平面上一类光滑凸曲线流
如何看配光曲线图
如何看配光曲线图任何灯具在空间各方向上的发光强度都不一样，我们可以用数据或图形把照明灯具发光强度在空间的分布状况记录下来，光强分布，中心，把各方向上的发光强度用矢量标注出来，连接矢量的端点，因为大部份的灯具的形状是轴对称的旋转体，其发光强度在空间的分布也是轴对称的。
所以，通过灯具轴线取任一平面，以该平面内的光强分布曲线来表明照明灯具在整个空间的分布就够了。
如果照明灯具发光强度在空间的分布是不对称的，例如长条形的若干测光平面空间光分布。
取同灯具长轴相垂直的通过灯具中心下垂线的平面为与C0平面垂直且通过灯具中心的下垂线的平面为。
至少要用C0、C90两个平面的光强分布说明非对称灯具的空间配光。
为了便于对各种照明灯具的光分布特性进行比较，统一规定以光通量为1000应是测光资料提供的光强值乘以光源实际光通量与1000照明灯具的光强分布是利用灯具的反光罩、透光棱镜、格栅或散光罩控制灯光实现的。
它的反射比越高，规则反射越强,控光能力越显著。
阳极氧化或抛光氧化铝、不锈按照规则反射定律对铝反射罩的几何形状、尺寸进行周密设计，安装时注意光源精确定位，便能获得各种需遮蔽光源，减少直接眩光的作用。
透过格栅的光分布一般比较狭窄。
任何灯具在空间各方向,我们可以用数据或图形把照明灯具发光强度在空间的分布状况记录下来,,中心,把各方向上的发光强度用矢量标注出来,连接矢量的端点,即形成光强分布曲线,也叫配光曲线。
小型电视演播室照明浅谈发布时间：2008-8-18 23:00:43 来源：兆光影视设备被阅览数：374文字〖大中小〗自动滚屏（右键暂停）小型电视演播室照明ttt001制作，网络word首发电视演播室按建筑面积分为小型、中型、大型演播室。
通常把建筑面积小于250m2的演播室称为小演播室，把建筑面积为250～400m2的演播室称为中演播室，把建筑面积为400～1200m2的演播室称为大演播室，近年来还出现了超过1500m2甚至超过2000m2的超大演播室。
交通安全工程第4章-道路交通环境与交通安全
半径越小，曲率越大，曲线弯曲的程度越大，发生的 事故就越多；相反，半径越大，曲线弯曲的程度越小， 则事故也会降低。
第4章 道路交通环境与交通安全
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表4- 3 圆曲线最小半径
第4章 道路交通环境与交通安全
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2）横向力系数对于行车安全等的影响。 横向力系数是指单位车重所受的横向力，μ值越大， 汽车在曲线上行驶的稳定性就越差。 要保证横向力系数μ小于横向摩擦系数f，就能够保证 了汽车在曲线上行驶的横向稳定性。
第4章 道路交通环境与交通安全
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第2节 道路线形与交通安全
道路是供各种车辆和行人等通行的工程设施，是一种带状 的三维空间人工构造物。
线形是指立体描述道路中心线的形状。道路线形主要包括 平面、纵断面、横断面。
道路中心线在水平面上的投影称为平面图，其反映的是道 路的平面线形；
道路中心线的竖向剖面图为纵断面图，反映出道路的纵断 面线形；
图4- 12 路面加宽的过渡 22/137
二．道路纵断面线形对交通安全的影响
纵断面线形反映了道 路中线地面起伏和设 计路线的坡度情况。
纵断面线形要素主要 包括：表示道路前进 方向上坡、下坡的纵 向坡度和在两个坡段 的转折处插入的两类 竖曲线类型，纵断面 线形要素构成如图 4-13所示。
第4章 道路交通环境与交通安全
横断面是道路中心线法线方向的切面。
线形的好坏，对交通流安全畅通具有极其重要的作用。如 果线形不合理，不仅会造成道路使用者时间和经济上的损 失、降低通行能力，而且可能诱发交通事故。
第4章 道路交通环境与交通安全
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道路设计车速是道路线形设计的重要指标，一般由道 路等级及所处的地形决定。
公路工程中平面曲线要素
公路工程中平面曲线要素
公路工程中的平面曲线要素包括以下几个方面：
1. 曲线元素：包括切点、切线和曲线的元素。
切点是指曲线与直线连接处的点，切线是指曲线在切点处的切线方向，曲线的元素是指曲线的凸度和箭头的长度。
2. 切线方向和长度：切线是曲线在切点处的切线方向和长度，用于确定车辆在进入和离开曲线时的转向和速度。
3. 切线长：切线长是指曲线起点和终点之间的水平距离，用于确定曲线的长度。
根据需要，曲线的起点和终点可以调整切线长来满足设计要求。
4. 角度：角度是指曲线起点和终点之间的方向变化角度，用于确定曲线的弯曲程度。
角度也可以根据需要进行调整以满足设计要求。
5. 半径：半径是指曲线的中心到曲线底部的距离，用于确定曲线的弯曲程度。
较小的半径意味着更陡峭的曲线，而较大的半径意味着更平缓的曲线。
除了上述要素，还有曲线的设计速度、超高和超高长度等要素，这些要素也是平面曲线设计中的重要内容。
平面曲线要素的确定需要根据公路的设计标准和交通流量来进行，以确保公路的安全和舒适性。
微分流形
而对于四维拓扑流形，许多问题还没有解决。其中最重要的是四维流形的光滑庞加莱猜测：（作为一个拓扑
流形）四维球面上只存在标准的微分，这些微分的外积是反对称的,即是p阶反对称协变张量,
公式
M上p次外微分形式的全体构成一个实数域上的无限维向量空间E。对外微分形式可以进行加法运算（同次外
微分形式可以相加）,外积运算（p次外微分形式与q次外微分形式的外积是一个(p+q)次外微分形式），还可以进
行外微分运算及积分运算。在局部坐标下，外微分运算为
上的一次微分形式。 “1=2”
2
公式
1
公式
一般张量场
由切空间和余切空间通过张量积的运算可以得到M在点p处的各种(r,s)型张量,M的(r,s)型的张量全体构成
张量丛，它的截面就是M上的一个(r,s)型张量场（见多重线性代数、张量）。
微分形式
微分形式
公式在微分流形上还可以定义外微分形式（见外微分形式）。p次外微分形式(2)是一些微分的外积的线性组
微映射，或简称Cr映射。如果φ是从M到N上的同胚，而且φ和φ都是C的，则称φ为微分同胚，此时也称M与N是
微分同胚的微分流形。
映射的微分
公式设φ是从M到N的C映射。对M上点p的切向量x可以如下地定义N在点φ(p)处的切向量x┡：这个对应
x→x┡用dφP表示,称为φ在点p处的微分。微分dφP是从切空间TP(M)到(N)的线性映射,有时也称为φ在切空间
k=0时,M是拓扑流形；k>0时,就是微分流形；k=ω时，是解析流形。C∞流形又常称为光滑流形。如果微分流形M
是一个仿紧或紧空间，则称M为仿紧或紧微分流形。如果可选取坐标图册使微分流形M中各个坐标邻域之间的坐标
道路勘测设计复_习题
道路勘测设计复习题一、填空1、现代交通运输由（铁路）、（道路）、（水运）、航空、管道等五种运输方式组成。
2、道路平面线形是由直线、（圆曲线）和（缓和曲线）组成或将之称为平面三要素。
3、《公路工程技术标准》JTG B01-2003根据（功能）和（适应的交通量）将公路分为五个等级。
4、汽车在公路上匀速行驶时，遇到的阻力一般有空气阻力、摩擦阻力和（惯性阻力）。
5、平面线形组合的基本型是按直线、（圆曲线）、（缓和曲线）、（圆曲线）、直线的顺序组合起来的线形形式。
6、设计速度是确定公路（几何形状）的最关键参数。
7、两个转向相同的相邻曲线间以直线形成的平面线形称为（同向）曲线，而两个转向相反的相邻曲线间以直线形成的平面线形称为（反向）曲线。
8、纵断面的设计线是由（直坡线）和（竖曲线）组成的。
9、山岭区选线布局有（沿河线）、（越岭线）、山脊线三种方式。
11、城市道路分为快速路、主干路、次干路、支路四类。
12、汽车行驶出现的纵向不稳定有纵向倾覆和纵向倒溜滑移两种情况。
14、平面线形组合类型是基本型、S形、卵形、凸形、C形、复合型、回头形曲线。
15、.纵断面设计线的两个基本线形要素是纵坡、竖曲线。
17、视距的类型分别有停车视距、会车视距、错车视距、超车视距。
19、展线的方式有自然展线、回头展线、螺旋展线三种。
20、实地放线常用的方法有穿线交点法、直接定交点法、坐标法三种。
25、.高速公路的设计标高一般取中央分隔带的外侧边缘高程。
27、无中间带的超高过渡方式有绕内边线旋转、绕中线旋转、绕外边线旋转。
30、纸上定线的方法有直线形定线法、曲线形定线法两种。
31、公路路线设计时，将路线分解为三类：平面、（横断面）、（纵断面），其中平面反映了路线的走向。
36、《标准》规定缓和坡段的纵坡应不大于（ 3% ），其长度应不小于（最小坡长）。
37、将合成坡度控制在一定范围以内，目的是尽可能地避免（急弯）和（陡坡）的不利组合。
42、公路勘测设计的阶段可根据公路的性质和设计要求分为（初步设计）、（技术设计）和（施工设计）三种。
流体力学_上海交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
流体力学_上海交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.在原静止流体中高速航行体周围绕流中，在近壁面形成有旋的边界层流动，在边界层外则可看做无旋流动，适用势流理论。
参考答案:正确2.对于平行流动，压强分布满足：参考答案:沿速度垂直方向梯度为常数;_与速度无关；3.连续性方程体现流体的质量守恒定律。
参考答案:正确4.下列关于湍流特征描述正确的有（）参考答案:相比层流流动，湍流流动具有较大的动量、热量和物质扩散速度_湍流是时空连续的随机运动5.湍流运动涡粘系数νt的量纲为（）参考答案:m2⁄s6.势流的基本解被用于求解速度场，基本解的强度和空间分布通过满足：求得。
参考答案:库塔条件_速度边界条件；_壁面流线条件；7.有环量的圆柱绕流流场由哪些基本解叠加而成：（）参考答案:均流；_偶极子；_点涡；8.理想流体的固壁边界条件是一个简化的数学模型，其速度条件满足：（）参考答案:有滑移_无渗透9.法国数学家达朗贝尔证明，物体在原静止的不可压缩和无黏流体中，以恒定速度运动，所受的阻力为零。
这被称为达朗贝尔佯谬或悖论，其错误的根源在于：。
参考答案:实际流体有黏性；10.存在速度势函数的充要条件是：（）参考答案:无旋流动11.对在有势力场中的无旋流动，求解流动速度场和压强场解耦，先通过速度势函数求解速度场，速度势函数满足（）拉普拉斯方程；12.狂风天气，屋顶被掀翻，其原因是：参考答案:屋顶外侧气流速度高，压强降低，屋顶内外两侧产生压差；13.拉瓦尔喷管（入口为亚声速流动）中可能发生激波的部位在。
（填A.收缩段；B.喉部；C. 扩张段）参考答案:C14.流线无论什么情况下都不可以相交。
参考答案:错误15.对于圆管内流动，实际管道直径为10m，液体流速为1m/s, 若实验时使用相同的液体，模型管道直径为0.5m，考虑雷诺数相似，则模型管道内的流速应为（）参考答案:20m/s16.拉瓦尔喷管（按一维定常绝热无粘流动计算）入口为亚声速流动，喉部为临界状态。
最优化方法凸优化解题方法
最优化方法凸优化解题方法最优化方法凸优化解题方法最优化方法是一种寻求最优解的数学方法。
凸优化是最优化方法中的一种重要分支，其使用较为广泛，可以解决很多实际问题。
下面，我们将介绍一下凸优化解题方法。
一、凸优化定义凸优化的本质是通过数学模型，寻求函数在定义域内的最小值或最大值。
在凸优化中，以凸函数为优化目标，以凸集为限制条件，解决优化问题，达到最优化的目的。
二、凸函数的定义在凸优化的研究中，凸函数是非常重要的一个概念。
具体来说，凸函数指的是满足以下两个条件的实数函数：在其定义域内的任意两点的连线上的函数值均不大于这两点的函数值之均值。
三、凸集的定义凸集是凸优化中的另一个重要概念。
严格来说，如果集合内的任意两点间的线段上的所有点均都属于此集合，则该集合被称为凸集。
四、凸优化的求解方法1. 等式约束在含有等式约束的凸优化问题中，我们可以使用拉格朗日函数将等式约束转化为拉格朗日乘子的形式，然后通过对拉格朗日函数求梯度，解析求解拉格朗日乘子和原变量。
2. 不等式约束对于含有不等式约束的凸优化问题，我们可以采用约束法来解决。
通过引入松弛变量(如Slack Variable)，将不等式约束转化为等式约束，然后再使用拉格朗日乘子法求解。
3. 分治法对于最大值问题，一般采用分治法进行求解。
先找到定义域的中点，求出中点处的函数值，然后将整个定义域按照函数值比中间点小或大的两部分分别处理，递归求解，最终得到最大值。
4. 内点法内点法是一种求解凸优化问题的有效方法。
其推广原理是：通过在定义域内引入一个可行解点，将该点定义为内点，并通过内点的移动求解最优解。
五、凸优化的应用1. 机器学习凸优化在机器学习中有着广泛的应用，例如线性规划、支持向量机和最小二乘法。
这些方法旨在寻求最优的函数分离，使得机器学习算法的预测准确性更高。
2. 信号处理凸优化在信号处理中也有着广泛的应用，例如信号分解和降噪等。
通过利用凸优化来实现对信号的优化和提取，可以提高信号处理的效率和准确性。
凸优化原理
凸优化原理
凸优化是数学中的一个分支领域，研究的是凸函数的最优化问题。
凸函数具有良好的几何性质，使得凸优化问题能够被有效地求解。
凸优化的原理可以总结为以下几个关键概念：
1. 凸函数：一个函数在定义域上是凸的，如果对于定义域内的任意两点，连接这两点的线段上所有点对应的函数值都不大于线段两端点对应的函数值。
凸函数具有向上弯曲的特点，且在定义域上的局部最小值一定是全局最小值。
2. 凸优化问题：凸优化问题是指目标函数为凸函数，约束条件为线性等式或线性不等式的最优化问题。
凸优化问题具有良好的性质，例如可行域是凸集、局部最小值即为全局最小值等。
3. 凸优化算法：针对凸优化问题，有多种求解方法，其中常用的包括梯度下降法、牛顿法、内点法等。
这些算法通过迭代逐步逼近最优解，保证收敛到全局最优解或局部最优解。
4. 最优性条件：凸优化问题的最优性条件包括一阶条件和二阶条件。
一阶条件即凸函数的梯度为零，是必要条件；二阶条件则进一步判断最优解的性质，如凸优化问题中的局部最小值是严格局部最小值。
5. 对偶问题：凸优化问题还可以通过对偶性理论转化
为对应的对偶问题。
对偶问题可以提供原始问题的下界，并且在某些情况下，对偶问题的最优解与原始问题的最优解是相等的。
凸优化在工程、经济学、运筹学等领域有广泛的应用。
它能够帮助我们寻找到问题的最优解，优化资源的利用，提高效率和性能。
同时，凸优化也是许多其他优化方法的基础和起点。
平面上凸曲线组合流
ｃ ｉ ｒ ｃ ｌ ｅ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ Ｃｏ 。ｍ ｅ ｔ ｒ ｉ ｃ ｓ ａ ｔ ｉ ｍｅ ｇ ｏ ｅ ｓ ｔ ｏ ｉ ｎ ｉ ｆ ｎ ｉ ｔ ｙ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄｓ ：ｃ ｕ ｒ ｖ ａ ｔ ｕ ｒ ｅ ｌ ｆ ｏ ｗ； Ｃｏ ｏ ｍｅ ｔ ｒ ｉ ｃ ； ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｘ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ； ｓ ｕ ｐ ｐ ｏ ｒ ｔ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ
第 １ ９卷 第 ３期
２ ０１ ３ 年 ６月
上海 天
报 （ 自 然科学版）
Ｖｂｌ ＿１ ９ Ｎｏ．３
Ｊ ｕ ｎ． ２ ０ １ ３
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｓ ＨＡＮＧＨＡＩ ＵＮＩ ＶＥ ＲＳ Ｉ ＴＹ （ Ｎ ＡＴＵ ＲＡＬ Ｓ ＣＩ Ｅ ＮＣＥ ）
ＤＯ Ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ７ － ２ ８ ６ １ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ３ ． １ ９
平面上 凸曲线组合 流
黄 平 亮， 周 蓓 蓓
（ 上海大学 理学院， 上海 ２ ０ ０ ４ ４ ４ ）
摘要 ： 主要研究 了两 种新的平面 凸 曲率流 ： 一种 是 由保面积流和 保长度流组合而成 ， 这种 曲率流在演化 过程中缩 短 了曲线 的周长， 增 大 了曲线所 围成 的面积 ； 另一种是两种 保长度流 的 “ 凸组合”， 这种 曲率流的周长是 常数， 而面 积不断增大． 两种 曲率流都具有全局存在性 ， 并且当时 间趋于无穷大 时， 曲线 在 Ｃｏ ｏ范数下收敛到有 限圆． 关键 词 ：曲率 流； Ｃｏ ｏ范数 ； 凸曲线 ； 支撑函数
广义的cauchy s光滑曲线
广义的cauchy s光滑曲线
广义的Cauchy光滑曲线是数学中定义一种勒费米曲线函数的代表类型，它由Francois Arago（1786-1853）提出的。
现代的高等几何理论更容易地处理Cauchy
光滑曲线，它满足天然的光滑性条件，被普遍应用于数学模型的构建、分析及实际现象中。
该特征光滑曲线定义为一种在R2单元上，形式上由一个二阶微分可分解的复
平面可求解的曲线，它能够满足单变量的一次微分可解的常数定积分的要求。
进而可以联系到一个双导数的联立方程，求解得到圆弧形的光滑曲线。
形式上，Cauchy光滑曲线定义为一种由几何性质描述的曲线，它将曲线中每
一点的控制矢量一起考虑。
Cauchy曲线的空间特征在下面的参数方程中给出：其中，t∈[a,b]表示此曲线上点的参数，变量x,y定义了坐标系，Xi表示输入参数，f（Xi）为曲线上每一点的函数值。
Cauchy光滑曲线在研究复杂场景和分析曲线函数特性时拥有重要意义。
它提
供了曲线分析中明晰的逻辑结构，可以实现连续光滑变换，并且它拥有可控制的微分的特性，这对数学建模以及研究现实世界有重要的作用。
从多学科研究来看，微积分和物理学中的位能曲线，椭圆及各种坐标变换的非
线性分析都与Cauchy光滑曲线有着密不可分的联系，如圆柱坐标系中的反射能场
以及坐标旋转，这些被广泛应用于计算机图形学中。
总之，广义的Cauchy光滑曲线结合了几何形状和参数求解，极大地简化了数
学模型的构建和有关现象的探究，也提供了分析复杂系统的理论和方法性的支持，以及计算机图形学技术的实践应用。
《平面曲线运动》课件
在匀速圆周运动中，物体受到一个始终指向圆心的向心终指向圆心，所以物体的速度方向时刻变化，但速度大小保持不变。
变速圆周运动
总结词
与匀速圆周运动不同，变速圆周运动的 速度大小和方向都发生变化。在变速圆 周运动中，向心力和离心力共同作用， 使物体沿着圆弧做变速运动。
VS
详细描述
在变速圆周运动中，由于速度大小和方向 的变化，物体所受的向心力和离心力也在 不断变化。这些力的动态平衡使得物体能 够沿着圆弧做变速运动。变速圆周运动常 见于天体运动和车辆行驶等实际场景。
一般平面曲线运动
总结词
一般平面曲线运动是更为复杂的平面曲线运动形式，其轨迹可以是任意形状的平面曲线 。
详细描述
一般平面曲线运动的特点是速度方向不断变化，速度大小也可能发生变化。这种运动形 式通常出现在具有复杂外力的系统中，如流体动力学中的涡旋运动或弹性力学中的振动 等。在一般平面曲线运动中，物体的加速度和速度方向始终垂直于轨迹线所在的平面。
04
平面曲线运动的实例分析
地球的自转与公转
总结词
地球自转与公转是典型的平面曲线运动，它 们在空间中描绘出椭圆和圆的轨迹。
加速度
总结词
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，在平面曲线运动中，加速度的大小和 方向也在不断变化。
详细描述
加速度同样是矢量，由大小和方向两个要素组成。在平面曲线运动中，加速度的 大小表示物体速度变化的快慢，方向表示物体速度变化的方向。加速度的变化会 导致物体运动轨迹的变化。
角速度
总结词
角速度是描述物体绕固定点旋转快慢的物理量，在平面曲线 运动中，角速度的大小和方向也在不断变化。
详细描述
向心加速度是矢量，由大小和方向两个要素组成。在平面曲线运动中，向心加速度的大小表示物体向心方向加速 的快慢，方向始终指向圆心。向心加速度的变化会导致物体运动轨迹的变化。
如何利用薄膜干涉判断被检平面的凸凹技巧
如何利用薄膜干涉判断被检平面的凸凹技巧
保康二中 物理教师：陈 强 手机：139********
在人教版物理光学教材第二十章 《光的波动性》中第一节《光的干涉》提到利用薄膜干涉在技术应用中如何用干涉法检查平面。
教师参考书中是这样判断被检平面的凸凹情况：根据同一条亮（暗）纹上各处空气层厚度相同可知，被检平面发生弯曲处的空气层厚度和同一条纹上未发生弯曲的地方空气层厚度相同，再根据弯曲方向与垫片位置可知，空气层在弯曲线本该比同一条纹上其他位置厚一些还是薄一些。
以上两点对比分析可判断出该处存在条纹凸起还是凹陷。
我觉得此方法很模糊，学生仍无法理解。
下面给大家介绍一种新的判断方法供参考，恳请大家提一些宝贵意见。
图1 图2
用干涉法检查平面：
如图1所示，两板之间形成一层空气膜，用单色光从上向下照射，如果被检测平面是光滑的，得到的干涉图样必是等间距的。
如果某处凹下，则对应明纹（或暗纹）提前出现，如图2中P 所示；如果某处凸起来，则对应条纹延后出现，如图2中Q 所示（注：“提前”与“延后”不是指在时间上，而是指由左向右的顺序位置上）
P Q 被检查平面 薄片
标准样板
单色光 P Q。
Wulff流及关于平面凸曲线的一些新等周不等式
盥丝硕士学位论文答辩委员会成员名单；，、ｙ一姓名职称单位备注眈兕踢钍摇辂峥影薅勰主席郄·章致摇裕．【ｌ带钛弓豁ｉ予，考崇孝吾）钍撩年鲡｛稚大罾孰ｉ系学位论文独创性声明本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均－已在文中作了明确说明并表示谢意。
作者签名：胜口期：型！留学位论文授权使用声明本人完全了解华东师范大学有关保留、使门ｊ学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。
有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。
有权将学位论义的内容编入有关数据库进行检索。
有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。
保密的学位论文在解密后适用本规定。
学位论文作者躲席卷远导师躲（％墟ｊ日期：巫醇！五：Ｚ。
口期：碰：笸：乏。
ＡＢＳＴＲＡＣＴＴｈｅＷｕｌｆｆＦｌｏｗａｎｄＳｏｍｅＮｅｗＩｓｏｐｅｒｉｍｅｔｒｉｃＩｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓａｂｏｕｔＣｏｎｖｅｘＣｕｒｖｅｓｉｎｔｈｅＰｌａｎｅｂｙＴａｎｇＸｕｅｙｕａｎＩｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｗｅｗｉｌｌｃｏｎｃｅｒｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅＷｕｌｆｆｆｌｏｗｓｏｆＣｕｒｖｅｓｉｎｔｈｅｐｌａｎｅＭｏｓｔｏｆｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓｏｆｐｒｅｖｉｏｕｓｒｅｓｕｌｔｓｏｆＭ．ＧｒｅｅｎａｎｄＳ．Ｏｓｈｅｒ．Ｂｕｔｗｅｕｓｅａｎｅｗｍｅｔｈｏｄｓｔｏｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｆｌｏｗ．Ｂｙｔｈｉｓｗａｙ，ｗｅｃａｎｏｂｔａｉｎｔｈｅｄｅｔａｉｌｓｏｆｔｈｅｅｖｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｆｌｏｗ，ｔｈｕｓ，ｗｅｅａｉ５ｐｒｏｖｅｔｈｅｔｈｅｏｒｅｍ１．１．Ｉｎｆａｃｔ，ｔｈｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｈａｓｂｅｅｎｅｘｐｒｅｓｓｅｄｉｎｔｈｅｐａｐｅｒｏｆＭａｒｋＧｒｅｅｎａｎｄＳｔａｎｌｅｙＯｓｈｅｒ，ｂｕｔｔｈｅｙｄｏｎ’ｔｇｉｖｅｔｈｅｄｅｔａｉｌｓ．Ｉｎｏｎｅｃｈａｐｔｅｒ，ｗｅｄｅｓｃｒｉｂｅｓｏｎｌｅＦｌｅｗｉｓｏｐｅｒｉｕｌｅｔｒｉｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｆｏｒｃｌｏｅｓｄｃｏｎｖｅｘｃｕｒｖｅｓｉｎｔｈｅｐｌａｎｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＷｕｌｆｆＦｌｏｗ，ｉｓｏｐｅｒｉｍｅｔｒｉｃｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ，ｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎ．２摘要ＷＵＬＦＦ流及关于平面凸曲线的一些新等周不等式唐学远在这篇文章中，我们着手处理平面上ｗｕｌ行曲线流。
凸度计算公式
凸度计算公式
凸度是几何上衡量曲线外形的一个重要概念。
它指的是曲线离给定平面距离的
绝对值之和，也就是曲线在平面投影处与平面之间的距离，反映曲线的凸与凹状况。
它又是测量曲面某一点附近的凹凸的量度。
凸度的公式总的来说比较复杂，主要是因为要计算曲线在离给定平面较近的每
一点的距离。
当平面的位置固定时，凸度的计算公式为：D=∑（|z-h|）。
其中z
表示曲线的纵坐标，h表示最近的给定平面的纵坐标，计算时可以以一个区域内的
点作为和距离偏离量|z-h|之和所做计算，这个距离指的是曲线离给定平面的绝对
值之和。
凸度的计算对影响机械制造工厂产品表面质量具有重要作用。
它是衡量曲线外
形的一个重要数字，凸度大，表示这条曲线处于一直凸或近似凸的状态，而凹度小，则表示曲线较凹或近似凹状，从而更好的判断机械的外形是凸的还是凹的。
凸度的测量和模拟不仅仅用于表面，在水利工程中也有非常重要的作用。
比如
流体在河床两侧岸边附近建设堤坝，需要调查一定宽度外河床，这就要求河面凸度计算，以便采取精确的防护措施，比如测量河面的凹凸程度，根据凸度的计算结果，决定建设时需要多大的堤防，以保障全面的安全性。
凸度的计算公式是复杂的，但它却是测量曲线外形的一个重要指标，不仅在机
械制造中拥有重要的应用，在水利工程中也有它的重要作用，用来控制河床形状，保证安全性。
高等数学中的光滑流形及其微分几何
光滑流形及其微分几何是高等数学中的一个重要领域。
光滑流形是对现实世界中的曲面、曲线、以及更高维的曲面进行研究的数学工具。
它的核心思想是将现实世界中的几何问题抽象到不同的空间中，以便更好地进行研究和推导。
光滑流形的概念最早由德国数学家黎曼引入，他将流形定义为“可以用局部坐标系来描述的空间”。
一个光滑流形由无数个这样的局部坐标系组成，它在每个坐标系中都可以用一组光滑函数来表达。
光滑函数具有无限次可微性，因此可以用来描述流形上的各种几何性质。
微分几何是研究光滑流形上的各种几何性质的学科，它的核心是计算流形上的切空间和曲率。
切空间是描述流形上切向量的空间，它在每个点上都与流形的切平面一一对应。
曲率则是描述流形上曲线和曲面弯曲程度的度量，它可以用曲率张量来表示。
光滑流形及其微分几何在物理学、计算机图形学、机器学习等领域都有广泛的应用。
在物理学中，光滑流形可以用来描述时空的几何结构和引力场的性质。
在计算机图形学中，光滑流形可以用来生成逼真的曲面和形状。
在机器学习中，光滑流形可以用来表示和处理高维数据，帮助我们理解和分析数据的结构和特征。
光滑流形及其微分几何的研究方法主要有两种，一种是几何方法，一种是代数方法。
几何方法通过刻画流形的几何性质来研究流形的性质，代数方法则通过代数方程和代数结构对流形进行描述。
这两种方法在不同的问题和领域中都有自己的优势和应用范围。
在实际应用中，光滑流形及其微分几何可以帮助我们更好地理解和描述现实世界中的曲线和曲面。
例如，在医学图像处理中，光滑流形可以用来对医学图像中的器官进行分割和重建。
在计算机视觉中，光滑流形可以用来对图像和视频中的对象进行识别和跟踪。
在金融工程中，光滑流形可以用来对金融数据中的波动和风险进行建模和预测。
总之，光滑流形及其微分几何是高等数学中一个重要且广泛应用的领域。
它通过抽象和推广现实世界中的几何问题，帮助我们更好地理解和分析各种曲面和曲线的性质。
同时，光滑流形及其微分几何也在实际应用中发挥着重要的作用，帮助我们解决各种实际问题。
光滑流形导论
光滑流形导论光滑流形是数学中的一个重要概念，它是描述空间形态的一种数学工具。
在物理学、工程学、计算机科学等领域中，光滑流形都有着广泛的应用。
本文将介绍光滑流形的基本概念和性质。
光滑流形是指一个具有光滑结构的空间，它可以用一组局部坐标系来描述。
这些局部坐标系可以通过光滑变换相互转换，从而构成了整个空间的光滑结构。
光滑流形可以是有限维的，也可以是无限维的。
在有限维情况下，光滑流形通常被称为曲面或曲线，而在无限维情况下，光滑流形通常被称为函数空间或分布空间。
光滑流形的一个重要性质是它具有局部欧几里得结构。
这意味着在光滑流形上的每个点都可以用一个局部坐标系来描述，这个局部坐标系与欧几里得空间中的坐标系类似。
这个性质使得我们可以在光滑流形上定义各种数学对象，如切向量、切空间、余切向量、余切空间等。
光滑流形上的切向量是指在某一点上的切线方向，它可以用一个向量来表示。
切向量的集合构成了切空间，它是一个与光滑流形上的每个点相关联的向量空间。
类似地，余切向量是指在某一点上的法线方向，它也可以用一个向量来表示。
余切向量的集合构成了余切空间，它也是一个与光滑流形上的每个点相关联的向量空间。
光滑流形上的微积分是一种在切空间和余切空间上进行的运算。
它包括求导、积分、曲率等概念。
在光滑流形上进行微积分的一个重要工具是流形上的微分形式。
微分形式是一种在光滑流形上定义的函数，它可以用来描述切向量和余切向量之间的关系。
微分形式的集合构成了流形上的微分形式空间，它是一个与光滑流形上的每个点相关联的向量空间。
光滑流形是一种重要的数学工具，它可以用来描述空间形态，并在物理学、工程学、计算机科学等领域中得到广泛应用。
光滑流形的基本概念和性质包括局部欧几里得结构、切向量、切空间、余切向量、余切空间、微积分和微分形式等。
对于研究光滑流形的数学家和应用光滑流形的科学家来说，这些概念和性质都是必须掌握的基础知识。
凸优化——精选推荐
凸优化1. 概念1)凸优化：是指⼀种⽐较特殊的优化，是指求取最⼩值的⽬标函数为凸函数的⼀类优化问题。
2)两个不等式：两个正数的算数平均值⼤于⼏何平均值，即：给定可逆矩阵Q，对于任意的向量x，y有：3)凸集：集合C中任意两个不同点的线段仍在集合C内，则称集合S为凸集。
凸函数的上⽅区域⼀定是凸集ó⼀个函数上⽅是凸集，则该函数⼀定是凸函数。
4)⼏何体的向量表达：超平⾯(hyperplane)还可以表达为：a是法向量。
超平⾯在n为空间中是n-1维，如2维空间中1维直线，3维空间中2维平⾯半平⾯：半平⾯在n为空间中是n维。
⼏何体：超平⾯退化到⼆维就是直线，⼏何体退化到⼆维就是线段。
5)仿射集(Affine Set)：通过集合C中任意两个不同点的直线仍在集合C内，则称集合C为仿射集。
如：直线、平⾯、超平⾯。
数学表达：仿射集⼀定是凸集。
仿射变换：⾮奇异的线性变换6)凸包：集合C上的凸组合形成的集合，叫做集合C的凸包。
7)多⾯体：有限个半平⾯与超平⾯的交集，即仿射集(超平⾯，直线)，射线，线段，半空间都是多⾯体。
多⾯体都是凸集。
8)性质如果两个集合是凸集，那么它们的交集也是凸集如果⼀个集合x是凸集，那么它的仿射变换也是凸的，即：f=Ax+b，f是凸集。
如果⼀个集合x是凸集，那么它的透视变换也是凸的。
如果⼀个集合x是凸集，那么它的投射变换也是凸的。
9)分割超平⾯C与D与不相交的凸集，那么⼀定存在⼀个超平⾯P，将C与D分开。
且10)⽀撑(Support)超平⾯设集合C，x0为集合C边界上的点，若存在a对于任意C上的点满⾜ax≤ax0，那么称超平⾯为集合C的⽀撑超平⾯。
⽀撑超平⾯就是集合C的切平⾯，x0为切点。
如果⼀个集合在边界上任何⼀个点上都存在⽀撑超平⾯，那么⼀定为凸集。
凸集的边界上任意⼀点都存在⽀撑超平⾯。
11)凸函数：函数f的定义域C为凸集，且满⾜：为凸函数。
若f⼀阶可微，函数f为凸函数当且仅当f的定义域为凸集。
微分流形,第4章,1-6节
这是集合论意义下的丛。下面将证明，切丛是一个 2m 维微分流形，它的拓扑与微分构
TM = Uα ∈J π −1 (Uα ) 。
事实上， π 是满射，故 TM = π ( M ) 。将 M 表示为诸 U α 之并，经简单换算即得此式。
−1
考虑切丛 TM 的子集 π (Uα ) 。对切向量 X ∈ π (U α ) ，切点 p = π ( X ) ∈ U α 。故切
2
= {( x, y ) : x ∈ , y ∈ } 为欧氏平面。
2
考虑它到 ( x, y ) = x 。
这是一个满射。 π ( x) 是平行于 y 轴的一条直 线，称为这种投影下的一条纤维。全平面由这 样的纤维所组成：
2
= U x∈ π −1 ( x) 。
2
或者说，平面被这种投影纤维化了。 ( 称为平面的一个丛结构，平面
单自由度系统，相平面的纤维化
区间 E ∈ ( − 2 3, 2 3) 称为一个“势阱” （potential well） ，当机械能落入此势阱，出现 周期轨道；此时的纤维 f
−1
( E ) 有两个连通分支，一条是闭曲线，对应于周期轨；另一条是
走向无穷远的轨道。在势阱底部， E = − 2 3 ，是一个稳定的驻点。在势阱边缘， E = 2 3 出 现一个不稳定的驻点，称为“势垒” （potential barrier） ，一条“同宿轨道” ，和另外两条轨道， 都是一端趋于驻点、另一端趋于无穷。势垒处的这四条轨道，在几何上组成一条自交曲线。 再往外， E ∈ (2 3, ∞) ，就只有走向无穷远的轨道了。不同能级上相轨线（纤维 f 的不同拓扑类型，恰反映出系统的丰富的动力学行为。
−1
(E) ）
4.1.C 纤维丛，向量丛
混凝土的强度准则
角方程的解法。
令
代入式(4-10)可得
S = r cosθ
（4-12）
若取
cos3 θ − J 2 cosθ − J 3 = 0
r2
r3
（4-13）
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
J2 r2 J3 r3
= =
3
4 cos 3θ
4
⎧
即
⎪⎪r ⎨
=
4J2 3
⎪⎪⎩cos 3θ
=
4J3 r3
（4-14）
5
则与下列三角恒等式相同
表4300818076409621448630991401012759319621173650980101209218259699911009647表4400814472577834053780101171096531505577012987205697905772ottosen方程所表示的曲面在子午面上的曲线围成抛物面在偏平面常数与等倾轴相垂直的平面上的曲线围成一光滑的凸曲面它随着的增大等压力增大而由接近三角形而逐渐变成圆形参见图419这基本上可反映出混凝土破坏曲面的基本特征因而受到广泛的应用
f (σ1,σ 2 ,σ 3 ) = 0 f (I1, J2, J3) = 0
f (ξ , ρ,θ ) = 0 f (σ oct ,τ oct ,θ ) = 0
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Ｍａ ｒ ．２ ０ １ ７ Ｃｏ ｍ ｍｕ ｎ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｎ Ａｐ ｐｌ ｉ ｅ ｄ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃｏ ｍｐｕ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
第３ １卷 第 １期
Ｖ ｏ１ ． ３１ Ｎ ｏ． １
（ ｐ （ ｕ ， ｔ ） 一 （ 芒 ） ） Ⅳ（ ， ） ， ｗｈ ｅ ｒ ｅ Ｆ（ ， ｔ ）
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基金项 目 上海市重 点学科建设经费资助项 目 （ ￥ ３ ０ １ ０ ４ ）
的曲线族， ｐ （ ｕ ， ｔ ） 是支撑函数，
击 ＝（ ｐ （ ｕ ， ｔ ） 一 （ ￡ ） ） Ⅳ （ ， ｔ ） ， Ｆ （ ｕ ， ｔ ） 是 平面 上
（ ｔ ） 是ｃ 。 。 光滑函数， Ⅳ（ ， ｔ ） 是 单位 内法 向量．当初始
范数下收敛到有限圆．
曲线 Ｆ（ ， ０ ） 严格 凸并 且 圣（ ） 满足适当条件 时，证明了发展 曲线保持凸性不变，曲线流在发 展过程中具有全局存在性 ，且 当时 间 ｔ趋于无穷大时 曲线在 关键词 混合 曲线流； Ｈａ ｕ ｓ ｄ ｏ ｒ ｆ 收敛 ；保面积流；保 长度 流 ２ ０ １ ０数学分类号 ５ ３ Ａ０ ４
Ｋｅ ｖ ｗｏｒ ｄｓ ｂ ｌ ｅ ｎｄ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ｆ ｌ ｏ ｗ； Ｈａ ｕ ｓ ｄｏ ｒ ｆ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ；ａ ｒ ｅ ａ － ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｒ ｖ ｉ ｎｇ ｆ ｌｏ ｗ；
ｐｅ ｒ ｉ ｍｅ ｔ ｅ ｒ — ｐｒ ｅ ｓ ｅ ｒ ｖｉ ｎｇ ｌｏ ｆ ｗ
ＤＯＩ １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ６ — ６ ３ ３ ０ ． ２ ０ １ ７ ． ０ １ ． ０ １ １
平 面 上一 类 光滑 凸 曲线 流
杨 东 灵， 黄平 亮
（ 上海大学理学 院，上海 ２ ０ ０ ４ ４ ４ ）
摘要 研究平面上一 类严格凸曲 线流：
ＹＡＮＧ Ｄｏ ｎ ｇ ｌ ｉ ｎ ｇ， ＨＵＡＮＧ Ｐｉ ｎｇ ｌ ｉ ａ ｎｇ
（ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ， Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ ２ ０ ０ ４ ４ ４ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
中图分类号
０ １ ８ ６ ． １ １
文献标志码 Ａ
文章编号 １ ０ ０ ６ — ６ ３ ３ ０ （ ２ ０ １ ７ ） ０ １ — ０ １ １ ４ — ０ ８
Ａ ｋｉ ｎｄ ｏ ｆ ｓ ｍｏ ｏ ｔ ｈ ｃ ｏ ｎ ｖｅ ｘ ｃ ｕｒ ｖｅ ｌｏ ｆ ｗｓ ｉ ｎ ｔ ｈｅ ｐｌ ａ ｎｅ
０ 引 言
近 年来 ， 出于 各种 物理 现象 和现 实 问题 的需 要 ，受 外 力影 响的 曲线发 展 问题受 Ｎ Ｔ 人们 的关注 ． Ｇａ ｇ ｅ ［ 一 。 ］ 与 Ｇａ ｇ ｅ 和 Ｈ ａ ｍｉ ｌ ｔ ｏ ｎ ［ 。 ］ 研 究 了著名 的 曲线 收缩 流
收稿日期 ２ ０ １ ４ — １ ２ — ２ ３ ； 修订 日期 ２ ０ １ ５ — ０ ４ — ２ ２
２ ０ １ ０ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ Ｓ ｕ ｂ ｊ ｅ ｃ ｔ Ｃｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｉ ｆ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ５ ３ Ａ ０ ４
Ｃ ｈｉ ｎｅ ｓ ｅ Ｌｉ ｂｒ ａ ｒ ｙ Ｃｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｉｃ ｆ ａｔ ｉ ｏ ｎ Ｏ １ ８ ６ ． １ １
ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｘ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｒ ｖ ｅ ｓ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｘ ｉ ｔ ｙ ，ａ ｎｄ ｔ ｈ ｅ ｌ ｆ ｏ ｗ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｓ ｇ ｌ ｏ ｂａ ｌ ｌ ｙ ，ａ ｎ ｄ ｔ ｈｅ ｅ ｖ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｃ ｕｒ ｖ ｅ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｓ ｔ ｏ ａ ｃ ｉ ｒ ｃ ｌ ｅ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ Ｃ ｍ ｅ ｔ ｒ ｉ ｃ ａ ｓ ｔ＿ ＿ ÷。 。 ．
Ａｂｓ ｔ ｒ ａｃ ｔ Ｉ ｎ ｔ ｈｉ ｓ ｐ ａ ｐｅ ｒ ，ｗｅ ｃ ｏ ｎｓ ｉ ｄｅ ｒ ａ ｎｅ ｗ ｋｉ ｎ ｄ ｏ ｆ ｐｌ ａ ｎ ｅ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ｌｏ ｆ ｗｓ ｆ ｏ ｒ ｓ ｔ ｒ ｉ ｒ ｖ ｅ ｓ ， ｗ ｈ ｉ ｃ ｈ ｉ ｓ ｄ ｅ ｉ ｆ ｎ ｅ ｄ ａ ｓ