第1课时 二次根式的概念 (2)作业
(完整)【人教版】八年级数学下第十六章《二次根式》课时作业(含答案),推荐文档
第十六章二次根式16. 1 二次根式第1课时二次根式的概念01 基础题知识点1二次根式的定义F 列式子不是二次根式的是 （B ） A. -5 B. J3— nC. 0.5A.J — 7B.^mC. 1 + x 2D. 2x 3.已知 卫是二次根式，则a 的值可以是(C ) A . — 2B .— 1C . 2D . — 5 4.若.一3x 是二次根式，则x 的值可以为答案不唯一 ，^口：一 1（写出一个即可）. 知识点2二次根式有意义的条件5. x 取下列各数中的哪个数时，二次根式 x — 3有意义（D ）A . — 2B . 0C . 2D . 4 6.（2017 •安）要使二次根式 2x — 4在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（B ）A . x > 2B . x > 2C . x v 2D . x = 2 7. 当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？⑴• — x ；解：由一x > 0,得 x < 0.⑵ 2^+6 ；解：由 2x + 6>0,得 x >— 3.（3） X 2；解：由x 2>0,得x 为全体实数.1⑷一4— 3x解：由 4 — 3x>0,得 xv*.2. F 列各式中，一定是二次根式的是1.3A . 1个C . 3个(2017济宁)若•. 2x — 1+ 1 — 2x + 1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是(C)使式子■ — ( x — 5) 2有意义的未知数x 的值有1 个.若整数x 满足|x|w 3,则使.7— x 为整数的x 的值是3或一2.16.要使二次根式2 — 3x 有意义，则x 的最大值是f. 1解：X>~2 x —4>0, 解：由 得x >4. x —3 工 0 知识点3二次根式的实际应用 &已知一个表面积为12 dm 2的正方体，则这个正方体的棱长为(B)A . 1 dmB. 2 dmC. 6 dmD . 3 dm 9.若一个长方形的面积为 10 cm 2,它的长与宽的比为 5 : 1,则它的长为5* 2cm ,宽为 2cm. 02 中档题10. ②2x :③x 3:④.三•其中，二次根式的个数有(A)11. B . D . 1 A . x > 1 B . x < 112.使式子一-寸x + 3A . 5个C . 4个 卜4 —3x 在实13. B . 3个D . 2个1 如果式子谄+有意义，那么在平面直角坐标系中点A(a , b)的位置在(A)A .第一象限C .第三象限 B .第二象限D .第四象限 14.15. 17. 当x 是怎样的实数时 F 列各式在实数范围内有意义?F 列各式中：①⑵K ；解: x> 0 且x M 1.⑶.1—|x|；解：一1 w x W 1.(4) x - 3+q詔一x.解：3< x W 4.03综合题18. 已知a, b分别为等腰三角形的两条边长,且a, b 满足b= 4 + 3a-6+ 3 2 - a,求此三角形的周长.解：••• 3a-6> 0, 2-a> 0,••• a= 2, b = 4.当边长为4, 2, 2时，不符合实际情况，舍去；当边长为4, 4, 2时，符合实际情况，4X 2 + 2 = 10.•此三角形的周长为10.第2课时二次根式的性质01 基础题知识点1 a> 0(a> 0)1. (2017荆门)已知实数m, n满足|n—2|+ m+ 1 = 0,贝U m+ 2n的值为3.2. 当x = 2 017时，式子2 018—寸X—2 017有最大值，且最大值为2 018. 知识点2 ( a)2= a(a > 0)3. 把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：(1) 5= (,5)2」(2)3.4 = (. '3.4)2；(3)1= C 6)2;- (4)x = ( . x)2(x > 0).4. 计算：(.2 018)2= 2 018 .5. 计算：(1)( 0.8)2；解：原式=解：原式=0.8.34(3) (5 2)2;解：原式=25 X 2= 50.(4) ( —2 6)2.解：原式=4 X 6= 24.知识点 3 . a2= a(a>0)6. 计算 (—5) 2的结果是(B)A. —5B. 5C. —25D. 257. 已知二次根式.X2的值为3,那么x的值是(D)A . 3B . 9C. —3D. 3 或—3&当a> 0时，化简：』9a2= 3a.9. 计算：(1) 49;解：原式=7.⑵.(—5) 2；解：原式=5.⑶ /(-3)2；1解：原式=3.(4) 6—21解：原式二1.知识点4代数式10. 下列式子不是代数式的是 (C)3 A . 3xB: x C . x>3D . x — 3 11.下列式子中属于代数式的有 (A) ①0;② x ;③ x + 2 :④ 2x ;⑤ x = 2 :⑥x>2 :⑦.x 2+ 1；⑧ x 丰 2. A . 5个B . 6个C . 7个D . 8个02 中档题12. 下列运算正确的是(A)A . — , (— 6) 2=— 6B . (— 3)2= 9C.p (- 16) 2 = ±16 D . — (—V5)2 = — 25 13. 若a v 1,化简I (a — 1) 2— 1的结果是(D)A . a — 2B . 2— aC . aD . — a 14.(2017枣庄)实数a , b 在数轴上对应点的位置如图所示 ,化简|a|+ . (a — b ) 2的结果是(A) C . — b D . bA . — 2a + bB . 2a — b15. 已知实数x, y, m满足,x + 2 + |3x+ y+ m|= 0,且y为负数，则m的取值范围是(A)B. m v 6D. m v —616. 化简：.(2 —5) 2=「』5- 2.17. 在实数范围内分解因式：x2— 5 = (x + 5)(x —5).18. 若等式 (x —2) 2= ( x —2)2成立，则x的取值范围是X》2.19. 若,a2= 3, ,b = 2,且ab v 0,则a— b =二二.20. 计算：(1) —2 - (—8)2；1解：原式=一2X -8__ 1=—4(2) 4X 10—4；解：原式=2 X 10—2.(3) (2 -3)2—(4 .2)2;解：原式=12 —32=—20.⑷.(£)2+“「-23)2.解：原式=21+ 213 321. 比较211与3.5的大小.解：••• (2 .11)2= 22X ( .11)2= 44, (3 , 5)2= 32X ( 5)2= 45,又•/ 44V 45,且 2 11> 0, 3 5> 0, ••• 2 11V 3 ,5.22. 先化简a+ .1 + 2a+ a2,然后分别求出当a=—2和a= 3时，原代数式的值.解：a+ 1 + 2a+ a2= a+ , (a+ 1) 2= a+ |a+ 1|,当a= —2 时，原式=—2+ |—2+ 1|= —2 + 1 = —1; 当a= 3 时，原式=3 + |3+ 1|= 3+ 4= 7.03 综合题23. 有如下一串二次根式：①,52—42;②.172—82;③.372—122;④ P52—162…(1) 求①，②，③，④的值；(2) 仿照①，②，③，④，写出第⑤个二次根式；⑶仿照①，②，③，④，⑤，写出第二次根式，并化简.解：⑴①原式=9= 3.②原式=■ $225 = 15.③原式=1 225 = 35.④原式=*3 969 = 63.⑵第⑤个二次根式为1012-202= 99.(3) 第个二次根式\[ (4n2+ 1) 2—( 4n) 2.化简：J( 4n2+ 1) 2—( 4n) 2= ( 4n2—4n+ 1)—( 4n2+ 4n+ 1) .(2n —1) 2(2n+ 1) 2= (2n —1)(2n + 1).5. 计算：2 6X （— 3 6） = - 36.6. 一个直角三角形的两条直角边分别为a = 2 ,3 cm ,b = 3,6 cm ,那么这个直角三角形的 面积为9 ?2cm 2.7. 计算下列各题：9. （2017益阳）下列各式化简后的结果是 A..6 B..12C.18D. 3601 基础题16.2 二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法知识点 1 a • b = ,ab(a 》0, b > 0)1. 计算,2X ,3的结果是（B ） A. 5 C .2.3 2. 下列各等式成立的是(D)B. .6D . 3 23. 下列二次根式中，与.2的积为无理数的是（B ）(1) -3X 5; 解：原式=15. =5.解：原式=,25(3)( — 3 2) X 2 7;解：原式=—6叮2 X 7=—6 .14.知识点 2 ab = a • b(a >0, b >0)3 2的结果是（C ） C. 18F 列各式正确的是10. 化简（—2）2X 8X 3的结果是（D）A. 2 24B.—2 24C. —4 .6D. 4 .611. 化简：(1) 100 x 36 = 60;(2) 2?= y 石.12. 化简：⑴ 4X 225;解：原式=-；［：4 X ：；225= 2X 15= 30.⑵.300;解：原式=103.(3) . 16y;解：原式=4皙y.(4) . 9x2y5z. 解：原式=3xy2・,yz.13. 计算：(1)3 6 X 2 12 ; 解：原式=6 _62X 2= 36 2.解：原式=,2a2b= a .2b.02 中档题14. ,50 • a的值是一个整数，则正整数a的最小值是(B)A. 1B. 2C. 3D. 515. 已知m=(—才)X (-2 21),则有(A)A. 5< m v 6B. 4v m v 5C. —5< m<—4 D . —6< m< —516. 若点P(a, b)在第三象限内，化简.a2b2的结果是ab.17. 计算：(1) . 75X 20 X ■, 12;解：原式=,25=60 詔5.⑵■. (—14)X(—112);解：原式=,14X 112=,2X 72X 42=,2X ,'72X ,42=28 2⑶—32X 45X 2;解：原式=—3X 16X 2 2=—96 2.(4) 200a5b4c3(a>0, c>0).解：原式=• 2 X 102•( a2) 2• a •( b2) 2• c2• c =10a2b2c ,2ac.18. 交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v = 16. df,其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m）, f表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得d= 20 m, f = 1.2,肇事汽车的车速大约是多少？（结果精确到0.01 km/h）解：当 d = 20 m, f = 1.2 时，v= 16 df = 16X 20X 1.2= 16 24 = 32.6^ 78.38.答：肇事汽车的车速大约是78.38 km/h.19. 一个底面为30 cm X 30 cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10 cm的长方体铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20 cm,铁桶的底面边长是多少厘米？解：设铁桶的底面边长为x cm,则x2X 10= 30X 30X 20, x2= 30X 30X 2,x= 30X 30X 2= 30,2.答：铁桶的底面边长是30 2 cm.03 综合题20. （教材P16“阅读与思考”变式）阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别a |b |c . ________________________为a、b、c.记：p = 2 ,则三角形的面积S=pf p （p —a）（p—b）（p—c）,此公式称为“海伦公式”.思考运用：已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得AB = 7 m, AC= 5 m, BC = 8 m,你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看解：T AB = 7 m, AC = 5 m, BC= 8 m,a +b +c 7+ 5 + 8 p= = = 10.2 2••• S= .. p ( p —a)( p—b) ( p —c)=10X( 10 —7 )X( 10—5)X( 10—8)=10X 3 X 5X 2 = 10 3.•李大爷这块菜地的面积为1叶3 m2.第2课时二次根式的除法01 基础题知识点 i 律=.b （a >o , b > o ）C3C. 23. 下列运算正确的是(D)A. .50 - 5 = 10 C. 32 + 42 = 3 + 4= 7 4. 计算：^f= 25. 计算：以上答案都不对B. 10吃 5 = 2 2 D. 27「3= 36.下列各式成立的是（A ） 3= _355X — 1X — 1（X — 2）2= X —2，那么x 的取值范围是10 + 2 = (A)1 •计算: (B)(1) 40 + 5; 解：原式=8 = 2；::.2. 4.15 ； 解：原式=6. 'a=虻0,⑷a>0).解：原式=2a. 知识点2 b > 0)，‘ —9 =刍D 「'9 + 1 = .9+ - 订=3| 7.实数0.5的算术平方根等于（C ）C72"A . 2B. .2 1D.2&如果(D)A.5B . 1 v x w 2D. x > 2 或 x w 19.化简：⑴.'100 ；解：原式=一 了一 = _7^00 10知识点3最简二次根式11. 把下列二次根式化为最简二次根式:(1) 2.5;解：原式=“ ；2 = 2°.解：原式=2 .'10.⑶护 解：原式=；"=3.A . 1< x w 2 C . x >2 10. (2017荆州)下列根式是最简二次根式的是A A /3B. ,0.3C. 3(C) D/.20解：原式=1 3X 2.5 5 30.02 中档题12. 下列各式计算正确的是(C)A.-48 = 16 3 C 症=亚 C .6,32C. 214. 在①14;②.a 2+ b 2;③27;④，m 2+ 1中，最简二次根式有15. 如果一个三角形的面积为 15, 一边长为16. 不等式2 ,2x - 6> 0的解集是 J^. 17. 化简或计算:0.9X 121(1)100X 0.36；33、，. 10 11 一10 x = 6 10 20 .(2)12 + 27x (— 18);解：原式=—寸丐尹 = Mx 3x 2x 9=—”3x 9=—2 2.解：原式=；3 一…<3=3x 2 3=6二 3.(A)27x 12 3, 那么这边上的高为 3个. 2j5.B.=1D^54a 2b =9 剧解：原式= 32X112 62X 109X 121 36 x 10 110(4)V12X 邰.解：原式==5^3xyy18. 如图，在Rt A ABC 中，/ C= 90° , S SBC = .18 cm1 2, BC = . 3 cm, AB = 3.3 cm, CD丄AB 于点D.求AC , CD的长.=,ab.④(1) 上述解答过程从哪一步开始出现错误？请写出代号②;(2) 错误的原因是什么？(3) 请你写出正确的解法.解：(2) •/ b<a, ••• b —a<0.•••(b —a)2的算术平方根为a— b.=-a •—!>/ab)=■. ab.化简: (b<a<0).1 1解：••• S A ABC = 2AC - BC = 2AB - CD ,16.3 二次根式的加减 第1课时二次根式的加减 01 基础题 知识点1可以合并的二次根式 1. (2016巴中)下列二次根式中，与.3可以合并的是(B) A. .18 C. 24 2.下列各个运算中 A. 12 — 2 C. . 8a 2+ ,2a B. 3.若最简二次根式 D. 0.3 ,能合并成一个根式的是(B) B. .18— 8 D. , x 2y + xy 2 2x + 1和.4x — 3能合并，则x 的值为(C) 1 3 A . — 2 B .4 C . 2 D . 5 4.若，,m 与，18可以合并，则m 的最小正整数值是(D) A . 18 B . 8 C . 4 知识点2二次根式的加减 5. (2016桂林)计算3 5— 2 .5的结果是(A) A. 5 C . 3 5 6.下列计算正确的是(A) A. .12 — .3= 3 C . 4 3— 3 3 = 1B . 2 5 D . 6 B. 一 2+ . 3= 5 D . 3 + 2,2= 5.2 7.计算一27— 3 .'18— 48的结果是(C) A . 1 B . —1C . — ,3 — 2 D. 2 — 3 8 .计算12+ ( .2 — 1)的结果是(A) A . 2 ,2— 1 B . 2— , 2 C . 1 — .2D . 2 + .2 9.长方形的一边长为 8,另一边长为.50,则长方形的周长为14 一 2 . 10 .三角形的三边长分别为 20 cm , .40 cm , 45 cm,这个三角形的周长是 11 .计算： (1)2 3 —宁； (5.5 + 2 10)cm.1解：原式= 3 ,3=2 .⑵.16x + 64x ; 解：原式=4 x + 8 x=(4 + 8) x =12.x.⑶.125— 2 ,5+ 45;解：原式=5 5— 2 ,5+ 3 5 =6 5.⑷(2017 黄冈)27 — 6 —解：原式=3看3 — 6 33=— .6.02 中档题12. 若.x 与.2可以合并，则x 可以是(A)A . 0.5B . 0.4C . 0.2D . 0.1 13. 计算 |2— .5|+ |4— .5|的值是(B)A . — 2B . 2C . 2 5— 615. 若 a , b 均为有理数，且 8 + ■. 18+ 8= a + b 2,则 a = 0, b =才.16.已知等腰三角形的两边长分别为 2 7和55,则此等腰三角形的周长为 2 ；7+17. 在如图所示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的实数相乘都得出同样的结果 18. 计算：(1) 18+ 12— ,8 — 27; 解：原式=3 2+ 2.3— 2 2 — 33 =(3 ,2 — 2 ,2) + (2 . 3— 3 ,3)=.2— 3.14. 计算4辽A. 3+ 2 3 C. 38的结果是(B) B. .3D. ,3 — .2个空格中的实数之和为 4,2.2卫13诉26,则两⑵ b . 12b 3 + b 2 48b ;解：原式=2b 2 3b + 4b 2 3b =6b 2 3b.2解：原式=3 5+ 3 3— 3 . 3 — 5.5⑷ 3( 2 — 27) — 2( ,3— .2).解：原式= 4 八 9 3- 1 3 + ； 2=(3+2) .2-(4+ 1).3=83 -鈔1732〜4.62.03 综合题20. 若a ,b 都是正整数，且a v b , a 与b 是可以合并的二次根式，是否存在a ,b ，使a +b = .75?若存在，请求出a , b 的值；若不存在，请说明理由. 解：T 羽与是可以合并的二次根式，百+小={75, 二•，a+ •, b = .;.75= 5；：：..:3 •/ a<b ,.•.当 a = 3,则 b = 48; 当 a = 12,则 b = 27.—12）的近似值（结果保留小数点后两位 ).⑶(.45+ , 27)-=恥-^1^. 19.解：原式=,3 — 43 — , 3+ 43第2课时二次根式的混合运算01 基础题 知识点1二次根式的混合运算 ⑴ 3( ,5— .2); 解：原式=,15- 6. (2) ( ,24+ , 18)十 2; 解：原式=2 . 3+ 3. (3) ( 2+ 3)( .2+ 2); 解：原式=8 + 5 2. （4）（ m + 2 , n ）（ m — 3 . n ）. 解：原式=m — ,mn — 6n. 知识点2二次根式与乘法公式 7. （2017天津）计算: & （2016包头）计算:1 解：原式=11. 化简.2( ,2+ 2)的结果是(A A . 2+ 2 2 B . 2+ 2 C . 4 D . 3 2 计算0.12 - ,3) 3的结果是(D) A . — 1 C •空 （2017南京）计算: .12+ .8X ,6的结果是 6. 3. (.24 + ：6)x 6 = 13. 计算：週/严=2贾+ 1 . 计算： (4 + .7)(4 — 7)的结果等于9. —(,3 + 1尸=—4.02 中档题11. 已知 a = .5+ 2, b = 2— 5,则 a 2 018b 2 017 的值为(B)A.-，... 5 + 2B . — ■, :5 — 2C . 1D . — 112. 按如图所示的程序计算，若开始输入的n 值为2,则最后输出的结果是(C)A . 14 C . 8+5 .2 13.计算： (1) (1 — 2 ,2)(2 .2 + 1); 解：原式=一 7. (2) 12 占 + 导); 解：原式二，12诈+ %3) =12壬 ' 12 12 =2 3X m/3 —24 —1「 (3) (4 V 6 — 4寸|+ 3电)-2^2; 解：原式一(4 6 — 2 2 + 6.2)- 2 2 —(4 ,6 + 4 ,2) - 2 2 —2.3+ 2. ⑷ 24X - ；；-4X 解：原式=2〔6X^3 — 41 =2 2— .2B . 16 D . 14+ 2 0=,2.14. 计算：(1) (1 - .5)( 5+ 1) + ( .5- 1)2；解：原式=1 — 5+ 5+ 1-2 5=2-2 5.(2) ( .3 + 2- 1)( 3- 2 + 1).解：原式=(,3尸一(2 - 1)2=3-(2 + 1-2 2)=3-2-1+2 2=2 2.15. 已知a = .7+ 2, 7 - 2,求下列代数式的值：(1) ab 2 + ba 2; (2)a 2- 2ab + b 2; (3)a 2 -b 2.解：由题意得 a + b =(寸7+ 2) + (”J 7 — 2) = 2 7,a -b = ( .7+ 2)- ( .7-2) = 4, ab = ( .7 + 2)( 7-2) = ( . 7)2-22= 7-4= 3.(1) 原式=ab(b + a)= 3X 2 ,7= 6 ,7.⑵原式=(a — b)2= 42= 16.(3) 原式=(a + b)(a — b) = 2 .7X 4= 8 .7.03 综合题16. 观察下列运算：① 由(，2 + 1)( .2- 1)= 1,得 —= 2- 1; 1 ② 由(，3 + ,2)( .3— -2)= 1 ,n 的式子表示出来;^2 018 + 72017)% ("2 018 + 3 4. 解：(1)(2)原式=(.2 - 1 + .3 - . 2 + 4 - .3 + …+ 2017 -2 016 + . 2 018 - 2 017) X ( 2 018+ 1)=(-1 + 2 018)( .2 018 + 1)=2 017.小专题(一)二次根式的运算3 通过观察你得出什么规律？用含4 利用(1)中你发现的规律计算：+ .4^. 3 + 1 .2 017 + 2 0161 __________ —----------=n + 1- n(n > 0). ,n + 1 + .. n 1.3+ . 2类型i与二次根式有关的计算i •计算：(1)6 2 X 6;1 ____解：原式=(6 X 3) 2 X 6=2 12=4 3.(2)( - 4 5)解：原式=—4 5讯5 X电')5=—4 5七 54—3.(3) .72 —2 2 + 2 18;3解：原式=6 2—2 .2+ 6 2=12 2— 3 2(4) (2 .5+ 3) X (2 .5 —.3). 解：原式=(2 ,5)2—( 3尸=20 — 3=17.(2)( 6+ ,10X . 15)X ,3; 解：原式=3,2+ 5.6X. 3 =3 .2+15 2=18 2.解：原式=5 — 2— -+ 5 + 3Y 2*2=2 5- 1.类型2与二次根式有关的化简求值4. 已知 a = 3 + 2 ,2，b = 3-2 ,2,求 a 2b - ab 2的值.解：原式=a 2b - ab 2= ab(a — b).当 a = 3+ 2 2, b = 3 - 2 . 2时，原式=(3 + 2 . 2)(3- 2.2)(3 + 2.2- 3 + 2 2)=4-J2.5. 已知实数a , b ,定义“★”运算规则如下： 的值.解：由题意，得2★ . 3 = . 3.••• "★ ( ,2★ ,3)= 7★ 3= 7-3= 2.⑷(.12 -4 £) — (3 - # - 4 ,°.5)；解：原式=2 3- 2 - 3+ 2 2 =_ 3+ . 2.⑸(3 2- . 6)2-(-3 ,2- ,6)2. 解：原式=(3 2- 6)2-(3 .2+ 6)2=18 + 6 - 12 3-(18 + 6+ 12 3) =-24 3.3•计算:解：原式=1 + 2 3 - 3-2 ,3 =-2.b (a < b ),求.7★ ( ,2★ . 3) a 2-b 26. 已知x= 2 +叮3,求代数式(7 —4 3)x2+ (2 —, 3)x + 3的值.解：当x = 2 +• 3时，原式=(7 — 4 3) X (2 + 3)2+ (2 —3) X (2 + 3) + 3=(7—4-J3) X (7 + 4J3) + 4 —3+ 3=49 —48 + 1 + 3=2+ 3.1117. (2017 襄阳)先化简，再求值：+ ^) —^二，其中x = 5+ 2, y = 5—2.x + y x —y xy + y2x解：原式=(x+y) (x—y) y(x+y)=2xyx—y.当x = .5+ 2, y = ；5— 2 时，原式=2 卫+ 2 )(75-2)-J5 + 2 —/ 5 + 21=2.&小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 2=(1 + 2)2,善于思考的小明进行了以下探索：设a+ b 2 = (m + n . 2)2(其中a, b, m, n 均为正整数),则有a+ b . 2= m2+ 2n2+ 2 2mn, ••• a= m2+ 2n2, b= 2mn.这样小明就找到了一种把a+ b ,2的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1) 当a, b, m , n均为正整数时，若a+ b . 3 = (m+ n. 3)2,用含m, n的式子分别表示a, b,得a= m2+ 3n2, b= 2mn;(2) 利用所探索的结论，找一组正整数a, b, m, n填空：4+ 2」3= (1 + 3)2；(答案不唯一)(3) 若a+ 4 ,3= (m+ n, 3)2,且a, m, n均为正整数，求a的值.a= m2+ 3n2,解：根据题意，得4 = 2mn.■/ 2mn = 4,且m, n为正整数，• m = 2, n= 1 或m= 1, n = 2.• a= 7 或13.章末复习（一）二次根式7.计算：(1)(2017 湖州)2X (1 - . 2) + ,8; 解：原式=2 — 22 + 2.2=2.⑵(4 .3+ 3 6)乞.3;解：原式=4』3吃・_3 + 2 3 =2 + 3 . 2.(3)； .''32 — 2 75 + 0.5— 解：原式=2 2— 10 3 +屮—彳=(2 + p X .2+ (- 10-3)X .3(4) (3 .2— 2 3)(3 . 2+ 2 .3). 解：原式=(3 ,2)2—(2, 3)201基础题 知识点1二次根式的概念及性质 （2016黄冈）在函数y = "+ 4中，自变量x 的取值范围是（C ）A . x>0B . x >— 4C . x >— 4 且 X M 0D .x>0 且 x M — 4 （2016自贡）下列根式中，不是最简二次根式的是（B ）A. 10B. 8C. 6D. ,2 若xy v 0,贝U x 2y 化简后的结果是（D ）1. 2. 3.A . x yB . x — yC . — x ，— y知识点2二次根式的运算4. 5. 6. 与一〔5可以合并的二次根式的是（C ）A. .10B. .15C. 20D. ,25（2017十堰）下列运算正确的是 A. 2 + .3 = 5 B . C. 8 + 2 = 2 D . 计算5 r /5X 士所得的结果是(C)2 2X3 .2= 6.232— 2= 3=9X 2-4X 3=6.知识点3二次根式的实际应用&两个圆的圆心相同，它们的面积分别是 25.12和50.24.求圆环的宽度 d.（取3.14,结果保留小数点后两位）=16— 8= 4 — 2 2〜1.17.答：圆环的宽度d 约为1.17.02 中档题9.把一a 中根号外面的因式移到根号内的结果是 （A ）A.J — a B .—■ a10.已知x + ~= 7,则x —-的值为(C) x xA. . 3 B . ±2C . ± .3 D. .7a 的点如图所示,化简.（a — 5）2+ |a — 2|的结果为3解: 50.24 ； 3.14 .一 25.12:3.1411.在数轴上表示实数12. (2016 青岛)计算：'''^3^2'^= 2•13. 计算：(3 + 2严(3-2)3=J .14. 已知x= ；1,贝U x2+ x+ 1 = 2.15. 已知16-n是整数，则自然数n所有可能的值为0, 7, 12, 15, 16 .16. 计算：(1) ( 3+ 1)( 3- 1) - .16+(2)-1；解：原式=3 —1-4+ 2=0.(2) ( .3+ .2- 6)2-( 2 —.3 + .6)2解：原式=(,3 + .2- ,6 + .2- 3 + . 6)X (• 3 + ■ 2—6-■ 2+〔3-■ 6)=2 2X (2 3-2 ,6)=4 J6 —&J3.17. 已知x= .3+ 7, y = '. 3-. 7,试求代数式3x2-5xy + 3y2的值.解：当x = ,3+ 7, y = ■ 3—7时，3x2- 5xy + 3y2=3(x2- 2xy + y2)+ xy=3(x - y)2+ xy=3( .3 + 7- ,3+ ,7)2+ ( ,3+ 7)X ( , 3- . 7)=3X 28- 4=80.18. 教师节要到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一张面积为800 cm2,另一张面积为450 cm2,他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2 m长的金彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如果不够还需买多长的金彩带？(.2-1.414,结果保留整数)解：正方形壁画的边长分别为• 800 cm, 450 cm.镶壁画所用的金彩带长为4 X ( 800 + 450) = 4 X (20.2+ 15 2)= 140 2~ 197.96(cm). 因为1.2 m= 120 cm v 197.96 cm,所以小明的金彩带不够用，197.96 —120= 77.96~ 78(cm).故还需买约78 cm长的金彩带.03 综合题19. 已知a, b, c 满足|a—“J8汁苹b —5+ (c —18)2= 0.(1) 求a, b, c的值；(2) 试问以a, b, c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由.解：(1)由题意，得a—8= 0, b—5= 0, c—18= 0,即a= 22, b= 5, c= 3 2.(2) •/ 2 2 + 3 2= 5 ,2>5,•••以a, b, c为边能构成三角形.三角形的周长为 2 2 + 3 2 + 5 = 5 2 + 5.••• AC =晉=2 38= 2 6(cm), 2S S BC 2低2 厂CD= AB = 3 ;3= 3 -6(cm).03 综合题19. 阅读下面的解题过程，根据要求回答下列问题.a .. b3 * * * *—2ab2+ a2bb—a 、 a解：原式=b—a b(b—卫)了①a；b—U ②(2) ( 2+ ,3)( 2—3)；解：原式=—1.(3) ( .5+ 3 2)2 3.解：原式=23 + 6 10.10. (2016 盐城)计算：(3 —.7)(3 + .7)+ .2(2—2).解：原式=9 —7+ 2 ,2 — 2=2 2.1③由(^4+V3)^/4^ V3)=1,得^4+= V4-V3；二次根式第31页共29页。
第01讲 二次根式的概念(2个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固)(解析版)
第01讲二次根式的概念课程标准学习目标①二次根式的定义②二次根式有无意义的条件1.掌握二次根式的定义，能够熟练判断二次根式。
2.掌握二次根式有无意义的条件，能够根据此条件熟练求值。
知识点01二次根式的定义1.二次根式的定义：一般地，我们把形如()0≥a a 的式子叫做二次根式。
其中叫做二次根号，a 叫做被开方数。
判断一个式子是不是二次根式需判断是不是含有二次根号以及被开方数是否大于等于0。
两者必须同时满足。
【即学即练1】1．下列各式中，一定是二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式．【解答】解：A ．，被开方数是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；B ．，三次根式，故此选项不合题意；C ．，是二次根式，故此选项符合题意；D ．，被开方数有可能是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；故选：C ．知识点02二次根式有无意义的条件1.二次根式有意义的条件：二次根式有意义必须满足二次根式的被开方数大于等于0。
即a 中，a 。
注意：当二次根式存在在分母的位置时，被开方数只能大于零。
【即学即练1】2．若二次根式有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ≥6B ．x ≥﹣6C ．x ≤﹣6D ．x ≤6【分析】根据二次根式有意义的条件可得6+x ≥0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：6+x ≥0，解得：x ≥﹣6，故选：B ．题型01判断二次根式【典例1】下列式子是二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式的定义：形如（a ≥0）的式子，逐一判断即可解答．【解答】解：A 、无意义，故A 不符合题意；B 、不是二次根式，故B 不符合题意；C 、是二次根式，故C 符合题意；D 、无意义，故D 不符合题意；故选：C ．【变式1】若a 为任意实数，则下列各式中是二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．当a＜0时，不是二次根式，故本选项不符合题意；B．当a＜﹣1时，不是二次根式，故本选项不符合题意；C．是二次根式，故本选项符合题意；D．当﹣1＜a＜1时，不是二次根式，故本选项不符合题意．故选：C．【变式2】已知：a、b均为实数，下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是二次根式是个数有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次根式的定义（根指数是2，被开方数是非负数）判断即可．【解答】解：二次根式有①③④，共3个，故选：C．【变式3】若是二次根式，则x的取值范围是x≥﹣3．【分析】根据被开方数是非负数，建立不等式求解即可．【解答】解：∵是二次根式，∴x+3≥0，解得：x≥﹣3，故答案为：x≥﹣3．【变式4】若是二次根式，则x的取值范围是（）A．x为非负数B．x≠1C．x≥1D．x＞1【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0，解得x＞1．故选：D．题型02根据二次根式有意义的条件求取值范围【典例1】若式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≤1．【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【解答】解：根据题意得：﹣x+1≥0，解得：x≤1．故答案为：x≤1．【变式1】若式子有意义，则x的取值范围是x≥1且x≠2．【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出x﹣1≥0且x﹣2≠0，再求出答案即可．【解答】解：要使式子有意义，必须x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2．故答案为：x≥1且x≠2．【变式2】若二次根式有意义，则x的取值范围是x＜2．【分析】根据二次根式被开放数为非负数，分式的分母不为零求解即可．【解答】解：∵二次根式有意义，∴2﹣x＞0，解得：x＜2．故答案为：x＜2．【变式3】若代数式有意义，则x的取值范围是x≥﹣1且x≠3．【分析】根据分式有意义时分母不等于0，二次根式有意义时被开方数大于或等于0列式求解即可．【解答】解：∵x+1≥0，∴x≥﹣1，∵，∴x≠3，∴x的取值范围是x≥﹣1且x≠3．故答案为：x≥﹣1且x≠3．【变式4】若，则（）A．a≥6B．a≥0C．0≤a≤6D．a为一切正实数【分析】由二次根式可知要使有意义，则根号里面的数不能小于0，再进行列式计算即可．【解答】解：由题可知，，解得a≥6，故选：A．【变式5】若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥4C．1≤x≤4D．x＞4【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件进行判断即可．【解答】解：∵＝在实数范围内成立，∴x﹣1≥0，x﹣4＞0，∴x＞4．故选：D．题型03利用二次根式有意义的条件求值【典例1】若，则a+b的值为（）A．1B．0C．﹣1D．2【分析】根据二次根式有意义的条件得出2b﹣4≥0且4﹣2b≥0，求出b＝2，再代入求出a＝﹣1，最后求出a+b即可．【解答】解：要使有意义，必须2b﹣4≥0且4﹣2b≥0，解得：b＝2，所以a＝0+0﹣1＝﹣1，即a+b＝﹣1+2＝1．故选：A．【变式1】若x，y都是实数，且y＝，则x y的值是（）A．﹣B．C．2D．﹣2【分析】根据二次根式有意义的条件求出x，y的值，再代入x y计算即可．【解答】解：由题意，得，解得x＝，∴y＝﹣1，∴x y＝．故选：C．【变式2】如果实数a满足|2021﹣a|+＝a．那么a﹣20212的值是（）A．2022B．2021C．2020D．2019【分析】根据二次根式（a≥0）确定a的范围，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：a﹣2022≥0，∴a≥2022，∴2021﹣a＜0，∴|2021﹣a|+＝a，∴a﹣2021+＝a，∴＝2021，∴a﹣2022＝20212，∴a﹣20212＝2022，故选：A．【变式3】已知：，则（﹣x）y＝﹣．【分析】根据二次根式为非负数，列不等式组可得x的值，进而得到y的值，代入求值即可．【解答】解：由题意得，解得x＝，∴y＝3，∴（﹣x）y＝（﹣）3＝﹣．【变式4】已知x、y为实数，且，求y﹣x2+17的值．【分析】根据二次根式有意义的条件得出，从而得出x、y的值，代入进行计算即可．【解答】解：根据题意得：，解得：x＝4，∴当x＝4时，y＝2023，∴y﹣x2+17＝2023﹣42+17＝2024．1．下列各式中，一定是二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的定义分别判断即可．【解答】解：A、的被开方数﹣2＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意；B、是三次根式，故此选项不符合题意；C、的被开方数a2+1＞0，是二次根式，故此选项符合题意；D、的被开方数a﹣1有可能小于0，即当a＜1时不是二次根式，故此选项不符合题意；故选：C．2．若式子是二次根式，则a的值不可以是（）A．0B．﹣2C．2D．4【分析】根据二次根式的定义得出a≥0，再得出选项即可．【解答】解：∵式子是二次根式，∴a≥0，即只有选项B符合，选项A、选项C、选项D都不符合，故选：B．3．当a＝﹣2时，二次根式的值为（）A．2B．C．D．±2【分析】把a＝﹣2代入二次根式，即可解决问题．【解答】解：当a＝﹣2时，二次根式＝＝＝2．故选：A．4．当x＝2时，下列二次根式没有意义的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式有意义的条件：形如（a≥0）的式子叫做二次根式，求解即可．【解答】解：当x＝2时，，，，故选项A、B、C不符合题意；x﹣3＝2﹣3＝﹣1＜0，即没有意义，选项D符合题意．故选：D．5．若有意义，则a的值可以是（）A．﹣1B．0C．2D．6【分析】直接利用二次根式的定义得出a的取值范围，进而得出答案．【解答】解：有意义，则a﹣4≥0，解得：a≥4，故a的值可以是6．故选：D．6．若有意义，则x可以取（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可得．【解答】解：由题意得：2x+1≥0，解得，即x可以取的值是0．故选：A．7．已知代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1B．x≠0C．x＞0且x≠1D．x≥0且x≠1【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得到x≥0且，进行计算即可得到答案．【解答】解：根据题意得：x≥0且，解得：x≥0且x≠1，故选：D．8．设x，y为实数，且，则|y﹣x|的值是（）A．1B．9C．4D．5【分析】根据二次根式有题意的条件可求解x，y值，进而可求解|y﹣x|的值．【解答】解：∵，∴5﹣x≥0，5﹣x≤0，∴5﹣x＝0，解得x＝5，∴y＝4，∴|y﹣x|＝|4﹣5|＝1．故选：A．9．二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，进而在数轴上表示即可．【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，则1﹣x≥0，解得：x≤1，则实数x的取值范围在数轴上表示为：．故选：C．10．已知，则2xyz的相反数是（）A．B．C．D．【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，得出，解之得出x、y、z的值，再把x、y、z的值代入2xyz计算，得出2xyz的值，再根据相反数的定义，即可得出答案．【解答】解：在中，∵，，|x﹣2y|≥0，|z+4y|≥0，∴可得：，解得：，∴，∴2xyz的相反数是．故选：B．11．下列各式：①②③④，其中一定是二次根式的是②④．（只填序号）【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：①（﹣2）3＝﹣8＜0，故不是二次根式；②（﹣2）4＝16＞0，故是二次根式；③的根指数是3，故不是二次根式，④a2+1＞0，故是二次根式；所以一定是二次根式的是②④．故答案为：②④．12．如果是二次根式，那么x应满足的条件是x≥1．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．13．如果，那么x y的值是100．【分析】先根据二次根式的非负性求出x的值，进而求出y的值，再代入x y计算．【解答】解：∵，，∴x＝10，∴，∴x y＝102＝100．故答案为：100．14．如果，那么x+y的平方根为±．【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数可得x﹣2＝0，可得x和y的值，再解答即可．【解答】解：∵，∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，∴x﹣2＝0，∴x＝2，∴y＝3，∴x+y＝2+3＝5，∴x+y的平方根为±．故答案为：±．15．要使式子有意义，则实数x的取值范围是x≥1且x≠2．【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：∵要使式子有意义，∴x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2，则实数x的取值范围是x≥1且x≠2．故答案为：x≥1且x≠2．16．当x分别取下列值时，求二次根式的值．（1）x＝0；（2）x＝；（3）x＝﹣2．【分析】直接将（1）x＝0；（2）x＝；（3）x＝﹣2；代入二次根式求出即可，注意开方时容易出错．【解答】解：（1）把x＝0，代入二次根式＝＝3；（2）把x＝，代入二次根式＝＝；（3）把x＝﹣2，代入二次根式＝＝5．17．已知实数x，y满足等式，求3x+4y的立方根．【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，再求出3x+4y的值，即可求出对应的立方根．【解答】解：∵要有意义，∴，∴x＝5，∴，∴3x+4y＝3×5+4×3＝27，∵27的立方根是3，∴3x+4y的立方根是3．18．若x，y是实数，且．（1）求x，y的值；（2）求的值．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件进行解题即可；（2）将求出的x与y代入进行求解即可．【解答】解：（1）由题可知，，解得x＝，将x＝代入，解得y＝．故x＝，y＝．（2）将x与y代入得＝＝．19．（1）已知一个正数的两个不同平方根分别是a+3与2a﹣15，求这个数．（2）已知x，y为实数，且，求的平方根．【分析】（1）先根据正数的两个平方根互为相反数，得出a+3+2a﹣15＝0，求出a的值，得出这个数的一个平方根，即可得出这个正数；（2）先根据二次根式有意义的条件得出x＝9，从而求出y＝4，代入求出，即可得出答案．【解答】解：（1）∵一个正数的两个不同平方根分别是a+3与2a﹣15，∴a+3+2a﹣15＝0，解得a＝4，∴这个数一个平方根为4+3＝7，∴这个数为72＝49；（2）∵x，y为实数，，∴，∴，∴x＝9，∴y＝4，∴＝＝6，∴的平方根为．20．（1）已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．（2）若x、y都是实数，且y＝++8，求x+y的值．【分析】（1）根据平方根的定义列式求出b，再根据算术平方根的定义列式求出a，然后求出a+2b的值，再根据平方根的定义解答即可；（2）由二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，解不等式组即可求出x的值，进一步即可求得结果．【解答】解：（1）∵2b+1的平方根为±3，∴2b+1＝9，解得b＝4，∵3a+2b﹣1的算术平方根为4，∴3a+2b﹣1＝16，解得a＝3，∴a+2b＝3+2×4＝11，∴a+2b的平方根是±．（2）由题意得：，解得，所以x＝3，当x＝3时，y＝8，所以x+y＝3+8＝11．。
人教版数学八年级下册16.1第1课时《 二次根式的概念》教学设计
人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》是初中数学的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念，理解二次根式与有理数、实数之间的关系，为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。
本节课的内容包括二次根式的定义、性质和运算方法，通过学习，让学生能够熟练掌握二次根式的相关知识，提高他们的数学素养。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数等相关知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但二次根式作为新的数学概念，对于部分学生来说可能较为抽象，难以理解。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念，帮助他们建立直观的认识，从而更好地理解和掌握二次根式的相关知识。
三. 教学目标1.让学生了解二次根式的定义、性质和运算方法。
2.培养学生从实际问题中抽象出二次根式的能力。
3.提高学生的数学素养，培养他们的逻辑思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。
2.二次根式的运算方法。
3.引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
2.讲授法：讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
3.实践操作法：让学生通过实际操作，掌握二次根式的运算方法。
4.小组讨论法：分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示二次根式的相关知识。
2.实际问题：准备一些与生活实际相关的问题，用于引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
例如，讲解一个物体从地面上升到最高点再下降到地面的过程，上升和下降的距离分别是3米和4米，求物体的最大高度。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
八年级数学上册第5章二次根式湘教版
八年级数学上册第5章二次根式（湘教版）第5章二次根式二次根式第1课时二次根式的概念及性质1.了解二次根式的概念.2.理解并掌握二次根式的性质：(a)2＝a(a≥0)和a2＝a(a≥0).(重点)自学指导：阅读教材P155～157，完成下列问题.(一)知识探究1.形如a的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.2.二次根式的性质：(1)(a)2＝a(a≥0)；(2)a2＝|a|＝a（a≥0），－a（a0）.(二)自学反馈1.下列各式中，一定是二次根式的是(C)A.－7 B＋x2 D.2x二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0.2.代数式x＋1有意义，则x的取值范围是(A)A.x≥－1B.x≠x≥1D.x≤－1二次根式有意义的条件是：被开方数大于等于零. 活动1 小组讨论例1 当x是怎样的实数时，二次根式x－1在实数范围内有意义？解：由x－1≥0，解得x≥1.因此，当x≥1时，x－1在实数范围内有意义.例2 计算：(1)(5)2；(2)(22)2.解：(1)(5)2＝5.(2)(22)2＝22×(2)2＝4×2＝8.例3 计算：(1)（－2）2；(2)（－1.2）2.解：(1)（－2）2＝22＝2.(2)（－1.2）2＝1.22＝1.2.活动2 跟踪训练1.若（a－3）2＝a－3，则a的取值范围是(D)A.a3B.a≤a3 D.a≥32.把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：(1)5＝(5)2；(2)3.4＝(3.4)2；(3)16＝(16)2；(4)x＝(x)2(x≥0)当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？(1)－x；(2)5－2x；(3)x2＋1.解：(1)由－x≥0，得x≤0.因此，当x≤0时，－x 有意义.(2)由5－2x≥0，得x≤52.因此，当x≤52时，5－2x有意义.(3)由x2＋1≥0，得x为任意实数.因此，当x为任意实数时，x2＋1都有意义计算：(1)(11)2；(2)（－6）2；(3)(－25)2；(4)－2（18）2.解：(1)11.(2)6.(3)20.(4)－活动3 课堂小结本节课你有什么收获？第2课时二次根式的化简1.了解最简二次根式的概念.2.会利用积的算术平方根的性质化简二次根式.(重点)自学指导：阅读教材P157～159，完成下列问题.(一)知识探究1.积的算术平方根的性质：ab＝ab(a≥0，b≥0).化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外(注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数).2.最简二次根式应有如下两个特点：(1)被开方数中不含开得尽方的因数(或因式)；(2)被开方数不含分母.(二)自学反馈1.下列各式正确的是(D)A.（－4）×（－9）＝－4×－9B.16＋94＝16×＝4×D.4×9＝4×9运用积的算术平方根的性质ab＝ab化简时，注意a≥0，b≥0这一条件.2.把200化成最简二次根式是102.活动1 小组讨论例1 化简下列二次根式：(1)18；(2)20；(3)72；解：(1)18＝9×2＝9×2＝32.(2)20＝4×5＝4×5＝25.(3)72＝8×9＝2×22×32＝2×32＝62.例2 化简下列二次根式：(1)12；(2)解：(1)12＝1×22×2＝（12）2×2＝122.(2)35＝3×55×5＝（15）2×15＝活动2 跟踪训练1.下列二次根式中是最简二次根式的是(A)A.30B.12C.8D.122.实数0.5的算术平方根等于(C)A.2B.2C.22D.123.化简二次根式（－3）2×6得(B)A.－36B.36C.18 D化简下列二次根式：(1)12；(2)45；(3)72；(4)72.解：(1)23.(2)35.(3)62.(4)142.活动3 课堂小结本节课你有什么收获？5.2 二次根式的乘法和除法第1课时二次根式的乘法会逆用积的算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算.(重难点)自学指导：阅读教材P161～162，完成下列问题.(一)知识探究积的算术平方根的性质：ab＝ab(a≥0，b≥0)，反过来，ab＝ab(a≥0，b≥0)，利用这一公式，可以进行二次根式的乘法运算.(二)自学反馈计算：(1)5×7；(2)13×9；(3)9×27.解：(1)35.(2)3.(3) (1)这里要用到公式：ab＝ab(a≥0，b≥0)；(2)计算9×27时，将27写成9×3，方便开平方.活动1 小组讨论例1 计算：(1)3×6；(2)13×72.解：(1)3×6＝3×6＝32×2＝32.(2)13×72＝13×72＝24＝22×6＝26.例2 计算：(1)23×521；(2)32×(－184).解：(1)23×521＝2×5×3×21＝1032×7＝307.(2)32×(－184)＝3×(－14)×2×18＝－342×18＝－92.例3 已知一张长方形图片的长和宽分别是37 cm和7 cm，求这张长方形图片的面积.解：37×7＝3×7＝21(cm)2.答：这张长方形图片的面积为21 cm2.活动2 跟踪训练1.计算2×3的结果是(B)A.5B.6C.23D.322.下列各等式成立的是(D)A.45×25＝85B.53×42＝20×32＝75 D.53×42＝200a的值是一个整数，则正整数a的最小值是(B)A.1B.2C.3 D一个直角三角形的两条直角边分别为a＝23 cm，b＝36 cm，那么这个直角三角形的面积为92cm2计算下列各题：(1)3×5；(2)12×3；(3)12×32；(4)32×27；(5)6×15×10；(6)68×(－32).解：(1)15.(2)6.(3)22.(4)614.(5)30.(6)－72.活动3 课堂小结本节课你有什么收获？第2课时二次根式的除法1.理解商的算术平方根的性质ab＝ab(a≥0，b＞0)，并能运用于二次根式的化简.(重点)2.能熟练运用二次根式的除法法则ab＝ab(a≥0，b ＞0)进行二次根式的除法运算.(重难点)自学指导：阅读教材P163～164，完成下列问题.(一)知识探究1.商的算术平方根的性质：ba＝ba(a＞0，b≥0)，可以利用它进行二次根式的化简.2.二次根式的除法规定：ba＝ba(a＞0，b≥0).(二)自学反馈1.下列各式成立的是(A)A.－3－5＝35＝B.－7－6＝－7－2－9＝2－9D.9＋14＝9＋14＝3122.计算123÷13的结果正确的是(B)A.3B.15C.5 D化简下列二次根式：(1)7100；(2)0.24；(3)315；(4)解：(1)710.(2)65.(3)455.(4)87.活动1 小组讨论例1 化简下列二次根式：(1)716；(2)解：(1)716＝716＝(2)95＝95＝35＝3×55×5＝例2 计算：(1)15÷3；(2)34256；(3)解：(1)15÷3＝153＝153＝5.(2)34256＝35426＝(3)146＝146＝73＝7×33×3＝2例 3 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广.已知电视塔高h(km)与电视节目信号的传播半径r(km)之间满足r＝2Rh(其中R是地球半径).现有两座高分别为h1＝400 m，h2＝450 m的电视塔，问它们的传播半径之比等于多少？解：设两座电视塔的传播半径分别为r1，r2.因为r＝2Rh，400 m＝0.4 km，450 m＝0.45 km，所以r1r2＝2Rh12Rh2＝h1h2＝0.40.45＝4045＝21035＝223.活动2 跟踪训练1.下列运算正确的是(D)A.50÷5＝10B.10÷25＝222＋42＝3＋4＝7 D.27÷3＝32.计算：123＝2如果一个三角形的面积为15，一边长为3，那么这边上的高为2计算：(1)40÷5；(2)322；(3)44876；(4)45÷2解：(1)22.(2)4.(3)827.(4)6.活动3 课堂小结1.商的算术平方根的性质.2.二次根式的除法法则二次根式的加法和减法第1课时二次根式的加法和减法1.理解二次根式的加、减运算法则.2.会进行简单的二次根式的加、减运算.(重难点) 自学指导：阅读教材P167～168，完成下列问题.(一)知识探究在进行二次根式的加减运算时，应先将每个二次根式化简，然后再将被开方数相同的二次根式相加减.(二)自学反馈计算：(1)80－45；(2)28＋47；(3)18－32＋2；(4)(45＋18)－(8－125).解：(1)5.(2)1677.(3)0.(4)85＋2.活动1 小组讨论例1 计算：(1)58－227＋18；(2)218－50＋解：(1)原式＝102－63＋32＝132－(2)原式＝62－52＋5＝2＋5.二次根式的加减与合并同类项类似，进行二次根式的加减运算时，必须先将各个二次根式化简，再合并被开方数相同的二次根式.例2 如图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02 m2和150.72 m2，求圆环的宽度d(π取3.14).解：设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别为S1，S2，由S1＝πR2，S2＝πr2可知R＝S1π，r＝S2π，则 d＝R－r＝S1π－S2π＝763.023.14－150.72＝243－48＝93－43＝答：圆环的宽度d为活动2 跟踪训练1.下列二次根式中，不能与2合并的是(C)A.12B.8C.24 D2.下列计算是否正确？为什么？(1)8－3＝8－3；(2)4＋9＝4＋9；(3)32－2＝22.解：(1)不正确.此式结果为22－3.(2)不正确.此式结果为5.(3)正确计算：(1)8＋18；(2)212＋27；(3)80－20＋5；(4)18＋(98－27)；(5)(75－54)－(108－96).解：(1)52.(2)73.(3)35.(4)102－33.(5)6－3.活动3 课堂小结怎样进行二次根式的加减计算？第2课时二次根式的混合运算会正确快速地进行二次根式的混合运算.(重难点)自学指导：阅读教材P169～171，完成下列问题.(一)知识探究1.二次根式的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里的，再算括号外面的. 2.与二次根式相关的乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a－b，(a＋b)2＝a＋2ab＋b，(a－b)2＝a－2ab＋b.(二)自学反馈计算：(1)(5＋1)2；(2)(13＋3)(13－3)；(3)(12－13)×3；(4)8＋182.解：(1)(5＋1)2＝(5)2＋25＋1＝5＋25＋1＝6＋25.(2)(13＋3)(13－3)＝(13)2－32＝13－9＝4.(3)(12－13)×3＝12×3－13×3＝36－1＝6－1＝5.(4)8＋182＝82＋182＝4＋9＝2＋3＝5.活动1 小组讨论例1 计算：(1)(6－38)×2；(2)(2＋2)(1－2).解：(1)(6－38)×2＝6×2－38×2＝6×2－38×2＝23－32＝323.(2)(2＋2)(1－2)＝2－22＋2－2×2＝2－22＋2－2＝－2.例2 计算：(1)(2＋1)(2－1)；(2)(2－3)2.解：(1)(2＋1)(2－1)＝(2)2－12＝1.(2)(2－3)2＝(2)2－22×3＋(3)2＝2－22×3＋3＝5－26.例3 计算：(1)(32＋2)÷2；(2)12＋3＋12－3.解：(1)(32＋2)÷2＝(42＋2)÷2＝52÷2＝5.(2)12＋3＋12－3＝2－3（2＋3）（2－3）＋2＋3（2＋3）（2－3）＝4（2＋3）（2－3）＝422－（3）2＝4.活动2 跟踪训练1.化简8－2(2－2)的结果是(D)A.－2B.2－2C.2D.42－22.估计20×15＋3的运算结果应在(C)A.1到2之间B.2到3之间到4之间 D.4到5之间3.计算：(27－13)×3＝计算：(1)(3＋5)(3－5)；(2)(3＋5)2.解：(1)－2.(2)8＋2计算：(1)3(2－3)－24－6－3；(2)23÷223×25－110.解：(1)原式＝6－3－26＋6－3＝－6.(2)原式＝23×38×25－110＝1010－1010＝0.活动3 课堂小结如何进行二次根式的混合运算？。
数学二次根式教案【优秀8篇】
数学二次根式教案【优秀8篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二次根式的概念、性质(第1、2课时 教案)
第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念【知识与技能】是一个非负数.【过程与方法】通过新旧知识的联系，培养学生观察、演绎能力，发展学生的归纳概括能力.【情感态度】通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法，进而体验成功的喜悦，并通过合作学习增进终身学习的信念.≥0的基本性质【教学难点】经历知识产生的过程，探索新知识.一、情境导入,初步认识问题（1）一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为39m2，则它的宽为_______m；（2）面积为S的正方形的边长为_______；（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=.______【教学说明】设置上述问题的目的是让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密.教师提出问题后，让学生独立思考，然后相互交流，获得对二次根式的感性认识.二、思考探究，获取新知思考的式子，这些式子有什么特点？【教学说明】教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义.a≥0）形式的式子称.针对上述定义，教师可强调以下几点：（1中，a必须是大于等于0的数或式子，否则它就没有意义了；（2=2，是一个整数，但4仍应称为一个二次根式；（3）当a≥0表示a的算术平方根，而一个非负数的算术平方根必≥0（a≥0）三、典例精析，掌握新知例1下列各式中，一定是二次根式的有_______分析：判断二次根式应关注两点：（1；（2）被开方数必须是非负数.因而在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.例2当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.解：（1）中，由x-2≥0，得x≥2；（2）中，由得2≤x≤3；（3）中，由2x-1＞0，得x＞1/2.【教学说明】对于例3，教师应引导学生分析题目特征，抓住解决问题的突a中a≥0及a≥0的双重非负性特征.四、运用新知，深化理解1.填空题：（1）形如_______的式子叫二次根式；（2）负数算术平方根________（填“有”或者“没有”）2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义：【教学说明】学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知.五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,你获得哪些解决二次根式问题的方法?你还有哪些问题?请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流,回顾知识,反思问题,共同发展提高.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.教师创设情境，给出实例.学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动.体现教师的组织者、引导者与合作者地位.2.注意知识之间的衔接，在温故知新的过程中引导出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解.第十六章二次根式16.1二次根式第2课时二次根式的性质【知识与技能】理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a（a≥0）与2a=a（a ≥0），并利用它们进行化简和计算.【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力.【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展.【教学重点】2a=a（a≥0）2a（a≥0）及其应用.【教学难点】用探究的方法探索2a=a（a≥02a（a≥0）的结论.一、情境导入,初步认识试一试：请根据算术平方根填空，.猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出2a（a≥0）的结论是什么？说说你的理由.【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力.二、思考探究，获取新知在学生相互交流的基础上可归纳出：2=a（a≥0）.探究（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结.（a≥0）.最后，教师给出代数式的概念.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知例1计算：（1））2；（2）（2【教学说明】以上例1、例2可由学生自主完成，教师巡视，对有困难的学生及时予以指导，让每个学生都能得到发展.例3教师引导学生看懂数轴，结合数轴确定a、b的符号.四、运用新知，深化理解【教学说明】以上1~3题可试着让学生自主完成，第4题稍有难度，教师适时点拨.（22a进行化简.然后再根据x＞2的这个范围，来判断x-2与1-2x的正负，最后化简掉绝对值符号.∵x＞2，∴x-2＞0,1-2x＜0.3.(1)原式=5-5+1=1(2)原式=7+49×2/7=7+14=21(2)首先利用a2=|a|化简掉二次根号，再根据x的取值范围来判断绝对值中的代数式的正负，化掉绝对值的符号.五、师生互动，课堂小结1.本节知识可这样归纳：2.通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流中体会成功.3.几个例题，旨在帮助学生对二次根式的性质的理解，在练习和作业中都增加了难度，主要给能力较好的学生提供更大的发展空间.。
二次根式的概念
二次根式的概念二次根式是数学中重要的概念之一，它涉及到平方根的运算和性质。
在本文中，我们将详细介绍二次根式的定义、性质以及在实际问题中的应用。
1. 定义二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
√a表示a的平方根，即一个数的平方等于a。
例如，√9等于3，因为3的平方等于9。
2. 性质（1）对于任意非负实数a和b，有以下性质：a) √a * √b = √(a * b)b) √(a / b) = √a / √bc) (√a)^2 = a（2）二次根式与有理数的关系：a) 如果a是一个完全平方数，即a = b^2，其中b为有理数，则√a是一个有理数。
b) 如果a不是一个完全平方数，则√a是一个无理数。
（3）二次根式的化简：a) 如果a可以因式分解为完全平方数的乘积，则可以将二次根式化简为一个有理数。
b) 如果a不可因式分解为完全平方数的乘积，则二次根式无法化简。
3. 应用二次根式在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：（1）几何问题：二次根式可以用于计算直角三角形的斜边长度。
例如，在一个边长为a的正方形中，对角线的长度可以表示为√(2a^2)。
（2）物理问题：二次根式可以用于计算物体的速度、加速度等。
例如，在自由落体运动中，物体下落的距离可以表示为h = 1/2 * g * t^2，其中h为下落距离，g为重力加速度，t为时间。
（3）金融问题：二次根式可以用于计算利息、久期等金融指标。
例如，复利计算公式中涉及到年利率的开平方运算。
总结：二次根式作为数学的一个重要概念，涉及到平方根的运算和性质。
通过了解二次根式的定义和性质，我们可以更好地理解和应用它们。
在几何、物理、金融等实际问题中，二次根式都有广泛的应用，帮助我们解决复杂的计算和分析。
因此，对于二次根式的学习和掌握是数学学习的关键之一。
以上是对二次根式概念的详细介绍，希望对您有所帮助。
通过深入学习和练习，相信您会更加熟练地运用二次根式，并在解决实际问题中发挥其重要作用。
九年级数学上册 第三章 二次根式教学案 苏教版
A B C第三章 二次根式教学案 苏教版3．1 二次根式教学目标:(1) 了解二次根式的概念,初步理解二次根式有意义的条件.(2) 通过具体问题探求并掌握二次根式的基本性质：当a ≥0时，()2a = a ；能运用这个性质进行一些简单的计算。
(3) 通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法。
教学重点：二次根式的概念以及二次根式的基本性质 教学难点：经历知识产生的过程，探索新知识． 教学过程： 一、预习（ 一）.知识回顾1．什么叫平方根? 什么叫算术平方根? 2． 计算:的平方根是 .(2)如图,在R ∆t ABC 中,AB=50m,BC=a m,则AC= m. (3)圆的面积为S,则圆的半径是 .(4)正方形的面积为3-b ,则边长为 .3.对上面（2）~（4）题的结果,你能发现它们有什么共同的特征吗? 得出：二次根式的定义.______________________________________________________ 二、例题讲解例1:说一说,下列各式是二次根式吗?(1)32 (2)6 (3)12- (4))0(≤-m m(5)x xy (、y 异号) (6)12+a (7)35例2:a 取何值时,下列二次根式有意义.(1)1+a (3) a 101- (2) a211- （4）2)1(-a （5）2x -练一练：书P59、1 三、二次根式性质的探索：1、二次根式性质的探索：22= ，即（4）2= ； 32= ，即（9）2= ；……观察上述等式的两边，你得到什么启示？得出二次根式的性质1： 揭示：当a ≥0时，()2a = a 。
2、例3、计算：（1）2)3(； （2）2)32(； （3） 2)(b a + （a+b ≥0）（4=0，求x,y 的值。
（5）已知：3+,求y x 的值3、练习. （1）=2)32(（2）2)32(-= 四、课堂小结 引导学生总结1、二次根式?你们能举出几个例子吗?2、a ≥0时，()2a = ？五、课堂检测 一、填空题。
16.1二次根式第1课时爱的教育上课用
\
a - b + 6 = 0，a + b - 8 = 0
a－ b = － 6 a＋ b = 8 a ＋ b－ 8 = 0 a=1 b=7
∴ a － b＋ 6 = 0
在实数范围内分解因式:4 x - 3
解: ∴ ∵ 3
2
2
3
2
2
4 x 3 (2 x) 3
2
(2 x 3 )(2 x 3 )
\ a=
2 2
2，b = 2
\ a + b - 2b + 1 =
( 2) + 2 2
2
2? 2 1
= 2 + 4- 4 + 1 = 3
10. 已知 a - b + 6与 a + b - 8互为相 反数，求 a、b的值。 解:
a- b+ 6 0，a + b - 8
0
பைடு நூலகம்
而 a - b + 6+ a + b - 8 = 0
a
2
先平方,后开方
2.从取值范围来看 , 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a
a
2
2
2
=a
a (a≥ 0) -a (a＜0)
= ∣ a∣ =
m4 思考：若 ( m 4 ) 4 m , 则 m 的取值范围是 _________
3， x ＋ 1，
144,
7. 三角形三边长分别是a、b、c，且 a > c ， 那么 c - a - (a + c - b)2等于（ D ）。
16.1.1 二次根式的概念-人教版数学八年级下册分层作业(含答案)
人教版初中数学八年级下册16.1.1 二次根式的概念分层作业夯实基础篇一、单选题：1．下列式子中二次根式的个数有（ ）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【分析】二次根式必须满足两个条件：被开方数大于等于0，且根指数必须是2；根据上述信息，对题中的各个式子进行判断即可．【详解】解：①中＞0，故是二次根式；②中3＞0，故是二次根式；③中＞0，故是二次根式；④是立方根，故不是二次根式；⑤中＞0，故是二次根式；⑥中x>1，则1-x<0，故不是二次根式；⑦中7＞0，故是二次根式；根据二次根式的定义可知，①②③⑤⑦是二次根式，共5个，故选：D．【点睛】本题主要考查的是二次根式的判断，掌握二次根式的定义是解题的关键．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．2．若式子有意义，则的取值范围是（ ）A．B．C．或D．且【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：∵式子有意义，∴，解得且，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据题意列出不等式是解题的关键．3．使二次根式有意义的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据二次根式和分式有意义的条件得出，求出不等式的解集即可．【详解】解：由题意得：，解得，故选B．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解决本题的关键是掌握二次根式中被开方数不能是负数．4．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．且【答案】D【分析】根据二次根式与分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：∵代数式有意义，∴解得：且故选D【点睛】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，解一元一次不等式组，根据题意列出不等式组是解题的关键．5．的值在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间【答案】D【分析】首先确定的范围，根据二次根式的性质即可得出答案．【详解】解：，．故选：D．【点睛】本题考查了有理数的大小比较和二次根式的性质的应用，知道：，，．6．若二次根式有意义，且是一个完全平方式，则满足条件的值为（ ）A．B．C．12D．【答案】D【分析】根据二次根式有意义，可得的取值范围，根据完全平方公式即可求解．【详解】解：二次根式有意义，∴，即，又∵是一个完全平方式，即或，∴或，∴或，且，故选：.【点睛】本题主要考查二次根式有意义，完全平方公式的综合应用，掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式的中一次项系数的确定方法是解题的关键.7．若二次根式有意义，且关于分式方程﹣3＝有正整数解，则符合条件的整数m的和是（ ）A．5B．3C．﹣2D．0【答案】A【分析】根据二次根有意义，可得m≤4，解出关于x的分式方程，根据解为正整数，进而确定m的值，注意增根时m的值除外，然后求和即可．【详解】解：∵二次根式有意义，∴，∴m≤4，去分母得，，解得，x=，∵关于x的分式方有正整数解，∴m=-2，1，4，又∵x=1是增根，即当x=1时，，解得：，∴，∴m可以为1，4，∴其和为，故A正确．故选：A．【点睛】本题考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正整数解，整数m的意义是正确解答的关键．二、填空题：8．当______时，式子有意义．【答案】##【分析】根据二次根式有意义的条件得，进行计算即可得．【详解】解：由题意得，，即当时，式子有意义，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件，正确计算．9．若二次根式有意义，则x的取值范围是______________．【答案】【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．【详解】解：∵有意义，∴，，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数为非负数，分式分母不等于0．10．若式子有意义，则的取值范围是______．【答案】且##x≠1且x≤2【分析】根据二次根式有意义的条件和零指数幂有意义的条件，列出不等式求解即可．【详解】解：根据有意义，可得：，解得：，根据有意义，可得：，解得：，综上可得：的取值范围是且．故答案为：且【点睛】本题考查了二次根式有意义和零指数幂有意义，解本题的关键在熟练掌握其有意义的条件．二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．零指数幂有意义的条件：底数不为零．11．等式成立的条件是___________．【答案】##【分析】根据分式和二次根式有意义的条件进行求解即可．【详解】解：∵等式成立，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零，分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键．12．若，则______．【答案】2024【分析】利用二次根式有意义的条件，即被开方数是非负数，进行求解即可．【详解】解：∵，∴，，∴，则，∴．故答案为：2024．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、代数式求值，熟练掌握这些知识是解题的关键．二次根式有意义的条件是：被开方数大于等于零．13．已知，则__________．【答案】4【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可求解．【详解】根据题意得，，解得，∴，故答案为：4．【点睛】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．三、解答题：14．求下列二次根式中字母a的取值范围．(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)(2)(3)a可取任何实数(4)【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求解即可；（2）根据二次根式有意义的条件求解即可；（3）根据二次根式有意义的条件和平方的非负性求解即可；（4）根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件求解即可．【详解】（1）∵有意义，∴，解得：；（2）∵有意义，∴，解得：；（3）∵有意义，∴．∵，∴，必成立，∴a可取任何实数；（4）∵有意义，∴，且解得：．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题关键．15．先化简，再求值：，其中实数x、y满足．【答案】，-1．【分析】先根据分式的混合运算法则把原式化简，再由二次根式有意义的条件，确定x与y的值，代入式子运算即可．【详解】解：=，∵实数x、y满足．∴x-2≥0，4-2x≥0，解得：x≥2，x≤2，∴x=2，∴y=-1，∴原式==-1．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，二次根式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．已知a，b为等腰三角形的两边之长，它们满足等式，求此等腰三角形的周长．【答案】该三角形的周长是13或14．【分析】根据根式有意义的条件求出a，b的值，利用分类讨论的思想思考问题即可．【详解】∵，∴，∴，当a为腰，b为底时，三边为：4、4、5，，满足三角形的条件，∴三角形的周长为；当a为底，b为腰时，三边为：4、5、5，，满足三角形的条件，∴三角形的周长为．∴该三角形的周长是13或14．【点睛】本题考查了等腰三角形、三角形三边关系、根式有意义的条件等知识，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．17．已知实数，，满足，求的值．【答案】-40【分析】根据绝对值的非负性，二次根式的意义，完全平方公式的性质求出x、y、z，再代入即可求解；【详解】解：原式配方得：，∴x+11=0，2x-3y-2=0，z-2=0，则x=-11，y=-8，z=2，．【点睛】本题主要考查绝对值的非负性，二次根式的意义，完全平方公式的性质，实数的运算，掌握相关知识是解题的关键．能力提升篇一、单选题：1．若与互为相反数，则的绝对值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据相反数的性质分别求出的值，代入计算并求其绝对值即可．【详解】解：∵与互为相反数，∴，∴，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了绝对值以及二次根式的非负数性质，相反数的性质以及求一个数的绝对值，根据题意求出的值是解本题的关键．2．已知，则的值为（）A．B．C．4D．2【答案】C【分析】根据二次根式有意义的条件求出的值，然后代入求值即可．【详解】解：，，，解得：，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的混合运算法则，根据二次根式有意义的条件得出的值是解本题的关键．3．已知a满足|2018﹣a|+＝a，则a﹣20182＝（ ）A．0B．1C．2018D．2019【答案】D【分析】先根据二次根式有意义的条件判断a的取值范围，再去掉绝对值，两边平方，并整理即可得出答案．【详解】根据题意可知，所以，则，所以，即，两边平方得，所以．故选：D．【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式有意义的条件，求代数式的值等，掌握整体思想是解题的关键．二、填空题：4．关于x的代数式有意义，满足条件的所有整数x的和是9，则a的取值范围________．【答案】-1＜a≤0【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出x的取值范围，根据满足条件的所有整数x的和是9，得到x=4，3，2，从而1＜a+2≤2，从而得出答案．【详解】解：∵4-x≥0，x-a-2≥0，∴a+2≤x≤4，∵满足条件的所有整数x的和是9，∴x=4，3，2，∴1＜a+2≤2，∴-1＜a≤0．故答案为：-1＜a≤0．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数求出x的取值范围是解题的关键．5．已知：；；；……按此规律，请表示出第20个式子_____．【答案】【分析】根据题目中给出的式子找出一般规律，写出第20个式子即可．【详解】解：∵第1个式子：，第2个式子：，第3个式子：，第4个式子：，∴第n个式子：，当n=20时，，即．故答案为：．【点睛】本题主要考查的是找规律，找出式子与序号的关系，是解决本题的关键．三、解答题：6．已知非零实数、满足条件，求的值．【答案】1．【分析】先根据二次根式被开方数为非负数得出，即可得到，原式可变为，再根据非负数的性质得到二元一次方程组，求解得到x和y的值，代入即可求出的值．【详解】∵，∴，即，∴，∴，即，∴，解得：．∴．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，解二元一次方程组，另一方面考查了非负数和为零的基本模型．7．已知a满足．(1)有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得______．(2)根据（1）的分析，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据绝对值的性质化简；（2）去掉绝对值符号，然后根据二次根式的性质求解即可．【详解】（1）解：∵有意义，∴，∴，∴，∴；故答案为：；；（2）∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了绝对值的意义，二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，能求出a≥2022是解此题的关键．。
21.1二次根式(共4课时)
21．1 二次根式（共四课时）第一课时:二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．a≥0）的式子叫做二次根式的概念；a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）1、用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：（题目见教科书4页“思考”栏目）（1）所填的结果有什么特点？二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，（a≥0）•的式子叫做二次根式，议一议：（学生活动）1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0x>0）、例1．下列式子，哪些是二次根式，、1x（x≥0，y•≥0）．、1+x y例2．当x三、巩固练习当x在实数范围内有意义？四、应用拓展在实数范围内有意义？例3、当x1x+1的值．例4(1)已知，求xy(2)，求a2004+b2004的值．五、归纳小结（学生活动，老师点评）1a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、课后练习一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A． C．．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）D．以上皆不对A．5 B．15二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？+x2在实数范围内有意义？2．当xx_____．3134.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值．第二课时：二次根式的意义和性质（1）教学内容1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）．教学目标1、（a≥0）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用．难点：用分类思想的方法导出a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0a<0二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）a≥0）是一个什么数呢？2、根据算术平方根的意义填空：2=；2=；2=；2=．一般地，你能得到什么结论？例1 计算（1）2；（2）2．）2（ 3）．2（ 4）．（2三、巩固练习计算下列各式的值：2）2）24）2（ 2 22-四、应用拓展例2 计算1．2（x≥0） 2．23．（）2 4．2五、能力提高在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3五、归纳小结1a≥0）是一个非负数；2．）2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、课后练习一、选择题1次根式的个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2（2）-2（3）（1）2（4）（ 22(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（4）x（x≥0）（1）5 （2）3.4 （3）163=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5第三课时：二次根式的意义和性质（2）教学内容a（a≥0）教学目标1（a≥0）并利用它进行计算和化简．2、通过具体数据的解答，探究（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．a（a≥0）．难点：探究结论．讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______=______；例1 化简（1（2（3（4三、巩固练习教材P5练习2．四、应用拓展1、当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？2、当x>2．五、归纳小结1（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．2、让学生认识到当0a≥时，2=六、课后练习一、选择题1）．A．0 B．23 C．423D．以上都不对2．a≥0正确的是（）．AC．二、填空题1．．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│第4课时：复习二次根式的意义和性质一、教学目标1、二次根式的意义2、二次根式的性质二、教学重点：根据二次根式的性质计算难点根据二次根式的性质计算三、复习回顾：二次根式二次根式的意义11。
湘教版数学八年级上册_课时作业：第1课时_二次根式的概念及性质
5.1 第1课时 二次根式的概念及性质一、选择题1．下列各式中，是二次根式的为( ) A.39B ．－0.36 C.－1100D.a －1(a ＜1)2．若式子m －3有意义，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥3 B ．m ≤3 C ．m ≥0D ．m ≤03．使x －3有意义的x 的取值范围是( ) A ．x ≤3 B ．x ＜3 C ．x ≥3D ．x ＞34．若－（1－a ）2有意义，则满足条件的a 的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．无论x 取何值，下列各式中一定有意义的是( ) A.x 2－1 B.x ＋1 C.|x |D.1x 26．当x 的取值范围为x ≥2时，下列各式有意义的是( ) A.x －2x －2B.1x －2C.x －2D.2－x7．若2x －1＋1－2x ＋1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是( ) A ．x ≥12B ．x ≤12C ．x ＝12D ．x ≠128．计算(－11)2＋（－13）2的结果是( ) A ．－2 B ．－24 C ．2D ．249．若a 2＝3，则a 的值是( ) A ．3或－3 B ．3 C ．－3D ．910．如果|a |－a ＝0，那么a 2的值为( ) A ．－aB ．0C ．aD ．±a11．若1＜x ＜2，则|x －3|＋（x －1）2的值为( ) A ．2x －4 B ．－2 C ．4－2xD ．2二、填空题12．使式子m －3有意义的最小整数m 的值是________． 13．计算：(－3)2＝________．14．若代数式x ＋2＋3－x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________. 15．已知实数a 在数轴上的对应点的位置如图1所示，则化简|a －1|＋a 2的结果是________．图116．若实数a ，b 满足|a ＋2|＋b －4＝0，则a 2b的值为________．17．已知x ，y 均为实数，且y ＝x 2－9－9－x 2＋4，则x －y ＝________． 三、解答题 18．计算：(1)⎝⎛⎭⎫792；(2)⎝⎛⎭⎫252；(3)（－5）22.19．计算： (1)⎝⎛⎭⎫45－122＋⎝⎛⎭⎫45－12；(2)（－5）2＋(－2)2－25.20．已知实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图2所示，化简：a 2－|a ＋b |＋（c －a ）2＋|b ＋c |.图221．已知实数a 满足|2018－a |＋a －2019＝a . (1)求实数a 的取值范围； (2)求a －20182的值．阅读理解题先阅读，后解答：(1)由根式的性质计算下列式子得①32＝3；②（23）2＝23；③（－1）2＝1；④（－5）2＝5；⑤02＝0.由上述计算，请写出a2的结果(a为任意实数)．(2)利用(1)中的结论，直接写出下列问题的结果：①（3.14－π）2＝________；②化简：x2－4x＋4(x＜2)＝________．(3)应用：若（x－5）2＋（x－8）2＝3，则x的取值范围是________．详解详析[课堂达标] 1．[答案] B 2．[答案] C3．[解析] C 根据二次根式在实数范围内有意义的条件可知x －3≥0，解得x≥3. 4．[解析] A 由题意，得－(1－a)2≥0，则(1－a)2≤0.又∵(1－a)2≥0，∴(1－a)2＝0，解得a ＝1.故选A .5．[答案] C6．[解析] C 若式子x －2x －2有意义，则⎩⎨⎧x －2≥0，x －2≠0，解得x>2.若式子1x －2有意义，则x －2>0，解得x>2.若式子x －2有意义，则x －2≥0，解得x≥2.若式子2－x 有意义，则 2－x≥0，解得x≤2.故选C .7．[解析] C 根据二次根式a 的定义，要使a 在实数范围内有意义，则a≥0，所以 2x －1≥0，1－2x≥0，由此可得x ＝12.8．[解析] D 原式＝(－1)2×(11)2＋13＝11＋13＝24. 9．[答案] A10．[解析] C 由|a|－a ＝0，得|a|＝a ，故a 2＝|a|＝a. 11．[解析] D ∵1＜x ＜2，∴x －3＜0，x －1＞0，∴|x －3|＋（x －1）2＝|x －3|＋|x －1|＝3－x ＋x －1＝2.故选D . 12．[答案] 3 13．[答案] 3[解析] 负实数的偶次幂为正，所以(－3)2＝(3)2，而(a)2＝a ，所以(3)2＝3. 14．[答案] －2≤x≤3[解析] 由题意，得x ＋2≥0，3－x≥0，解得－2≤x≤3. 15．[答案] 1[解析] 由数轴可知0＜a ＜1，则|a －1|＝1－a ，a 2＝a ，故|a －1|＋a 2＝1. 16．[答案] 1[解析] ∵|a ＋2|＋b －4＝0， ∴a ＋2＝0且b －4＝0， 解得a ＝－2，b ＝4， ∴a 2b ＝（－2）24＝44＝1.17．[答案] －1或－7[解析] 由题意得x 2－9＝0，解得x ＝±3，∴y ＝4，∴x －y ＝－1或x －y ＝－7.故答案为－1或－7.18．[解析] 结合题目特点，根据(a)2＝a(a≥0)，(ab)2＝a 2b 2和⎝⎛⎭⎫a b 2＝a2b 2来计算．解：(1)⎝⎛⎭⎫792＝79. (2)⎝⎛⎭⎫252＝（2）252＝（2）225＝225.(3)（－5）22＝|－5|2＝52.19．解：(1)原式＝45－12＋1－45＝12.(2)原式＝5＋2－5＝2.20．解：由数轴可知a ＜0，b ＜0，c ＞0，且b ＜a ，|b|＞|c|，所以a 2－|a ＋b|＋（c －a ）2＋|b ＋c|＝|a|－|a ＋b|＋|c －a|＋|b ＋c|＝－a ＋(a ＋b)＋c －a －(b ＋c)＝－a.21．解：(1)由题意得a －2019≥0，解得a≥2019.(2)∵a≥2019，∴2018－a ＜0，∴a －2018＋a －2019＝a ，∴a －2019＝2018，两边平方，得a －2019＝20182，∴a －20182＝2019.[素养提升] 解：(1)a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a≥0），－a （a<0）.(2)①（3.14－π）2＝|3.14－π|＝π－3.14. ②x 2－4x ＋4＝（x －2）2＝|x －2|. ∵x ＜2，∴x －2＜0，∴x 2－4x ＋4＝2－x. (3)∵（x －5）2＋（x －8）2＝3＝||x －5＋||x －8.①当x ＜5时，x －5＜0，x －8＜0，∴原式＝5－x ＋8－x ＝13－2x ，令13－2x ＝3，则 x ＝5，不成立；②当5≤x≤8时，x －5≥0，x －8≤0，∴原式＝x －5＋8－x ＝3，成立；③当x ＞8时，x －5＞0，x －8＞0，∴原式＝x －5＋x －8＝2x －13，令2x －13＝3，则 x ＝8不成立．∴x 的取值范围是5≤x≤8.。
沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第1讲 二次根式的概念和性质
二次根式是以实数中所学内容为基础，对开平方、开立方等运算进行扩展，基本要求是知道二次根式的取值范围、掌握二次根式的求值，二次根式中题目类型多变，方法多种多样．重点是掌握二次根式的概念、性质，难点是通过性质进行化简和求值．1、二次根式的概念（1）代数式a（0a ）叫做二次根式，读作“根号a”，其中a是被开方数．（2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的概念及性质知识结构模块一：二次根式的概念知识精讲内容分析【例1】下列各式中，二次根式的个数有 （ ）1.2；2xy ；22m n +；3x；21030x x -+；6x ． A ．2个 B ． 3个 C ．4个 D ．5个【例2】添加什么条件时，下列式子是二次根式？（1）4x -；（2）11||x -； （3）23x y ； （4）1||4x -．【例3】对于a 下列说法中正确的是（）A ． 对于任意实数a ，它表示的是a 的算术平方根B ． 对于任意的正实数a ，它表示的是a 的算术平方根C ． 对于任意的正实数a ，它表示的是a 的平方根D ． 对于任意的非负实数a ，它表示的是a 的算术平方根【例4】等式22xx x x =--成立的条件是（ ）A ．02xx ≥- B ．0x ≥ C ．2x ≠ D ．2x > 例题解析【例5】求使下列二次根式有意义的实数x 的取值范围．（1（2．【例6】实数x 、y 满足，xy y=的值．【例72|313|0x y --=，求2017()x y +的值．【例8】如果代数式有意义，那么在平面直角坐标系中()P m n ，的位置在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例9】如果323y x x=-++-，求xy 的值．【例10】已知112()2x y z x y z x y z+-+-=++，求、、的值．【例11】若22223232()a b b c a b c ab bc ac-=+-=-++---，，求的值．【例12】若z适合352325320162016x y z x y z x y x y+--++-=-++--，求z的值．【难度】★★★知识精讲模块二：二次根式的性质1、二次根式的性质 （1）二次根式的性质：性质1：2(0)a a a =≥；性质2：2()(0)a a a =≥；性质3：ab a b =⨯（0a ≥，0b ≥）；性质4：a ab b=（0a ≥，0b >）． （2）2a 与a 的关系：2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩．【例13】 计算下列各式的值：（1）23； （2）2(3)-；（3）2(3)--； （4）2(3)-；（5）21()5-； （6）221(0)x x x -+<．【例14】 化简： （1）320(0)a a >； （2）2320a b ； （3）254(0)a b c a <；（4）22()a b b --（00a b ><，）．【例15】 化简：（1）22(1)a + ；（2）2()a b +；（3）220a a a -<()；（4）22(2)(5)(25)x x x -+-<<．例题解析【例16】 化简：（10)x >；（22+．.【例17】 把下列各式中根号外面的因式移到根号内，并使原式的值不变．（1 （2）； （3） 2- （4）(1)x -【例18】 化简：（100)ab bc ><，；（20)a b <<．【例19】 已0，求()x x y +的值．【例20】 已知x y 、是实数，且1|1|21y y y -<-，求的值．【例21】 已知125x x -=-，求x 的取值范围．【例22】 如7x y --=-成立，求xy 的值．【例23】 已知2x =+的值．【例24】 已知 2441310x x x x --+=+，求的个位数字．【例25】 （1）在△ABC 中，a b c 、、0=，求最大边c 的取值范围；（2）已知实数x y 、，满足2()x y +22x y +的平方根．【例26】 已知：1141r a b c r r ≥=-==+，，，试比较a 、b 、c 的大小．【例27】 已b 的式子表示）．【例28】 化简：2222222222(20)a b a a b a b a b a b -+---->>．【例29】 已知：m =1465-，求43224882467m m m m m m --++-+的值．【习题1】 下列计算中正确的是（ ）．A ．2(2)2=B ．22(2)2=C ．22(2)2-=-D ．211()42-=-【习题2】 判断下列哪些二次根式是二次根式？ （1）4；（2）1a +；（3）2a ；（4）211a +；（5）223x x -+；（6）22(0)x x x -<．【习题3】 当添加什么条件时，下列二次根式有意义？随堂检测（1 （2 （3（4；（5（6．【习题4】 化简：（1）24()9-；（2）22((2))a -；（312x ≥）；（4【习题5】 化简下列二次根式：（100)x y ≥≥，；（2（3(0)a a -<．【习题6】 已知2a ，小数部分是b ，那么(2b a ++的值是多少?【习题7】 已知3x =【习题8】 222(2)023y x xy y +=-+，求的值．【习题9】 已知非零实数x 、y 满足条件()2242324x y x y x -+++-=-，求x y +的值．【习题10】 设等式()()a x a a y a x a a y -+-=---在实数范围内成立，且a x y 、、是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y +--+值等于 __________．【习题11】 求满足26a x y -=-的自然数a x y 、、的值．【作业1】 判断下列式子哪些是二次根式？（1）2x ； （2）2x ； （3）1(1)x x -<；（4）244b b -+； （5）321a +；（6）222a +．【作业2】 将x 移到根号内，不改变原来的式子的值：课后作业（11)x>；（2）(2)x x->．【作业3】若11)-有意义，则x的取值范围是______．【作业4】计算：201520162)2)．【作业5】化简：（10)y<；（2）．【作业6】已知x为非零实数，且112221xx x ax-++=，则=________．【作业7】 若代数式3|2|0a a b -=-，求的立方根．【作业8】 m 2.【作业9】 已知a b c 、、为有理数，且等式a +成立， 29991001a b c ++求的值．【作业10】 已知14(01)a aa +=<<，求的值．【作业11】 已知2|8|(41)0x y y -+-+=的值．【作业12】 化简：（1 （2．。
人教八年级数学下册-二次根式(附习题)
探索新知
思考 （1）面积为3 的正方形的边长为___3____，面积为
S 的正方形的边长为___S____．
被开方数都大于0
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130
m2，则它的宽为__6_5___m．
被开方数可
（3）一个物体从高处自由落下，落以到是地分面数所用的
时间 t(单位:s)与开始落下的高度h(单位:m)满足关系
（1）3的平方根是___3___
（2）3的算术平方根是___3____
（3）5 有意义吗？为什么？ 0 呢？
（4）一个非负数a的算术平方根应表示为__a___a___0__
正数有两个平方根且互为相反数；
平方根的性质：0有一个平方根就是0；
负数没有平方根.
算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；
16.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
新课导入
我们知道二次根式 a 中a≥0，那么二次 根式 a 还有哪些性质呢？
学习目标
（1）知道 a ≥0(a≥0)，会用非负数的性质
解题.
a
（2）会用公式 a2 =a(a≥0)进行计算.
（3）知道形如 的化简方法及结果.
探索新知
知识点 1 二次根式的性质 探究 当a>0时，a 是什么数？ a 0 当a=0时，a 是什么数？ a 0 当 a 有意义时，a是什么数? a≥0
2.使 x 3 有意义的x的取值范围是 x≥-3 .
3.下列各式中一定是二次根式的是( B )
A. x 1
B. ( x 1)2
C. a2 1
D. 1 x
4.二次根式
1 a
中，字母a的取值范围是(
16.1 二次根式 第1课时：二次根式的概念(含答案)
116.1二次根式第1课时二次根式的概念一、选择题1.下列各式中,一定是二次根式的是()A.-3 B.33 C. D.-32.要使二次根式 +1有意义,a 的值可以是()A.-1 B.-2 C.-3 D.-43.下列二次根式中,无论x 取何值,都有意义的是()A. B. 2-1 D. 2+14.已知二次根式 +3,当x=1时,此二次根式的值为()A.2B.±2C.4D.±45.若1-2 是二次根式,则x 的值不可能是()A.-2 B.-1 C.0 D.16.下列选项中,使根式有意义的a 的取值范围为a<1的是()A. -1 B.1- C.(1- )2二、填空题7.当x=54时,二次根式 +1的值为.1+ x 的取值范围是.9.若关于x 的式子4- +- +2有意义,且满足条件的所有整数x 的和为10,则a 的取值范围为.0有意义的条件是.三、解答题11.判断下列各式哪些是二次根式,哪些不是,为什么?3,-16,34,-5, 2+1.(1)求x 的取值范围;(2)求当x=-2x 的值.13.已知 -17+17- =b+8.(1)求a、b 的值;(2)求a 2-b 2的平方根和a+2b 的立方根.16.1二次根式第1课时：二次根式的概念一、选择题1.答案A A.-3符合二次根式的定义,故本选项符合题意;B.33是三次根式,故本选项不符合题意;C.当x<0时, 无意义,故本选项不符合题意;D.由于-3<0,所以-3无意义,故本选项不符合题意.故选A.2.答案A由题意得,a+1≥0,解得a≥-1,结合各选项知,只有-1符合题意,故选A.3.答案D A. ,当x≥0时,二次根式有意义,故此选项不符合题意;B. 2-1,当x2-1≥0,即x≥1或x≤-1时,二次根式有意义,故此选项不符合题意;2x≠0时,二次根式有意义,故此选项不符合题意;D. 2+1,无论x取何值,二次根式都有意义,故此选项符合题意.故选D.4.答案A当x=1时,原式=1+3=4=2,故选A.5.答案D∵1-2 是二次根式,∴1-2x≥0,解得x≤0.5,∴x的值不可能是1.故选D.6.答案D A项,当a≥1时,根式有意义;B项,当a≤1时,根式有意义;C项,无论a取何值,根式都有意义;D项,要使根式有意义,则11- ≥0且1-a≠0,解得a<1.故选D.二、填空题7.答案32解析当x=54时, +1==32.故答案为32.8.答案x>-1解析由题意得11+ ≥0且1+x≠0,∴1+x>0,解得x>-1,故答案为x>-1.9.答案1<a≤3解析∵关于x的式子4- + - +2有意义,∴4-x≥0,x-a+2≥0,解得a-2≤x≤4,∵满足条件的所有整数x的和为10,4+3+2+1=10,4+3+2+1+0=10,∴-1<a-2≤1,∴1<a≤3.10.答案x≥-2,x≠1且x≠-12解析由题意可得x+2≥0,x-1≠0且2x+1≠0,解得x≥-2,x≠1且x≠-12.2三、解答题11.解析3,-16,(a≥0), 2+1符合二次根式的定义,故是二次根式; 34是三次根式,故不是二次根式;-5中被开方数小于0,故不是二次根式.12.解析(1)根据题意,得3-12x≥0,解得x≤6.=3+1=2.(2)当x=-2∴3-12x=0,解得x=6.13.解析(1)由题意得a-17≥0,且17-a≥0,则a-17=0,解得a=17,把a=17代入 -17+17- =b+8,得b+8=0,解得b=-8.故a、b的值分别为17、-8.(2)由(1)得a=17,b=-8,∴± 2- 2=±172-(-8)2=±15,3 +2 =317+2×(-8)=31=1.故a2-b2的平方根为±15,a+2b的立方根为1.3。
临沭县某中学八年级数学上册第5章二次根式5.1二次根式第1课时二次根式的概念及性质教案新版湘教版4
第5章二次根式5.1 二次根式第1课时二次根式的概念及性质【知识与技能】1.了解二次根式的概念.2.掌握二次根式的基本性质.3.会判断二次根式，能求简单的二次根式中的字母的取值范围.【过程与方法】经历二次根式的基本性质、运算法则的探究过程，培养学生从具体到抽象的概括能力.【情感态度】经历观察、比较、总结和应用数学等活动，感受数学活动充满了探索性与创造性.体会发现的快乐，并提高应用的意识.【教学重点】二次根式的概念及意义.【教学难点】利用“a（a≥0）”解决具体问题.一、情景导入，初步认知1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？3.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？5.－7有没有平方根？有没有算术平方根？【教学说明】评价学生与本节课相关的旧知识的掌握情况.二、思考探究，获取新知1.说一说：（1）5的平方根是什么？正实数a的平方根是什么？（2）运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度，才能克服地球引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道，而第一宇宙速度u与地球半径R之间存在如下关系：u2=gR，其中重力加速度常数g≈9.5m/s2.如已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？我们已经知道：每一个正实数a a a的算术平方根，另一个是-a . 【归纳结论】我们把形如a 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数. 2.思考二次根式“a ”中被开方数a 能取任意实数吗？【归纳结论】只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. 对于非负实数a,由于a 是a 的一个平方根，因此（a ）2=a(a ≥0) 3.做一做：填空.22272 1.25，()，===⋯⋯根据上述结果猜想，当a ≥0时，2a = . 【归纳结论】2a =a(a ≥0) 4.议一议：当a<0时，2a =a 是否依然成立？为什么?【归纳结论】二次根式的性质：【教学说明】学生小组交流期间师巡回指导,引导学生小结形成新知，理解新知;引导学生对二次根式的性质做出合理的解释.三、运用新知，深化理解1.教材P155例1、P156例2、例3.2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（B ）A ．5B ．5C ．15 D ．以上皆不对 3.使式子()25x --有意义的未知数x 有（B ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数4.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：5.当x 是多少时，31x - 在实数范围内有意义？ 【分析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，31x -才能有意义．6.当x 是多少时，223x x x ++ 在实数范围内有意义？7.当x 是多少时，1231x x +++在实数范围内有意义？【分析】要使1231x x +++在实数范围内有意义，必须同时满足23x + 中的2x+3≥0和11x +中的x+1≠0．8.已知a 、b 521024a a b --=+ ，求a 、b 的值．答案：a=5，b=-4【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅导.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材第159页“习题5.1”中第1 、2 题.学生已学过平方根、立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础.本节知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用.通过复习引入新知，注重将新知识与旧知识进行联系与对比.随后从学生熟悉的四个实际问题出发，用已有的知识写出这四个问题的答案，并分析所得的结果在表达式上的特点，由此引入二次根式的概念，对于二次根式的一些结论，让学生参与思考、探索、学会分类讨论的方法，在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密，以此充分调动学生学习的兴趣.15．3 分式方程(2)1．进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程．2．使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法．重点：理解增根的概念及产生的原因，掌握解分式方程验根的方法．难点：理解增根的概念及产生的原因．一、自学指导自学1：自学课本P150页“思考”，理解增根的概念及产生的原因，掌握分式方程验根的方法，完成填空．(5分钟) 解方程1x －1＝2x 2－1，方程两边都乘以(x ＋1)(x －1)，得到方程x ＋1＝2，解这个一元一次方程得x ＝1．检验：当x ＝1时，分母x －1，x 2－1都为0，相应的分式没有意义，所以x ＝1是整式方程的解，但不是原分式方程的解，这个分式方程无解．问题 你认为在解分式方程的过程中，哪一步变形可能引起增根？为什么会产生增根？总结归纳：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解，有可能使原方程的分母为0，因此应做如下检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根．自学2：自学课本P151页“例1、例2、归纳”，掌握解分式方程的方法．(5分钟) 总结归纳：解分式方程的一般步骤为：(1)去分母(乘以最简公分母)，将分式方程转化成整式方程；(2)解整式方程得到整式方程的解x ＝a ，把整式方程的解x ＝a 代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则x ＝a 是原分式方程的解；若最简公分母等于0，则x ＝a 不是原分式方程的解(是分式方程的增根)．点拨精讲：因为分式方程转化成整式方程后求的解可能是增根，所以一定要检验．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)课本P152页练习题．点拨精讲：注意要检验．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1 当m 为何值时，分式方程m x －2＋3＝1－x 2－x无解？ 解：∵m x －2＋3＝1－x 2－x，∴m ＝－2x ＋5，∵此分式方程无解，∴x ＝2，∴m ＝1 点拨精讲：先按一般步骤解方程，再将增根x ＝2代入求m 的值．探究2 已知关于x 的方程2x ＋m x －2＝3的解是正数，求m 的取值范围． 解：由题意可得，x ＝6＋m ，∵此方程的解是正数，∴⎩⎪⎨⎪⎧6＋m ＞0，6＋m≠2，∴m ＞－6且m≠－4.点拨精讲：要考虑两个条件：①解是正数；②解不为2.学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．若分式方程1x －3＋7＝x －43－x 有增根，则增根为x ＝3． 2．若方程3x －2＝2a x ＋4x （x －2）无解，则a 的值是32或1． 3．解下列分式方程：(1)21－x 2＝2＋x 1＋x； (2)1x －2＋3＝1－x 2－x； (3)x －8x －7－17－x＝8；(4)2x ＋93x －9＝4x －7x －3＋2. 点拨精讲：第2小题去分母后得到的整式方程不一定是一元一次方程，所以要分整式方程无解与整式方程有解是增根两种情况来讨论，第3题要注意解分式方程要检验．(3分钟)1.解分式方程的基本方法是通过去分母将分式方程转化成整式方程．2．分式方程产生增根的原因是去分母时两边乘以的最简公分母的值为0.3．因为分式方程会产生增根，所以一定要检验，检验的方法是将整式方程的解代入最简公分母检验．4．分式方程无解可能有去分母后的整式方程无解与整式方程有解是增根两种情况．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)本章复习【基本目标】1.通过实例使学生进一步体会数据的作用，学会用数据说话.2.熟悉收集、整理、描述和分析数据的活动过程.3.理解频数、频率的概念.4.能根据统计图表，得到比较明显的结论并简单地说明理由.【教学重点】通过收集、整理、描述和分析数据的活动，感受不确定现象背后表现出的规律性，学会用数据解决实际问题，学会制作统计图表以及从实践中得出的数据来定性地描述可能性的大小.【教学难点】1.科学地收集数据及表示数据.2.能根据统计图表，得到比较明显的结论并简单地说明理由.一、知识框图，整体建构二、知识梳理，快乐晋级本章通过问题的形式来梳理知识，以加深对基础知识的理解，对基本方法的把握.问题1：调查收集数据的过程是什么？问题2：三种统计图各有什么特点？如何绘制？问题3：什么是频率，什么是频数？二者有何关系？问题4：从统计图表中获取信息应注意什么问题？【教学说明】教师提出问题由小组竞赛的形式回答，对学生有疑问的地方重点讲解与强调.三、典例精析，升华旧知例1为了了解班里同学上学方式的情况，请你对本班同学进行一次调查，回答下列问题：（1）调查的问题：________________________.（2）调查的对象：________________________.（3）调查的方法：________________________.（4）调查的过程：________________________.（5）记录和分析结果的方法：_______________.（6）若已知全班有40位学生，他们有的步行，有的骑车，还有的乘车上学，请根据已知信息，完成统计表：(7)根据上图的信息你得出什么结论？并画出扇形统计图.【教学说明】可以在班上开展适时调查，收集相应数据并用扇形统计图表示.例2（1）想清晰地表示出每个项目的具体数目，应选择_________统计图.（2）想清晰地表示出事物的变化情况，应选择_______统计图.（3）想清晰地表示出各部分在总体中所占的比例，应选择_______统计图.【答案】；（1）条形；（2）折线；（3）扇形.例3根据下表制作扇形统计图，表示各大洲陆地面积的百分比，并回答下列问题.世界七大洲陆地面积（1）哪个洲的陆地面积最大？（2）所有百分比之和是多少？（3）你能从扇形统计图上知道陆地的面积吗？【答案】(1)亚洲的陆地面积最大；(2)所有百分比之和为1；(3)不能从扇形统计图上知道陆地的面积.例4下图是A品牌奶粉的广告，看图思考回答：（1）A品牌的销售额是否真的比B品牌多？要作判定还需什么资料？（2）图中两条折线所能真正说明的是A品牌在什么方面领先？【答案】（1）A品牌的销售额不一定真比B品牌多，要作判定还要知道2010年两种品牌的基数；（2）图中信息表明A品牌的销售额相对自己增长较快.【教学说明】从统计图中提取信息时，应特别注意纵轴表示的含义或纵轴是否从0开始，减少误导.四、师生互动，课堂小结.这节课你复习到什么？有什么收获？有何困惑？与同伴交流，在学生发言的基础上教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.通过本节的复习，要求达到一要了解，二要掌握，三要会用的目的.即进一步了解各种统计图表的意义和用途，比较熟练掌握数据收集与表示的基础知识，会看、会制、会用统计图表.复习的过程中应扎实组织好训练，帮助学生建立良好的认知结构.。
第17章：二次根式
第17章:二次根式第一课时:二次根式的概念与性质知识点1:二次根式的定义:（1）a ≥0)的式子叫做二次根式。
（2）a ≥0)表示非负数a 的算术平方根（3） 二次根式的要求① 根指数为2② 被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等，但必须是非负数类型一：二次根式的识别例1：已知式子其中一定是二次根式的是 ①②④ 。
知识点2:二次根式中字母的取值范围：（1） 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0。
（2） 二次根式无意义的条件：被开方数小于0（3） 二次根式做分母时: 被开方数大于0.类型一：求字母的取值范围例1：x 取何值时，下列各式有意义？11(62501 6.6016630122102201122x x x x x x x x x x x x x ----⎧⎨-⎩-⎧-⎪-⎨⎪-⎩--≥解：（）由题意知解得≥5且≠≠ 所以当≥5且≠有意义≥ （）由题意知＞解得＜x ≤3且x ≠2≠ 所以当＜x ≤3且x ≠2有意义 类型二：根据字母隐含的的取值范围，求代数式的值（较难）例2：x y y =若、为实数，且222224040, 14,20,2,4x x x x x x x y --=+==≥，即≥4,≥即≤4, 所以又因为≠所以22240404,120,2432x x xx x y--∴=+∴=∴====解:由题意知:≥且≥又≠知识点3：二次根式的性质：（1）双重非负性：①被开方数为非负数，即a≥0；②二次根式的值为非负数，即a≥0（2）两个性质：性质1：（a）2= a（a≥0）语言叙述：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。
或叙述为：一个非负数先开平方再平方等于这个数本身。
性质2(0)(0)a aaa a⎧==⎨-⎩≥＜语言叙述：一个数先平方再开平方等于这个数的绝对值。
22222221==2(0),(0)1a(0)(0)(0)(0)x a x xx ax ax x xa ax x x aa aa aaa a=======⎧===⎨-⎩⎧==⎨-⎩证明：性质：设①则把把性质≥两边平方得：≥由性质得：≥所以＜≥＜类型一：简单的计算与化简例1：计算与化简2222;4=243=12.8881113(0)433(0)x xxx x⨯=⨯=-====-===-⎧-=⎨-⎩（解:(1)（≥（＜类型二：在实数范围内因式分解例2：在实数范围内因式分解。
二次根式二次根式二次根式的性质作业
二次根式二次根式二次根式的性质作业xx年xx月xx日•作业要求•知识点回顾•典型例题解析目录•练习题及解答•常见错误及注意事项•答案及评分标准01作业要求掌握二次根式的性质及其应用培养学生对数学概念的理解能力和运算能力目的和意义作业内容•根据二次根式的性质，完成以下题目•$\sqrt{16}$的值是？•$\sqrt{49}$的值是？•$\sqrt{8}$可以化简为？•$\sqrt{20}$可以化简为？•$\sqrt{a^{2}}$的值是？•对于以上题目，给出答案并说明解题思路•建议学生在课堂上完成作业，如有问题及时向老师请教完成时间02知识点回顾总结词：非负数详细描述：二次根式是指根号左上角的指数为2的根式，其定义域为非负实数，即被开方数是非负数。
总结词简化、转化、非负性详细描述二次根式具有简化性、转化性和非负性等重要性质。
简化性是指通过化简二次根式可以得到被开方数；转化性是指利用二次根式的性质可以将复杂表达式转化为简单表达式；非负性是指二次根式的被开方数是非负数，其结果也不可能是负数。
加减乘除、化简求值详细描述二次根式的加减乘除运算和化简求值是二次根式运算的两种重要类型。
加减乘除运算是基于二次根式的性质进行运算，需要注意各项的符号；化简求值是通过对二次根式进行化简，求出其最简形式，再代入具体数值进行计算。
03典型例题解析总结词掌握二次根式的基本性质和运算法则是化简的关键。
详细描述二次根式的化简主要涉及两个方面，一是利用运算法则进行简化，二是利用性质进行变形。
例如，$\sqrt{4}$ 可以化简为 $2$，$\sqrt{a^2}$ 可以化简为 $|a|$。
二次根式的化简总结词掌握二次根式的性质和运算法则是准确计算的关键。
详细描述在进行二次根式的计算时，首先需要确定被开方数的值，然后利用运算法则进行计算。
例如，$\sqrt{4} + \sqrt{9}$ 可以计算为 $2 + 3 = 5$。
二次根式的计算二次根式的比较大小总结词掌握二次根式的性质和运算法则是比较大小的关键。