4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数

难点正本 疑点清源
1.对角概念的理解要准确
(1)不少同学往往容易把“小于 90° 的角”等同于“锐角”， 把 “0° ～ 90° 的角 ” 等同于 “ 第 一象限的角”．其实锐角的集 合是{α|0° <α<90° }， 第一象限角 的集合为 {α|k· 360° <α<k· 360° ＋ 90° ，k∈Z}． (2)终边相同的角不一定相等， 相等的角终边一定相同，终边 相同的角的同一三角函数值 相等．
－8
解析
C
C C
基础知识
题型分类
思想方法练出高分题型分类 Nhomakorabea深度剖析
题型一
【例 1】
角的有关问题
(1)写出终边在直线 y＝ 3x
思维启迪 解析 探究提高
上的角的集合； 6π 角的终边相同， 7 θ 求在 [0,2π)内终边与 角的终边相同 3 (2)若角 θ 的终边与 的角； (3)已知角 α 是第一象限角，试确定 α 2α、 所在的象限． 2
题型二 三角函数的定义
思维启迪 解析 探究提高
【例 2】 已知角 α 的终边经过点 P(x， 3 － 2) ( x ≠ 0) ，且 cos α ＝ x ， 6 1 求 sin α＋ 的值． tan α
先根据任意角的三角函数的 1 定义求 x，再求 sin α＋ tan α 的值．
基础知识
题型分类
思想方法
思想方法 练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
(3)角度制和弧度制的互化：180° ＝ 180 π ° π rad,1° ＝ 180 rad,1 rad＝ π . r ，扇形的 (4)扇形的弧长公式：l＝ |α|· 1 1 2 lr ＝ | α |· r 面积公式：S＝ 2 . 2
三 角 函 数 线
( Ⅰ)
(Ⅱ)
( Ⅲ) (Ⅳ) 有向线段MP为正弦线；有向线段 OM 为余弦线；有向线段 AT 为正切线
基础知识 题型分类
数，即用有向线段表示三角函数 值，这是三角函数与其他基本初 等函数不同的地方．
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4 5
答案
(－1， 3)
难点正本 疑点清源
3.三角函数线是三角函数的 几何表示
(1)正弦线、 正切线的方向同纵轴 一致，向上为正，向下为负． (2)余弦线的方向同横轴一致， 向 右为正，向左为负． (3)当角 α 的终边在 x 轴上时， 点 T 与点 A 重合,此时正切线变成了 一个点，当角 α 的终边在 y 轴上 时,点 T 不存在,即正切线不存在． (4) 在 “ 数 ” 的角度认识任意角 的三角函数的基础上，还可以从 图形角度考察任意角的三角函
基础知识 题型分类
难点正本 疑点清源
2.对三角函数的理解要透彻
三角函数也是一种函数，它可以 看成是从一个角(弧度制)的集合 到一个比值的集合的函数， 也可 以看成是以实数为自变量的函 数，定义域为使比值有意义的角 的范围． y 如 tan α＝ 有意义的条件是角 α x 终边上任一点 P(x，y)的横坐标 不等于零， 也就是角 α 的终边不 能与 y 轴重合，故正切函数的定 π 义域为α|α≠kπ＋2，k∈Z .
置无关，故要首先判定 P 点所在 的象限，确定 r，最后根据定义 求解．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的定义
思维启迪 解析 探究提高
【例 2】 已知角 α 的终边经过点 P(x， 3 － 2) ( x ≠ 0) ，且 cos α ＝ x ， 6 1 求 sin α＋ 的值． tan α
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
360° ＋α，k∈Z} ． S＝ {β|β＝k·
难点正本 疑点清源
1.对角概念的理解要准确
(1)不少同学往往容易把“小于 90° 的角”等同于“锐角”，把 “0° ～ 90° 的角 ” 等同于 “ 第 一象限的角”．其实锐角的集 合是{α|0° <α<90° }， 第一象限角 的集合为 {α|k· 360° <α<k· 360° ＋ 90° ，k∈Z}． (2)终边相同的角不一定相等， 相等的角终边一定相同，终边 相同的角的同一三角函数值 相等．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的定义
思维启迪 解析 探究提高
【例 2】 已知角 α 的终边经过点 P(x， 3 － 2) ( x ≠ 0) ，且 cos α ＝ x ， 任意角的三角函数值与终边所在 6 1 求 sin α＋ 的值． 的位置有关，与点在终边上的位 tan α
R R
{α|α≠kπ＋ tan α π 2，k∈Z}
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是： 一全正、二正弦、三正切、四余弦．
基础知识 题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理 动画展示 4.三角函数线 如下图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P，过 P
作 PM⊥x 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆的切 线与 α 的终边或终边的反向延长线相交于点 T.
思想方法 练出高分
基础知识
题型分类
基础知识·自主学习
要点梳理
(3)象限角：①定义：使角的顶点与坐 标原点重合，角的始边与 x 轴的非负 半轴重合，那么，角的终边在第几象 限，就说这个角是第几象限角；如果 角的终边在坐标轴上，那么这个角不 属于任何一个象限．②分类：角按终 边位置不同分为 象限角 和 轴线角 ．
利用终边相同的角进行表示或
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】
角的有关问题
(1)写出终边在直线 y＝ 3x
思维启迪 解析 探究提高
π 上的角的集合； 解 (1)终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为{α|α＝kπ＋ ，k∈Z}． 3 6π (2)若角 6θ 的终边与 7 角的终边相同， 6 (2)所有与 π 角终边相同的角的集合是{θ|θ＝ π＋2kπ，k∈Z}，∴所有与 7 7 θ θ 求在 [0,2π)内终边与 3 角的终边相同 θ 2 2 角终边相同的角可表示为 ＝ π＋ kπ，k∈Z. 3 3 7 3 的角； θ 2 20 34 ∴在[0,2π)内终边与 角终边相同的角有 π， π， π. 3 7 21 21 (3)已知角 α 是第一象限角，试确定 π (3)∵2kπ< α α<2kπ＋2，k∈Z， π 2α、 所在的象限． α 2 ∴4kπ<2 α<4kπ＋π，kπ< <kπ＋ ，k∈Z. 2 4 α ∴2α 在第一或第二象限或终边在 y 轴非负半轴上， 角终边在第一或第 2 三象限．
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的定义
思维启迪 解析 探究提高
【例 2】 已知角 α 的终边经过点 P(x， 解－∵ P(x(，－ (x≠cos 0)， α ＝ 3 x ， 2) x ≠ 0)2) ，且 6 ∴点 P 到原点的距离 r＝ x2＋2. 1 求 sin α＋ 的值． 3 x 3 tan α 又 cos α＝ x，∴cos α＝ 2 ＝ x. 6 x ＋2 6
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
2．弧度制 (1)定义： 把长度等于 半径 长的弧所 对的圆心角叫作 1 弧度的角，正角 的弧度数是 正数 ，负角的弧度数 是 负数 ，零角的弧度数是 零 ． (2)用“弧度”做单位来度量角的制 l 度叫做弧度制．|α|＝ r ，l 是以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长，r 为 l 半径． 比值 与所取的 r 的大小无关 ， r 仅与 角的大小 有关．
数学
北（理）
§4.1
任意角、弧度制及任意角 的三角函数
第四章 三角函数、解三角形
基础知识·自主学习
要点梳理
1．角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成 平面内的 一条射线 绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所 成的 图形 ；②分类：角按旋转 方向分为 正角 、 负角 和 零角 ． (2)所有与角 α 终边相同的角， 连 同角 α 在内，构成的角的集合是
难点正本 疑点清源
3.三角函数线是三角函数的 几何表示
(1)正弦线、正切线的方向同纵轴 一致，向上为正，向下为负． (2)余弦线的方向同横轴一致，向 右为正，向左为负． (3)当角 α 的终边在 x 轴上时，点 T 与点 A 重合,此时正切线变成了 一个点，当角 α 的终边在 y 轴上 时,点 T 不存在,即正切线不存在． (4) 在 “ 数 ” 的角度认识任意角 的三角函数的基础上，还可以从 图形角度考察任意角的三角函 数，即用有向线段表示三角函数 值，这是三角函数与其他基本初 等函数不同的地方．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】
角的有关问题
(1)写出终边在直线 y＝ 3x
思维启迪 解析 探究提高
上的角的集合；
所有与 α 角终边相同的角(连同角 6π (2)若角 θ 的终边与 角的终边相同， 7 α 在内 )，可以表示为 β＝k· 360° ＋ θ 求在 [0,2π)内终边与 角的终边相同 3 α， k∈Z； 在确定 α 角所在象限时，
∵x≠0，∴x＝± 10.∴r＝2 3. 当 x＝ 10时，P 点坐标为( 10，－ 2)， － 2 6 1 10 由三角函数的定义，有 sin α＝ ＝－ ， ＝ ＝－ 5， 6 tan α 2 3 － 2 6 5＋ 6 1 6 ∴sin α＋ ＝－ － 5＝－ ； tan α 6 6 6 5－ 6 1 当 x＝－ 10时，同理可求得 sin α＋ ＝ . tan α 6