湖南省郴州市2015届高三第二次教学质量监测数学(理)试题

湖南省郴州市2015届高三第二次教学质量监测
数学（理）试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓
名、准考证号和科日．
2．学生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡
中注意事项的要求答题．
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
4．本试题卷共5页．如缺页，考生须声明，否则后果自负．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日
要求的．
1．已知集合A={x|（12
）x
<1），B={x|x<l ），则A B=
A ．∅
B ．R
C ．（－∞，1）
D ．（0，1）
2．复数z=
2015
1i
i +在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知命题p ：∃x 0∈（－∞，0），30
x <4
x ；命题q:∀x ∈（0，
2
π
），tanx>x ，则下列命题中真命题是 A ．p ∧q
B ．p ∨（⌝
q ）
C ．p ∧（⌝
q ） D ．(⌝
P) ∧q
4．已知函数y=f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=3，则f （-2）= A ．-7 B ．7 C ．-5 D ．5
5．一个几何体的三视图（单位：Cm ）如图所示，则该几何体的体积是 80cm 3．则图中的x 等于
A ．
3
2
B ．
23
C ．3
D ．6
6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是
A ．-1007
B ．1007
C ．-2014
D ．2014
7．二项式（1
x
-）n 展开式中含有常数项，则n 可能的取值是
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
8．由不等式组011x y x y ≥⎧⎪
≥-⎨⎪+≤⎩确定的平面区域记为1Ω，曲线y=x 2－l （x≥0）与坐标轴所围成的平面区域记为2Ω．在
1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为
A ．
13
B ．
2
3
C ．
14
D ．
16
9．已知椭网C ：22
22x y a b
+=l （a>b>0）的左右焦点分别为F 1、F 2过F 2
的直线与圆x 2 +y 2=b 2相切于A ，并与椭网C 交于不同的两点P 、Q ，如图，若A
为线段PF 2的
中点，则椭圆的离心率为
A
B
C
D
10．已知直线y=k （x+l ）（k>0）与函数y=|sinx|的图象恰有四个公共点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）．其中x l <x 2<x 3<x 4，则有 A ．sinx 4=1 B ．sin x 4=（x 4+1）cos x 4 C ．sin x 4=kcosx 4 D ．sin x 4=（x 4+1）tan x 4
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横
线上．
（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
11．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：2
x t
y t =⎧⎨=⎩
（t 为参数）与以O 为原点，X 轴
正半轴为极轴建立的极坐标系下的直线l ：ρ（2cos θ-sin θ）+1=0
交于A 、B
两点,则线段AB 的中点的直角坐标是 ．
12．如图，过⊙O 外一点P 分别作网的切线和割线分别交圆于A ，B 两点．且PB=9，C 是圆上一点使得BC=4，∠
BA C=∠A PB ，则A B= ．
13．若实数x ，y ，z 满足x 2+y 2+z 2=4，则x+2y -2z 的取值范围为 ． （二）必做题（14-16题）
14．如右图，等边△ABC 中，AB=2A D=4A E=4，则BE ·CD = ． 15．函数y=f （x ）（x ∈R ）满足f （1）=l ，f （x ）<
1
2
，则不等式f （x ） <
1
22
x +的解集为 ．
16．函数f （x ）=2
14
12,[0,]2,11,,12x x og x x ⎧∈⎪⎪
⎨⎛⎤⎪∈ ⎥
⎪⎝⎦⎩在等差数列｛a n ｝中a 1=0,a 2015=1,数列｛b n ｝满足b n =1()()n n f a f a +-，则
数列｛b n ｝的前2014项的和为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出义宁说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
甲、乙两人同时参加环保知识晋级赛，竞赛规则是：如果第一轮比赛中有人晋级，则比赛结束，否则进行
同等条件下的第二轮比赛，最多比赛两轮。

每轮比赛甲晋级的概率为0．6，乙晋级的概率为0．5，甲、乙两人是否晋级互不影响。

求： （I ）比赛只进行一轮的概率P （A ）； （Ⅱ）设晋级的人数为X ，试求X 的分布列和数学期望． 18．（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=（sinx+cos x ）2
2cos 2x-1），x ∈R
（I ）若对任意x 恒有f （()(),(0,|)632
f x f πππ
ωϕω-
≤+≤><，求ω的最小值和对应的ϕ的值；
（Ⅱ）若△ABC 的角 A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，．且f （2A ）=1，又b ，a ，4c 成等比数列，求
sin sin B
C
的值．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥E-A BCD 中，矩形ABCD 所在的平面与平面AEB 垂直，且∠BA E=120o ，A E=A B=4，A D=2，F ，
G ，H 分别为BE ，AE ，BC 的中点． （I ）求证：DE ∥平面FGH ； （Ⅱ）若点P 在直线GF 上，GP GF λ=，且二面角D-BP-A 的大小为
4
π
，求
λ的值．
20．(本小题满分13分）
已知数列{a n}满足a1=1
3
，且当n≥2时，a n=1
1
2
n
n
a
a
-
-
-
.
（1）求证：数列{1
1
n
a
-}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列{a n}的前n项和为S n,求证：对任意的正整数n都有215 (1)
326
n
n
S
-≤<.
21．（本小题满分13分）
如图所示，已知过抛物线x2= 4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．
（I）求证：以AF为直径的网与x轴相切；
（Ⅱ）设抛物线x2=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接宫内圆方程：
（Ⅲ）设过抛物线x2= 4y焦点F的直线l与椭圆
22
33
42
y x
+=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF
|·|CF|=|BF|·|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
22．(本小题满分13分）
已知函数f（x）=e x- ax -1（a∈R）．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）函数F（x）=f（x）-x1nx在定义域内是否存在零点？若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由：
（Ⅲ）若g（x）=ln（e x-1）-lnx，当x∈（0，+∞）时，不等式f（g（x））<f（x）恒成立，求a的取值范围．。