河南省郑州市2015届高三第一次质量预测数学(理)试题(扫描版)
河南省2015届普通高中毕业班适应性测试数学(理)试题(扫描版)
2015年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试题参考答案及评分标准（13） 40 （14）3- （15）( （16）①②③ 三、解答题(17) 解：（Ⅰ）由2142n n n a a a +=++,得21211244(2)n n n n a a a a ++++=++=+. 因为0n a >12n a +=+.因为12122log (2)1log (2)2n n n n n b a b a +++===+，又121log (2)2b a =+=， 所以数列{}n b 是首项为2，公比为12的等比数列.……………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，112()2n n b -=⋅，则112()2n n c n -=. 012111112()4()2(1)()2()2222n n n S n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+,① 121111112()4()2(1)()2()22222n n n S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+.② ①-②得：01211111112()2()2()2()2()222222n n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅ 12[1()]122()1212n n n -=-⋅-14(42)()2n n =-+. 所以218(2)()2n n S n -=-+.……………………………………………………………………………12分(18) 解：（Ⅰ）设“该射手通过测试”为事件A ，“向甲靶射击两次都命中”为事件B ，“向甲靶射击两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中”为事件C .事件B ，C 互斥，且A B C =+.所以该射手通过测试的概率212333213()()()()(1).444316P A P B P C C =+=+⋅-⋅= ………………5分（Ⅱ）由题意，0,1,2X =. ……………………………………………………………………………6分212313321(0)(1);(1)(1)(1);4164438P X P X C ==-===⋅-⋅-=13(2)().16P X P A === ……9分 所以该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列为该射手在这次测试中命中的次数的数学期望为11137()012.168164E X =⨯+⨯+⨯=……………12分 (19)解：（Ⅰ）在图1中，6,3,90,60.AC BC ABC ACB ==∠=︒∴∠=︒因为CD 为ACB ∠的平分线，所以30,BCD ACD CD ∠=∠=︒∴=…………………………2分4,30, 2.CE DCE DE =∠=︒∴=则222CD DE EC +=，所以90,.CDE DE DC ∠=︒⊥………………………………………………4分在图2中，又因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD 平面ACD CD =，DE ⊂平面ACD ，所以DE ⊥平面B C D . ……………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）在图2中，作BH CD ⊥于H ，因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD 平面ACD CD =，BH ⊂平面BCD ，所以BH ⊥平面ACD ……………7分以点H 为坐标原点，HC 为y 轴，HB 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -.则3(0,0,0),(0,(0,0,),(3,2H D B A33(0,,),(3,2DB AD ∴==-…………………8分 设平面ABD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则19题图1 19题图2 xyz0,0,DB AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以3(,,))0,2(,,)(0.x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⎪⋅-=⎩即30,230.y z x +=⎪-=⎩取1x =,得1)=-n .……9分 又平面ADE 的一个法向量为(0,0,1)=m , ………10分设二面角B AD E --的大小为θ，则cos ||||θ⋅==m n m n 所以二面角B AD E--的余弦值为…………………………………………………………12分 (20) 解：（Ⅰ）由椭圆定义知，48a =，即2a =.……………………………………………………1分又设00(,)M x y ，则00003.4y y x a x a ⋅=-+- 把2200221x y a b+=代入得220222220(1)3,4x b b a x a a -=-=--所以23b =. ……………………………………4分 故椭圆方程为22143x y +=.……………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，故设其方程为(3)y k x =+，又设11223344(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y 由22(3),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 2222(34)2436120.k x k x k +++-= 222223(24)4(34)(3612)00.5k k k k ∆=-⨯+->⇒<< 由韦达定理得212224.34k x x k +=-+ …………………………………………………………………7分 因为2(1,0)F ，由22AF F Cλ=得, 111133331(1,)(1,),1,x y x y x y x y λλλ---=-∴=+=-. 代入椭圆方程得22111(1)()143x y λλ-+-+=，与2211143x y +=联立消去1y 得1532x λ-=. 同理可得2532x μ-=，所以12103()3.22x x λμ-++==- 所以2122243342k x x k +=-=-+，解之得213(0,)45k =∈，所以1.2k =± 所求直线方程为1(3)2y x =±+，即230x y ++=或230.x y -+= …………………………12分（21） 解：（Ⅰ）因为2(),ln x f x x =其定义域为(0,1)(1,).+∞………………………………………1分2(2ln 1)(),(ln )x x f x x -'=由()0f x '>得()f x 的单调递增区间为)+∞， ……………………3分由()0f x '<得()f x 的单调递减区间为 ……………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1x >时，()f x 的最小值为2f e ==； ……………………7分 令22()(3),(1,)xg x x x e x =-+∈+∞，则222111()(3)(2)(3)222x x g x x x e x x e '=--+=--+， 由()0g x '>得函数()g x 在区间(1,2)上单调递增；由()0g x '<得函数()g x 在区间(2,)+∞上单调递减.所以22()(3)(2)2.xg x x x e g e =-+=≤ …………………………………………………………………11分所以当1x >时，222()()(3)ln x x f x g x x x e x =>=-+，整理即得2(3)ln 0.xx x e x +-> …………12分（22） 证明：（Ⅰ）连接CF ,OF ,因为AC 为直径，则CF AB ⊥，因为,O D 分别为,AC BC 的中点，所以OD ∥AB ，所以CF OD ⊥.因为OF OC =,则EOF EOC ∠=∠,且OD OD =，则OCD OFD ∆≅∆，所以90OCD OFD ∠=∠=，所以,,,O C D F 四点共圆. ………………………5分（Ⅱ）设圆的半径为r ，因为OF FD ⊥,所以FD 是圆的切线.所以2(2)DF DE DE r =⋅+()DE DO r =⋅+ 1122DE DO DE r DE AB DE AC =⋅+⋅=⋅+⋅ 故22DF DE AB DE AC =⋅+⋅………………………10分（23）解：（Ⅰ）由直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，消去参数t 得tan (1)y x α=+.曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=+，展开得2cos 2sin ρθθ=+，化为直角坐标方程得22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=.……………………………………………………5分（Ⅱ）因为圆C 的直角坐标方程22(1)(1)2x y -+-=，圆心为(1,1)，所以圆心到直线tan (1)y x α=+的距离d =， 化简得27tan 8tan 10αα-+=，解之得tan 1α=或1tan .7α= ………………………………10分 （24）解：（Ⅰ）14114()(11)11411a b a b a b+=++++++++1144(5)411b a a b ++=++++19(5.44+=≥ 等号成立条件为14411b a a b ++=++，而2a b +=，∴15,.33a b == ………………………………5分 （Ⅱ）由均值不等式得22222222222,2,2a b a a b a b b b a a b ab +++≥≥≥. 三式相加得2222222222222(1),a b a b a b ab ab ab a b ++++++≥= 所以2222(1).a b a b a b a b ++++≥……………………………………………………………10分。
河南省八市重点高中2015届高三教学质量监测考试+数学(理)试题(解析版)
2015年河南省八市重点高中高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x||x+1|≤2}，B={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}，则A∩∁R B（）A．[3，﹣1）B．[3，﹣1] C．[﹣1，1] D．（﹣1，1]【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：集合．【分析】：求出集合A，B的等价条件，即可得到结论．【解析】：解：A={x||x+1|≤2}={x|﹣3≤x≤1}，B={x|y=lg（x2﹣x﹣2）}={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x ＞2或x＜﹣1}，则∁R B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩∁R B={x|﹣1≤x≤1}，故选：C【点评】：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2．（5分）如图所示的复平面上的点A，B分别对应复数z1，z2，则=（）A．﹣2i B．2i C．2 D．﹣2【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：由图求出z1，z2，代入后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解析】：解：由图可知，z1=﹣1+i，z2=2+2i，则．故选：A．【点评】：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）设函数f（x），g（x）分别为定义在R上的奇函数和偶函数且满足f（x）+g（x）=x3﹣x2+1，则f（1）=（）A．﹣l B．l C．﹣2 D．2【考点】：函数奇偶性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据题意，计算出f（1）+g（1）、﹣f（1）+g（1）的值即可．【解析】：解：由题可知：f（1）+g（1）=1﹣1+1=1，f（﹣1）+g（﹣1）=﹣1﹣1+1=﹣1，由∵f（x），g（x）分别为定义在R上的奇函数和偶函数，∴﹣f（1）+g（1）=﹣1，所以f（1）=1，故选：B．【点评】：本题考查函数的奇偶性，属于基础题．4．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：根据题意，得双曲线的渐近线方程为y=±x，再由双曲线离心率为2，得到c=2a，由定义知b==a，代入即得此双曲线的渐近线方程．【解析】：解：∵双曲线C方程为：=1（a＞0，b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y=±x又∵双曲线离心率为2，∴c=2a，可得b== a因此，双曲线的渐近线方程为y=±x故选：D．【点评】：本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．5．（5分）某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外活动分别成立绘画，象棋和篮球兴趣小组，现有甲，乙，丙、丁四名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同的报名方法有（）A．12种B．24种C．36种D．72种【考点】：计数原理的应用．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：根据题意，分2步进行【分析】：①在4个人中任取2人，作为一个整体，②将这个整体与其他3人进行全排列，对应3个活动小组，分别计算这2步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解析】：解：根据题意，分析可得，4个人中有2个人分在同一个组，在4个人中任取2人，作为一个整体，有C42=6种情况，将这个整体与其他3人进行全排列，对应3个活动小组，有A33=6种情况，则共有6×6=36种不同的报名方法，故选：C．【点评】：本题考查分步计数原理的运用，关键是认真分析题意，确定计算的步骤．6．（5分）已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A．B．C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由该棱锥的三视图判断出该棱锥的几何特征，以及相关几何量的数据，再求出该棱锥外接球的半径和体积．【解析】：解：由该棱锥的三视图可知，该棱锥是以边长为的正方形为底面，高为2的四棱锥，做出其直观图所示：则PA=2，AC=2，PC=，PA⊥面ABCD，所以PC即为该棱锥的外接球的直径，则R=，即该棱锥外接球的体积V==，故选：C．【点评】：本题考查了由三视图求几何体的外接球的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据．7．（5分）执行如图的程序框图，当k的值为2015时，则输出的S值为（）A．B．C．D．【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=0+++…+的值，用裂项法即可求值．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得第一次循环，S=0+，n=1＜2015；第二次循环，S=0++，n=2＜2015；第二次循环，S=0++，n=3＜2015；…当n=2015时，S=0+++…+=1﹣…+﹣=1﹣=，此时满足2015≥2015，退出循环，输出S的值为：．故选：C．【点评】：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型⇒③解模．8．（5分）已知，则=（）A．B．C．D．【考点】：两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】：首先对函数的关系式进行灵活的恒等变换，进一步利用诱导公式和2倍角公式进行变形，进一步求出结果．【解析】：解：===又由于===由==1﹣故原式=故选：B【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，及相关的运算问题，主要考查学生对关系式的灵活变换能力．9．（5分）已知x，y满足区域D：，给出下面4个命题：p1：∀x，y∈D，2x﹣y≥2p2：∂x，y∈D，2x﹣y≤2p3：∂x，y∈D，p4：∀x，y∈D，，其中真命题是（）A．p1，p3 B．p2，p3 C．p1，p4 D．p2，p4【考点】：简单线性规划．【专题】：计算题；作图题；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】：由题意作出其平面区域，令z=2x﹣y，由几何意义可知﹣6≤z≤3；再由表示区域内的点（x，y）与定点（﹣2，﹣1）的连线的斜率，从而确定答案即可．【解析】：解：由题意作出其平面区域，如图所示的阴影部分△ABC，令z=2x﹣y，则由图象可知，直线2x﹣y﹣z=0经过点C时，z取得最大值，经过点A时，z取得最小值；由于C（2，1），A（﹣1，4）；故﹣6≤z≤3；故p2：∂x，y∈D，2x﹣y≤2正确；而表示区域内的点（x，y）与定点（﹣2，﹣1）的连线的斜率，故结合图象可知，≤≤5，故p4：∀x，y∈D，正确；故选D．【点评】：本题考查了全称命题与特称命题的真假性的判断及简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．10．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当A点坐标为（3，y0）时，△AEF为正三角形，则此时△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：过F作AE的垂线，垂足为H，则H为AE的中点，利用A点坐标为（3，y0），可求p，可得抛物线的方程，求出直线AF的方程，与抛物线方程联立求出A，B的坐标，即可求出△OAB的面积．【解析】：解：如图所示，过F作AE的垂线，垂足为H，则H为AE的中点，因为A点坐标为（3，y0），所以AE=3+，EH=p，所以2p=3+，所以p=2，所以y2=4x，此时A（3，2），k AF=，所以直线AF的方程为（x﹣1），代入抛物线方程可得3（x﹣1）2=4x，解得x=3或，所以y=2或﹣，所以△AOB的面积为=，故选：A．【点评】：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，求出抛物线方程、直线AF的方程是解题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1]【考点】：利用导数研究函数的单调性；抽象函数及其应用．【专题】：函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，构造函数h（x）=x﹣x2lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可．【解析】：解：函数g（x）的导数g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），∴函数g（x）在[，]上递减，则[，2]上递增，g（[）=，g（2）=8﹣4﹣5=﹣1，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，即当≤x≤2时，f（x）≥1恒成立，即恒成立，即a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，令h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，h′′（x）=﹣3﹣2lnx，当在≤x≤2时，h′′（x）=﹣3﹣2lnx＜0，即h′（x）=1﹣2xlnx﹣x在≤x≤2上单调递减，由于h′（1）=0，∴当≤x≤1时，h′（x）＞0，当1≤x≤2时，h′（x）＜0，∴h（x）≤h（1）=1，∴a≥1．故选：B．【点评】：本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数利用参数分离法结合函数单调性和导数之间的关系转化为求函数的最值是解决本题的关键．12．（5分）已知定义域为R的连续函数f（x），若f（x）满足对于∀x∈R，∂m∈R（m≠0），都有f（m+x）=﹣mf（x）成立，则称函数f（x）为“反m倍函数”，给出下列“反m倍函数”的结论：①若f（x）=1是一个“反m倍函数”，则m=﹣1；②f（x）=sinπx是一个“反1倍函数”；③f（x）=x2是一个“反m倍函数”；④若f（x）是一个“反2倍函数”，则f（x）至少有一个零点，其中正确结论的个数是（）A．l B．2 C． 3 D． 4【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据“反m倍函数”的定义分别进行判断即可．【解析】：解：根据“反m倍函数”的定义，∵∀x∈R，∂m∈R（m≠0），都有f（m+x）=﹣mf（x）成立，∴f（m+x）+mf（x）=0成立，①若f（x）=1，则f（x+m）+mf（x）=0，∴m+1=0，即m=﹣1，故①正确，②若f（x）=sinπx，则f（1+x）+f（x）=sinπ（x+1）+sinπx=﹣sinπx+sinπx=0，故②正确，③若f（x）=x2，则（x+m）2+mx2=0，即（m+1）x2+2mx+m2=0，则，此时方程无解，故不存在m，故③错误．④若f（x+2）+2f（x）=0，取x=0，若f（2），f（0）有一个为0即正确，若都不为0，则f （2），f（0）互为相反数，则f（2）f（0）＜0，∴在区间（0，2）内一定有零点，故④正确，故正确的是①②④，故选：C．【点评】：本题主要考查命题的真假判断，根据抽象函数的表达式结合“反m倍函数”的定义是解决本题的关键．二、填空题：（本太题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知的展开式中含x2项的系数为12，则展开式的常数项为160．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：二项式定理．【分析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数，再根据x2项的系数为12，求得a的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解析】：解：由于的展开式的通项公式为T r+1=•a r•x3﹣r，令3﹣r=2，可得r=1，故展开式中含x2项的系数为6a=12，可得a=2．再令3﹣r=0，可得r=3，故展开式的常数项为•23=160，故答案为：160．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14．（5分）已知不等式，照此规律，总结出第n（n∈N*）个不等式为1+＜．【考点】：归纳推理．【专题】：推理和证明．【分析】：从已知的三个不等式分析，从左边各加数的分母以及右边分子与分母的关系入手得到规律．【解析】：解：由已知三个不等式可以写成1+，1+，1+，照此规律得到第n个不等式为1+＜；故答案为：1+＜（n∈N+）．【点评】：本题考查了归纳推理；关键是由已知的三个不等式发现与序号的关系，总结规律．15．（5分）如图，已知Rt△ABC中，点O为斜边BC的中点，且AB=8，AC=6，点E为边AC上一点，且，若，则λ=．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据已知条件及图形得出：，，并且，所以由即可得到=﹣20，进行数量积的运算即可求得λ．【解析】：解：，；∵∠BAC=90°，∴；又；∴；∴．故答案为：．【点评】：考查向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义，以及数量积的运算，两非零向量垂直的充要条件．16．（5分）巳知△ABC的内角A、B、C对应的边分别为a，b，c，且关于x的方程2a2+2x2+b2=2bx+2ax只有一个零点，，S△ABC=sinA•sinB，则边c=1．【考点】：余弦定理；正弦定理．【分析】：由关于x的方程的判别式等于零求得b=a；根据，求得cosC=﹣，C=；由正弦定理求得a=csinA，b=csinB，代入S△ABC=sinA•sinB，求得边c的值．【解析】：解：△ABC中，关于x的方程2a2+2x2+b2=2bx+2ax，即2x2﹣2bx﹣2ax+2a2+b2=0，根据此方程有唯一解，可得△=﹣8（2a2+b2）=0，∴b=a．又，∴3acosC+c•cosA=0，即3sinAcosC+sinCcosA=0，故2sinAcosC+sin（A+C）=0，即2acosC+b=0，即2acosC+a=0，∴cosC=﹣，C=．由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC=5a2，∴c=a．∵==，∴a=csinA，b=csinB，∴S△ABC=sinA•sinB=•sinC=csinA•csinB，∴c2=1，∴c=1．【点评】：本题主要考查二次函数的性质，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．三、解答题：（共4个小题，每1小题12分，共48分）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对于任意的正整数n，直线x+y=2n总是把圆平均分为两部分，各项均为正数的等比数列{b n}中，b6=b3b4，且b3和b5的等差中项是2a3．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】：数列的求和．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：（1）由直线与圆的位置关系可得S n=n2，所以a1=S1=1，所以a n=2n﹣1；由b6=b3b4，得b1=1，又b3和b5的等差中项是2a3，得q=2，从而；（2）根据T n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）×2n﹣1，与2T n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，可得﹣T n，即得T n=3+（2n﹣3）2n．【解析】：解：（1）由于x+y=2n总是将圆平均分为两部分，所以，即S n=n2，所以a1=S1=1，当n≥2时=2n﹣1，经检验n=1时也成立，所以a n=2n﹣1；等比数列{b n}中由于b6=b3b4，即，故b1=1，设公比q＞0，由b3和b5的等差中项是2a3，及2a3=2×（2×3﹣1）=10，可知b3+b5=20，所以q2+q4=20，解得q=2，从而；（2）若c n=a n b n，则T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，所以T n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）×2n﹣1，2T n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，两式相减，得﹣（2n﹣1）2n==﹣3+2×2n﹣（2n﹣1）2n=﹣3+（3﹣2n）2n，所以T n=3+（2n﹣3）2n．【点评】：本题考查等比数列的通项公式、等差中项的应用、错位相减法求和，考查转化与化归思想、运算求解能力和数据处理能力，属于中档题．18．（12分）某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N （115，25），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[80，90），第二组[90，100），…第六组[130，140]，得到如右图所示的频率分布直方图（1）试估计该校数学的平均成绩（同一维中的数据用该区间的中点值作代表）；（2）这50名学生中成绩在120分（含120分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望附：若，则P（u﹣ς＜X＜u+ς）=0.6826，P（u﹣2ς＜X＜u+2ς）=0.9544，P（u﹣3ς＜X＜u+3ς）=0.9974．【考点】：频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：（1）根据频率和为1，求出成绩在[120，130）的频率，再计算这组数据的平均数；（2）根据正态分布的特征，计算50人中成绩在130分以上以及[120，140]的学生数，得出X的可能取值，计算对应的概率，列出X的分布列，计算期望值．【解析】：解：（1）根据频率分布直方图，得；成绩在[120，130）的频率为1﹣（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=1﹣0.88=0.12；所以估计该校全体学生的数学平均成绩为85×0.1+95×0.24+105×0.3+115×0.16+125×0.12+135×0.08=8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107，所以该校的数学平均成绩为107；（2）因为=0.0013，根据正态分布：P（115﹣3×5＜X＜115+3×5）=0.9974，所以P（X≥130）=，又0.0013×10000=13，所以前13名的成绩全部在130分以上；根据频率分布直方图得，这50人中成绩在130分以上（包括130分）的有0.08×50=4人，而在[120，140]的学生共有0.12×50+0.08×50=10，所以X的可能取值为0、1、2、3，所以P（X=0）===，P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===；所以X的分布列为数学期望值为EX=0×+1×+2×+3×=1.2．【点评】：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了正态分布的应用问题，考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题，是综合性题目．19．（12分）如图所示的多面体ABC﹣EFGH中，AB∥EG，AC∥EH，且△ABC与△EGH相似，AE⊥平面EFGH，EF=FG=，且AC=EH，AE=EG（1）求证，BF⊥EG；（2）求二面角F﹣BG﹣H的余弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）取EG的中点O，连结OF、OB，通过线面垂直的判定定理及性质定理即得结论；（2）以O为原点，以OF、OG、OB所在直线的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则所求值即为平面GBF的一个法向量与平面GBH的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解析】：（1）证明：∵AB∥EG，且△ABC∽△EGH，AC=EH，∴AB=EG，取EG的中点O，连结OF、OB，∴OB∥AE，又∵AE⊥平面EFGH，∴OB⊥平面EFGH，又∵EG⊂平面EFGH，∴OB⊥EG，又∵EF=FG=，∴OF⊥EG，∵OF∩OB=O，∴EG⊥平面OBF，∵BF⊂平面OBF，∴BF⊥EG；（2）解：由（1）知OF、OG、OB两两垂直，如图，以O为原点，以OF、OG、OB所在直线的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵GH=1，EH=，∠EGH=90°，∴EG==2，∵EF=FG=，∴OF=1，∵AE=EG，∴OB=2，∴F（1，0，0），G（0，1，0），B（0，0，2），H（﹣1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，2），=（﹣1，0，0），设平面GBF的一个法向量为=（x1，y1，z1），由，得，令z1=1，得=（2，2，1），设平面GBH的一个法向量为=（x2，y2，z2），同理可得=（0，2，1），∴===，由图可知，二面角F﹣BG﹣H为钝角，∴其余弦值为．【点评】：本题考查空间线面位置关系的判断及求二面角，考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分割为F1，F2，左右端点分别为曲A1，A2，抛物线y2=4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与F2重合，AF2=（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线l与椭圆相交于P，Q两点（不与A1，A2重合），求与夹角的大小．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：计算题；压轴题；向量与圆锥曲线．【分析】：（Ⅰ）根据题意，设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），求出抛物线y2=4x的焦点坐标，可得c2=1，进而分析可得A的坐标，代入椭圆的方程可得有+=1，解可得a2=4，进而可得b2=3，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）根据题意，分两种情况讨论：①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=，②当直线l的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，则直线的方程为y=k（x﹣）；每种情况下求出与的值，再求其乘积均可得•=﹣1，由向量数量积的性质分析可得答案．【解析】：解：（Ⅰ）根据题意，设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），抛物线y2=4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与F2重合，而抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则C2=1，由题意可得AF2=x0+=x0+1=，故x0=；所以y02=4×=，则y0=，则A（，），有+=1，解可得a2=4，又由c2=1，则b2=3，故椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=，由于，可得=1﹣=，所以y=±，所以P（，）Q（，﹣），因为A 2（2，0），所以=﹣1，=1，所以•=﹣1，所以所以A2P与A2Q垂直，②当直线l的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，则直线的方程为y=k（x﹣）；联立可得，⇒49（3+4k2）x2﹣112k2x+16k2﹣12×49=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），A2（2，0），则x1+x2=，x1•x2=，=，═•==﹣1，所以A2P与A2Q垂直，综合可得所以与夹角的大小为90°．【点评】：本题考查直线与椭圆方程的综合运用，涉及抛物线的简单性质，解题注意圆锥曲线的方程的标准形式，本题求出抛物线的焦点是解题的突破点之一．21．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣x+1，g（x）=﹣x2+（a+1）x+1．（1）若对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数h（x）在其定义城内存在实数x0，使得h（x0+k）=h（x0）+h（k）（k≠0且为常数）成立，则称函数h（x）为保k阶函数，已知H（x）=f（x）﹣（a﹣1）x+a﹣1为保a阶函数，求实数a的取值范围．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）把对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，转化为a（x﹣lnx）≤x2﹣2x恒成立，再由x﹣lnx＞0得恒成立．构造函数F（x）=，利用导数求其最小值得答案；（2）由H（x）=f（x）﹣（a﹣1）x+a﹣1=alnx﹣x+1﹣ax+x+a﹣1=alnx﹣ax+a（x＞0），根据保a阶函数的概念列式，整理得到ln（x0+a）﹣（x0+a）+1=lnx0﹣x0+1+lna﹣a+1，即ln（x0+a）=lnx0+lna+1，转化为，由x0＞0可得实数a的取值范围是．【解析】：解：（1）∵对任意的x∈[1，e]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即alnx﹣x+1≥﹣x2+（a+1）x+1恒成立，a（x﹣lnx）≤x2﹣2x恒成立，∵x∈[1，e]，∴lnx≤lne=1≤x，∵上式等号不能同时成立，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，∴恒成立．令F（x）=，∴a≤F（x）min（x∈[1，e]），由于，由于1≤x≤e，∴x﹣1＞0，x+2﹣2lnx=x+2（1﹣lnx）＞0，∴F′（x）＞0．∴函数F（x）=在区间[1，e]上单调递增，∴F（x）≥F（1）=．∴a≤﹣1；（2）∵H（x）=f（x）﹣（a﹣1）x+a﹣1=alnx﹣x+1﹣ax+x+a﹣1=alnx﹣ax+a（x＞0），根据保a阶函数的概念，∴存在x0＞0，使得H（x0+a）=H（x0）+H（a），即a[ln（x0+a）﹣（x0+a）+1]=a（lnx0﹣x0+1）+a（lna﹣a+1）=a（lnx0﹣x0+1+lna﹣a+1），∴ln（x0+a）﹣（x0+a）+1=lnx0﹣x0+1+lna﹣a+1，即ln（x0+a）=lnx0+lna+1，即，∴．∴，∵x0＞0，∴a．∴实数a的取值范围是．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化与化归、分离参数等数学思想方法，着重考查恒成立问题的解法，难度较大．四、选做题：【选修4－1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）已知BC为圆O的直径，点A为圆周上一点，AD⊥BC于点D，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，过点B作BE垂直PA的延长线于点E．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：选作题；推理和证明．【分析】：（1）证明△APD∽△BPE，可得AP•PE=PD•PB，因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，所以PA2=PB•PC，两式相除，即可证明PA•PD=PE•PC；（2）连接AC，DE，证明A，D，B，E四点共圆且AB为直径，即可得出AD=AE．【解析】：证明：（1）因为AD⊥BP，BE⊥AP，所以△APD∽△BPE，所以，所以AP•PE=PD•PB，因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，所以PA2=PB•PC，所以=，所以PA•PD=PE•PC；（2）连接AC，DE，因为BC为圆O的直径，所以∠BAC=90°，所以AB⊥AC．因为=，所以AC∥DE，所以AB⊥DE，因为AD⊥BP，BE⊥AP，所以A，D，B，E四点共圆且AB为直径，因为AB⊥DE，所以AD=AE．【点评】：本题考查三角形相似的判定与性质，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．五、选做题：【选修4－4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．已知曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ+4ρsinθ+1=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点P（﹣1，1）且倾斜角为（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：（I）由直线l经过点P（﹣1，1）且倾斜角为，可得直线l的参数方程为，（t为参数）；把dr 曲线C的极坐标方程即可得到普通方程．（II）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程可得：=0，利用|PA|•|PB|=|t1t2|即可得出．【解析】：解：（I）∵直线l经过点P（﹣1，1）且倾斜角为，∴直线l的参数方程为，（t为参数）；曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ+4ρsinθ+1=0，化为x2+y2﹣2x+4y+1=0，即（x﹣1）2+（y+2）2=4．（II）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程可得：=0，∴t1t2=9．∴|PA|•|PB|=|t1t2|=9．【点评】：本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选做题：【选修4－5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥4﹣x；（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较2（a+b）与ab+4的大小．【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）对x讨论，当x＜﹣1时，当﹣1≤x≤2时，当x＞2时，去掉绝对值，解不等式，即可得到解集；（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，作差比较，注意分解因式，即可得到结论．【解析】：解：（Ⅰ）当x＜﹣1时，f（x）=1﹣2x，f（x）≥4﹣x即为1﹣2x≥4﹣x，解得x≤﹣3，即为x≤﹣3；当﹣1≤x≤2时，f（x）=3，f（x）≥4﹣x即为3≥4﹣x，解得x≥1，即为1≤x≤2；当x＞2时，f（x）=2x﹣1，f（x）≥4﹣x即为2x﹣1≥4﹣x，解得x≥，即为x＞2．综上可得，x≥1或x≤﹣3．则解集为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，2（a+b）﹣（ab+4）=2a﹣ab+2b﹣4=（a﹣2）（2﹣b），由于a≥3，b≥3，则a﹣2＞0，2﹣b＜0，即有（a﹣2）（2﹣b）＜0，则2（a+b）＜ab+4．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查分类讨论的思想方法和作差法比较两数的大小，属于中档题．。
2015年河南省郑州市新郑三中高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年河南省郑州市新郑三中高考数学一模试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|lg（x﹣2）≥0}，B＝{x|x≥2}，全集U＝R，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|x＝3}D．∅2．（5分）复数z＝在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．在某校抽取样本容量为1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6，14）内的频数为（）A．780B．680C．648D．4604．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．112B．80C．72D．645．（5分）运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（）A．B．C．D．6．（5分）已知f（x）＝|x+2|+|x﹣4|的最小值是n，则二项式（x﹣）n展开式中x4项的系数为（）A．15B．﹣15C．6D．﹣67．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴的正半轴为始边，若终边经过点P（x0，y0）且|OP|＝r（r＞0），定义：si cosθ＝，称“si cosθ”为“正余弦函数”对于正余弦函数y＝si cos x，有同学得到以下性质：①该函数的值域为[﹣，]；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象关于直线x＝对称；④该函数的单调递增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z，则这些性质中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2＝1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝19．（5分）点P是曲线x2﹣y﹣lnx＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的最小距离为（）A．1B．C．D．10．（5分）在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）＝x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（）A．212B．29C．28D．2612．（5分）已知函数f（x）＝1+x﹣，设F（x）＝f（x+3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，当b﹣a取得最小值时，a+b的值为（）A．﹣1B．﹣4C．﹣7D．﹣3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为．14．（5分）如图，过抛物线x2＝4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y﹣1）2＝1于点A、B、C、D，则的值是．15．（5分）椭圆+＝1（a为定值，且a＞）的左焦点为F，直线x＝m 与椭圆交于点A，B，△F AB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是．16．（5分）已知函数f（x）＝，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝p（S n﹣a n）+（p为大于0的常数），且a1是6a3与a2的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a n•b n＝2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1﹣4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．每扇门对应的梦想基金：（单位：元）（Ⅰ）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（参考公式其中n＝a+b+c+d）19．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB＝AE＝，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求二面角E﹣PF﹣C的大小．20．（12分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，右焦点到直线+＝1的距离d＝，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，求O到直线l的距离．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣ax在x＝﹣处的切线的斜率为1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；（Ⅱ）证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）；（Ⅲ）设g（x）＝b（e x﹣x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修1-4：几何证明选讲22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，以AB为直径的圆O 交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2＝DM•AC+DM•AB．选修4-4：坐标系与参数方程23．将圆x2+y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|，（Ⅰ）当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）当a＝1时，函数f（x）的最小值为m，若a，b，c是正实数，且满足a+b+c ＝m，求证：a2+b2+c2≥3．2015年河南省郑州市新郑三中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|lg（x﹣2）≥0}，B＝{x|x≥2}，全集U＝R，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|x＝3}D．∅【解答】解：由A中的不等式变形得：lg（x﹣2）≥0＝lg1，得到x﹣2≥1，即x ≥3，∴A＝{x|x≥3}，∵全集U＝R，∴∁U A＝{x|x＜3}，∵B＝{x|x≥2}，∴（∁U A）∩B＝{x|2≤x＜3}．故选：B．2．（5分）复数z＝在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵复数＝＝﹣a﹣3i，在复平面内对应的点在第三象限，∴﹣a＜0，解得a＞0．∴复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的充分不必要条件．故选：A．3．（5分）为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．在某校抽取样本容量为1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6，14）内的频数为（）A．780B．680C．648D．460【解答】解：根据题意，得样本数据落在[6，14）内的频率是1﹣（0.02+0.03+0.03）×4＝0.68；∴样本数据落在[6，14）内的频数是1000×0.68＝680．故选：B．4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．112B．80C．72D．64【解答】解：根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体，根据三视图中标识的数据可知：正方体及四棱锥的底面棱长均为4，四棱锥高3＝4×4×4＝64则V正方体＝16故V＝64+16＝80故选：B．5．（5分）运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：第一次执行循环结构：n←0+2，x←2×t，a←2﹣1；∵n＝2＜4，∴继续执行循环结构．第二次执行循环结构：n←2+2，x←2×2t，a←4﹣1；∵n＝4＝4，∴继续执行循环结构，第三次执行循环结构：n←4+2，x←2×4t，a←6﹣3；∵n＝6＞4，∴应终止循环结构，并输出38t．由于结束时输出的结果不小于3，故38t≥3，即8t≥1，解得t．故选：B．6．（5分）已知f（x）＝|x+2|+|x﹣4|的最小值是n，则二项式（x﹣）n展开式中x4项的系数为（）A．15B．﹣15C．6D．﹣6【解答】解：f（x）＝|x+2|+|x﹣4|的最小值是n，f（x）＝|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|＝6，∴n＝6，二项式（x﹣）n＝（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r •x6﹣2r，令6﹣2r＝4，求得r＝1，可得二项式（x﹣）n展开式中x4项的系数为﹣6，故选：D．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴的正半轴为始边，若终边经过点P（x0，y0）且|OP|＝r（r＞0），定义：si cosθ＝，称“si cosθ”为“正余弦函数”对于正余弦函数y＝si cos x，有同学得到以下性质：①该函数的值域为[﹣，]；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象关于直线x＝对称；④该函数的单调递增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z，则这些性质中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①根据三角函数的定义可知x0＝r cos x，y0＝r sin x，所以si cosθ＝＝＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣），因为，所以sin（x﹣），即该函数的值域为[﹣，]；②因为f（0）＝sin（）＝﹣1≠0，所以该函数图象不关于原点对称；③当x＝时，f（）＝sin＝，所以该函数图象关于直线x＝对称；④因为y＝f（x）＝si cosθ＝sin（x﹣），所以由2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，即该函数的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．综上，可得这些性质中正确的有2个：①③．故选：B．8．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2＝1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2＝1的渐近线方程为y＝±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上∴又∵∴∴a2＝4b2∴a2＝20，b2＝5∴椭圆方程为：+＝1故选：D．9．（5分）点P是曲线x2﹣y﹣lnx＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的最小距离为（）A．1B．C．D．【解答】解：点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x﹣2平行时，点P到直线y＝x﹣2的距离最小．直线y＝x﹣2的斜率等于1，令y＝x2﹣lnx的导数y′＝2x﹣＝1，x＝1，或x＝﹣（舍去），故曲线y＝x2﹣lnx上和直线y＝x﹣2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y＝x﹣2的距离等于，故点P到直线y＝x﹣2的最小距离为，故选：D．10．（5分）在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）＝x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵a，b使得函数f（x）＝x2+2ax﹣b2+π有零点，∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω＝{（a，b）|﹣π≤a≤π，﹣π≤b≤π}∴S＝（2π）2＝4π2，而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，∴s＝4π2﹣π2＝3π2，由几何概型公式得到P＝，故选：B．11．（5分）等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（）A．212B．29C．28D．26【解答】解：∵f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）＝x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）]，∴f′（x）＝（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）+x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）]′，考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，得：f′（0）＝a1a2a3…a8＝（a1a8）4＝212．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝1+x﹣，设F（x）＝f（x+3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，当b﹣a取得最小值时，a+b的值为（）A．﹣1B．﹣4C．﹣7D．﹣3【解答】解：∵f（x）＝1+x﹣，∴f′（x）＝1﹣x+x2﹣x3+ (x2010)x＞﹣1时，f′（x）＞0，f′（﹣1）＝1＞0，x＜﹣1时，f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函数，∵f（0）＝1＞0，f（﹣1）＝（1﹣1）+（﹣﹣）+…+（﹣﹣）＜0∴函数f（x）在[﹣1，0]上有一个零点；∴函数f（x+3）在[﹣4，﹣3]上有一个零点，∴a＝﹣4，b＝﹣3∴a+b＝﹣7．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为36π．【解答】解：在正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，所以正三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且SA＝2，正三棱锥S﹣ABC的外接球即为棱长为2的正方体的外接球．则外接球的直径2R＝＝6，所以外接球的半径为：3．故正三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积S＝4•πR2＝36π．．故答案为：36π．14．（5分）如图，过抛物线x2＝4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y﹣1）2＝1于点A、B、C、D，则的值是1．【解答】解：设A、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意知焦点F（0，1），则设直线AD方程为：y＝kx+1，联立消去x，得y2﹣（2+4k2）y+1＝0，∴y1+y2＝2+4k2，y1•y2＝1又根据抛物线定义得AF＝，FD＝，∴AF＝y1+1，FD＝y2+1＝＝（AF﹣1）（FD﹣1）＝y1•y2＝1．故答案为115．（5分）椭圆+＝1（a为定值，且a＞）的左焦点为F，直线x＝m与椭圆交于点A，B，△F AB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是．【解答】解：设椭圆的右焦点E．如图：由椭圆的定义得：△F AB的周长为：AB+AF+BF＝AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）＝4a+AB﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴△F AB的周长：AB+AF+BF＝4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；∴△F AB的周长的最大值是4a＝12⇒a＝3；∴e＝＝＝．故答案：．16．（5分）已知函数f（x）＝，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（21，24）．【解答】解：由题意可得﹣log3a＝log3b＝c2﹣c+8＝d2﹣d+8，可得log3（ab）＝0，故ab＝1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）上，令f（x）＝1可得c＝3、d＝7、cd＝21．令f（x）＝0可得c＝4、d＝6、cd＝24．故有21＜abcd＜24，故答案为（21，24）．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝p（S n﹣a n）+（p为大于0的常数），且a1是6a3与a2的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a n•b n＝2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）当n＝1时，，得．当n≥2时，，，，即．两式相减得a n＝pa n﹣1故{a n}是首项为，公比为p的等比数列，∴．由题意可得：2a1＝6a3+a2，，化为6p2+p﹣2＝0．解得p＝或（舍去）．∴＝．（II）由（I）得，则，+（2n﹣1）×2n+（2n+1）×2n+1，两式相减得﹣T n＝3×2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n+1）×2n+1＝＝﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1，∴．18．（12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1﹣4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．每扇门对应的梦想基金：（单位：元）（Ⅰ）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（参考公式其中n＝a+b+c+d）【解答】解：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，…（2分）根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2＝＝3∵3＞2.706…（3分）∴有1﹣0.10＝90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．…（4分）（Ⅱ）ξ的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000则…（5分）…（6分）…（7分）…（8分）…（9分）ξ的分布列为…（10分）ξ数学期望…（12分）19．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB＝AE＝，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求二面角E﹣PF﹣C的大小．【解答】（I）证明：在Rt&△DEF中，∵ED＝DF，∴∠DEF＝45°，在Rt△ABE中，∵AE＝AB，∴∠AEB＝45°，∴∠BEF＝90°，∴EF⊥BE，（3分）∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE＝BE，∴EF⊥平面PBE，∵EF⊂平面PEF，∴平面PBE⊥平面PEF．（6分）（II）解：由题意，不妨设AD＝3，以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平面EBCD向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系．（7分）∵在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB＝AE＝，∴，∴．设平面PEF和平面PCF的法向量分别为＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2）．由及，得到，∴＝．又由•及•，得到，∴＝，（9分），（11分）综上所述，二面角E﹣PF﹣C大小为150°．（12分）20．（12分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，右焦点到直线+＝1的距离d＝，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，求O到直线l的距离．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，右焦点（c，0）到直线的距离，则，且b2+c2＝1，∴a2＝4，b2＝3，∴椭圆C的方程是：（Ⅱ）设直线l：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）那么：，则（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝又∵直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，∴x1x2+y1y2＝0，∴x1x2+（kx1﹣m）（kx2﹣m）＝0，∴，化简得，即∴O到直线l的距离为21．（12分）已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣ax在x＝﹣处的切线的斜率为1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；（Ⅱ）证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）；（Ⅲ）设g（x）＝b（e x﹣x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．求导数，得f′（x）＝﹣a．由已知，∵函数f（x）＝ln（1+x）﹣ax在x＝﹣处的切线的斜率为1∴f′（﹣）＝1，即﹣a＝1，∴a＝1．此时f（x）＝ln（1+x）﹣x，f′（x）＝﹣1＝，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．∴当x＝0时，f（x）取得极大值，该极大值即为最大值，∴f（x）max＝f（0）＝0．…（4分）（Ⅱ）证明：法（一）：由（Ⅰ），得ln（1+x）﹣x≤0，即ln（1+x）≤x，当且仅当x＝0时，等号成立．令x＝（k∈N*），则＞ln（1+），即＞ln，∴＞ln（k+1）﹣lnk（k＝1，2，…，n）．将上述n个不等式依次相加，得1+++…+＞（ln2﹣ln1）+（ln3﹣ln2）+…+[ln（n+1）﹣lnn]，∴1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）．…（10分）法（二）：用数学归纳法证明．（1）当n＝1时，左边＝1＝lne，右边＝ln2，∴左边＞右边，不等式成立．（2）假设当n＝k时，不等式成立，即1+++…+＞ln（k+1）．那么1+++…++＞ln（k+1）+，由（Ⅰ），知x＞ln（1+x）（x＞﹣1，且x≠0）．令x＝，则＞ln（1+）＝ln，∴ln（k+1）+＞ln（k+1）+ln＝ln（k+2），∴1+++…++＞ln（k+2）．即当n＝k+1时，不等式也成立．…（10分）根据（1）（2），可知不等式对任意n∈N*都成立．（Ⅲ）解：∵f（0）＝0，g（0）＝b，若f（x）≤g（x）恒成立，则b≥0．由（Ⅰ），知f（x）max＝f（0）＝0．（1）当b＝0时，g（x）＝0，此时f（x）≤g（x）恒成立；（2）当b＞0时，g′（x）＝b（e x﹣1），当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．∴g（x）在x＝0处取得极小值，即为最小值，∴g（x）min＝g（0）＝b＞0≥f（x），即f（x）≤g（x）恒成立．综合（1）（2）可知，实数b的取值范围为[0，+∞）．…（14分）请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修1-4：几何证明选讲22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，以AB为直径的圆O 交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2＝DM•AC+DM•AB．【解答】解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB＝90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE＝BD．又∵OE＝OB，OD＝OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED＝∠OBD＝90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2＝DM•DH＝DM•（DO+OH）＝DM•DO+DM•OH．∵OH＝，OD为△ABC的中位线，得DO＝，∴，化简得2DE2＝DM•AC+DM•AB．选修4-4：坐标系与参数方程23．将圆x2+y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2＝1上，∴x2+＝1，即曲线C的方程为x2+＝1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1＝（x﹣），即x﹣2y+＝0．再根据x＝ρcosα、y＝ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+＝0，即ρ＝．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|，（Ⅰ）当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）当a＝1时，函数f（x）的最小值为m，若a，b，c是正实数，且满足a+b+c ＝m，求证：a2+b2+c2≥3．【解答】（Ⅰ）解：当a＝﹣3时，f（x）≥3⇔|x﹣3|+|x﹣2|≥3或或⇔x≤1或x≥4，则解集为（﹣∞，1]∪[4，+∞）；（Ⅱ）证明：由于|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|＝3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，则f（x）的最小值为3，即m＝3．即有a+b+c＝3，又a，b，c为正实数，则有（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2＝9，即有a2+b2+c2≥3．。
河南省郑州市2015届高三第一次质量预测试题
河南省郑州市2015届高三第一次质量预测试题高三2011-01-11 11:20河南省郑州市2011年高中毕业年级第一次质量预测语文试题第Ⅰ卷阅读题甲必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分），阅读下面的文字，完成1—3题。
诗和其他艺术都是情感的流露。
情感是心理中极原始的一种要素。
人在理智未发达之前先已有情感；在理智既发达之后，情感仍然是理智的驱遣者。
情感是心感于物所起的激动，其中有许多人所共同的成分，也有某个人所特有的成分。
这就是说，情感一方面有群性，一方面也有个性，群性是得诸遗传的，是永恒的，不易变化的；个性是成于环境的，是随环境而变化的。
环境随人随时而异，所以人类的情感时时在变化；遗传的倾向为多数人所共同，所以情感在变化之中有不变化者存在。
艺术是情感的返照，它也有群性和个性的分别，它在变化之中也有不变化者存在。
比如单拿诗来说，四言、五言、七言、古、律、绝、词的交替是变化，而格律则为变化中的不变化者。
变化就是创造，不变化就是因袭。
把不变化者归纳成为原则，就是自然律。
这种自然律可以用为规范律，因为它本来是人类共同的情感需要。
但是只有群性而无个性，只有整齐而无变化，只有因袭而无创造，也就不能产生艺术。
末流者忘记这个道理，所以往往把格律变成死板的形式。
格律在经过形式化之后往往使人受拘束，这是事实，但是这决不是格律本身的罪过，我们不能因噎废食。
格律不能束缚天才，也不能把庸手提拔到艺术家的地位。
如果真是诗人，格律会受他奴使；如果不是诗人，有格律他的诗固然腐滥，无格律它也还是腐滥。
古今大艺术家大半都从格律入手。
艺术须寓整齐于变化。
一味齐整，如钟摆摇动声，固然单调；一味变化，如市场嘈杂声，也还是单调。
由整齐到变化易，由变化到整齐难。
从整齐入手，创造的本能和特别情境的需要会使作者在整齐之中求变化以避免单调。
从变化入手，则变化之上不能再有变化，本来是求新奇而结果却仍还于单调。
古今大艺术家大半后来都做到脱化格律的境界。
河南省郑州市新郑一中分校高考数学一模试卷 理(含解析)
河南省郑州市新郑一中分校2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=( )A．（0，2）B．[0，2] C．|0，2| D．{0，1，2}2．已知=b+i，（a，b∈R），其中i为虚数单位，则ab=( )A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣23．下列命题错误的是( )A．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0B．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件4．已知函数，则的值为( )A．1 B．C．D．25．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为( )A．1007 B．1008 C．2013 D．20146．若对任意角θ，都有，则下列不等式恒成立的是( )A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．D．7．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．B．C．D．8．设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是( )A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b9．若不等式组表示的平面区域为M，x2+y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为( )A．B．C．D．10．已知点O为△ABC的外心，且则=( ) A．2 B．4 C．D．611．如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．12．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数m满足∀x∈M（M⊆D），均有x+m∈D，且f（x+m）≥f（x），则称f（x）为M上的m高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是( )A．[﹣1，1] B．（﹣1，1）C．[﹣2，2] D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13．若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数为__________．14．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则该数列的前2014项的乘积a1•a2•a3•…a2014=__________．15．已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是__________．16．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为__________（用数字作答）．三．解答题（本小题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，b=2，求△ABC的面积S．18．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求证：PA⊥BD（3）若二面角D﹣PA﹣O的余弦值为，求PB的长．19．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85）[85，90）后得到如图的频率分布直方图．问：（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在[65，70）的车辆数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．20．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l1，l2是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求l1的斜率k的取值范围；（Ⅲ）求的取值范围．21．已知x＞，函数f（x）=x2，h（x）=2e lnx（e为自然常数）．（Ⅰ）求证：f（x）≥h（x）；（Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，则称函数h（x）的图象为函数f（x），g（x）的“边界”．已知函数g（x）=﹣4x2+px+q（p，q∈R），试判断“函数f（x），g（x）以函数h（x）的图象为边界”和“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-5：平面几何选讲（本小题10分）22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．选修4-5：坐标系与参数方程．23．已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．河南省郑州市新郑一中分校2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=( ) A．（0，2）B．[0，2] C．|0，2| D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题意可得A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求解答：解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16} 则A∩B={0，1，2}故选D点评：本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A，B，属于基础试题2．已知=b+i，（a，b∈R），其中i为虚数单位，则ab=( )A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的乘除运算化简等式左边，然后由复数相等的条件求得a，b，则ab 可求．解答：解：由=，又=b+i，∴2﹣ai=b+i，则a=﹣1，b=2．∴ab=﹣2．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3．下列命题错误的是( )A．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0B．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件考点：复合命题的真假．专题：阅读型．分析：根据命题：∃x∈R，使得x2+x+1＜0是特称命题，其否定为全称命题，即：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，从而得到答案．故A对；根据逆否命题的写法进行判断B即可；P∧q为假命题⇒P、q不均为真命题．故C错误；利用充分不必要条件的判定方法即可进行D的判定．解答：解：∵命题：∃x∈R，使得x2+x+1＜0是特称命题∴否定命题为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，从而得到答案．故A对B命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故②正确；C：若P∧q为假命题，则P、q不均为真命题．故③错误；D“x＞2”⇒“x2﹣3x+2＞0”，反之不成立，“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故选C．点评：这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．本题考查命题的真假判断与应用，解题时要认真审题，仔细解答．4．已知函数，则的值为( )A．1 B．C．D．2考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：先通过诱导公式找到规律，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（cos+cos）+（cos+cos）=﹣（cos+cos）+（cos+cos）=0，然后再利用诱导公式及周期性求解．解答：解：∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（cos+cos）+（cos+cos）=﹣（cos+cos）+（cos+cos）=0，f（5）=cosπ=﹣1；f（6）+f（7）+f（8）+f（9）=cos（π+）+cos（π+）+cos（π+）+cos（π+）=﹣（cos+cos+cos+cos）=﹣[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0，f（10）=cos2π=1；∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）+f（9）+f（10）=0函数的周期T==10，因此从f（1）起，每连续10项的和等于0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…f=f+f+f=f（1）+f（2）+f（3）=cos+cos+cos=cosf（11）+f（22）+f（33）=f（1）+f（2）+f（3）=cos+cos+cos=cos∴原式=1故选A．点评：本题主要考查函数的规律的探索，学习三角函数关键是熟练应用相关公式，将问题进行转化．5．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为( )A．1007 B．1008 C．2013 D．2014考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1•k，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值，利用并项求和求得S．解答：解：由程序框图知：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1•k，当n=2014时，不满足条件n＜2014，程序运行终止，此时k=2014，∴输出的S=1﹣2+3﹣4+…（﹣1）2012•2013=1+1006=1007．故选：A．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值是解答本题的关键．6．若对任意角θ，都有，则下列不等式恒成立的是( ) A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：先换元，对任意角θ，都有，可转化成直线与单位圆有交点，利用圆心到直线的距离小于等于半径建立不等关系即可．解答：解：设x=cosθ，y=sinθ则对任意角θ，都有，可看成直线与单位圆有交点，化简得，故选D．点评：本题主要考查了基本不等式，转化成直线和圆恒有交点，属于中档题．7．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图，我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1，进而求出底面外接圆半径r，球心到底面的球心距d，球半径R，代入球的表面积公式．即可求出球的表面积．解答：解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1则底面外接圆半径r=，球心到底面的球心距d=则球半径R2==则该球的表面积S=4πR2=故选B点评：本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据截面圆半径、球心距、球半径满足勾股定理计算球的半径，是解答本题的关键．8．设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是( )A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b考点：平面与平面之间的位置关系．专题：证明题；数形结合；综合法．分析：A选项用空间中直线的位置关系讨论；B选项用面面平行的条件进行讨论；C选项用面面垂直的判定定理进行判断；D选项用线线的位置关系进行讨论，解答：解：A选项不正确，a∥α，b∥α，两直线的位置关系可能是平行，相交、异面B选项不正确，两个平面平行于同一条直线，两平面的位置关系可能是平行或者相交．C选项正确，由b⊥β，a⊥b可得出β∥a或β⊃a，又a⊥α故有α⊥βD选项不正确，本命题用图形说明，如图三棱锥P﹣ABC中，侧棱PB垂直于底面，PA，PC两线在底面上的投影垂直，而两线不垂直．故选C点评：本题考查平面与平面之间的位置关系，考查了面面垂直的判定面面平行的判定，考查了空间想像能力．9．若不等式组表示的平面区域为M，x2+y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为( )A．B．C．D．考点：几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题．分析：分别求出不等式组表示的平面区域为M，即为图中的三角形OAB的面积及区域N的为图中的阴影部分面积为，代入几何概率的计算公式可求．解答：解：不等式组表示的平面区域为M，即为图中的三角形OAB，A（） B（4，4）设y=2x﹣4与x轴的交点为M（2，0）S△AOB=S OBM+S△OAM=区域N的为图中的阴影部分，面积为由几何概率的计算公式可得P=故选C点评：本题主要考查了几何概率的求解，还考查了线性规划的知识，属于简单综合．10．已知点O为△ABC的外心，且则=( ) A．2 B．4 C．D．6考点：平面向量数量积的运算；三角形五心．专题：计算题．分析：先根据向量的线性运算，直接表示中根据向量的数量积运算可求得最后结果．解答：解：因为点O为△ABC的外心，取P为AC的中点．且，∴•====（）（）=（||2﹣||2）=16﹣4）=6．故选D．点评：本题主要考查向量的线性运算和数量积运算．2015届高考对向量的考查一般以基础题为主，平时要注意基础题的练习．11．如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；解三角形；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，再由双曲线的定义，求得t=4a，再由余弦定理可得a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到．解答：解：由△BAF2为等边三角形，设A为右支上一点，且AF2=t，则AB=BF2=t，由双曲线的定义可得，AF2﹣AF1=2a，BF1﹣BF2=2a，BF1=AB+AF1，即有t+2a=2t﹣2a，解得，t=4a，AF1=6a，AF2=4a，F1F2=2c，由余弦定理可得，F1F22=AF12+AF22﹣2AF1•AF2cos60°，即有4c2=36a2+16a2﹣2×6a×4a×，即为4c2=28a2，则有e==．故选D．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，考查双曲线的定义的运用，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．12．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数m满足∀x∈M（M⊆D），均有x+m∈D，且f（x+m）≥f（x），则称f（x）为M上的m高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是( )A．[﹣1，1] B．（﹣1，1）C．[﹣2，2] D．（﹣2，2）考点：函数最值的应用．专题：作图题；新定义．分析：定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，画出函数图象，根据高调函数的定义可知4≥3a2﹣（﹣a2），解之即可求出a的取值范围．解答：解：定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2=，根据解析式和函数是奇函数进行画图，图象如右图，∵f（x）为R上的4高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a2，要满足f（x+4）≥f（x），4大于等于区间长度3a2﹣（﹣a2），∴4≥3a2﹣（﹣a2），∴﹣1≤a≤1，即实数a的取值范围是[﹣1，1]．故选A．点评：本题主要考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13．若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数为21．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项式系数和为2m，列出方程求出m；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为﹣3，求出展开式中含的系数．解答：解：∵展开式中二项式系数之和为2m∴2m=128解得m=7∴=展开式的通项为令解得r=6故展开式中的系数为3C76=21故答案为21点评：本题考查二项式系数的性质：二项式系数和为2n、考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则该数列的前2014项的乘积a1•a2•a3• (2014)﹣6．考点：数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先由递推关系式，分析得到数列{a n}的规律．即数列是以4为循环的数列，再求解．解答：解：由递推关系式，得a n+2=﹣，a n+4=a n．∴{a n}是以4为循环的一个数列．由计算，得a1=2，a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…∴a1a2a3a4=1，∴a1•a2…a2010•a2014=1×a2013•a2014=a1•a2=﹣6．故答案为：﹣6．点评：递推关系式是数列内部之间关系的一个式子．当遇到如题中的连续多项计算，特别是不可能逐一计算时，往往数列本身会有一定的规律，如循环等，再利用规律求解．15．已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是＜a≤1．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合．分析：由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，抛物线部分与x轴有两个交点，由函数图象的平移和二次函数的顶点可得关于a的不等式，解之可得答案．解答：解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由指数函数过点（0，1），故需下移至多1个单位，故0＜a≤1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得＜a≤1，故答案为：＜a≤1点评：本题考查根的存在性及根的个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．16．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为•（•）•=216，三门文化课中相邻排列，则排法种数为=144，而所有的排法共有=720种，由此求得所求事件的概率．解答：解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为=72，②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为•（•）•=216，③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为为一个整体，然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为=144，而所有的排法共有=720种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为=，故答案为．点评：本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．三．解答题（本小题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，b=2，求△ABC的面积S．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得sinC和sinA的关系式，则的值可得．（Ⅱ）先通过余弦定理可求得a和c的关系式，同时利用（Ⅰ）中的结论和正弦定理求得a 和c的另一关系式，最后联立求得a和c，利用三角形面积公式即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理设则===整理求得sin（A+B）=2sin（B+C）又A+B+C=π∴sinC=2sinA，即=2（Ⅱ）由余弦定理可知cosB==①由（Ⅰ）可知==2②再由b=2，①②联立求得c=2，a=1sinB==∴S=acsinB=点评：本题主要考查了解三角形和三角函数中恒等变换的应用．考查了学生基本分析问题的能力和基本的运算能力．18．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求证：PA⊥BD（3）若二面角D﹣PA﹣O的余弦值为，求PB的长．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；向量语言表述线线的垂直、平行关系．专题：计算题；证明题．（1）由已知中，PB=PC，O是BC的中点，由等腰三角形“三线合一”的性质，可得PO⊥BC，分析：结合侧面PBC⊥底面ABCD，由面面垂直的性质定理可得PO⊥平面ABCD；（2）以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设OP=t，分别求出直线PA与BD的方向向量，根据两个向量的数量积为0，即可得到PA⊥BD（3）分别求出平面DPA与平面PAO的法向量，根据二面角D﹣PA﹣O的余弦值为，代入向量夹角公式，构造关于t的方程，解方法即可得到PB的长．解答：解：（1）证明：因为PB=PC，O是BC的中点，所以P O⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，PO⊂平面PBC，面PBC∩底面ABCD=BC，所以PO⊥平面ABCD．…（2）证明：以点O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，设OP=t（t＞0），则P（0，0，t），A（1，2，0），B（1，0，0），D（﹣1，1，0），=（1，2，﹣t），=（﹣2，1，0），因为•=0，所以⊥，即PA⊥BD．…（3）设平面PAD和平面PAO的法向量分别为=（a，b，c），=（x，y，z），注意到=（﹣1，1，﹣t），=（1，2，0），=（0，0，t），由，令a=1得，=（1，﹣2，），由令y=﹣1得，=（2，﹣1，0），所以cos60°===，解之得t=，所以PB==2为所求．…点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，向量语言表述线线的垂直、平行关系，其中（1）的关键是熟练掌握空间线线垂直、线面垂直及面面垂直之间的相互转化，（2），（3）的关键是建立空间坐标系，将空间中直线与平面之间的关系及夹角转化为向量的夹角．19．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85）[85，90）后得到如图的频率分布直方图．问：（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在[65，70）的车辆数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．考点：离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，由此能求出众数的估计值，设图中虚线所对应的车速为x，则0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，由此能求出中位数的估计值．（2）从图中可知ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及其均值．解答：解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值为：77.5．设图中虚线所对应的车速为x，则0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，解得x=77.5，即中位数的估计值为77.5．（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆），车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆），∴ξ=0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为ξ0 1 2P均值E（ξ）==．点评：本题考查车速的众数和中位数的估计值的求法，考查离散型随机变量的分布列的均值的求法，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．20．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l1，l2是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求l1的斜率k的取值范围；（Ⅲ）求的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）设椭圆的标准方程，根据离心率求得a和c关系，进而根据a求得b，则椭圆的方程可得．（2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零设直线l1和l2的方程，分别于椭圆方程联立消去y，根据判别式求得k的范围，最后综合可得答案．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），根据韦达定理求得x0和y0的表达式，进而表示M和N的坐标，最后表示出根据k的范围确定答案．解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为，由∴椭圆方程为；（2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零∵，∴．由消去y并化简整理，得（3+4k2）x2+16kx+4=0根据题意，△=（16k）2﹣16（3+4k2）＞0，解得．同理得，∴；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）那么，∴，∴同理得，即∴∵，∴∴即的取值范围是．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题综合性强，要求学生要有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．21．已知x＞，函数f（x）=x2，h（x）=2e lnx（e为自然常数）．（Ⅰ）求证：f（x）≥h（x）；（Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，则称函数h（x）的图象为函数f（x），g（x）的“边界”．已知函数g（x）=﹣4x2+px+q（p，q∈R），试判断“函数f（x），g（x）以函数h（x）的图象为边界”和“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；新定义．分析：（I）把两个函数相减构造新函数，求函数的导数，使得导数大于0，得到函数的函数的单调区间，求出函数的最小值，最小值等于0，得到两个函数之间的大小关系．（II）构造新函数v（x）=h（x）﹣g（x）=2elnx+4x2﹣px﹣q，v（x）≥0恒成立”与“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”同时成立，利用导数求出新函数的单调区间和最值，求出两个函数同时成立时p，q的值．解答：解：（I）证明：记u（x）=f（x）﹣h（x）=x2﹣2elnx，则，令u'（x）＞0，注意到，可得，所以函数u（x）在上单调递减，在上单调递增．，即u（x）≥0，∴f（x）≥h（x）．（II）由（I）知，f（x）≥h（x）对恒成立，当且仅当时等号成立，记v（x）=h（x）﹣g（x）=2elnx+4x2﹣px﹣q，则“v（x）≥0恒成立”与“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”同时成立，即v（x）≥0对恒成立，当且仅当时等号成立，所以函数v（x）在时取极小值，注意到，由，解得，此时，由知，函数v（x）在上单调递减，在上单调递增，即=0，q=﹣5e，综上，两个条件能同时成立，此时．点评：本题考查函数的导数在最值中的应用，解题的关键是构造新函数，利用函数恒成立的思想解决问题，注意本题的运算也比较多，不要在这种运算上出错．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-5：平面几何选讲（本小题10分）22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．考点：与圆有关的比例线段．专题：综合题．分析：（1）根据切割线定理，建立两个等式，即可证得结论；（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F，证明AC是⊙O2的切线，可得∠CAD=∠AE D，由（1）知，可得∠CAD=∠ADE，从而可得∠AED=∠ADE，即可证得结论．解答：证明：（1）∵PE、PB分别是⊙O2的割线∴PA•PE=PD•PB又∵PA、PB分别是⊙O1的切线和割线∴PA2=PC•PB由以上条件得PA•PD=PE•PC（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB=90°∴AC是⊙O2的切线．由（1）知，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD=∠ADE又∵AC是⊙O2的切线，∴∠CAD=∠AED又∠CAD=∠ADE，∴∠AED=∠ADE∴AD=AE点评：本题考查圆的切线，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-5：坐标系与参数方程．23．已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．考点：简单曲线的极坐标方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用；直线的参数方程；圆的参数方程．专题：综合题；压轴题．分析：（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．解答：解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．点评：本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．。
2015届普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷Ⅰ)模拟数学(理)试题(河南卷)word版版 含答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅰ）模拟卷 理 科 数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把答案填在答题卷的相应位置。
1.已知集合},01|{R x x xx A ∈≥-=，},12|{R x y y B x ∈+==，则=)(B A C R A.]1,(-∞ B. )1,(-∞ C. ]1,0( D. ]1,0[ 2．复数),(111为虚数单位i R a ia i z ∈++-=在复平面上对应的点不可能位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、将一个长方体截掉一个小长方体，所得几何体的俯视图与侧视图如右图所示，则该几何体的正视图为A.B.C.D.4.已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，13213a ,a ,2a 2成等差数列，则=++1081311a a a a A. 27B.3C.1-或3D.1或275. 如图所示的程序框图的运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．6>kB ．6≥kC ．7≥kD ．7>k 6．给出下列四个结论：①若a ，b ∈[0，1]，则不等式22a b ＋≤1成立的概率为4π；②由曲线y ＝3x 与y 0．5；③已知随机变量ξ服从正态分布N （3，2σ），若P （ξ≤5）＝m ，则P （ξ≤1）＝1－m ；④8的展开式中常数项为358．其中正确结论的个数为A ．1B ．2C ．3D ．47. 已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥02200y x y x y ，则1x y z x +=+的取值范围是（ ）A ． 4[0,]3 B. 1[,2)2 C. 14[,]23 D. 1[,)2+∞ 8．定义在区间)](,[a b b a >上的函数x x x f cos 23sin 21)(-=的值域是]1,21[-，则a b -的最大值M 和最小值m 分别是A ．,63m M ππ==B ．2,33m M ππ==C ．4,23m M ππ==D ．24,33m M ππ==9. 对于任意实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，则不等式[][]2436450x x -+<的充分不必要条件是 A. 315,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭B. 3,82x ⎛⎫∈⎪⎝⎭C. [)2,8x ∈D. [)2,7x ∈10.有5 盆不同菊花, 其中黄菊花2 盆、 白菊花2 盆、 红菊花1 盆,现把它们摆放成一排, 要求2 盆黄菊花必须相邻,2 盆白菊花不能相邻, 则这5 盆花不同的摆放种数是A ．12B ．24C ．36D ．4811、已知圆22:2C x y +=，直线:240l x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上．若存在圆C 上的点Q ，使45OPQ ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是A 、[0,1]B 、8[0,]5C 、1[,1]2-D 、18[,]25-12.已知函数2|lg |0()10x x f x xx >⎧=⎨-≤⎩，则方程2(2)(0)f x x a a +=>的根的个数不可能为A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
河南15年高考数学试卷 (理科) 高清word 文字版
2015年普通高等学校招生全国统一试卷理科数学注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
（1）设复数z 满足i zz =-+11，则=z （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 （2）=-000010sin 160cos 10cos 20sin （ ） （A ）23-（B ） 23（C ）21- （D ）21（3）设命题P ：,2,2n n N n >∈∃则P -为 （ ） （A ）n n N n 2,2>∈∀ （B ） n n N n 2,2≤∈∃ （C ）n n N n 2,2≤∈∀ （D ）n n N n 2,2=∈∃（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率 （ ）（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312（5）已知()00,y x M 是双曲线12:22=-y x C 上的一点，21,F F 是C 上的两个焦点，若021<∙→→MF MF ，则0y 的取值范围是 （ ）（A ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-33,33 （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-63,63 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322,322 （D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332,332 （6）《九章算术》是我国古代内人极为丰富的数学名著。
书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为“在屋内墙角处堆放米（，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺米堆的高度为5尺，问米堆的体积和米各是多少？已知1斛米的体积为1.62立方米 （ ）（A ）14斛 （B ） 22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 （7）设D 为ABC ∆所在平面内的一点，→→=CD BC 3；则 （ ）（A ）→+→-=→AC AB AD 3431 （B ） →-→=→AC AB AD 3431（C ）→+→=→AC AB AD 3134 （D ）→-→=→AC AB AD 3134（8）函数())cos(ϕ+=wx x f 的部分图像如图所示，则()x f 的单调递减区间为 （ ）（A ）z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,43,41ππ （B ） z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,432,412ππ（C ）z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,43,41 （D ）z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,432,412（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= （ ） （A ）5 （B ） 6 （C ）7 （D ）8（10）()52y x x ++的展开式，25y x 的系数为 （ ） （A ）10 （B ） 20 （C ）30 （D ）60（11）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成的几何体，该几何体的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为π2016+，则r= （ ）（A ）1 （B ） 2 （C ）4 （D ）8（12）设函数(),)12(a ax x e x f x +--=其中1<a ，若存在唯一的整数0x ，使得，则a 的取值范围是 （ ）（A ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,23e （B ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡-43,23e （C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,23e （D ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23e第II 卷本卷分为必做题和选做题两部分，第（13）题-第（21）题为必做题，每个考生都必须作答，第（22）题-第（24）为选做题，考生按要求作答。
2015年郑州市第一次质量预测数学试卷及答案
2015年郑州市第一次质量预测数学试卷（满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（每小题3分，共24分）1. 下列各组数中，互为相反数的两个数是（ ）A ．3-和2+B ．5和15C ．6-和6D ．13-和122. 如图所示的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，从正面看到的平面图形为（ ）A ．B ．C ．D ．3. 黄河农场各用10块面积相同的试验田种植甲、乙两种麦子，收获后对两种麦子产量（单位：吨/亩）的数据统计如下：=0.61x 甲，=0.59x 乙，2=0.01S 甲，2=0.002S 乙，则由上述数据推断乙种麦子产量比较稳定的依据是（ ）A ．x x >甲乙B ．22S S >甲乙C ．2x S >甲甲D ．2x S >乙乙4. 下列各式计算正确的是（ ）A .223a a a += B ．()236bb -=-C ．235c c c ⋅=D ．()222m n m n -=-5. 如图，△ABC 中，BF ，CE 分别是∠ABC ，∠ACB 的角平分线，∠A =50°，那么∠BDC 的度数为（ ）A .105°B .115°C .125°D .135°6. 第22届冬季奥运会于2014年2月7日在俄罗斯索契开幕，到冰壶比赛场馆服务的大学生志愿者中，有3名来自莫斯科国立大学，有5名来自圣彼得堡国立大学，现从这8名志愿者中随机抽取1人，这名志愿者来自莫斯科国立大学的概率是（ ） A .14B .15C .18D .38FEDCBA7. 如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD =12，BD =8，CD =6，E ，F ，G ，H分别是AB ，AC ，CD ，BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是（ ） A .14B .18C .20D .22H GFE D A第7题图 第8题图8. 观察二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象，下列四个结论中：①4ac -b 2＞0；②4a +c ＜2b ；③b +c ＜0；④n （an +b ）-b ＜a （n ≠1）．正确结论的个数有（ ） A .4个B .3个C .2个D .1个二、填空题（每小题3分，共21分） 9. 计算2sin30°=____________．10. 中央电视台统计显示，南京青奥会开幕式直播有超过2亿观众通过央视收看，2亿用科学记数法可记为____________．11. 请你写出一个大于1而小于5的无理数____________．12. 在平面直角坐标系中，直线211y x =-+与直线1533y x =+的交点坐标（4，3），则方程组21135x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解为____________．13. 冯老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班方式由自驾车改为骑自行车.已知冯老师家距学校15km ，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多13h .如果设骑自行车的速度为x km /h ，则由题意可列方程为____________．14. 如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合，若AB =2，BC =3，则△FCB'与 △B'DG 的面积之比为____________．15. 在平面直角坐标系中，已知点(42)(22)A B ---，，，，以原点O 为位似中心，把△ABO 放大为原来的2倍，则点A 的对应点A' 的坐标是____________．GFEB'A'D C BA三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （本题8分）课堂上，王老师出了这样一道题：已知2015x =-22213(1)11x x x x x -+-+-+÷的值． 小明觉得直接代入计算太复杂了，同学小刚帮他解决了问题，并解释说：“结果与x 无关”．解答过程如下：2(1)13(1)(1)1111112(1)12x x x x x x x x x x x x -++-=+-+-=+-+=⨯+-=…原式………①……………②…………………③…………………………………④÷÷_________当2015x =-12=原式．（1）从原式到步骤①，用到的数学知识有：_____________； （2）步骤②中的空白处的代数式为：________________；（3）从步骤③到步骤④，用到的数学知识有：_______________． 17. （本题9分）在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要部分．郑州市的一个社区随机抽取部分家庭，调查每月用于信息消费的金额，数据整理后如图所示的不完整统计图和表格．已知A ，B 两组户数直方图的高度比为1:5，请结合图表中相关数据回答下列问题：月消费额分组统计表（1）A 组的频数是__________，本次调查样本的容量是__________； （2）补全直方图（需标明C 组频数）；（3）若该社区有1500户住户，请估计月信息消费额不少于300元的户数是多少？月消费额分布频数直方图组别各组户数扇形统计图8%E D 28%C 40%BA18.（本题9分）如图1，小颖将一组对边平行的纸条沿EF折叠，点A，B分别落在A′，B′处，线段FB′与AD交于点M．图2图1（1）如图1，△MEF的形状是________________；（2）如图2，小颖又将纸条的另一部分CFMD沿MN折叠，点C，D分别落在C′，D′处，且使MD′经过点F，请你猜想四边形MNFE的形状，请说明理由；（3）当∠MFE=________度时，四边形MNFE是菱形．19.（本题9分）住在郑东新区的小明想知道“中原第一高楼”有多高，他登上了附近的另一个高层酒店的顶层某处，已知小明所处位置距离地面有160米高，测得“中原第一高楼”顶部的仰角为37°，测得“中原第一高楼”底部的俯角为45°，请你用初中数学知识帮助小明解决这个问题．（请你画出示意图，并说明理由．）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）酒店第一高楼20. （本题9分）如图，已知反比例函数11k y x=1(0)k <与一次函数221y k x =+ 2(0)k ≠相交于A ，B 两点，AC ⊥x 轴于点C ．若△OAC 的面积为1，且 tan ∠AOC =2．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）请直接写出B 点的坐标，并指出当x 为何值时，反比例函数y 1的值 小于一次函数y 2的值．21. （本题10分）某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．旅馆装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前日租金总收入增加多少元？22. （本题10分）如图1，正方形AEFG 的边长为1，正方形ABCD 的边长为3，且点F 在AD 上． （1）求DBF S △；（2）把正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转45°得图2，求图2中的DBF S △； （3）把正方形AEFG 绕点A 旋转一周，在旋转的过程中，DBF S △存在最大值与最小值，请直接写出最大值____________，最小值____________．图1图2ABGF E DCAGF D EBC23. （本题11分）已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OB =2，OC =8，抛物线的对称轴是直线x =-2． （1）求抛物线的表达式；（2）连接AC ，BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A ，点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； （3）在（2）的基础上，试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．2015年郑州市第一次质量预测数学试卷参考答案一、选择题（每小题3分，共24分）1．C 2．A 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 二、填空题（每小题3分，共21分）9．1；10．8210⨯；11．答案不唯一，如π12．43xy=⎧⎨=⎩；13．1515123x x-=；14．16:9 ；15．A'（8-，4）或A'（8，4-）．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．解：（1）因式分解，通分，分解因式中的完全平方公式和平方差公式，分式的基本性质；（写对一个即可）……………… 3分（2）221xx-+（或2(1)1xx-+）；………6分（3）约分（或分式的基本性质）．………………8分17．解：（1）A组的频数是：2；调查样本的容量是：50；……………………… 4分（2）C组的频数是：50×40%=20，如图．…………………6分（3）∵1500×（28%+8%）=540，∴全社区捐款不少于300元的户数是540户．…………………9分18．解：（1）△MEF是等腰三角形；…………… 2分（2）四边形MNFE为平行四边形，…………… 3分理由如下：∵AD∥BC，∴∠MEF=∠EFB．由折叠知∠MFE=∠EFB，故∠MEF=∠MFE．∴ME=MF，同理NF=MF．…………… 5分∴ME =NF ． 又∵ME ∥NF ，∴四边形MNFE 为平行四边形．…………… 7分 （3）60．…………… 9分19．解：如图所示，…………… 2分AB 代表小明所处位置到地面的距离，即160AB =米， CD 代表“中原第一高楼”， ………………… 3分 作AE ⊥CD 于点E ．由题意可知，四边形ABDE 是矩形，所以160AB DE ==米．在Rt △ADE 中，∵tan DEDAE AE∠=，160DE =，∴160tan 451AE==，∴160AE =．…………… 5分 在Rt △AEC 中，∵tan CEAEC AE∠=，160AE =，∴tan 370.75160CE==，∴120CE =，…………… 7分 ∴120160280CD CE DE =+=+=（米）， ∴“中原第一高楼”高280米．……………9分20．解：（1）∵点A 在11ky x=的图象上，S △ACO =1，∴1212k =⨯=，又∵10k <，∴12k =-．∴反比例函数的表达式为12y x=-．……………2分设点A （a ，2a-），0a <，∵在Rt △AOC 中，tan 2ACAOC OC ∠==，∴22a a-=-， ∵0a <， ∴1a =-． ∴A (1-，2)．∵点A (1-，2)在221y k x =+上，∴221k =-+，∴21k =-．∴一次函数的表达式为21y x =-+． ……………5分 （2）点B 坐标为（2，1-），……………7分 观察图象可知，当1x <-或02x <<时，反比例函数1y 的值小于一次函数2y 的值．…………… 9分21．设每间客房的日租金提高10x 元，则每天客房出租数会减少6x 间．设装修后客房日租金总收入为y ，……………1分 则y =（160＋10x ）（120－6x ），……………4分 即y =－60（x －2）2＋19 440． ∵x ≥0，且120－6x ＞0， ∴0≤x ＜20．当x =2时，y max =19 440．……………7分这时每间客房的日租金为160＋10×2=180（元）．……………8分装修后比装修前日租金总收入增加19 440－120×160=240（元）．………9分 答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高；装修后比装修前日租金总收入增加240元．……………10分22．解：（1）∵点F 在AD 上， ∴AF =3DF =∴119(33222DBF S DF AB =⨯⨯==-△××．……………3分（2）连结AF ， 由题意易知AF BD ∥，∴92DBF ABD S S ==△△．…………… 6分（3）152；32．…………… 10分23．解：（1）∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，2OB =，8OC =，∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8）．………2分 又∵抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x =－2，∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0）． ∵点C （0，8）在抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的图象上， ∴c =8，将A （－6，0），B （2，0）分别代入y =ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23b ＝－83∴所求抛物线的表达式为y =－23x 2－83x ＋8．……3分（2）依题意，AE =m ，则BE =8－m ， ∵OA =6，OC =8，由勾股定理得AC =10，∵EF ∥AC ， ∴△BEF ∽△BAC ． ∴EF AC =BEAB ．即EF 10=8－m8 ． ∴EF =40－5m 4．过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG =sin ∠CAB =45． ∴FG EF =45． ∴FG =45×40－5m4=8－m ．∴S =S △BCE －S △BFE =12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）=－12m 2＋4m ．…… 7分 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8． …………… 8分 （3）存在． …………… 9分理由：∵S =－12m 2＋4m =－12（m －4）2＋8，且－12＜0，∴当m =4时，S 有最大值，S 最大值=8．此时，点E 的坐标为（—2，0） …………… 11分。
河南省天一大联考2015届高三阶段测试(一)数学(理)试题(扫描版,有答案)
天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考）2014—2015学年高中毕业班阶段性测试(一)数学(理科)·答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分. 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C B C D B C B C A C二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.（13）2（14）3或73 （15）12π（16）804三、解答题（17）解：（Ⅰ）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin ,a R A b R B c R C ===又cos 3cos cos b C a B c B =-，所以sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =-，…………………………………………（2分） 即sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B +=， 所以sin()3sin cos B C A B +=， 即sin 3sin cos A A B =，又sin 0A ≠， 所以1cos 3B =.………………………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）由2,BA BC =得cos 2ac B =，又1cos 3B =，所以6ac =.……………………（8分） 由2222cos ,b a c ac B =+-22b =，可得2212a c +=， 所以2()0a c -=，即a c =，所以6a c ==.…………………………………………（12分）（18）解：（Ⅰ）由0.15100a =，得15a =，因为352510100ab ++++=，所以15b =，“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用4期付款”的概率3123()0.9C 0.1(10.1)0.972.P A =+⨯⨯-=………………………………………………（4分） （Ⅱ）记分期付款的期数为ξ,依题意得(1)0.35P ξ==，(2)0.25P ξ==，(3)0.15P ξ==，(4)0.1P ξ==，(5)0.15P ξ==，…………………………………（6分）因为X 的可能取值为1,1.5,2,并且(1)(1)0.35P X P ξ====，( 1.5)(2)(3)0.4P X P P ξξ===+==，(2)(4)(5)0.10.150.25P X P P ξξ===+==+=.…………………………………（10分） 所以X 的分布列为所以X 的数学期望为()10.35 1.50.420.25 1.45E X =⨯+⨯+⨯=（万元）.…………（12分）（19）解：（Ⅰ）当M 是PB 的中点时，BC ME //.因为//BC 平面PAD ，所以//ME 平面PAD ，所以AN ME //.又AD ME //，所以N 、D 两点重合. 所以223(2)11PN PD ==+=.……………………………………………………（4分）（Ⅱ）解法一：连接AC 、BD 交于点O ，以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则23(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3),(0,2,0),0,,.22B C P A E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 323(2,0,3),(0,2,3),0,,.22PB PC AE ⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭……………………………（6分）设平面PBC 的一个法向量为=(,,),x y z m 则230,230,PB x z PC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩m m 令2z =，得(3,3,2).=m ………………………………………………………（8分） 设直线AE 与平面PBC 所成的角为θ，则923223022sin cos ,.1533252AE θ+=〈〉==⋅m 所以直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值为23015.……………………………………（12分） X1 1.52 P 0.35 0.40.25解法二：设直线AE 与平面PBC 所成的角为θ.因为()112322=+=PC ，所以211=CE ，所以1122112cos ==∠PCA .………………………………………（6分） 由余弦定理，得427cos 2222=∠⋅⋅-+=PCA CE AC CE AC AE ,故233=AE . 因为PCB A ABC P V V --=，易得23231=⨯⨯=-ABC P V ，10=∆PBC S ，……………………（8分）所以点A 到平面PBC 的距离10531032=⨯=d ，故15302sin ==AE d θ，所以直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值为15302.…………………………………（12分） （20）解：（Ⅰ）因为点(3,0)F 在圆22:(3)16M x y ++=内，所以圆N 内切于圆M . 因为||NM +||4||NF FM =>，所以点N 的轨迹E 为椭圆，且24,3a c ==,所以1b =，所以轨迹E 的方程为2214x y +=.…………………………………………………………（4分） （Ⅱ）（i ）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点）， 此时1||2ABC S OC ∆=⨯⨯||2AB =.…………………………………………………………（5分） （ii ）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k ，直线AB 的方程为y kx =，联立方程221,4,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得2222244,,1414A A k x y k k ==++ 所以2||OA =2A x2224(1)14Ak y k ++=+.………………………………………………………（7分）由||||AC CB =知，ABC △为等腰三角形，O 为AB 的中点，OC AB ⊥，所以直线OC 的方程为1y x k =-，由221,41,x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得2224,4C k x k =+2C y =24,4k +2224(1)||4k OC k +=+，…………………………………………………………………………………………………（9分）2||||ABC OAC S S OA OC ∆∆==⨯=22222224(1)4(1)4(1)144(14)(4)k k k k k k k +++⨯=++++，由于22222(14)(4)5(1)(14)(4)22k k k k k ++++++=…，所以85ABC S ∆…，…………（11分）当且仅当22144k k +=+，即1k =±时等号成立，此时ABC △面积的最小值是85.因为825>，所以ABC △面积的最小值为85，此时直线AB 的方程为y x =或y x =-.………………………………………………………………………………………………（12分） （21）解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=+(0)x >． 当0a …时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上为增函数，()f x 没有极值；……………（2分） 当0a <时，1()a x a f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=，若10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()0f x '>；若1(,)x a ∈-+∞，则()0f x '<,()f x ∴存在极大值，且当1x a =-时，11()()ln()1f x f a a =-=--极大值.……………（4分）综上可知：当0a …时，()f x 没有极值； 当0a <时，()f x 存在极大值，且当1x a=-时，1()ln()1f x a =--极大值.…………………………………………………………………………………………………（5分） (Ⅱ)函数()g x 的导函数()e xg x b '=，(0)g b '∴=.(0)g b c =+，∴1,1,b c b +=⎧⎪⎨=⎪⎩∴()e x g x =.…………………………………………………………………………………（6分）当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x g x f x ϕ=--，则()e ln 2xx x ϕ=--，∴1()e x x xϕ'=-，且()x ϕ'在(0,)+∞上为增函数，设()0x ϕ'=的根为x t =，则1e t t=，即e tt -=，当(0,)x t ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)t 上为减函数；当(,)x t ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ在(,)t +∞上为增函数，……………………………（9分）min ()()e ln 2e lne 2e 2t t t t x t t t ϕϕ-∴==--=--=+-.……………………………（10分）(1)e 10ϕ'=->，1e 202ϕ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，1,12t ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，由于函数()e 2xx x φ=+-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，∴12min 11()()e 2e 2 2.252022tx t t ϕϕ==+->+->+-=， ∴()()2f x g x <-.…………………………………………………………………………（12分） （22）证明：（Ⅰ） 因为BC 是圆O 的直径，BE 是圆O 的切线，所以EB BC ⊥.又因为AD BC ⊥，所以AD BE ∥，可知B F C D G C ∽△△， FEC GAC ∽△△，所以BF CF EF CF DG CG AG CG ==，，所以BF EFDG AG=. 因为G 是AD 的中点，所以DG AG =，所以F 是BE 的中点，BF EF =. …………（5分） （Ⅱ）如图，连接AO AB ，，因为BC 是圆O 的直径，所以90BAC ∠=°．在Rt BAE △中，由（Ⅰ）知F 是斜边BE 的中点， 所以AF FB EF ==，所以FBA FAB ∠=∠. 又因为OA OB =，所以ABO BAO ∠=∠． 因为BE 是圆O 的切线，所以90EBO ∠=°.因为90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=°，所以PA 是圆O 的切线.……………………………………………………………………（10分） （23）解：（Ⅰ）直线l 的参数方程为4cos ,(2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数).………………………（2分）因为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=. …………………………………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）将4cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22:4C x y x +=中，得24(sin cos )40t t αα+++=，则有2121216(sin cos )160,4(sin cos ),4,t t t t ∆αααα⎧=+->⎪+=-+⎨⎪=⎩………………………………………………………（6分） 所以sin cos 0αα>.又[0,π)α∈，所以π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 1212||||||||()t t t PN t PM +=-++==π4(sin cos )42sin 4ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，………（8分）由ππ3π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭得2πsin 124α⎛⎫<+ ⎪⎝⎭…，所以||||(4,42]PM PN +∈.………（10分） （24）解：（Ⅰ）当3x -…时,原不等式化为3224x x --+…, 得3x -…； 当132x -<…时,原不等式化为424x x -+…,得30x -<…； 当12x >时，原不等式化为3224x x ++…,得2x …， 综上，{|0A x x =…或2}x ….………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）当240,x +…即2x -…时,|2||3|024x a x x -+++厖成立， 当240,x +>.即2x >-时, |2||3||2|324x a x x a x x -++=-+++…，得1x a +…或13a x -…, 所以12a +-…或113a a -+…,得2a -…. 综上，a 的取值范围为(],2-∞-.…………………………………………………………（10分）。
河南省郑州市2015届高三第一次质量预测 数学(理)试题
河南省郑州市2015届高三第一次质量预测数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|12M x x =-<<，{}|N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是( )A. ()2,+∞B. [2,)+∞C. (),1-∞-D. (,1]-∞- 2. 在复平面内与复数512iz i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ）A. 12i +B. 12i -C. 2i -+D. 2i + 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于（ ） A. 1- B. 1 C. 2 D. 2- 4. 命题:p “2a =-”是命题:q “直线310ax y +-=与直线6430x y +-=垂直”成立的（ ）A. 充要条件B. 充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件 5. 已知点(),P a b 是抛物线220x y =上一点，焦点为F ，25PF =，则ab =（ ）A. 100B.200C.360D.4006. 已知点(),P x y 的坐标满足条件11350x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩，那么点P 到直线34130x y --=的最小值为（ ）A.115 B. 2 C. 95D. 17. 某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为（ ）A. 32B.C.64D.8. 如图，函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0,0,2A πωϕ>>≤）与坐标轴的三个交点,,P Q R 满足()1,0P ，(),2,24PQR M π∠=-为线段QR 的中点，则A 的值为（ ）A. B.C.3D. 9. .如图所示的程序框图中，若()()21,4f x x x g x x =-+=+，且()h x m ≥恒成立，则m 的最大值是（ ）A. 4B.3C. 1D. 010. 设函数()()224,ln 25xf x e xg x x x =+-=+-，若实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点，则（ ）A. ()()0g a f b <<B. ()()0f b g a <<C. ()()0g a f b <<D. ()()0f b g a <<11. 在Rt ABC ∆中，3CA CB ==，,M N 是斜边AB 上的两个动点，且MN =CM CN ⋅的取值范围为（ ）A. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []2,4C. []3,6D. []4,612. 设函数()()()122015,log ,1,2,,20152015i if x x f x x a i ====…，记 ()()()()2132k k k k k I f a f a f a f a =-+-+…()()20152014k k f a f a +-，1,2k =，则（ ）A. 12I I <B. 12I I =C. 12I I >D. 无法确定第II 卷本试卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分. 13. 已知等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，12453,64a a a a +=+=，则6S = 14. 已知20cos a xdx π=⎰，在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的一次项系数的值为15. 设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心.研究函数()3sin 2f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()19120f f ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭…()19120f f ⎛⎫++= ⎪⎝⎭16.给定方程：1sin 102xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(),0-∞内有且只有一个实数根；④若0x 是方程的实数根，则01x >-.正确命题是三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A 、B 、C 的对边，D 为边AC 的中点，4a ABC =∠=（I ）若3c =，求sin ACB ∠的值；（II ）若3BD =，求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为23p =，背诵错误的的概率为13q =，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为n S ”. （I ） 求620S =且()01,2,3i S i ≥=的概率； （II ）记5S ξ=，求ξ的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，||AD BC ，PD ⊥底面ABCD ，190,1,22ADC BC AD PD CD ∠=︒====，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 上一点.（I ）试确定点M 的位置，使得||PA 平面BMQ ，并证明你的结论；（II ）若2PM MC =，求二面角P BQ M --的余弦值.20.（本小题满分12分）已知动点P 到定点()1,0F 和直线:2l x =的距离之比为2，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于,A B 两点，直线:l y mx n =+与曲线E 交于,C D 两点，与线段AB 相交于一点（与,A B 不重合）（I ）求曲线E 的方程；（II ）当直线l 与圆221x y +=相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.22. （本小题满分12分）已知函数()()222ln 2f x x x x ax =-++.（I ）当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（II ）当0a >时，设函数()()2g x f x x =--，且函数()g x 有且仅有一个零点，若2e x e -<<，()g x m ≤，求m 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图所示，EP 交圆于,E C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .（I ）求证：AB 为圆的直径；（II ）若,5AC BD AB ==，求弦DE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，直线l的参数方程为1x ty =⎧⎪⎨=-+⎪⎩t 为参数），直线l 和圆C 交于,A B 两点，P 是圆C 上不同于,A B 的任意一点.（I ）求圆心的极坐标；（II ）求PAB ∆面积的最大值.24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x m x x =---+.（I ）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（II ）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.2015年高中毕业年级第一次质量预测理科数学 参考答案一、选择题1-12：BCDA DBCC BADA 二、填空题 13.63414.-10 15.82 16.2,3,4. 三、解答题17.解：(Ⅰ) 42cos 23=∠=ABC a ，，3=c ， 由余弦定理：ABC a c a c b ∠⋅⋅-+=cos 2222=18423232)23(322=⨯⨯⨯-+，………………………………2分∴ 23=b ． ……………………………………………………………………4分又(0,)π∠∈ABC ，所以414cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ，由正弦定理：ABC bACB c ∠=∠sin sin ，得47sin sin =∠⨯=∠b ABC c ACB ．………………………………………6分 (Ⅱ) 以BC BA ，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图，则42cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，…………………8分 ,62==BD BE 在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222．即)42(23218362-⨯⨯⨯-+=CE CE ， 解得：，3=CE 即，3=AB …………………10分 所以479sin 21=∠=∆ABC ac S ABC .…………………………………………12分 18.解：(Ⅰ)当206=S 时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，………………2分 若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；…………………3分若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对1首， 此时的概率为：811631)32(323132)31()32()32(21322242=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=C C p ………… …………5分（2）∵5S =ξ的取值为10，30，50，又21,,32p q ==…………………6分∴8140)31()32()31()32()10(32252335=+==C C P ξ,CDA E8130)31()32()31()32()30(41151445=+==C C P ξ5505552111(50)()().3381P C C ξ==+=…………………9分∴ξ的分布列为：∴81815081308110=⨯+⨯+⨯=ξE .…………………………………………12分 19.解：（1）当M 为PC 中点时，//PA 平面BMQ ，…………………2分 理由如下： 连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为090ADC ∠=，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点．当M 为PC 的中点，即PM MC =时，MN 为PAC ∆的中位线，故//MN PA ，又MN ⊂平面BMQ ，所以//PA 平面BMQ .…………………………………………5分（2）由题意，以点D 为原点DP DC DA ,,所在直线分别为z y x ,,轴， 建立空间直角坐标系，…………………6分 则),0,2,1(),0,0,1(),2,0,0(B Q P …………………7分 由MC PM 2=可得点)32,34,0(M , 所以)32,34,1(),0,2,0(),20,1(-==-=QM , 设平面PQB 的法向量为),,(1z y x n =，则1120,2,0.20,PQ n x z x z y QB n y ⎧⋅=-==⎧⎪∴⎨⎨=⋅==⎩⎪⎩ 令)1,0,2(,11=∴=n z ，…………………9分同理平面MBQ 的法向量为)1,0,32(2=n ,…………………10分y设二面角大小为θ，.65657cos ==θ…………………………………………12分 20.解：(1).设点),(y x P ，由题意可得，22|2|)1(22=-+-x y x ，…………………2分 整理可得：1222=+y x .曲线E 的方程是1222=+y x .………………………5分 (2).设),(11y x C ，),(22y x D，由已知可得：||AB =当0=m 时，不合题意. …………………6分 当0≠m 时，由直线l 与圆122=+y x 相切，可得：11||2=+m n ，即221.m n +=联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x nmx y 消去y 得2221()210.2m x mnx n +++-=…………………8分02)1)(21(4422222>=-+-=∆m n m n m ，122,1222221+∆--=+∆+-=m mn x m mn x 所以，1222,1242221221+-=+-=+m n x x m mn x x||||2112x x AB S ACBD-=四边形=12||2121222222+=++-m m m n m=2122||||m m ≤+10分 当且仅当||1||2m m =，即22±=m 时等号成立，此时26±=n ，经检验可知， 直线2622-=x y 和直线2622+-=x y 符合题意. ………………………………12分21.解：（1）当1a =-时，22()(2)ln 2f x x x x x =--+,定义域为()0,+∞，()()()22ln 22.f x x x x x '=-+-- …………………2分(1)3f '∴=-，又(1)1,f =()f x 在()()1,1f 处的切线方程340.x y +-= ……………4分（2）令()()20,g x f x x =--=则()222ln 22,x x x ax x -++=+即1(2)ln ,x xa x--⋅=令1(2)ln ()x xh x x--⋅=， …………………5分则2221122ln 12ln ().x x x h x x x x x---'=--+= …………………6分 令()12ln t x x x =--,22()1x t x x x--'=--=，()0t x '<，()t x 在(0,)+∞上是减函数，又()()110t h '==，所以当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()max (1)1h x h ∴==.………8分 因为0>a ， 所以当函数()g x 有且仅有一个零点时，1a =.当1a =，()()222ln g x x x x x x =-+-，若2,(),e x e g x m -<<≤只需证明max (),g x m ≤…………………9分()()()132ln g x x x '=-+，令()0g x '=得1x =或32x e -=，又2e x e -<<，∴函数()g x 在322(,)e e --上单调递增，在32(,1)e -上单调递减，在(1,)e 上单调递增，10分又333221()22g e e e ---=-+ ， 2()23,g e e e =-333322213()2222()().22g e e e e e e e g e ----=-+<<<-=即32()()g eg e -< ，2max ()()23,g x g e e e ==- 223.m e e ∴≥- ………12分22．证明：(1)因为PD PG =，所以PGD PDG ∠=∠.由于PD 为切线，故DBA PDA ∠=∠，…………………2分 又因为PGD EGA ∠=∠，所以DBA EGA ∠=∠，所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠， 从而BDA PFA ∠=∠.…………………4分又,EP AF ⊥所以 90=∠PFA ，所以90=∠BDA ， 故AB 为圆的直径．…………………5分 (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA . …………………7分又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . ………………8分 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，…………………9分所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以5==AB DE .…………………10分 23.解：(Ⅰ)圆C 的普通方程为02222=+-+y x y x ，即22(1)(1) 2.x y -++=………2分所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为7)4π；…………………5分 (Ⅱ)直线l 的普通方程：0122=--y x ，圆心到直线l 的距离32231122=-+=d ，…………………7分 所以,31029822=-=AB 点P 直线AB 距离的最大值为,3253222=+=+d r …………………9分 9510325310221max =⨯⨯=S .…………………10分 24.解：（Ⅰ）当5=m 时，,1,3411,21,63)(⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+--<+=x x x x x x x f ………………………3分由2)(>x f 易得不等式解集为)0,34(-∈x ；………………………5分（2）由二次函数2)1(3222++=++=x x x y ，该函数在1-=x 取得最小值2， 因为31,1()3,1131,1x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩在1-=x 处取得最大值2-m ，…………………7分所以要使二次函数322++=x x y 与函数)(x f y =的图象恒有公共点，只需22≥-m ， 即 4.m ≥.……………………………10分。
河南省郑州市高中高三年级第一次质量预测理科数学试题 扫描版含答案.pdf
2014年高中毕业年级第一次质量预测 数学（理科） 参考答案 选择题 ADACB DBCBB AB 填空题 13.； 14.； 15. ； 16.. 三、解答题 17．解：(1) 因为，所以, 即,…………………………….2分 在中，由余弦定理可知， 即， 解之得或 ……………………………………………….6分 由于，所以…………………………………………………..7分 (2) 在中，由正弦定理可知， 又由可知， 所以, 因为, 所以.……………………………………………………..12分 18．解：随机猜对问题的概率，随机猜对问题的概率．………… 2分 ⑴设参与者先回答问题，且恰好获得奖金元为事件, 则, 即参与者先回答问题，其恰好获得奖金元的概率为. ………………4分 ⑵参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下： ①先回答问题，再回答问题．参与者获奖金额可取， 则，， ②先回答问题，再回答问题，参与者获奖金额，可取， 则，， ………… 10分 于是，当，时，即先回答问题A，再回答问题B，获奖的期望值较大； 当，时，两种顺序获奖的期望值相等；当，时，先回答问题B，再回答问题A，获奖的期望值较大.…………………………12分 19.解：(1)证明：由题意, 注意到,所以, 所以, 所以, ……………………3分 又侧面， 又与交于点，所以, 又因为,所以.……………………………6分 (2)如图，以所在的直线为轴，以为原点，建立空间直角坐标系则， ，，， 又因为，所以 …………8分 所以，， 设平面的法向量为， 则根据可得是平面的一个法向量, 设直线与平面所成角为，则………………12分 20.⑴解：由题知 所以曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆（挖去与轴的交点）， 设曲线：， 则， 所以曲线：为所求.---------------4分 ⑵解：注意到直线的斜率不为，且过定点， 设， 由 消得，所以， 所以 -------------------------------------8分 因为,所以 注意到点在以为直径的圆上,所以,即,-----11分 所以直线的方程或为所求.------12分 21.⑴解:注意到函数的定义域为, 所以恒成立恒成立, 设, 则, ------------2分 当时,对恒成立,所以是上的增函数, 注意到,所以时,不合题意.-------4分 当时,若,;若,. 所以是上的减函数,是上的增函数, 故只需. --------6分 令, , 当时,; 当时,. 所以是上的增函数,是上的减函数. 故当且仅当时等号成立. 所以当且仅当时,成立,即为所求. --------8分 ⑵解:由⑴知当或时,,即仅有唯一解,不合题意; 当时, 是上的增函数,对,有， 所以没有大于的根,不合题意. ---------8分 当时,由解得,若存在, 则,即, 令,, 令,当时,总有, 所以是上的增函数,即, 故,在上是增函数, 所以,即在无解. 综上可知,不存在满足条件的实数. ----------------------12分 22.解：四点共圆， ，又为公共角， ∴∽ ∴ ∴. ∴. ……………………………………………………………… 6分 ， ， 又， ∽， ， 又四点共圆，，， .…………………………………………………… 10分 曲线为圆心是，半径是1的圆． 曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆． ……4分 ⑵曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数） 将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为， 则 所以. ……………………………10分 24.解：⑴因为 因为,所以当且仅当时等号成立,故 为所求.……………………4分 ⑵不等式即不等式 ， ①当时，原不等式可化为 即 所以，当时，原不等式成立. ②当时，原不等式可化为 即所以，当时，原不等式成立. ③当时，原不等式可化为 即 由于时 所以，当时，原不等式成立. 综合①②③可知： 不等式的解集为……………………10分 y z x。
2015年河南省郑州市新郑三中高考数学一模试卷(理科)
2015年河南省郑州市新郑三中高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x|lg（x-2）≥0}，B={x|x≥2}，全集U=R，则（∁U A）∩B=（）A.{x|-1＜x≤3}B.{x|2≤x＜3}C.{x|x=3}D.φ【答案】B【解析】解：由A中的不等式变形得：lg（x-2）≥0=lg1，得到x-2≥1，即x≥3，∴A={x|x≥3}，∵全集U=R，∴∁U A={x|x＜3}，∵B={x|x≥2}，∴（∁U A）∩B={x|2≤x＜3}．故选：B．求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.复数z=在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：∵复数==-a-3i，在复平面内对应的点在第三象限，∴-a＜0，解得a＞0．∴复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的充分不必要条件．故选：A．利用除法的运算法则：复数=-a-3i，由于在复平面内对应的点在第三象限，可得-a＜0，即可判断出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义、充分不必要条件，属于基础题．3.为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．在某校抽取样本容量为1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6，14）内的频数为（）A.780B.680C.648D.46解：根据题意，得样本数据落在[6，14）内的频率是1-（0.02+0.03+0.03）×4=0.68；∴样本数据落在[6，14）内的频数是1000×0.68=680．故选：B．根据频率分布直方图中各个小长方形的面积之和等于1，求出样本数据落在[6，14）内的频率，即可求出对应的频数．本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应灵活应用频率分布直方图中各个小长方形的面积之和等于1的条件，是基础题．4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.112B.80C.72D.64【答案】B【解析】解：根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体，根据三视图中标识的数据可知：正方体及四棱锥的底面棱长均为4，四棱锥高3则V正方体=4×4×4=64四棱锥=16故V=64+16=80故选B根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体，根据三视图中标识的数据，结合正方体的体积公式和棱锥的体积公式，即可得到答案．本题考查的知识点是由三视图求体积，根据三视图确定几何体的形状是解答此类问题的关键．5.运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（）A.t≥B.t≥C.t≤D.t≤解：模拟程序框图的运行过程，可得：n=0，x=t，a=1，n=0+2=2，x=2t，a=2-1=1；2＞4，否，n=2+2=4，x=4t，a=4-1=3；4＞4，否，n=4+2=6，x=8t，a=6-3=3；6＞4，是，输出a x=38t；∵38t≥3，∴8t≥1，即t≥；∴t的取值范围为{t|t≥}．故选：B．根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行的结果是什么．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案来，属于基础题．6.已知f（x）=|x+2|+|x-4|的最小值是n，则二项式（x-）n展开式中x4项的系数为（）A.15B.-15C.6D.-6【答案】D【解析】解：f（x）=|x+2|+|x-4|的最小值是n，f（x）=|x+2|+|x-4|≥|（x+2）-（x-4）|=6，∴n=6，二项式（x-）n=（x-）6展开式的通项公式为T r+1=•（-1）r•x6-2r，令6-2r=4，求得r=1，可得二项式（x-）n展开式中x4项的系数为-6，故选：D．由条件利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于4，求得r的值，即可求得展开式中的x4项的系数．本题主要考查绝对值三角不等式，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．7.在平面直角坐标系x O y中，已知任意角θ以x轴的正半轴为始边，若终边经过点P （x0，y0）且|OP|=r（r＞0），定义：sicosθ=，称“sicosθ”为“正余弦函数”对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到以下性质：①该函数的值域为[-，]；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象关于直线x=对称；④该函数的单调递增区间为[2k-，2k+]，k∈Z，则这些性质中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解：①根据三角函数的定义可知x0=rcosx，y0=rsinx，所以sicosθ===sinx-cosx=sin（x-），因为，所以sin（x-），即该函数的值域为[-，]；②因为f（0）=sin（）=-1≠0，所以该函数图象不关于原点对称；③当x=时，f（）=sin=，所以该函数图象关于直线x=对称；④因为y=f（x）=sicosθ=sin（x-），所以由2kπ-≤x-≤2kπ+，可得2kπ-≤x≤2kπ+，即该函数的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+]，k∈Z．综上，可得这些性质中正确的有2个：①③．故选：B．首先根据题意，求出y=sicosθ=sin（x-），然后根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可．本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，解答此题的关键是首先求出函数y=sicosθ的表达式．8.已知椭圆：＞＞的离心率为，双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意，双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，∴边长为4，∴（2，2）在椭圆：＞＞上∴∵椭圆的离心率为，∴=（）2∴a2=2b2∴a2=12，b2=6∴椭圆方程为：故选B．确定双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆上，再结合椭圆的离心率，即可确定椭圆的方程．本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，考查学生的计算能力，正确运用双曲线的性质是关键．9.点P是曲线x2-y-lnx=0上的任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】解：点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x-2平行时，点P到直线y=x-2的距离最小．直线y=x-2的斜率等于1，令y=x2-lnx的导数y′=2x-=1，x=1，或x=-（舍去），故曲线y=x2-lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x-2的距离等于，故点P到直线y=x-2的最小距离为，故选D．由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x-2平行时，点P到直线y=x-2的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x-2的距离即为所求．本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．10.在区间[-π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π有零点的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意知本题是一个几何概型，∵a，b使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π有零点，∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω={（a，b）|-π≤a≤π，-π≤b≤π}∴S=（2π）2=4π2，∴s=4π2-π2=3π2，由几何概型公式得到P=，故选B．先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到．11.等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a8），则f′（0）=（）A.212B.29C.28D.26【答案】A【解析】解：∵f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a8）=x[（x-a1）（x-a2）…（x-a8）]，∴f′（x）=（x-a1）（x-a2）…（x-a8）+x[（x-a1）（x-a2）…（x-a8）]′，考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，得：f′（0）=a1a2a3…a8=（a1a8）4=212．故选：A．对函数进行求导发现f′（0）中，含有x的项的值均为0，而常数项为a1a2a3…a8，由此求得f′（0）的值．本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，属于基础题．12.已知函数f（x）=1+x-，设F（x）=f（x+3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，当b-a取得最小值时，a+b的值为（）A.-1 B.-4 C.-7 D.-3【答案】C【解析】解：∵f（x）=1+x-，∴f′（x）=1-x+x2-x3+ (x2010)x＞-1时，f′（x）＞0，f′（-1）=1＞0，x＜-1时，f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函数，∵f（0）=1＞0，f（-1）=（1-1）+（--）+…+（--）＜0∴函数f（x）在[-1，0]上有一个零点；∴函数f（x+3）在[-4，-3]上有一个零点，∴a=-4，b=-3∴a+b=-7．故选：C求导数，确定f（x）是R上的增函数，函数f（x）在[-1，0]上有一个零点，即可得出结论．及函数图象的平移，学生灵活应用知识分析解决问题的能力．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.在正三棱锥S-ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为______ ．【答案】36π【解析】解：在正三棱锥S-ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，所以正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两互相垂直，且SA=2，正三棱锥S-ABC的外接球即为棱长为2的正方体的外接球．则外接球的直径2R==6，所以外接球的半径为：3．故正三棱锥S-ABC的外接球的表面积S=4•πR2=36π．．故答案为：36π．正三棱锥S-ABC的三个侧面两两垂直，转化为三条侧棱两两互相垂直，该三棱锥的各个顶点均为棱长为2的正方体的顶点，通过正方体的对角线的长度，求出外接球半径，即可求解球的表面积．本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中根据已知结合正方体的几何特征，得到该正三棱锥是正方体的一部分，并将问题转化为求正方体外接球表面积，是解答本题的关键．14.如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y-1）2=1于点A、B、C、D，则的值是______ ．【答案】1【解析】解：设A、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意知焦点F（0，1），则设直线AD方程为：y=kx+1，联立消去x，得y2-（2+4k2）y+1=0，∴y1+y2=2+4k2，y1•y2=1又根据抛物线定义得AF=，FD=，∴AF=y1+1，FD=y2+1==（AF-1）（FD-1）=y1•y2=1．故答案为1设A、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）及直线方程，联立直线和抛物线的方程求出y1•y2，y1+y2，并用y1，y2表示AF，FD，而所求==（AF-1）（FD-1），代入上述式子中即可．此题设计构思比较新颖，考查抛物线的定义及巧妙将向量数量积转化，同时在解答过程中处理直线和抛物线的关系时运用了设而不求的方法．15.椭圆+=1（a为定值，且a＞）的左焦点为F，直线x=m与椭圆交于点A，B，【答案】【解析】解：设椭圆的右焦点E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE；∵AE+BE≥AB；∴AB-AE-BE≤0，当AB过点E时取等号；∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a；∴△FAB的周长的最大值是4a=12⇒a=3；∴e===．故答案：．先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率．本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．16.已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是______ ．【答案】（21，24）【解析】解：由题意可得-log3a=log3b=c2-c+8=d2-d+8，可得log3（ab）=0，故ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）上，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4、d=6、cd=24．故有21＜abcd＜24，故答案为（21，24）．由题意可得-log3a=log3b=c2-c+8=d2-d+8，可得log3（ab）=0，ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）时，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4d=6、cd=24．由此求得abcd的范围．本题主要考查对数函数、二次函数的图象、性质应用，属于中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=p（S n-a n）+（p为大于0的常数），且a1是6a3与a2的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a n•b n=2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（I）当n=1时，，得．当n≥2时，，，两式相减得a n=pa n-1，即＞．故{a n}是首项为，公比为p的等比数列，∴．由题意可得：2a1=6a3+a2，，化为6p2+p-2=0．解得p=或（舍去）．∴=．（II）由（I）得，则，+（2n-1）×2n+（2n+1）×2n+1，两式相减得-T n=3×2+2×（22+23+…+2n）-（2n+1）×2n+1==-2-（2n-1）×2n+1，∴．【解析】（I）当n≥2时，利用a n=S n-S n-1即可得出a n，n=1时单独考虑，再利用等比数列的通项公式即可得出；（II）由（I）得，利用“错位相减法”即可得出其前n项和．熟练掌握：当n≥2时，利用a n=S n-S n-1，a1=S1；等比数列的通项公式，“错位相减法”是解题的关键．18.“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1-4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．每扇门对应的梦想基金：（单位：元）（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，，，，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（参考公式其中n=a+b+c+d）【答案】解：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，…（2分）根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2==3∵3＞2.706…（3分）∴有1-0.10=90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．…（4分）（Ⅱ）ξ的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000则…（6分）…（7分）…（8分）…（9分）ξ的分布列为…（10分）ξ数学期望…（12分）【解析】（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，根据列联表中所给的数据，代入求观测值的公式，求出这组数据的观测值，把观测值同临界值表中的临界值进行比较，得到结论；（Ⅱ）确定ξ的所有能取值，求出相应的概率，即可求出ξ的分布列及数学期望．本题考查独立性检验的应用，考查分布列及数学期望．本题解题的关键是学会读图和画图，在所给的二维条形图中能够看出所需要的数据．19.如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB=AE=，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求二面角E-PF-C的大小．【答案】（I）证明：在R t&△DEF中，∵ED=DF，∴∠DEF=45°，在R t△ABE中，∵AE=AB，∴∠AEB=45°，∴∠BEF=90°，∴EF⊥BE，（3分）∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE=BE，∴EF⊥平面PBE，∵EF⊂平面PEF，∴平面PBE⊥平面PEF．（6分）（II）解：由题意，不妨设AD=3，以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平面EBCD向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系．（7分）∵在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB=AE=，∴，，，，，，，，，，，，∴，，，，，，，，．设平面PEF和平面PCF的法向量分别为=（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2）．由及，得到，∴=，，．又由•及•，得到，∴=，，，（9分）＜，＞，（11分）综上所述，二面角E-PF-C大小为150°．（12分）【解析】（I）由题设条件推导出EF⊥BE，从而得到EF⊥平面PBE，由此能证明平面PBE⊥平面PEF．（II）设AD=3，以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平面EBCD 向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系，利用向量法能求出二面角E-PF-C的大小．本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．20.设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点到直线+=1的距离d=，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，求O到直线l的距离．【答案】解：（Ⅰ）∵，∴，右焦点（c，0）到直线的距离，则，且b2+c2=1，∴a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程是：（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）那么：，则（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，∴x1+x2=-，x1x2=又∵直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1-m）（kx2-m）=0，∴，化简得，即∴O到直线l的距离为【解析】（Ⅰ）利用离心率e=，右焦点到直线+=1的距离d=，建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，即可求出O到直线l的距离．本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，综合性强，属于中档题．21.已知函数f（x）=ln（1+x）-ax在x=-处的切线的斜率为1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；（Ⅱ）证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）；（Ⅲ）设g（x）=b（e x-x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．【答案】（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．求导数，得f′（x）=-a．由已知，∵函数f（x）=ln（1+x）-ax在x=-处的切线的斜率为1∴f′（-）=1，即-a=1，∴a=1．此时f（x）=ln（1+x）-x，f′（x）=-1=，当-1＜x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．∴当x=0时，f（x）取得极大值，该极大值即为最大值，∴f（x）max=f（0）=0．…（4分）（Ⅱ）证明：法（一）：由（Ⅰ），得ln（1+x）-x≤0，即ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时，等号成立．令x=（k∈N*），则＞ln（1+），即＞ln，∴＞ln（k+1）-lnk（k=1，2，…，n）．将上述n个不等式依次相加，得1+++…+＞（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+[ln（n+1）-lnn]，∴1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）．…（10分）法（二）：用数学归纳法证明．（1）当n=1时，左边=1=lne，右边=ln2，∴左边＞右边，不等式成立．（2）假设当n=k时，不等式成立，即1+++…+＞ln（k+1）．那么1+++…++＞ln（k+1）+，由（Ⅰ），知x＞ln（1+x）（x＞-1，且x≠0）．令x=，则＞ln（1+）=ln，∴ln（k+1）+＞ln（k+1）+ln=ln（k+2），∴1+++…++＞ln（k+2）．即当n=k+1时，不等式也成立．…（10分）根据（1）（2），可知不等式对任意n∈N*都成立．（Ⅲ）解：∵f（0）=0，g（0）=b，若f（x）≤g（x）恒成立，则b≥0．由（Ⅰ），知f（x）max=f（0）=0．（1）当b=0时，g（x）=0，此时f（x）≤g（x）恒成立；（2）当b＞0时，g′（x）=b（e x-1），当x∈（-1，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．∴g（x）在x=0处取得极小值，即为最小值，∴g（x）min=g（0）=b＞0≥f（x），即f（x）≤g（x）恒成立．综合（1）（2）可知，实数b的取值范围为[0，+∞）．…（14分）【解析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．求导数，利用函数f（x）=ln（1+x）-ax在x=-处的切线的斜率为1，可求a的值，再确定函数的单调性，从而可求f（x）的最大值；（Ⅱ）法（一）：由（Ⅰ），得ln（1+x）-x≤0，即ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时，等号成立．令x=（k∈N*），从而可得＞ln（k+1）-lnk（k=1，2，…，n），将上述n个不等式依次相加，即可证得结论；法（二）：先证明当n=1时，不等式成立；再假设当n=k时，不等式成立，结合x＞ln （1+x）（x＞-1，且x≠0）及x=，即可证得结论；（Ⅲ）先确定b≥0．由（Ⅰ），知f（x）max=f（0）=0，再求g（x）的最小值，从而可求实数b的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查数学归纳法，考查恒成立问题，解题的关键是理解导数的几何意义，掌握数学归纳法的证题步骤，确定函数的最值，综合性强．22.如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．【答案】解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是R t△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．【解析】（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．23.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y-2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【答案】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y-1=（x-），即x-2y+=0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα-2ρsinα+=0，即ρ=．【解析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程．本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题．24.已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|，（Ⅰ）当a=-3时，求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）当a=1时，函数f（x）的最小值为m，若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3．【答案】（Ⅰ）解：当a=-3时，f（x）≥3⇔|x-3|+|x-2|≥3⇔或＜＜或⇔x≤1或x≥4，则解集为（-∞，1]∪[4，+∞）；（Ⅱ）证明：由于|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，当且仅当-1≤x≤2时，等号成立，则f（x）的最小值为3，即m=3．即有a+b+c=3，又a，b，c为正实数，则有（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=9，即有a2+b2+c2≥3．【解析】（Ⅰ）求出a=-3的不等式，通过讨论x的范围，去绝对值，分别解出它们，再求并集即可；（Ⅱ）运用绝对值不等式的性质，求得m=3，再由三元柯西不等式即可得证．本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的最值的求法，考查柯西不等式的运用：证明不等式，属于中档题．。
2015年河南省郑州市新郑一中分校高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年河南省郑州市新郑一中分校高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2} 2．（5分）已知＝b+i，（a，b∈R），其中i为虚数单位，则ab＝（）A．﹣1B．1C．2D．﹣23．（5分）下列命题错误的是（）A．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0B．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件4．（5分）已知函数，则的值为（）A．1B．C．D．25．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．1007B．1008C．2013D．20146．（5分）若对任意角θ，都有，则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．D．7．（5分）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．8．（5分）设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b9．（5分）若不等式组表示的平面区域为M，x2+y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知点O为△ABC的外心，且则＝（）A．2B．4C．D．611．（5分）F1、F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数m满足∀x∈M（M⊆D），均有x+m∈D，且f（x+m）≥f（x），则称f（x）为M上的m高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．[﹣2，2]D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13．（5分）若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数为．14．（5分）若数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝（n∈N*），则该数列的前2014项的乘积a1•a2•a3•…a2014＝．15．（5分）已知函数f（x）＝有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．16．（5分）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．三．解答题（本小题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且＝．（I）求的值；（II）若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积S．18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD ＝90°，AB＝BC＝2CD＝2，PB＝PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求证：P A⊥BD（3）若二面角D﹣P A﹣O的余弦值为，求PB的长．19．（12分）某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85）[85，90）后得到如图的频率分布直方图．问：（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在[65，70）的车辆数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．20．（12分）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l1，l2是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求l1的斜率k的取值范围；（Ⅲ）求的取值范围．21．（12分）已知x＞，函数f（x）＝x2，h（x）＝2e lnx（e为自然常数）．（Ⅰ）求证：f（x）≥h（x）；（Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，则称函数h（x）的图象为函数f（x），g（x）的“边界”．已知函数g（x）＝﹣4x2+px+q（p，q∈R），试判断“函数f（x），g（x）以函数h（x）的图象为边界”和“函数f（x），g （x）的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-5：平面几何选讲（本小题10分）22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）P A•PD＝PE•PC；（2）AD＝AE．选修4-5：坐标系与参数方程．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α＝时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m＝5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．2015年河南省郑州市新郑一中分校高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【解答】解：∵A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}B＝{x|≤4，x∈Z}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B＝{0，1，2}故选：D．2．（5分）已知＝b+i，（a，b∈R），其中i为虚数单位，则ab＝（）A．﹣1B．1C．2D．﹣2【解答】解：由＝，又＝b+i，∴2﹣ai＝b+i，则a＝﹣1，b＝2．∴ab＝﹣2．故选：D．3．（5分）下列命题错误的是（）A．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0B．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【解答】解：∵命题：∃x∈R，使得x2+x+1＜0是特称命题∴否定命题为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，从而得到答案．故A对B命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故②正确；C：若P∧q为假命题，则P、q不均为真命题．故③错误；D“x＞2”⇒“x2﹣3x+2＞0”，反之不成立，“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故选：C．4．（5分）已知函数，则的值为（）A．1B．C．D．2【解答】解：∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝（cos+cos）+（cos+cos）＝﹣（cos+cos）+（cos+cos）＝0，f（5）＝cosπ＝﹣1；f（6）+f（7）+f（8）+f（9）＝cos（π+）+cos（π+）+cos（π+）+cos（π+）＝﹣（cos+cos+cos+cos）＝﹣[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]＝0，f（10）＝cos2π＝1；∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）+f（9）+f（10）＝0函数的周期T＝＝10，因此从f（1）起，每连续10项的和等于0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…f（2003）＝f（2001）+f（2002）+f（2003）＝f（1）+f（2）+f（3）＝cos+cos+cos＝cosf（11）+f（22）+f（33）＝f（1）+f（2）+f（3）＝cos+cos+cos＝cos∴原式＝1故选：A．5．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．1007B．1008C．2013D．2014【解答】解：由程序框图知：程序运行的功能是求S＝1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1•k，当n＝2014时，不满足条件n＜2014，程序运行终止，此时k＝2014，∴输出的S＝1﹣2+3﹣4+…（﹣1）2012•2013＝1+1006＝1007．故选：A．6．（5分）若对任意角θ，都有，则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．D．【解答】解：设x＝cosθ，y＝sinθ则对任意角θ，都有，可看成直线与单位圆有交点，化简得，故选：D．7．（5分）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1则底面外接圆半径r＝，球心到底面的球心距d＝则球半径R2＝＝则该球的表面积S＝4πR2＝故选：B．8．（5分）设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b【解答】解：A选项不正确，a∥α，b∥α，两直线的位置关系可能是平行，相交、异面B选项不正确，两个平面平行于同一条直线，两平面的位置关系可能是平行或者相交．C选项正确，由b⊥β，a⊥b可得出β∥a或β⊃a，又a⊥α故有α⊥βD选项不正确，本命题用图形说明，如图三棱锥P﹣ABC中，侧棱PB垂直于底面，P A，PC两线在底面上的投影垂直，而两线不垂直．故选：C．9．（5分）若不等式组表示的平面区域为M，x2+y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：不等式组表示的平面区域为M，即为图中的三角形OAB，A（）B（4，4）设y＝2x﹣4与x轴的交点为M（2，0）S△AOB＝S OBM+S△OAM＝区域N的为图中的阴影部分，面积为由几何概率的计算公式可得P＝故选C10．（5分）已知点O为△ABC的外心，且则＝（）A．2B．4C．D．6【解答】解：因为点O为△ABC的外心，取P为AC的中点．且，∴•＝＝＝＝（）（）＝（||2﹣||2）＝16﹣4）＝6．故选：D．11．（5分）F1、F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB＝BF2＝AF2＝m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A＝F1A﹣AB＝F1B＝2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，由∠ABF2＝60°，则∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2＝4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2＝7a2，则e2＝7，解得e＝．故选：D．12．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数m满足∀x∈M（M⊆D），均有x+m∈D，且f（x+m）≥f（x），则称f（x）为M上的m高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．[﹣2，2]D．（﹣2，2）【解答】解：定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝|x﹣a2|﹣a2＝，根据解析式和函数是奇函数进行画图，图象如右图，∵f（x）为R上的4高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a2，要满足f（x+4）≥f（x），4大于等于区间长度3a2﹣（﹣a2），∴4≥3a2﹣（﹣a2），∴﹣1≤a≤1，即实数a的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13．（5分）若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数为21．【解答】解：∵展开式中二项式系数之和为2m∴2m＝128解得m＝7∴＝展开式的通项为令解得r＝6故展开式中的系数为3C76＝21故答案为2114．（5分）若数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝（n∈N*），则该数列的前2014项的乘积a1•a2•a3•…a2014＝﹣6．【解答】解：由递推关系式，得a n+2＝﹣，a n+4＝a n．∴{a n}是以4为循环的一个数列．由计算，得a1＝2，a2＝﹣3，a3＝﹣，a4＝，a5＝2，…∴a1a2a3a4＝1，∴a1•a2…a2010•a2014＝1×a2013•a2014＝a1•a2＝﹣6．故答案为：﹣6．15．（5分）已知函数f（x）＝有三个不同的零点，则实数a的取值范围是＜a≤1．【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x＝，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由指数函数过点（0，1），故需下移至多1个单位，故0＜a≤1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得＜a≤1，故答案为：＜a≤116．（5分）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．【解答】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为＝72，②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为•（•）•＝216，③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体，然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为＝144，而所有的排法共有＝720种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为＝，故答案为．三．解答题（本小题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且＝．（I）求的值；（II）若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积S．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理设则＝＝＝整理求得sin（A+B）＝2sin（B+C）又A+B+C＝π∴sin C＝2sin A，即＝2（Ⅱ）由余弦定理可知cos B＝＝①由（Ⅰ）可知＝＝2②再由b＝2，①②联立求得c＝2，a＝1sin B＝＝∴S＝ac sin B＝18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD ＝90°，AB＝BC＝2CD＝2，PB＝PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求证：P A⊥BD（3）若二面角D﹣P A﹣O的余弦值为，求PB的长．【解答】解：（1）证明：因为PB＝PC，O是BC的中点，所以PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，PO⊂平面PBC，面PBC∩底面ABCD＝BC，所以PO⊥平面ABCD．…（4分）（2）证明：以点O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，设OP＝t（t＞0），则P（0，0，t），A（1，2，0），B（1，0，0），D（﹣1，1，0），＝（1，2，﹣t），＝（﹣2，1，0），因为•＝0，所以⊥，即P A⊥BD．…（8分）（3）设平面P AD和平面P AO的法向量分别为＝（a，b，c），＝（x，y，z），注意到＝（﹣1，1，﹣t），＝（1，2，0），＝（0，0，t），由，令a＝1得，＝（1，﹣2，），由令y＝﹣1得，＝（2，﹣1，0），所以cos60°＝＝＝，解之得t＝，所以PB＝＝2为所求．…（12分）19．（12分）某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85）[85，90）后得到如图的频率分布直方图．问：（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在[65，70）的车辆数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．【解答】解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值为：77.5．设图中虚线所对应的车速为x，则0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）＝0.5，解得x＝77.5，即中位数的估计值为77.5．（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1＝0.01×5×40＝2（辆），车速在[65，70）的车辆数为：m2＝0.02×5×40＝4（辆），∴ξ＝0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴ξ的分布列为均值E（ξ）＝＝．20．（12分）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l1，l2是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求l1的斜率k的取值范围；（Ⅲ）求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为，由∴椭圆方程为；（2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零∵，∴．由消去y并化简整理，得（3+4k2）x2+16kx+4＝0根据题意，△＝（16k）2﹣16（3+4k2）＞0，解得．同理得，∴；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）那么，∴，∴同理得，即∴∵，∴∴即的取值范围是．21．（12分）已知x＞，函数f（x）＝x2，h（x）＝2e lnx（e为自然常数）．（Ⅰ）求证：f（x）≥h（x）；（Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，则称函数h（x）的图象为函数f（x），g（x）的“边界”．已知函数g（x）＝﹣4x2+px+q（p，q∈R），试判断“函数f（x），g（x）以函数h（x）的图象为边界”和“函数f（x），g （x）的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．【解答】解：（I）证明：记u（x）＝f（x）﹣h（x）＝x2﹣2elnx，则，令u'（x）＞0，注意到，可得，所以函数u（x）在上单调递减，在上单调递增．，即u（x）≥0，∴f（x）≥h（x）．（II）由（I）知，f（x）≥h（x）对恒成立，当且仅当时等号成立，记v（x）＝h（x）﹣g（x）＝2elnx+4x2﹣px﹣q，则“v（x）≥0恒成立”与“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”同时成立，即v（x）≥0对恒成立，当且仅当时等号成立，所以函数v（x）在时取极小值，注意到，由，解得，此时，由知，函数v（x）在上单调递减，在上单调递增，即＝0，q＝﹣5e，综上，两个条件能同时成立，此时．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-5：平面几何选讲（本小题10分）22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）P A•PD＝PE•PC；（2）AD＝AE．【解答】证明：（1）∵PE、PB分别是⊙O2的割线∴P A•PE＝PD•PB（2分）又∵P A、PB分别是⊙O1的切线和割线∴P A2＝PC•PB（4分）由以上条件得P A•PD＝PE•PC（5分）（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°∴AC是⊙O2的切线．（6分）第21页（共23页）由（1）知，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD＝∠ADE（8分）又∵AC是⊙O2的切线，∴∠CAD＝∠AED又∠CAD＝∠ADE，∴∠AED＝∠ADE∴AD＝AE（10分）选修4-5：坐标系与参数方程．23．（10分）已知直线C 1（t为参数），C 2（θ为参数），（Ⅰ）当α＝时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α＝时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2＝1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为x sinα﹣y cosα﹣sinα＝0①．则OA的方程为x cosα+y sinα＝0②，联立①②可得x＝sin2α，y＝﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：，P 点轨迹的普通方程．故P 点轨迹是圆心为，半径为的圆．第22页（共23页）选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m＝5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：当m＝5时：|x+1|+|x﹣2|＞5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）；（2）不等式f（x）≥1即log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）≥1．即|x+1|+|x﹣2|≥m+2，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|＝3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+2解集是R，∴m+2≤3，m的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．第23页（共23页）。
河南省郑州市2015届高三上学期第一次质量预测数学(理)试题 扫描版含答案
2015年高中毕业年级第一次质量预测理科数学 参考答案一、选择题1-12：BCDA DBCC BADA 二、填空题 13.63414.-10 15.82 16.2,3,4. 三、解答题17.解：(Ⅰ) 42cos 23=∠=ABC a ，，3=c ， 由余弦定理：ABC a c a c b ∠⋅⋅-+=cos 2222=18423232)23(322=⨯⨯⨯-+，………………………………2分∴ 23=b ． ……………………………………………………………………4分又(0,)π∠∈ABC ，所以414cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ，由正弦定理：ABC bACB c ∠=∠sin sin ，得47sin sin =∠⨯=∠b ABC c ACB ．………………………………………6分 (Ⅱ) 以BC BA ，为邻边作如图所示的平行四边形A B C E ，如图，则42cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，…………………8分 ,62==BD BE 在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222．即)42(23218362-⨯⨯⨯-+=CE CE ， 解得：，3=CE 即，3=AB …………………10分 所以479sin 21=∠=∆ABC ac S ABC .…………………………………………12分 18.解：(Ⅰ)当206=S 时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，………………2分 若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；…………………3分若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对1首， 此时的概率为：811631)32(323132)31()32()32(21322242=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=C C p ………… …………5分（2）∵5S =ξ的取值为10，30，50，又21,,32p q ==…………………6分∴8140)31()32()31()32()10(32252335=+==C C P ξ,CDA E8130)31()32()31()32()30(41151445=+==C C P ξ5505552111(50)()().3381P C C ξ==+=…………………9分∴ξ的分布列为：∴81815081308110=⨯+⨯+⨯=ξE .…………………………………………12分 19.解：（1）当M 为PC 中点时，//PA 平面BMQ ，…………………2分 理由如下： 连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为090ADC ∠=，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点．当M 为PC 的中点，即PM MC =时，MN 为PAC ∆的中位线，故//MN PA ，又MN ⊂平面BMQ ，所以//PA 平面BMQ .…………………………………………5分（2）由题意，以点D 为原点DP DC DA ,,所在直线分别为z y x ,,轴， 建立空间直角坐标系，…………………6分 则),0,2,1(),0,0,1(),2,0,0(B Q P …………………7分 由MC PM 2=可得点)32,34,0(M , 所以)32,34,1(),0,2,0(),20,1(-==-=QM , 设平面PQB 的法向量为),,(1z y x n =，则1120,2,0.20,PQ n x z x z y QB n y ⎧⋅=-==⎧⎪∴⎨⎨=⋅==⎩⎪⎩ 令)1,0,2(,11=∴=n z ，…………………9分同理平面MBQ 的法向量为)1,0,32(2=n ,…………………10分y设二面角大小为θ，.65657cos ==θ…………………………………………12分 20.解：(1).设点),(y x P ，由题意可得，22|2|)1(22=-+-x y x ，…………………2分 整理可得：1222=+y x .曲线E 的方程是1222=+y x .………………………5分 (2).设),(11y x C ，),(22y x D，由已知可得：||AB =当0=m 时，不合题意. …………………6分 当0≠m 时，由直线l 与圆122=+y x 相切，可得：11||2=+m n ，即221.m n +=联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x nmx y 消去y 得2221()210.2m x mnx n +++-=…………………8分02)1)(21(4422222>=-+-=∆m n m n m ，122,1222221+∆--=+∆+-=m mn x m mn x 所以，1222,1242221221+-=+-=+m n x x m mn x x||||2112x x AB S ACBD-=四边形=12||2121222222+=++-m m m n m=22||||m m ≤+10分 当且仅当||1||2m m =，即22±=m 时等号成立，此时26±=n ，经检验可知， 直线2622-=x y 和直线2622+-=x y 符合题意. ………………………………12分21.解：（1）当1a =-时，22()(2)ln 2f x x x x x =--+,定义域为()0,+∞，()()()22ln 22.f x x x x x '=-+-- …………………2分(1)3f '∴=-，又(1)1,f =()f x 在()()1,1f 处的切线方程340.x y +-= ……………4分（2）令()()20,g x f x x =--=则()222ln 22,x x x ax x -++=+即1(2)ln ,x xa x--⋅=令1(2)ln ()x xh x x--⋅=， …………………5分则2221122ln 12ln ().x x x h x x x x x---'=--+= …………………6分 令()12ln t x x x =--,22()1x t x x x--'=--=，()0t x '<，()t x 在(0,)+∞上是减函数，又()()110t h '==，所以当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()max (1)1h x h ∴==.………8分 因为0>a ， 所以当函数()g x 有且仅有一个零点时，1a =.当1a =，()()222ln g x x x x x x =-+-，若2,(),e x e g x m -<<≤只需证明max (),g x m ≤…………………9分()()()132ln g x x x '=-+，令()0g x '=得1x =或32x e -=，又2e x e -<<，∴函数()g x 在322(,)e e --上单调递增，在32(,1)e -上单调递减，在(1,)e 上单调递增，10分又333221()22g e e e ---=-+ ， 2()23,g e e e =-333322213()2222()().22g e e e e e e e g e ----=-+<<<-=即32()()g eg e -< ，2max ()()23,g x g e e e ==- 223.m e e ∴≥- ………12分22．证明：(1)因为PD PG =，所以PGD PDG ∠=∠.由于PD 为切线，故DBA PDA ∠=∠，…………………2分 又因为PGD EGA ∠=∠，所以DBA EGA ∠=∠，所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠， 从而BDA PFA ∠=∠.…………………4分又,EP AF ⊥所以 90=∠PFA ，所以90=∠BDA ，故AB 为圆的直径．…………………5分 (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA . …………………7分又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . ………………8分 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，…………………9分所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以5==AB DE .…………………10分 23.解：(Ⅰ)圆C 的普通方程为02222=+-+y x y x ，即22(1)(1) 2.x y -++=………2分所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为7)4π；…………………5分 (Ⅱ)直线l 的普通方程：0122=--y x ，圆心到直线l 的距离32231122=-+=d ，…………………7分 所以,31029822=-=AB 点P 直线AB 距离的最大值为,3253222=+=+d r …………………9分 9510325310221max =⨯⨯=S .…………………10分 24.解：（Ⅰ）当5=m 时，,1,3411,21,63)(⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+--<+=x x x x x x x f ………………………3分由2)(>x f 易得不等式解集为)0,34(-∈x ；………………………5分（2）由二次函数2)1(3222++=++=x x x y ，该函数在1-=x 取得最小值2，因为31,1()3,1131,1x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩在1-=x 处取得最大值2-m ，…………………7分所以要使二次函数322++=x x y 与函数)(x f y =的图象恒有公共点，只需22≥-m ， 即 4.m ≥.……………………………10分。
河南省郑州市高三数学第一次质量预测试题 理(含解析)
河南省郑州市2016年高三第一次质量预测考试理科数学（时间120分钟 满分150分） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．（2016郑州一测）设全集*U {N 4}x x =∈≤，集合{1,4}A =，{2,4}B =，则()U A B =ð（ ） A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}【答案】A【解析】注意全集U 是小于或等于4的正整数，∵{4}AB =，∴(){1,2,3}U A B =ð． 2．（2016郑州一测） 设1i z =+（i 是虚数单位），则2z=（ ）A ．iB ．2i -C ．1i -D ．0【答案】C【解析】直接代入运算：221i 1iz ==-+． 3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b csin aA=，则cos B =（ ）A ． 12-B ．12C ．D ． 【答案】Bsin a A =sin sin AA=．∴tan B =，0B π<<，∴3B π=，1cos 2B =．4．（2016郑州一测）函数()cos xf x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为（ ）A ．0B ．1-C ． 1D ． 【答案】C【解析】()cos sin xxf x e x e x '=-， ∴0(0)(cos 0sin 0)1k f e '==-=．5．（2016郑州一测）已知函数1()()cos 2xf x x =-，则()f x 在[0,2]π上的零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】画出1()2x y =和cos y x =的图象便知两图象有3个交点，∴()f x 在[0,2]π上有3个零点．6．（2016郑州一测）按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框？处应补充的条件为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】135333273++=．7．（2016郑州一测）设双曲线22221x y a b -=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）A ．225514x y -=B ．225514y x -=C ．225514x y -=D ．225514y x -= 【答案】C【解析】∵抛物线的焦点为(1,0)．∴22212c b ac a b=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得221545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．8． 正项等比数列{}n a 中的14031,a a 是函数321()4633f x x x x =-+-的极值点，则2016a =（ ） A ．1B ．2C ．D ． 1-【答案】A【解析】∵()86f x x x '=-+，∴140318a a ⋅=，∴220166a =， ∵20160a >，∴2016a =20161a =．9．（2016郑州一测） 如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（ ） A ．23B ．43C ．83D ．2【答案】A【解析】四面体的直观图如图， ∴112(12)2323V =⨯⨯⨯⨯=．10．（2016郑州一测）已知函数4()f x x x =+，()2xg x a =+，若11[,3]2x ∀∈，2[2,3]x ∃∈使得12()()f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a ≥C ．0a ≤D ．0a ≥【答案】C【解析】∵1[,3]2x ∈，()4f x ≥=， 当且仅当2x =时，min ()4f x =．[2,3]x ∈时，∴2min ()24g x a a =+=+． 依题意min min ()()f x g x ≥，∴0a ≤．11．（2016郑州一测）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．2B ．2C ．2D ．【答案】D【解析】设1212,F F c AF m ==，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴1AB AF m ==，1BF=．由椭圆的定义可知1F AB ∆的周长为4a ，∴42a m =+，2(2m a =-．∴222)AF a m a =-=． ∵2221212AF AF F F +=，∴222224(21)4a a c +=，∴29e =-e =．12．（2016郑州一测）已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨- <⎪⎩，若关于x 的不等式2[()]()0f x af x +<恰有1个整数解，则实数a 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．8【答案】D【解析】∵不等式2[()]()0f x af x +<恰有1当()0f x >时，则0a <，不合题意； 当()0f x <时，则2x >．依题意22[(3)](3)0[(4)](4)0f af f af ⎧+<⎪⎨+≥⎪⎩， ∴9306480a a -<⎧⎨-≥⎩，∴38a <≤，故选D ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．二项式62()x x-的展开式中，2x 的系数是_______． 【答案】60【解析】662166(2)(2)r r r r r r rr T C x x C x ---+=-=-，令622r -=，解得2r =，∴2x 的系数为226(2)60C -=．14．若不等式222x y +≤所表示的平面区域为M ，不等式组0026x y x y y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________． 【答案】24π【解析】21142124382OABP S πππ∆⨯===⨯⨯．15．ABC ∆的三个内角为,,A B C7tan()12π=-，则2cos sin2B C+的最大值为________． 【答案】32【解析】tantan743tan()tan()1243tan tan 143πππππππ+-=-+==-7tan()12π=-=∴sin cos A A =，∴4A π=．332cos sin 22cos sin 2()2cos sin(2)42B C B B B B ππ+=+-=+- 22cos cos 22cos 12cos B B B B =-=+-1332(cos )222B =--+≤．16．已知点(0,1A -，(3,0)B ，(1,2)C ，平面区域P 是由所有满足AM AB AC λμ=+(2,m λ<≤2)n μ<≤的点M 组成的区域，若区域P 的面积为16，则m n +的最小值为________．【答案】4+【解析】设(,)M x y ，(3,1),(1,3)AB AC ==， ∵AM AB AC λμ=+，∴(,1)(3,1)(1,3)(3,3)x y λμλμλμ+=+=++．∴313x y λμλμ=+⎧⎨+=+⎩，∴318338x y x y λμ--⎧=⎪⎪⎨-++⎪=⎪⎩，∵2,2m n λμ<≤<≤，∴31283328x y m x y n --⎧<≤⎪⎪⎨-++⎪<≤⎪⎩，即1738113383x y m x y n <-≤+⎧⎨<-+≤-⎩∴1738113383x y m x y n <-≤+⎧⎨<-+≤-⎩表示的可行域为平行四边形，如图：由317313x y x y -=⎧⎨-+=⎩，得(8,7)A ，由381313x y m x y -=+⎧⎨-+=⎩，得(32,2)B m m ++， ∴(2)AB m ==-∵(8,7)A 到直线383x y n -+=-的距离d =，∴(2)16AB d m ⋅=-=， ∴(2)(2)2m n -⋅-=， ∴2222(2)(2)()2m n m n -+-=-⋅-≤，∴2(4)8m n +-≥，4m n +≥+三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项为11a =，前n 项和n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(1)nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（1）由已知得1(1)221nS n n n=+-⨯=-， ∴22n S n n =-．当2n ≥时，2212[2(1)(1)]43n n n a S S n n n n n -=-=-----=-．11413a S ==⨯-，∴43n a n =-，*n ∈N ．（2）由⑴可得(1)(1)(43)n n n n b a n =-=--． 当n 为偶数时，(15)(913)[(45)(43)]422n nT n n n =-++-++⋅⋅⋅+--+-=⨯=， 当n 为奇数时，1n +为偶数112(1)(41)21n n n T T b n n n ++=-=+-+=-+，综上，2,2,,21,21,.n n n k k T n n k k **⎧ =∈⎪=⎨-+=-∈⎪⎩N N18．（本小题满分12分）某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为a 万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36．（1）若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益； （2）该基地是否应该外聘工人，请说明理由． 【解析】（1）设下周一有雨的概率为p ， 由题意，20.36,0.6p p ==，基地收益X 的可能取值为20,15,10,7.5，则(20)0.36P X ==，(15)0.24P X ==， (10)0.24P X ==，(7.5)0.16P X ==∴基地收益X 的分布列为：()200.36150.24100.247.50.1614.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，∴基地的预期收益为14.4万元．（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，则其预期收益()200.6100.416E Y a a =⨯+⨯-=-（万元），()() 1.6E Y E X a -=-，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人； 成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．19．（本小题满分12分）如图，矩形CDEF 和梯形ABCD 所在的平面互相垂直，90BAD ADC ∠=∠=，12AB AD CD ==，BE DF ⊥．（1）若M 为EA 中点，求证：AC ∥平面MDF ；（2）求平面EAD 与平面EBC 所成二面角的大小． 【解析】（1）证明：设EC 与DF 交于点N ，连接MN ，在矩形CDEF 中，点N 为EC 中点， ∵M 为EA 中点，∴MN ∥AC ，又∵AC ⊄平面MDF ，MN ⊂平面MDF ， ∴AC ∥平面MDF ． （2）∵平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF平面ABCD CD =，DE ⊂平面CDEF ，DE CD ⊥，∴DE ⊥平面ABCD ．以D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系， 设DA a =，DE b =，(,,0),(0,0,),(0,2,0),(0,2,)B a a E b C a F a b ， (,,),(0,2,),(,,0)BE a a b DF a b BC a a =--==-∵BE DF ⊥，∴22(,,)(0,2,)20BE DF a a b a b b a ⋅=--⋅=-=，b =．设平面EBC 的法向量(,,)x y z =m ，则00BE BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即00ax ay ax ay ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则=m ，注意到平面EAD 的法向量(0,1,0)=n ，--10分 而1cos ,||||2⋅<>==⋅m n m n m n ，FD MACBE∴平面EAD 与EBC 所成锐二面角的大小为60．20．（本小题满分12分）已知点(1,0)M -，(1,0)N ，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N倍． （1）求曲线E 的方程；（2）已知0m ≠，设直线1:10l x my --=交曲线E 于,A C 两点，直线2:0l mx y m +-=交曲线E 于,B D 两点，,C D 两点均在x 轴下方．当CD 的斜率为1-时，求线段AB 的长． 【解析】（1）设曲线E 上任意一点坐标为(,)x y ，=，整理得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=为所求．（2）由题知12l l ⊥ ，且两条直线均恒过点(1,0)N ， 设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，线段CD 的中点为P ，则直线EP ：2y x =-, 设直线CD ：y x t =-+，由2y x y x t=-⎧⎨=-+⎩ ，得22(,)22t t P +-，由圆的几何性质，1||||2NP CD ==而22222||(1)()22t t NP +-=-+，2||3ED =，22||EP =， 解之得0t =或3t =，又,C D 两点均在x 轴下方，直线CD ：y x =-．由22410,,⎧+-+=⎨=-⎩x y x y x解得112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1 1.2⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩x y不失一般性，设(11),(11)C D -+， 由22410(1)x y x y u x ⎧+-+=⎨=-⎩， 得2222(1)2(2)10u x u x u +-+++=，⑴方程⑴的两根之积为1，∴点A的横坐标2A x =+∵点(11)22C --在直线1:10l x my --=上，解得1m =+，直线1:1)(1)l y x =-，∴(2A +．同理可得，(2B -，∴线段AB的长为21．（2016郑州一测）设函数21()ln 2f x x m x =-，2()(1)g x x m x =-+，0m >． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数．【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()f x '=当0x <<()0f x '<，函数()f x 的单调递减，当x >时，()0f x '>，函数()f x 的单调递增．综上，函数()f x 的单调增区间是)+∞，减区间是．（2）令21()()()(1)ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->， 问题等价于求函数()F x 的零点个数，(1)()()x x m F x x--'=-， 当1m =时，()0F x '≤，函数()F x 为减函数， 注意到3(1)02F =>，(4)ln 40F =-<，∴()F x 有唯一零点． 当1m >时， 01x <<或x m >时，()0F x '<，1x m <<时，()0F x '>，∴函数()F x 在(0,1)和(,)m +∞单调递减，在(1,)m 单调递增，注意到1(1)02F m =+>，(22)ln(22)0F m m m +=-+<， ∴()F x 有唯一零点．综上，函数()F x 有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．请考生在22-24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．把答案填在答题卡上．22．（2016郑州一测）如图，BAC ∠的平分线与BC 和ABC ∆的外接圆分别相交于D 和E ，延长AC 交过,,D E C 的三点的圆于点F ．（1）求证：EC EF =；（2）若2ED =，3EF =，求AC AF ⋅的值．【解析】（1）证明：∵ECF CAE CEA CAE CBA ∠=∠+∠=∠+∠，EFC CDA BAE CBA ∠=∠=∠+∠， AE 平分BAC ∠，∴ECF EFC ∠=∠，∴EC EF =．（2）∵ECD BAE EAC ∠=∠=∠，CEA DEC ∠=∠， ∴CEA ∆∽DEC ∆，即2,CE DE EC EA EA CE DE==， 由（1）知，3EC EF ==，∴92EA =， ∴45()4AC AF AD AE AE DE AE ⋅=⋅=-⋅=． 23．（2016郑州一测）已知曲线1C的参数方程为2212x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，曲线2C的极坐标方程为)4πρθ=-．以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的动点M 到曲线C 的距离的最大值．（2）1C 的直角坐标方程为由（1）知曲线2C 是以(1,1)为圆心的圆， 且圆心到直线1C 的距离 ∴动点M 到曲线1C 的距离的最大值为 A BE F CD24．（2016郑州一测）已知函数()21f x x x =--+（1）解不等式()1f x >；（2）当0x >时，函数21()(0)ax x g x a x-+=>的最小值总大于函数()f x ，试求实数a 的取值范围． 【解析】∵211x x --+>，∴131x <-⎧⎨>⎩，或12121x x -≤<⎧⎨->⎩，或231x ≥⎧⎨->⎩， 解得0x <，∴原不等式的解集为(,0)-∞．（2）∵1()11g x ax x=+-≥，当且仅当x a =时“=”成立，∴min ()1g x =，12,02,()3, 2.x x f x x -<≤⎧=⎨- >⎩∴()[3,1)f x ∈-，∴11≥,即1a ≥为所求．。
河南省郑州市新郑三中高考数学一模试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
河南省郑州市新郑三中2015届高考数学一模试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|lg（x﹣2）≥0}，B={x|x≥2}，全集U=R，则（∁U A）∩B=( ) A．{x|﹣1＜x≤3}B．{x|2≤x＜3} C．{x|x=3} D．φ2．复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．在某校抽取样本容量为1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6，14）内的频数为( )A．780 B．680 C．648 D．4604．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．112 B．80 C．72 D．645．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为( )A．t≥B．t≥C．t≤D．t≤6．已知f（x）=|x+2|+|x﹣4|的最小值是n，则二项式（x﹣）n展开式中x4项的系数为( ) A．15 B．﹣15 C．6 D．﹣67．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴的正半轴为始边，若终边经过点P（x0，y0）且|OP|=r（r＞0），定义：sicosθ=，称“sicosθ”为“正余弦函数”对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到以下性质：①该函数的值域为[﹣，]；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象关于直线x=对称；④该函数的单调递增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z，则这些性质中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知椭圆的离心率为，双曲线x2﹣y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( ) A．B．C．D．9．点P是曲线x2﹣y﹣lnx=0上的任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为( )A．1 B．C．D．10．在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为( )A．B．C．D．11．等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=( )A．212B．29C．28D．2612．已知函数f（x）=1+x﹣，设F（x）=f（x+3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，当b﹣a取得最小值时，a+b的值为( ) A．﹣1 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为__________．14．如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y﹣1）2=1于点A、B、C、D，则的值是__________．15．椭圆为定值，且的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是__________．16．已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f （b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是__________．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=p（S n﹣a n）+（p为大于0的常数），且a1是6a3与a2的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a n•b n=2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1﹣4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．每扇门对应的梦想基金：（单位：元）第一扇门第二扇门第三扇门第四扇门1000 2000 3000 5000（Ⅰ）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（参考公式其中n=a+b+c+d）19．如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB=AE=，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求二面角E﹣PF﹣C的大小．20．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点到直线+=1的距离d=，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，求O到直线l的距离．21．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ax在x=﹣处的切线的斜率为1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；（Ⅱ）证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）；（Ⅲ）设g（x）=b（e x﹣x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修1-4：几何证明选讲22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC 边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．选修4-4：坐标系与参数方程23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|，（Ⅰ）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）当a=1时，函数f（x）的最小值为m，若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3．河南省郑州市新郑三中2015届高考数学一模试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|lg（x﹣2）≥0}，B={x|x≥2}，全集U=R，则（∁U A）∩B=( )A．{x|﹣1＜x≤3} B．{x|2≤x＜3} C．{x|x=3} D．φ考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．解答：解：由A中的不等式变形得：lg（x﹣2）≥0=lg1，得到x﹣2≥1，即x≥3，∴A={x|x≥3}，∵全集U=R，∴∁U A={x|x＜3}，∵B={x|x≥2}，∴（∁U A）∩B={x|2≤x＜3}．故选：B．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：利用除法的运算法则：复数=﹣a﹣3i，由于在复平面内对应的点在第三象限，可得﹣a＜0，即可判断出．解答：解：∵复数==﹣a﹣3i，在复平面内对应的点在第三象限，∴﹣a＜0，解得a＞0．∴复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则及其几何意义、充分不必要条件，属于基础题．3．为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．在某校抽取样本容量为1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6，14）内的频数为( )A．780 B．680 C．648 D．460考点：频率分布直方图．专题：计算题；概率与统计．分析：根据频率分布直方图中各个小长方形的面积之和等于1，求出样本数据落在[6，14）内的频率，即可求出对应的频数．解答：解：根据题意，得样本数据落在[6，14）内的频率是1﹣（0.02+0.03+0.03）×4=0.68；∴样本数据落在[6，14）内的频数是1000×0.68=680．故选：B．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应灵活应用频率分布直方图中各个小长方形的面积之和等于1的条件，是基础题．4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．112 B．80 C．72 D．64考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体，根据三视图中标识的数据，结合正方体的体积公式和棱锥的体积公式，即可得到答案．解答：解：根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体，根据三视图中标识的数据可知：正方体及四棱锥的底面棱长均为4，四棱锥高3则V正方体=4×4×4=64=16故V=64+16=80故选B点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，根据三视图确定几何体的形状是解答此类问题的关键．5．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为( ) A．t≥B．t≥C．t≤D．t≤考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行的结果是什么．解答：解：模拟程序框图的运行过程，可得：n=0，x=t，a=1，n=0+2=2，x=2t，a=2﹣1=1；2＞4，否，n=2+2=4，x=4t，a=4﹣1=3；4＞4，否，n=4+2=6，x=8t，a=6﹣3=3；6＞4，是，输出a x=38t；∵38t≥3，∴8t≥1，即t≥；∴t的取值范围为{t|t≥}．故选：B．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案来，属于基础题．6．已知f（x）=|x+2|+|x﹣4|的最小值是n，则二项式（x﹣）n展开式中x4项的系数为( ) A．15 B．﹣15 C．6 D．﹣6考点：二项式系数的性质；绝对值不等式的解法．专题：二项式定理．分析：由条件利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于4，求得r的值，即可求得展开式中的x4项的系数．解答：解：f（x）=|x+2|+|x﹣4|的最小值是n，f（x）=|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x ﹣4）|=6，∴n=6，二项式（x﹣）n =（x﹣）6展开式的通项公式为 T r+1=•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r=4，求得 r=1，可得二项式（x﹣）n展开式中x4项的系数为﹣6，故选：D．点评：本题主要考查绝对值三角不等式，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．7．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴的正半轴为始边，若终边经过点P（x0，y0）且|OP|=r（r＞0），定义：sicosθ=，称“sicosθ”为“正余弦函数”对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到以下性质：①该函数的值域为[﹣，]；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象关于直线x=对称；④该函数的单调递增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z，则这些性质中正确的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个考点：进行简单的合情推理．专题：三角函数的图像与性质；推理和证明．分析：首先根据题意，求出y=sicosθ=sin（x﹣），然后根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可．解答：解：①根据三角函数的定义可知x0=rcosx，y0=rsinx，所以sicosθ===sinx﹣cosx=sin（x﹣），因为，所以sin（x﹣），即该函数的值域为[﹣，]；②因为f（0）=sin（）=﹣1≠0，所以该函数图象不关于原点对称；③当x=时，f（）=sin=，所以该函数图象关于直线x=对称；④因为y=f（x）=sicosθ=sin（x﹣），所以由2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，即该函数的单调递增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z．综上，可得这些性质中正确的有3个：①③④．故选：C．点评：本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，解答此题的关键是首先求出函数y=sicosθ的表达式．8．已知椭圆的离心率为，双曲线x2﹣y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( ) A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆上，再结合椭圆的离心率，即可确定椭圆的方程．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，∴边长为4，∴（2，2）在椭圆上∴∵椭圆的离心率为，∴=（）2∴a2=2b2∴a2=12，b2=6∴椭圆方程为：故选B．点评：本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，考查学生的计算能力，正确运用双曲线的性质是关键．9．点P是曲线x2﹣y﹣lnx=0上的任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为( ) A．1 B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x ﹣2的距离即为所求．解答：解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣=1，x=1，或 x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，故点P到直线y=x﹣2的最小距离为，故选D．点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．10．在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为( )A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：压轴题．分析：先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2ax ﹣b2+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，∵a，b使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点，∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω={（a，b）|﹣π≤a≤π，﹣π≤b≤π}∴S=（2π）2=4π2，而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，∴s=4π2﹣π2=3π2，由几何概型公式得到P=，故选B．点评：高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到．11．等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=( )A．212B．29C．28D．26考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：对函数进行求导发现f′（0）中，含有x的项的值均为0，而常数项为a1a2a3 (8)由此求得f′（0）的值．解答：解：∵f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）=x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）]，∴f′（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）+x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）]′，考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，得：f′（0）=a1a2a3…a8=（a1a8）4=212．故选：A．点评：本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，属于基础题．12．已知函数f（x）=1+x﹣，设F（x）=f（x+3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，当b﹣a取得最小值时，a+b的值为( ) A．﹣1 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣3考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：求导数，确定f（x）是R上的增函数，函数f（x）在[﹣1，0]上有一个零点，即可得出结论．解答：解：∵f（x）=1+x﹣，∴f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+ (x2010)x＞﹣1时，f′（x）＞0，f′（﹣1）=1＞0，x＜﹣1时，f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函数，∵f（0）=1＞0，f（﹣1）=（1﹣1）+（﹣﹣）+…+（﹣﹣）＜0∴函数f（x）在[﹣1，0]上有一个零点；∴函数f（x+3）在[﹣4，﹣3]上有一个零点，∴a=﹣4，b=﹣3∴a+b=﹣7．故选：C点评：此题是难题．考查函数零点判定定理和利用导数研究函数的单调性以及数列求和问题以及函数图象的平移，学生灵活应用知识分析解决问题的能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为36π．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：正三棱锥S﹣ABC的三个侧面两两垂直，转化为三条侧棱两两互相垂直，该三棱锥的各个顶点均为棱长为2的正方体的顶点，通过正方体的对角线的长度，求出外接球半径，即可求解球的表面积．解答：解：在正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，所以正三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且SA=2，正三棱锥S﹣ABC的外接球即为棱长为2的正方体的外接球．则外接球的直径2R=2•=6，所以外接球的半径为：3．故正三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积S=4•πR2=36π．．故答案为：36π．点评：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中根据已知结合正方体的几何特征，得到该正三棱锥是正方体的一部分，并将问题转化为求正方体外接球表面积，是解答本题的关键．14．如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y﹣1）2=1于点A、B、C、D，则的值是1．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：数形结合．分析：设A、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）及直线方程，联立直线和抛物线的方程求出y1•y2，y1+y2，并用y1，y2表示AF，FD，而所求==（AF﹣1）（FD﹣1），代入上述式子中即可．解答：解：设A、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意知焦点F（0，1），则设直线AD方程为：y=kx+1，联立消去x，得y2﹣（2+4k2）y+1=0，∴y1+y2=2+4k2，y1•y2=1又根据抛物线定义得AF=，FD=，∴AF=y1+1，FD=y2+1==（AF﹣1）（FD﹣1）=y1•y2=1．故答案为1点评：此题设计构思比较新颖，考查抛物线的定义及巧妙将向量数量积转化，同时在解答过程中处理直线和抛物线的关系时运用了设而不求的方法．15．椭圆为定值，且的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率．解答：解：设椭圆的右焦点E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；∴△FAB的周长的最大值是4a=12⇒a=3；∴e===．故答案：．点评：本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．16．已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f （b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（21，24）．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得 log3（ab）=0，ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）时，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4 d=6、cd=24．由此求得abcd的范围．解答：解：由题意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得log3（ab）=0，故ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）上，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4、d=6、cd=24．故有 21＜abcd＜24，故答案为（21，24）．点评：本题主要考查对数函数、二次函数的图象、性质应用，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=p（S n﹣a n）+（p为大于0的常数），且a1是6a3与a2的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a n•b n=2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1即可得出a n，n=1时单独考虑，再利用等比数列的通项公式即可得出；（II）由（I）得，利用“错位相减法”即可得出其前n项和．解答：解：（I）当n=1时，，得．当n≥2时，，，两式相减得a n=pa n﹣1，即．故{a n}是首项为，公比为p的等比数列，∴．由题意可得：2a1=6a3+a2，，化为6p2+p﹣2=0．解得p=或（舍去）．∴=．（II）由（I）得，则，+（2n﹣1）×2n+（2n+1）×2n+1，两式相减得﹣T n=3×2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n+1）×2n+1==﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1，∴．点评：熟练掌握：当n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1，a1=S1；等比数列的通项公式，“错位相减法”是解题的关键．18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1﹣4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．每扇门对应的梦想基金：（单位：元）第一扇门第二扇门第三扇门第四扇门1000 2000 3000 5000（Ⅰ）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（参考公式其中n=a+b+c+d）考点：独立性检验的应用；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，根据列联表中所给的数据，代入求观测值的公式，求出这组数据的观测值，把观测值同临界值表中的临界值进行比较，得到结论；（Ⅱ）确定ξ的所有能取值，求出相应的概率，即可求出ξ的分布列及数学期望．解答：解：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，正确错误合计20～30（岁）10 30 4030～40（岁）10 70 80合计20 100 120…根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2==3∵3＞2.706…∴有1﹣0.10=90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．…（Ⅱ）ξ的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000则……………ξ的分布列为ξ0 1000 3000 6000 11000P…ξ数学期望…点评：本题考查独立性检验的应用，考查分布列及数学期望．本题解题的关键是学会读图和画图，在所给的二维条形图中能够看出所需要的数据．19．如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB=AE=，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求二面角E﹣PF﹣C的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（I）由题设条件推导出EF⊥BE，从而得到EF⊥平面PBE，由此能证明平面PBE⊥平面PEF．（II）设AD=3，以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平面EBCD向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣PF﹣C的大小．解答：（I）证明：在Rt△DEF中，∵ED=DF，∴∠DEF=45°，在Rt△ABE中，∵AE=AB，∴∠AEB=45°，∴∠BEF=90°，∴EF⊥BE，∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE=BE，∴EF⊥平面PBE，∵EF⊂平面PEF，∴平面PBE⊥平面PEF．（II）解：由题意，不妨设AD=3，以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平面EBCD向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系．∵在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB=AE=，∴，∴．设平面PEF和平面PCF的法向量分别为=（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2）．由及，得到，∴=．又由•及•，得到，∴=，，综上所述，二面角E﹣PF﹣C大小为150°．点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．20．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点到直线+=1的距离d=，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，求O到直线l的距离．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用离心率e=，右焦点到直线+=1的距离d=，建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线l与椭圆C交于A，B 两点，以AB为直径的圆过原点O，即可求出O到直线l的距离．解答：解：（Ⅰ）∵，∴，右焦点（c，0）到直线的距离，则，且b2+c2=1，∴a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程是：（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）那么：，则（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=又∵直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1﹣m）（kx2﹣m）=0，∴，化简得，即∴O到直线l的距离为点评：本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，综合性强，属于中档题．21．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ax在x=﹣处的切线的斜率为1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；（Ⅱ）证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）；（Ⅲ）设g（x）=b（e x﹣x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．求导数，利用函数f（x）=ln（1+x）﹣ax在x=﹣处的切线的斜率为1，可求a的值，再确定函数的单调性，从而可求f（x）的最大值；（Ⅱ）法（一）：由（Ⅰ），得ln（1+x）﹣x≤0，即ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时，等号成立．令x=（k∈N*），从而可得＞ln（k+1）﹣lnk（k=1，2，…，n），将上述n个不等式依次相加，即可证得结论；法（二）：先证明当n=1时，不等式成立；再假设当n=k时，不等式成立，结合x＞ln（1+x）（x＞﹣1，且x≠0）及x=，即可证得结论；（Ⅲ）先确定b≥0．由（Ⅰ），知f（x）max=f（0）=0，再求g（x）的最小值，从而可求实数b的取值范围．解答：（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．求导数，得f′（x）=﹣a．由已知，∵函数f（x）=ln（1+x）﹣ax在x=﹣处的切线的斜率为1∴f′（﹣）=1，即﹣a=1，∴a=1．此时f（x）=ln（1+x）﹣x，f′（x）=﹣1=，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．∴当x=0时，f（x）取得极大值，该极大值即为最大值，∴f（x）max=f（0）=0．…（Ⅱ）证明：法（一）：由（Ⅰ），得ln（1+x）﹣x≤0，即ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时，等号成立．令x=（k∈N*），则＞ln（1+），即＞ln，∴＞ln（k+1）﹣lnk（k=1，2，…，n）．将上述n个不等式依次相加，得1+++…+＞（ln2﹣ln1）+（ln3﹣ln2）+…+[ln（n+1）﹣lnn]，∴1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）．…法（二）：用数学归纳法证明．（1）当n=1时，左边=1=lne，右边=ln2，∴左边＞右边，不等式成立．（2）假设当n=k时，不等式成立，即1+++…+＞ln（k+1）．那么1+++…++＞ln（k+1）+，由（Ⅰ），知x＞ln（1+x）（x＞﹣1，且x≠0）．令x=，则＞ln（1+）=ln，∴ln（k+1）+＞ln（k+1）+ln=ln（k+2），∴1+++…++＞ln（k+2）．即当n=k+1时，不等式也成立．…根据（1）（2），可知不等式对任意n∈N*都成立．（Ⅲ）解：∵f（0）=0，g（0）=b，若f（x）≤g（x）恒成立，则b≥0．由（Ⅰ），知f（x）max=f（0）=0．（1）当b=0时，g（x）=0，此时f（x）≤g（x）恒成立；（2）当b＞0时，g′（x）=b（e x﹣1），当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．∴g（x）在x=0处取得极小值，即为最小值，∴g（x）min=g（0）=b＞0≥f（x），即f（x）≤g（x）恒成立．综合（1）（2）可知，实数b的取值范围为[0，+∞）．…点评：本题考查导数知识的运用，考查数学归纳法，考查恒成立问题，解题的关键是理解导数的几何意义，掌握数学归纳法的证题步骤，确定函数的最值，综合性强．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修1-4：几何证明选讲22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC 边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．。
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2015年高中毕业年级第一次质量预测理科数学 参考答案一、选择题1-12：BCDA DBCC BADA二、填空题 13.634 14.-10 15.82 16.2,3,4.三、解答题17.解：(Ⅰ) 42cos 23=∠=ABC a ，，3=c ，由余弦定理：ABC a c a c b ∠⋅⋅-+=cos 2222 =18423232)23(322=⨯⨯⨯-+，………………………………2分∴ 23=b ． ……………………………………………………………………4分 又(0,)π∠∈ABC ，所以414cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ， 由正弦定理：ABC bACB c∠=∠sin sin ， 得47sin sin =∠⨯=∠b ABC c ACB ．………………………………………6分(Ⅱ) 以BC BA ，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图，则42cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，…………………8分 ,62==BD BE 在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222． 即)42(23218362-⨯⨯⨯-+=CE CE ， 解得：，3=CE 即，3=AB …………………10分 所以479sin 21=∠=∆ABC ac S ABC .…………………………………………12分18.解：(Ⅰ)当206=S 时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，………………2分 若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；…………………3分 若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对1首， 此时的概率为：811631)32(323132)31()32()32(21322242=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=C C p ………… …………5分（2）∵5S =ξ的取值为10，30，50，又21,,32p q ==…………………6分 ∴8140)31()32()31()32()10(32252335=+==C C P ξ, B CDA E8130)31()32()31()32()30(41151445=+==C C P ξ 5505552111(50)()().3381P C C ξ==+=…………………9分∴ξ的分布列为： ξ 10 30 50 p 8140 8130 8111 ∴811850811150813030814010=⨯+⨯+⨯=ξE .…………………………………………12分 19.解：（1）当M 为PC 中点时，//PA 平面BMQ ，…………………2分理由如下： 连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为090ADC ∠=，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点．当M 为PC 的中点，即PM MC =时，MN 为PAC ∆的中位线，…………4分 故//MN PA ，又MN ⊂平面BMQ ，所以//PA 平面BMQ .…………………………………………5分（2）由题意，以点D 为原点DP DC DA ,,所在直线分别为z y x ,,轴， 建立空间直角坐标系，…………………6分则),0,2,1(),0,0,1(),2,0,0(B Q P …………………7分由MC PM 2=可得点)32,34,0(M ,所以)32,34,1(),0,2,0(),20,1(-==-=QM QB PQ , 设平面PQB 的法向量为),,(1z y x n =，则1120,2,0.20,PQ n x z x z y QB n y ⎧⋅=-==⎧⎪∴⎨⎨=⋅==⎩⎪⎩ 令)1,0,2(,11=∴=n z ，…………………9分同理平面MBQ 的法向量为)1,0,32(2=n ,…………………10分 N CQ M P B D A xy z设二面角大小为θ，.65657cos 2121=⋅=n n n n θ…………………………………………12分 20.解：(1).设点),(y x P ，由题意可得，22|2|)1(22=-+-x y x ，…………………2分 整理可得：1222=+y x .曲线E 的方程是1222=+y x .………………………5分 (2).设),(11y x C ，),(22y x D ，由已知可得：|| 2.AB =当0=m 时，不合题意. …………………6分当0≠m 时，由直线l 与圆122=+y x 相切，可得：11||2=+m n ，即221.m n += 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x n mx y 消去y 得2221()210.2m x mnx n +++-=…………………8分 02)1)(21(4422222>=-+-=∆m n m n m ，122,1222221+∆--=+∆+-=m mn x m mn x 所以，1222,1242221221+-=+-=+m n x x m mn x x ||||2112x x AB S ACBD -=四边形=12||2121222222+=++-m m m n m =22.122||||m m ≤+10分 当且仅当||1||2m m =，即22±=m 时等号成立，此时26±=n ，经检验可知， 直线2622-=x y 和直线2622+-=x y 符合题意. ………………………………12分 21.解：（1）当1a =-时，22()(2)ln 2f x x x x x =--+,定义域为()0,+∞，()()()22ln 22.f x x x x x '=-+-- …………………2分(1)3f '∴=-，又(1)1,f =()f x 在()()1,1f 处的切线方程340.x y +-= ……………4分（2）令()()20,g x f x x =--=则()222ln 22,x x x ax x -++=+即1(2)ln ,x x a x--⋅=令1(2)ln ()x x h x x--⋅=， …………………5分 则2221122ln 12ln ().x x x h x x x x x ---'=--+= …………………6分 令()12ln t x x x =--,22()1x t x x x --'=--=，()0t x '<，()t x 在(0,)+∞上是减函数，又()()110t h '==，所以当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<， 所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()max (1)1h x h ∴==.………8分因为0>a ， 所以当函数()g x 有且仅有一个零点时，1a =.当1a =，()()222ln g x x x x x x =-+-，若2,(),e x e g x m -<<≤只需证明max (),g x m ≤…………………9分()()()132ln g x x x '=-+，令()0g x '=得1x =或32x e -=，又2e x e -<<， ∴函数()g x 在322(,)e e --上单调递增，在32(,1)e -上单调递减，在(1,)e 上单调递增，10分 又333221()22g e e e ---=-+ ， 2()23,g e e e =- 333322213()2222()().22g e e e e e e e g e ----=-+<<<-= 即32()()g e g e -< ，2max ()()23,g x g e e e ==- 223.m e e ∴≥- ………12分22．证明：(1)因为PD PG =，所以PGD PDG ∠=∠.由于PD 为切线，故DBA PDA ∠=∠，…………………2分又因为PGD EGA ∠=∠，所以DBA EGA ∠=∠，所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠，从而BDA PFA ∠=∠.…………………4分又,EP AF ⊥所以 90=∠PFA ，所以 90=∠BDA ，故AB 为圆的直径．…………………5分(2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA . …………………7分又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . ………………8分因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，…………………9分所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以5==AB DE .…………………10分23.解：(Ⅰ)圆C 的普通方程为02222=+-+y x y x ，即22(1)(1) 2.x y -++=………2分所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为7(2,)4π；…………………5分 (Ⅱ)直线l 的普通方程：0122=--y x ，圆心到直线l 的距离32231122=-+=d ，…………………7分 所以,31029822=-=AB 点P 直线AB 距离的最大值为,3253222=+=+d r …………………9分 9510325310221max =⨯⨯=S .…………………10分 24.解：（Ⅰ）当5=m 时，,1,3411,21,63)(⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+--<+=x x x x x x x f ………………………3分由2)(>x f 易得不等式解集为)0,34(-∈x ；………………………5分（2）由二次函数2)1(3222++=++=x x x y ，该函数在1-=x 取得最小值2， 因为31,1()3,1131,1x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩在1-=x 处取得最大值2-m ，…………………7分所以要使二次函数322++=x x y 与函数)(x f y =的图象恒有公共点，只需22≥-m ， 即 4.m ≥.……………………………10分。