：最大化利润)(5.3)(5.4)(5.5432143214321C C C C B B B B A A A A X X X X X X X X X X X X +++++++++++= 约束条件：1． 混合的比例规定（表1的第2栏）)(7.0)(1.0)(1.0)(5.0)(2.0)(5.0)(4.0)(3.04321143214432124321143214432134321243211C C C C C B B B B B B B B B B B B B B B A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X +++≤+++=+++≥+++≤+++=+++≤+++≥+++≤2． 可获得的材料（表2第2栏）：000,1000,4000,2000,3444333222111≤++≤++≤++≤++C B A C B A C B A C B A X X X X X X X X X X X X3． 要处理的材料的约束（表2的右边）：500000,2000,1500,1444333222111≥++≥++≥++≥++C B A C B A C B A C B A X X X X X X X X X X X X4． 处理成本的约束（表2的右边）：000,30)(5)(4)(6)(3444333222111=+++++++++++C B A C B A C B A C B A X X X X X X X X X X X X 5。
非负约束：0,,0,0421≥≥≥C A A X X X德怀特公司的目标规划问题德怀特公司的管理科学部在接下来的一个月中将要开展一项研究,研究的重点是确定三种新产品的组合,以最好的实现管理层的三个目标。
三种新产品的产量就是要作出的决策。
管理层希望考虑三方面的影响因素：总利润，员工的稳定性以及产品开发的投资资金限制。
这样管理层建立了如下的目标，目标1：新产品产生的总利润（净现值）不得少于$125,000,000。
目标2：保持现有的4000人的员工水平。
目标3：将投资资金限制在$55，000，000以内。
但是，管理层意识到要同时实现三个目标是不大现实的，因此，他们对三个目标的相对重要性作出了评价，三个目标都是重要的，但是在重要性上还是有些先后的差别。
重要性排序目标1，目标2的前半部分（避免减少员工），目标3，目标2的后半部分（避免增加员工）。
为了进一步使这一排序量化，对每一目标都分配了表示偏离目标严重性的罚数权重。
如下表3表3 表示偏离目标相对严重性的罚数权重各种产品对目标的单位贡献如下表4表4 各种产品对目标的单位贡献建模 i 目标1：12515912321≥++P P P （总利润目标） 目标2：40435321=++P P P （员工水平目标） 目标3：55875321≤++P P P （投资资金目标）这些数学表达式形式上很像线性规划的约束条件，但是，它们不能看作为是数学模型的约束，因为约束是必须满足的，而管理层已经意识到要同时实现所有的目标是不可能的。
对于目标规划，问题的总目标就是要使所有的目标都尽可能实现。
对于每一个偏离的目标，其相应的罚数为罚数权重与偏离值的乘积，因此，问题的目标就是通过确定决策变量的值以实现。
最小化W ＝5（低于目标1的数量）＋2（超过目标2的数量）＋4（低于目标2的数量）＋3（高于目标3的数量）炼油厂的生产优化问题炼油厂购买两种原油（原油1和原油2），这些原油经过四道工序处理：分馏、重整、裂化和调合，最后得到油和煤油用于销售。
1） 分馏分馏将每一种原油根据沸点不同分解为轻石脑油、中石脑油、重石脑油、轻油、重油和残油。
轻、中、重石脑油的辛烷值分别是90、80、70，每桶原油可以产生的各种油分如表1所示，在分馏中有少量消耗。
2） 重整石脑油可以直接用来调合成不同等级的汽油，也可以进入重整过程。
重整过程产生辛烷值为115的重整汽油，1桶轻石脑油、中石脑油、重石脑油经过重整可以得到的重整汽油为0.6，0.52，0.45桶。
3） 裂化轻油和重油可以直接经调合产生航空煤油，也可以经过催化裂化过程而产生裂化油和裂化汽油，裂化汽油的辛烷值为105，轻油和重油裂化产生的产品（单位：桶/桶）如表2所示。
表2轻油重油裂化产品 产润滑油或者用于调合成航空煤油或煤油，一桶残油可以产生5.5桶润滑油。
4）调合（1）汽油（发动机燃料）。
有两种类型的汽油，普通汽油和优质汽油，这两种汽油都可以用石脑油、重整汽油和裂化汽油调合得到。
普通汽油的辛烷值必须不低于84，而优质汽油的辛烷值必须不低于94。
这里假定，调合成的汽油的辛烷值与各成分的辛烷值及含量成线性关系。
（2）航空煤油。
航空煤油可以用轻油、重油、裂化油和残油调合而成。
航空煤油的蒸汽压必须不超过每平方厘米1千克，而清幽、重油、裂化油和残油的蒸汽压（单位：千克/平方厘米）分别为1.1，0.6，1.5，0.0 。