运筹学第八章
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运筹学第八章(修改)
在没有标上" " 在没有标上"√" 的行, ①在没有( 43.在没有(0)的行 33. 29. 43.的行或已经标上 ,标上29.2 4 33.3 29.2 -29. ""√"的列,都 "√"的 √";②在标上" 在标上 33. 28.5 26.4 28. 26. 33.1 "的列, ,标上"√".4 26. 行中所在的列 所在的列, 行中 所在的列 ;标上" -26 ; 42.画上一条直线; 38. 42.画上一条直线 .6 2 38.9 "的列中(029. 在标上" 29. ③在标上"√29 的列中(-29.6 ) 34. 30. 28. 34.7 30.4 28.5"; -28.5 28. 所在的行标上" 所在的行标上"√ √
33.9 .7 22.3 .1 (00 ) 44.3 .3
7.88 2 2.2 0) ( 0.0.5 (0)0.2 3 0 6.6.4 47.4 .2 4 0 (0)0 0 0.2 0.2 0
B,总耗时为126.2分钟 ∴甲—D,乙—C,丙—A,丁—B,总耗时为126.2分钟 D C A B,总耗时为126.2
例1. 某医药公司现有两个制药厂A1和A2,三个销售店
B1,B2,B3公司打算由两个拟建的制药厂A3和A4 中选择一个,来兴建新厂,各销售店每周药品需 求量见表1,各制药厂每周药品产量和每箱药品运 费见表2,新厂投产后,估计每周的操作费(含折 旧费)A3是100元,A4是120元,在两个拟建的制 药厂中应当选择哪个呢? 产 量 运资(元/箱) 销售店 需求量(箱/周) 制药
编号 名称 重量 价值
运筹学 第8章 排队论
第八章 排队论排队是日常生活和经济管理经常遇到的问题，如医院等待看病的病人、加油站等待加油的汽车、工厂等待维修的机器、港口等待停泊的船只等。
在排队论中把服务系统中这些服务的客体称为顾客。
由于系统中顾客的到来以及顾客在系统中接受服务的时间等均是随机的，因此排队现象是不可避免的。
对于随机服务系统，若扩大系统设备，会提高服务质量，但会增加系统费用。
若减少系统设备，能节约系统费用，但可能使顾客在系统中等待的时间加长，从而降低了服务质量，甚至会失去顾客而增加机会成本。
因此，对于管理人员来说，解决排队系统中的问题是：在服务质量的提高和成本的降低之间取得平衡，找到最适当的解。
排队论是优化理论的重要分支。
排队论是1909年由丹麦工程师爱尔郎（A.K.Erlang ）在研究电话系统时首先提出，之后被广泛应用于各种随机服务系统。
第一节 排队论的基本概念及所研究的问题一、基本概念（一）排队系统的组成一般的排队系统有三个基本组成部分：顾客的到达（输入过程）、排队规则和服务机构，如图8—1所示。
1．输入过程输入过程指顾客按什么样的规律到达。
包括如下三个方面的内容：（1）顾客总体（顾客源） 指可能到达服务机构的顾客总数。
顾客总体数可能是有限的，也可能是无限。
如工厂内出现故障而等待修理的机器数是有限的，而到达某储蓄所的顾客源相当多，可近似看成是无限的。
（2）顾客到达的类型 指顾客的到达是单个的还是成批的；（3）顾客相继到达的时间间隔分布 即该时间间隔分布是确定的（定期运行的班车、航班等）还是随机的，若是随机的，顾客相继到达的时间间隔服从什么分布（一般为负指数分布）；2．排队规则排队规则指顾客接受服务的规则（先后次序），有以下几种情况。
（1）即时制（损失制） 当顾客来到时，服务台全被占用，顾客随即离去，不排队等候。
这种排队规则会损失许多顾客，因此又称为损失制。
（2）等待制 当顾客来到时，若服务台全被占用，则顾客排队等候服务。
在等待制中，又可按顾客顾客达到排队系统 图8—1服务的先后次序的规则分为：先到先服务（FCFS，如自由卖票窗口等待卖票的顾客）、先到后服务（FCLS，如仓库存放物品）、随机服务（SIRO，电话交换台服务对话务的接通处理）和优先权服务（PR，如加急信件的处理）。
运筹学 第八章 图论 - 全
(a)明显为二部图，(b)也是二部图，但不明显，改画为(c) 时即可看出。
2017/7/13 11
图与网络的基本知识
次，奇点，偶点，孤立点 与某一个点vi相关联的边的数目称为 点vi的次（也叫做度），记作d(vi)。 右图中d(v1)＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次 为奇数的点称作奇点，次为偶数的
2017/7/13
18
图与网络的基本知识
有向图 无向图
道路
回路
链
圈
道路(边的方向一致)
2017/7/13 19
图与网络的基本知识
连通图
定义10 一个图中任意两点间至少有一条链相连，则称此图为 连通图。任何一个不连通图总可以分为若干个连通子图，每 一个称为原图的一个分图（连通分支）。
连通图
2017/7/13
边，对余下的图重复这个步骤，直至无圈为止。
２、避圈法：每次增加一条边，且与已有边不构成圈，直至恰 有n-1条边为止。
2017/7/13
24
树
例１、下图是某建筑物的平面图，要求在其内部从每一房间都能走到 别的所有的房间，问至少要在墙上开多少门？ 试给出一个开门的方案。
三
七
Байду номын сангаас
三 八 一 四 二 五
七 八 九 六
无向图
2017/7/13
有向图
8
图与网络的基本知识
环, 多重边, 简单图 如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 之间边多于一条，称为多重边，如右
v2 e5
多重边
e2
e1 v1
环
e3 v3
e4
图中的e4和e5，对无环、无多重边的
运筹学第八章 运筹学 决策分析
S
A
s1
P ( s1 )
A1 A2 A3
EA 1 800
1 3
s2
P ( s2 )
1 3
s3
P ( s3 )
1 3
800
100
-300
350
100
200
100
-150
100
1 1 1 100 ( 300) 200 3 3 3 1 1 1 400 EA2 350 200 ( 200) 3 3 3 3 1 1 1 EA3 100 100 100 100 3 3 3 maxEA , 最优方案为 A1. 1 , EA 2 , EA 3 200
例1 有一项工程,决策人决定下月是否开工. 若开工后天气好,可按期完成任务,获利3万元; 若开工后天气不好,则造成损失费2万元;若不 管天气好坏均不开工,则要付窝工费0.3万元. 决策者应如何决策?
益损 值 方案
自然状 态
1
天气好
P(1 )
2 天气不好
P(2 )
开工 不开工
3(万元) -0.3
100 60
50 80
30 50
0.5 100 0.3 50 0.2 30 71
0.5 60 0.3 80 0.2 50 64
0.5 40 0.3 60 0.2 70 52
40
60
70
Max71,64,52 71 E( A1 )
aij F ( Ai , s j )
为益损值
第二节 不确定型的决策分析
例2 某人想从 A1, A2 , A3 三种股票中购买一种,并 在三个月后买出,其利润依赖于卖出时的行情 而定,目前只能根据行情有利,行情一般,行情不 利三种股市行情作出估计,数据如下表.试作出 购买股票的决策.
运筹学第8章
第八章 动态规划的基本方法
4、策略 按状态行进方向顺序排列的阶段决策集合称为策略. 假设给定一个 n 阶段决策问题，可用pk,n(sk)表示从 第 k 阶段处于状态 sk 到终止状态的决策序列集合， 称为后部子过程策略，或简称子策略。即: Pk,n(sk)={ uk(sk), uk+1(sk+1),…, un(sn) } 显然， P1,n(sk)就是 n 阶段决策问题的一个策略,即 P1,n(sk)={ u1(s1) , u2(s2) ,…, un(sn) } 记 P 表示所有可供选择的策略集合，称为允许策略 集合。
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-6-
第八章 动态规划的基本方法
当建立问题的数学模型后，如果时间参数是离 散的，则它就是数学规划问题；如果时间参数是连 续的，则属于最优控制问题。
动态规划模型的分类：①离散确定型；②离散随机 型，③连续确定型；④连续随机型。
A
5 4 2
各个阶段开始时所处的自然状况和客观条件称为状态, 描述了研究问题过程的状况(称不可控因素).
B1 6 3 46 B2 5 B3 6
C1 12 2 C2 2 3 C3 3
D1
D2 D3
2 3 4
Hale Waihona Puke E描述过程状态的变量称为状态变量，用Sk表示.
第 k 阶段Sk 的取值可以是离散的，也可以是连续的. 用Sk 表示第 k 阶段所有状态集合，称为可达状态集合. 例中第2阶段有三个状态 B1、B2、B3，故可达状态集 合是 S2={ B1、B2、B3 }。
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运筹学答案第八章
page 24 8 August 2024
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运筹学教程
第八章习题解答
8.15 如图8-59，发点S1，S2分别可供应10和15个 单边位上，数收为c点ij。t1，t2可以接收10和25个单位，求最大流，
page 25 8 August 2024
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运筹学教程
第八章习题解答
8.11 求图8-56中v1到各点的最短路。
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第八章习题解答
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第八章习题解答
8.12 求图8-57网络中各顶点间的最短路。
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第八章习题解答
page 32 8 August 2024
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运筹学教程
第八章习题解答
心B货1B，中18，B心.22B，的02，运B某3B输每种3。能天货A力需物1，由、求A2单分个2的位别仓库运为库存费9At量，如1，分5表At别，28运—为64t送。每，到天各求31仓运个3t库费配，到最货9t配；省中
20 0 36 14 32
D(4)
0
20
18
0
32
12
48
9
0
V1 V2 V3 V4 V5
V1 0 5 16 19 12
V2 20 0 36 14 32
运筹学-第八章-决策分析
“决策树法”是以图解方式分别计算各策略（行动方案） 在不同状态下的期望收益值，然后通过比较作出决策
2020/9/30
20
决策树的绘制
□表示决策点，由它引出的分支为行动方案分支，分 支的个数反映了可能的行动方案数
O表示状态点，从它引出的分支称为状态分支，每条 分支的上面表明了自然状态及其出现的概率，概率分 支数反映了可能的自然状态数
2020/9/30
85 42 -15 -40
60 40 -10 -35 40 25 9 -50
24
总结
从左到右画决策树 从右到左计算
O处计算期望收益值 □处比较大小
2020/9/30
25
例4 某公司需要在是否引进国外生产线问题上进行决策，即 有引进国外生产线和不引进国外生产线两种方案。在引进 国外生产线情况下，有产量不变和产量增加两种方案。在 不引进国外生产线情况下，产量不变。该产品再生产6年， 6年内跌价的概率为0.2，保持原价的概率为0.5，涨价的概 率为0.3，有关数据如表。试用决策树法进行决策
第八章 决策分析
决策问题的一般性描述 不确定性决策 风险性决策 贝叶斯决策 效用理论及其应用
2020/9/30
1
8.1 决策问题的一般性描述
所谓“决策” 是指，为了达到预期的目的，从所有可供选择 的方案中，找出最优方案的一种活动 广义的决策是指“确定目标、制定和选择方案、方案的 实施和验证等”全过程 狭义的决策是指对决策方案的最优选择
-250
3
80
80
引进生产线
涨价( 0.3) 200
2
80
跌价( 0.2)
-300
产量增加
原价(0.5)
80
4
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决策树的绘制
□表示决策点，由它引出的分支为行动方案分支，分 支的个数反映了可能的行动方案数
O表示状态点，从它引出的分支称为状态分支，每条 分支的上面表明了自然状态及其出现的概率，概率分 支数反映了可能的自然状态数
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85 42 -15 -40
60 40 -10 -35 40 25 9 -50
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总结
从左到右画决策树 从右到左计算
O处计算期望收益值 □处比较大小
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例4 某公司需要在是否引进国外生产线问题上进行决策，即 有引进国外生产线和不引进国外生产线两种方案。在引进 国外生产线情况下，有产量不变和产量增加两种方案。在 不引进国外生产线情况下，产量不变。该产品再生产6年， 6年内跌价的概率为0.2，保持原价的概率为0.5，涨价的概 率为0.3，有关数据如表。试用决策树法进行决策
第八章 决策分析
决策问题的一般性描述 不确定性决策 风险性决策 贝叶斯决策 效用理论及其应用
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8.1 决策问题的一般性描述
所谓“决策” 是指，为了达到预期的目的，从所有可供选择 的方案中，找出最优方案的一种活动 广义的决策是指“确定目标、制定和选择方案、方案的 实施和验证等”全过程 狭义的决策是指对决策方案的最优选择
-250
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引进生产线
涨价( 0.3) 200
2
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跌价( 0.2)
-300
产量增加
原价(0.5)
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运筹学第8章 网络规划
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题
充要条件：图中无奇点
哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
2016/9/7
10
例8-4 节目排序问题
8个节目，首尾为A, H或H,A；10名演员，不连续出演。如何安排？ 节 目 A B C D E F G H √ √ √ √ √ √ 11 √ √ 演 员 1 √ √ √ 2 3 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 4 5 √ 6 √ 7 √ 8 9 √ 10
从\至
T l1 =(0 3 4 )
1 0 3 2
2 3 0
3 4 4 0
4 0 1
5 5 0
1 2 3 4 5
T l2 =(0 3 1 3 2 ) T l3 (0 3 1 0 1) T l4 (0 3 1 0 1)
定理8-2：点集V的非空子集 （i, k）必在最小树中。
V S S ,连结两子集的最小边
16
1、破圈算法 步骤：
（1）在给定的赋权的连通图上任找一个圈。
（2）在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或
两条以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。
（3）如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的 图即为最小树，否则返回第1步。
12
8.2
最小树问题
v1 v2 v8
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
v1 v2 v6 v5 v7 v6 v8 v9 v3 v4 v2 v4 v1 v3 v5 v8
v3 v4 v5 v7 v6 v9
(a)
(b)
图8-4
运筹学第8-9章[新]
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-10China University of Mining and Technology
运 筹 学
n方体
n-方体Qn
n 维立方体n = 3 的情形，上底下底是两个2维立方体。对应顶点连线后( 同 时把上底中顶点标号末位加号0，下底中顶点标号末位加号1 ) 得到3维立方 体。
-11China University of Mining and Technology
-15China University of Mining and Technology
运 筹 学
回答： 一个图是二部图当且仅当它不含奇圈。 设G 是一个简单图，若δ (G) ≥ 2 ，则G 中必含有圈。 设G 是简单图，若δ (G) ≥ 3 ,则G 必有偶圈。 设有2n 个电话交换台，每个台与至少n 个台有直通线路，则
乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如下 图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
-23China University of Mining and Technology
运 筹 学
某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长 人 事 科 财 务 科 工 程总 师 开新 发产 科品 技 术 科 副生 厂产 长
0
0 1
0
0 1
1
0 0
1
1 0
0
1 0
0
1 0
v8
-21China University of Mining and Technology
运 筹 学
图的基本概念与模型
例3 下图所表示的图可以构造权矩阵B如下:
v1 3 v6 3 4 2 v5 6
4
7
运筹学 第八章 约束最优化方法
第八章 约束最优化方法无约束优化方法是优化方法中最基本最核心的部分。
但是，在工程实际中，优化问题大都是属于有约束的优化问题，即其设计变量的取值要受到一定的限制，用于求解约束优化问题最优解的方法称为约束最优化方法。
由于约束最优化问题的复杂性，无论是在理论方面的研究，还是实际中的应用都有很大的难度。
目前关于一般的约束最优化问题还没有一种普遍有效的算法。
本书重点介绍几种常用的算法，力求使读者对这类问题的求解思路有一个了解。
8.1 约束优化方法概述一、约束优化问题的类型根据约束条件类型的不同可以分为三种，其数学模型分别如下： 1）等式约束优化问题 考虑问题l1,2,...,j x h t s x f j ==0)(..)(min其中，l 1,2,...,j x h x f j =),(),(为R R n→上的函数。
记为)(fh 问题。
2）不等式约束优化问题 考虑问题m1,2,...,i x g t s x f i =≤0)(..)(min其中，m 1,2,...,i x g x f i =),(),(为R R n→上的函数。
记为)(fg 问题。
3）一般约束优化问题()()()⎩⎨⎧===≤l ,1,2,j x h m ,1,2,i x g t s x f j i L L 00..min其中，l 1,2,...,j m i x h x g x f j i ==;,2,1),(),(),(L 为R R n→上的函数。
记为)(fgh 问题。
二、约束优化方法的分类约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。
1）直接法只能求解不等式约束优化问题的最优解。
其根本做法是在约束条件所限制的可行域内直接求解目标函数的最优解。
如：约束坐标轮换法、复合形法等。
其基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适当步长。
搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。
可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足m i x g i ,...,2,1,0)(=≤适用性：当前迭代点的目标函数值较前一点的目标函数值是下降的，即满足)()()()1(k k x F x F <+2）间接法该方法可以求解不等式约束优化问题、等式约束优化问题和一般约束优化问题。
运筹学第八章_动态规划
15
□状态集合：状态变量 xk 的取值集合称为状态集合，状态集合 实际上是关于状态的约束条件。 □通常用Sk表示状态集合，xkSk。
□第1阶段 S1={A}；
x1
x2
□第2阶段具有3个状
态B1、B2和B3，故
S2={B1, B2, B3}。 □……
x3
x4
x5
16
（3）决策（decision）
x2
B1
C1
C2
C3
□决策集合：第k阶段当状态处于xk时决策变量uk( xk )的取值范 称为决策集合，常用Dk( xk ) 表示。
□例1中，从第2阶段的 状态B1出发，可以选择 下一阶段的C1、C2、 C3。 □即 D2( B1 ) = { C1、 C2、C3 }；
B1
C1
C2
C3
□决策集合实际上是决策的约束条件，uk( xk ) ∈ Dk( xk ) 。
6
□这是一个多阶段决策过程。 □该过程可以分为相互联系的若干阶段，每一阶段都需作出决
策，从而形成全过程的决策。
x1=1000
u1 第1年
x2=0.7u1+ 0.9(x1-u1)
u2 第2年
x3=0.7u2+ 0.9(x2-u2)
u3 第3年
x4=0.7u3+ 0.9(x3-u3)
u4 第4年
x5=0.7u4+ 0.9(x4-u4)
3
提纲
1 动态规划实例 2 动态规划的基本概念 3 动态规划的基本思想与基本原理 4 逆序解法与顺序解法
4
1 动态规划实例
学习目标：
1 明确什么是多阶段的决策问题，特别要注意没有明显 的时段背景的问题如何化归为多阶段的决策问题。
□状态集合：状态变量 xk 的取值集合称为状态集合，状态集合 实际上是关于状态的约束条件。 □通常用Sk表示状态集合，xkSk。
□第1阶段 S1={A}；
x1
x2
□第2阶段具有3个状
态B1、B2和B3，故
S2={B1, B2, B3}。 □……
x3
x4
x5
16
（3）决策（decision）
x2
B1
C1
C2
C3
□决策集合：第k阶段当状态处于xk时决策变量uk( xk )的取值范 称为决策集合，常用Dk( xk ) 表示。
□例1中，从第2阶段的 状态B1出发，可以选择 下一阶段的C1、C2、 C3。 □即 D2( B1 ) = { C1、 C2、C3 }；
B1
C1
C2
C3
□决策集合实际上是决策的约束条件，uk( xk ) ∈ Dk( xk ) 。
6
□这是一个多阶段决策过程。 □该过程可以分为相互联系的若干阶段，每一阶段都需作出决
策，从而形成全过程的决策。
x1=1000
u1 第1年
x2=0.7u1+ 0.9(x1-u1)
u2 第2年
x3=0.7u2+ 0.9(x2-u2)
u3 第3年
x4=0.7u3+ 0.9(x3-u3)
u4 第4年
x5=0.7u4+ 0.9(x4-u4)
3
提纲
1 动态规划实例 2 动态规划的基本概念 3 动态规划的基本思想与基本原理 4 逆序解法与顺序解法
4
1 动态规划实例
学习目标：
1 明确什么是多阶段的决策问题，特别要注意没有明显 的时段背景的问题如何化归为多阶段的决策问题。
运筹学—第八章 图与网络分析
v5 1 v6 7 1 v7 －5 －3
e1 {v1 , v2 }
e3 {v2 , v3 }
e2 {v1 , v2 }
e4 {v3 , v4 } e6 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e5 {v1 , v3 }
e7 {v3 , v5 } e9 {v6 , v6 }
v1
第二节 树 一、 树的概念和性质 例8.3 已知有六个城市，它们之间 要架设电话线，要求 任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。
v1 v6 v5 v2
v3
v4
定义9 一个连通的无圈的无向图叫做树。
作为树T的定义，下列定义是等价的： （1）T是一个树。（设其顶点数为n ，边数为 m ） （2）T无圈，且m=n-1。 （3）T连通，且m=n-1 。 （4）T无圈，但在树中不相邻的两个点之间加上一条边， 那么恰好得到一个圈。 （5）T中任意两个顶点之间有且仅有一条链。 （6）T连通，但去掉T的任一条边，T就不连通。
( vi , v j )
一、 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法 适用于wij≥0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。
算法步骤： 1.给始点vs以P标号 P(vs ) 0 ，这表示从vs到 vs的最短距离 T 为0，其余节点均给T标号， (vi ) (i 2 , 3,, n) 。 2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中 (vi , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
e1 v1
e2 e5
e8 v5
v2
d(v1)= 4，d(v6)= 4
e10 v6 e9
e3 e v4 4 e6 e7 v3
运筹学第8章163页
如果一个图是由点和弧所构成的，那 么称为它为有向图，记作D =(V,A)，其中V 表示有向图D的点集合，A表示有向图D的 弧 集 合 。 一 条 方 向 从 vi 指 向 vj 的 弧 ， 记 作 (vi,vj)。
1.图的基本概念与基本定理
例如.图8-4是一个无向图G=（V，E）
其中V = {v1,v2,v3,v4}
德国的哥尼斯堡城有一条普雷 格尔河，河中有两个岛屿，河的两 岸和岛屿之间有七座桥相互连接， 如图8-1a所示。
4
引言
C
A
B
D
图8-1 a）
引言
当地的居民热衷于这样一个问题，一 个漫步者如何能够走过这七座桥，并且每 座桥只能走过一次，最终回到原出发地。 尽管试验者很多，但是都没有成功。
为了寻找答案，1736年欧拉将这个问 题抽象成图8-1b所示图形的一笔画问题。 即能否从某一点开始不重复地一笔画出这 个图形，最终回到原点。欧拉在他的论文 中证明了这是不可能的，因为这个图形中 每一个顶点都与奇数条边相连接，不可能 将它一笔画出，这就是古典图论中的第一 个著名问题。
1.图的基本概念与基本定理
太原
石家庄
北京 天津 塘沽
济南 青岛
郑州
徐州 连云港
重庆
武汉
南京
上海
图8-2
9
1.图的基本概念与基本定理
例 8.2: 有 六 支 球 队 进 行 足 球
比赛，我们分别用点v1…v6表示这
六支球队，它们之间的比赛情况，
也可以用图反映出来，已知v1队战 胜v2队，v2队战胜v3队，v3队战胜 v5队，如此等等。这个胜负情况，
常用的有破圈法和生长法（避圈法）两 个方法：
（1）在网络图中寻找一个圈。若不 存在圈，则已经得到最短树或网络不 存在最短树；
1.图的基本概念与基本定理
例如.图8-4是一个无向图G=（V，E）
其中V = {v1,v2,v3,v4}
德国的哥尼斯堡城有一条普雷 格尔河，河中有两个岛屿，河的两 岸和岛屿之间有七座桥相互连接， 如图8-1a所示。
4
引言
C
A
B
D
图8-1 a）
引言
当地的居民热衷于这样一个问题，一 个漫步者如何能够走过这七座桥，并且每 座桥只能走过一次，最终回到原出发地。 尽管试验者很多，但是都没有成功。
为了寻找答案，1736年欧拉将这个问 题抽象成图8-1b所示图形的一笔画问题。 即能否从某一点开始不重复地一笔画出这 个图形，最终回到原点。欧拉在他的论文 中证明了这是不可能的，因为这个图形中 每一个顶点都与奇数条边相连接，不可能 将它一笔画出，这就是古典图论中的第一 个著名问题。
1.图的基本概念与基本定理
太原
石家庄
北京 天津 塘沽
济南 青岛
郑州
徐州 连云港
重庆
武汉
南京
上海
图8-2
9
1.图的基本概念与基本定理
例 8.2: 有 六 支 球 队 进 行 足 球
比赛，我们分别用点v1…v6表示这
六支球队，它们之间的比赛情况，
也可以用图反映出来，已知v1队战 胜v2队，v2队战胜v3队，v3队战胜 v5队，如此等等。这个胜负情况，
常用的有破圈法和生长法（避圈法）两 个方法：
（1）在网络图中寻找一个圈。若不 存在圈，则已经得到最短树或网络不 存在最短树；
运筹学讲义第8章
34
2
31
3
25
4
25
4
25
4
2）k=3，对C部位， x4= x3－u3
f3 ( x3 )= min{v3(u3)+ f4(x4)}= min{v3(u3)+ f4(x3－u3 )} ， 而 max{12-8，2+2} x3 12－4 = 8，列表计算如下：
5+4 1+7 5+6 =8，u2 * (B3) = B3C2
4）k=1， f1(x1)=min{v1(x1，u1) + f2(x2)}， AB1+ f2(B1) f1(x1=A)= min AB2+ f2(B2) AB3+ f2(B3) = min 2+11 5+7 3+8 =11，u1 * (A) = AB3
2010/03 --1--
--第8章 动态规划--
8.1 多阶段决策问题 例1：某工厂根据合同要求在未来半年中需提供货物数量如表中所
示，表中数字为月底交货数量。该厂的生产能力为每月400件，其仓 库的存货能力为3百件。已知每百件货物的生产费用为10千元，在进 行生产的月份，工厂要支出固定费用4千元，仓库保管费用为每百件 货物每月1千元，假定开始及6月底交货后均无存货，试问每个月应 该生产多少件产品，才能既满足交货任务又使总费用最小？
= min
5+7 6+6 3+4
=11，u2 * (B1) = B1C1
= min
2+7 4+6
=7， u2 * (B2) = B2C1
2010/03
--18--
--第8章 动态规划--
B3C1+ f3(C1) f2(x2=B3)= min B3C2+ f3(C2) B3C3+ f3(C3) = min
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·v2
· · · · v1
2
2 5
7
v4
5
v5
5
v7
4
13 1 7
· · v3 4 v6
权重之和为14
§ 破圈法
（1）在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 （2）在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或 两条以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。 （3）如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的 图即为最小支撑树，否则返回第（1）步。
§ 容量值直接标在弧旁，流量值用括号括起。
(1)可行流： 满足下述条件的流f 称为可行流：
① 容量限制条件：对每一弧（vi，vj）∈A，有 0 ≤ fij ≤ cij
② 平衡条件： 对于中间点： 流出量=流入量，
对于发点vs和收点vt有: 净输出量=净输入量= v( f )
(2)可行流总是存在的，若容量网络中所有弧的流
§ 3、在树中不相邻的两个点间添上一条边，则恰 好得到一个圈。
(进一步，若再从这个圈上任意去掉一条边，可以得到
一个树。)
三、图的最小支撑树（最小部分树）
1、定义 定是义一1：颗若树图，G则1既称是图图G1G是2 的图支G2撑的子支图撑（树部（分部图分）树，）又。
·v2
·v1
·v4 ·v3
·v5
定义2：图G2 的所有支撑树中各边权重总和最小的那 颗树，称为图 G2的最小支撑树（最小部分树）。
e5
支撑子图是子图，但子图不一定是支撑子图
例：有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名参加
A、B、C、D、E、F六个项目的比赛，下表中打√的是各 运动员报名参加的比赛项目。问六个项目的比赛顺序应 如何安排，使每名运动员不用连续的参加比赛。
ABCDEF
甲√
√
√
乙√ √
√
丙
√
√
丁√
√
戊√ √
√
己
√√
√
B
起点和终点重合的链称为圈。
一个图中，若任意两点间都 至少存在一条链，则称该图 为连通图，否则称为非连通 图。
6、子图、支撑子图（部分图）：
G21
·v5
e7 e8
· · v1
e4
v4
e1 e6 e3
· · v2 e2 v3
e5
图G1={V1，E1 }，图G2={V2，E2} 若有 V1ÍV2和 E1Í E2，称 图G1是图G2的一个子图。
59
41
22
30
30
V1 0
16
V2 16
16 v3 17 v4 17 41 v5 18
22
23
30
31 23
v6 53
41
第四节 最大流问题
§ 有向图(D) § 弧(A)：两点之间带箭头的联线称为弧。
a1∈A a1 =( v1 ,v2) 弧的箭头从v1指向 v2
§ 一个图是由一些点及点之间的联线（不带箭头或带 箭头）所组成的。
每年的维修费用（千元）
0～1年 1～2年 2～3年 3～4年 4～5年
5
6
8
11
18
设备每年年初的价格表（千元）
年份
1
2
3
4
5
年初价格 11 11 12 12 13
将问题转化为最短路问题，如下图：
用vi表示：第i年年初 弧（vi,vj）表示：第i年年初购进的设备一直使用到第j年年初。
v1
v2
v3
2、端点、关联边、相邻：
·v1
e1
e3
· · v2
e2
v3
e1=[v1, v2]
3、环、多重边、简单图：
v5
· e5 e7 e4
· · v1
e6
v4
e1
e3
· · v2 e2 v3
e8
·v5
e5
e4
· · v1
e6 v4
e1
e3
· · v2
e2
v3
4、次、奇点、偶点、孤立点：
·v1
·v5
e4
·v4
的距离如下图所示，要求每个村庄都要通 上电，应如何架设使总的线路长度最短？
·v2
6
·v1
1
·5 v3
5
7 2
·v4 4
· 3
v6
最 小 支 撑
4
·v5
树 不
一
权重之和为15
定
唯
一
第三节 最短路问题
例：下图所示为一各城市间的交通网，各条边
上的数字表示通过该条线路所需要的费用，
现在某人要从 v1出发到 v8去，求使总费用最
以点 vi 为端点的边的个数称 为点 vi 的次，记作d(vi)
e1 e6 e3
d(v1) =3
奇点
· · v2 e2 v3
d(v2) =4
偶点
e5
d(v5) =0
孤立点
5、初等链、圈、连通图：
·v5
e7
e8
· · v1
e4
v4
e1 e6 e3
· · v2 e2 v3
e5
在图中，任意两点间由点和 边相互交替构成的一个点不 重复的序列称为初等链。
欧拉：哥尼斯堡七桥问题
§ 图论的创始人
§ 发表了第一篇关于图 的论文
哥尼斯堡七桥问题：
东普鲁士的哥尼斯堡城是一个风景宜人的旅游胜地，也 是一个在战争中双方必争的战略要地。哥尼斯堡城中有一条 河叫做普雷格尔河，该河横贯城区，河中间有两个岛形地 带，这种分布情况把全城分为北区、南区及中央的岛区四个 区域，这四个区域分别由七座桥相连。那里的居民热衷于这 样的问题：一个散步者能否走过七座桥，且每座桥只走过一 次，最后回到出发点。
小的旅行路线。
· · v2 1 v5
2
62
· · v1
3 v3 6
6 43
·v9
3
·v8
12
4
· 10 · · v4
v6
2
v7
最短路问题的一般概括：
设G=(V，E)为连通图，图中各边有权， vi ,vj 为图中任意两点，求一条道路，使它是从vi到 vj的所有路中总权最小的路。
有些最短路问题也可以是求网络中 某指定点到其余所有结点的最短路，或求 网络中任意两点间的最短路。
v4
v5
v6
把所有弧的权数计算如下表：
1
2
3
4
5
6
1
16
22
30
41
59
2
16
22
30
41
3
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23
31
4
17
23
5
18
6
把权数赋到图中，再用Dijkstra 算法求最短路。
59
22
30 41
v1
16
v2 16 v3 17 v4 17 v5 18
v6
22
23
30
31 23
41
最终得到下图，可知，v1到v6的距离是53，最短路径有两条： v1 v3 v6和 v1 v4 v6
一、图的模型 1、哥尼斯堡七桥问题（欧拉 1736）
A
普
雷 C格
尔D 河
B
A l·
C l·
l·D
一笔画问题
B l·
2、周游世界问题（哈密顿1857）
3
7
8
6
2 9
5 15 16
14 17
10
13
18
19 11 12
4
哈本概念
1、图（G）：点和边的集合。若点的集合记为V,边的 集合记为E,则一个图可以记作G={V,E}。
v6 10 2
4
v7
9
最小总 费用11
练习：155页，例3
·v2 5
5 2
·0 v1
7
·v5 7
·7
v4
6
1
3
·v7 10
7
· 2 v3 2 4
2
6
·v6 6
说明：起点到任意指定点的最短路
许多优化问题可以使用最短路问题模型：
如：设备更新、管道铺设、线路安排、 厂区布局等问题。 (我们曾介绍了最短路问题动态规划解 法，但某些最短路问题不能整齐分段者 ，构造动态规划比较困难，而用图论方 法比较有效。)
§ 如果一个图G是由点及边所组成的，则称为无向图 （简称图），记为G（V, E）;如果一个图D是由点 及弧所组成的，则称为有向图，记为D（V, A）;
例：下图为联结某产品产地 vs和销地 vt 的交通网，每
一弧所示方向代表运输方向，弧旁的数字表示这条
运输线的最大通过能力，产品经由运输网从 vs输送 到 vt 。现要求制定一个运输方案使从vs运到 vt的产
§ 破圈法
·v2
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2
2 5
7
v4
5
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5
v7
4
13 1 7
· · v3 4 v6
权重之和为14
例：有六个村庄将要架设电线，各个村庄间
的距离如下图所示，要求每个村庄都要通 上电，应如何架设使总的线路长度最短？
·v2
6
·v1
1
·5 v3
5
7 2
·v4 4
· 3
v6
4
·v5
例：有六个村庄将要架设电线，各个村庄间
例：设备更新问题：
某公司使用一台设备，在每年年初，公司 就要决定是购买新的设备还是继续使用旧 设备。如果购置新设备，就要支付一定的 购置费，当然新设备的维修费用比旧设备 低。如果继续使用旧设备，可以省去购置 费，但维修费用相对要高。请设计一个五 年之内更新设备的计划，使得五年内包含 购置费用和维修费用的总支付费用最小。