第2章 正弦交流电路
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电工学-正弦交流电路
O
f 而对直流所呈现的容抗趋于无穷大，故
XL 与 f 的关系 可视为开路。
2.3.3 电容元件的交流电路
1. 电压电流关系 i
+
u
C
–
i
u Um sint i Im sin( t 90 )
+j •
u
I
波 形O 图
电流超前电压 90 电压与电流大小关系 电压与电流相量式
t
U XCI U jXC I
2.1 正弦电压与电流 I, U
直流电路在稳定状态下电流、电压的大
小和方向是不随时间变化的，如图所示。
正弦电压和电流是按正弦规律周期性
变化的，其波形如图示。
O u, i
t
电路图上所标的方向是指它们的参考
方向，即代表正半周的方向。
负半周时，由于的参考方向与实际方
+
向相反，所以为负值。
实
i
O i
t
际 方
第 2 章 正弦交流电路
在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别是三相电路应 用更为广泛。
正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分所 产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。
本章将介绍交流电路的一些基本概念、基本理论和基本分 析方法，为后面学习交流电机、电器及电子技术打下基础。
本章还将讨论三相交流电路和非正弦周期电压和电流。 交流电路具有用直流电路的概念无法理解和无法分析的物 理现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以免引起错误。
•
UL
为正
时电路 中电压 电流相 量图
•
• UL UC
•
U
•
UR
•
UC
的大小和正负由
电工电子技术-第2章 正弦交流电路
区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。 例：正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A的最大值相量表示为：
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3
电工电子技术第2章
第2章 正弦交流电路
在交流电路中，因各电流和电压多 +j A 为同一频率的正弦量，故可用有向线段 b r 来表示正弦量的最大值(有效值) Im 、 ψ Um(I、U)和初相ψ ，称为正弦量的相量。 O a +1 在正弦量的大写字母上打“•”表示，如 图2-5 有向线段的表示正弦量 幅值电流、电压相量用 I m、 m表示，有 U • U 效值电流、电压相量用 I 、 表示。将电 U • 路中各电压、电流的相量画在同一坐标 φ I ψ 中，这样的图形称为相量图。 ψ 同频率的u和i可用图2-6相量图表示。 图2-6 u和i的相量图 即 超前 Iφ°，I或 U滞后φ°。 U
第2章 正弦交流电路
2.1
正弦交流电的基本概念
正弦交流电压和电流的大小和方向都按正弦规律 作周期性变化，波形如图2-1a。
u U m s in ( t u ) i I m s in ( t i )
(2-1)
为便于分析，在电路中电压参考方向用“+”、“–” 标出，电流参考方向用实线箭头表示；电压、电流实 际方向用虚线箭头表示如图2-1b、c所示
第2章 正弦交流电路
u Im O φ Ψu Ψi i Um
u
i
t
T
图2-2 u和i相位不等的正弦量波形图
当φ=0º 时，称u、I同相；当φ=180º 时，称u比i反相； 当φ=±90º 时，称u与i正交 。 u i u i
u i
ui
u
i
t
u
i
O a) 同相
t O
b) 反相
O c)正交
t
图2-3 正弦量的同相、反相和正交
第2章 正弦交流电路
电工学 正弦交流电
相量
复数表示法 复数运算
相量的复数表示—相量式
将复数 A 放到复平面上，可如下表示：
j
•
A
A a2 b2
bU
tan 1 b
+1
a
a
A a jb A c o s jA sin
•
A
b A
a
欧 拉
cos
e j e j 2
公 式
sin
e j
e j
2j
A a jb A(cos jsin )
t
i i 领先于
1
2
相 位
i1
落 后
2 1
i2
120 t i i1 落后于 2
三相交流电路：三种电压初相位各差120。
uA uB uC
t
可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。
如： u1 2U 1sin t1 u2 2U 2sin t2
uu1u2
2U1sin t1 2U2sin t2 2Usin t 幅度、相位变化
复数
瞬时值
正误判断
已知： i1s0i n t4 ()5
？ I 10 45 2
j45
有效值
？ Im10e45
正误判断
已知： u2 1s0i(n t 1)5
则：
U10？15
？ U 1 0ej15
正误判断
已知： I10 5 00
则： i 1
Im 2I102 0
代数式
A e j
指数式
A
极坐标形式
相量的复数运算
1. 加 、减运算 • 设： A 1 a 1 j b1 • A 2 a 2 jb2
则：
•• •
第2章正弦交流电-2.2单一元件正弦交流电路
③由于电压的初相为45°，而电流的初相为−45º，故电压和电流的 相量图如图所示。 1 U I ＝— 1 ×100×10=500（var） ④Q＝UI＝— m m 2 2
相量图
2.2单一元件正弦交流电路电阻 Nhomakorabea路电感电路
电容电路
1 电容元件
（1）电容参数C
q q＝Cu 或 C＝— u 电容量的单位是F（法[拉]）。 具有参数C的电路元件称电容元件，简称电容。
相量图
③电压、电流的相量图如图所示。
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
1 电感元件
（1） 电感参数L
Ψ Ψ=LI 或 L＝— I
电感元件
式中，磁链与电流的比值L叫做线圈的电感量，电感量的单位为H（亨[利]）。 具有L参数的电路元件称电感元件，简称电感。 空心线圈的电感量是一个常数，与通过的电流大小无关，这种电感叫做线性电感。线性 电感的大小只与线圈的形状、尺寸、匝数有关。一般而言，线圈直径的截面积越大，匝数越 密，电感量越大。
p>0，吸收能量
p<0，释放能量
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
2 电感交流电路
例题：已知加在L＝10mH电感线圈两端的正弦交流电压u＝100sin(1000t+45º)V，求：①感抗XL； ②线圈中的电流最大值Im和线圈中的电流i；③作电路中电压与电流的相量图；④无功功率Q。 解：①感抗XL＝ωL＝1000×10×10−3＝10Ω Um 100V ②Im＝—＝ ———＝10（A） XL 10Ω φi＝φu−90º＝45º−90º＝−45º i＝10sin(1000t−45º)（A）
电工第2章 正弦交流电路
函数(cos)。 1.正弦量数学表达式
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
2.正弦交流电路
解： I = 100∠30o A = 100e j30° A
•
= 100(cos 30° + j sin 30°)A = 86.6 + j 50 A
U = 220∠ − 60 o V = 220e - j60°V = 220(cos 60° − j sin 60°)V = 110 − j190.5V
= i = I m sin (ω t + ϕ ) = I m e
？
jϕ
= Im ϕ
②只有正弦量才能用相量表示， 只有正弦量才能用相量表示， 非正弦量不能用相量表示。 非正弦量不能用相量表示。 ③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 同频率的正弦量才能画在同一相量图上
& ⋅ A = A e jθ1 ⋅ A e jθ2 = A A e j (θ1 +θ2 )= A A ∠θ +θ A1 &2 1 2 1 2 1 2 1 2
乘法：模相乘， 乘法：模相乘，角相加
| A1 | ∠ θ1 | A1 | e jθ1 | A1 | j( θ1−θ 2 ) | A1 | = = = e = • jθ 2 | A2 | | A2 | A 2 | A2 | ∠ θ 2 | A2 | e A1
ϕ = ϕu − ϕi
ϕ
3 ϕ =− π 4
应有ϕ ≤180 °
ϕu
ϕi
ϕ > 0, u 超前 i ϕ 角度 ϕ = 0 ，u 与 i 同相位 ϕ < 0, 则 u 滞后 i 一个ϕ角 π ϕ =± ， 则说 u 与 i 正交
ϕ =π ， 则说 u 与 i 反相
2
特殊相位关系： 特殊相位关系：
第二章 正弦交流电路
第2章 正弦交流电路判断题2.1 正弦交流电的基本概念1．若电路的电压为)30sin(︒+=t U u m ω，电流为)45sin(︒-=t I i m ω， 则u 超前i 的相位角为75°。
[ ]答案:V2．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90100sin(282︒+=t i Ａ，则电流相量分别是︒=0/61I Ａ，︒=90/82I Ａ。
所以二者的电流相量和为：21I I I += [ ] 答案:V3．若电路的电压为u ＝I m sin(ωt+30°)，电流为i =I m sin(ωt-45°)，则u 超前i 的相位角为15°。
[ ]答案:X4．正弦量的三要素是指其最大值、角频率和相位。
[ ] 答案:X5．正弦量可以用相量表示，因此可以说，相量等于正弦量。
[ ] 答案:X6．任何交流电流的最大值都是有效值的2倍。
[ ] 答案:X7．正弦电路中，相量不仅表示正弦量，而且等于正弦量。
[ ] 答案:X2.2 正弦量的相量表示法1．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90200sin(282︒+=t i Ａ，则电流相量分别是︒=0/61I Ａ，︒=90/82I Ａ。
所以二者的电流相量和为：21I I I += 。
[ ] 答案:X2.3 单一参数的正弦交流电路1．电容元件的容抗是电容电压与电流的瞬时值之比。
[ ] 答案:X2．在电感元件的电路中，电压相位超前于电流90º，所以电路中总是先有电压后有电流。
[ ]答案:X3．电感元件的感抗是电感电压与电流的瞬时值之比。
[ ]答案:X4．电感元件的感抗是电感电压与电流的有效值之比。
[ ]答案:V5．直流电路中，电容元件的容抗为零，相当于短路。
[ ]答案:X6．直流电路中，电感元件的感抗为无限大，相当于开路。
[ ]答案:X7．直流电路中，电容元件的容抗为无限大，相当于开路。
[ ]答案:V8．直流电路中，电感元件的感抗为零，相当于短路。
第2章_正弦交流电路
ψ
+
90
°
- jA
- jA = 1 - 90° × r ψ = r ψ − 90°
三. 正弦量的相量表示法 相量：表示正弦量的复数。 相量：表示正弦量的复数。
相量表示方法: 相量表示方法: 设正弦量: 设正弦量: i = I msin( ω t + ψi )
大写字母上打点， 大写字母上打点，表示相量 模 =正弦量的最大值 & 最大值相量 Im = Imejψi = Im ψi 辐角= 辐角=正弦量的初相角 有效值相量
i1 i3 i2
i2 =
2 I 2 sin ( ω t + ψ 2 ), 求 i3 = i1 + i2
结论： 同频正弦量运算后仍得到同频的正弦量。 结论：●同频正弦量运算后仍得到同频的正弦量。 直接进行正弦量的运算很繁琐。 ●直接进行正弦量的运算很繁琐。 解决办法：把正弦量用相量（复数）表示， 解决办法：把正弦量用相量（复数）表示，先进行复数 运算，求出相量解， 运算，求出相量解，再根据相量解写出正弦量瞬时值表 达式。这种分析方法称为相量法。 达式。这种分析方法称为相量法 相量法。
正弦量的波形
i
Im
ψ
ωt
i = I m sin(ω t + ψ )
幅值（最大值） I m ： 幅值（最大值） 角频率（弧度/ ω ： 角频率（弧度/秒）
特征量: 特征量:
ψ ： 初相角
2.1.1 正弦量的三要素
1. 幅度(最大值)： 幅度(最大值) 最大的瞬时值，对确定的正弦量而言是一个常 最大的瞬时值， 量。最大值必须用带下标m的大写字母表示。 最大值必须用带下标m的大写字母表示。 如：Um、Im。
超前i （1）ϕ >0， u超前 ， 超前 滞后u 或i滞后 滞后
第2章 正弦交流电路
同相反相的概念
同相:相位相同，相位差为零。 反相:相位相反，相位差为180°。 下面图中是三个正弦电流波形。 i1与 i2 同相， i1与 i3反相。
i
i1 i2
O
i3
ωt
总 结
描述正弦量的三个特征量：
幅值、频率、初相位
9
电气与自动化工程学院
2.2 正弦量的相量表示法
正弦量的表示方法：
★ 三角函数式： i
相位 表示正弦量的变化进程，也称相位角。 初相位 t =0时的相位。
i I m sint 相位： t 初相位： 0
i I m sin t
相位：
i
O
t
i
t
说 明
初相位：
ψ
t
初相位给出了观察正弦波的起点或参考点。
7
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相位差
两个同频率的正弦量的相位之差或初相位之差称为相位差。 正弦交流电路中电压和电流的频率是相同的，但初相不 一定相同，设电路中电压和电流为：
26
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2.3.3 电容元件的交流电路 电压电流关系
对于电容电路：
dq du i C dt dt
i
＋
如果电容两端加正弦电压：
u
_
C
u Um sin t
则：
注意u 和i的参考方向！
dU m sint i C CUm cost CUm sin t 90 I m sin t 90 dt
2.1.1 频率和周期
正弦量变化一次所需要的时间（秒）称为周期（T）。 每秒内变化的次数称为频率（ f ），单位是赫兹（Hz）。
u i
频率是周期的倒数:
第2章 正弦交流电路
式中Em =Bm lv，称作感应电动势最大值。当线圈ab边转到N 极中心时，绕组中感应电动势最大，为 Em；线圈再转180°， ab边对准S极中心时，绕组中感应电动势为-Em。
二、表示正弦交流电特征的物理量
如图 2 -1 所示的发电机，当转子以等速旋转时， 绕组 中感应出的正弦交变电动势的波形如图 2 - 2 所示。图中横 轴表示时间，纵轴表示电动势大小。图形反映出感生电动 势在转子旋转过程中随时间变化的规律。下面介绍图 2 - 2 所示正弦交流电的物理量。
则i1和i2的相位差为 φ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)=φ1-φ2 这表明两个同频率的正弦交流电的相位差等于初相之差。 若两个同频率的正弦交流电的相位差φ1-φ2＞0, 称“i1超 前于i2”; 若φ1-φ2＜0, 称“i1滞后于i2”；若φ1-φ2=0，称“i1和i2 同相位”；若相位差φ1-φ2=±180°, 则称“i1和i2反相位”。 必须指出，在比较两个正弦交流电之间的相位时， 两正弦 量一定要同频率才有意义。否则随时间不同，两正弦量之间 的相位差是一个变量，这就没有意义了。 综上所述，正弦交流电的最大值、 频率和初相叫做正 弦交流电的三要素。 三要素描述了正弦交流电的大小、 变 化快慢和起始状态。
eA Em sin wt
eB Em sin(wt φ 0 )
e eB N eA
Z Y S
B A O 2
t
图2 .5
(a)
(b)
图 2 - 5不同相的两电势
这两个正弦交变电动势的最大值相同， 频率相同， 但相 位不同: eA的相位是ωt，eB的相位是（ωt+φ0），见图 2 -(5b)。
频率的单位是Hz(赫［兹］)。1Hz=1s-1。
电工学 第二章正弦交流电路
e = Em sin (wt + j e )
(1-2)
. 一、正弦量的三要素
二、同频率正弦量的相位差
三、正弦量的有效值
(1-3)
一、正弦量的三要素
i = Im sin (wt + j ) i
Im
j
wt Im：电流幅值（最大值）
三要素
w： 角频率（弧度/秒）
.
U Z = I
j = j u - ji
结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比， 而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。
(1-46)
Z 和电路性质的关系
Z = R+ j (XL－ XC )
阻抗角
j = ju－ ji = arctg
(1-39)
以电流为 参考量时
正 误 判 断
在电阻电路中：
瞬时值
有效值
U I= R
？
U i= R
？
u ？ i = R
(1-40)
正 误 判 断
在电感电路中：
u i= XL
？
U I= ωL
u i= ωL
？
？
& U = XL & I
U = jω L I
？
？
(1-41)
第四节
RLC串、并联电路及功率因数的提高 一、RLC串联的正弦交流电路
& I U=&R
& I & U
(1-25)
相量图
总结功率关系
因为：
i= Im sinwt u =Ri=R Im sinwt p=u·=R·2=u2/R i i
小写，瞬时值功率
所以：
i
u
wt
(1-2)
. 一、正弦量的三要素
二、同频率正弦量的相位差
三、正弦量的有效值
(1-3)
一、正弦量的三要素
i = Im sin (wt + j ) i
Im
j
wt Im：电流幅值（最大值）
三要素
w： 角频率（弧度/秒）
.
U Z = I
j = j u - ji
结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比， 而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。
(1-46)
Z 和电路性质的关系
Z = R+ j (XL－ XC )
阻抗角
j = ju－ ji = arctg
(1-39)
以电流为 参考量时
正 误 判 断
在电阻电路中：
瞬时值
有效值
U I= R
？
U i= R
？
u ？ i = R
(1-40)
正 误 判 断
在电感电路中：
u i= XL
？
U I= ωL
u i= ωL
？
？
& U = XL & I
U = jω L I
？
？
(1-41)
第四节
RLC串、并联电路及功率因数的提高 一、RLC串联的正弦交流电路
& I U=&R
& I & U
(1-25)
相量图
总结功率关系
因为：
i= Im sinwt u =Ri=R Im sinwt p=u·=R·2=u2/R i i
小写，瞬时值功率
所以：
i
u
wt
电工电子技术及应用第2章
需要强调的是，相量只表示正弦量，并不等于正
弦量；只有同频率的正弦量其相量才能相互运算，
才能画在同一个复平面上。
画在同一个复平面上表示相量的图称为相量图。
相量与正弦量的关系
U U
对应关系
Umsin( t )
不相等！！
例2-9
已知正弦电压、电流为 u 220 2 sin(t π )V，
i
+ +
R
i
us
u
π
2π
o
t
T
a)
b)
图2-1
Байду номын сангаас 一、正弦量的三要素
1.振幅值（最大值） 正弦量在任一时刻的值称为瞬 时值，用小写字母表示， 如
u
i、 u
, 分别表示电流及
u1 u2
电压的瞬时值。正弦量瞬时值
中的最大值称为振幅值也叫最 大值或峰值，用大写字母加下
o
Um2
Um1
t
图2-2
标m表示，如Im、Um , 分别表
6.55 j2.45 6.99 159.5
A B 685 11 130 0.52 j5.98 (7.07 j8.43)
7.59 j14.41 16.2962.2
例2-8
已知复数 A 4 j3 B 3 j4 ，求AB和A/B。
起点不同，正弦量的初相不同，因此初相与计时
起点的选择有关。我们规定初相|ψ |不超过π 弧 度，即-π ≤ψ ≤π 。图2-3所示是不同初相时的 几种正弦电流的波形图。
在选定参考方向下，已知正弦量的解析 式为 i 10sin( 314t 240 )A 。试求正弦量的 振幅、频率、周期、角频率和初相。
弦量；只有同频率的正弦量其相量才能相互运算，
才能画在同一个复平面上。
画在同一个复平面上表示相量的图称为相量图。
相量与正弦量的关系
U U
对应关系
Umsin( t )
不相等！！
例2-9
已知正弦电压、电流为 u 220 2 sin(t π )V，
i
+ +
R
i
us
u
π
2π
o
t
T
a)
b)
图2-1
Байду номын сангаас 一、正弦量的三要素
1.振幅值（最大值） 正弦量在任一时刻的值称为瞬 时值，用小写字母表示， 如
u
i、 u
, 分别表示电流及
u1 u2
电压的瞬时值。正弦量瞬时值
中的最大值称为振幅值也叫最 大值或峰值，用大写字母加下
o
Um2
Um1
t
图2-2
标m表示，如Im、Um , 分别表
6.55 j2.45 6.99 159.5
A B 685 11 130 0.52 j5.98 (7.07 j8.43)
7.59 j14.41 16.2962.2
例2-8
已知复数 A 4 j3 B 3 j4 ，求AB和A/B。
起点不同，正弦量的初相不同，因此初相与计时
起点的选择有关。我们规定初相|ψ |不超过π 弧 度，即-π ≤ψ ≤π 。图2-3所示是不同初相时的 几种正弦电流的波形图。
在选定参考方向下，已知正弦量的解析 式为 i 10sin( 314t 240 )A 。试求正弦量的 振幅、频率、周期、角频率和初相。
第2章 正弦交流电路
eU Em sin t eV Em sin(t 120 ) eW Em sin(t 120 )
（2-31）
相应的波形图、相量图如图2-16（a）、 （b）所示。
图2-16 三相对称电动势
2．三相电源的星形联结
（1）星形联结
把上述三相绕组的末端U2、V2和W2连在一 起，就构成星形联结，如图2-17所示。
UR U 311 2 V 220V
【例2-4】
根据式（2-10），电流有效值为
P 100W IR 0.455A U R 220V
2.2.2 纯电感电路
1．电压和电流的关系
纯电感电路如图2-10（a）所示，电感电
流与电压参考方向一致，设电感电流为
iL 2 I L sin t
2.3.1 电压和电流关系 2.3.2 电路的功率和能量转换
2.3.1 电压和电流关系
RLC串联电路如图2-12所示，取电压和电 流的参考方向一致。 为便于分析，电路中各量均采用相量表 示，各元件也采用相量化模型。
图2-12 RLC串联电路
用相量法分析电路如下。
（1）作相量图
图2-13 相量图
（2）求相量和
IL IP
【例2-8】三相电源作星形联结，线电压是 380V，负载是额定电压为220V的电灯组，问： （1）三相负载采用什么联结方式； （2）若三相负载的等效电阻 R1=R2=R3=510 ， 求相电流、线电流和中线电流； （3）若三相负载的等效电阻分别为 R1=510 ， R2=510，R3=2k，求中线电流。
QC UC IC 50 0.157 var 7.85var
当 f 5 000Hz 时，
XC IC 1 1 3.19 2π fC 2 3.14 5 000 10 106
第二章 正弦交流电路
如：
u1 u2
2U1 sin t 1
2U 2 sin t 2
u u1 u2
2U1 sin t 1 2U 2 sin t 2 2U sin t
幅度、相位变化 频率不变
结论:因角频率（）不变，所以以下讨论同 频率正弦波时， 可不考虑，主要研究幅度 与初相位的变化。
电容的相量欧姆定律
总结：R、L、C相量形式的欧姆定律
、I 表示， 在正弦交流电路中，若正弦量用相量 U
电路参数用复数阻抗（ R R、L jX L、C jX C ) 表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相 似。
RI U R jLI jX I U L L 1 j jX I U I C C C
R、L、C正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 （正方向） 关系
i 复数 阻抗 设 电压、电流关系 瞬时值 有效值 相量图 相量式 功率 有功功率 无功功率
u 2U sin t
I
U IR
U
R
u
u iR
R
则
I R U
UI
0
i 2I sin t
设
u、 i 同相
du iC dt
2U sin t
du iC 2UC cos t dt 2U C sin(t 90 )
特点:
1. 频率相同
2. 相位相差 90°（u 落后 i 90° ）
u
i
I
UC
90
t
U
U
u 2U sin t
i 2U C sin(t 90 )
U I XL
u1 u2
2U1 sin t 1
2U 2 sin t 2
u u1 u2
2U1 sin t 1 2U 2 sin t 2 2U sin t
幅度、相位变化 频率不变
结论:因角频率（）不变，所以以下讨论同 频率正弦波时， 可不考虑，主要研究幅度 与初相位的变化。
电容的相量欧姆定律
总结：R、L、C相量形式的欧姆定律
、I 表示， 在正弦交流电路中，若正弦量用相量 U
电路参数用复数阻抗（ R R、L jX L、C jX C ) 表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相 似。
RI U R jLI jX I U L L 1 j jX I U I C C C
R、L、C正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 （正方向） 关系
i 复数 阻抗 设 电压、电流关系 瞬时值 有效值 相量图 相量式 功率 有功功率 无功功率
u 2U sin t
I
U IR
U
R
u
u iR
R
则
I R U
UI
0
i 2I sin t
设
u、 i 同相
du iC dt
2U sin t
du iC 2UC cos t dt 2U C sin(t 90 )
特点:
1. 频率相同
2. 相位相差 90°（u 落后 i 90° ）
u
i
I
UC
90
t
U
U
u 2U sin t
i 2U C sin(t 90 )
U I XL
电工学第2章正弦交流电路PPT课件
p=ui=Um sin(ωt+90°) Imsinωt
=UmIm cosωtsinωt =UIsin2ωt
电感元件的功率波形
上式表明， 电感元件的瞬时功率是一个幅值为UI 并以2ω的角频率随时间而变化的正弦量。瞬时功率 的变化曲线如右图所示。
26
当p>0时，表明电感元件吸收能量并作负载 使用，即将电能转换成磁场能量储存起来；
1. 相位角（或相位）——（ωt +ψi） 2. 初相位——t=0时的相位角，即ωt +ψi|t=0＝ψi
初相位不同，正弦波的起始点不同，如下图所 示。
(a)ψi＝0
(b)ψi＞0
(c)ψi<0
由于正弦量是周期性变化量，其值经2π后又重复，所
以一般取主值，| ψi |≤π。
8
2.1.3 初相位
在一个正弦交流电路中， 电压u和电流i的频率是相同的， 但初相位却可以不同。设：
19
在电阻元件的交流电路中，电压u与电流i 相 位相同、频率相同。其波形图、相量图如下所示：
根据 i=Imsinωt ；u=iR=ImRsinωt
可知电压幅值: Um=Im R；
U=I R
如果用相量来表 示电压与电流的
•
•
U
•
Um
•
R
或
••
U IR
关系，则有： I I m
20
瞬时功率：p=ui= Umsinωt Imsinωt=UmImsin²ωt
③指数形式可改写为极坐标形式：
A=r
三种复数式可以互相转换。复数的加减运 算可用直角坐标式；复数的乘除运算用指数形 式或极坐标形式则比较方便。
13
e e 例如: 设A1= a1+jb1 ＝r1 j 1 ；A2= a2+jb2 ＝r2 j 2
《电工电子技术》——正弦交流电路
dt
dt
Im sin(wt 90)
1 电压与电流之间的频率关系 电容元件两端的端电压与电流是同频率的正弦电量。
2 电压与电流之间的数值关系
最大值
Im
wCU m
Um 1 /(wC )
有效值
I wCU U U 1/(wC) X c
X c 等于电压有效值与电流有效值之比，单位为欧[姆]，称为容 抗。
计算过程请参考书本，相量图为：
2.3单一参数交流电路
2.3.1单一电阻元件正弦交流电路 一、单一电阻元件正弦交流电路电压与电流之间的关系
i
u
R
i u U m sin(wt u )
R
R
2U R
sin(wt
u
)
单一电阻元件正弦交流电路电压与电流之间有如下几种关系：
1 电压与电流之间的频率关系 在单一电阻电路中，通过电阻元件的电流与其两端电压是 同频率的正弦电量。
I Ie j i I i
I 为有效值
二、相量图
在复数平面上，用几何图形表示正弦量的相量的图，称为相 量图。
已知正弦电压： 相应的电压相量为
u 220 2 sin(wt 45)
U 22045
已知正弦电流： 相应的电流相量为：
i 8 2 sin(wt 30)
字母 T 表示，单位是秒（s）。正弦量在1秒时间内重复变化的
周期数称为频率，用小写字母 f 表示，单位为赫兹（Hz），如 果1秒钟内变化一个周期，频率是1Hz。周期与频率互为倒数关 系：
f 1 T
在我国，发电厂提供的交流电的频率为50Hz，其周期 T 0.02， 这一频率称为工业标准频率，也称工频。
电工学第二章 正弦交流电
电流超前电压 90 u i u i ωt O 90°
O
ωt
电压与电流同相 u i u i O
ψ1 ψ 2 0
ψ 1 ψ 2 180
电压与电流反相 u i u i O
ωt
ωt
注意: ① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关,仅取决于两者的初相位。
i
O
i1
i2
t
② 不同频率的正弦量比较无意义。
例1
已知：
幅度：
i sin 1000 t 30 A
I 1 2 0 . 707 A
I m 1A
频率：
1000 rad/s
f
2
1000 2
159 Hz
初相位：
30
例2:
i1 I m1 sin t 90 i2 I m2 sin t 90
小写
u i O p
2
i u
ωt p
p ui
U m I m sin ω t
1 2 U m I m (1 cos 2 ω t )
O
ω t
结论: p 0
（耗能元件）,且随时间变化。
(2) 平均功率(有功功率)P 瞬时功率在一个周期内的平均值
P
大写
i
+
1 T 1
0
T 0
p dt
I 2 11 60 A
I I1 I 2 12.7 30A 11 60A
12.7( cos 30 j sin 30 )A 11( cos 60 j sin 60 )A
O
ωt
电压与电流同相 u i u i O
ψ1 ψ 2 0
ψ 1 ψ 2 180
电压与电流反相 u i u i O
ωt
ωt
注意: ① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关,仅取决于两者的初相位。
i
O
i1
i2
t
② 不同频率的正弦量比较无意义。
例1
已知：
幅度：
i sin 1000 t 30 A
I 1 2 0 . 707 A
I m 1A
频率：
1000 rad/s
f
2
1000 2
159 Hz
初相位：
30
例2:
i1 I m1 sin t 90 i2 I m2 sin t 90
小写
u i O p
2
i u
ωt p
p ui
U m I m sin ω t
1 2 U m I m (1 cos 2 ω t )
O
ω t
结论: p 0
（耗能元件）,且随时间变化。
(2) 平均功率(有功功率)P 瞬时功率在一个周期内的平均值
P
大写
i
+
1 T 1
0
T 0
p dt
I 2 11 60 A
I I1 I 2 12.7 30A 11 60A
12.7( cos 30 j sin 30 )A 11( cos 60 j sin 60 )A
【精品】J__《电工电子技术基础》电子教案_电工电子技术课件_第2章 正弦交流电路
第3页
电感元件上电压、电流的有效值关系为：
U=LI=2πf LI=IXL
其中：
XL=2πf L=ωL称为电感元件的电抗，简称感抗。 感抗反映了电感元件对正弦交流电流的阻碍作用；
感抗的单位与电阻相同，也是欧姆【Ω】。
感抗与哪些 因素有关？
XL与频率成正比；与电感量L成正比
直流下频率f =0，所以XL=0。L 相当于短路。
平均功率用大写 ！
例
“220V、100W”和“220V、40W”灯泡的电阻？ U2 2202 解： R100 484 P 100 U2 2202 R40 1210 P 40 显然，在相同电压下，负载的电阻与功率成反比。
第3页
2.3.2 电感元件
1. 电感元件上的电压、电流关系
耐压为220V的电容 器，能否用在180V 的正弦交流电源上 ？
U=180V，则Um≈255V
255V>220V 不能用在180V正弦电源上！
u
何谓反相？ 同相？相位 正交？超前 ？滞后？
u1
u2
u3
u4
ωt
u1与u2反相； u1与u4同相；u3与u4正交； u3超前u490°；u3滞后u290°。
第3页
p<0
2. 平均功率（有功功率）P
P=0，电感元件不耗能。 3. 无功功率Q
U Q ULI I X L XL
2
2
Q反映了电感元件与电源之间能量交换的规模。
问题与讨论 1. 电源电压不变，当电路的频率变化时， 通过电感元件的电流发生变化吗？
f 变化时XL随之变化，导致电流i 变化。
则 p ic u I Cm cost U m sint
电感元件上电压、电流的有效值关系为：
U=LI=2πf LI=IXL
其中：
XL=2πf L=ωL称为电感元件的电抗，简称感抗。 感抗反映了电感元件对正弦交流电流的阻碍作用；
感抗的单位与电阻相同，也是欧姆【Ω】。
感抗与哪些 因素有关？
XL与频率成正比；与电感量L成正比
直流下频率f =0，所以XL=0。L 相当于短路。
平均功率用大写 ！
例
“220V、100W”和“220V、40W”灯泡的电阻？ U2 2202 解： R100 484 P 100 U2 2202 R40 1210 P 40 显然，在相同电压下，负载的电阻与功率成反比。
第3页
2.3.2 电感元件
1. 电感元件上的电压、电流关系
耐压为220V的电容 器，能否用在180V 的正弦交流电源上 ？
U=180V，则Um≈255V
255V>220V 不能用在180V正弦电源上！
u
何谓反相？ 同相？相位 正交？超前 ？滞后？
u1
u2
u3
u4
ωt
u1与u2反相； u1与u4同相；u3与u4正交； u3超前u490°；u3滞后u290°。
第3页
p<0
2. 平均功率（有功功率）P
P=0，电感元件不耗能。 3. 无功功率Q
U Q ULI I X L XL
2
2
Q反映了电感元件与电源之间能量交换的规模。
问题与讨论 1. 电源电压不变，当电路的频率变化时， 通过电感元件的电流发生变化吗？
f 变化时XL随之变化，导致电流i 变化。
则 p ic u I Cm cost U m sint
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b r sin
b arctan a
加减运算
A1 a1 jb1
A2 a2 jb2
A A1 A2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
乘除运算
实部和虚部分别 相加减
A1 r11
A2 r22
两模相乘，幅 角相加。
A1 A2 r1r21 2
第2章 正弦交流电路
2.1 正弦交流电路的基本概念 2.2 交流电路中的基本元件
2.3 R、L、C串联电路
2.4 功率与功率因数
主页面
！
重点：
正弦量的表示法
电阻、电感、电容串联及并联电路分析
2.1 正弦交流电的基本概念
正弦交流电
i i
直流电的方向不随 时间变化
i
O
t
i
交流电电压、电流的方向、
4.电感元件的功率
瞬时功率
p u i
p
i
O
wt
u
p p L ui U sin(t 90)m 90t) I sin t p p L m ui U m sin( I t sin m 1 1 U m I sin 2t sin 2t m UmIm 2 2
波形图
i
u
u
π
2π
wt
i
电流有效值
U I R
相量关系
U I R
相量图
I U
2.电阻元件的功率
瞬时功率 :电压u与电流i瞬时值的乘积。
p u i p
p pR ui U m I m sin t
2
1 cos 2t UmIm 2
O
wt i u
UI (1 cos 2t )
A1 r1 1 2 A2 r2
两模相除，幅 角相减。
最大值相量
3.2.3正弦量的相量
u U m sin(t )
有效值相量
U m U m U U
i I m sin(t )
正弦量的相量表示:
I m I m I I
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
大小按正弦规律变化称为正 弦交流电。
O
t
2.1.1正弦交流电三要素
频率、幅值和初相位称为正弦交流电的三要素。
i I m sin( t )
幅值
i
Im
初相位
O
t
i
T
角频率
1.幅值（最大值）和有效值
最大的瞬时值称为最大值。 正弦量的有效值
I
Im 2
U
Um 2
E
Em 2
已知某交流电压为 u 220 2 sin(t ) 这个交流电压的最大值和有效值分别为多少？
皮法（pF）作为其单位。
q C uc
1F 10 μF
6
当电压、电流为关联参考方向时，线性电容元
件的特性方程为
du iC dt
电容元件储存的电场能量为
1 2 wC (t ) Cu (t ) 2
2.元件上电压和电流的关系 设电容两端的电压
i
u
C
u U m sin t
电容元件中的电流
U L jIX L 4.453o 4090 o 176 143 o V
U C jIX C 4.453o 80 90 o 352 37 o V
3.5.2电阻、电感与电容并联电路
i
R
C
RL支路中的电流为
U I1 Z1 U R X
频率，单位是弧度/秒（rad/s）。
2 2f T
已知某正弦交流电压为
u 311sin 314t V
求该电压的最大值、频率、角频率和周期各为多少？ 解
U m 311V
314rad/s
314 f 50Hz 2π 2 3.14 1 1 T 0.02s f 50
平均功率
P0
无功功率
表示能量互换的规模。
瞬时功率的最大值定义为无功功率。
U2 2 QL UI I X L XL
无功功率Q的单位是乏（Var）。
把一个电感量为0.35H的线圈，接到电源
u 220 2 sin(100 πt 60 )V
o
求线圈中电流瞬时值表达式。 解
220 60 o V U
( R j( X L X C )) I
Z XL-XC φ 电抗 R
( R jX ) I ZI
Z
阻抗
Z R (XL XC)
2
2
阻抗模
XL XC arctan R
阻抗角
阻抗三角形
相量图
UL UC
U UL＋ UC UR I
电压三角形
2 U U R (U L U C ) 2 I R 2 ( X L X C ) 2
若改接到1000Hz，220V的交流电源上，容抗
和电路中的电流又为多少。
返回
2.3 电阻、电感与电容电路
2.3.1电阻、电感与电容串联电路
1.RLC串联电路
i
电压电流关系
R
设
I0o I
u
L
U R RI U L jX L I
U C jX C I
C
U U R U L U C RI jX L I jX C I
u 220 2 sin tV
求：电路的电流、电阻电压、电感电压和电容电压。
解
U U 2200o 2200o I 4.453o A Z R j( X L X C ) 30 j(40 80) 50 53o
U R IR 30 4.453o 142 53o V
a
有效值
A
复平面 上相量 复数 的模
＋1
在虚轴上的 投影表示复 数的虚部b
幅角 初相位
在实轴上的
投影表示复
数的实部a
3.2.2复数的表达方式
复数的模
复数的极坐标形式
A r
复数的直角坐标形式
复数的幅角
A= a+jb
复数的指数形式
复数的虚部
A re
j
复数的实部
a r cos
r a 2 b2
duC d iC C U m sin t dt dt
CU m cos t
I m sin( t 90 )
o
波形图
（1）电压与电流是同频率的正弦量。
i u
u
π i
2π
wt
（2）电流的相位超前电压90°。
电压、电流的最大值、有效值关系
I m CU m
Um U 1 Im I C
(t u ) (t i ) u i
>0， 相位上u比i超前 角，或i 比u滞后 角。
u i u i
O
i
t
u
u i
0
i u
同相
O
t
u i
反相
O
u
t
i
2.1.3 正弦量的表示法
3.2.1复数的实部、虚部和模
＋j b r
平均功率
U2 P UI I 2 R R
电阻电路中，R 10Ω
u 10 2 sin(t 30)V
求电流i的瞬时值表达式，相量表达式和平均功率P。
解
1030 o V U 1030o U o I 130 A R 10 o i 2 sin(t 30 )A
最大值
有效值
U m 220 2 311.1V
U m 220 2 U 220V 2 2
2.频率与周期
交流电变化一次所需要的时间称为周期T，单
位是秒（s）。
每秒内完成的次数称为频率f，单位是赫兹
（Hz）。
周期与频率是互为倒数关系，即
1 f T
交流电每1秒所变化的电角度，叫做交流电的角
日光灯支路的电流
P 40 I1 0.364 A U cos1 220 0.5
i2
cos1 0.5
2.RL串联电路
u uR uL
U R IR
U L jX L I
U UR UL
i
R
u
L
Z R jX L
Z R X
2 2 L
XL arctan R
例
在RLC串联电路中，
R 30Ω X L 40Ω X C 80Ω
若电源电压
按照正弦量的大小和相位关系用初始位置的有 向线段画出的若干个相量的图形，称为相量图。
U
I
u i
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2.2交流电路中基本元件
2.2.1纯电阻电路
1.元件上电压和电流的关系
设电阻R两端电压
i u
R
u(t ) U m sin t
电阻元件中的电流
u (t ) U m i(t ) sin t I m sin t R R
IC
φ I φ1
U
IC
I1
一只日光灯和一只白炽灯并联接在f=50Hz、电
压U=220V的电源上，如图所示，日光灯的额定电压
UN=220V，取用功率P1=40W，其功率因数cos=0.5；白 炽灯的额定电压UN=220V，取用功率P2=60W。求电流 I1、I2和总电流I大小是多少？
解