江苏省2011届各地高考数学第二轮模拟试卷汇编
江苏省苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2011届高三第二次联考数学模拟试题二及参考答案
江苏省苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2011届高三第二次联考数学模拟试题二及参考答案
2012年05月23日亲，很高兴访问《江苏省苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2011届高三第二次联考数学模拟试题二及参考答案》一文，也欢迎您访问店铺（）的高考频道，为您精心准备了2011高考数学日常练习的相关模拟考试试题内容！同时，我们正在加紧建设高考频道，我们全体编辑的努力全是为了您，希望您能在本次高考中能获得好的名次，以及考上满意的大学，也希望我们准备的《江苏省苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2011届高三第二次联考数学模拟试题二及参考答案》内容能帮助到您。
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2011江苏高考数学真题(附答案)
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交于点P、Q，点N（0，1），若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，则b的取值范围为 ▲ .
2011年普通高等学校招生全国统一考试
年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试
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2011年江苏高考数学模拟试卷
7 8 994464732011年江苏高考数学模拟试卷1．为虚数单位，计算2. 观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，则可得出一般结论 . 4．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是5．已知，则6．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x取值范围是7．设是边长为1的正三角形, 则=8．已知函数的定义域集合是,函数的定义域集合是，若，那么实数的取值范围9. 方程的实根个数是10．在括号内填一个实数，使得等式成立，这个实数是11、若集合{}|2A x x=≤，{}|B x x a=≥满足{2}A B =，则实数a= ．12、函数)3(sin12π+-=xy的最小正周期是．13、下图是2009年举行的某次民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 .14、某算法的伪代码如右：则输出的结果是 .15、若复数iaiz3)1(+=- (i是虚数单位，a是实数)，且zz=（的共轭复数）为zz，则=a．16、已知数列—1，a1，a2，—4成等差数列,—1，b1,b2,b3,—4成等比数列，则212baa-的值为_____________．17、已知椭圆的中心在原点、焦点在y轴上，若其离心率是12，焦距是8，则该椭圆的方程为．18、已知抛物线y2=4x的准线与双曲线222xy1a-=交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是 _____________．19、函数2cosy x x=+在区间[0,]2π上的最大值是．15、（本小题满分14分）s←2i←1While s≤400i←i+2s←s×iEnd WhilePrint i第4题在△ABC 中，角A 的对边长等于2，向量m =()222cos 12B C +-，，向量n =()sin ,12A -. （1）求m ·n 取得最大值时的角A 的大小；（2）在（1）的条件下，求△ABC 面积的最大值.16、（本小题满分14分）如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ， AC ⊥BC ， M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且△PMB 为正三角形。
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,解析版)
- 1 - 2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I
参考公式： （1）样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑ （2）直柱体的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 是高 （3）柱体的体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 是高 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。
1、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则_______,=⋂B A 答案：{}1－，2 2、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________ 答案：+∞1（－）2 3、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________ 答案：1
4、根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是________ 答案：3
5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 答案：13
6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s
★此卷上交考点保存★ 姓名___________________ 准考证号___________________。
(解析版)2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(江苏卷)-推荐下载
1 2
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答案： 1 (e e1) 2
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从而 f (0) 2 sin(2k 1 ) 6
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答案：
3
6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10，6，8，5，6，则该组数据的方差 s 2 =
▲.
[解析]考查统计中样本数据的方差的计算。先把这组数都减去 7 以后分别为 3，-1，1，-
2，-1，从而求得平均数为 7，再求方差 s2 1 [32 (1)2 12 (2)2 (1)2 ] 16 ，
绝密★启用前
2011 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学 I
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题～第 20 题，共 20 题）。本卷满分为 160 分，考试
时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及
x
当 a 0 时， f (1 a) 2 2a a 1 a 2a f (1 a), a 3 ，（舍去） 2
2a,
当 a 0 时， f (1 a) 1 a 2a 2 2a a f (1 a), a 3 。 答案： 3 。
江苏南京市2011届高三第二次模拟考试数学
9的最大正整数n 的值为 。
江苏南京市2011届高三第二次模拟考试数学一、填空题（每题 5分，共70分）1、 已知复数 乙=3-4i , Z 2= 4 + bi （b € R , i 为虚数单位），若复数Z i *Z 2是纯虚数，则b 的 值为___________ 。
2 __________________________________________________2、 已知全集U = R , Z 是整数集，集合 A ={ x | x-x-6 > 0,x € R },则ZA QA 中元素的个数 为 。
3、 用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形（第3题）4、某校为了解高三男生的身体状况，检测了全部480名高三男生的体重（单位kg ）。
所得数据都在区间［50,75］中，其频率分布直方图如图所示。
若图中从左到右的前 3个小组的频率之比为1 : 2: 3,则体重小于60 kg 的高三男生人数为 ____________ 。
（第 4题）5、 已知向量a,b 的夹角为120°，且| a | =3, | a | =1,则| a-2b | = _______________6、 下图是一个算法的流程图，则输出的e 值是 __________ 。
（第 6 题）7、若抛物线y 2=2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为 3，则M 到该抛物线焦点的距离为& 若直线y=kx-3与y=2Inx 曲线相切，则实数 K= ________________ 。
9、 已知函数 f （x ）=2sin （3 x+Y ）（ co >0）,若 f （ — ）=0, f （ — ）=2,则实数3 的最小值为 _ 。
3 2110、已知各项都为正数的等比数列 {a n }中，a 2*a 4=4, a 1+a 2+a 3=14,则满足a n +a n+1+a n+2>一动点，则当 AM+MC i 最小时，△ AMC i 的面积为11、3x 已知集合P= (x, y) | 4x 4y3y3 0 6, Q={(x,y)|(x-a)2+(y-b)2< r 2(r>0),若“点 M12、€ P 堤“点M € Q”的必要条件, 则当 r 最大时ab 的值是如图，直三棱柱 ABC-AB i C i 中, AB=1, BC=2, AC= . 5，AA 1=3，M 为线段 BBi 上的13、14、(第12题)定义：若函数f(x)的图像经过变换 T 后所得图像对应的函数与 f(x)的值域相同，则称变换T 是f(x)的同值变换。
江苏省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(10)圆锥曲线
江苏省各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编第 10 部分 :圆锥曲线一、填空题：2．(2011 年 3 月苏、锡、常、镇四市高三数学教课状况检查一)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 8kx 2ky28的渐近线方程为 ；2．y22x【分析】由题知8x 2 y 20 即 y2 2x .x 2 y 21 a,bb2011 年 1 月高三调研 ) 若双曲线a 2b2的离心率为2 ，则 a= ▲ .2. (江苏省苏州市c1 b22, b 23,b3.2.3【分析】aa 2a 2ax 2y 2 1(a 0,b 0))已知双曲线 C:a 2b 29. (江苏省南京市 2011 届高三第一次模拟考试的右极点、 右焦点分别为 A 、F,它的左 准线与 x 轴的交点为 B ，若 A 是线段 BF 的中点，则双曲线 C 的离心率为.Ba 2 ,0 , A a,0 , F c,02aca9．2 1【分析】由题意知：c，则c，即e 2 2e 1 0 ，解得 e2 1x 2y 2 1(a 0,b 0))双曲线 a 2b 210．( 江苏省徐州市 2011 届高三第一次调研考试的两条渐近线将平面区分为 “上、下、左、右 ”四个地区（不含界限） ，若点(1,2)在“上 ”地区内，则双曲线离心率e的取值范围是▲ ．10．1,5x 2y 2 1yb x ，点 1,2【分析】双曲线 a 2b 2 的一条渐近 线为a在该直线的上方，由线性规划知识，知：2be 21 ( b )25e1,5a，因此a，故4. (江苏省苏北四市 2011 届高三第一次调研 )若抛物线的焦点坐标为(2,0) ，则抛物线的标准方程是▲ ．y2p24．【分析】依据焦点坐标在x 轴上，可设抛物线标准方程为 2 px ，有 2，p4，抛物线标准方程为 y 28 xx 2y 2 11. (江苏省泰州市 2011 届高三年级第一次模拟 )双曲线3的离心率是。
江苏省盐城中学2011届高三数学第二次模拟考试苏教版
盐城中学2011届高三年级第二次模拟考试数学试题数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．．1.设i 是虚数单位，则复数i 2)i 1(⋅+=z 所对应的点落在第 ▲ 象限. 2.同时掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为5的概率是 ▲ . 3.为了了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了n 名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右第一小组的频数是100，则n = ▲ .4.在等比数列{}n a 中，12236,12,n a a a a S +=+=为数列{}n a 的前n 项和，则22010log (2)S += ▲ .5.已知2cos()3cos()02x x ππ-+-=，则tan 2x = ▲ .6.右图是一个算法的流程图，最后输出的=x ▲ .7.设b a ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列条件中能推得b a ⊥的条件是 ▲ . （把你认为所有正确命题的序号都填上）①,α⊂a b ∥β，βα⊥；②βαβα⊥⊥⊥,,b a ； ③,α⊂a β⊥b ，α∥β；④α⊥a ，b ∥β，α∥β.8.若,x y 满足不等式组2201x y x y +≥⎧⎨+≤⎩，则2x y +的取值范围是▲ .9.设F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，点A 在抛物线上，O 为坐标原点，若120OFA ∠=，且8FO FA ⋅=-，则抛物线的焦点到准线的距离等于 ▲ .10.已知P 为边长为1的等边ABC ∆所在平面内一点，且满足2,CP CB CA =+则PA PB ⋅= ▲ .11.如右图，设矩形()ABCD AB CD >的周长为20，把ABC∆沿AC 折起来，AB 折过去后交DC 于点,F 设,AB x =则ADF ∆的面积最大时的x 的值为 ▲ .（第3题） C12.椭圆2212516x y +=的左，右焦点分别为12,,F F 弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆的周长为,π,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,),x y x y 则21||y y -= ▲ .13.已知函数32()f x x x =-在1x =处切线的斜率为b ，若()ln a g x b x x=-，且()g x 2x <在(1,)+∞上恒成立,则实数a 的取值范围是 ▲ .14.设,a b 均为大于1的自然数，函数()(sin ),()cos ,f x a b x g x b x =+=+若存在实数m ，使得()(),f m g m =则a b +的值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知直三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别为11,CC AA 的中点，AC BC ⊥,点F 在线段AB 上，且AF AB 4=．（Ⅰ）求证:D C BC 1⊥；（Ⅱ）若M 为线段BE 上一点，ME BE 4=求证：1//C D 平面1B FM ．16（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1,sin .23C A B π-== （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设AC =求ABC ∆的面积.17．（本小题满分14分）第15题ABC1B1A1CD E F某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件.为获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。
2011南通市二模数学试题及答案
11．在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线 的左、右焦点，△ABC的顶点
C在双曲线的右支上 ，则 的值是▲．
12．在平面直角坐标系xOy中，设点 、 ，定义： ．已
知点 ，点M为直线 上的动点，则使 取最小值时点M的坐标是
▲．
13．若实数x，y，z，t满足 ，则 的最小值为▲．
因此，任意两个三角形不相似．
故命题成立．……………………16分
【注】1．第（2）小题当ak不是质数时，p，r的解不唯一；
2.第（3）小题构造的依据如下：不妨设 ，且 符合题意，则公比 >1，因 ，又 ，则 ，所以 ，因为三项均为整数，所以 为 内的既约分数且 含平方数因子，经验证，仅含 或 时不合，所以 ；
得 取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1).……………………7分
由D1E＝λEO，则E ， = .
又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n· ＝0，n· ＝0.
得 取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ).
因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得λ＝2．……………………10分
……………………10分
（3）作如下构造： ，其中 ，
它们依次为数列 中的第 项，第 项，第 项，……12分
显然它们成等比数列，且 ， ，所以它们能组成三角形．
由 的任意性，这样的三角形有无穷多个．……………………14分
下面用反证法证明其中任意两个三角形 和 不相似：
若三角形 和 相似，且 ，则 ，
整理得 ，所以 ，这与条件 相矛盾，
【解】（1）当 时， ；
当 时， ，
所以 ；
综上所述， ．……………………3分
南京市2011届高三二模数学全解析版(word)
南京市2011届高三第二次模拟考试全解析版数 学(满分160分，考试时间120分钟)2011．03一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知复数z 1＝3－4i ，z 2＝4＋b i(b ∈R ，i 为虚数单位)．若复数z 1·z 2是纯虚数，则b 的值为________．答案：－3解析：z 1·z 2＝12＋4b ＋(3b －16)i 为纯虚数⎩⎪⎨⎪⎧12＋4b ＝03b －16≠0b ＝－3.2. 已知全集U ＝R ，Z 是整数集，集合A ＝{x |x 2－x －6≥0，x ∈R }，则Z ∩∁U A 中元素的个数为__________．答案：4解析：A ＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，∴ ∁U A ＝(－2,3)，∴ Z ∩C U A ＝{－1,0,1,2}．∴ 元素个数为4.3. 用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是__________．答案：14解析：设两种不同颜色为a 、b 、则所有可能为(a ，a ，a )，(a ，a ，b )，(a ，b ，a )，(a ，b ，b )，(b ，a ，a )，(b ，a ，b )，(b ，b ，a )，(b ，b ，b )．其中满足条件的有(a ，b ，a )，(b ，a ，b )，∴ 概率为14.4. 某校为了解高三男生的身体状况，检测了全部480名高三男生的体重(单位：kg)，所得数据都在区间[50,75]中，其频率分布直方图如图所示．若图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，则体重小于60 kg 的高三男生人数为________．(第4题)答案：180解析：设50～55kg 的频率为a .∵ 65～75kg 的频率为(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25， ∴ a ＋2a ＋3a ＋0.25＝1⇒a ＝0.125.∴ 50～60kg 的频率为0.375⇒所求人数为0.375×480＝180人．5. 已知向量a 、b 的夹角为120°，且|a|＝3，|b|＝1，则|a －2b|＝__________. 答案： 19解析：|a －2b |＝(a －2b )2＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝19. 6. 右图是一个算法的流程图，则输出i 的值是__________．(第6题)答案：5 解析：0＋log 221log 232＋log 243log 254＝log 25>2.7. 若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为__________．答案： 32解析：设M ⎝⎛⎭⎫y 22，y ，则OM 2＝y 44＋y 2＝3，解得y ＝ 2.∴ M (1，2)．又焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，∴ M 到焦点距离为32.8. 若直线y ＝kx －3与曲线y ＝2ln x 相切，则实数k ＝__________.2e 解析：对y ＝2ln x 求导得y ′＝2x，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2ln x ＝kx －3k ＝2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2e x ＝e －12，即实数k ＝2 e.9. 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．若f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，则实数ω的最小值为________．3 解析：[f (x )]max ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，当ω最小时，T ＝2πω最大，此时T 4＝π2－π3＝π6⇒T ＝23π， ∴ ωmin ＝2πT3.10. 已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2＞19的最大正整数n 的值为__________．4 解析：∵ {a n }为等比数列，a 2·a 4＝4⇒a 3＝2， 又a 1＋a 2＋a 3＝142q 2 ＋2q ＝12q ＝12，∴ a n ·a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫123n －9>19，∴ n 最大值为4.11. 已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋3≥0，4x ＋3y －6≤0，y ≥0，Q ＝{(x ，y )|(x －a )2＋(y －b )2≤r 2，r ＞0}，若“点M ∈P ”是“点M ∈Q ”的必要条件，则当r 最大时，ab 的值是__________．14解析：如图，当Q 为三角形区域内切圆时，r 最大．此时r ＝12，a ＝12，b ＝12，∴ ab ＝14.12. 如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段B 1B 上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为__________．(第12题)3 解析：将其侧面展开，当如图所示时，AM ＋MC 1最小．此时AM ＝2，MC 1＝22，又AC 1＝14，∴ S △AMC 1＝ 3.13. 定义：若函数f (x )的图象经过变换T 后所得图象对应的函数与f (x )的值域相同，则称变换T 是f (x )的同值变换．下面给出了四个函数与对应的变换：① f (x )＝(x －1)2，T ：将函数f (x )的图象关于y 轴对称； ② f (x )＝2x －1－1，T ：将函数f (x )的图象关于x 轴对称； ③ f (x )＝xx ＋1，T ：将函数f (x )的图象关于点(－1,1)对称；④ f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，T ：将函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称． 其中T 是f (x )的同值变换的有__________(写出所有符合题意的序号)．13. ①③④ 解析：分别作出图象：①②③④对于④，原函数值域为[－1,1]，关于(－1,0)对称后由图知值域仍为[－1,1]．故符合题意．综上所述．同值变换有①③④.14. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是______________．⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 解析：f (x )≥3恒成立⇒a ≥－x －8x ＋3对x ∈N *恒成立．由双钩函数性质知，当x ＝3时，x ＋8x 有最小值3＋83，∴ a ≥－3－83＋3＝－83. ∴ a ∈⎣⎡⎭⎫－83，＋∞.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本题满分14分)已知向量a ＝(4,5cos α)，b ＝(3，－4tan α)． (1) 若a ∥b ，试求sin α的值；(2) 若a ⊥b ，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值．解：(1) 因为a ∥b ，所以5cos α4＝－4tan α3.(2分)所以15cos 2α＋16sin α＝0，即15sin 2α－16sin α－15＝0.(4分) 解得sin α＝－35或sin α＝53舍去)．所以sin α＝－35.(6分)(2) 因为a ⊥b ，所以a·b ＝0， 即12－20cos α·tan α＝0.所以12－20sin α＝0，即sin α＝35.(8分)因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝45. 所以sin2α＝2sin αcos α＝2425， cos2α＝1－2sin 2α＝725.(11分) 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝cos2α·cos π4＋sin2α·sin π4＝725×22＋2425×22＝31250.(14分)16. (本题满分14分)如图，四棱锥P —ABCD 的底面为矩形，且AB ＝2BC ，E 、F 分别为棱AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面P AD ；(2) 若点P 在平面ABCD 内的正投影O 在直线AC 上，求证：平面P AC ⊥平面PDE .16. 证明：(1) (方法1)取线段PD 的中点M ，连结FM 、AM .因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD .因为四边形ABCD 为矩形， E 为AB 的中点， 所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD .所以FM ∥EA ，且FM ＝EA . 所以四边形AEFM 为平行四边形． 所以EF ∥AM .(5分)又AM ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， 所以EF ∥平面P AD .(7分)(方法2)连结CE 并延长交DA 的延长线于N ，连结PN .因为四边形ABCD 为矩形， 所以AD ∥BC ， 所以∠BCE ＝∠ANE ， ∠CBE ＝∠NAE . 又AE ＝EB ， 所以△CEB ≌△NEA . 所以CE ＝NE . 又F 为PC 的中点， 所以EF ∥NP .(5分)又NP ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .(7分)(方法3)取CD 的中点Q ，连结FQ 、EQ . 在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE ＝DQ ，且AE ∥DQ .所以四边形AEQD 为平行四边形，所以EQ ∥AD . 又AD ⊂平面PAD ，EQ ⊄平面PAD ，所以EQ ∥平面PAD .(2分)因为Q 、F 分别为CD 、CP 的中点， 所以FQ ∥PD .又PD ⊂平面PAD ，FQ ⊄平面PAD ， 所以FQ ∥平面PAD .又FQ 、EQ ⊂平面EQF ，FQ ∩EQ ＝Q ， 所以平面EQF ∥平面PAD .(5分)因为EF ⊂平面EQF ，所以EF ∥平面PAD .(7分) (2) 设AC 、DE 相交于G .在矩形ABCD 中， 因为AB ＝2BC ， E 为AB 的中点， 所以DA AE ＝CDDA＝ 2. 又∠DAE ＝∠CDA ， 所以△DAE ∽△CDA ， 所以∠ADE ＝∠DCA .又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°， 所以∠DCA ＋∠CDE ＝90°.由△DGC 的内角和为180°，得∠DGC ＝90°. 即DE ⊥AC .因为点P 在平面ABCD 内的正投影O 在直线AC 上，所以PO ⊥平面ABCD .(9分) 因为DE ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥DE . 因为PO ∩AC ＝O ，PO 、AC ⊂平面PAC ， 所以DE ⊥平面PAC ，(12分)又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE .(14分) 17. (本题满分14分)如图，椭圆C ：x 216＋y 241的右顶点是A ，上、下两个顶点分别为B 、D ，四边形OAMB是矩形(O 为坐标原点)，点E 、P 分别是线段OA 、AM 的中点．(1) 求证：直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上；(2) 过点B 的直线l 1、l 2与椭圆C 分别交于点R 、S (不同于B )，且它们的斜率k 1、k 2满足k 1k 2＝－14，求证：直线RS 过定点，并求出此定点的坐标．证明：(1) 由题意，得A (4,0)，B (0,2)，D (0，－2)，E (2,0)，P (4,1)． 所以直线DE 的方程为y ＝x －2， 直线BP 的方程为y ＝－14x ＋2.(2分)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－14x ＋2，得⎩⎨⎧x ＝165，y ＝65，所以直线DE 与直线BP 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫165，65.(4分)因为⎝⎛⎭⎫165216＋⎝⎛⎭⎫6524＝1，所以点⎝⎛⎭⎫165，65在椭圆x 216＋y24＝1上．即直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上．(6分) (2) 直线BR 的方程为y ＝k 1x ＋2. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋2，x 216＋y 24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，或⎩⎨⎧x ＝－16k11＋4k21，y ＝2－8k211＋4k 21，所以点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫－16k 11＋4k 21，2－8k 211＋4k 21.(9分) 因为k 1k 2＝－14，所以直线BS 的斜率k 2＝－14k 1.直线BS 的方程为y ＝－14k 1x ＋2.解方程组⎩⎨⎧y ＝－14k 1＋2，x 216＋y24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，或⎩⎨⎧x ＝16k11＋4k21，y ＝8k 21－21＋4k 21.所以点S 的坐标为⎝⎛⎭⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21.(12分)(若写成“同理可得点S 的坐标为⎝⎛⎭⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21”，不扣分)所以R 、S 关于坐标原点O 对称，故R 、O 、S 三点共线，即直线RS 过定点O 18. (本题满分16分)如图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中∠AOB 的圆心角为2π3，半烃OA 为1 km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由弧AC 、线段CD 及线段BD 组成，其中D 在线段OB 上，且CD ∥AO .设∠AOC ＝θ.(1) 用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围； (2) 当θ为何值时，观光道路最长？解：(1) 在△OCD 中，由正弦定理，得 CD sin ∠COD ＝OD sin ∠DCO ＝COsin ∠CDO .(3分)又CD ∥AO ，CO ＝1，∠AOC ＝θ， 所以CD ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝cos θ＋13sin θ，OD ＝23sin θ.(6分) 因为OD ＜OB ，所以sin θ＜32，所以0＜θ＜π3. 所以CD ＝cos θ＋13sin θ，θ的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，π3.(8分)(2) 设道路长度为L (θ)， 则L (θ)＝BD ＋CD ＋弧CA 的长 ＝1－23sin θ＋cos θ＋13sin θ＋θ＝cos θ－13sin θ＋θ＋1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3.(11分) L ′(θ)＝－sin θ－33cos θ＋1， 由L ′(θ)＝0，得sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32. 又θ∈(0，π3)，所以θ＝π6.(14分)列表所以当θ＝π6L (θ)达到最大值，即当θ＝π6时，观光道路最长．19. (本题满分16分)已知函数f (x )＝x |x 2－3|，x ∈[0，m ]，其中m ∈R ，且m ＞0. (1) 若m ＜1，求证：函数f (x )是增函数；(2) 如果函数f (x )的值域是[0,2]，试求m 的取值范围； (3) 如果函数f (x )的值域是[0，λm 2]，试求实数λ的最小值． (1) 证明：当m ＜1时，f (x )＝x (3－x 2)＝3x －x 3. 因为f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x 2)＞0. 所以f (x )是增函数．(3分) (2) 解：令g (x )＝x |x 2－3|，x ≥0.则g (x )＝{ 3x －x 3，0≤x ≤3， x 3－3x ，x ＞ 3. 当0≤x ≤3时，由g ′(x )＝3－3x 2＝0得x ＝1， 所以g (x )在[0,1]上是增函数，在[1，3]上是减函数． 当x ＞3时，由g ′(x )＝3x 2－3＞0， 所以g (x )在[3，＋∞]上是增函数．(5分)所以当x ∈[0，3]时，函数g (x )的最大值是g (1)＝2，最小值是g (0)＝g (3)＝0. 从而0＜m ＜1均不符合题意，且1≤m ≤3均符合题意．(7分)当m ＞3时，在x ∈[0，3)时，f (x )∈[0,2]； 在x ∈[3，m ]时，f (x )∈[0，f (m )]．这时f (x )的值域是[0,2]的充要条件是f (m )≤2， 即m 3－3m ≤2，(m －2)(m ＋1)2≤0，解得3＜m ≤2.综上所述，m 的取值范围是[1,2]．(10分)(3) 解：据(2)知，当0＜m ＜1时，函数f (x )的最大值是f (m )＝3m －m 3，由题意知，3m －m 3＝λm 2，即λ＝3m －m ，是减函数，故λ的取值范围是(2，＋∞)；(12分)当1≤m ≤2时，函数f (x )的最大值是f (1)＝2，由题意知，2＝λm 2，即λ＝2m 2，是减函数，故λ的取值范围是[12，2]；(14分)当m ＞2时，函数f (x )的最大值是f (m )＝m 3－3m ，由题意知，m 3－3m ＝λm 2，即λ＝m －3m ，是增函数，故λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 综上所述，λ的最小值是12，且此时m ＝2.(16分)20. (本题满分16分)(1) 已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n .若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 是等差数列．① 求a n ；② 令b n ＝qS n (q ＞0)，若对一切n ∈N *，都有b 2n ＋1＞2b n b n ＋2，求q 的取值范围；(2) 是否存在各项都是正整数的无穷数列{c n }，使c 2n ＋1＞2c n c n ＋2对一切n ∈N *都成立？若存在，请写出数列{c n }的一个通项公式；若不存在，说明理由. 解：(1) ① (方法1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 1a 1＝a 1a 1＝1，S 2a 2＝2＋d 1＋d ＝1＋11＋d ， S 3a 3＝3＋3d 1＋2d ＝1＋2＋d 1＋2d. 因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 是等差数列，所以2×S 2a 2＝S 1a 1＋S3a 3，即2⎝⎛⎭⎫1＋11＋d ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋2＋d 1＋2d ，解得d ＝0或d ＝1.(4分)因为d ≠0，所以d ＝1.此时S n a n ＝n ＋12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 是等差数列．所以a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2.(6分)(方法2)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(1－d )，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛1－d 2n .因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 是等差数列，所以可设S n a n ＝S 1a 1＋(n －1)p ＝pn ＋(1－p )，所以d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫1－d 2ndn ＋(1－d )＝pn ＋(1－p )，即d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫1－d2n ＝[dn ＋(1－d )][pn ＋(1－p )]对任意的n ∈N *恒成立．故d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫1－d 2n ＝dpn 2＋[d (1－p )＋p (1－d )]n ＋(1－p )(1－d )恒成立．所以⎩⎨⎧d 2dp ， 0＝(1－p )(1－d )， 1－d2＝p (1－d )＋d (1－p ).(4分)因为d ≠0，所以d ＝1，p ＝12.所以a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2.(6分)② 由①得，b n ＝q n (n ＋1)2，所以b 2n ＋1b n b n ＋2＝[q(n ＋1)(n ＋2)2]2q n (n ＋1)2q(n ＋2)(n ＋3)2＝1q，因为b 2n ＋1＞2b n b n ＋2，所以1q ＞2，所以0＜q ＜12.(9分)(2) 假设存在各项都是正整数的无穷数列{c n }，使c 2n ＋1＞2c n c n ＋2对一切n ∈N *都成立，则c n ＋1c n ＞2c n ＋2c n ＋1， 所以c 2c 1＞2c 3c 2＞22c4c 3＞…＞2n －1c n ＋1c n ，所以c n ＋1c n ＜c 2c 1×12n －1.(11分) 若c 2c 1＜1，则c 2c 1×12n －1＜1，所以当n ∈N *时，c n ＋1c n ＜1，即c n ＋1＜c n . 因为c n ∈N *，所以c n ＋1－c n ≤－1. 令c 1＝M ，所以c M ＋2＝(c M ＋2－c M ＋1)＋(c M ＋1－c M )＋(c M －c M －1)＋…＋(c 2－c 1)＋c 1 ≤－(M ＋1)＋M ＝－1＜0，与c M ＋2∈N *矛盾．(13分)若c 2c 1≥1，取N 为log 2c2c 1＋2的整数部分，则 当n ≥N 时，c 2c 1×12n －11，所以c n ＋1c n＜1，即c n ＋1＜c n . 因为c n ∈N *，所以c n ＋1－c n ≤－1. 令c N ＝M ，所以c N ＋M ＋1＝(c N ＋M ＋1－c N ＋M )＋(c N ＋M －c N ＋M －1)＋(c N ＋M －1－c N ＋M －2)＋…＋(c N ＋1－c N )＋c N ≤－(M ＋1)＋M ＝－1＜0，与c N ＋M ＋1∈N *矛盾． 综上，假设不成立．即不存在各项都是正整数的无穷数列{c n }，使c 2n ＋1＞2c n c n ＋2对一切n ∈N *都成立．(16分)南京市高三数学附加题试卷 第页(共2页)南京市2011届高三第二次模拟考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4-1：几何证明选讲如图，已知梯形ABCD 为圆内接四边形，AD ∥BC ，过C 作该圆的切线，交AD 的延长线于E ，求证：△ABC ∽△EDC .证明：因为CE 为圆的切线，所以∠DCE ＝∠DAC .(3分) 因为AD ∥BC ，所以∠DAC ＝∠BCA .所以∠DCE ＝∠BCA .(6分) 因为梯形ABCD 为圆内接四边形，所以∠EDC ＝∠ABC . 所以△ABC ∽△EDC .(10分)B. 选修4-2：矩阵与变换 已知α＝⎣⎡⎦⎤21为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a －1 4属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2.解：由条件可知[] 1 a －1 4[]2 1＝λ[]2 1，(4分) 所以{ 2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得a ＝λ＝2.(7分) 因此A ＝[] 1 2－1 4，所以A 2＝[] 1 2 －1 4[] 1 2 －1 4＝[]－110 －5 14.(10分)C. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，曲线D的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4t ，y ＝3t －2(t 为参数)．若曲线C 、D 有公共点，求实数m 的取值范围．解：曲线C 的普通方程为(x －m )2＋y 2＝4. 曲线D 的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0.(4分)因为曲线C 、D 有公共点，所以|3m ＋2|52，|3m ＋2|≤10.(8分)解得－4≤m ≤83，即m 的取值范围是[－4，83]．(10分)D. 选修4-5：不等式选讲已知a 、b 都是正实数，且ab ＝2.求证：(1＋2a )(1＋b )≥9. 证明：方法1：因为a 、b 都是正实数，且ab ＝2， 所以2a ＋b ≥22ab ＝4.(5分)所以(1＋2a )(1＋b )＝1＋2a ＋b ＋2ab ≥9.(10分) 方法2：因为a 、b 都是正实数， 所以由柯西不等式可知(1＋2a )(1＋b )＝[12＋(2a )2][12＋(b )2]≥(1＋2ab )2.(7分) 又ab ＝2，所以(1＋2ab )2＝9. 所以(1＋2a )(1＋b )≥9.(10分) 方法3：因为ab ＝2，所以(1＋2a )(1＋b )＝(1＋2a )⎝⎛⎭⎫1＋2a ＝5＋2⎝⎛⎭⎫a ＋1a .(5分) 因为a 为正实数，所以a ＋1a ≥2a ·1a＝4. 所以(1＋2a )(1＋b )≥9.(10分) 方法4：因为a 、b 都是正实数，所以(1＋2a )(1＋b )＝(1＋a ＋a )⎝⎛⎭⎫1＋b 2＋b 2 ≥3·3a 2·3·3b 24＝9·3a 2b 24.(8分)又ab ＝2，所以(1＋2a )(1＋b )≥9.(10分)【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝1，D 为A 1C 1的中点，线段B 1C 上的点M 满足B 1M →＝λB 1C →.若向量AD →与BM →的夹角小于45°，求实数λ的取值范围．解：以AC 的中点O 为坐标原点，OB 为x 轴建立如图所示的直角坐标系O —xyz ，则 A (0，－1,0)，D (0,0,1)，B (3，0,0)， B 1(3，0,1)，C (0,1,0)． 所以AD →＝(0,1,1)，BB 1＝(0,0,1)， B 1C →＝(－3，1，－1)，所以BM →＝BB 1→＋B 1M →＝BB 1→＋λB 1C →＝(－3λ，λ，－λ＋1)．(4分) 因为向量AD →与BM →的夹角小于45°，所以cos 〈AD →，BM →〉∈⎝⎛⎦⎤22，1，即22＜12×4λ2＋(－λ＋1)2≤1，(8分)解得0＜λ＜25.所以λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，25.(10分)23. 某校组织一次篮球投篮测试，已知甲同学每次投篮的命中率均为12.(1) 若规定每投进1球得2分，甲同学投篮4次，求总得分X 的概率分布和数学期望； (2) 假设连续3次投篮未中或累计7次投篮未中，则停止投篮测试，问：甲同学恰好投篮10次后，被停止投篮测试的概率是多少？解：(1) X 的概率分布列为(2分)E (X )＝0×116＋2×14＋4×38＋6×14＋8×116＝4.(或E (X )＝8×12＝4)(4分)(2) ① 连续3次投篮未中，不同投法为1＋C 16＋C 26＋(C 36－4)＋(C 13＋C 13)＝44(种)；② 只因累计7次投篮未中，不同投法为C 13＋1＝4(种)．所以该同学恰好投篮10次，被停止投篮测试的概率为P ＝481 024＝364.(10分)。
江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练参考答案
江苏南通2011高考数学二轮冲刺小练参考答案（1）1．}2,0{； 2．14； 3．0； 4．－25 ； 5．3 ； 6．7 ；78．4i ；93； 10．30（或31或32）． 11．解 （1）∵依题意知CD ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴CD ⊥平面PAD ． 又∵CD ⊂平面PCD ， ∴平面PAD ⊥平面PCD ． （2）由（1）知PA ⊥平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．在棱PB 上取一点M ，在平面PAB 内作MN ⊥AB ，垂足为N ，则MN ⊥平面ABCD ，设MN=h ，则V M-ABC =111213323A B C hS h h ∆=⨯⨯⨯⨯=，又V P-ABCD =11(12)1113322A B C D S P A +=⨯⨯⨯=，要使V PDCMA :V MACB =2:1， 则1():2:1233h h -=，解得12h =，即M 为PB 的中点．12．解 （1）设椭圆C 的焦距为2c ，Q （x 0，0），P （x 1，y 1），由F （－c ，0），A （0，b ）得0(,),(,)FA c b AQ x b ==- ．∵FA AQ ⊥ ，∴200cx b -=，即20b x c=．又∵85A P P Q = ，∴211118(0,)(,0)5b x y b x y c --=--，∴21185,1313b bx y c ==．又∵点P 在椭圆上，∴2222285()()13131bbcab+=，整理得223b ac =，又∵222b ac =-，∴222()3a c ac -=，即22320e e +-=，解得12e =，故椭圆的离心率为12．（2）由（1）知223b ac =，12c a=，故23,22ba a c c==，于是Q （3,02a ）、F （,02a -），△AQF 的外接圆圆心为（,02a ），半径1||2r F Q a ==．∵△AQF 的外接圆与直线033=++y x 相切，1|03|a a ++=，解得a =2，∴1b c ==，故椭圆C 的方程为22143xy+=．（2）1．2-；2．(1,2]-； 3．716； 4．322； 5．1-； 6．[-；7．1b a+；8．2211612xy+=； 9．9； 10．4．11． 解 （1）由题设知01()1sin 22f x x x x =+=因为，是函数)(x f y =图象的一条对称轴，所以02()2x k ,k ππ=+∈Z ，)]32cos(1[21)]62cos(1[21)(00πππ++=++=k x x g当k 为偶数时，41)32cos 1(21)(0=+=πx g ；当k 为奇数时，43)3cos 1(21)(0=+=πx g ．（2）因为)]6cos(1[21)sin 211()(πωω++++=x x x h23)3sin(2123)sin 21cos 23(sin 21++=+-+=πωωωωx x x x ，当22[,] [,]3333333x x πππωππωππω∈-+∈-++时，， 因为2()[,]33h x ππ-在上是增函数，且 ,0>ω 所以 ],2,2[]33,332[πππωππωπ-⊆++-即2,332,332ωπππωπππ⎧-+-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥≤ 12ω解得≤，所以ω的最大值为21．12．解 （1）∵23(*)n n S a n n =-∈N ，∴11123a S a ==-，∴13a =．又由1123,23(1)n n n n S a n S a n ++=-⎧⎨=-+⎩得111223n n n n n a S S a a +++=-=--，∴132(3)n n a a ++=+，∴{3}n a +是首项为136a +=，公比为2的等比数列， ∴1362n n a -+=⨯，即3(21)nn a =-．（2）假设数列{}n a 中存在三项,,()r s t a a a r s t <<，它们可以构成等差数列．由（1）知r s t a a a <<，则2s r t a a a =+， ∴6(21)3(21)3(21)srt-=-+-，即1222s r t+=+，∴1212s r t r+--=+（*）． ∵,,r s t 均为正整数且r s t <<， ∴（*）左边为偶数而右边为奇数，（或由1t s +≥，∴122ts +≥，∴1222t r s +>+） ∴假设不成立，即数列{a n }不存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列．（3）1．5； 2．2+i ； 3．(,1]-∞； 4．216y x =或28x y =-；5．充分不必要；6．14； 7．22(2)(1)4x y -+-=； 8； 9．1； 10．65． 11．证 （1）连结BD ．在长方体AC 1中，对角线BD ∥B 1D 1．又∵E 、F 为棱AD 、AB 的中点， ∴EF ∥BD ，∴EF ∥B 1D 1．又B 1D 1⊂平面C B 1D 1，EF ⊄平面C B 1D 1，∴EF ∥平面C B 1D 1． （2）∵在长方体AC 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥B 1D 1．又 在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴B 1D 1⊥平面CAA 1C 1． 又∵平面C B 1D 1⊂平面平面C B 1D 1，∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1． 12．解 （1）∵((cos ,sin )A A =-=m n ，∴1cos cos )2sin()226A A A A A π⋅=-+=-=-m n ．又∵1⋅=m n ，∴1sin()62A π-=．又∵0A π<<，∴66A ππ-=，∴3A π=．（2）∵2222cos ,,3ab c bc A A a π=+-==∴2232cos3b c bc π=+-，∴223b c bc +=+．又∵222b c bc +≥（当且仅当b c =时取等号）， ∴32bc bc +≥，∴3bc ≤，∴1sin 244ABC S bc A ∆==≤，∴△ABC的面积的最大值为4．（4）1．（0，0，－3）； 2．（0，73）； 3．（－1，0）； 4．4 ； 5．23；6．1n； 7．2-； 8．3； 9．1； 10．[8,．11．解 （1）∵,cos ),(cos ,cos )x x x x ==a b ，∴()221f x m =⋅+-ab 2cos 2cos 21x x x m =++-2cos 22x x m =++ 2sin(2)26x m π=++∴()f x 的最小正周期是π． （2）∵]2,0[π∈x ，∴]67,6[62πππ∈+x ．∴当6762ππ=+x 即2π=x 时，函数()f x 取得最小值是12-m ．∵512=-m ，∴3=m ．12．证 （1）∵底面ABCD 是菱形，O 为中心．∴AC ⊥BD ，又∵SA=SC ，∴AC ⊥SO ，而SO BD=O ，∴AC ⊥面SBD ．（2）取棱SC 中点M ，CD 中点N ，连接MN ，则动点P 的轨迹即是线段MN ．证明如下：连结EM 、EN ，∵E 是BC 中点，M 是SC 中点， ∴EM//SB ，同理EN//BD ．又∵AC ⊥平面SBD ∴AC ⊥SB ， ∴AC ⊥EM ，同理AC ⊥EN ， 又EM EN=E ， ∴AC ⊥平面EMN ，因此，当P 点在线段MN 上运动时，总有AC ⊥EP ． P 点不在线段MN 上时，不可能有AC ⊥EP ．（5）1．a ≤2 ； 2．2；3．①②； 4．－4； 5．3[,1)4； 6．(,1)-∞-； 72；8．49；9．115；10．1(,0)3-．11．解 （1）}{n a 为等差数列，4352a a a a +=+∴，252515,54,a a a a +=⎧∴⎨⋅=⎩解得256,9,a a =⎧⎨=⎩（因d<0，舍去）或259,6,a a =⎧⎨=⎩ 11,10,d a =-⎧⇒⎨=⎩ 11n a n ∴=-．（2）n a a n -==11,101 ， 21()121222n n n a a S n n +∴==-+．又021<-，对称轴为221， 故当n = 10或11时，S n 取得最大值，其最大值为55．12．解 如图，设βα=∠=∠BCO ACB ,，再设A （0，a ）、B （0，b ）、C （x ，0），则,)tan(xa=+βα xb =βtan ．])tan[(tan ββαα-+=21tan )tan(1tan )tan(x abx bxa+-=⋅++-+=ββαββαa b a b a b ab x x---==+≤（当且仅当ab x x=时取等号）．∵2x ab =，x >0，∴,时ab x =αtan 有最大值，最大值为abb a 2-，又∵x y tan =在)2,0(π内为增函数，∴αtan 有最大值时，角α最大．∴使∠ACB 取得最大值的点C的坐标为0)．（6）1．4；2．1；3．132()2n -⨯； 4．4 ； 5．58； 6．113；7．10k ≤（或11k <）； 8．(,8]-∞； 9．2； 10．①③④．11．12．解 （1）∵4sin 2)(x x x f +=，∴1cos ()24x f x '=+，∴13()[,]44f x '∈，满足条件0()1f x '<<． 又∵(0)0f =，∴方程0)(=-x x f 有实数根0，∴函数4sin 2)(x x x f +=是集合M 中的元素．（2）假设方程0)(=-x x f 存在两个实数根,()αβαβ<，则[,]D αβ⊆，故存在0[,]x αβ∈，使得等式0()()()()f f f x βαβα'-=-成立．又∵()f αα=，()f ββ=，∴0()1f x '=，这与0()1f x '<<矛盾， 故假设不成立，即方程0)(=-x x f 只有一个实数根．（7）1．(1,1)-； 2．0.8 ； 3．－1； 4．12a >； 5．60； 6．7．034a a <或≤≤； 8．2 ； 9．32； 10．11．解 （1）1, 2k b ==．（2）由)()(x g x f >得24x -<<，y =)(1)(x f x g +=252x x x --+．设2 (06)t x t =+<<，则153y t t=+--≥，当且仅当1t =，即1x =-时，等号成立．12．解 （1）∵E 、F 分别为AB 1、BC 1的中点，∴EF ∥A 1C 1．又∵A 1C 1∥AC ，∴EF ∥AC ． 又∵EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ． （2）∵AB=AA 1，∴AB 1⊥A 1B ．又∵AB 1⊥BC 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1， ∴AB 1⊥A 1C 1，∴AB 1⊥AC ，又∵BB 1⊥AC ，∴AC ⊥平面ABB 1A 1，∴AC ⊥AB ．（3）∵AB=CC 1=a ，BC=b ，∴，112B A AB S a =，∴1111111111223BABC C B A AB B A AB V V S AC -==⨯⨯⨯=．（8）1．23-； 2．1； 3．40； 4．134π-； 5．（-2，15）； 6．若①②④，则③；7．相离； 8．32； 9．2010； 10．(,3][3,)-∞-+∞ ．11．12．解 ∵a =(cos32x ，sin32x )，b =(2sin 2cosx x -，)，∴⋅a b x x x x x 2cos 21sin 23sin21cos23cos=-=，||2|cos |x ===a +b ．又∵[0]2x π∈，，∴cos x ≥0，∴||a +b =2cos x ，∴()2||f x λ=⋅-a b a +b 即2221)(cos 2)(λλ---=x x f ． ∵[0]2x π∈，，∴0≤cos x ≤1．①若λ＜0，则当且仅当cos x =0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾； ②若0≤λ≤1，则当且仅当cos x =λ时，f (x )取得最小值221λ--，由已知得 23212-=--λ，解得21=λ；③若λ＞1，则当且仅当cos x =1时，f (x )取得最小值λ41-，由已知得2341-=-λ，解得85=λ，这与1>λ相矛盾．综上所述，21=λ．（9）1．π； 2．a >12； 3．56； 4．－6； 5．－4 ；6．440x y --=或20x y -+=；7．12；8．33[0,[,)22-++∞ ； 9．30； 10．[7，8]．11．解 ∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴四边形DEAF 是平行四边形，∴||||D E D F A D += ，即||D E D F +的最小值就是线段AD 长的最小值，显然，当AD ⊥BC时AD 最小，即AD 长的最小值为BC 边上的高d BC ．在△ABC 中，∵AB=5，AC=4，∠BAC=60°，∴由余弦定理得，BC ==又∵11sin 22A B C B C S A B A C B A C B C d ∆=⋅∠=⋅，∴sin 7BC AB AC BACd BC⋅∠===，∴||D E D F +7．12．解 （1）∵数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，∴12213,(1)(2)[(1)2(1)]21,(2)n n n S n a S S n n n n n n -⎧==⎪=⎨-=+--+-=+⎪⎩≥21(*)n n =+∈N ．（2）由（1）得1121n b n a b --=+．∵数列{}n b 中，第n 项n b 是数列{}n a 的第1n b -项(2)n ≥， ∴121n n b b -=+，(2)n ≥，∴112(1)n n b b -+=+，(2)n ≥ 又∵11b =，∴112b +=，∴数列{1}n b +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴11222n nn b -+=⨯=，∴21nn b =-．（3）231231111111111111122222nnn b b b b +++⋅⋅⋅+=++++=-++++∵对任意的*n ∈N ，1112n-<，∴要使不等式2123111111111n m m b b b b +++⋅⋅⋅<-+++++恒成立，只需211m m -+≥，解得：0m ≤或1m ≥， ∴m 的取值范围为(,0][1,)-∞+∞ ．（10）1．2-； 22； 3．43-； 4．1,42-； 5．16a -≤≤； 6．5 ；7．8π； 8．51630x y -+=； 9．27 ； 10．③④．11．证 （1）设AC BD O = ，连OE ．由题意可得11,22===E M E F A C A O又∵//E M A O ，∴四边形EOAM 为平行四边形，∴//.E O A M⊂⊄ EO EBD AM EBD 平面,平面//AM EBD ∴平面．（2）连DM ，BM ，MO,,AF AC EC AC AFEC ABCD ⊥⊥⊥ 平面平面，,,,,AF ABCD EC ABCD AF AD EC DC ∴⊥⊥∴⊥⊥平面平面 又ABCD 为菱形，∴AD=DC ，∴DF=DE ． 又点M 是EF 的中点，∴D M EF ⊥．12,2B D A F D O B D A F M O =∴=== ，∴45D M O ∠=︒，同理45BM O ∠=︒， ∴D M BM ⊥． 又E F B M M = DM BEF ∴⊥平面．,DM EFD EFD BEF ⊂∴⊥ 平面平面平面．12．解 （1） A 、B 、C 成等差数列，2,B A C ∴=+又A B C π++=,3π=∴B ，由23-=⋅BC AB 得，2332cos-=⋅πa c ， 3ac ∴=． ①又由余弦定理得ac c a ac c a b-+=∴-+=222223,3cos2π，622=+∴c a ． ② 由①、②得，32=+c a ．（2）2sin sin A C -=22sin sin()3A A π--12sin cos sin )22A A A =-+=3sin )226A A A π-=-，20,,3662A A ππππ<<∴-<-<∴2sin sin A C -的取值范围为(2-．（11）1．3； 2．1316； 3．①②③； 4．0； 5．[3,2)-； 62；7．平行；8．3； 9．x =－1或5x +12y －31=0；10．①③④．11．解 （1）因为k =2，2()(1)4ln f x x x =+-，所以()f x '=422x x+-．由()f x '＞0得2(1)(2)x x x-+＞0，（此处用“≥”同样可以） 又x ＞0，故x ＞1，于是函数的增区间为(1,)+∞．（或[1,)+∞） （2）当k ＜0时，g (x )=()f x '=222k x x+-．g (x )=2()2k x x-++≥2，当且仅当x=”．①若(0,2]，即当k ∈[4,0)-时,函数g (x )在区间(0,2]上的最小值为2；②若k ＜－4，则2()2(1)kg x x'=+在(0,2]上为负恒成立，故g (x )在区间(0,2]上为减函数，于是g (x )在区间(0,2]上的最小值为(2)=6－k ．综上所述，当k ∈[4,0)-时，函数g (x )在区间(0,2]上的最小值为2+； 当k ＜－4时，函数g (x )在区间(0,2]上的最小值为6－k ．12．解 （1）由题意得：222222294115103a b a a b c b c a⎧+=⎪⎪⎧=⎪⎪=+∴⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=⎪⎩ 所以椭圆的方程为1101522=+y x ．（2）由题可知当直线PA 过圆M 的圆心（8，6）时，弦PQ 最大,因为直线PA 的斜率一定存在，设直线PA 的方程为：y －6=k (x －8)，又因为P A 与圆O 相切，所以圆心（0，0）到直线PA 的距离为10，即101|68|2=+-kk ，解得13k =或139，直线PA 的方程为：3100139500x y x y -+=--=或．（3）设α=∠AOP , 则α2,=∠∠=∠AOB BOP AOP ，则1201)(21cos 2cos 222-=-=-=∠OPOPOA AOB α．8210||,12210||minmax =-==+=OP OP ，2200||||cos 10O A O B O A O B A O B O P∴⋅=⋅∠=-，m ax m in 55155(),()818O A O B O A O B ∴⋅=-⋅=- ．（12）1．3i --；2．（－1，3）； 3．2 ； 4．5 ； 5．3 ； 6．350 ；7．2a π； 8．0； 9．②④； 10．48．11．解 （1）由a 11=2，得a 13= a 11×m 2=2m 2，a 61= a 11+5m =2+5m ．又a 13=a 61+1，所以2m 2=2+5m +1，解得m =3或m =0.5-（舍去）．所以111111[(1)](31)3j j j ij i a a ma i m mi ---=⋅=+-=-．（2）S=111212122212()()()n n n nnn a a a a a a a a a ++++++++++ =1112111211(13)(13)(13)1(31)()1313132nnnnn n a a a a a a ---+++=-+++---=1(231)1(31)(31)(31)224nnn nn n +--⋅=+-．12． 解 ∵ f （x ）=－2x 2＋bx ＋c 在x =1时有最大值1，∴2()2(1)1f x x =--+，∴f （x ）≤1．又∵ x ∈[m ，n ]（0＜m ＜n ）时，f （x ）的取值范围是11[]n m ，， ∴ f （x ）在[m ，n ]上是减函数，∴m ≥1，∴ f （m ）=1m，f （n ）=1n，∴ m ，n 是方程2()2(1)1f x x =--+=1x的两个解，解方程结合1≤m ＜n 得m =1，n=12+．（13）1．i ；2．x +y －5=0； 3．(2,)+∞；4．（1，1），（2，2），（3，4），（4，8）；5．赔14元； 6．0.2； 7．①②③； 8．23； 9．191622=-xy； 10．③④． 11．解 （1）由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010S S S S -=-即,)(220121130222110a a a a a a +++=+++ 可得.)(22012112012111010a a a a a a q+++=+++⋅因为0>n a ，所以 ,121010=q解得21=q ，因而.,2,1,2111 ===-n qa a nn n（2）因为}{n a 是首项211=a ，公比21=q 的等比数列，故11(1)1221,.12212nn n nnn S nS n -==-=--则数列}{n nS 的前n 项和),22221()21(2nn n n T +++-+++=).2212221()21(212132++-+++-+++=n nn n n n T前两式相减，得122)212121()21(212+++++-+++=n nn nn T12211)211(214)1(++---+=n nnn n ，即 1(1)12222n n n n n nT -+=++-． 12．解 （1）∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，则AE ⊥BC ． 又∵BF ⊥平面ACE ，∴AE ⊥BF ， ∴AE ⊥平面BCE ．又∵BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE ．（2）111422233D AE C E A D C E A B C D V V V ---===⨯⨯⨯=．（3）在三角形ABE 中，过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在三角形BEC 中，过G 点作GN ∥BC交EC 于N 点，连MN ，则由比例关系易得CN ＝CE 31．MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE, AE ⊂平面ADE ， ∴MG ∥平面ADE ，同理，GN ∥平面ADE ， ∴平面MGN ∥平面ADE ．又∵MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE ， ∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点．（14）1．{－1，0，1} ； 2．①②③； 3．－3 ； 4．45°； 5．3，－17 ；6．16.5； 7．－4；8．(b ； 9．0.6； 10．14x =．11．解 2221(1)2xxxy aa a =+-=+-．① 当1a >时，∵11x -<<，∴1xa a a≤≤，∴2m ax (1)2y a =+-．由21,(1)214a a >⎧⎨+-=⎩得3a =； ② 当01a <<时，∵11x -<<，∴1xa a a≤≤，∴2m ax 1(1)2y a=+-．由201,1(1)214a a<<⎧⎪⎨+-=⎪⎩得13a =．综上所得， 13a =或3．12．解 （1）∵1r =，∴(cos 3,sin ),(cos ,sin 3)AC BC αααα=-=-．又∵1AC BC ⋅=-，∴(cos 3)cos sin (sin 3)1αααα-+-=-，∴2sin cos 3αα+=，∴5sin 29a =-．（2）方法一：∵3r =，A ，B ，C 在以原点为圆心，3为半径的圆上．又∵∠AOB=90°，∴∠ACB=45°．又∵∠ABC=60°，AB=∴由正弦定理得sin sin 2A B A B C A C A C B∠===∠方法二：∵∠ABC=60°，∴∠AOBC=120°． 又∵OA=OB=3r =，∴由余弦定理得AC ===．（15）1．23-；2．充要；3．1(,1)(,)2-∞-+∞ ； 4．122--； 5．5；6．14； 7．2；8．9-；9．{4，5，6}； 10．①④．11．解：（1）∵(cos sin )x x ==，，a b ，85⋅=a b ，85x x +=，即cos()x -=π445．又∵42x ππ<<，∴044x ππ<-<，∴3sin()45x π-=，∴3tan()44x π-=．（2）由（1）得sin cos()cos ()2222417252x x x =-=--=ππ．又∵111141313()144tan x tan xtan xtan x tan x π+====-----+，∴2(1)7428()125375sin x tan x tan x +=⨯-=--． 12．解 设AB=c ，AC=b ，BC=a ．（1）∵9AB AC ⋅=，S △ABC =6，∴cos 9,sin 12,bc A bc A =⎧⎨=⎩ 两式平方相加得bc =15，∴43sin ,cos 55A A ==．又∵sin cos sin B A C =， ∴sin cos sin C A B =，∴35c b =，由35c b =与bc =15得b =3，c =5，∴4a ==．（2）∵2S △ABC ∴121(2)55x y z x y ++=++，设2t x y =+，则3412,0,0,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥由线性规划得08t ≤≤，∴1245x y z ++≤≤． （本题也可建立平面直角坐标系解之）（16）1．（0，1]； 2．0ad bc +=； 3．无数； 4．4； 5．70x y +-=或250x y -=； 6．－3； 7．23； 8．②③； 9．[1,5)(5,)+∞ ；10．①②⑥．11．解 设f (m )=(x 2－1)m －2x +1，f (m )是m 的函数，其图象是直线．依题意，f (m )<0对m ∈[－2，2]恒成立．由于y =f (m )，当－2≤m ≤2时的图象是线段，该线段应全部位于x 轴下方，其充要条件是端点的纵坐标小于0，即(2)0,(2)0.f f -<⎧⎨<⎩由f (－2)<0得22(1)210x x ---+<，解得2x <或2x >；由f (2)<0得22(1)210x x --+<，解得1122x -+<<，所以(2)0,(2)0f f -<⎧⎨<⎩的解集为1122x -++<<，即适合题意的x的取值范围是11(22-++．12．解 （1）设P(x ，y )是)(x f 图象上的任意一点，P 关于点A 的对称点为Q(x 0，y 0)，则000,2,x x y y +=⎧⎨+=⎩即00,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩据题意知Q(x 0，y 0)在21)(++=xx x h 的图象上，所以00012y x x =++，即122y x x-=-++-，即1y x x =+，所以1()f x x x=+．（2）由（1）知1()()a a g x f x x x x+=+=+，所以21()1a g x x+'=-．又因为)(x g 在区间（0，2）上为减函数，所以2110a x+-<即21a x >- 当(0,2)x ∈时恒成立． 又因为(0,2)x ∈时，213x -<，所以3a ≥．（17）1．1，1 ；2．(0,1)； 3．19； 4．23； 5．3m 和1.5m ； 6．3π；7．（0，4）； 8．22136xy-=； 9．[2,)-+∞； 10．97300.11．解 （1）∵{}n a 是等差数列，∴212,i i i a a a +++=∴方程21220i i i a x a x a ++++=可化为222()0.i i i i a x a a x a +++++=即2(1)()0i i x a x a +++=，有一解1x =-为公共解．（2）由（1）知以上方程另一解为()21,2,,,i ia x i n a +=-=⋅⋅⋅所以2i iia a a +=-，所以321111111111n n n n n na a a a a a ++++-=---++++1132n n n n n n a a a a a a ++++=---112222n n a a d ddd+=-==----，故数列1{}1n a +是以111a +为首项，12-为公差的等差数列．12．解 （1）易得直线l 的方程为()2t y x a =+，代入椭圆方程并整理得：222(4)40.a t y aty +-=所以224,4M at y a t =+S=2S △AOM =2×22214.24M a t OA y a t ⋅=+（2）由（1）得，22244aS a a t t==+≤，当且仅当2t a=时等号成立．所以，当2[1,2]a∈时，即[1,2]a ∈时，m ax S a =；当2a >时，设224u a t t=+，则224u a t'=-．∵[1,2]t ∈，∴0,u '>∴u 在[1,2]t ∈上单调递增，∴S 在[1，2]上单调递减，∴1t =时，2max 24.4aS a =+综上得，2m ax2,(12),4,(2).4a a S a a a ⎧⎪=⎨>⎪+⎩≤≤ （18）1．9.2； 2．充要； 3．40； 4．－3； 5．0； 6．[2010,2011)，I ←I +2 ；7．154；8．13； 9．4； 10．3{4,,6}2--． 11．解 设事件A 为函数()f x 有零点．当0,0a b >>时，函数()f x 有零点的充要条件为a b ≥．（1）用正六面体骰子从1，2，3，4，5，6这六个数中掷出的一个数，再用正四面体骰子从1，2，3，4这四个数中掷出的一个数，共有基本事件24个． 设事件A 包含下列基本事件：当a =1时，b =1；当a =2时，b =1，2；当a =3时，b =1，2，3；当a =4时，b =1，2，3，4；当a =5时，b =1，2，3，4；当a =6时，b =1，2，3，4．所以事件A 发生的概率为1234443()244P A +++++==．（2）实验的全部结果所构成的区域为16,{(,)|}14a a b b ⎧⎨⎩≤≤≤≤，构成事件A 的区域为16,{(,)|14,}a a b b a b ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤≥，所以事件A 发生的概率为1(52)372()5310P A +⨯==⨯．12．解 （1）R x t t t x x t x x f ∈+-++--=,4342cos 2sin 4cos )(23223223sin 12sin 434(sin )433x t x t t t x t t t =--++-+=-+-+．∵|t |≤1，|sin x |≤1，∴当sin x t =时，)(x f 取得最小值g(t )，即3()433g t t t =-+．（2）∵2()1233(21)(21)g t t t t '=-=+-，|t |≤1，列表如下：∴由此可见，g(t )的单调增区间为（―1，―12）和（12，1），单调减区间为（―12，12），故g(t )的极大值为1()42g -=，极小值为1()22g =． （19）1．－2； 2．m n k；3．1(,1)2； 4．12+5．左，8π； 6．三；7．1[0,]2a； 8．911，22；9．2214xy -=； 10．22221111habc=++．11．证 （1）因为()lnln(0)x x f x aaa=-=-+>，所以1322111()()22a f x x x x a --'=⋅-+-20=-<，所以，()f x 在区间(,)a +∞上是减函数．（2）因为b a >，由（1）得()()f b f a <，即ln0ba-<，所以ln ln b ab a-<-12．证 （1）连接A 1D ．∵A 1D 1DA 是正方形，∴AD 1⊥DA 1． 又∵AD 1⊥A 1C ，∴AD l ⊥平面A 1CD ，∴AD 1⊥CD ． 又∵DD 1⊥CD ， ∴CD ⊥平面AD l ， ∴CD ⊥平面AD ． （2）设AC BD=O ．∵AD=DC ，AB=BC ，∴BO ⊥AC ．又∵BO ⊥C 1C ，AC C 1C=C ，∴BO ⊥平面AA 1C 1C ． 在BD 上取点M ，使得OM=OD ，连接AM ，CM ． ∵AD=DC ，∠ADC=90°，又DO ⊥AC ，且AO=OC ，∴CM=AM=AD ，∴四边形AMCD 是一个正方形，∴AM ∥CD ． ∴A 1D ⊥AM ．又∵AD 1⊥A 1D ，∴A 1D ⊥平面AD 1M ，D 1M ⊥A 1D ．又∵A 1C 1⊥平面DD 1B 1B ，∴D 1M ⊥A 1C 1．又∵A 1D A 1C 1=A 1，∴D 1M ⊥平面A 1C 1D ，此时DM=，∴当DM=D 1M ⊥平面A 1C 1D ．（20）1． x ∀∈R ，x 2+ x +1≥0； 2．一； 3．0.01； 4．24； 5．①④；6．13R(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)； 7．； 8．32； 9．(1,1)--； 101．11．解 （1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：41(0.0250.01520.010.005)100.3f -+⨯++⨯==，直方图如下图所示．（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯=， 所以，抽样学生成绩的及格率是75%． 利用组中值估算抽样学生的平均分123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝450.1550.15650.15750.3850.25950.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝71， 估计这次考试的平均分约是71分．12． 解 （1）由//m n 得0cos cos )2(=-⋅-C a A c b ，由正弦定理得0cos sin cos sin cos sin 2=--C A A C A B ， ∴0)sin(cos sin 2=+-C A A B ，∴0sin cos sin 2=-B A B ．1,(0,),sin 0,cos ,23A B B A A ππ∈∴≠=∴=．（2）22sin coscos 2sinsin 233y B B B ππ=++11cos 2cos 2222B B B =-++11cos 2222B B =-+s i n (2)16B π=-+，由（1）得67626320ππππ<-<-∴<<B B ，∴1sin(2)(,1]62B π-∈-，∴1(,2]2y ∈．（21）1．1或3；2．2； 3．[1,1]-； 4．13-； 5．14； 6．4π； 7．2572；8．1；9．11； 10．②③④． 11．解 ∵32(),3xf x bx cx =++∴2()2.f x x bx c '=++由(1)0f '=得210.b c ++=∵1是()f x '的零点，且()f x '的图象关于x b =-对称，∴21b --也是()f x '的零点，即c 也是()f x '的零点．又∵112b -<<，∴30.c -<<又∵0x 是()2c y f x x =-的一个极值点，∴0()02c f x '=<，∴0(,1)x c ∈，∴043x c -<-<，∴0(4)(3)f x f -<-．12．解 （1）∵13(23)3n n tS t S t --+=，∴123(23)3n n tS t S t ---+=，两式相减得13(23)0n n ta t a --+=． 又∵0t >，∴1233n n a t a t -+=，∴{a n }是以1为首项，233t t +为公比的等比数列．（2）由（1）得()f t 232133t t t+==+，∴1112()3n n n b f b b --==+， ∴{bn }是以1为首项，23为公差的等差数列，∴2211(1)333n b n n =+-=+．（3））由（2）得2462,,,,n b b b b 是以53为首项，43为公差的等差数列，∴12233445212221n n n n b b b b b b b b b b b b -+-+-++-21343522121()()()n n n b b b b b b b b b -+=-+-++- 242225142()2[(1)]33323n b b b n n n =-⨯+++=-⨯⨯⨯+⨯-⨯ 22193n n =--．（22）1．42．84； 3． 45．1(,0)(0,2)2-； 6．6 ；7．1或－1； 8．8； 9． 10．100π．11．解 （1）连接AF ，∵E ， F 分别为CC 1，DD 1的中点，∴EF ∥AB ，且EF=AB ，∴四边形ABEF 为平行四边形．又在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥平面AA l D 1D ， ∴EF ⊥A 1F ．由已知得，A 1A=2，∴A 1F 2+AF 2=AA 12，∴AF ⊥A l F ．又AF EF=F ，∴A 1F ⊥平面ABEF ，即A 1F ⊥面BEF ． （2）由A 1F ⊥平面BEF 得A 1B 在平面BEF 上的射影为BF ，∴∠A 1BF 为直线A 1B 与平面BEF 所成的角．由已知，A 1A 11sin 5A BF ∠=．12．解 （1）∵方程20n n x a x a --=有一根为1n S -，1(2)n n n a S S n -=-≥，∴211(1)()(1)()0n n n n n n S S S S S S --------=，化简得112n n S S -=-，∴11111121111111111112n n n n n n n S S S S S S S --------=-=--------11111n n S S ---==--，∴数列1{}1n S -为等差数列，其公差为－1 ；（2）由2(1)(1)0n n n n S a S a ----=，令n=1，得21111(1)(1)0a a a a ----=，解得112a =，∴1111211S a ==---．由（1）得12(1)(1)(1)1n n n S =-+-⋅-=-+-，∴1n nS n =+，∴2n ≥时，1111(1)n n n n n a S S n nn n --=-=-=++，又112a =也符合上式，∴1(*)(1)n a n n n =∈+N ．（23）1．12； 2．[1,2)； 3．12-； 4．（-13，13）；5．2212xy -=；6．②④； 78．； 9．48；10．12-．11．解 （1）∵(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ，∴||||1==a b ．又∵|||k k +=-a b a b ，∴22||3||k k +=-a b a b ，∴2222222363k k k k ++=-+⋅⋅a a b b a a b b ，∴22(3)1(31)18k k k-+-⋅=⋅⋅a b kk kk 4182222+=+=．（2）∵k ＞0，∴由（1）⋅ab 21114442k k kk+==+=≥，当且仅当kk 414=，即1=k 时取等号．此时，⋅a b 1||||cos 2θ==⋅⋅a b ，∴21cos =θ，∴3πθ=，即⋅a b 的最小值为21，此时a 与b 的夹角θ为3π．12．解 （1）12n n a S += ，12n n n S S S +∴-=，13n nS S +∴=．又111S a == ，∴数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，1*3()n n S n -=∈N ．当2n ≥时，21223(2)n n n a S n --==⨯≥，21132n n n a n -=⎧∴=⎨2⨯⎩， ，，≥． （2）12323n n T a a a na =++++ ，当1n =时，11T =；当2n ≥时，0121436323n n T n -=+⨯+⨯++⨯ ， ①所以 12133436323n n T n -=+⨯+⨯++⨯， ②①－②得：12212242(333)23n n n T n ---=-+++++-⨯213(13)222313n n n ---=+⨯-⨯-11(12)3n n -=-+-⨯．111()3(2)22n n T n n -∴=+-≥．又111T a == 也满足上式，1*11()3()22n n T n n -∴=+-∈N ．（24）1．4； 2．四； 3 4．①②； 5．34(,)55-或34(,)55-； 6．2e ； 7．364； 8．7； 9．222231)(3)(5)[(1)2(1)](n n n n n n n n n n -++-++-++++-++-= ； 10．4．11． 证 （1）在图1中，过C 作CF ⊥EB ．∵DE ⊥EB ，∴四边形CDEF 是矩形．∵CD=l ，∴EF=1．∵四边形ABCD 是等腰梯形，AB=3， ∴AE=BF=1．∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1．连结CE ，则CE=CB=∵EB=2，∴∠BCE=90°．则BC ⊥CE ． 在图2中，∵AE ⊥EB ，AE ⊥ED ，EB ED=E ， ∴AE ⊥平面BCDE ．∵BC ⊂平面BCDE ，∴AE ⊥BC ．∵AE CE=E ，∴BC ⊥平面AEC ． （2）用反证法．假设EM // 平面ACD ．∵EB // CD ，CD ⊂平面ACD ，EB ⊄平面ACD ， ∴EB // 平面ACD ．∵EB EM=E ，∴平面AEB // 平面ACD ． 而A ∈平面AEB ，A ∈平面ACD ， 与平面AEB // 平面ACD 矛盾．∴假设不成立，∴EM 与平面ACD 不平行．12．（25）1．充要； 2．（0，3）； 3．3； 4．－1； 5．0.7； 6．－2； 7．40 dm 2；8．(,)33-∞-+∞ ； 9．41；10．(,2][2,){0}-∞-+∞ ．11．证 切化弦后用和角公式得2sin sin cos 1sin A B CC=，再用正弦定理得2cos 1ab C c=，再用余弦定理得222212ab a b c c ab+-⋅=，即2223a b c +=． 12．解 （1）∵对任意的实数y x ,都有()()()2()1f x y f x f y y x y +=++++，1)1(=f ，∴(1)()(1)2(1)1()24f x f x f x f x x +=++++=++，(1)()24f x f x x +-=+， ∴当*x ∈N 时，()[()(1)][(1)(2)][(2)(1)](1)f x f x f x f x f x f f f =--+---++-+2[(22)286]133x x x x =++++++=+- ．（2）由（1）得，*x ∈N 时，不等式()f x ≥)10()7(+-+a x a 可化为233x x +-≥(1)(71a x x -+-，即247x x -+≥(1)a x -． ∵2x ≥，∴2471x x a x -+-≥．∵2474(1)22211x x x x x -+=-+-=--≥（当且仅当411x x -=-即32x =>取等号），∴要使原不等式恒成立，只需a 2≤，即实数a 的取值范围为(,2]-∞．（26）1．[0，2]； 2．2； 3．－2；4．①④； 5．相切； 6．)6,2[-；7．1b <-或2b >； 8．①②④；9．7；10．③．11．解 （1）设021<<x x ，则2133x x <，1321<+x x ∵1212112212121222()()333333()()91919191x x x x xx x x x x x x x x f f +++---=-=++++121212()()()()331309191xx x xx x +--=<++，∴12()()f x f x <，即)(x f y =在)0,(-∞上是增函数． （2）∵3110191233xx xx<=++≤，∴当0x ≤时，()311(,0]9122xxf x =-∈-+．又∵函数)(x f y =是R 上的奇函数，∴当0>x 时，19321)(+-=xxx f 1(0,)2∈．综上得 )(x f y =的值域为 11(,)22- ．12．解 （1）因为2a e ==，所以c =1，则b =1， 即椭圆C 的标准方程为2212xy +=．（2）因为P （1，1），所以12PF k =，所以2O Q k =-，所以直线OQ 的方程为y =－又椭圆的左准线方程为x =－2,所以点Q （－2，所以1P Q k =-，又1O P k =,所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥， 故直线PQ 与圆O 相切．（3）当点P 在圆O 上运动时，直线PQ 与圆O 保持相切．证明如下：设00(,)P x y (0x ≠，则22002y x =-， 所以001PF y k x =+，001O Q x k y +=-，所以直线OQ 的方程为001x y x y +=-，所以点Q(－2,0022x y +) ，所以0022000000000022(22)22(2)(2)PQ x y y y x x x x k x x y x y y +--+--====-+++，又因为00O P y k x =，所以1k k PQ OP -=⊥，即OP PQ ⊥，故直线PQ 始终与圆O 相切．（27）1．2； 2．{|0}x x ≥； 3．8； 4．4； 5．120°； 6．92；7．13+； 8．23-；9．5∶1；10．)37,53(． 11．证明 （1）取PD 中点G ，易证FG 21CD AE ，∴四边形AEFG 为平行四边形，∴EF ∥AG ，∴EF ∥平面PAD ．（2）分别取DE 、BC 中点M 、N ．由PD=PE ，PB=PC ，则PM ⊥DE ，PN ⊥BC ． 在直角梯形BCDE 中，∵BC ⊥MN ，∴BC ⊥平面PMN ．∥ ＝ ∥ ＝∵BC ⊥PN ，∴BC ⊥PM ．又∵DE ⊥PM ，∴PM ⊥面ABCD ， ∴平面PDE ⊥平面ABCD ．12．解 （1）∵)2sin(sin 3βαβ+=，∴3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++．∴3sin()cos 3cos()sin αβααβα+-+=sin()cos cos()sin αβααβα+++ ∴αβααβαsin )cos(2cos )sin(+=+ 又∵βα,为锐角，2πβα≠+，∴αβαtan 2)tan(=+．（2）由（1）可得αβαβαtan 2tan tan 1tan tan =-+，∴22tan 2tan 112tan 42tan tan αβααα==++≤（当且仅当12tan tan αα=，即tan 2α=时取等号），∴βtan 的最大值为42．（28）1．（－∞，2）； 2．1或2； 3．a ≥－8； 4．60； 5．4π； 6．150° ；7．b =8．32-；910．（3，＋∞）．11．解 （1）22,cos ),(1,2cos ),x x x =+= m n2()222cos 2cos 23f x x x x x ∴=⋅=++=++m n3)62sin(2++=πx ，ππ==∴22T ，32222(),()26263k x k k k x k k πππππππππ+++∈∴++∈Z Z 令≤≤≤≤，2()[,]()63f x k k k ππππ∴++∈Z 的单调减区间为．（2）由4)(=A f 得，1()2sin(2)34,sin(2).662f A A A ππ=++=∴+=A ABC ∆ 为的内角又， 752,266666A A πππππ∴<+<∴+=，3π=∴A ．11,sin 322ABC S b bc A ∆==∴=2=∴c ，。
江苏省徐、淮、连、宿2011届高三第二次联考(数学)word版
苏北四市（连、徐、淮、宿）2011届高三年级第二次调研考试数学I一、填空题： 1． 若1a ii+-（i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值是_________ 2． 已知集合2{|1},{|20}A x x B x x x =>=-<，则A B =_________3． 为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，从该校200名授课教师中随机抽取20名教师，调查他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：据此可估计该校上学期200名教师中使用多媒体进行教学次数在【15,30】内的人数是_________ 4． 在如图所示的流程图中，输出的结果是_________5． 若以连续两次骰子得到的点数m ，n 分别作为点P 的横坐标和纵坐标，则点P在圆2216x y +=内的概率是6． 在约束条件010221x y y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩下，则22(1)x y -+的最小值是_________7． 一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，Ｐ是摩天轮轮周上一定点，从Ｐ在最低点时开始计时，则１６分钟后Ｐ点距地面的高度是_________ 8． 已知集合222{(,)|||||1},{(,)|,0}A x y x y B x y x y r r =+≤=+≤>若点（ｘ，ｙ）∈Ａ是点（ｘ，ｙ）∈Ｂ的必要条件，则ｒ 的最大值是_________ 9． 已知点Ａ（０，２）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA交抛物线与点B ，过B 做l 的垂线，垂足为M ，若A M ⊥MF ，则p=_________ 10． 若函数2,0()2,0xx x f x x -⎧<⎪=⎨->⎪⎩，则函数(())y f f x =的值域是_________11．如图所示，在直三棱柱中，A C ⊥BC ，AC =4,BC =CC 1=2,若用平行于三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小 值为 。
数学_2011年江苏省无锡市某校高考数学模拟试卷2(理科)(含答案)
2011年江苏省无锡市某校高考数学模拟试卷2（理科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 设全集U={x∈Z|−1≤x≤5}，A={1, 2, 5}，B={x∈N|−1<x<4}，则B∩C U A=________．2. 若f(x)是偶函数，且当x∈[0, +∞)时，f(x)=x−1，则f(x−1)<0的解集是________．3. 已知f(x)={f(x−5),x>0log2(−x)，x≤0则f ( 2009 )=________．4. 若x∈A，则1x ∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={−1,0,13，12，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系集合的个数为________个．5. 命题“ax2−2ax+3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是________．6. 设定义在[−2, 2]上的奇函数f(x)在区间[0, 2]上单调递减，若f(1+m)+f(m)<0，则实数m的取值范围为________．7. 若不等式x2+px+1>2x+p对满足|p|≤2的所有实数p都成立，则x的取值范围是________．8. 已知f(x)=|x|x+2，若关于x的方程f(x)=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围是________．9. 对于函数y=f(x)，x∈D，若存在常数c，使对任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，满足f(x1)+f(x2)2=c，则称函数f(x)在D上的均值为c，现已知函数：①y=2x，②y=x5，③y=2sinx，④y=lgx，则满足在其定义域上均值为2的函数的序号是________（填上所有符合要求的函数的序号）10. 命题甲：“a、b、c成等差数列”是命题乙：“ab +cb=2”的________条件．11. 下列说法错误的序号是________．（1）“sinθ=12”是“θ=30∘”的充分不必要条件；（2）命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”（3）若命题p:∃x∈R，x2−x+1<0，则¬p:∀x∈R，x2−x+1≥0；（4）如果命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题．12. 已知f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)=log2(−x)，则f(x)的解析式为________．13. 已知以T=4为周期的函数f(x)={m√1−x2，x∈(−1,1]1−|x−2|,x∈(1,3]，其中m>0．若方程3f(x)=x恰有5个实数解，则m的取值范围为________．14. 若函数f(x)=a x−x−a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．二、解答题（共6小题，满分90分）15. 已知不等式21−x≥1的解集为A，不等式x2−(2+a)x+2a<0的解集为B．(1)求集合A及B；(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．16. 设函数y=f(x)(x∈R，且x≠0)，对任意非零实数x1、x2满足f(x1+x2)=f(x1x2)，（1）求f(1)+f(−1)的值；（2）判断函数y=f(x)的奇偶性；（3）已知y=f(x)在(0, +∞)上为增函数且f(4)=1，解不等式f(3x+1)+f(2x−6)≤3．17. 某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员．已知这家公司现有职工2m人（60<m<500，且m为10的整数倍），每人每年可创利100千元．据测算，在经营条件不变的前提下，若裁员人数不超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元；若裁员人数超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的75%．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．问：为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？18. 已知定义在R上的函数f(x)＝ax3−2ax2+b(a>0)在区间[−2, 1]上的最大值是5，最小值是−11．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若t∈[−1, 1]时，f′(x)+tx≤0恒成立，求实数x的取值范围．19. 已知二次函数y=g(x)的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g(x)在x=−1处取得．极小值m−1(m≠0)．设f(x)=g(x)x（1）若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0, 2)的距离的最小值为√2，求m的值；（2）k(k∈R)如何取值时，函数y=f(x)−kx存在零点，并求出零点．20. 设a为实数，函数f(x)=2x2+(x−a)|x−a|．(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数ℎ(x)=f(x)，x∈(a, +∞)，求不等式ℎ(x)≥1的解集．2011年江苏省无锡市某校高考数学模拟试卷2（理科）答案1. {0, 3}2. (0, 2)3. 04. 155. a<0或a≥3,1]6. (−127. (−∞, −1)∪(3, +∞)8. (1, +∞)9. ②④10. 必要不充分11. （1）12. f(x)={log 2(−x)x <00x =0−log 2xx >0 13. (√153，√7) 14. (1, +∞) 15.解：(1)不等式21−x ≥1可化为：x+1x−1≤0，解得：−1≤x <1，∴ A ={x|−1≤x <1}，不等式x 2−(2+a)x +2a <0可转化为： (x −2)(x −a)<0， 当a =2时，B =⌀；当a >2时，B ={x|2<x <a}； 当a <2时，B ={x|a <x <2}.(2)当a =2时，不成立；当a >2时，B ={x|2<x <a}，与题意不符， ∴ 不成立；当a <2时，B ={x|a <x <2}， 又A ⊆B ， ∴ a <−1；综上：实数a 的取值范围是a <−1． 16. 解：（1）分别令x 1=x 2=1，x 1=x 2=−1代入可得f(1)=0，f(−1)=0 ∴ f(1)+f(−1)=0（2）∵ f(−x)=f(−1)+f(x)=f(x)， ∴ f(x)为偶函数 （3）∵ f(4)=1， ∴ f(64)=3f(4)=3故原不等式可化为f[(3x +1)(2x −6)]≤f(64)∴ −64≤(3x +1)(2x −6)≤64且(3x +1)(2x −6)≠0 解得：−73≤x ≤5且x ≠−13，3．17. 解：设公司裁员人数为x ，获得的经济效益为y 千元，则由题意得当0<x ≤15×2m 时．y =(2m −x)(100+x)−20x 当25m ≤x ≤14×2m 时，y =(2m −x)(100+2x)−20x∴ y ={−[x 2−2(m −60)x]+200m ，0<x ≤25m 且x ∈N−2[x 2−2(m −30)x]+200m 25m <x ≤12m ，x ∈N， 由①得对称轴x =m −60>0，当0<m −60≤25m ，即60<m ≤100时，x =m −60时，y 取得最大值y 1=m 2+80m +3600当m >100时，x =25m 时，y 取得最大值y 2=0.64m 2+152m由②得对称轴x =m −30，∵ 60<m <500，∴ m −30>12m ，∵ 当x =m 2时，y 取得最大值y 3=1.5m 2+140m∵ 当60<m ≤100时，y 3−y 1=0.5m 2+60m −3600 =0.5(m +60)2−5400>0.5×1202−5400 =1800>0当100<m <500时，y 3−y 2=0.86m 2−12m =m(0.86m −12)>0， 即当60<m <500时，y 3最大即当公司应裁员数为12m ，即原有人数的14时，获得的经济效益最大． 18. （1）∵ f(x)＝ax 3−2ax 2+b ， ∴ f ′(x)＝3ax 2−4ax ＝ax(3x −4) 令f ′(x)＝0，得x 1=0,x 2=43∉[−2,1]因为a >0，所以可得下表：因此f(0)必为最大值，∴ f(0)＝5，因此b ＝5，∵ f(−2)＝−16a +5，f(1)＝−a +5，∴ f(1)>f(−2)， 即f(−2)＝−16a +5＝−11，∴ a ＝1， ∴ f(x)＝x 3−2x 2+5（2）∵ f ′(x)＝3x 2−4x ，∴ f ′(x)+tx ≤0等价于3x 2−4x +tx ≤0，令g(t)＝xt +3x 2−4x ，则问题就是g(t)≤0在t ∈[−1, 1]上恒成立时，求实数x 的取值范围，为此只需{g(−1)≤0g(1)≤0 ，即{3x 2−5x ≤0x 2−x ≤0，解得0≤x ≤1，所以所求实数x 的取值范围是[0, 1]．19. 解：（1）依题可设g(x)=a(x +1)2+m −1(a ≠0)，则g ′(x)=2a(x +1)=2ax +2a ； 又g ′(x)的图象与直线y =2x 平行∴ 2a =2∴ a =1 ∴ g(x)=(x +1)2+m −1=x 2+2x +m ，f(x)=g(x)x =x +m x+2，设P(x o , y o )，则|PQ|2=x 02+(y 0−2)2=x 02+(x 0+mx 0)2=2x 02+m 2x 02+2m ≥2√2m 2+2m =2√2|m|+2m当且仅当2x 02=m 2x 02时，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值√2当m >0时，√(2√2+2)m =√2解得m =√2−1当m <0时，√(−2√2+2)m =√2解得m =−√2−1 （2）由y =f(x)−kx =(1−k)x +m x+2=0(x ≠0)，得(1−k)x 2+2x +m =0(∗)当k =1时，方程(∗)有一解x =−m 2，函数y =f(x)−kx 有一零点x =−m 2； 当k ≠1时，方程(∗)有二解⇔△=4−4m(1−k)>0， 若m >0，k >1−1m ，函数y =f(x)−kx 有两个零点x =−2±√4−4m(1−k)2(1−k)，即x =1±√1−m(1−k)k−1；若m <0，k <1−1m ，函数y =f(x)−kx 有两个零点x =−2±√4−4m(1−k)2(1−k)，即x =1±√1−m(1−k)k−1；当k ≠1时，方程(∗)有一解⇔△=4−4m(1−k)=0，k =1−1m，函数y =f(x)−kx 有一零点x =1k−1=−m综上，当k =1时，函数y =f(x)−kx 有一零点x =−m2；当k >1−1m (m >0)，或k <1−1m (m <0)时， 函数y =f(x)−kx 有两个零点x =1±√1−m(1−k)k−1；当k =1−1m时，函数y =f(x)−kx 有一零点x =1k−1=−m ．20. 解：(1)若f(0)≥1，则−a ⋅|a|≥1⇒{a <0a 2≥1⇒a ≤−1；(2)当x ≥a 时，f(x)=3x 2−2ax +a 2， ∴ f(x)min ={f(a)，a ≥0f(a3)，a <0={2a 2，a ≥0，23a 2，a <0，如图所示：当x ≤a 时，f(x)=x 2+2ax −a 2， ∴ f(x)min={f(−a),a ≥0f(a),a <0={−2a 2，a ≥0，2a 2，a <0，综上所述：f(x)min={−2a 2，a ≥0，23a 2，a <0.(3)x ∈(a, +∞)时，ℎ(x)≥1， 得3x 2−2ax +a 2−1≥0，Δ=4a 2−12(a 2−1)=12−8a 2. 当a ≤−√62或a ≥√62时， Δ≤0， 当−√62<a <√62时， Δ>0. 得：{(x −a−√3−2a 23)(x −a+√3−2a 23)≥0,x >a,即{x ≤a−√3−2a 23或x ≥a+√3−2a 23，x >a ，进而分两类讨论： 当−√62<a <−√22时，a <a−√3−2a 23，此时不等式组的解集为(a, a−√3−2a 23]∪[a+√3−2a 23, +∞)；当−√22≤x ≤√22时，a−√3−2a 23<a <a+√3−2a 23，此时不等式组的解集为[a+√3−2a 23, +∞)．综上可得， 当a ∈(−∞, −√62)∪(√22, +∞)时，不等式组的解集为(a, +∞)； 当a ∈(−√62, −√22)时，不等式组的解集为(a, a−√3−2a 23]∪[a+√3−2a 23, +∞)； 当a ∈[−√22, √22]时，不等式组的解集为[a+√3−2a 23, +∞)．。
【步步高】江苏专用2011高考数学二轮复习 专题限实规范训练5 文 苏教版
专题五 解析几何(时间∶120分钟 满分∶160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．(2010·上海)若动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方 程为____________________．2．(2010·天津)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0 相切，则圆C 的方程为__________________．3. (2010·全国Ⅰ)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短袖的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为________．4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．5.设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点.若=++0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|= .6．设AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中心的弦，椭圆的左焦点为F 1(－c,0)，则△F 1AB 面积的 最大值为_______________________________．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若 c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是__________．8．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线 垂直，那么此双曲线的离心率为____________．9.若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1、F 2分别是它们的左、右焦点.设椭圆离心率为e 1，双曲线离心率为e 2，若PF 1→·PF 2→＝0，则1e 21＋1e 22等于 . 10．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2 ＝60°，则椭圆的离心率为________．11．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A ，B 是C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2,2)， 则△ABF 的面积等于______________.12.设点F 为椭圆x 216+y 212＝1的左焦点，点P 是椭圆上的动点，当FP →的模有最小值时，点P 的 坐标为________．13．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为________． 14．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)的半焦距为c ，直线l 过(a,0)、(0，b )两点．已知原点到直线l的距离为34c ，则双曲线的离心率为________． 二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(14分)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1)如果|AB |＝423，求直线MQ 的方程； (2)求动弦|AB |的最小值．16．(14分)设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32.已知点A (0，32)到这个椭圆 上的点的最远距离为15，求这个椭圆的方程．17.（14分）已知定点A （0，1），B （0，-1），C （1，0），动点P 满足：AP →·BP →＝k |PC →|2.求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型．18.（16分）如图，椭圆的长轴端点分别为A 、B ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且A F →·FB →＝1，|OF →|＝1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．19．(16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且曲线过点(1，22)． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点不在圆x 2＋y 2＝59内，求m 的取值范围． 20. (16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 是坐标平面内一点，且|OP |=72，PF 1→·PF 2→＝34(O 为坐标原点)． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点S (0，－13)且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，在y 轴上是否存在定点M ， 使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由． 答案1.y 2＝8x2.(x ＋1)2＋y 2＝23.334.x ＝－15.66.bc7.128.5＋129.2 10.33 11．2 12．(－4,0) 13.4 14.215．解 (1)设Q (q,0)，因为M (0,2)，所以|MQ |＝q 2＋22＝q 2＋4，而|MA |＝r ＝1，从而在Rt △AMQ 中，|AQ |＝|MQ |2－|MA |2 ＝q 2＋4－1＝q 2＋3. 又由题意和对称性可得，Rt △AMQ 斜边MQ 边上的高为h ＝12|AB |＝223. 由等面积法得223·q 2＋4＝q 2＋3， 解得q ＝±5，所以Q (±5，0)，将M ，Q 的坐标代入直线的两点式方程整理得到直线MQ 的方程为2x ±5y ∓25＝0.(2)由(1)知，利用等面积法得12|AB |·q 2＋4＝q 2＋3 ⇒12|AB |＝q 2＋3q 2＋4＝1－1q 2＋4， 从而当q ＝0时，动弦|AB |取到最小值 3. 16．解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M (x ，y )为椭圆上的点，由c a ＝32得a ＝2b . |AM |2＝x 2＋(y －32)2＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3(－b ≤y ≤b )． 若0<b <12，则当y ＝－b 时，|AM |2最大，即(－b －32)2＝15， ∴b ＝15－32>12，故矛盾． 若b ≥12时，则当y ＝－12时，|AM |2最大，即4b 2＋3＝15，解得b 2＝3.∴所求方程为x 212＋y 23 ＝1.17．解 设动点P (x ，y )，则AP →＝(x ，y －1)，BP →＝(x ，y ＋1)，PC →＝(1－x ，－y )，由AP →·BP →=k|PC →|2得x 2＋y 2－1＝k (x －1)2＋ky 2，化简得(1－k )x 2＋(1－k )y 2＋2kx －(k ＋1)＝0.当k ＝1时，方程为x ＝1，表示直线；当k ≠1时，方程为(x －k k －1)2＋y 2＝(1k －1)2，表示以(k k －1，0)为圆心，1|k －1|为半径的圆． 18．解 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由题意知c =1,又∵A F →·FB →＝1，即(a ＋c )·(a －c )＝1＝a 2－c 2，∴a 2＝2，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)， Q (x 2，y 2)，∵M (0,1)，F (1,0)，故k PQ ＝1，于是设直线l 为y ＝x ＋m ，由2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩ 得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.∴MP →·FQ →＝0＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)，由y i ＝x i ＋m (i ＝1,2)得x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0，即2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2 －m ＝0，由一元二次方程根与系数的关系得2·2m 2－23－4m 3(m －1)＋m 2－m ＝0. 解得m ＝－43或m ＝1，经检验只有m ＝－43符合条件，则直线l 的方程为y ＝x －43. 19．解 (1)∵c a ＝22，∴b 2a 2＝a 2－c 2a 2＝1－12＝12， ∴a 2＝2b 2，①曲线过(1，22)，则1a 2＋12b2＝1，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，则椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x22＋y 2＝1，x －y ＋m ＝0，消去y 整理得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，则Δ＝16m 2－12(2m 2－2)＝8(－m 2＋3)>0， 解得－3<m <3，③x 1＋x 2＝－4m 3，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝－4m 3＋2m ＝2m 3，即AB 的中点为(－2m 3，m 3)．又∵AB 的中点不在x 2＋y 2＝59内，∴4m 29＋m 29＝5m 29≥59，解得m ≤－1或m ≥1.④由③④得m 的取值范围为{m |－3<m ≤－1或1≤m <3}．20．解 (1)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则由|OP |＝72得x 20＋y 20＝74；由PF 1→·PF 2→＝34得(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝34，即x 20＋y 20－c 2＝34.所以c ＝1. 又因为ca ＝22，所以a 2＝2，b 2＝1.因此所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)动直线l 的方程为y ＝kx －13，由⎩⎨⎧ y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 3(2k 2＋1)， x 1x 2＝－169(2k 2＋1). 假设在y 上存在定点M (0，m )满足题设，则MA →＝(x 1，y 1－m )，MB →＝(x 2，y 2－m )．MA →·MB →＝x 1x 2＋(y 1－m )(y 2－m )＝x 1x 2＋y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋m 2＝x 1x 2＋(kx 1－13)(kx 2－13)－m (kx 1－13＋kx 2－13)＋m 2 ＝(k 2＋1)x 1x 2－k (13＋m )(x 1＋x 2)＋m 2＋23m ＋19＝－16(k 2＋1)9(2k 2＋1)－k (13＋m )4k 3(2k 2＋1)＋m 2＋23m ＋19 ＝18(m 2－1)k 2＋(9m 2＋6m －15)9(2k 2＋1). 由假设得对于任意的k ∈R ，MA →·MB →＝0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，9m 2＋6m －15＝0，解得m ＝1. 因此，在y 轴上存在定点M ，使得以AB 为直径的圆恒过这个点，点M 的坐标为(0,1)．。
数学_2011年江苏省盐城市高考数学二模试卷(含答案)
2011年江苏省盐城市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 复数z =√2+i 的共轭复数为________．2. 若A ={x|x +1>0}，B ={x|x −3<0}，则A ∩B ________．3. 从{1, 2, 3}中随机选取一个数a ，从{2, 3}中随机选取一个数b ，则b >a 的概率是________．4. 已知a ，b ，c 是非零实数，则“a ，b ，c 成等比数列”是“b =√ac”的________条件（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中选择一个填空）．5. 将参加数学夏令营的100名学生编号为001，002，…，100，现采用系统抽样方法抽取一个容量为25的样本，且第一段中随机抽得的号码为004，则在046号至078号中，被抽中的人数为________．6. 如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是________．7. 函数y =sin(2x +π6)+cos(2x −π3)的最大值为________．8. 已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1、a 3、a 9成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 11−S 9S 7−S 6的值为________．9. 已知命题：“若x ⊥y ，y // z ，则x ⊥z”成立，那么字母x ，y ，z 在空间所表示的几何图形有可能是： ①都是直线； ②都是平面；③x ，y 是直线，z 是平面； ④x ，z 是平面，y 是直线． 上述判断中，正确的有________．（请将你认为正确的判断的序号都填上） 10. 已知函数f(x)=a x −x +b 的零点x 0∈(k, k +1)(k ∈Z)，其中常数a ，b 满足3a =2，3b =94，则k =________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．12. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD =DC =1，AB =3，动点P 在△BCD 内运动（含边界），设AP →=αAB →+βAD →(α,β∈R)，则α+β的取值范围是________．13. 已知函数f(x)=x +1x+a 2，g(x)=x 3−a 3+2a +1，若存在ξ1、ξ2∈[1a,a](a >1)，使得|f(ξ1)−g(ξ2)|≤9，则a 的取值范围是________． 14. 已知f(x)=cosx ，g(x)=sinx ，记S n =2∑f 2n k=1((k−1)π2n)−12n∑g 2n k=1((k−n−1)π2n)，T m =S 1+S 2+...+S m ，若T m <11，则m 的最大值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的所对边的长分别为a 、b 、c ，且a =√5，b =3，sinC =2sinA ．（1）求c 的值；（2）求 sin(2A −π3)的值．16.在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长均为2，四边形ABCD 是菱形． （1）求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1； （2）求该多面体的体积．17. 如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC ；另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD 是以O 为顶点，x 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数y ＝Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|<π2)，x ∈[4, 8]时的图象，图象的最高点为B(5, 83√3)，DF ⊥OC ，垂足为F ．(I)求函数y ＝Asin(ωx +φ)的解析式；(II)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE ，问点P 落在曲线OD 上何处时，水上乐园的面积最大？18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成．两相接点M ，N 均在直线x =5上，圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为r 1=13； 圆弧C 2过点A(29, 0)．（1）求圆弧C 2所在圆的方程；（2）曲线C 上是否存在点P ，满足PA =√30PO ？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；（3）已知直线l:x −my −14=0与曲线C 交于E 、F 两点，当EF =33时，求坐标原点O 到直线l 的距离． 19. 已知函数f(x)=x+a x 2+b是定义在R 上的奇函数，其值域为[−14,14]．（1）试求a 、b 的值；（2）函数y =g(x)(x ∈R)满足：①当x ∈[0, 3)时，g(x)=f(x)；②g(x +3)=g(x)lnm(m ≠1)．①求函数g(x)在x ∈[3, 9)上的解析式；②若函数g(x)在x ∈[0, +∞)上的值域是闭区间，试探求m 的取值范围，并说明理由． 20. 已知数列{a n }单调递增，且各项非负，对于正整数K ，若任意的i ，j(1≤i ≤j ≤K)，a j −a i 仍是{a n }中的项，则称数列{a n }为“K 项可减数列”．（1）已知数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，且数列{a n −2}是“K 项可减数列”，试确定K 的最大值；（2）求证：若数列{a n }是“K 项可减数列”，则其前n 项的和S n =n2a n (n =1,2,…,K)； （3）已知{a n }是各项非负的递增数列，写出（2）的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由．三、数学附加题（满分0分，考试时间30分钟）.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题0分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21. 选修4−1：几何证明选讲过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线PA ，切点为A ，连结OP 与⊙O 交于点C ，过C 作AP 的垂线，垂足为D ．若PA =12cm ，PC =6cm ，求CD 的长． 22. 选修4−2 矩阵与变换已知矩阵M =[122x ]的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．23. 选修4−4：坐标系与参数方程若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cos(θ+π3)，它们相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．24. 设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1+a 2+a 3=m ，求证1a 1+1a 2+1a 3≥9m .【必做题】第22题、第23题，每小题0分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2+y 24=1在第一象限的部分为曲线C ，曲线C 在其上动点P(x 0, y 0)处的切线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OM →=OA →+OB →．（1）求切线l 的方程（用x 0表示）； （2）求动点M 的轨迹方程．26. 已知数列{a n }满足a n+1=−a n 2+pa n (p ∈R)，且a 1∈(0, 2)．试猜想p 的最小值，使得a n ∈(0, 2)对n ∈N ∗恒成立，并给出证明．2011年江苏省盐城市高考数学二模试卷答案1. √2−i2. {x|−1<x <3}3. 124. 必要不充分5. 86. 347. 28. 39. ①②④ 10. 111. (−1+√2, 1) 12. [1,43] 13. (1, 4] 14. 515. 解：（1）∵ a =√5，sinC =2sinA ， ∴ 根据正弦定理c sinC=asinA得：c =sinC sinAa =2a =2√5；（2）∵ a =√5，b =3，c =2√5， ∴ 由余弦定理得：cosA =c 2+b 2−a 22bc=2√55， 又A 为三角形的内角， ∴ sinA =√1−cos 2A =√55， ∴ sin2A =2sinAcosA =45，cos2A =cos 2A −sin 2A =35， 则sin(2A −π3)=sin2Acos π3−cos2Asin π3=4−3√310． 16. 解：（1）∵ 三棱柱ABC −A 1B 1C 1是正三棱柱，∴ BB 1⊥AD ，又∵ 四边形ABDC是菱形，∴ AD⊥BC，∵ BB1，BC⊂平面BB1C1C，且BC∩BB1=B，∴ AD⊥平面BCC1B1…∵ AD⊂平面ADC1，∴ 平面ADC1⊥平面BCC1B1…（2）∵ 正三角形ABC边长为2，可得S△ABC=√34×22=√3，三棱柱的高AA1=2∴ 正三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V1=S△ABC×AA1=2√3…又∵ AD⊥平面BCC1B1，可得四棱锥D−B1C1CB的高在AD上且等于AD的12∴ 四棱锥D−B1C1CB的体积为V2=13S BCC1B1×(12AD)=4√33…所以该多面体的体积为V=V1+V2=10√33…17. （1）对于函数y＝Asin(ωx+φ)由图象可知，A=83√3，ω=2πT=2π4(8−5)=π6，将(5, 83√3)，代入y=83√3sin(π6x+φ)得：5π6+φ=2kπ+π2,k∈Z，|φ|<π2，所以φ=−π3，所以函数的解析式为y=83√3sin(π6x−π3)．（2）在y=83√3sin(π6x−π3)中，令x＝4，得D(4, 4)从而得曲线OD的方程为y2＝4x，(0≤x≤4)．设点P(t 24,t)(0≤t≤4)，则矩形PMFE的面积为S=(4−t24)t，0≤t≤(4)因为S′＝4−3t 24，由S′＝0得t=4√33，且t∈(0,4√33)时S′>0，S递增，t∈(4√33,4)时S′<0，S递减，所以当t=4√33，S最大，此时点P的坐标(43,4√33)．18. 解：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169，令x=5，解得M(5, 12)，N(5, −12)…2分则直线AM的中垂线方程为y−6=2(x−17)，令y=0，得圆弧C2所在圆的圆心为(14, 0)，又圆弧C2所在圆的半径为29−14=15，所以圆弧C2的方程为(x−14)2+y2=225(x≥5)…5分（2）假设存在这样的点P(x, y)，则由PA=√30PO，得x2+y2+2x−29=0...8分由{x2+y2+2x−29=0x2+y2=169(−13≤x≤5)，解得x=−70（舍去）9分由{x2+y2+2x−29=0(x−14)2+y2=225(29≥x≥5)，解得x=0（舍去），综上知，这样的点P不存在…10分（3）因为EF>r2，EF>r1，所以E，F两点分别在两个圆弧上，又直线l恒过圆弧C2的圆心(14, 0)，所以EF=15+√169−d2+√196−d2=33...13分解得d 2=161516，即d =√16154…16分 19. 解：（1）由函数f(x)定义域为R ，∴ b >0．又f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)对x ∈R 恒成立，得a =0．因为y =f(x)=xx 2+b 的定义域为R ，所以方程yx 2−x +by =0在R 上有解． 当y ≠0时，由△≥0，得2√b≤y ≤2√b ， 而f(x)的值域为[−14，14]，所以2√b=14，解得b =4； 当y =0时，得x =0，可知b =4符合题意．所以b =4． （2）①因为当x ∈[0, 3)时，g(x)=f(x)=xx 2+4，所以当x ∈[3, 6)时，g(x)=g(x −3)lnm =(x−3)lnm(x−3)2+4； 当x ∈[6, 9)时，g(x)=g(x −6)(lnm)2=(x−6)(lnm)2(x−6)2+4，故g(x)={(x−3)lnm (x−3)2+4x ∈[3,6)(x−6)(lnm)2(x−6)2+4x ∈[6,9)②因为当x ∈[0, 3)时，g(x)=xx2+4在x =2处取得最大值为14，在x =0处取得最小值为0， 所以当3n ≤x <3n +3(n ≥0, n ∈Z)时，g(x)=(x−3n)(lnm)n (x−3n)2+4分别在x =3n +2和x =3n 处取得最值为(lnm)n4与0．(I) 当|lnm|>1时，g(6n +2)=(lnm)2n4的值趋向无穷大，从而g(x)的值域不为闭区间；(II) 当lnm =1时，由g(x +3)=g(x)得g(x)是以3为周期的函数，从而g(x)的值域为闭区间[0,14]；(III) 当lnm =−1时，由g(x +3)=−g(x)得g(x +6)=g(x)，得g(x)是以6为周期的函数， 且当x ∈[3, 6)时g(x)=−(x−3)(x−3)2+4值域为[−14，0]，从而g(x)的值域为闭区间[−14，14]；(IV) 当0<lnm <1时，由g(3n +2)=(lnm)n4<14，得g(x)的值域为闭区间[0,14]；(V) 当−1<lnm <0时，由lnm 4≤g(3n +2)=(lnm)n4<14，从而g(x)的值域为闭区间[−lnm 4，14]．综上知，当m ∈[1e ，1]∪(1, e]，即0<lnm ≤1或−1≤lnm <0时，g(x)的值域为闭区间． 20. 解：（1）设c n =a n −2=2n −2，则c 1=0，c 2=2，c 3=6，易得c 1−c 1=c 1，c 2−c 1=c 2，c 2−c 2=c 1，即数列{c n }一定是“2项可减数列”，但因为c3−c2≠c1，c3−c2≠c2，c3−c2≠c3，所以K的最大值为2．…（2）因为数列{a n}是“K项可减数列”，所以a k−a t(t=1, 2…,K)必定是数列{a n}中的项，…而{a n}是递增数列，故a k−a k<a k−a k−1<a k−a k−2<...<a k−a1，所以必有a k−a k=a1，a k−a k−1=a2，a k−a k−2=a3，…，a k−a1=a k，则a1+a2+a3+...+a k=(a k−a k)+(a k−a k−1)+(a k−a k−2)+...+(a k−a1)=Ka k−(a1+a2+a3+...+a k)，所以S K=Ka K−S K，即S K=K2a K．又由定义知，数列{a n}也是“t项可减数列”(t=1, 2,…,K−1)，所以S n=n2a n(n=1,2,…,K)．…（3）（2）的逆命题为：已知数列{a n}为各项非负的递增数列，若其前n项的和满足S n=n2a n(n=1,2,…,K)，则该数列一定是“K项可减数列”，该逆命题为真命题．…理由如下：因为S n=n2a n(1≤n≤K)，所以当n≥2时，S n−1=n−12a n−1，两式相减，得a n=S n−S n−1=n2a n−n−12a n−1，即(n−2)a n=(n−1)a n−1(n≥2)(∗)则当n≥3时，有(n−3)a n−1=(n−2)a n−2(∗∗)由(∗∗)−(∗)，得a n+a n−2=2a n−1(n≥3)，又a1=12a1，所以a1=0，故数列a1，a2，…，a K是首项为0的递增等差数列．设公差为d(d>0)，则a n=(n−1)d，(n=1, 2,…,K)，对于任意的i，j(1≤i≤j≤K)，a j−a i=(j−i)d=a j−i+1，因为1≤1≤j−i+1≤K，所以a j−a i仍是a1，a2，…，a K中的项，故数列{a n}是“K项可减数列”．…21. 解：连接AO，∵ PA为圆的切线，∴ △PAO为Rt△，∴ 122+r2=(r+6)2，∴ r=9．又CD垂直于PA，∴ OA // CD，∴ PCPO =CDAO，解得CD=185 cm．22. 解：矩阵M的特征多项式为f(λ)=|λ−1−2−2λ−x|=(λ−1)(λ−x)−4．∵ λ1=3方程f(λ)=0的一根，∴ (3−1)(3−x)−4=0，可得x=1，M=[1221]．∴ 方程f(λ)=0即(λ−1)(λ−1)−4=0，λ2−2λ−3=0可得另一个特征值为：λ2=−1，设λ2=−1对应的一个特征向量为α=[xy]，则由λ2α=Mα，得{−2x −2y =0−2x −2y =0得x =−y ，可令x =1，则y =−1，所以矩阵M 的另一个特征值为−1，对应的一个特征向量为α=[1−1]．23. 解：由ρ=1，得ρ2=1，即x 2+y 2=1，又ρ=2cos(θ+π3)=2(cosθcos π3−sinθsin π3)=2(12cosθ−√32sinθ)， ∴ ρ2=ρcosθ−√3ρsinθ，∴ x 2+y 2−x +√3y =0， 由{x 2+y 2=1x 2+y 2−x +√3y =0，解得{x 1=1y 1=0或{x 2=−12y 2=−√32． 则A(1, 0)，B(−12,−√32)． 所以|AB|=12√32=√3．所以线段AB 的长为√3． 24. 证明：∵ (1a 1+1a 2+1a 3)⋅m =(a 1+a 2+a 3)(1a 1+1a 2+1a 3)≥3√a 1⋅a 2⋅a 33⋅3√1a 1⋅1a 2⋅1a 33=9，当且仅当a 1=a 2=a 3=m3时等号成立． 又∵ m =a 1+a 2+a 3>0， ∴ 1a 1+1a 2+1a 3≥9m .25. 解：（1）因为y =2√1−x 2，所以y′=√1−x 2，故切线l 的方程为y −2√1−x 02=0√1−x 0−x 0)，即y =0√1−x 0√1−x 0．（2）设A(x 1, 0)、B(0, y 2)，M(x, y)是轨迹上任一点， 在y =0√1−x 0+√1−x 0中，令y =0，得x 1=1x0；令x =0，得y 2=√1−x 0，则由OM →=OA →+OB →，得{x =1x 0y =√1−x 0消去x 0，得动点M 的轨迹方程为1x 2+4y 2=1(x >1)．26. 解：当n =1时，a 2=−a 12+pa 1=a 1(−a 1+p)，因为a 1∈(0, 2)，所以欲a 2∈(0, 2)恒成立，则要{p >a 1p <a 1+2a 1恒成立，解得2≤p <2√2，由此猜想p 的最小值为2．因为p ≥2，所以要证该猜想成立，只要证：当p =2时，a n ∈(0, 2)对n ∈N ∗恒成立．现用数学归纳法证明之：①当n=1时结论显然成立．②假设当n=k时结论成立，即a k∈(0, 2)，则当n=k+1时，a k+1=−a k2+2a k=a k(2−a k)，一方面，a k+1=a k(2−a k)>0成立，另一方面，a k+1=a k(2−a k)=−(a k−1)2+1≤1<2，所以a k+1∈(0, 2)，即当n=k+1时结论也成立．由①、②可知，猜想成立，即p的最小值为2．。
数学_2011年江苏省无锡市高考数学模拟试卷(2)(含答案)
2011年江苏省无锡市高考数学模拟试卷（2）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 已知集合A={1, sinθ}，B={0,12，1}，若A⊆B，则锐角θ=________．2. 若复数a−3i1+2i(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a=________．3. 某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、100，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为m的样本，已知每位学生被抽到的概率都为0.2，则m=________．4. 已知函数f(x)=log2x，x∈[12, 2]，在区间[12, 2]上随机取一点x0，使得f(x0)≥0的概率为________．5. 已知1sina +1cosa=43，则sin2a=________．6. 给出30个数：1，2，4，7，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推．要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图（如图所示），(1)请在图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能；(1)处应填________；(2)处应填________．7. 已知命题p:∃a，b∈(0, +∞)，当a+b=1时，1a +1b=3；命题q:∀x∈R，x2−x+1≥0恒成立．则命题¬p且q是________命题（填“真”或“假”）．8. 已知直线l1:4x−3y+6=0和直线l2:x=−1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．9. 已知函数f(x)＝log a(2x−a)在区间[12,23]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________．10. 已知n2(n≥4且n∈N∗)个正数排成一个n行n列的数阵：第1列第2列第3列…第n列第1行a1,1a1,2a1,3...a1,n第2行a2,1a2,2a2,3...a2,n第3行a3,1a3,2a3,3...a3,n…第n行a n,1a n,2a n,3...a n,n其中a i,k(i，k∈N∗，且1≤i≤n，1≤k≤n)表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵中各行的数依次成等差数列，各列的数依次成公比为2的等比数列，已知a2，3=8，a 3,4=20．则a 2,2=________．11. 自圆x 2+y 2−2x −4y +4=0外一点P(0, 4)向圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →⋅PB →等于________．12. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则下列四个命题： ①α // β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l // m ； ③l // m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α // β其中正确命题的序号是________．13. 有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上：(1)每次只能移动一个金属片；(2)较大金属片不能放在较小金属片上面．则把n 个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动________次．14. 已知定义在R 上的函数f(x)和g(x)满足g(x)≠0，f′(x)⋅g(x)<f(x)⋅g′(x)f(x)=a x ⋅g(x)，f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=52．令a n =f(n)g(n)，则使数列{a n }的前n 项和S n 不超过1516的最大自然数n 的值为________．二、解答题（共6小题，满分90分）15. 在直角坐标系xoy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y =2√2x(x ≥0)． （1）求sin(α+π6)的值；（2）若点P ，Q 分别是角α始边、终边上的动点，且PQ =4，求△POQ 面积最大时，点P ，Q 的坐标．16.如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ACB =90∘，AC =BC =1，AA 1=√2，D 、M 、N 分别是AB 、AA 1、BC 1的中点． （1）求证：MN // 平面ABC ； （2）求证：CD ⊥平面AA 1B 1B ；（3）试在BB 1上求一点F ，使A 1B ⊥平面CDF ，证明你的结论．17. 某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[(1024√x+20)x100+2]k 元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元． （1）试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当k =100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？18. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P ，Q 两点，且AP:PQ =8:5． （1）求椭圆的离心率；（2）已知直线l 过点M(−3, 0)，倾斜角为π6，圆C 过A ，Q ，F 三点，若直线l 恰好与圆C 相切，求椭圆方程．19. 已知{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，设m ，n ，p ，k 都是正整数．（1）求证：若m +n =2p ，则a m +a n =2a p ，b m b n =(b p )2；（2）若a n =3n +1，是否存在m ，k ，使得a m +a m+1=a k ？请说明理由； （3）求使命题P ：“若b n =aq n (a 、q 为常数，且aq ≠0)对任意m ，都存在k ，有b m b m+1=b k ”成立的充要条件．20. 已知函数f(x)=(a −12)x 2+Inx(a ∈R)（1）当a =0时，求函数f(x)的单调递增区间；（2）若∃x ∈[1, 3]，使f(x)<(x +1)lnx 成立，求实数a 的取值范围；（3）若函数f(x)的图象在区间(1, +∞)内恒在直线y =2ax 下方，求实数a 的取值范围． 三、（选做题）在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 外一点，且AC =AB ，BC 交⊙O 于点D ．已知BC =4，AD =6，AC 交⊙O 于点E ，求四边形ABDE 的周长． 22. 设T 是矩阵[acb]所对应的变换，已知A(1, 0)，且T(A)=P ．设b >0，当△POA 的面积为√3，∠POA =π3，求a ，b 的值． 23. 选修4−4：参数方程与极坐标试判断直线l ：{x =−1+√22t y =√22t （t 为参数）与曲C:{x =−1+2cosθy =2+2sinθ（θ为参数）的位置关系．24. 已知实数x ，y ，z 满足x +y +z =2，求2x 2+3y 2+z 2的最小值． 四、（必做题）第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25. 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．（1）求该学生考上大学的概率．（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．26. 已知数集序列{1}，{3, 5}，{7, 9, 11}，{13, 15, 17, 19}，…，其中第n 个集合有n 个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数．（1）求第n 个集合中各数之和S n 的表达式；（2）设n 是不小于2的正整数，f(n)=∑√S 3n ，求证：n +∑f n−1i=1(i)=nf(n)．2011年江苏省无锡市高考数学模拟试卷（2）答案1. 30∘2. 63. 2004. 235. −346. i >30,p =p +i7. 真8. 29. (13,1) 10. 6 11. 12512. ①③ 13. 2n −1 14. 415. 解：（1）由射线l 的方程为y =2√2x(x ≥0)， 得到tanα=2√2，且α为第一象限的角， ∴ cosα=1secα=√1+tan 2α=13，则sinα=√1−cos 2α=2√23， 故sin(α+π6)=sinαcos π6+cosαsin π6=2√23×√32+13×12=1+2√66．…4分 （2）设P(a,0),Q(b,2√2b)(a >0,b >0)．在△POQ 中因为PQ 2=(a −b)2+8b 2=16，…6分即16=a 2+9b 2−2ab ≥6ab −2ab =4ab ，所以ab ≤4 ...8分 ∴ S △POQ =12a ⋅3bsinα≤4√2．当且仅当a =3b ，即a =2√3，b =2√33取得等号．…11分所以△POQ 面积最大时，点P ，Q 的坐标分别为P(2√3，0)，Q(2√33,4√63)．…15分 16. 证明：（1）取BC 中点G ，连NG 、AG ，∵ N 是BC 1的中点，G 是BC 的中点，∴ NG // CC 1，且NG =12CC 1；又M 是AA 1的中点，三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴ MA // CC 1，且MA =12CC 1．∴ MA // NG 且MA =NG ，∴ MAGN 是平行四边形， ∴ MN // AG ．…又AG ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，∴ MN // 平面ABC ． …（2）∵ AC =BC =1，D 是的中点，∴ CD ⊥AB ．又ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴ 平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，∵ CD ⊂平面ABC ，平面AA 1B 1B ∩平面ABC =AB ， ∴ CD ⊥平面AA 1B 1B ．…（3）作DE ⊥A 1B 交A 1B 于E ，延长DE 交B 1B 于F ，连接CF ，不难证明A 1B ⊥平面C 1DF ，点F 即为所求．…事实上，∵ CD ⊥平面AA 1B 1B ，A 1B ⊂平面AA 1B 1B ， ∴ A 1B ⊥CD ，又A 1B ⊥DF ，CD ∩DF =D ， ∴ A 1B ⊥平面CDF ．…17. 解：（1）设摩天轮上总共有n 个座位，则x =kn 即n =kx ，y =8k kx +k x [(1024√x+20)x100+2]k =k 2(10x+1024√x+20100)，定义域{x|0<x ≤k2，kx∈Z}；（2）当k =100时，令y =100(1000x+1024√x +20)f(x)=1000x+1024√x ，则f′(x)=−1000x 2+√x=−1000+512x 32x 2=0，∴ x 32=12564⇒x =(12564)23=2516，当x ∈(0,2516)时，f′(x)<0，即f(x)在x ∈(0,2516)上单调减，当x ∈(2516，50)时，f′(x)>0，即f(x)在x ∈(2516，50)上单调增，y min 在x =2516时取到，此时座位个数为1002516=64个．18. 解：（1）设点Q(x 0, 0)，F(−c, 0)，P(x, y)，其中c =√a 2−b 2，A(0, b)． 由AP:PQ =8:5，得AP →=813AQ →，即(x,y −b)=813(x 0,−b)，得P(813x 0，513b)，…点P 在椭圆上，∴ (813)2x 02a 2+(513)2=1⇒x 0=32a ．①…而FA →=(c,b)，AQ →=(x 0,−b)，FA →⊥AQ →， ∴ FA →⋅AQ →=0． ∴ cx 0−b 2=0，x 0=b 2c．②…由①②知2b 2=3ac ， ∴ 2c 2+3ac −2a 2=0． ∴ 2e 2+3e −2=0， ∴ e =12． …（2）由题意，得直线l 的方程y =√33(x +3)，即x −√3y +3=0，满足条件的圆心为O′(b 2−c 22c，0)，又a =2c ，∴ b 2−c 22c=a 2−c 2−c 22c=c ，∴ O′(c, 0)． …圆半径r =b 2c+22=a 22c=a ． …由圆与直线l:x −√3y +3=0相切得，|c+3|2=a ，…又a =2c ，∴ c =1,a =2,b =√3． ∴ 椭圆方程为x 24+y 23=1． …19. 解：（1）∵ {a n }是公差为d 的等差数列，∴ a m =a 1+(m −1)d ，a n =a 1+(n −1)d ，a m +a n =2a 1+(m +n −2)d ， 又m +n =2p ，∴ a m +a n =2a 1+2(p −1)d ， ∵ a 1+(p −1)d =a p ，∴ a m +a n =2a p ． …∵ {b n }是公比为q 的等比数列，∴ b m =b 1q m−1，b n =b 1q n−1，b m b n =b 12q m+n−2， ∵ m +n =2p ，∴ b m b n =b 12q 2p−2=b 1q p−1⋅b 1q p−1=b p ⋅b p =b p 2． …（2）假设存在m ，k ，使得a m +a m+1=a k ，由a m +a m+1=a k 得6m +5=3k +1，即k −2m =43Qm 、k ∈N ∗，∴ k −2m 为整数，矛盾．∴ 不存在m 、k ∈N +，使等式成立．（3）“若b n =aq n (a 、q 为常数，且aq ≠0)对任意m ，都存在k ，有b m b m+1=b k ”成立，取m =1，得b 1b 2=b k ，∴ a 2q 3=aq k ，∴ a =q k−3，即a =q c ，其中c 是大于等于−2的整数． 反之，当a =q c （c 是大于等于−2的整数）时，有b n =q n+c ，显然b m ⋅b m+1=q m+c ⋅q m+1+c =q 2m+1+2c =b k ，其中k =2m +1+c ． ∴ 所求的充要条件是a =q c ，其中c 是大于等于−2的整数．…20. 解：显然函数f(x)的定义域为(0, +∞)，（1）当a =0时，f(x)=−12x 2+lnx ，f′(x)=−x +1x =−x 2+1x；由f ′(x)>0，结合定义域解得0<x <1， ∴ f(x)的单调递增区间为(0, 1)．（2）将f(x)<(x +1)lnx 化简得(a −12)x 2<xlnx ，∵ x ∈[1, 3]∴ 有a <lnx x+12令g(x)=lnx x+12，则g /(x)=1−lnx x 2，由g′(x)=0解得x =e ．当1≤x <e 时，g′(x)>0；当e <x ≤3时，g′(x)<0 故g(x)max =g(e)=1e +12∴ ∃x ∈[1, 3]，使f(x)<(x +1)lnx 成立等价于a <g(x)max =g(e)=1e +12 即a 的取值范围为(−∞,1e+12)（3）令g(x)=f(x)−2ax =(a −12)x 2−2ax +lnx ，则g(x)的定义域为(0, +∞)．在区间(1, +∞)上，函数f(x)的图象恒在直线y =2ax 下方等价于g(x)<0在区间(1, +∞)上恒成立．∵ g′(x)=(2a −1)x −2a +1x =(2a−1)x 2−2ax+1x=(x−1)[(2a−1)x−1]x①若a >12，令g ′(x)=0，得极值点x 1=1，x 2=12a−1，当x 2>x 1=1，即12<a <1时，在(x 2, +∞)上有g ′(x)>0，此时g(x)在区间(x 2, +∞)上是增函数，并且在该区间上有g(x)∈(g(x 2)，+∞)，不合题意； 当x 2<x 1=1，即a ≥1时，同理可知，g(x)在区间(1, +∞)上，有g(x)∈(g(1)，+∞)，也不合题意；②若a ≤12，则有2a −1≤0，此时在区间(1, +∞)上恒有g ′(x)<0， 从而g(x)在区间(1, +∞)上是减函数；要使g(x)<0在此区间上恒成立，只须满足g(1)=−a −12≤0⇒a ≥−12，由此求得a 的范围是[−12, 12]．综合①②可知，当a ∈[−12, 12]时，函数f(x)的图象恒在直线y =2ax 下方．21. 解：因为AB 是⊙O 的直径，所以AD ⊥BC ，所以AD是△ABC 的中线，所以AB =AC =2√10，BD =DC =2． … 由∠DEC =∠B =∠C ，所以DE =DC =2．… 由CE ⋅CA =CD ⋅CB ，得CE =2√105，所以AE =2√10−2√102=85√10．… 所以四边形ABDE 的周长为AB +BD +DE +EA =2√10+4+8√105=4+18√105． … 22. 解：∵ [ac b0][10]=[a b]， ∴ P(a, b)． …∵ b >0，S △POA =√3，∠POA =π3， P(a, b)，A(1, 0)，∴ a =2，b =2√3．…23. 解：直线方程l 的方程可化为x −y +1=0，… 曲线方程C 可化为(x +1)2+(y −2)2=4， 是一个圆，其圆心为C(−1, 2)，半径为2．… 因为圆C 的圆心到直线的距离d =√2<2=r ， 所以直线l 与曲线C 有两个相交．24. 解：由柯西不等式可知：(x +y +z)2≤[(√2x)2+(√3y)2+z 2]⋅[(√2)2+(√3)2+12]故2x 2+3y 2+z 2≥2411，当且仅当√2x1√2=√3y1√3=z1，即：x =611，y =411，z =12112x 2+3y 2+z 2取得最小值为2411． 25. 该生考上大学的概率为131243；X 的数学期望是389． …26. 解：（1）设第n 个集合中的最小数为a n ，则a n 前共有1+2+3+⋯+(n −1)=n(n−1)2个奇数， ∴ a n =2×[n(n−1)2+1]−1=n 2−n +1． …从而S n =n(n 2−n +1)+n(n−1)2×2=n 3． …（2）由（1）得，√S i 3=i(i =1,2,3,…,n)， ∴ f(n)=∑√S 3n =1+12+13+⋯+1n ．下面用数学归纳法证明n +∑f n−1i=1(i)=nf(n)． …当n =2时，左边=2+f(1)=3，右边=2f(2)=2(1+12)=3，等式成立；假设n =k(k ≥2)时，等式成立，即k +f(1)+f(2)+...+f(k −1)=kf(k)成立， 那么，当n =k +1时，左边=(k +1)+f(1)+f(2)+...+f(k −1)+f(k)=kf(k)+1+f(k)=(k +1)f(k)+1=(k +1)∑1i k i=1+1．右边=(k +1)f(k +1)=(k +1)∑1ik+1i=1=(k +1)[∑1ik i=1+1k+1]=(k +1)∑1ik i=1+1，即左边=右边， ∴ 等式也成立．…综上可知，对一切不小于2的正整数n ，等式n +∑f n−1i=1(i)=nf(n)都成立．…。
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14、①③④
4a 0 a 3或 3 a 4. ……………4 分 3 a2
∴当 4 B时, 实数a 的取值范围为 [ 3, 3] [4,).……………6 分 （2）∵ A {x | ( x 2)( x 3a 1) 0}, B { x | a x a 2 1}. ……………7 分 ①当 a
AE 、 AB 于点 F 、 D .
（1）求 ADF 的度数； （2）若 AB C 的值. BC
F O E
C
3
B．选修 4—2：矩阵与变换
1 已知二阶矩阵 A 的属于特征值－1 的一个特征向量为 ，属于特征值 3 的一个特征向量 3
1 为 ，求矩阵 A． 1
D．选修 4—5：不等式选讲 设 x，y，z 为正数，证明： 2 x3 y3 z3 ≥ x2 y z y2 x z z 2 x y
[必做题] 共两小题，每小题 10 分，共 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出 文字说明，证明过程或演算步骤． 22、某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制， 当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术 水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.5 ， 0.6 ， 0.4 ，经过 第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.6 ， 0.5 ， 0.75 ． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率； （2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为 ，求随机变量 的期望． 23、如图，三棱锥 P ABC 中， PB 底面 ABC 于 B ，
x2 y 2 1 a＞b＞0 的左焦点为 F，其左准线与 x 轴的交点为 A ，若在椭圆上 a 2 b2
；
存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是
1
13、如图放置的边长为 1 的正三角形 PAB 沿 x 轴滚动，设顶点 A( x, y) 的纵坐标与横坐标 的函数关系式是 y f ( x) ，则 f ( x ) 在区间 2,1 上的解析式是 14、关于函数 y f ( x) ，有下列命题： ①若 a [2,2] ，则函数 f ( x)
f ( x) f ( x), f (1 x) f (1 x), 则 4 是 y f ( x) 的一个周期。
其中真命题的序号是 ；
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分． 15、 （本题满分 14 分）已知集合
A {x | x 2 (3a 3) x 2(3a 1) 0, x R}, 集合B {x |
①若“p 且 q”为假命题，则 p、q 均为假命题； ②命题“若 x≥2 且 y≥3，则 x+y≥5”的否命题为“若 x≥2 且 y≥3，则 x+y＜5” ； ③四个实数 a、b、c、d 依次成等比数列的必要不充分条件是 ad=bc； ④在△ ABC 中， “ A 45 ”是“ sin A 4、若将函数 y sin(x
1 时, A (3a 1,2). 3
要使 B A, 必须 ②当 a
a 3a 1 1 , 此时 1 a ; ……………10 分 2 2 a 1 2
1 时, A , 使B A的a不存在 ; ……………11 分 3 1 ③当 a 时, A (2,3a 1) 3
BCA 90 , PB BC CA 4 2 ，点 E , F 分别是 PC, PA 的中点，求二面角
A BE F 的余弦值．
2011 届高三联考数学试题 2010-12-16
4
数学Ⅰ试题参考答案 参考答案： 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1、{0,2} 2、 （3，+∞） （－∞，－1） 3、3 4、 8、
江苏省宿迁市 2011 届高三第二轮联考数学试题 正题卷 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1、已知集合 M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合 M∩N＝ ；
2、若命题“ x R, 使得x 2 (1 a) x 1 0 ”是真命题，则实数 a 的取值范围 是 ；3、给出如下三个命题，其中不正确 的命题的个数是 ___ ．．． ___；
1 ， A ……………7 分 2 3
5
C 1) (cos B, cos C ), ……………8 分 2 2 1 2 m n cos 2 B cos 2 C cos 2 B cos 2 ( B) 1 sin(2 B ) …………12 分 2 6 3 2 2 7 B ,B C , B (0, ) .从而 2 B ( , ) ……………13 分 3 3 3 6 6 6 2 1 当sin(2 B ) 1, 即B 时， m n 取得最小值 ， 6 3 2
7、等比数列 {an } 的前n项和为Sn , 且4a1 , 2a2 , a3成等差数列.若
a1 1, 则S4 =
8、已知 0
；
3 3 , cos( ) ，则 tan ___________； 4 4 5
4 上， 为曲线在点 p 处的切线的倾斜角，则 的取值范围 e 1
x 2 ) 成立。 ex e
1 (n N * ), 求数列 {bn bn1}的前n项和Tn的取值范围； 2 log p an
（3）是否存在正整数 M，使得 n M时, a1a4 a7 a3n2 a78 恒成立？若存在，求出相应 的 M 的最小值；若不存在，请说明理由。 2011 届高三联考数学试题 2010-12-16 附加题题卷 21、选做题：本大题共 4 小题，请从这 4 题中选做 2 小题，如果多做，则按所做的前两题 记分．每小题 10 分，共 20 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修 4－1：几何证明选讲 已知 C 点在圆 O 直径 BE 的延长线上， CA 切圆 O 于 A 点， ACB 的平分线分别交
3 2
5、
10 10
6、30 7、15
1 7
9、 [
3 , ) 10、4 4
11、 a
1 1 且a 6且a 3 12、[ ，1） 3 2
1 2 1 ( x 1) , x 2, 2 13、 y 1 x 2 , x 1 ,1 2
x
9、已知点 p 在曲线 y 是 ；
2
10、设 a＞b＞0 ，则 a
1 1 的最小值是___ ab a a b
___；
11 、若三条直线 x y 1 0, 2x y 8 0 和 ax 3 y 5 0共有三个不同的交点，则实 数 a 满足的条件是___ 12、椭圆 ___；
2sin B cos A sin C cos A sin A cos C ,
化为 2sin B cos A sin A cos C cos A sin C
2sin B cos A sin( A C) ,……………4 分
2sin B cos A sin B ,得 cos A
要使 B A, 必须
a 2
, 此时2 a 3. ……………13 分 2 a 1 3a 1
1
综上可知，使 B A 的实数 a 的取值范围是[2，3] 1, ……………14 分 2 16、解： （1） (2b c) cos A a cos C ， 由正弦定理得： (2sin B sin C ) cos A sin A cos C ……………2 分
（1）求 4 B 时，求实数 a 的取值范围；
xa 0, x R}. x (a 2 1)
（2）求使 B A 的实数 a 的取值范围。
16 、 （ 本 题 满 分 14 分 ） 在 ABC 中 ， 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c ， 且 满 足
(2b c) cos A a cos C 。
（1）求角 A 的大小；
C ) ，试求 m n 的最小值。 2 2 17、 （本题满分 14 分）某森林出现火灾，火势正以每分钟 100m 的速度顺风蔓延，消防站
（2）设 m (0, 1), n (cos B, 2cos
2
接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后 5 分钟到达救火现场，已知消防队员在现场 平均每人每分钟灭火 50m ，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟 125 元， 另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人 100 元，而烧毁一平方米森林 损失费为 60 元． （1）设派 x 名消防队员前去救火，用 t 分钟将火扑灭，试建立 t 与 x 的函数关系式； （2）问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？
2
；
x 2 ax 1 的定域为 R；
②若 f ( x) log1 ( x 3x 2) ，则 f ( x) 的单调增区间为
2
3 ( , ) 2
③函数 f(x)=log (x+ -4) ( a>0 且 a≠1) 的值域为 R ，则实
a
a x
数 a 的取值范围是 0 a 4 且 a 1 ④定义在 R 的函数 f ( x) ，且对任意的 x R 都有：
C．选修 4—4：坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程：
2 2 sin( ) 。
xt （为参数）和圆 C 的极坐标方程： y 1 2t
4 （I）将直线 l 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （II）判断直线 l 和圆 C 的位置关系