高考数学二轮复习 5.2 线性规划课件 理

第 2讲
线性规划
重点知识回顾 (1)二元一次不等式表示的平面区域： ① ( 法一 ) 先把二元一次不等式改写成 y>kx＋ b或 y<kx＋ b 的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区 域；(法二)用特殊点判断． ②无等号时用虚线表示不包含直线l，有等号时用实线表 示包含直线l． ③设点P(x1, y1), Q(x2, y2)，若Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C 同号，则P、Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧． (2)求解线性规划问题的步骤： ①根据实际问题的约束条件列出不等式； ②作出可行域，写出目标函数； ③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解．
表示的区域．显然， 区域的面积S＝ y≥x－1， S△CDA＋S△BDA．由 y≤－3|x|＋1 1 1 ，C(－1，－2)，A(0,1)，又D(0，－1)， 得B ， 2 2 1 1 3 1 那么S＝ ×2×1＋ ×2× ＝ ．故选B． 2 2 2 2 [答案] B 【点评】 确定二元一次不等式 Ax ＋ By ＋ C ＞ 0( 或＜ 0) 表 示的平面区域程序为：在直线 l ： Ax＋ By ＋C＝ 0的一侧任取 一个点P(x0，y0)，代入Ax＋By＋C中，若 Ax0＋By0＋ C＞ 0， 则在直线l的含P点的一侧即为Ax＋By＋C＞0所表示的区域， 若Ax0＋By0＋C＜0，则在直线l的不含P点的一侧即为Ax＋By ＋C＞0所表示的区域，即“线定界，点定域．”
过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目分别投资多少万元，
才能使可能的盈利最大？ 【分析】线性规划应用问题，应先找线性约束条件，然 后建立目标函数，画出可行域，寻找最优解． 【解析】设投资人分别用 x万元、y万元投资甲、乙两个
★互动变式2（2011吉林一中三模）已知变量x，y满足约束 条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2．若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅 在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为________． 【解析】变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2， 在坐标系中画出可行域，如图，为四边形ABCD，其中A(3,1)， kAD＝ 1 ， kAB＝－ 1，由目标函数 z＝ ax＋ y(其中 a＞ 0)得 y＝－ ax ＋ z ，则 z 表示斜率为－ a 的直线系中的截距的大小．若仅在点 A(3,1)处取得最大值，则直线 y＝－ ax＋ z应在直线 x＋ y＝ 4与直 线x＝3之间，直线斜率应小于kAB＝－1，即－a＜－1，所以a的 取值范围为(1，＋∞)．
y≥x－1， y≤－3|x|＋1
3x－y－6≤0， ★互动变式1 设x，y满足约束条件 x－y＋2≥0， 若目 x≥0，y≥0， 2 3 标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则 的最 a b 小值为( ) 8 11 25 (A) ． (B) ． (C) ． (D)4． 3 3 6 【解析】作出可行域，如图，得目标函数z＝ax＋by(a＞ 0，b＞0)在点A(4,6)取得最大值12，即4a＋6b＝12，
a b ＝1， ∴ 3 2 2 3 2 3 a b ∴ =( ) ( ) a b a b 3 2
2 3 b a 13 b a 2 = 3 2 a b 6 a b
＝
6 25 (当且仅当a＝b＝ 时，等号成立)． 5 6
[答案]
A
考点二
参数的取值范围
命题规律 目标函数的范围问题：当线性约束条件确定
时，其自标函数有确定的最大值或最小值，因而范围是确定 的；而当约束条件中含某变量 ( 规定了范围 ) 时，其目标函数 的最大值或最小值也会有各自的范围，这也是现行高考中常 涉及到的，应引起足●例2 若不等式组 表示的平面区域是 y≥0， x＋y≤a 一个三角形，则a的取值范围是( ) 4 (A)a≥ ． (B)0＜a≤1． 3 4 3 (C)1≤a≤ ． (D)0＜a≤1或a≥ ． 3 4
考点一
平面区域与目标函数的最优解
命题规律 平面区域及其面积这部分内容中，高考主要
考查：写出平面区域所表示的二元一次不等式 (组 ) 或给出二 元一次不等式(组) ，画出平面区域，然后根据图形的形状求 出区域面积． y≥x－1， ●例1 在坐标平面上，不等式组 所表示 y≤－3|x|＋1 的平面区域的面积为( ) 3 3 2 (A) 2 ． (B) ． (C) ． (D)2． 2 2 【解析】如图阴影部分就是不等式组
[答案]
(1，＋∞)
考点三
线性规划应用题与线性条件下的
非线性问题的最值问题
命题规律 高考对线性规划的考查主要以选择题和填空
题的形式出现，但近年考大题的意图也越来越明显，主要有 两种题型：一是利用数学知识解决实际生活的线性规划问
题，二是利用线性规划思想去理解高中数学中一些求最值问
题，是从一个新的角度对求最值问题的理解，实际上是对数 ，利用非 线性约束条件作出图形并利用非线性目标函数所表示的几何
【解析】不等式表示的平面区域如图所示，当x＋y＝a 4 2 2 过A( ， )时表示的区域是△AOB，此时a＝ ； 3 3 3 4 当a＞ 时，表示的区域是△AOB； 3 当 x ＋ y ＝ a 过 B(1,0) 时，表示的区域是△ DOB ，此时 a ＝ 1； 当0＜a＜1时，可表示三角形； 4 当1＜a＜ 时，区域是四边形． 3 4 综上可知0＜a≤1或a≥ ． 3 [答案] D 【点评】 解决这类问题常用数形结合及逆向思维的思 想，解法灵活多变．
意义求出最优解及目标函数的最大值或最小值．
●例 3
制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈
利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙 两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100% 和 50% ，可能的最大亏损分别为 30% 和 10% ．投资人 计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超