二项分布
二项分布
例 设某放射性物质平均每分钟放射计数为 5。 X3。则 Xi～P(5)，i=1,2,3。据Poisson分布的可
加性可得X1+X2+X3～P(15)。
现考虑测3个1分钟的放射计数，分别记为X1, X2,
0.2
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12
0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16
即该放射性物质平均每 30 分钟脉冲计数 的95%可信区间为322.8～397.2个。
样本均数与总体均数的比较
直接计算概率法 正态近似法
u
X 0
0
直接计算概率法
例5.16
H 0： 此地区患病率与一般患病率相等，即 0
H 1： 此地区患病率高于一般患病率，即 0
从某学校随机抽取 26 名学生，发现有 4 名
感染沙眼，试求该校沙眼感染率 95%可信区间
本例 n=26， X =4，查附表 3 的可信度为 95%的 可信区间为(4%，35%)。
总体率的可信区间(正态近似法）
p u
S , p u S p p
例5.4
估计显效率的95%的可信区间
10
20
Poisson分布的正态近似
当20时已接近正态分布，当50时则非 常接近正态分布。
Poisson分布的性质
当20时已接近正态分布，当50时则 非常接近正态分布。 方差等于均数: 2= 泊松分布资料的可加性
服从Poisson分布也有三个条件
二项分布 分布律公式
二项分布分布律公式二项分布是概率论中的一种离散概率分布，也被称为伯努利分布或0-1分布。
它描述了在进行一系列独立的重复试验中，成功事件发生的次数的概率分布情况。
在二项分布中，每次试验的结果只有两种可能，通常用0和1表示，分别代表失败和成功。
二项分布的分布律公式可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率，n表示试验的次数，p 表示每次试验中成功事件发生的概率，C(n,k)表示组合数，表示从n次试验中选出k次成功的组合数。
在实际问题中，二项分布可以广泛应用。
例如，在进行投掷硬币的试验中，每次试验的结果只有正面和反面两种可能，可以使用二项分布来描述正面朝上的次数。
又如，在进行商品质量检验时，每个产品的合格和不合格是两种可能的结果，可以使用二项分布来描述合格产品的数量。
二项分布具有以下特点：1. 独立性：每次试验的结果都是独立的，前一次试验的结果不会影响后一次试验的结果。
2. 成功概率恒定：每次试验中成功事件发生的概率保持不变。
3. 试验次数固定：进行试验的次数是固定的，不会发生变化。
根据二项分布的分布律公式，我们可以计算出在给定参数下，各个事件发生次数的概率。
例如，在投掷一枚公平硬币10次的试验中，我们希望计算正面朝上5次的概率。
根据二项分布的公式，可以计算得到：P(X=5) = C(10,5) * (0.5)^5 * (0.5)^(10-5) = 0.246即正面朝上5次的概率为0.246，约为24.6%。
二项分布还可以用于计算累积概率。
例如，在上述硬币投掷的例子中，我们可以计算出正面朝上不超过5次的概率。
根据二项分布的性质，可以得知此时的累积概率为：P(X<=5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0.623即正面朝上不超过5次的概率为0.623，约为62.3%。
二项分布计算公式
二项分布计算公式
《二项分布计算公式》
二项分布（binomial distribution）是把某次独立随机试验的取值结果作为一个分布的一种概率分布，由微观经济学家P.S. 哈克（P.S. Hacke）最早提出。
它是统计学最具代表性和应用最广泛的分布之一，可以描述各种社会、经济、工业和生物学等多学科中的事件，是进行统计抽样的重要分布形式。
二项分布定义：对于满足关于以下参数的独立试验：n次试验；每次成功的概率为p；则这n次试验中成功次数的概率分布满足二项分布，记为 X＝X（n，p）。
二项分布的概率质量函数：
P(X=x)＝Cxn px（1－p）n－x
其中Cxn＝n！/[x！（n－x）！
- 1 -。
二项分布展开式公式
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
p^k表示成功的概率p乘以k次，q^(n-k)表示失败的概率q乘以(n-k)次。
通过计算不同的k值，可以得到二项分布的概率分布情况，即不同成功次数的概率。
二项分布展开式公式
二项分布展开式是项式定理在离散概率分布中的应用。假设有一次试验，成功的概率为 p，失败的概率为q=1-p，进行n次独立的重复试验，X表示成功的次数。那么，X服从二项分 布B(n, p)。
二项分布展开式的公式如下：
P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)
二项分布展开式公式
需要注意的是，二项分布展开式只适用于离散的二项分布情况，且试验之间是独立的。
二项分布
二项分布科技名词定义中文名称：二项分布英文名称：binｏｍｉal distribution定义:描述随机现象得一种常用概率分布形式,因与二项式展开式相同而得名。
所属学科:大气科学(一级学科);气候学(二级学科)本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布二项分布二项分布即重复ｎ次得伯努里试验。
在每次试验中只有两种可能得结果,而且就就是互相对立得，就就是独立得,与其它各次试验结果无关,结果事件发生得概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验。
目录概念医学定义二项分布得应用条件二项分布得性质与两点分布区别编辑本段概念二项分布（Biｎoｍial Distｒibｕtion),即重复n次得伯努力试验(Ｂｅrnouｌli Experiment),用ξ表示随机试验得结果、如果事件发生得概率就就是P,则不发生得概率ｑ=1-p,N次独立重二项分布公式复试验中发生Ｋ次得概率就就是P(ξ=K）=Cｎ（k）P(ｋ）q(n-k)注意!:第二个等号后面得括号里得就就是上标，表示得就就是方幂。
那么就说这个属于二项分布、、其中Ｐ称为成功概率。
记作ξ～B(n，ｐ)期望:Eξ=np方差:Dξ=npq如果1、在每次试验中只有两种可能得结果，而且就就是互相对立得;2、每次实验就就是独立得，与其它各次试验结果无关;３、结果事件发生得概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验、在这试验中,事件发生得次数为一随机事件，它服从二次分布、二项分布可二项分布以用于可靠性试验、可靠性试验常常就就是投入n个相同得式样进行试验T 小时,而只允许k个式样失败,应用二项分布可以得到通过试验得概率、若某事件概率为p,现重复试验n次,该事件发生k次得概率为:P=C(k,n)×p^k×(1－p)^(n-ｋ)、C(ｋ,ｎ)表示组合数，即从n个事物中拿出k个得方法数、编辑本段医学定义在医学领域中，有一些随机事件就就是只具有两种互斥结果得离散型随机事件,称为二项分类变量(diｃｈotｏmｏｕs vaｒiable）,如对病人治疗结果得有效与无效,某种化验结果得阳性与阴性,接触某传染源得感染与未感染等。
常用离散分布-二项分布
(一)常用离散分布这里将给出三个常用的离散分布：二项分布、泊松分布与超几何分布。
1 .二项分布我们来考察由n次随机试验组成的随机现象，它满足如下条件：⑴重复进行n次随机试验。
比如，把一枚硬币连抛n次，检验n个产品的质量，对一个目标连续射击n次等。
2 2) n次试验间相互独立，即任何一次试验结果不会对其他次试验结果产生影响。
⑶每次试验仅有两个可能的结果，比如，正面与反面、合格与不合格、命中与不命中、具有某特性与不具有某特性，以下统称为“成功”与“失败工(4)每次试验成功的概率均为p,失败的概率均为1-p。
在上述四个条件下，设X表示n次独立重复试验中成功出现的次数，显然X是可以取0,1,..., n等n+1个值的离散随机变量，且它的概率函数为：n= x) = /(1一。
)1 , x=O,l,…3(1.2-4)W'G这个分布称为二项分布，记为父乩，)，其中是从n个不同元素中取出/个的蛆合数，它的计算公式为：\X)G、_ n\㈤%!(« - x)!二项分布的均值、方差与标准差分别为：E(X) = npVar{X}-4>(1 - p)—=加(1-0)特例：n=i的二项分布称为二点分布。
它的概率函数为：产= —, x = O,l或列表如下：x | 0 1 ____________P P它的均值、方差与标准差分别为跃© = P，gr(X) = Hl-⑼，6X)=［pQ-p)［例1.2-10］在一个制造过程中，不合格品率为0.1，如今从成品中随机取出6个，记X为6个成品中的不合格品数，则x服从二项分布8(6 ,0.1),简记为X〜堆，0.1) o现研究如下几个问题：(1)恰有1个不合格品的概率是多少?这里规定抽到不合格品为“成功” > 则事件XE的概率为：P{X = 1) = x0.1x(l-0.1)6-i = 6x0.1x0.95 =0.3543Uz这表明, 6个成品中恰有一个不合格品的概率为0. 3543-类似可计算X=0 , X=1 ,…'X=6的概率，计算结果可列出一张分布列，具体如下：X 0 1 2 3 4 5 6P 0.5314~0.3543 0.0984 0.0146 0.0012 0.0001 0.0000这里0. 0000表示X=6的概率取前4位小数的有效数字为零,实际上，它的概率为P 0(=6)=0. 000001 ,并不严格为零。
二项分布分布函数
二项分布分布函数二项分布分布函数是概率论中常见的一种分布函数。
它是指在一系列独立重复的试验中，成功的次数符合二项分布的概率函数。
在实际生活中，二项分布分布函数的应用非常广泛，比如在统计学、生物学、物理学、工程学等领域都有重要的应用。
二项分布分布函数的定义二项分布分布函数是指在n次独立重复的试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，成功的次数为X，则X的概率函数为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个物体中取k个物体的组合数。
即C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)二项分布分布函数的性质1.期望值二项分布X的期望值为：E(X)=np其中，n为试验次数，p为每次试验成功的概率。
2.方差二项分布X的方差为：Var(X)=np(1-p)3.特殊情况当n=1时，二项分布就是伯努利分布。
伯努利分布的概率函数为：P(X=k)=p^k(1-p)^(1-k)当n趋近于无穷大时，二项分布趋近于正态分布。
二项分布分布函数的应用1.质量控制在生产过程中，为了保证产品质量，需要进行质量控制。
如果每个产品的不良率为p，则在n个产品中有k个不良品的概率就可以用二项分布分布函数来计算。
这样可以帮助企业及时发现产品质量问题，提高产品质量。
2.投资分析在投资分析中，需要对投资收益进行概率分析。
如果每次投资的成功率为p，失败率为1-p，则在n次投资中成功k次的概率可以用二项分布分布函数来计算。
这样可以帮助投资者制定合理的投资策略，降低投资风险。
3.医学研究在医学研究中，需要进行药物试验。
如果每次试验的成功率为p，失败率为1-p，则在n次试验中成功k次的概率可以用二项分布分布函数来计算。
这样可以帮助医学研究者评估药物的疗效，提高药物疗效。
4.市场调查在市场调查中，需要对市场研究结果进行概率分析。
如果每个被调查者购买产品的概率为p，则在n个被调查者中有k个人购买产品的概率可以用二项分布分布函数来计算。
二项分布 分布律公式
二项分布分布律公式二项分布是概率论中的一种离散概率分布，用于描述在n次独立重复的伯努利试验中，成功次数的概率分布。
它的分布律公式可以表达为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功次数为k的概率，C(n,k)表示组合数，表示从n次试验中选取k次成功的组合数，p表示每次试验成功的概率，(1-p)表示每次试验失败的概率。
二项分布可以用来解决很多实际问题，比如在进行n次独立重复的试验中，成功次数为k的概率是多少？或者在进行n次独立重复的试验中，成功次数不超过k的概率是多少？下面我们通过几个例子来说明二项分布的应用。
例子1：某医院进行了100次独立的手术，手术成功的概率为0.9。
现在我们想知道，在这100次手术中，成功次数为80的概率是多少？根据二项分布的分布律公式，可以得到：P(X=80) = C(100,80) * 0.9^80 * (1-0.9)^(100-80)计算得到的结果为0.000169，即手术成功次数为80的概率约为0.0169%。
例子2：某超市每天有100个顾客来购物，每个顾客购买商品的概率为0.3。
现在我们想知道，在一天里，购买商品的顾客不超过30个的概率是多少？根据二项分布的分布律公式，可以得到：P(X<=30) = P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=30)P(X=0) = C(100,0) * 0.3^0 * (1-0.3)^(100-0)P(X=1) = C(100,1) * 0.3^1 * (1-0.3)^(100-1)...P(X=30) = C(100,30) * 0.3^30 * (1-0.3)^(100-30)将上述各项概率相加，可以得到购买商品的顾客不超过30个的概率。
通过计算，可以得到购买商品的顾客不超过30个的概率约为0.0738，即约为7.38%。
通过以上两个例子，我们可以看到二项分布可以用来解决许多实际问题。
二项分布方差
二项分布方差一、什么是二项分布在概率论中，二项分布是一种常见的离散型概率分布。
它描述了在n次独立重复的伯努利试验中，成功的次数（事件A）恰好为k次（0<=k<=n）的概率。
伯努利试验是指一个试验只有两种可能的结果，通常为成功和失败。
二项分布的概率质量函数可以用数学公式表示为：P(k;n,p) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中C(n,k)表示组合数，即在n次试验中取k次成功的不同排列数。
二、二项分布方差的计算公式二项分布的方差可以通过公式计算，公式如下：Var(X) = n * p * (1 - p)其中Var(X)表示二项分布的方差，n表示试验次数，p表示单次试验成功的概率。
三、方差的解释方差是用来衡量一个随机变量的离散程度的指标，它描述了随机变量分布离其均值的偏离程度。
方差越大，随机变量的取值相对于均值的离散程度就越大。
对于二项分布来说，方差的计算方法较为简单。
方差的计算公式中的n表示试验次数，p表示单次试验成功的概率。
从公式中可以看出，当试验次数n增加或成功概率p增加时，方差也会增大。
四、方差的意义方差在实际应用中具有重要的意义。
它可以帮助我们分析和比较随机变量的分布。
在二项分布中，对于同样的试验次数n，方差的大小可以反映单次试验成功概率p对整体分布形状的影响。
以一个简单的例子来说明方差的意义。
假设有两个硬币A 和B，进行10次独立的抛掷实验。
硬币A是正面朝上的概率为0.5，硬币B是正面朝上的概率为0.8。
两个硬币的试验次数相同，但是硬币B的成功概率更高。
根据二项分布方差的公式，可以计算出硬币A和B的方差分别为：Var(A) = 10 * 0.5 * (1 - 0.5) = 2.5 Var(B) = 10 * 0.8 * (1 - 0.8) = 1.6由此可见，硬币B的方差比硬币A的方差更小，表明硬币B的抛掷结果更加稳定，成功概率更高。
五、方差的应用方差的应用非常广泛，不仅在概率论和数理统计中有重要的地位，还被广泛应用于金融学、经济学、生物学、物理学等众多领域。
二项分布奇数项概率
二项分布奇数项概率
二项分布是一种离散概率分布，通常用于描述在n次独立的是/非试验中成功的次数。
假设X是成功的次数，那么X遵循参数为n和p的二项分布，记作X~B(n,p)。
二项分布的概率质量函数（PMF）为：
P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
其中，C(n,k)是组合数，表示从n个不同项中选取k个的方法数。
对于二项分布B(n,p)，奇数项概率可以表示为：
P(X=2k+1) = C(n,2k+1) * p^(2k+1) * (1-p)^(n-(2k+1))
其中，k是任意非负整数，并且0≤p≤1。
这个公式告诉我们，在n次独立的是/非试验中，成功的次数为奇数的概率是多少。
需要注意的是，二项分布适用于的是/非试验，也就是说，每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。
此外，二项分布在概率和统计中非常重要，因为它可以用来模拟很多实际问题的概率分布，比如抛硬币、掷骰子等等。
在实际应用中，我们通常需要使用软件或编程语言来计算二项分布的概率质量函数、累积分布函数、期望和方差等统计量。
例如，在Python中，我们可以使用SciPy库中的scipy.stats.binom模块来计算二项分布的概率质量函数、累积分布函数等。
二项分布公式了解二项分布的计算公式
二项分布公式了解二项分布的计算公式二项分布公式是概率论中的一个重要公式，它用来计算在一系列独立重复的伯努利试验中，成功事件发生 k 次的概率。
本文将介绍二项分布的概念，并详细解释如何使用二项分布公式进行计算。
1. 二项分布概述二项分布是概率论中最基本的离散概率分布之一，它描述了在一系列独立重复的伯努利试验中，成功事件发生的次数的概率分布。
伯努利试验是指每次试验只有两个可能结果的情况，比如抛硬币的结果只能是正面或反面。
2. 二项分布公式在二项分布中，成功事件的概率为p，失败事件的概率为q = 1 - p。
那么进行 n 次独立重复的伯努利试验，成功事件发生 k 次的概率可以用二项分布公式来计算：P(X = k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中，P(X = k) 表示成功事件发生 k 次的概率，C(n,k) 表示从 n 次试验中取出 k 次成功事件的组合数，p^k 表示成功事件发生 k 次的概率，q^(n-k) 表示失败事件发生 n-k 次的概率。
3. 二项分布计算示例假设有一个骰子，投掷 6 次，每次的成功事件是投出数字 6。
那么我们可以使用二项分布公式计算出投出 6 恰好出现 4 次的概率。
n = 6，k = 4，p = 1/6，q = 1 - p = 5/6根据二项分布公式，我们有：P(X = 4) = C(6,4) * (1/6)^4 * (5/6)^(6-4)计算 C(6,4) 得到：C(6,4) = 6! / (4! * (6-4)!) = 15将数值代入公式计算得到最终结果：P(X = 4) = 15 * (1/6)^4 * (5/6)^2 ≈ 0.1938所以投掷骰子恰好投出 6 的概率为约 0.1938。
4. 二项分布的应用二项分布广泛应用于实际生活中的概率计算，比如：- 预测某个广告在特定人群中的点击率。
- 检验某种产物是否合格，统计合格品率。
- 研究药物治疗效果，统计患者痊愈率。
二项分布列公式
二项分布列公式
嘿，朋友们！今天咱来聊聊二项分布列公式呀！二项分布列公式就是
P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)。
哎呀，这公式乍一看可能有点晕乎乎呢，但别急，听我慢慢说哈。
比如说咱扔硬币，扔 10 次，每次正面朝上的概率是（哇塞，这例子多经典呀）。
那想知道正好有 3 次正面朝上的概率是多少呢？这时候二项分布列公式就派上用场啦！n 就是 10 呀，k 就是 3 呀，p 就是呀！用公式一算，嘿，就得出答案啦！
你想想看，这就好像是一个神奇的工具，能帮我们算出很多这种类似情况下的概率呢！是不是超级厉害的？别小瞧这个公式哦，关键时刻可有用啦！所以呀，咱可得好好记住它，会给咱带来很多惊喜呢！。
二项分布表示形式
二项分布表示形式
二项分布是一种离散型概率分布，其表示的是在 n
次独立重复试验中，成功的次数 X 的概率分布。
其中每次试验中成功的概率为 p，失败的概率为 1-p，即：
P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
其中，C(n,k) 表示从 n 次试验中 k 次成功的组合数，即：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!) 。
此处的 k 取值范围为 0 <= k <= n，表示 0 到 n
次成功的情况。
另外，二项分布也可以表示为伯努利分布的 n 次独立重复。
伯努利分布表示的是单次试验中成功的概率分布，即 X = 1 或 X = 0，而二项分布表示重复 n 次试验中成功的次数 X 的概率分布，相当于对多次独立的伯努利试验的结果进行统计分析。
二项分布计算公式
二项分布计算公式
二项分布是概率论中的一种离散概率分布，它描述了在n次独立重复的伯努利试验中，成功的次数的概率分布。
其中，每次试验只有两种可能的结果，成功或失败。
二项分布的计算公式如下：
P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
其中，P(X=k)表示成功k次的概率，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示从n次试验中选出k次成功的组合数。
例如，假设有一个硬币，正面朝上的概率为0.6，反面朝上的概率为0.4。
现在进行10次独立重复的抛硬币试验，求正面朝上恰好出现5次的概率。
根据二项分布的计算公式，可以得到：
P(X=5) = C(10,5) * 0.6^5 * 0.4^5 = 0.246
因此，正面朝上恰好出现5次的概率为0.246。
二项分布的应用非常广泛，例如在质量控制、市场调查、医学研究等领域都有着重要的应用。
在质量控制中，可以使用二项分布来计算在一批产品中有多少个不合格品；在市场调查中，可以使用二项分布来计算在一定样本量下，某种产品的市场占有率；在医学研究中，可以使用二项分布来计算某种治疗方法的有效性。
二项分布是概率论中非常重要的一种分布，它可以帮助我们计算在一定条件下某种事件发生的概率，具有广泛的应用价值。
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二项分布
科技名词定义
中文名称：二项分布
英文名称： binomial distribution
定义：描述随机现象的一种常用概率分布形式，因与二项式展开式相同而得名。
所属学科：大气科学（一级学科）；气候学（二级学科）
本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布
百科名片
二项分布
二项分布即重复n 次的伯努里试验。
在每次试验中只有两种可能的结果, 而且是互相对立的，是独立的 , 与其它各次试验结果无关，结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变, 则这一系列试验称为伯努力试验。
目录
概念
医学定义
二项分布的应用条件
二项分布的性质
与两点分布区别
编辑本段概念
二项分布（ Binomial Distribution），即重复n 次的伯努力试验
（ Bernoulli Experiment）,
用ξ表示随机试验的结果.
如果事件发生的概率是P, 则不发生的概率q=1-p ， N 次独立重
二项分布公式
复试验中发生K 次的概率是
P( ξ =K)=Cn(k)P(k)q(n-k)
注意 !: 第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。
那么就说这个属于二项分布..
其中 P 称为成功概率。
记作ξ~B(n,p)
期望 :E ξ =np
方差 :D ξ =npq
如果
1.在每次试验中只有两种可能的结果 , 而且是互相对立的 ;
2.每次实验是独立的 , 与其它各次试验结果无关 ;
3.结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变 , 则这一系列试验称为伯努力试验 .
在这试验中 , 事件发生的次数为一随机事件, 它服从二次分布 . 二项分布可
二项分布
以用于可靠性试验. 可靠性试验常常是投入n 个相同的式样进行试验T 小时 ,而只允许 k 个式样失败 , 应用二项分布可以得到通过试验的概率.
若某事件概率为p，现重复试验n 次，该事件发生k 次的概率
为:P=C(k,n) ×p^k×(1 -p)^(n-k).C(k,n)表示组合数，即从n 个事物中拿出 k 个的方法数 .
编辑本段医学定义
在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事
件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。
二项分布（ binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离
散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。
考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（π）是恒定的
二项分布公式
，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为贝努里试验（Bernoulli
trial ）。
如果进行n 次贝努里试验，取得成功次数为X（X=0,1, ⋯,n ）的概
率可用下面的二项分布概率公式来描述：
P=C(X,n)* π ^X*(1- π )^(n-X)
式中的 n 为独立的贝努里试验次数，π 为成功的概率，（1- π）为失败的概率， X 为在 n 次贝努里试验中出现成功的次数，表示在n 次试验中出现
X 的各种组合情况，在此称为二项系数（binomial coefficient）。
所以的含义为：含量为n 的样本中，恰好有例阳性数的概率。
编辑本段二项分布的应用条件
1．各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存
或死亡等，属于两分类资料。
2．已知发生某一结果（阳性）的概率为π，其对立结果的概率为 1- π，实际工作中要求π 是从大量观察中获得比较稳定的数值。
二项分布公式
3． n 次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即
每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。
如要求疾病无传
染性、无家族性等。
编辑本段二项分布的性质
1．二项分布的均数和标准差在二项分布资料中，当
π 和n 已知时，它
的均数μ及其标准差σ 可由式（7.3）和（7.4）算出。
μ=nπ（ 7.3 ）
σ=（7.4 ）
若均数和标准差不用绝对数表示，而是用率表示时，即对式（7.
二项分布公式
3）和（ 7.4 ）分别除以n，得
μp=π（ 7.5 ）
σp=（ 7.6 ）
σp 是样本率的标准误的理论值，当π未知时，常用样本率 p 作为π的估计值，式（ 7.6 ）变为：
sp= （ 7.7 ）
2．二项分布的累计概率（cumulative probability）常用的有左侧累
计和右侧累计两种方法。
从阳性率为π 的总体中随机抽取含量为n 的样本，则
（1）最多有k 例阳性的概率
(7.8)
（2）最少有 k 例阳性的概率
（7.9 ）
其中， X=0,1,2, ⋯,k, ⋯,n 。
3．二项分布的图形已知π 和n，就能按公式计算X=0， 1，⋯， n 时的
P（ X）值。
以 X 为横坐标，以P（ X）为纵坐标作图，即可绘出二项分布的图
形，如图 7.1 ，给出了 p=0.5 和 p=0.3时不同n值对应的二项分布图。
二项分布的形状取决于π和 n 的大小，高峰在m=np处。
当 p 接近 0.5时，图形是对称的；p 离 0.5 愈远，对称性愈差，但随着n 的增大，分布趋
于对称。
当n→∞时，只要p 不太靠近 0 或 1，特别是当nP 和 n(1 － P) 都大
于5 时，二项分布近似于正态分布。
π=0.5 时 , 不同 n 值对应的二项分布
π=0.3 时 , 不同 n 值对应的二项分布
图 7.1 二项分布示意
编辑本段与两点分布区别
两点分布又称伯努利分布
两点分布的分布列就是
x01
P1-p p
不论题目有什么区别, 只有两种可能, 要么是这种结果要么是那种结果, 通
俗点 , 要么成功要么失败
而二项分布的可能结果是不确定的甚至是没有尽头的 , 列
一个二项分布的分布列就是
X012
P C(0)(n)⋯⋯⋯
·(1
n
- p)^n C(1)(n)·p·(1-p)^(n-1) ⋯⋯
C(n)(n) ·p^n·(1-p)^0
也就是说当n=1 时, 这个特殊二项分布就会变成两点分布,
即两点分布是一种特殊的二项分布
像其他地方说的二项分布是两点分布的多重实验也不无道理 , 因为两者都是
独立的重复实验 , 只不过次数不同罢了
E(n) = np, var(n) = np(1-p) (n是实验次数，p 是每次实验的概率）。