高考数学一轮复习 专题39 空间点、直线、平面之间的位置关系押题专练 文
高考数学(理)一轮规范练【40】空间点、直线、平面之间的位置关系(含答案)
课时规范练40 空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练第63页一、选择题1.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M答案:D解析:∵AB⊂γ,M∈AB,∴M∈γ.又α∩β=l,M∈l,∴M∈β.根据公理3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.2.已知a,b,c,d是空间四条直线,如果a⊥c,b⊥c,a⊥d,b⊥d,那么( )A.a∥b且c∥dB.a,b,c,d中任意两条可能都不平行C.a∥b或c∥dD.a,b,c,d中至多有一对直线互相平行答案:C解析:若a与b不平行,则存在平面β,使得a⊂β且b⊂β,由a⊥c,b⊥c,知c⊥β,同理d⊥β,所以c∥d.若a∥b,则c与d可能平行,也可能不平行.结合各选项知选C.3.若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:如果四个点中有三点在同一直线上,则一定有这四个点在同一个平面上;反之则不成立.例如平行四边形的四个顶点.4.给出(1)在空间内,垂直于同一平面的两个平面平行;(2)设l,m是不同的直线,α是一个平面,若l⊥α,l∥m,则m⊥α;(3)已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件;(4)a,b是两条异面直线,P为空间内一点,过P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一个平行.[:其中正确A.0B.1C.2D.3答案:B解析:(1)中有可能互相垂直;(2)正确;(3)α⊥β,m⊂α不一定有m⊥β.而m⊥β则α⊥β一定成立,故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件;(4)只有两异面直线互相垂直时,才能有这样的平面.5.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列A.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥α或n⊥βB.若m不垂直于α,则m不可能垂直于α内的无数条直线[:C.若α∩β=m,n∥m,且n⊄α,n⊄β,则n∥α且n∥βD.若α⊥β,m∥n,n⊥β,则m∥α答案:C解析:∵n∥m,m⊂α,n⊄α,∴n∥α,同理有n∥β,故C正确.6.已知直线l∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于直线l的直线( )A.只有一条,不在平面α内B.只有一条,且在平面α内C.有无数条,不一定在平面α内D.有无数条,一定在平面α内答案:B解析:由直线l与点P可确定一个平面β,则平面α,β有公共点,因此它们有一条公共直线,设该公共直线为m,因为l∥α,所以l∥m,故过点P且平行于直线l的直线只有一条,且在平面α内,选B.7.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是( )A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等答案:D解析:由AC⊥平面DBB1D1,可知AC⊥BE,故A正确.由EF∥BD,EF⊄平面ABCD,知EF∥平面ABCD,故B正确.A到平面BEF的距离即A到平面DBB1D1的距离为,且S△BEF=BB1×EF=定值,[:故V A-BEF为定值,即C正确.二、填空题8.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,将△ABD沿对角线BD折起到△A'BD的位置,使点A'在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上,则异面直线A'B与CD所成角的大小为.答案:90°解析:如题图所示,由A'O⊥平面ABCD,可得平面A'BC⊥平面ABCD,又由DC⊥BC可得DC⊥平面A'BC,故DC⊥A'B,即得异面直线A'B与CD所成的角的大小为90°.9.如图,在正方体ABC D-A1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,C1C的中点.给出以下四个结论:①直线AM与直线C1C相交;②直线AM与直线BN平行;③直线AM与直线DD1异面;④直线BN与直线MB1异面.其中正确结论的序号为.(注:把你认为正确的结论序号都填上)答案:③④解析:AM与C1C异面,故①错;AM与BN异面,故②错;③,④正确.10.设α,β为两个不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,给出下列四个①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;②若n⊂α,m⊂β,α与β相交但不垂直,则n与m不垂直;③若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥β;④若m∥n,n⊥α,α∥β,则m⊥β.其中真答案:④解析:若m⊥n,m⊥α,则n∥α或n⊂α,①是假三、解答题11.如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD且BC=AD,BE∥AF且BE=AF,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?[:解：(1)证明:∵G,H分别为FA,FD的中点,∴GH AD.又∵BC AD,∴GH BC.∴四边形BC HG为平行四边形.[:(2)解∵BE∥AF,BC∥AD,BC∩BE=B,平面BCE∥平面AFD,∴EC∥平面AFD.∵DF⊂平面AFD,∴EC∥DF.∴C,D,E,F四点共面.12.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,DB的中点.(1)求证:EF∥平面ABC1D1;(2)求证:CF⊥B1E;(3)求三棱锥B1-EFC的体积.解： (1)证明:如图,连接BD1,在△DD1B中,E,F分别为D1D,DB的中点,∴EF为△DD1B的中位线,∴EF∥D1B.而D1B⊂平面ABC1D1,EF⊄平面ABC1D1,∴EF∥平面ABC1D1.(2)证明:在等腰直角三角形BCD中,∵F为BD的中点,∴CF⊥BD.①在正方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面ABCD,∵CF⊂平面ABCD,∴DD1⊥CF.②综合①②,且DD1∩BD=D,DD1,BD⊂平面BDD1B1,∴CF⊥平面BDD1B1.而B1E⊂平面BDD1B1,∴CF⊥B1E.(3)解连接B1D1,由(2)可知CF⊥平面BDD1B1,∴CF⊥平面EFB1,即CF为高,CF=BF=.∵EF=BD1=,B1F=,B1E==3,∴EF2+B1F2=B1E2,即∠EFB1=90°,∴EF·B1F=,∴··CF==1.。
高考数学一轮复习7.3空间点、直线、平面之间的位置关系随堂训练文
【与名师对话】2016版高考数学一轮复习 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系随堂训练文1．和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )A．异面 B．相交 C．平行 D．异面或相交解析：当两条直线无公共点时，可知两直线异面；当两异面直线中的一条直线与两条直线交于一点时，可知两直线相交，选D.答案：D2.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又C∈γ，M，C∈β，∴γ与β的交线必通过点C和点M.选D.答案：D3．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( )A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面解析：对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾；对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条；对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条.答案：B4．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是________．解析：分别取PA，AC，CB的中点F，D，E，连接FD，DE，EF，AE，则∠FDE是直线PC 与AB所成角或其补角．设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE中，易求得FD＝2a，DE＝2a，FE＝6a，根据余弦定理，得cos∠FDE＝2a2＋2a2－6a2 2×2a×2a ＝－12，所以∠FDE＝120°.所以PC与AB所成角的大小是60°.答案：60°。
高考数学一轮复习课时作业(三十九) 空间点、直线、平面之间的位置关系
课时作业(三十九)空间点、直线、平面之间的位置关系1．直线a与b垂直，且直线b垂直于平面α，则直线a与平面α的位置关系是()A．a⊥αB．a∥αC．a⊂αD．a⊂α或a∥αD[直线a与b垂直，且直线b垂直于平面α，则a⊂α或a∥α，故选D.]2．(多选)三个平面α，β，γ两两相交，则这三个平面的交线总共可能有()条．A．1 B．2 C．3 D．4AC[当三个平面交于一条直线，交线的条数是1，当三个平面两两相交，交线不重合时，有3条交线，综上可知空间中三个平面两两相交，交线的条数是1或3.故选AC.]3．(多选)正方体截面的形状有可能为()A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形ABD[画出截面图形如图：可以画出正三角形但不是直角三角形(如图1)；可以画出正方形(如图2).经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形(如图3)；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形(如图4)；故选ABD.]4.如图，在四面体ABCD中，一个平面与AB，BC，CD，DA分别交于点E，F，G，H(不含端点)，则下列结论错误的是()A．若AE∶BE＝CF∶BF，则AC∥平面EFGHB．若E，F，G，H分别为各棱的中点，则四边形EFGH为平行四边形C．若E，F，G，H分别为各棱的中点且AC＝BD，则四边形EFGH为矩形D．若E，F，G，H分别为各棱的中点且AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形C[若AE∶BE＝CF∶BF，则EF∥AC，EF⊂平面EFGH，AC⊄平面EFGH，所以AC∥平面EFGH，故A正确；若E，F，G，H分别为各棱的中点，则EH∥FG，EF∥GH，四边形EFGH为平行四边形，故B正确；由于四边形EFGH为平行四边形，且AC⊥BD，所以EF⊥EH，所以平行四边形EFGH是矩形，故D正确，而当AC＝BD时，EH＝EF，平行四边形EFGH是菱形，C错误．故选C.]5．(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是()A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，A1，M四点共面D．D1，D，O，M四点共面ABC[连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M，所以三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，所以C1，M，O三点共线，所以A，B，C项均正确，D项错误．故选ABC项．]6．正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有________条．解析：如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条．答案： 67．(开放型)如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC ，CD ，DA 的中点，则(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形；(2)当AC ，BD 满足条件____________时，四边形EFGH 为正方形．解析： (1)∵四边形EFGH 为菱形，∴EF ＝EH ，∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形，∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ，∵EF ∥AC ，EH ∥BD ，且EF ＝12 AC ，EH ＝12BD ， ∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .答案： (1)AC ＝BD (2)AC ＝BD 且AC ⊥BD8．如图，已知圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，那么异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为________．解析： 取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ，因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，所以直线AC 1与AD 所成的角即为异面直线AC 1与BC 所成的角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D 垂直于圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD .因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，所以C 1D ＝ 2 AD ，AD ∥BC ，所以∠C 1AD 即直线AC 1与AD 所成的角．所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为 2 ，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2 .答案： 2 9．如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l .(1)画出l 的位置；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求PB 1的长．解析： (1)如图，延长DM 与D 1A 1交于点O ，连接NO ，则直线NO 即为直线l .(2)因为l ∩A 1B 1＝P ，则易知直线NO 与A 1B 1的交点即为P .所以A 1M ∥DD 1，且M ，N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，所以A 1也为D 1O 的中点．由图可知A1P D1N ＝OA1OD1 ＝12， 所以A 1P ＝a 4 ，PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝3a 4. 10.如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝2 3 ，P A ＝2.求： (1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解析： (1)S △ABC ＝12×2×2 3 ＝2 3 . 三棱锥P -ABC 的体积V ＝13 S △ABC ·P A ＝13 ×2 3 ×2＝433. (2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝ 2 ，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34. 故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34 .11．已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈α，点B，D∈β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是直线AB，CD的中点，则下列说法正确的是()A．当|CD|＝2|AB|时，M，N不可能重合B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当直线AB，CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交D．当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行B[A选项：当|CD|＝2|AB|时，若A，B，C，D四点共面且AC∥BD时，则M，N两点能重合，可知A错误；B选项：若M，N可能重合，则AC∥BD，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交，可知B正确；C选项：当AB与CD相交，直线AC∥l时，直线BD与l平行，可知C 错误；D选项：当AB与CD是异面直线时，MN不可能与l平行，可知D错误．故选B.] 12．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，E，F分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为________．解析：由题意，取CD的中点Q，BC的中点P，连接ME，NQ，FQ，QP，EP，EQ，在正方体中易知，ME綊NQ，所以MN∥EQ，因为MN⊄平面EFQP，EQ⊂平面EFQP，所以MN∥平面EFQP，故平面EFQP就是过EF且与MN平行的平面截正方体所得的截面，PQ＝ 2 ，所以面积S＝ 2 ×2＝2 2 .答案：2 213．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.解析：(1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.所以E，F，G，H四点共面．(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．因为EHBD＝AEAE＋EB＝mm＋1，所以EH＝mm＋1BD.同理可得FG＝nn＋1BD，由EH＝FG，得m＝n.故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．(3)证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB.所以EF∥AC.又EH∥BD，所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°.从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.14．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为AD1，B1C上的动点，且满足AP＝B1Q，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是()①存在P，Q的某一位置，使AB∥PQ②△BPQ的面积为定值③当P A>0时，直线PB1与直线AQ一定异面④无论P，Q运动到何位置，均有BC⊥PQA．①②④B．①③C．②④D．①③④D[如图，①当P，Q分别是AD1与B1C的中点时，AB∥PQ，①正确；②设正方体棱长为2，当P在A处时，Q在B1处，△BPQ的面积为2，当P在AD1的中点，Q在B1C的中点时，△BPQ的面积为 2 ，故②错误；③当P A>0时，设直线PB1与AQ是共面直线，则AP与B1Q共面，矛盾，故假设不成立，所以直线PB1与AQ是异面直线，③正确；④当P与A重合或P与D1重合时，易证BC⊥PQ.当P不与A，D1重合时，设点P在平面ABCD内的射影为M，点Q在平面ABCD内的射影为N，连接PM，QN，MN，PQ，由AP＝B1Q知，AM＝BN，故BC⊥MN，又QN⊥BC，MN∩QN＝N，所以BC⊥平面PMNQ，所以BC⊥PQ，故④正确．综上所述，正确命题的序号是①③④.]15．如图，已知多面体P ABCDE的底面ABCD是边长为1的正方形，P A⊥平面ABCD，ED∥P A，且P A＝ 3 ED＝ 3 AB，现将△CDE以直线DE为轴旋转一周后，则直线BP与动直线CE所成角的范围是________．解析：如图所示，将PB平移到EB1的位置，C1点在以D为圆心，半径为1的圆上运动．则∠B1EC1就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，EB1，EC1为定值，故最值由B1C1来确定，故当C1在C处线线角最小，在C2处线线角最大．由于P A＝ 3 ED＝ 3 AB，故∠PBA＝∠EB1D＝π3.而DE＝DC＝1，故∠ECD＝π4，所以∠CEB 1＝π3 －π4 ＝π12. 而∠EC 2D ＝∠ECD ＝π4 ，故∠B 1EC 2＝π－π4 －π3 ＝5π12 .所以所求线线角的取值范围是[π12 ，5π12 ]. 答案： [π12 ，5π12]。
空间点、直线、平面之间的位置关系5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测
专题32空间点、直线、平面之间的位置关系5题型分类1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．空间中直线与直线的位置关系异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a ∩α＝A 1个平行a ∥α0个在平面内a ⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l 无数个5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．6．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)，π2.常用结论1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．（一）共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(1)证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)证明GE ，FH ，1BB 相交于一点．1-3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体(1)求证：1CE D F DA ，，三线交于点(2)在（1）的结论中，G 是D （二）(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．(2)求异面直线所成角的方法方法解读平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解题型2：空间位置关系的判断都相交，则直线A ．2GH EF=C ．直线EF ，GH 是异面直线2-3．【多选】（2024·湖北荆门A ．若l αβ= ，A α∈B ．若A ，B ，C 是平面C ．若A α∈且B α∈，则直线D ．若直线a α⊂，直线2-4．（2024·上海长宁·二模）如图，已知正方体则下列命题中假命题为（A ．存在点P ，使得PQ ⊥B ．存在点P ，使得//PQ AC ．直线PQ 始终与直线CC（1）直线AF 与直线DE 相交；（2）直线CH 与直线DE 平行；（3）直线BG 与直线DE 是异面直线；（4）直线CH 与直线BG 成3-2．（2024高三·全国·课后作业）已知正四面体小为．3-3．（2024高三·河北·学业考试）如图直线1A E 与BF 所成角的大小为3-4．（2024高一下·北京·期末）如图，等腰梯形112BC CD DA AB ====，则直线3-5．（2024高三·全国·对口高考）线段AB 的两端分别在直二面角CD αβ--的两个面αβ、内，且与这两个面都成30︒角，则直线AB 与CD 所成的角等于．（三）空间几何体的切割(截面)问题(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．A ．177B ．134-2．（2024·河南·模拟预测）在正方体确的个数为（）①//MN 平面11AAC C ；②MN①异面直线1D D与AF所成角可以为②当G为中点时，存在点③当E，F为中点时，平面④存在点G，使点C与点则上述结论正确的是（A．①③B．②④4-5．（2024·新疆·二模）已知在直三棱柱BC=，432AC=，如图所示，若过的面积为（）（四）等角定理的应用空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．一、单选题-如图所示，则直线PC（）1．（2024高三·北京·学业考试）四棱锥P ABCDA．与直线AD平行B．与直线AD相交C ．与直线BD 平行D ．与直线BD 是异面直线2．（2024·广东）若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A ．l 与1l ，2l 都相交B ．l 与1l ，2l 都不相交C ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交D ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交3．（2024高一·全国·课后作业）若直线l 在平面α外，则l 与平面α的公共点个数为（）A ．0B ．0或1C ．1D ．24．（2024·上海·模拟预测）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P Q R S ､､､分别为棱1AB BC BB CD ､､､的中点，连接11A S B D ､，对空间任意两点M N ､，若线段MN 与线段11A S B D ､都不相交，则称M N ､两点可视，下列选项中与点1D 可视的为（）A ．点PB ．点QC ．点RD ．点B5．（2024高二上·四川乐山·期末）若直线l 与平面α有两个公共点，则l 与α的位置关系是（）A ．l ⊂αB ．//l αC ．l 与α相交D ．l α∈6．（2024高二上·上海静安·阶段练习）设A B C D 、、、是某长方体四条棱的中点，则直线AB 和直线CD 的位置关系是（）.A ．相交B ．平行C ．异面D ．无法确定7．（2024高三·全国·专题练习）如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（）A．12对B．24对C．36对D．48对8．（2024高三·全国·专题练习）三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为（）A．18B．21C．24D．279．（2024高一·全国·课后作业）平面α上有三个不共线点到平面β距离相等，则平面α与平面β的位置关系是（）A．相交B．平行C．垂直D．相交或平行10．（2024高一·全国·课前预习）下列命题中正确的是（）A．一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行D．如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行G N M H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或11．（2024高三·全国·专题练习）如图中,,,,GH MN是异面直线的图形有（）所在棱的中点，则表示直线,A．①③B．②③C．②④D．②③④12．（2024高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线l和平面α，若lα∥，Pα∈，则过点P且平行于l的直线（）．A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，一定在平面α内D．有无数条，不一定在平面α内13．（2024高三·全国·专题练习）将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图(2)，则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是（）A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直14．（2024高三上·吉林长春·期末）如图，在底面为正方形的棱台1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为棱1CC ，1BB ，CF ，AF 的中点，对空间任意两点M 、N ，若线段MN 与线段AE 、1BD 都不相交，则称点M 与点N 可视，下列选项中与点D 可视的为（）A ．1B B ．FC ．HD ．G15．（2024·全国）在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π616．（上海市曹杨中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段11A C 上的动点，下列与BP 始终异面的是（）A ．1DDB ．AC C ．1AD D ．1B C17．（2024·福建福州·三模）在底面半径为1的圆柱1OO 中，过旋转轴1OO 作圆柱的轴截面ABCD ，其中母线AB =2，E 是弧BC 的中点，F 是AB 的中点，则（）A ．AE =CF ，AC 与EF 是共面直线B ．AE CF ≠，AC 与EF 是共面直线C ．AE =CF ，AC 与EF 是异面直线D ．AE CF ≠，AC 与EF 是异面直线18．（2024高二下·广西桂林·期中）已知直线m ⊂平面α，则“平面α∥平面β”是“m ∥β”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件19．（2024·新疆阿克苏·一模）已知M ，N ，P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，1AA ，1CC 的中点，则平面MNP 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面是（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形20．（2023届上海春季高考练习）如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -边11AC 上的动点，下列哪条边与边BP 始终异面（）A ．1DDB ．AC C ．1AD D ．1B C21．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知空间三条直线,,l m n ，若l 与m 异面,且l 与n 异面,则（）A ．m 与n 异面B ．m 与n 相交C ．m 与n 平行D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能22．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中正确的个数为（）①若ABC ∆在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P Q R 、、，则P Q R 、、三点共线.②若三条直线a b c 、、互相平行且分别交直线l 于、、A B C 三点，则这四条直线共面；③空间中不共面五个点一定能确定10个平面.A ．0B ．1C ．2D ．323．（2024高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（）A ．两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线.B ．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.C ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.D ．若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面.24．（2024高三·全国·专题练习）给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是（）A ．①B ．①④C ．②③D ．③④25．（2024·上海浦东新·一模）已知直线l 与平面α相交，则下列命题中，正确的个数为（）①平面α内的所有直线均与直线l 异面；②平面α内存在与直线l 垂直的直线；③平面α内不存在直线与直线l 平行；④平面α内所有直线均与直线l 相交.A ．1B ．2C ．3D ．426．（2024高一·全国·课后作业）直线l 是平面α外的一条直线，下列条件中可推出//l α的是A ．l 与α内的一条直线不相交B ．l 与α内的两条直线不相交C ．l 与αD ．l 与α内的任意一条直线不相交27．（2024高三下·上海·阶段练习）如图所示，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为1，点P 、M 、N 分别为棱1AA 、AB 、11A B 的中点，点Q 为线段MN 上的动点．当点Q 由点N 出发向点M 运动的过程中，以下结论中正确的是（）A ．直线1C Q 与直线CP 可能相交B ．直线1C Q 与直线CP 始终异面C ．直线1C Q 与直线CP 可能垂直D ．直线1C Q 与直线BP 不可能垂直28．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是棱11A D ，11D C ，AB 的中点，Q 是线段MN 上的动点，则下列直线中，始终与直线PQ 异面的是（）A ．1AB B ．1BC C ．1CAD ．1DD 29．（2024高一上·全国·专题练习）M ∈l ，N ∈l ，N ∉α，M ∈α，则有A ．l ∥αB ．l ⊂αC ．l 与α相交D ．以上都有可能30．（2024高三上·重庆沙坪坝·期中）在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点Р是侧面11ADD A 上的点，且点Р到棱1AA 与到棱AD 的距离均为1，用过点Р且与1BD 垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD 的投影多边形的面积是（）A ．92B ．5C ．132D ．831．（2024高三下·上海闵行·阶段练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，对于如下命题：①异面直线1DD 与1B F ②点P 为正方形1111D C B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP 的最小值为322；③过点1D ，E ，F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O ．则正确的命题个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．432．（2024高三·全国·对口高考）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP x =，则当[]1,5x ∈时，函数()y f x =的值域为（）A ．36,66⎡⎤⎣⎦B ．6,26⎡⎣C ．(6D ．(0,36二、多选题33．（2024高一下·辽宁营口·阶段练习）有下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题是（）A ．①B ．②C ．③D ．④34．（2024高一下·江苏苏州·阶段练习）下列命题中错误的是（）A ．空间三点可以确定一个平面B ．三角形一定是平面图形C ．若A ，B ，C ，D 既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D ．四条边都相等的四边形是平面图形35．（2024·河北廊坊·模拟预测）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题，在空间中仍然成立的有（）A ．平行于同一条直线的两条直线必平行B ．垂直于同一条直线的两条直线必平行C ．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补D ．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补36．（2024高一下·陕西西安·期中）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，则下列四个结论正确的是（）A ．直线AM 与1CC 是相交直线B ．直线AM 与BN 是平行直线C ．直线BN 与1MB 是异面直线D ．直线AM 与1DD 是异面直线37．（2024高一·全国·课后作业）下列结论中正确的是（）A ．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B ．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C ．若点A 既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b ，且点A 在b 上D ．任意两条直线不能确定一个平面38．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，设P ，Q 分别为11A B ，1DD 的中点，则过点P ，Q 的平面α截正方体所得截面的形状可能为（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形39．（2024高一下·湖北武汉·期末）当三个平面都平行时，三个平面可将空间分成4个部分，那么三个平面还可将空间分成（）部分．A ．5B ．6C ．7D ．840．（2024高三下·山东日照·阶段练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（）A ．线段11B D 上存在点E 、F 使得//AE BF B ．//EF 平面ABCDC ．AEF △的面积与BEF △的面积相等D ．三棱锥A -BEF 的体积为定值三、填空题41．（2024高三·全国·专题练习）给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α内的一条直线a 与平面β内的一条直线b 相交，则α与β相交；③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；④若三条直线两两相交，则这三条直线共面.其中真命题的序号是.42．（2024高一下·全国·课后作业）已知直线MN ⊥平面α于N ，直线NP MN ⊥，则NP 与平面α的关系是．43．（2024高一·全国·课后作业）如图，把下列图形的点、线、面的关系，用集合的语言表述：（1）；（2）；（3）．44．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若70α=︒，则β=．45．（2024高二下·上海虹口·期末）在空间，如果两个不同平面有一个公共点，那么它们的位置关系为．46．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是.47．（2024高二上·上海徐汇·阶段练习）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，（1）直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是；（2）直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是；（3）直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是；（4）直线AB 与直线B 1C 的位置关系是．48．（2024高二上·上海徐汇·阶段练习）设A ∠和B ∠的两边分别平行，若45A ∠=︒，则B ∠的大小为.49．（2024高一·全国·课后作业）“直线l 与平面α没有公共点”是“l α∥”的条件．50．（2024高一下·全国·课后作业）在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有个.52．（2024高一·全国·单元测试）若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a 与α的位置关系是．53．（2024高二上·上海奉贤·阶段练习）如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，八个顶“阿基米德多面体”，则异面直线AB 与CD 所成角的大小是四、解答题54．（2024高一·全国·课后作业）已知：l ⊂α，D α∈，∈A l ，B l ∈，C l ∈，D l ∉．求证：直线,,AD BD CD 共面于α．55．（2024高一·全国·课后作业）如图，ABCD 为空间四边形，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，点G ，H 分别在CD ，AD 上，且13DH AD =，13DG CD =．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：EH ，FG 必相交且交点在直线BD 上．56．（2024高一下·北京·期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且1:1:2CE EC =．(1)试画出过1,,D A E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面α；(2)证明：平面1D AE 与平面ABCD 相交，并指出它们的交线．57．（2024高一·全国·课后作业）如图所示是一个三棱锥，欲过点P 作一个截面，使得截面与底面平行，该怎样在侧面上画出截线？58．（2024高一·全国·课后作业）59．（2024高一下·全国·课后作业）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点.求证:平面ACC 1A 1与平面BEF 相交.60．（2024高一上·安徽亳州·期末）如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：（1）E ，C ，D 1，F 四点共面；（2）CE ，D 1F ，DA 三线共点．61．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别在,,,AB AD BC CD 上，EG 与FH 交于点P ，求证：,,P A C 三点共线.62．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是AB 和1AA 的中点，求证：四边形1FECD 为平面图形．63．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且::1:2BG GC DH HC ==.求证：(1)E ､F ､G ､H 四点共面；(2)EG 与HF 的交点在直线AC 上.64．（2024高二·上海·专题练习）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．画出平面11ACC A 与平面1BC D 及平面1ACD 与平面1BDC 的交线．65．（2024高一·全国·专题练习）如图，直升机上一点P 在地面α上的正射影是点A (即PA ⊥α)，从点P 看地平面上一物体B (不同于A )，直线PB 垂直于飞机玻璃窗所在的平面β．求证：平面β必与平面α相交．66．（2024高一·全国·专题练习）如图，已知平面,αβ，且l αβ= ，设在梯形ABCD 中，AD BC ∕∕，且,AB CD αβ⊂⊂.求证：,,AB CD l 共点．67．（2024高一下·河南信阳·期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1,AB AA 上的点，且12,2A F FA BE AE ==.(1)证明：1,,,E C D F 四点共面；(2)设1D F CE O ⋂=，证明：A ，O ，D 三点共线.68．（2024高一下·陕西西安·期中）（1）已知直线a b ∥，直线l 与a ，b 都相交，求证：过a ，b ，l 有且只有一个平面；（2）如图，在空间四边形ABCD 中，H ，G 分别是AD ，CD 的中点，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，且13CF AE FB EB ==.求证：直线EH ，BD ，FG 相交于一点.。
2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题39空间向量及其运算(押题专练)含解析
2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1．在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直答案：B2．空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么( ) A.AE →·BC →<AE →·CD → B.AE →·BC →＝AE →·CD → C.AE →·BC →>AE →·CD →D.AE →·BC →与AE →·CD →的大小不能比较解析：取BD 的中点F ，连接EF ，则EF12CD.因为AE ⊥BC ，〈AE →，EF →〉＝〈AE →，CD →〉>90°. 所以AE →·BC →＝0，AE →·CD →<0， 因此AE →·BC →>AE →·CD →. 答案：C3． O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断 解析：∵OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，且34＋18＋18＝1.所以P ，A ，B ，C 四点共面． 答案：B4．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．－1 B.43 C.53 D.75答案：D5． 在空间四边形ABCD 中，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c.则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0. 答案：B6．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216 aB.66aC.156 a D.153a 解析：以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，答案：A7．向量a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是( ) A ．a ∥b ，a ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥b D ．以上都不对 答案 C解析 因为c ＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)，所以a ∥c .又a ·b ＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a ⊥b .故选C.8．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1) D ．(－1,0,1) 答案 B解析 经检验，选项B 中向量(1，－1,0)与向量a ＝(1,0，－1)的夹角的余弦值为12，即它们的夹角为60°.故选B.9．已知平面α内有一个点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量是n ＝(6，－3,6)，则下列点P 在平面α内的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)答案A10．已知A (1，－1,3)，B (0,2,0)，C (－1,0,1)，若点D 在z 轴上，且AD →⊥BC →，则|AD →|等于( )A. 2B. 3C. 5D. 6 答案 B解析 ∵点D 在z 轴上，∴可设D 点坐标为(0,0，m )，则AD →＝(－1,1，m －3)，BC →＝(－1，－2,1)，由AD →⊥BC →，得AD →·BC →＝m －4＝0，∴m ＝4，AD →＝(－1,1,1)，|AD →|＝1＋1＋1＝ 3.故选B.11．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( ) A ．±66 B.66 C ．－66D ．± 6 答案 C解析 OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)， cos120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66. 经检验λ＝66不合题意，舍去，∴λ＝－66.故选C. 12．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB .12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD .12a －12b ＋c答案 A13．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8 答案 A解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ，|AC 1→|2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25，因此|AC 1→|＝5.故选A.14．已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则点D 的坐标为________． 答案 (5,13，－3)解析 设D (x ，y ，z )，则AB →＝DC →.∴(－2，－6，－2)＝(3－x,7－y ，－5－z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－2，7－y ＝－6，－5－z ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3.∴D (5,13，－3)．15．在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)，B (10，－1,6)，C (x,4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为________．答案 2解析 由题意知AB →·AC →＝0，|AB →|＝|AC →|，又AB →＝(6，－2，－3)，AC →＝(x －4,3，－6)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －－6＋18＝0，x －2＝4，解得x ＝2.16．已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，8317．已知a ＝(2，1，－3)，b ＝(－1，2，3)，c ＝(7，6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝________． 解析：由题意知c ＝xa ＋yb ，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9. 答案：－918．已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．解析：由题意得，(2a ＋b)·c＝0＋10－20＝－10. 即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18， ∴cos 〈b ，c 〉＝b·c |b|·|c|＝－1812×1＋4＋4＝－12，∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°. 答案：60°19．已知O(0，0，0)，A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标是________．解析：由题意，设OQ →＝λOP →，即OQ →＝(λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23，当λ＝43时有最小值，此时Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 20．已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c|＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．(2)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)， ∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1， 又∵|a|＝12＋12＋02＝2， |b|＝（－1）2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. 21．如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心．(1)试证：A 1，G ，C 三点共线；(2)试证：A 1C ⊥平面BC 1D.22．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M 、N 、P 分别是AA 1、BC 、C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→。
高考数学一轮复习：39 空间点、直线、平面之间的位置关系
高考数学一轮复习：39 空间点、直线、平面之间的位置关系姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·张家口期中) 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为A . 相交B . 平行C . 异面而且垂直D . 异面但不垂直2. （2分）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1 ，则直线EF是平面ACD1与（）A . 平面BDB1的交线B . 平面BDC1的交线C . 平面ACB1的交线D . 平面ACC1的交线3. （2分）正方体ABCD—A1B1C1D1 中，EF是异面直线AC和A1D 的公垂线，则EF和BD1的关系是（）A . 相交但不垂直B . 垂直相交C . 异面D . 平行4. （2分）已知直线,平面,且,给出下列命题:①若，则m⊥；②若，则m∥；③若m⊥，则；④若m∥，则.其中正确命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）在正四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均等于2 ，E，F分别为PD，PB的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值为（）A . ﹣B .C .D .6. （2分） (2015高二上·孟津期末) 如图所示，棱长皆相等的四面体S﹣ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二上·铜陵期中) 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高三下·银川模拟) 正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AC= AA1 ，则AB1与CA1所成角的大小为（）A . 60°B . 105°C . 75°D . 90°9. （2分）下面四个命题：①若直线平面，则内任何直线都与a平行；②若直线平面，则内任何直线都与垂直；③若平面平面，则内任何直线都与平行；④若平面平面，则内任何直线都与垂直。
备考2020年高考数学一轮复习：39 空间点、直线、平面之间的位置关系
备考2020年高考数学一轮复习：39 空间点、直线、平面之间的位置关系一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足：a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系（）A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面2．（2分）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线3．（2分）已知直线l是平面a的斜线，则a内不存在与l（）A．相交的直线B．平行的直线C．异面的直线D．垂直的直线4．（2分）下列命题中为真命题的是（）①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若a⊥α，b⊥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥b，则b//α；④若a∥α，a⊥b，则b⊥α.A．①②B．①②③C．②③④D．①②④5．（2分）直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与MN所成角的余弦值为（）A．1B．−45C．−34D．06．（2分）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别是棱B1C1,C1C的中点，则异面直线BD1与MN所成的角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．（2分）在正四棱锥P−ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成的角为C2，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（）A．90∘B．C2C．45∘D．30∘8．（2分）如图，正四面体A−BCD中，P是棱CD上的动点，设CP=tCD（t∈(0,1)），记AP与BC所成角为α，AP与BD所成角为β，则（）A．α≥βB．α≤βC．当t∈(0,12]时，α≥βD．当t∈(0,12]时，α≤β9．（2分）设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（）A．直线l不平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点D．直线l与直线m不垂直10．（2分）已知某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为（）A．0B．79C．0或79D．以上都不对11．（2分）已知a、b、c是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若a//b，b⊥γ，则a⊥γB．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γC．若a⊥α，b⊥α，则a⊥bD．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c12．（2分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈，在鳖膈A-BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB=BC=CD ，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为（ ） A ．√23B ．√34C ．√33D ．√24二、填空题(共5题；共5分)13．（1分）如图所示，已知平面 α∩ 平面 β=l ， EA ⊥α ，垂足为 A ， EB ⊥β ，垂足为B ，直线 a ⊂β , a ⊥AB ，则直线 a 与直线 l 的位置关系是 .14．（1分）在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， M,N 分别为棱 AD,D 1D 的中点，则异面直线 MN与 AC 所成的角大小为 ．15．（1分）如图所示的几何体 ABCDEF 中， ABCD 是平行四边形且 AE//CF ，六个顶点任意两点连线能组成异面直线的对数是 ．16．（1分）已知直线l 1:y=3x+1,l 2:kx-2y-3=0，若l 1∥l 2,则k= ．17．（1分）若m ，n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为 ．①m//n m ⊥α} ⇒n ⊥α；②m ⊥αn ⊥α} ⇒m ∥n ；③m ⊥αn//α} ⇒m ⊥n ；④m//αm ⊥n} ⇒n ⊥α. 三、解答题(共4题；共25分)18．（10分）A 是 △BCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，（1）（5分）求证：直线EF 与BD 是异面直线；（2）（5分）若 AC ⊥BD ， AC =BD ，求EF 与BD 所成的角．19．（5分）如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．20．（5分）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和D1C1的中点，P，Q分别为EF和BD的中点，对角线A1C与平面EFDB交于H点，求证：P，H，Q三点共线.21．（5分）如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1，BB1，CC1交于一点.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：如图1，可得a、b、c可能两两垂直；如图2，可得a、b、c可能两两相交；如图3，可得a、b、c可能两两异面；故答案为：B．【分析】利用面面垂直的性质定理结合线面之间的位置关系，用线线平行，线线垂直，线线相交，异面直线的判定方法找出直线a、b、c不可能满足的关系。
2021版江苏高考数学一轮复习集训39 空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系建议用时：45分钟一、选择题1．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥cC[若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.]2．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是()A．①B．①④C．②③D．③④B[①显然正确；②错误，三条平行直线可能确定1个或3个平面；③若三个点共线，则两个平面相交，故③错误；④显然正确．故选B.]3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()A B C DD[A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．]4.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BCC[由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.]5．(2019·陕西省第三次联考)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A.34 B.34C.54 D.54B[如图，设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角(或其补角)．设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长均为1，则AD＝32，A1D＝12，A1B＝22，由余弦定理，得cos ∠A 1AB ＝A 1A 2＋AB 2－A 1B 22A 1A ·AB ＝1＋1－122×1×1＝34.故选B.]二、填空题6．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定 个平面．4 [首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定4个平面．]7．在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若BD ，AC 所成的角为60°，且BD ＝AC ＝1，则EF 的长为 ．12或32 [如图，取BC 的中点O ，连接OE ，OF .因为OE ∥AC ，OF ∥BD ，所以OE 与OF 所成的锐角(或直角)即为AC 与BD 所成的角，而AC ，BD 所成角为60°，所以∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°.当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12.当∠EOF ＝120°时，取EF 的中点M ，则OM ⊥EF ，EF ＝2EM ＝2×34＝32.]8．(2019·长白山模拟)下列命题中不正确的是 ．(填序号) ①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．①② [没有公共点的两直线平行或异面，故①错；命题②错，此时两直线有可能相交；命题③正确，因为若直线a 和b 异面，c ∥a ，则c 与b 不可能平行，用反证法证明如下：若c ∥b ，又c ∥a ，则a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不平行；命题④正确，若c 与两异面直线a ，b 都相交，可知，a ，c 可确定一个平面，b ，c 也可确定一个平面，这样，a ，b ，c 共确定两个平面．]三、解答题9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．[解](1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．因为AB1＝AC＝B1C，所以∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)连接BD，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1.因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF⊥AC.所以EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.10.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC 12AD，BE12F A，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？[解](1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH 12AD.又BC12AD，∴GH BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)∵BE 12AF，G为F A的中点，∴BE FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．1．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD 不相交；若直线AC和BD不相交，当直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．]2．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2BB1，则AB1与BC1所成角的大小为()A．30°B．60°C．75°D．90°D[将正三棱柱ABC-A1B1C1补为四棱柱ABCD-A1B1C1D1，连接C1D，BD，则C1D∥B1A，∠BC1D为所求角或其补角．设BB1＝2，则BC＝CD＝2，∠BCD ＝120°，BD＝23，又因为BC1＝C1D＝6，所以∠BC1D＝90°.] 3．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是．①③[如图，①AB⊥EF，正确；②显然AB∥CM，所以不正确；③EF与MN是异面直线，所以正确；④MN与CD异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是①③.]4．(2019·上海高考改编)如图，在正三棱锥P-ABC中，P A＝PB＝PC＝2，AB ＝BC＝AC＝ 3.(1)若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN夹角的余弦值；(2)求P-ABC的体积．[解](1)∵M，N分别为PB，BC的中点，∴MN∥PC，则∠PCA为AC与MN所成角，在△P AC中，由P A＝PC＝2，AC＝3，可得cos∠PCA＝PC2＋AC2－P A22PC·AC＝32×2×3＝34，∴AC与MN夹角的余弦值为3 4.(3)过P作底面垂线，垂足为O，则O为底面三角形的中心，连接AO并延长，交BC于N，则AN＝3 2，AO ＝23AN ＝1. ∴PO ＝22－12＝ 3.∴V P -ABC ＝13×12×3×32×3＝34.1.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成的角的余弦值为( )A.12 B ．－12 C.32D ．－32A [如图所示，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，连接EF ，FO ，OG ，GE ，GF ，则EF ∥BD ，EG ∥AC ，FO ⊥OG ，∴∠FEG 或其补角为异面直线AC 与BD 所成的角． 设AB ＝2a ，则EG ＝EF ＝2a ，FG ＝a 2＋a 2＝2a ， ∴△EFG 是等边三角形，∴∠FEG ＝60°， ∴异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为12，故选A.]2．(2019·绍兴质检)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°.(1)求四棱锥A1-ABCD的体积；(2)求异面直线A1B与B1D1所成角的余弦值．[解](1)∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，连接AC，∴AC＝22＋22＝2 2.又易知AA1⊥平面ABCD，∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，即∠A1CA＝60°，∴AA1＝AC·tan 60°＝22×3＝2 6.∵S正方形ABCD＝AB·BC＝2×2＝4，∴VA1-ABCD＝13·AA1·S正方形ABCD＝13×26×4＝863.(2)连接BD，易知BD∥B1D1，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角(或所成角的补角)．∵BD＝22＋22＝22，A1D＝A1B＝22＋(26)2＝27，∴cos∠A1BD＝A1B2＋BD2－A1D22·A1B·BD＝28＋8－282×27×22＝1414，即异面直线A1B与B1D1所成角的余弦值是14 14.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
高考数学一轮复习 课时作业(三十九)第39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 文-人教版高三全册数
课时作业(三十九)第39讲空间点、直线、平面之间的位置关系时间/45分钟分值/100分基础热身1.给出下列说法:①梯形的四个顶点共面;②三条平行直线共面;③有三个公共点的两个平面重合;④三条直线两两相交,可以确定3个平面.其中正确的序号是()A.①B.①④C.②③D.③④2.若直线上有两个点在平面外,则()A. 直线上至少有一个点在平面内B. 直线上有无穷多个点在平面内C. 直线上所有点都在平面外D. 直线上至多有一个点在平面内3.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定4.如图K39-1所示,在四面体ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,且EF=,则异面直线AD和BC所成的角为.图K39-1图K39-25.如图K39-2所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:①直线AM与CC1是相交直线;②直线AM与BN是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为.(注:把你认为正确结论的序号都填上)能力提升图K39-36.如图K39-3所示,在四面体ABCD中,若直线EF和GH相交,则它们的交点一定()A. 在直线DB上B. 在直线AB上C. 在直线CB上D. 都不对7.[2017·某某六市二联]如图K39-4所示,G,H,M,N分别为正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示GH与MN是异面直线的图形的序号为()①②③④图K39-4A.①②B.③④C.①③D.②④8.[2017·某某华师一附中、某某高中、荆州中学、襄阳四中等八校联考]三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,且所有棱长均相等,M为A1C1的中点,则直线CM和直线A1B所成角的余弦值为()A. B.C. D.9.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,则这样的直线l可以作()A.1条B.2条C.3条D.4条图K39-510.如图K39-5所示,在正四棱锥V-ABCD中,底面正方形ABCD的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成角的大小为.11.已知正六棱锥S-ABCDEF的底面边长和高均为1,则异面直线SC与DE所成角的大小为.图K39-612.如图K39-6所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H分别为DE,AF的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成正四面体P-DEF,则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为.13.(15分)如图K39-7所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD,BC=AD,BE∥FA,BE=FA,G,H分别是FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)证明:C,D,F,E四点共面.图K39-714.(15分)如图K39-8所示,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60°.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.图K39-8难点突破15.(5分)[2017·某某模拟]如图K39-9所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,点P,Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上的动点,则△PEQ周长的最小值为.图K39-9图K39-1016.(5分)如图K39-10所示,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为.课时作业(三十九)1.A[解析] 因为梯形有两边平行,所以梯形可以确定一个平面,所以①正确;三条平行直线不一定共面,如直三棱柱的三条平行的棱,所以②不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合,如两个平面相交,三个公共点都在交线上,所以③不正确;三条直线两两相交,可以确定的平面个数是1或3,所以④不正确.故选A.2.D[解析] 根据题意,两点确定一条直线,那么若直线上有两个点在平面外,则直线在平面外,只能是直线与平面相交,或者直线与平面平行,那么可知直线上至多有一个点在平面内.3.D[解析] 构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1,当取l4为B1C1时,l1∥l4,当取l4为BB1时,l1⊥l4,故排除A,B,C,选D.4.90°[解析] 如图所示,设G是AC的中点,连接EG,FG.因为E,F分别是AB,CD的中点,故EG ∥BC且EG=BC=1,FG∥AD,且FG=AD=1,即∠EGF为所求异面直线AD和BC所成的角,又EF=,由勾股定理的逆定理可得∠EGF=90°.5.③④[解析] 由图可知AM与CC1是异面直线,AM与BN是异面直线,BN与MB1为异面直线.因为D1C∥MN,所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角,易知D1C与AC所成的角为60°.6.A[解析] 直线EF和GH相交,设交点为M.∵EF⊂平面ABD,HG⊂平面CBD,∴M∈平面ABD,且M∈平面CBD,∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴M∈BD,∴EF与HG的交点在直线BD上.7.D[解析] 根据异面直线的定义可知,在图②④中,直线GH与MN是异面直线.在图①中,由G,M均为棱的中点可知GH∥MN.在图③中,连接GM,∵G,M均为棱的中点,∴四边形GMNH为梯形,则GH与MN相交.故选D. 8.B[解析] 如图所示,取AC的中点N,连接A1N,BN.∵M为A1C1的中点,∴MC∥A1N,∴∠BA1N是直线CM与A1B所成的角.设三棱柱的棱长为2,则A1B=2,A1N=.由题意知BN⊥平面ACC1A1,∴BN⊥A1N,∴cos∠BA1N===.故选B.9.D[解析] 如图所示,连接体对角线AC1,显然AC1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线,如BD1,则BD1与棱BC,BA,BB1所成的角都相等,因为BB1∥AA1,BC∥AD,所以体对角线BD1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等.同理,体对角线A1C,DB1也与棱AB,AD,AA1所成的角都相等.过点A分别作BD1,A1C,DB1的平行线都满足题意,故这样的直线l可以作4条.10.[解析] 设AC∩BD=O,连接VO.因为四棱锥V-ABCD是正四棱锥,所以VO⊥平面ABCD,所以BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC,又VO∩AC=O,所以BD⊥平面VAC,所以BD⊥VA,即异面直线VA与BD所成角的大小为.11.45°[解析] 如图所示,S-ABCDEF为正六棱锥,O是底面正六边形ABCDEF的中心.连接FC,OB,OS.∵ABCDEF为正六边形,∴△BOC为等边三角形.∴OB=OC=BC=1,又∵DE∥FC,∴∠SCO就是异面直线SC与DE所成角.又SO=OC=1,SO⊥OC,∴∠SCO=45°.则异面直线SC与DE所成角的大小为45°.12.[解析] 如图所示,连接HE,取HE的中点K,连接GK,PK,则GK∥DH,故∠PGK即为异面直线PG与DH所成的角或其补角.设这个正四面体的棱长为2,在△PGK中,PG=,GK=,PK==,故cos∠PGK==,即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是.13.证明:(1)因为G,H分别是FA,FD的中点,所以GH∥AD,GH=AD,又因为BC∥AD,BC=AD,所以BC∥GH,BC=GH,所以四边形BCHG是平行四边形.(2)因为BE∥FA,BE=FA,所以BE∥FG,BE=FG,所以四边形BGFE是平行四边形,所以BG∥EF.又因为四边形BCHG是平行四边形,所以BG∥CH,所以EF∥CH.所以C,H,F,E四点共面.又D∈FH,FH⊂平面CHFE,所以D∈平面CHFE,所以C,D,F,E四点共面.14.解:(1)在四棱锥P-ABCD中,因为PO⊥平面ABCD,所以∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,即∠PBO=60°.因为BO=AB·sin30°=1,PO⊥OB,所以在Rt△POB中,PO=BO·tan60°=, 又因为底面菱形的面积S菱形ABCD=2.所以四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2.(2)取AB的中点F,连接EF,DF.因为E为PB的中点,所以EF∥PA.所以∠DEF为异面直线DE与PA所成的角(或其补角).在Rt△AOB中,AO=AB·cos30°==OP,所以在Rt△POA中,PA=,所以EF=.因为四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,所以△ABD为正三角形,所以DF=.又因为∠PBO=60°,BO=1,所以PB=2,所以PB=PD=BD,即△PBD为正三角形,所以DE=.所以cos∠DEF====.15.[解析] 由题意,当△PEQ的周长取得最小值时,点P在B1C1上.在平面B1C1CB上,设E关于B1C的对称点为N,关于B1C1的对称点为M,则EM=2,EN=,∠MEN=135°,∴MN==.16.[解析] 取BF的中点N,连接MN,EN,则EN∥AF,所以直线EN与EM所成的角就是异面直线EM与AF所成的角.在△EMN中,当点M与点P重合时,EM⊥AF,所以当点M逐渐趋近于点Q时,直线EN与EM的夹角越来越小,cosθ越来越大.故当点M与点Q重合时,cosθ取最大值.设正方形的边长为4,连接EQ,NQ,在△EQN中,由余弦定理,得cos∠QEN===-,所以cosθ的最大值为.。
南京市高考数学一轮复习：39 空间点、直线、平面之间的位置关系C卷
南京市高考数学一轮复习：39 空间点、直线、平面之间的位置关系C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·广西期末) 设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A . 若l∥α，l∥β，则α∥βB . 若l∥α，l⊥β，则α⊥βC . 若α⊥β，l⊥α，则l∥βD . 若α⊥β，l∥α，则l⊥β2. （2分）设a，b，c表示三条直线，α，β表两个平面，则下列命题中不成立的是（）A . 若b⊂β，β⊥α，则b⊥αB . 若b⊂α，c⊄α，b∥c，则c∥αC . 若c⊥α，α∥β，则c⊥βD . c是a在β内的射影，b⊂β，b⊥a，则b⊥c3. （2分） (2016高二上·嘉兴期中) 在下列命题中，错误的是（）A . 垂直于同一个平面的两个平面相互平行B . 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C . 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D . 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线4. （2分）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题中，正确命题的个数是（）①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a∥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β．A . 3B . 2C . 1D . 05. （2分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为（）A .B .C .D .6. （2分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A . AC⊥BEB . EF∥平面ABCDC . 直线AB与平面BEF所成的角为定值D . 异面直线AE，BF所成的角为定值7. （2分） (2016高一上·周口期末) 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC．若AB=AC=AA1=1，BC= ，则异面直线A1C与B1C1所成的角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°8. （2分）下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是（）A . ①③B . ②④C . ③④D . ①②9. （2分）设a表示直线表示不同的平面，则下列命题中正确的是（）A . 若且，则B . 若且，则C . 若且，则D . 若且，则10. （2分） (2019高一上·集宁月考) 如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（）A .B .C .D .11. （2分）已知直线,平面,，有下面四个命题：（1）；（2）；（3）；（4）.其中正确的命题是（）A . （1）与（2）B . (1) 与 (3)C . (2) 与 (4)D . (3) 与 (4)12. （2分）(2017·三明模拟) 在四面体ABCD中，若AB=CD= ，AC=BD=2，AD=BC= ，则直线AB与CD所成角的余弦值为（）A . ﹣B . ﹣C .D .二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分） (2016高一下·大丰期中) 已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；③若α∥β，l∥α，则l∥β；④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β．其中真命题是________（写出所有真命题的序号）．14. （1分） (2019高二下·上海月考) 空间四边形ABCD，，M、N、P分别为BD、AC、BC的中点，若异面直线AB和CD成60°的角，则 ________.15. （1分） (2017高一上·潮州期末) 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；其中正确命题的序号是________．16. （1分） (2018高二上·西宁月考) 已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________．17. （1分）在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，M，N分别为AB，A′D′的中点，则直线MN与平面A′BC′的位置关系是________三、解答题 (共4题；共25分)18. （10分）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么NC、DE、AF、BM这四条线段所在的直线是异面直线的有多少对？试以其中一对为例进行证明．19. （5分）如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．20. （5分）如图，ABCD为空间四边形，点E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且DH=AD，DG=CD．求：（1）判断EFGH的形状；（2）证明直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上．21. （5分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共4题；共25分) 18-1、19-1、20-1、21-1、第11 页共11 页。
河北省廊坊市高考数学一轮复习：39 空间点、直线、平面之间的位置关系
河北省廊坊市高考数学一轮复习：39 空间点、直线、平面之间的位置关系姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019·延安模拟) 已知 ， 表示两条不同的直线， 表示平面.下列说法正确的是（ ）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则2. （2 分） (2019 高三上·武汉月考) 在空间四边形、 、 ，若直线 、相交于点 ，则（各边 ）、、、 上分别取点 、A . 点 必在直线 上B . 点 必在直线 上C . 点 必在平面内D . 点 必在平面内3. （2 分） (2019 高三上·湖南月考) 设 ， （）是两个平面，， 是两条直线，则下列命题错误的是A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，，则4. （2 分） 已知 m，n 是两条不同直线，α，β 是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A . 若 α，β 垂直于同一平面，则 α 与 β 平行第 1 页 共 18 页B . 若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C . 若 α，β 不平行，则在 α 内不存在与 β 平行的直线D . 若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面5. （2 分） 在正方体 是（ ）中，M、N 分别是 CD、 的中点，则异面直线 与 DN 所成角的大小A.B.C.D.6. （2 分） 已知正方体 弦值为（ ）中，E、F 分别为 BC、 的中点，则异面直线 EF 与 所成角的余A.B.C. D.0 7. （2 分） (2014·新课标 II 卷理) 直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠BCA=90°，M，N 分别是 A1B1 ， A1C1 的 中点，BC=CA=CC1 ， 则 BM 与 AN 所成角的余弦值为（ ）A. B.C.第 2 页 共 18 页D. 8. （2 分） (2017 高二下·嘉兴期末) 如图，在正方体 的角为 （ ）中，异面直线与所成A. B. C. D. 9. （2 分） 下列命题中，错误的是（ ） A . 平行于同一条直线的两个平面平行 B . 平行于同一个平面的两个平面平行 C . 一个平面与两个平行平面相交，交线平行 D . 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交10. （2 分） 空间四边形 ABCD 中，AD=BC=2,E,F 分别是 AB,CD 的中点，EF＝ 角为（ ）， 则异面直线 AD,BC 所成的A . 30°第 3 页 共 18 页B . 60° C . 90° D . 120° 11. （2 分） 若 a、b 为空间两条不同的直线， 、 为空间两个不同的平面，则 的一个充分条件是（ ）A. 且B.且C.且D.且12. （2 分） 在棱长为 1 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 E，F，G 分别为 DD1 ， BD，BB1 的中点，则 EF，CG 所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)13. （1 分） (2017 高一下·南京期末) 已知 a，b，c 是三条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，那 么下列命题中正确的序号为________．①若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b；②若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β； ③若 a⊥α，b⊥α，则 a∥b；④若 a⊥α，α⊥β，则 α∥β．14. （1 分） (2019·广西模拟) 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC=3,BC=3,AB=3 与 BC1 所成角的余弦值为________．,AA1=4，则异面直线 A1C第 4 页 共 18 页15. （1 分） (2016·嘉兴模拟) 如图，直线平面 ，垂足为 ，正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的棱长为 2， 在平面 内， 是直线 上的动点，当 到 的距离为最大时，正四面体在平面上的射影面积为________．16. （1 分） (2018 高二上·吕梁月考) 如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC 是等边三角形；③三棱锥 D－ABC 是正三棱锥；④平面 ADC⊥平面 ABC。
高考数学一轮复习学案 第39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（解析版）
第39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（解析版）考点内容解读要求 常考题型1．空间点、线、面位置关系掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理．异面直线的判定与证明是本部分的难点，定义的理解与运用是关键．Ⅱ选择题知识要点梳理 1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 （1）位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内（2）异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2．（3）直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．（4）平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．（5）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．（6）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．考点一平面的基本性质例1：正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是()．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【解析】如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG．∴截面为六边形PQFGRE．【答案】D类题通解画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定．作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置．变式训练1．下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．【解析】在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．【答案】①②③考点二异面直线例2：如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．【解析】(1)不是异面直线．理由如下：连接MN、A1C1、AC．∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1．又∵A1A綉C1C，∴A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：∵ABCDA1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1，B、C、C1∈α，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．类题通解证明两直线为异面直线的方法(1)定义法(不易操作)．(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．变式训练1．在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．【解析】如题干图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图(2)、(4)中GH与MN异面．【答案】(2)(4)考点三异面直线所成的角例3：正方体ABCDA1B1C1D1中．(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小． 【解析】(1)如图所示，连接AB 1，B 1C ，由ABCDA 1B 1C 1D 1是正方体， 易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角． ∵AB 1＝AC ＝B 1C ，∴∠B 1CA ＝60°． 即A 1D 与AC 所成的角为60°．(2)如图所示，连接AC 、BD ，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中， AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点， ∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC ． ∴EF ⊥A 1C 1．即A 1C 1与EF 所成的角为90°． 类题通解求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行． 变式训练1．A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点． (1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．【证明】(1) 假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．【解析】(2)如图，取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角． 在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°．考向四 点共线、点共面、线共点的证明例4：正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．【证明】 (1)如图，连接EF ，CD 1，A 1B ．∵E 、F 分别是AB 、AA 1的中点，∴EF ∥BA 1．又A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥CD 1，∴E 、C 、D 1、F 四点共面． (2)∵EF ∥CD 1，EF ＜CD 1， ∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则由P ∈CE ，CE ⊂平面ABCD ，得P ∈平面ABCD ． 同理P ∈平面ADD 1A 1． 又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ，∴P ∈直线DA ，∴CE 、D 1F 、DA 三线共点． 类题通解要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上．变式训练1．如图所示，已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，求证：三条直线EF 、GH 、AC 交于一点．【证明】∵E 、H 分别为边AB 、AD 的中点，∴ EH 綉12BD ，而CF CB ＝CG CD ＝23，∴FG BD ＝23，且FG ∥BD ．∴ 四边形EFGH 为梯形，从而两腰EF 、GH 必相交于一点P ． ∵ P ∈直线EF ，EF ⊂平面ABC ，∴ P ∈平面ABC ． 同理，P ∈平面ADC ．∴ P 在平面ABC 和平面ADC 的交线AC 上，故EF 、GH 、AC 三直线交于一点．1．下列命题是真命题的是( )． A ．空间中不同三点确定一个平面B ．空间中两两相交的三条直线确定一个平面C ．一条直线和一个点能确定一个平面D ．梯形一定是平面图形【解析】空间中不共线的三点确定一个平面，A 错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B 错；经过直线和直线外一点确定一个平面，C 错；故D 正确． 【答案】D2．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b ( )．A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线【解析】由已知直线c 与b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b ∥c ，则a ∥b ，与已知a 、b 为异面直线相矛盾． 【答案】 C3．下列命题中错误的是( )．A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【解析】对于D, 若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的． 【答案】 D4．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )． A ．12对 B ．24对 C ．36对 D ．48对 【解析】 如图所示，与AB 异面的直线有B 1C 1；CC 1，A 1D 1，DD 1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×42＝24(对)．【答案】 B5．两个不重合的平面可以把空间分成________部分． 【答案】 3或46．下列四个命题中，真命题为( )①若两个平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ；④空间中，相交于同一点的三条直线必在同一个平面内．A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 【解析】根据公理容易判断①③是正确的．故选B ． 【答案】B8．下面列举的图形一定是平面图形的是( )A ．有一个角是直角的四边形B ．有两个角是直角的四边形C ．有三个角是直角的四边形D ．有四个角是直角的四边形【解析】 对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形． 【答案】D9．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分为( )A ．5部分B ．6部分C ．7部分D ．8部分 【解析】垂直于交线的截面如图，把空间分为7部分． 【答案】C10．已知异面直线a ，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝c ，那么直线c 一定( )A ．与a ，b 都相交B ．只能与a ，b 中的一条相交C ．至少与a ，b 中的一条相交D ．与a ，b 都平行【解析】若c 与a ，b 都不相交，则与a ，b 都平行，根据公理4，则a ∥b ，与a ，b 异面矛盾． 【答案】C11．四面体S －ABC 中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，E ，F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【解析】取SB 的中点G ，连接GE ，GF ，则GE ＝GF ＝a2，∠EFG 为异面直线EF 与SA 所成的角，EF ＝22a ，在△EFG 中，∠EFG ＝45°． 【答案】C12．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱AB 的中点，则异面直线DM 与D 1B 所成角的余弦值为( )A．156B．155C．153D．1510【解析】如图，取CD的中点N，连接BN，D1N，则BN∥DM，∠D1BN就是直线DM与D1B所成角，设正方体棱长为1，在△D1BN中，BD1＝3，BN＝D1N＝52，由余弦定理得cos∠D1BN＝32＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×3×52＝155．【答案】B13．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【解析】对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线，而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面．所以选B．【答案】B14．三条直线两两垂直，那么在下列四个结论中，正确的结论共有()①这三条直线必共点；②其中必有两条是异面直线；③三条直线不可能共面；④其中必有两条在同一平面内．A．4个B．3个C．2个D．1个【解析】(1)三条直线两两垂直时，它们可能共点(如正方体同一个顶点上的三条棱)，也可能不共点(如正方体ABCD－A1B1C1D1中的棱AA1，AB，C1D1)，故结论①不正确，也说明必有结论②不正确；如果三条直线在同一个平面内，根据平面几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行，就导出了其中两条直线既平行又垂直的矛盾结论，故三条直线不可能在同一个平面内，结论③正确；三条直线两两垂直，这三条直线可能任何两条都不相交，即任意两条都异面(如正方体ABCD－A1B1C1D1中的棱AA1，BC，D1C1，故结论④不正确．【答案】D15．如图，过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与直线AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】满足与线段AB ，AD ，AA 1成角相等的直线在如图所示的正方体中，就是其体对角线AC 1所在的直线．如图所示，将AD ，AB ，AA 1所在的线段反向延长，则可得到三个正方体，在每个正方体中都存在一条体对角线，使其与直线AB ，AD ，AA 1所成角相等，故选D ． 【答案】D16．正方体各面所在的平面将空间分成________部分．【解析】分上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分 【答案】2717．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H 分别为DE ，AF 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成正四面体P －DEF ，则四面体中异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值为________． 【解析】折成的四面体是正四面体，画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线所成角转化到一个三角形的内角来计算．如图，连接HE ，取HE 的中点K ，连接GK ，则GK ∥DH ，故∠PGK 即为所求的异面直线所成角或者其补角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK 中，PG ＝3，GK ＝32，PK ＝12＋⎝⎛⎭⎫322＝72，故cos ∠PGK ＝32＋⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫7222×3×32＝23，即异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值是23．【答案】2318．以下四个命题中，正确命题的序号是________．①不共面的四点中，任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．【解析】①可以用反证法证明，假设有三点共线，则由直线和直线外一点确定一个平面，得这四点共面；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．【答案】①19．下列命题中正确的是________(填序号)．①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面．【解析】在①中，因为P、Q、R三点既在平面ABC内，又在平面α内，所以这三点必在平面ABC与α的交线上，即P、Q、R三点共线，故①正确；在②中，因为a∥b，所以a与b 确定一个平面α，而l上有A、B两点在该平面上，所以l⊂α，即a、b、l三线共面于α；同理a、c、l三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a、l，∴α与β重合，即这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．【答案】①②20．如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【解析】(1)取CD的中点G，连接MG，NG．因为四边形ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝2．因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝MG2＋NG2＝6．(2)【证明】假设直线ME 与BN 共面，则AB ⊂平面MBEN ，且平面MBEN 与平面DCEF 交于EN ，由已知，两正方形不共面，故AB ⊄平面DCEF ．又AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF ．而EN 为平面MBEN 与平面DCEF 的交线， 所以AB ∥EN ．又AB ∥CD ∥EF ，所以EN ∥EF ，这与EN ∩EF ＝E 矛盾，故假设不成立．所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线．21．已知：如图K38－5，空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD 上的点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CG CD＝μ(0<λ、μ<1)，试判断FE 、GH 与AC 的位置关系．【解析】∵AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CG CD＝μ， ∴EH ∥BD ，FG ∥BD ．∴EH ∥FG ，EH ＝λ·BD ，FG ＝μ·BD ，①当λ＝μ时，HG ∥AC ，EH ∥FG ，且EH ＝FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴EF ∥GH ．由公理4知，EF ∥GH ∥AC ．②当λ≠μ时，EH ∥FG 但EH ≠FG ，∴四边形EFGH 是梯形且EH 、FG 为上、下两底边，∴EF 、GH 为梯形的两腰，它们必交于点P ，P ∈直线EF ，P ∈直线HG ，又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ，∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ADC ，∴P 是平面ABC 和平面ADC 的公共点．又∵平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，∴P ∈直线AC ，∴三条直线EF 、GH 、AC 交于一点．综上所述，当λ＝μ时，三条直线EF 、GH 、AC 互相平行；当λ≠μ时，三条直线EF 、GH 、AC 交于一点．22．已知：在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠DAB ＝90°，求证：ABCD 是矩形．【证明】由已知，若证得四边形ABCD 是平面图形，则四边形ABCD 是矩形，下面用反证法证明：A、B、C、D四点共面．假设A、B、C、D四点不共面，又设B、C、D确定的平面为α，则A∉α．作AA1⊥α，垂足为A1，连接A1B、A1D，由已知和三垂线定理的逆定理，可得：∠CBA1＝∠CDA1＝90°，从而∠DA1B＝90°．又A1B＜AB，A1D＜AD，A1B2＋A1D2＝BD2，可得：BD2＜AB2＋AD2⇒∠DAB≠90°，这与∠DAB＝90°矛盾．所以，A、B、C、D四点共面，从而四边形ABCD是矩形．。
高考数学一轮复习 93空间点、直线、平面之间的位置关
【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 9-3空间点、直线、平面之间的位置关系检测试题（2）文一、选择题1．平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，且C∉l，C∈β，又AB∩l＝R，如图所示，过A、B、C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )A．直线ACB．直线BCC．直线CRD．直线AR解析：由已知条件可知，C∈γ，AB∩l＝R，AB⊂γ，∴R∈γ.又∵C，R∈β，故CR＝β∩γ.答案：C2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：依题意，直线l∩α＝A(如图)．α内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线，故选B.答案：B3．如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )A．A、M、O三点共线B．A、M、O、A1不共面C．A、M、C、O不共面D．B、B1、O、M共面解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面．∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，∴M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点．同理OA为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．∴A、M、O三点共线.答案：A4．正方体AC1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( ) A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交.答案：A5．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件解析：若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．答案：A6．下列四个图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：只有第四个图中的四点不共面．答案：A7．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①② B．②③ C．①④ D．③④解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．答案：D8．在正方体ABCDA1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：有2条：A1B和A1C1.答案：B9．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．答案：D10．如图所示是三棱锥DABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO 和AB所成角的余弦值等于( )A.33B.12C. 3D.22解析：该题我们可以通过补形处理，由于△ABC中AB＝AC，且∠A＝90°，同时AD⊥平面ABC.将该三棱锥补形为直三棱柱DB′C′ABC，则异面直线DO和AB所成角等于△B′DO中∠B′DO的度数．其中B′D＝2，DO＝DA2＋AO2＝1＋22＝3，B′O＝B′B2＋BO2＝3，可得cos∠B′DO＝33.答案：A 二、填空题11．下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是______．①②③④解析：在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N 可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．答案：①②③12．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是__________．解析：如图，连接D1M，可证D1M⊥DN.又∵A1D1⊥DN，A1D1，MD1⊂平面A1MD1，A1D1∩MD1＝D1，∴DN⊥平面A1MD1，∴DN⊥A1M，即夹角为90°.答案：90°13．如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．解析：在平面ABC内，过A作DB的平行线AE，过B作BH⊥AE于H，连接B1H，则在Rt△AHB1中，∠B1AH为AB1与BD所成角．设AB＝1，则A1A＝2，∴B1A＝3，AH＝BD＝32，∴cos∠B1AH＝AHAB1＝12，∴∠B1AH＝60°.答案：60°14．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有__________．(填上所有正确答案的序号)解析：如题干图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面.答案：②④三、解答题15．已知，如图，空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是边AB ，AD 上的点，F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ(0＜λ，μ＜1)，试判断FE ，GH 与AC 的位置关系．解析：∵AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD ＝μ，∴EH∥BD，FG∥BD.∴EH∥FG，EH ＝λ·BD，FG ＝μ·BD. ①当λ＝μ时，EH∥FG，且EH ＝FG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，∴EF∥GH. AH AD ＝CGCD，∴HG∥AC. 由公理4知，EF∥GH∥AC.②当λ≠μ时，EH∥FG，但EH≠FG.∴四边形EFGH 是梯形，且EH ，FG 为上下两底边，∴EF，GH 为梯形的两腰，它们必交于点P ，P∈直线EF ，P∈直线HG.又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ，∴P∈平面ABC ，P∈平面ADC ， ∴P 是平面ABC 和平面ADC 的公共点． 又∵平面ABC∩平面ADC ＝AC ， ∴P∈直线AC ，∴三条直线EF ，GH ，AC 交于一点．综上所述，当λ＝μ时，三条直线EF ，GH ，AC 互相平行；当λ≠μ时，三条直线EF ，GH ，AC 交于一点．答案：当λ＝μ时，三条直线EF ，GH ，AC 互相平行；当λ≠μ时，三条直线EF ，GH ，AC 交于一点．16．(1)已知异面直线a 与b 所成的角θ＝60°，P 为空间一点，则过P 点与a 和b 所成角φ＝45°的直线有几条？(2)已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一点，则过P点与a和b所成角φ＝60°的直线有几条？(3)已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一点，则过P点与a与b所成角φ＝70°的直线有几条？解析：过点P作直线a′∥a，b′∥b，且a′与b′所确定的平面为α.(1)过P点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为45°.(2)过P点在平面α内存在一条直线(120°的角平分线)与a、b所成的角为60°；过P点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为60°，则与a、b所成的角为60°的直线有3条．(3)过P点在平面α外a′、b′成60°夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70°，过P点在平面α外a′、b′成120°夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70°，则与a、b所成的角为70°的直线有4条．答案：(1)2；(2)3；(3)4.创新试题教师备选教学积累资源共享教师用书独具1．设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α()A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β，作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．答案：D2．[2014·广州模拟]在正四棱锥VABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为( )A .π6B .π4C .π3D .π2解析：如图所示，设AC∩BD＝O ，连接VO ，由于四棱锥VABCD 是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD ，故BD⊥VO.又四边形ABCD 是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC.所以BD⊥VA，即异面直线VA 与BD 所成角的大小为π2.答案：D3．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的对数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中如图所示，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面的直线有且只有三对．答案：C4．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( )A ．(0，2)B ．(0，3)C ．(1，2)D ．(1，3)解析：如图所示的四面体ABCD 中，设AB ＝a ，则由题意可得CD ＝2，其他边的长都为1，故三角形ACD 及三角形BCD 都是以CD 为斜边的等腰直角三角形，显然a>0.取CD 中点E ，连接AE ，BE ，则AE⊥CD，BE⊥CD 且AE ＝BE ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，显然A ，B ，E 三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×22>a ，解得0<a< 2. 答案：A5．[2014·西安模拟]在三棱锥PABC 中，PA⊥底面ABC ，A C⊥BC，PA ＝AC ＝BC ，则直线PC 与AB 所成角的大小是__________．解析：分别取PA ，AC ，CB 的中点F ，D ，E 连接FD ，DE ，EF ，AE ，则∠FDE 是直线PC 与AB 所成角或其补角．设PA ＝AC ＝BC ＝2a ，在△FDE中，易求得FD ＝2a ，DE ＝2a ，FE ＝6a ， 根据余弦定理，得cos ∠FDE＝2a 2＋2a 2－6a22×2a ×2a ＝－12，所以∠FDE＝120°.所以直线PC 与AB 所成角的大小是60°. 答案：60°6．[2014·许昌调研]如图，平面ABEF⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ 解析：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ， 所以GH 綊12AD.又BC 綊12AD ，故GH 綊BC.所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点共面． 理由如下：由BE 綊12AF ，G 是FA 的中点知，BE 綊GF ，所以EF 綊BG. 由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC ，FH 共面． 又点D 在直线FH 上， 所以C ，D ，F ，E 四点共面．。
高三数学一轮复习强化训练空间点直线平面之间的位置关系
2010届高三数学一轮复习强化训练精品――空间点、直线、平面之间的位置关系1.给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1,l2互相平行；④若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是 .答案 42.对于平面α和直线l，α内至少有一条直线与直线l（用“垂直”，“平行”或“异面”填空）.答案垂直3.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成部分.答案74.（2007·广东理，12）如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条.这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)= ;f(n)= .（答案用数字或n的解析式表示）答案2)1(+nn8 n(n-2)5.如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为 .答案60°基础自测例1 如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE ∶EB =CF ∶FB =2∶1，CG ∶GD = 3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于H ，连接EH .（1）求AH ∶HD ；（2）求证：EH 、FG 、BD 三线共点.(1)解 ∵EB AE =FB CF =2，∴EF ∥AC . ∴EF ∥平面ACD .而EF ⊂平面EFGH ，且平面EFGH ∩平面ACD =GH ，∴EF ∥GH .而EF ∥AC ，∴AC ∥GH .∴HD AH=GD CG=3,即AH ∶HD =3∶1.（2）证明 ∵EF ∥GH ,且AC EF=31，AC GH=41，∴EF ≠GH ，∴四边形EFGH 为梯形.令EH ∩FG =P ，则P ∈EH ，而EH ⊂平面ABD ，P ∈FG ，FG ⊂平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD =BD ，∴P ∈BD .∴EH 、FG 、BD 三线共点.例2 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点.问：（1）AM 和CN 是否是异面直线？说明理由；（2）D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由.解 （1）不是异面直线.理由如下：∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点.∴MN ∥A 1C 1，又∵A 1A D 1D ，而D 1D C 1C ，∴A 1A C 1C ，∴四边形A 1ACC 1为平行四边形.∴A 1C 1∥AC ，得到MN ∥AC ，∴A 、M 、N 、C 在同一个平面内，故AM 和CN 不是异面直线.（2）是异面直线，证明如下：假设D 1B 与CC 1在同一个平面D 1CC 1内，则B ∈平面CC 1D 1，C ∈平面CC 1D 1.∴BC ⊂平面CC 1D 1，这与正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中BC ⊥面CC 1D 1相矛盾.∴假设不成立，故D 1B 与CC 1是异面直线.例3 （16分）如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB =60°，对角线AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成角为60°.（1）求四棱锥的体积；（2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的余弦值.解 （1）在四棱锥P —ABCD 中，∵PO ⊥平面ABCD ，∴∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角，即∠PBO =60°， 2分在Rt △POB 中，∵BO =AB ·sin30°=1，又PO ⊥OB ，∴PO =BO ·tan60°=3, ∵底面菱形的面积S =2×21×2×2×23=23. ∴四棱锥P —ABCD 的体积V P —ABCD =31×23×3=2. 8分（2）取AB 的中点F ，连接EF ，DF ，∵E 为PB 中点，∴EF ∥PA ，∴∠DEF 为异面直线DE 与PA 所成角（或其补角）.10分 在Rt △AOB 中，AO =AB ·cos30°=3=OP ，∴在Rt △POA 中，PA =6，∴EF =26. 12分在正三角形ABD 和正三角形PDB 中，DF =DE =3，由余弦定理得 ∴cos ∠DEF =EF DE DF EF DE ⋅-+2222 14分=2632)3()26()3(222⨯⨯-+=2346=42. 所以异面直线DE 与PA 所成角的余弦值为42. 16分1.如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且EH 与FG 相交于点O .求证：B 、D 、O 三点共线.证明 ∵E ∈AB ，H ∈AD ，∴E ∈平面ABD ，H ∈平面ABD .∴EH ⊂平面ABD .∵EH ∩FG =O ，∴O ∈平面ABD .同理可证O ∈平面BCD ，∴O ∈平面ABD ∩平面BCD ，即O ∈BD ，所以B 、D 、O 三点共线.2.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是CD 的中点，连接AE 并延长与BC 的延长线交于点F ，连接BE 并延长交AD 的延长线于点G ，连接FG .求证：直线FG ⊂平面ABCD 且直线FG ∥直线A 1B 1.证明 由已知得E 是CD 的中点，在正方体中，由于A ∈平面ABCD ，E ∈平面ABCD ，所以AE ⊂平面ABCD .又AE ∩BC =F ，从而F ∈平面ABCD .同理G ∈平面ABCD ，所以FG ⊂平面ABCD .因为EC 21AB ，故在Rt △FBA 中，CF =BC ， 同理DG =AD .又在正方形ABCD 中，BC AD ，所以CF DG ，所以四边形CFGD 是平行四边形，所以FG ∥CD .又CD ∥AB ，AB ∥A 1B 1，所以直线FG ∥直线A 1B 1. 3.如图所示，等腰直角三角形ABC 中，∠A =90°，BC =2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA =1，且E 为DA 的中点.求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值.解 取AC 的中点F ，连接EF ，BF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点，∴EF ∥CD ，∴∠BEF 即为异面直线BE 与CD 所成的角或其补角.在Rt △EAB 中，AB =AC =1，AE =21AD =21，∴BE =25， 在Rt △EAF 中，AF =21AC =21，AE =21，∴EF =22， 在Rt △BAF 中，AB =1，AF =21，∴BF =25， 在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB =254221=BE EF =1010， ∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010.一、填空题1.若直线a 与b 是异面直线，直线b 与c 是异面直线，则直线a 与c 的位置关系是 .答案 平行、相交或异面2.给出下列命题：①若平面α内的直线a 与平面β内的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么直线c 至多与a 、b 中的一条相交； ②若直线a 与b 为异面直线，直线b 与c 平行，则直线a 与c 异面；③一定存在平面α和异面直线a 、b 同时平行.其中正确命题的序号是 .答案 ③3.已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ,则c 与b 的位置关系 . ①一定是异面直线 ②一定是相交直线 ③不可能是平行直线④不可能是相交直线答案 ③4.若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则说法错误的有 （填序号）.①过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行②过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直③过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交④过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面答案 ①③④5.（2008·辽宁文）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1、EF 、CD 都相交的直线有 条.答案 无数6.正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为 .答案 54 7.如图所示，在三棱锥C —ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD =2AB =4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是 .答案 30°8.已知a 、b 为不垂直的异面直线,α是一个平面，则a 、b 在α上的射影可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线； ③同一条直线；④一条直线及其外一点. 则在上面的结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.答案 ①②④二、解答题9.如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点.求证：（1）E ，C ，D 1，F 四点共面；（2）CE ，D 1F ，DA 三线共点.证明 （1）如图所示，连接CD 1，EF ，A 1B ，∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B 且EF =21A 1B ， 又∵A 1D 1 BC , ∴四边形A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1，∴EF 与CD 1确定一个平面α，∴E ，F ，C ，D 1∈α，即E ，C ，D 1，F 四点共面.（2）由（1）知EF ∥CD 1，且EF =21CD 1， ∴四边形CD 1FE 是梯形，∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，则P ∈CE ⊂平面ABCD ，且P ∈D 1F ⊂平面A 1ADD 1，∴P ∈平面ABCD 且P ∈平面A 1ADD 1.又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1=AD ，∴P ∈AD ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点.10.定线段AB 所在的直线与定平面α相交，P 为直线AB 外的一点，且P 不在α内，若直线AP 、BP 与α分别交于C 、D 点，求证：不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点.证明 设定线段AB 所在直线为l ,与平面α交于O 点，即l ∩α=O .由题意可知，AP ∩α=C ，BP ∩α=D ，∴C ∈α，D ∈α.又∵AP ∩BP =P ,∴AP 、BP 可确定一平面β且C ∈β，D ∈β.∴CD =α∩β.∵A ∈β，B ∈β,∴l ⊂β,∴O ∈β.∴O ∈α∩β，即O ∈CD .∴不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点.11.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为CC 1、AA 1的中点，画出平面BED 1F与平面ABCD 的交线.解 在平面AA 1D 1D 内，延长D 1F ，∵D 1F 与DA 不平行，因此D 1F 与DA 必相交于一点，设为P ，则P ∈FD 1，P ∈DA .又∵FD 1⊂平面BED 1F ，AD ⊂平面ABCD ，∴P ∈平面BED 1F ，P ∈平面ABCD .又B 为平面ABCD 与平面BED 1F 的公共点，连接PB ，∴PB 即为平面BED 1F 与平面ABCD 的交线.如图所示.12.如图所示，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是线段AD 、BC 上的点，ED AE =FC BF =21，AB =CD =3，EF =7，求AB 、CD 所成角的大小.解 如图所示，在线段BD 上取一点G ，使GD GB =21.连接GF 、GE 、EF . ED AE =GD BG =FC BF =21，GE ∥AB ，且GE =32AB =2， 同理，GF ∥CD ，且GF =31CD =1， 在△EGF 中，cos ∠EGF =12271222⨯⨯-+=-21, ∴∠EGF =120°.由GF ∥CD ,GE ∥AB 可知,AB 与CD 所成的角应是∠EGF 的补角为60°.。
高考数学一轮复习 7.3空间点、直线、平面之间的位置关
【与名师对话】2016版高考数学一轮复习 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系课时跟踪训练文一、选择题1．(2015·福州质检)已知命题“直线l与平面α有公共点”是真命题，那么下列命题：①直线l上的点都在平面α内；②直线l上有些点不在平面α内；③平面α内任意一条直线都不与直线l平行．其中真命题的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0解析：直线l与平面α有公共点可知直线l与平面α相交或l⊂α，此时易得题目中所给的三个命题均为假命题，故选D.答案：D2．(2015·江西宜春模拟)设a与b是异面直线，下列命题正确的是( )A．过空间任意一点必可作一直线与a、b相交B．a、b的公垂线有无数条C．不存在两条相交直线与a、b都相交D．过直线a有且仅有一个平面与b平行解析：由异面直线性质可知D正确，故选D.答案：D3．已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则( )A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能解析：在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．答案：D4．以下四个命题中，正确命题的个数是( )①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E 共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3解析：对于①，不共面的四点中，其中任意三点不共线，故①正确；对于②，若A，B，C共线时，A，B，C，D，E不一定共面，故②不正确；对于③，b，c也可异面，故③不正确；④是错误的．选B.答案：B5．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.答案：D6．(2015·浙江杭州质检)如图，平面a与平面b交于直线l，A，C是平面a内不同的两点，B，D是平面b内不同的两点，且A，B，C，D不在直线l上，M，N分别是线段AB，CD的中点，下列判断正确的是( )A．若AB与CD相交，且直线AC平行于l时，则直线BD与l可能平行也有可能相交B．若AB，CD是异面直线时，则直线MN可能与l平行C．若存在异于AB，CD的直线同时与直线AC，MN，BD都相交，则AB，CD不可能是异面直线D．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交解析：对于A，直线BD与l只能平行；对于B，直线MN与l异面；对于C，AB与CD 可能为异面直线．当直线AB与CD的中点M，N重合时，必有直线AC∥l，故不可能相交，综上所述，故选D.答案：D二、填空题7．在下列命题中，所有正确命题的序号是________．①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；②经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；③经过两条相交直线，有且只有一个平面；④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合；⑤四边形确定一个平面．解析：两平面相交，它们有无数个公共点，故①是错误的；②、③、④正确；空间四边形不一定确定一个平面，故⑤是错误的．答案：②③④8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为__________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．解析：AM与C1C异面，故①错；AM与BN异面，故②错；③，④正确．答案：③④9．如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.答案：②③④三、解答题10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在棱A1A和C1C上(含线段端点)，且AE ＝C1F.证明：B、E、D1、F四点共面．证明：如图所示，在B1B上取点G，使得GB1＝FC1，连接FG、A1G，则BG＝EA1.∵B 1G 、C 1F 平行且相等， ∴四边形B 1C 1FG 为平行四边形， ∴FG 、B 1C 1、A 1D 1平行且相等，∴四边形A 1D 1FG 为平行四边形，∴A 1G ∥D 1F . ∵BG 、A 1E 平行且相等， ∴四边形A 1EBG 为平行四边形， ∴A 1G ∥BE ，∴BE ∥D 1F . ∴B 、E 、D 1、F 四点共面．11．如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于H ，连接EH .(1)求AH ∶HD ；(2)求证：EH 、FG 、BD 三线共点． 解：(1)∵AE EB ＝CF FB＝2，∴EF ∥AC .∴EF ∥平面ACD ，而EF ⊂平面EFGH ，且平面EFGH ∩平面ACD ＝GH ，∴EF ∥GH ，而EF ∥AC ，∴AC ∥GH ，∴AH HD ＝CGGD＝3，即AH ∶HD ＝3∶1.(2)证明：∵EF ∥GH ，且EF AC ＝13，GH AC ＝14，∴EF ≠GH .∴四边形EFGH 为梯形．令EH ∩FG ＝P ，则P ∈EH ，而EH ⊂平面ABD ，P ∈FG ，FG ⊂平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴P ∈BD .∴EH 、FG 、BD 三线共点．12．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值的大小． 解：(1)由已知可求得，正方形ABCD 的面积S ＝4， 所以，四棱锥O －ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.(2)连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE ， 则∠EMD 为异面直线OC 与MD 所成的角(或其补角)，由已知，可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5， ∵(2)2＋(3)2＝(5)2，∴△DEM 为直角三角形， ∴tan ∠EMD ＝DE EM＝23＝63.。
35空间点、直线、平面之间的位置关系-高考文科数学押题专题训练.docx
1.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面。
其屮正确的序号是（）A.①B.①④C,②③D.③④【答案】A【解析】因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确走的平面个数是1或3,所以④不正确，故选4。
2.若直线臼平行于平面。
，则下列结论错误的是（）A.$平行于a内的所有直线B.。
内有无数条直线与日平行C.直线日上的点到平面a的距离相等D.（】内存在无数条直线与臼成90°角【解析】选A.若直线"平行于平面则。
内既存在无数条直线与臼平行，也存在无数条直线与臼异面且垂直，所以A不正确，B、D正确.又夹在相互平行的线与平面|'可的平行线段相等，所以C正确.3.已知臼，方是两条不重合的直线，a, 0是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A.a// b, Z K=a ,则a// aB.bu a,别 8, b〃0,则a〃0C.仪丄a , b// a ,则aA-bD.当a ,且M. a时，若b// a ,则a//b【解析】选C. A选项是易错项，由a//by Zxz a ,也可能推出臼u a； B中的直线臼，方不一定相交，平面a, 0也可能相交；C正确；D中的直线白，方也可能异面.4.已知直线日，b,平面a ,则以下三个命题：①若日〃力，力u a ,则日〃 a ；②若all b、a// Q ,则b// u-③若a// a, b// a,则a//b.其屮真命题的个数是（）A.0B. 1C. 2D. 3【解析】选A对于①，若aH b, b匸j贝i］应有a“a或兀為所以①不正确；对于②，若a”® alia, 则应有Ma或比為因此②不正确；对于③，若a"刘blla,则应有边"或么与b相交或。
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专题39 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面。
其中正确的序号是( )
A．① B．①④
C．②③ D．③④
A。
答案：A
2．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是( )
A．a平行于α内的所有直线
B．α内有无数条直线与a平行
C．直线a上的点到平面α的距离相等
D．α内存在无数条直线与a成90°角
解析：选A.若直线a平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面且垂直，所以A不正确，B、D正确．又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确．
3．已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( ) A．a∥b，b⊂α，则a∥α
B．a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β
C．a⊥α，b∥α，则a⊥b
D．当a⊂α，且b⊄α时，若b∥α，则a∥b
解析：选C.A选项是易错项，由a∥b，b⊂α，也可能推出a⊂α；B中的直线a，b不一定相交，平面α，β也可能相交；
C正确；D中的直线a，b也可能异面．
4．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：
①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；
③若a∥α，b∥α，则a∥b.
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A.对于①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①不正确；对于②，若a ∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②不正确；对于③，若a∥α，b∥α，则应有a ∥b或a与b相交或a与b异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．
5．已知直线a与平面α、β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( ) A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
解析：选D.设直线a和点B所确定的平面为γ，则α∩γ＝a，记β∩γ＝b，∵α∥β，∴a∥b，故存在唯一一条直线b与a平行．
6．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是( )
A．垂直B．相交不垂直
C．平行 D．重合
7．正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确的命题是( )
A ．AE ⊥CG
B ．AE 与CG 是异面直线
C ．四边形AEC 1F 是正方形
D ．A
E ∥平面BC 1F
面BC 1F .
8．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；
③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，且n ∥β，则l ∥m . 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：选B.易知①正确；②错误，l 与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说明，④正确，可以以三棱柱为例证明．
9．如图所示，ABCD A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，
P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a
3
，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝
________.
解析：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，
∴MN ∥PQ .∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，
AP ＝a 3
，
∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223
a .
答案：223
a
10．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________． 解析：根据题意可得到以下如图两种情况：
可求出BD 的长分别为24
5或24.
答案：24或24
5
11．在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面PAO .
答案：Q 为CC 1的中点
12．如图E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点．求证：
(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .
证明：(1)取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥GE ，
由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.
13．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点E在线段B1C1上，B1E＝3EC1，试探究：在AC上是否存在点F，满足EF∥平面A1ABB1？若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．
解：法一：当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.
证明如下：在平面A 1B 1C 1内过点E 作EG ∥A 1C 1交A 1B 1于点G ，连接AG . ∵B 1E ＝3EC 1，∴EG ＝3
4A 1C 1，
又AF ∥A 1C 1且AF ＝3
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A 1C 1，
∴FG ∥AB ，又AB ⊂平面A 1ABB 1，FG ⊄平面A 1ABB 1， ∴FG ∥平面A 1ABB 1.
又EG ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EG ∩FG ＝G ， ∴平面EFG ∥平面A 1ABB 1.
∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面A1ABB1.
14．如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点．求证：DM∥平面BEC.
(3)在(2)的条件下，在线段AD上是否存在一点N，使得BN∥面DEC，并说明理由．
证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.
由于CB＝CD，所以CO⊥BD，
又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，
所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，
又O为BD的中点，所以BE＝DE.
又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，
所以DN∥平面BEC.
又MN∩DN＝N，
故平面DMN∥平面BEC，
又DM⊂平面DMN，
所以DM∥平面BEC.
法二：延长AD，BC交于点F，连接EF.
所以DM∥平面BEC.
(3)存在点N为AD的中点
取AD的中点N，连接BN，O为BD的中点由(2)可知∠DCO＝60°，∴∠BDC＝30°，又∵DBN＝30°，∴BN∥DC.
DC⊂面DEC，∴BN∥面DEC.。