3-微分中值定理及导数应用习题课
高等数学 第三章中值定理与导数的应用习题课
(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导
辽宁工业大学高数习题课(3)
ln sin x 【例2】计算 lim 2 x ( 2 x )
2
分析 当 x 0 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算. 解：
ln sin x lim 2 x ( 2 x )
2
0 0
（ 0 型）
0
cos x lim x sin x [ 4( 2 x )]
1
【例4】计算 lim x 2 e x
x 0
2
分析 当 x 0 时, 函数式为 0 型,
1
0 将其化为 0
或
型.
解：
lim x 2 e x ( 0 型)
2
x 0
1
ex l im x0 1 x2
1
2
(
型)
e lim
x 0
x2
2 3 1 x x2 lime . 2 x 0 3 x
拉格朗日型余项 佩亚诺型余项
Rn ( x) 0[( x x0 )n ]
2．麦克劳林公式
f (0) f ( n ) ( 0) 2 f ( x ) f (0) f (0)( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
所以
f (1) 8, f (1) 5, f ( 1) 0,
f ( 1) 6.
f ( ) ( x 1) 2 一阶泰勒公式为 f ( x ) f ( 1) f ( 1)( x 1) 2!
8 5( x 1) 3( 1)( x 1)
0 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
3微分中值定理与导数的应用习题
第三章微分中值定理与导数的应用1 •函数y =x2 -1在L 1,1】上满足罗尔定理条件的匕=2、若f(x)=x3在1,2】上满足拉格朗日中值定理，则在(1,2 )内存在的匕=3. f(x)=x2+x-1在区间L1,1】上满足拉格朗日中值定理的中值匕=4•函数y = In(X +1诳区间0,1】上满足拉格朗日中值定理的匕=5•验证罗尔定理对函数y =1 n sin X在区间律—1上的正确性。
T 6」6.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x' —5x2 +x-2在区间0,1】上的正确性。
7.对函数f(x) = sinx及F(x)=x+cosx在区间〔0,—1上验证柯西中值定理的正确性。
L 2」&试证明对函数y = px2 +qx + r应用拉格朗日中值定理时的求得的点总是位于区间的正中间。
9.证明下列不得等式: ⑴ arctanx -arctan y < x - y⑶当a汕＞«¥＜"¥10.用洛必达法则求下列极限:X _x⑵ lim e ~eT sin XIn R +丄］⑷ li%__¥—鈕 1arcta n —x⑸1x m1x1.1 -x1⑹ lim (cot X -一) T x(7)lim (cos X)⑻ ji m^x "(J x2+1 -X) ⑵当X A1时，e x；＞e .XIn (1 +x)⑴lim T X⑶ lim 沁—sina X T x-asin X — xcosx2~；x sinx11. 确定下列函数的单调区间。
⑷ y =1 n(x +J 1 + x 212. 求下列函数图形的拐点及凹凸区间:⑷ y = In(x 2+1 )13. 禾U 用函数的单调性证明下列不等式:(11)lim(1-x)ta n 便'(2丿(12)tanx⑽ lim — - x -^l x「1 2 、—2x~e-1丿⑴ y = 2x 3-6x 2-18x -7⑵ y = 2x +8(X A O )x=x 3 -5x 2+3x +5/ \ -x⑵ y = xe= (x +1y +e x⑴当1 ,_______ x>0 时，1+ —x》u1+x2⑵当x>0 时，1+xl n(x+j1+x2)> J1 +x2⑶当兀 1 3 0cx£ —时，tanx〉x + -x2 314.列表讨论下列函数的单调区间，凹性区间，极值点与拐点。
第03章微分中值定理与导数的应用习题详解
M 12丿」I 2丿第三章 微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。
可见，f(x)在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点 匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏0,—】，F'(X)H 0, ”■. f (x),F (x)满足柯西 I 2丿中值定理条件。
—12©宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。
可 见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3), y ‘ = 一 23 —12x 2厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5<x<0.5，有 y(x)=兀。
「兀f f 兀、 4 .证明：显然f(x), F(x)都满足在'|0,二I 上连续，在10,二 内可导L 2」 I 2丿 c oxsn ——x、、2丿F Q-F(O)12丿兀--1 2F( x) -1 sixn_c O 弓-x厂(X )_F(x) ZL"2 /兀 X ,，即 tan I - -- U--1，此时l 4 2丿 2f JI「兀X = 2 I — -arctan l — -1L 4l 2显然萨〔0,-〕，即丿」 I 2丿5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导, 所以f (X)在任一区间 0,1 ], 1,2], [2,3]内满足罗尔中值定理的条件， 所以由罗尔定理，得:3" -(0,1), "^(1,2), ©-(2,3),使得：f 徉1 )= 0 r =) &：◎(=), 30 因为6.证明：设f(x) =0的n+1个相异实根为X o V X 1 <X 2 <H( <X n则由罗尔中值定理知：存在J (i =1,2,川n):X0 <：勺1cj ■<X2 vill <-1^Xn ，使得再由罗尔中值定理至少存在So =1,2,川n-1):上11 C 巴21 V ©2 吒 W ©3 V i 11 < J n d W G n ,使得7.解：反证法，倘若 p(X)=0有两个实根，设为X^X 2，由于多项式函数 p(x)在[X 1,X 2]上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点E€(X I ,X 2),使得P 徉)=0,而这与所设p'(x)=0没有实根相矛盾，命题得证。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第三章 微分中值定理与导数的应用【圣才出
有且仅有三个实根，它们分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）
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6．证明恒等式： 证：取函数 f(x)＝arcsinx＋arccosx，x∈[－1，1]．因
所以 f(x)≡C．取 x＝0，得
．因此
7．若方程 正根 x＝x0，证明方程
即
，所以
（2）取函数
，因为函数 f(t)在[1，x]上连续，在（1，x）内可导，则由
拉格朗日中值定理知，至少存在一点 ξ∈（1，x），使
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即
．又 1＜ξ＜x，所以 eξ＞e，因此
即
ex＞x·e．
12．证明方程 x5＋x－1＝0 只有一个正根． 证：取函数 f(x)＝x5＋x－1，f(x)在[0，1]上连续，
的正根． 证：取函
有一个 必有一个小于 x0
数
．f(x)在[0，x0]
上连续，在（0，x0）内可导，且 f(0)＝f（x0）＝0，由罗尔定理知至少存在一点
ξ∈（0，x0），使
，即方程
正根．
必有一个小于 x0 的
8．若函数 f(x)在（a，b）内具有二阶导数，且 f（x1）＝f（x2）＝f（x3），其中
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a＜x1＜x2＜x3＜b．证明：在（x1，x3）内至少有一点 ξ，使得
．
证：根据题意知函数 f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]上连续，在（x1，x2），（x2，x3）内可导
且
，所以由罗尔定理知至少存在点 ξ1∈（x1，x2），
高等数学习题课(3)中值定理与导数的应用
（3）
中值定理与导数的应用
第二课 中值定理与导数应用
I. 目的要求 ⒈ 理解罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西定理； 会用中值定理解决诸如方程根的存在性、不等 式证明等问题； ⒉ 了解泰勒定理的条件、结论及余项，掌握函数 ex , sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)α的麦克劳 林公式； ⒊ 熟练掌握用洛必达法则求不定型极限的方法； ⒋ 熟练掌握求函数单调区间、极值、凹凸区间、 拐点的方法，并会用其证明一些相关问题。
证：由条件易知F (x)在 [1,2]上满足罗尔定理条件， 则 (1,2)，使 F(1) 0 又 F(x) 2(x 1) f (x) (x 1)2 f (x) 在 [1,1]上连续，在(1,1)内可导，且 F(1) F(1) 0 由罗尔定理， (1, 1) (1, 2) 使 F() 0 #
(a 0)有极值，试证：曲线y f (x) 在点(a, f (a))处的
切线经过坐标原点。 证：曲线 y f (x) 在 (a, f (a)) 处的切线方程为
y f (a) f (a)(x a)
即 y f (a)x [ f (a) a f (a)]
由条件 (x) 在 x a 点有极值，且易知(x)在 x a 点可导
x
2
分析：只需证明 sin x x 0 3 cos x
证：令
f
(x)
sin x 3 cos x
x
sin
1
x cos 3
x
x
，显见
f
(0)
0；
f
(x)
cos
2 3
x
1 sin
2
x
4
cos 3
x
微分中值定理与导数的应用习题课(一)
【例3】设 f ( x)在[0, a]上连续, 在 (0, a)内可导, 且 f (a) 0 . 证明存在一点 (0, a), 使 f ( ) f ( ) 0. 分析 从结论 f ( ) f ( ) 0 看等价于方程 x f ( x) f ( x) 0 有实根，但若利用零点定理，无法验证 f (0) f (a) 0，所以
证明: 设 F ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x, 易知多项式函数F ( x)在[0, x0 ] 上连续且可导，由题设
F ( x0 ) 0 F (0).
由罗尔定理，存在 (0, x0 ), 使 F ( ) 0, 即 a0n n1 a1 (n 1) n2 an1 0, 这说明 就是方程 a0nx n1 a1 (n 1) x n2 an1 0 的一个小于 x 0的正根.
2
x 1)
分析 证明函数恒等式，主要是利用拉格朗日定理的推论：
如果函数 f ( x)在区间 I上的导数恒为零，那么 f ( x)在区间 I上是一个常数.
证明：设 f ( x) arcsin x arccos x,(1 x 1)
因 f ( x) 1 1 0,(1 x 1) 1 x2 1 x2
试证在(a,
b)内至少存在一点 ,
使 f (b)
f (a)
f ( ) ln b
a
成立.
分析
将所证等式变形为
f (b)
f (a)
f ( ) 或
ln b ln a 1
f (b) f (a) ln b ln a
f ( x)
ln x
,
x
可见，应对 f ( x)与 ln
x 在[a,
b]上应用
ln b ln a 1
习题课(中值定理和导数的应用)
例10. 求
解法1 利用中值定理求极限
a a 原式 lim n ( ) 2 n n 1 n 1
2
1
a a ( 在 与 之间） n n 1
n2 a lim n n( n 1) 1 2
a
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解法2 利用罗必塔法则
原式 lim
arctan a arctan b x x
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x
f ( x)
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arctan x ( x 0) . 例8. 证明 ln(1 x) 1 x 证: 设 ( x) (1 x) ln(1 x) arctan x , 则 (0) 0 1 ( x) 1 ln(1 x) 0 ( x 0) 2 1 x 故 x 0 时, (x) 单调增加 , 从而 ( x) (0) 0 arctan x 即 ln(1 x) ( x 0) 1 x 1 x ln(1 x) (0 x 1) 时, 如何设辅助 思考: 证明 1 x arcsin x 函数更好 ? 2 提示: ( x) (1 x) ln(1 x) 1 x arcsin x
二 课堂练习
1. 判断是非（共7个） 3. 计算题（共5个）
1. 掌握四个微分中值定理
罗尔中值定理：
[ 若 f ( x ) : (1)在闭区间a , b]上连续； (2)在开区间 a , b)内可导； (
(3) f (a)= f (b) ;
则至少存在一点 (a , b)，使得
f ( ) 0 .
1 2
1 cos x 1 o 1 . 及时求出已定式的极限. 原式 lim 2 x 0 3 x 2 1 sin x lim 2 x 0 6 x 1 1 1 2 6 12
3第三章-微分中值定理与导数的应用习题解答
第三章微分中值定理与导数的应用答案§3.1 微分中值定理1． 填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ． 必要条件B ．充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．A . xe xf =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数．设c x f =)(，又因为(1)2f π=，故 )(2c o t a r c t a n ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x <<3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5． 证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根． 6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中c 是介于b a ,之间的一个实数． 证明： 存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明： 由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ． 同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使证明： 只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明. 8．证明下列不等式（１）当π<<x 0时，x xxcos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此， 当π<<x 0时，x xxcos sin >．（２）当 0>>b a 时，bba b a a b a -<<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有因为'1()f x x=，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而bb a b a a b a -<<-ln ． §3.1 洛毕达法则1． 填空题 （１） =→xxx 3cos 5cos lim2π35-（２）=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 （３）)tan 11(lim 20x x x x -→=31（４）0lim(sin )xx x +→=1 ２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A ． ==∞→∞→nn n n n en ln limlim11lim=∞→nn eB ． =-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ． x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e（２） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ． x x x sin lim 20→B ． x x x tan 0)1(lim +→C ． x x x x sin lim +∞→D ． x nx e x +∞→lim3． 求下列极限（１）nn mm a x a x a x --→lim ．解： n n m m a x a x a x --→lim =nm n m a x a nm nx mx ---→=11lim． （２）20222lim x x x x -+-→．解： 20222lim xx x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2)2(ln ． （３）30tan sin lim x xx x -→ ．解：30tan sin lim x x x x -→＝32030)21(lim )1(cos tan lim x x x x x x x x -⋅=-→→＝21-． （４） 20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→．解：20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→＝201sin lim x x e x x --→＝212sin lim 2cos lim00=+=-→→x e x x e x x x x ． （５）x x x x xx ln 1lim 1+--→．解： )ln 1()(x x x xx +='， x x x x xx ln 1lim1+--→＝xx x xx 11)ln 1(1lim 1+-+-→＝22111)ln 1(limx x x x x xx x --+-→2])ln 1([lim 1221=++=++→x x x x x x ．（６） )111(lim 0--→x x e x ．解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→xxe x x e e x x x xx x x （７） xx xtan 0)1(lim +→ ．解：1)1(lim 202000sin limcsc 1lim cot ln limln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x xxx x x xx x x x x x x eeeex．（８）)31ln()21ln(lim xxx +++∞→．解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 23ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim1x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++== =xxx 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3．（９） n n n ∞→l i m ．解： 因为1lim1limln 1lim===∞→∞→∞→xxxxx x x eex ，所以nn n ∞→lim=1．§3.3 泰勒公式 １．按1-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f ．解： 10)1(,64)(3='+='f x x x f ，同理得24)1(,24)1(,18)1()4(=='''=''f f f ，且0)()5(=x f ．由泰勒公式得：43)(24++=x x x f =432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+x x x x ．2． 求函数xe x xf 2)(=的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式．解：因为)(!!2!112n nxx o n x x x e +++++= ， 所以xe x xf 2)(==2222[1()]1!2!(2)!n n x x x x o x n --+++++-=)()!2(!2!1432n n x o n x x x x +-++++ ． 3． 求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22x x p x ο+=． 解：设xx f 2)(=，则2ln 2)(x x f ='，2)2(ln 2)(x x f =''． 2)2(ln )0(,2ln )0(,1)0(=''='=f f f ，故 )(!2)2(ln !12ln 12222x x x xο+++=， 则 222)2(ln 2ln 1)(x x x p ++=为所求． 4．利用泰勒公式求极限)]11ln([lim 2xx x x +-∞→．解：因为 ))1((3)1(2)1(1)11ln(332xo x x x x ++-=+，所以 )11ln(2x x x +-=)])1((3)1(2)1(1[3322x o x x x x x ++--=)1(3121x o x +-，故 21)]1(3121[lim )]11ln([lim 2=+-=+-∞→∞→x o x x x x x x ．5． 设)(x f 有三阶导数,且0)1(,0)(lim 20==→f x x f x ,证明在)1,0(内存在一点ξ,使0)(='''ξf ．证明： 因为 0)(lim 20=→x x f x ，所以0)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ．由麦克劳林公式得：332!3)(!3)(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ'''='''+''+'+= （ξ介于0与x 之间），因此 !3)()1(ξf f '''=，由于0)1(=f ，故0)(='''ξf ．§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1． 填空题（１） 函数)ln(422x x y -=的单调增加区间是),21()0,21(+∞-，单调减少区间)21,0()21,( --∞．（２）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调 增加 ．（３）函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a 0>．（４）若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a 23-，=b 29，曲线的凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞．2． 单项选择题（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A . xy -=2),(∞+-∞ B . xy e = )0,(-∞C . x y ln = ),0(∞+D . x y sin = ),0(π（２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ B ）． A . )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B. )(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的 Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的（３）)(x f 在),(+∞-∞内可导, 且21,x x ∀,当 21x x >时, )()(21x f x f >,则( D ) A. 任意0)(,>'x f x B. 任意0)(,≤-'x f xC. )(x f -单调增D. )(x f --单调增（４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. )0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->' C. )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2． 求下列函数的单调区间 （１）1--=x e y x．解：1-='x e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加； 当0<x 时，0<'y ，所以函数在区间]0,(-∞为单调减少．（２）(2y x =-解：)1(31031-='-x x y ， 当1>x ，或0<x 时，0>'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加； 当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．（３）)1ln(2x x y ++=解： 011111222>+=++++='xxx x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加．3． 证明下列不等式（１）证明： 对任意实数a 和b , 成立不等式||1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++．证明：令xxx f +=1)(，则0)1(1)(2>+='x x f ， )(x f 在) , 0 [∞+内单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即（２）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ．证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ， 11ln )('-+=xx x f ，由于当1x >时，211()0f x x x''=->, 因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当 1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增, 当 1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ,因此1)1(2ln +->x x x ．（３）当 0>x 时，6sin 3x x x ->．证明：设6sin )(3x x x x f +-=, 021cos )(2=+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->，所以)(x f '在),0[+∞单调递增, 当 0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当 0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当 0>x 时，6sin 3x x x ->．4． 讨论方程k x x =-sin 2π(其中k 为常数)在)2,0(π内有几个实根． 解：设()sin ,2x x x k πϕ=-- 则()x ϕ在]2,0[π连续, 且k k -=-=)2(,)0(πϕϕ， 由()1cos 02x x πϕ'=-=，得2arccos x π=为)2,0(π内的唯一驻点．()x ϕ在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2ππ上单调增加．故k ---=242arccos )2(arccos 2πππϕ为极小值，因此)(x ϕ在]2,0[π的最大值是k -,最小值是k ---242arccos 2ππ．（１） 当,0≥k 或242arccos 2--<ππk 时,方程在)2,0(π内无实根；（２） 当0242arccos 2<<--k ππ时,有两个实根；（３） 当242arccos2--=ππk 时，有唯一实根．5． 试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．解： c bx ax y ++='232,b ax y 26+=''，所以 解得： 16,24,3,1=-=-==d c b a ．6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间（１）12-+=x xx y 解： 222)1(11-+-='x x y , 323)1(62-+=''x xx y , 令0=''y ,得0=x ，当1x =±时y ''不存在．当01<<-x 或1>x 时, 0>''y ,当1-<x 或10<<x 时, 0<''y ．故曲线12-+=x xx y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的，曲线的拐点为)0,0(．（２）32)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间解：y '=，y ''=． 当0=x 时，y y ''',不存在；当21-=x 时，0=''y ．故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,21(3--是曲线的拐点,7．利用凹凸性证明: 当π<<x 0时, πx x >2sin 证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2sin 41)(xx f -=''．当π<<x 0时, 0)(<''x f , 故函数πxx x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的, 从而曲线)(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即πx x >2sin ．§3.5 函数的极值与最大值最小值1． 填空题（１）函数xx y 2=取极小值的点是1ln 2x =-． （２） 函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为322)21(=f ，最小值为(0)1f =- ．2．选择题（１） 设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（ C ）A ． 0x x =是)(x f 的唯一驻点B ． 0x x =是)(x f 的极大值点C ． )(x f ''在),(+∞-∞内恒为负D ． )(x f ''不为零 （２） 已知)(x f 对任意)(x f y =满足xex f x x f x --='+''1)]([3)(2，若00()0 (0)f x x '=≠，则（ B ）A. )(0x f 为)(x f 的极大值B. )(0x f 为)(x f 的极小值C.))(,00x f x （为拐点 D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点 （３）若)(x f 在0x 至少二阶可导, 且1)()()(lim2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在0x 处( Ａ ) A ． 取得极大值 B ． 取得极小值 C ． 无极值 D ． 不一定有极值 3． 求下列函数的极值 （１） ()3/223x x x f -=． 解：由13()10f x x-'=-=，得1=x ．4''31(),(1)03f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．（２）xx x f 1)(=．解：定义域为),0(+∞，11ln 21, (1ln )x xxy ey xx x'==-， 令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<．因此ee e y 1)(=为极大值．4． 求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值． 解：(3)23, (4)132y y -==．由266120y x x '=+-=，得1=x , 2-=x ．而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．5． 在半径为R 的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V 最大． 解：设圆锥体的高为h , 底半径为r ,故圆锥体的体积为h r V 2 31π=， 由于222)(R r R h =+-，因此)2( 31)(2h Rh h h V -=π )20(R h <<， 由0)34( 31)(2=-='h Rh h V π，得34R h =，此时R r 322=． 由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当34Rh =, R r 322=时, 内接锥体体积的最大． 6. 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km , A 点到火车站B 的距离为100km . 欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？ 解: 设AD x =, B 与C 间的运费为y , 则)100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ）， 其中k 是某一正数． 由 0)34005(2=-+='xx k y , 得15=x .由于k y x 400|0==, k y x 380|15==, 2100511500|+==x y , 其中以k y x 380|15==为最小, 因此当AD =15=x km 时, 总运费为最省．7． 宽为b 的运河垂直地流向宽为a 的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?解： 问题转化为求过点C 的线段AB 的最大值. 设木料的长度为l , y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为t ，则l y x =+，且t by t a x sin ,cos ==, t b t a l sin cos += )2,0(π∈t ．则ttb t t a l 22sin cos cos sin -='， 由0='l 得3tan abt =, 此时233232)(b a l +=， 故木料最长为233232)(b a l +=．§3.6 函数图形的描绘１．求23)1(+=x x y 的渐近线. 解：由 -∞=+-→231)1(limx x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线． 因为 2)1(lim )(lim ,1)1(limlim 2322-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x 所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．2．作函数23)1(22--=x x y 的图形。
第三章 微分中值定理和导数的应用习题66道
第三章 微分中值定理和导数的应用3．1 验证罗尔定理对函数21x y -=在区间]1,1[-上的正确性。
3．2 验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性。
3．3 不用求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明0)(/=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。
3．4 试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。
3．5 验证担格朗日定理对于函数x x f arctan )(=在区间[0，1]上的正确性。
3．6 对函数3)(x x f =及1)(2+=x x g 在区间[1，2]上验证柯西中值定理的正确性。
3．7 对函数x x f sin )(=，x x g cos )(=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π验证柯西中值定理的正确性。
3．8 对函数2)(x x f =，x x g =)(在区间[1，4]上验证柯西中值定理的正确性。
3．9 试证当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππx 时，|tan |||x x ≤（等号只有在0=x 时成立）。
3．10 证明下列不等式：（1）b a b a -≤-arctan arctan ；（2）y x y x -≤-sin sin ；（3）)()(11y x nx y x y x ny n n n n -<-<--- （y x n >>,1）；（4）如果20παβ<≤<，试证：αβαβαββα22cos tan tan cos -≤-≤-； （5）设0>n ，试证：1111arctan 1arctan 1)1(122+<+-<++n n n n 。
3．11 试证：21arctan arcsin xx x -= （11<<-x ）。
3．12 若k x f =)(/，k 为常数，试证：b kx x f +=)(。
第3章-微分中值定理与导数的应用(1)
就是割线
内至少有一点。
内至少有一点，使等式
内至少有一点
证明方程在
不难发现方程左端是函数
在
，使
也就是：方程
我们就把式子分别记为
时，函数,
时，与都存在，
=
[a,a+==
,x于是
存在，则存在且二者的极限相同；而并不是不存在时，
,x。
Sin应慎重考虑是否符合洛必达法则条件中
、、、等型，通常是转化为
附近关于
x=
|过远,即使用代替
固定后将使并使变化对
设函数
，那末函数
，那末函数
确定函数
其导数为：，因此可以判出：时，；=0
则称
则称
则
与及不存在的各点
平均曲率表示曲线段线变化的角度，为
，即定义
为曲线在某一点的曲率半径。
轴与。
以次类推，直到。
微积分第五版影印版)课后练习题含答案
微积分第五版影印版课后练习题含答案本文提供微积分第五版影印版课后练习题及其答案，方便读者进行练习和自我检验。
前言微积分是高等数学中最基础也是最重要的一门学科，在各个领域中都有广泛的应用。
本文提供微积分第五版影印版的课后练习题及其答案，希望读者通过练习，加深对微积分的理解，提高自己的能力。
课后习题第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.已知函数f(x)=2x+1，求f(3)。
答案：$f(3)=2 \\times 3 +1=7$。
2.已知函数y=x2+1，求y(2)。
答案：y(2)=22+1=5。
3.已知函数f(x)=x3+3x，求f(−2)。
答案：$f(-2)=(-2)^3+3 \\times (-2)=-8-6=-14$。
…注：为了节约篇幅，本文仅列举几道习题及其答案。
第二章导数与微分2.1 导数的概念1.求函数y=x2在x=1的导数。
答案：y′=2x|x=1=2。
…第三章微分中值定理与导数的应用3.1 中值定理及其应用1.证明函数y=x2在区间[0,1]上满足罗尔定理的条件。
答案：由罗尔定理可得，若f(a)=f(b)，且f(x)在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)内可导，那么必存在一点 $c\\in(a,b)$，使f′(c)=0。
在本题中，f(0)=0，f(1)=1，f(x)=x2在[0,1]上连续，f(x)在(0,1)内可导，于是满足罗尔定理的条件。
…第四章曲线的性质与应用4.1 曲率1.求函数y=x3在点(1,1)处的曲率半径。
答案：函数y=x3的导函数为y′=3x2，曲率公式为$R=\\frac{[1+(y')^2]^{3/2}}{|y''|}$。
在点(1,1)处，$y'=3\\times1^2=3$，y″=6x|x=1=6。
代入公式得$R=\\frac{[1+3^2]^{3/2}}{|6|}=\\frac{10\\sqrt{10}}{9}$。
…结语本文提供了微积分第五版影印版的课后习题及其答案，希望对读者有所帮助。
微分中值定理及其应用习题课(整理)
1）设 f 在点 x 0 的右邻域 U ( x0 ) 内连续，在 U ( x0 ) 内可导，且极限 lim f ( x) f x0 0 存在，则 f 在点 x 0
x x0
令 h b a ，则有
内连续，则会导致错误的结论，例如 f ( x)
x, x 0 1, x 0
x 0
f ( x) 在 u 0 (0) 中可导，且 f ( x) 1 ，于是有 lim f ( x) ，若认为 f (0) 存在，且 f (0) 1 ，这就导致
1, 0 x 1, 所以在开区间 (1,1) 内找不到使得等式 g ( ) 0 成立的点 ，如图， 1, 1 x 0,
3
无水平切线( 图 2)． 函数 h( x) x, x [0,1] ．h( x) 在 [0,1] 上不满足罗尔中值定理的条件(3)，因为 h( x) 在区间端点的函数 值不相等， 即 h(0) h(1) ． 由于 h( x) 1, x (0,1) ， 所以在开区间 (0,1) 内找不到使得等式 h( ) 0 成 立的点 ，如图，无水平切线( 图 3)．
2 x 2 x
在 x 0 处没有定义，则原函数在 x 0 不可导） ，即不符合加强条件；但它满足定理的三个条件，有水 平切线(图) 6.罗尔定理结论中的 值唯一吗？ 答 不一定唯一,可能有一个,几个，甚至无限多个． 例如
0
y y=f (x)
3
x
1 4 x sin 2 , x 0; f ( x) 在 1,1 上满足罗尔定理的三个条件．显然, x 0, x 0.
《高等数学》第三章-微分中值定理与导数的应用的习题库(201511)
第三章 微分中值定理与导数的应用一、判断题1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（ ）2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（ ）3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（ ） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。
（ ） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使'()0f ξ=。
（ ） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。
（ ） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。
（ ） 8. arcsin arccos ,[1,1]2x x x π+=∈-。
（ ） 9. arctan arctan ,(,)2x x x π+=∈-∞+∞。
（ ） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。
（ ） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。
（ ） 12. ''222(2)lim lim21(21)x x x x x x →→=--（ ）13. 22'0011limlim()sin sin x x x x e e x x→→--= （ ） 14. 若'()0f x >则()0f x >。
微分中值定理与导数的应用
第3章 微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理习题 3-11.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ.(1) 2()23f x x x =--，[]1,1.5-； (2) ()f x =[0,3].2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间[0,1]上的正确性，并求出满足定理的数值ξ.3.试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.4.一位货车司机在收费亭处拿到一张罚款单，说他在限速为65公里/小时的收费道路上在2小时内走了159公里.罚款单列出的违章理由为该司机超速行驶.为什么？5.函数3()f x x =与2()1g x x =+在区间[1,2]上是否满足柯西中值定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ.6.设()f x 在[0,]π上连接，在(0,)π内可导，求证：存在(0,)ξπ∈，使得()()cot f f ξξξ'=-.7.若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导函数，且123()()()f x f x f x ==12(a x x <<3)x b <<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使得()0f ξ''=.8.证明：方程015=-+x x 只有一个正根. 9.证明下列不等式：(1)当0a b >>，1n >时，11()()n n n n nb a b a b na a b ---<-<-; (2)当0b a >>时，ln b a b b a b a a--<<； (3)当1>x 时，x e e x⋅>； (4)当0>x 时，x x x x <<+arctan 12； (5)当0>x 时，x x +>⎪⎭⎫⎝⎛+1111ln .10.证明下列等式：(1)arctan cot ,(,)2x arc x x π+=∈-∞+∞;(2)π=++212arcsin arctan 2xxx (1)x ≥. 11.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内有二阶导数，且有()()0f a f b ==，()0f c >()a c b <<，试证在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ''<.12.设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()bf b af a f f b aξξξ-'=+-.13.设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导.试证明至少存在一点(0,1)ξ∈，使[]2()3(1)(0)f f f ξξ'=-.14.设函数()y f x =在0=x 的某邻域内具有n 阶导数，且(1)(0)(0)(0)0n f f f-'====，试用柯西中值定理证明： ()()()!n n f x f x x n θ=(01)θ<<. §3.2 洛必达法则习题 3-21.用洛必达法则求下列极限：(1)0cos lim sin x x e x x →-； (2)2tan 5lim sec 4x x x π→-+； (3)22ln sin lim (2)x xx ππ→-； (4)x xx 1arctan 2lim -+∞→π； (5)x xx 2tan ln 7tan ln lim 0+→； (6)ee x x x x -+-→ln 1lim 31； (7)x x x x x sin tan lim0--→； (8)x x x 2cot lim 0→； (9)2120lim x x e x →； (10))1(lim 1-∞→xx e x ； (11)⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x ； (12)2lim(sec tan )x x x π→-；(13)xx xtan 0lim +→； (14)21lim(cos )x x x →； (15)10lim(1sin )xx x →+；(16)xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→1ln lim 0； (17)1ln 0lim(cot )xx x +→； (18)211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭；(19)0x →(20)20lim ln(1)x x x x→+-. 2.验证极限sin limsin x x xx x→∞+-存在，但不能用洛必达法则求出.3.若()f x 有二阶导数，证明20()2()()()lim h f x h f x f x h f x h →+-+-''=.4.设当0x →时，2(1)x e ax bx -++是比2x 高阶的无穷小，试确定a 和b 的值.5.讨论函数1112(1),0(),0xx x x f x e e x -⎧⎡⎤+>⎪⎢⎥=⎨⎣⎦⎪≤⎩在点0=x 处的连续性. §3.3 泰勒公式习题 3-31.按(1)x -的幂展开多项式42()34f x x x =++.2.求函数3()ln f x x x =在01x =处的四阶泰勒公式.3. 求函数()tan f x x =带有拉格朗日型余项的三阶麦克劳林公式.4.求函数()x f x xe -=的带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式.5.求函数()ln f x x =按(2)x -的幂展开的带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式.6.求函数13y x=-在1x =处的带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 7.0.01.8.用泰勒公式取5n =，求ln1.2的近似值，并估计其误差. 9.利用函数的泰勒展开式求下列极限:202(1)lim x x →; 222012(2)lim (cos )sin x x x x e x→+-.§3.4 函数的单调性与极值习题 3-41.证明函数2ln(1)y x x =-+单调增加.2.判定函数()sin (02)f x x x x π=+≤≤的单调性.3.求下列函数的单调区间：321(1)31;3y x x x =--+ 8(2)2(0);y x x x =+> 2(3)3y x =-(4)ln(y x = 1233(5)(1);y x x =- 2(6)2ln y x x =-.4．证明下列不等式：(1)当0>x 时，x x +>+1211; (2)当0>x 时，21ln(1)2x x x +>-; (3)当0≥x 时，(1)ln(1)arctan x x x ++≥; (4)当20π<<x 时，.31tan 3x x x +> 5．试证方程x x =sin 有且仅有一个实根.6.求下列函数的极值：(1)32395y x x x =--+; (2)ln(1)y x x =-+; (3)2ln xy x=;(4)y x =(5)cos x y e x =; (6)()(f x x =-7．试问a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在3π=x 处取得极值，并求此极值.§3.5 函数的最值及应用习题 3-51.求下列函数的最值:(1)4282,[1,3]y x x =-+-; (2)sin cos ,[0,2]y x x π=+;(3)5,1]y x =-; (4)21,[,1]12x y x =-+.2.求数列的最大项.3.问函数254(0)y x xx=-<在何处取得最小值？4.从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后按虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子(如图3-5-11所示)，问要截去多大的小方块，才能使盒子的容量最大？图3-5-11 图3-5-125.光源S的光线射到平面镜Ox的哪一点在反射到点A，光线所走的路径最短？(如图3-5-12所示)6.设工厂A到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B，铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C，如图3-5-13.现在要在铁路BC段D处修建一个原料中转车站，再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每km的铁路运费与公路运费之比为3:5，那么，D应选在何处，才能使从原料供应站C运货到工厂A所需运费最省？图3-5-137.甲船以每小时20浬的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北82浬处以每小时16浬的速度向南行驶，问经过多少时间两船距离最近？8.一抛射体以速度840m/s和抛射角/3π发射.它经过多长时间沿水平方向行进21千米？9.求最大射程为24.5千米的枪的枪口速度.10.假设高出地面0.5m的一个足球被踢出时，它的初速度30m/s，并与水平线成30g=10m/s.角.假定足球被踢出后在空中的运动过程中受到的阻力为零，2(1)足球何时达到最大高度，且最大高度是多少？(2)求足球的飞行时间和射程.11.光学中的费马原理说光线从一点到另一点永远行进最短的路径行进.如图3-5-14所示，从光源A出发，从一平面镜反射到一接受点B.试证明入射角一定等于发射角.图3-5-1412.设生产某产品时的固定成本为10000元，可变成本与产品日产量x吨的立方成正比，已知日产量为20吨时，总成本为10320元，问:日产量为多少吨时，能使平均成本最低？并求最低平均成本(假定日最高产量为100吨).13.某零售电器商店每年销售2500台电视机.库存一台电视机一年，商店需要花费10元.为了再订购，需付20元的固定成本，再每台另付9元.为了最小化存货成本，商店应按多大的批量再订购且每年应订购几次？14.某家电厂在生产一款新冰箱，它确定，为了卖出x台冰箱，其单价应为280p= -.同时还确定，生产x台冰箱的总成本可表示成20.4x=+.C x x()50000.6R x.(1)求总收入()L x.(2)求总利润()(3)为使利润最大化，工厂必须生产并销售多少台冰箱？(4)最大利润是多少？(5)为实现这一最大利润，其冰箱的单价应定为多少？15.根据连续记录，某影院测定，如果入场票是20元，则影院取1000人为观影的平均人数.但是每提价1元，影院就从平均人数中失去100个顾客.每位顾客在让价上平均花费1.8元.为使总利润最大化，影院应当确定的入场票价是多少？§3.6 曲线的凹凸性与拐点习题 3-61.求下列函数的凹凸区间及拐点：(1)25363223+--=x x x y ; (2)1(0)y x x x=+>; (3)12-+=x xx y ; (4)x x y arctan =; (5)4(1)x y x e =++; (6)2ln(1)y x =+.2.利用函数图形的凹凸性，证明不等式:(1)22y x y x ee e +>+()x y ≠; (2)2cos cos 2cosy x y x +>+，⎪⎭⎫⎝⎛-∈∀2,2,ππy x ; (3)ln ln ()ln2x yx x y y x y ++>+0()0,,x y x y >>≠. 3.试证明曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上. 4.问a 及b 为何值时，点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点？5.试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得在2-=x 处曲线有水平切线，(1,10)-为拐点，且点在曲线上.§3.7 函数图形的描绘习题 3-71.求下列曲线的渐近线:(1)3221xy x =+; (2)xe y 1-=; (3)23y =; (4)xy x e -=+; (5)xe y x+=1; (6)x x y arctan =. 2.描绘下列函数的图形:(1)1222-=x x y ; (2)21x x y +=; (3)2(3)4(1)x y x -=-;(4)x x y -=3; (5)xxy ln =.总 习 题 三1.设()f x 在[0,1]上可导，且0()1f x <<，对任何一个(0,1)x ∈都有()1f x '≠，试证：在(0,1)内，有且仅有一个数ξ，使()f ξξ=.2.设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()0f f g ξξξ''+=.3.设()f x 在[1,2]上具有二阶导数()f x ''，且(2)(1)f f ==.若()(1)()F x x f x =-，证明：至少存在一点(1,2)ξ∈，使得()0F ξ''=.4.设()f x 在[,]a b 上可微，且()0f a +'>，()0f b -'<，()()f a f b A ==，试证明()f x '在(,)a b 内至少有两个零点.5.设()f x 在[0,1]上连接，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(1)1f =，试证：对任意给定的正数a ,b ,在(0,1)内存在不同的ξ，η，使()()a ba b f f ξη+=+''. 6.设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：在(,)a b 内存在点ξ和η，使()()2a bf f ξηη+''=. 7.设()f x 可导，试证()f x 的两个零点之间一定有函数()()f x f x '+的零点. 8.设121(1)0321n na a a n --++-=-，证明方程 12cos cos3cos(21)0n a x a x a n x +++-=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个实根. 9.设在[1,)+∞上处处有()0f x ''≤，且(1)2f =，(1)3f '=-，证明在(1,)+∞内方程()0f x =仅有一实根.10.设函数()f x 在[,]a b 上可导，且()()0f a f b +-''⋅<，则在(,)a b 内存在一点ξ，使得()0f ξ'=.11.用洛必达法则求下列极限：20ln(1)(1)lim sec cos x x x x →+-; 0(2)x →; 1(3)lim(1)tan 2x x x π→-; 111(4)lim 1ln(2)x x x →-⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦;11cos 0sin (5)lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭; 2(6)lim arctan xx x π→+∞⎛⎫⎪⎝⎭.12.设lim ()x f x k →∞'=，求lim[()()]x f x a f x →∞+-.13.当a 与b 为何值时，320sin 3lim 0x x a b x x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭.14.设(),0()0,0xg x e x f x xx -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，其中()g x 具有二阶连续导数，且(0)1g =，(0)1g '=-，求()f x '.15.证明不等式: 当02x π<<时，2sin 1xxπ<<. 16.设()f x 在00x =的某个邻域内有二阶导数，且130()lim 1xx f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 求(0),(0),(0)f f f '''.17.求()ln(1sin )f x x =+的四阶麦克劳林公式.18.证明不等式:当02x π<<时，221cos 2x x x π<-<.19.利用函数的泰勒展开式求下列极限:21(1)lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦; 2220cos (2)lim [ln(1)]x x x e x x x -→-+-.20.若30sin 6()lim0x x xf x x →+=，求206()lim x f x x →+.21.求一个二次多项式2()p x ，使222()()x p x x ο=+，式中2()x ο代表0x →时比2x 高阶的无穷小.22.求下列函数的单调区间:(1)(0)y a =>; (2)(0,0)n x y x e n x -=>≥;(3)sin 2y x x =+.23.证明下列不等式:(1) 当0x >时，1ln(x x +>(2)当4>x 时，;22x x > (3)当0x >时，31sin 3x x x x -<<;(4)设02x π<<，则sin tan 2x x x +>;(5)当0x >时，1arctan 2x x π+>. 24.证明下列不等式:(1)设0b a >>，证明: 2()lnb b a a a b->+; (2)设b a e >>，证明:b a a b >. 25.求下列函数图形的拐点及凹凸区间:4(1)(12ln 7)y x x =-; (2)x y xe -=; (3)1y =26.利用函数图形的凹凸性，证明不等式:当0x π<<时，有sin2x xπ>. 27.设32()f x x ax bx =++在1x =处有极值-2，试确定系数a 与b ，并求出()y f x =的所有极值点及拐点.28.设逻辑斯蒂函数()1bxcf x ae -=+，其中0a >，0abc ≠.(1)证明：若0abc >，则f 在(,)-∞+∞上是增函数；若0abc <，则f 在(,)-∞+∞上是减函数;(2)证明ln ax b=是f 的拐点. 29.求下列函数的极值: (1)y =; (2)2x x y e e -=+;(3)tan y x x =+; (4)1x y x e--=. 30.求下列函数的最大值、最小值： (1)21x y x =+,1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦; (2)1x y x =,(0,)x ∈+∞. 31.设0a >,求11()11f x x x a=+++-的最大值. 32.求数列32(1)(1)n n ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭的最小项的项数及该项的数值. 33.证明：11(1)12p p p x x -≤+-≤(01)x ≤≤.34.以汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物.已知每次拖4只小船一日能来回16次，每次拖7只小船则一日能来回10次.如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大?35.求下列曲线的渐近线: (1)1ln (0)y x e x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭; (2)2211x x e y e--+=-; (3)1sin (0)y x x x =>; (4)1ln(1)x y e x=++. 36.求笛卡尔曲线3330x y axy +-=的斜渐近线.。
(整理)第三章微分中值定理与导数的应用习题详解wang1
第三章 微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：（1）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，且()f x 在(1,1)-内可导。
可见，()f x 在[1,1]-上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=，即：22120(21)ξξ-=+ ，满足，0ξ=； （2）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，但()f x 在(1,1)-内0x =点不可导。
可见，()f x 在[1,1]-上不满足罗尔中值定理的条件，且1,0<1(), =01,1<0x f x x x <⎧⎪'=⎨⎪--<⎩不存在,因此不存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=.2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件.3．解：令33arccosarccos(34)y x x x =--，2y '=，化简得0,C y y '=∴=（C 为常数），又(0.5)y π=，故当0.50.5x -≤≤，有()y x π=。
4．证明：显然(),(f x F x 都满足在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内可导()cos ,()1sin f x x F x x ''==-且对任一0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0F x '≠，(),()f x F x ∴满足柯西中值定理条件。
(0)121(0)22f f F F πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，而sin cos ()cos 242()1sin 1cos sin 242x x f x x x F x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭==='-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()1()12f x F x π'='-，即t a n 1422x ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，此时2a r c t a n 142x ππ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,显然0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即2arctan 10,422πππξ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∃=--∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，使得(0)(3)2(3)(0)2f f f F F F ππ⎛⎫- ⎪'⎝⎭='⎛⎫- ⎪⎝⎭。
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用讲义
第三章 微分中值定理与导数的应用讲义【考试要求】1．掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义． 2．熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“/∞∞”、“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“0∞”型未定式极限的方法．3．掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式．4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法，并且会解简单的应用问题．5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点． 6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线．【考试内容】一、微分中值定理1．罗尔定理如果函数()yf x =满足下述的三个条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =，那么在(,)a b 内至少有一点ξ（ab ξ<<），使得()0f ξ'=．说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若0()0f x '=，则称点0x 为函数()f x 的驻点．2．拉格朗日中值定理如果函数()yf x =满足下述的两个条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导， 那么在(,)a b 内至少有一点ξ（ab ξ<<），使得下式（拉格朗日中值公式）成立： ()()()()f b f a f b a ξ'-=-．说明：当()()f b f a =时，上式的左端为零，右端式()b a -不为零，则只能()0f ξ'=，这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理．3．两个重要推论（1）如果函数()f x 在区间I 上的导数恒为零，那么()f x 在区间I 上是一个常数．证：在区间I 上任取两点1x 、2x （假定12x x <，12x x >同样可证），应用拉格朗日中值公式可得2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- （12x x ξ<<）． 由假定，()0f ξ'=，所以 21()()0f x f x -=，即 21()()f x f x =．因为1x 、2x 是I 上任意两点，所以上式表明()f x 在区间I 上的函数值总是相等的，即()f x 在区间I 上是一个常数．（2）如果函数()f x 与()g x 在区间(,)a b 内的导数恒有()()f x g x ''=，则这两个函数在(,)a b 内至多相差一个常数，即()()f x g x C -=（C 为常数）． 证：设()()()F x f x g x =-，则()[()()]()()0F x f x g x f x g x ''''=-=-=，根据上面的推论（1）可得，()F x C =，即()()f x g x C -=，故()()f x g x C -=．二、洛必达法则1．x a →时“0”型未定式的洛必达法则如果函数()f x 及()F x 满足下述的三个条件：（1）当x a →时，函数()f x 及()F x 都趋于零；（2）在点a 的某个去心邻域内()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；（3）()lim ()x a f x F x →''存在（或为无穷大），那么()()limlim()()x ax a f x f x F x F x →→'='． 说明：这就是说，当()lim ()x a f x F x →''存在时，()lim ()x a f x F x →也存在且等于()lim ()x a f x F x →''；当()lim()x af x F x →''为无穷大时，()lim ()x a f x F x →也是无穷大．2．x →∞时“”型未定式的洛必达法则 如果函数()f x 及()F x 满足下述的三个条件：（1）当x →∞时，函数()f x 及()F x 都趋于零；（2）当x X >时()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；（3）()lim ()x f x F x →∞''存在（或为无穷大），那么 ()()lim lim()()x x f x f x F x F x →∞→∞'='． 说明：我们指出，对于xa →或x →∞时的未定式“∞∞”，也有相应的洛必达法则． 3．使用洛必达法则求“00”型或“∞∞”型极限时的注意事项（1）使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“00”型或“∞∞”型，如果不是则不能使用洛必达法则．例如：2sin lim x xx π→就不能运用洛必达法则，直接代入求极限即可，故2sinsin 22lim 2x x x ππππ→==．（2）洛必达法则可多次连续使用，也就是说，如果使用一次洛必达法则后算式仍然是“00”型或“∞∞”型，则可再次使用洛必达法则，依此类推．（3）洛必达法则是求“00”型或“∞∞”型未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简便．例如：求20tan lim tan x x xx x→-时，可先用~tan x x进行无穷小的等价替换，然后再用洛必达法则，故2223220000tan tan sec 1tan 1lim lim lim lim tan 333x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---====． （4）如果求极限的式子中含有非零因子，则可以对该非零因子单独求极限（即可以先求出这部分的极限），然后再利用洛必达法则，以便简化运算．例如：求0lnsin 2limlnsin3x xx+→时，0000lnsin 2sin3cos 222sin323lim lim lim lim 1lnsin3sin 2cos333sin 232x x x x x x x x x x x x x x++++→→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅，从第二步到第三步的过程中，分子上的因子cos2x 和分母上的因子cos3x 当0x +→时极限均为1，故可先求出这两部分的极限以便化简运算．（5）当洛必达法则的条件不满足时，所求极限不一定不存在，也即是说，当()lim ()f x F x ''不存在时（等于无穷大的情况除外），()lim ()f x F x 仍可能存在．例如：极限sin lim x x xx→∞+，(sin )1cos lim lim lim(1cos )1x x x x x xx x →∞→∞→∞'++==+' 极限是不存在的，但是原极限是存在的，sin sin sin limlim(1)1lim 101x x x x x x xx x x→∞→∞→∞+=+=+=+=．4．其他类型的未定式除了“00”型或“∞∞”型未定式之外，还有其他类型的未定式，如“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”及“0∞”型等．对于“0⋅∞”和“∞-∞”型的未定式，处理方法为将它们直接转化成“00”或“∞∞”型；对于“1∞”、“00”及“0∞”型的未定式，处理方法为先取对数将它们转化成“0⋅∞”型，然后再转化成“00”型或“∞∞”型未定式． 三、函数单调性的判定法1．单调性判定法设函数()yf x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，（1）如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； （2）如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少．说明：① 如果把这个判定法中的闭区间改为其他各种区间（包括无穷区间），结论也成立； ② 若判定法中()f x '在(,)a b 内只有有限个点上()0f x '=，而在其余点上恒有()0f x '>（或()0f x '<），则函数()f x 在区间[,]a b 上仍然是单调增加（或单调减少）的．2．单调区间的求法设函数()f x 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，则求函数()f x 的单调性的步骤如下：（1）求出函数()f x 的定义域；（2）求出函数()f x 的导数()f x '，并令()0f x '=求出函数的驻点；此外，再找出导数不存在的点（一般是使得()f x '分母为零的点）； （3）用函数()f x 的所有驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间，然后用单调性判定定理逐个判定各个部分区间的单调性．3．用单调性证明不等式函数()f x 的单调性还可以用来证明不等式，步骤如下：（1）将不等式的一边变为零，不等于零的一边设为()f x ，根据要证明的式子找出不等式成立的x 的范围I ； （2）求()f x 的导数()f x '，判断()f x '在上述I 范围内的符号（即正负）； （3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．例如：试证明当1x>时，13x>-． 证明：原不等式即为13x -+，故令1()3f x x=-+，0x >，则2211()(1)f x xx '=-=- ，()f x 在[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内()0f x '>，因此在[1,)+∞上()f x 单调增加，从而当1x >时，()(1)f x f >，又由于(1)0f =，故()0f x >，即130x -+>，亦即13x>-．四、函数的凹凸性与拐点1．函数凹凸性的定义设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点1x 、2x ，恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．如果函数()f x 在I 内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，如下所示．2．函数凹凸性的判定法设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的； （2）若在(,)a b 内()0f x ''<，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的．说明：若在(,)a b 内除有限个点上()0f x ''=外，其它点上均有()0f x ''>（或()0f x ''<），则同样可以判定曲线()y f x =在[,]a b 上为凹曲线（或凸曲线）． 3．曲线的拐点的求法一般地，设()y f x =在区间I 上连续，0x 是I 的内点（除端点外I 内的点）．如果曲线()y f x =在经过点00(,())x f x 时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点00(,())x f x 为这曲线的拐点．我们可以按照下述步骤求区间I 上的连续函数()y f x =的拐点：（1）求()f x ''； （2）令()0f x ''=，解出这方程在区间I 内的实根，并求出在区间I 内()f x ''不存在的点；（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点0x ，检查()f x ''在0x 左、右两侧邻近的符号，当两侧的符号相反时，点00(,())x f x 是拐点，当两侧的符号相同时，点00(,())x f x 不是拐点．在[,]a b 上单3．基本初等函数的微分公式说明：若要求函数()y f x =的凹凸区间，则用（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点把区间I分成若干部分区间，然后在这些部分区间上判定()f x ''的符号，若()0f x ''>，则该部分区间为凹区间，若()0f x ''<，则该部分区间为凸区间．五、函数的极值与最值1．函数极值的定义设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，如果对于去心邻域0()U x 内任一x ，有0()()f x f x <（或0()()f x f x >），那么就称0()f x 是函数()f x 的一个极大值（或极小值）．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点． 说明：函数的极大值与极小值概念是局部性的，如果0()f x 是函数()f x 的一个极大值，那只是就0x 附近的一个局部范围来说，0()f x 是()f x 的一个最大值，如果就()f x 的整个定义域来说，0()f x 不见得是最大值．关于极小值也类似．2．函数取得极值的必要条件设函数()f x 在0x 处可导，且在0x 处取得极值，那么0()0f x '=．说明：这也就是说，可导函数()f x 的极值点必定是它的驻点．但反过来，函数的驻点却不一定是极值点．例如，3()f x x =的导数2()3f x x '=，(0)0f '=，因此0x =是这函数的驻点，但0x=却不是这函数的极值点，所以，函数的驻点只是可能的极值点．此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值．例如，函数()f x x =在点0x =处不可导，但函数在该点取得极小值．3．判定极值的第一充分条件设函数()f x 在0x 处连续，且在0x 的某去心邻域0()U x 内可导．（1）若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '>，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值；（2）若00(,)x x x δ∈-时，()0f x '<，而00(,)x x x δ∈+时，()0f x '>，则()f x 在0x 处取得极小值；（3）若0(,)x U x δ∈时，()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 处没有极值．4．用第一充分条件求极值点和极值的步骤设函数()f x 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则用第一充分条件求极值点和相应的极值的步骤如下： （1）求出导数()f x '；（2）求出()f x 的全部驻点与不可导点；（3）考查()f x '的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点； （4）求出各极值点的函数值，就得函数()f x 的全部极值．5．判定极值的第二充分条件设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠，那么（1）当0()0f x ''<时，函数()f x 在0x 处取得极大值； （2）当0()0f x ''>时，函数()f x 在0x 处取得极小值．说明：该极值判定条件表明，如果函数()f x 在驻点0x 处的二阶导数0()0f x ''≠，那么该驻点0x 一定是极值点，并且可按二阶导数0()f x ''的符号来判定0()f x 是极大值还是极小值．但如果0()0f x ''=，则该判定条件失效．事实上，当0()0f x '=，0()0f x ''=时，()fx 在0x 处可能有极大值，可能有极小值，也可能没有极值．例如，41()f x x =-，42()f x x =，33()f x x =这三个函数在0x =处就分别属于上述三种情况．因此，如果函数在驻点处的二阶导数为零，那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定．6．求()f x 在区间[,]a b 上的最值的步骤设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点，则求()f x 在闭区间[,]a b 上的最值的步骤如下：（1）求出()f x 在(,)a b 内的驻点1x ，2x ，，m x 及不可导点1x '，2x '，，n x '；（2）计算()i f x （1,2,,i m =），()j f x '（1,2,,j n =）及 ()f a ，()f b ；（3）比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是()f x 在[,]a b 上的最大值，最小的便是()f x 在[,]a b 上的最小值．说明：在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数()f x 确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得．这时如果()f x 在定义区间内部只有一个驻点0x ，那么不必讨论0()f x 是不是极值，就可以断定0()f x 是最大值或最小值．六、函数的渐近线的求法1．水平渐近线若lim()x f x a →∞=（包括lim ()x f x a →-∞=或lim ()x f x a →+∞=），则直线y a =就是函数()f x 的水平渐近线．2．垂直渐近线（或称铅直渐近线）若0lim()x x f x →=∞（包括0lim ()x x f x -→=∞或0lim ()x x f x +→=∞），则直线0x x =就是函数()f x 的垂直（铅直）渐近线．【典型例题】 【例3-1】验证罗尔定理对函数()lnsin f x x =在区间5[,]66ππ上的正确性．解：显然函数()lnsin f x x =在闭区间5[,]66ππ上连续，在开区间5(,)66ππ上可导，1()(lnsin )cos cot sin f x x x x x ''==⋅=，且5()()l n266f f ππ==-，故满足罗尔定理的条件，由定理可得至少存在一点5(,)66ππξ∈，使得()0f ξ'=，即cot 0ξ=，2πξ=即为满足条件的点．【例3-2】验证拉格朗日中值定理对函数2()482f x x x =--在区间[0,1]上的正确性．解：显然函数2()482f x x x =--在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，()88f x x '=-，根据拉格朗日中值定理可得至少存在一点(0,1)ξ∈，使得(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-，即6(2)88ξ---=-，可得1(0,1)2ξ=∈，12ξ=即为满足条件的点．【例3-3】不求导数，判断函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----的导数有几个零点，这些零点分别在什么范围． 解：显然()f x 是连续可导的函数，且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====，故()f x 在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]上满足罗尔定理的条件，所以在区间(1,2)内至少存在一点1ξ，使得1()0f ξ'=，即1ξ是()f x '的一个零点；在区间(2,3)内至少存在一点2ξ，使得2()0f ξ'=，即2ξ是()f x '的一个零点；又在区间(3,4)内至少存在一点3ξ，使得3()0f ξ'=，即3ξ也是()f x '的一个零点．又因为()f x '是三次多项式，最多只能有三个零点，故()f x '恰好有三个零点，分别在区间(1,2)，(2,3)和(3,4)内．【例3-4】证明arcsin arccos 2x x π+=，其中11x -≤≤．证明：设()arcsin arccos f x x x =+，[1,1]x ∈-， 因为()(0f x '=+=，所以()f x C =，[1,1]x ∈-．又因为(0)a r c s i n 0a r c c o s 0022f ππ=+=+=，即 2C π=，故arcsin arccos 2x xπ+=．说明：同理可证，arctan arccot 2x x π+=，(,)x ∈-∞+∞．【例3-5】求下列函数的极限．1．求 332132lim 1x x x x x x →-+--+．解：该极限为1x →时的“”型未定式，由洛必达法则可得 原式22113363lim lim 321622x x x x x x x →→-===---．2．求arctan 2lim 1x x xπ→+∞-．解：本题为x →+∞时的“00”型未定式，由洛必达法则可得原式222211lim lim 111x x x x x x→+∞→+∞-+===+-．3．求0lnsin 2lim lnsin3x xx+→． 解：该极限为0x+→时的“∞∞”型未定式，由洛必达法则可得原式0001cos 222sin 323sin 2lim lim lim 113sin 232cos33sin 3x x x x x x x x xx x+++→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅．4．求 2tan lim tan 3x xx π→．解：本题为2x π→时的“∞∞”型未定式，由洛必达法则可得原式2222222sec cos 32cos3(sin 3)3lim lim lim 3sec 33cos 6cos (sin )x x x x x x x x x x x πππ→→→⋅-⋅===⋅- 22cos33sin3lim lim 3cos sin x x x x x x ππ→→-===-．5．求2tan limtan x x xx x→-． 解：该极限为0x →时的“00”型未定式，结合等价无穷小的替换，运用洛必达法则可得原式22320000tan sec 12sec tan 21lim lim lim lim 3663x x x x x x x x x x x x x x →→→→--⋅=====． 说明：此题也可这样求解（运用公式22sec1tan x x =+和等价无穷小替换来简化运算）： 原式22232220000tan sec 1tan 1lim lim lim lim 3333x x x x x x x x x x x x x →→→→--=====． 6．求11lim()sin x x x→-． 解：该极限为0x →时的“∞-∞”型未定式，解决方法为先化为“1100-”型，然后通分化为“”型，故 原式20000sin sin 1cos sin lim lim lim lim 0sin 22x x x x x x x x x xx x x x →→→→---=====．7．求lim x x x +→． 解：该极限为0x +→时的“00”型未定式，解决方法为取对数化为“0ln0⋅”型，进而化为“”型，故 原式020001lim ln 1lim ln limlim ()ln 00lim 1x x x x xx x xx x x xx x e ee e e e +→+++→→→+--→=======．8．求cos limx x xx→∞+．解：原式1sin lim lim(1sin )1x x x x →∞→∞-==-，最后的极限不存在，不满足洛必达法则的条件，实际上，原式cos cos lim(1)1lim 101x x x xx x→∞→∞=+=+=+=．【例3-6】求下列函数的单调区间． 1．32()29123f x x x x =-+-．解：因2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得11x =，22x =．用1x ，2x 将函数的定义域(,)-∞+∞分成三个区间(,1)-∞，(1,2)，(2,)+∞，其讨论结果如下表所示：由上表可得，函数的单调递增区间为(,1]-∞和[2,)+∞，单调递减区间为[1,2]．2．()f x = ．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，()f x '=（0x ≠），当0x =时导数不存在．将函数定义域分成两个区间(,0)-∞和(0,)+∞，讨论结果如下表所示：所以函数的单调递增区间为[0,)+∞，单调递减区间为(,0]-∞． 【例3-7】利用函数的单调性证明不等式． 1．试证当0x>时，ln(1)x x >+成立．证明：设()ln(1)f x x x =-+，则1()111xf x x x'=-=++， 因()f x 在区间[0,)+∞上连续，在(0,)+∞内可导，且 ()0f x '>， 故()f x 在区间[0,)+∞上单调增加，又因为(0)0f =，所以当0x >时，()0f x >，即ln(1)0x x -+>，也即 ln(1)x x >+成立．2．试证当1x >时，13x>-．证明：令1()(3)f x x =--，则2211()(1)f x xx '=-=-， 因()f x 在区间[1,)+∞上连续，在(1,)+∞内可导且()0f x '>， 故()f x 在区间[1,)+∞上单调增加，又因为(1)0f =，所以当1x >时，()0f x >，即1(3)0x -->，也即13x>- 成立．【例3-8】证明方程510x x ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根．证明：令5()1f x x x =++，因为()f x 在闭区间[1,0]-上连续，且(1)10f -=-<，(0)10f =>，根据零点定理，()f x 在区间(0,1)内至少有一个零点．另一方面，对于任意实数x ，有4()510f x x '=+>，所以()f x 在(,)-∞+∞内单调增加，因此曲线5()1f x x x =++与x 轴至多有一个交点．综上所述，方程510xx ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根．【例3-9】求下列函数的极值． 1．32()395f x x x x =--+．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-，令()0f x '=，得驻点11x =-，23x =，列表讨论如下：由上表可得，函数的极大值为(1)10f -=，极小值为(3)22f =-．2．233()2f x x x =-．(,1]-∞-解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有13()1f x x-'=-=， 令()0f x '=，得驻点1x =，当0x =时()f x '不存在，驻点1x =以及不可导点0x =将定义域分成三个区间，列表讨论如下：由上表可得，函数的极大值为(0)0f =，极小值为1(1)2f =-．【例3-10】求函数32()231214f x x x x =+-+在区间[3,4]-上的最值．解：因为2()66126(2)(1)f x x x x x '=+-=+-，令()0f x '=，得 12x =-，21x =，计算(3)23f -=，(2)34f -=，(1)7f =，(4)142f =，比较上述结果可知，最大值为(4)142f =，最小值为(1)7f =．【例3-11】求下列曲线的凹凸区间和拐点． 1．43()341f x x x =-+．解：函数的定义域为(,)-∞+∞，且有32()1212f x x x '=-，2()36()3f x x x ''=-，令()0f x ''=，得10x =，223x =， 列表讨论如下：(,1]-∞-由上表可得，曲线()f x 的凹区间为(,0]-∞和2[,)3+∞，凸区间为2[0,]3，拐点为(0,1)和211(,)327．2．()f x =解：函数的定义域为(,)-∞+∞，当0x ≠时有231()3f x x -'=，532()9f x x -''=-，当0x =时，()f x '和()f x ''均不存在，但在区间(,0)-∞内，()0f x ''>，故曲线在(,0]-∞上是凹的；在区间(0,)+∞内，()0f x ''<，故曲线在[0,)+∞上是凸的．所以曲线的凹区间为(,0]-∞，凸区间为[0,)+∞，拐点为(0,0)．【历年真题】 一、选择题1．（2009年，1分）若函数()y f x =满足0()0f x '=，则0x x =必为()f x 的（A ）极大值点 （B ）极小值点 （C ）驻点 （D ）拐点 解：若0()0f x '=，则0x x =必为()f x 的驻点，选（C ）．2．（2009年，1分）当0x >时，曲线1sin y x x=（A ）没有水平渐近线 （B ）仅有水平渐近线23 x ()f x 2(,)3+∞ 0 (,0)-∞2(0,)3+-+对应拐点对应拐点凹凸凹()f x ''（C ）仅有铅直渐近线 （D ）既有水平渐近线，又有铅直渐近线解：由1sin1lim sin lim11x x x x x x→∞→∞==可知，1y =为曲线的水平渐近线；01lim sin 0x x x+→=，故曲线无铅直渐近线．选项（B ）正确． 3．（2008年，3分）函数()ln f x x =在区间[1,2]上满足拉格朗日公式中的ξ等于（A ）ln 2 （B ）ln1 （C ）ln e （D ）1ln 2解：对函数()ln f x x =在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理，(2)(1)()(21)f f f ξ'-=-，即 1ln 20ξ-=，故 1ln 2ξ=．选（D ）． 4．（2007年，3分）曲线33yx x =-上切线平行于x 轴的点为（A ）(1,4)-- （B ）(2,2) （C ）(0,0)（D ）(1,2)- 解：切线平行于x 轴的点即为一阶导数等于零的点．由2330y x'=-=可得，1x =±；1x =时，2y =-，1x =-时，2y =，故曲线33y x x =-上切线平行于x 轴的点为(1,2)-和(1,2)-．选项（D ）正确． 5．（2007年，3分）若在区间(,)a b 内，导数()0f x '>，二阶导数()0f x ''<，则函数()f x 在该区间内（A ）单调增加，曲线为凸的 （B ）单调增加，曲线为凹的 （C ）单调减少，曲线为凸的 （D ）单调减少，曲线为凹的 解：()0f x '>可得()f x 单调增加，()0f x ''<可得曲线为凸的，故选（A ）．二、填空题1．（2010年，2分）函数32()2912f x x x x =-+的单调减区间是．解：令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=，得驻点1x =和2x =；当1x <时，()0f x '>，当12x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，故函数的单调递减区间为[1,2]．2．（2009年，2分）当62x ππ≤≤时，sin ()xf x x=是函数（填“单调递增”、“单调递减”）．解：当6x π=时，sin36()66f ππππ==；当2x π=时，sin22()22f ππππ==；故当62x ππ≤≤时，sin ()xf x x=是单调递减函数． 3．（2009年，2分）函数32()29121f x x x x =-++在区间[0,2]上的最大值点是．解：令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=，得驻点1x =和2x =．比较函数值(1)6f =，(2)5f =，(0)1f =，可知，函数的最大值为(1)6f =，故函数的最大值点为1x =．4．（2007年，4分）曲线24x t y t⎧=⎨=⎩在1t =处的切线方程为．解：将1t =代入参数方程可得切点为(1,4)，切线斜率11422t t t t y k tx =='==='，故切线方程为42(1)y x -=-，即 22y x =+．5．（2005年，3分）x y xe -=的凸区间是．解：()(1)x x x x y xe e xe x e ----''==-=-，(1)(2)x x x y e x e x e ---''=---=-． 令 (2)0x y x e -''=-=可得，2x =，且当2x >时，0y ''>，当2x <时，0y ''<，故函数x y xe -=的凸区间是(,2]-∞．6．（2005年，3分）曲线x y x =通过(1,1)点的切线方程为．解：因ln ln ()()(ln 1)(ln 1)x x x x x x y x e e x x x '''===⋅+=+，故切线斜率1[(ln 1)]1x x k x x ==+=，所以切线方程为11(1)y x -=⋅-，即 y x =．三、应用题或综合题1．（2010年，10分）现有边长为96厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大？ 解：设剪区的小正方形边长为x ，则纸盒的容积2(962)yx x =-，048x <<．2(962)2(962)(2)(962)(966)y x x x x x '=-+⋅--=--，令0y '=，可得 16x =（48x =舍去）．因只有唯一的驻点，且原题中容积最大的无盖纸箱一定存在，故当剪区的小正方形边长为16厘米时，做成的无盖纸箱容积最大． 2．（2010年，10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，并且对于[0,1]上的任意x 所对应的函数值()f x 均为0()1f x ≤≤，证明：在[0,1]上至少存在一点ξ，使得()f ξξ=．解：令()()F x f x x =-，由于()f x 在[0,1]上连续，故()F x 在[0,1]上也连续．(0)(0)0(0)F f f =-=，(1)(1)1F f =-．而对[0,1]x ∀∈，0()1f x ≤≤，故(0)0F ≥，(1)0F ≤． 若(0)0F =，即(0)00f -=，(0)0f =，则0ξ=； 若(1)0F =，即(1)10f -=，(1)1f =，则1ξ=；当(0)0F ≠，(1)0F ≠时，(0)(1)0F F ⋅<，而()F x 在[0,1]上连续，故根据零点定理可得，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ=，即()0f ξξ-=，()f ξξ=．综上，在[0,1]上至少存在一点ξ，使得()f ξξ=．3．（2009年，10分）某工厂需要围建一个面积为2512m 的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材 料最省？解：设堆料场的宽为xm ，则长为512x m ，设砌墙周长为y ，则5122y x x=+， 令251220y x'=-=，得 2256x =，16x =（16x =-舍去）．因只有一个驻点，且原题中最值一定存在，故当16x =时，函数有最小值．即当宽为16m ，长为32m 时，才能使砌墙所用的材料最省． 4．（2009年，10分）当0x >，01a <<时，1a x ax a -≤-．解：原不等式即为 10a x ax a -+-≤．设()1a f x x ax a =-+-，则（1）当1x=时，()110f x a a =-+-=，即10a x ax a -+-=成立； （2）当01x <<时，111()(1)0a a f x axa a x--'=-=->，故()f x 单调增加，可得()(1)0f x f <=，即10a x ax a -+-<成立；（3）当1x>时，111()(1)0a af x ax a a x--'=-=-<，故()f x 单调减少，可得()(1)0f x f <=，即10a x ax a -+-<成立．综上，当0x>，01a <<时，不等式10a x ax a -+-≤成立，即1ax ax a -≤-． 5．（2008年，8分）求函数233y x x =-的单调区间、极值、凹凸区间与拐点．解：函数的定义域为(,)-∞+∞． 先求单调区间和极值．令2633(2)0y x xx x '=-=-=，得驻点0x =，2x =，用驻点将整个定义域分为三个区间(,0)-∞，(0,2)，(2,)+∞．当(,0)x ∈-∞时，0y '<，函数单调减少；当(0,2)x ∈时，0y '>，函数单调增加；当(2,)x ∈+∞时，0y '<，函数单调减少．故函数的单调增加区间为[0,2]，单调减少区间为(,0]-∞和[2,)+∞；极小值(0)0f =，极大值(2)4f =．再求凹凸区间和拐点．令660y x ''=-=，得1x =．当(,1)x ∈-∞时，0y ''>，函数为凹的；当(1,)x ∈+∞时，0y ''<，函数为凸的，且当1x =时，2y =，故函数的凹区间为(,1]-∞，凸区间为[1,)+∞，拐点为(1,2)．6．（2007年，8分）求函数11y x x =++的单调区间、极值、凹凸区间和拐点． 解：函数的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞．先求单调区间和极值．令221(2)10(1)(1)x x y x x +'=-==++，得驻点2x =-，0x =，用驻点将整个定义域分为三个区间(,2)-∞-，(2,1)--，(1,0)-，(0,)+∞．当(,2)x ∈-∞-时，0y '>，函数单调增加；当(2,1)x ∈--时，0y '<，函数单调减少；当(1,0)x ∈-时，0y '<，函数单调减少；当(0,)x ∈+∞时，0y '>，函数单调增加．故函数的单调增加区间为(,2]-∞-和[0,)+∞，单调减少区间为[2,1)--和(1,0]-；极大值(2)3f -=-，极小值(0)1f =．再求凹凸区间和拐点．因432(1)2(1)(1)x y x x -+''=-=++，故当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<，函数为凸的；当(1,)x ∈-+∞时，0y ''>，函数为凹的，故函数的凸区间为(,1)-∞-，凹区间为(1,)-+∞．凹凸性改变的点为1x =-，不在定义域内，故函数没有拐点．7．（2007年，8分）在周长为定值l 的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大？解：设扇形的半径为x ，则弧长为2lx -，设扇形的面积为y ，则由题意211(2)22y l x x x lx =-=-+．令202l y x '=-+=得，4l x =．唯一的极值点即为最大值点．故当扇形的半径为4l时，扇形的面积最大．8．（2006年，10分）求函数321y x x x =--+的单调区间、极值及凹凸区间、拐点．解：函数的定义域为(,)-∞+∞．先求单调区间和极值．令2321(31)(1)0y x x x x '=--=+-=，得驻点13x =-，1x =，用驻点将整个定义域分为三个区间1(,)3-∞-，1(,1)3-，(1,)+∞．当1(,)3x ∈-∞-时，0y '>，函数单调增加；当1(,1)3x ∈-时，0y '<，函数单调减少；当(1,)x ∈+∞时，0y '>，函数单调增加．故函数的单调增加区间为1(,]3-∞-和[1,)+∞，单调减少区间为1[,1]3-；极大值132()327f -=，极小值(1)0f =． 再求凹凸区间和拐点．令620y x ''=-=，得13x=．当1(,)3x ∈-∞时，0y ''<，函数为凸的；当1(,)3x ∈+∞时，0y ''>，函数为凹的，且当13x =时，1627y =，故函数的凸区间为1(,]3-∞，凹区间为1[,)3+∞，拐点为116(,)327．9．（2006年，10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，且()0f x >．证明方程11()0()xxf t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根．证明：先证存在性．设011()()()x xF x f t dt dt f t =+⎰⎰，[0,1]x ∈．因()f x 在[0,1]上连续，故()F x 在[0,1]上也连续，且011011(0)00()()F dt dt f t f t =+=-<⎰⎰，11(1)()0()0F f t dt f t dt =+=>⎰⎰，故由零点定理可得，至少存在一点(0,1)ξ∈使得()0F ξ=，即在(0,1)内方程至少存在一个根．再证唯一性，即证()F x 的单调性．1()()0()F x f x f x '=+>，故()F x 单调增加，所以结合上面根的存在性可知，方程011()0()xxf t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根．10．（2005年，8分）已知()y f x =与2arctan 0xt y e dt -=⎰在(0,0)处切线相同，写出该切线方程并求2lim ()n nfn→∞． 解：切线斜率()22arctan arctan 02011x xtx x e k e dtx --==⎛⎫'===⎪ ⎪+⎝⎭⎰，故切线方程为01(0)y x -=⋅-，即 y x =．因()y f x =过点(0,0)，故(0)0f =，且(0)1f '=，故 222()()()2lim ()lim lim 2(0)211()n n n f f n n n nf f n n n→∞→∞→∞'''===='．。
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例2
求极限
x2 lim 5 . x → 0 1 + 5 x − (1 + x )
1 5
解 Q 分子关于 x 的次数为 2.
∴ 5 1 + 5 x = (1 + 5 x )
1 1 1 1 = 1 + (5 x ) + ⋅ ( − 1) ⋅ (5 x )2 + o( x 2 ) 5 2! 5 5
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解法3 利用洛必达法则 a a arctan − arctan x x+1 原式 = lim x →∞ 1 2 x 1 令t = x at arctan a t − arctan 1+ t = lim t →0 t2 =L= a
a a lim n (arctan − arctan ) ( a ≠ 0) n→ ∞ n n+1
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(4) 证明有关中值问题的结论; 利用逆向思维 , 关键是设辅助函数 . 一般解题方法: 1* 证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理, 可用原函数法找辅助函数 . 2* 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , 可考虑用 柯西中值定理 . 3* 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用 中值定理 . 4* 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 . 5* 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
2
Q tan x ~ x ( x → 0)
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例7 证明不等式
x+ y x ln x + y ln y > ( x + y ) ln , ( x > 0, y > 0, x ≠ y ). 2 证 令 f ( t ) = t ln t ( t > 0), 1 则 f ′( t ) = ln t + 1, ′′( t ) = > 0, f t ∴ f ( t ) = t ln t 在 ( x , y ) 或 ( y , x ), x > 0, y > 0 是凹的 . x+ y 1 于是 [ f ( x ) + f ( y )] > f ( ) 2 2 x+ y x+ y 1 即 [ x ln x + y ln y ] > ln , 2 2 2 x+ y 即 x ln x + y ln y > ( x + y ) ln . 2
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常用函数的麦克劳林公式 当 x → 0 时
1 2 1 n e = 1 + x + x + L + x + o( x n ) 2! n! x3 x5 x 2 n −1 n −1 sin x = x − + − L + ( −1) + o( x 2 n ) 3! 5! ( 2n − 1)! 2n x2 x4 x6 n x cos x = 1 − + − + L + ( −1) + o( x 2 n+1 ) 2! 4! 6! ( 2n)!
2
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解法4 利用等价量代换
a a lim n (arctan − arctan ) n→ ∞ n n+1 a a 2 = lim n tan(arctan − arctan ) n→ ∞ n n+1 a a − a 2 n n + 1 = lim n 2 ⋅ = lim n ⋅ 2 2 = a n→ ∞ n→ ∞ a a n +n+a 1+ nn+1
.
− 1)
=e
x2 lim ln( 2 e x − 1 −1 ) x → 1 x −1
=e
ln( 2 e x −1 −1 ) lim x lim x →1 x →1 x −1
2
=e
2 e x −1 lim x − 1 x →1 2 e −1
= e2
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1 例4 ( 2) 求极限 lim( − cot x ). x → 0 sinh x 1 cos x 1 − cot x ) = lim( − ) 解 lim( x → 0 sinh x x → 0 sinh x sin x sin x − sinh x cos x (sin x ~ x , sinh x ~ x ) = lim x →0 sinh x sin x sin x − sinh x cos x = lim 2 x →0 x cos x − cosh x cos x + sinh x sin x = lim 2 x →0 x sin x ( 2 cosh x − 1) = lim =0 x →0 2
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例8 （1）讨论函数 y = ln x 的图形的凹凸性；
（2）设 a, b 是任意两个正数， 0 < λ < 1，证明
a 1− λ bλ ≤ (1 − λ )a + λb 1 1 解：(1) y′ = , y′′ = − 2 < 0 , ∴ y = ln x 的图形是凸的 ， x x 对任意的 a , b > 0 , a ≠ b , 有 (2) 由定义1 ，
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（5）求不定式极限 ： 利用洛比达法则 、泰勒公式； （6）研究方程实根：利用中值定理 、单调性； （7）曲率 :
k= y′′ (1 + y′ )
3 2 2
；
（8） 泰勒公式：
f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + f ′′( x0 ) ( x − x )2+ L f ( x) = 0 2! f ( n ) ( x0 ) + ( x − x0 )n + Rn ( x ) n! f ( n+1) (ξ ) n +1 其中：Rn ( x ) = = o(( x − x0 )n ) ( x − x0 ) ( n + 1) ! (ξ 在 x 0 与 x 之间 ) 当 x0 = 0 时为麦克劳林公式 .
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作业
习题3-8(P229) 2 , 3 , 5 , 8 , 10(3)(5)(8)， 12(1)(3)，13(2)(4) , 14，16 , 18 , 20 , 22 , 24，26，28， 30，32，34，36
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二、典型例题
例1 验证罗尔定理对 y = ln sin x 在 [ , ] 上 6 6 的正确性 . 解 Q D : 2kπ < x < 2kπ + π , ( k = 0,±1,L) π 5π 且在 [ , ] 上连续 . 6 6 π 5π 又 y′ = cot x 在 ( , ) 内处处存在 6 6 5π π 并且 f ( ) = f ( ) = − ln 2 6 6
= 1 + x − 2 x 2 + o( x 2 ) x2 1 原式 = lim =− . 2 2 x → 0 [1 + x − 2 x + o( x )] − (1 + x ) 2
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例3 解1
求极限
lim
x →0
e
sin x
− x − cos x . 2 arcsin x
用洛必达法则求
第三章
微分中值定理 及导数的应用 习题课
一、小结
1、微分中值定理及其相互关系
罗尔定理 f ′(ξ ) = 0
y
f (a ) = f (b)
拉格朗日中值定理
f ′(ξ ) = f (b) − f (a ) b−a
n=0
g ( x )y= x (x) = f
f (a ) = f (b )
aξ b x 柯西中值定理
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π 5π
∴ 函数 y = ln sin x 在 [ , ] 上满足罗尔定理 6 6 的条件 .
由 y′ = cot x = 0,
π 5π
π 在 ( , ) 内显然有解 x = . 2 6 6
π 5π
取ξ =
π
2
, 则 f ′(ξ ) = 0.
这就验证了命题的正确性.
n2 a = lim 2 n→ ∞ n( n + 1) 1 + ξ
=a
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结束Βιβλιοθήκη 解法2 利用泰勒公式 令 f ( x ) = arctan x , 则 −2x 1 f ′′( x ) = f ′( x ) = 2, (1 + x 2 )2 1+ x 1 ∴ f ( x ) = f (0) + f ′(0) x + f ′′(0) x 2 + o( x 2 ) 2!
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例5
求极限
e
x → +∞
1 x2
lim
1 解 令t= x
x −1 − arcsin π x . 1 ln(1 + ) x 2
原式 = lim
e −
t2
2
t → +0
ln(1 + t )
3 t2
π
arcsin 1 − t
= lim
e −