第四章_不定积分

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经济数学第四章不定积分

(3) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任
意两个原函数只差一个常数项.
前页后页结束2.不定积源自的概念定义2 如果函数F(x)是f (x)在区间 I 上的一个原函数，那
么f (x)的全体原函数F(x) ＋C(C为任意常数)称为f (x)在区
间 I 上的不定积分. 记作
f (x)dx
f
(x)
1
f
(x)
2
f (x )dx n
f
(x)dx
1
f
(x)dx
2
f
(x)dx.
n
前页后页结束
例6 求 (2x3 5x2 4x 3)dx.
解 (2x3 5 x2 4x 3)dx 2x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以sec x是sec x tan x
的原函数.
前页后页结束
注:(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在．
(2)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是唯一的,且有无穷多个
例如在(,上) 是sin x 的c原os函x 数而 sin x 1,sin x 2 sin x 1,sin x 3也是它的原函数即 cos x 加任意常数都是 sin x 的原函数.
ln 3
ln 3
例8 求 x( x1)2dx.
解
x( x1)2
x
5 2
2x
3 2
x
1
2,
所以
x(
x
1)2dx
(
x
5 2
2
x

04第四章--不定积分

第四章不定积分'、不定积分的概念和性质1 •原函数：若F (x) = f (x)，则称F (x)为f (x)的一个原函数. 2.不定积分：若 F (x)二 f (x)，则 f (x)dx = F (x) • C • 3 .不定积分的基本性质：(1) [ f(x)dx]" = f(x)或 d f (x)dx = f (x)dx ；(2) F (x)dx=F(x) C 或 dF(x) =F(x) C . 例1 (1 )若xln x 是f (x)的一个原函数，求 f (x)；(2) 若F(x)是叱的一个原函数，求dF(x 2)；x(3)若e »是f (x)的一个原函数，求e xf (x)dx ；1 1(4)若 f (x) e xdx =e xC ，求 f (x);(5) 求■ f (x 3)dJ ；(6) 若 f(x)二 e*，求f (lnx)dx . x解(1)因为 f (x) =(xln x)" = ln x 1，所以f (x)J .xsin x(2)因为F (x)-——，所以x (3)因为 f(x) =(e»)〔则 f (x)= ，所以e xf (x)dx 二 e x e»dx 二 dx 二 x C .f (x)g x. 2 dF(x 2) =[F (x 2) 2x]d^Sin ^x - x 22xdx 二 2sin x 2dx . (4) 1因为 f(x)e x= 1e11 —e x，所以■ f(x 3)dJ = f (x 3).f (ln x) dx 二 f (In x)d(ln x)二 f (In x) C = e " xc =丄 C . x x(5) (6)、直接积分法被积函数经过恒等变形后，能用基本积分公式和不定积分的性质计算不定积分的方法，称为直接积分法.例2 (1) (3) (5) (7) (9) 解(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9) 计算下列不定积分：(x 1)2 .rr dx；2-^pdx;1 x24也pdx;1 x2cos2x ,dx ;sin x cosxsin4 x cos4 x 门2 2dx.sin xcos x2 3j—LdxW vxx x xa e dx = (ae) dx(2)(4)(6)a x e x dx ;2(12x2)dx；x (1 x )sin2 -dx ；2cos2x ,dx ；xsin212x21x"2)dx52 2 4x25-2 2-x2 2x2 C .3—- dx = 11 x2 1 x21 2x2.—厂dx 二x2(1 x2)4x2dx1 x2cIn (ae)1 px = x - arctanx +C .1 1 12 2 dx 二arctan x -x x1 3dx x x arcta nx C .3_1亠1x1 —cosx ’1 .dx(x - sin x) C .2 22. 2.cos x - sin x .dx dx = (cos x - sinx)dx' sin x + cosx二sin x cosx C .,「1 —2sin2 x , rdx 2 dx =si n2 x--cot x -2x C ..4 亠 4sin x cos xcos2xsin x cosxcos2x・2sin x-2 dxsin2 xcos2 x 血二・4sin x・2 2~sin xcos x4cos x2+・2 2 ' sinxcos x ydx=(ta n 2x cot 2x)dx= (sec x csc x -2)dx=tan x - cot x - 2x C .三、换元积分法1 •第一换元积分法(凑微分法)设 f (u)du = F(u) • C ，则u (x)f[ (x)] ： (x)dx 二 f [ ：(x)]d ：(x) f(u)du^F(u) C u一(x)F[「(x)] C .常用的凑微分公式:f (ax b)dx =1 f (ax b)d(ax b)；a • f(ax n b)x nJL dx 二丄 f(ax n b)d(ax nb); na Lf (lnx)2dx= f (ln x)d(ln x)； xr J 1十J f — pdx=-J f (7) f(e ")e "d ^-： f (e")d(e")；(8) f (sin x)cosxdx= f (sin x)d(sin x)；(9) f (cosx)sin xdx - - f (cosx)d (cos x)；2(10) f (tanx)sec xdx 二 f (tanx)d(tanx)； (11)f (cot x) csc 2xdx = - f (cot x) d (cot x)；(12) f (secx)secx tanxdx 二 f (secx)d(secx)； (13) f (cscx)cscxcotxdx 二-f (cscx)d(cscx)；(14)『f= f f (arcsin x)d (arcsinx)；W —x 2(1)(2)(3) (4) (5) (6) dx =2 f (. x)d(.. x)f (e x)e xdx 二 f(e x )d(e x);iL 2 (15) -1 -x dx - - f (arccosx)d (arccosx)； (16) f (arctanix)d^ f (arctanx)d(arctanx)； b1 +x2 ' (17) f (arcc(ot x)d^ _ f (arccot x)d (arccot x). 1 +x 注 ①结合导数、微分基本公式理解这些凑微分公式及后面例题中出现的较复杂凑微分公式； ② 熟练掌握这些常用的凑微分公式和熟记基本积分公式； ③ 分部积分法中也会用到凑微分公式.例3(1) (3) 计算下列不定积分:sin xdx ; sin 4 xdx ; (2) (4) (5)(6) (7)tan 5 xsec 3xdx(8)sin 3 xdx ; sin 5 xdx ; arcta n 、、x ,ExT ；. cos2x (9)(x -1)e x2^xdx (10) dx ；1 sin xcosx ” dx(11) sin x cosx ..44 dx； sin x cos x(12) (13) sin 4x cos2xdx ;(14)sin 2 x 2 cos 2 x ' sin x , dx ;1 si nx. dxI 2~x 2x 5(15)dx解(1)x2x \e (1 e )r■ 2 . J —cos2x .sin xdxdx 1sin2x C . 4(2)1x -2 2sin 3 xdx - - sin 2 xd(cosx)二(cos 2x —1)d(cosx)」cos 3x - cosx C .3(3) (4)2 [ 2 dx (1 -2cos2x cos 2x)dx / 4 L1 1 cos4x(1-2cos2x )dx 4 2 3 1 c 1 ，小x sin 2x sin4x C . 8 4 32 sin 5 xdx - - sin 4 xd(cosx) - - (1 - cos 2 x)2d(cosx)sin 4xdx=匚吨 I 2=_(1 _2cos 2 x cos 4x)d(cosx) 注注意区分以上积分中cosx ，解法相同. In In x , dx =xln x J —arctan . x . J肩丙取切sin x 换为 (5) (6) (7)(8)(9) (10)(11) (12) 2 3 1 5 - --cosx — cos x - - cos X 亠 C . 3 5 sinx 的幕指数为奇数或偶数时的解法•若将 tan 5 xseC 3cos2x x 1 2 d(ln x) = In In xd(ln In x) In ln x C .In x 2 严呦匕x dgG) =2 [arctan 仮d(arctan^'G) 1 (x)2=(arctan . x) C .xdx = tan 4 xsec xd(secx)2 2 2二(sec x -1) sec xd (secx)二(sec 6 x 「2sec 4 x sec x) d (secx)In In 1 sin xcosx 1 7 sec 7 1 dx 二2 1 5 13x sec x sec x C . 5 3 1 d(sin 2x) sin 2x 1d(2 sin 2x)二 ln(2 sin 2x)C . 2 sin 2x 1 2 dx 二一 e x /x d(x 2-2x) 2 • 被积函数的分子、分母同除以 cos 2x 2f sec xdxdx'2 +tan 2x1 丄 tan x arctan C . sin 2x 6 -cos2x f *2宀(x -1)e x “ sin 2x 2cos 2sin xcosxs^x cos 4x dx1 2 x e 2d (ta n x) 2 tan 2x dx1 cos2xsin 2x 」12 dx 21 cos 2x2 1 cos 2x--arctancos2x C .2 d(cos2x)sin x(1 - sin x) 1^d_(rx)(1g 2, 心n x —sin x , dx 2 dx cos x2 2=secx tanxdx - tan xdx =secx - (sec x -1)dx =secx - tan x x C .「1「(13) sin 4xcos2xdx (si n6x si n2x)dx‘ 2 '1 1cos6x cos2x C . 12 4注与三角函数有关的积分中，常常使用半角公式和积化和差公式以降低三角函数的幕指数，简称降幕法.是常用的积分方法., . 1 , 1 X+1dx 2 dx arctan C .'(X +1)2+4 2 2 .2xJ 2x、d(e x)二e (1 e ).x+ C . xln x1，所以 x(x 1)dx 二一 [ln(1 x) - ln x] —dxx x 1二-[ln(1 x) —In x]d[ln(1 x) — In x]1 2[ln(1 x) - Inx]2 C .11X\評一R d(e)*例4 计算下列不定积分：(1) 1 I n x * 2 dx ； (xl nx)2(2) (3)2x3x2 3 -dx ； 9x -4x(4)(5) f cos2x . dx ;1 sin xcosx (6)(7)In(x 、1 x 2) 5dx .dx；因为(xln x) =1 In x ，所以1y d(xln x)二丄卫4dx =(xlnx) (xlnx) 因为[In(1 x) -In x] 1 + x x(2) ln(1 x) -Inx(14)(15) e x (1 e 2x ) dX=—e J x解(1) 4X In tan x , dx ; sinxcosx x 21 -arctane x C .ln(1x)T nxdx ； x(x 1)2dx =—lnIn(x 、1 x 2) 5‘ 岚 dx=In(x .1 x 2) 5d [In(x .1 x 2) 5]2-------- 3[In(x J x 2) 5]2 C .32 •第二换元积分法设.f[ (t)p ：(t)dt = F(t) C ，则.f(x)dx x _ (t) f[ :(t)]「(t)dt =F(t) (t_(x)F( :*(x)) C .(3) dxIn 2 -In 312x31- 2x3In 3x - 2x x2(1 n2—I n3) 3x —2(4)1因为(In tan x) ，所以sin xcosx (5)(6) ln tan x dx = In tan xd (In tan x) =1In 2 tan xC . sin xcosx 2 因为(1 • sin xcosx) = cos2x ，所以 1dx d(1 sin xcosx) 1 sin xcosx二In(1 sinxcosx) C .x 2，得cos2x 1 sin xcosx 被积函数的分子、分母同除以1+2xdx 二丄 x 2x 2tdx 1x 4x 2「1辛d x_x(7) 因为 1x -— ___ x + C 石C _ 1【2 [ln(x .1 x 2) 5]"二^1一，所以arctan〜1 arctan x _1 C . 2 2x 1 x 2C1 ln 2注(1 )当被积函数中含有根式时，一般要通过适当换元，去掉根号后再积分，这是第二换元积分法的主要作用•常见的代换有：① 含有形如nax b 的根式时，作代换nax b = t ；② 含有形如.a 2-x 2、- a 2x 2、. x 2-a 2( a 0 )的根式时，分别作三角代换： x=asi nt , x =ata nt , x=ased ；(2)当被积函数中分母关于 x 的次数比分子关于 x 的次数至少大1时,=2ln( 1 -1) -x C •(3)设、1 ln x =t ，则 ln x 二 t 2-1, x lnx_ dx =2 (t 2 -1)dt =?t 3 -2t C x .1 In x 3(1 ln x)仪 1 In x - 2 1 In x C 3(In x -2) 1 In x C . 3(4)设 x =atant ，贝U dx =asec 2tdt ，于是(21 2、2dx V .coftdt 二 1 (x a ) a1可考虑倒代换：x =-；当被积函数为a x 所构成的代数式时，可考虑指数代换: 计算下列不定积分：arctan 、x . dx ;.x(1 x) (3) 例5 (1) (2) (3)(5)dx;x . 1 ln x ：~2 2.a ■ ■ xdx (a 0)(4) f ———dx; e x1 r 1 」 J l2 , _2、2 dx ( aA 0)； (x a )「Jx 2_9 ddx • x(1) 曰疋设 ardan x = t ,贝 V x =tan t , 2 2x 二 ta n t , dx 二 2ta nt(2)arctan x 2dx 二 2tdt =t C x(1 x)________ QX设、e x 1 二 t ，则 x =1 n(t 2「1), dx2——2二(arctan 、x) C •dt ，于是.e x1dx =2 J dt =ln't 2 —12 2=e , dx 二 2te t 'dt ，于 3t -sin2t C • 2a 3C =C由 x =atant 得x 2ta nt 2axt 二 arctan — , sin 2t 2 22，a 1 ta n t x a 所以 2 12 2 dx 厶 arctan 「2" 2 C - '(x 2+a 22 2a‘I a x 2+a 2 丿 (5)设 x =asint ，贝U dx 二 acostdt ，于是(6)设 x =3sect ，则 dx =3secttantdt ，于是=In I sect tant I -sint C 1 .由 x =3sect 得x 叫X -9 Jx 2-9 sect tan t = -- ——，sin t = -----3 3 x十… —9 x Jx 2 -9 < x 2 —9 所以］ ------ 2—dx =ln + ------- +C 1x 3 3 x=lnx + Jx 2 - 9— Jx 2、.x例6计算下列不定积分:由于 2 2 -X~4 x cott=cost sin t dx a 2 j a 2. cos t ~47 sin t cot 21 csc 2tdtcot 2td(cott)二 3acot 31 C .「si n 2t sint所以x 4dx(a 2 x 2)、. a 23a 2x(1)dxx 2 ” x 2 a 2(2) 『 dxx(x 7 2) (3)x 1 dx ； x 2 .. x 2 -1(5) 2x dx 1 2x 4x解(1)令x 彳，则dx(4)p dx」 x 〃丄 2x\e (1 e )-gdt于是x 2 -9 dx tan 21sectdt = (sect -cost)dtdx x 2 . x 2 a 2dt1 a 2t 2(2) dx x(x 72)(3)(4) 2a 2…1 a 2t 2d(1 a 2t 2)1 a 2t 2C2 ax =1 t t 6 1 2t 7 dt1 1一汕1M C r ln|令e xdxx2x.e (1 e )(5)令 2x2xdx dx —a 2x17d(1 2t 7)14 1 2t 71 x7 21 2ln___ dt 1 -t 21j-t 2dt 2 j_t.X 2-1 1 "-arcs in — x xd(1 -t 2) --arcsint ,1 -t 2C1t ，则 dx dtt 2(1 t 2) t 2 亠dt1 t 21arcta nt C = t-xx—e -arctane则dx — ln2 1dtt 1 2x 4x ln21 t t2 dtIn 2 1 arcta n例7计算下列不定积分:1(1) -------- dx ；x(1 +J x)(3)dx；In 2t4——dt 3 4 (2)(4)arcta n2x1 1C .x 1 2 dx； x — X,x(x 1) dx . • x x 1二x -x 2- arcsin(2x -1) C .2[ dx = ((x 2+x 唧x 2—1)dx = [x 2dx 十[x 寸x 2—1dxx —、x 2—11= gx3 1(X 2 -1)2d(x 2-1)32Jx 3」(x 2 —1)。

第四章-不定积分

微积分
练习六：求积分
1、 (x 3)2dx.
x2
2 ( )d x . 2x
3 (10x x10)dx.
微积分
解：
1、 (x3)2dx (x2 6x9)dx
1 x3 3x2 9xc 3
2
(2 x2 x)dx1 4x22lnxc
微积分
一、第一类换元法
sinxdxcosxc
问题
sin 2xdx cos2xC
解决方法
设置中间变量：换元
微积分
例1 求 sin2xdx.
解
sin2xdx12sin2xd(2x)

1 2

sin
tdt
(令
t

2x)
1cost C; 2
1co2sxC;
2
微积分
微积分
例1 求 x5dx. 解 x6 x5 ,
6
x5dxx6 C.
6
例2
求

1
1 x2
dx.
解
11x2 dxarctanxC.
微积分
练习三：求不定积分
1、
x10dx.
2、
e xd x.
1
3、

dx. 1-x 2
微积分
练习三：求不定积分
微积分
F ( x ) f ( x ) F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数
例
arctanx
1 1x2
1
arcta n x 是 1 x2 的原函数.
微积分
练习一：
1、
是cosx的原函数。
2、cosx是

ch04-不定积分

a sec ttgt atgt
dt

sec tdt

ln(sec t

tgt )
C
又 sec t x , tgt x2 a2
a
a
故
dx ln( x
x2 a2
a
x2 a
a2
)

C1

ln(
x

x a时,设x sec t(0 t )
2
故 dx ln( x x2 a2 ) C x2 a2
从而 x 3 5 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
法2：由法1,有x 3 A( x 3) B( x 2)
令x 2,得A 5;令x 3,得B 6。
同样有： x 3 5 6
( x 2)( x 3) x 2 x 3
n m时，此有理函数是真分式；
n m时，此有理函数是假分式；
由于假分式可化作一多项式与真分式之和，
所以以下仅讨论真分式的积分。
求较复杂的真分式的积分，可将较复杂的真分式化成简单的分式之和，再积分。
以下通过一些具体的实例，说明将复杂真分式化为简单分式的方法。
例1将 x 3 分解成简单分式。 ( x 2)( x 3)
故有同样的结果。
例3将
(1

1 2 x )(1

x2
)
分解成简单分式。
解：设 (1

1 2 x )(1

x2
)

1
A 2x

Bx C 1 x2
通分，比较后，有1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x)

高等数学课件 PPT 第四章不定积分

如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什么关系呢？
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)．作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.

高等数学+第四章+不定积分

lnxC
当x0
时, [ln(x)]

1 x
(1)

1 x
1dxln(x)C x
总之, 1 xdxlnxC, x0
4.1.2 不定积分的几何意义
不定积分表示的是一族函数,从几何上看,代表一族
曲线,称为积分曲线族.
曲线: yF(x)C,(C 为任意常数 )在 ( x0 , y0 )的切线
1
( 3)

dx x
lnx C
(4) axdx a x C
ln a
(5) exdx ex C
(6) sinxdxcox sC
(7) cosxdxsixn C
(8)se2cxdxtaxnC
(9)cs2cxdxcoxtC
(10)
1 dxarcxsiCn
1sint 2
C1sin2xC. 2
定理4.2.1 如果积分 f (x)dx可化为 g[(x)](x)dx
的形式,且设 g(u) 有原函数 F(u) 和 u(x)可导,
则有
f(x)d x g[(x)](x)dx换元法公式（凑微分法）
g[(x)d](x)u(xF) (u)C
例如 (six)n cox,ssinx是coxs的一个原函数.
(sixnc)coxs,sin xc也是coxs的原函数.
问题 (1)何种函数具有原函数? (2)函数若具有原函数,怎样写出原函数?
结论: 若函数 f (x) 在区间 I上连续, 则存在可导函数 F(x),
使 F(x)f(x) (xI) 连续函数一定有原函数
由拉格朗日中推值论 1知定： G 理(x-的 F) (x)C.
不定积分的定义
定义4.1.2 函数f(x)的全体原函数叫做f(x)的不定积分，

《高等数学》教学课件第4章

〔4-3〕
例1 求 2exdx 。
解
2exdx 2 exdx 2ex C
性质2 两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
〔4-4〕
例2 求 (2x cos x)dx 。
解
(2x cos x)dx 2xdx cosxdx x2 sin x C
令us100
1
1
0.05 u 2du 0.1u 2 C
回代
1
0.1(s 100)2 C
又因为 Q(0) 0，得 C 1 ，故
1
Q 0.1(s 100)2 1
3
例2 求 (1 2x) dx 。
解将dx凑成 dx 1 d(1 2x) ，则 2
(1
3
2x) dx
1 2
(1
2x)3
二、不定积分的概念
定义2 如果函数 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，那么表达式 F (x) C
（ C为任意常数）称为 f (x) 的不定积分，记为 f (x)dx ，即
f (x)dx F (x) C
其中“ ”称为积分号，x 称为积分变量，f (x) 称为被积函
数，f (x)dx 称为被积表达式， C 称为积分常数。dx
1 2a
a
1
x
dx
a
1
x
dx
1 ( ln a x ln a x ) C 2a
1 ln a x C. 2a a x
同理有
1
1 xa
dx ln
C
x2 a2 2a x a
例10 求 csc xdx 。
解
csc xdx

第四章___不定积分

第四章第1页第四章不定积分讲授内容§4-1不定积分的概念与性质教学目的与要求1、理解不定积分的概念理解不定积分与微分之间的关系. 2、掌握不定积分的性质会用常见不定积分公式和不定积分性质求一些不定积分. 3、熟练掌握常用积分公式. 教学重难点重点——理解的概念与性质熟练掌握常用积分公式. 难点——不定积分的公式熟练掌握. 教学方法讲授法教学建议1、加深对原函数、不定积分的理解. 2、对15个积分公式要进行大量练习. 3、求不定积分一定注意不能漏C . 学时2学时教学过程第二章我们研究了如何求一个函数的导函数问题本章将讨论它的反问题即要寻求一个可导函数使它的导函数等于已知函数.这是积分学的基本问题之一. 一原函数与不定积分的概念1. 定义如果在区间I上函数Fx和fx使得F′xfx 或dFxfxdxx∈I. 称Fx为fx或fxdx在区间I上的原函数. 如sincosxx则cosx是sinx 的一个原函数. 第四章第2页1lnxx1x是lnx的一个原函数问ln2x是否是1x的原函数.2. 定理原函数的存在定理连续函数必有原函数.即: 如果fx在I上连续则在I上必有Fx 使得: F′xfx. x∈I. 注①初等函数在定义区间上必有原函数但原函数并非都是初等函数. ②函数在区间上连续只是在区间上有原函数的充分条件不连续的函数也可能有原函数.3. 两个原函数的关系如果Fx为fx在区间I上的一个原函数则FxC为fx的原函数. 因为FxC′fx 如果Fx和Gx为fx的两个原函数则有FxGxC. 因为Fx-Gx′0 FxGxC. 4. 定义在区间I上函数fx的带有任意常数项的原函数称为fx 或fxdx在I上的不定积分记为xxfd. 即∫ fxdxFxC. 其中∫为积分符号fx为被积函数fxdx为被积表达式x为积分变量. 注①不定积分∫fxdx可以表示fx的任意一个原函数. ②C 不能去掉5. 函数fx的原函数Fx的图形称为fx的积分曲线. 6. 微分与积分的关系: 1 dxfxxf 或xxfxxfddd. 2 CxFxxFd或dFxFxC. 例1 求2xdx 第四章第3页解Cxdxxxx333223 例2 求dxx1 解当xgt0时由于lnx′1/x ∫1/xdxlnxC. 当xlt0时由于ln-x′1/x ∫1/xdxln-xC. 因此∫fxdxlnxC x≠0 例3 设曲线通过点12且其上任意一点处的切线的斜率等于这点横坐标的两倍求此曲线方程. 解设所求曲线方程为yyx由题义有y′x2x y12. y′x2xyx2C. 代y12 得C1. 所以yx21 二、基本积分表见书本P186 注①11d1xxxC 其中1 ②1dlnxxCx 例4 求下列积分1 ∫x-3dx 解∫x-3dx1313xC-221xC 2 ∫x2xdx 第四章第4页解∫x2xdx∫25xdx125125xC2772xC 注用分式或根式表示的幂函数应化为x的形式然后用公式三、不定积分的性质性质1. dxxgxxfxxgxfdd 性质2. dxxfkdxxkf k≠0k 为常数注性质说明不定积分具有线性性可以推广到所有的积分例5 求下列不定积分1∫xx2-5dx∫21255xxdx732221073xxc 2∫ax-3cosxdx∫axdx-3∫cosxdxaaxln-3sinxc. 3∫2xexdx∫2exdx2ln2eexc2ln12xec 4 ∫tan2xdx∫sec2x-1dxtanx-xc 5∫221xxdx∫2121xxdxx-2lnx-x1c 6 ∫1122xxxxdx∫ x1211xdxlnxarctanxc 7∫241xxdx∫24111xxdx∫2221111xxxdx ∫x2-1211xdx33x-xarctanxc 第四章第5页8∫2sin2xdx∫211-cosxdx21x-sinxc 9 ∫2cos2sin122xxdx∫22sin1xdx24cscdxx-4cotxc 例6 设f′lnxx1求fx 解设tlnx 则f′tet1 从而ft∫et1dtettC fxex xc 例7 设xxfxd arctanxC求xxfd 解将darctanxxxCfx两边求导可得211xxfx 所以12xxxf 从而Cxxdxxf4242. 故有dfxxFxC 作业高等数学练习册C类习题十九教学后记第四章第6页参考书《高等数学》同济五版《高等数学》全真课堂北大数学科学学院编《高等数学典型题精解》陈兰祥编思考题证明xxeshxechx都是的xechxshx原函数. 第四章第7页讲授内容: §4-2换元积分法1 教学目的与要求1、理解第一换元积分法. 2、熟练掌握各种形式的“凑微分”. 教学方法讲授法重难点重点——各种形式的“凑微分”的方法. 难点——灵活的使用“凑微分”法. . 教学建议常用的凑微分的公式和方法要求学生牢记. 学时2学时教学过程将复合函数的微分法用于求不定积分利用中间变量的代换得到求复合函数的不定积分的方法称为换元积分法一、第一类换元法定理1设函数fu具有原函数Fuuφx可导则有换元公式∫fφxφ′xdx∫fuduFuCFφxC 证明由复合函数的微分法有FφxC ′ F′φxφ′x fφxφ′x 注关键是找uφx 例1. 求下列积分: 1∫2cos2xdx∫cos2xd2x sin2xC. u2x 第四章第8页2 ∫x231dx21∫xxd232321ln32xC. u32x 3 cxxddxxx31.3231313113121 u1-3x 注1. 形如faxb总可作uaxb把它化为fu 2. 不要忘记变量还原熟练后中间变量可不用设出4 ∫2x2xedx∫2xedx22xeC. u2x 5∫x21xdx-21∫21xd1-x2 -311-x23/2C. u1-x2 注11dnnnnnfaxbxxfaxbdaxba 10na 6∫tanxdx∫xxcossindx -∫xxdcoscos-lncosxC ucosx 7 ∫221xadx∫12axaaxda1arctanaxC uax 8 ∫221xadxa21∫xa1ax1dxa21∫xa1dx∫ax1dx a21∫ax1dxa-∫xa1da-xln21axaxaC agt0 注对21dxaxbxc 若240bac则用法8 若240bac则用法7 第四章第9页如①221d11darctan232122xxxCxxx ②2dd1dd11ln231341343xxxxxCxxxxxxx 9∫chaxdxa∫chaxdax ashaxC uax 10 ∫22xadx∫21axaxdarcsinaxC 11∫ln21xxdx∫xxdln21ln21∫xxdln21ln2121ln12lnxC 12 ∫xex3dx2∫xdex332∫xdex3332xe3C 13 ∫10121xxdx∫1012111xxdx∫101111xxx10111xdx∫100121xx10111xdx∫9911x10012x10111xdx -981981x991992x10011001xc 另一解法另1tx则原式2981001011011d2dttttttt 14 ∫sin3xdx-∫1-cos2xdcosx-cosx31cos3xC 15∫sin2xcos5xdx∫sin2x1-sin2x2dsinx∫sin2x-2sin4xsinx6dsinx 第四章第10页31sin3x-52sin5x71sin7xC 16 ∫cos2xdx∫1cos2x/2dxx/2sin2x/4C 17∫cos4xdx∫22cos1x2dx41∫12cos2xcos22xdx 41∫12cos2x 24cos1xdx41∫232cos2x 24cosxdx 83x41sin2x321sin4xC 18 ∫cscxdx∫xdxsin∫2cos2sin2xxdx∫2cos2tan22xxxd∫2tan2tanxxdln2tanxClncscx-cotxC 注2tanxxxsin2sin22xxsincos1cscx-cotx 19∫secxdx∫xdxcos∫2sin2xxdlncsc2x-cot2xC lnsecxtanxC 20∫sec6xdx∫1tan2x2dtanx∫12tan2xtan4xdtanx tanx32tan3x51tan5xC 21 ∫tan5xsec3xdx∫tan4xsec2xdsecx∫sec2x-12sec2xdsecx 第四章第11页71sec7x-52sec5x31sec3xC 注被积函数中含三角函数2secx经常将它化为正切22cxxxdxxxdxxdxtan2arctan22tan21tantansecsecsin122222 23∫cos3xcos2xdx21∫cosxcos5xdx21sinx101sin5xC. 2411dddd111xxxxxxeee xxxxeee1d1ln11xxxxexeCe 25665666114111dddd444444xxxxxxxxxxxxx 611lnln4424xxC 26322222221111dd1d122111xxxxxxxxx 3122222221111d111231xxxxcx 注1 将代数式进行恒等变形、分子分母同乘一个阶印⒗ 萌范ㄊ泻愕裙叵怠⑷ 枪蕉际谴瘴⒎值某Ｓ梅椒? 2 常用的公式adxdaxb nndxdxnx1 1lnxdxdxlnx xxxtanddsec2 第四章第12页arcsindd122axxxa 作业高等数学练习册C类习题二十1、2 1-14 教学后记参考书《高等数学》同济五版《高等数学》全真课堂北大数学科学学院编《高等数学典型题精解》陈兰祥编思考题计算dxxxx2211tan 第四章第13页讲授内容§4-2换元积分法2 教学目的与要求1、理解第二类换元积分法的原理. 2、熟练掌握第二类换元积分法中的几种常用的换元方法及第二类换元积分法所适用的类型. 教学方法讲授法重难点重点——第二类换元积分法中的几种常用的换元法. 难点——如何熟练应用第二类换元法. 教学建议熟悉常用变量代换. 学时2学时教学过程定理设xψt单调可导且ψ′t≠0. 又设fψtψ′t有原函数Ft则有∫fxdx∫fψtψ′tdtFtCFψ--1xC. 证明由复合函数和反函数的求导法则有Fψ-1xC′F′t??txfψtψ′t??1/ψ′tfψtfx. 1三角代换例1 求下列积分1∫22xadxtaxsina2∫cos2tdt22at22asintcostC 22aarcsinax21x22xaC agt02∫22xadxtaxtan∫sectdtlnsecttantC 第四章第14页lnx22axC agt0 3∫22axdx 当xgta时设xasect 0lttltπ/2 则22dxxa∫sectdt lnsecttantC lnx22axC 当xlt-a时令x-u那么ugta则22dxxa22duua -lnu22auC - ln-x-22axC 所以x≠a 有∫22axdx lnx22axC421dxxxtxsincossincostttdt 21cossincossin dtsincossincostttttttt 21tlnsintcostC21arcsinxlnx21xC. 5 22211dxxx tanxt 2222secsinarctansin1sin2tan11tantdtdttcttt2arctan1xcx 第四章第15页注22dfaxx一般令sinxat 22dfaxx一般令tanxat 22dfxax一般令secxat 2倒数代换例2 求下列积分14422 1/ d11dxtxttxxt2211d1ttt-t3/3t-arctantC-231xx1-arctanx1C. 2222211arcsin11dxtdtctxxxtt 0x结果一样3∫4211xxdx21∫4222111xxxxdx 21∫42211xxxdx-21∫42211xxxdx21∫1111222xxxdx-21∫1111222xxxdx 21∫3112xxxxd-21∫1112xxxxd321arctan31xx-41ln1111xxxxC 第四章第16页4∫4211xxxdx∫41xxdx∫411xxdx21∫2221xdx∫43111xxdx 21lnx241x-21∫222111xxd 21lnx241x-21ln21x4111xC 3万能代换例3 求积分xdxcos3 解设2tanxt xdxcos3cxdtt2tan21arctan2122 4整体代换例4 求积分exdx1 解设1ln1xetxt dttdx11 1xdxe11ln111xxdtedtctttte 5根式代换第四章第17页例5 求下列积分xdx21 解设xt2 xdx21cxxcttdttt21ln21ln1 注关于第二类换元法非常灵活除上面几种常用代换外经常二类换元同时应用作业高等数学练习册C类习题二十2 15-28 教学后记参考书《高等数学》同济五版《高等数学》全真课堂北大数学科学学院编《高等数学典型题精解》陈兰祥编思考题计算33411xdxx 第四章第18页讲授内容§4-3分部积分法教学目的与要求1、熟练掌握分部积分法公式. 2、会灵活应用分部积分法求一些函数的积分. 教学方法讲授法重难点重点——恰当选取u和v. 难点——恰当选取u和v. 教学建议1、选取原则1v易求2vdu 要比udv简单. 2、用分部积分法有时会出现复原的情况学时2学时教学过程一、分部积分法设ux和vx具有连续导数则uv′u′vuv′ 于是有分部积分法公式∫udvuv-∫vdu. 二、分部积分法常见的几种用法1降幂降低被积函数中幂函数的次幂例1求下列积分 1 ∫xcosxdx∫xdsinxxsinx-∫sinxdxxsinxcosxC 2∫x2exdx∫x2dexx2ex-2∫xexdxx2ex-2xex2exexx2-2x2C 注当被积函数为幂函数、三角函数、指数函数时一般将幂函数视为u将三角函数、指数函数凑微分. 2化难为易降低被积函数中幂函数的次幂利用分部积分法将被积函数中的难积函数如对称函数、反三角函数消第四章第19页除掉. 例2 求下列积分1∫xlnxdx21∫lnxdx221x2lnx-∫xdx21x2lnx-41x2C 2arctanxdx xarctanx-∫21xxdx xarctanx-21ln1x2C 3∫xarcsinxdx∫arcsinxdx2x2arcsinx-∫221xxdx x2arcsinx∫22111xxdx x2arcsinx∫21x-211xdx x2-1arcsinx21arcsinx-21x21xC x2-21arcsinx-21x21xC 注当被积函数为幂函数与反三角函数、对称函数乘积时一般将反三角函数、对称函数视为u 将幂函数凑微3循环积分用分部积分公式后原来积分又重新出现例31∫exsinxdx∫sinxdexexsinx-∫excosxdx exsinx-∫cosxdexexsinx-excosx-∫exsinx21exsinx-cosxC 2sec3xdx∫secxdtanxsecxtanx-∫tan2xsecxdx secxtanx-∫sec3xdx∫secxdx21secxtanxlnsecxtanxC 注当被积函数为指数函数与三角函数乘积时将其中之一视为u用两次分部积分法会出现循环. 第四章第20页4递推例4 求积分sindnxx 导出递推公式解111sindsind-coscossin-cosdsinnnnnnIxxxxxxxx 12cossincos1sincosdnnxxxnxxx 122cossin1sin1sindnnxxnxxx 12cossin11nnnxxnInI12cossin1nnnnIxxnI 所以1211cossinnnnnIxxInn 三、两种积分法的同时运用例5 求下列积分1∫xedx tx 2∫ettdt2ett-1C2xex-1C2∫xsinxcosxdx21∫sin2xdx-41∫xdcos2x-41xcos2x41∫cos2xdx-41xcos2x81∫dsin2x-41xcos2x81sin2xC.3∫23lnxxdx∫ln3xd-x1xx3ln3∫22lnxxdx-xx3ln3∫ln2xd-x1-xx3ln-xx2ln36∫2lnxxdx-xx3ln-xx2ln36∫lnxdx1-xx3ln-xx2ln3-xxln66∫21xdxx1ln3x3ln2x6lnx6C. 或∫23lnxxdxtx/1∫ln3tdttln3t-3∫ln2tdttln3t-3tln2t6∫lntdt 第四章第21页tln3t-3tln2t6tlnt-6tCtln3t-3ln2t6lnt-6C x1 ln3x1-3ln2x16lnx1-6C-x1 ln3x3ln2x6lnx6C4∫coslnxdxxcoslnx∫xsinlnx·x1dxxcoslnxxsinlnx∫xcoslnx·x1dxxcoslnxxsinlnx∫coslnxdx21xsinlnxcoslnxC5∫exsin2xdx∫ex22cos1xdx21ex21∫excos2xdx 121ex21∫exdsin2x2xe41exsin2x∫exsin2xdx 2xe4xesin2x81∫exdcos2x2xe4xesin2x8xecos2x81∫excos2xdx 2 ∫excos2xdx58??4xesin2x21cos2xC1 原式2xe5xesin2x21cos2xCex21101cos2x51sin2xC. 6x2cos22xdx∫x22cos1x21∫x2x2cosxdx2131x3∫x2dsinx61x321x2sinx21∫2xsinxdx63x22xsinx∫xdcosx 63x22xsinxxcosxsinxC. 第四章第22页例6 求In∫naxdx22其中n为正整数. 解当ngt1时有: In-1∫122naxdx122naxx2n-1∫naxx222dx 122naxx2n-1 ∫1221nax-naxa222dx 122naxx2n-1In-1-a2In. 于是In1212na122naxx2n-3In-1. 其中I1a1arctanaxC. 作业高等数学练习册C类习题二十一教学后记参考书《高等数学》同济五版《高等数学》全真课堂北大数学科学学院编《高等数学典型题精解》陈兰祥编思考题计算dxxcosln 第四章第23页讲授内容§4-4 有理函数的不定积分教学目的与要求熟练掌握几种特殊类型函数公式.重难点重点——有理函数的积分三角函数有理式的积分. 难点——无理函数的积分. 教学方法讲授法教学建议1、有理函数必可积但不一定是最简单. 2、三角函数有理式的积分和简单无理函数的积分通常是运用变量代换学时2学时教学过程一、有理函数的积分称xQxPmmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxa11101110为有理函数.1 其中m和n为非负整数a0 a1??an b0 b1??bm 为实数a0≠0 b0≠0 . 以下总假设Px和Qx没有公因子. 当nltm时称1为真分式当n≥m时称1为假分式. 对假分式总可以利用多项式的除法将其变为一个多项式与一个真分式的和.真分式划为部分分式的和: 设1为一个真分式且Qx在实数范围内可分解为一次因式和二次因式的乘积Qxb0x-aα??x-bβx2pxqλ??x2rxsμ. 其中p2-4qlt0??r2-4slt0. 则第四章第24页xQxP1axA12axA??axA 1bxB12bxB??bxB 211qpxxNxM1222qpxxNxM??qpxxNxM2 211srxxSxR1222srxxSxR??srxxSxR2 其中A1??Aα B1??Bβ M1??Mλ N1??Nλ R1??Rμ S1??Sμ为待定常数. 有理分式函数的积分只有三种形式多项式函数分式函数naxA 和nqpxxNMx2 但前两个函数的积分较简单主要是第三个积分. 对∫nqpxxNMx2dx 可以用配方法x2pxqx2p2q-22p设tx2p a2q-22p bN-2Mp 则有∫nqpxxNMx2dx∫natMtdt22∫natbdt22 例1. 将真分式6532xxx分解为部分分式. 解设6532xxx323xxx32xBxA 第四章第25页方法一两边去分母:x3Ax-3Bx-2 2 比较同次幂的系数有:AB1-3A-2B3解得A-5B6. 方法二在2中代特殊值:令x2得A-5令x3得B6. 例2. 将真分式1122xxx分解为部分分式. 解设1122xxxxA121xB21xDCx 去分母得xA1x1x2B1x2CxD1x23 即xABDAC2DxAB2CDx2ACx3 于是002020CADCBADCADBA解得A0 B-21C0 D21. 即有1122xxx21211x-211x. 例3. 求下列积分: 1∫6532xxxdx∫36x-25xdx6lnx-3-5lnx-2C 2 ∫1122xxxdx21∫211x-211xdx21 arctanxx11C 3 ∫3222xxxdx21∫326222xxxdx 21∫323222xxxxddx-3∫22211x xd 21lnx22x3-23 arctan21xC 第四章第26页 4 ∫xxxx3458dx∫x2x11182xxxxxdx 31x321x2x∫14138xxxdx31x321x2x8lnx-3lnx-1-4lnx1C. 5 ∫411xdx21∫422111xxxdx21∫222111xxxdx-∫222111xxxdx 21∫22211xxxxd-∫22211xxxxd2121xxarctan21xx-221ln2121xxxxC 42arctanxx212-82ln121222xx.。

第四章不定积分

三、基本性质
d 性质Ⅰ f ( x)dx f ( x) dx
F ( x)dx F ( x) C
由此可看出积分是微分的逆运算，积分符号中dx就是x
的微分，可以运用微分的计算法则，下面的换元积分法和分布积分法就是利用微分的运算法则得到的。性质Ⅱ 性质Ⅲ 推论
f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx af ( x)dx a f ( x)dx a f ( x) a f ( x) a f ( x)dx a f ( x)dx a f ( x)dx a f
四、直接积分法下面讨论不定积分的求法。
若被积函数是基本公式中的形式或通过化简可以化为基
本公式中的某种形式，就可以直接利用公式进行积分，这种
方法称为直接积分法。例计算下面的不定积分：
x4 1 1 cos x 1 3 e dx 2 2 dx 3 dx 1 cos 2 x x 1 e ( )x x e 3 x e x 解 1 3 x e x dx ( ) dx 3 C C e 3 1 ln 3 ln( ) 3 1 3 x4 1 2 2 )dx x x 2 arctan x C 2 2 dx ( x 1 2 x 1 1 x 3
见课本第205页。
例求积分∫(1+x3)2dx。解
(1 x ) dx (1 2x3 x6 )dx
3
2
dx 2 x 3 dx x 6 dx
2 4 1 7 x x x C 4 7
一般几个不定积分相加时，常把得到的常数加到一起写成一个常数C 。
1
很容易可以看出：原函数不唯一。事实上，容易得到：

不定积分概念

ln(x)
C.
1dx x
ln
|
x
|
C
.
二、基本积分表
实例
x 1 x
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示能否根据求导公式得出积分公式？
结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.
基本积分表
(1) kdx kx C (k是常数);
(2) x dx x1 C ( 1);
例求 x5dx.
解
x6 x5 ,
6
x5dx x6 C . 6
例求 cos xdx.
解
sin x cos x
cos xdx sin x C.
例求
1dx. x
解当x 0时，
ln x 1 ,
x
1dx x
ln
x
C.
当x 0时， ln(x) 1 (1) 1
x
x
1dx x
x
原函数存在定理：如果函数 f ( x)在区间I上连续,
则存在可导函数F( x), 使 F( x) f ( x), x I .
简言之：连续函数一定有原函数.
例如 sin x cos x (sin x C) cos x
(sin x＋1) cos x （C 为任意常数）原函数非唯一：
若 F(x) f (x), 则对任一常数 C,有(F(x) C) f (x), 即 F(x) C 都是 f (x) 的原函数.
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
例求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2dx

【精品】第四章不定积分

第四章不定积分讲授内容：§4-1不定积分的概念与性质教学目的与要求：1、理解不定积分的概念，理解不定积分与微分之间的关系.2、掌握不定积分的性质，会用常见不定积分公式和不定积分性质求一些不定积分.3、熟练掌握常用积分公式.教学重难点：重点——理解的概念与性质;熟练掌握常用积分公式.难点——不定积分的公式熟练掌握。

教学方法:讲授法教学建议：1、加深对原函数、不定积分的理解.2、对15个积分公式要进行大量练习。

3、求不定积分一定注意不能漏C.学时:2学时教学过程:第二章我们研究了如何求一个函数的导函数问题,本章将讨论它的反问题，即要寻求一个可导函数,使它的导函数等于已知函数.这是积分学的基本问题之一.一原函数与不定积分的概念1.定义：如果在区间I上,函数F(x)和f（x),使得:F′(x)=f(x)或dF（x)=f(x)dx，x∈I。

称F(x)为f（x)(或f(x）dx）在区间I上的原函数。

'=，则cos x是sin x的一个原函数.如：(sin)cosx x1(ln )x x '=，1x 是ln x 的一个原函数,问ln 2x 是否是1x的原函数。

2. 定理（原函数的存在定理）：连续函数必有原函数。

即：如果f （x ）在I 上连续,则在I 上必有F (x ），使得:F ′（x )=f （x ). x ∈I .注:①初等函数在定义区间上必有原函数，但原函数并非都是初等函数.②函数在区间上连续只是在区间上有原函数的充分条件,不连续的函数也可能有原函数。

3. 两个原函数的关系如果F（x）为f(x）在区间I上的一个原函数,则F（x)+C为f（x)的原函数。

因为[F（x)+C］′=f(x），如果F（x）和G（x）为f(x）的两个原函数，则有F（x)=G（x)+C.因为［F（x）—G（x)]′=0 F（x)=G（x)+C.4.定义：在区间I上,函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f （x)(或f(x)dx)在I上的不定积分，记为： xx(.f d)即∫f（x)dx=F(x)+C.其中∫为积分符号，f(x）为被积函数，f（x)dx为被积表达式，x为积分变量.注：①不定积分∫f （x ）dx 可以表示f (x )的任意一个原函数。

第4章不定积分

C.
又曲线过点(1，1)，所以 1 ln1 C， C 1.
故所求曲线方程为 y ln x 1.
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三、不定积分的性质
1、( f ( x)dx) f ( x)，或 d[ f ( x)dx] f ( x)dx.
证：设F( x) f ( x)，则 f ( x)dx F ( x) C.
第五章不定积分第一节不定积分的概念
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一、原函数与不定积分
1、原函数：设f ( x)在区间I有定义，若存在F ( x)，使
F ( x) f ( x)，则称F ( x)为f ( x)的原函数.
例1、 (sin x) cos x， sin x为cos x的原函数.
例2、 (ln x) 1 ( x 0)， lnx为 1 ( x 0)的原函数.
1 x
dx
ln
x
C
原式
1 3
1du u
1 ln 3
u
C
1 ln 3
4
3x
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C
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一、第一换元法(凑微分法)
例解3：、求令ux12e11xd，x则du 1 dx，
e xdx e x C
x
x2
1
原式 eudu eu C e x C.
如果该方法熟练了，可省略设u ( x)，直接凑微分.
使用第一换元公式求不定积分 g( x)dx，关键是如何
把被积函数拆成两个函数积，即 g( x) f [( x)]( x).
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使用第一换元公式求不定积分 g( x)dx，关键是如何
把被积函数拆成两个函数积，即 g( x) f [( x)]( x).

高等数学第四章《不定积分》

第四章不定积分一、基本内容（一）主要定义【定义4.1】若在()f x 的定义区间M 上均满足()()F x f x '=，则称函数()F x 是()f x 在M 上的一个原函数.【定义4.2】 ()f x 的原函数的一般表达式()F x C +称为 ()f x 的不定积分，记成()().f x dx F x C =+⎰（二）性质与定理【定理4.1】设()f x 在(,)a b 上连续，则必存在原函数. 性质以下均假设()f x 和()g x 在所讨论的区间上连续，则 1、 (())()f x dx f x '=⎰, ()()d f x dx f x dx =⎰.2、 ()()f x d xf x C '=+⎰,()()df x f x C =+⎰. 3、 (()())()()f x g x d x f x d xg x d x±=±⎰⎰⎰. 4、()(),kf x dx k f x dx =⎰⎰ 常数0.k ≠（三）基本积分公式 1、11(1)1x dx x C αααα+=+≠-+⎰， 2、1ln ,dx x C x=+⎰ 3、(0,1)ln xxa a dx C a a a=+>≠⎰， 4、,x x e dx e C =+⎰ 5、sin cos xdx x C =-+⎰ 6、cos sin xdx x C =+⎰7、tan ln cos xdx x C =-+⎰ 8、cot ln sin ,xdx x C =+⎰9、sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ 10、csc ln csc cot ,xdx x C =-+⎰11、2sec tan xdx x C =+⎰ 12、2csc cot ,xdx x C =-+⎰13、2211tan x dx arc C a a a x =++⎰ 14、2211ln ,2a xdx C a a xa x +=+--⎰15、arcsinx C a =+ 16、ln .dx x C =+ （四）基本积分方法第一类换元法（凑微分法）(())()(())()f x x dx f x d x φφφφ'=⎰⎰ 令()u x φ=()()(())f u du F u C F x C φ==+=+⎰常见的几种凑微分形式: 1、1()()(),0f ax b dx f ax b d ax b a a +=++≠⎰⎰2、2221()(2)()(),f ax bx c ax b dx f ax bx c d ax bx c a +++=++++⎰⎰3、1(ln )(ln )ln ,dx f x f x d xx a =⎰⎰ 4、2f f =⎰⎰ 5、(sin )cos (sin )sin ,f x xdx f x d x =⎰⎰ 6、(cos )sin (cos )cos ,f x xdx f x d x =-⎰⎰ 7、2(tan )sec (tan )tan ,f x xdx f x d x =⎰⎰8、(sin (sin )sin ,f arc x f arc x darc x =⎰⎰9、2(tan )(tan )tan .1dxf arc x f arc x darc x x=+⎰⎰ 第二类换元积分法设()f x 连续，()x t φ=具有连续导数()t φ'，且()0,t φ'≠则()()()((())())t x f x dx x t f t t dt ψφφφ='=⎰⎰其中右边表示对t 积分后再以()x t φ=的反函数()t x ψ=代回成x 的函数. 常见的几种类型的换元法: 以下式子中，(,)R u v 表示,u v 的有理函数.1、(,(R x dx R x dx ⎰⎰型,0a >含，令sin ,cos ;x a t dx a tdt == 含，令tan ,x a t =2sec ;dx a tdt =含，令sec ,sec tan ;x a t dx a t tdt ==2、(R x dx ⎰型,0a ≠令1,,.mn mn t b mn t x dx t dt a a--===3、(R x dx ⎰型.2222(),,,()dt b a ad bc t t x dx dt a ct a ct --===--其中设0.ad bc -≠ 4、(sin ,cos )R x x dx ⎰型.令tan ,2x t =则2222212sin ,cos ,.111t t x x dx t t t -==+++ 分部积分法设()()u x v x 、均有连续导数，则()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰分部积分法的关键就是选择好()()u x v x 与，其中()u x 的选取顺序为对数函数、反三角函数、幂函数、指数函数、三角函数这五种函数位置靠前者.如3xx e dx ⎰首先变形为3x x de⎰再用公式计算.二、典型例题解析（一）填空题【例4.1】= 解=C =+.C . 【例4.2】（98，数二）= .解1=2arcsin 2x C -=+. 解2===2arcsin 2C +. 故应填2arcsin2x C -+ 或2arcsin 2C +. 【例4.3】= . 解1=dx C =+=+⎰解2 令t =22(3)t dt =+⎰312(3)3t t C =++122(3)(6)3x x C =-++故应填122(3)(6)3x x C -++C . 【例4.4】 2xx e dx =⎰解2x x e dx =⎰2x x de ⎰22x x x e xde =-⎰222x x x x e xe e dx =-+⎰2(22)x e x x C =-++，故应填 2(22)x e x x C -++.【例4.5】2ln 1x dx x -=⎰ 解 2l n 1x dx x -=⎰1(l n 1)x d x --⎰2l n 1x d x x x -=-+⎰ln xC x=-+，故应填. ln xC x-+ 【例4.6】()xf x dx ''=⎰解()xf x dx ''=⎰()xdf x '⎰()()xf x f x dx ''=-⎰. 故应填 ()()x f x f x C'-+ 【例4.7】22156x dx x x -=-+⎰ . 解 22156x dx x x -=-+⎰53()32dx x x ---⎰5l n 33l n 2x x C=---+ 53(3)ln (2)x C x -=+- 故应填 53(3)ln (2)x C x -+-. 【例4.8】（99，数二）25613x dx x x +=-+⎰ .解 25613x dx x x +=-+⎰21(26)82613x dx x x -+-+⎰2221(613)(3)82613(3)4d x x d x x x x -+-=+-+-+⎰⎰ 213ln(613)4arctan 22x x x C -=-+++ 故应填 213ln(613)4arctan22x x x C --+++. 【例4.9】x dx =⎰解由于 ,0,0x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩，所以x dx =⎰2122,02,02x C x x C x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩，由于x 是连续的，则存在可导的原函数，从而原函数在0x =连续，固12C C C ==. 从而x dx =⎰12x x C +，故应填 12x x C +. 【例4.10】设2sin x 是()f x 的一个原函数，则2()x f x dx =⎰解1 ()f x 22(sin )2cos x x x '==，则2()x f x dx =⎰322cos x x dx ⎰22sin x d x =⎰222sin 2sin x x x x dx =-⎰222sin cos x x x C =++，解2 由于2sin x 是()f x 的一个原函数，则2()x f x dx =⎰22sin x d x ⎰222sin 2sin x x x x dx =-⎰222sin cos x x x C =++，故应填 222s i n c o s x x x C ++（二）选择题【例4.11】下列结论正确的是 [ ] (A) 21x -在(1,1)-上的原函数为1x ;(B)121arctan ,1dx x C x -=-++⎰ 2211arctan ,1dx C xx -=++⎰ 即1arctan ,arctan x x-为同一个函数的原函数,彼此差一常数.(C) 符号函数sgn x 在(,)-∞+∞上存在原函数.（D ）112sin cos ,0()0,0x x f x x xx ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩ 在(,)-∞+∞存在原函数,所以不连续函数也可以存在原函数.解若()f x 在区间I 内有原函数()F x ,则()F x 在I 内一定是连续函数, ()f x 在I 内却不一定连续.（A ）中函数1x 在0点不连续；（B ）中函数1arctan x在0点不连续,因而与arctan x 不是同一函数的原函数；（C ）中符号函数在(,)-∞+∞上不存在原函数；（D ）中()f x 的原函数为21sin ,0()0,0x x F x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，故选答案D. 【例4.12】设()ln f x dx x x C =+⎰,则()f x = [ ]（A ）ln 1x + （B ）ln x . （C ）x （D ）ln x x解由不定积分定义()(ln )ln 1,f x x x C x '=+=+故选A.【例4.13】设()F x 是()f x 的一个原函数,则等式成立的是 [ ] (A) (())()d f x dx F x =⎰ (B)()()F x dx f x C '=+⎰(C)()()F x dx F x '=⎰(D)(())()df x dx f x dx=⎰ 解由不定积分的性质选答案D .【例4.14】已知21f x x ⎛⎫'= ⎪⎝⎭,则下列式子中正确的是 [ ](A) 21()f x x d x C x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭⎰ (B)3213x f x dx C x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰,所以31()3f x C x =+(C) ()21,f x x'=211()f x dx C x x ==-+⎰ (D) 32()3x f x x dx C ==+⎰解令1,t x =,则由题设有()21f t t '=，即()21,f x x'=因而选C. 【例4.15】设()x f x e -=，则(ln )f x dx x '=⎰ [ ](A) x C + (B) x C -+ (C) 1C x+ (D) 2ln x C +解 (l n )f x dx x '=⎰(l n )(l n f x d x '⎰1(l n )f x C x==+，故选C.【例4.16】若xe 在(,)-∞+∞上的不定积分是()F x C +,则 [ ](A) ,0(),0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-+<⎩ (B) ,0()2,0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-++<⎩(C) ,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩ (D) ,0(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩解本题与[例4.9]类似，应选C .【例4.17】 (05,数二)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，“M N ⇔”表示“M 的充要条件是N ”，则必有 [ ].(A) ()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数 (B) ()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数 (C) ()F x 是周期函数⇔()f x 是周期函数(D) ()F x 是单调函数⇔()f x 是单调函数解 (B) 2()f x x =为偶函数，31()13F x x =+非奇非偶(C) ()sin f x x =为周期函数，cos 1,sin 0()cos 1,sin 0x x F x x x -+>⎧=⎨+<⎩不是周期函数(D) ()2f x x =为单调函数，但2()F x x =不是单调函数.故选A.注当问题直接证明不易解答时，采用反例是非常有效的方法. (三)主观题 1.第二类换元法【例4.18】求下列积分 (1)d x a x -⎰; (2)d ln x x x ⎰; (3)x x ⎰.解 (1) d d()ln .x a -x a x C a x a x =-=--+--⎰⎰ (2) d d(ln )ln ln ln ln x x x C x x x==+⎰⎰.(3) 333332211221)(1)(1).3339xx x x C x C =+=⋅++=++⎰【例4.19】求（1）（2）(ln(1)ln ).(1)x x dx x x +-+⎰ （3）.⎰解（1）原式22.C ===+⎰（2）原式()1111ln ln ln ln(1)1x x dx d x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅-+⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 21111ln ln ln .2x x x d C x x x +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰（3）原式22211()(arctan )(1)(1)x x x xx ==-=-++=3221(arctan ).3C x-+被积函数中含有xe 时，通常有效的方法是分子、分母同时乘以xe 或.xe -【例4.20】求（1）(1).(1)x x dx x xe ++⎰ （2）21.x xdx e e +⎰解（1）原式(1)()11()()(1)(1)1x x xx x x x x x x e d xe dx d xe xe xe xe xe xe xe +===-+++⎰⎰⎰ ln .1x xxe C xe=++ （2）原式22222222()111xx x x xx x x e eeedx dx d e ee e --------⋅===-+++⎰⎰⎰2212(1)()1x x d e e--=--+⎰2222ln(1).x x e eC --=-+++以指数函数为基本元素且底不尽相同的被积函数式一般首先将被积函数式化为同底数幂的形式.【例4.21】求（1） 23.94x xxxdx -⎰ （2） 112510x x x dx +--⎰解（1）原式2212223ln 13233ln .2(ln 3ln 2)32221133xx x x x x x xd dx C ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪-⎝⎭===+-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ （2）原式12525xx dx dx --=-⎰⎰=2152ln 55ln 2x xC ---++. 被积函数为三角函数，利用凑微分法积分时，通常“奇化偶，偶降幂，中间穿插恒等式”.【例4.22】求（1）3sin xdx ⎰. （2）6sec xdx ⎰（3）3sin cos dxx x ⎰解（1）原式222sin sin sin cos (1cos )cos x xdx xd x x d x ==-=--⎰⎰⎰=31cos cos 3x x C -++ (2) 原式 22222(sec )sec (1tan )tan x xdx x d x ==+⎰⎰24(12tan tan )tan x x d x =++⎰=3521tan tan tan 35x x x C +++. (3) 原式223sin cos sin cos x xdx x x+=⎰=32sin 1cot cos cos x dx x dx x x +⎰⎰ =21(tan )2cos tan d x x x +⎰21ln tan 2cos x C x=++. 2.变量代换法形如(,(,0R x dx R x dx a >⎰⎰的积分含，令sin ,cos ;x a t dx a tdt ==含，令2tan ,sec ;x a t dx a tdt ==含，令sec ,sec tan ;x a t dx a t tdt ==【例4.23】求（1）2.dx x⎰（2） 5. （3）解（1）令sin x t =,则cos dx tdt =,原式2222cos cos 1sin csc cot sin sin t t t dt dt tdt t t t C t t⋅-===-=--+⎰⎰⎰arcsin .x C =-+（2）令tan ,x t =则2sec dx tdt =,原式5422tan sec tan sec (sec 1)sec t tdt td t t d t ===-⎰⎰⎰5224121sec sec sec (843.5315t t t C x x C =-++=-+ 注t =更简单；还可以分部积分将5x 的次数降低求解. （3）令sec ,x t =则sec tan dx t tdt =,原式sec tan 1arccos .sec tan t t dt tdt t C C t t x==±=+=+⎰⎰ 注此题还可分别令1x cht t x t===、求出相应的解. 【例4.24】求下列积分(1); (2)解 (1)(法一)原式=2sec sec 2sec t dt tdt t ==sec tan 2C tt =++212C x =++.(法二)原式2122x C ==+++21x C =+++. (2)原式2===arcsin(21)x C =-+.【例4.25】求解1,u =则222ln(1),.1ux u dx u =-=-原式2112ln ln .11u du C C u u -==+=++-⎰ 解2原式222xx--===-22ln(xeC -=-++.3.分部积分法分部积分法的关键就是选择好()()u x v x 与，其中()u x 的选取顺序为对数函数、反三角函数、幂函数、指数函数、三角函数这五种函数位置靠前者.【例4.26】求（1）3xx e dx ⎰. （2）2tan x xdx ⎰（3）()2arctan x x dx ⎰解（1）原式33232336x x x x x xx de x e x de x e x e xde ==-=-+⎰⎰⎰32366.x x x xx e x e xe e C =-+-+（2）原式=2(sec 1)x x dx -⎰21tan 2xd x x =-⎰ 21tan tan 2x x x xdx =--⎰ 21tan ln cos 2x x x x C =-+++. （3）原式()221arctan 2x d x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰()2222111arctan arctan 21x x x x dx x +-=-+⎰ ()221arctan arctan 2x x xdx =-⎰21arctan 1x dx x +⋅+⎰ ()2221arctan arctan 21x x x x x dx x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰arctan arctan xd x +⎰ ()()22211arctan arctan ln 122x x x x x =-++()21arctan 2x C ++【例4.27】求322ln .(1)x xdx x+⎰解原式ln xd ⎛⎫=-=+⎰=+1ln .C x ⎛=-++ ⎝【例4.28】求.x解1原式222x ===⎰,u =则222ln(2),,2ux u dx du u =+=+22222u du u C u ==-++⎰原式2.C =解2,u =则222ln(2),,2ux u dx du u =+=+ 原式222ln(2)(2)2(2)u u udu u u ++⋅=+⎰ 222222ln(2)2ln(2)22u u du u u du u =+=+-+⎰⎰22l n (2)42a n u uu C =+-+22a r 1.C = sin ,cos x x e xdx e xdx ⎰⎰型, 连续用两次分部积分公式，移项解方程可得.注对于分部积分也可用下列快速计算表格法:uu 'u ''v 'vv⎰......++-(1)n-(1)n u +1(1)(1)n n nu v++-⎰⎰⎰⎰v⎰⎰()n u nv⎰⎰⎰上一行代表对u 不断求导,下一行代表对v 不断积分,斜线代表两个函数相乘,竖线代表两函数乘积后再积分,连线上符号代表乘积后的符号,上表格用式子写出来即为(1)()()()(1)(1)()(1)(2)(2)()(1)(2)1(1)d d d d (1)d n n n n n n n n n n n n n n n uvx uv u v x uv u v u v xuv u v u v u v x uv u v u v u v x+-------++''''=-=-+'''''' =-+-''' ==-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰常用于以下类型的分部积分:①d ,sin d ,kxx e x x kx x μμ⎰⎰一般设u x μ=②ln d ,arctan d ,x x x x x x μμ⎰⎰一般设()n v x μ=③sin d ,xekx x μ⎰,u v 可以任意设.对于含多项式的积分,如类型①②,须求导至0或易积分时为止,而对于循环类型③,须求导至上下函数乘积与原积分函数相同时为止.【例4.29】求32(2)d xx x e x -+⎰.解取32u x x =-+原式2321111[(2)(31)66]24816x e x x x x C =-+--+⋅-⋅+2321(4627)8xe x x x C =-+++ 【例4.30】求cos 2d xe x x ⎰.解取cos 2u x =32x x -+231x -6x 2xe 212x e 214x e ++--2116x e 218xe 6cos 2x2sin 2x -4cos 2x-2xe 212xe 4x e +-+22211cos 2d (cos 2sin 2)cos 2d 22x x xe x x e x x e x x =+-⎰⎰ 原式21(cos 2sin 2)4xe x x =+. 【例4.31】求sin(ln )x dx ⎰解s i n (l n )x d x⎰s i n (l n )c o s (l n x x x d x=-⎰ sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x dx =--⎰故s i n (l n )x d x⎰[s i n (l n )c o s (l n )].2xx x C =-+ *【例4.32】设sin n n dxI x =⎰，试建立递推公式.解 221sin sin sin n nx xI dx x-+=⎰ 22cos sin n n xdx I x-=+⎰2111cos ()1sin n n xd I n x --=-+-⎰ 2211cos 11sin 1n n n x I I n x n ---=--+--211cos 21sin 1n n x n I n x n ---=-+-- *【例4.33】求22,()n n dxI x a =+⎰其中n 为正整数.解当1n >时，有21221221222212(1)()()()()n n n n n dx x x dx xI n x a x a x a x a ----==+-=++++⎰⎰ 2212212222112(1)2(1)()()()()n n n n n a xn dx n I a I x a x a x a ---⎡⎤+--=+--⎢⎥+++⎣⎦⎰ 122211(23)2(1)()n n n xI n I a n x a --⎡⎤∴=+-⎢⎥-+⎣⎦1221arctan dx xI C x a a a==++⎰.【例4.34】已知()f x 的一个原函数是2,x e -求().xf x dx '⎰解原式()()()xdf x xf x f x dx ==-⎰⎰2222()(21)x x x x e e C x e C ---'=-+=--+注这类问题一般直接用分部积分，而不是先求出()f x '后代原积分求解. 4.有理函数的积分【例4.35】求（1）422331.1x x dx x +++⎰ （2）4611x dx x ++⎰ 解（1）原式=23213arctan .1x dx dx x x C x =+=+++⎰⎰ （2）原式=422611x x x dx x -+++⎰22232332()113()11()x x dx dx x x -+=+++⎰⎰ 321arctan 31dx x x =++⎰31arctan arctan 3x x C =++. 注拆项求解有理函数的积分是一种简洁有行之有效的方法. 【例4.36】求2(1)dxx x +⎰.解设221(1)1A Bx C x x x x +=+++,去分母221(1),A x Bx Cx =+++比较多项式系数得1,1,0A B C ==-=.故22211ln ln(1)2(1)1dx xdx dx x x C x x x x =-=-++++⎰⎰⎰l .C =+ 注比较系数法可以与赋值法同时使用.如上例代入0x =直接可得 1.A = 【例4.37】求42.21dxx x -+⎰解设422222111121(1)(1)(1)(1)A B C Dx x x x x x x x ==+++-+-+-+-+上式两边乘以21(1),1,4x x C -→=并令得；上式两边乘以21(1),1,4x x +→-=并令得D ；上式两边乘以,,0x x →+∞=并令得A +B ；用0x =代入上式得1,2B A -=从而11,44A B =-=. 原式1111ln .4111x C x x x ⎛+⎫=+-+ ⎪--+⎝⎭幂次较高的有理函数积分一般采用降幂或恒等变形凑微分法.【例4.38】求（1）91088x dx x x -+⎰ （2）7.(1)dx x x +⎰ （3）2100.(1)x dxx -⎰ 解（1）原式998(8)x dx x x -=+⎰9899(8)(8)x x dx x x -=+⎰9999912(8)9(8)x x dx x x -+=+⎰92ln 8ln 9x x C =+-+ （2）原式6777771(1)7(1)x dx dx x x x x ==++⎰⎰ 77771()7(1)dx dx x x =-+⎰⎰771ln 71x C x =++. 变形方法不唯一,也可为()()87777111711dx x dx d x x x x x ----+==-+++⎰⎰⎰71ln 17x C -=-++ (3) 原式210099100111(1)(1)(1)(1)x x d x dx dx x x x -++-==-----⎰⎰⎰ 989999121(1)(1)99(1)dx dx x x x =-+---⎰⎰979899121.97(1)98(1)99(1)C x x x =-++--- 5.三角有理式的积分形如(sin ,cos )R x x dx ⎰的积分，原则上令tan 2xt =利用万能公式做变换.但计算中由于此法复杂，通常采用三角恒等式变形.【例4.39】求sin 1sin cos xdx x x ++⎰ 解1 令tan 2xt =,原式=22(1)(1)tdt t t ++⎰2111t dt dt t t +=-++⎰⎰21arctan ln(1)ln 12t t t C =++-++ =ln sec ln 1tan 222x x xC +-++. 解2 原式=22sin cos 222sin cos 2cos 222x x dx x x x +⎰sin2sin cos22xdx x x =+⎰(sin cos )(cos sin )22222sin cos22x x x x x d x x +--=+⎰ (sin cos )222sin cos22x x d x x x +=-+⎰ =ln sin cos 222x x xC -++. 解3 原式分子分母同乘1(sin cos )x x -+, 原式=sin (1sin cos )2sin cos x x x dx x x ---⎰1(1sin cos )2cos x x dx x--=-⎰11sin 1ln ln cos 41sin 22x x x C x -=--+++ 【例4.40】求 (1) 21cos dx x +⎰ (2) 1tan dx x +⎰ (3) cos()4sin cos x dx x xπ+⎰ 解 (1)原式222tan .cos (1sec )2tan dx d x C x x x ===+++⎰⎰ (2) 原式 cos 1cos sin cos sin cos sin 2cos sin xdx x x x xdxx x x x++-==++⎰⎰ 1(cos sin )22cos sin x d x x x x +=++⎰1ln cos sin .22x x x C =+++ (3)原式=sin )2sin cos x x dx x x -⎰11()sin cos dx x x=-⎰csc cot ln sec tan )x x x x C =++++. 形如sin cos mx nxdx ⎰,sin sin mx nxdx ⎰或cos cos mx nxdx ⎰的积分,一般用积化和差公式先将被积函数变形后再积分.【例4.41】求sin sin 2sin 3x x xdx ⎰. 解 sin sin 2sin 3x x x ()1cos3cos sin 32x x x =-- 1(sin 3cos3cos sin 3)2x x x x =--1111sin 6sin 4sin 22222x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭()1sin 6sin 4sin 24x x x =-++原式()1sin 6sin 4sin 24x x x dx =-++⎰111cos 6cos 4cos 224168x x x C =+++ 形如s i n c o s s i n c o sa xb xdx c x d x ++⎰的三角函数有理式的积分可采用拆项的方法,拆成(s i n c o s )(s i n c o s )s i n c o s s i n c o s A c x d x B c x d x d x d x c x d x c x d x+++++⎰⎰通过待定系数法确定的,A B 值.【例4.42】求3sin 2cos 2sin 3cos x x dx x x ++⎰解设3sin 2cos (2sin 3cos )(2sin 3cos )x x x x x x αβ'+=+++，解得 125,1313αβ==- . 原式12(2sin 3cos )125ln 2sin 3cos .132sin 3cos 1313x x dx dx x x x C x x '+=-=-+++⎰⎰ 形如(sin ,cos )R x x dx ⎰的三角有理式的积分，若满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-，则可设cos t x =；若满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-，则可设sin t x =；若满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x --=，则可设tan t x =.【例4.43】求 (1)254cos (2cos )sin xdx x x ++⎰ (2) 66sin 2sin cos xdx x x +⎰解 (1) 令cos t x =，则原式=2254(2)(1)t dt t t +-+-⎰2222(2)(1)(2)(1)t t dt t t ++-=-+-⎰2211(2)dt dt t t =---+⎰⎰111ln 212t C t t -=++++111c o sln 2s 21cos x C co x x-=++++. (2) 令2tan ,sec ,t x dt xdx ==则原式2242222131()24tdt dt C t t t ⎛⎫===+-+-+⎰⎰21r c t a .C =+ 6.无理函数的积分形如(R x dx ⎰；(,0.R x dx a ≠⎰的积分，分别令2222(),,,()dt b a ad bc tt x dx dt a ct a ct --===--其中设0ad bc -≠；,t = 1,mn mn t b mn x dx t dt a a--==【例4.44】求（1）（2）（3）.dx解（1）令t =则321,3x t dx t =-=原式22211333(ln(1)).1112t dt t t dt t t C t t t ⎛⎫-==+=-+++ ⎪+++⎝⎭⎰⎰3ln(1.C =+++（2）原式=, 令t =3211x t =+-原式=3322dt t C -=-+⎰.C = （3）令65,6x t dx t dt ==，则原式211666ln .11()dt t dt C C t t t t t ⎛⎫==-=+=+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰【例4.45】求（1）. （2）解（1）原式=(x x dx ⎰3211(1)32x x =-- 332211(1)33x x C =--+.（2）原式==332221(31)(21)93x x C =++++.注当分母是无理式时，有时分母有理化会简化计算. 7.综合杂例【例4.46】设1,01(ln ),1x f x x x ≤≤⎧'=⎨<<+∞⎩求(),(ln )f t f x .解令ln t x =，则1,0(),0tt f t e t -∞<<⎧'=⎨<<+∞⎩,,0(),0t t C t f t e D t +-∞<≤⎧=⎨+<<+∞⎩, 由()f t 的连续性得1C D =+，因此有1,0(),0tt D t f t e D t ++-∞<≤⎧=⎨+<<+∞⎩， l n 1,01(l n ),1x D t f x x D x ++<≤⎧=⎨+<<+∞⎩.【例4.47】设()f x 的导函数为()f x '开口向下的二次抛物线，且()f x 的极小值为2，极大值为6，试求()f x .解()(2),(0)f x ax x a '=-<,所以32()(2)()3x f x ax x dx a x C =-=-+⎰由(0)0,(2)0f f ''==，且(0)0,(2)0f f ''''><，故()f x 的极小值为(0)2,f C ==极大值322(2)(2)26,33f a a =-+=⇒=-，所以32()32f x x x =-++.【例 4.48】设()F x 是()f x 的一个原函数，(1)4F =，若当0x >时有()()f x F x =，试求()f x .解由于()F x 是()f x 的一个原函数，()()F x f x '=()()F x F x '=()()F x dF x =⎰，221()2F x C =+，又(1)4F =，所以0C =，()F x =故 ()f x =.【例4.49】设()y y x =是由22()y x y x -=所确定的隐函数，求2dx y ⎰.解令y tx =，则由22()y x y x -=可得211,(1)(1)x y t t t t ==--，3223(1)tdx t t -+=- 原式=23t dt t -+⎰32ln t t C =-+32ln y yC x x=-+. 注这种隐函数的不定积分一般通过变量代换将x 和y 用另一个变量表示，然后求解.三、综合测试题综合测试题A 卷一、填空题（每小题4分，共20分） 1、函数2x为的一个原函数.2、已知一阶导数 (())f x dx '=⎰，则(1)f '= 3、若()arctan xf x dx x C =+⎰，则1()dx f x ⎰=4、已知()f x 二阶导数()f x ''连续，则不定积分()xf x dx ''⎰=5、不定积分cos cos ()xxd e ⎰=二、选择题（每小题4分，共20分）1、已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中是()f x 的原函数的是 [ ] (A) 21x - (B) 21x + (C) 22x x - (D) 22x x + 2、已知()sin x x e f x dx e x C =+⎰，则()f x dx ⎰= [ ] (A) sin x C + (B) cos x C + (C) cos sin x x C -++ (D) cos sin x x C ++ 3、若函数ln xx 为()f x 的一个原函数，则不定积分()xf x dx '⎰= [ ] (A)1ln x C x -+ (B) 1ln xC x ++ (C)12ln x C x -+ (D) 12ln xC x++ 4、已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数()f x = [ ](A) -1 (B) -1 (C) 0 (D) x5、若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '= [ ](A)1x (B) 21x- (C) ln x (D) ln x x 三、解答题 1、（7分）计算22(1)dxx x +⎰. 2、（7分）计算1x dx e +⎰.3、（7分）计算 321x dx x +⎰. 4、（7分）计算 254dxx x ++⎰.5、（8分）计算.6、（7分）计算23xx e dx ⎰.7、（8分）已知222(sin )cos tan 01f x x xx '=+<< ，求()f x .8、（9分）计算 cos ax I e bxdx =⎰.综合测试题A 卷答案一、填空题1、2ln 2x2 3、241124x x C ++ 4、()()xf x f x C '-+5、cos (cos 1)x ex C -+二、选择题1、D2、C3、C4、A5、B 三、解答题 1、1arctan x C x --+ 2、ln(1)x x e C -++ 3、2211ln(1)22x x C -++4、11ln 34x C x +++5、C6、2221()2x x x e e C -+7、21()ln(1)2f x x x C =---+8、22(sin cos )axe b bx a bx C a b +++综合测试题B 卷一、填空题（20分）1、不定积分(sin d =⎰.2、已知()(),f x dx F x C =+⎰则()()F x f x dx =⎰ .3、若21(ln ),2f x dx x C =+⎰则()f x dx =⎰ .4、1)dx +=⎰ .5、2ln x dx =⎰.二、选择题（25分） 1、若2(),f x dx xC =+⎰则2(1)xf x dx -=⎰ [ ](A) 222(1)x C --+ (B) 222(1)x C -+ (C) 221(1)2x C --+ (D) 221(1)2x C -+ 2、设()2,x f x dx x C =++⎰则()f x '= [ ](A) 2l n 22x x C ++ (B) 2l n 21x + (C) 22l n 2x (D) 22l n 21x + 3、11dx x =-⎰ [ ]（A ）ln 1x C -+ （B ） l n (1)x C -+ （C ）ln (1)x C -++ （D ）ln 1x C --+4、存在常数A 、B 、C ，使得21(1)(2)dx x x =++⎰ [ ]（A ）2()12A B dx x x +++⎰ （B ） 2()12Ax Bx dx x x +++⎰ （C ）2()12A Bx C dx x x ++++⎰ （D ）2()12Ax B dx x x +++⎰5、若xe 在(,)-∞+∞上的不定积分是()F x C +,则 [ ](A) ,0(),0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-+<⎩(B) ,0()2,0x xe C x F x e C x -⎧+≥=⎨-++<⎩ (C) ,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩ (D) ,0(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩三、计算题（48分） 1、（7分）求积分2arccos x . 2、（7分）求.3、（7分）2(1)dx x x +⎰. 4、（01，数二，8分）求.5、（8分）求积分1sin cos dx x x ++⎰.6、（06，数二，11分）求arcsin xxe dx e⎰. 四、（7分）计算2ln sin sin x dx x ⎰综合测试题B 答案一、填空题1、C 2、2()2F x C + 3、xe C + 4、335222353x x x x C +--+ 5、2ln 2x x x C -+ 二、选择题1、C2、C3、D4、C5、C 三、计算题1、2arccos 1102ln10xC -+ 2、1)C + 3、221ln .21x C x ++ 4、C =+ 5、ln 1tan 2x C =++6、解 arcsin x x e dx e⎰arcsin arcsin x x x x x xe de e e e ---=-=-+⎰⎰a r c s i n x xxee --=-+a r c s i n xx xe e --=-- s e cx t e -=令s e c t a n a r c s i n t a n xxt tdt e e t-=--⎰a r c s i n s e c x xe e tdt -=--⎰a r c s i n l n s e c t a n x xe e t t C -=--++a r c s i n l n 1x x x e e e C--=--+ 四、 2ln sin sin xdx x ⎰cot ln sin cot x x x x C =-⋅--+.。

高数第四章第一节不定积分

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例5. 求
x 3 解: 原式 = ∫ x dx = 4 +C 3 +1
4 3
4+1
= 3x
例6. 求解: 原式=
1 3
+C
∫
1 sin xdx 2
= 1 cos x + C 2
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三、不定积分的性质
1. ∫ k f (x) dx = k∫ f (x)dx (k≠ 0) 2. ∫[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x) d x
1 1 (1 + x2 ) x2 1 = 2 (1) 2 = 2 2 2 2 x 1+ x x (1+ x ) x (1+ x )
2 2 1 sin x + cos x (2) = 2 2 sin x cos x sin2 x cos2 x
= sec x + csc x
2 2
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∫F′(x) dx =F(x) + C
或 ∫ d F(x) = F(x)+ C
结论微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆的
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′ x x+1 实例 = x ∫ xdx = + C. +1 + 1 ( ≠ 1)
+1
二、基本积分表 (P188-189)
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第四章_不定积分[1]

第四章不定积分一、知识网络图二、内容与要求内容与要求：1. 原函数的概念：如果在区间内，可导函数的导函数为，即对任一，都有，那么就称为在区间上的原函数。

2. 不定积分的定义：在区间内，函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分，即, 式中为任意常数。

理解和掌握不定积分的基本性质，基本积分表和各种积分方法，如凑微分法、变量替换法、分部积分法、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分。

重点：各种基本积分方法。

难点：分部积分法。

三、概念、定理的理解与典型错误分析正确理解原函数与不定积分的关系是十分重要的。

例1设，求.解由原函数的定义得：，解得故.例2设是的一个原函数，当时，且又，求.解因是的一个原函数，故. 由已知条件得，改写成微分形式: ，两边积分得，由解得，所以不定积分的典型错误常见有下列几种情况：（1）该加绝对值的时候没有加；（2）任意常数忘了加上；（3）被积函数出现绝对值时处理错误；（4）分段函数的积分常常搞错。

下面一一举例加以说明。

例3求.典型错误：分析：题目给出的的定义域是，而上述做法只考虑了的情形，还须考虑的情形。

当时，正确做法是：把两种情形合并起来得例4求典型错误：故分析：移项之后，任意常数好象没有了。

事实上，利用分部积分公式，前面已有不定积分积出来了，没加的原因是指望最后一个积分积出后再添，而现在要把最后一个积分移到左边去，移项之后，就应该把加上。

正确答案为例5求典型错误：由得错误原因：是连续函数的原函数，故在任一点都是连续可导的，当然在处也连续。

显然所给出的函数在点的左右极限不相等，正确的答案为：因在点的左右极限相等，推出，即，故例6 设及，求典型错误：设，则积分得由，得错误原因：因为被积函数是连续的，原函数必定连续可导，所以，对于的不同的取值范围，任意常数应该是不一样的，否则连续性得不到保证。

正确的答案为：由假定，得再由在的连续性得，从而得. 故四、解题方法与题例首先要记住教材中列出的十几个不定积分公式，还要记住下列重要的不定积分公式：1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；其次要理解和掌握求不定积分的四种基本方法。

第四章-不定积分总结

第四章不定积分总结一、不定积分的概念1．原函数的定义：．2．不定积分的定义：．3．不定积分的几何意义：．二、不定积分的性质性质1：．性质2：．性质3：．性质4：．三、不定积分的基本积分公式（1）d k x =⎰ ；（2）d x x μ=⎰ ；(1)μ≠-（3）1d xx =⎰ ；（4）x = ；（5）d x a x =⎰ ；（6）e d x x =⎰ ；（7）sin d x x =⎰ ；（8）cos d x x =⎰ ；（9）2sec d x x =⎰ ；（10）2csc d x x =⎰ ；（11）sec tan d x x x =⎰ ；（12）csc cot d x x x =⎰ ；（13）x = ；（14）21d 1x x =+⎰ ；（15）tan d x x =⎰ ；（16）cot d x x =⎰ ．四、不定积分的计算方法1．直接积分法（常用技巧：利用分解因式、三角函数关系式、配方法等，直接利用基本积分公式求积分），典型例题如：．2．第一类换元积分公式（凑微分公式）：．常用凑微分格式：例如（1）1d d x a =（）；（2）1d d 2x x =（）；（3）1d d x x =（）；（4d x=（）；（5）e d d x x =（）；（6）sin d d x x =（）；（7）cos d d x x =（）；（8）e d d x x =（）；（9）2sec d d x x =（）；（10）2csc d d x x =（）；（11）21d d 1x x =+（）；（12d x =（）． 3．第二类换元积公式：．（1）三角代换：其目的是化掉根式．当被积函数中含有 ①22x a -，可令=x ； ②22x a +，可令=x ； ③22a x -，可令=x ．（2）根式代换：① 当被积函数含根式m b ax +时，可作代换：． ② 当被积函数含有两种或两种以上的根式l k x x ,, 时，可作代换：．（3）其他代换，如：当分母的阶较高时, 可采用变换：．4．分部积分公式：．选取v u ,的一般规则：（1）；（2）．。

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微分 dy叫做函数增量y的线性主部 . (微分的实质)
二、微分的求法
dy f ( x )dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式P40
d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d (tan x ) sec 2 xdx d ( x ) x 1dx d (cos x ) sin xdx d (cot x ) csc 2 xdx
d (sec x ) sec x tan xdx d (csc x ) csc x cot xdx
d (a x ) a x ln adx 1 d (log a x ) dx x ln a 1 d (arcsin x ) dx 2 1 x 1 d (arctan x ) dx 2 1 x
定义设函数 y f ( x )在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果
y f ( x0 x ) f ( x0 ) A x o( x ) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x )在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x )在点 x0相应于自变量增量x的微分, 记作 dy x x0 或 df ( x0 ), 即dy x x0 A x .
x
(6) cos xdx sin x C ,
22
(7) sin xdx cos x C (8) sec2 xdx tan x C (9) csc2 xdx cot x C (10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) 1 1 x2 1 (13) dx arctan x C 2 1 x
(2) d (sin x2 ) ( )d ( x ).
1
(1) d ( ) cos tdt;
1
解 (1) d (sin t ) cos tdt ,
1 d ( sin t C ) cos tdt .
cos tdt d (sin t ) d (
23
dx arcsin x C
导数公式表
积分公式表
(sin x ) cos x
(cos x ) sin x
(tan x ) sec x
2
cos xdx sin x C
sin xdx cos x C
2 sec xdx tan x C
dy d f ( x) y ; ; 记作： x x0 f ( x 0 ) ; d x x x0 d x x x0
初等函数的求导
书 P.35
加上四则运算公式，复合函数求导法则。以及计算技巧。
例：求函数 f（x）= x 2 sin x + 2 cos x 的导数。
解
复习：微分的定义
o y
|c|
{
x
y=F(x)
x
18
(2)
( F ( x ) C ) F ( x ) f ( x )
y
即横坐标相同点处, 每条积分曲线上
相应点的切线斜率相等, 都为ƒ(x) .
从而相应点的切线相互平行. 注:当需要从积分曲线族中求出过点( x0 , y0 )的一条积分曲线时,
y=F(x)
d ( u v ) du dv d ( uv ) vdu udv
d (e x ) e x dx 1 d (ln x ) dx x d (arccos x ) 1
2
1 x 1 d (arc cot x ) dx 2 1 x
dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
x
25
4.1.3不定积分性质

26
直接积分法: 利用基本积分公式和性质求不定积分的方法称为直接积分法.用直接积分法可求出某些简单函数的不定积分. 例6 求下列不定积分
问题：(1) 原函数是否唯一？
(2) 若不唯一它们之间有什么联系？定义：设F(x)是函数ƒ(x)在区间I上的一个原函数, 则对任何常数C , F(x) + C也是函数ƒ(x)的原函数. 证因为 ( F ( x ) C ) F ( x ) f ( x ) 所以 F(x) + C 也是函数 ƒ(x) 的原函数.
1 , 2 1 x
1 dx arctan x C . 2 1 x
16
例3 求下列不定积分
(1) sin xdx
解
(2) ( 4) dx x
1 解 dx ln x c x
sin xdx cos x C 2 2 xdx x C 1 1 x dx 1 x C
cos x ，所以 sin x 是cos x 的原函数. 1 因为 ln x ( x 0) x 1 所以 ln x 是在区间( 0, ) 内的原函数. x
12
原函数存在性定理: 定义：若函数ƒ(x)在区间I上连续, 则ƒ(x)在区间I上的原函
数一定存在。简言之：连续函数一定有原函数. (证明略)
由条件 y
x e3
5 知有 5 ln e3 C , 得 C 2.
故所求曲线为 y = ln|x| + 2
20
四、不定积分与微分的关系
d (1) [ f ( x )dx ] f ( x )或d[ f ( x )dx ] f ( x )dx; dx ( 2) F ( x )dx F ( x ) C , C为任意常数. ( 3) [f ( x ) g ( x )]dx f ( x )dx g ( x )dx , 其中 , 为常数;
定义1 若
x x0
复习：导数的定义在点的某邻域内有定义 , 设函数
0
lim f (x x ) f (x 0 )
x
存在, 则称函数在点
y y f ( x ) f ( x0 ) lim x x x0 x0 x 在点处可导, 并称此极限为
的导数.
被积表达式积分变量
任意常数
cos xdx sin x C.
15
例1 求 x 5dx .
x 解 x5 , 6 1 例2 求 dx. 2 1 x 解 arctan x
6

6 x 5 x dx C. 6
d (Cu) Cdu u vdu udv d( ) v v2
例
设 y ln( x e ), 求dy.
y 1 2 xe x ex
x2
2
x2
解
例解
, dy
1 2 xe xe
x2
x2
dx.
设 y e 1 3 x cos x, 求dy.
dy cos x d (e13 x ) e13 x d (cos x)
sin t );
(2)
d (sin x 2 )
d (sin x2 ) (4 x x cos x 2 )d ( x ).
2 x cos x 2dx 4 x x cos x 2 , 1 d( x ) dx 2 x
第四章不定积分
§4.1不定积分的概念与性质
§4.2不定积分的积分方法：（换元积分法、分部积分法）
(e13 x ) 3e13 x , (cos x) sin x.
dy cos x (3e13 x )dx e13 x ( sin x)dx
e13 x (3cos x sin x)dx.
例
在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.
§4.1
不定积分的概念和性质
一.原函数的定义问题: 若已知某一函数 F(x) 的导数为ƒ(x), 求这个函数. 定义1 设ƒ(x)定义在区间I上, 若存在函数F(x), 使得对 x I
有
F ( x) f ( x) 或 dF ( x) f ( x)dx.

则称F(x)是已知函数ƒ(x)在该区间I上的一个原函数. 例因为 sin x
17
三.不定积分的几何意义
函数 f ( x ) 的原函数的图形称为 f ( x ) 的积分曲线.
而 f ( x ) dx 是ƒ(x)的原函数一般表达式, 所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族, 其特点是:
(1)积分曲线族中任意一条曲线可由其中某一条(如y =F(x)) 沿 y 轴平行移动 |c| 个单位而得到. (如图)当c>0时, 向上移动; 当c <0时, 向下移动.
可表示 ƒ(x) 的所有原函数。
二.不定积分的定义
定义2 函数ƒ(x)的全体原函数称为ƒ(x)的不定积分. 记为 f ( x ) dx. 显然，若F(x)是函数ƒ(x)的一个原函数, 则
f ( x)dx F ( x ) C .
14
积被分积号函数
例如
f ( x )dx F ( x ) C
o
x
x
则只须把 ( x0 , y0 )代入 y = F(x) + C 中解出 C 即可.
19
例4 已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标
的倒数, 且过点
(e ,5),
3
求此曲线方程.
解设所求曲线为 y = ƒ(x) , 则
dy 1 由题意 dx x
1 y dx ln x C x
(cot x ) csc x
2
(sec x ) sec x tan x