北京四中2018届高三第一次模拟考试(一模)仿真卷(A卷)文科数学
北京市海淀区2018届高三第一次模拟考试数学(文)试卷(有答案)
北京市海淀区2018届高三第一次模拟考试数学（文）试卷2018.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{}0,A a =，{}12B x x=-，且A B ⊆，则a 可以是(A) 1- (B)0 (C)l (D)2 (2)已知向量a =(l ，2)，b =（1-，0），则a +2b =(A)（1-，2） (B)（1-，4） (C)(1，2) (D) (1，4） (3)下列函数满足()()=0f x f x +-的是(A) ()f x =()ln f x x =(C) 1()1f x x =- (D) ()cos f x x x =(4)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为(A)2 (B)6 (C)8 (D) 10 (5)若抛物线22(0)y px p=上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是 (A) 1p (B) 1p (C) 2p(D) 2p(6)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD 及其内部的点组成的集合记为M ，(,)P x y 为M 中任意一点，则y x -的最大值为(A)1 (B)2 (C) 1- (D) 2-(7)已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“nn S na 对，2n ≥恒成立”是“数列{}n a 为递增 数列”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(8)已知直线l ：(4)y k x =+与圆22(2)4x y ++=相交于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，则点M 到直线3460x y --=的距离的最大值为(A)2 (B)3 (C)4 (D)5第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市第四中学2017-2018学年高三上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案
2017-2018学年高三数学 期中测试卷(文)试卷满分共计150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1．若集合{1,2,3}A =，{0,1,2}B =，则A B =A ．{0,1,2,3}B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．{1,2,3}2．设3log 2a =，21log 8b =，c = A ．a b c >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．c a b >>3．“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若实数,x y 满足010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．2 5．从,,,,A B C DE 5名学生中随机选出2人，A 被选中的概率为A ．15B ．25C ．825D ．9256. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是A ．y x =B ．lg y x =C ．2x y = D．y =7．执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为A ．3B ．4C ．5D ．68．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A ．2,3π- B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9．设命题p ：∃n ∈N ，2n >2n ，则p ⌝为______ .10．若i 为虚数单位，则21i=+______ .11．数列}{n a 中，若11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于______ .12．曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线方程为______ .13．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则边c =______ .14．设函数21()4()(2)1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩，①若1a =，则()f x 的最小值为______；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是______ .三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）已知：ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且sin 2sin a B A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若1cos 3A =，求sin C 的值．16．（本小题满分13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． （Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？17．（本小题满分13分）已知：函数2()sin 2f x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）把函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()6g π的值．18．（本小题满分13分）已知：函数2()()(0)x f x ax bx c e a =++>的导函数'()y f x =的两个零点为3-和0． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的极小值为1-，求()f x 的极大值．19.（本小题满分14分）已知：()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1]a b ∈-，且0a b +≠时，有()()0f a f b a b+>+恒成立．（Ⅰ）用定义证明函数()f x 在[1,1]-上是增函数；（Ⅱ）解不等式：1()(1)2f x f x +<-；（Ⅲ）若2()21f x m m ≤-+对所有[1,1]x ∈-恒成立，求：实数m 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知：对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记*{|,}n A x x a n ==∈N，*{|,}n B x x b n ==∈N ，若同时满足条件：①{}n a ，{}n b 均单调递增；②A B =∅且*A B =N ，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列．（Ⅰ）若21n a n =-， 42n b n =-，判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由；（Ⅱ）若2n n a =且{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和； （Ⅲ）若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列且1636a =，求{}n a 与{}n b 的通项公式．高三数学 期中测试卷(文)答题纸班级___________学号___________姓名___________成绩___________一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分），请把答案填涂在机读卡上二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）三、解答题（本大题共6小题，共80分）参考答案： CDAD BDBA9．p ⌝：2,2n n N n ∀∈≤； 10．1i -； 11．27；12．21y x =-； 13．； 14． 1-；11[2)2，，⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；15．解：（Ⅰ）ABC ∆中，由正弦定理BbA a sin sin =，可得A bB a sin sin =，又由A b B a sin 32sin =得B a A b B B a sin 3sin 3cos sin 2==，所以23cos =B ， 因为0B π<<，6π=B ； ………7分（Ⅱ）由31cos =A 及0A π<<得322sin =A ，则)sin()](sin[sin B A B A C +=+-=π，所以)6sin(sin π+=A C 6162cos 21sin 23+=+=A A ． ………13分16．解：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=； ………4分 （Ⅱ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=； ………8分（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=， 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． ………13分17．解：2()sin 2f x x x =+cos2)sin 2x x -+sin 2x x =2sin(2)3x π=-………3分 （Ⅰ）22T ππ==； ………5分（Ⅱ）由222232k x k πππππ-≤-≤+（k ∈Z ）得51212k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），则()f x 的单调递增区间是5[,]1212k k ππππ-+（k ∈Z ）； ………8分（Ⅲ）函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数2sin()3y x π=-+再把得到的图象向左平移3π个单位得到函数2sin y x =()2sin g x x =()2sin 166g ππ=+=． ………13分18．解：（Ⅰ）2()()x f x ax bx c e =++，定义域：R22()(2)()[(2)]x x x f x ax b e ax bx c e ax a b x b c e '=++++=++++． 令()0f x '=，则3x =-和0x =，由0x e >，0a >，则则()f x 的单调增区间是(,3)-∞-，(0,)+∞，单调减区间是(3,0)-， ………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()(0)f x f c ==极小值，3-和0是2(2)0ax a b x b c ++++=的根，则1230(3)0c a b a b c a ⎧⎪=-⎪+⎪-+=-⎨⎪+⎪-⨯=⎪⎩，解得111a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以2()(1)x f x x x e =+-，又由（Ⅰ）知，335()(3)(93f x f e e-=-=--=极大值………13分19．解：（Ⅰ）证明：设任意12,[1,1]x x ∈-且12x x <，由于()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，∴2121()()()()f x f x f x f x -=+- 因为12x x <，所以21()0x x +-≠，由已知有2121()()0()f x f x x x +->+-,∵2121()0x x x x +-=->，∴21()()0f x f x +->，即21()()f x f x >， 所以函数()f x 在[1,1]-上是增函数. ………5分（Ⅱ）由不等式1()(1)2f x f x +<-得1112111112x x x x⎧-≤+≤⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪+<-⎩，解得104x ≤<………9分（Ⅲ）由以上知()f x 最大值为(1)1f =，所以要使2()21f x m m ≤-+对所有[1,1]x ∈-，只需2121m m ≤-+恒成立， 得实数m的取值范围为m ≤或2m ≥.………14分20．解：（Ⅰ）若21n a n =-， 42n b n =-，则*{|,}{1,3,5,7,}n A x x a n ==∈=N ，*{|,}{2,6,10,14,}n B x x b n ==∈=N因为4∉A ，4∉B ，所以4∉A B ，从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列； ………4分（Ⅱ）若2n n a =，*{|,}{2,4,8,16,32,}n A x x a n ==∈=N ， 则当{1,3,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,}B =时满足条件， 则数列{}n b 的前16项的和为()()23412202222++⋅⋅⋅+-+++()512020221802+=⨯--=； ………9分（Ⅲ）设{}n a 的公差为d ，d *∈N ，则1611536a a d =+=， 由136151a d =-≥，得1d =或2，若1d =，则121a =，20n a n =+，则{}n b 中只有20项与{}n b 是无穷数列矛盾； 若2d =，则16a =，24n a n =+，5255n nn b n n ≤⎧=⎨->⎩． ………14分。
最新-北京四中2018届高三数学上学期期中测验试题 文
北京四中2018-2018年度第一学期高三年级期中数学试题及答案（文）试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题，共40分）一、选择题：（每小题5分，共40分, 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. “”是“”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 是等差数列的前项和，若，则（）A. 15B. 18C. 9D. 124. 设为两个平面，为两条直线，且，有如下两个命题：①若；②若. 那么（）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题5. 若是所在平面内的一点，且满足( BO+OC )•( OC-OA )=0，则一定是（）A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 斜三角形6．将函数的图象按向量平移后得到图象对应的函数解析式是（）A． B．C． D．7．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A．B．C．D．8. 已知函数，给出下列四个说法：①若，则；②的最小正周期是；③在区间上是增函数；④的图象关于直线对称．其中正确说法的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：（每小题5分，共30分）9. 函数的递增区间是______.10. 向量，满足，且，，则，夹角的余弦值等于______.11．已知函数的最小正周期是，则正数______.12．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12 cm，深2 cm 的空穴，则该球的半径是______cm，表面积是______cm².13．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是______.14. 如上页图，一条螺旋线是用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线分别以为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线旋转一圈．然后又以为圆心为半径画弧…，这样画到第圈，则所得整条螺旋线的长度______．(用表示即可)三、解答题：（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）15.（本小题满分13分）在中，，.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）设，求的面积.16.（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）求函数图象的对称轴方程；（Ⅱ）求的单调增区间；（Ⅲ）当时,求函数的最大值,最小值.17.（本小题满分13分）如图，正三棱柱中，D是BC的中点，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求三棱锥的体积.18.（本小题满分13分）已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且的等比中项. （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的前项和19.（本小题满分14分）已知函数处取得极值.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若当恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）对任意的是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由.20.（本小题满分14分）设数列的首项R），且，（Ⅰ）若；（Ⅱ）若，证明：；（Ⅲ）若，求所有的正整数，使得对于任意，均有成立.【参考答案】第一部分（选择题，共40分）一、选择题（每小题5分，共40分）1. B2. B3. D4. D5. C提示：由题意可知，BC•AC = 0，即BC⊥AC.6. D提示：沿向量平移，即先向右平移个单位，再向上平移1个单位.7. B8. B提示：先化简f(x)可得，f (x)=，再利用它的图象和性质解决问题.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：（每小题5分，共30分）9.提示：注意定义域.10. 12011. 2提示：利用图象的对称变换，可知该函数的周期为.12. 10，400π提示：设球的半径为r，画出球与水面的位置关系图，如图：由勾股定理可知，，解得r =10.13.14. n (3n+1)π提示：设第n段弧的弧长为，由弧长公式，可得…数列是以为首项、为公差的等差数列.画到第n圈，有3n段弧，故所得整条螺旋线的长度三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由，，得，所以… 3分6分且，故… 7分（Ⅱ）解：据正弦定理得，…10分所以的面积为……13分16. （本小题13分）解：（I）. …3分令.∴函数图象的对称轴方程是……5分（II）故的单调增区间为…8分(III) , …… 10分. …… 11分当时,函数,最小值为.13分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴BD是B1D在平面ABC上的射影在正△ABC中，∵D是BC的中点，∴AD⊥BD，根据三垂线定理得，AD⊥B1D（Ⅱ）解：连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.∵AA1=AB ∴四边形A1ABB1是正方形，∴E是A1B的中点，又D是BC的中点，∴DE∥A1C. ………………………… 7分∵DE平面AB 1D，A1C平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D. ……………………9分（Ⅲ）……13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则…………1分又…………2分解得…………4分. …………5分…………6分（Ⅱ）由…………9分…………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵f(x)=x3－x2+bx+c，∴f′(x)=3x2－x+b. ……2分∵f(x)在x=1处取得极值，∴f′(1)=3－1+b=0.∴b=－2. ……3分经检验，符合题意. ……4分（Ⅱ）f(x)=x3－x2－2x+c.∵f′(x)=3x2－x－2=(3x+2)(x－1)，…5分x 1 (1,2) 2 f′(x) + 0 － 0 +f(x)……7分∴当x=－时，f(x)有极大值+c.又∴x∈[－1，2]时，f(x)最大值为f(2)=2+c. ……8分∴c2>2+c. ∴c<－1或c>2. …………10分（Ⅲ）对任意的恒成立.由（Ⅱ）可知，当x=1时，f(x)有极小值.又…12分∴x∈[－1，2]时，f(x)最小值为.，故结论成立. ……14分20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为所以a2=－a1+4=－a+4，且a2∈（3，4）所以a3=a2－3=－a+1，且a3∈（0，1）所以a4=－a3+4=a+3，且a4∈（3，4）所以a5=a4－3=a……4分（Ⅱ）证明：当所以，……6分②当所以，综上，……8分（Ⅲ）解：①若因此，当k=4m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立…10分②若因此，当k=2m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立…12分③若，因此k=m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立……13分综上，若0<a<1，则k=4m；，则k=2m；若a=2，则k=m. m∈N* ……14分。
2018年高三一模数学试卷及答案(文科)
2018年高三数学一模试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}320A x N x =∈->，{}24B x x =≤，则AB =（ ）A ．{}21x x -≤< B ．{}2x x ≤ C ．{}22x x -≤≤ D ．{}0,1 2.设i 是虚数单位，若复数()21ia a R i+∈-是纯虚数，则a =（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．23.已知[],0,2x y ∈，则事件“1x y +≤”发生的概率为（ ） A ．116 B ．18 C ．1516 D ．784.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．122π+ B ．12π+ C. 1π+ D ．2π+ 5.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2x =， 1.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．0.6 1.1y x =+B ．3 4.5y x =- C.2 5.5y x =-+D ．0.4 3.3y x =-+6.已知2AB =，1CD =，且223AB CD -=AB 和CD 的夹角为（ ） A ．30 B ．60 C.120 D ．1507.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点(0A ，.若线段FA 与抛物线C 相交于点M ，则MF =（ ）A ．43 B 23D 8.设x ，y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则目标函数23z x y =-的最小值是（ ）A ．7-B ．6- C.5- D ．3- 9.已知函数()2sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调递减区间为（ ） A ．()372,288k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．()32,288k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C.()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦10.已知双曲线C 的中心在原点O ，焦点()F -，点A 为左支上一点，满足OA OF =，且4AF =，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164x y -= B ．2213616x y -= C.221416x y -= D ．2211636x y -= 11.在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-，若a =22b c +的取值范围是（ ）A ．(]3,6B ．()3,5 C.(]5,6 D ．[]5,612.已知函数()x e f x x=，若关于x 的方程()()2223f x a a f x +=有且仅有4个不等实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,e D ．()0,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.sin 47sin17cos30cos17-的值等于．14.执行如图所示的程序框图，若输入1S =，1k =，则输出的S 为．15.若一圆锥的体积与一球的体积相等，且圆锥底面半径与球的半径相等，则圆锥侧面积与球的表面积之比为．16.若1b a >>且3log 6log 11a b b a +=，则321a b +-的最小值为． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()13122n n S a a n N *=-∈，且11a -，22a ，37a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()92log n n b a n N *=∈，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18. 如图，在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，2CD =，1AD AB ==，四边形BDEF 为正方形，且平面BDEF ⊥平面ABCD .（1）求证：DF CE ⊥；（2）若AC 与BD 相交于点O ，那么在棱AE 上是否存在点G ，使得平面//OBG 平面EFC ？并说明理由.19. 某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20名，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间.现将数据分成五组，第一组[)50,55，第二组[)55,60，…，第五章[]70,75，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为:4:10a.（1）求a 的值，并求这50名同学心率的平均值；（2）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为0.8，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？说明你的理由.参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20. 已知直线:l y kx m =+与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于A ，P 两点，与x 轴，y轴分别相交于点N ，M ，且，PM MN =，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点B ，过点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1A ，1B .（1）若椭圆C 的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点312D ⎛⎫⎪⎝⎭，在椭圆C 上，求椭圆C 的方程；（2）当12k =时，若点N 平方线段11A B ，求椭圆C 的离心率. 21. 已知函数()xf x xe =.（1）讨论函数()()xg x af x e =+的单调性；（2）若直线2y x =+与曲线()y f x =的交点的横坐标为t ，且[],1t m m ∈+，求整数m 所有可能的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线lsin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.（1）求不等式()1f x ≤的解集A ；（2）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+.试卷答案一、选择题1-5:CBBDC 6-10:CABDC 11、12：CB 二、填空题 13.1214.57416.1 三、解答题 17.解：（1）由13122n n S a a =-，得123n n S a a =-. 由()11112=3,232,n n n n S a a S a a n ---⎧⎪⎨=-≥⎪⎩作差得()132n n a a n -=≥.又11a -，22a ，37a +成等差数列，所以213417a a a =-++，即11112197a a a =-++，解得13a =.所以数列{}n a 是以3为首项、公比为3的等比数列，即3n n a =. （2）由992log 2log 3n n n b a n ===，得11111n n b b n n +=-+， 于是11111122311n n T n n n =-+-++-=++. 18.（1）证明：连接EB .∵在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，2CD =，1AD AB ==， ∴BD =BC =.∴222BD BC CD +=，∴BC BD ⊥. 又∵平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF 平面ABCD BD =，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面BDEF ，∴BC DF ⊥.又∵正方形BDEF 中，DF EB ⊥且EB ，BC ⊂平面BCE ，EB BC B =，∴DF ⊥平面BCE .又∵CE ⊂平面BCE ，∴DF CE ⊥.（2）解：如图所示，在棱AE 上存在点G ，使得平面//OBG 平面EFC ，且12AG GE =. 证明如下：∵在梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=，2CD =，1AB =，∴//AB DC ，∴12AO AB OC DC ==. 又∵12AG GE =，∴AO AGOC GE=，∴//OG CE .又∵正方形BDEF 中，//EF OB ，且OB ，OG ⊄平面EFC ，EF ，CE ⊂平面EFC ， ∴//OB 平面EFC ，//OG 平面EFC ， 又∵OBOG O =，且OB ，OG ⊂平面OBG ，∴平面//OBG 平面EFC.19.解（1）因为第二组数据的频率为0.03250.16⨯=，故第二组的频数为0.16508⨯=，由已知得，前三组频数之比为:4:10a ，所以第一组的频数为2a ，第三组的频数为20，第四组的频数为16，第五组的数为4.所以2502016842a =----=，解得1a =. 这50名同学心率的平均值为282016452.557.562.567.572.5=63.75050505050⨯+⨯+⨯+⨯+⨯. （2）由（1）知，第一组和第二组的学生（即心率小于60次/分的学生）共10名，从而体育生有100.8=8⨯名，故列联表补充如下.所以()22508282128.3337.87910402030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关.20.解：（1）由题意得22222,191,4,b ab a bc ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩∴223,4,b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）当12k =时，由12y x m =+，得()0,M m ，()2,0N m -. ∵PM MN =，∴()2,2P m m ，()2,2Q m m -， ∴直线QM 的方程为32y x m =-+. 设()11,A x y ，由22221,21,y x m x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2222222104a b x a mx a m b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， ∴2122424a mx m a b -+=+，∴()221222344m a b x a b +=-+；设()22,B x y ，由22223,21,y x m x y a b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()22222229304a b x a mx a m b ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， ∴222212294a mx m a b +=+，∴()2222223494m a b x a b +=-+.∵点N 平方线段11A B ，∴124x x m +=-，∴()()222222222342344494m a b m a b m a ba b++--=-++，∴2234a b =，∴13x m =-，112y m =-，代入椭圆方程得22217m b b =<，符合题意. ∵222a b c =+，∴2a c =，∴12c e a ==.21.解：（1）由题意，知()()xxxg x af x e axe e =+=+，∴()()'1xg x ax a e =++.①若0a =时，()'x g x e =，()'0g x >在R 上恒成立，所以函数()g x 在R 上单调递增；②若0a >时，当1a x a+>-时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 当1a x a+<-时，()'0g x <，函数()g x 单调递减； ③若0a <时，当1a x a+>-时，()'0g x <，函数()g x 单调递减；当1a x a+<-时，()'0g x >，函数()g x 单调递增.综上，若0a =时，()g x 在R 上单调递增； 若0a >时，函数()g x 在1,a a +⎛⎫-∞-⎪⎝⎭内单调递减，在区间1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内单调递增； 当0a <时，函数()g x 在区间1,a a +⎛⎫-∞-⎪⎝⎭内单调递增，在区间1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内单调递减. （2）由题可知，原命题等价于方程2xxe x =+在[],1x m m ∈+上有解，由于0x e >，所以0x =不是方程的解，所以原方程等价于210xe x --=，令()21x r x e x=--， 因为()'220xr x e x=+>对于()(),00,x ∈-∞+∞恒成立，所以()r x 在(),0-∞和()0,+∞内单调递增. 又()130r e =-<，()2220r e =->，()311303r e -=-<，()2120r e -=>， 所以直线2y x =+与曲线()y f x =的交点仅有两个， 且两交点的横坐标分别在区间[]1,2和[]3,2--内， 所以整数m 的所有值为3-，1.22.解：（1）因为2222cos sin 1y θθ+=+=，所以曲线C 的普通方程为2213x y +=；sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=， 因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.（2）设),sin P θθ， 则点P 到直线l的距离为2d ==≤ 当且仅当sin 13πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()1126k k Z πθπ=+∈时等号成立，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因此点P 到直线l23.（1）解：由211x -≤，得1211x -≤-≤，即1x ≤，解得11x -≤≤，所以[]11A =-，.（2）证明：（解法一）()()()222222221111m n mn m n m n m n +-+=+--=---. 因为,m n A ∈，所以11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，所以()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+. 又10mn +≥，故1m n mn +≤+.（解法二）因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，而()()()1110m n mn m n +-+=--≤()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+.。
2018年北京市高考文科数学第一次模拟试题及答案
2018年北京市高考文科数学 第一次模拟试题及答案（ 满分150分，时长120分钟）说明：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成。
第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，将答案写在答题纸上，在本试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分。
在每小题所给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的1．若p ：|x|＝x ，q ：x 2＋x≥0.则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知复数a ＋3i1－2i是纯虚数，则实数a ＝( )A ．6B ．4C ．－2D ．－6 3．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8π＋8B ．8π＋16C ．16π－8D ．8π－165．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出k 的值是6，则满足条件的整数S 0的个数有 ( )A ．28B ．32C ．42D ．726．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC ·EM的取值范围是( )A ． []0，1B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，27．(2015·成都外国语学校月考)已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A. 35 B ．－35 C. 45 D ．－458．在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面点集中随机取一点M(x 0，y 0)，设事件A 为“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是( )A. 14B. 13C. 23D. 349．设S n 为等差数列的前n 项和，公差d ＝－2，若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24 10．10．下列命题正确的是（ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行11．(2015·温州十校联考)已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝12 B ．x 2＋(y －1)2＝16C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝3D ． x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝412. 设函数f(x)＝x 2－23x ＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝( )A ．0B ．38C ．56D ． 112第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分。
北京四中2018届高三第一次模拟考试(一模)仿真卷(A卷)文科数学试卷(含答案)
2018届高三第一次模拟考试仿真卷理科数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·马鞍山一模]已知复数z 满足()1i 2i z -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．[2018·承德期末]设集合{}2=36M x x <，{}2,4,6,8N =，则M N =I （ ） A ．{}24，B ．{}46，C ．{}26，D ．{}246，，3．[2018·亳州期末]下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ） A ．12B ．13C ．41-πD ．42-π4．[2018·泰安期末]函数()cos sin x f x x x =-，33,00,22x ππ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U 的图象大致是（ ）班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．B ．C ．D ．5．[2018·汕头期末]如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（ ）A ．323π B ．643π C ．32πD ．642π 6．[2018·遵义一模]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知ABC △的顶点()2,0A ，()0,4B ，AC BC =，则ABC △的欧拉线方程为（ ） A ．230x y +-=B ．230x y -+=C ．230x y --=D ．230x y -+=7．[2018·乌鲁木齐一模]执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A ．4097 B ．9217 C ．9729D ．204818．[2018·承德期末]已知函数()()sin (0,)2f x x ωϕωϕπ=+><的最小正周期为6π，且其图象向右平移23π个单位后得到函数()sin g x x ω=的图象，则ϕ等于（ ）A ．49πB ．29πC ．6πD ．3π9．[2018·中山期末]已知实数ln22a =，ln33b =，ln55c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c <<10．[2018·佛山一模]如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1111,B C C D 的中点，点P 是底面1111A B C D 内一点，且AP ∥平面EFDB ，则1tan APA ∠的最大值是（ ） A．2B ．1 CD．11．[2018·亳州一模]经过双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左焦点作倾斜角为60︒的直线l ，若l 交双曲线M 的左支于,A B ，则双曲线M 离心率的取值范围是（ ） A ．()2,+∞B ．()1,2C．(D．)+∞12．[2018·乌鲁木齐一模]设函数()3e 3x af x x x x⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，若不等式()0f x ≤有正实数解，则实数a 的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．2eD ．e第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·赣州期末]已知向量()12,a k =v ，()1,14b k =-v ，若a b ⊥vv ，则实数k =__________． 14．[2018·福州质检]ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知)cos cos a C c A b -=，60B =︒，则A 的大小为__________．15．[2018·黄山一模]已知直线:l (0)x my n n =+>过点()A，若可行域00x my nx y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥的外接圆直径为20，则n =_____．16．[2018·沙市中学]“求方程341 55x x⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解”有如下解题思路：设()3455x xf x⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x在R上单调递减，且()21f=，所以原方程有唯一解2x=．类比上述解题思路，不等式()()63222x x x x-+>+-的解集是__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．[2018·梅河口五中]已知数列{}n a的前n项和2nS n pn=+，且2a，5a，10a成等比数列．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若151nn nba a+=+⋅，求数列{}n b的前n项和n T．18．[2018·育才中学]某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（2）试估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：由表中的数据显示，x 与y 之间存在着线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并求出y 关于x 的回归直线方程．（参考公式：1221 ˆˆˆni i i ni i x y nxy b x nx a y bx ==⎧-=-=⎪-⎪⎨⎪⎪⎩∑∑）19．[2018·淮南一模]如图所示，正四棱椎P ABCD -中，底面ABCD 的边长为2，侧棱长为22，E 为PD 的中点． （1）求证：PB ∥平面AEC ； （2）若F 为PA 上的一点，且3PFFA=， 求三棱椎A BDF -的体积．20．[2018·乌鲁木齐一模]椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点是(),0F c ，(),0A a ，()0,B b ，点P 是平行四边形FAPB 的一个顶点，PF x ⊥轴．（1）求椭圆C 的离心率；（2）过F 作直线l 交椭圆C 于,M N 两点，PM PN ⊥，求直线l 的斜率．21．[2018·石家庄一检]已知函数()()()ln f x x x ax a =-∈R ． （1）若1a =，求函数()f x 的图像在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()212f x >-．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．[2018·皖西质检]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为12 (x t t y =-⎪=⎧⎪⎨⎪⎪⎩为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=；（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交点分别为,A B ，点()1,0P ，求11PA PB+的值．23．[2018·湖北联考]已知函数()2121f x x x =-++． （1）求函数()f x 的最小值m ； （2）若正实数,a b满足11a b +=，求证：2212m a b+≥．2018届高三第一次模拟考试仿真卷理科数学（A ）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】Q ()1i 2i z -=+，()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+，213i z =+，13i 22z =+，13i 22z =-，z 的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D ． 2．【答案】A【解析】()6,6M =-，故{}2,4M N =I ． 3．【答案】C【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S π-π-===-ππ，故选C ． 4．【答案】C【解析】由()()f x f x -=-可得函数()f x 为奇函数，图像关于原点对称，可排除A ，B ，∵0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，故选C ．5．【答案】D【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同． 由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面三角形外接圆的半径为2r =， 由棱柱高为4，可得22OO =，故外接球半径为R ==故外接球的体积为(3433V =π⨯=π．选D ． 6．【答案】D【解析】线段AB 的中点为M （1，2），k AB =﹣2， ∴线段AB 的垂直平分线为：y ﹣2=12（x ﹣1），即x ﹣2y +3=0． ∵AC =BC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上， 因此△ABC 的欧拉线的方程为：x ﹣2y +3=0．故选：D ． 7．【答案】B【解析】阅读流程图可知，该流程图的功能是计算：0129122232102S =⨯+⨯+⨯++⨯L ， 则123102122232102S =⨯+⨯+⨯++⨯L ，以上两式作差可得：10191012012222210210212S --=++++-⨯=-⨯-L ， 则：109219217S =⨯+=．本题选择B 选项． 8．【答案】B【解析】由最小正周期公式可得：26ωπ=π，13ω∴=，函数的解析式为：()1sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数图像向右平移23π个单位后得到的函数图像为：()12121sin sin sin 33393g x x x x ϕϕ⎡⎤ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，据此可得：229k ϕπ-=π，()229k k ϕπ∴=π+∈Z ， 令0k =可得29ϕπ=．本题选择B 选项．9．【答案】B【解析】∵ln3ln22ln33ln2ln9ln803266b a ---=-==>，∴b a >； 又ln2ln55ln22ln5ln32ln250251010a c ---=-==>，∴a c >，∴b a c >>，即c a b <<．选B ． 10．【答案】D【解析】由题意可得，点P 位于过点A 且与平面EFDB 平行的平面上， 如图所示，取1111,A D A B 的中点,G H ，连结,,,GH AH AG GE ，由正方形的性质可知：EF GH ∥，由ABEG 为平行四边形可知AG BE ∥， 由面面平行的判定定理可得：平面AGH ∥平面BEFD ， 据此可得，点P 位于直线GH 上，如图所示，由1AA ⊥平面1111A B C D 可得11AA A P ⊥， 则111tan AA APA A P∠=，当1tan APA ∠有最大值时，1A P 取得最小值， 即点P 是GH 的中点时满足题意，结合正方体的性质可得此时1tan APA ∠的值是22．本题选择D 选项．11．【答案】B 【解析】由题意，3b a <22223b c a a =-<，所以2ca<，即离心率的范围是()1,2，故选B ． 12．【答案】D【解析】原问题等价于()2e 33x a x x -+≥，令()()2e 33x g x x x =-+，则()min a g x ⎡⎤⎣⎦≥，而()()2'e x g x x x =-，由()'0g x >可得：()(),01,x ∈-∞+∞U ， 由()'0g x <可得：()0,1x ∈，据此可知，函数()g x 在区间()0,+∞上的最小值为()1e g =，综上可得：实数a 的最小值为e ．本题选择D 选项．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】6-【解析】由题意，()121140k k -+=，则6k =-． 14．【答案】75︒【解析】)cos cos a C c A b -=)sin cos sin cos sin A C C A B -=，即()A C -=，()1sin 2A C -=，1306A C -=π=︒，又180120A CB ︒-=︒+=Q ，2150A ∴=︒，75A =︒，故答案为75︒．15．【答案】【解析】由题意知可行域为图中△OAB 及其内部，解得(),0,B n AB =，又tan AOB ∠=AOB =30°，由正弦定理得2sin 20sin3010AB R AOB =∠=⨯︒=，解得n =16．【答案】()(),12,-∞-⋃+∞【解析】不等式x 6﹣（x +2）＞（x +2）3﹣x 2变形为， x 6+x 2＞（x +2）3+（x +2）； 令u =x 2，v =x+2，则x 6+x 2＞（x +2）3+（x+2）⇔u 3+u ＞v 3+v ； 考查函数f （x ）=x 3+x ，知f （x ）在R 上为增函数， ∴f （u ）＞f （v ），∴u ＞v ；不等式x 6+x 2＞（x +2）3+（x +2）可化为x 2＞x +2，解得x ＜﹣1或x ＞2； ∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．【答案】（1）25n a n =+；（2）214541449n n nT n +=+．【解析】（1）当2n ≥时，121n n n a S S n p -=-=-+，当1n =时，111a S p ==+，也满足21n a n p =-+，故21n a n p =-+， ∵2510,,a a a 成等比数列，∴()()()23199p p p ++=+， ∴6p =．∴25n a n =+．（2）由（1）可得()()155511111252722527n n n b a a n n n n +⎛⎫=+=+=+- ⎪⋅++++⎝⎭，∴2511111151454279911252714491449n n n nT n n n n n n +⎛⎫=+-+-+⋯+-=+= ⎪++++⎝⎭． 18．【答案】（1）2；（2）5；（3）答案见解析． 【解析】（1）设各小长方形的宽度为m ．由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，可知()0.080.10.140.120.040.02m +++++⋅0.51m ==，解得2m =．故图中各小长方形的宽度为2．（2）由（1）知各小组依次是[)0,2，[)2,4，[)4,6，[)6,8，[)8,10，[]10,12，其中点分别为1，3，5，7，9，11对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04 故可估计平均值为10.1630.250.28⨯+⨯+⨯+70.2490.08110.045⨯+⨯+⨯=． （3）由（2）可知空白栏中填5． 由题意可知1234535x ++++==，232573.85y ++++==，51i ii x y =∑1223324557=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯69=，522232211234555i i x ==++++=∑， 根据公式，可求得26953 3.85553ˆb -⨯⨯=-⨯12 1.210==， 3.8 1.230ˆ.2a =-⨯=． 所以所求的回归直线方程为 1.20.2y x =+． 19．【答案】（1）见解析；（2）6． 【解析】（1）设BD 交AC 于O ，连接OE ，则在BDP △中，,O E 分别为,BD PD 的中点，∴OE PB ∥，又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ∴PB ∥平面AEC ．（2）易知226PO PD OD =-=PO ⊥平面ABCD ，∴111116226343246A BDF F ABD ABD V V S PO --⎛⎫==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△．20．【答案】（1）12；（2）0k =或23k =-【解析】（1）∵四边形FAPB 是平行四边形，∴BP FA =且BP FA ∥， 又∵PF ⊥ x 轴，∴BP OF =，∴2a c =，则12e =． （2）由（1）得2a c =，∴223b a c c -=，∴椭圆方程为2222143x y c c+=，设直线():l y k x c =-，代入椭圆方程，得：()2222223484120k x k cx k c c +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k cx x k +=+，22212241234k c c x x k -⋅=+， 由于()11y k x c =-，()22y k x c =-，∴122634kcy y k -+=+，22122934k c y y k -⋅=+，根据题意得()3P c c ，且0PM PN ⋅=u u u u v u u u v，代入点坐标得：()()2212121212330x x c x x c y y c y y c -+++++=， 即2222222222222412896330343434k c c k c k c kc c c k k k --+-+=+++，化简得20k +=，解得0k =或k =- 21．【答案】（1） 0x y += （2）见解析【解析】（1）由已知条件，()()ln f x x x x =-，当1x =时，()1f x =-，()ln 12f x x x +'=-，当1x =时，()1f x '=-，所以所求切线方程为0x y +=（2）由已知条件可得()ln 12f x x ax +'=-有两个相异实根1x ，2x ， 令()()'f x h x =，则()1'2h x a x=-， 1）若0a ≤，则()'0h x >，()h x 单调递增，()'f x 不可能有两根； 2）若0a >， 令()'0h x =得12x a =，可知()h x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 令1'02f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭解得102a <<，由11e 2a <有120e e a f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭'， 由2112a a >有2122ln 10f a a a ⎛⎫=-'+-< ⎪⎝⎭， 从而102a <<时函数()f x 有两个极值点， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表因为()1120f a =->'，所以121x x <<，()f x 在区间[]21,x 上单调递增，()()2112f x f a ∴>=->-．另解：由已知可得()ln 12f x x ax +'=-，则1ln 2x a x +=，令()1ln xg x x+=， 则()2ln 'xg x x-=，可知函数()g x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减， 若()'f x 有两个根，则可得121x x <<， 当()21,x x ∈时，1ln 2,xa x+> ()ln 120f x x ax =+->'， 所以()f x 在区间[]21,x 上单调递增，所以()()2112f x f a >=->-．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．【答案】（1）:10l x y +-=，曲线22:40C x y x +-=；（2）3． 【解析】（1）:10l x y +-=，曲线22:40C x y x +-=；（2）将122x t y t ⎧⎪==⎨-⎪⎪⎪⎩（t 为参数）代入曲线C的方程，得23=0t -，12t t ∴-==，1212113t t PA PB t t -∴+==． 23．【答案】（1）2；（2）见解析．【解析】（1）()()212121212x x x x -++--+=≥当且仅当1122x -≤≤时，等式成立．（2）2221211112a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥则22122a b +≥，当且仅当2b a =时取，等号成立．。
北京市海淀区2018届高三第一次模拟考试数学(文)试卷
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（文科）注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{}0,A a =，{}12B x x=-，且A B ⊆，则a 可以是(A) 1- (B)0 (C)l (D)2 (2)已知向量a =(l ，2)，b =（1-，0），则a +2b =(A)（1-，2） (B)（1-，4） (C)(1，2) (D) (1，4） (3)下列函数满足()()=0f x f x +-的是(A) ()f x =()ln f x x =(C) 1()1f x x =- (D) ()cos f x x x =(4)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 (A)2 (B)6 (C)8 (D) 10 (5)若抛物线22(0)y px p=上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是 (A) 1p (B) 1p (C) 2p (D) 2p(6)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD 及其内部的点组成的集合记为M ，(,)P x y 为M 中任意一点，则y x -的最大值为(A)1 (B)2 (C) 1- (D) 2-(7)已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“nn S na 对，2n ≥恒成立”是“数列{}n a 为递增 数列”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(8)已知直线l ：(4)y k x =+与圆22(2)4x y ++=相交于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，则点M 到直线3460x y --=的距离的最大值为(A)2 (B)3 (C)4 (D)5第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018届高三第一次模拟考试数学(文)试题含答案
2018届高三第一次模拟考试（文科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合}2,1,0,1{-=A ，}032{2<-+=x x x B ，则=B A （ ）A ．}1{-B ．}0,1{-C ．}1,0,1{-D ．}0,1,2{--2.已知R y x ∈,，i 为虚数单位，若i y xi 3)2(1--=+，则=+yi x （ ） A ．2B ．5C ．3D ．103.下列函数的图像关于y 轴对称的是（ ）A ．x x y +=2B ．x y 1-=C ．x x y --=22D ．x x y -+=22 4.已知平面向量),1(m a = ，)1,3(-=b 且b b a//)2(+，则实数m 的值为（ ）A ．31B ．31-C ．32D ．32- 5.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =A ．60B ．75 C.90 D ．1056.在抛物线px y 22=上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 A.21B.1C.2D.4 7.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 A.83 B.43C.248+D.246+ 8.设点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥03,02,0y x y x x 表示的平面区域上，则22)1(y x z +-=的最小值为A ．1B ．55 C. 2 D ．552 9.若函数()()2log =+f x x a 与()()21=-+g x x a x ()45-+a 存在相同的零点，则a 的值为 A ．4或52-B ．4或2-C ．5或2-D ．6或52- 22俯视图侧视图10.若将函数x x f 2cos 21)(=的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ） A ．)0,12(πB ．)0,6(πC ．)0,3(πD ．)0,2(π11.“1=a ”是“1-=x 是函数1)(223-+--=x a ax x x f 的极小值点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12.已知函数()21sin 21x x f x x x-=+++，若正实数b a ,满()()490f a f b +-=，则11a b +的最小值是A.1B.29C.9D.18二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.在如右图所示程序框图中，任意输入一次)10(≤≤x x 与)10(≤≤y y 中奖！”的概率为 .14.已知方程1)2(22=-+y m mx 表示双曲线，则m 的取值范围是 .15. 已知函数()sin x f x e x =，则)(x f 在0=x 处的切线方程为 .16. 若31)6sin(=+πx ，则=-)267sin(x π. 三.解答题：共70分。
理综卷2018届北京四中高三第一次模拟考试(一模)仿真卷(A卷)
2018届高三第一次模拟考试（一模）理综试卷（A 卷）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共13小题，每小题6分。
每小题只有一个选项最符合题意。
） 1．（2018长沙铁路一中）下列关于生物膜系统的叙述，正确的是（ ） A. 不同的生物膜上的糖类均与蛋白质结合形成糖蛋白 B. 细胞膜可以通过高尔基体分泌的小泡实现自我更新 C. 效应T 细胞使靶细胞裂解的过程体现了细胞膜的功能特性 D. 人体肝脏细胞与神经细胞上的膜蛋白种类和含量大体相同2．（2018辽宁实验中学）下图是遗传信息的传递过程，在记忆细胞和效应T 细胞内，所能进行的生理过程是（ ）A. 两者都只有①B. 前者只有①，后者有①②③C. 两者都只有②③D. 前者有①②③，后者只有②③3．（2018广东汕头市联考）下列实验中，有关操作时间的长短对实验现象或结果影响的叙述，正确的是（ ）A. 在“质壁分离与复原”的实验中，第二次与第三次观察间隔时间的长短对实验现象的影响相同B. 在“P 标记的噬菌体侵染细菌”实验中，保温时间过长或过短对上清液检测结果相同C. 在“观察根尖分生组织细胞的有丝分裂”实验中，解离时间的长短对实验现象的影响相同D. 用标志重捕法调查种群密度时，两次捕获间隔时间的长短对调查结果的影响相同4．（2018山东泰安市联考）二倍体植物生活在某些环境条件下容易发生细胞分裂异常，若某二倍体植物经有性生殖产生的子一代植株具有下列变异表现：叶片等器官比较大；抗逆性增强；高度不育等。
海淀区高三一模有答案
海淀区高三一模有答案数 学 （文科） 2018.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 在复平面内，复数)1(i i -(i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.30sin 75cos 30cos 75sin -的值为（ ） A ．1 B ．21C ．22D ．233. 已知向量b a ,，则“a //b ”是“a +b =0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足12323=-S S ，则数列}{n a 的公差是（ ） A ．21B ．1C ．2D ．3 5．在同一坐标系中画出函数 a x y a y x y xa +===,,log 的图象, 可能正确的是 （ ）6.一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则那个三棱柱的左视图的面积为（ ）A.36 B ．8 C ．38 D ．12 7.给出下列四个命题:①若集合B A ,满足,A B A = 则B A ⊆；②给定命题q p ,, 若“q p ∨”为真，则“q p ∧”为真；11xyO B 11x yO A 11xyO C 11xyO D③设,,,R m b a ∈ 若,b a <则22bm am <；④若直线01:1=++y ax l 与直线01:2=+-y x l 垂直，则1=a . 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48.直线12=+by ax 与圆122=+y x 相交于A,B 两点（其中b a ,是实数），且AOB ∆是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P ),(b a 与点)1,0(之间距离的最大值为（ ） A12+ B. 2 C. 2 D. 12-第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 若,0>x 则xx y 4+=的最小值是____________________. 10. 已知动点P 到定点（2，0）的距离和它到定直线2:-=x l 的距离相等，则点P 的轨迹方程为_________.11. 已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤a x x y x y ， 表示的平面区域的面积为4，点),(y x P 在所给平面区域内，则y x z +=2的最大值为______.12.某校为了解高三同学寒假期间学习情形，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时刻,绘成频率分布直方图（如图）.则这100名同学中学习时刻在6~8小时内的同学为 _______人.13. 已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_______________.第12题第13题图0.140.12 0.05 0.0414. 若点集22{(,)|1},{(,)|11,11}A x y x y B x y x y =+≤=-≤≤-≤≤，则（1）点集{1111(,)1,1,(,)}P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____； （2）点集{}12121122(,),,(,),(,)M x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为___________ .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解承诺写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,22A ππωϕ>>-<<),其部分图象如图所示. (I)求()f x 的解析式; (II)求函数)4()4()(ππ-⋅+=x f x f x g 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的 最大值及相应的x 值.16. （本小题满分13分）某商场为吸引顾客消费推出一项优待活动.活动规则如下：消费每满100元能够转动如图所示的圆盘一次，其中O 为圆心，且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等. 假定指针停在任一位置差不多上等可能的.当指针停在某区域时，返相应金额的优待券.（例如：某顾客消费了218元 ，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优待券.）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动.（I ）若顾客甲消费了128元，求他获得优待券面额大于0元的概率？（II ）若顾客乙消费了280元，求他总共获得优待券金额不低于20元的概率？0元20元10元17. （本小题满分14分）如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60,ABC PA ∠=︒⊥平面ABCD ， 点,M N 分别为,BC PA 的中点，且2==AB PA . (I) 证明：BC ⊥平面AMN ； (II)求三棱锥AMC N -的体积；(III)在线段PD 上是否存在一点E ，使得//NM 平面ACE ；若存在，求出PE 的长；若不存在，说明理由.18. （本小题满分14分）已知函数1)(2-=x x f 与函数)0(ln )(≠=a x a x g .（I ）若)(),(x g x f 的图象在点)0,1(处有公共的切线，求实数a 的值； （II ）设)(2)()(x g x f x F -=，求函数)(x F 的极值.19. （本小题满分13分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12， 且点（1，32）在该椭圆上.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若AOB ∆的面积为726，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程.20. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足：11=a ，21212,,12,,2n n n n a n a a -+⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为偶数为奇数， 2,3,4,.n =（Ⅰ）求345,,a a a 的值；MC（Ⅱ）设121n n b a -=+，1,2,3...n =，求证：数列{}n b 是等比数列，并求出其通项公式； （III ）对任意的*2,m m N ≥∈，在数列{}n a 中是否存在连．续．的2m 项构成等差数列？若存在，写出这2m 项，并证明这2m 项构成等差数列；若不存在，说明理由.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（文）参考答案及评分标准 2018．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第II 券（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9.4 10.x y 82= 11.6 12.30 13.1214.π，π+12 15.（本小题满分13分） 解：（I ）由图可知，A=1 …………1分,24π=T 因此π2=T ……………2分 因此1=ω ……………3分又1)4sin()4(=+=ϕππf ，且22ππϕ-<<因此4πϕ=……………5分因此)4sin()(π+=x x f . ……………6分（II ）由（I ）)4sin()(π+=x x f ，因此)4()4()(ππ-⋅+=x f x f x g =sin()sin()4444x x ππππ++⋅-+sin()sin 2x x π=+ ……………8分cos sin x x =⋅ ……………9分 1sin 22x = ……………10分 因为]2,0[π∈x ，因此],0[2π∈x ，]1,0[2sin ∈x故：]21,0[2sin 21∈x ，当4π=x 时，)(x g 取得最大值21. …………… 13分 16. （本小题满分13分） 解：（I ）设“甲获得优待券”为事件A …………… 1分因为假定指针停在任一位置差不多上等可能的，而题中所给的三部分的面积相等，因此指针停在20元，10元，0元区域内的概率差不多上31. …………… 3分 顾客甲获得优待券，是指指针停在20元或10元区域，依照互斥事件的概率，有323131)(=+=A P ， …………… 6分 因此，顾客甲获得优待券面额大于0元的概率是23.（II ）设“乙获得优待券金额不低于20元”为事件B …………… 7分 因为顾客乙转动了转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优待券金额为x 元， 第二次获得优待券金额为y 元，则差不多事件空间能够表示为：{(20,20),(20,10),(20,0),(10,20),(10,10),(10,0),(0,20),(0,10),(0,0)}Ω=，…………… 9分 即Ω中含有9个差不多事件，每个差不多事件发生的概率为91. ………… 10分 而乙获得优待券金额不低于20元，是指20x y +≥，因此事件B 中包含的差不多事件有6个， ………… 11分 因此乙获得优待券额不低于20元的概率为3296)(==B P ………… 13分 答：甲获得优待券面额大于0元的概率为32，乙获得优待券金额不低于20元的概率为32. 17. （本小题满分14分）证明：(Ⅰ) 因为ABCD 为菱形，因此AB=BC又60ABC ∠=，因此AB=BC=AC ， ……………1分 又M 为BC 中点，因此BC AM ⊥ …………… 2分 而PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ,因此PA BC ⊥ …………… 4分 又PA AM A =，因此BC ⊥平面AMN …………… 5分（II ）因为111222AMC S AM CM ∆=⋅== …………… 6分 又PA ⊥底面,ABCD 2,PA = 因此1AN = 因此，三棱锥N AMC -的体积31=V AMC S AN ∆⋅ ………… 8分11326=⨯⨯= ………… 9分 (III)存在 …………… 10分取PD 中点E ，连结NE ，EC,AE, 因为N ，E 分别为PA ，PD 中点，因此AD NE 21// …………… 11分 又在菱形ABCD 中，1//2CM AD 因此MC NE //，即MCEN 是平行四边形 …………… 12分 因此， EC NM //，又⊂EC 平面ACE ，⊄NM 平面ACE因此MN //平面ACE ， …………… 13分 即在PD 上存在一点E ，使得//NM 平面ACE ，现在12PE PD ==. …………… 14分 18. （本小题满分14分） 解：（I ）因为(1)0,(1)0f g ==，因此点)0,1(同时在函数)(),(x g x f 的图象上 …………… 1分 因为x a x g x x f ln )(,1)(2=-=， '()2f x x =， ……………3分'()ag x x=……………5分 由已知，得)1(')1('g f =，因此21a=，即2a = ……………6分（II ）因为x a x x g x f x F ln 21)(2)()(2--=-=（)0>x ……………7分因此xa x x a x x F )(222)('2-=-= ……………8分 当0<a 时，因为0>x ，且,02>-a x 因此0)('>x F 对0>x 恒成立，因此)(x F 在),0(+∞上单调递增，)(x F 无极值 ……………10分； 当0>a 时，令0)('=x F ，解得12x x == ……………11分 因此当0x >时，'(),()F x F x 的变化情形如下表：……………13分 因此当a x =时，()F x 取得极小值，且a a a a a a a F ln 1ln 21)()(2--=--=. ……………14分综上，当0<a 时，函数)(x F 在),0(+∞上无极值；当0>a 时，函数()F x 在a x =处取得极小值a a a ln 1--.19. （本小题满分13分）解：（I ）设椭圆C 的方程为22221,(0)x y a b a b +=>>，由题意可得 21==a c e ,又222c b a +=，因此2243a b =……………2分 因为椭圆C 通过（1，32），代入椭圆方程有 14349122=+a a解得2=a ……………4分因此1c = ，2413b =-=故椭圆C 的方程为 22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）解法一：当直线l x ⊥轴时，运算得到：33(1,),(1,)22A B ---，1113||||13222AOB S AB OF ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意. ……………6分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+,0≠k由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +++-= …………7分明显0∆>成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则21228,34k x x k +=-+ 212241234k x x k-⋅=+ ……………8分又2212221221221)()()()(||x x k x x y y x x AB -+-=-+-==== ……………9分 即22212(1)||3434k AB k k+==++ 又圆O的半径r ==……………10分因此2221112(1)6||||2234347AOBk k S AB r k k ∆+=⋅⋅=⋅==++……………11分 化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得2212181,17k k ==-（舍） ……………12分因此，2r ==，故圆O 的方程为：2212x y +=. ……………13分（Ⅱ）解法二：设直线l 的方程为 1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得 22(43)690t y ty +--= ……………7分因为0∆>恒成立，设1122(,),(,)A x y B x y ， 则12122269,4343t y y y y t t +=⋅=-++ ……………8分因此12||y y -=== ……………9分因此11221||||2437AOBS F O y y t ∆=⋅⋅-==+ 化简得到4218170t t --=，即0)1)(1718(22=-+t t ，解得211,t=2217 18t=-（舍）…………11分又圆O的半径为r==……………12分因此2r==，故圆O的方程为：2212x y+=……………13分.20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为11a=，因此21123a a=+=，3115222a a=+=，42127a a=+=,52113222a a=+=…………3分（Ⅱ）由题意，关于任意的正整数n，121nnb a-=+，因此121nnb a+=+…………4分又122221(21)12(1)2n n n na a a b-+=++=+=因此12n nb b+=…………6分又11112112b a a-=+=+=…………7分因此{}n b是首项为2，公比为2的等比数列，因此2nnb=…………8分（III）存在. 事实上，对任意的*2,m k N≥∈，在数列{}na中，2,21,22,221....,m m m m ma a a a+++-这连续的2m项就构成一个等差数列……10分我们先来证明：“对任意的*2,n n N≥∈，1*(0,2),nk k N-∈∈，有12212nnkka-+=--”由（II）得1212nnnb a-=+=，因此1221nna-=-.当k为奇数时，1121221222112222n n n kk ka a a----++-+=+=+当k为偶数时，112222221212n n n kk ka a a---+++=+=+记1,,21,,2kkkkk⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数因此要证12212n nk k a -+=--，只需证明21112212n n k k a --+=--，其中2*11(0,2),n k k N -∈∈(这是因为若21112212n n k k a --+=--，则当211-=k k 时，则k 一定是奇数，有1121221222112222n n n k k k a a a ----++-+=+=+=212)22112(221)212(221111k k k n n n --=---+=--+--； 当21kk =时，则k 一定是偶数，有112222221212n n n k k k a a a ---+++=+=+=212)2212(21)212(21111kkk n n n --=--+=--+-- )如此递推，要证21112212n n k k a --+=--， 只要证明32222212n n k k a --+=--，其中11211,,21,,2k k k k k ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数，3*22(0,2),n k k N -∈∈如此递推下去， 我们只需证明12222212n n k k a --+=--， 1*22(0,2),n n k k N --∈∈ 即1221115213222a +=--=-=，即352a =，由（I ）可得， 因此对*2,n n N ≥∈，1*(0,2),n k k N -∈∈，有12212n n k ka -+=--， 对任意的*2,m m N ≥∈ ，12212m m i i a ++=--，1211212m m i i a ++++=--，其中*),12,0(N i i m ∈-∈， 因此21212m m i i a a +++-=-又1212-=+m m a ，2112112--=++m m a ，因此21212m m a a +-=- 因此2,21,22,221....,m m m m m a a a a +++-这连续的2m项， 是首项为1221m m a +=-，公差为12-的等差数列 . …………13分说明：当12m m >（其中**1122,,m m N m N ≥∈∈）时，因为1222212222222,...,,,-+++m m m m m a a a a构成一个项数为22m 的等差数列，因此从那个数列中任取连续的12m 项，也是一个项数为12m ，公差为12-的等差数列.。
2018年高三最新 北京四中2018年高三第一学期期中测验数学试卷(文科) 精品
北京市四中2018—2018年高三年级第一学期期中测验数学试卷（文科）（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合====N M N M N x M 则若},1{},2,1{},,0{（ ）A ．{0,x,1,2}B ．{1,2,0,1}C ．{0,1,2}D ．无法确定2．方程1cos 2=x 的解集为（ ） A ．},32|{Z k k x x ∈+=ππ B ．},352|{Z k k x x ∈+=ππC ．},32|{Z k k x x ∈±=ππD ．},3)1(|{Z k k x x k∈-+=ππ3．函数]2,1[3--=在x x y 的最小值为（ ）A ．2B ．0C ．－4D ．－2 4．若等比数列的公比为2，但前4项和为1，则这个等比数列的前8项和等于 （ ）A ．21B ．19C ．17D ．15 5．下列四个函数中，同时具有性质：①最小正周期为2π；②图象关于直线3π=x 对称的一个函数是（ ） A ．)6sin(π-=x y B ．)6sin(π+=x yC ．)3sin(π+=x yD ．)32sin(π-=x y6．等差数列}{n a 中，a 3、a 8是方程0532=--x x 的两个根，则S 10是 （ ）A ．15B ．25C ．30D ．507．函数)(x f 的定义域为R ，)2()2(x f x f -=+，xx f x )21()(,21=≤≤-时又，则有（）A ．)4()1(21f f f <<⎪⎭⎫ ⎝⎛- B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-<<21)1()4(f f fC ．)4(21)1(f f f <⎪⎭⎫⎝⎛-< D ．⎪⎭⎫⎝⎛-<<21)4()1(f f f 8．命题p ：函数)10)(2(log ≠>+=a a a ax y a 且的图象必过定点（－1，1）；命题q ：如果函数)(x f y =的图象关于（3，0）对称，那么函数)3(-=x f y 的图象关于原点对称，则有（ ）A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真二、填空题（每小题5分共30分）9．函数x y 2cos 3=的最小正周期为 . 10．曲线在153123=+-=x x x y 在处的切线的倾斜角为 .11．已知数列}{n a 的前n 项和,92n n S n -=则其通项=n a ；若它的第k 项满足85<<k a ，则k = .12．函数)(x f y =在定义域（0,∞-）内存在反函数，若,2)1(2x x x f -=-)3(f 则= ，则=-)3(1f .13．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5……的第100项是 . 14．给出下列命题：①函数)10(≠>=a a a y x 且与函数)10(log ≠>=a a a y x a 且 的定义域相同； ②函数x y x y 33==与函数值域相同； ③使函数),2(21+∞-++=在区间x ax y 上为增函数的a 的范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21，其中错误命题的序号为 .三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本小题13分）已知：a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对. （1）若△ABC 面积为,60,2,23︒==A c 求a 、b 的值； （2）若,cos cos B b A a =试判断△ABC 的形状，证明你的结论.16．（本小题13分）已知：)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，,1)(2--=x x x f （1）求函数)(x f 在R 上的解析式； （2）解不等式.1)(<x f17．（本小题13分）已知：函数).(2sin 3cos 2)(2R a a x x x f ∈++= （1）若)(:,x f R x 求∈的单调递增区间； （2）若]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值为4，求：a 的值，并指出这时x 的值.18．（本小题满分13分）已知： 13)(223-=+++=x a bx ax x x f 在时有极值0. （1）求：常数a 、b 的值； （2）求：)(x f 的单调区间.19．（本小题13分）已知：数列}{n a 满足+-∈=++++N a na a a a n n ,333313221 . （1）求数列}{n a 的通项； （2）设,nn a nb =求数列}{n b 的前n 项和S n .20．（本小题14分）已知：函数),,(1)(2R c b a cbx ax x f ∈++=是奇函数，又3)2(,2)1(==f f . （1）求：a 、b 、c 的值；（2）当,),0(时+∞∈x 讨论函数)(x f 的单调性，并写出证明过程.北京市四中2018—2018年高三年级第一学期期中测验数学试卷（文科）参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）1．C 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．D 8．B 二、填空题（每小题5分共30分） 9．π 10．43π11． 102-n 8 12．8 －2 13．14 14．②③ 三、解答题15．解：（1）由已知得,60sin sin 2123︒==b A bc ,1=∴b 由余弦定理,3cos 2222=-++A b c b a3=∴a .……………………5分（2）由正弦定理得：,sin 2,sin 2b B R a A R ==,cos sin 2cos sin 2B B R A A R =∴即,2cos 2sin B A =由已知A 、B 为三角形内角，∴A+B=90°或A=B ，∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形.……………………12分16．（1）⎪⎩⎪⎨⎧<+--=>--)0(1)0(0)0(1)(22x x x x x x x x f ；（2）)2,0[)1,(Y --∞17．解析：（1）.1)62sin(212cos 2sin 3)(a x a x x x f +++=+++=π解不等式.226222πππππ+≤+≤-k x k得),(63Z k k x k ∈+≤≤-ππππ)(x f ∴的单调区间为).](6,3[Z k k k ∈+-ππππ（2）],2,0[π∈x .67626πππ≤+≤∴x ∴当.3)(,6262max a x f x x +===+时即πππ,43=+a 1=∴a ，此时6π=x .18．解：（1）,63)(2b ax x x f ++=' 由题知：⎩⎨⎧><=+-+-><=+-⇒⎩⎨⎧=-=-'203110630)1(0)1(2a b a b a f f联立<1>、<2>有：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==9231b a b a 或……………………4分 当a=1,b=3时，0)1(3963)(22≥+=++='x x x x f 这说明此时)(x f 为增函数，无极值，舍去………………6分 当)1)(3(39123)(,9,22++=++='==x x x x x f b a 时 故方程130)(-=-=='x x x f 或有根由表可见，当1-=x 时，)(x f 有极小值0，故⎩⎨⎧==92b a 符合题意………………9分（Ⅱ）由上表可知：)(x f 的减函数区间为（－3，－1）)(x f 的增函数区间为（－∞，－3）或（－，+∞）………………12分19．（Ⅰ）,333313221n a a a a n n =++++- ),2(31333123221≥-=++++--n n a a a a n n ),2(3131331≥=--=-n n n a n n )2(31≥=n a n n 验证n=1时也满足上式：*)(31N n a nn ∈= （Ⅱ）n n n b 3⋅=n n n S 333323132⋅+⋅+⋅+⋅=143233332313+⋅+⋅+⋅+⋅=n n n S,333332132+⋅-+++=-n n n n S,33133211++⋅-----n n n n S.433413211+⋅-⋅=++n n n n S20．（1） )(x f 为奇函数，)()(x f x f -=-∴，即,1122cbx ax c bx ax --+=+-+ 比较分母的系数，得c=0，又f （1）=2，f （2）=3.得.23,2.3214,21==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+b a b a ba 解得 0,23,2===∴c b a 为所求. （2）.22)0(24,3243243242312)(222=>==≥+=+=x x x x x x x x x x f 得由 Q 21211212122212321)4(324324)()(x x x x x x x x x x x f x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+=-当0,021,0)(,22021211221><⎪⎭⎫ ⎝⎛->-≤<<x x x x x x x x 时 ⎥⎦⎤⎝⎛<∴22,0)(),()(12在x f x f x f 上是减函数.当2122x x <≤时，.0,021,0212112>>->-x x x x x x⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞>∴,22)(),()(12在x f x f x f 上是增函数.。
最新-北京四中2018届高三数学10月统练试题 文 北师大
2018～2018学年第一学期北京四中统练1高三数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}1,2,3,4A =，集合{}1,3,5,7B =，则A B =U （ ） 2．下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上是增函数的是（ ） 3．已知a 、b 为实数，则“22ab>”是“22log log a b >”的（ ） 4．函数2log y x =的图象按向量a 平移后可以得到函数2log (2)3y x =-+的图象，则（ ） 5．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a 是不为0的实数），那么{}n a （ ） 6．设a 、b 是两个非零向量（ ）（A ）{}1,3（B ）{}1,2,3,4,5,7 （C ）{}5,7（D ）{}2,4,5,7（A ）2x y =（B ）32y x x =+（C ）sin y x =-（D ）1y x=-（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（A ）(2,3)=a（B ）(2,3)=-a（C ）(2,3)=-a（D ）(2,3)=--a（A ）一定是等差数列 （B ）一定是等比数列（C ）或者是等差数列，或者是等差数列 （D ）既不可能是等差数列，也不可能是等比数列（A ）若||||||=-a +b a b ，则⊥a b （B ）若⊥a b ，则||||||=-a +b a b（C ）若||||||=-a +b a b ，则存在实数λ，使得λ=b a （D ）若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||=-a +b a b7．设函数()f x x x bx c =++，给出下列四个命题： ① 当0c =时，()y f x =是奇函数；② 当0b =，0c >时，方程()0f x =只有一个实根； ③ 函数()y f x =的图象关于点(0,)c 对称； ④ 方程()0f x =至多有两个实根 其中正确命题的个数为（ ） 8．已知函数()f x 的定义域是{|(}2x x x k k ππ∈≠+∈R Z 且，函数()f x 满足()()f x f x π=+，当(,)22x ππ∈-时，()2sin f x x x =+．设(1)a f =，(2)b f =，(3)c f =，则（ ）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中的横线上．9． 已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28cos()a a +的值为 ． 10．函数2()log (21)f x x =+-的定义域是 ． 11．已知向量(cos ,sin )αα=a ，(cos(),sin())33ππαα=++b ，则||-=a b ． 12．已知点(,)A m n 在直线220x y +-=上，则24mn+的最小值为 ．13．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，且满足1a b c ++=，sin sin A B C +=，则c = ；若3C π=，则ABC ∆的面积S = ．14．已知关于x 的不等式220x ax -+>，若此不等式对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a的取值范围是 ；若此不等式对于任意的(2,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个（A ）a c b << （B ）b c a <<（C ）c b a <<（D ）c a b <<三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知x ∈R ，向量2(cos ,1)OA a x =u u r ，sin 2)OB x a =-u u u r ，()f x OA OB =⋅u u r u u u r ，0a ≠．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并求当0a >时函数()f x 的单调增区间； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，()f x 的最大值为5，求实数a 的值．16．（本小题满分13分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知1a =，2b =，1cos 4C =． （Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求cos()A C -的值．17．（本小题满分13分）已知函数32()2f x x ax =++，若()f x 的导函数()f x '的图象关于直线1x =对称．（Ⅰ）求导函数()f x '及实数a 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[1,2]-上的最大值和最小值．18．（本小题满分13分）已知在数列{}n a 中，11a =-，且1323(2,)n n a a n n n *-=-+≥∈N ． （Ⅰ）求23,a a ，并证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求12a a ++…n a +的值．19．（本小题满分14分）设函数32()5f x x bx cx =+++，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求实数c 的值；（Ⅱ）判断是否存在实数b ，使得方程2()0f x b x -=恰有一个实数根．若存在，求b 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）设()f x 是定义在D 上的函数，若对D 中的任意两数12,x x （12x x ≠），恒有12121212()()3333f x x f x f x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，则称()f x 为定义在D 上的C 函数．（Ⅰ）试判断函数2()f x x =是否为定义域上的C 函数，并说明理由； （Ⅱ）若函数()f x 是R 上的奇函数，试证明()f x 不是R 上的C 函数；（Ⅲ）设()f x 是定义在D 上的函数，若对任何实数[0,1]α∈以及D 中的任意两数12,x x（12x x ≠），恒有1212((1))()(1)()f x x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义在D 上的π函数．已知()f x 是R 上的π函数．m 是给定的正整数，设()n a f n =，0,1,2,n =…,m ，且00a =，2m a m =，记12f S a a =++…m a +．对于满足条件的任意函数()f x ，试求f S 的最大值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）2018～2018学年第一学期北京四中统练1 高三数学（文科）答题卡○○○○○○○○○○学校_______________________ 科目______________ 姓名______________ 考号______________密封线39（1）○○○○○○○○○○学校_______________________ 科目______________ 姓名______________ 考号______________密封线○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○○ 学校_______________________ 科目______________ 姓名______________ 考号______________ 密封线。
2018年北京市西城区高三一模文科数学试题及参考答案
2018年北京市西城区高三一模文科数学试题及参考答案西城区高三统一测试数学（文科） 2018.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则AB =（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R （C ）2{|3}3x x ∈-<<R （D ）{|3}x x ∈>R2．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a = （A ）7（B ）7-（C ）1（D ）1-3．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 4．若函数2,0,()3(),0xx f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()2f -= （A）（B（C ）29-（D ）25．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是 （A）（B （C）6（D ）6+6．已知二次函数2()f x axbx c=++．则“0a <”是“()0f x <恒成立”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数1()ln f x x =的定义域是____．10．已知x ，y 满足条件1,1,10, x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≥则2z x y =+的最小值为____．11．已知抛物线28yx=-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____；双曲线的渐近线方程是____．12．在△ABC 中，7b =，5c =，3B 2π∠=，则a =____．13．能够说明“存在不相等的正数a ，b ，使得a b ab +=”是真命题的一组a ，b 的值为____．14．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）设等差数列{}na 的公差不为0，21a=，且2a ，3a ，6a 成等比数列．（Ⅰ）求{}na 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}na 的前n 项和为nS ，求使35nS成立的n的最小值．16．（本小题满分13分）函数π()2cos cos()3f x x x m =⋅-+的部分图象如图所示． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）求0x 的值．17．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，求这2人均被录用的概率；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论） 18．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C的中点，如图2．（Ⅰ）求证：//EF 平面1A BD ； （Ⅱ）求证：平面1A OB ⊥平面1A OC ；（Ⅲ）线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？说明理由．图1 图219．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为，以椭圆C 的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A 是椭圆C 的右顶点，点B 在x 轴上．若椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，求点B 横坐标的取值范围．20．（本小题满分13分）已知函数()e (ln )xf x a x =⋅+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线e xy =-垂直，求a 的值；（Ⅱ）记()f x 的导函数为()g x ．当(0,ln 2)a ∈时，证明：()g x 存在极小值点0x ，且0()0f x <．西城区高三统一测试数学（文科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．B 3．C 4．A5．D 6．B 7．A 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．(0,1)(1,)+∞10．5-11x±=（答案不唯一）12．313．3,3214．22注：第11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}na 的公差为d ，0d ≠．因为2a ，3a ，6a 成等比数列， 所以2326a a a =⋅． [ 2分]即2(1)14d d+=+，[ 4分]解得2d =，或d =（舍去）．[ 6分]所以{}n a 的通项公式为2(2)23n a a n d n =+-=-． [ 8分]（Ⅱ）因为23n a n =-，所以 2121()()222n n n n a a n a a S n n -++===-．[10分]依题意有 2235n n ->，解得 7n >．[12分]使35nS 成立的n的最小值为8． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，有2π()13f =-，[ 2分]所以 2ππ2cos cos 133m ⋅+=-， 解得12m =-．[ 4分]（Ⅱ）因为π1()2cos cos()3f x x x =⋅--112cos (cos )22x x x =⋅-[ 6分]21cos cos 2x x x =+-12cos22x x =+[ 9分]πsin(2)6x =+．[10分]所以 ()f x 的最小正周期2ππ2T ==． [11分]所以02ππ7π326x=+=． [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为5334671000+=，被该企业录用的人数为264169433+=．所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P=．3分]（Ⅱ）记应聘E岗位的男性为1M，2M，3M，被录用者为1M，2M；应聘E岗位的女性为1F，2F，3F，被录用者为1F，2F．[ 4分]从应聘E岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，共9种情况，即：111213212223313233,,,,,,,,M F M F M F M F M F M F M F M F M F ．[ 7分]这2人均被录用的情况有4种，即：11122122,,,M F M F M F M F ． [ 8分]记“从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，这2人均被录用”为事件K ，则4()9P K =． [10分]（Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ． [13分] 18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ． [ 1分]因为 在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，12DE BC =． 因为 H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点， 所以 //HF BC ，12HF BC =， 所以 //HF DE ，HF DE =，所以 四边形DEFH 为平行四边形， [ 3分]所以//EF HD．[ 4分]因为 EF ⊄平面1A BD ， HD ⊂平面1A BD ， 所以 //EF 平面1A BD． [ 5分]（Ⅱ）因为 在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 AD AE =．所以 11A D A E=，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE⊥．[ 6分]因为 平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ，所以 1A O ⊥平面BCED ， [ 7分]所以1CO A O⊥． [ 8分]在△OBC 中，4BC =，易知 OB OC ==所以 CO BO ⊥， 所以CO ⊥平面1A OB，[ 9分]所以 平面1A OB ⊥平面1A OC．[10分]（Ⅲ）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG． [11分]否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在 Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得 G 为OC 的中点． [12分]在 △EOC 中，因为OC GE⊥，所以 EO EC =，这显然与1EO =，EC 矛盾！ 所以 线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ． [14分] 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得c a =ab =222ab c =+．[ 3分]解得2a =，b所以椭圆C的方程为22142x y +=．[ 5分]（Ⅱ）“椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P，使得0PA PB −−→−−→⋅=成立”． [ 6分]依题意，(2,0)A ．设(,0)B t ，(,)P m n ，则2224m n +=，[ 7分]且 (2,)(,)0m n t m n --⋅--=， 即2(2)()0m t m n --+=．[ 9分]将 2242m n -=代入上式， 得2(2)()24m m t m ---+=．[10分]因为 22m -<<，所以 202mt m +-+=，即 22m t =+． [12分]所以 2222t -<+<， 解得 20t -<<，所以 点B 横坐标的取值范围是(2,0)-． [14分]20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）11()e (ln )e e (ln )x x x f x a x a x x x'=⋅++⋅=⋅++． [ 2分]依题意，有 (1)e (1)ef a '=⋅+=，[ 3分]解得a =．[ 4分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 1()e (ln )xg x a x x=⋅++，所以2211121()e (ln )e ()e (ln )x x xg x a x a x x x xx x'=⋅+++⋅-=⋅+-+． [ 6分] 因为e 0x >，所以()g x '与221ln a x x x+-+同号． 设221()ln h x a xx x=+-+，[ 7分]则223322(1)1()x x x h x x x -+-+'==．所以 对任意(0,)x ∈+∞，有()0h x '>，故()h x 在(0,)+∞单调递增． [ 8分]因为 (0,ln 2)a ∈，所以 (1)10h a =+>，11()ln 022h a =+<， 故存在01(,1)2x ∈，使得0()0h x =． [10分]()g x 与()g x '在区间1(,1)2上的情况如下：所以 ()g x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以 若(0,ln 2)a ∈，存在01(,1)2x ∈，使得0x 是()g x 的极小值点． [11分]令 0()0h x =，得 02012ln x a x x -+=，所以00000212()e (ln )e 0x x x f x a x x -=⋅+=⋅<．[13分]。
北京四中2018届高三上学期期中测试卷(数学文)WORD版含解析
北京四中2018届高三上学期期中测试试卷数学<文）<试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题共8小题,每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．若全集，集合，，则集合A．B．C．D．2.“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的图像大致为4．设，则A. B. C. D.5．将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解读式是A．B．C．D．6．函数的零点个数为A．3 B．2 C．1D．07．若，则的值为A．B．C．4D．88. 对于函数,若存在区间，使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：①；②；③；④.其中存在稳定区间的函数有A．①②B．①③C．②③D．②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．已知，则____________.10．若函数则不等式的解集为______.11．等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。
若=1，则____________.12．函数的图象如图所示，则的解读式为___.13．已知函数.<），那么下面命题中真命题的序号是____________.①的最大值为②的最小值为③在上是减函数④在上是减函数14．已知数列的各项均为正整数，为其前项和，对于，有，当时，的最小值为______；当时，______.三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．<本小题满分12分）已知函数的最小正周期为.<Ⅰ）求的值；<Ⅱ）求函数的单调增区间及其图象的对称轴方程.16．<本小题满分13分）已知：若是公差不为0的等差数列的前项和，且、、成等比数列.<Ⅰ）求数列、、的公比；<Ⅱ）若，求数列的通项公式.17．<本小题满分14分）已知函数(>．<Ⅰ）求函数的单调递增区间；<Ⅱ）内角的对边长分别为，若且试求角B和角 C.18. <本小题满分14分）已知函数，的图象经过和两点，且函数的值域为.过函数的图象上一动点作轴的垂线，垂足为，连接.<Ⅰ）求函数的解读式；<Ⅱ）记的面积为，求的最大值.19．<本小题满分13分）设且，函数.<Ⅰ）求的值；<Ⅱ）求函数的单调区间.20.<本小题满分14分）设集合由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数，使．<为正整数）<Ⅰ）在只有项的有限数列，中，其中，b5E2RGbCAP，试判断数列，是否为集合的元素；<Ⅱ）设是等差数列，是其前项和，，证明数列；并求出的取值范围.参考答案及解读一．选择题<2. A解读：当时，，反之，当时，有，或，故应选 A.3. A解读：函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选 A.4． D解读：.故选D.5． B解读：将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解读式为,故选 B.7． D解读：8． C 解读：①中，若存在“稳定区间”则，，即有解，即图像有交点，事实上两函数图像没有交点，故函数不存在“稳定区间”。
北京四中2018届上学期高三年级期中考试数学试卷(文科)
北京四中2018届上学期高三年级期中考试数学试卷（文科）（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合}0)1)(2(|{<-+∈=x x Z x A ，}1,2{--=B ，那么B A 等于A. }1,0,1,2{--B. }0,1,2{--C. }1,2{--D. }1{-2. 若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α3. 已知向量a,b 满足02=-b a ，2)(=⋅-b b a ，则=||bA.21B. 1C.2D. 24. 设7log 3=a ，1.12=b ，1.38.0=c ，则A. c a b <<B. b a c <<C. a b c <<D. b c a <<5. 已知)1,1(-=x a ，)3,1(+=x b ，则2=x 是b a //的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 函数)(x f y =的图象如图所示，则)(x f 的解析式可以为A. 21)(x xx f -=B. 31)(x xx f -=C. x e xx f -=1)(D. x xx f ln 1)(-=7. 实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤06,0,3y x y x x 则y x z +=2的最小值为A. 15B. 3C. -3D. -158. 设函数)(x f 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意D x ∈，都有)()(x f m x f >+，则称)(x f 为D 上的“m 型增函数”，已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，)(||)(R a a a x x f ∈--=。
北京四中高三第一次模拟考试(一模)仿真卷数学文(B)
2018届高三第一次模拟考试仿真卷文科数学（B ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·石家庄质检]已知命题:12p x -<<，2:log 1q x <，则p 是q 成立的（ ）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分C ．既不充分有不必要D ．充要2．[2018·黄山一模]已知复数11i z a =+，232i z =+，a ∈R ，i 是虚数单位，若12z z ⋅是实数，则a =（ ） ABCD3．[2018·长春一模]下列函数中既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的函数是（ ）A ．()22x x f x -=-B ．()21f x x =-CD ．()sin f x x x =4．[2018·天一大联考]已知变量x ，y 之间满足线性相关关系 1.31ˆyx =-，且x ，y 之间的相关数据如下表所示：此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号考场号 座位号则m =（ ） A ．0.8B ．1.8C ．0.6D ．1.65．[2018·乌鲁木齐一模]若变量x ，y 满足约束条件00340x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≥≤，则32x y +的最大值是（） A ．0B ．2C ．5D ．66．[2018·常德期末]已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且124a a a 、、成等 ） A ．2B ．3C ．5D ．77．[2018·宁德一模]我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ） A ．58B ．59C ．60D ．618．[2018·福州质检]如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）AB C D9．[2018·汕头期末]）A ．()f x 在B ．()f x 在C ．()f x 在D ．()f x 在10．[2018·西城期末]已知A ，B 是函数2x y =的图象上的相异两点，若点A ，B 的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B ．(),2-∞- C ．()1,-+∞ D ．()2,-+∞11．[2018·乐山联考]已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1a ，且长为a 的棱与长为（ ）A B C D12．[2018·闽侯四中]右两个焦点分别为1F ，2F ，A ，B 为其左右顶点，以线段1F ，2F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且30MAB ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·丹东一检]△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2c o s 2cB a b =+，则C ∠=_________．14．[2018·郑州一中]阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为__________．15．[2018·乌鲁木齐一模]在ABC △中，22CA CB ==，1CA CB ⋅=-，O 是ABC △的外心，若CO xCA yCB =+，则x y +=______________．16．[2018·长春一模]已知函数()f x 满足()()2f x f x =，且当[)1,2x ∈时()ln f x x =．若在区间[)1,4内，函数()()2g x f x ax =-有两个不同零点，则a 的范围为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．[2018·渭南一模]已知在ABC △中，2B A C =+，且2c a =． （1）求角A ，B ，C 的大小；（2）设数列{}n a 满足，前n 项和为n S ，若20n S =，求n 的值．18．[2018·石家庄一检]某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示： （1）求m 的值及这50（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在[]130,140的同学中选出3位作为代表进行座谈，若已知成绩在[]130,140的同学中男女比例为2：1，求至少有一名女生参加座谈的概率．19．[2018·湖北联考]如图，四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方的等腰三角形，E 为AB 的中点． （1）在侧棱VC 上找一点F ，使BF ∥平面VDE ，并证明你的结论； （2）在（1）的条件下求三棱锥E BDF -的体积．20．[2018·闽侯四中]已知椭圆1C ：(0)a b >>的离心率为，抛物线2C ：22x py =(0)p >的焦点F 是椭圆1C 的顶点． （1）求1C 与2C 的标准方程；（2）1C 上不同于F 的两点P ，Q 满足0FP FQ ⋅=，且直线PQ 与2C 相切，求FPQ △的面积．21．[2018·杭州期末] （1）求证：()21f x x x -++≥；（2）当[]1,0x ∈-时，函数()2f x ax +≥恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．[2018·承德期末]在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为（t为参数），直线2l 的参数程为（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C ． （1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标，点Q 为曲线1C 的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最小值．23．[2018·南阳一中] （1）当2a =时，解不等式 （2的解集为M ，若，求实数a 的取值范围．2018届高三第一次模拟考试仿真卷理科数学（B ）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】2:log 102q x x <⇒<<，因为()()0,21,2⊂-，所以p 是q 成立的必要不充分条件，选B ． 2．【答案】A【解析】复数11i z a =+，232i z =+，()()()()121i 32i 32i 3i 23223i z z a a a a a ⋅=++=++-=-++．若12z z ⋅是实数，则230a +=，解得A ．3．【答案】B【解析】A 是奇函数，故不满足条件；B 是偶函数，且在()0,+∞上单调递增，故满足条件；C 是偶函数，在()0,+∞上单调递减，不满足条件；D 是偶函数但是在()0,+∞上不单调．故答案为B ．4．【答案】B【解析】，代入线性回归方程为 1.31ˆyx =-，可得 0.1 3.144 2.25m ∴+++=⨯， 1.8m ∴=，故选B ． 5．【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点()1,1A 处取得最大值，max 3231215z x y =+=⨯+⨯=．本题选C ．6．【答案】C【解析】由124a a a 、、成等比数列得2214a a a =，()()21113a d a a d ∴+=+，21d a d ∴=，0d ≠，1d a ∴=C ． 7．【答案】C【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-（8+6+5）+1=60．故选C ． 8．【答案】A【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥P ABC -，其中三棱锥的高为2，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，表面积为A ．9．【答案】D【解析】∵函数()f x 的图象经过点又0πθ<<，∴，∴()2sin 2f x x =-． 对于选项A ，C 时，()20,πx ∈，故函数不单调，A ，C 不正确；对于选项B ，D ，函数()f x 单调递增，故D 正确．选D ． 10．【答案】B【解析】设(),2a A a ，(),2b B b ，因为a b ≠，所以221a b +=，，所以2a b +<-，选B ． 11．【答案】A【解析】如图所示，三棱锥A B C D -中，A D a =，BC =，1AB AC BD CD ====，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将BCD △看作底面，则当平面ABC ⊥平面BCD 时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高BCDA 选项．12．【答案】B【解析】以1F ，2F 为直径的圆的方程为222x y c +=，将直线舍去），y b =，即有()M a b ，，又()0A a -，，30MAB ∠=︒，则直线AM 的斜率，又，则()2222343b a c a ==-，即有2237c a =，则离心率B ． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】120︒【解析】∵2cos 2c B a b =+，∴，即222a b c ab +-=-， ，∴120C =︒．14．【解析】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知：当1x =，1y =时，220z x y =+=<，1x =，2y =，运算程序依次继续：320z x y =+=<，2x =，3y =；520z x y =+=<，3x =，5y =；820z x y =+=<，5x =，8y =；1320z x y =+=<，8x =，13y =；2120z x y =+=>，138y x =运算程序结束，15．【解析】由题意可得：120CAB ∠=︒，2CA =，1CB =，则：()24CO CA xCA yCB CA xCA yCB CA x y ⋅=+⋅=+⋅=-， ()2CO CB xCA yCB CB xCA CB yCB x y ⋅=+⋅=⋅+=-+，如图所示，作OE BC E ⊥=，OD AC D ⊥=，则212CO CA CA ⋅==，21122CO CB CB ⋅==，42x y -=⎧x ⎧⎪16．【解析】()()2f x f x =，()2x f x f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，当[)2,4x ∈时，，故函数()[)[)ln ,12ln ln 2,24x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，，，作函数()f x 与2y ax =的图象如下，过点()4,ln 2时，ln 28a ∴=，ln ln 2y x =-，1y x '=；故2e >4x =，故实数a 的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．12分．17．【答案】（1π3B =，π2C =；（2）4n =或5n =．【解析】（1）由已知2B A C =+，又πA B C ++=，所以．又由2c a =，，所以222c a b =+，（2 ，*k ∈N ，，得22264k +=，所以226k +=，所以2k =，所以4n =或5n =．18．【答案】（1）0.008m =，（2 【解析】（1）由题()0.0040.0120.0240.040.012101m +++++⨯=，解得0.008m =，1350.012101450.00810121.8⨯⨯+⨯⨯=．（2）由频率分布直方图可知，成绩在[]130,140的同学有0.01210506⨯⨯=（人），由比例可知男生4人，女生2人，记男生分别为A 、B 、C 、D ；女生分别为x 、y ， 则从6名同学中选出3人的所有可能如下：ABC 、ABD 、AB x 、AB y 、ACD 、AC x 、AC y 、AD x 、AD y 、BCD 、BC x 、BC y 、BD x 、BD y 、CD x 、CD y 、A xy 、B xy 、C xy 、D xy ——共20种，其中不含女生的有4种ABC 、ABD 、ACD 、BCD ；设：至少有一名女生参加座谈为事件A19．【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）F 为VC 的中点． 取CD 的中点为H ，连BH HF 、，ABCD 为正方形，E 为AB 的中点，BE ∴平行且等于DH ，//BH DE ∴，又//FH VD ，∴平面//BHF 平面VDE ，//BF ∴平面VDE ．）F 为 BDF F BDE V -=V ABCD -为正四棱锥，V ∴在平面ABCD 的射影为AC 的中点O ，5VA =AO =VO ∴= V ABCD V -∴20．【答案】（1，28x y =；（2【解析】（1）设椭圆1C 的焦距为2c ，依题意有，2b =，故椭圆1C 的标准方程为又抛物线2C ：22(0)x py p =>开口向上，故F 是椭圆1C 的上顶点，()0,2F ∴，4p ∴=，故抛物线2C 的标准方程为28x y =．（2）显然，直线PQ 的斜率存在．设直线PQ 的方程为y kx m =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,2FP x y =-，()22,2FQ x y =-， ()121212240FP FQ x x y y y y ∴⋅=+-++=，即()()()22121212440k x x km k x x m m ++-++-+=()*，y 整理得，()()2223163120**k x kmx m +++-=．依题意1x ，2x ，是方程()**的两根，2214412480k m ∆=-+>，将12x x +和12x x ⋅代入()*得220m m --=， 解得1m =-，（2m =不合题意，应舍去）联立218y kx x y =-⎧⎨=⎩，消去y 整理得，2880x kx -+=，令264320k '∆=-=，解得，1m =-符合要求．21．【答案】（1）见解析；（2）1a ≥．【解析】（1）原不等式等价于4310x x x --+≥，设()431g x x x x =--+，所以()()()322431141g x x x x x x '=--=-++， 当(),1x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增．又因为()()min 10g x g ==，所以()0g x ≥．所以()21f x x x -++≥． （2）当[]1,0x ∈-时，()2f x ax +≥恒成立，即 当0x =时，当[)1,0x ∈-时，而所以1a ≥．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．【答案】（1）1C 的普通方程为（2）d 的最小值为【解析】（1）将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程；①×②消k 可得：因为0k ≠，所以0y ≠，所以1C 的普通方程为（2）直线2C 的直角坐标方程为：80x y +-=． 由（1）知曲线1C 与直线2C 无公共点，由于1C 的参数方程为（a 为参数，πa k ≠，k ∈Z ），所以曲线1C 上的点到直线80x y +-=的距离为：时，d 的最小值为23．【答案】（1）{|0x x ≤或1}x ≥；（2【解析】（1）当2a =时，原不等式可化为时，原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，所以0x ≤；时，原不等式可化为3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x <≤．③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥，解得1x ≥，所以2x ≥， 综上所述，当2a =时，不等式的解集为{|0x x≤或1}x ≥． （2即11a x a -+≤≤，所以，故所求实数a 的取值范围是。
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2018届高三第一次模拟考试仿真卷理科数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·马鞍山一模]已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．[2018·承德期末]设集合，，则（）A ．B ．C ．D ．3．[2018·亳州期末]下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A ．B ．C．D ．z ()1i 2iz -=+z {}2=36M x x <{}2,4,6,8N =M N = {}24，{}46，{}26，{}246，，121341-π42-π考证号考场号座位号4．[2018·泰安期末]函数，的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5．[2018·汕头期末]如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A ．B ．C ．D ．6．[2018·遵义一模]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（） A ．B ．C ．D ．7．[2018·乌鲁木齐一模]执行如图所示的程序框图，则输出的值为（） A ．4097 B ．9217 C ．9729D ．20481()cos sin xf x x x =-33,00,22x ππ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 323π643π32ππABC △()2,0A ()0,4B AC BC =ABC △230x y +-=230x y -+=230x y --=230x y -+=S8．[2018·承德期末]已知函数的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则等于（） A ．B ．C ．D ．9．[2018·中山期末]已知实数，，，则的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．10．[2018·佛山一模]如图所示，在正方体中，分别为的中点，点是底面内一点，且平面，则的最大值是（） A ．B ．CD ．11．[2018·亳州一模]经过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若交双曲线的左支于，则双曲线离心率的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．12．[2018·乌鲁木齐一模]设函数，若不等式有正实数解，则实数的最小值为（） A ．3B ．2C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．[2018·赣州期末]已知向量，，若，则实数__________．14．[2018·福州质检]的内角的对边分别为，已知()()s i n (0,)2fx x ωϕωϕπ=+><6π23π()s i n g x xω=ϕ49π29π6π3πl n 22a =l n 33b =l n 55c =,,a b c a b c <<c a b <<c b a <<b a c <<111A B C D A B C D -,E F 111,B C C D P 111A B C D AP ∥E F D B 1t a n APA ∠212222:1(0,0)x y M a b a b -=>>60︒l l M ,A B M ()2,+∞()1,2(1)+∞()3e 3x a f x x x x ⎛⎫=+--⎪⎝⎭()0f x ≤a 2e e ()12,a k = ()1,14b k =- a b ⊥ k =ABC △,,A B C ,,a b c)cos cosa C c A b-=，60B=︒，则的大小为__________．15．[2018·黄山一模]已知直线过点，若可行域的外接圆直径为20，则_____．16．[2018·沙市中学]“求方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，不等式的解集是__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．[2018·梅河口五中]已知数列的前项和，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18．[2018·育才中学]某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的．（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；A:l(0)x my n n=+>()Ax my nxy+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥n=34155x x⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3455x xf x⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x R()21f=2x=()()63222x x x x-+>+-{}na n2nS n pn=+2a5a10a{}na151nn nba a+=+⋅{}n b n n T4（2）试估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：由表中的数据显示，与之间存在着线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并求出关于的回归直线方程．（参考公式：）19．[2018·淮南一模]如图所示，正四棱椎中，底面的边长为2，侧棱长为为的中点． （1）求证：平面；（2）若为上的一点，且，求三棱椎的体积．4x y y x 1221 ˆˆˆni i i n i i x y nxy b x nx a y bx ==⎧-=-=⎪-⎪⎨⎪⎪⎩∑∑P ABCD -ABCD E PD PB ∥AEC F PA 3PFFA =A BDF -20．[2018·乌鲁木齐一模]椭圆的右焦点是，，，点是平行四边形的一个顶点，轴．（1）求椭圆的离心率；（2）过作直线交椭圆于两点，，求直线的斜率．21．[2018·石家庄一检]已知函数．（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．()2222:10x y C a b a b +=>>(),0F c (),0A a ()0,B b P FAPB PF x ⊥C F l C ,M N PM PN ⊥l ()()()ln f x x x ax a =-∈R 1a =()f x ()()1,1f ()f x 1x 2x 12x x <()212f x >-（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分） 22．[2018·皖西质检]在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为；（1）求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线交点分别为，点，求的值．23．[2018·湖北联考]已知函数．（1）求函数的最小值；（2）若正实数满足，求证：．O xl 1 (x t y =⎪=⎧⎪⎨⎪⎪⎩为参数）C 4cos ρθ=l C l C ,A B ()1,0P 11PA PB+()2121f x x x =-++()f x m ,a b 11a b +=2212m a b +≥2018届高三第一次模拟考试仿真卷理科数学（A ）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】，，，，，的共轭复数在复平面内对应点坐标为，的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D ． 2．【答案】A 【解析】，故．3．【答案】C【解析】令圆的半径为1，则，故选C ．4．【答案】C 【解析】由可得函数为奇函数，图像关于原点对称，可排除A ，B ，∵时，，故选C ． 5．【答案】D【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，()1i 2i z -=+()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+213iz =+13i 22z =+13i 22z =-z 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭z ()6,6M =-{}2,4M N = ()22'41S P S π-π-===-ππ()()f x f x -=-()f x 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x >故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同． 由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形， 可得底面三角形外接圆的半径为， 由棱柱高为4，可得，故外接球半径为故外接球的体积为．选D ．6．【答案】D【解析】线段AB 的中点为M （1，2），k AB =﹣2，∴线段AB 的垂直平分线为：y ﹣2=（x ﹣1），即x ﹣2y +3=0．∵AC =BC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上， 因此△ABC 的欧拉线的方程为：x ﹣2y +3=0．故选：D ． 7．【答案】B【解析】阅读流程图可知，该流程图的功能是计算：，则，以上两式作差可得：，则：．本题选择B 选项．8．【答案】B2r =22OO =R ==(3433V =π⨯=120129122232102S =⨯+⨯+⨯++⨯ 123102122232102S =⨯+⨯+⨯++⨯ 1019101212222210210212S --=++++-⨯=-⨯- 109219217S =⨯+=【解析】由最小正周期公式可得：，，函数的解析式为：，将函数图像向右平移个单位后得到的函数图像为：， 据此可得：，， 令可得．本题选择B 选项．9．【答案】B 【解析】∵，∴；又，∴，∴，即．选B ． 10．【答案】D【解析】由题意可得，点位于过点且与平面平行的平面上， 如图所示，取的中点，连结，由正方形的性质可知：，由为平行四边形可知， 由面面平行的判定定理可得：平面平面， 据此可得，点位于直线上，如图所示，由平面可得，则，当有最大值时，取得最小值，即点是的中点时满足题意，结合正方体的性质可得此时的值是D 选项．26ωπ=π13ω∴=()1sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭23π()12121sin sin sin 33393g x x x xϕϕ⎡⎤ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦229k ϕπ-=π()229k k ϕπ∴=π+∈Z 0k =29ϕπ=ln3ln22ln33ln2ln9ln803266b a ---=-==>b a >ln2ln55ln22ln5ln32ln250251010a c ---=-==>a c >b a c >>c a b <<P A EFDB 1111,A D A B ,G H ,,,GH AH AG GE EF GH ∥ABEG AG BE ∥AGH ∥BEFD P GH 1AA ⊥1111A B C D 11AA A P ⊥111tan AA APA A P ∠=1tan APA ∠1A P P GH 1tan APA ∠11．【答案】B【解析】由题意，，所以，即离心率的范围是，故选B ． 12．【答案】D 【解析】原问题等价于，令，则，而，由可得：，由可得：，据此可知，函数在区间上的最小值为，综上可得：实数的最小值为e ．本题选择D 选项．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】 【解析】由题意，，则．14．【答案】 【解析】由，根据正弦定理得，b a <22223bc a a =-<2ca <()1,2()2e 33x a x x -+≥()()2e 33xg x xx =-+()mina g x ⎡⎤⎣⎦≥()()2'e x gx x x=-()'0g x >()(),01,x ∈-∞+∞ ()'0g x <()0,1x ∈()g x ()0,+∞()1eg =a 6-()121140k k -+=6k =-75︒)cos cos a C c A b-=)sin cos sin cos sin A C C A B-=即，，，又，，，故答案为．15．【答案】【解析】由题意知可行域为图中△OAB 及其内部，解得，又，则∠AOB =30°，由正弦定理得，解得．故答案为：16．【答案】【解析】不等式x 6﹣（x +2）＞（x +2）3﹣x 2变形为， x 6+x 2＞（x +2）3+（x +2）； 令u =x 2，v =x+2，则x 6+x 2＞（x +2）3+（x+2）⇔u 3+u ＞v 3+v ； 考查函数f （x ）=x 3+x ，知f （x ）在R 上为增函数， ∴f （u ）＞f （v ），∴u ＞v ；不等式x 6+x 2＞（x +2）3+（x +2）可化为x 2＞x +2，解得x ＜﹣1或x ＞2； ∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．()A C -=()1sin 2A C -=1306A C -=π=︒180120A C B ︒-=︒+= 2150A ∴=︒75A =︒75︒(),0,B n AB =tan AOB ∠=2sin 20sin3010AB R AOB =∠=⨯︒=n =()(),12,-∞-⋃+∞（一）必考题：60分，每个试题12分．17．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）当时，，当时，，也满足，故，∵成等比数列，∴，∴．∴．（2）由（1）可得，∴． 18．【答案】（1）2；（2）5；（3）答案见解析． 【解析】（1）设各小长方形的宽度为．由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为，可知，解得．故图中各小长方形的宽度为． （2）由（1）知各小组依次是，，，，，，其中点分别为，，，，，对应的频率分别为，，，，， 故可估计平均值为． （3）由（2）可知空白栏中填． 由题意可知，，，，根据公式，可求得，． 25n a n =+214541449n n n T n +=+2n ≥121n n n a S S n p -=-=-+1n =111a S p ==+21n a n p =-+21n a n p =-+2510,,a a a ()()()23199p p p ++=+6p =25n a n =+()()155511111252722527n n n b a a n n n n +⎛⎫=+=+=+- ⎪⋅++++⎝⎭2511111151454279911252714491449n n n nT n n n n n n +⎛⎫=+-+-+⋯+-=+= ⎪++++⎝⎭m 1()0.080.10.140.120.040.02m +++++⋅0.51m ==2m =2[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,1213579110.160.200.280.240.080.0410.1630.250.28⨯+⨯+⨯+70.2490.08110.045⨯+⨯+⨯=51234535x ++++==232573.85y ++++==51i ii x y=∑1223324557=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯69=522232211234555ii x==++++=∑26953 3.85553ˆb-⨯⨯=-⨯12 1.210== 3.8 1.230ˆ.2a=-⨯=所以所求的回归直线方程为．19．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）设交于，连接，则在中，分别为的中点，∴，又平面，平面， ∴平面．（2）易知平面， ∴． 20．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）∵四边形是平行四边形，∴且， 又∵轴，∴，∴，则．（2）由（1）得，∴，∴椭圆方程为，设直线，代入椭圆方程，得：，设，，则，， 1.20.2y x =+BD AC O OE BDP △,O E ,BD PD OE PB ∥OE ⊂AEC PB ⊄AEC PB ∥AEC PO ==PO ⊥ABCD 111112234324A BDF F ABD ABD V V S PO --⎛⎫==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭△120k =k =-FAPB BP FA =BP FA ∥PF ⊥x BP OF =2a c =12e =2a c =b =2222143x y c c +=():l y k x c =-()2222223484120k xk cx k c c +-+-=()11,M x y ()22,N x y 2122834k c x x k +=+22212241234k c c x x k -⋅=+由于，，∴，， 根据题意得，且，代入点坐标得：，即，化简得，解得或21．【答案】（1）（2）见解析 【解析】（1）由已知条件，，当时，，，当时，，所以所求切线方程为（2）由已知条件可得有两个相异实根，，令，则，1）若，则，单调递增，不可能有两根；2）若，令得，可知在上单调递增，在上单调递减， 令解得， 由有，由有， 从而时函数有两个极值点，()11y k x c =-()22y k x c =-122634kcy y k -+=+22122934k c y y k -⋅=+()P c 0PM PN ⋅=()()221212121230x x c x x c y y y y c -+++++=2222222222224128930343434k c c k c k c c c k k k --+-+=+++20k +=0k =k =-0x y +=()()ln f x x x x =-1x =()1f x =-()ln 12f x x x+'=-1x =()1f x '=-0x y +=()ln 12f x x ax+'=-1x 2x ()()'f x h x =()1'2h x a x =-0a ≤()'0h x >()h x ()'f x 0a >()'0h x =12x a =()h x 10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1'02f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭102a <<11e 2a <120e e a f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭'2112a a >2122ln 10f a a a ⎛⎫=-'+-< ⎪⎝⎭102a <<()f x当变化时，，的变化情况如下表因为，所以，在区间上单调递增，．另解：由已知可得，则，令，则，可知函数在单调递增，在单调递减，若有两个根，则可得，当时，，所以在区间上单调递增，所以．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．【答案】（1），曲线；（2）．【解析】（1），曲线； （2）将（为参数）代入曲线C 的方程，得，x ()f x '()f x 1120f a =->121x x <<f x 21,x ()()2112f x f a ∴>=->-()ln 12f x x ax+'=-1ln 2x a x +=()1ln xg x x +=()2ln 'xg x x -=()g x ()0,1()1,+∞()'f x 121x x <<()21,x x ∈1ln 2,xa x +>()ln 120f x x ax =+->'()f x []21,x ()()2112f x f a >=->-:10l x y +-=22:40C x y x +-=:10l x y +-=22:40C x y x +-=12 x y ⎧⎪==⎨-⎪⎪⎪⎩t 23=0t -，．23．【答案】（1）2；（2）见解析．【解析】（1）当且仅当时，等式成立． （2）则，当且仅当时取，等号成立．12t t ∴-=1212113t t PA PB t t -∴+==()()212121212x x x x -++--+=≥1122x -≤≤2221211112a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥22122a b +≥2b a =。