2014年高考文科科数学冲刺训练(二)含答案(全国卷地区专用)

2014年高考文科科数学冲刺训练（二）含答案（全国卷地区专用）1．已知集合{1},{0,1,2,4}A x x B =>=，则()R C A B = ( ) A ．{0,1} B ． {0} C ． {2,4} D ．∅ 答案：A【解析】因{|1}R C A x x =≤，所以(){0,1}R C A B = ，选A ． 2． 在复平面内，复数311z i i=--，则复数z 对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D 【解析】311131222i z i i i i +=-=+=+-，则z 1322i =-，实部为正，虚部为负，所以复数z 对应的点位于第四象限．3． 现有四个函数①x x y sin ⋅= ②x x y cos ⋅= ③|cos |x x y ⋅= ④xx y 2⋅=的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是A ．①④②③B ． ①④③②C ． ④①②③D ． ③④②① 答案：A【解析】因为①x x y sin ⋅=是偶函数，④xx y 2⋅=是非奇非偶函数，所以分别为图1、图2；对③|cos |x x y ⋅=来说当0x >时，0y >，图像在x 轴上方，于是正确的顺序是①④②③．4．若1cos()3πα-=-，α∈[－π2，0]，则tan α＝ ( )A ．－24 B ．24C ．－2 2D ．2 2 答案：C【解析】11cos()cos cos 33πααα-=-=-⇒=，又α∈[－π2，0]，所以 sinα==，那么tan α=- 5． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2 |x |≤111＋x2 |x |>1，则f (f (12))＝ ( )A ．12B ．413C ．－95D ．2541答案：B【解析】因为11()|1|222f =--=32-，所以f (f (12))=3()2f -=1914+=413,故选B ． 6． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2013年8月15日至8 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800人，如图1是对这28800人酒后驾车血 液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布 直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ） A ．2160 B ．2880 C ．4320 D ．8640答案：C【解析】有图可得醉驾的频率为0.010.005+⨯（）10=0.15，属于醉酒驾车的人数约为288000.154320⨯=．7．—个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ． 48D ． 80 答案：C【解析】由三视图可知几何体是一个平放的直棱柱，底面是上底为2，下底为4，高为4的直角梯形，棱柱的高为4，因此梯形的周长为＋6该几何体的表面积为48+8． 已知函数()f x 在x R ∈上恒有()()f x f x -=，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，且当[0,2)x ∈时，2()log (1)f x x =+，则(2012)(2013)f f -+的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 答案：C 【解析】由已知得22(2012)(2013)(2012)(2013)(0)(1)log 1log 21f f f f f f -+=+=+=+=,故选C ．9．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a 、b 表示AD →，则AD →等于( )A ． a ＋34b B ． 34a ＋14b C ．14a ＋14bD ．14a ＋34b答案：D ．【解析】AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝a ＋34(b－a )＝14a ＋34b ．10．函数)(x f 的定义域为R ,2)1(=-f ,对任意2)(,'>∈x f R x ,则42)(+>x x f 的解集为（ ）A ．)1,1(-B ．),1(+∞-C ．)1,(--∞D ．R答案：B【解析】令()()24g x f x x =--，则()()2g x f x ''=-因为()2f x '> 所以()0g x '>则()g x 在R 递增，1,()(1)(1)2(1)40x g x g f >->-=----=即()24f x x >+．11．执行右面的程序框图，如果输出的是341a =，那么判断框（ ） A ．4?k < B ．5?k < C ．6?k < D ．7?k < 答案：C【解析】本题主要考查算法流程图. 属于基础知识、基本运算的考查.1,1;2,5;3,21;4,85;5,341;6k a k a k a k a k a k ===========6<6不成立，输出34112．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若对任意的[],x a b ∈，都有|()()|1f x g x -≤，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“密切函数”，[],a b 称为“密切区间”，设2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[],a b 上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是 （ ）A ．[1,4]B ． [2,4]C ． [3,4]D ． [2,3] 答案：C【解析】因为2253|()()||57||()|24f xg x x x x -=-+=-+, 令2571x x -+=解得2x =或3x =,结合选项,故选项C 正确．13．在A B C △中，3A π∠=，3B C =，A B ，则C ∠= ．答案：4π 【解析】由正弦定理sin C =，又3B C =，AB ，∴AC >，则C 为锐角，故4C π=． 14．若c b a ,,是直角三角形ABC ∆的三边的长（c 为斜边），则圆4:22=+y x C 被直线0:=++c by ax l 所截得的弦长为 ．答案：【解析】圆4:22=+y x C 被直线0:=++c by ax l 所截得的弦长l ==222a b c +=，所以l = 15．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩， 表示的平面区域的面积为4，点(,)P x y 在所给平面区域内，则2z x y =+的最大值为 ． 答案：6【解析】画出可行域得 故可行域的面积21242S a a a =⨯⨯==，解得2a =，做目标直线2y x =-，平移可知，在点（2,2）处max 2226z =⨯+=．16． 已知函数,0()2,0x e x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥，则关于x 的方程()[]0=+k x f f 给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有1个实根；②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是 （把所有满足要求的命题序号都填上）． 答案：①②【解析】由()f x 的图象知()0f x >,则2,0[()],0x xe e xf f x e x -⎧⎪=⎨<⎪⎩≥,根据[()]f f x 的图象(如图)可知，①②正确．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分12分)已知函数)22sin(cos sin 2)(π++=x x x x f ．（I ）若R x ∈，求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （II ）设]3,0[π∈x ，求)(x f 的值域．【解析】（I ）()sin 2cos 2)4f x x x x π=+=+．周期22T ππ==；……………………3分 令222242k x k πππππ-≤+≤+，得388k x k ππππ-≤≤+． 所以，单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． ……………………6分（II ）解法1：当]3,0[π∈x ，112,4412t x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，由11,,412y t t ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图象可知，当2t π=时，y ；……………………9分当1112t π=时，y 111122π=．所以，值域12⎣． ……………………12分 18． (本小题满分12分)为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛． 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛． （Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率； （Ⅱ）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率． （文）【解析】基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲， 丙甲乙，丙乙甲”． ………………………………………2分（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，事件A 包含的基本事件 有“甲乙丙，乙甲丙”， ………………………………4分则21()63P A ==，所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为13．……………………7分 （Ⅱ）设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B ，事件B 包含的基本事件 有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”，………………………………………10分则42()63P A ==，所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为23．……………………………12分19． (本小题满分12分)已知等差数列}{n a 的公差不为零，且53=a ，521,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足21123222n n n b b b b a -++++=L ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．【解析】（Ⅰ）在等差数列中，设公差为)0(≠d d ，2152a a a =Q ，∴2333)()2)(2(d a d a d a -=+-， ………………………………2分化简得01052=-d d ，2=∴d ....................................4分 122)3(5)3(3-=-+=-+=∴n n d n a a n (6)分（Ⅱ）1123242n n n b b b b a -++++=L ①1123112422n n n n n b b b b b a -+++++++=L ②②-①得： 221=⋅+n n b ，n n b -+=∴112 (8)分当1=n 时，111==a b ⎩⎨⎧=≥=∴-1,,12,22n n b n n (10)分2213--=∴n n T …………………………………12分20． (本小题满分12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P A B C D -中90A D B C A B C ∠=，∥°，P D A B C D⊥平面，A D =1，A B ，4B C =． （Ⅰ）求证：BD ⊥P C ； （Ⅱ）当1P D =时，求此四棱锥的表面积．【解析】（Ⅰ）证明：由题意知D C = 则 222.B C D B D C B D D C +∴⊥=， P D A B C D B D P D P DC D D ⊥∴⊥= 平面而，，， ..B D P D C P C P D C B D P C ∴⊥∴⊥ 平面在平面内， （4分） （Ⅱ）,,,,P D A B C D P D A B A B A D P D A D D ⊥∴⊥⊥= 平面而 ,A B P A D ∴⊥平面∴A B P A P A B ⊥即是直角三角形,△． 122P A BS A B P A =⋅=⋅=R t △． （6分） 过D 作DH ⊥BC 于点H ,连结PH ,则同理可证明P H B C⊥， 并且2P =． PB C DA11424.22P B CS B C P H =⋅=⋅⋅=△ （8分） 易得11111.222P D AS A D P D =⋅=⋅⋅=R t △12P D CS D C P D =⋅=R t △ 11()(13222A B C S A D B C A B =+⋅==梯形． （11分） 故此四棱锥的表面积P A B P A D P D C P B C A B C DS S S S S S =++++R t △R t △R t △△梯形4222=++= （12分）21． (本小题满分12分) 已知直线1:+=x y l ，23:22=+y x O 圆,直线l 被圆截得的弦长与椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的短轴长相等,椭圆的离心率23=e(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 过点M (0，13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．【解析】(Ⅰ)则由题设可求的1=b ， ………………………………………………2分又23=e 2=a 所以椭圆C的方程是2212x y +=． ………………………………………………4分 (Ⅱ)解法一：假设存在点T （u, v ）． 若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-，将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=．……………………………5分设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=-- 及112211,,33y kx y kx =-=-所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--2221212121(1)()()339v k x x u k kv x x u v =+-+++++++222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-=+ ………………………………………………8 分当且仅当0=⋅TB TA 恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ， ……………………………9分所以2222618180,0,33250.u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）． ………………………………………………10分当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）． 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件． ……………………………………12分解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是22 1.x y +=若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116().39x y ++= ………………………………6分由22221,116().39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得01x y =⎧⎨=⎩． 由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）． …………………………………7分事实上点T （0，1）就是所求的点． 证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点T （0，1）；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-， 代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--= …………………………………8分设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，21212121212416()1(1)()39TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++222216161632160.189k k k k ---++==+ 所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）． (11)分综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件． …………………………………12分 22． (本小题满分14分)设二次函数()2f x mx nx t =++的图像过原点，()33(0)g x ax bx x =+->，(),()f x g x 的导函数为()//,()f xg x ，且()//00,(1)2f f =-=-，()),1(1g f =()//1(1).f g =(Ⅰ)求函数()f x ，()g x 的解析式； (Ⅱ)求())()(x g x f x F -=的极小值；（Ⅲ）是否存在实常数k 和m ，使得()m kx x f +≥和()?m kx x g +≤若存在，求出k 和m的值；若不存在，说明理由． 解：(Ⅰ)由已知得()/0,2t f x mx n ==+，则()//00,(1)22fn f m n ==-=-+=-，从而0,1n m ==，∴2()f x x =()x x f2/=，()b ax x g +=2/3．由()),1(1g f = ()),1(1//g f =得23,13=+=-+b a b a ，解得.5,1=-=b a()353(0)g x x x x ∴=-+->．……………………4分(Ⅱ)())0(35)()(23>+-+=-=x x x x x g x f x F ，求导数得())53)(1(5232/+-=-+=x x x x x F ．……………………6分∴()x F 在（0,1）单调递减，在（1,+∞）单调递增，从而()x F 的极小值为()01=F ……………8分（Ⅲ）因)(x f 与)(x g 有一个公共点（1，1），而函数)(x f 在点（1，1）处的切线方程为12-=x y ．下面验证⎩⎨⎧-≤-≥12)(12)(x x g x x f 都成立即可． ……………………10分 由0122≥+-x x 得122-≥x x ，知12)(-≥x x f 恒成立．设)12(35)(3---+-=x x x x h ，即)0(23)(3>-+-=x x x x h ，……………………12分对)(x h 求导得)0( )1)(1(333)(2'>+--=+-=x x x x x h ，)(x h ∴在（0，1）上单调递增，在),1(+∞上单调递减，所以)12(35)(3---+-=x x x x h 的最大值为0)1(=h ，所以12353-≤-+-x x x 恒成立．故存在这样的实常数k 和m ，且1,2-==m k ． ……………………14分四．选考题1．《几何证明选讲》如图，已知点C 在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆 O 于A 点，DC 是∠ACB 的平分线并交AE 于点F 、交AB 于D 点，则∠ADF 为多少度？【解析】设EAC α∠=，根据弦切角定理，ABE α∠=． 根据三角形外角定理，90AEC α∠=︒+．根据三角形内角和定理，902ACE α∠=︒-． ……………………3分 由于CD 是ACB ∠的内角平分线，所以45FCE α=︒-． ……………………5分 再根据三角形内角和定理，180(90)(45)45CFE αα∠=︒-︒+-︒-=︒．…………7分 根据对顶角定理，45AFD ∠=︒．由于90DAF ∠=︒，所以45ADF ∠=︒． ……………………10分2．《坐标系与参数方程》已知曲线C 的极坐标方程为θρc o s 4=，直线l 的参数方程是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 225225 为参数）t (．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程； （Ⅱ）将曲线C 横坐标缩短为原来的21，再向左平移1个单位，得到曲线曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 距离的最小值．【解析】 (Ⅰ)曲线C 的方程为4)2(22=+-y x ，直线l 的方程是：052=+-y x…4分（Ⅱ）将曲线C 横坐标缩短为原来的21，再向左平移1个单位， 得到曲线曲线1C 的方程为4422=+y x ， …………………7分设曲线1C 上的任意点)sin 2,(cos θθ到直线l 距离2|)sin(552|2|52sin 2cos |ϕθθθ+-=+-=d ．到直线l 距离的最小值为210． …………………10分 3．《不等式选讲》已知函数）m x x x f --++=|2||1(|log )(2．（I ）当5=m 时，求函数)(x f 的定义域；（II ）若关于x 的不等式1)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围．【解析】（I ）由题设知：5|2||1|>-++x x ， …………1分不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集： …………3分⎩⎨⎧>-++≥5212x x x ，或⎩⎨⎧>+-+<≤52121x x x ，或⎩⎨⎧>+---<5211x x x ， 解得函数)(x f 的定义域为),3()2,(+∞--∞ ； …………5分（II ）不等式1)(≥x f 即2|2||1|+>-++m x x ， …………6分∵R ∈x 时，恒有3|)2()1(||2||1|=--+≥-++x x x x ， …………8分不等式2|2||1|+>-++m x x 解集是R ，∴32<+m ，m 的取值范围是)1,(-∞． …………10分4．《矩阵与变换》设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换． （I ）求矩阵M 的特征值及相应的特征向量；（II ）求逆矩阵1M -以及椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程． 解析:该题考查矩阵的特征值与特征向量,矩阵的变换,逆矩阵,是简单题．【解析】由题意2003M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦…………1分 （I ）由0M E λ-=得:122,3,λλ==当12,λ=(22)00,30x y y -=⎧∴=⎨=⎩取x=1, …………3分当2203,0(33)0x x y λ=⎧=∴=⎨-=⎩,取y=1所以,特征值为2和3,特征值2对应的特征向量10⎡⎤⎢⎥⎣⎦,特征值3对应的特征向量01⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (6)分 （II ）由逆矩阵公式得:1102103M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, …………7分设00(,)P x y 是椭圆22149x y +=上任意一点,P 在1M -下对应点'(,)P x y ,则 00102103x x y y ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦,0023x x y y =⎧∴⎨=⎩, …………9分 所以, 椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程为:221x y += …………10分。