最新人教版高中数学必修4第二章《向量减法运算及其几何意义》
最新人教版高中数学必修四向量减法运算及其几何意义精品课件
(2)化简OA OC BO CO
uuur uuur uuur uuur
解 : 原式 (OA BO) (OC CO)
uuur uuur r uuur
(OA OB) 0 BA
rr rr
r
r
2, a+b a-b 13, a 5,则 b 12
3，判断下列命题是否正确，若不正确，说明理由
(a3)如__果__abr_,b_互,b为 相__反_ar_的__向, a量 b，那__么_0r___
rr 3,向量的减法的定义：向量a加上b的相反向量，
rr
rr r r
叫做a与b的差, 即a-b a+（-b）
B
a
b
ab 起 点
b
b O a
A
相 同
பைடு நூலகம்
方已知法向：量平Car移、b向 r , 在量平ar ,面br ,内使任它取们D一起点指点O，向相作同被Ouu，A减ur 那向ar ,么Ou量uBur
c, OD d .
2.作BA, DC ,则BA a b, DC c d为 所 求.
练习1
r r r ur 1.如图，已知a,b,求作a b.
r r b
（1）
a ab
（2）
a ra r b
b
a rb r
（3）
ra r （4） b a a b
ab a
b
b
例2:如图：平行四边形ABCD中, AB a, AD b,
不可能
变式四: 在本例中,|a|, |b|,|a+b|,|a-b|有什么关系?
r r rr r r 有|| a | | b ||| a b || a | | b |
练习:1
最新人教版高中数学必修4第二章《向量减法运算及其几何意义》预习导航
预习导航2.2.1 向量加法运算及其几何意义请沿着以下脉络预习：1．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．2．已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC ，这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．3．以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的对角线OC →就是a 与b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．4．向量加法满足交换律和结合律，所以有a ＋b ＝b ＋a ，a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )5．任意两个非零向量相加，是否都可以用向量的平行四边形法则进行？提示：不一定，当两向量共线时不能用平行四边形法则，只能用三角形法则．2.2.2 向量减法运算及其几何意义请沿着以下脉络预习：1．相反向量(1)我们规定，与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a .(2)－(－a )＝a ，a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－02．向量减法(1)我们定义，a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．(2)如图，AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .3．向量减法的几何意义已知a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．4．在代数运算中的移项法则，在向量中是否仍然成立？(1)含有向量的等式称为向量等式，在向量等式的两边都加上或减去同一个向量仍得到向量等式．移项法则对向量等式也是适用的．(2)求两个向量的减法运算可以转化为其加法运算，如AB →－AC →＝AB →＋(－AC →)＝AB →＋CA→＝CA →＋AB →＝CB →.可见，求两个非零向量的差向量的过程可以简记为：共起点，连终点，指向被减．。
高一数学必修四2.2.2 向量减法运算及其几何意义
D
C
b
A B
AC a b;
由向量的减法可得，DB AB AD a b.
a
例3.化简： ( AB CD) ( AC BD)
b a
作 法: OD d .
d
A
B
D
C
c a
b
O
d
c
1.在 平 面 上 任 取 点 O , 作OA a , OB b, OC c , 2.作 BA, DC , 则BA a b, DC c d为 所 求 .
P 86例4.已 知 平 行 四 边 形 ABCD , AB a , AD b, 用 a, b 表 示 向 量 AC , DB
练习：如图在正方形 ABCD中，已知AB a, BC b, OD c, 求表示a b c的向量。
D
C
O
A
B
1.向 量a加 上b 的 相 反 向 量 ， 叫 做 a 与b 的 差 ， 求 两 个 向量差的运算 . 2.向 量 减 法 的 几 何 意 义 当 ：两 个 向 量 的 起 点 相时 同， 其差向 量是由终点 组的 成有向 线段，方向指被 向减 向量的终点（简记为后 “指 向 前 ” ） . 3.向 量 模 的 性 质 a ： b a b a b .
a b
a b
O
A
例1：（ 1 ） AB AC DB ( A) AD ( B) AC (C )CD ( D) DC
（2） AB BC AD ( A) AD ( B)CD (C ) DB ( D) DC
P86例3.已知向量 a, b, c, d , 求作向量 a b, c d .
高中数学必修四人教版2.2.2向量减法运算及其几何意义15ppt课件
1．当 a，b 不共线时， 如图①，作 OA―→＝a，OB―→＝b， 则 a－b＝OA―→－OB―→＝BA―→. 2．当 a，b 共线且同向时， 若|a|＞|b|，则 a－b 与 a，b 同向(如图②)， 于是|a－b|＝|a|－|b| 若|a|＜|b|，则 a－b 与 a，b 反向(如图③)， 于是|a－b|＝|b|－|a|. 3．当 a，b 共线且反向时，a－b 与 a 同向，与 b 反向．于是|a－b|＝|a|＋|b|(如图④)． 可见，对任意两个非零向量，总有下列向量不等式成立： ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
4．若|AB―→|＝8，|AC―→|＝5，则|BC―→|的取值范围是________． 44． ．若 若||AABB― ―→ →||＝ ＝88， ，||AACC― ―→ →||＝ ＝55， ，则 则||BBCC― ―→ →||的 的取 取值 值范 范围 围是 是________________． ．
若 a，b 至少有一个为零向量时，向量不等式的等号成立．
向量加减法的运算 【例 1】 化简：(AB―→－CD―→)－(AC―→－BD―→)． 思路点拨：解答本题可先去括号，再利用相反向量及加法交换律、结合律化简． 解：法一：(AB―→－CD―→)－(AC―→－BD―→) ＝AB―→－CD―→－AC―→＋BD―→＝AB―→＋DC―→＋CA―→＋BD―→ ＝(AB―→＋BD―→)＋(DC―→＋CA―→)＝AD―→＋DA―→＝0. 法二：(AB―→－CD―→)－(AC―→－BD―→) ＝AB―→－CD―→－AC―→＋BD―→ ＝(OB―→－OA―→)－(OD―→－OC―→)－(OC―→－OA―→)＋(OD―→－OB―→) ＝OB―→－OA―→－OD―→＋OC―→－OC―→＋OA―→＋OD―→－OB―→＝0. 法三：(AB―→－CD―→)－(AC―→－BD―→)＝AB―→－CD―→－AC―→＋BD―→ ＝(AB―→－AC―→)＋(DC―→－DB―→)＝CB―→＋BC―→＝0.
最新人教版高中数学必修4第二章向量减法运算及其几何意义3
UITANG LIANXI
题型一
题型二
如图所示,作向量的和差向量时,要善于运用向量加法、减法的两个 法则.
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1.1 DNA重组技术的基本工具
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S 随堂练习 典型考题 J 基础知识 Z 重点难点
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1.1 DNA重组技术的基本工具
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S 随堂练习 典型考题 J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
UITANG LIANXI
题型一
题型二
题型一
向量加(减)法的作图
【例 1】 如图所示的向量 a,b,c 是不共线的向量,求作向量先观察各向量的位置,再寻找 或构造相应的三角形,最后依据几何意义确定其图形表示.
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1.1 DNA重组技术的基本工具
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自主预习 首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
1.相反向量
定义 如果两个向量长度相等,而方向相反,那么称这两个向量是相反向量 ①对于相反向量,有 a+(-a)=0 性质 ②若 a,b 互为相反向量,则 a=-b,a+b=0 ③零向量的相反向量仍是零向量
) C.������������ D.������������
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1.1 DNA重组技术的基本工具
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基础知识 J课堂互动 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
|a-b|,|a|-|b|,|a|+|b|三者的大小关系 剖析:当向量 a 与 b 共线时, (1)当两个非零向量 a 与 b 同向时,|a-b|=||a|-|b||<|a|+|b|; (2)当两个非零向量 a 与 b 反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||; (3)当 a 与 b 中至少有一个为零向量时,|a-b|=||a|-|b||=|a|+|b|. 当两个非零向量 a 与 b 不共线时,如在△ABC 中,������������ =a,������������=b,则 ������������ = ������������ − ������������=a-b,根据三角形中任意两边之差总小于第三边,任意两边 之和总大于第三边,可得||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.综合可知,对任意的向量 a 与 b 都有||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|. 对于任意向量 a,b 总有||a|-|b||≤|a± b|≤|a|+|b|.
人教版高中数学必修四 2.2 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
2．2.2向量减法运算及其几何意义预习课本P85～86，思考并完成以下问题(1)a的相反向量是什么？(2)向量的减法运算及其几何意义是什么？[新知初探]1．相反向量与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.(1)规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；(2)－(－a)＝a；(3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.[点睛]相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．2．向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．(2)几何意义：以O为起点，作向量OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b，如图所示，即a －b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．[点睛]在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的差仍是一个向量．()(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．()(3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量．()(4)相反向量是共线向量．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)√2．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是() A．m＝n B．m＝－nC．|m|＝|n| D．方向相反答案：A3．化简OP－QP＋PS＋SP的结果等于()A．QP B．OQ C．SP D．SQ答案：B4．在平行四边形ABCD中，向量AB的相反向量为______．答案：BA，CD[典例]化简：(1)(AB－CD)－(AC－BD)；(2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)．[解](1)(AB－CD)－(AC－BD)＝(AB＋BD)－(AC＋CD)＝AD－AD＝0.(2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)＝(AC＋BA)－(OC－OB)＝BC－BC＝0.向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和；②起点相同且为差．[活学活用]化简下列各式：(1)AB－AC－DB；(2)AB＋BC－AD；(3)AB－CD－DB.解：(1)AB－AC－DB＝CB＋BD＝CD.(2)AB＋BC－AD＝AC－AD＝DC.(3)AB－CD－DB＝AB＋DC＋BD＝AB＋BD＋DC＝AC.[典例]如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[解]法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作OC＝c，则CB＝a＋b－c.法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作CB＝c，连接OC，则OC＝a＋b－c.在本例的条件下作出向量：①a－b＋c；②a－b－c.解：如图所示．[典例]如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且AB＝a，AC＝b，AE＝c，试用向量a，b，c表示向量CD，BC，BD.[解]因为四边形ACDE是平行四边形，所以CD＝AE＝c，BC＝AC－AB＝b－a，故BD＝BC＋CD＝b－a＋c.[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试用向量a，b，c表示BE与CE.解：BE＝AE－AB＝c－a，CE＝AE－AC＝c－b.2．[变条件]本例中的条件“点B是该平行四边形ACDE外一点”若换为“点B是平行四边形ACDE内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：因为四边形ACDE是平行四边形，所以CD＝AE＝c，BC＝AC－AB＝b－a，BD＝BC＋CD＝b－a＋c.层级一学业水平达标1．在三角形ABC中，BC＝a，CA＝b，则AB＝()A．a－b B．b－aC．a＋b D．－a－b解析：选D AB＝CB－CA＝－BC－CA＝－a－b.2．在△ABC中，|AB|＝|BC|＝|CA|＝1，则|BC－AC|的值为()A．0 B．1C. 3 D．2解析：选B|BC－AC|＝|BC＋CA|＝|BA|＝1.3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A．EF＝OF＋OE B．EF＝OF－OEC．EF＝－OF＋OE D．EF＝－OF－OE解析：选B EF＝EO＋OF＝OF－OE.故选B.4．已知一点O到▱ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量OD等于()A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．a－b－c解析：选B如图，点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有OD＝OA＋AD＝OA＋BC＝OA＋OC－OB＝a－b＋c.5．下列各式能化简为AD的个数是()①(AB－DC)－CB②AD－(CD＋DC)③－(CD＋MC)－(DA＋DM)④－BM－DA＋MBA．1 B．2C．3 D．4解析：选C①中，(AB－DC)－CB＝AB＋CD＋BC＝AB＋BD＝AD；②中，AD－(CD＋DC)＝AD－0＝AD；③中，－(CD＋MC)－(DA＋DM)＝－MD－DA－DM＝DM＋AD－DM ＝AD；④中，－BM－DA＋MB＝MB＋AD＋MB＝AD＋2MB.6．下列四个等式：①a＋b＝b＋a；②－(－a)＝a；③AB＋BC＋CA＝0；④a＋(－a)＝0，其中正确的是______(填序号)．解析：由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的．答案：①②③④7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝__________，|a－b|＝________.解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与－b共线，∴|a－b|＝2.答案：0 28．在△ABC中，D是BC的中点，设AB＝c，AC＝b，BD＝a，AD＝d，则d－a ＝______，d＋a＝______.解析：根据题意画出图形，如图所示，则d－a＝AD－BD＝AD＋DB＝AB＝c；d＋a＝AD＋BD＝AD＋DC＝AC＝b.答案：c b9．化简：(1)MN－MP＋NQ－PQ；(2)BD＋DC＋AB－AC.解：(1)MN－MP＋NQ－PQ＝(MN＋NQ)－(MP＋PQ)＝MQ－MQ＝0.(2)BD＋DC＋AB－AC＝(BD＋DC)＋(AB－AC)＝BC＋CB＝0.10．设O是△ABC内一点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示DC，OH，BH.解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，∴OD＝OA＋OB＝a＋b，∴DC＝OC－OD＝c－(a＋b)＝c－a－b.又四边形ODHC为平行四边形，∴OH＝OC＋OD＝c＋a＋b，∴BH＝OH－OB＝a＋b＋c－b＝a＋c.层级二应试能力达标1．已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则() A．a＋b＋c＋d＝0B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0解析：选B如图，a－b＝OA－OB＝BA，c－d＝OC－OD＝DC，又四边形ABCD为平行四边形，则BA＝CD，即BA－CD＝0，所以BA＋DC＝0，即a－b＋c－d＝0.故选B.2．平面上有三点A，B，C，设m＝AB＋BC，n＝AB－BC，若m，n的长度恰好相等，则有()A．A，B，C三点必在同一直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°D．△ABC必为等腰直角三角形解析：选C∵|m|＝|n|，AB＋BC＝AB－CB，AB－BC＝AB＋CB，∴|AB－CB|＝|AB＋CB|，如图．即▱ABCD的对角线相等，∴▱ABCD是矩形，∴∠B＝90°，选C.3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB|＝2，则|BC＋DC|＝()A. 3 B．2 3C. 2 D．2 2解析：选B如图，设菱形对角线交点为O，∵BC＋DC＝AD＋DC＝AC，∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形．又∵AB＝2，∴OB＝1.在Rt△AOB中，|AO|＝|AB―→|2－|OB―→|2＝3，∴|AC|＝2|AO|＝2 3.4．已知△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，给出下列结论：(1)|AB－AC|＝|AB＋AC|；(2)|BC－BA|＝|CB－CA|；(3)|AB－CB|＝|AC－BC|；(4)|AB－AC|2＝|BC－AC|2＋|CB－AB|2.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选D如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，则它是正方形，根据向量加减法的几何意义可知题中四个结论都正确．5.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中OB＝b，OC＝c，则EF等于________．解析：EF＝OA＝CB＝OB－OC＝b－c.答案：b－c6．对于向量a，b，当且仅当____________________________________________时，有|a－b|＝||a|－|b||.解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b|＞||a|－|b||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||.答案：a与b同向7.如图，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，OF＝f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：(1)AC；(2)AD；(3)DF＋FE＋ED.解：(1)AC＝OC－OA＝c－a.(2)AD＝AO＋OD＝－OA＋OD＝－a＋d.(3)DF＋FE＋ED＝DO＋OF＋FO＋OE＋EO＋OD＝0.8.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)a＋b＋c.(2)a－b＋c.解：(1)由已知得a＋b＝AB＋BC＝AC＝c，所以延长AC到E，使|CE|＝|AC|.则a＋b＋c＝AE，且|AE|＝2 2.所以|a＋b＋c|＝2 2.(2)作BF＝AC，连接CF，则DB＋BF＝DF，而DB＝AB－AD＝a－b，所以a－b＋c＝DB＋BF＝DF，且|DF|＝2，所以|a－b＋c|＝2.。
高中数学2.2.2向量减法运算及其几何意义教案新人教A版必修4
课题 2.2.2 向量减法运算及其几何意义教学目标知识与技能理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则．过程与方法掌握向量减法的几何意义情感态度价值观启发引导，讲练结合重点理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则．难点能熟练地进行向量的加、减运算．教学设计教学内容教学环节与活动设计探究点一向量的减法对照实数的减法，类比向量的减法，完成下表：根据相反向量的含义，完成下列结论：(1)－AB→＝___；(2)－(－a)＝__；(3)－0＝__；(4)a＋(－a)＝__；(5)若a与b互为相反向量，则有：a＝____，b＝____，a＋b＝__.探究点二向量减法的三角形法则(1)由于a－b＝a＋(－b)．因此要作出a与b的差向量a－b，可以转化为作a与－b的和向量．已知向量a，b如图所示，请你利用平行四边形法则作出差向量a－b.(2)当把两个向量a，b的始点移到同一点时，它们的差向量a－b可以通过下面的作法得到：①连接两个向量(a与b)的终点；②差向量a－b的方向是指向被减向量的终点．这种求差向量a－b的方法叫向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．请你利用向量减法的三角形法则作出上述向量a与b的差向量a－b.探究点三|a－b|与|a|、|b|之间的关系(1)若a与b共线，怎样作出a－b?（2)通过上面的作图，探究|a－b|与|a|，|b|之间的大小关系：当a与b不共线时，有：_____________________；当a与b同向且|a|≥|b|时，有：_______________；当a与b同向且|a|≤|b|时，有：_______________.教学内容教学环节与活动设计【典型例题】例1 如图所示，已知向量a 、b 、c 、d ， 求作向量a －b ，c －d .解 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ， OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d . BA →＝a －b ，DC →＝c －d .跟踪训练1 如图所示，在正五边形ABCDE 中，AB →＝m ，BC →＝n ，CD →＝p ，DE →＝q ，EA →＝r ，求作向量m －p ＋n －q －r .例2 化简下列式子：(1)NQ →－PQ →－NM →－MP →；(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．解 (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0.原式＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.跟踪训练2 化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)；(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)．例3 若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .(1)当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？ (2)当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |? (3)当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？(4)a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点．。
人教版高中数学必修四 2.2.2向量减法运算及其几何意义教案
a b2.2.2向量减法运算及其几何意义【学习目标】1.了解相反向量的概念；1. 2.理解向量减法的几何意义，掌握向量的减法运算；会作两个向量的差向量，并能和向量的加法综合运用.【新知自学】 知识回顾：1.如何用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两向量的和？2.向量加法的运算律： 新知梳理：1、 “相反向量”的定义：与向量长度相同、方向相反的向量.记作2、 规定：（1）零向量的相反向量仍是零向量. （2( a ) = a .（3）任一向量与它的相反向量的和是零向量. 即a + (a ) =(4)如果a 、b 互为相反向量，则a = b ， b = a ， a + b =3、 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做 ，即： a b = 求两个向量差的运算叫做向量的减法.向量减法的几何意义是4、 若b + x =a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a b 求作差向量：已知向量a ，b ，求作向量a b 作法：思考感悟：（1）向量a 的起点与向量b 的起点相同时，如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是（2）若a ∥b ， 如何作出ab ？对点练习：1. 化简OP →- QP → + PS → + SP →的结果是( )A. QP →B. OQ →C. SP →D. SQ →2. 下列四式中不能化简为AD →的是( ）A. AB →+CD →+BC →B. AD →+MB →+BC →+CM →C. OC →- OA → + CD →D. MB →+AD →-BM →ABCD 中，设AB a =，AD b =，BC c =，3.如图四边形则DC =（ ） A ．a b c -+ B ．()b a c -+C ．a b c++D ．b a c -+别是ABC ∆的边AB 、BC 、CA 的中点，4.如图，D 、E 、F 分则（ ）A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-=D ．0BD BE CF +-=【合作探究】 典例精析：例1、已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量ab 、cd .DC B Aba cdbacP练习1.变式练习：1课本87例2、平行四边形ABCD 中，=AB a ，=AD b ，用a 、b 表示向量、DB .A BD C变式练习：2 已知a OA =，b OB =︒=∠==90,512AOB -=【课堂小结】【当堂达标】1、在△ABC 中， = a ， = b ，则等于(A. a + bB.- a +(-b C. a -b D. b -a 2. 可以写成：①+；②-；③-；④-,其中正确的是（ ） A.①② B. ②③C. ③④D. ①④3.如图所示，在梯形ABCD 中，AD BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA BC OA OD DA --++=_______4、化简()()---【课时作业】1、在△ABC 中，向量BC 可表示为①-AB AC ②-AC AB ；③+BA AC ；④-BA CA ；中的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④2. 在ABCD 中，|AB →+AD →| = |AB →-AD →|，则必有( )A. AD → = 0→B. AB → = 0→或AD →=0→C. ABCD 是矩形D. ABCD 是正方形*3. 设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+( )A.ADB.12AD C.12BC D.4. 若非零向量和互为相反向量，则错误的是（ ）A 、//B 、≠C 、||||≠D 、-=5. 已知ABC ∆中，︒=∠90C ，BC AC =，则下列等式成立的是______________。
人教版高一数学必修四课件向量减法运算及其几何意义
03
向量减法的运算方法
向量减法的代数运算
定义
向量减法是通过将一个向量的起 点平移到另一个向量的终点，然 后按照向量加法的规则进行计算
。
性质
向量减法满足结合律和交换律，即 A - B - C = A - (B + C)且A - B = B - A。
计算
向量减法的计算可以通过向量加法 来实现，即a - b = a + (-b)。
02
向量减法的几何意义
向量减法的几何表示
三角形法则
向量减法可以通过将一个向量首 尾连接，再由另一个向量的起点 指向这个向量的终点来表示。
平行四边形法则
两个向量相减，可以表示为以这 两个向量为邻边的平行四边形的 对角线向量。
向量减法的几何解释
01
向量减法可以理解为将一个向量 在另一个向量上的投影进行反向 延长。
航空航天
在航空航天领域，向量减法可以用于计算飞行器姿态、位置 等参数的变化。
向量减法在日常生活中的应用
导航
在日常生活中，我们常常需要使用向 量减法来计算两点之间的距离和方向 。
体育运动
在体育运动中，向量减法可以用于分 析运动员的运动轨迹、速度和加速度 等参数。
向量减法与加法的关系
对偶性
对于任意两个向量$vec{A}$和$vec{B}$，有$vec{A} - vec{B} = vec{A} + (vec{B})$
向量加法和减法的可结合性
对于任意三个向量$vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$，有$vec{A} - (vec{B} + vec{C}) = (vec{A} - vec{B}) - vec{C}$
人教版高一数学必修四课件向量减 法运算及其几何意义
必修4课件2.2.2向量减法运算及其几何意义
2.
若 AB 8, AC 5, 则 BC的取值范围是_____.
解： BC AC AB , AC AB AC AB AC AB 3 BC 13
三 【应用】
你能用 a ,b 表示向量AC和DB吗? D C 解:AC=a + b; b DB=a - b.
三 【应用】
2.
类比
|| a | | b ||| a b || a | | b |
能得到其它结论？
|| a | | b ||| a b || a | | b |
（1）等号何时成立？ （2）如何证明该结论？
三 【应用】
二 【新课】
1 在平面内任取一点O
2 作OA a,OB b
3.减法的三角形法则
A
3 则向量BA a b
O
.
a
a b
B
b
BA OA OB
注意： 1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须 相同 2、差向量的终点指向被减向量的终点
a
B
四
【课堂小结】Leabharlann (一).知识1．理解相反向量的概念 2. 理解向量减法的定义及其几何意义 3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则: 1）共起点 2）连终点 3）方向指向被减向量的终点
(二)方法 类比,数形结合,几何作图,分类讨论等思想方法
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
一 【复习回顾】
1、向量加法的三角形法则
A
a a a a a a a a a a b O
B
b b
b b
b a+b
人教课标版高中数学必修四《向量减法运算及其几何意义》教案(1)-新版
2.2.2 向量减法运算及其几何意义一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，掌握向量的减法运算及其几何意义，会根据向量减法的法则的几何意义进行代数与图形之间的转换，在数学抽象与具象的转化过程中体会数形结合的思想.（二）学习目标1．理解相反向量的概念，通过类比实数的运算理解向量减法的定义，并掌握作两个向量的差向量的方法，体会类比的数学思想．2．掌握向量减法的几何意义并明确向量加减法的内在联系，体会转化、数形结合的数学思想方法.3．通过学习使学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题，提高分析实际问题的能力，增强数学应用意识.（三）学习重点1．向量减法运算的定义．2．向量减法运算的三角形法则与平行四边形法则．3．差向量的作法．（四）学习难点1．向量减法运算的定义的理解．2．向量减法的运用．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第96页至第97页，填空：①与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为-a，零向量的相反向量是零向量.②向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.③向量减法的几何意义是a-b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量（a,b起点相同）. （2）写一写：-(-a)=a,a+(-a)=a-a=02．预习自测（1）下列等式中正确的个数是（）①a-0=a；②b+a=a+b；③-(-a)=a；④a+(-a)=0；⑤a+(-b)=a-bA.2B.3C.4D.5答案：D.解析：【知识点】向量的减法运算.【解题过程】①②③④⑤均正确.点拨：明确向量减法的定义.（2）在△ABC中，BC=a,AC=b则AB等于（）A.a+bB.-a+(-b)C.a-bD.-a+b答案：D.解析：【知识点】向量减法法则.【解题过程】AB AC BC=-=b-a=-a+b.点拨：明确向量减法法则.（3）非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )A.m=nB.m=-nC.|m|=|n|D.方向相反答案：A.解析：【知识点】相反向量的概念.【解题过程】非零向量m与n是相反向量，则长度相等，方向相反，则有m=-n，|m|=|n|. 点拨：明确相反向量的概念.（4）设a表示向西走10km,b表示向北走则a-b表示（）A.南偏西30°走20kmB.北偏西30°走20kmC.南偏东30°走20kmD.北偏东30°走20km【知识点】向量减法运算的三角形法则.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】作出差向量a-b，由图知，a-b表示南偏西30°走20km.点拨：作两个向量的差向量要注意起点要重合、箭头指向的是被减向量的终点.答案：A.(二)课堂设计1．知识回顾（1）向量加法的概念：已知向量a,b在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和,记作a+b,即：a+b=+=.AB BC AC（2）向量加法的三角形法则与平行四边形法则：（3）向量加法的运算律：①交换律：a+b=b+a ②结合律：(a+b)+c=a+(b+c)2．问题探究探究一向量减法的定义★●活动①结合生活实例，归纳提炼相反向量的概念我们知道，在实数运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数.类比相反数，我们在学习向量减法时，是否也有这样的相反的向量呢？生活情境一：一架飞机由重庆到北京,再由北京返回重庆,飞机的两次位移分别是什么？生活情境二：在物理学中我们学习过作用力与反作用力的概念，是如何定义的呢？两个情境中涉及的两个量，具有怎样的关系呢？大小相等，方向相反.满足这样特点的两个向量，我们就把它称作相反向量.a的相反向量怎样用数学符号表示？-a.【设计意图】问题从类比减法运算方法的提出，为学生研究向量减法运算提供了思考方法，同时从生活、物理学情境引入新知可以激发学生的学习兴趣.教学过程中，相反向量的定义由学生自己发现并总结.●活动②用相反向量定义向量的减法思考1：-a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？- (-a)=a规定：零向量的相反向量仍是零向量.思考2：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数.据此原理，向量a-b可以怎样理解？定义：a-b＝a+(-b). 并强调：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.【设计意图】遵循数学研究问题的一般规律，即用已知的相反向量定义来探究未知，让学生自己发现问题并解决问题.●活动③用加法的逆运算定义向量的减法我们知道，实数的减法是加法的逆运算，即如果实数a,b,x,满足b+x=a,那么x叫做a与b的差，记x=a-b,类似的，向量的减法运算该如何定义？对于向量a，b，c，若a+c＝b，则c=b－a，c叫做a与b的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减法.【设计意图】通过类比实数的减法运算得到向量减法的定义，体现了数学学习中由已知探索未知的转化过程.探究二向量减法的几何意义★▲●活动①向量减法运算的三角形法则思考1：如果向量a与b同向，如何作出向量a－b？思考2：如果向量a与b反向，如何作出向量a－b？思考3：设向量a与b不共线，设OA=a,OB=b,探究：如何作出a-b？差向量a-b的“箭头”指向有何特点？根据结论能否直接求a-b?如图,作OA=a,OB=b,则a-b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，-=a-b=OA OB BA作两个向量的差时，需要三个步骤：①将两个向量平移，使它们的起点重合；②将两个向量的终点相连；③差向量指向被减向量.概括为：作平移，共起点，两尾连，指被减.【设计意图】从研究两向量共线时的几何意义到不共线的情况，让学生体会从特殊到到一般、分类讨论的数学思想.●活动②向量减法的平行四边形法则如图，设向量AB＝b，AC＝a，则AD＝－b，由向量减法的定义，知AE＝a＋(－b)＝a－b.→＝a－b，由此，我们得到a－b的作图方法．又b＋BC＝a，所以BC【设计意图】由向量加法的平行四边形法则得出向量减法的平行四边形法则，进一步完善其几何意义.●活动③向量减法几何意义的深入理解思考1：向量a－b与b－a是什么关系？|a－b|与|a|＋|b|、|a|－|b|的大小关系如何？a－b与b－a是相反向量.|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b反向时取等号；|a－b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b同向时取等号.思考2：|a－b|与|a＋b|有什么大小关系吗？为什么？|a－b|与|a＋b|表示平行四边形对角线长度，没有大小关系.【设计意图】向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．探究三向量的减法的运用★▲●活动①归纳梳理、理解提升1.向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．2.对于向量的加减运算，做加法时要首尾相接，如AB＋BD＝AD，做减法时要保证起点相同，如AB－AC＝CB.同时，注意交换一个向量的起点和终点，所得向量与原向量是相反向量，如AB＝-BA，BD－CD＝BD＋DC＝BC，AB＋CA＝AB－AC＝CB.【设计意图】总结梳理本节课所学新知识，并强调重难点.●活动②巩固基础，检查反馈例1.如图,不共线的两个非零向量a,b，求作向量a-b,b-a【知识点】三角形法则的运用.【数学思想】化归思想.【解题过程】作OA=a,OB=b,则BA=a-b,AB=b-a，如图：【思路点拨】求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，也可以直接用向量的减法的三角形法则.【答案】见解题过程．同类训练如图，已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.答案：见解题过程解析：【知识点】三角形法则的运用.【数学思想】化归思想.【解题过程】以A为起点分别作AB和AC，使AB=a,AC=b.连接CB,得向量CB，再作向量CD=c,连接DB,得向量DB.则向量DB即为所作的向量.点拨：先作a-b,再作(a-b)-c即可.例2．化简：(AB＋DB)＋(BC－DC)．答案：AB.解析：【知识点】向量减法的定义.【数学思想】化归思想.【解题过程】()()()().AB DB BC DC AB BC DB DC AC CB AB ++-=++-=+=点拨：利用向量加减法法则化简.同类训练 下面给出了四个式子：① +AB BC CA +； ②+OA OC BO CO ++；② AB AC BD CD -+-； ④+-NQ QP MN MP +其中值为0的有（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③答案：C.解析：【知识点】向量减法的定义.【数学思想】化归思想.【解题过程】①+=+AB BC CA AC CA +=0③ +=()()OA OC BO CO CO OA BO OC CA BC BA +++++=+=；④ =AB AC BD CD CB BC -+-+=0；⑤ +-=NQ QP MN MP NP PN ++=0.点拨：利用向量加减法法则化简.【设计意图】巩固向量减法的定义与差向量的作法.●活动② 强化提升，灵活运用例3.在平行四边形ABCD 中，|+|||AB AD AB AD =-，则必有（ ）A ．AD =0B ．AB =0或AD =0C ．ABCD 是矩形D ．ABCD 是正方形【知识点】向量加减法的几何意义.【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在平行四边形ABCD 中，|+|||AB AD AB AD =-,即||||AC DB =，可得ABCD 是一个特殊的平行四边形——矩形.【思路点拨】利用向量加减法的几何意义求解.【答案】C.同类训练 求|a +b |=|a -b |的充要条件.注：若A B B A ⇒⇒且，则称A 是B 的充要条件.答案：a ⊥b .解析：【知识点】向量加减法的几何意义.【数学思想】数形结合思想．【解题过程】(1)当a ,b 不共线时，以a 与b 为邻边作平行四边形ABCD,如图，则AC =a +b , DB =a -b ,∴|a +b |=|a -b |||=||AC BD AB AD ⇔⇔⊥⇔ a ⊥b .(2)当a 与b 共线时，则当且仅当a 与b 中至少有一个为0时，才有|a +b |=|a -b |成立.此时也有|a +b |=|a -b |⇔a ⊥b .故所求的充要条件是a ⊥b .点拨：利用|a +b |与|a -b |的几何意义来探索求其充要条件.例4.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB =a ,AC =b ,AE =c ，试用a ,b ,c 表示向量,,,BD BC BE CD CE 及.【知识点】向量加减法运算与向量的表示．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵四边形ACDE 是平行四边形，∴=CD AE =c ,=BC AC AB -=b -a .=BE AE AB -=c -a , =CE AE AC -=c -b , ∴BD BC CD =+=b-a +c【思路点拨】先根据向量加、减法的运算法则将易求的向量表示出来，再表示BD ．【答案】∴CD =c , =BC b -a . =BE c -a , =CE c -b , ∴BD =b-a +c同类训练 如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，=OA a , =OB b , =OC c ,求OD .答案：c-a +b , b -a , c -a , c , c -b解析：【知识点】向量加减法运算与向量的表示．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴=CD BA =a -b ，∴=+OD OC CD =c +a -b 点拨：先根据向量加、减法的运算法则将易求的向量表示出来，再表示OD ．3.课堂总结知识梳理（1）与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记为-a .规定：零向量的相反向量是零向量.（2）向量a 加上向量b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a -b =a +(-b )，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.（3）向量减法的几何意义是a -b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量（a ,b 起点相同）.重难点归纳（1）向量减法法则的两点说明①向量的减法法则有着丰富的几何背景：当a ，b 不共线时，a ，b 与a -b 围成一个三角形；当a ，b 共线时，a ，b 与a -b 不能围成一个三角形.②向量的加法与向量的减法互为逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.（2）两个向量的差可用平行四边形法则及三角形法则求得，用三角形法则时，把减向量与起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点被减向量的终点，解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．（3）以平行四边形ABCD 的两邻边AB 、AD 分别表示向量AB ＝a ，AD ＝b ，则两条对角线表示的向量为AC ＝a ＋b ，BD ＝b －a ，DB ＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住.（三）课后作业基础型 自主突破1．已知AB 是单位向量，点M 是AB 的中点，点P 是平面上任意一点，则PA PB -等于（ ）A.BM AM -B.AM BM -C.AM BM +D.AB答案：A ．解析：【知识点】向量的减法运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】PA PB -=+=BA BM MA BM AM =-．点拨：掌握向量加减法化简的技巧．2.设平面内有四边形ABCD 和点O, =OA a , =OB b , =OC c , =OD d ,若a +c =b +d ，则四边形ABCD 的形状是_________.答案：平行四边形．解析：【知识点】向量的减法运算．【数学思想】转化思想.【解题过程】∵a +c =b +d ，∴+=+OA OC OB OD ,=OA OB OD OC --,=BA CD ∴,∴四边形ABCD 为平行四边形.点拨：将等式a +c =b +d 进行适当变形转化．3.平面上有不同的三点A,B,C ，设m =AB BC +,n =-AB BC ,若m ,n 的长度恰好相等，则有（ ）A.A 、B 、C 三点必在同一直线上.B.△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶点.C.△ABC 必为直角三角形且∠B 为直角.D.△ABC 必为等腰直角三角形.答案：C ．解析：【知识点】向量加减法的几何意义.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】m ==AB BC AC +，n =-AB BC ，如图，延长CB 至D,使得BD =CB,则： n =-=++AB BC AB CB AB BD AD == ，因|m |=|n |,则：||||AC AD =，∴△ABC 是等腰三角形,且点B 为底边DC 的中点,则△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形.点拨：利用m ,n 的几何意义求解.4.如图，向量AB =a , AC =b , CD =c ,则向量BD 可以表示为（ ）A.a +b -cB.a -b +cC.b -a +cD.b +a -c答案：C.解析：【知识点】向量加减法运算与向量的表示．【数学思想】数形结合思想.【解题过程】∵=CB AB AC -=a -b , ∴=BD CD CB -=c -(a -b )=b +c -a .点拨：熟练掌握向量加减法的运算法则.5.若向量a ,b 满足|a |=8,|b |=12，则|a +b |的最小值为______，|a -b |的最大值为_______.答案：4；20．解析：【知识点】向量加减的三角形不等式．【数学思想】数形结合思想.【解题过程】根据向量加减的三角形不等式得：| |a |-|b | |≤|a ±b |≤|a |+|b |，∴4≤|a ±b |≤20，故|a +b |最小值是4，|a -b |最大值是20．点拨：利用向量加减的三角形不等式．能力型 师生共研6．如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB ＝a ，BC ＝b ，AC ＝c ，试求：(1)|a ＋b ＋c |；(2)|a －b ＋c |.答案：（1）（2）2.解析：【知识点】向量加减法法则.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】 (1)由已知得a ＋b ＝AB ＋BC ＝AC ，又∵AC ＝c ，∴延长AC 到E ，使||||CE AC =则a ＋b ＋c ＝AE ，且||=22AE |a ＋b ＋c |＝(2)作BF ＝AC ，连接CF ，则+=DB BF DF ，而=DB AB AD -＝a －BC ＝a －b ，∴a －b ＋c ＝+=DB BF DF 且||=2DF ，∴|a －b ＋c |＝2.点拨：掌握向量加减法法则．7.若AC＝a＋b，DB＝a－b.①当a、b满足什么条件时，a＋b与a－b垂直？②当a、b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|？③当a、b满足什么条件时，a＋b平分a与b所夹的角？④a＋b与a－b可能是相等向量吗？答案：①|a|＝|b|；②a、b互相垂直；③|a|、|b|相等；④不可能，因为对角线方向不同.解析：【知识点】向量加减法的平行四边形法则.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】如图，用向量构建平行四边形，其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线且AB＝a，AD＝b.由平行四边形法则，得AC＝a＋b，DB＝AB－AD＝a－b.由此问题就可转换为：①当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|＝|b|)②当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角？(|a|、|b|相等)④a＋b与a－b可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)点拨：利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题.探究型多维突破8．如图，O为△ABC的外心，H为△ABC的垂心，⊙O为△ABC的外接圆，且()=++，OH m OA OB OC则m=_______.答案：1．解析：【知识点】向量加减法的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】作直径BD,连接DA,DC,有OB OD =-,DA ⊥AB,DC ⊥BC,CH ⊥AB,故CH ∥DA,AH ∥DC,则四边形ABCD 是平行四边形，进而AH DC =.又DC OC OD OC OB =-=+,则OH OA AH OA DC OA OB OC =+=+=++.∴m =1.点拨：通过添加辅助线将OH 用OA OB OC ,,表示出来. 自助餐1．化简：()()AC BO OA DC DO OB ++---.答案：0解析：【知识点】向量减法的定义.【数学思想】化归思想.【解题过程】()()()AC BO OA DC DO OB AC BA DC DO OB BC DC DBBD DB ++---=+-++=-+=+=0点拨：利用向量加减法法则化简.2．在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是（ ）A ．AB －DC ＝0B ．AD BA AC -=C ．AB AD BD -=D ．AD CB +=0答案：C ．解析：【知识点】向量加减法运算．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵AB ＝DC ，∴AB －DC ＝0，A 正确；∵AD BA AD AB AC -=+=,B 正确；∵AB AD AB DA DB -=+=，C 错误；∵,AD BC AD CB =∴=-,AD CB ∴+=0，D 正确． 点拨：掌握向量加减法的运算．3．已知m ,n 满足|m |=2,|n |=3,|m -n 则|m +n |=______.答案：3．解析：【知识点】向量加减法的几何意义.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】由平行四边形的对角线与边的关系及|m -n |与|m +n |为以m ,n 为邻边的平行四边形的两条对角线的长,得|m -n |2+|m +n |2=2|m |2+2|n |2=26,又|m -n |=故|m +n |2=26-17=9,故|m +n |=3. 点拨：利用向量加减法几何意义及平行四边形对角线与边的关系求解.4.已知a ,b ,c 是任意三个向量，求证:|a -b -c |≥||a |-|b |-|c ||.答案：见解题过程.解析：【知识点】向量加减的三角形不等式.【数学思想】转化思想.【解题过程】证明：|a -b -c |≥||a -b |-|c ||,又∵|a -b |≥||a |-|b ||,∴|a -b -c |≥||a |-|b |-|c ||.点拨：利用向量加减的三角形不等式证明.5.已知A,B,C 是不共线的三点，O 是△ABC 内一点，若OA OB OC ++=0，求证：O 是△ABC 的重心.答案：见解题过程．解析：【知识点】向量加减法的运用．【数学思想】数形结合思想.【解题过程】由于OA OB OC ++=0, ∴()OA OB OC =-+,即OB OC +是与OA 方向相反且长度相等的向量.如图所示,以OB,OC 为相邻的两边作□BOCD ,则OD OB OC =+,∴OD OA =-.在□BOCD 中,设BC 与OD 相交于点E,则,BE EC OE ED ==,∴AE 是△ABC 的BC 边上的中线，且||2||OA OE =.同理,可证BO,CO 分别在△ABC 的AC,AB 边的中线上, ∴点O 是△ABC 的重心,得证.++=0进行变形转化.。
人教课标版高中数学必修四《向量减法运算及其几何意义》教案-新版
2.2.2 向量减法运算及其几何意义一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，掌握向量的减法运算及其几何意义，会根据向量减法的法则的几何意义进行代数与图形之间的转换，在数学抽象与具象的转化过程中体会数形结合的思想.（二）学习目标1．理解相反向量的概念，通过类比实数的运算理解向量减法的定义，并掌握作两个向量的差向量的方法，体会类比的数学思想．2．掌握向量减法的几何意义并明确向量加减法的内在联系，体会转化、数形结合的数学思想方法.3．通过学习使学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题，提高分析实际问题的能力，增强数学应用意识.（三）学习重点1．向量减法运算的定义．2．向量减法运算的三角形法则与平行四边形法则．3．差向量的作法．（四）学习难点1．向量减法运算的定义的理解．2．向量减法的运用．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第96页至第97页，填空：①与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为-a，零向量的相反向量是零向量.②向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.③向量减法的几何意义是a-b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量（a,b起点相同）. （2）写一写：-(-a)=a,a+(-a)=a-a=02．预习自测（1）下列等式中正确的个数是（）①a-0=a；②b+a=a+b；③-(-a)=a；④a+(-a)=0；⑤a+(-b)=a-bA.2B.3C.4D.5答案：D.解析：【知识点】向量的减法运算.【解题过程】①②③④⑤均正确.点拨：明确向量减法的定义.（2）在△ABC中，BC=a,AC=b则AB等于（）A.a+bB.-a+(-b)C.a-bD.-a+b答案：D.解析：【知识点】向量减法法则.【解题过程】AB AC BC=-=b-a=-a+b.点拨：明确向量减法法则.（3）非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )A.m=nB.m=-nC.|m|=|n|D.方向相反答案：A.解析：【知识点】相反向量的概念.【解题过程】非零向量m与n是相反向量，则长度相等，方向相反，则有m=-n，|m|=|n|. 点拨：明确相反向量的概念.（4）设a表示向西走10km,b表示向北走则a-b表示（）A.南偏西30°走20kmB.北偏西30°走20kmC.南偏东30°走20kmD.北偏东30°走20km【知识点】向量减法运算的三角形法则.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】作出差向量a-b，由图知，a-b表示南偏西30°走20km.点拨：作两个向量的差向量要注意起点要重合、箭头指向的是被减向量的终点.答案：A.(二)课堂设计1．知识回顾（1）向量加法的概念：已知向量a,b在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和,记作a+b,即：a+b=+=.AB BC AC（2）向量加法的三角形法则与平行四边形法则：（3）向量加法的运算律：①交换律：a+b=b+a ②结合律：(a+b)+c=a+(b+c)2．问题探究探究一向量减法的定义★●活动①结合生活实例，归纳提炼相反向量的概念我们知道，在实数运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数.类比相反数，我们在学习向量减法时，是否也有这样的相反的向量呢？生活情境一：一架飞机由重庆到北京,再由北京返回重庆,飞机的两次位移分别是什么？生活情境二：在物理学中我们学习过作用力与反作用力的概念，是如何定义的呢？两个情境中涉及的两个量，具有怎样的关系呢？大小相等，方向相反.满足这样特点的两个向量，我们就把它称作相反向量.a的相反向量怎样用数学符号表示？-a.【设计意图】问题从类比减法运算方法的提出，为学生研究向量减法运算提供了思考方法，同时从生活、物理学情境引入新知可以激发学生的学习兴趣.教学过程中，相反向量的定义由学生自己发现并总结.●活动②用相反向量定义向量的减法思考1：-a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？- (-a)=a规定：零向量的相反向量仍是零向量.思考2：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数.据此原理，向量a-b可以怎样理解？定义：a-b＝a+(-b). 并强调：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.【设计意图】遵循数学研究问题的一般规律，即用已知的相反向量定义来探究未知，让学生自己发现问题并解决问题.●活动③用加法的逆运算定义向量的减法我们知道，实数的减法是加法的逆运算，即如果实数a,b,x,满足b+x=a,那么x叫做a与b的差，记x=a-b,类似的，向量的减法运算该如何定义？对于向量a，b，c，若a+c＝b，则c=b－a，c叫做a与b的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减法.【设计意图】通过类比实数的减法运算得到向量减法的定义，体现了数学学习中由已知探索未知的转化过程.探究二向量减法的几何意义★▲●活动①向量减法运算的三角形法则思考1：如果向量a与b同向，如何作出向量a－b？思考2：如果向量a与b反向，如何作出向量a－b？思考3：设向量a与b不共线，设OA=a,OB=b,探究：如何作出a-b？差向量a-b的“箭头”指向有何特点？根据结论能否直接求a-b?如图,作OA=a,OB=b,则a-b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，-=a-b=OA OB BA作两个向量的差时，需要三个步骤：①将两个向量平移，使它们的起点重合；②将两个向量的终点相连；③差向量指向被减向量.概括为：作平移，共起点，两尾连，指被减.【设计意图】从研究两向量共线时的几何意义到不共线的情况，让学生体会从特殊到到一般、分类讨论的数学思想.●活动②向量减法的平行四边形法则如图，设向量AB＝b，AC＝a，则AD＝－b，由向量减法的定义，知AE＝a＋(－b)＝a－b.→＝a－b，由此，我们得到a－b的作图方法．又b＋BC＝a，所以BC【设计意图】由向量加法的平行四边形法则得出向量减法的平行四边形法则，进一步完善其几何意义.●活动③向量减法几何意义的深入理解思考1：向量a－b与b－a是什么关系？|a－b|与|a|＋|b|、|a|－|b|的大小关系如何？a－b与b－a是相反向量.|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b反向时取等号；|a－b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b同向时取等号.思考2：|a－b|与|a＋b|有什么大小关系吗？为什么？|a－b|与|a＋b|表示平行四边形对角线长度，没有大小关系.【设计意图】向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．探究三向量的减法的运用★▲●活动①归纳梳理、理解提升1.向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．2.对于向量的加减运算，做加法时要首尾相接，如AB＋BD＝AD，做减法时要保证起点相同，如AB－AC＝CB.同时，注意交换一个向量的起点和终点，所得向量与原向量是相反向量，如AB＝-BA，BD－CD＝BD＋DC＝BC，AB＋CA＝AB－AC＝CB.【设计意图】总结梳理本节课所学新知识，并强调重难点.●活动②巩固基础，检查反馈例1.如图,不共线的两个非零向量a,b，求作向量a-b,b-a【知识点】三角形法则的运用.【数学思想】化归思想.【解题过程】作OA=a,OB=b,则BA=a-b,AB=b-a，如图：【思路点拨】求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，也可以直接用向量的减法的三角形法则.【答案】见解题过程．同类训练如图，已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.答案：见解题过程解析：【知识点】三角形法则的运用.【数学思想】化归思想.【解题过程】以A为起点分别作AB和AC，使AB=a,AC=b.连接CB,得向量CB，再作向量CD=c,连接DB,得向量DB.则向量DB即为所作的向量.点拨：先作a-b,再作(a-b)-c即可.例2．化简：(AB＋DB)＋(BC－DC)．答案：AB.解析：【知识点】向量减法的定义.【数学思想】化归思想.【解题过程】()()()().AB DB BC DC AB BC DB DC AC CB AB ++-=++-=+=点拨：利用向量加减法法则化简.同类训练 下面给出了四个式子：① +AB BC CA +； ②+OA OC BO CO ++；② AB AC BD CD -+-； ④+-NQ QP MN MP +其中值为0的有（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③答案：C.解析：【知识点】向量减法的定义.【数学思想】化归思想.【解题过程】①+=+AB BC CA AC CA +=0③ +=()()OA OC BO CO CO OA BO OC CA BC BA +++++=+=；④ =AB AC BD CD CB BC -+-+=0；⑤ +-=NQ QP MN MP NP PN ++=0.点拨：利用向量加减法法则化简.【设计意图】巩固向量减法的定义与差向量的作法.●活动② 强化提升，灵活运用例3.在平行四边形ABCD 中，|+|||AB AD AB AD =-，则必有（ ）A ．AD =0B ．AB =0或AD =0C ．ABCD 是矩形D ．ABCD 是正方形【知识点】向量加减法的几何意义.【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在平行四边形ABCD 中，|+|||AB AD AB AD =-,即||||AC DB =，可得ABCD 是一个特殊的平行四边形——矩形.【思路点拨】利用向量加减法的几何意义求解.【答案】C.同类训练 求|a +b |=|a -b |的充要条件.注：若A B B A ⇒⇒且，则称A 是B 的充要条件.答案：a ⊥b .解析：【知识点】向量加减法的几何意义.【数学思想】数形结合思想．【解题过程】(1)当a ,b 不共线时，以a 与b 为邻边作平行四边形ABCD,如图，则AC =a +b , DB =a -b ,∴|a +b |=|a -b |||=||AC BD AB AD ⇔⇔⊥⇔ a ⊥b .(2)当a 与b 共线时，则当且仅当a 与b 中至少有一个为0时，才有|a +b |=|a -b |成立.此时也有|a +b |=|a -b |⇔a ⊥b .故所求的充要条件是a ⊥b .点拨：利用|a +b |与|a -b |的几何意义来探索求其充要条件.例4.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB =a ,AC =b ,AE =c ，试用a ,b ,c 表示向量,,,BD BC BE CD CE 及.【知识点】向量加减法运算与向量的表示．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵四边形ACDE 是平行四边形，∴=CD AE =c ,=BC AC AB -=b -a .=BE AE AB -=c -a , =CE AE AC -=c -b , ∴BD BC CD =+=b-a +c【思路点拨】先根据向量加、减法的运算法则将易求的向量表示出来，再表示BD ．【答案】∴CD =c , =BC b -a . =BE c -a , =CE c -b , ∴BD =b-a +c同类训练 如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，=OA a , =OB b , =OC c ,求OD .答案：c-a +b , b -a , c -a , c , c -b解析：【知识点】向量加减法运算与向量的表示．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴=CD BA =a -b ，∴=+OD OC CD =c +a -b 点拨：先根据向量加、减法的运算法则将易求的向量表示出来，再表示OD ．3.课堂总结知识梳理（1）与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记为-a .规定：零向量的相反向量是零向量.（2）向量a 加上向量b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a -b =a +(-b )，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.（3）向量减法的几何意义是a -b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量（a ,b 起点相同）.重难点归纳（1）向量减法法则的两点说明①向量的减法法则有着丰富的几何背景：当a ，b 不共线时，a ，b 与a -b 围成一个三角形；当a ，b 共线时，a ，b 与a -b 不能围成一个三角形.②向量的加法与向量的减法互为逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.（2）两个向量的差可用平行四边形法则及三角形法则求得，用三角形法则时，把减向量与起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点被减向量的终点，解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．（3）以平行四边形ABCD 的两邻边AB 、AD 分别表示向量AB ＝a ，AD ＝b ，则两条对角线表示的向量为AC ＝a ＋b ，BD ＝b －a ，DB ＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住.（三）课后作业基础型 自主突破1．已知AB 是单位向量，点M 是AB 的中点，点P 是平面上任意一点，则PA PB -等于（ ）A.BM AM -B.AM BM -C.AM BM +D.AB答案：A ．解析：【知识点】向量的减法运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】PA PB -=+=BA BM MA BM AM =-．点拨：掌握向量加减法化简的技巧．2.设平面内有四边形ABCD 和点O, =OA a , =OB b , =OC c , =OD d ,若a +c =b +d ，则四边形ABCD 的形状是_________.答案：平行四边形．解析：【知识点】向量的减法运算．【数学思想】转化思想.【解题过程】∵a +c =b +d ，∴+=+OA OC OB OD ,=OA OB OD OC --,=BA CD ∴,∴四边形ABCD 为平行四边形.点拨：将等式a +c =b +d 进行适当变形转化．3.平面上有不同的三点A,B,C ，设m =AB BC +,n =-AB BC ,若m ,n 的长度恰好相等，则有（ ）A.A 、B 、C 三点必在同一直线上.B.△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶点.C.△ABC 必为直角三角形且∠B 为直角.D.△ABC 必为等腰直角三角形.答案：C ．解析：【知识点】向量加减法的几何意义.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】m ==AB BC AC +，n =-AB BC ，如图，延长CB 至D,使得BD =CB,则： n =-=++AB BC AB CB AB BD AD == ，因|m |=|n |,则：||||AC AD =，∴△ABC 是等腰三角形,且点B 为底边DC 的中点,则△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形.点拨：利用m ,n 的几何意义求解.4.如图，向量AB =a , AC =b , CD =c ,则向量BD 可以表示为（ ）A.a +b -cB.a -b +cC.b -a +cD.b +a -c答案：C.解析：【知识点】向量加减法运算与向量的表示．【数学思想】数形结合思想.【解题过程】∵=CB AB AC -=a -b , ∴=BD CD CB -=c -(a -b )=b +c -a .点拨：熟练掌握向量加减法的运算法则.5.若向量a ,b 满足|a |=8,|b |=12，则|a +b |的最小值为______，|a -b |的最大值为_______.答案：4；20．解析：【知识点】向量加减的三角形不等式．【数学思想】数形结合思想.【解题过程】根据向量加减的三角形不等式得：| |a |-|b | |≤|a ±b |≤|a |+|b |，∴4≤|a ±b |≤20，故|a +b |最小值是4，|a -b |最大值是20．点拨：利用向量加减的三角形不等式．能力型 师生共研6．如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB ＝a ，BC ＝b ，AC ＝c ，试求：(1)|a ＋b ＋c |；(2)|a －b ＋c |.答案：（1）（2）2.解析：【知识点】向量加减法法则.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】 (1)由已知得a ＋b ＝AB ＋BC ＝AC ，又∵AC ＝c ，∴延长AC 到E ，使||||CE AC =则a ＋b ＋c ＝AE ，且||=22AE |a ＋b ＋c |＝(2)作BF ＝AC ，连接CF ，则+=DB BF DF ，而=DB AB AD -＝a －BC ＝a －b ，∴a －b ＋c ＝+=DB BF DF 且||=2DF ，∴|a －b ＋c |＝2.点拨：掌握向量加减法法则．7.若AC＝a＋b，DB＝a－b.①当a、b满足什么条件时，a＋b与a－b垂直？②当a、b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|？③当a、b满足什么条件时，a＋b平分a与b所夹的角？④a＋b与a－b可能是相等向量吗？答案：①|a|＝|b|；②a、b互相垂直；③|a|、|b|相等；④不可能，因为对角线方向不同.解析：【知识点】向量加减法的平行四边形法则.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】如图，用向量构建平行四边形，其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线且AB＝a，AD＝b.由平行四边形法则，得AC＝a＋b，DB＝AB－AD＝a－b.由此问题就可转换为：①当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|＝|b|)②当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角？(|a|、|b|相等)④a＋b与a－b可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)点拨：利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题.探究型多维突破8．如图，O为△ABC的外心，H为△ABC的垂心，⊙O为△ABC的外接圆，且()=++，OH m OA OB OC则m=_______.答案：1．解析：【知识点】向量加减法的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】作直径BD,连接DA,DC,有OB OD =-,DA ⊥AB,DC ⊥BC,CH ⊥AB,故CH ∥DA,AH ∥DC,则四边形ABCD 是平行四边形，进而AH DC =.又DC OC OD OC OB =-=+,则OH OA AH OA DC OA OB OC =+=+=++.∴m =1.点拨：通过添加辅助线将OH 用OA OB OC ,,表示出来. 自助餐1．化简：()()AC BO OA DC DO OB ++---.答案：0解析：【知识点】向量减法的定义.【数学思想】化归思想.【解题过程】()()()AC BO OA DC DO OB AC BA DC DO OB BC DC DBBD DB ++---=+-++=-+=+=0点拨：利用向量加减法法则化简.2．在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是（ ）A ．AB －DC ＝0B ．AD BA AC -=C ．AB AD BD -=D ．AD CB +=0答案：C ．解析：【知识点】向量加减法运算．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵AB ＝DC ，∴AB －DC ＝0，A 正确；∵AD BA AD AB AC -=+=,B 正确；∵AB AD AB DA DB -=+=，C 错误；∵,AD BC AD CB =∴=-,AD CB ∴+=0，D 正确． 点拨：掌握向量加减法的运算．3．已知m ,n 满足|m |=2,|n |=3,|m -n 则|m +n |=______.答案：3．解析：【知识点】向量加减法的几何意义.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】由平行四边形的对角线与边的关系及|m -n |与|m +n |为以m ,n 为邻边的平行四边形的两条对角线的长,得|m -n |2+|m +n |2=2|m |2+2|n |2=26,又|m -n |=故|m +n |2=26-17=9,故|m +n |=3. 点拨：利用向量加减法几何意义及平行四边形对角线与边的关系求解.4.已知a ,b ,c 是任意三个向量，求证:|a -b -c |≥||a |-|b |-|c ||.答案：见解题过程.解析：【知识点】向量加减的三角形不等式.【数学思想】转化思想.【解题过程】证明：|a -b -c |≥||a -b |-|c ||,又∵|a -b |≥||a |-|b ||,∴|a -b -c |≥||a |-|b |-|c ||.点拨：利用向量加减的三角形不等式证明.5.已知A,B,C 是不共线的三点，O 是△ABC 内一点，若OA OB OC ++=0，求证：O 是△ABC 的重心.答案：见解题过程．解析：【知识点】向量加减法的运用．【数学思想】数形结合思想.【解题过程】由于OA OB OC ++=0, ∴()OA OB OC =-+,即OB OC +是与OA 方向相反且长度相等的向量.如图所示,以OB,OC 为相邻的两边作□BOCD ,则OD OB OC =+,∴OD OA =-.在□BOCD 中,设BC 与OD 相交于点E,则,BE EC OE ED ==,∴AE 是△ABC 的BC 边上的中线，且||2||OA OE =.同理,可证BO,CO 分别在△ABC 的AC,AB 边的中线上, ∴点O 是△ABC 的重心,得证.++=0进行变形转化.。
人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.2.2向量减法运算及其几何意义》教案(2)
2.2.2 向量减法运算及其几何意义教学目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。
会求作两个向量相减的图。
教学重点：向量减法运算的几何意义，求作两个向量相减的向量图。
教学难点：向量加法与减法的关系与画法。
教学过程一、复习提问向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律： 例：在四边形中，=++ 解：CD AD CA AD BA CB =+=++ 二、新课1．用“相反向量”定义向量的减法1︒“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。
记作 -a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量。
-(-a ) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量。
a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3︒向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a +0 = a 作法：在平面内取一点O ， 作= a , = b 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量。
A BOa bBaba -b注意：1︒表示a - b 。
强调：差向量“箭头”指向被减数2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )，显然，此法作图较繁，但 最后作图可统一。
4．a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b例一、（P96 例3）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d 。
解：在平面上取一点O ，作= a , = b , = c , = d , 作BA , DC , 则BA = a -b , DC = c -d例二、平行四边形中，，用表示向量， 解：由平行四边形法则得：= a + b, = - = a -b变式一：当a , b 满足什么条件时，a +b 与a -b变式二：当a , b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b|？（a , b 变式三：a +b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 练习：P96 作业：P101 4、7OABaB’b -bbBa + (-b )aba -bA B B’a -b a a b bO AOBa -bBA O-b ABCbad cDO。
新课标人教必修4第二章第一节向量减法运算及其几何意义
A
B
a
b
c d
b a
O
C
cd
D
c
d
.
共线向量的减法
思考1：如果向量 a 与 b 同向，如何作出 a 向量 a b？
b
思考2：如果向量 a 与b 反向，如何作出 向量 a b ？
a
b
ab
ab
练习1
如图，已知a, b, 求作a b.
o
B
（1）
（2）
a
A
a b
b
A
A
a
a b
a b a ( b )
BA . OA OB ______
课堂小结
向量的加法与减法运算 法则比较
向量的加法 定义 三角形 法则 平行四边 形法则 内在 联系
AC AB BC 首尾相连 首尾相接
向量的减法
CB AB AC
同起点、连终点、 指向被减
b
同一起点对角线
a
b a
减向量终点指向被 减向量终点的对角线
a b a b
B
a ( b )
设OA a, OB b
b
O
OA OB OA OB
a
A
b
C
a ( b )D OA OC OD
BA
即OA OB BA
向量减法的三角形法则 如图，已知a , b，求作a b.
1 在平面内任取一点O
2作OA a,OB b
A
3则向量BA a b
O
.
a b
a b
最新人教版高中数学必修4第二章《向量减法运算及其几何意义》温故知新
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
温故知新
新知预习
1.与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的______________，记作______________.规定，零向量的相反向量是______________，任一向量与其相反向量的和是______________.
2.如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，即a+b=0.我们定义a-b=a+______________，即减去一个向量相当于加上这个向量的______________.
3.已知a、b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b，即a-b可以表示为
______________，这是向量减法的几何意义.
知识回顾
1.在数的运算中，已知两数的和而求其中一个加数的运算叫减法，也就是说减法是加法的逆运算.
2.上节课我们学习了向量求和的三角形法则和平行四边形法则，三角形法则要将各向量首尾顺次相接求和；而平行四边形法则是将两向量平移到共同的起点，以两向量为邻边作平行四边形来求和.。
人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.2.2向量减法运算及其几何意义》教案(3)
2.2.2向量的减法运算及其几何意义教学目标：1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 教学过程：一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++ . 解：=+=++ 二、 提出课题：向量的减法1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a - b ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ，作= a ， = b 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒表示a - b . 强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )OABaB’b -bbBa + (-b )abOabBab a -b4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a. ２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？三、 应用举例：例1、（P86 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d .解：在平面上取一点O ，作= a ， = b ， = c ， = d ， 作BA ， DC ， 则BA = a -b ， DC = c -d例2、平行四边形ABCD 中，=AB a ，=AD b ， 用a 、b 表示向量AC 、DB . 解：由平行四边形法则得： AC = a + b ， DB = AD AB - = a -b 变式一：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |） 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a ， b 互相垂直） 变式三：a +b 与a -b 可能是相等向量吗？（不可能，∵例3 、试证：对任意向量a ，b 都有||||||||||||a b a b a b -≤+≤+．证明：（1）当a ，b 中有零向量时，显然成立。
新人教版数学必修4同步课件：向量减法运算及其几何意义
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3.做一做:如图,ABCD是平行四边形,AC与BD相交于点O,下列互 为相反向量的是 ( )
A.������������与������������ C.������������与������������
B.������������与������������ D.������������与������������
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
核心素养提升
思维辨析
变式训练2如图,解答下列各题:
(1)用 a,d,e 表示������������; (2)用 b,c 表示������������; (3)用 a,b,e 表示������������ ; (4)用 d,c 表示������������ .
解由题意知,������������=a,������������=b,������������=c,������������ =d,������������=e, 则(1)������������ = ������������ + ������������ + ������������=d+e+a. (2)������������ = ������������ − ������������=-������������ − ������ ������=-b-c. (3)������������ = ������������ + ������������ + ������������ =a+b+e. (4)������������ =-������������=-(������������ + ������������ )=-c-d.
最新人教A版高中数学必修四教案：2.2.2向量减法运算及其几何意义
最新人教版数学精品教学资料2.2.2 向量减法运算及其几何意义一、教学分析向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.二、教学目标：1、知识与技能：了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义。
2、过程与方法：通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量减法运算及其几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。
3、情感态度与价值观：通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想。
三、重点难点教学重点:向量的减法运算及其几何意义.教学难点:对向量减法定义的理解.四、学法指导减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量。
五、教学设想（一）导入新课思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.（二）推进新课、新知探究、提出问题①向量是否有减法？②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？③如何理解向量的减法？④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义?引导学生思考,相反向量有哪些性质?由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.于是-(-a)=a.我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四边形法则图1如图1,设向量AB=b,AC=a,则AD=-b,由向量减法的定义,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我们得到a-b的作图方法.图2(2)三角形法则如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.讨论结果:①向量也有减法运算.②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a.③向量减法的定义.我们定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.规定:零向量的相反向量是零向量.④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.提出问题①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么?②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢?讨论结果:①AB=b-a.②略.（三）应用示例如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.图3活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量.作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.则BA=a-b,DC=c-d.变式训练(2006上海高考) 在ABCD中,下列结论中错误的是( )A.AB=DCB.AD+AB=ACC.AB-AD=BDD.AD+BC=0分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,AB-AD=BD错误,D中,AD+BC=AD+DA=0正确.答案:C例2 如图4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB吗?图4活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道AC=a+b,同样,由向量的减法,知DB=AB-AD=a-b.变式训练1.(2005高考模拟) 已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c图5解析:如图5,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2.若AC=a+b,DB=a-b.①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角？④a+b与a-b可能是相等向量吗？图6解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则,得AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此问题就可转换为:①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.例3 判断题:(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.活动:根据向量的加、减法及其几何意义.解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,而此时构不成三角形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.综上所述,只有(2)正确.例4 若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.变式训练已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.证明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且a b,b c,c a,(1)必要性:作AB=a,BC=b,则由假设CA=c,另一方面a+b=AB+BC=AC.由于CA与AC是一对相反向量,∴有AC+CA=0,故有a+b+c=0.(2)充分性:作AB=a,BC=b,则AC=a+b,又由条件a+b+c=0,∴AC+c=0.等式两边同加CA,得CA+AC+c=CA+0.∴c=CA,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.（四）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论. （五）作业。
人教版 数学 必修4 .2 向量减法运算及其几何意义(共14)
当 a ，b 共线时，怎样作a b 呢？
a OA b OB O A B
人教版 数学 必修4 .2 向量减法运算及其几何意义（共14 )（精 品课件 ）
abBA
B OA
人教版 数学 必修4 .2 向量减法运算及其几何意义（共14 )（精 品课件 ）
巩固理解 课堂提升
例3 已知向量 a,b, c, d ，求作向量 a b ，c d 。
展示汇报 理解知识
一、相反向量：
设向量 a ，我们把与 a 长度相同，方向相反
a 的向量叫做 a 的相反向量。 记作：
规定： 0 的相反向量仍是 0 。
（1） (a) a （2） a(a) (a)a0
（3）设 a , b 互为相反向量，那么
a b ,b a ,a b 0
二、向量的减法：aba(b)
拓展训练
练习：课本87页练习第1题
巩固提升
（1）
（2） a
a
ab
b
b
ab
人教版 数学 必修4 .2 向量减法运算及其几何意义（共14 )（精 品课件 ）
人教版 数学 必修4 .2 向量减法运算及其几何意义（共14 )（精 品课件 ）
例4 在 ABCD 中， AB a, AD b,
D
C
你能用 a , b 表示 AC, DB 吗？ b
自主学习 合作交流
一、自学课本85-86页内容，完成以下问题， 并在课本标出。
1、相反向量如何定义的？ 2、向量的减法如何定义的？
3、能利用学过的加法法则做出 a (吗b？)
4、向量减法的几何意义？（时间3分钟）
二、小组交流问题，统一答案,重点问题3 (时间3分钟）
人教版 数学 必修4 .2 向量减法运算及其几何意义（共14 )（精 品课件 ）
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2．2.2 向量减法运算及其几何意义
1．知道向量减法的定义，理解相反向量的意义．
2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量．
3．能够化简含有向量的式子．
相反向量类似于实数中的相反数，它们的性质有相似之处．
【做一做1】非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是()
A．m＝n B．m＝－n C．|m|＝|n|D．方向相反
的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量
①向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，就可以把减法化为加法．在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量的终点，箭头指向被减向量”即可．
②以向量AB
→
＝a，AD
→
＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为AC
→
＝a＋b，BD
→
＝b－a，DB
→
＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．
【做一做2－1】在△ABC中，BC
→
＝a，AC
→
＝b，则AB
→
等于()
A．a＋b B．a－b C．－a－(－b) D．－a＋(－b)
【做一做2－2】四边形ABCD是边长为1的正方形，则|AB
→
－AD
→
|＝________.
答案：1．相等相反0－b0
【做一做1】A
2．相反向量BA
→
终点终点
【做一做2－1】C AB
→
＝CB
→
－CA
→
＝－BC
→
＋AC
→
＝－a＋b＝－a－(－b)．
【做一做2－2】 2 |AB →－AD →|＝|DB →
|＝12＋12＝ 2.
1．化简OA →－OB →
剖析：根据解题经验，OA →－OB →的结果是AB →和BA →
中的一个向量，到底是哪一个向量呢？
把自己写出来的结果通过向量加法的三角形法则验证．假设OA →－OB →＝AB →
，由向量加法的三
角形法则，知OB →＋BA →＝OA →，所以OA →－OB →＝AB →是错误的，应该是OA →－OB →＝BA →
.
为了防止出现类似错误，通常画图，利用数形结合解决此类问题，也可以化归为向量的
加法进行验证．设OA →－OB →＝m ，则OA →＝OB →＋m ，由于m 等于AB →和BA →中的一个向量，OB →
＋AB →≠OA →，仅有OB →＋BA →＝OA →，所以OA →－OB →＝BA →.
2．|a －b|，|a|－|b|，|a|＋|b|三者的大小关系 剖析：当向量a 与b 共线时，
(1)当两非零向量a 与b 同向时，|a －b |＝||a|－|b||＜|a|＋|b|； (2)当两非零向量a 与b 反向时，|a －b |＝|a |＋|b |＞||a |－|b ||；
(3)当a 与b 中至少有一个为零向量时，|a －b |＝||a |－|b ||＝|a |＋|b |. 当两非零向量a 与b 不共线时，如在△ABC 中，AC →＝a ，AB →＝b ，则BC →＝AC →－AB →
＝a －b ，根据三角形中任意两边之差总小于第三边，任意两边之和总大于第三边，可得||a |－|b ||＜|a －b |＜|a |＋|b |.综合可知，对任意的向量a 与b 都有||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |.只有当a 与b 同向或a 与b 中至少有一个为零向量时，||a |－|b ||≤|a －b |中的等号成立；当a 与b 反向或a 与b 中至少有一个为零向量时，|a －b |≤|a |＋|b |中的等号成立．
题型一 向量加(减)法的作图
【例1】 如图所示的向量a ，b ，c 是不共线的向量，求作向量a ＋b －c .
分析：向量(加)减法作图的依据是三角形法则，先观察各向量的位置，再寻找或构造相应的平行四边形或三角形，最后依据几何意义确定其图形表示．
反思：向量的加法与减法运算有“三角形法则”和“平行四边形法则”．运用“三角形法则”求和向量时应“始、终相接，始指向终”；求差向量时应“同始连终，指向被减”．运用“平行四边形法则”时，和向量对应公共起点的对角线，求差向量时应“终点相连，指向被减”．(如图)若题设或结论中出现两个向量的和差问题的相关计算，要善于运用向量加法、减法的两个法则求解．
题型二 化简
【例2】 化简下列各式： (1)AB →－AC →＋BD →－CD →； (2)NQ →＋QP →＋MN →－MP →.
分析：灵活应用结论AB →＋BC →＝AC →和AC →－AB →＝BC →
来化简．
反思：满足下列两种形式可以化简：
(1)首尾相接且为和；(2)起点相同且为差．
做题时要注意观察是否有这两种形式．同时要注意逆向应用及统一向量起点方法的应用．
【例3】 已知如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA →－OC →＋CD →
相等的向量有__________．
①CF →；②AD →；③DA →；④BE →；⑤CE →＋BC →；⑥CA →－CD →；⑦AB →＋AE →.
反思：在向量的减法中，无论是作图还是化简都必须考虑起点是否相同，差向量的起点和终点顺序不能颠倒．
答案：
【例1】 作法一：在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →
＝a ＋b ，如图①所示，再作OC →＝c ，则a ＋b －c 为CB →
.
图① 图②
作法二：在作出OB →＝a ＋b 的基础上，可以在点B 作CB →
＝c ， 则OC →
＝a ＋b －c ，如图②所示．
【例2】 解：(1)AB →－AC →＋BD →－CD →＝CB →＋BC →
＝0. (2)NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →
＝0.
【例3】 ① OA →－OC →＋CD →＝CA →＋CD →＝CF →
； CE →＋BC →＝BC →＋CE →＝BE →≠CF →； CA →－CD →＝DA →≠CF →； AB →＋AE →＝AD →≠CF →.
1．下列四式不能化简为PQ 的是( )
A.AB ＋(PA ＋BQ ) B ．(AB ＋PC )＋(BA －QC
) C.QC ＋CQ －QP
D.PA ＋AB －BQ
2．化简以下各式：
①AB ＋BC ＋CA ；②AB －AC ＋BD －CD
；③OA －OD ＋AD .
结果为零向量的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0
3．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，AD ＝c ，则DC ＝__________.(用
a ，
b ，
c 表示)
4．已知A ，B ，C ，D 为平面上的四个点，则AB ＋CB －CD ＋DA
＝__________.
5．如图，已知向量a 和向量b ，用三角形法则作出a －b ＋a .
答案：1．D AB ＋(PA ＋BQ )＝(AB ＋BQ )－AP ＝AQ －AP ＝PQ ；(AB
＋PC )＋(BA －QC )＝(AB －AB )＋(PC ＋CQ )＝PQ ；QC ＋CQ －QP ＝－QP ＝PQ ；
PA ＋AB －BQ ＝PB －BQ ≠PQ .
2．C ①AB ＋BC
＋CA ＝AC ＋CA ＝AC －AC ＝0；
②AB －AC ＋BD －CD ＝(AB ＋BD
)－(AC ＋CD )＝AD －AD ＝0； ③OA －OD ＋AD ＝(OA ＋AD )－OD ＝OD －OD ＝0.
3．a ＋b －c DC ＝DA ＋AB ＋BC ＝－AD ＋AB ＋BC
＝－c ＋a ＋b ＝a ＋b －c . 4．2DB AB ＋CB －CD ＋DA ＝(DA ＋AB )＋(CB －CD )＝DB ＋DB ＝2DB
. 5．作法：作向量OA ＝a ，向量OB ＝b ，则向量BA
＝a －b .如图所示；作向量AC ＝a ，则BC
＝a －b ＋a .。