2013江苏省镇江市高考数学适应性测试卷1苏教版
2013年高考数学(江苏卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ（必做题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符. 4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ．2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ．3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 4．集合}1,0,1{-共有 个子集．5．下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ．6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ．7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为 ．8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）。
若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ．10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若AC AB DE 21λλ+= （21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ． 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
2013年江苏高考数学卷试卷及详细解析
YN 输出n 开始1a 2n ←←，1n n ←+32a a ←+20a <结束 2013年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）数学Ⅰ 注意事项绝密★启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效. 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.函数)42sin(3π-=x y 的最小正周期为 ▲ .解析：2==2T ππ 2.设2)2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ . 解析：()2234,34=5Z i Z =-=+-3.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ . 解析：3y=4x ±4.集合{}1,0,1-共有 ▲ 个子集. 解析：328=（个）5.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲解析：经过了两次循环，n 值变为36.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ . 解析：易知均值都是90，乙方差较小，()()()()()()()22222221118990909091908890929025ni i s x xn ==-=-+-+-+-+-=∑7.现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为 ▲ . 解析：m 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个 n 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个所以总共有7963⨯=种可能 符合题意的m 可以取1,3,5,7共4个 符合题意的n 可以取1,3,5,7,9共5个 所以总共有4520⨯=种可能符合题意 所以符合题意的概率为20638.如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ▲ . 解析：112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=所以121:24V V =9.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包1A1B1C含三角形内部和边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ . 解析：易知切线方程为：21y x =-所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为()()()0,00.5,00,1A B C - 易知过C 点时有最小值2-，过B 点时有最大值0.510.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 ▲ .解析：易知()121212232363DE AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+所以1212λλ+=11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 ▲ . 解析：因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以易知0x ≤时，2()4f x x x =-- 解不等式得到x x f >)(的解集用区间表示为()()5,05,-+∞12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ,右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d .若126d d =，则椭圆的离心率为 ▲ . 解析： 由题意知2212,bc a b d d c a c c==-= 所以有26b bcc a= 两边平方得到2246a b c =，即42246a a c c -= 两边同除以4a 得到2416e e -=，解得213e =，即33e = 13.平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数)0(1>=x xy 图像上一动点，若点A P ,之间最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ . 解析：由题意设()0001,,0P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭则有()222222200000200000111112++2=+-2+22PA x a a x a x a x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()001t 2x t x +=≥ 则()222=(t)=t 2222PA f at a t -+-≥ 对称轴t a = 1.2a ≤时，22min 2(2)2422428PA f a a a a ==-+∴-+=1a =- ， 3a =（舍去） 2.2a >时，22min 2()228PA f a a a ==-∴-=10a = ， 10a =-（舍去） 综上1a =-或10a = 14.在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ▲ .解析：2252552667123123115521155223 (1),.222222011521312913236002292212n n n n n n nn n n a a a a a a a a a a q a q q a a n nq n q n q a -------=+=+-+=∴++++>∴->∴->>-∴->-+∴<<=>∴==n N +∈112,n n N +∴≤≤∈又12n =时符合题意，所以n 的最大值为12二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
镇江市2013届高三高考适应性测试数学卷5
江苏省镇江市2013届高三高考适应性测试数学卷5一.填空题（每题5分，共70分） 1. 复数(2)i i +的虚部是2．如{}23,2a a a ∈-,则实数a 的值等于3. 若函数1(),10()44,01xx x f x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，则4(log 3)f =4．等比数列}{n a 中，n S 表示前n 顶和，324321,21a S a S =+=+，则公比q 为 5．在集合{}1,2,3中先后随机地取两个数，若把这两个数按照取的先后顺序组成一个二位数，则“个位数与十位数不相同”的概率是 .6．设,αβ为互不重合的平面，m ，n 为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若,,m n m n αα⊥⊂⊥则；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥β，则α∥β； ③若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥=⊂⊥⊥ 则；④若,,//,//m m n n ααββ⊥⊥则， 其中所有正确命题的序号是 ． 7．已知0>xy ，则|21||21|xy y x +++的最小值为 8．. 已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则给出如下四个判断：正确的有①()()76f f > ②()()96f f > ③()()97f f > ④()()107f f >9．已知角A 、B 、C 是ABC 的内角，,,a b c 分别是其对边长，向量2(23sin ,cos),22A A m = ，(cos ,2)2A n =- ，m n ⊥ ，且2,a =3cos 3B =则b =10．直线1x y a b +=通过点(cos ,sin )M αα,则2211a b+的取值范围为 11．已知()sin()(0),()()363f x x f f πππωω=+>=，且()f x 在区间(,)63ππ有最小值，无最大值，则ω=__________．12. 在区间[],1t t +上满足不等式3311x x -+≥的解有且只有一个，则实数t ∈13． 在△ABC 中，1tan ,0,()022C AH BC AB CA CB =⋅=⋅+=，H 在BC 边上，则过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为N MP QBA8kma km14. 已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若47a =，则m 所有可能的取值为二.解答题（请给出完整的推理和运算过程，否则不得分）15.（14分）设函数2()2(03)f x x x a x =-++≤≤的最大值为m ，最小值为n ， 其中0,a a R ≠∈．（1）求m 、n 的值（用a 表示）；（2）已知角β的顶点与平面直角坐标系xoy 中的原点o 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(1,3)A m n -+．求tan()3πβ+的值．16. （14分）在直角梯形PBCD 中，,2,42D C BC CD PD π∠=∠====，A 为PD 的中点，如下左图。
江苏省镇江市高考数学适应性测试卷10苏教版
江苏省镇江市2013届高三高考适应性测试数学卷10一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合{|5}A x x =>，集合{|}B x x a =>，若命题“x A ∈”是命题“x B ∈”的充分 不必要条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 答案： 5a <2．复数1z i =-（i 是虚数单位），则22z z -= ▲ ． 答案：12i -+3．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体 进行教学次数在[]15,30内的人数为 ▲ ． 答案：100解析：所抽取的20人中在[]15,30内的人数10人，故可得200名教师中使用多媒体进行教学次数在[]15,30内的人数为1020020⨯=100人。
4．如图是一个算法的流程图，则最后输出的W 的值为 ▲ ． 答案：14解析：本题考查算法流程图。
0,11,23,36,4s t s t s t s t ==→==→==→==10s →= 所以输出14w s t =+=。
5．已知n s 是等差数列{n a }的前n 项和，若2s ≥4，4s ≤16，则5a 的最大值是 ▲ ． 答案：96．用半径为210cm ，面积为π2100cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ▲ ．（第3题图）（第4题）答案：331000cm π7．若在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程22221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆的概率为 ▲ ．答案：2解析：本题考查线性规划和几何概型。
由题意知15,24,m n m n ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪>⎩画可行域如图阴影部分。
2013年江苏省高考数学试卷附送答案
2013年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．1．（5分）函数y=3sin（2x +）的最小正周期为．2．（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为．3．（5分）双曲线的两条渐近线方程为．4．（5分）集合{﹣1，0，1}共有个子集．5．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是．6．（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．7．（5分）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．8．（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=．9．（5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是．10．（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为．14．（5分）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n 的最大正整数n的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．16．（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．18．（16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．（16分）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n是其前n项和．记b n=，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk=n2S k（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0．20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．<P style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt" class=MsoNormal><?xml:namespace prefix = v ns = 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lang=EN-US><o:p></o:p></SPAN></SPAN></P>A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．求证：AC=2AD．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．26．（10分）设数列{a n}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k∈N*）时，．记S n=a1+a2+…+a n（n∈N∗）．对于l∈N∗，定义集合P l=﹛n|S n为a n的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数．2013年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．1．（5分）（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为π．【分析】将题中的函数表达式与函数y=Asin（ωx+φ）进行对照，可得ω=2，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期．【解答】解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π故答案为：π2．（5分）（2013•江苏）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为5．【分析】把给出的复数展开化为a+bi（a，b∈R）的形式，然后直接利用模的公式计算．【解答】解：z=（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i．所以，|z|==5．故答案为5．3．（5分）（2013•江苏）双曲线的两条渐近线方程为．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：4．（5分）（2013•江苏）集合{﹣1，0，1}共有8个子集．【分析】集合P={1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．【解答】解：因为集合{﹣1，0，1}，所以集合{﹣1，0，1}的子集有：{﹣1}，{0}，{1}，{﹣1，0}，{﹣1，1}，{0，1}，{﹣1，0，1}，∅，共8个．故答案为：8．5．（5分）（2013•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是3．【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a≥20的最小n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=2时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=8，n=2；当n=2，a=8时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=26，n=3；当n=3，a=26时，不满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为3故答案为：36．（5分）（2013•江苏）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三第四次第五次次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为2．【分析】直接由图表得出两组数据，求出它们的平均数，求出方差，则答案可求．【解答】解：由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为：甲：87，91，90，89，93；乙：89，90，91，88，92；，．方差=4．=2．所以乙运动员的成绩较稳定，方差为2．故答案为2．7．（5分）（2013•江苏）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n ≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．【分析】求出m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，m取到奇数，n取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解．【解答】解：m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，共有7×9=63种取法．m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则m，n都取到奇数的方法种数为4×5=20种．所以m，n都取到奇数的概率为．故答案为．8．（5分）（2013•江苏）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=1：24．【分析】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值．【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍．所以V1：V2==1：24．故答案为1：24．9．（5分）（2013•江苏）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y 的取值范围是[﹣2，] ．【分析】利用导数求出抛物线在x=1处的切线方程，画出可行域，找出最优解，则x+2y的取值范围可求．【解答】解：由y=x2得，y′=2x，所以y′|x=1=2，则抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y=2x﹣1．令z=x+2y，则．画出可行域如图，所以当直线过点（0，﹣1）时，z min=﹣2．过点（）时，．故答案为．10．（5分）（2013•江苏）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．【分析】由题意和向量的运算可得=，结合=λ1+λ2，可得λ1，λ2的值，求和即可．【解答】解：由题意结合向量的运算可得=====，又由题意可知若=λ1+λ2，故可得λ1=，λ2=，所以λ1+λ2=故答案为：11．（5分）（2013•江苏）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）．【分析】作出x大于0时，f（x）的图象，根据f（x）为定义在R上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出x小于0的图象，所求不等式即为函数y=f （x）图象在y=x上方，利用图形即可求出解集．【解答】解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）12．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF 的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为．【分析】根据“d 2=”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得d1=，从而得到a与b的关系，可求得，从而求出离心率．【解答】解：如图，准线l：x=，d2=，由面积法得：d1=，若d 2=，则，整理得a2﹣ab﹣=0，两边同除以a2，得+（）﹣=0，解得．∴e==．故答案为：．13．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为﹣1或．【分析】设点P，利用两点间的距离公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a的值．【解答】解：设点P，则|PA|===，令，∵x＞0，∴t≥2，令g（t）=t2﹣2at+2a2﹣2=（t﹣a）2+a2﹣2，①当a≤2时，t=2时g（t）取得最小值g（2）=2﹣4a+2a2=，解得a=﹣1；②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t=a，g（t）取得最小值g（a）=a2﹣2，∴a2﹣2=，解得a=．综上可知：a=﹣1或．故答案为﹣1或．14．（5分）（2013•江苏）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n ＞a1a2…a n的最大正整数n的值为12．【分析】设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．【解答】解：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6．记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．故答案为：12二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•江苏）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．【分析】（1）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+，由+=（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得α，β的值．【解答】解：（1）由=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则=（cosα﹣co sβ，sinα﹣sinβ），由=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，得cosαcosβ+sinαsinβ=0．所以．即；（2）由得，①2+②2得：．因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π．所以，，代入②得：．因为．所以．所以，．16．（14分）（2013•江苏）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB ⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC；（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC．结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA．【解答】解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．∵E、G分别为SA、SC的中点，∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC．∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面EFG∥平面ABC；（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF⊂平面ASB，AF⊥SB．∴AF⊥平面SBC．又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC．∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA．17．（14分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a 的范围．【解答】解：（1）联立得：，解得：，∴圆心C（3，2）．若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，解得：k=0或k=﹣，则所求切线为y=3或y=﹣x+3；（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．18．（16分）（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【分析】（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，由余弦定理可得；（3）设乙步行的速度为v m/min，从而求出v的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内．19．（16分）（2013•江苏）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n 是其前n项和．记b n=，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk=n2S k（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0．【分析】（1）写出等差数列的通项公式，前n项和公式，由b1，b2，b4成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n项和公式得到S n，在前n项和公式中取n=nk 可证结论；（2）把S n代入中整理得到b n=，由等差数列的通项公式是a n=An+B的形式，说明，由此可得到c=0．【解答】证明：（1）若c=0，则a n=a1+（n﹣1）d，，．当b1，b2，b4成等比数列时，则，即：，得：d2=2ad，又d≠0，故d=2a．因此：，，．故：（k，n∈N*）．（2）==．①若{b n}是等差数列，则{b n}的通项公式是b n=A n+B型．观察①式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而，故c=0．经检验，当c=0时{b n}是等差数列．20．（16分）（2013•江苏）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．【分析】（1）求导数，利用f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，转化为﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；（2）先确定a的范围，再分类讨论，确定f（x）的单调性，从而可得f（x）的零点个数．【解答】解：（1）求导数可得f′（x）=﹣a∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，∴a≥，x∈（1，+∞）．∴a≥1．令g′（x）=e x﹣a=0，得x=lna．当x＜lna时，g′（x）＜0；当x＞lna时，g′（x）＞0．又g（x）在（1，+∞）上有最小值，所以lna＞1，即a＞e．故a的取值范围为：a＞e．（2）当a≤0时，g（x）必为单调函数；当a＞0时，令g′（x）=e x﹣a＞0，解得a＜e x，即x＞lna，因为g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，类似（1）有lna≤﹣1，即0＜．结合上述两种情况，有．①当a=0时，由f（1）=0以及f′（x）=＞0，得f（x）存在唯一的零点；②当a＜0时，由于f（e a）=a﹣ae a=a（1﹣e a）＜0，f（1）=﹣a＞0，且函数f （x）在[e a，1]上的图象不间断，所以f（x）在（e a，1）上存在零点．另外，当x＞0时，f′（x）=﹣a＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，所以f（x）只有一个零点．③当0＜a≤时，令f′（x）=﹣a=0，解得x=．当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，所以，x=是f（x）的最大值点，且最大值为f（）=﹣lna﹣1．（i）当﹣lna﹣1=0，即a=时，f（x）有一个零点x=e；（ii）当﹣lna﹣1＞0，即0＜a＜时，f（x）有两个零点；实际上，对于0＜a＜，由于f（）=﹣1﹣＜0，f（）＞0，且函数f（x）在[]上的图象不间断，所以f（x）在（）上存在零点．另外，当0＜x＜时，f′（x）=﹣a＞0，故f（x）在（0，）上时单调增函数，所以f（x）在（0，）上只有一个零点．下面考虑f（x）在（，+∞）上的情况，先证明f（）=a（）＜0．为此，我们要证明：当x＞e时，e x＞x2．设h（x）=e x﹣x2，则h′（x）=e x﹣2x，再设l（x）=h′（x）=e x﹣2x，则l′（x）=e x﹣2．当x＞1时，l′（x）=e x﹣2＞e﹣2＞0，所以l（x）=h′（x）在（1，+∞）上时单调增函数；故当x＞2时，h′（x）=e x﹣2x＞h′（2）=e2﹣4＞0，从而h（x）在（2，+∞）上是单调增函数，进而当x＞e时，h（x）=e x﹣x2＞h（e）=e e﹣e2＞0，即当x＞e 时，e x＞x2当0＜a＜，即＞e时，f（）==a（）＜0，又f（）＞0，且函数f（x）在[，]上的图象不间断，所以f（x）在（，）上存在零点．又当x＞时，f′（x）=﹣a＜0，故f（x）在（，+∞）上是单调减函数，所以f（x）在（，+∞）上只有一个零点．综合（i）（ii）（iii），当a≤0或a=时，f（x）的零点个数为1，当0＜a＜时，f（x）的零点个数为2．<P style="MARGIN: 0cm 0cm 0pt" class=MsoNormal><?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /><v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t"o:spt="75" 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lang=EN-US><o:p></o:p></SPAN></SPAN></P>A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）（2013•江苏）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．求证：AC=2AD．【分析】证明Rt△ADO∽Rt△ACB，可得，结合BC=2OC=2OD，即可证明结论．【解答】证明：连接OD．因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADO=∠ACB=90°又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，所以，因为BC=2OC=2OD．所以AC=2AD．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）（2013•江苏）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【分析】运用代入法，可将直线l和曲线C的参数方程化为普通方程，联立直线方程和抛物线方程，解方程可得它们的交点坐标．【解答】解：直线l的参数方程为（为参数），由x=t+1可得t=x﹣1，代入y=2t，可得直线l的普通方程：2x﹣y﹣2=0．曲线C的参数方程为（t为参数），化为y2=2x，联立，解得，，于是交点为（2，2），．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．（2013•江苏）已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．【分析】直接利用作差法，然后分析证明即可．【解答】证明：2a3﹣b3﹣2ab2+a2b=2a（a2﹣b2）+b（a2﹣b2）=（a﹣b）（a+b）（2a+b），∵a≥b＞0，∴a﹣b≥0，a+b＞0，2a+b＞0，从而：（a﹣b）（a+b）（2a+b）≥0，∴2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•江苏）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【分析】（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．26．（10分）（2013•江苏）设数列{a n}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k ∈N*）时，．记S n=a1+a2+…+a n（n∈N∗）．对于l∈N∗，定义集合P l=﹛n|S n为a n的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数．【分析】（1）由数列{a n}的定义，可得前11项，进而得到前11项和，再由定义集合P l，即可得到元素个数；（2）运用数学归纳法证明S i=﹣i（2i+1）（i∈N*）．再结合定义，运用等差（2i+1）数列的求和公式，即可得到所求．【解答】解：（1）由数列{a n}的定义得a1=1，a2=﹣2，a3=﹣2，a4=3，a5=3，a6=3，a7=﹣4，a8=﹣4，a9=﹣4，a10=﹣4，a11=5，所以S1=1，S2=﹣1，S3=﹣3，S4=0，S5=3，S6=6，S7=2，S8=﹣2，S9=﹣6，S10=﹣10，S11=﹣5，从而S1=a1，S4=0•a4，S5=a5，S6=2a6，S11=﹣a11，所以集合P11中元素的个数为5；（2）先证：S i（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N*）．事实上，①当i=1时，S i（2i+1）=S3=﹣3，﹣i（2i+1）=﹣3，故原等式成立；②假设i=m时成立，即S m（2m+1）=﹣m（2m+1），则i=m+1时，S（m+1）（2m+3）=S m（2m+1）+（2m+1）2﹣（2m+2）2=﹣m（2m+1）﹣4m﹣3=﹣（2m2+5m+3）=﹣（m+1）（2m+3）．综合①②可得S i（2i+1）=﹣i（2i+1）．于是S（i+1）（2i+1）=S i（2i+1）+（2i+1）2=﹣i（2i+1）+（2i+1）2=（2i+1）（i+1）．由上可知S i（2i+1）是2i+1的倍数，而a i（2i+1）+j=2i+1（j=1，2，…，2i+1），所以S i（2i+1）+j=S i（2i+1）+j（2i+1）是a i（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+1）的倍数．又S（i+1）（2i+1）=（i+1）•（2i+1）不是2i+2的倍数，而a（i+1）（2i+1）+j=﹣（2i+2）（j=1，2，…，2i+2），所以S（i+1）（2i+1）+j=S（i+1）（2i+1）﹣j（2i+2）=（2i+1）（i+1）﹣j（2i+2）不是a（i+1）（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+2）的倍数，故当l=i（2i+1）时，集合P l中元素的个数为1+3+…+（2i﹣1）=i2，于是，当l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）时，集合P l中元素的个数为i2+j．又2000=31×（2×31+1）+47，故集合P2 000中元素的个数为312+47=1008．。
江苏省镇江市2013届高三高考适应性测试数学卷7
江苏省镇江市2013届高三高考适应性测试数学卷7一、填空题（每题5分，共70分）1、若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(,1)m ，则实数m ＝2、若将复数()()i i -+2112表示为(,,p qi p q R i +∈是虚数单位）的形式，则p q +＝ ．3、已知命题P ：“R x ∈∀，0322≥-+x x ”，请写出命题P 的否定: 4、从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。
由图中数据可知a ＝ 。
若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为 。
5、设向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中πβα<<<0，若|2||2|a b a b +=-，则βα-= .6、圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离之差是_____________.7、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221l o g l o g l o g n a a a -+++=______8、已知F 1、F 2是椭圆2222)10(a y a x -+=1(5＜a ＜10)的两个焦点，B 是短轴的一个端点，则 △F 1BF 2的面积的最大值是9、α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n②α⊥β③n ⊥β④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题： _____. 10、将正偶数集合,6,4,2{…}从小到大按第n 组有n2个偶数进行分组如下： 第一组 第二组 第三组 …………}4,2{ }12,10,8,6{ }28,26,24,22,20,18,16,14{ …………则2010位于第_______组。
数学-江苏省2013届高三二模适应性考试试题(含附加)
江苏省2013届高三二模适应性考试试题一、填空题(本题共14小题,每小题5分,共计70分)1.已知复数2012201320132012iz i+=-的虚部为 .2.已知集合211{|},{|340,}3A xB x x x x Z x =≤=--≤∈,则A B = .3.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表,甲被选中的概率为 .4.根据图中的伪代码,输出的结果I 为 .5.若12320122013,,,,,x x x x x 的方差为3,则12201220133(2),3(2),,3(2),3(2)x x x x ---- 的方差为 .6.一个底面边长为2cm ,高为3cm 的正三棱锥,其顶点位于球心,底面三个顶点位于球面上,则该球的体积 为 3cm . 7.已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩,则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是 .8.已知两点(3,2)A 和(1,4)B -到直线:30l mx y ++=的距离相等,则实数m 的值为 . 9.已知动圆M 的圆心在抛物线2:2012x y Γ=上,且与直线503y =-相切,则动圆M 过定点 . 10.已知,αβ为锐角,且满足sin sin sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβ=++,则cos()αβ+= . 11.在闭区间[1,1]-上任取两个实数,则它们的和不大于1的概率是 . 12.已知,(0,1]x y ∈,的最大值为 .13.任取三个互不相等的正整数,,a b c ,若100a b c ++<,则由这三个数构成的不同的等差数列共有 个. 14.如果对任意一个三角形,只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内,就有(),(),()f a f b f c 也是某个三角形的三边长,则称()f x 为“保三角形函数”,若函数()ln ()h x x x M =≥是保三角形函数,则M 的最小值为 .二、解答题(本题共6小题,共计90分)15.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,1sin 5ac B AB AC bc +⋅= .(1)求tan 2A的值;(2)若a =求ABC ∆面积的最大值.16.如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥平面ABCD ,//AB CD ,AD DC ⊥,,E F 分别为,BC PA 的中点. (1)求证:AD PC ⊥;(2)求证://EF 平面PCD .17.某个公园有个池塘,其形状为直角ABC ∆,90C ∠= ,200AB =米,100BC =米.(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在,,AB BC CA 上取点,,D E F ,如图(1),使得//,EF AB EF ED ⊥, 游客在DEF ∆内喂食,求DEF ∆面积S 的最大值;(2)现在准备新建造一个荷塘,分别在,,AB BC CA 上取点,,D E F ,如图(2),建造DEF ∆连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使DEF ∆为正三角形,求DEF ∆边长的最小值.18.椭圆22122:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左右焦点分别为12,F F ,左右顶点分别为,A B ,离心率为23,且 225AF F B ⋅=.(1)求椭圆Γ的方程;(2)点00(,)M x y (002,0x y ≠>)是圆2222:x y a Γ+=上的任意一点,连结AM ,交椭圆1Γ于P ,记直线2,MF PB 的斜率分别为12,k k ,求12k k 的取值范围.19.已知函数32()23(1)6()f x x a x ax a R =-++∈(1)若函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增,求实数a 的取值集合; (2)当[1,3]x ∈时,()f x 的最小值为4,求实数a 的值.20.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11a =,且221(1)(1)()n m n m S S S a a +=++--,其中m ,n 为任意正整数.(1)求23,a a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式;(3)数列{}n b 满足3(1)nnnb a -=,且,,(110,,,*)x y z b b b x y z x y z N ≤<<≤∈能构成等差数列,求x y z ++的取值集合.江苏省2013届高三二模适应性考试试题（理科附加）21. （选做题）本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 外一点，且AC AB =，BC 交⊙O 于点D ．已知BC ＝4，AD ＝6，AC 交⊙O 于点E ，求四边形ABDE 的周长．变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
镇江市2013届高三高考适应性测试数学卷9
江苏省镇江市2013届高三高考适应性测试数学卷9一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.i 是虚数单位，复数2332iz i +=-+的虚部是 ；2．抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 ；3. 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则87109a a a a ++= ；4．已知集合{|5}A x x =>，集合{|}B x x a =>，若命题“x A ∈”是命 题“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ；5．某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为相关人员数 抽取人数 公务员 32 x 教师 48 y 自由职业者6446．已知函数221(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则不等式()2f x x -≤的解集是 ；7.若某程序框图如所示，则该程序运作后输出的y等于 ；8．函数()2s i n (f x x ωϕ=+（其中0ω>，22ππϕ-<<）的图象如图所示，若点A 是函数()f x 的图象与x 轴的交点，点B 、D 分别是函数()f x 的图象的最高点和最低点，点C (,0)12π是点B 在x 轴上的射影，则AB BD ⋅= ；开始结 束输出y1x =1y =21y y =+ 1x x =+5?x ≤否是9．如图，在棱长为5的正方体ABCD —A1B1C1D1中，EF 是棱AB上的一条线段，且EF=2，Q 是A1D1的中点，点P 是棱C1D1上的动点，则四面体PQEF 的体积为_________；10．如图，是二次函数a bx x x f +-=2)(的部分图象，则函数)(ln )(x f x x g '+=的零点所在的区间是（1,)2k k -，则k =____________；11.设1250,,,a a a 是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若222212501509,(1)(1)(1)107a a a a a a +++=++++++= 且，则1250,,,a a a 中数字0的个数为 ．12.设a 是实数．若函数()|||1|f x x a x =+--是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则函数()f x 的递增区间为 ．13.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点1F ，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，点Q 在椭圆的右准线上，若1111112,()(0)||||F P F OPQ F O F Q F P F O λλ==+>则椭圆的离心率为 ． 14．函数()f x 满足1()ln 1()f x x f x +=-，且12,x x 均大于e ，12()()1f x f x +=， 则12()f x x 的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15．如图，在三棱柱ABC －A1B1C1中，AB ＝AC ＝2AA1， ∠BAA1＝∠CAA1＝60︒，D ，E 分别为AB ，A1C 中点． （1）求证：DE ∥平面BB1C1C ； （2）求证：BB1⊥平面A1BC ．16. (本小题满分14分)已知a =(1+cos α,sin α),b =(1-cos ,sin ββ),(1,0)c = ,(0,),(,2)απβππ∈∈,向量a 与c夹角为1θ，向量b 与c夹角为2θ，且1θ-2θ=6π，若ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A=βα-.求（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若ABC ∆的外接圆半径为43，试求b+c 取值范围．17.如图，海岸线θ2,=∠A MAN ，现用长为l 的栏网围成一养殖场，其中NA C MA B ∈∈,. (1)若l BC =，求养殖场面积最大值；（2）若B 、C 为定点，l BC <，在折线MBCN 内选点D ，使l DC BD =+，求四边形养殖场DBAC 的最大面积;(3)若（2）中B 、C 可选择，求四边形养殖场ACDB 面积的最大值.EA BCC1B1A1D18.（本题满分16分）给定椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>，称圆心在坐标原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C 的“伴随圆”． 若椭圆C 的一个焦点为2(2,0)F ，其短轴上的一个端点到2F 距离为3． （Ⅰ）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（Ⅱ）若过点(0,)(0)P m m <的直线l 与椭圆C 只有一个公共点，且l 截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为22，求m 的值；（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，试判断直线12,l l 的斜率之积是否为定值,并说明理由. 19. 设首项为1a 的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,q 为非零常数,已知对任意正整数,n m ,mn m m n S S q S +=+总成立.（Ⅰ）求证：数列{}n a 是等比数列；（Ⅱ）若不等的正整数,,m k h 成等差数列，试比较mhm h a a ⋅与2kk a 的大小；（Ⅲ）若不等的正整数,,m k h 成等比数列，试比较11m h mha a ⋅与2k ka 的大小.20. 已知函数()2f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意x ∈R 都有()f x x≥,且 1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令()()()10g x f x x λλ=-->. 求函数()f x 的表达式； 求函数()g x 的单调区间；（3）研究函数()g x 在区间()0,1上的零点个数。
2013年江苏省 高考数学试卷 (真题与答案解析)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．． 1．(2013江苏，1)函数π3sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为__________． 2．(2013江苏，2)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________．3．(2013江苏，3)双曲线22=1169x y -的两条渐近线的方程为__________． 4．(2013江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集．5．(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________．6．(2013江苏，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：7．(2013江苏，7)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为__________．8．(2013江苏，8)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝__________.9．(2013江苏，9)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是__________．10．(2013江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，1=2AD AB ，2=3BE BC .若12DE AB AC λλ=+(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．11．(2013江苏，11)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为__________．12．(2013江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为2222=1x y a b+(a ＞0，b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若21d =，则椭圆C 的离心率为__________．13．(2013江苏，13)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数1y x=(x ＞0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为a 的所有值为__________．14．(2013江苏，14)在正项等比数列{a n }中，512a =，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(2013江苏，15)(本小题满分14分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a－b＝c，求α，β的值．16．(2013江苏，16)(本小题满分14分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.17．(2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.18．(2013江苏，18)(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和．记2n n nS b n c=+，n ∈N *，其中c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.20．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为实数． (1)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； (2)若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．(2013江苏，21)A ．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分) 如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .B ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝ 1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A －1B .C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,2x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(2013江苏，22)(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．23．(2013江苏，23)(本小题满分10分)设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，11(1),,(1)k k k k k ----个，…，即当1122k k k k n (-)(+)<≤(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }．(1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2 000中元素的个数．。
江苏省镇江市高考数学适应性测试卷8苏教版
江苏省镇江市2013届高三高考适应性测试数学卷8一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 复数2+i i在复平面上对应的点在第 象限．2． 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ． 3． 已知集合{|5}A x x =>，集合{|}B x x a =>，若命题 “x A ∈”是命题“x B ∈”的充分不必要条件，则实 数a 的取值范围是 ．4． 如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =1，BC =2，AC =5，AA 1=3，M 为线段BB 1上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为 ．（第4题）．5． 集合2{3,log },{,},A a B a b ==若{2},AB =则AB = ．6． 阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是 ． 7． 向量(cos10,sin10),(cos70,sin70)==a b ，2-a b = ． 8． 方程lg(2)1x x +=有 个不同的实数根．9． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1≤5a ≤4，2≤6a ≤3，则6S 的取值范围是 ．10．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆：2224a x y +=的切线，切点为E ，直线FE 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为 ．11．若函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是 ． 12．如果圆22()()4x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是 ． 13．已知实数,x y满足x y ，则x y +的最大值为 ．A CB 14．当n 为正整数时，函数()N n 表示n 的最大奇因数,如(3)3,(10)5,N N ==⋅⋅⋅, 设(1)(2)(3)(4)...(21)(2)n n n S N N N N N N =+++++-+,则n S = ． 二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-. （1）求sin C ；（2）当2c a =，且b =a . 16．（本题满分14分）如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为060.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；（2）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的 位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.17．（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l ：2x =． ⑴ 求椭圆的标准方程；⑵ 设O 为坐标原点，F 是椭圆的右焦点，点M 是直线l 上的动点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ,求证:线段ON 的长为定值．18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90，AB ＝1，BC M ,N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将△AMN 沿MN 翻折，△AMN 变为△A 'MN ，使顶点A '落 在边BC 上(A '点和B 点不重合).设∠AMN ＝θ．(1) 用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； (2) 求线段A N '长度的最小值．19．（本题满分16分）已知k R ∈,函数()(01,01)x x f x m k n m n =+⋅<≠<≠.(1) 如果实数,m n 满足1,1m mn >=,函数()f x 是否具有奇偶性？如果有,求出相应的kA B CD FE值,如果没有，说明为什么?(2) 如果10,m n >>>判断函数()f x 的单调性； (3) 如果2m =，12n =，且0k ≠，求函数()y f x =的对称轴或对称中心. 20．（本题满分16分）已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝c ，2S n ＝a n a n ＋1＋r ．（1）若r ＝－6，数列{a n }能否成为等差数列？若能，求c 满足的条件；若不能，请说明理由．（2）设32111234212n n n n a a a P a a a a a a --=+++---，2242345221n n n n a a a Q a a a a a a +=+++---， 若r ＞c ＞4，求证：对于一切n ∈N *，不等式2n n n P Q n n -<-<+恒成立．附加题部分21. （选做题）本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B ．选修4—2 矩阵与变换 已知矩阵M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-， （1）求实数a 的值；（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量.C ．选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，动圆2228cos 6sin 7cos 80x y x y θθθ+--++=（q ÎR ）的 圆心为00(,)P x y ，求002x y -的取值范围.22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点(4,0)M . （1）若点F 到直线l l 的斜率；（4分）（2）设,A B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值.（6分）23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知n n x x f )1()(+=， （1）若20112011012011()f x a a x a x =+++，求2011200931a a a a ++++ 的值；（3分） （2）若)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，求)(x g 中含6x 项的系数；（3分） （3）证明：1121(1)1232m m mm m m m m m n m n m n n m C C C C C ++++-+++⎡⎤++++=⎢⎥+⎣⎦．（4分）参考答案必做题部分1. 四2. 63.5a <8. 2 9.[]12,42-10.212m ≥12.(⋃ 13. 4 14. 423n +一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 复数2+i 在复平面上对应的点在第 象限．2． 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ． 3． 已知集合{|5}A x x =>，集合{|}B x x a =>，若命题“x A ∈”是命题“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ． 4． 如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =1，BC =2，AC =5，AA 1=3， M 为线段BB 1上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积 为 ．（第4题）．5． 集合2{3,log },{,},A a B a b ==若{2},A B =则A B = ． 6． 阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是 ．7． 向量(cos10,sin10),(cos70,sin70)==a b ，2-a b = ． 8． 方程lg(2)1x x +=有 个不同的实数根．9． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1≤5a ≤4，2≤6a ≤3，则6S 的取值范围是 ．10．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆：2224a x y +=的切线，切点为E ，直线FE 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为 ． 11．若函数()2l n 2f x m x x x =+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是 ．12．如果圆22()()4x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是 ．13．已知实数,x y满足x y ，则x y +的最大值为 ． 14．当n 为正整数时，函数()N n 表示n 的最大奇因数,如(3)3,(10)5,N N ==⋅⋅⋅,设(1)(2)(3)(4)...(21)(2)n n n S N N N N N N =+++++-+,则n S = ．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-. （1）求sin C ；（2）当2c a =，且b =a . 解：（1）由已知可得2312sin 4C -=-.所以27sin 8C =. ……………… 2分因为在ABC ∆中，sin 0C >，所以sin 4C =. ………………………………4分（2）因为2c a =，所以1sin sin 2A C ==. ………………………………6分 因为ABC ∆是锐角三角形，所以cos C =，cos A =. ………………8分所以s B A=+sA=+8=8=分 由正弦定理可得：sin aA=，所以a =. …………………………………………14分说明:用余弦定理也同样给分. 16．（本题满分14分）如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；A BCDFE（2）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.16.(1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥. ……………………2分 因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，因为D E BD D ⋂=………………4分 从而AC ⊥平面BDE . ……………………6分（2）当M 是BD 的一个三等分点，即3BM ＝BD 时，AM ∥平面BEF ． …………7分 取BE 上的三等分点N ，使3BN ＝BE ，连结MN ，NF ，则DE ∥MN ，且DE ＝3MN ， 因为AF ∥DE ，且DE ＝3AF ，所以AF ∥MN ，且AF ＝MN ，故四边形AMNF 是平行四边形． ……………………………………10分 所以AM ∥FN ，因为AM ⊄平面BEF ，FN ⊂平面BEF ， …………………………………………12分 所以AM ∥平面BEF ． …………………………………………14分 17．（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l ：2x =． ⑴ 求椭圆的标准方程；⑵ 设O 为坐标原点，F 是椭圆的右焦点，点M 是直线l 上的动点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ,求证:线段ON 的长为定值．解：⑴∵椭圆C 的短轴长为2，椭圆C 的一条准线为l ：2x =，∴不妨设椭圆C 的方程为2221x y a+=．（2分）∴2212a c c c +==，（ 4分）即1c =．（5分）∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（6分） ⑵ F （1，0），右准线为l ：2x =， 设00(,)N x y ，则直线FN 的斜率为001FN y k x =-，直线ON 的斜率为00ON yk x =，（8分）∵FN ⊥OM ，∴直线OM 的斜率为001OM x k y -=-，（9分）∴直线OM 的方程为：001x y x y -=-，点M 的坐标为002(1)(2,)x M y --．（11分） ∴直线MN 的斜率为00002(1)2MN x y y k x -+=-．（12分）∵MN ⊥ON ，∴1MN ON k k ⋅=-， ∴0000002(1)12x y y yx x -+⋅=--， ∴200002(1)(2)0y x x x +-+-=，即22002x y +=．（13分）∴ON =（14分）说明:若学生用平面几何知识（圆幂定理或相似形均可）也得分，设垂足为P ，准线l 与x 轴交于Q ，则有2ON OP OM =g ，又2OP OM OF OQ ==g g，所以ON = 18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90，AB ＝1，BCM ,N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将△AMN 沿MN 翻折，△AMN 变为△A 'MN ，使顶点A '落在边BCC上(A '点和B 点不重合).设∠AMN ＝θ．(1)用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围；(2) 求线段A N '长度的最小值． 解：（1）设MA MA x '==，则1MB x =-．（2分）在Rt △MB A '中，1cos(1802)xx--θ=， （4分） ∴2111cos22sin MA x ===-θθ． （5分） ∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，A '点和B 点不重合，∴4590<θ<．（7分）（2）在△AMN 中，∠ANM ＝120θ︒-,（8分） sin sin(120)AN MA=θ-θ,（9分） 21sin 2sin sin(120)AN θ⋅θ=-θ＝12sin sin(120)θ-θ．（10分） 令12sin sin(120)2sin (sin )2t =θ-θ=θθ+θ＝2sin cos θθθ ＝1112cos 2sin(230)222θ-θ=+θ-．（13分）∵4590<θ<， ∴60230150<θ-<． （14分）当且仅当23090θ-=，60θ=时，t 有最大值32，（15分） ∴60θ=时，A N '有最小值23．（16分） 19．（本题满分16分）已知k R ∈,函数()(01,01)x x f x m k n m n =+⋅<≠<≠.(1) 如果实数,m n 满足1,1m mn >=,函数()f x 是否具有奇偶性？如果有，求出相应的k 值；如果没有，说明为什么?(2) 如果10,m n >>>判断函数()f x 的单调性；(3) 如果2m =，12n =，且0k ≠，求函数()y f x =的对称轴或对称中心.解：（1）如果()f x 为偶函数，则()(),f x f x -=x x x x m k n m k n --+⋅=+⋅恒成立，（1分）即：,x x x x n k m m k n +⋅=+⋅()()0,x x x x n m k m n -+-= ()(1)0x x n m k --=（2分） 由0x x n m -=不恒成立，得 1.k =（3分）如果()f x 为奇函数，则()(),f x f x -=-x x x x m k n m k n --+⋅=--⋅恒成立，（4分） 即：,x x x x n k m m k n +⋅=--⋅()()0,x x x x n m k m n +++=（5分）()(1)0,x x n m k ++=由0x x n m +≠恒成立，得 1.k =-（6分）（2）10,m n >>>1mn>， ∴ 当0k ≤时,显然()x x f x m k n =+⋅在R 上为增函数；（8分）当0k >时，()ln ln [()ln ln )]0x x x x mf x m m kn n m k n n n'=+=+=，由0,x n >得()ln ln 0,x m m k n n +=得ln (log ,ln x m m nk k n n m =-=-得log (log )m m nx k n =-.（9分）∴当(,log (log )]m m nx k n ∈-∞-时, ()0f x '<,()f x 为减函数; （10分）当[log (log ),)m m nx k n ∈-+∞时, ()0f x '>,()f x 为增函数. （11分）(3) 当12,2m n ==时，()22,x x f x k -=+⋅ 如果0,k <22log ()log ()()222()222222k k x x x x x x x x f x k k ------=+⋅=--⋅=-⋅=-，（13分）则2(log ())(),f k x f x --=-∴函数()y f x =有对称中心21(log (),0).2k -（14分）如果0,k >22log log ()2222222,k k x x x x x x f x k ---=+⋅=+⋅=+（15分）则2(log )(),f k x f x -= ∴函数()y f x =有对称轴21log 2x k =.（16分）20．（本题满分16分）已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝c ，2S n ＝a n a n ＋1＋r ．（1）若r ＝－6，数列{a n }能否成为等差数列？若能，求c 满足的条件；若不能，请说明理由．（2）设32111234212n n n n a a a P a a a a a a --=+++---，2242345221n n n n a a a Q a a a a a a +=+++---， 若r ＞c ＞4，求证：对于一切n ∈N *，不等式2n n n P Q n n -<-<+恒成立．解：（1）n ＝1时，2a 1＝a 1a 2＋r ，∵a 1＝c ≠0，∴2c ＝ca 2＋r ，22ra c=-． （1分）n ≥2时，2S n ＝a n a n ＋1＋r ，① 2S n －1＝a n －1a n ＋r ，②①－②，得2a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)．∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝2． （ 3分） 则a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，… 成公差为2的等差数列，a 2n －1＝a 1＋2(n －1)．a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，… 成公差为2的等差数列， a 2n ＝a 2＋2(n －1)．要使{a n }为等差数列，当且仅当a 2－a 1＝1．即21r c c--=．r ＝c －c 2． （ 4分）∵r ＝－6，∴c 2－c －6＝0，c ＝－2或3． ∵当c ＝－2，30a =，不合题意，舍去.∴当且仅当3c =时，数列{}n a 为等差数列 （5分）（2）212n n a a --＝[a 1＋2(n －1)]－[a 2＋2(n －1)]＝a 1－a 2＝rc c +－2．221n n a a +-＝[a 2＋2(n －1)]－（a 1＋2n ）＝a 2－a 1－2＝－(rc c+)． （8分）∴n P 11(1)1[2](1)222n n na n n c r r c c c c -=+⨯=+-+-+- （9分） 21(1)1[2](1)2n n n rQ na n n r r c c c c c -=-+⨯=-+-++． （10分）11(1)(1)2n n rP Q n n c n n r r c c c c c-=+-++-+-+＝2111122r c c n n r r r r c c c c c c c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎪+-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（11分）∵r ＞c ＞4，∴r c c +≥4，∴2rc c +-＞2．∴0＜111132442r r c c c c+<+=+-+＜1． （13分）且1111122rc c c c r r r r c c c c c c c c---++=+-+-++-+＞－1． （14分） 又∵r ＞c ＞4，∴1r c>，则0＜12r c c c -<+-．01rc c c <+<+．∴12c rc c-+-＜1．11c r c c +<+．∴1112c c r r c c c c -++-+-+＜1．（15分） ∴对于一切n ∈N *，不等式2n n n P Q n n -<-<+恒成立．（16分） 附加题部分21. （选做题）本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B ．选修4—2 矩阵与变换已知矩阵M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-， （1）求实数a 的值；（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量.解：（1）由221a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=40-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（2分） ∴2243a a -=-⇒=. （3分） （2）由（1）知M 2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则矩阵M 的特征多项式为 223()(2)(1)63421f λλλλλλλ--==---=---- （5分）令0)(=λf ，得矩阵M 的特征值为1-与4. （6分）当1-=λ时， (2)3002(1)0x y x y x y λλ--=⎧⇒+=⎨-+-=⎩∴矩阵M 的属于特征值1-的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦; （8分）当4λ=时， (2)302302(1)0x y x y x y λλ--=⎧⇒-=⎨-+-=⎩∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （10分）C ．选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，动圆2228cos 6sin 7cos 80x y x y θθθ+--++=（q ÎR ）的 圆心为00(,)P x y ，求002x y -的取值范围.【解】由题设得004cos , 3sin x y ì=ïïíï=ïîq q （q 为参数，Îq R ）.…………………………5分于是0028cos 3sin )x y θθθϕ-=-+， 所以002x y -. ………………………10分 22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点(4,0)M .（1）若点F 到直线ll 的斜率；（4分）（2）设,A B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值.（6分） 解：（1）由已知，4x =不合题意.设直线l 的方程为(4)y k x =-，由已知，抛物线C 的焦点坐标为(1,0)， …………………1分因为点F 到直线l=， (2)分解得2k =±，所以直线l的斜率为2±…………………4分（2）设线段AB 中点的坐标为00(,)N x y ，),(),,(2211y x B y x A ，因为AB 不垂直于x 轴，则直线MN 的斜率为004y x -，直线AB 的斜率为04x y -， 直线AB 的方程为00004()x y y x x y --=-，…………………5分联立方程000024(),4,x y y x x y y x -⎧-=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得2200000(1)(4)04x y y y y x x --++-=， …………………7分所以012044y y y x +=-， …………………8分因为N 为AB 中点，所以1202y y y +=，即00024y y x =-， …………………9分所以02x =.即线段AB 中点的横坐标为定值2. …………………10分 23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知n n x x f )1()(+=， （1）若20112011012011()f x a a x a x =+++，求2011200931a a a a ++++ 的值；（3分） （2）若)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，求)(x g 中含6x 项的系数；（3分） （3）证明：1121(1)1232mmmm m m m m m n m n m n n m C C C C C ++++-+++⎡⎤++++=⎢⎥+⎣⎦．（4分） 解：（1）因为n n x x f )1()(+=,所以20112011()(1)f x x =+,又20112011012011()f x a a x a x =+++,所以20112011012011(1)2f a a a =+++= （1）20110120102011(1)0f a a a a -=-++-= （2）（1）-（2）得：201113200920112()2a a a a ++++=所以：201013200920112011(1)2a a a a f ++++== …………………3分 （2）因为)(3)(2)()(876x f x f x f x g ++=，所以678()(1)2(1)3(1)g x x x x =+++++ )(x g 中含6x 项的系数为667812399C C +⨯+= …………………6分（Ⅲ）设11()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x ++-=++++++ (1) 则函数()h x 中含m x 项的系数为112m m m m m m n C C nC ++-+⨯++ …………………7分 12(1)()(1)2(1)(1)m m m n x h x x x n x ++++=++++++ (2) (1)-(2)得121()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x +++-+-=++++++++-+(1)[1(1)]()(1)1(1)m n m n x x xh x n x x ++-+-=-+-+ 2()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x nx x ++=+-+++()h x 中含m x 项的系数，即是等式左边含2m x +项的系数，等式右边含2m x +项的系数为21()!()!(2)!(2)!(1)!(1)!m m m n m n m n n m n C nC m n m n ++++++-+=-++-+- 1(1)(2)()!(1)12(1)!(1)12m m n n n m m n m n C m m n m ++--+++++=⨯=++-+ 所以112m m m m m m n C C nC ++-+⨯++1(2m m n m n C m ++++=+ …………………10分。
2013江苏省镇江市高考数学适应性测试卷10苏教版
江苏省镇江市2013届高三高考适应性测试数学卷10一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合{|5}A x x =>，集合{|}B x x a =>，若命题“x A ∈”是命题“x B ∈”的充分 不必要条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 答案： 5a <2．复数1z i =-（i 是虚数单位），则22z z -= ▲ ． 答案：12i -+3．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体 进行教学次数在[]15,30内的人数为 ▲ ． 答案：100解析：所抽取的20人中在[]15,30内的人数10人，故可得200名教师中使用多媒体进行教学次数在[]15,30内的人数为1020020⨯=100人。
4．如图是一个算法的流程图，则最后输出的W 的值为 ▲ ． 答案：14解析：本题考查算法流程图。
0,11,23,36,4s t s t s t s t ==→==→==→==10s →= 所以输出14w s t =+=。
5．已知n s 是等差数列{n a }的前n 项和，若2s ≥4，4s ≤16，则5a 的最大值是 ▲ ． 答案：96．用半径为210cm ，面积为π2100cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ▲ ．（第3题图）（第4题）答案：331000cm π7．若在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程22221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆的概率为 ▲ ．答案：2解析：本题考查线性规划和几何概型。
由题意知15,24,m n m n ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪>⎩画可行域如图阴影部分。
镇江市2013届高三高考适应性测试数学卷3
1 2
f (2011) =
．
x y 2 0 2 2 10.过平面区域 y 2 0 内一点 P 作圆 O : x y 1 的两条切线，切点分别为 A, B ， x y 2 0
记 APB ，则当 最小时 cos ． 11.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形” ，他们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个 数且两端的数均为
2
→ → → → （Ⅱ）当 x∈[0,π ]时，求不等式 f ( a · b )＞f ( c · d )的解集.
16．在如图的多面体中， EF ⊥平面 AEB ， AE EB , AD // EF ， EF // BC ，
BC 2 AD 4 ， EF 3 ， AE BE 2 ， G 是 BC 的中点．
1 ． k MB kMD 则 MA MC 2 1 a 13. “ a ”是“对 正实数 x ， 2 x c ”的充要条件，则实数 c 8 x
．
14. 函数 f ( x) 的定义域为 D , 若满足① f ( x) 在 D 内是单调函数 , ②存在 a, b D , 使
数学Ⅱ（附加题） 一. [选做题]在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ，每小题 10 分，共计 20 分．请在答题 ．．．．．． ．． 卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．． 1． （矩阵与变换）求矩阵 M=
1 2 的特征值及其对应的特征向量. 2 1
（x 0） ， 发现动点 M 的轨迹方程是椭圆， 其焦点恰为 A, C 两点， 所以 MA MC 2 2 13. 若 c 0, 则 a 0, 不符合题意，若 c 0, 则 a 二次函数 a 2 x 2 cx 恒成立展开讨论。 14.由于 f ( x)
江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题(WORD解析版)
2013年江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）（2013•镇江一模）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，则∁U（A∩B）={2，4，6}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先利用并集的定义，求出全集U=A∪B，再利用交集的定义求出A∩B，再利用补集的定义求得集合∁U（A∩B）．解答：解：∵集合A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，∴A∩B={1，3，5}，又全集U={1，2，3，4，5，6}，∴集合∁U（A∩B）={2，4，6}，故答案为：{2，4，6}．点评：本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集、并集的定义和求法，属于基础题．2．（5分）（2013•镇江一模）若实数a满足，其中i是虚数单位，则a=2．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由条件可得2+ai=2i（1﹣i），再利用两个复数相等的充要条件，求得a的值．解答：解：∵实数a满足，∴2+ai=2i（1﹣i），∴2+ai=2+2i，解得a=2，故答案为2．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相等的充要条件，属于基础题．3．（5分）（2013•镇江一模）已知m为实数，直线l1：mx+y+3=0，l2：（3m﹣2）x+my+2=0，则“m=1”是“l1∥l2”的充分不必要条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空）．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：把m=1代入可判l1∥l2”成立，而“l1∥l2”成立可推出m=1，或m=2，由充要条件的定义可得答案．解答：解：当m=1时，方程可化为l1：x+y+3=0，l2：x+y+2=0，显然有“l1∥l2”成立；而若满足“l1∥l2”成立，则必有，解得m=1，或m=2，不能推出m=1，故“m=1”是“l1∥l2”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要点评：本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，属基础题．4．（5分）（2013•镇江一模）根据如图的伪代码，输出的结果T为100．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件T=1+3+5+7+…+19时，T的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件T=1+3+5+7+…+19值．∵T=1+3+5+7+…+19==100，故输出的T值为100．故答案为：100．点评：本题主要考查了循环结构，该题是当型循环结构，解题的关键是弄清推出循环的条件，属于基础题．5．（5分）（2013•镇江一模）已知l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β=m，且l∥m，则l∥α．其中真命题的序号是②．（填上你认为正确的所有命题的序号）考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：对于①，根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α；对于②，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个；对于③，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α；对于④，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α解答：解：对于①，若l⊂β，且α⊥β，则根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α，所以①错；对于②，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个，即若l⊥β，α∥β，l⊥α；②正确对于③，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α，所以③错对于④，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α，所以④错故答案为②点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题．6．（5分）（2013•镇江一模）正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3，把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字恰好是2，0，1，3，0，3的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：由题意可知：两个四面体有一个1朝下，另一个2朝下，且那个面朝下是独立的，分别可得概率为，由概率的乘法的公式可得答案．解答：解：由题意可知：两个四面体有一个1朝下，另一个2朝下，可知每个四面体1朝下的概率为，2朝下的概率也为，故所求事件的概率为：P=×=故答案为：点评：本题考查古典概型及概率的计算公式，涉及独立事件的概率，属基础题．7．（5分）（2013•镇江一模）已知，则cos（30°﹣2α）的值为．考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式求得sin（15°﹣α）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α），运算求得结果．解答：解：∵已知，∴sin（15°﹣α）=，则cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=，故答案为．点评：本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．8．（5分）（2012•黑龙江）已知向量夹角为45°，且，则=3．考点：平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；压轴题．分析：由已知可得，=，代入|2|====可求解答：解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3点评：本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法9．（5分）（2013•镇江一模）已知S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，且=，（n∈N+）则+=．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：由等差数列的性质，知+==，由此能够求出结果．解答：解：∵S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，且=，（n∈N+），∴+====．故答案为：．点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．10．（5分）（2013•镇江一模）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为+1．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据A是正三角形MF1F2的边MF1的中点，得到△AF1F2是直角三角形，设F1F2=2c，可得AF1=c，AF2=c，最后根据双曲线的定义，得2a=|AF1﹣AF2|=（﹣1）c，利用双曲线的离心率的公式，可得该双曲线的离心率．解答：解：设双曲线的方程为=1（a＞0，b＞0），∵线段F1F2为边作正三角形△MF1F2∴MF1=F1F2=2c，（c是双曲线的半焦距）又∵MF1的中点A在双曲线上，∴Rt△AF1F2中，AF1=c，AF2==c，根据双曲线的定义，得2a=|AF1﹣AF2|=（﹣1）c，∴双曲线的离心率e===+1．故答案为：+1．点评：本题给出以双曲线的焦距为边长的等边三角形，其一边中点在双曲线上，求该双曲线的离心率，着重考查了双曲线的定义与简单几何性质，属于基础题．11．（5分）（2013•镇江一模）在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），函数y=e x的图象与y轴的交点为B，P为函数y=e x图象上的任意一点，则的最小值1．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得向量的坐标，进而可得=﹣x0+，构造函数g（x）=﹣x+e x，通过求导数可得其极值，进而可得函数的最小值，进而可得答案．解答：解：由题意可知A（1，0），B（0，1），故=（0，1）﹣（1，0）=（﹣1，1），设P（x0，），所以=（x0，），故=﹣x0+，构造函数g（x）=﹣x+e x，则g′（x）=﹣1+e x，令其等于0可得x=0，且当x＜0时，g′（x）＜0，当x＞0时，g′（x）＞0，故函数g（x）在x=0处取到极小值，故g min（x）=g（0）=1，故的最小值为：1故答案为：1点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及导数法求函数的最值，属中档题．12．（5分）（2013•镇江一模）若对于给定的正实数k，函数的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k的取值范围是（0，）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据题意得：以C为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，2为半径的圆有两个交点，即C到原点距离小于3，即f（x）的图象上离原点最近的点到原点的距离小于3，设出C坐标，利用两点间的距离公式表示出C到原点的距离，利用基本不等式求出距离的最小值，让最小值小于3列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．解答：解：根据题意得：|OC|＜1+2=3，设C（x，），∵|OC|=≥，∴＜3，即k＜，则k的范围为（0，）．故答案为：（0，）点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆与圆位置关系的判定，基本不等式的运用，以及两点间的距离公式，解题的关键是根据题意得出以C为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，2为半径的圆有两个交点，即C到原点距离小于3．13．（5分）（2013•镇江一模）已知函数，则=8．考点：函数的值．专题：计算题．分析：探究得到结论f（x）+f（﹣5﹣x）=8，利用之即可求得答案．解答：解：∵f（x）=+++，∴f（﹣5﹣x）=+++=+++，∴f（x）+f（﹣5﹣x）=[（+）+（+）+（+）+（+）]=8．∵﹣++（﹣﹣）=﹣5，∴f（﹣+）+f（﹣﹣）=8．故答案为：8．点评：本题考查函数的值，突出考查观察能力与运算能力，属于中档题．14．（5分）（2013•镇江一模）设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为．考点：三角形的形状判断；函数的值．专题：计算题．分析：不妨设c为直角边，则M＜a＜c，M＜b＜c，则可得ab＞M2，结合题意可得，结合a2+b2≥2ab可求c的范围，进而可求M的范围，即可求解解答：解：不妨设c为直角边，则M＜a＜c，M＜b＜c∴ab＞M2由题意可得，∴∵a2+b2≥2ab＞2c∴c2＞2c即c＞2∴ab＞2∴M2≥2∴故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式，三角形的性质的综合应用，试题具有一定的技巧性．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）（2013•镇江一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若=﹣，b=，求a+c的值；（2）求2sinA﹣sinC的取值范围．考点：余弦定理的应用；数列的应用；向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：（1）通过A，B，C成等差数列，求得B的值，通过已知的向量积求得ac的值，代入余弦定理即可求出a+c．（2）通过两角和公式对2sinA﹣sinC，再根据C的范围和余弦函数的单调性求出2sinA﹣sinC 的取值范围．解答：解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴B=．∵•=﹣，∴accos（π﹣B）=﹣，∴ac=，即ac=3．∵b=，b2=a2+c2﹣2accosB，∴a2+c2﹣ac=3，即（a+c）2﹣3ac=3．∴（a+c）2=12，所以a+c=2．（2）2sinA﹣sinC=2sin（﹣C）﹣sinC=2（cosC+sinC）﹣sinC=cosC．∵0＜C＜，∴cosC∈（﹣，）．∴2sinA﹣sinC的取值范围是（﹣，）．点评：本题主要考查了余弦定理的应用．解决本题的关键就是充分利用了余弦定理的性质．16．（14分）（2013•镇江一模）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，已知E，F，G分别为棱AB，AC，A1C1的中点，∠ACB=90°，A1F⊥平面ABC，CH⊥BG，H为垂足．求证：（1）A1E∥平面GBC；（2）BG⊥平面ACH．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理和性质定理即可得到EF∥BC，A1F∥GC．再利用面面平行的判定定理即可证明平面A1FE∥平面GBC，利用面面平行的性质定理即可证明；（2）利用线面垂直的性质定理可得GC⊥AC，从而可证AC⊥平面GBC，于是得到AC⊥BG，利用线面垂直的判定定理即可证明．解答：证明：（1）连接A1E．∵E，F分别为棱AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，F，G分别为棱AC，A1C1的中点，∴，∴四边形A1FCG是平行四边形，∴A1F∥GC．好又∵A1F∩FE=F，GC∩CB=C，∴平面A1FE∥平面GBC，∴A1E∥平面GBC；（2））∵A1F⊥平面ABC，A1F∥GC，∴GC⊥平面ABC，∴GC⊥AC，∵∠ACB=90°，∴AC⊥CB．又CG∩AC=C，∴AC⊥平面BCG，∴AC⊥BG，又∵CH⊥BG，AC∩CH=C．∴BG⊥平面ACH．点评：熟练掌握用三角形的中位线定理和平行四边形的判定和性质定理、面面平行的判定和性质定理、线面垂直的性质和判定定理是解题的关键．17．（14分）（2013•镇江一模）已知实数a，b，c∈R，函数f（x）=ax3+bx2+cx满足f（1）=0，设f （x）的导函数为f′（x），满足f′（0）f′（1）＞0．（1）求的取值范围；（2）设a为常数，且a＞0，已知函数f（x）的两个极值点为x1，x2，A（x1，f（x1）），B（x2，f （x2）），求证：直线AB的斜率．考点：函数在某点取得极值的条件；导数的运算；直线的斜率．专题：转化思想；导数的综合应用．分析：（1）由f（1）=0得a+b+c=0，∴b=﹣（a+c），求导数f′（x），把f′（0）f′（1）＞0表示为关于a，c的不等式，进而化为关于的二次不等式即可求得的取值范围；（2）令f′（x）=3ax2+2bx+c=0，则，x1x2=，把韦达定理代入k=可得关于a，b，c的表达式，令t=，k可化为关于t的二次函数式，借助（1）问t的范围即可求得k的范围；解答：解：（1）∵f（1）=a+b+c=0，∴b=﹣（a+c），∵f′（x）=3ax2+2bx+c，∴f′（0）=c，f′（1）=3a+2b+c，∴f′（0）f′（1）=c（3a+2b+c）=c（a﹣c）=ac﹣c2＞0，∴a≠0，c≠0，∴＞0，所以0＜1．（2）令f′（x）=3ax2+2bx+c=0，则，x1x2=，∴k====a（）+b（x2+x1）+c=a[]+b（x2+x1）+c=a（﹣）+b（﹣）+c=a[（﹣）+（﹣）+]=（﹣+），令t=，由b=﹣（a+c）得，=﹣1﹣t，t∈（0，1），则k=[﹣（1+t）2+3t]=（﹣t2+t﹣1），∵a＞0，﹣t2+t﹣1∈（﹣1，﹣]，∴k∈（﹣，﹣]．点评：本题考查函数在某点取得极值的条件、导数运算及直线斜率，考查转化思想，解决（2）问关键是通过换元转化为关于t的二次函数，从而可利用二次函数性质解决．18．（16分）（2013•镇江一模）某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O，半径为R （米）的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托，，，所在圆的圆心都是O、半径都是R（米）、圆弧的圆心角都是θ（弧度）；灯杆EF垂直于地面，杆顶E 到地面的距离为h（米），且h＞R；灯脚FA1，FB1，FC1，FD1是正四棱锥F﹣A1B1C1D1的四条侧棱，正方形A1B1C1D1的外接圆半径为R（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ（弧度）．已知灯杆、灯脚的造价都是每米a（元），灯托造价是每米（元），其中R，h，a都为常数．设该灯架的总造价为y（元）．（1）求y关于θ的函数关系式；（2）当θ取何值时，y取得最小值？考点：函数模型的选择与应用；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意把4根灯脚及灯架写成是关于θ的表达式，运用弧长公式把4根灯托也用θ表示，然后乘以各自的造价作和即可得到y关于θ的函数关系式；（2）对（1）求出的函数式进行求导计算，分析得到当θ=时函数取得极小值，也就是最小值．解答：解：如图，（1）延长EF与地面交于O1，由题意知：∠A1FO1=θ，且，从而EF=h﹣，，则，．（2），设，令==．得：1﹣2cosθ=0，所以．当θ∈时，f′（θ）＜0．当θ∈时，f′（θ）＞0．设，其中，∴．∴，∴时，y最小．答：当时，灯架造价取得最小值．点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了利用导数求函数的最值，解答此题时要注意实际问题要注明符合实际意义的定义域，此题是中档题．19．（16分）（2013•镇江一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，圆x2+y2=4上有一动点P，P在x轴的上方，C（1，0），直线PA交椭圆E于点D，连结DC，PB．（1）若∠ADC=90°，求△ADC的面积S；（2）设直线PB，DC的斜率存在且分别为k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设D（x，y），利用勾股定理和两点间的距离公式即可关于x，y的方程，与椭圆的方程联立即可解得点D的坐标，利用S△ADC=即可得出；（2）设P（x0，y0），得到直线PA的方程，与椭圆的方程联立及利用点P在圆上即可表示出直线PB、DC的斜率，利用k1=λk2，及反比例函数的单调性即可得出．解答：解：（1）设D（x，y），∵∠ADC=90°，∴AD2+DC2=AC2，∴（x+2）2+y2+（x﹣1）2+y2=9，化为x2+y2+x﹣2=0 ①．∵点D在椭圆E上，∴②．联立①②得，消去y得3x2+4x﹣4=0，又﹣2＜x＜2，解得．代入椭圆方程解得．∴S△ADC==．（2）设P（x0，y0），则直线PA的方程为，代入椭圆的方程得到，∵，∴，化为．此方程有一个实数根﹣2，设D（x1，y1），则，代入直线PA的方程得，∴，=．∵k1=λk2，∴==，∵﹣2＜x0＜2，，∴λ的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，3）．点评：熟练掌握圆锥曲线的定义、方程及其性质、勾股定理、两点间的距离公式、斜率公式、直线与圆锥曲线的相交问题转化为方程组、一元二次方程的根与系数的关系、反比例函数的单调性是解题的关键．20．（16分）（2013•镇江一模）设数列{a n}的各项均为正数，其前n项的和为S n，对于任意正整数m，n，恒成立．（1）若a1=1，求a2，a3，a4及数列{a n}的通项公式；（2）若a4=a2（a1+a2+1），求证：数列{a n}成等比数列．考点：等比关系的确定；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由给出的递推式分别取m=1，m=2得到两个关系式，两式作比后可以证明数列{1+S n}是一个等比数列，由等比数列的通项公式得到S n的表达式，模仿该式再写一个关系式，两式作差后进一步得到一个关于a2和S2的关系式，然后把a1代入即可求得a2的值，在分别取m=1，n=2；m=2，n=1代入原递推式，得到关于a3，a4的方程后可求解a3，a4则数列{a n}的通项公式可求；（2）在（1）的基础上，取m=n=2得关系式，结合m=1，n=2得到的关系式可求出q==2．最后结合题目给出的条件，a4=a2（a1+a2+1）证出数列{a n}成等比数列．解答：解（1）由得．令m=1，得①令m=2，得②②÷①得：（n∈N*）．记，则数列{1+S n} （n≥2，n∈N*）是公比为q的等比数列．∴（n≥2，n∈N*）③．n≥3时，④．③﹣④得，（n≥3，n∈N*）．在中，令m=n=1，得．∴．则1+S2=2a2，∴a2=1+a1．∵a1=1，∴a2=2．在中，令m=1，n=2，得．则⑤在中，令m=2，n=1，得则⑥．由⑤，⑥，解得a3=4，a4=8．则q=2，由（n≥3，n∈N*），得：∵a1=1，a2=2也适合上式，∴．（2）在中，令m=2，n=2，得则1+S4=2a4，∴1+S3=a4．在中，令m=1，n=2，得．则，∴．则a4=4a2，∴．代入（n≥3，n∈N*），得（n≥3，n∈N*）．由条件a4=a2（a1+a2+1），得a1+a2+1=4．∵a2=a1+1，a1=1，∴a2=2．则∵a1=1，a2=2上式也成立，∴（n∈N*）．故数列{a n}成等比数列．点评：本题考查了等比关系的确定，考查了等差数列和等比数列的综合，训练了学生的灵活变形能力和对繁杂问题的计算能力，属中高档题．三．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（2013•镇江一模）（选修4﹣1几何证明选讲）如图，已知CB是⊙O的一条弦，A是⊙O上任意一点，过点A作⊙O的切线交直线CB于点P，D为⊙O 上一点，且∠ABD=∠ABP．求证：AB2=BP•BD．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题．分析：利用弦切角定理可得∠PAB=∠ADB，又∠ABD=∠ABP，可得△ABP∽△DBA，利用相似三角形得出性质即可得出．解答：解：∵AP是⊙O的切线，∴由弦切角定理可得∠PAB=∠ADB，又∵∠ABP=∠DBA，∴△ABP∽△DBA，∴，∴AB2=BP•BD．点评：熟练掌握弦切角定理化为相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．（2013•镇江一模）（选修4﹣2：矩阵与变换）已知矩阵A=的一个特征值为λ1=﹣1，其对应的一个特征向量为，已知，求A5β．考点：特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换．专题：计算题．分析：利用特征值、特征向量的定义，构建方程组，由此可求矩阵A．再求矩阵A的特征多项式，从而求得特征值与特征向量，利用矩阵A的特征值与特征向量，进而可求A5β．解答：解：依题意：Aα1=﹣α1，…（4分）即=﹣，∴，∴…（8分）A的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）λ﹣2=λ2﹣λ﹣2=0，则λ=﹣1或λ=2．λ=2时，特征方程，属于特征值λ=2的一个特征向量为，∵=﹣2+3，∴A5β=﹣2×（﹣1）5+3×25=．点评：本题考查待定系数法求矩阵，考查特征值与特征向量，理解特征值、特征向量的定义是关键．23．（2013•镇江一模）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知直线l的参数方程（t为参数），圆C的极坐标方程：ρ+2sinθ=0．（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）在圆C上求一点P，使得点P到直线l的距离最小．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）将直线l的参数方程的参数t消去即可求出直线的普通方程，利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C任意点P的坐标为（cosθ，﹣1+sinθ），利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值，并求出此时θ的度数，即可确定出所求点P的坐标．解答：解：（1）消去参数t，得直线l的普通方程为y=﹣x+1+2，ρ+2sinθ=0，两边同乘以ρ得ρ2+2ρsinθ=0，得⊙C的直角坐标方程为x2+（y+1）2=1；（2）设所求的点为P（cosθ，﹣1+sinθ），则P到直线l的距离d===，当θ=+2kπ，k∈Z，sin（θ+）=1，d取得最小值，此时点P的坐标为（，﹣）．点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及直线的参数方程和直线与圆的位置关系的判定，属于基础题．24．（2013•镇江一模）（选修4﹣5：不等式选讲）已知a，b，c都是正数，且a+2b+3c=6，求的最大值．考点：一般形式的柯西不等式；平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用柯西不等式，结合a+2b+3c=6，即可求得的最大值．解答：解：由柯西不等式可得（）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×9∴≤3，当且仅当时取等号．∴的最大值是3故最大值为3．点评：本题考查最值问题，考查柯西不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．四、[必做题]每小题0分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内．25．（2013•镇江一模）如图，圆锥的高PO=4，底面半径OB=2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE．（1）求异面直线EF与BD所成角的余弦值；（2）求二面角O﹣DF﹣E的正弦值．考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用⇔=0，又=2，即可解得点F的坐标．利用异面直线EF与BD的方向向量的夹角即可得出所成角（锐角）的余弦值；（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．解答：解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），B（0，2，0），D（0，0，2），E（0，1，2），P（0，0，4），F（x，y，0）．∴，，．∵，∴=y﹣1=0，解得y=1．又∵=2，，取x＞0，把y=1代入解得x=，∴，∴．==．∴异面直线EF与BD所成角（锐角）的余弦值为；（2）设平面DEF的法向量为，则得，令x1=2，则，y1=0，∴．设平面ODF的法向量为=（x2，y2，z2），则，得，令x2=1，则，z2=0．∴．∴===．∴sinθ==．∴二面角O﹣DF﹣E的正弦值为．点评：熟练掌握通过建立如图所示的空间直角坐标系、利用异面直线的方向向量的夹角求得异面直线所成角、利用两个平面的法向量的夹角得出二面角、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．26．（2013•镇江一模）（1）山水城市镇江有“三山”﹣﹣金山、焦山、北固山，一位游客游览这三个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这三个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望；（2）某城市有n（n为奇数，n≥3）个景点，一位游客游览每个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这n个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题；概率与统计．分析：（1）游客游览景点个数为0，1，2，3，ξ可能取值为：1，3，ξ=1表示游览一个景点或游览两个景点，ξ=3表示游览景点数为0或游览了三个景点，根据n次独立重复试验中事件发生k的概率公式即可求得P（ξ=1），P（ξ=3），进而得到分布列和期望；（2）当n=2k+1，k∈N*时，游客游览景点个数可能为：0，1，2，…，2k+1，则ξ可能取值为：1，3，5，…，2k+1．根据独立重复试验中事件A发生k次的概率计算公式求出ξ取各值是的概率，表示出Eξ=（2k+1﹣0）×2×+[（2k+1﹣1）﹣1]×2×+[（2k+1﹣2）﹣2]×2×+…+[2k+1﹣k）﹣k]×2×，分组后利用性质=n（i=1，2，3，…，n）对上式即可进行化简，最后再换为n即可；解答：解：（1）游客游览景点个数为0，1，2，3，ξ可能取值为：1，3，P（ξ=1）=+=2=，P（ξ=3）=+=2=，ξ的分布列为：所以Eξ=1×+3×=．（2）当n=2k+1，k∈N*时，游客游览景点个数可能为：0，1，2，…，2k+1，ξ可能取值为：1，3，5，…，2k+1．P（ξ=1）=+=2×；P（ξ=3）=+=；…P（ξ=2k+1）=+=2×，∴ξ的分布列为：∴Eξ=（2k+1﹣0）×2×+[（2k+1﹣1）﹣1]×2×+[（2k+1﹣2）﹣2]×2×+…+[2k+1﹣k）﹣k]×2×=2×{[（2k+1）+2k+（2k﹣1）+…+（2k+1﹣k）]﹣[（0×+1+2×+…+]}=2×{[（2k+1）×+2k×+（2k﹣1）×+…+（k+1）]﹣[0×+1×+…+]}，∵=n（i=1，2，3，…，n），Eξ=2×{（2k+1）×[]﹣（2k+1）×[]}=2××（2k+1）×[（）﹣（+）]=2××（2k+1）×=．答：ξ的数学期望Eξ为．点评：本题考查离散型随机变量的分布列、期望，考查n次独立重复试验中事件A发生k的概率计算公式，考查组合数性质应用，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，本题综合性强，能力要求高，属难题．。
镇江数学卷小
2013届高三调研测试试卷(镇江)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2013．01一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合M ＝{1，2，3，4，5}，N ＝{2，4，6，8，10}，则M ∩N ＝____________．2. 已知向量a ＝(1－2x ，2)，b ＝(2，－1)，若a ⊥b ，则实数x ＝________．3. 直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m)y －1＝0平行，则实数m ＝__________．4. 方程xlg(x ＋2)＝1有________个不同的实数根．5. 已知ω＞0，函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωπx ＋π4的周期比振幅小1，则ω＝________． 6. 在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝2∶3∶4，则cosC ＝__________．7. 在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q 为__________．8. 观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n （n ＋1）×12n ＝____________． 9. 圆心在抛物线x 2＝2y 上，并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为________________．10. 在菱形ABCD 中，AB ＝23，∠B ＝2π3，BC →＝3BE →，DA →＝3DF →，则EF →·AC →＝__________．11. 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线离心率的最大值为____________．12. 从直线3x ＋4y ＋8＝0上一点P 向圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0引切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则四边形PACB 的周长最小值为____________．13. 每年的1月1日是元旦节，7月1日是建党节，而2013年的春节是2月10日，祝同学们新年梦想成真！因为2sin11°sin71°sin[(________)°＋30°]＝sin2 013°sin210°，新年将注定不平凡，请在括号内填写一个由月份和日期构成的正整数，使得等式成立，也正好组成我国另外一个重要节日．14. 已知x 、y 为正数，则x 2x ＋y ＋y x ＋2y的最大值为____________． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知p ：1＜2x ＜8；q ：不等式x 2－mx ＋4≥0恒成立，若p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围．16. (本小题满分14分)已知△ABC 的面积为S ，且AB →·AC →＝S.(1) 求tan2A 的值；(2) 若B ＝π4，|CB →－CA →|＝3，求△ABC 的面积S.已知a＞0，函数f(x)＝ax3－bx(x∈R)图象上相异两点A、B处的切线分别为l1、l2，且l1∥l2.(1) 判断函数f(x)的奇偶性，并判断A、B是否关于原点对称；(2) 若直线l1、l2都与AB垂直，求实数b的取值范围．一位幼儿园老师给班上k(k ≥3)个小朋友分糖果．她发现糖果盒中原有糖果数为a 0，就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的12分给第一个小朋友；再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的13分给第二个小朋友；…，以后她总是在分给一个小朋友后，就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的1n ＋1分给第n(n ＝1，2，3，…，k)个小朋友．如果设分给第n 个小朋友后(未加入2块糖果前)盒内剩下的糖果数为a n .(1) 当k ＝3，a 0＝12时，分别求a 1，a 2，a 3；(2) 请用a n －1表示a n ；令b n ＝(n ＋1)a n ，求数列{b n }的通项公式；(3) 是否存在正整数k(k ≥3)和非负整数a 0，使得数列{a n }(n ≤k)成等差数列？如果存在，请求出所有的k 和a 0；如果不存在，请说明理由．已知椭圆O的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点A(2，0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为32.不过A点的动直线y＝12x＋m交椭圆O于P、Q两点．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 证明P、Q两点的横坐标的平方和为定值；(3) 过点A、P、Q的动圆记为圆C，动圆C过不同于A的定点，请求出该定点坐标．20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝x2x2－x＋1，对一切正整数n，数列{a n}定义如下：a1＝12，且a n＋1＝f(a n)，前n项和为S n.(1) 求函数f(x)的单调区间，并求值域；(2) 求证：{x|f(x)＝x}＝{x|f(f(x))＝x}；(3) 对一切正整数n，求证：① a n＋1＜a n；② S n＜12013届高三调研测试试卷(八)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4-1：几何证明选讲(本小题满分10分)如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F.求证：△PDF ∽△POC.B. 选修4-2：矩阵与变换(本小题满分10分)求曲线C ：xy ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 22 22－22 22对应的变换下得到的曲线C′的方程．C. 选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分) 求圆ρ＝3cos θ被直线(t 是参数)截得的弦长．D. 选修4-5：不等式选讲(本小题满分10分)设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＋a.(1) 当a＝－5时，求函数f(x)的定义域；(2) 若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知斜率为1的直线与抛物线y2＝2x交于不同两点A、B，求线段AB中点M的轨迹方程．23. 已知函数f(x)＝ln(2－x)＋ax在区间(0，1)上是增函数．(1) 求实数a的取值范围；(2) 若数列{a n}满足a1∈(0，1)，a n＋1＝ln(2－a n)＋a n，n∈N*，求证：0＜a n＜a n＋1＜1.2013届高三调研测试试卷(八)(镇江)数学参考答案及评分标准1. {2，4}2. 03. 234. 25. 16. －147. 38. 1 － 1（n ＋1）·2n9. (x±1)2＋(y-12)2=1 10. －12 11. 53 12. 42＋2 13. 101 14. 2315. 解：p ：1＜2x ＜8，即0＜x ＜3，(3分) ∵p 是q 的必要条件，∴ p 是q 的充分条件，(5分)∴ 不等式x 2－mx ＋4≥0对x ∈(0，3)恒成立，(7分)∴ m ≤x 2＋4x ＝x ＋4x 对x ∈(0，3)恒成立．(10分) ∵ x ＋4x ≥2x·4x＝4，当且仅当x ＝2时，等号成立．(13分) ∴ m ≤4.(14分)16. 解：(1) 设△ABC 的角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c.∵ AB →·AC →＝S ，∴ bccosA ＝12bcsinA ，(2分) ∴ cosA ＝12sinA ，∴ tanA ＝2.(4分) ∴ tan2A ＝2tanA 1－tan 2A＝－43.(5分) (2) |CB →－CA →|＝3，即|AB →|＝c ＝3，(6分)∵ tanA ＝2，0＜A ＜π2，(7分) ∴ sinA ＝255，cosA ＝55.(9分) ∴ sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝255·22＋55·22＝31010.(11分) 由正弦定理知：c sinC ＝b sinB b ＝c sinC·sinB ＝5，(13分) S ＝12bcsinA ＝125×3×255＝3.(14分) 17. 解：(1) ∵ f(－x)＝a(－x)3－b(－x)＝－(ax 3－bx)＝－f(x)，(2分) ∴ f(x)为奇函数．(3分)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)且x 1≠x 2，又f′(x)＝3ax 2－b ，(5分) ∵ f(x)在两个相异点A 、B 处的切线分别为l 1、l 2，且l 1∥l 2，∴ k 1＝f′(x 1)＝3ax 21－b ＝k 2＝f′(x 2)＝3ax 22－b(a ＞0)，∴ x 21＝x 22.又x 1≠x 2，∴ x 1＝－x 2，(6分)又f(x)为奇函数，∴ 点A 、B 关于原点对称．(7分)(2) 由(1)知A(x 1，y 1)，B(－x 1，－y 1)，∴ k AB ＝y 1x 1＝ax 21－b.(8分) 又f(x)在A 处的切线的斜率k ＝f′(x 1)＝3ax 21－b ，∵ 直线l 1、l 2都与AB 垂直，∴ k AB ·k ＝－1，(ax 21－b)·(3ax 21－b)＝－1.(9分)令t ＝ax 21≥0，即方程3t 2－4bt ＋b 2＋1＝0有非负实根，(10分)∴ Δ≥0b 2≥3.又t 1t 2＝b 2＋13＞0，∴ 4b 3＞0b ＞0.综上b ≥ 3.(14分) 18. 解：(1) 当k ＝3，a 0＝12时，a 1＝(a 0＋2)－12(a 0＋2)＝7， a 2＝(a 1＋2)－13(a 1＋2)＝6，a 3＝(a 2＋2)－14(a 2＋2)＝6.(3分) (2) 由题意知：a n ＝(a n －1＋2)－1n ＋1(a n －1＋2)＝n n ＋1(a n －1＋2)，(6分) 即(n ＋1)a n ＝n(a n －1＋2)＝na n －1＋2n.∵ b n ＝(n ＋1)a n ，∴ b n －b n －1＝2n ，(7分) ∴ b n －b n －1＝2n ，b n －1－b n －2＝2n －2，b 1－b 0＝2.累加得b n －b 0＝（2＋2n ）2n ＝n(n ＋1)．(9分) 又b 0＝a 0，∴ b n ＝n(n ＋1)＋a 0.(10分)(3) 由b n ＝n(n ＋1)＋a 0，得a n ＝n ＋a 0n ＋1，(12分) 若存在正整数k(k ≥3)和非负整数a 0，使得数列{a n }(n ≤k)成等差数列， 则a 1＋a 3＝2a 2，(14分)即⎝⎛⎭⎫1＋12a 0＋3＋a 04＝2⎝⎛⎭⎫2＋a 03a 0＝0，(15分) 当a 0＝0时，a n ＝n ，对任意正整数k(k ≥3)，有{a n }(n ≤k)成等差数列．(16分)[注：如果验证a 0，a 1，a 2不能成等差数列，不扣分]19. (1) 解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得a ＝2，e ＝32.(2分) ∴ c ＝3，b ＝1，(2分)∴ 椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(4分) (2) 证明：设点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将y ＝12x ＋m 带入椭圆，化简得x 2＋2mx ＋2(m 2－1)＝0，① ∴ x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2(m 2－1)，(6分)∴ x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4，∴ P 、Q 两点的横坐标的平方和为定值4.(7分)(3) 解：解法1：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2PQ 中点M ⎝⎛⎭⎫－m ，m 2，PQ 的垂直平分线的方程为y ＝－2x －32m ，(8分) 圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2满足y ＝－2x －32m ，所以－E 2＝D －32m ，②(9分) 圆过定点(2，0)，所以4＋2D ＋F ＝0，③(10分)圆过P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＋Dx 1＋Ey 1＋F ＝0，x 22＋y 22＋Dx 2＋Ey 2＋F ＝0，两式相加得 x 21＋x 22＋y 21＋y 22＋Dx 1＋Dx 2＋Ey 1＋Ey 2＋2F ＝0，x 21＋x 22＋⎝⎛⎭⎫1－x 214＋⎝⎛⎭⎫1－x 224＋D(x 1＋x 2)＋E(y 1＋y 2)＋2F ＝0，(11分)∵ y 1＋y 2＝m ，∴ 5－2mD ＋mE ＋2F ＝0. ④(12分)∵ 动直线y ＝12x ＋m 与椭圆C 交于P 、Q(均不与A 点重合)，∴ m ≠－1. 由②③④解得D ＝3（m －1）4，E ＝32m ＋32，F ＝－32m －52，(13分) 代入圆的方程为x 2＋y 2＋3（m －1）4x ＋⎝⎛⎭⎫32m ＋32y －32m －52＝0， 整理得⎝⎛⎭⎫x 2＋y 2－34x ＋32y －52＋m ⎝⎛⎭⎫34x ＋32y －32＝0，(14分) ∴ ⎩⎨⎧x 2＋y 2－34x ＋32y －52＝0，34x ＋32y －32＝0，(15分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.(舍) ∴ 圆过定点(0，1)．(16分)解法2：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将y ＝12x ＋m 代入的圆的方程： 54x 2＋⎝⎛⎭⎫m ＋D ＋E 2x ＋m 2＋mE ＋F ＝0. ⑤(8分) 方程①与方程⑤为同解方程.154＝2m m ＋D ＋E 2＝2（m 2－1）m 2＋mE ＋F ，(11分) 圆过定点(2，0)，∴ 4＋2D ＋F ＝0.(12分)∵ 动直线y ＝12x ＋m 与椭圆C 交于P 、Q(均不与A 点重合)，∴ m ≠－1. 解得D ＝3（m －1）4，E ＝32m ＋32，F ＝－32m －52.(13分) (以下相同)20. (1) 解：定义域x ∈R ，f ′(x)＝2x （x 2－x ＋1）－x 2（2x －1）（x 2－x ＋1）2＝－x 2＋2x （x 2－x ＋1）2，(1分) f ′(x)＞00＜x ＜2，f′(x)＜0x ＜0或x ＞2.(2分)函数f(x)的单调增区间为(0，2)，单调减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(3分)解法1：f(0)＝0，f(2)＝43，当x →∞时，f(x)＝11－1x＋⎝⎛⎭⎫1x 2→1，(4分) x ∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，f(x)∈[0，1)；当x ∈[0，＋∞)时，f(x)∈⎣⎡⎦⎤0，43；函数f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤0，43.(5分) 解法2：当x ＝0时，f(0)＝0，当x ≠0时，f(x)＝11－1x ＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝1⎝⎛⎭⎫1x －122＋34≤43， 且f(x)＞0，f(2)＝43，∴ 函数f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤0，43.(5分) 解法3：判别式法(略)(2) 证明：设A ＝{x|f(x)＝x}，B ＝{x|f(f(x))＝x}，设x 0∈A ，则f(f(x 0))＝f(x 0)＝x 0，则x 0∈B ，∴ A B.(6分)当x ≥0时，∵ (x －1)2≥0x x 2－x ＋1≤1x 2x 2－x ＋1≤x f(x)≤x 恒成立．当且仅当x ＝0、1时，f(x)＝x.(7分)令t ＝f(x)，当且仅当x ＝1时，t ＝f(x)＝1.当x ＜0时，由(1)f(f(x))＝f(t)＞0，∴ 当x ＜0时，f(f(x))＝x 无解．(8分)当0＜x ≠1时，∵ f(f(x))＝f(t)＜t ＝f(x)＜x ，∴ 当0＜x ≠1时，f(f(x))＝x 无解．(9分)综上，除x ＝0，1外，方程f(f(x))＝x 无解，∴ A ＝B.∴ {x|f(x)＝x}＝{x|f(f(x))＝x}．(10分)(3) 证明：① 显然a n ＋1＝a 2n a 2n －a n ＋1＝a 2n ⎝⎛⎭⎫a n －122＋34，又a 1＝12，∴ a n ＞0， ∴a n ＋1a n ＝a n a 2n －a n ＋1＝1a n ＋1a n－1≤12－1＝1，(11分) ∴ a n ＋1≤a n .若a n ＋1＝a n ，则a n ＝1矛盾．∴ a n ＋1＜a n .(12分) ② 证法1：a n ＝a 2n －1a 2n －1－a n －1＋1，∴ 1a n ＝1－1a n －1＋1a 2n －1，∴ 1a n －1＝－1a n －1＋1a 2n －1， ∴ 11a n －1＝1－1a n －1＋1a 2n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－11a n －1＝11a n －1－1－11a n －1， ∴ a n －1＝11a n －1－1－11a n －1(n ≥2)，(14分)a n ＋11－a n ＋1.(15分)∵ 0＜a n ＋1＜a n ＜12，∴ S n ＝1－a n ＋11－a n ＋1＜1.(16分) 证法2：∵ a n ＝a 2n －1a 2n －1－a n －1＋1＝11－1a n －1＋1a 2n －1＜1－1a n －1＋1a 2n －1(13分) ＝11a n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－1＝11a n －1－1－11a n －1＝－a n －1＋1－1a n －2＋1a 2n －2(14分) ＝－a n －1－a n －2＋1－1a n －3＋1a 2n －3＝…＝－a n －1－a n －2－…－a 1＋11a 1－1(15分) ＝1－a n －1－a n －2－…－a 1，∴ S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＜1.(16分)2013届高三调研测试试卷(八)(镇江)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：∵ AE ＝AC ，∠CDE ＝∠AOC ，(2分)又 ∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ，(6分)从而∠PFD ＝∠OCP.(7分)在△PDF 与△POC 中，∠P ＝∠P ，∠PFD ＝∠OCP ，故△PDF ∽△POC.(10分)B. 解：设P(x 0，y 0)为曲线xy ＝1上的任意一点，在矩阵A 变换下得到另一点P′(x′0，y′0)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 22 22－22 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，(4分) 即⎩⎨⎧x′0＝22（x 0＋y 0），y′0＝22（y 0－x 0），(6分) 所以⎩⎨⎧x 0＝22（x′0－y′0），y 0＝22（x′0＋y′0），(8分) 又点P 在曲线xy ＝1上，所以x 0y 0＝1，故有x′20－y′20＝2，即所得曲线方程为x 2－y 2＝2.(10分)C. 解：将极坐标方程转化成直角坐标方程：ρ＝3cos θ，即x 2＋y 2＝3x ，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94；(4分) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t ，即2x －y ＝3，(6分) d ＝2×32－0－322＋（－1）2＝0，(8分)即直线经过圆心，所以直线截得的弦长为3.(10分)D. 解：(1) 由题设知：|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象(如图所示)，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．(5分)(2) 由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a.由(1)|x ＋1|＋|x －2|≥3，∴ －a ≤3，∴ a ≥－3.(10分)22. 解：设直线方程为y ＝x ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x ，y)，将y ＝x ＋m 代入y 2＝2x ，得x 2＋(2m －2)x ＋m 2＝0，(2分)∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2m －2）2－4m 2＞0，x 1＋x 2＝2－2m ，x 1x 2＝m 2，(6分)∴ m ＜12，x ＝x 1＋x 22＝1－m ＞12，y ＝x ＋m ＝1，(9分) 线段AB 中点M 的轨迹方程为y ＝1⎝⎛⎭⎫x ＞12.(10分) 23. (1) 解：∵ 函数f(x)＝ln(2－x)＋ax 在区间(0，1)上是增函数， ∴ f ′(x)＝－12－x＋a ≥0在区间(0，1)上恒成立，(2分) ∴ a ≥12－x .又g(x)＝12－x在区间(0，1)上是增函数 ∴ a ≥g(1)＝1，即实数a 的取值范围为a ≥1.(3分)(2) 证明：先用数学归纳法证明0＜a n ＜1.当n ＝1时，a 1∈(0，1)成立，(4分) 假设n ＝k 时，0＜a k ＜1成立，(5分)当n ＝k ＋1时，由(1)知a ＝1时，函数f(x)＝ln(2－x)＋x 在区间(0，1)上是增函数， ∴ a k ＋1＝f(a k )＝ln(2－a k )＋a k ，∴ 0＜ln2＝f(0)＜f(a k )＜f(1)＝1，(7分)即0＜a k ＋1＜1成立，∴ 当n ∈N *时，0＜a n ＜1成立．(8分)下证a n ＜a n ＋1.∵ 0＜a n ＜1，∴ a n ＋1－a n ＝ln(2－a n )＞ln1＝0.(9分)∴ a n ＜a n ＋1.综上0＜a n ＜a n ＋1＜1.(10分)。
2013江苏省镇江市高考数学适应性测试卷6苏教版
江苏省镇江市2013届高三高考适应性测试数学卷6一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．若集合A ={x |x ＞2}，B ={x |x ≤3}，则A ∩B = ▲ ． 答案：(2,3] 解析：A ∩B= (2,3]讲评：主要考查集合运算，应强调考生回归课本、注重运算、留心 ∩ 及 集合描述的对象、认真审题．2．函数yx +cos2x 的最小正周期是 ▲ ． 答案：π解析：yx +cos2x=2 sin(2 x+60º) ⇒T=2π/2= π 3．已知(a +i)2=2i ，其中i 是虚数单位，那么实数 a = ▲ ． 答案：1解析：(a +i)2= a 2+2 a i+ i 2= a 2-1+2 a i=2i ⇒ a =14．已知向量a 与b 的夹角为60º，且|a |=1，|b |=2，那么2()+a b 的值为 ▲ ． 答案：7解析：2()+a b =a 2+ b 2+2ab = a 2+ b 2+2|a||b| cos60º=12+22+2x1x2=75．底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m 2．摘自课本《必修2》P49练习2的原题，主要考查基本运算，应强调考生回归课本、注重运算、留心单位、认真审题． 答案：解析：如图所示，正三棱锥-S ABC ，O 为顶点S 在底面BCD 内的射影，则O 为正BCD ∆的垂心，过C 作CH AB ⊥于H ，连接SH 。
则SO HC ⊥，且13HO CH =Rt SHO ∆中，SH于是，12SAB S AB SH ∆=⨯⨯=2ABC S AB ∆所以=+3BCD SAB S S S ∆∆=全面积6．若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为k 的值是 ▲ ． 答案：8解析：法一：双曲线的渐近线方程为y =；焦点坐标是(。
由焦点到渐近线的距离为==8k =。
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江苏省镇江市2013届高三高考适应性测试数学卷1
数学（І）（正题）
一、填空题.本大题共10小题，每小题5分，共50分.把正确答案填在相应位置.
1.
现用分层抽样的方法在全校抽取120名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为 ．
2.若命题“R x ∈∀，02≥+-a ax x ”为真命题，则实数a 的取值范围是 ．
3.某程序框图如图所示，若输出的10=S ，则自然数=a ．
4.若直线1+=kx y 与直线042=-+y x 垂直，则=k ．
5.已知集合{}m P ,1-=，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<
<-=431x x Q ，若∅≠Q P ，则整数=m ．
6.一根绳子长为6米，绳上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为 ．
5.若复数z 满足1=-i z （其中为虚数单位），则z 的最大值为 ．
6.已知向量a 的模为2，向量e 为单位向量，)(e a e -⊥，则向量a 与e 的夹角大小为 ．
9.在等比数列{}n a 中，已知1235a a a =,78940a a a =,则567a a a = ． 10.函数65cos
2cos 6
sin 2sin )(ππ
x x x f -=在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-2,2ππ上的单调递增区间为 ．
11.过圆92
2
=+y x 内一点)2,1(P 作两条相互垂直的弦AC ，BD ，当BD AC =时，四边形
ABCD 的面积为 ．
12.若)(x f y =是定义在R 上周期为2的周期函数，且)(x f 是偶函数，当[]1,0∈x 时，
12)(-=x x f ，则函数x x f x g 3log )()(-=的零点个数为 ．
13.设)(x f 是定义在R 上的可导函数，且满足0)()('
>+x xf x f .则不等式
)1(1)1(2-->+x f x x f 的解集为
14.在等差数列{}n a 中，52=a ，216=a ，记数列⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧n a 1的前n 项和为n S ，若1512m
S S n
n ≤-+
对+∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为 ．
二、解答题.本大题共2小题，共30分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.
15.（本小题满分14分）
在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，
CD AB //，BC AB ⊥，1==BC AB ，2=DC ，点E 在PB 上.
（1）求证：平面⊥AEC 平面PAD ；
（2）当//PD 平面AEC 时，求PE ：EB 的值.
16.（本小题满分14分）
设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且.2
12ac b = （1）求证：4
3cos ≥
B ； （2）若1cos )cos(=+-B
C A ，求角B 的大小.
17（本小题满分14分）
因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm(即EF =50cm)的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜.根据经验，一般顾客AB 的眼睛B 到地面的距离x (cm)在区间[140,180]内.设支架FG 高为h (0<h <90)cm ，AG =100cm,顾客可视的镜像范围为CD （如图所示），记CD 的长度为y (GC GD y -=).
(1)当h =40cm 时，试求y 关于x 的函数关系式和y 的最大值；
(2)当顾客的鞋A 在镜中的像1A 满足不等关系1GC GA GD <≤(不计鞋长）时，称顾客可在镜中看到自己的鞋，若一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求h 的取值范围.
18.（本小题满分16分）
已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，且过点)2
1
,22(P ，记椭圆的左顶点为.A
（1）求椭圆的方程；
（2）设垂直于y 轴的直线交椭圆于B ，C 两点，试求ABC ∆面积的最大值；
（3）过点A 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线交椭圆于D ，E 两点，且221=k k ，求证：直线DE 恒过一个定点.
19（本小题满分16分）
在数列{}n a 中，11a =,且对任意的*k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q .
（1）若k q =2(*k N ∈),求13521...k a a a a -++++；
（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设1
1
k k b q =-. ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2,试求数列{}k d 的前k 项的和k D .
20.已知函数|21|1(),x a f x e -+=||12(),x a f x e x R -+=∈.
(1)若a =2,求12()()()f x f x f x =+在[2,3]x ∈上的最小值； (2)若[,)x a ∈+∞时，21()()f x f x ≥，求a 的取值范围； (3)求函数1212()()|()()|
()22
f x f x f x f x
g x +-=
-
在[1,6]x ∈上的最小值；
数学（Ⅱ）（附加题）
21.选做题
A .选修14-：几何证明选讲
如图，等边三角形ABC 内接于圆O ，D 为劣弧BC 上一点，
连结BD ，CD 并延长分别交AC ，AB 的延长线于点E ，F . 求证：.2BC BF CE =⋅
B .选修24-：矩阵与变换
已知二阶矩阵A 将点)0,1(变换为)3,2(，且属于特征值3的一个特征向量是⎥⎦
⎤⎢⎣⎡11，求矩阵.A
C .选修44-：坐标系与参数方程
已知点),(y x P 在椭圆112
162
2=+y x 上，试求y x z 32-=的最大值.
D .选修54-：不等式选讲
设1a ，2a ，3a 均为正数，且m a a a =++321.求证：.29
111133221m
a a a a a a ≥+++++
22.（本小题满分10分）
甲，乙，丙三人投篮，甲的命中率为p ，乙，丙的命中率均为q （)1,0(,∈q p ）.现每人独立投篮一次，记命中的总次数为随机变量ξ. ● 当2
1
=
=q p 时，求数学期望)(ξE ； ● 当1=+q p 时，试用p 表示ξ的数学期望)(ξE .
23.某班级共派出1+n 个男生和n 个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队.入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有n E 种排法；入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有n F 种选法.
（1）试求n E 和n F ；
（2）判断n E ln 和n F 的大小（+∈N n ），并用数学归纳法证明. 参考答案。