第二章 导数与微分 习题课2

；
（B） lim （C） lim
x x0
；
x x0
（D） lim
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x f ( x) f ( x0 )
； ；
x x0
x x0
2、若函数 y f ( x ) 在点x 0 处的导数 f ( x 0 ) 0 ，则 曲线 y f ( x ) 在点( x 0 , f ( x 0 ) )处的法线（ （A）与 x 轴相平行； （B）与x 轴垂直； （C）与 y 轴相垂直； （D）与x 轴即不平行也不垂直： ）
）
6、已知函数 f ( x ) 具有任意阶导数，且
f ( x ) f ( x ) ,则当n 为大于 2 的正整数时，
2
f ( x ) 的 n 阶导数 f （A）n![ f ( x )]
n1
(n)
( x ) 是（
）
n1
；
（B） n[ f ( x )]
；
（C） [ f ( x )] ；
3
三、证明 x e sin t ， y e cos t 满足方程
t
t
( x y)
2
d y dx
2
2
2( x
dy
y) .
dx g ( x ) cos x ,x 0 四、已知 f ( x ) 其中g ( x ) 有二阶连 x a , x 0
续导数，且 g ( 0) 1 ， 1、确定 a 的值，使 f ( x ) 在x 0 点连续； 2、求 f ( x ) 五、设 y x ln x , 求 f
六、2.09. 20 8.16 (公里/小时). 七、 6
2
.
四、1、a g ( 0) ；
x[ g ( x ) sin x ] [ g ( x ) cos x ] ,x 0 2 x 2、 f ( x ) . 1 ( g ( 0) 1), x 0 2 (n) n 2 (1) ( 1) ( n 2)!. 五、 f
二、求下列函数的导数： 1、 y sin x ln x ；
2
2、 y a
cosh x
a （ 0 ） ；
2
3、 y (1 x )
2
sec x
；
4、 y ln[cos(10 3 x )]；
x y
2 2
5、设y 为x 的函数是由方程ln 定的；
arctan
y x
确
dy 2 x y y ， u ( x 2 x ) 2 ，求 6、设 . du
0
微分， lim （A）-1； （C）1；
y dy x
x 0
等于（ （B）0； （D） .
）
10、设函数 y f ( x ) 在点 x 0 处可导，且 f ( x 0 ) 0 ， 则 lim （A）0； （C）1；
y dy x
x 0
等于（ ）. （B）-1； （D） .
(n)
(1) .
3 六、计算 9.02 的近似值 .
七、一人走过一桥之速率为 4 公里/小时，同时一船在 此人底下以 8 公里/小时之速率划过，此桥比船高 200 米，问 3 分钟后人与船相离之速率为多少？
测验题答案
一、1、D； 6、A； 2、B； 7、C；
2
3、A； 8、B； ；
x ；
2
4、D； 9、B；
2
4.
f ( 2) lim
x2
lim
x2
x2
4.
f ( 2) f ( 2),
2
f ( x )在x 2处不可导.
3 x 4 x , x 2, 或x 0 f ( x ) 0, x 0, 3 x 2 4 x ,0 x 2,
,
(1 ln y ) y ln x 1,
1 y x (1 ln y )
2
2
ln x 1 1 ln y
(ln y 1) (ln x 1)
y

y(ln y 1) x (ln x 1) xy(ln y 1)
3
2
例5
设f ( x ) x x ( x 2) , 求 f ( x ).
x 2t t dy 例3 设 ,求 2 dx y 5t 4t t
t 0
.
解 分析:
当t 0时, t 导数不存在,
dx dy 当t 0时, , 不存在, dt dt
lim y x lim 5( t ) 4t t
2
不能用公式求导.
t[5 4 sgn( t )] 2 sgn( t )
2
(n)
.
解 y
1
4x 1 x 1
2

4x 4 3 x 1
2
n
4
3
2 x 1
(
1

n
1 x 1
)
(
x 1
(n)
)
(n)

( 1) n! ( x 1)
n
n 1
, (
1 x 1

)
(n)

( 1) n! ( x 1)
n 1
,
y

3 2
( 1) n![
3、若函数 f ( x ) 在点x 0 不连续，则 f ( x ) 在 0 x （A）必不可导； （C）不一定可导； 4、如果 f ( x ) =（
2 2
(
)
（B）必定可导； （D）必无定义. ） ，那么 f ( x ) 0 .
(A) arcsin 2 x arccos x ； (B) sec x tan x ； 2 2 sin x cos (1 x ) ； (C)
ax
(D) arctan x arc cot x .
e , x 0 5、如果 f ( x ) 处处可导，那末（ 2 b(1 x ), x 0 （A）a b 1 ； （B）a 2, b 1 ；
（C）a 1, b 0 ； （D）a 0, b 1 .
dy 8、若函数 f ( x ) 为可微函数，则 （
（A）与x 无关； （B）为x 的线性函数； （C）当 x 0 时为x 的高阶无穷小； （D）与x 为等价无穷小.
）
x x x 9、设函数 y f ( x ) 在点 处可导，当自变量 由 0 增 dy 加到 x 0 x 时，记y 为 f ( x ) 的增量， 为 f ( x ) 的
1 ( x 1)
n1
1 ( x 1)
n 1
].
一、选择题：
测验题
）
1、函数 f ( x ) 在点x 0 的导数 f ( x 0 ) 定义为（ （A）
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) x f ( x 0 x ) f ( x 0 )
x f ( x) f ( x0 )
x 0
t 0
2 t t
lim
t 0
0.
故 dy dx
t 0
0.
例4 设函数y f ( x )由方程 x y
所确定, 求 d y dx
2 2
y
x ( x 0, y 0)
.
1 y y
1 y
解
两边取对数
1 x
ln y
ln x ,
即y ln y x ln x ,
解 先去掉绝对值
x ( x 2), x 0 2 f ( x ) x ( x 2),0 x 2, 2 x ( x 2), x 2
2
当x 0时,
f (0) f (0) 0,
2
f (0) 0;
当x 2或x 0时, 当0 x 2时,
5、D； 10、A；
二、1、cos x ln x 2、ln a sinh xa 3、(1 x )
2 sec x
2 sin x
cosh x
[tan x ln(1 x )
2
2x 1 x
2
] sec x ；
4、6 x tan(10 3 x ) ； 5、 6、 x y x y ； 1 3( 2 y 1)( 2 x 1) x x
（D）n![ f ( x )] . t 7、若函数 x x (t ) , y y(t ) 对 可导且 x ( t ) 0 ,又 ）
2n
2n
dy x x (t ) 的反函数存在且可导，则 =（ dx y ( t ) y ( t ) （A） ； （B） ； x( t ) x ( t ) y ( t ) y( t ) （C） ； （D） . x ( t ) x ( t )
f ( x ) 3 x 4 x; f ( x ) 3 x 4 x;
2
当x 2时,
f ( 2) lim
x2
f ( x ) f ( 2) x2 f ( x ) f ( 2) x2
lim
x2
x ( x 2)
2
x2
x ( x 2)
例6
设y x (sin x )
cos x
, 求 y .
解
y y(ln y ) y(ln x cos x ln sin x )
x (sin x )
cos x
(
1 x
sin x ln sin x
cos x sin x
2
)
例7
设y
2
4x 1
2
x 1
2
,求 y