二项分布
二项分布的概率
二项分布的概率引言二项分布是概率论中一个常见的离散概率分布，它描述了在给定一定的试验次数和成功概率下，成功事件发生的次数。
本文将详细介绍二项分布的定义、概率质量函数、期望和方差等基本概念，并探讨其应用以及与其他概率分布的关系。
二项分布的定义二项分布是指在n个相互独立的、拥有相同成功概率p的伯努利试验中，成功事件发生k次的概率分布。
每次试验只有两个可能的结果，成功和失败，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k)=C n k⋅p k⋅(1−p)n−k。
其中，C n k表示组合数，C n k=n!k!(n−k)!二项分布的性质二项分布具有以下几个重要的性质：性质1：期望和方差设X服从二项分布B(n,p)，则其期望和方差分别为： - 期望：E(X)=np - 方差：Var(X)=np(1−p)性质2：独立性在二项分布中，每次试验都是相互独立的，即一次试验的结果不受前一次试验结果的影响。
这意味着二项分布满足独立性的性质。
性质3：期望的线性性若X1和X2分别服从二项分布B(n1, p)和B(n2, p)，则有E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=(n1+n2)p。
这意味着二项分布的期望具有线性性。
二项分布的应用二项分布在实际应用中有着广泛的应用，尤其在统计学、生物学和工程学等领域。
应用1：统计学中的假设检验在统计学中，二项分布可以用于假设检验问题。
假设检验的目的是基于样本数据对总体的某个特征进行推断。
假设检验中常常使用二项分布来计算在零假设成立的情况下，观察到的样本数据的概率。
通过计算这个概率，我们可以判断观察到的样本数据是否与理论上的预期相符。
应用2：生物学中的基因型分析在生物学中，二项分布被广泛应用于基因型分析。
基因型分析是研究个体或种群基因型频率的方法。
通过对基因型进行分析，我们可以了解特定基因的分布情况以及与遗传疾病的相关性。
二项分布可以用来计算不同基因型频率的概率，并进行比较和推断。
三大分布--二项分布
三、常见的题型：
1.
明考 暗考
单变量 2. 双变量 a b
多变量 a b
练习1.背定义、熟公式：
(1)若 X ~ B(n , 3) ,且 P(X 1) 96 ,则 n =_____
5
625
析:由题意得
PX
1
C1n
( 3 )(1 5
为ξ的数学期望或均值，简称为期望.
② 则称 D (x1 E )2 p1 (x2 E )2 p2 ... (xn E )2 pn
为ξ的方差 ，称 ＝ D 为ξ的标准差
随机变量期望与方差的作用(目的)
(1)期望：将随机事件“虚拟”成一确定事件 体现了总体的平均水平(聚中性)
(2)方差：体现了总体的稳定性(波动性)
注1.三大步骤
S1.将样本空间Ω划分成n个基本事件
S2.计算出所求事件A中基本事件的个数
S3.套用公式
P(
A)
A中基本事件的个数 Ω中基本事件的个数
注2.使用的两前提
①有限性
②等可能性
古典概型个数比 几何概型测度比 有限无限分水岭 卅六整点二骰子 旋转问题用角度 模拟试验四大步
几何定义法(几何概型)求概率
③和积互补公式 P(A1 A2 An ) 1 P(A1 • A2 • • An ) 注：若A，B对立，则有 P( A) P(B) 1，反之则不然 ④对偶律 P(A• B •C) P(A B C) P(A• B •C) P(A B C)
古典定义法(等可能概型)求概率
一分二算三相除 有限等分是前提
2.表示：三大语言……
3.分类：
①
离散型 连续型
②
有限型 无限型
二项分布知识点
二项分布知识点关键信息项：1、二项分布的定义2、二项分布的参数3、二项分布的概率计算公式4、二项分布的期望与方差5、二项分布的适用条件6、二项分布的实例应用11 二项分布的定义二项分布是一种离散概率分布，用于描述在 n 次独立重复的伯努利试验中，成功的次数X 的概率分布。
在每次试验中，成功的概率为p，失败的概率为 1 p 。
111 伯努利试验的特点伯努利试验具有以下两个特点：每次试验只有两种可能的结果，即成功或失败；每次试验的结果相互独立，即前一次试验的结果不会影响后一次试验的结果。
112 二项分布的概率质量函数二项分布的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。
12 二项分布的参数二项分布有两个参数：试验次数 n 和每次试验成功的概率 p 。
121 试验次数 nn 表示独立重复进行的伯努利试验的总数。
122 成功概率 pp 表示每次伯努利试验中成功的概率，0 ＜ p ＜ 1 。
13 二项分布的概率计算公式131 组合数的计算组合数 C(n, k) ＝ n! ／（k! （n k)！），其中 n! 表示 n 的阶乘。
132 概率的具体计算示例例如，在 5 次独立重复的试验中，每次成功的概率为 04，求成功 3 次的概率。
首先计算组合数 C(5, 3) ＝ 5! ／（3! 2!）＝ 10 ，然后计算概率P(X ＝ 3) ＝ 10 04^3 06^2 。
14 二项分布的期望与方差141 期望二项分布的期望 E(X) ＝ np 。
142 方差二项分布的方差 Var(X) ＝ np(1 p) 。
15 二项分布的适用条件151 独立试验每次试验的结果相互独立，不受其他试验的影响。
152 固定概率每次试验成功的概率 p 保持不变。
153 二分类结果试验结果只有两种互斥的类别，如成功和失败、是和否等。
二项分布 分布律公式
二项分布分布律公式二项分布是概率论中的一种离散概率分布，也被称为伯努利分布或0-1分布。
它描述了在进行一系列独立的重复试验中，成功事件发生的次数的概率分布情况。
在二项分布中，每次试验的结果只有两种可能，通常用0和1表示，分别代表失败和成功。
二项分布的分布律公式可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率，n表示试验的次数，p 表示每次试验中成功事件发生的概率，C(n,k)表示组合数，表示从n次试验中选出k次成功的组合数。
在实际问题中，二项分布可以广泛应用。
例如，在进行投掷硬币的试验中，每次试验的结果只有正面和反面两种可能，可以使用二项分布来描述正面朝上的次数。
又如，在进行商品质量检验时，每个产品的合格和不合格是两种可能的结果，可以使用二项分布来描述合格产品的数量。
二项分布具有以下特点：1. 独立性：每次试验的结果都是独立的，前一次试验的结果不会影响后一次试验的结果。
2. 成功概率恒定：每次试验中成功事件发生的概率保持不变。
3. 试验次数固定：进行试验的次数是固定的，不会发生变化。
根据二项分布的分布律公式，我们可以计算出在给定参数下，各个事件发生次数的概率。
例如，在投掷一枚公平硬币10次的试验中，我们希望计算正面朝上5次的概率。
根据二项分布的公式，可以计算得到：P(X=5) = C(10,5) * (0.5)^5 * (0.5)^(10-5) = 0.246即正面朝上5次的概率为0.246，约为24.6%。
二项分布还可以用于计算累积概率。
例如，在上述硬币投掷的例子中，我们可以计算出正面朝上不超过5次的概率。
根据二项分布的性质，可以得知此时的累积概率为：P(X<=5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0.623即正面朝上不超过5次的概率为0.623，约为62.3%。
二项分布展开式公式
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
p^k表示成功的概率p乘以k次，q^(n-k)表示失败的概率q乘以(n-k)次。
通过计算不同的k值，可以得到二项分布的概率分布情况，即不同成功次数的概率。
二项分布展开式公式
二项分布展开式是项式定理在离散概率分布中的应用。假设有一次试验，成功的概率为 p，失败的概率为q=1-p，进行n次独立的重复试验，X表示成功的次数。那么，X服从二项分 布B(n, p)。
二项分布展开式的公式如下：
P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)
二项分布展开式公式
需要注意的是，二项分布展开式只适用于离散的二项分布情况，且试验之间是独立的。
二项分布与正态分布
二项分布与正态分布二项分布（Binomial Distribution）和正态分布（Normal Distribution）是统计学中常用的两种分布类型，它们在描述概率和随机变量的分布特征上有着重要的应用。
一、二项分布二项分布是一种离散概率分布，适用于两个互斥事件（成功和失败）发生的多次独立重复实验。
每个实验的结果只有两种可能性，并且各试验之间的概率不会发生变化。
该分布以两个参数来描述：n（实验次数）和p（事件成功的概率）。
二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中X为成功事件发生的次数，k为取值范围，C(n, k)表示组合数。
例如，某外卖平台的数据显示，在送达100份订单中，正好有20份遇到问题，成功率为0.2。
如果我们想要了解在送达下一个订单时会出现多少问题的概率分布，我们就可以使用二项分布来计算。
二、正态分布正态分布是一种连续概率分布，也被称为高斯分布。
在统计学中，正态分布常常用来描述一组数据中心性的表现，其图形呈钟形曲线。
正态分布由两个参数来描述：均值（μ）和标准差（σ^2）。
正态分布的概率密度函数为f(x) = 1 / (σ * √(2π)) * exp(-(x-μ)^2 /2σ^2)，其中x为取值范围。
例如，在考试成绩分析中，如果我们知道某门考试的平均分是80分，标准差是10分，我们就可以使用正态分布来计算不同分数段的比例和概率。
三、二项分布与正态分布的关系当二项分布的参数n（实验次数）足够大，同时p（事件成功的概率）也足够接近0.5时，二项分布可以近似地用正态分布来描述。
根据中心极限定理（Central Limit Theorem），当样本容量足够大时，无论数据服从什么分布，其样本均值的分布均近似服从正态分布。
由于二项分布和正态分布之间的关系，我们可以利用正态分布的性质对二项分布进行近似计算。
这种近似计算可简化复杂的二项分布计算，并提高效率。
二项分布
二项分布科技名词定义中文名称：二项分布英文名称：binｏｍｉal distribution定义:描述随机现象得一种常用概率分布形式,因与二项式展开式相同而得名。
所属学科:大气科学(一级学科);气候学(二级学科)本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布二项分布二项分布即重复ｎ次得伯努里试验。
在每次试验中只有两种可能得结果,而且就就是互相对立得，就就是独立得,与其它各次试验结果无关,结果事件发生得概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验。
目录概念医学定义二项分布得应用条件二项分布得性质与两点分布区别编辑本段概念二项分布（Biｎoｍial Distｒibｕtion),即重复n次得伯努力试验(Ｂｅrnouｌli Experiment),用ξ表示随机试验得结果、如果事件发生得概率就就是P,则不发生得概率ｑ=1-p,N次独立重二项分布公式复试验中发生Ｋ次得概率就就是P(ξ=K）=Cｎ（k）P(ｋ）q(n-k)注意!:第二个等号后面得括号里得就就是上标，表示得就就是方幂。
那么就说这个属于二项分布、、其中Ｐ称为成功概率。
记作ξ～B(n，ｐ)期望:Eξ=np方差:Dξ=npq如果1、在每次试验中只有两种可能得结果，而且就就是互相对立得;2、每次实验就就是独立得，与其它各次试验结果无关;３、结果事件发生得概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验、在这试验中,事件发生得次数为一随机事件，它服从二次分布、二项分布可二项分布以用于可靠性试验、可靠性试验常常就就是投入n个相同得式样进行试验T 小时,而只允许k个式样失败,应用二项分布可以得到通过试验得概率、若某事件概率为p,现重复试验n次,该事件发生k次得概率为:P=C(k,n)×p^k×(1－p)^(n-ｋ)、C(ｋ,ｎ)表示组合数，即从n个事物中拿出k个得方法数、编辑本段医学定义在医学领域中，有一些随机事件就就是只具有两种互斥结果得离散型随机事件,称为二项分类变量(diｃｈotｏmｏｕs vaｒiable）,如对病人治疗结果得有效与无效,某种化验结果得阳性与阴性,接触某传染源得感染与未感染等。
二项分布分布函数
二项分布分布函数二项分布分布函数是概率论中常见的一种分布函数。
它是指在一系列独立重复的试验中，成功的次数符合二项分布的概率函数。
在实际生活中，二项分布分布函数的应用非常广泛，比如在统计学、生物学、物理学、工程学等领域都有重要的应用。
二项分布分布函数的定义二项分布分布函数是指在n次独立重复的试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，成功的次数为X，则X的概率函数为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个物体中取k个物体的组合数。
即C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)二项分布分布函数的性质1.期望值二项分布X的期望值为：E(X)=np其中，n为试验次数，p为每次试验成功的概率。
2.方差二项分布X的方差为：Var(X)=np(1-p)3.特殊情况当n=1时，二项分布就是伯努利分布。
伯努利分布的概率函数为：P(X=k)=p^k(1-p)^(1-k)当n趋近于无穷大时，二项分布趋近于正态分布。
二项分布分布函数的应用1.质量控制在生产过程中，为了保证产品质量，需要进行质量控制。
如果每个产品的不良率为p，则在n个产品中有k个不良品的概率就可以用二项分布分布函数来计算。
这样可以帮助企业及时发现产品质量问题，提高产品质量。
2.投资分析在投资分析中，需要对投资收益进行概率分析。
如果每次投资的成功率为p，失败率为1-p，则在n次投资中成功k次的概率可以用二项分布分布函数来计算。
这样可以帮助投资者制定合理的投资策略，降低投资风险。
3.医学研究在医学研究中，需要进行药物试验。
如果每次试验的成功率为p，失败率为1-p，则在n次试验中成功k次的概率可以用二项分布分布函数来计算。
这样可以帮助医学研究者评估药物的疗效，提高药物疗效。
4.市场调查在市场调查中，需要对市场研究结果进行概率分析。
如果每个被调查者购买产品的概率为p，则在n个被调查者中有k个人购买产品的概率可以用二项分布分布函数来计算。
概率与统计中的二项分布
概率与统计中的二项分布概率与统计是数学中的一个分支，它研究随机事件的发生概率以及对这些概率进行推断和决策。
在概率与统计的研究中，二项分布起到了重要的作用。
本文将介绍二项分布的概念、特性和应用。
一、二项分布的概念二项分布是概率与统计中最基本的离散概率分布之一。
它描述了在一系列独立的重复试验中成功的次数。
一个二项分布的参数有两个，一个是重复试验的次数n，另一个是每次试验成功的概率p。
我们用X 表示在n次重复试验中成功的次数，则X服从参数为n和p的二项分布，记作X~B(n,p)。
这里，n满足n∈N*，p满足0≤p≤1。
二、二项分布的特性1. 期望值和方差：对于参数为n和p的二项分布X~B(n,p)，其期望值μ=np，方差σ^2=np(1-p)。
这个特性在实际问题中非常有用，可以通过期望和方差来判断和推断二项分布的分布情况。
2. 概率函数：二项分布的概率函数被称为概率质量函数（PMF），可以用来计算在给定参数n和p的情况下，随机变量X等于某个固定值k的概率。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k)表示从n个试验中选取k个成功的方式数。
通过概率质量函数，我们可以计算任意二项分布随机变量X的概率。
3. 单调性：在概率与统计中，二项分布的单调性是一个重要特性。
随着成功概率p的增加，成功次数k的概率P(X=k)会随之增加，即，随着成功概率的增加，成功的可能性也会随之增加。
三、二项分布的应用二项分布在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见应用场景：1. 投硬币问题：如果我们将一枚硬币抛掷n次，而每次正面朝上的概率为p，那么正面朝上的次数X就符合二项分布B(n,p)。
通过计算可以得出每次抛硬币正面朝上的概率，从而判断其是公平硬币还是有偏倚。
2. 质检问题：在质量控制过程中，我们需要判断在一次批次生产中，某个产品合格的概率是多少。
如果我们在批量生产中随机抽取n个产品进行检查，而每个产品合格的概率为p，那么合格产品的数量X就符合二项分布B(n,p)。
二项分布 分布律公式
二项分布分布律公式二项分布是概率论中的一种离散概率分布，用于描述在n次独立重复的伯努利试验中，成功次数的概率分布。
它的分布律公式可以表达为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功次数为k的概率，C(n,k)表示组合数，表示从n次试验中选取k次成功的组合数，p表示每次试验成功的概率，(1-p)表示每次试验失败的概率。
二项分布可以用来解决很多实际问题，比如在进行n次独立重复的试验中，成功次数为k的概率是多少？或者在进行n次独立重复的试验中，成功次数不超过k的概率是多少？下面我们通过几个例子来说明二项分布的应用。
例子1：某医院进行了100次独立的手术，手术成功的概率为0.9。
现在我们想知道，在这100次手术中，成功次数为80的概率是多少？根据二项分布的分布律公式，可以得到：P(X=80) = C(100,80) * 0.9^80 * (1-0.9)^(100-80)计算得到的结果为0.000169，即手术成功次数为80的概率约为0.0169%。
例子2：某超市每天有100个顾客来购物，每个顾客购买商品的概率为0.3。
现在我们想知道，在一天里，购买商品的顾客不超过30个的概率是多少？根据二项分布的分布律公式，可以得到：P(X<=30) = P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=30)P(X=0) = C(100,0) * 0.3^0 * (1-0.3)^(100-0)P(X=1) = C(100,1) * 0.3^1 * (1-0.3)^(100-1)...P(X=30) = C(100,30) * 0.3^30 * (1-0.3)^(100-30)将上述各项概率相加，可以得到购买商品的顾客不超过30个的概率。
通过计算，可以得到购买商品的顾客不超过30个的概率约为0.0738，即约为7.38%。
通过以上两个例子，我们可以看到二项分布可以用来解决许多实际问题。
二项分布方差
二项分布方差一、什么是二项分布在概率论中，二项分布是一种常见的离散型概率分布。
它描述了在n次独立重复的伯努利试验中，成功的次数（事件A）恰好为k次（0<=k<=n）的概率。
伯努利试验是指一个试验只有两种可能的结果，通常为成功和失败。
二项分布的概率质量函数可以用数学公式表示为：P(k;n,p) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中C(n,k)表示组合数，即在n次试验中取k次成功的不同排列数。
二、二项分布方差的计算公式二项分布的方差可以通过公式计算，公式如下：Var(X) = n * p * (1 - p)其中Var(X)表示二项分布的方差，n表示试验次数，p表示单次试验成功的概率。
三、方差的解释方差是用来衡量一个随机变量的离散程度的指标，它描述了随机变量分布离其均值的偏离程度。
方差越大，随机变量的取值相对于均值的离散程度就越大。
对于二项分布来说，方差的计算方法较为简单。
方差的计算公式中的n表示试验次数，p表示单次试验成功的概率。
从公式中可以看出，当试验次数n增加或成功概率p增加时，方差也会增大。
四、方差的意义方差在实际应用中具有重要的意义。
它可以帮助我们分析和比较随机变量的分布。
在二项分布中，对于同样的试验次数n，方差的大小可以反映单次试验成功概率p对整体分布形状的影响。
以一个简单的例子来说明方差的意义。
假设有两个硬币A 和B，进行10次独立的抛掷实验。
硬币A是正面朝上的概率为0.5，硬币B是正面朝上的概率为0.8。
两个硬币的试验次数相同，但是硬币B的成功概率更高。
根据二项分布方差的公式，可以计算出硬币A和B的方差分别为：Var(A) = 10 * 0.5 * (1 - 0.5) = 2.5 Var(B) = 10 * 0.8 * (1 - 0.8) = 1.6由此可见，硬币B的方差比硬币A的方差更小，表明硬币B的抛掷结果更加稳定，成功概率更高。
五、方差的应用方差的应用非常广泛，不仅在概率论和数理统计中有重要的地位，还被广泛应用于金融学、经济学、生物学、物理学等众多领域。
二项分布计算公式
二项分布计算公式二项分布是概率论中一种常见的离散概率分布，用于描述在n次独立重复的伯努利试验中，发生其中一事件的次数的概率分布。
该概率分布的计算公式如下：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示事件发生k次的概率；C(n,k)表示从n次试验中选择k次成功的组合数；p表示每次试验成功的概率；n表示试验的总次数。
接下来，我们将详细解释二项分布的计算公式。
首先，我们来解释组合数C(n,k)的含义。
组合数C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
它的计算公式为：C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1；k!表示k的阶乘，即k!=k*(k-1)*(k-2)*...*2*1；(n-k)!表示(n-k)的阶乘。
例如，从5个元素中选择2个元素的组合数为：C(5,2)=5!/(2!*(5-2)!)=5!/(2!*3!)=(5*4)/(2*1)=10计算得到的组合数10表示从5个元素中选择2个元素的组合数有10种可能。
其次，我们来解释p^k和(1-p)^(n-k)的含义。
p^k表示每次试验成功的概率为p，且连续k次试验均成功的概率。
(1-p)^(n-k)表示每次试验失败的概率为1-p，且连续(n-k)次试验均失败的概率。
例如，物体的制造过程中，每次试验成功的概率为0.2，总共进行了5次试验。
那么，连续2次试验成功的概率为：p^k=0.2^2=0.04连续3次试验失败的概率为：(1-p)^(n-k)=(1-0.2)^(5-2)=0.8^3=0.512最后，我们来解释P(X=k)的含义。
P(X=k)表示在n次独立重复的伯努利试验中，发生其中一事件恰好k次的概率。
它的计算公式为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)例如，其中一种病在地区的发生率为0.1，随机选择100个人进行检测。
高考数学必考点：二项分布
高考数学必考点：二项分布高考数学必考点：二项分布数学是探讨数量、结构、改变、空间以及信息等概念的一门学科，下面是整理的高考数学必考点：二项分布，希望对大家有帮助!二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事务A 发生的次数，设每次试验中事务A发生的概率为p，则，k=0，1，2，…n，此时称随机变量X听从二项分布，记作X~B(n，p)，并记。
独立重复试验：(1)独立重复试验的意义：做n次试验，假如它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验.(2)一般地，在n次独立重复试验中，设事务A发生的次数为X，在每件试验中事务A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中,高考数学，事务A恰好发生k次的概率为此时称随机变量X听从二项分布，记作并称p为胜利概率.(3)独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依靠于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的.(4)独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事务A恰好发生k次的概率.其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事务A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事务A恰好发生的次数，须要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式.二项分布的推断与应用：(1)二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，推断二项分布，关键是看某一事务是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，假如不满意这两个条件，随机变量就不听从二项分布.(2)当随机变量的.总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.求独立重复试验的概率：(1)在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即2，…，n)是第i 次试验的结果.(2)独立重复试验是相互独立事务的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简洁，要弄清n，p，k的意义。
二项分布（BinomialDistribution）
二项分布（ BinomialDistribution）
Hale Waihona Puke 1.二 项 分 布 的 基 本 描 述 ：
二项分布就是重复n次独立的伯努利实验。伯努利实验就是在同样的条件下重复发生、且每次实验相互独立的一种随机试验。二项分布 有两个参数n和p，n是重复实验的次数，p是每次独立实验发生的概率。特殊的n=1时，我们把二项分布称为伯努利分布。 N次独立重复试验中发生K次的概率是： P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。 那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p) 期望：Eξ=np； 方差：Dξ=npq； 其中q=1-p
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• 例：射击3次，每次击中目标的概率都为p>0，设 随机变量X是射中目标的次数，求随机变量X的概 率分布。
• 分析：这是一个3次独立重复试验。 － 设事件A为“击中目标”，P(A)=p,P( A )=1-p(记为 q) 试验结果： 随机变量X的概率分布
X P
0
1
2
2
3
q3
3 pq
3 p 2q
p3
分析2：
1232＝ 27 . 4 4 128
(2)法一：至少有一道题答对的概率为： 0 1 03 4 1－ P4(0)＝1－ C4 4 4 81 175 ＝ 1－ ＝ . 256 256 法二：至少有一道题答对的概率为： 1 13 3 21 23 2 3133 4 1 43 0 C4 4 4 ＋ C4 4 4 ＋ C44 4＋ C44 4 ＝ 108 54 12 1 175 ＋ ＋ ＋ ＝ . 256 256 256 256 256
• 在X=k时，根据试验的独立性，事件A在指 定的k次时，其余的3-k次则不发生，其概率 为 p k q 3k ，而3次实验中发生k次A的方式有C k 3 种。 P（X=k）= C3k p k q 3k ，k=0,1,2,3，
X
0
1
2
3
P
1 C30 q 3 C3 pq2 C32 P 2q C33 p 3
例 1：
求随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正 面的概率。
分析：将一枚均匀硬币随机抛掷100次，相 当于做了100次独立重复试验，每次试验都有 两个结果，即出现正面（A）与出现反面 － A （ ），且P(A)=0.5
例 2：
在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只 有一个是正确的．若对4道选择题中的每一道 都任意选定一个答案，求这4道题中
• 你有什么发现？
1．独立重复试验 相互独立 一般地，由n次试验构成，且每次试验_________ 对立 的状态， 完成，每次试验的结果仅有两种______ 即A与 － A ，每次试验中P(A)＝p>0.我们将这样 n次独立重复试验 的试验称为 _________________，也称为伯努利试 验．
1．二项式定理 (a＋b)n＝ 0 n 1 n－1 k n－ k k n n * C b＋„＋Cna b ＋„＋Cnb (n∈N ) ． na ＋ Cna ___________________________________________ 2．超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰 有 X k件次品，则事件 {X＝k}发生的概率为 P(X＝k) n－ k CM · C N－ M n C ＝________ ，k＝ 0,1,2，„，l，其中 l＝ min{M，n}， N 且 n≤ N， M≤ N， n， M， N∈ N*.
引例：
• 射击n次，每一次可能击中目标，也可能不击中 目标，而且当射击条件不变时，可以认为每次集 中的概率p是不变的； • 抛掷一枚质地均匀的骰子n次，每一次抛掷可能 出现“5”，也可能不出现“5”，而且每次掷出 “5”的概率是p=1|6； • 种植n粒棉花种子，每一粒种子可能出苗，也可 能不出苗，其出苗率是67%。
2．二项分布 若 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 P(X ＝ k) ＝ ____________ ， 其 中 0<p<1 ， p ＋ q ＝ 1 ， k ＝ 0,1,2，„，n，则称 X 服从参数为 n，p 的二项分
k k n－ k Cnp q
B(n，p) ． 布，记作 X～ _________
2．独立重复试验必须具备的条件 (1)每次试验的条件完全相同，有关事件的概率不变； (2)各次试验结果互不影响，即每次试验相互独立； (3)每次试验只有两种结果，这两种可能的结果是对立的．
思考：在n次独立重复试验中，如果每次试验事件A发生的概率均为p， 那么在这n次试验中，事件A少答对一道题的概率．
分析：
每次选择每道题的答案的事件相互独立且概率
相等，故可看成n次独立重复试验．
【解】 (1)记“选择每道题的答案”为一次试 验，则这是 4 次独立重复试验，且每次试验中 1 “选择正确”这一事件发生的概率为 .由独立 4 重复试验的概率计算公式得， 恰有两道题答对的 概率为： P4(2)＝ C2 4
1．甲、乙、丙三人分别射击同一个目标，都是“中”与 “不中”两种结果，是三次独立重复试验吗？ 提示：不是，因甲、乙、丙三人击中的概率不一定相同， 只是独立事件，但不符合独立重复试验． 2．两点分布与二项分布有什么关系？ 提示：两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当 n＝1时二项分布也就是两点分布，因此它们的关系是特殊 与一般的关系．