第二节 正项级数的审敛法09-4-20

第二节 正项级数的审敛法教学目的:弄清正项级数的定义；熟练掌握正项级数敛散性的常用判别法，灵活运用判别法判断所给级数的敛散性.重难点: 灵活运用判别法判断所给级数的敛散性. 教学方法:启发式讲授与指导练习相结合. 教学过程:一、正项级数及其审敛法 1.正项级数：若级数∑∞=1n nu的各项0≥n u , 则称级数∑∞=1n nu为正项级数.2.【定理1】(基本定理): 正项级数∑∞=1n nu收敛⇔}{n S 有界. 且此时S S n ≤说明：因0≥n u ,于是11--≥+=n n n n S u S S ,可见}{n S 单调递增.故∑∞=1n nu收敛 ⇔}{n S 收敛 ⇔}{n S 有界. 此时显然有S S n ≤.（注意：单调有界数列收敛） 3.【定理2】(比较判别法): 设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv均为正项级数, 且n n v u ≤, ,2,1=n ,则 (1)∑∞=1n nv收敛⇒∑∞=1n nu收敛; (2)∑∞=1n nu发散⇒∑∞=1n nv发散.证明: 由条件知, n nk knk k n T vu S =≤=≤∑∑==110, 那么(1) ∑∞=1n nv收敛⇒}{n T 有界⇒}{n S 有界⇒∑∞=1n nu收敛; (2)∑∞=1n nu发散⇒}{n S 无界⇒}{n T 无界⇒∑∞=1n nv发散.另证：若∑∞=1n nv收敛，由（1）证明知∑∞=1n nu必收敛，此与题设∑∞=1n nu发散矛盾，所以假设不成立，即∑∞=1n nv发散.4.【推论】(1) 若级数∑∞=1n nv收敛且存在0N >,..s t n N >时恒有: n n cv u ≤, (0>c 为常数),则级数∑∞=1n nu收敛.（2）若级数∑∞=1n nv发散且存在0N >, ..s t n N > 时恒有: n n u cv ≥,(0>c 为常数),则级数∑∞=1n n u 发散.例1 讨论-p 级数 ++++++p p p p n 14131211的敛散性.)0(>p 解: ① 若,1≤p 由于nn p 11≥ ⇒-p 级数发散.② 若,1>p 由 1101p p n x n n x≤-≤≤⇒≤所以 ⎰⎰--≤=n n p n n p p x dx n dx n111(2,3,4,)n = , 那么 ⎰⎰⎰-++++≤++++=n n p p p p p p n xdx x dx x dx n S 132211131211 11111111111111--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+≤+=+∞-∞+⎰⎰p pp x p x dx x dx p p np ＝＝, 可见}{n S 有界⇒-p 级数收敛.综上知：-p 级数∑∞=11n pn收敛 ⇔ 1>p .（此结论当定理使用） [由-p 级数得结论]： 设∑∞=1n nu为正项级数, 那么① 若1>p , 且p n n u 1≤, ,2,1=n , 则∑∞=1n n u 收敛;② 若n u n 1≥, ,2,1=n , 则∑∞=1n n u 发散.例2 (1)证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的.证明:,11)1)(1(1)1(1+=++>+n n n n n 1211,1n n n n∞∞==+∑∑而级数=发散11(1)n n n ∞=∴+∑级数发散.(2) 证明级数2111n nn ∞=++∑是发散的. 证明：因为221111(1)1n n n u n n n ++=>=+++，且11,1n n ∞∞=+∑∑n=21而级数=发散n 故 级数2111n nn ∞=++∑是发散的. 例3（1）讨论级数211(1)n n n ∞=+∑的敛散性.解：3232111(1)n n u v n n n n =<==+ ， 而级数31121n n n v n∞∞===∑∑为收敛的-p 级数所以级数211(1)n n n ∞=+∑收敛.（2）讨论级数1()21nn n n ∞=+∑的敛散性.解：1()2122n nn n n n n u v n n ⎛⎫⎛⎫=<== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 而级数111()2nn n n v ∞∞===∑∑是收敛的几何级数所以级数1()21nn n n ∞=+∑收敛. (3)判断级数 33221(11)n n n ∞=+--∑的敛散性.解 令 331110n n n u n n u ∞==+--≥⇒∑为正项级数.又333333222211111n n u n n v n n n n=+--=≤≤=++-+级数3121n n∞=∑为收敛的P －级数，所以1nn v∞=∑收敛，由比较判别法知故级数33221(11)n n n ∞=+--∑收敛.例4 设40tan nn a xdx π=⎰.（1）求211(n n n a a n ∞+=+∑）的值.（2）证明当0λ> （常数）时，级数1nn a n λ∞=∑收敛.（1）解 244201tan (tan 1)tan tan 1n n n n a a x x dx xd x n ππ++=+==+⎰⎰ 所以211111(lim(1)1(1)1n n n n n a a n n n n ∞∞+→∞==+=-=++∑∑）= （2）证明 因为 4tan 0n n a xdx π=>⎰21110(1)n n n a a a n n n n nλλλλ+++≤≤=<+，且0λ>时，111n n λ∞++∑收敛，故原级数收敛.练习：用比较判别法确定下列级数的敛散性:(1) ++++7151311 解 该级数为∑∞=-1121n n ,由121-n n 21>,且∑∞=121n n发散,知原级发散. (2) +++++++1117110151212n 解 该级数为∑∞=+1211n n ,由112+n 21n <,且∑∞=121n n收敛,知原级数收敛. (3) +-⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅++-)12(75329753275325323211432n n解 由于1122()(1,2,)33333n n n u n --≤==⋅⋅⋅ , 这是一个公比为32的几何级数,因而是收敛的,由比较判别法可知原级数收敛. (4)∑∞=+1)1ln(1n n （由函数单调性知0x >()ln(1)f x x x ⇒=-+1()101f x x '⇒=->+ 所以函数()f x 单调递增，0x >时()(0)0f x f >=⇒ln(1x x ＋）<） 解 因为ln(1)n n +<,所以11ln(1)n n >+,而调和级数11n n∞=∑发散,由比较 判别法可知原级数发散.(5)+⋅+⋅+⋅+⋅443322372352332312 解 由于122()()2133n n n u n =≤-,12()3n n ∞=∑是一个公比为32的收敛几何级数，所以由比较判别法可知原级数收敛.(6)∑∞=+111n n n 解 由23)1(111n n n n n =<+, ∑∞=123)1(n n收敛,知原级数收敛.例5 讨论级数11(0)1nn a a ∞=>+∑的敛散性. 解：1）1a >时由111n n n u a a =<+且11nn a∞=∑收敛可得原级数收敛. 2）1a =时由1112n nu a ==+且112n ∞=∑发散可得原级数发散. 3）01a <<时由1112n n u a =>+且112n ∞=∑发散可得原级数发散. 结论：当通项较容易通过不等式的放缩而找到已知敛散性的级数的通项 时，可以选择比较判别法.利用比较判别法需要对调和级数、几何级数、 P －级数的敛散性非常熟悉.5．【定理3】(比较判别法的极限形式): 设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均为正项级数,若l v u nnn =∞→lim，则(1)当+∞<≤l 0时,若∑∞=1n nv收敛,则∑∞=1n nu也收敛；(2)当∞≤<l 0时,若∑∞=1n n v发散,则∑∞=1n nu也发散.（3）)当0l <<∞时,若∑∞=1n nv与∑∞=1n nu有相同的敛散性.结论的另一种叙述方法： (1)当0l <<+∞时,∑∞=1n nv与∑∞=1n nu有相同的敛散性；(2)当0l =时,若∑∞=1n nv收敛,则∑∞=1n nu也收敛； (3)当l =∞时,若∑∞=1n nv发散,则∑∞=1n nu也发散.证明:(1)由+∞<≤l 0,,01>+=l ε,N ∃当n N >时，1+=<-l l v u nnε, 或12+<l v u nn,)()12(N n v l u n n >+<即,若∑∞=1n nv收敛,则∑∞=1n nu也收敛；(2)因为 lim n n nu l v →∞=,0l <≤+∞，故k u vn n n =∞→lim ，+∞<≤k 0,若∑∞=1n nu收敛,则∑∞=1n nv也收敛,可见,若∑∞=1n nv发散,则∑∞=1n nu必发散.补充结论证明提示（1） 当0l <<+∞时,由l v u nnn =∞→lim得对0,0..N s t n N ε∀>∃>>时 33,22222n n n n n n n u u l l l l ll v u v v v εε-<=<<<<取则即由比较判别法得 结论成立.（2）当0l =时, nn n nu u v v εε<<即由比较判别法得结论成立. （3）当l =∞时,由无穷大的概念知0,..n n n nuM s t M u Mv v ∃>>⇒>由比较判别法得结论成立. 【推论】(-p 极限法): 设∑∞=1n nu为正项级数,且l u n n pn =∞→lim ,(1)当1>p ,+∞<≤l 0时,级数∑∞=1n nu收敛;(2)当1≤p ,∞≤<l 0时,级数∑∞=1n nu发散.（证明方法：设∑∞=1n n v 为正项级数,其中1n p v n =，利用比较判别法去证） 注意：利用比较的极限形式时常需用到极限的等价无穷小概念，0x →时 ~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1x x x x x x x e +-211cos ~2x x -例6 （1） 判别级数∑∞=11sin n n 的敛散性.解: n n n 1sin lim ∞→ nn n 11sin lim ∞→=,1= ⇒ 级数∑∞=11sin n n 发散.)1(=p（2）判别级数∑∞=+12)11ln(n n 的敛散性.解: 1)1ln(lim 1)11ln(lim )11ln(lim 21210122222=-→=∞→∞→===+===⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+p p t t n t p n p n t t n n nn 令 , ⇒ 级数∑∞=+12)11ln(n n 收敛. )12(>=p .（3） 判别级数11(1cos )n n ∞=-∑的敛散性.解：n →∞时，2111cos 2n n - 且2112n n∞=∑收敛⇒11(1cos )n n ∞=-∑收敛.（4）1186n n n ∞=-∑：11381()4n n n u =⋅-，18n n v =，11lim 18n n n n u v ∞→∞=∑n ＝且 收敛，推出1186n nn ∞=-∑收敛. （5）11ln(1)n n ∞=+∑：111,ln(1)~,n n v n n n →∞+=令11n ∞∑n ＝且发散，可推出原级数发散.（6）211ln(1)n n ∞=+∑：222111,ln(1)~,n n v n n n →∞+=令211n∞∑n ＝且收敛，可推出原级数收敛.例7 判定级数21(0)1nnn a a a∞=>+∑的敛散性. 解 （1）当1a =时，211112n nn n a a ∞∞===+∑∑发散. （2）当1a >时，令1n n v a =，22lim lim 11nn n n n nu a v a ρ→∞→∞===<+∞+1n n v ∞=∑收敛（101q a <=<），所以原级数211nnn a a ∞=+∑收敛. 另证：令1n n v a =，2211,1n n n n n nn n n a a u v v a a a ∞===≤==+∑ 收敛（101q a <=<），所以原级数211nnn a a∞=+∑收敛. （3）当1a <时，令nn v a =，21lim lim11n nn n nu v a ρ→∞→∞===<+∞+ 1n n v ∞=∑收敛（01q a <=<），所以原级数211nnn a a∞=+∑收敛.另证：令nn v a =，21,1n nn n n nn a u a v v a ∞==≤=+∑ 收敛（01q a <=<），所以原级数211nnn a a∞=+∑收敛. 综上所述1a =时211n n n a a ∞=+∑发散，1a ≠时211nnn a a ∞=+∑收敛. 【结论】：当n →∞时，级数的通项能与常用的等价无穷小挂钩，此时考虑用比较判别法的极限形式进行判定.但必须给出通项比值的极限（与 无穷大比较）以及已知级数的敛散性.6．【定理4】(比值判别法,达朗贝尔判别法D Alembert '): 设∑∞=1n n u 为正项级数,若ρ=+∞→nn n u u 1lim,则(1)1<ρ时, 级数∑∞=1n nu收敛；(2) 1>ρ或+∞=ρ时, 级数∑∞=1n nu发散；(3)1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.证明: (1) 1<ρ时, 对,021>-=ρε 0,N ∃>,时当N n >,1ερ<-+nn u u 有r u u nn =+<+ερ1, n n ru u <+1)121,(,<+=+=>ρερr N n ,12++<N N ru u ,1223+++<<N N N u r ru u , ,11+-+<N m m N u r u由于∑∞=-11m m r收敛, 故∑∞=+1m mN u收敛. ∴级数∑∞=1n nu收敛.(2) 1>ρ时, 对,021>-=ρε ,N ∃,时当N n >,1ερ<-+nn u u 有121211>+=--=->+ρρρερn n u u , ,1n n u u >+ )(N n > 可见 .0lim ≠∞→n n u ∴级数∑∞=1n nu发散.(2)’ +∞=ρ时, ,N ∃,时当N n >11>+nn u u , 或 ,1n n u u >+ 同样 .0lim ≠∞→n n u ∴级数∑∞=1n nu发散.(3)1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.例如: 级数∑∞=11n n 发散, 而级数∑∞=121n n收敛.注意到这两个级数均有1=ρ.例8（1）(88.3) 讨论级数∑∞=++11)!1(n n nn 的敛散性.解 由12)1(lim )!1()1()!2(lim lim 1121++⋅+=+⋅++=+→∞++→∞+→∞n n n n n n n n u u n n n n n nn n 1e1)1()11(1lim <=+⋅+=∞→n n nn n 知原级数收敛. （2）讨论级数1nn n n ∞=∑！的敛散性.解 令11,lim lim(1)1n n n n n n nu n u e n u n ρ+→∞→∞===+=>由于！，1nn n n ∞=∑！发散. (3) 判断级数 12!()nn n n ∞=∑的敛散性.解 令2!nn u n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由比值判别法知112(1)!221lim lim lim 112(1)!n n n n n n n n n u n u e n n n ρ++→∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故级数 12!()nn n n ∞=∑收敛.(4)∑∞=13sin2n nn π解 该级数的一般项nnn u 3sin2π=,，且11sinsin 3333n n n n n ππππ→∞＋＋时，～，～因为 1323sin333sinlim 323sin 23sin2lim lim 11111<=⋅=⋅⋅=++∞→++∞→+∞→nn n n n n n n n n n n n u u ππππππ,原级数收敛.例9 判别级数∑∞=-1)2)(12(1n n n 的敛散性. 解: (1) 由于1)22)(12()2)(12(limlim 1=++-==∞→+∞→n n n n u u n nn n ρ, 此时无法判断. (2) 但 141)2)(12(lim lim 22<=-=∞→∞→n n n u n n n n ，故得知级数收敛.另解 令1(21)(2)n u n n =-，又令21n v n =，因为211lim lim 2(21)4n n n nu n v n n ρ→∞→∞==⋅=-，且211n n ∞=∑收敛，故级数∑∞=-1)2)(12(1n n n 收敛. 例10 （1）求!10lim n nn ∞→.解: 由于 10110lim 10!)!1(10lim lim 11<=+=⋅+==∞→+∞→+∞→n n n u u n n n n nn n ρ,那么级数∑∞=1!10n nn 收敛, 于是0!10lim=∞→n n n . （2）证明 2!lim0n n n n n →∞⋅=. 证明：设有级数12!n nn n n ∞=⋅∑，因为 1112(1)!22lim lim lim 11(1)2!(1)n n n n n n n n n n u n n u n n e nρ+++→∞→∞→∞⋅+==⋅==<+⋅+， 所以级数12!n n n n n ∞=⋅∑收敛，于是 lim n n u →∞=2!lim 0n n n n n →∞⋅=. 例11 证明级数∑∞=-1)!1(1n n 是收敛的,并估计误差||n r .证明: (1) 由于101lim !)!1(lim lim 1<==-==∞→∞→+∞→n n n u u n n nn n ρ, 故级数收敛.(2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=+++++=)2)(1(1111!1)!2(1)!1(1!1||n n n n n n n r n )!1)(1(1111!11111!132--=-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++≤n n nn n n n n , )1(>n . 例12 证明级数∑∞=11n n n 是收敛的,并估计误差||n r .证明：(1) 由于101limlim <===∞→∞→n u n n n n ρ, 故级数收敛.(2) ++++++=+++321)3(1)2(1)1(1||n n n n n n n r ++++++<+++321)1(1)1(1)1(1n n n n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=+ 21)1(1111)1(1n n n n nn n n n n n n n n )1(11)1(11111)1(111+=+⋅+=+-⋅+=++. 【结论】：对于不便用比较与比较的极限形式完成敛散性判别的级数，应考虑比值判别法，它的特点是用自身的相邻两项的后一项与前相邻 一项比值极限判定.但注意极限与1比较大小.但必须注意：比值判 别法对p -级数失效. 练习：用比值判别法(达朗贝尔法则)研究下列各级数的敛散性:(1)++++43227252321 解 该级数的一般项nn n u 212-=,因为)12(22)12(lim lim 11-⋅⋅+=+∞→+∞→n n u u n nn nn n 1212412lim <=-+=∞→n n n ,所以该级数收敛. (2) ++++!41! 31! 211 解 该级数的一般项!1n u n =,因为1011lim !)1(!lim lim 1<=+=+=∞→∞→+∞→n n n u u n n nn n , 所以原级数收敛.(3)∑∞=+1! )12(1n n解 该级数的一般项!)12(1+=n u n ,因为!)3(2!)12(limlim1 n n u u n n n n ++=∞→+∞→10)3(2)22(1lim <=++=∞→ n n n ,原级数收敛. (4) ++++!45!35!25132 解 该级数的一般项!51n u n n -=,因为,1015lim 5!)!1(5lim lim 11<=+=⋅+=∞→-∞→+∞→n n n u u n n n n nn n 所以原级数收敛. (5)∑∞=12)!2()!(n n n解 该级数的一般项)!2()!(2n n u n =,因为141)22()12()1(lim )!()!2()!22())!1((lim lim 2221<=+⋅++=⋅++=∞→∞→+∞→n n n n n n n u u n n nn n , 所以原级数收敛.(6)+⋅+⋅+⋅+⋅542432322212432 解 该级数的一般项)1(2+⋅=n n u nn ,因为,1222lim 2)1()2()1(2lim lim 11>=+=+⋅⋅+⋅+=∞→+∞→+∞→n n n n n n u u n n n n nn n 原级数发散. （7）比值法判定：11n n ∞=∑！收敛，1n n ∞=∑n 3发散，21cos 32n n n π∞=∑n（21cos 32n n n π∞=∑n ：2cos 322n n n n n u v π=≤=n n ）收敛. （8）111:22n n n n v n ∞==-∑令，11lim 12n n n nu v ∞→∞=∑n ＝则且收敛⇒原级数收敛.（9）1n n n n ∞=∑！：11lim lim(1n n n n u u n +→∞→∞=+n 则)=e>1则⇒原级数1nn n n ∞=∑！发散.7．【定理5】(根式（柯西）判别法): 设∑∞=1n nu为正项级数, 若ρ=∞→nn n u lim ，则(1)1<ρ时, 级数∑∞=1n n u 收敛；(2)1>ρ或+∞=ρ时,级数∑∞=1n nu发散；(3)1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.证明: (1) 1<ρ时, 对,021>-=ρε ,N ∃,时当N n >,ερ<-nn u 有r u nn =+<ερ, n n r u <)121,(,<+=+=>ρερr N n 由于∑∞=1n nr收敛, 故级数∑∞=1n nu收敛.(2) 1>ρ时, 对,021>-=ρε ,N ∃,时当N n >,ερ<-n n u 有 12121>+=--=->ρρρερnn u , 1>n u )(N n >可见 .0lim ≠∞→n n u ∴级数∑∞=1n nu发散.(2)’ +∞=ρ时, ,N ∃,时当N n >1>nn u , 或 ,1>n u同样 .0lim ≠∞→n n u ∴级数∑∞=1n nu发散.(3) 1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.例如: 级数∑∞=11n n 发散, 而级数∑∞=121n n收敛.注意到这两个级数均有1=ρ.(1lim lim lim 01limln limln ln ======+∞→+∞→+∞→∞→∞→e eeeen t t t tt t nn n n n t t )【结论】：对通项的指数为与n 次幂相关的级数可以考虑用根植判别法. 例13 判别下列级数的敛散性（1）211(1)3n n n n ∞=+∑ 解 令21(1)3nn n n u +=，因为21(1)lim lim 133n nn n n n n e n u →∞→∞+==<， 所以 级数 211(1)3n n n n ∞=+∑收敛. （2）1()21nn n n ∞=+∑解 令()21nn n u n =+，因为1lim lim ()lim 121212n n n n n n n n n u n n →∞→∞→∞===<++， 所以 级数 1()21nn n n ∞=+∑收敛.例14 设(1,2,)n n n u c v n ≤≤= ，并且级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑都收敛，证明 级数1nn c∞=∑收敛.证明 设,(1,2,)n n n n n n w v u t v c n =-=-= 则0,0n n w t ≥≥即级数1nn w∞=∑与1nn t∞=∑都是正项级数.因为级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑都收敛，所以级数1nn w∞=∑收敛，而由(1,2,)n n n u c v n ≤≤= 知n n t w ≤，所以由正项级数比较判别法知级数1nn t∞=∑也收敛；而111nnnn n n c v t∞∞∞====-∑∑∑，且1nn v∞=∑收敛，故 级数1nn c∞=∑收敛.小结：1.正项级数多用比较判别法与比值判别法判断其敛散性.2．利用比较的极限形式判别时注意运用等价无穷小进行转化. 3．利用比较判别法时注意运用已证明过的常见不等式转化以及知道敛散性的调和级数11n n ∞=∑、几何级数1nn aq ∞=∑、P -级数11p n n∞=∑进行判断.4.对通项的指数为与n 相关次幂的级数可以考虑用根植判别法.5. 对于不便用比较与比较的极限形式完成敛散性判别的级数，应 考虑比值判别法，它的特点是用自身的相邻两项比值极限判定. 但注意极限与1比较大小.课后记：存在问题：定理不熟悉，常用结论不熟悉，不知从何下手去证明.。