二项分布

二项分布

科技名词定义

中文名称：二项分布

英文名称： binomial distribution

定义：描述随机现象的一种常用概率分布形式，因与二项式展开式相同而得名。

所属学科：大气科学（一级学科）；气候学（二级学科）

本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布

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二项分布

二项分布即重复n 次的伯努里试验。在每次试验中只有两种可能的结果, 而且是互相对立的，是独立的 , 与其它各次试验结果无关，结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变, 则这一系列试验称为伯努力试验。

目录

概念

医学定义

二项分布的应用条件

二项分布的性质

与两点分布区别

编辑本段概念

二项分布（ Binomial Distribution），即重复n 次的伯努力试验

（ Bernoulli Experiment）,

用ξ表示随机试验的结果.

如果事件发生的概率是P, 则不发生的概率q=1-p ， N 次独立重

二项分布公式

复试验中发生K 次的概率是

P( ξ =K)=Cn(k)P(k)q(n-k)

注意 !: 第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。

那么就说这个属于二项分布..

其中 P 称为成功概率。

记作ξ~B(n,p)

期望 :E ξ =np

方差 :D ξ =npq

如果

1.在每次试验中只有两种可能的结果 , 而且是互相对立的 ;

2.每次实验是独立的 , 与其它各次试验结果无关 ;

3.结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变 , 则这一系列试验称为伯努力试验 .

在这试验中 , 事件发生的次数为一随机事件, 它服从二次分布 . 二项分布可

二项分布

以用于可靠性试验. 可靠性试验常常是投入n 个相同的式样进行试验T 小时 ,而只允许 k 个式样失败 , 应用二项分布可以得到通过试验的概率.

若某事件概率为p，现重复试验n 次，该事件发生k 次的概率

为:P=C(k,n) ×p^k×(1 -p)^(n-k).C(k,n)表示组合数，即从n 个事物中拿出 k 个的方法数 .

编辑本段医学定义

在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事

件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。

二项分布（ binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离

散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。

考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（π）是恒定的

二项分布公式

，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为贝努里试验（Bernoulli

trial ）。如果进行n 次贝努里试验，取得成功次数为X（X=0,1, ⋯,n ）的概

率可用下面的二项分布概率公式来描述：

P=C(X,n)* π ^X*(1- π )^(n-X)

式中的 n 为独立的贝努里试验次数，π 为成功的概率，（1- π）为失败的概率， X 为在 n 次贝努里试验中出现成功的次数，表示在n 次试验中出现

X 的各种组合情况，在此称为二项系数（binomial coefficient）。

所以的含义为：含量为n 的样本中，恰好有例阳性数的概率。

编辑本段二项分布的应用条件

1．各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存

或死亡等，属于两分类资料。

2．已知发生某一结果（阳性）的概率为π，其对立结果的概率为 1- π，实际工作中要求π 是从大量观察中获得比较稳定的数值。

二项分布公式

3． n 次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即

每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。如要求疾病无传

染性、无家族性等。

编辑本段二项分布的性质

1．二项分布的均数和标准差在二项分布资料中，当

π 和n 已知时，它

的均数μ及其标准差σ 可由式（7.3）和（7.4）算出。

μ=nπ（ 7.3 ）

σ=（7.4 ）

若均数和标准差不用绝对数表示，而是用率表示时，即对式（7.

二项分布公式

3）和（ 7.4 ）分别除以n，得

μp=π（ 7.5 ）

σp=（ 7.6 ）

σp 是样本率的标准误的理论值，当π未知时，常用样本率 p 作为π的估计值，式（ 7.6 ）变为：

sp= （ 7.7 ）

2．二项分布的累计概率（cumulative probability）常用的有左侧累

计和右侧累计两种方法。从阳性率为π 的总体中随机抽取含量为n 的样本，则

（1）最多有k 例阳性的概率

(7.8)

（2）最少有 k 例阳性的概率

（7.9 ）

其中， X=0,1,2, ⋯,k, ⋯,n 。

3．二项分布的图形已知π 和n，就能按公式计算X=0， 1，⋯， n 时的

P（ X）值。以 X 为横坐标，以P（ X）为纵坐标作图，即可绘出二项分布的图

形，如图 7.1 ，给出了 p=0.5 和 p=0.3时不同n值对应的二项分布图。

二项分布的形状取决于π和 n 的大小，高峰在m=np处。当 p 接近 0.5时，图形是对称的；p 离 0.5 愈远，对称性愈差，但随着n 的增大，分布趋

于对称。当n→∞时，只要p 不太靠近 0 或 1，特别是当nP 和 n(1 － P) 都大

于5 时，二项分布近似于正态分布。

π=0.5 时 , 不同 n 值对应的二项分布

π=0.3 时 , 不同 n 值对应的二项分布

图 7.1 二项分布示意

编辑本段与两点分布区别

两点分布又称伯努利分布

两点分布的分布列就是

x01

P1-p p

不论题目有什么区别, 只有两种可能, 要么是这种结果要么是那种结果, 通

俗点 , 要么成功要么失败

而二项分布的可能结果是不确定的甚至是没有尽头的 , 列

一个二项分布的分布列就是

X012

P C(0)(n)⋯⋯⋯

·(1

n

- p)^n C(1)(n)·p·(1-p)^(n-1) ⋯⋯

C(n)(n) ·p^n·(1-p)^0

也就是说当n=1 时, 这个特殊二项分布就会变成两点分布,

即两点分布是一种特殊的二项分布

像其他地方说的二项分布是两点分布的多重实验也不无道理 , 因为两者都是

独立的重复实验 , 只不过次数不同罢了

E(n) = np, var(n) = np(1-p) (n是实验次数，p 是每次实验的概率）