3.2.2-2自建函数模型解决实际问题

合集下载

高一数学3.2.2 函数模型的应用实例(Ⅱ)教案

高一数学3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅱ）教案【课型】新授课【教学目标】能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.【教学重点】利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.【教学难点】将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.【学法与教学用具】1. 学法：自主学习和尝试，互动式讨论.2. 教学用具：多媒体【教学设想】（一）创设情景，揭示课题.现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅱ）（二）实例尝试，探求新知例1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.1）写出速度关于时间的函数解析式；2）写出汽车行驶路程关于时间的函数关系式，并作图象；3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数与时间的函数解析式，并作出相应的图象.本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式.例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）年份19501951195219531954人数5519656300574825879660266年份19551956195719581959人数61456628286456365994672073.2.2 函数模型的应用实例（Ⅱ）1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？探索以下问题：1）本例中所涉及的数量有哪些？2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？3）根据表中数据如何确定函数模型？4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应做出如何评价？如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？本例的题型是利用给定的指数函数模型解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数与.完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以借助计算器.在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度，并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式.引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定的近似值.课堂练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.探索以下问题：1）本例给出两种函数模型，如何根据已知数据确定它们？2）如何对所确定的函数模型进行评价？本例是不同函数的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定具体函数模型.引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度，这也是对函数模评价的依据.本例渗透了数学思想方法，要培养学生有意识地运用.3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅱ）（三）. 归纳小结，发展思维.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；2）利用待定系数法，确定具体函数模型；3）对所确定的函数模型进行适当的评价；4）根据实际问题对模型进行适当的修正.2.提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？二、讲授新课：1.教学指数函数模型思想及指数函数概念：①探究两个实例：A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？想.五、作业布置P59 习题2.1 A组第5、7、8题。

人教A版数学必修一3.2.2函数模型的应用实例.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作3.2.2 函数模型的应用实例【选题明细表】题号知识点、方法易中难利用已知函数模型解决问题 1 3、8自建函数模型解决问题2、6 4、9拟合函数模型解决问题7 5 10基础达标1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图,则t=2时,汽车已行驶的路程为km.( C )(A)100 (B)125 (C)150 (D)225解析:t=2时,汽车行驶的路程为:s=50×0.5+75×1+100×0.5=25+75+50=150 km.故选C.2.某林场计划第一年造林10000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林( D )(A)14400亩(B)172800亩(C)20736亩(D)17280亩解析:设年份为x,造林亩数为y,则y=10000×(1+20%)x-1,∴x=4时,y=17280.故选D.3.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为:y=其中,x代表拟录用人数,y代表面试人数.若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为( C )(A)15 (B)40 (C)25 (D)130解析:令y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.故拟录用人数为25.故选C.4.(2012厦门高一检测)某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数:m=162-3x,若要每天获得最大的销售利润,每件商品的售价应定为( B )(A)30元(B)42元(C)54元(D)越高越好解析:设当每件商品的售价为x元时,每天获得的销售利润为y元.由题意得,y=m(x-30)=(x-30)(162-3x).上式配方得y=-3(x-42)2+432.∴当x=42时,利润最大.故选B.5.今有一组实验数据如表所示:t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12u 1.5 4.04 7.5 12 18.01则体现这些数据关系的最佳函数模型是( C )(A)u=log2t (B)u=2t-2(C)u=- (D)u=2t-2解析:由散点图可知,图象不是直线,排除D;图象不符合对数函数的图象特征,排除A;当t=3时,2t-2=23-2=6,-=-=4,由表格知当t=3时,u=4.04,模型u=-能较好地体现这些数据关系.故选C.6.由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,每隔5年计算机的价格降低,现在价格为8100元的计算机经过15年的价格为元.解析:每隔5年价格降低,15年共降价3次,每次降价为原来的,则15年后计算机的价格为:8100×(1-)3=2400元.答案:24007.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现在两个拟合模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用作为拟合模型较好. 解析:对于甲:x=3时,y=32+1=10,对于乙:x=3时,y=8,因此用甲作为拟合模型更好.答案:甲能力提升8.某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=e kt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则k= ,经过5小时,1个病毒能繁殖为个.解析:当t=0.5时,y=2,∴2=,∴k=2ln 2,∴y=e2tln 2,当t=5时,y=e10ln 2=210=1024.答案:2ln 2 10249.(2012山东省实验中学高一月考)某市一家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如表所示:月份用气量(立方米) 煤气费(元)1 4 42 25 143 35 19该市煤气收费的方法是:煤气费=基本费+超额费+保险费.若每月用气量不超过最低额度A(A>4)立方米时,只付基本费3元和每户每月定额保险费C(0<C5)元;若用气量超过A立方米时,超过部分每立方米付B元.(1)根据表格求A、B、C的值;(2)若用户第四月份用气量为30立方米,则应交煤气费多少元?解:(1)设每月用气量为x立方米,支付费用为y元,①根据题意,得y=-由题设知,A>4,0<C5,因此3+C8,从表格中可以看出第二、三月份的费用均大于8元.故用气量25立方米、35立方米均应大于最低额度A立方米,从而将x=25,x=35代入①得--解得(2)由(1)得y=把x=30代入,得y=16.5.即第四月份应交煤气费为16.5元.10.某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成如表:投资A种商1 2 3 4 5 6品金额(万元)获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40投资B种商1 2 3 4 5 6品金额(万元)获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大纯利润,并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).解:以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所示.观察散点图可以看出,A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟,如图(1)所示.取(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2,再把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2.B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型进行模拟,如图(2)所示.设y=kx+b,取点(1,0.25)和(4,1)代入,得解得所以y=0.25x.设第七个月投入A,B两种商品的资金分别为x A万元,x B万元,总利润为W万元,那么所以W=-0.15(x A-)2+0.15×()2+2.6.当x A=≈3.2万元时,W取最大值,约为4.1万元,此时x B=8.8万元.即该经营者第七个月把12万元中的3.2万元投资A种商品,8.8万元投资B种商品,可获得最大利润约为4.1万元.。

课件5：3.2.2 函数模型的应用实例

长为 2 的正三角形，记△OAB 位于直线 x＝t(t>0)左侧的图形的面积为 f(t)，试求函数 f(t)的解析式．
图 3－2－8
【解】 OB 所在的直线方程为 y＝ 3x.当 x∈(0,1]时，由 x ＝t，求得 y＝ 3t，所以 f(t)＝ 23t2；
当 t∈(1,2]时，f(t)＝ 3－ 23(2－t)2；当 t∈(2，＋∞)时，f(t)＝ 3，
23t2，t∈0，1]，
∴f(t)＝
3－ 232－t2，t∈1，2]，
3，t∈2，＋∞.
指数(对数)型函数建模问题
例 3.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为 v(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q，研究中发现 v 与 log31Q00成正比，且当 Q＝900 时，v＝1.
24x－9.6 x>34.
(2)由于 y＝f(x)在各段区间上均单调递增，所以当 x∈0，45时，y≤f45<26.40；当 x∈45，43时，y≤f43<26.40；当 x∈43，＋∞时，令 24x－9.6＝26.40，得 x＝1.5.∴甲用户用水量为 5x＝7.5(吨)，付费 y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)．乙用户用水量为 3x＝4.5(吨)，付费 y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．
【自主解答】 (1)设 y＝kx＋b(k≠0)， ∵x＝8 时，y＝400；x＝10 时，y＝320. ∴430200＝＝810k＋k＋b， b，解之得kb＝＝－72400，， ∴y 关于 x 的函数关系式为 y＝－40x＋720(x>0)． (2)该班学生买饮料每年总费用为 51×120＝6 120(元)．当 y＝380 时，380＝－40x＋720，得 x＝8.5，该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为 380×8.5＋ 228＝3 458(元)，所以，饮用桶装纯净水的年总费用少．

探究式导学案2：3.2.2 函数模型的应用实例

3.2.2 函数模型的应用实例学习目标1．掌握几种初等函数的应用．2．理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法． 3．了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤．课前预习1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)________________________________________________； (2)________________________________________________； (3)________________________________________________． 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)________________；(2)________；(3)______________； (4)______________； (5)________；(6)______________．对点讲练1.已知函数模型的应用问题【例1】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 0≤x ≤40080 000 x >400.其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)变式迁移1 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(116)t－a(a为常数)如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为__________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．2.自建函数模型的应用问题【例2】某公司每年需购买某种元件8 000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？变式迁移2 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．3.函数模型的选择【例3】某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝ab x＋c(其中a，b，c为常数，a≠0)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．变式迁移3 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t 的变化关系；Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．课堂小结1．解答应用题的基本步骤：(1)设：合理、恰当地设出变量；(2)写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题；(3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；(4)答：将数学问题的解还原到实际生活问题中，给出最终的答案．2．在中学阶段，用函数拟合解决实际问题的基本过程是：课时作业一、选择题1．今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是( ) A ．V ＝log 2t B ．V ＝log 12t C ．V ＝t 2－12 D ．V ＝2t －22．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．2 400元B ．900元C ．300元D ．3 600元 3. 一个高为H ，盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的图象大致是( )4．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水2t 2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡( )A ．3人B ．4人C ．5人D ．6人二、填空题5．60年国庆，举国欢腾，某旅游胜地的客流量急速增加．某家客运公司为招揽游客，推出了客运定票的优惠政策：如果行程不超过100 km ，票价是0.4元/km ；如果超过100 km ，则超过100 km 的部分按0.3元/km 定价．则客运票价y 元与行程公里x km 之间的函数关系是______________________________．6.如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车者在相距为80 km 的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用6 h(含途中休息的1 h)，骑摩托车者用了2 h ．有人根据这个函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h ，晚到1 h ；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h 后追上骑自行车者．其中正确的序号是_________________________．三、解答题7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不赔本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是多少．8．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，凡多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？参考答案自学导引1．(1)利用给定的函数模型解决实际问题(2)建立确定性的函数模型解决问题(3)建立拟合函数模型解决实际问题2．(1)收集数据(2)描点(3)选择函数模型(4)求函数模型(5)检验(6)用函数模型解决实际问题对点讲练【例1】解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 0000≤x ≤40060 000－100x x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，有最大值25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，f (x )取最大值． ∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．变式迁移1 (1) y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110， t >110(2)0.6解析 (1)设y ＝kt (k ≠0)，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．∴y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110，t >110.(2)由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6，故至少需经过0.6小时．【例2】解设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入，设为c 元，则y ＝500n ＋2×8 000n ×12＋c＝500n ＋8 000n ＋c ＝500(n ＋16n )＋c＝500(n －4n)2＋4 000＋c ，当且仅当n ＝4n，即n ＝4时，y 取得最小值且y min ＝4 000＋c . 所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．变式迁移2 解 (1)设污水处理池的长为x m ，则宽为200x m ，总造价为y .∴y ＝400(2x ＋2×200x )＋248×200x ×2＋80×200＝800(x ＋324x )＋16 000.∵⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<200x ≤16，∴12.5≤x ≤16.故其定义域为[12.5,16]．(2)先讨论y ＝800(x ＋324x )＋16 000在[12.5,16]上的单调性．设x 1，x 2∈[12.5,16]且x 1<x 2，则 y 1－y 2＝800[(x 1－x 2)＋324(1x 1－1x 2)]＝800(x 1－x 2)(1－324x 1x 2)．∵x 1，x 2∈[12.5,16]，x 1<x 2， ∴x 1·x 2<162<324. ∴1－324x 1x 2<0，x 1－x 2<0.∴y 1－y 2>0.∴此函数在[12.5,16]上单调递减． ∴当x ＝16时，y min ＝45 000(元)，此时，宽为20016 m ＝12.5 m.∴当池长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价最低为45 000元．【例3】解设f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝p ＋q ＋r ＝1，f 2＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f 3＝9p ＋3q ＋r ＝1.3.解得p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7.∴f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7， ∴f (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3. 设g (x )＝ab x ＋c (a ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧g 1＝ab ＋c ＝1，g 2＝ab 2＋c ＝1.2，g 3＝ab 3＋c ＝1.3.解得a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4， ∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.经比较可知，用g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好．变式迁移3 解 (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选取Q ＝at 2＋bt ＋c . 即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c 108＝a ×1102＋b ×110＋c 150＝a ×2502＋b ×250＋c ，解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg. 课时作业 1．C 2.A3．D [考察相同的Δh 内ΔV 的大小比较．]4．B [设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289(升)，可供4人洗澡．]5．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.4x ，0<x ≤100，40＋0.3x －100，x >1006．①②解析 ③错，骑摩托车者出发1.5 h 时走了60 km ，而从图中可看出骑自行车者走的距离大于60 km.7．解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3 000＋20x －0.1x 2≤25x 0<x <240解得150≤x <240，x ∈N *∴生产者不赔本时的最低产量是150台．8．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)．∴当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0<x ≤100时，P ＝60；当100<x <550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－0.02x ；当x ≥550时，P ＝51.∴P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x <550，51， x ≥550(x ∈N ＋)．(3)设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为S 元，则 S ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x <550，11x ， x ≥550(x ∈N ＋)当x ＝500时，S ＝22×500－0.02×5002 ＝6 000(元)；当x ＝1 000时，S ＝11×1 000＝11 000(元)．∴当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果一次订购1 000个零件时，利润是11 000元．。

教学设计：3.2.2 函数模型的应用实例

§3.2.2函数模型的实际应用教学目标：知识与技能：将实际问题转化为函数模型．过程与方法：能够借助函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）解决实际问题，了解函数模型的广泛应用．情感、态度、价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．教学重点：重点：将实际问题转化为函数模型，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．教学过程例1某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价－付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20·0.30x；②可卖出250份的10天里，收入为10·0.30·250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10·0.05·(x－250).付给报社的总价为30·0.20x.解：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.于是每月所获利润y为y=20·0.30x+10·0.30·250+10·0.05·(x－250)－30·0.20x=0.5x+625，x∈［250，400］.因函数y在［250，400］上为增函数，故当x=400时，y有最大值825元.例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？图3－2－1－15解：(1)依题意，得y =⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤.101,32032,10,6t t t t (2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则32-t 1+320=4，t 1=4.因而第二次服药应在11:00；设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有32-t 2+32032-(t 2－4)+320=4，解得t 2=9小时，故第三次服药应在16:00；设第四次服药在第一次后t 3小时(t 3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，32-(t 2－4)+32032-(t 2－9)+320=4，解得t 3=13.5小时，故第四次服药应在20:30.变式训练通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f (x )表示学生接受概念的能力〔f (x )的值愈大，表示接受的能力愈强〕，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式： f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-.3016.1073,1610.59,100.436.21.02x x x x x x(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？解：(1)当0<x ≤10时，f (x )=－0.1x 2+2.6x +43=－0.1(x －13)2+59.9，由f (x )的图象，知当x =10时，［f (x )］max =f (10)=59；当10<x ≤16时，f (x )=59；当16<x ≤30时，f (x )=－3x +107，由f (x )的图象，知f (x )<－3×16+107=59.因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟.(2)∵f (5)=－0.1×(5－13)2+59.9=53.5，f (20)=－3×20+107=47<53.5，∴开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强.点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练. 拓展提升探究内容①在函数应用中如何利用图象求解析式.②分段函数解析式的求法.③函数应用中的最大值、最小值问题.举例探究：(2007山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图3－2－1－18(1)、图3－2－1－18(2)、图3－2－1－18(3)所示.其中图3－2－1－18(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3－2－1－18(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图3－2－1－18(3)的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系.图3－2－1－18(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )、国内市场的日销售量g (t )与第一批产品A 上市时间t 的关系式；(2)第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元? 分析：1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式.2.在t ∈［0，40］上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段.3.回忆函数最值的求法.解：(1)f (t )=⎩⎨⎧≤<+-≤≤,4030,2406,300,2t t t t g (t )=203-t 2+6t (0≤t ≤40).(2)每件A 产品销售利润h (t )=⎩⎨⎧≤≤≤≤.4020,60,200,3t t t . 该公司的日销售利润F(t )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤+-≤≤--,4030),240203(60,3020),8203(60,200),8203(3222t t t t t t t t t ，当0≤t ≤20时，F(t )=3t (203-t 2+8t )，先判断其单调性. 设0≤t 1＜t 2≤20，则F(t 1)－F(t 2)=3t 1(203-t 12+8t 1)－3t 2(203-t 22+8t 2)=209-(t 1+t 2)(t 1－t 2)2. ∴F(t )在［0，20］上为增函数.∴F(t )max =F(20)=6 000<6 300.当20<t ≤30时，令60(203-t 2+8t )>6 300，则370<t <30; 当30<t ≤40时，F(t )=60(203-t 2+240)<60(203-×302+240)=6 300，故在第24、25、26、27、28、29天日销售利润超过6 300万元.点评：1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点.2.在t ∈［0，40］上，有几个分界点，t =20，t =30两点把区间分为三段.3.二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一.课堂小结本节学习了:幂函数、指数函数、对数函数的应用.作业课本P 107习题3.2A 组3、4.。

必修一3-2-2函数模型的应用实例

课堂讲练互动
活页规范训练
名师点睛 1．利用确定函数模型求解实际问题这类应用题提供的变量关系是确定的，是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力．求解时一般按以下几步进行： (1)阅读理解，认真审题，就是读懂题中的文字叙述，关键是找准题目中确定的相等关系，特别是隐含的相等关系；
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．利用拟合函数模型(近似函数模型)解决实际过程． (1)这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值(是搜集或用实验方法测定的)．为了降低难度，有时采用限定函数模型范围的方法．求解这种函数模型的一般步骤为：画散点图→选择函数模型→用待定系数法求函数模型 →检验，若符合实际，可用此函数模型解释实际问题，若不符合实际，则继续选择函数模型，重复操作过程．利用所得函数模型可解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
3．拟合函数模型的应用题求解步骤
想一想：数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？提示因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图，一般是从我们比较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其他函数模型．
课前训练
(2)引进数学符号，建立函数模型，把第一步分析得出的相等关系翻译成含有 x，y 的等式，即所谓建立了函数模型，这个函数模型可能含有一些待定的系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定； (3)利用函数知识，如单调性、最值等，对函数模型予以解答，即所谓解答函数模型； (4)翻译成具体问题作答．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练

3.2.2函数模型的应用实例

时间的关系如图所示：
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面
积的实际含义； v
(2)假设这辆汽车的 90
里程表在汽车行驶 80 70
这段路程前的读数 60 50
为2004 km，试建立
40 30
汽车行驶这段路程时 20 10
汽车里程表读数s km
1 2 3 4 5t
与时间t h的函数解析式，并作出图象.
由y=a(1+r)x 得 y=1131.4 答：5期后本利和是1131.4元。
【总一总★成竹在胸】
解决实际问题的步骤：
实际问题问题解决
抽象概括
数学模型
数学化
(设、列)
数
(解)
学解
答
推理演算
实际问题的解
还原说明
符合实际 (答)
数学模型的解
买进卖出退回
数量(份)
30x 20x+10*250
10(x-250)
价格(元)
0.20 0.30 0.08
金额(元)
6x 6x+750 0.8x-200
解: 每月获利润:
y 6x 750 0.8x 200 6x
0.8x 550 (250≤x≤400)
∴x＝400份时，y取得最大值870元答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元．
就可获得最大的利润
解2:设每桶水定价x元时，日均利润为y元,
则日均销售量为 480 40(x 6) 720 40x 桶
y (720 40x)(x 5) 200
40x2 920x 3800
40(x 11.5)2 1490
而 x 5,且720 40 x 0,即5 x 18 当x 11.5时，y 有最大值只需将销售单价定为11.5元，

3.2.2函数模型的应用实例(教学设计)

3.2.2函数模型的应用实例(教学设计)盘县第六中学董大品一、教学目标知识与技能目标：1、能根据图象和表格提供的有关信息和数据，建立函数模型；2、会利用建立的函数模型解决实际问题；3、在例题分析和讲解过程中，给同学们渗透法治教育.过程与方法目标：1、通过实例分析，使学生感受函数的广泛应用，体会建立函数模型解决实际问题的思维过程；2、在讲到车速和人口问题时，可以向同学们拓广《中华人民共和国道路交通安全法》和《中华人民共和国人口与计划生育法》.情感、态度与价值观目标：1、让学生体验“问题解决”的成功喜悦，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心；2、培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度；3、经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟“认识来源于实践又服务于实践”的辩证观点.二、教材分析本小节教材共有4个例题，大致分为两类，其中例3和例5是根据图表信息建立确定性函数模型解决实际问题；例4和例6是建立拟合函数模型解决实际问题.本小节分两个教学课时，本节课是第一课时.我以教材例3和例4为基础，分别在图形和数表两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题.因此，本节课的教学重点是：根据图、表信息建立函数模型解决实际问题.三、学情分析学生已掌握了一些基本初等函数的相关知识，并在上一节《几类不同增长的函数模型》的学习中，初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程，这为本节课的学习奠定了知识基础.但学生的应用意识、应用能力比较弱，且正确运用数学知识解决实际问题，需要有较高的抽象概括能力、整体驾驭能力和局部处理能力，这些能力要求对学生的学习造成了一定的困难.因此，本节课的教学难点是：将实际问题抽象为数学问题，完成从文字语言、图表语言向符号语言的转化，并建立函数模型.四、教学过程（一）交流成果提出课题学生交流上节课作业题“请举出生活中函数模型的应用实例”的成果，提出课题.【设计意图】让学生体会函数与现实生活的密切联系，感受建立函数模型解决实际问题的必要性，从而激发他们的学习内驱力，也很自然地引入课题.（二）分析探究解决实例【例1】一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系，如图1所示.（1）求出图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2010 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(km)与时间t(h)的函数解析式，并作出相应的图象.【教学活动1】第（1）题：阴影部分面积为五个小矩形的面积之和，那么只要知道求其中一个矩形的面积并知道其实际意义，就能解决整个问题.因此，我借助多媒体设置动画，引导学生对第一个矩形进行分析，让学生说出它的长度、宽度各是多少？其实际意义分别是什么？根据“矩形面积＝长×宽＝速率×时间＝路程”，学生就能很快说出第一个矩形的面积及其实际意义，整个问题也就迎刃而解了.【设计意图】利用从“局部到整体”、“特殊到一般”的思想分析问题, 从而化解难点, 教会学生分析问题的方法.【教学活动2】第（2）题：重点分析如何建立s与t的函数关系式.由于“汽车里程表读数s＝2010 ＋汽车行驶路程”，而汽车行驶的路程＝速率×时间，分析v与t的图象，得v是t的分段函数，从而s是t的分段函数.求这个分段函数的解析式，关键是求出前两段的函数解析式.其中求第二段函数解析式是难点.由第一问可知“路程”的几何意义为“图形的面积”，于是可以将求路程转化为求图形的面积.设置多媒体动画重点分析：t在0至2小时内变化时，s与t的函数解析式变化，使得有效突破难点.然后让学生自主完成整个题目的解答，并利用实物投影仪展示学生的解答过程，师生共同点评，得出下列结论：（1）阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1+65×1＝360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.(2)据v与t的关系图，有这个函数的图象如图2所示.【设计意图】通过本例的教学，让学生体会建立分段函数模型的思维过程，培养学生读图、识图、解图、画图的能力，渗透数形结合、分类整合的数学思想，养成自主探究与合作交流相结合的学习习惯.【例2】人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。

建立函数模型解决实际问题

建立函数模型解决实际问题1、数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．2、数学建模就是把实际问题加以抽象概括建立相应的数学模型的过程，是数学地解决问题的关键．3、实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察定义域．建立函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系；（2）建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；（3）解模：求解数学模型，得到数学结论；（4）结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论．典例解析：例1、有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 间的函数关系式，并求出它的定义域．分析：关键是用半径R 与腰长x 表示上底，由对称性：2CD AB AE =-，故只要求出AE ．例2、某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm ；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm ，中间留有厚度为x 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为d 的均匀介质，两侧的温度差为T ∆，单位时间内，在单位面积上通过的热量T Q k d ∆=⋅，其中k 为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为3410 J mm/C -⨯⋅，空气的热传导系数为42.510 J mm/C -⨯⋅．）（1）设室内，室外温度均分别为1T ，2T ，内层玻璃外侧温度为1T '，外层玻璃内侧温度为2T '，且1122T T T T ''>>>．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用1T ，2T 及x 表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计x 的大小？图1图2例3、将一张长8cm ，宽6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为S 1cm 2，S 2cm 2，其中S 1≤S 2．记折痕长为l cm ．（1）若l ＝4，求S 1的最大值；（2）若S 1∶S 2＝1∶2，求l 的取值范围．解析：如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，其中点A 在面积为S 1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M ，N 分别在边AB ，AD 上； ②折痕的端点M ，N 分别在边AB ，CD 上； ③折痕的端点M ，N 分别在边AD ，BC 上．ABCD （情形①）MNABCD （情形②）MNABCD （情形③）MN例4、如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。

高中数学 3.2.2-2自建函数模型解决实际问题精品教案新人教A版必修1

3.2.2函数模型的应用举第二课时自建函数模型解决实际问题【教学目标】能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。

【教学重难点】重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。

难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。

【教学过程】（一）创设情景，揭示课题2010年4月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立甲型HⅠNⅠ趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于4月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。

这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击甲型HⅠNⅠ至关重要、分析报告说，就全国而论，甲型HⅠNⅠ病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。

这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了甲型HⅠNⅠ趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对甲型HⅠNⅠ未来的流行趋势做了分析预测。

本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。

（二）探究过程：例1、某桶装水经营部每天的房租、工作人员等固定成本为200元，每桶水的进价是5探索以下问题：（1）随着销售价格的提升，销售量怎样变化？成一个什么样的函数关系？（2）最大利润怎么表示？润大利润=收入-支出具体的解答过程详见课本中的例5，在此略。

例2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg 与身高xcm 的函数模型的解析式。

2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg 的在校男生的体重是事正常？探索以下问题：1）建立适当的坐标系，根据统计数据，画出它们相应的散点图；2）观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？3）你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重ykg 与身高xcm 的函数关系比较合适？4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价. 5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？解答过程见课本中的例6本例给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的，要引导学生借助计算器或计算机画图，帮助判断.点评：根据散点图，利用待定系数法确定几种可能的函数模型，然后进行优劣比较，选定拟合度较好的函数模型.在此基础上，引导学生对模型进行适当修正，并做出一定的预测. 此外，注意引导学生体会本例所用的数学思想方法.变式. 将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表：1）建立适当的坐标系，描点画出水温随时间变化的图象；2）建立一个能基本反映该变化过程的水温y （℃）关于时间()x s 的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.3）水杯所在的室内温度为18℃，根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10℃？对此结果，你如何评价？本例意图是引导学生进一步体会，利用拟合函数解决实际问题的思想方法，可依照例1的过程，自主完成或合作交流讨论.当堂检测：某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1 .2万件、1.3万件、1.37万件. 由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？探索过程如下：1）首先建立直角坐标系，画出散点图；2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型：()(0);f x kx b k =+≠二次函数模型：2()(0);g x ax bx c a =++≠ 幂函数模型：12()(0);h x ax b a =+≠指数函数模型：()x l x ab c =+（0,a b ≠＞0，1b ≠）利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定.（三）归纳小结，巩固提高.通过以上四个题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法. 利用符合实际【板书设计】一、函数模型二、例题例1 变式1 例2 变式2【作业布置】导学案课后练习与提高3.2. 2函数模型的应用举例第二课时自建函数模型解决实际问题课前预习学案一、预习目标：知道5种基本初等函数及其性质二、预习内容：三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标：能够通过题意，自建模型，解决实际的问题学习重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。

3.2.2函数模型的应用实例(Ⅰ)

§3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅰ）一、学习目标：1. 初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.2．体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.二、学习重点与难点：1．重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.2. 难点：将实际问题转变为数学模型.三、教学设想（一）问题衔接1.一次函数的解析式为__________________ , 其图像是一条____线，当________时，一次函数在上为增函数，当_______时，一次函数在上为减函数2.二次函数的解析式为_______________, 其图像是一条________线，当______时，函数有最小值为___________，当______时，函数有最大值为____________。

（二）结合实例，探求新知例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：(72.3102 p )（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km 与时间t h 的函数解析式，并作出相应的图象探索：本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式老师提示：路程S 和自变量t 的取值范围（即函数的定义域），注意t 的实际意义.例2一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？引导学生探索过程如下：1）本例涉及到哪些数量关系？2）应如何选取变量，其取值范围又如何？3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？4）“所获得的利润最大”的数学含义如何理解？例3 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价（元） 6 7 8 9 10 11 12日均销售量（桶）480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？课堂练习1 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？课堂练习2 要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价.（三）归纳整理，发展思维.网归纳一般的应用题的求解方法步骤：1）合理迭取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数模型问题：2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系.抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.（四）布置作业习题3.2（A组）第3 、4题：作业：教材P107。

第3章 3.2 3.2.2 函数模型的应用实例 word版含答案

3.2.2函数模型的应用实例学习目标：1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)2.能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点)3.了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)4.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力．(重点)[自主预习·探新知]1．常见函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(2)二次函数模拟y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(3)指数函数模型y＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)(4)对数函数模型y＝m log a x＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)(5)幂函数模型y＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)(6)分段函数y＝⎩⎨⎧ax＋b(x<m)，cx＋d(x≥m)思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？[提示]利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：[基础自测]1．思考辨析(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．()(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．()(3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．()[-=-=-=-=答案=-=-=-=-](1)√(2)√(3)√2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A．300只B．400只C．600只D．700只A[将x＝1，y＝100代入y＝a log2(x＋1)得，100＝a log2(1＋1)，解得a＝100.所以x ＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.]3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()【导学号：37102385】A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000)B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000)D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)D[由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)．]4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图3-2-5)，则客车有营运利润的时间不超过________年．图3-2-510[设二次函数y＝a(x－6)2＋11，又过点(4,7)，所以a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11.解y≥0，得6－11≤x≤6＋11，∴0<x<10.][合作探究·攻重难]利用已知函数模型解决实际问题物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－T a＝(T0－T a)×⎝⎛⎭⎪⎫12th其中T a表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20 min，那么降温到32℃时，需要多长时间？【导学号：37102386】[解]先设定半衰期h，由题意知40－24＝(88－24)×⎝⎛⎭⎪⎫1220h，即14＝⎝⎛⎭⎪⎫1220h，解之，得h＝10，故原式可化简为，T－24＝(88－24)×⎝⎛⎭⎪⎫12t10，当T＝32时，代入上式，得，32－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10＝864＝18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，∴t ＝30. 因此，需要30 min ，可降温到32 ℃.[规律方法] 已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值. 1．某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为： P ＝⎩⎨⎧t ＋20(0<t <25)，－t ＋100(25≤t ≤30).(t ∈N *)设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？ [解] 设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800(0<t <25)，t 2－140t ＋4 000(25≤t ≤30).(t ∈N *)①当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900，所以当t ＝10时，y max ＝900(元)．②当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900，所以当t ＝25时，y max ＝1 125(元)．结合①②得y max ＝1 125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大.自建确定性函数模型解决实际问题牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域． (2)求羊群年增长量的最大值.【导学号：37102387】思路探究：畜养率―→空闲率―→y 与x 之间的函数关系――→单调性求最值[解] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为xm ，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x m (0<x <m )．(2)对原二次函数配方，得y ＝－km (x 2－mx ) ＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋km 4.即当x ＝m 2时，y 取得最大值km 4.设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量. 列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等. 限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.拟合数据构建函数模型解决实际问题 [探究问题]1．画函数图象的一般步骤有哪些？提示：列表、描点、连线．2．学校食堂要了解全校师生的午间就餐情况，以备饭菜，你能用数学知识给予指导性说明吗？提示：第一步：收集样本一周的数据，制成样本点．如(1，x 1)，(2，x 2)，…，(7，x 7)．第二步：描点，对上述数据用散点图的形式，给予直观展示．第三步：数据拟合，选择一个合适的数学模型拟合上述样本点．第四步：验证上述模型是否合理、有效，并做出适当的调整．某企业常年生产一种出口产品，自2014年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2014年为第1年，前4年年产量f (x )(万件)如下表所示：x 1 2 3 4 f (x )4.005.587.008.44(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2018年(即x ＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2018年的年产量为多少？思路探究：描点――→依散点图选模――→待定系数法求模――→误差验模→用模 [解] (1)画出散点图，如图所示．(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1.5，b ＝2.5，∴f (x )＝1.5x ＋2.5.检验：f (2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1. f (4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函数模型f (x )＝1.5x ＋2.5能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2018年的年产量为f (5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2018年的年产量为7万件． [规律方法] 函数拟合与预测的一般步骤是： (1)根据原始数据、表格，绘出散点图.(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线. (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. [跟踪训练]2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：身高/cm 60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式． (2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm ，体重为78 kg 的在校男生的体重是否正常？【导学号：37102388】[解] (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．根据点的分布特征，可考虑以y ＝a ·b x 作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y ＝a ·b x 得： ⎩⎪⎨⎪⎧7.9＝a ·b 7047.25＝a ·b 160，用计算器算得a ≈2，b ≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y ＝2×1.02x .将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．(2)将x ＝175代入y ＝2×1.02x 得y ＝2×1.02175，由计算器算得y ≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖．[当堂达标·固双基]1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s 关于时间t 变化的图象如图3-2-6所示，那么图象所对应的函数模型是( )图3-2-6A ．分段函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数A [由图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型．]2．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( )【导学号：37102389】A ．y ＝0.957 6x100 B ．y ＝(0.957 6)100x C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0.957 6100xD ．y ＝1－0.042 4x100A [由题意可知y ＝(95.76%)x 100，即y ＝0.9576x100.]3．若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为( )B [由题意h ＝20－5t (0≤t ≤4)，其图象为B.]4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元.【导学号：37102390】2 500 [∵每生产一单位产品，成本增加10万元， ∴单位产品数Q 时的总成本为2 000＋10Q 万元． ∵K (Q )＝40Q －120Q 2， ∴利润L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000 ＝－120Q 2＋30Q －2 000 ＝－120(Q －300)2＋2 500，∴Q ＝300时，利润L (Q )的最大值是2 500万元．]5．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地．(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．[解](1)①汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3.5)．③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜t≤6.5)．综上，s＝⎩⎪⎨⎪⎧60t(0≤t≤2.5)，150(2.5＜t≤3.5)，325－50t(3.5＜t≤6.5)，它的图象如图(1)所示．(1)(2)(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v＝⎩⎪⎨⎪⎧60(0≤t≤2.5)，0(2.5＜t≤3.5)，－50(3.5＜t≤6.5)，它的图象如图(2)所示．。

第3章 3.2 函数模型及其应用3.2.2 word版含答案

3.2.2函数模型的应用实例学习目标 1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能自建确定性函数模型解决实际问题.3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性．知识点一几类已知函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)对数型函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)知识点二应用函数模型解决问题的基本过程用函数模型解应用题的四个步骤(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；(4)还原——将数学结论还原为实际问题．1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系．(×)2．用来拟合散点图的函数图象一定要经过所有散点．(×)3．函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义．(×)4．用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．(×)类型一利用已知函数模型求解实际问题例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min 开出13km 后，以120km/h 的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S 与匀速行驶的时间t 之间的关系，并求火车离开北京2h 内行驶的路程．考点函数模型的应用题点一次、二次函数模型的应用解因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120＝115 (h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t km ，所以，火车运行总路程S 与匀速行驶时间t 之间的关系是S ＝13＋120t ⎝⎛⎭⎫0≤t ≤115.2h 内火车行驶的路程S ＝13＋120×⎝⎛⎭⎫2－1060＝233(km)．反思与感悟在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质．跟踪训练1 如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．考点函数模型的应用题点一次、二次函数模型的应用 -=-=-=答案=-=-=- 2 6解析以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A (2，－2)，设抛物线所对应的函数关系式为y ＝ax 2(a ≠0)，则－2＝a ·22，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B (b ，－3)，将B 点的坐标代入到y ＝－12x 2中，得b ＝±6，因此水面宽26米．类型二自建确定性函数模型解决实际问题例2 某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK 上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.(1)设AD 的长为x 米，试写出总造价Q (单位：元)关于x 的函数解析式； (2)问：当x 取何值时，总造价最少？求出这个最小值．考点函数模型的综合应用题点函数模型中的最值问题解 (1)设AM ＝y ，AD ＝x ，则x 2＋4xy ＝200，∴y ＝200－x 24x .故Q ＝4200x 2＋210×4xy ＋80×2y 2 ＝38000＋4000x 2＋400000x 2(0<x <102)．(2)令t ＝x 2，则Q ＝38000＋4000⎝⎛⎭⎫t ＋100t ，且0<t <200.∵函数u ＝t ＋100t 在(0,10]上单调递减，在[10,200)上单调递增，∴当t ＝10时，u min ＝20.故当x ＝10时，Q min ＝118000(元)．反思与感悟自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．跟踪训练2 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x 元只取整数，用y 表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得) (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？考点函数模型的应用题点分段函数模型的应用解 (1)当3≤x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3.又因为x ∈N ，所以3≤x ≤6，且x ∈N . 当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115，综上可知y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115，3≤x ≤6，x ∈N ，－3x 2＋68x －115，6＜x ≤20，x ∈N .(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，因为y ＝50x －115是增函数，所以当x ＝6时，y max ＝185元．当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －3432＋8113，所以当x ＝11时，y max ＝270元．综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元．类型三建立拟合函数模型解决实际问题例3 某个体经营者把开始六个月试销A ，B 两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表.获纯利润(万元)0.30 0.59 0.88 1.20 1.51 1.79该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A ，B 两种商品各投入多少万元才合算，请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．考点函数拟合问题题点据实际问题选择函数模型解以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示．观察散点图可以看出，A 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示．取(4,2)为最高点，则y ＝a (x －4)2＋2(a ≠0)，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a (1－4)2＋2，解得a ＝－0.15，所以y ＝－0.15(x －4)2＋2.B 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图②所示．设y ＝kx ＋b (k ≠0)，取点(1,0.30)和(4,1.20)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0.30＝k ＋b ，1.2＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.3，b ＝0.所以y ＝0.3x .设第七个月投入A ，B 两种商品的资金分别为x 万元，(12－x )万元，总利润为W 万元，那么W ＝y A ＋y B＝－0.15(x －4)2＋2＋0.3(12－x )，所以W ＝－0.15(x －3)2＋0.15×9＋3.2.当x ＝3时，W 取最大值，约为4.6万元，此时B 商品的投资为9万元．故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A 种商品，9万元投资B 种商品，可获得最大利润，约为4.6万元．反思与感悟在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求翻译成数学问题非常重要，另外实际问题要注意实际意义对定义域、取值范围的影响．跟踪训练3 某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x 元与日销量y 件之间有如下关系：销售单价x (元) 30 40 45 50 日销售量y (件)603015(1)在所给坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x ，y )对应的点，并确定x 与y 的一个函数关系式y ＝f (x )．(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少时，才能获得最大日销售利润．考点函数拟合问题题点据实际问题选择函数模型解实数对(x ，y )对应的点如图所示，由图可知y 是x 的一次函数．(1)设f (x )＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧60＝30k ＋b ，30＝40k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝150.所以f (x )＝－3x ＋150,30≤x ≤50，检验成立． (2)P ＝(x －30)·(－3x ＋150) ＝－3x 2＋240x －4500,30≤x ≤50，所以对称轴x ＝－2402×(－3)＝40∈[30,50]．答当销售单价为40元时，所获利润最大．1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s 关于时间t 变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )A ．分段函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数考点函数拟合问题题点函数拟合问题 -=-=-=答案=-=-=- A2．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( ) A ．1000.9576xy = B ．y ＝(0.9576)100xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫0.9576100xD ．10010.042 4xy ＝-考点函数模型的应用题点指数、对数函数模型的应用 -=-=-=答案=-=-=- A3．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：x 1 2 3 … y138…则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －1 D ．y ＝1.5x 2－2.5x ＋2 考点函数拟合问题题点函数拟合问题 -=-=-=答案=-=-=- D4．某同学最近5年内的学习费用y (千元)与时间x (年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a e x＋b D．y＝a ln x＋b考点函数拟合问题题点函数拟合问题-=-=-=答案=-=-=- B5．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？考点函数模型的综合应用题点函数模型中的最值问题解设可获得总利润为R(x)万元，则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8000＝－x25＋88x－8000＝－15(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴当x＝210时，R(x)max＝－15(210－220)2＋1680＝1660(万元)．∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．一、选择题1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.992 3 4 5.15 6.126 y1.5174.04187.51218.01A.y ＝2x －2 B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝12log x考点函数模型的应用题点一次、二次函数模型的应用 -=-=-=答案=-=-=- B解析由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.2．(2017·湖南衡阳、长郡中学等十三校联考)某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)( ) A ．2017年B ．2018年C ．2019年D ．2020年考点函数模型的应用题点指数、对数函数模型的应用 -=-=-=答案=-=-=- D解析设从2016年起，过了n (n ∈N *)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n ≥200，则n ≥lg2013lg1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，由题意取n ＝4，则n ＋2016＝2020.故选D.3．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为( ) A ．3000×1.06×7元 B ．3000×1.067元 C ．3000×1.06×8元 D ．3000×1.068元考点函数模型的应用题点指数、对数函数模型的应用 -=-=-=答案=-=-=- B解析根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x 年，该地区的农民人均年收入为y 元，依题意有y ＝3000×1.06x ，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x ＝7代入，即可求得y ＝3000×1.067.故选B.4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14考点函数模型的应用题点一次、二次函数模型的应用 -=-=-=答案=-=-=- A解析由三角形相似得24－y 24－8＝x20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180(8≤y <24)．∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次试验的数据．根据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟考点函数模型的应用题点一次、二次函数模型的应用 -=-=-=答案=-=-=- B解析依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－0.2⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316，所以当t ＝3.75时，p 取得最大值，所以最佳加工时间为3.75分钟．故选B.6．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y (只)与时间x (年)近似满足关系y ＝a log 3(x ＋2)，观测发现2012年冬(作为第1年)有越冬白鹤3000只，估计到2018年冬有越冬白鹤( )A ．4000只B ．5000只C ．6000只D ．7000只考点函数模型应用题点指数、对数函数模型的应用 -=-=-=答案=-=-=- C解析当x ＝1时，由3000＝a log 3(1＋2)，得a ＝3000，所以到2018年冬，即第7年，y ＝3000×log 3(7＋2)＝6000.故选C.7．某商场出售一种商品，每天可卖1000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低的价格为( )A ．2元B ．2.5元C ．1元D ．1.5元考点函数模型的综合应用题点函数模型中最值问题 -=-=-=答案=-=-=- D解析设每件降价0.1x 元，则每件获利(4－0.1x )元，每天卖出商品件数为(1000＋100x )，利润y ＝(4－0.1x )·(1000＋100x )＝－10x 2＋300x ＋4000＝－10(x 2－30x ＋225－225)＋4000＝－10(x －15)2＋6250.∴当x ＝15时，y max ＝6250.故每件售价降低1.5元时，可获得最好的经济效益．8．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线：一种是即时价格曲线y ＝f (x )，另一种是平均价格曲线y ＝g (x )．例如，f (2)＝3是指开始买卖2小时的即时价格为3元；g (2)＝3是指开始买卖2小时内的平均价格为3元．下图给出的四个图象中，实线表示y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中可能正确的是( )考点函数拟合问题题点据实际问题选择函数模型 -=-=-=答案=-=-=- C解析开始时平均价格与即时价格一致，排除A ，D ；平均价格不能一直大于即时价格，排除B. 二、填空题9．工厂生产某种产品的月产量y (万件)与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月份，2月份生产该产品分别为1万件，1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件．考点函数模型的应用题点指数、对数函数模型的应用 -=-=-=答案=-=-=- 1.75解析由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1＝0.5a ＋b ，1.5＝0.25a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2， ∴y ＝－2×0.5x ＋2，∴3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．10．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据：lg3≈0.477，lg4≈0.602)考点函数模型的应用题点指数、对数函数模型的应用 -=-=-=答案=-=-=- 5解析设至少经过x 小时才能开车，由题意得0.3(1－25%)x ≤0.09，∴0.75x ≤0.3，x ≥log 0.750.3≈4.2.11．现测得(x ，y )的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．考点函数拟合问题题点据实际问题选择函数模型 -=-=-=答案=-=-=- 甲解析将x ＝3分别代入y ＝x 2＋1及y ＝3x －1中，得y ＝32＋1＝10，y ＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型．三、解答题12．牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围．考点函数模型的综合应用题点函数模型中的最值问题解 (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为xm ，故空闲率为1－xm ，由此可得y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－x m (0<x <m )． (2)对原二次函数配方，得y ＝－km (x 2－mx )＝－k m ⎝⎛⎭⎫x －m 22＋km 4. 即当x ＝m 2时，y 取得最大值km4.(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x ＋y <m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km 4，所以0<m 2＋km4<m ，解得－2<k <2.又因为k >0，所以0<k <2.即k 的取值范围是(0,2)．13．季节性服装的销售当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16周后，该服装不再销售． (1)试建立价格p 与周次t 之间的函数关系式；(2)若此服装每周进货一次，每件进价Q 与周次t 之间的关系式为Q ＝－0.125(t －8)2＋12，t ∈[0,16]，t ∈N ，试问该服装第几周每件销售利润最大？最大值是多少？考点函数模型的综合应用题点函数模型中的最值问题解 (1)p ＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ，t ∈[0，5]，t ∈N ，20，t ∈(5，10]，t ∈N ，40－2t ，t ∈(10，16]，t ∈N .(2)设第t 周时每件销售利润为L (t )，则L (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ＋0.125(t －8)2－12，t ∈[0，5]，20＋0.125(t －8)2－12，t ∈(5，10]，40－2t ＋0.125(t －8)2－12，t ∈(10，16]＝⎩⎪⎨⎪⎧0.125t 2＋6，t ∈[0，5]，t ∈N ，0.125(t －8)2＋8，t ∈(5，10]，t ∈N ，0.125t 2－4t ＋36，t ∈(10，16]，t ∈N .当t ∈[0,5]，t ∈N 时，L (t )单调递增， L (t )max ＝L (5)＝9.125；当t ∈(5,10]，t ∈N 时，L (t )max ＝L (6)＝L (10)＝8.5；当t ∈(10,16]，t ∈N 时，L (t )单调递减， L (t )max ＝L (11)＝7.125.由9.125>8.5>7.125，知L (t )max ＝9.125.从而第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元．四、探究与拓展14．某商场在国庆促销期间规定，商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额(元)的范围[200,400)[400,500)[500,700)[700,900)…获得奖券的金额(元)3060100130…根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110(元)．若顾客购买一件标价为1000元的商品，则所能得到的优惠额为________元．考点函数模型的应用题点分段函数模型的应用-=-=-=答案=-=-=-330解析依题意知，得到的优惠额为1000×(1－80%)＋130＝200＋130＝330(元)．15．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出了下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m2；③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2m2,3m2,6m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3.其中正确的说法有________．(请把正确说法的序号都填在横线上)考点函数模型的应用题点指数、对数函数模型的应用-=-=-=答案=-=-=-①②④解析该指数函数的解析式为f(x)＝2x，所以①正确；当x＝5时，f(5)＝32>30，所以②正确；由f(x1)＝2x1＝4和f(x2)＝2x2＝12，得x1＝2，x2＝log212＝2＋log23，所以x2－x1＝log23>1.5，所以③错误；设2t1＝2,2t2＝3,2t3＝6，则t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，则t1＋t2＝1＋log23＝log2(2×3)＝log26＝t3，所以④正确．。

学案4：3.2.2 函数模型的应用实例

3.2.2 函数模型的应用实例学习目标1．会利用给定的函数模型解决实际问题．(重点)2．能够建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题．(重点、难点)新知学习教材整理函数模型的应用阅读教材，完成下列问题．1．常见的函数模型预习自测1．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A．300只B．400只C．600只D．700只2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000)B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000)D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)合作学习类型1 一次函数、二次函数模型的应用例1商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？名师指导在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.跟踪训练1．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为1006t(0≤t≤24)，求供水几小时后，蓄水池中的存水量最少.类型2 指数函数、对数函数模型的应用例2声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lgI10－12给出，其中I为声强(单位：W/m2)．(1)平时常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？名师指导1．有关对数函数的应用题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．2．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x，(其中N为基数，p为增长率，x为时间)的形式．跟踪训练2．目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．类型三分段函数模型的应用例3经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足于f(t)＝⎩⎨⎧15＋12t ，0≤t ≤1025－12t ，10<t ≤20(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．名师指导1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各界点，即明确自变量的取值区间．2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别求出来，再将其合到一起．跟踪训练3．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15 000元. (1)写出每人需交费用y 关于人数x 的函数； (2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？探究共研型探究点拟合数据构建函数模型探究1 画函数图象的一般步骤有哪些？探究2学校食堂要了解全校师生的午间就餐情况，以备饭菜，你能用数学知识给予指导性说明吗？例4某企业常年生产一种出口产品，自2013年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2013年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：x1234f(x) 4.00 5.587.008.44(1)画出2013～2016年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2017年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2017年的年产量为多少？名师指导函数拟合与预测的一般步骤是：1.根据原始数据、表格，绘出散点图.2.通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线.3.求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.4.利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.跟踪训练4．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100x课堂检测1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：则对x，yA．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．3．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．4．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1)5．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地．(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时)，并画出函数的图象；(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．参考答案预习自测1．【答案】A【解析】将x＝1，y＝100代入y＝a log2(x＋1)得，100＝a log2(1＋1)，解得a＝100.所以x ＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.2．【答案】D【解析】由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8＝－0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000)．合作学习例1 【解析】 (1)先设购买人数为n 人，羊毛衫的标价为每件x 元，利润为y 元，列出函数y 的解析式，最后利用二次函数的最值即可求得商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元即可；(2)由题意得出关于x 的方程式，解得x 值，从而即可解决商场要获取最大利润的75%，每件标价为多少元．解：(1)设购买人数为n 人，羊毛衫的标价为每件x 元，利润为y 元，则x ∈(100,300]，n ＝kx ＋b (k ＜0)，∵0＝300k ＋b ，即b ＝－300k ，∴n ＝k (x －300)，y ＝(x －100)k (x －300)＝k (x －200)2－10 000k (x ∈(100,300])， ∵k ＜0，∴x ＝200时，y max ＝－10 000k ，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元． (2)由题意得，k (x －100)(x －300)＝－10 000k ·75%，即x 2－400x ＋37 500＝0，解得x ＝250或x ＝150.所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．跟踪训练1．解：设t 小时后，蓄水池中的存水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1006t (0≤t ≤24)，设u ＝t ，则u ∈[0，26]，y ＝60u 2－1006u ＋400＝60⎝⎛⎭⎫u －5662＋150，∴当u ＝566，即t ＝256时，蓄水池中的存水量最少．例2 【解析】由公式Y ＝10lgI 10－12可以由I 求Y ，也可以由Y 求I ，计算I ＝5×10－7W/m 2时的声强级并与50作比较就可以判断两位同学是否会影响其他同学休息．解：(1)当I ＝10－6W/m 2时，代入得Y ＝10lg 10－610－12＝10lg 106＝60，即声强级为60分贝．(2)当Y ＝0时，即为10lgI10－12＝0，所以I 10－12＝1，I ＝10－12 W/m 2，则能听到的最低声强为10－12 W/m 2.(3)当声强I ＝5×10－7W/m 2时，声强级Y ＝10lg 5×10－710－12＝10lg (5×105)＝50＋10lg 5＞50，所以这两位同学会影响其他同学休息．跟踪训练2．解：(1)当x ＝1时，y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；当x ＝2时，y ＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；当x ＝3时，y ＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3； ……故y 关于x 的函数解析式为y ＝100(1＋1.2%)x (x ∈N *)． (2)当x ＝10时，y ＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7. 故10年后该县约有112.7万人．(3)设x 年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x ＝120，解得x ＝log 1.012120100≈16.故大约16年后该县的人口总数将达到120万．例3 【解析】 (1)由已知，由价格乘以销售量可得该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)由(1)分段求出函数的最大值与最小值，从而可得该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．解：(1)由已知，由价格乘以销售量可得：y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫15＋12t (80－2t )，0≤t ≤10⎝⎛⎭⎫25－12t (80－2t )，10<t ≤20，＝⎩⎪⎨⎪⎧(t ＋30)(40－t )，0≤t ≤10(50－t )(40－t )，10<t ≤20，＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋10t ＋1 200，0≤t ≤10t 2－90t ＋2 000，10<t ≤20， (2)由(1)知①当0≤t ≤10时，y ＝－t 2＋10t ＋1 200＝－(t －5)2＋1 225，函数图象开口向下，对称轴为t ＝5，该函数在t ∈[0,5)递增，在t ∈(5,10]递减， ∴y max ＝1 225(当t ＝5时取得)，y min ＝1 200(当t ＝0或10时取得)． ②当10＜t ≤20时，y ＝t 2－90t ＋2 000＝(t －45)2－25，图象开口向上，对称轴为t ＝45，该函数在t ∈(10,20]递减，t ＝10时，y ＝1 200， y min ＝600(当t ＝20时取得)，由①②知y max ＝1 225(当t ＝5时取得)，y min ＝600(当t ＝20时取得)．跟踪训练3．解：(1)当0＜x ≤30时，y ＝900；当30＜x ≤75，y ＝900－10(x －30)＝1 200－10x ；即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤301 200－10x ，30<x ≤75.(2)设旅行社所获利润为S 元，则当0＜x ≤30时，S ＝900x －15 000；当30＜x ≤75，S ＝x (1 200－10x )－15 000＝－10x 2＋1 200x －15 000；即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30－10x 2＋1 200x －15 000，30<x ≤75. 因为当0＜x ≤30时，S ＝900x －15 000为增函数，所以x ＝30时，S max ＝12 000；当30＜x ≤75时，S ＝－10x 2＋1 200x －15 000＝－10(x －60)2＋21 000，即x ＝60时，S max ＝21 000＞12 000.所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润．探究共研型探究点拟合数据构建函数模型探究1 【答案】列表、描点、连线．探究2 【答案】第一步：收集样本一周的数据，制成样本点．如(1，x 1)，(2，x 2)，…，(7，x 7)．第二步：描点，对上述数据用散点图的形式，给予直观展示．第三步：数据拟合，选择一个合适的数学模型拟合上述样本点．第四步：验证上述模型是否合理、有效，并做出适当的调整．例4 解：(1)画出散点图，如图所示．(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝43a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1.5b ＝2.5，∴f (x )＝1.5x ＋2.5.检验：f (2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1. f (4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函数模型f (x )＝1.5x ＋2.5能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2017年的年产量为f (5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2017年的年产量为7万件．跟踪训练 4．【答案】 C【解析】当x ＝4时，A 中，y ＝400，B 中，y ＝700，C 中，y ＝800，D 中，y ＝1004. 故选C. 课堂检测 1．【答案】 D【解析】根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2 x ，可知满足题意． 2．【答案】 2 500【解析】因为L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500，所以，当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元． 3．【答案】 2 250【解析】设彩电的原价为a ，∴a (1＋0.4)·80%－a ＝270，即0.12a ＝270，解得a ＝2 250. ∴每台彩电的原价为2 250元． 4．【答案】 2 037【解析】由题意，得14(1＋1.25%)x －2 008>20，即x －2 008>lg107lg 8180＝1－lg 74lg 3－3lg 2－1＝28.7，解得x >2 036.7，又x ∈N ，故x ＝2 037.5 .解：(1)①汽车由A 地到B 地行驶t h 所走的距离s ＝60t (0≤t ≤2.5)． ②汽车在B 地停留1小时，则汽车到A 地的距离s ＝150(2.5＜t ≤3.5)．③由B 地返回A 地，则汽车到A 地的距离s ＝150－50(t －3.5)＝325－50t (3.5＜x ≤6.5)．综上，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t 0≤t ≤2.5150 2.5＜t ≤3.5325－50t 3.5＜t ≤6.5，它的图象如图(1)所示．(2)速度v (km/h )与时间t (h )的函数关系式是v ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 600≤t ≤2.50 2.5＜t ≤3.5－50 3.5＜t ≤6.5，它的图象如图(2)所示．。

高一数学教案：自建函数模型解决实际问题-精选教育文档

高一数学教案：自建函数模型解决实际问题【】欢迎来到查字典数学网高一数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。

因此小编在此为您编辑了此文：高一数学教案：自建函数模型解决实际问题希望能为您的提供到帮助。

本文题目：高一数学教案：自建函数模型解决实际问题第二课时自建函数模型解决实际问题课前预习学案一、预习目标：知道5种基本初等函数及其性质二、预习内容：函数图像定义域值域性质一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数三.提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标：能够通过题意，自建模型，解决实际的问题学习重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。

学习难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。

二、探究过程：例1、某桶装水经营部每天的房租、工作人员等固定成本为200元，每桶水的进价是5元。

销售单价与日销售量的关系如图所示:销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12日均销售量/桶 480[来 440 400 360 320 280 240请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润?探索以下问题：(1)随着销售价格的提升，销售量怎样变化?成一个什么样的函数关系?(2)最大利润怎么表示?润大利润=收入-支出本题的解答过程：解：本题总结例2.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表(身高：cm;体重：kg)身高 60 70 80 90 100 110体重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50身高 120 130 140 150 160 170体重 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.051) 根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

3.2.2函数模型的应用举例
第二课时自建函数模型解决实际问题
【教学目标】
能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。

【教学重难点】
重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。

难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。

【教学过程】
（一）创设情景，揭示课题
2010年4月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立甲型HⅠNⅠ趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于4月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。

本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。

（二）探究过程：
例1、某桶装水经营部每天的房租、工作人员等固定成本为200元，每桶水的进价是5元。

销售单价
请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
探索以下问题：
（1）随着销售价格的提升，销售量怎样变化？成一个什么样的函数关系？
（2）最大利润怎么表示？润大利润=收入-支出
具体的解答过程详见课本中的例5，在此略。

例2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表
（身高：cm；体重：kg）
身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。

2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg 的在校男生的体重是事正常？
探索以下问题：
1）建立适当的坐标系，根据统计数据，画出它们相应的散点图；
2）观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？
3）你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重ykg 与身高xcm 的函数关系比较合适？ 4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价. 5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？解答过程见课本中的例6
本例给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的，要引导学生借助计算器或计算机画图，帮助判断.
点评：根据散点图，利用待定系数法确定几种可能的函数模型，然后进行优劣比较，选定拟合度较好的函数模型.在此基础上，引导学生对模型进行适当修正，并做出一定的预测. 此外，注意引导学生体会本例所用的数学思想方法.
变式. 将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表：
1）建立适当的坐标系，描点画出水温随时间变化的图象；
2）建立一个能基本反映该变化过程的水温y （℃）关于时间()x s 的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.
3）水杯所在的室内温度为18℃，根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10℃？对此结果，你如何评价？
本例意图是引导学生进一步体会，利用拟合函数解决实际问题的思想方法，可依照例1的过程，自主完成或合作交流讨论.
当堂检测：
某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1 .2万件、1.3万件、1.37万件. 由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？
探索过程如下：
1）首先建立直角坐标系，画出散点图；
2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：
一次函数模型：()(0);f x kx b k =+≠ 二次函数模型：2
()(0);g x ax bx c a =++≠ 幂函数模型：12
()(0);h x ax b a =+≠
指数函数模型：()x l x ab c =+（0,a b ≠＞0，1b ≠）
利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定.
（三）归纳小结，巩固提高.
通过以上四个题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法. 利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：
【板书设计】一、函数模型二、例题
例1 变式1 例2 变式2
【作业布置】
导学案课后练习与提高
3.2.2函数模型的应用举例第二课时自建函数模型解决实际问题
课前预习学案
一、预习目标：知道5种基本初等函数及其性质
三．提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
课内探究学案
一、学习目标：能够通过题意，自建模型，解决实际的问题
学习重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。

学习难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。

二、探究过程：
例1、某桶装水经营部每天的房租、工作人员等固定成本为200元，每桶水的进价是5元。

销售单价与日销售量的关系如图所示:
请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
探索以下问题：
（1）随着销售价格的提升，销售量怎样变化？成一个什么样的函数关系？
（2）最大利润怎么表示？润大利润=收入-支出
本题的解答过程：
解：
本题总结
例2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表
1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
2、某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。

根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？
3
租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
参考答案 1、B
故到2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。

3、（2003北京春，理、文21）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：50
3000
3600- =12，所以这时租出
了88辆车.
（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为：f （x ）=（100－503000
-x ）（x －150）
－503000
-x ×50，整理得：f （x ）=－502x +162x －21000=－50
1（x －4050）2+307050.所以，当x =4050时，
f （x ）最大，其最大值为f （4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，
最大收益为307050元.。