九年级数学下第一章直角三角形的边角关系全章综合测评题(附答案)
北师大版数学九年级下册 第1章《直角三角形的边角关系》 单元综合测试卷 (含答案)
北师大版数学九年级下册 第1章《直角三角形的边角关系》单元综合测试卷 （含答案）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝25，AC ＝15，则∠A 的度数为( )A ．30°B ．450°C ．60°D ．75°2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，AB ＝13，则sinA 的值为( )A.512B.513C.1213D.13123．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝23，则BC 的长为( ) A ．4 B ．2 5 C.181313 D.1213134．如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ∶CD ＝3∶2，则tanB 等于( ) A.32 B.23 C.62 D.635．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，cosA ＝35，BE ＝4，则tan ∠DBE 的值是( ) A ．1 B ．2 C. 32D.36. 如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若AB ＝16，BC ＝12，则sin α＝( )A.33 B ．12 C. 32 D ．347．已知α为锐角，且cos α＝13，则tan α＋cos α1＋sin α＝( ) A. 23 B ．1 C. 32 D ．38．如图，在大楼AB 正前方有一斜坡CD ，坡角∠DCE ＝30°，楼高AB ＝60米，在斜坡下的点C 处测得楼顶B 的仰角为60°，在斜坡上的D 处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A ，C ，E 在同一直线上．则坡底C 点到大楼距离AC 的值是( ) A. 203米 B ．303米 C. 202米 D ．302米9．如图，小华站在河岸上的G 点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C 的俯角是∠FDC ＝30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BG ＝0.7米，BG 平行于AC 所在的直线，迎水坡i ＝4∶3，坡长AB ＝8米，点A ，B ，C ，D ，F ，G 在同一平面内，则此时小船C 到岸边的距离CA 的长为( )A ．(83－5.5)米B ．(83+5.5) 米C ．(82－5.5) 米D ．(82+5.5) 米10．济南大明湖畔的超然楼被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量．如图，他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60 m 至B 处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，3≈1.7，结果精确到1 m ，则该楼的高度CD 为( )A ．47 mB ．51 mC ．53 mD ．54 m二．填空题（共8小题，3*8=24）11．坡度等于3∶1的斜坡的坡角等于________.12．已知3tanA －3＝0，则∠A ＝_______.13．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若c ＝3a ，则sinA ＝ .14．若△ABC 的周长为60，∠C ＝90°，tanA ＝34，则△ABC 的面积为 .15．某校九(1)班课外活动小组为了测得学校旗杆的高度，他们在离旗杆6米的A 处，用高为1.5米的仪器测得旗杆顶部B 处的仰角为60°，如图，则旗杆的高度为 米(已知3≈1.732，结果精确到0.1米)．16．如图，在高为h 的山顶上，测得一建筑物顶部与底部的俯角分别为30°和60°，用h 表示这个建筑物的高为 .17．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6 m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为 m.18. 如图，小强和小明测量一座古塔的高度，他们在离古塔60米的D 处，用测倾器测得塔顶的仰角为30°，已知测倾器的高AD ＝1.5米，则古塔BE 的高为____________米．三．解答题（共7小题，66分）19．(8分) 计算：(1) sin30°－22cos45°＋13tan 260°； (2)2sin60°－3tan30°＋⎝⎛⎭⎫130＋(－1)2 020.20．(8分)已知在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝24，BC ＝7，求sinA ，cosA ，tanA.21．(8分) 已知α为一锐角，sinα＝a c ＝45，求cosα＝b c ，tanα＝a b的值．22．(10分)如图，已知AC ＝4，求AB 和BC 的长．23．(10分) 如图，已知灯塔A 的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B 处测得灯塔A 在北偏东60°的方向，向正东航行8海里到C 处后，又测得该灯塔在北偏东30°方向，渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁的危险？请通过计算说明理由(参考数据：3≈1.732)．24．(10分) 某旅游区有一个景观奇异的望天洞，点D 是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B处．在同一平面内，若测得斜坡BD的长为100米，坡角∠DBC＝10°，在B处测得A的仰角∠ABC＝40°，在D处测得A的仰角∠ADF＝85°，过点D作地面BE的垂线，垂足为C.求索道AB的长(结果保留根号)．25．(12分)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE，求sin∠ACE的值．参考答案：1-5ACADB 6-10DDAAB11．60°12. 30°13. 1314. 15015. 11.916. 23h17. 10 18. (203＋1.5)19. 解：(1)原式＝12－22×22＋13×(3)2＝12－12＋13×3＝1 (2)原式＝2×32－3×33＋1＋1＝2. 20. 解：∵AB ＝25，AC ＝24，BC ＝7，∴AB 2＝AC 2＋BC 2. ∴△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°.∴sin ∠A ＝BC AB ＝725，cosA ＝AC AB ＝2425，tanA ＝BC AC ＝72421. 解：由sinα＝a c ＝45，设a ＝4x ，c ＝5x ， ∴b ＝c 2－a 2＝3x.∴cosα＝b c ＝35，tanα＝a b ＝43. 22. 解：过点C 作CD ⊥AB 于点D.在Rt △ACD 中，∵∠A ＝30°，∴∠ACD ＝60°，CD ＝12AC ＝2，AD ＝AC·cosA ＝2 3. ∵∠DCB ＝∠ACB －∠ACD ＝45°，∴BD ＝CD ＝2，∴BC ＝2 2.∴AB ＝BD ＋AD ＝2＋2 3.23. 解：有触礁的危险．理由如下：过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D.∵∠ABC ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴∠BAC ＝∠ACD －∠ABC ＝30°＝∠ABC.∴AC ＝BC ＝8海里．在△ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∠ACD ＝60°，∴∠CAD ＝30°，∴CD ＝12AC ＝4(海里)． 由勾股定理，得AD ＝82－42＝43(海里)＜7海里． ∴有触礁的危险．24. 解：过点D 作DG ⊥AB 于点G.在Rt △GDB 中，∵∠GBD ＝40°－10°＝30°，∴∠BDG ＝90°－30°＝60°.又∵BD ＝100米，∴GD ＝12BD ＝50(米)，GB ＝BD·cos30°＝503(米)． 在Rt △ADG 中，∵∠ADG ＝105°－60°＝45°，∴GA ＝GD ＝50米．∴AB ＝AG ＋GB ＝50＋503(米)．答：索道的长为(50＋503)米.25. 解：过点E 作EF ⊥AC 于点F ，则∠CFE ＝90°. ∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，∴∠B ＝∠A ＝45°.∵DE ⊥AB ，∴∠EDB ＝45°.设BE ＝x ，则DE ＝x ，BD ＝2x.∵D 是BC 的中点，∴BC ＝22x ＝AC ，∴AB ＝4x ，AE ＝3x. ∵EF ⊥AC ，BC ⊥AC ，∴EF ∥BC ，∴EF BC ＝AE AB， 即EF 22x ＝3x 4x，解得EF ＝322x ， ∴CF ＝22x ，∴CE ＝5x. ∴sin ∠ACE ＝EF CE ＝31010.。
九年级下册数学单元测试卷-第一章 直角三角形的边角关系-北师大版(含答案)
九年级下册数学单元测试卷-第一章直角三角形的边角关系-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）（）A.36.21米B.37.71米C.40.98米D.42.48米2、如图，已经点在反比例函数上，点，在轴上，使得，点在线段上，且满足，连接并延长交轴于点.若的面积为6，则的值为（）A.-5B.-6C.-8D.-73、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，若∠A=22.5°，AB= ,则CE 的长为（）A. B. C. D.4、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P为上一点，则tan∠APC的值为（）A. B. C. D.15、如果a是锐角，且cosa= ，那么sina的值是（）A. B. C. D.6、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（）A.sinA=B.cosA=C.tanA=D.cotA=7、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE的值是（）8、如图，四边形 ABCD中，BD是对角线，AB=BC，∠ABC=60°，CD=4，∠ADC=60°，则△BCD的面积为（）A.4B.8C.2 +4D.9、一副三角板按图1所示的位置摆放．将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（）A.75cm 2B.（25+25 ）cm 2C.（25+ ）cm 2D.（25+）cm 210、公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sinθ+cosθ）2＝（）11、如图，⊙O与正方形ABCD是两边AB，AD相切，DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD 的边长为5，DE＝3，则tan∠ODE为（）A. B. C. D.12、如图，△ABC为格点三角形（顶点皆在边长相等的正方形网格的交叉点处），则cosB 等于（）A. B. C. D.13、如图，小明为了测量照母山上“览星塔”的高度，先从与塔底中心在同一水平面上的点出发，沿着坡度为的斜坡行走10米至坡顶处，再从处沿水平方向继续前行若干米后至点处，在点测得塔顶的仰角为，塔底的俯角为，与的水平距离为4米（图中、、、、、在同一平面内，、和、、分别在同一水平线上），根据小明的测量数据，计算出“览星塔”的高度约为（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，）（）A.17.8米B.23.7米C.31.5米 D.37.4米14、在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC的长为（）A.10tan50°B.10sin40°C.10sin50°D.15、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、已知与在同一平面内，点C，D不重合，，，，则CD长为________.17、已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是________．18、请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一小题计分．A．今年初中毕业生约为12.3万，用科学记数法表示为________人B．用科学计算器计算：•cos14°=________（结果精确到0.1）19、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为________20、计算：2sin245°﹣tan45°＝________.21、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M．若经过点M的反比例函数y= （x＜0）的图象交AB于点N，S矩形OABC=32，tan∠DOE= ，则BN的长为________．22、已知，K是图中所示正方体中棱CD的中点，连接KE、AE，则cos∠KEA的值为________．23、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则sin =________24、cos60°的值等于________．25、如图，在中，，，点在边上，点在边上，，，如果的面积是，那么的长是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：（）﹣1﹣2cos30°+ +（2017﹣π）0．27、数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题.28、如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，求调整后的楼梯AC的长．29、如图，一台灯垂直于桌面的底座的高为，台灯的支架的长为，灯管的长为，支架与铅垂线的夹角为，灯管与水平线的夹角为，求灯管顶端D到桌面的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）30、如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B 的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、C3、D4、A5、C6、B7、C9、C10、A11、B12、A13、C14、B15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、19、20、21、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、。
201704九年级下第一章直角三角形的边角关系全章综合测评题含答案
全章综合测评题一、选择题1.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，若2AC BC =，则sin A 的值是（ ）A.12B.2 2.如图，ABC △的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tan A 的值是（ ）A.65B.563.在ABC △中，若cos A =，tan B = ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形4.如图，在平地上种树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ，如果在坡度为0.5的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ） 2.24）A.4.5mB.4.6mC.6mD.8m5.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，若4AB =，3sin 5A =，则斜边上的高等于（ ） A.6425 B.4825 C.165 D.1256.甲、乙、丙三个梯子斜靠在一堵墙上（梯子顶端靠谱），小明测得：甲与地面的夹角为60︒；乙的底3 ）A.甲较陡B.乙较陡C.丙较陡D.一样陡7.如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70︒方向的M 处，它以每小时40海里的速度向正北方方向航行，2小时后到达位于灯塔P 的北偏东40︒方向的N 处，则N 处与灯塔P 的距离为（ ）A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里8.小亮在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5︒角的正切值是（ ）1 1 C.2.5二、填空题9.计算：()0212sin 45π 3.142--︒+-+=________. 10.周长为20的等腰三角形，一边长为6，则底角的余弦值为______.11.如图，小颖利用有一个锐角是30︒的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛与地面的距离），那么这棵树高是______m .（结果保留根号）12.如图，一个小球由地面沿着坡度1:3i =的坡面向上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为_____m .13.如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC 为3米，引桥的坡角ABC ∠为15︒，则引桥的水平距离BC 的长是______米.（精确到0.1米，sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）14.在平面直角坐标系中，已知()2,3P ，OP 与x 轴所夹锐角为α，则tan α=_____.15.将一副三角尺如图所示叠放在一起，若14cm AB =，则阴影部分的面积是______2cm .16.如图，已知直线1234l l l l ∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α=______.三、解答题17.水务部分为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD ，如图所示，已知迎水坡面AB 的长为16米，60B ∠=︒，背水坡面CD 的长为ABED ，CE 的长为8米.（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后大坝背水坡面DE 的坡度.18.如图所示，秋千链子的长度为3m ，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m ，秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为53︒，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？（参考数据：sin 530.8︒≈，cos530.6︒≈）19.如图，某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22︒是，教学楼在建筑物的墙上留下高2m 的影子CE ；而当光线与地面的夹角是45︒时，教学楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13m 的距离（B 、F 、C 在一条直线上）.求教学楼AB 的高度. （参考数据：3sin228︒≈，15cos2216︒≈，2tan 225︒≈）20.小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图所示是晒衣架的侧面示意图，立杆AB 、CD 相交于点O ，B 、D 两点立于地面，经测量：136cm AB CD ==，51cm OA OC ==，34cm OE OF ==，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段，且32cm EF =.（1）求扣链EF 与立杆AB 的夹角OEF ∠的度数.（精确到0.1︒）（2）小红的连衣裙挂在衣架后的总长度达到122cm ，垂挂在晒衣架上是否拖落到地面？通过计算说明理由.（参考数据：sin 61.90.882︒≈，cos61.90.471︒≈，tan 28.10.533︒≈）聊旺角认识新朋友——正弦：小菱形面积的性质新朋友——正弦，它已帮我们解决了好几个题目，但我们对它了解得却并不多，现在就来熟悉一下它. 正弦性质1：sin 0sin1800︒=︒=，sin 901︒=.道理很简单：菱形的一个角为0︒或180︒时，菱形就退化为线段；面积当然是0，菱形的一个角为90︒时，菱形就是正方形，因此，sin 90︒就是单位正方形的面积，当然是1.（如图1-1）正弦性质2：()sin 180sin αα︒-=.这是因为，当菱形有一角为α时，必有另一个角等于180α︒-，因此，sin α和()sin 180α︒-按定义表示的是同一块面积.（如图1-2）当菱形一个角为0︒时，面积为0，这个角慢慢变大时，菱形面积也随着增大，直到变为正方形，这个角继续变大时，菱形面积又变小，直到变成0，这种性质也体现在正弦的性质上.在我们的书上，直接规定“直角三角形中锐角的正弦sin A 等于A ∠的对边与斜边之比”，这种用直角三角形的边长之比来定义正弦的方法，是18世纪的大数学家欧拉首先引进的，关于正弦的性质我们将在以后继续学习，有兴趣的同学可以试一试.创新寄语提出新的疑问，新的可能，从新的角度看老问题，需要创造性的想象力，并且标志着科学的真正进步. 答案一、1.C2.A3.A4.A5.B6.D7.D8.B二、 9.1410.23或373213.11.1 14.3215.49三、17.（1）（2 18.1.7m19.12m20.解：（1）如图，在OEF △中，34cm OE OF ==，32cm EF =，作OM EF ⊥于点M ，则16cm EM =，16cos 0.47134EM OEF OE ∠==≈∴， 61.9OEF ∠=︒∴（2）小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面.理由：EF BD ∵∥，61.9ABD OEF ∠=∠=︒∴过点A 作AH BD ⊥于点H在Rt ABH △中，sin AH AND AB∠=∵，()sin 136sin61.91360.882120.0cm AH AB ABD ⋅=∠=⨯︒≈⨯≈∴ ∵小红的连衣裙挂在晒衣架后总长度122cm >晒衣架高度120.0cm ， ∴会拖落到地面上.。
北师大版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 测试题 (含答案)
直角三角形的边角关系 测试题一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，cos A ＝1213，则tan A 的值为( )A.125B.1312C.1213D.512第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A.53 B.255 C.52 D.233.如图，在△ABC 中，点E 在AC 上，点G 在BC 上，连接EG ，AE ＝EG ＝5，过点E 作ED ⊥AB ，垂足为D ，过点G 作GF ⊥AC ，垂足为F ，此时恰有DE ＝GF ＝4.若BG ＝25，则sin B 的值为( )A.2510B.510C.255D.55 4.如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，则点O ′的坐标是( )A ．(3，3)B ．(3，3)C ．(2，23)D ．(23，4) 5．tan45°的值为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 6．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 的值为( ) A.12 B.22 C.32D ．1第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．m sin35° B ．m cos35° C.m sin35° D.mcos35°8．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫33－tan B 2＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题9.运用科学计算器计算：317sin73°52′≈________(结果精确到0.1)． 10.计算：cos30°－sin60°＝________.11.如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1∶1.5，上底宽为6m ，路基高为4m ，则路基的下底宽为________m.12.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，tan A ＝43，AB ＝15，AC ＝________．第11题图 第12题图 第13题图 第14 题图13.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，AN ⊥CM ，交BC 于点N .若CM ＝3，AN ＝4，则tan ∠CAN 的值为________．14.如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里(结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)．三、解答题15.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB (结果保留根号)．16.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．17.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b的值．解：在△ABC中，∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝6sin30°sin45°＝6×1222＝3 2.解决问题：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？参考答案与解析1.D2.A3．C 解析：在Rt △ADE 与Rt △EFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝EG ，DE ＝GF ， ∴Rt △ADE ≌Rt △EFG (HL)，∴∠A ＝∠GEF .∵∠A ＋∠AED ＝90°，∴∠GEF ＋∠AED＝90°，∴∠DEG ＝90°.过点G 作GH ⊥AB 于点H ，则四边形DEGH 为矩形，∴GH ＝DE ＝4.在Rt △BGH 中，sin B ＝GH BG ＝425＝255.故选C.4．A 解析：过点O ′作O ′C ⊥x 轴于点C .∵直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴点A ，B 的坐标分别为(23，0)，(0，2)，∴tan ∠BAO ＝OB OA ＝223＝33，∴∠BAO＝30°.∵把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，∴O ′A ＝OA ＝23，∠O ′AO ＝60°，∴CA ＝12O ′A ＝3，O ′C ＝O ′A ·sin ∠O ′AC ＝23×32＝3，∴OC ＝OA －CA ＝23－3＝3，∴点O ′的坐标为(3，3)．故选A. 5．B 6.B 7.A 8.D 9.11.9 10．0 11.18 12.913.23 解析：∵∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，∴AB ＝2CM ＝6，CM ＝BM ，∴∠B ＝∠MCB .∵AN ⊥CM ，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°.又∵∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠CAN ＝∠MCB ，∴∠B ＝∠CAN .又∵∠ACN ＝∠BCA ，∴△CAN ∽△CBA ，∴CN CA ＝AN BA ＝46＝23，∴tan ∠CAN ＝CN AC ＝23.14．11 解析：过点P 作PC ⊥AB 于点C .依题意可得∠A ＝30°，∠B ＝55°.在Rt △P AC 中，∵P A ＝18海里，∠A ＝30°，∴PC ＝12P A ＝12×18＝9(海里)．在Rt △PBC 中，∵PC ＝9海里，∠B ＝55°，∴PB ＝PC sin B ≈90.8≈11(海里)．15．解：过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则BF ＝CD ＝4米，CF ＝BD .设AF ＝x 米．在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AF CF ，∠ACF ＝α＝30°，则CF ＝AF tan30°＝3x 米．在Rt △ABE 中，AB ＝AF ＋BF ＝(x ＋4)米，tan ∠AEB ＝AB BE ，∠AEB ＝β＝60°，则BE ＝AB tan60°＝33(x ＋4)米．∵CF ＝BD ＝DE ＋BE ，∴3x ＝3＋33(x ＋4)，解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米)． 答：树高AB 是33＋122米．16．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33，∴α＝30°； (2)文化墙PM 不需要拆除．理由如下：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米．∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面AC 的坡度为1∶3，∴BD ＝CD ＝6米，AD ＝3CD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，∴文化墙PM 不需要拆除．17．解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．证明如下：由题意可得A 2B 2＝102海里，A 1A 2＝302×2060＝102(海里)，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形；(2)由(1)可知△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝102海里，∠A 2A 1B 2＝60°，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.由题意可知∠CB 1A 1＝180°－105°＝75°，∴∠B 2B 1A 1＝75°－15°＝60°.在△A 1B 2B 1中，由正弦定理得B 1B 2sin45°＝A 1B 2sin60°，∴B 1B 2＝A 1B 2sin60° ·sin45°＝10232×22＝2033(海里)．乙船的速度为2033÷2060＝203(海里/时)． 答：乙船每小时航行203海里.。
第一章《直角三角形的边角关系》单元测试题(含答案)
第一章 直角三角形的边角关系一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，那么sin A 的值为( )A.12B.22C.32 D ．1 2．在△ABC 中，∠C ，∠B 为锐角，且满足⎪⎪⎪⎪sin C －22＋(32－cos B )2＝0，则∠A 的度数为( )A ．100°B ．105°C ．90°D ．60°3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝20，cos A ＝14，则AC 等于( )A ．45B ．5 C.15 D.1454．在Rt △ABC 中，如果边长都扩大为原来的5倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值和正切值( )A ．都没有变化B ．都扩大为原来的5倍C ．都缩小为原来的15D ．不能确定5．如图1－Z －1，过点C (－2，5)的直线AB 与坐标轴分别交于A (0，2)，B 两点，则tan ∠OAB 的值为( )图1－Z －1A.25B.23C.52D.326．如图1－Z －2①为折叠椅，图②是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB 和CD 的长度相等，O 是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32 cm ，∠DOB ＝100°，那么椅腿AB 的长应设计为(结果精确到0.1 cm ，参考数据：sin50°＝cos40°≈0.77，sin40°＝cos50°≈0.64，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19)( )图1－Z －2A ．38.1 cmB ．49.8 cmC ．41.6 cmD ．45.3 cm 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 7．在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝14，则tan B ＝________．8．如图1－Z －3，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝________．图1－Z －39．如图1－Z －4，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE ＝6，sin A ＝35，则菱形ABCD 的周长是________．图1－Z －410．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度，如图1－Z －5，在教学楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D 处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为________米．图1－Z －511．已知△ABC 中，tan B ＝23，BC ＝6，过点A 作BC 边上的高，垂足为D ，且满足BD ∶CD ＝2∶1，则△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，共56分) 12．(8分)计算：24sin45°＋cos 230°－12tan60°＋2sin60°.13．(10分)如图1－Z －6，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝22，CD ＝8，tan A ＝43.求：(1)BD 的长； (2)sin B 的值．图1－Z －614．(12分)某大坝修建有以下方案：大坝的横断面为等腰梯形，如图1－Z －7，AD ∥BC ，坝高10米，迎水坡面AB 的坡度i ＝53，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB 的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE 的坡度i ＝56.(1)求原方案中此大坝迎水坡AB 的长(结果保留根号)；(2)如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC 方向拓宽2.7米，求坝底将会沿AD 方向加宽多少米．图1－Z －715．(12分)“和谐号”高铁列车的小桌板收起时可近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平，其示意图如图1－Z －8所示．连接OA ，此时OA ＝75 cm ，CB ⊥AO ，∠AOB ＝∠ACB ＝37°，且桌面宽OB 与BC 的长度之和等于OA 的长度．求支架BC 的长度(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)．图1－Z －816．(14分)我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)．如图1－Z －9①，在△ABC 中，AB ＝AC ，底角∠B 的邻对记作can B ，这时can B ＝底边腰＝BCAB .容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：(1)can30°＝________；(2)如图②，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，can B ＝85，S △ABC ＝24，求△ABC 的周长．图1－Z －9详解详析1．[解析] A ∵∠C ＝90°，AB ＝2BC ，∴sin A ＝BC AB ＝12.故选A.2．[解析] B ∵⎪⎪⎪⎪sin C －22＋(32－cos B )2＝0，∴sin C －22＝0，32－cos B ＝0，则sin C ＝22，cos B ＝32，故∠C ＝45°，∠B ＝30°，∴∠A ＝180°－45°－30°＝105°.故选B. 3．[答案] B4．[解析] A 三角函数值的大小只与角的大小有关，当角度一定时，其三角函数值不变． 5．[解析] B 方法1：设直线AB 的表达式是y ＝kx ＋b .根据题意，得⎩⎨⎧－2k ＋b ＝5，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32，b ＝2，则直线AB 的表达式是y ＝－32x ＋2.在y ＝－32x ＋2中令y ＝0，解得x ＝43.则点B 的坐标是(43，0)，即OB ＝43.则tan ∠OAB ＝OB OA ＝432＝23.故选B.方法2：过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，∵C (－2，5)， ∴CD ＝2，OD ＝5.∵A (0，2)，∴OA ＝2， ∴AD ＝OD －OA ＝3.在Rt △ACD 中，tan ∠OAB ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝23.故选B.6．[解析] C 连接BD ，由题意得OA ＝OB ＝OC ＝OD .∵∠DOB ＝100°，∴∠DAO ＝∠ADO ＝50°，∠OBD ＝∠ODB ＝40°，∴∠ADB ＝90°.又∵BD ＝32 cm ，∴AB ＝BD sin ∠DAO ≈320.77≈41.6(cm)．故选C. 7．[答案] 158．[答案] 12[解析] 过点A 作AD ⊥OB ，垂足为D ，如图，在Rt △AOD 中，AD ＝1，OD ＝2，则tan ∠AOB ＝AD OD ＝12. 9．[答案] 40[解析] ∵DE ⊥AB ，垂足是E ，∴△AED 为直角三角形，则sin A ＝DE AD ，即35＝6AD ，∴AD ＝10，∴菱形ABCD 的周长为10×4＝40.10．[答案] 9[解析] 过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，由题意可知，四边形ACDE 为矩形，则AE ＝CD ＝6米，AC ＝DE .设BE ＝x 米．在Rt △BDE 中，∵∠BED ＝90°，∠BDE ＝30°，∴DE ＝3BE ＝3x 米，∴AC ＝DE ＝3x 米． 在Rt △ABC 中， ∵∠BAC ＝90°，∠ACB ＝60°， ∴AB ＝3AC ＝3×3x ＝3x (米)． ∵AB －BE ＝AE ，∴3x －x ＝6， ∴x ＝3，∴AB ＝3×3＝9(米)， 即旗杆AB 的高度为9米． 11．[答案] 8或24[解析] △ABC 有两种情况：(1)如图①所示，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝4.∵AD ⊥BC ，tan B ＝23，∴AD BD ＝23，∴AD＝23BD ＝83，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×83＝8；(2)如图②所示，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝12.∵AD ⊥BC ，tan B ＝23，∴AD BD ＝23，∴AD ＝23BD ＝8，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×8＝24.综上所述，△ABC 的面积为8或24.12．解：原式＝24×22＋(32)2－12×3＋2×32 ＝14＋34－36＋ 3 ＝1＋5 36.13．[解析] (1)根据在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝22，CD ＝8，tan A ＝43，可以求得AD 的长，从而可以求得BD 的长；(2)由(1)中BD 的长和题目中CD 的长可以求得BC 的长，从而可以求得sin B 的值．解：(1)∵在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝8，tan A ＝43，∴tan A ＝CD AD ＝43，解得AD ＝6，∴BD ＝AB －AD ＝22－6＝16.(2)由(1)知BD ＝16，∵CD ⊥AB ，CD ＝8， ∴BC ＝CD 2＋BD 2＝82＋162＝8 5，∴sin B ＝CD BC ＝88 5＝55.14．[解析] (1)过点B 作BF ⊥AD 于点F ，在直角三角形ABF 中求得AF ，AB 的长； (2)过点E 作EG ⊥AD 于点G ，延长EC 至点M ，延长AD 至点N ，连接MN . 由S △ABE ＝S 梯形CMND 从而求得DN 的长．解：(1)如图，过点B 作BF ⊥AD 于点F . 在Rt △ABF 中，∵i ＝BF AF ＝53，且BF ＝10米，∴AF ＝6米，∴AB ＝102＋62＝2 34(米)．答：原方案中此大坝迎水坡AB 的长为2 34米． (2)如图，过点E 作EG ⊥AD 于点G . 在Rt △AEG 中，∵i ＝EG AG ＝56，且EG ＝BF ＝10米，易得AG ＝12米，BE ＝GF ＝AG －AF ＝6米． 延长EC 至点M ，延长AD 至点N ，连接MN .∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变， ∴S △ABE ＝S 梯形CMND ， ∴12·BE ·EG ＝12(MC ＋ND )·EG ， 即BE ＝MC ＋ND ，∴ND ＝BE －MC ＝6－2.7＝3.3(米). 答：坝底将会沿AD 方向加宽3.3米．15．解：延长CB 交AO 于点D ，∴CD ⊥OA . 设BC ＝x cm ，则OB ＝(75－x )cm. 在Rt △OBD 中，∵∠DOB ＝37°， ∴OD ＝OB ·cos ∠DOB ≈0.8(75－x )＝(60－0.8x )cm ，BD ＝OB ·sin ∠DOB ≈0.6(75－x )＝(45－0.6x )cm ，∴DC ＝BD ＋BC ≈(0.4＋45x )cm.在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝37°，∴AD ＝DC ·tan ∠ACD ≈0.75(0.4x ＋45)＝(0.3x ＋33.75)cm. ∵OA ＝AD ＋OD ＝75 cm ，∴0.3x ＋33.75＋60－0.8x ＝75， 解得x ≈37.5， ∴BC ≈37.5 cm ，故支架BC 的长度约为37.5 cm. 16．解：(1) 3(2)过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵can B ＝85，可设BC ＝8x ，AB ＝5x ，则BE ＝12BC ＝4x ，∴AE ＝AB 2－BE 2＝3x .∵S △ABC ＝24， ∴12BC ·AE ＝12x 2＝24， 解得x ＝2(负值已舍去)，故AB ＝AC ＝5 2，BC ＝8 2， ∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝5 2＋5 2＋8 2＝18 2.。
(好题)初中数学九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若5sin 13A =，则cos A 的值为（ ） A ．512 B ．813 C ．1312 D ．12132．如图，传送带和地面所成斜坡AB 的坡度为1∶2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（ ）A ．5米B ．5米C ．25米D ．45米 3．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 上一点，且FC=2BF ，连接AE ，EF ．若AB=2，AD=3，则cos ∠AEF 的值是（ ）A ．12B ．1C ．22D ．324．在Rt ABC 中，∠C ＝90º，下列关系式中错误的是（ ）A ．BC ＝AB•sinAB ．BC ＝AC•tanA C ．AC ＝BC•tanBD ．AC ＝AB•cosB 5．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，8BC =，D ，E 分别为边AB ，BC 上一点，且满足:1:3AD DB =．连接DE ，将ADBE 沿DE 翻折，点B 的对应点F 恰好落在边AC 上，则CF 的长度为（ ）A ．1952055B ．275C ．52055D ．3156．Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，sin A =（ ）A ．55B ．2C ．32D ．127．如图，直线123////l l l ，ABC 的三个顶点分别落在123,,l l l 上，AC 交2l 于点D ，设1l 与2l 的距离为12,h l 与3l 的距离为2h ．若12,:1:2AB BC h h ==，则下列说法正确的是（ ）A ．:2:3ABD ABC S S =B ．:1:2ABD ABC S S =△△C ．sin :sin 2:3ABD DBC ∠∠=D ．sin :sin 1:2ABD DBC ∠∠= 8．在ABC 中，90,13,12C AB BC ∠=︒==，则sin B 的值为（ ）A ．1213B ．512 C ．513 D ．1359．在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =，则tan A 的值为（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．4310．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE CF =；②75AEB ∠=︒；③BE DF EF +=；④正方形对角线：13AC =+，其中正确的序号是（ ）A ．①②④B ．①②C ．②③④D ．①③④ 11．如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转60°后得到△AO'B'，则点B'的坐标是（ ） A ．(4，23)B ．(23，4)C ．（3，3）D ．（23＋2，2） 12．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A B C D 、、、都在这些小正方形的顶点上，AB CD 、相交于点P ，则tan APD ∠=（ ）．A ．5B ．3C ．10D ．2二、填空题13．如图，测角仪CD 竖直放在距建筑物AB 底部8m 的位置，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为50°．若测角仪CD 的高度是1.5m ，则建筑物AB 的高度约为_____m ．（结果精确到个位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）14．如图，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，2AB =，1BC =．将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到''AB C ，连接'B C ，则tan 'ACB ∠=__________．15．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，BD 是AC 边上的中线，则tan ADB ∠的值是______．16．如图，点P (m ，1)是反比例函数3y x=图象上的一点，PT ⊥x 轴于点T ，把△PTO 沿直线OP 翻折得到△PT O '，则点T '的坐标为_______________．17．ABC ∆中，67.5A ，8BC =，BE AC ⊥交AC 于E ，CF AB ⊥交AB 于F ，点D 是BC 的中点．以点F 为原点，FD 所在的直线为x 轴构造平面直角坐标系，则点E 的横坐标为________．18．如图，四边形ABCD 中，AB=BC=3，∠A=∠C=90°，∠ABC=120°，点E 是对角线BD 上的一个动点，过点E 分别作AB ，BC ，CD ，AD 的垂线，垂足分别为点F ，H ，I ，G ，连结FG 和HI ，则FG+HI 的最小值为________．19．如图所示，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，2AB =，8CD =．连接AC ，AC CD ⊥，若1sin 3ACB ∠=，则AD 长度是_________．20．在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，3AB =，4BC =则cos B =______．三、解答题21．计算：20210＋|﹣3|﹣2sin60°．22．如图，根据道路管理规定，在某笔直的大道AB 上行驶的车辆，限速60千米/时，已知测速站点M 距大道AB 的距离MN 为30米，现有一辆汽车从A 向B 方向匀速行驶，测得此车从A 点行驶到B 点所用时间为6秒，已知60AMN ∠=︒，45BMN ∠=︒．（参考数据：3 1.732≈，2 1.414≈）（1）计算AB 的长度（结果保留整数）；（2）试判断此车是否超速，并说明理由．23．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC 是可伸缩的（10m 20m AC ），且起重臂AC 可绕点A 在一定范围内转动，张角为()90150CAE CAE ∠∠︒︒，转动点A 距离地面BD 的高度AE 为3.5m ．（1）当起重臂AC 长度为12m ，张角CAE ∠为120︒时，求云梯消防车最高点C 距离地面的高度CF ；（2）某日、一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为18m ，请问该消防车能否实3 1.732≈）24．如图在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象与反比例函数()0m y m x=≠的图象交于第二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为()6,n ．线段5OA =，E 为x 轴上一点，且4sin 5AOE ∠=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOB的面积；25．（1）解方程：22360x x--=（2）计算：12cos301tan602sin30︒--︒+︒26．为了方便市民出行，县政府决定从“七星广场”河堤到对岸修建一座便民桥．为测量河的宽度，在河的对岸取一点A，在广场河边取两点,O B测得点A在点O的北偏东60︒方向，测得点A在点B北偏东45︒方向，量得OB长为50米，求河的宽度AC（结果保留根号）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由三角函数的定义可知sinBCAAB=，可设BC=5k，AB=13k由勾股定理可求得12AC k=，再利用余弦的定义代入计算即可．【详解】解：如图:在Rt ABC 中，sin BC A AB =，可设BC=5k ，AB=13k ． 由勾股定理可求得()()222213512AC AB BC k k k =-=-=． 所以，1212cos =1313AC k A AB k ==． 故选：D ．【点睛】 本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键．2．C解析：C【分析】作BC ⊥底面于点C ，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可；【详解】作BC ⊥底面于点C ，设BC x =，∵传送带和底面所成斜坡AB 的坡度为1∶2，∴2AC x =，由勾股定理得：222AC BC AB +=，即()222210x x +=，解得：25x =，即25BC =．故答案选C ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，准确计算是解题的关键． 3．C解析：C【分析】连接AF ，根据题意可分别求出BF 、FC 、DE 的长，再利用勾股定理分别求出AF 、AE 、EF 的长，利用勾股定理的逆定理判断出AEF 为等腰直角三角形，再利用三角函数即可求得答案．【详解】如图：连接AF ，四边形ABCD 是矩形∴2,3AB DC AD BC ====∴∠B=∠C=∠D=90°FC=2BF∴BF=1，FC=2E 是CD 的中点∴DE=CE=1∴BF=CE=1在Rt ABF 中22222215AF AB BF =+=+=在Rt EFC 中22222215EF FC CE =+=+=在Rt ADE △中222223110AE AD DE =+=+=∴222AE EF AF =+且AF=EF∴△AEF 为等腰直角三角形∴∠AFE=90°，∠AEF=∠EAF=45°∴cos ∠AEF=cos45°=22故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理及其逆定理的运用，特殊角的三角函数值，解题关键是利用勾股定理逆定理判断出AEF 为等腰直角三角形． 4．D解析：D【分析】根据三角函数的定义即可作出判断．【详解】解：A 、∵sin BC A AB=， ∴sin BC AB A =， 故正确，不符合题意；B 、∵tanA= BC AC， ∴BC=AC•tanA ，故正确，不符合题意；C 、∵tanB=AC BC， ∴AC=BC•tanB ， 故正确，不符合题意；D 、∵cos BC B AB=， ∴cos BC AB B =，故错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．A解析：A【分析】如图，过D 作DM AC ⊥于,M 根据已知条件先求解：,,,AD BD AC 再利用A ∠的三角函数求解,,AM DM 由对折得到：,DF 再利用勾股定理求解MF ，从而由CF AC AM MF =--可得答案．【详解】解：如图，过D 作DM AC ⊥于,M4:1:3,AB AD DB ==，13AD DB ∴==，，90ABC ∠=︒，4AB =，8BC =，22224845,AC AB BC ∴=+=+=1,AD DM AC =⊥，sin ,45DM BC A AD AC ∴=== 255DM ∴=， 同理：5cos ,545AM AB A AD AC ==== 55AM ∴=， 由对折可得：3,DF DB == 22222520535MF DF DM ⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，520519520545CF AC AM MF -∴=--== 故选：.A【点睛】 本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．6．A解析：A【分析】求出斜边AB ，再求∠A 的正弦值．【详解】解：∵90C ∠=︒，2AC =，1BC =，∴2222215AB AC BC +=+= 5sin 5BC A AB ===， 故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理和锐角的正弦函数值的求法，解题关键是求出斜边长，熟知正弦的意义．7．D解析：D【分析】作2⊥AE l ，2⊥CF l ，如图，则1AE h =，2CF h =，利用三角形面积公式可得到12::1:2ABD BCD S S h h ∆∆==，则可对A 、B 进行判断；利用正弦的定义得到1sin h ABD AB ∠=，2sin h DBC BC∠=，利用AB CB =可对C 、D 进行判断． 【详解】 解：作2⊥AE l ，2⊥CF l ，如图，则1AE h =，2CF h =，11122ABD S BD AE BD h ∆==，21122BCE S BD CF BD h ∆==， 12::1:2ABD BCD S S h h ∆∆∴==，:1:3ABD ABC S S ∆∆∴=，所以A 、B 选项错误；在Rt ABE ∆中，1sin h AE ABD AB AB ∠==， 在Rt BCF ∆中，2sin h CF DBC BC BC∠==， 而AB CB =，12sin :sin :1:2ABD DBC h h ∴∠∠==，所以C 选项错误，D 选项正确． 故选：D ．【点睛】本题考查了考查了解直角三角形，也考查了平行线之间的距离和等腰直角三角形的性质，难度一般．8．C解析：C【分析】先根据勾股定理求得AC ，再根据正弦的定义求解即可；【详解】∵在ABC 中，90C ∠=︒，13AB =,12BC =，∴2213125AC =-=，∴5sin 13AC B AB ==； 故答案选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理与解直角三角形，准确理解计算是解题的关键．9．D解析：D【分析】由勾股定理算出AC 的值，然后根据正切函数的定义即可得到解答．【详解】 解：由勾股定理可得：2222543AC AB BC =-=-=，∴tanA=43BC AC =， 故选D ．【点睛】 本题考查解直角三角形，熟练掌握勾股定理及三角函数的定义是解题关键．10．A解析：A【分析】证明()Rt ABE Rt ADF HL ≅△△即可证明①正确，由①的结论得到三角形CEF 是等腰直角三角形，即可证明②正确，根据AC 垂直平分EF 可以判断③错误，利用锐角三角函数值求出AC 的长度证明④正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90B D ∠=∠=︒，∵AEF 是等边三角形，∴AE AF =， 在Rt ABE △和Rt ADF 中，AE AF AB AD =⎧⎨=⎩， ∴()Rt ABE Rt ADF HL ≅△△，∴BE DF =，∵BC CD =，∴BC BE CD DF -=-，即CE CF =，故①正确；∵CE CF =，90C ∠=︒，∴45CEF ∠=︒，∵60AEF ∠=︒，∴180604575AEB ∠=︒-︒-︒=︒，故②正确；如图，连接AC ，交EF 于点G ，∵AE AF =，CE CF =，∴AC 是EF 的垂直平分线，∵CAF DAF ∠≠∠，∴DF FG ≠，同理BE EG ≠，∴BE DF EF +≠，故③错误；∵AEF 是边长为2的等边三角形，ACB ACD ∠=∠，∵AC EF ⊥，EG FG =， ∴3sin 6023AG AE =⋅︒==112CG EF ==， ∴13AC AG CG =+=+，故④正确．故选：A ．【点睛】本题考查四边形综合题，解题的关键是掌握正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的方法．11．B解析：B【分析】根据直线解析式求出点A 、B 的坐标，从而得到OA 、OB 的长度，再求出∠OAB ＝30°，利用勾股定理列式求出AB ，然后根据旋转角是60°判断出AB′⊥x 轴，再写出点B′的坐标即可．【详解】令y ＝0，则−3x ＋2＝0，解得x ＝，令x ＝0，则y ＝2，所以，点A （0），B （0，2），所以，OA ＝OB ＝2，∵tan ∠OAB ＝OB OA ==， ∴∠OAB ＝30°，由勾股定理得，AB 4==， ∵旋转角是60°，∴∠OAB′＝30°＋60°＝90°，∴AB′⊥x 轴，∴点B′（4）．故选：B ．【点睛】本题考查了坐标与图形性质−旋转，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角函数的应用，求出AB′⊥x 轴是解题的关键． 12．B解析：B【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理可得AD 、AC 的值，进而可得△ADC 是等腰直角三角形，进而可得AD ⊥CD ，根据相似三角形的判定和性质可得PC ＝2DP ，根据等量代换和线段和差可得AD ＝CD ＝3DP ，继而即可求解．【详解】解析 设小正方形的边长为1，由图形可知，2AD DC AC ===，ADC ∴是等腰直角三角形，AD DC ∴⊥．//AC BD ，2AC CP BD DP∴==， 2PC DP ∴=，3AD DC DP ∴==，tan 3AD APD DP∴∠==．故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及其性质以及锐角三角函数．此题难度适中，注意转化思想与数形结合思想的应用．二、填空题13．11【分析】根据题意作辅助线DE⊥AB然后根据锐角三角函数可以得到AE 的长从而可以求得AB的长本题得以解决【详解】解：作DE⊥AB于点E由题意可得DE＝CD＝8m∵∠ADE＝50°∴AE＝DE•ta解析：11【分析】根据题意，作辅助线DE⊥AB，然后根据锐角三角函数可以得到AE的长，从而可以求得AB 的长，本题得以解决．【详解】解：作DE⊥AB于点E，由题意可得，DE＝CD＝8m，∵∠ADE＝50°，∴AE＝DE•tan50°≈8×1.19＝9.52（m），∵BE＝CD＝1.5m，∴AB＝AE+BE＝9.52+1.52＝11.2≈11（m），故答案为：11．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．【分析】如图延长与的延长线交于点证明四边形为正方形再求解过作于利用等面积法求解再利用勾股定理求解从而可得答案【详解】解：如图由题意得：延长与的延长线交于点则四边形为正方形过作于故答案为：【点睛】本题解析：4 3【分析】如图，延长C B''与BC的延长线交于点,G证明四边形ABGB'为正方形，再求解,B C AC '，过A 作AM B C '⊥于M ， 利用等面积法求解,AM 再利用勾股定理求解,MC 从而可得答案．【详解】解：如图，由题意得：9090BAB B AB C '''∠=︒∠=∠=︒，， 2AB AB '==， 1BC =，22215,AC ∴=+=延长C B ''与BC 的延长线交于点,G 则90AB G '∠=︒，∴ 四边形ABGB '为正方形， 2211B G BG CG BG BC '∴===-=-=，，90B GB '∠=︒， 22215,B C '∴=+=过A 作AM B C '⊥于M ，11,22AB C S AB AB B C AM '''∴== 54AM =， 4555AM ∴==， ()224355555MC ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭， 4545tan '.3355AM ACB MC ∴∠=== 故答案为：4.3【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，正方形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键． 15．2【分析】由题意得到则结合角的正切值即可得到答案【详解】解：∵是边上的中线∴∴∵∴∵在中∴；故答案为：2【点睛】本题考查了求角的正切值三角形中线的性质解题的关键是掌握三角形中线的性质正确得到解析：2【分析】由题意，得到12AD AC =，则2AC AD =，结合角的正切值tan AB ADB AD∠=，即可得到答案．【详解】 解：∵BD 是AC 边上的中线，∴12AD AC =， ∴2AC AD=， ∵AB AC =，∴2AB AD=， ∵在Rt ABD 中，90A ∠=︒， ∴tan 2AB ADB AD ∠==； 故答案为：2．【点睛】本题考查了求角的正切值，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质，正确得到2AB AD=． 16．【分析】连接过点作于点C 先根据反比例函数解析式求出点P 坐标根据的正切值得到它的度数再根据折叠的性质证明是等边三角形再解直角三角形得到OC 和的长即可求出的坐标【详解】解：如图连接过点作于点C ∵点P(m解析：33,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】连接TT '，过点T '作T C OT '⊥于点C ，先根据反比例函数解析式求出点P 坐标，根据POT ∠的正切值得到它的度数，再根据折叠的性质证明TOT '是等边三角形，再解直角三角形得到OC 和CT '的长，即可求出T '的坐标．【详解】解：如图，连接TT '，过点T '作T C OT '⊥于点C ，∵点P (m ，1)是反比例函数y x =图象上的一点，∴1=m ，∴OT =，1PT =，∵tan 3POT ∠=， ∴30POT ∠=︒，由折叠的性质得：30,POT POT OT OT ∠=∠=︒='='∴60TOT '∠=︒，又∵OT OT '=，∴TOT '是等边三角形，∵T C OT '⊥，∴12OC OT ==，3sin 2CT OT TOT '''=⋅∠==，∴322T ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：322⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查反比例函数与几何，解题的关键是掌握反比例函数的性质，利用锐角三角函数值得到特殊角的度数，然后解直角三角形． 17．【分析】连接DE 过E 作EH ⊥OD 于H 求得∠EDO ＝45°即可得到Rt △DEH 中求得DH 进而得出OH 即可求解【详解】如图所示连接过作于于于是的中点中点的横坐标是【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上中 解析：4-【分析】连接DE ，过E 作EH ⊥OD 于H ，求得∠EDO ＝45°，即可得到Rt △DEH 中，求得DH ，进而得出OH ，即可求解．【详解】如图所示，连接DE ，过E 作EH OD ⊥于H ，BE CA ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，D 是BC 的中点，142DE DC BC DO DB ∴=====， DCE DEC ∴∠=∠，DBO DOB ∠=∠，67.5A ∴∠=︒，112.5ACB ABC ∴∠+∠=︒，18021802()()CDE BDO DCE DBO ∴∠+∠=︒-∠+︒-∠ 3602()DCE DBO =︒-∠+∠3602112.5=︒-⨯︒135=︒，45EDO ∴∠=︒，Rt DEH ∴∆中，cos 4522DH DE =︒⨯=422OH OD DH ∴=-=-点E 的横坐标是422-【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形．18．3【分析】先证明得到再证明：四边形四边形为矩形得到所以只要求的最小值即可当时最小再利用锐角三角函数可得答案【详解】解：AB=BC=3∠A=∠C=90°由过点E 分别作ABBCCDAD 的垂线垂足分别为点 解析：3【分析】先证明,Rt ABD Rt CBD ≌得到60,30,ABD CBD GDE IDE ∠=∠=︒∠=∠=︒再证明：,FG HI =四边形,AFEG 四边形CHEI 为矩形，得到AE FG =，所以只要求AE 的最小值即可，当AE BD ⊥时，AE 最小，再利用锐角三角函数可得答案．【详解】 解： AB=BC=3，∠A=∠C=90°，,120,BD BD ABC =∠=︒,Rt ABD Rt CBD ∴≌60,30,ABD CBD GDE IDE ∴∠=∠=︒∠=∠=︒由过点E 分别作AB ，BC ，CD ，AD 的垂线，垂足分别为点F ，H ，I ，G ，,,EF EH EG EI ∴== 四边形,AFEG 四边形CHEI 为矩形，90,FEG HEI ∴∠=∠=︒,FEG HEI ∴≌∴ ,FG HI =当FG 最小，则FG HI +最小，四边形AFEG 为矩形，,AE FG ∴=所以：当AE BD ⊥时，AE 最小，3,60,AB ABE =∠=︒sin 60,AE AB ∴︒= 3333,AE ∴=⨯= 所以：FG 的最小值是：33, 所以：FG HI +的最小值是：3323 3.⨯= 故答案为：3 3.【点睛】本题考查的是点到直线的距离垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．19．10【分析】根据直角三角形的边角间关系先计算再在直角三角形中利用勾股定理即可求出【详解】解：在中∵∴在中故答案为：10【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理利用直角三角形的边角间关系求出AC 是解决 解析：10【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算AC ，再在直角三角形ACD 中，利用勾股定理即可求出AD ．【详解】解：在Rt ABC 中，∵12,sin3ABAB ACBAC=∠==，∴1263AC=÷=．在Rt ADC中，22AD AC CD=+2268=+10=．故答案为：10．【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出AC是解决本题的关键．20．【分析】根据题意画出图形进而得出cosB=求出即可【详解】解：∵∠A=90°AB=3BC=4则cosB==故答案为：【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义正确把握锐角三角函数关系是解题的关键解析：3 4【分析】根据题意画出图形，进而得出cosB=ABBC求出即可．【详解】解：∵∠A=90°，AB=3，BC=4，则cosB=ABBC=34．故答案为：34．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题的关键．三、解答题21．1【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝12×2＝1＝1．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，结合特殊角三角函数中、零指数幂计算是解题的关键． 22．（1）82米；（2）不超速，见解析【分析】（1）已知MN=30m ，∠AMN=60°，∠BMN=45°求AB 的长度，可以转化为解直角三角形； （2）求得从A 到B 的速度，然后与60千米/时≈16.66米/秒，比较即可确定答案．【详解】解：（1）由题意可得在Rt AMN △中，30MN =米，60AMN ∠=︒， ∴tan AN MN AMN =⋅∠=在Rt BMN 中，∵45BMN ∠=︒，∴30BN MN ==（米）． ∴3082AB AN BN =+=≈（米）．（2）此车不超速，理由如下：由题意可得，汽车从A 到B 为匀速行驶，用时为6秒，且82AB =米，则汽车的速度为()306513.66÷=≈（米/秒）．∵60千米/时≈16.67米/秒，13.6616.67<，∴此车不会超速．【点睛】本题考查了勾股定理以及解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，难度不大．23．（1）9.5m ；（2）可以有效救援．【分析】（1）过点C 作CF ⊥BD ，垂足为F ，过点A 作AG ⊥CF ，垂足为G ，解直角三角形ACG 即可；（2）当起重臂最长，张角最大时，计算远臂点距离地面的最大高度，比较判断即可．【详解】（1）如图1，过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，∵AE⊥BD，∴四边形AEFG是矩形，∴∠EAG=90°，FG=AE=3.5，∴∠CAG=30°，∵AC=12，∴CG=ACsin30°=12×1=6，2∴CF=CG+FG=6+3.5=9.5(米)；（2）如图2，过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，∵AE⊥BD，∴四边形AEFG是矩形，∴∠EAG=90°，FG=AE=3.5，∴∠CAG=60°，∵AC=20，∴CG=ACsin60°3，∴CF=CG+FG=17.32+3.5=20.82＞18；∴能有效救援．【点睛】本题考查了生活实际问题中的解直角三角形，熟练把生活问题转化数学解直角三角形模型问题是解题的关键．24．（1）12y x =-，223y x =-+；（2）9 【分析】（1）过点A 作AH ⊥x 轴于H 点，由4sin 5AH ACE AO∠==，OA=5，根据正弦的定义可求出AH ，再根据勾股定理得到OH ，即得到A 点坐标（-3，4），把A （-3，4）代入y= ，确定反比例函数的解析式为y=- ；将B （6，n ）代入，确定点B 点坐标，然后把A 点和B 点坐标代入y=kx+b （k≠0），求出k 和b ．（2）先令y=0，求出C 点坐标，得到OC 的长，然后根据AOB BOC AOC SS S =+计算△AOB 的面积即可．【详解】解：（1）过A 作AH x ⊥轴交x 轴于H ，∴4sin 5AH ACE AO∠==，5OA =， ∴4AH =，∴223OH OA AH ，∴()3,4A -，将()3,4A -代入m y x=，得12=-m ， ∴反比例函数的解析式为12y x =-， 将()6,B n 代入12y x=-，得2n =-， ∴()6,2B -， 将()3,4A -和()6,2B -分别代入()0y kx b k =+≠，得3462k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线解析式：223y x =-+； （2）在直线223y x =-+中，令0y =，则有2203x -+=，解得3x =， ∴()3,0C ，即3OC =，∴13462AOC S =⨯⨯=△； 同理3BOC S =△，则9AOB BOC AOC S S S =+=△△△．【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是作x 轴的垂线，解直角三角形求A 点坐标，用待定系数法求直线，双曲线的解析式．25．（1）134x +=，234x =；（2）5【分析】（1）用公式法解方程即可；（2）先求特殊角三角函数值，再进行实数计算．【详解】解：（1）22360x x --=， 2a =，3b =-，6c =-∴224(3)42(6)570b ac -=--⨯⨯-=>∴332224b x a -===⨯∴134x =，234x -=（2）原式)1122=-+⨯311=+5=-【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和含有特殊角三角函数值的实数计算，解题关键是选择恰当的方法解一元二次方程和熟记特殊角三角函数值并熟练进行计算．26．河的宽度AC 为(25+米【分析】根据点A 在点B 北偏东45°方向，结合方位角的知识可证AC BC =，利用三角函数解直角三角形，列关出方程，解方程即可．【详解】根据题意，有30,45AOC ABC ∠=︒∠=︒， 又90ACB ∠=︒所以BC AC =， 在Rt AOC ∆中，tan AC AOC OC ∠=，即tan 30AC OC ︒= 设AC x =米，则BC x =米，由题意得503x x =+ 解得x =化简得25x =+∴河的宽度AC 为(25+米.【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟记特殊角的三角函数值，灵活运用方位角的知识，规范解直角三角形是解题关键．。
九年级数学下册《直角三角形的边角关系》单元测试卷(附答案)
九年级数学下册《直角三角形的边角关系》单元测试卷（附答案）一．选择题（共10小题，满分30分）1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值为（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值（）A．都扩大2倍B．都扩大4倍C．没有变化D．都缩小一半3．在直角坐标系中，P是第一象限内的点，OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则cos α的值是（）A．B．C．D．4．计算sin45°的值等于（）A．B．C．D．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan A的值是（）A．B．C．D．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B的值是（）A．B．C．D．7．已知tan A＝0.85，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．8．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．9．在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，sin A＝，那么BC边的长是（）A．2B．8 C．4D．1210．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．0二．填空题（共10小题，满分30分）11．如图，在平面直角坐标系内有一点P（5，12），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余弦值．12．若α为锐角，且，则m的取值范围是．13．用科学计算器计算： tan16°15′≈（结果精确到0.01）14．如果3sinα＝+1，则∠α＝．（精确到0.1度）15．计算：sin225°+cos225°﹣tan60°＝．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且c＝3a，则tan A 的值为．17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，sin B＝，那么AB＝．18．已知∠A是锐角，且tan A＝2，那么cos A＝．19．已知∠A+∠B＝90°，若，则cos B＝．20．化简＝．三．解答题（共7小题，满分60分）21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tan A＝．求AB的长和sin B的值．22．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．23．计算下列各题：（1）；（2）sin60°•cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°．24．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求sin A，cos B，tan A的值．25．如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．26．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cos A的值．27．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．参考答案与解析一．选择题1．解：如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴tan A＝＝．故选：B．2．解：根据锐角三角函数的定义，知各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的大小不变，所以其正切值不变．故选：C．3．解：如图：过点P作PE⊥x轴于点E，∵tanα＝，∴设PE＝4x，OE＝3x，在Rt△OPE中，由勾股定理得OP＝，∴cosα＝．故选：C．4．解：sin45°＝故选：C．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴cos B＝sin A＝，故选：C．7．解：根据计算器功能键，先按反三角2ndF，再按正切值．故选：A．8．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．9．解：由sin A＝＝，不妨设BC＝2k，则AB＝3k，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（4）2+（2k）2＝（3k）2，解得k＝4（取正值），所以BC＝2k＝8，故选：B．10．解：∵sinα+cosα＝，∴（sinα+cosα）2＝2，即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．又∵sin2α+cos2α＝1，∴2sinαcosα＝1．∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．∴sinα﹣cosα＝0．故选：D．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：过P作PA⊥OA，∵P点坐标为（5，12），∴OA＝5，PA＝12，由勾股定理得，OP＝＝＝13．∴cosα＝＝．故答案为：．12．解：∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得，故答案为：．13．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：0.71．14．解：∵3sinα＝+1，∴sinα＝，解得，∠α≈65.5°，故答案为：65.5°．15．解：∵sin225°+cos225°＝1，tan60°＝，∴sin225°+cos225°﹣tan60°＝1﹣，故答案为：1﹣．16．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝3a，∴b＝＝＝2a，∴tan A＝＝＝，故答案为：．17．解：∵sin B＝，∴AB＝＝＝6．故答案是：6．18．解：设∠A所在的直角三角形为△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所得的边为a，b，c，∵tan A＝2，即＝2，设b＝k，则a＝2k，∴c＝＝k，∴cos A＝＝，故答案为：．19．解：由∠A+∠B＝90°，若，得cos B＝，故答案为：．20．解：∵tan30°＝＜1，∴原式＝1﹣tan30°＝1﹣＝．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tan A＝＝，∴AC＝12，∴AB＝＝＝6，∴sin B＝＝＝．22．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245 ＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．23．解：（1）＝（2×﹣）+＝2﹣+＝2；（2）sin60°•cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°．＝×﹣×+（）2+（）2＝﹣1++＝．24．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，根据勾股定理可得：AC＝4，∴sin A＝，cos B＝＝，tan A＝＝．25．解：作PC⊥x轴于C．∵tanα＝，OC＝6∴PC＝8．则OP＝10．则sinα＝．26．（1）证明：法一、连接AD、OD，∵AC是直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC的中点，又∵O是AC的中点，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．法二、连接OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AB＝AC，∴∠OCD＝∠B，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．（2）解：由（1）知OD∥AE，∴∠FOD＝∠FAE，∠FDO＝∠FEA，∴△FOD∽△FAE，∴，∴，∴，解得FC＝2，∴AF＝6，∴Rt△AEF中，cos∠FAE＝＝＝＝．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝＝sin40°在Rt△BPF中，sin∠FBP＝＝sin20°又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα，sin∠FBP＝＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。
难点解析北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评试题(含答案解析)
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在Rt△ABC中，∠C=90º，那么cot A等于（）A．ACBCB．ACABC．BCACD．BCAB2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么cos B的值等于（）A．34B．43C．45D．353、如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则tanB等于（）A．512B．125C．513D．12134、小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（ ）A ．3.2米B ．3.9米C ．4.7米D ．5.4米5、如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为13BC =m ，则AB 的长度为（ ）A ．6mB ．C ．9mD ．6、在直角△ABC 中，90C ∠=︒，3AB =，AC ＝2，则tan A 的值为（ ）A B C ．23 D 7、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD 是AC 边上的高，则下列选项中不能表示tan A 的是（ ）A ．BC AB B ．BD ADC ．CD BD D ．AB AC8、已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，则 tan B 的值为（ ）A B ．1 C D ．29、在正方形网格中，△ABC 在网格中的位置如图，则sin B 的值为（ ）A B C D ．1210、如图，AB 是河堤横断面的迎水坡，堤高AC BC ＝1，则斜坡AB 的坡度为()A B C ．30° D ．60°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、比较大小：tan 46°_____cos 46°．2、已知α，β都是锐角，且满足1sin 02α-，则βα-=______．3、计算：cos 245°＋tan30°·sin60°－sin 245°＝________．4、计算"2sss60°sss60°−“ √2“sss45°sss60°”5、在ABC 中，75B ∠=︒，tan A =C ∠的度数是______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图是位于奉贤南桥镇解放东路 866 号的 “奉贤电视发射塔”, 它建于 1996 年,在长达二十几年的时间里它一直是奉贤区最高建筑物, 该记录一直保持到 2017年, 历了25 年风雨的电视塔铎刻了一代奉贤人的记忆．某数学活动小组在学习了 “解直角三角形的应用” 后, 开展了测量“奉贤电视发射塔的高度”的实践活动．测量方案：如图, 在电视塔附近的高楼楼顶 C 处测量塔顶 A 处的仰角和塔底 B 处的俯角． 数据收集：这幢高楼共 12 层, 每层高约 2.8 米, 在高楼楼项 C 处测得塔顶 A 处的仰角为 58, 塔底 B 处的俯角为 22.问题解决：求奉贤电视发射塔 AB 的高度（结果精确到 1 米）．参考数据：sin220.37,cos220.93≈≈, tan220.40,sin580.85≈≈, cos580.53,tan58 1.60≈≈． 根据上述测量方案及数据, 请你完成求解过程．2、如图, 某种路灯灯柱 BC 垂直于地面, 与灯杆 AB 相连. 已知直线 AB 与直线 BC 的夹角是 76. 在地面点 D 处测得点 A 的仰角是 53, 点 B 仰角是 45, 点 A 与点 D 之间的距离为3.5 米．求：（1）点 A 到地面的距离；（2）AB 的长度．（精确到 0.1 米）（参考数据: sin530.8,cos530.6,sin760.97,cos760.24≈≈≈≈）3(02cos454π-︒+-．4、如图，上午9时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B 处，从A 、B 两处分别测得小岛C 在北偏东60︒和北偏东45︒方向上，已知小岛C 周围方圆30海里的海域内有暗礁．该船若继续向东方向航行，有触礁的危险吗？并说明理由．5、（1）计算：(2sin60︒ ；（2）先化简，再求值：()222211121a a a a a a +-÷++--+，其中a 满足2340a a --=．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据锐角A的邻边a与对边b的比叫做∠A的余切，记作cotA．【详解】解：∵∠C=90°，∴cot A=AC BC，故选：A．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余切定义．2、D【分析】根据题意画出图形，求出AB的值，进而利用锐角三角函数关系求出即可．【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB=，∴cos B＝BCAB＝35．故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟知余弦函数的定义是解题关键．3、B【分析】根据锐角三角函数求解即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，所以tanB＝ACBC＝125，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握正切的定义：正切是指是直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比，是正确解答的关键．4、C【分析】过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．【详解】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF ＝x ， ∵tan65°＝OF DF， ∴OF ＝x tan65°，∴BF ＝3+x ， ∵tan35°＝OF BF， ∴OF ＝（3+x ）tan35°，∴2.1x ＝0.7（3+x ），∴x ＝1.5，∴OF ＝1.5×2.1＝3.15，∴OE ＝3.15+1.5＝4.65，故选：C ．【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形的应用，根据题意构建直角三角形是解本题的关键．5、A【分析】根据迎水坡AB 的坡比为1BC AC =AC 的长度，运用勾股定理可得结果． 【详解】解：迎水坡AB 的坡比为1BC AC ∴=，即3AC = 解得，AC =由勾股定理得，()6AB m ==，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，熟知坡比的意义是解本题的关键．6、B【分析】先利用勾股定理求出BC 的长，然后再求tanA 的值．【详解】解：∵在Rt△ABC 中，AB=3，AC ＝2，∴BC∴tanA=BC AC =故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．7、D【分析】根据题意可推出△AB C 、△ADB 、△BDC 均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出tan A 即可．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，BD 是AC 边上的高，∴△AB C 、△ADB 、△BDC 均为直角三角形，又∵∠A +∠C =90°，∠C +∠DBC =90°，∴∠A =∠DBC ，在Rt △ABC 中，tan A =BC AB，故A 选项不符合题意； 在Rt △ABD 中，tan A =BD AD，故B 选项不符合题意； 在Rt △BDC 中，tan A =tan∠DBC =CD BD ，故D 选项不符合题意； 选项D 表示的是sin C ，故D 选项符合题意；故选D ．【点睛】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键．8、A【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求得30B ∠=︒，根据特殊角的三角函数值即可求解【详解】∵∠C =90°，∠A =60°，∴30B ∠=︒又tan 30︒=故选A【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，求特殊角的三角函数值，理解特殊角的三角函数值是解题的关键．9、A【分析】利用勾股定理先求出AB 的长度，最后利用正弦值的定义得到sin AD B AB=，进而得到最终答案． 【详解】解：如图所示在Rt ADB ∆中，由勾股定理可得：AB =sinAD B AB ∴=== 故选：A ．【点睛】本题主要是考察了勾股定理和锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．10、A【分析】直接利用坡度的定义得出，斜坡AB 的坡度为：AC BC，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：∠ACB ＝90°，则斜坡AB 的坡度为：AC BC == 故选：A ．【点睛】 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键．二、填空题1、＞【分析】根据tan 46°＞tan 45°=1＞cos 46°即可比较．【详解】∵46°＞45°∴tan 46°＞tan 45°=1∵1＞cos 46°∴tan 46°＞cos 46°．故答案为：＞．【点睛】此题主要考查三角函数值的大小比较，解题的关键是熟知三角函数的性质．2、15°【分析】 根据非负数的性质得出1sin tan 12αβ==，，由特殊角的三角函数值求得α，β，计算即可求解．【详解】解：∵1sin 02α-=，∴1sin0tan102αβ-=-=，，∴1sin tan12αβ==，，∴=30α，=45β，∴βα-=45°－30°＝15°，故答案为：15°．【点睛】本题考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．3、12【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．【详解】解：22cos45+tan30sin60sin45︒︒︒-︒=2212= .故答案为12．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．4、5 2【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则进行求解即可．【详解】解：2sin60tan6045cos60︒︒︒︒122=132=-52=，故答案为：52．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．5、45°度【分析】由条件根据∠A的正切值求得∠A的度数，再根据三角形的内角和定理求∠C即可．【详解】解：∵在△ABC中，tanA∴∠A=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-75°=45°．故答案为：45°．【点睛】本题主要考查特殊角的正切值以及三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．三、解答题1、168米【分析】作CE ⊥AB 于E ，则在Rt △BCE 中由正切关系可求得CE 的长，再在Rt △ACE 中，由正切关系可求得AE 的长，从而可求得AB 的长，即电视发射塔的高．【详解】由题意CD =12×2.8=33.6(米)作CE ⊥AB 于E ，如图所示则∠CEA =∠CEB =90°∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD∴∠CDB =∠DBE =∠CEB =90°∴四边形CDBE 是矩形∴BE =CD =33.6米∵∠ECB =22°，∠ACE =58°在Rt △BCE 中，33.684tan 220.40BE CE ===︒（米） 在Rt △ACE 中，tan58=84 1.60=134.4AE CE =︒⨯(米)∴AB =AE +BE =134.4+33.6= 168(米)即电视发射塔的高度为168米【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，关键是理解题中的仰角、俯角的含义，作辅助线把非直角三角形转化为直角三角形来解决．2、（1）2.8米；（2）AB 的长度为0.6米【分析】（1）过点A 作AF CD ⊥交于点F ，则90AFD ∠=︒，在Rt AFD 中，用三角函数即可得；（2）过点A 作AH EC ⊥交于点H ，根据90AFC FCH CHA ∠=∠=∠=︒，证明四边形AFCH 是矩形，则AH FC =，AF HC =，设BC =x ，则(2.8)HB x =-米，根据三角形内角和定理得45DBC BDC ∠=∠=︒，即BC DC x ==，根据三角函数得DF =2.1米，( 2.1)FC AH x ==-米，在Rt AHB 中，根据三角函数得tan 4.04ABH ∠≈，则 4.04AH BH ≈，即可得 2.66x ≈，则0.14BH ≈，根据三角函数即可得0.6AB ≈米．【详解】解：（1）过点A 作AF CD ⊥交于点F ，则90AFD ∠=︒，在Rt AFD 中，sin53 3.50.8 2.8AF AD =︒=⨯≈（米），即点A 到地面的距离为2.8米；（2）过点A 作AH EC ⊥交于点H ，在四边形AFCH 中，90AFC FCH CHA ∠=∠=∠=︒，∴四边形AFCH 是矩形，∴AH FC =，AF HC =，设BC =x ，则(2.8)HB x =-米，∵45DBC ∠=︒，90BCD ∠=︒，∴180180459045BDC DCB BCD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴45DBC BDC ∠=∠=︒，∴BC DC x ==（米），∴cos 3.50.6 2.1DF AD ADF =∠=⨯=（米），∴( 2.1)FC AH x ==-米，∵在Rt AHB 中，sin 0.97tan 4.04cos 0.24AH ABF ABH BH ABF ∠∠==≈≈∠， ∴ 4.04AH BH ≈，∴ 2.1 4.04(2.8)x x -≈⨯-2.111.312 4.04x x -≈-5.0413.412x ≈ 2.66x ≈，∴ 2.8 2.660.14BH =-≈（米）， ∵cos cos 760.24BH ABH AB∠=∠︒=≈， ∴0.140.6cos 760.240.24BH BH AB ≈≈≈≈∠︒（米）． 【点睛】本题考查了三角函数，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．3【分析】根据二次根式的性质、零指数幂的性质、45°的余弦值和绝对值的性质计算即可．【详解】(02cos454π-︒+-124=-14=3．【点睛】本题考查的是实数的混合运算，掌握二次根式的性质、零指数幂的性质、45°的余弦值和绝对值的性质是解题关键．4、有触礁的危险，见解析【分析】从点C 向直线AB 作垂线，垂足为E ，设CE 的长为x 海里，根据锐角三角函数的概念求出x 的值，比较即可．【详解】解：有触礁的危险．理由：从点C 向直线AB 作垂线，垂足为E ，根据题意可得：AB =20海里，∠CAE =30°，∠CBE =45°，设CE 的长为x 海里，在Rt △CBE 中：∵∠CBE =45°，∴BE =CE =x 海里，∴AE =AB +BE =（20+x ）海里，在Rt △CAE 中：∵∠CAE =30°，∴tan 30°=20x x =+解得：x ，＜30，∴该船若继续向正东方向航行，有触礁的危险．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用－方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．5、（1）0，（2）31a a +-，73【分析】（1）先求特殊角三角函数值，再根据二次根式运算法则计算即可；（2）先运用分式运算法则进行化简，再解方程代入求值即可．【详解】解：（1）(2sin 60︒=2=-=0（2）22221(1)121a a a a a a +-÷++--+ =22(1)1(1)(1)11(1)a a a a a a ++-⨯+-+- =2111a a a ++-- =31a a +- 解2340a a --=方程得，11a =-，24a =，当11a =-时，分式无意义，把24a =代入，原式=437413+=- 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值和二次根式运算，分式化简求值，解题关键是熟练运用相关法则进行计算，熟记三角函数值．。
九年级下册数学单元测试卷-第一章 直角三角形的边角关系-北师大版(含答案)
九年级下册数学单元测试卷-第一章直角三角形的边角关系-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A. B.1 C. D.2、如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为（）A. B.3 C. D.43、如图，在平面直角坐标系中，P是∠1的边OA上一点，点P的坐标为（3，4），则sin∠1的值为（）A. B. C. D.4、王师傅在楼顶上的点处测得楼前一棵树的顶端的俯角为，又知水平距离，楼高，则树高为（）A. B. C. D.5、如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为，坡顶D到BC的垂直距离米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：；；）A.69.2米B.73.1米C.80.0米D.85.7米6、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=1.5，BC=2，则cosB的值是（）A. B. C. D.7、若α为锐角，且tanα=，则有（）A.0°＜α＜30°B.30°＜α＜45°C.45°＜α＜60° D.60°＜α＜90°8、如图，为了测得电视塔的高度EC，在D处用高2米的测角仪AD，测得电视塔顶端E的仰角为45°，再向电视塔方向前进100米到达B处，又测得电视塔顶端E的仰角为60°，则电视塔的高度EC为（）A.（50 +152）米B.（52 +150）米C.（50 +150）米 D.（52 +152）米9、如图，为了测量某栋大楼的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD测得大楼顶端A的仰角为30°，向大楼方向前进100米到达F处，又测得大楼顶端A的仰角为60°，则这栋大楼的高度AB（单位：米）为（）A. B. C.51 D.10110、在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列等式中，正确的是（）A.sinA=B.cosB=C.tanA=D.cotB=11、如图，点A（2，t）在第一象限，OA与x轴所夹锐角为α，tanα=2，则t值为（）A.4B.3C.2D.112、等腰三角形底边长为10cm，周长为36cm，那么底角的余弦等于（）．A. B. C. D.13、sin245°﹣3tan230°+4cos260°的值是（）A.0B.C.2D.314、在中，，，若，则的长为（）．A. B. C. D.15、如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα= ，则t的值是（）A.1B.1.5C.2D.3二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，sin∠BAC= ，点D是AC上一点，且BC=BD=2，将Rt△ABC绕点C旋转到Rt△FEC的位置，并使点E在射线BD上，连接AF交射线BD于点G，则AG的长为________．17、请从以下两小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分：A．边长2cm的正六边形的边心距是________ cm；B．小明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°，（不考虑身高因素），则此塔高约为________米．（用科学计算器计算，结果保留整数）18、四边形ABCD中，连接AC，BD，∠CAB＝∠BCD＝90°，AC＝AB， tan∠CAD ，若，则BD的长度________19、在Rt△ABC中，∠C=90°，有两边长分别为3和4，则sinA的值为________ ．20、如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，E是CD上一点，∠FBE＝45°，则tan∠FEB的值是________．21、如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为________米结果保留根号．22、如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=135°，CD=6，AB=2，则四边形ABCD的面积为________23、如图所示的网格是正方形网格，∠BAC________∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）24、一个人从山沿30°的山坡登上山顶，他走了500米，则这座山的高度是________25、一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是________；三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：2sin45°+|﹣|﹣（π﹣2019）0﹣27、如图是某款手机支架摆放手机时的侧面示意图，现测得支撑板，，求手机底端E到底座的距离．（精确到0.1，参考数据：，，，，，，）28、如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，测得B，C两点的俯角分别为60°和45°，已知热气球离地面的高度为120m，且大桥与地面在同一水平面上，求大桥BC的长度（结果保留整数，≈1.72）．29、贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．30、数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树AB的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE的坡度i=1：4，一学生站在离斜坡顶端E的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为30°，已知BE=2m，此学生身高CD=1.7m，求大树的高度AB的值.（结果保留根号）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、B3、C4、A5、D6、A7、C9、A10、C11、A12、A13、B14、D15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、。
九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》单元测试卷及答案
九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》单元测试卷（满分150分）题号 一 二 三 四 总分 得分一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1. 在直角三角形中sin A 的值为12，则cos A 的值等于( )A. 12B. √22C. √32D. √32. 已知α为锐角，且sinα=√32，则α的度数为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°3. 若sin(∠A +15°)=√32，则tan∠A 的值为( )A. ．12B. √33C. 1D. √224. 在0，−√273，sin45°，13这四个数中，无理数是( )A. 0B. −√273C. sin45°D. 135. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 在AC 上，∠DBC =∠A.若AC =4，cosA =45，则BD 的长度为( )A. 94 B. 125 C. 154 D. 46. 如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC =α，∠ADC =β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A. tanαtanβ B. sinβsinα C. sinαsinβ D. cosβcosα7.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为()A. 7sin35°B. 7cos35∘C. 7cos35°D. 7tan35°8.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，sinB=0.5，若AC=6，则BC的长为()A. 8B. 12C. 6√3D. 12√39.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB=a，BC=b，∠DAO=x，则点C 到x轴的距离等于()A. acosx+bsinxB. acosx+bcosxC. asinx+bcosxD. asinx+bsinx10.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2AC，则sin A的值是()A. √3B. 12C. √32D. √3311.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，所以tan15°=ACCD =12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3.类比这种方法，计算tan22.5°的值为()A. √2+1B. √2−1C. √2D. 1212.．如图，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，则AC的长为()A. √2B. √52C. √5D. 213.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，直线l经过点A，且垂直于AB，分别与AB，AC相交于点M，N.直线l从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，当直线l经过点B时停止运动，若运动过程中△AMN的面积是y(cm2)，直线l的运动时间是x(s)，则y与x之间函数关系的图象大致是()A. B.C. D.14.如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为()(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)．A. 5.1米B. 6.3米C. 7.1米D. 9.2米15.如图，在矩形ABCD中，AB=4，对角线AC，BD交于点O，sin∠COD=√3，P为AD上一动点，PE⊥AC于点E，2PF⊥BD于点F，分别以PE，PF为边向外作正方形PEGH和PFMN，面积分别为S1，S2.则下列结论：①BD=8；②点P在运动过程中，PE+PF 的值始终保持不变，为2√3；③S1+S2的最小值为6；④当PH：PN=5：6时，则DM：AG=5：6.其中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）16.计算：−(5−π)0−2⋅sin45°=______．17.如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE.若BE=9，BC=12，则cos C=________．18.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE的值是________．EC19.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标，则sinα是(3,m)，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是43的值为________．20.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E在AD∠ACB，若AE=2，则上，且DE=CD，连接OE，∠ABE=12OE的长为______．三、计算题（本大题共3小题，共30.0分）21.共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．(结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，√2≈1.41)22. 计算：|2−tan60°|−(π−3.14)0+(−12)−2+12√12．23. 小甬工作的办公楼(矩形ABCD)前有一旗杆MN ，MN ⊥DN ，旗杆高为12m ，在办公楼底A 处测得旗杆顶的仰角为30°，在办公楼天台B 处测旗杆顶的仰角为45°，在小甬所在办公室楼层E 处测得旗杆顶的俯角为15°． (1)办公楼的高度AB ；(2)求小甬所在办公室楼层的高度AE ．四、解答题（本大题共4小题，共50.0分）24.图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE 落在AD′E′的位置(如图2所示).已知AD=90厘米，DE=30厘米，EC=40厘米．(1)求点D′到BC的距离；(2)求E、E′两点的距离．25.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cos B的值．26.对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin(180°−α)，cosα=−cos(180°−α)．(1)求sin120°，cos120°，sin150°的值；(2)若一个三角形的三个内角的比是1:1:4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2−mx−1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．27.如表是小菲填写的实践活动报告的部分内容．求铁塔的高度FE.(结果精确到1米)【参考数据：sin44°=0.69，cos44°=0.72，tan44°=0.97】答案1.C2.C3.C4.C5.C6.B7.C8.C9.A10.C11.B12.B13.B14.A15.C16.−1−√217.2318.√3319.4520.√1321.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，根据题意可知：AB=7，∠ACD=45°，∠CBD=90°−68°=22°，∴AD=CD，∴BD=AB−AD=7−CD，在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=CDBD，∴CD7−CD≈0.40，∴CD=2，∴AD=CD=2，BD=7−2=5，∴AC=2√2≈2.83，BC=CDsin22∘≈20.37≈5.41，∴AC+BC≈2.83+5.41≈8.2(km)．答：新建管道的总长度约为8.2km．22.解：原式=|2−√3|−1+4+√3，=2−√3−1+4+√3，=5．23.解：(1)如图，过点M作MH⊥AB于点H，∵MN⊥DN，∠BAN=90°，∴四边形MNAH是矩形，∴AH=MN=12，MH//AN//BC，∴∠AMH=∠MAN=30°，在Rt△AMH中，MH=AHtan30∘=12√3，∵∠BMH=45°，∴BH=MH=12√3，∴AB=AH+BH=12+12√3．答：办公楼的高度AB为(12+12√3)m．(2)过点E作EQ⊥AM于点Q，由(1)得，∠EAQ=60°，∴∠EMQ=180°−∠EAM−∠AEM=180°−60°−75°=45°，设AE=x，则AQ=x⋅cos60°=12x，MQ=EQ=x⋅sin60°=√32x，由AM=2MN=24，x 2+√32x=24，解得x=24√3−24(m)．答：小甬所在办公室楼层的高度AE为(24√3−24)m．24.解：(1)过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得：AD′=AD=90厘米，∠DAD′=60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠AFD′=∠BHD′=90°．在Rt△AD′F中，D′F=AD′⋅sin∠DAD′=90×sin60°=45√3厘米．又∵CE=40厘米，DE=30厘米，∴FH=DC=DE+CE=70厘米，∴D′H=D′F+FH=(45√3+70)厘米．答：点D′到BC的距离为(45√3+70)厘米．(2)连接AE，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′=AE，∠EAE′=60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′=AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE=90°．在Rt△ADE中，AD=90厘米，DE=30厘米，∴AE=√AD2+DE2=30√10厘米，∴EE′=30√10厘米．答：E、E′两点的距离是30√10厘米．25.解：∵∠C=90°，MN⊥AB，∴∠C=∠ANM=90°，又∵∠A =∠A ，∴△AMN∽△ABC ， ∴AN AM =AC AB =34， 设AC =3x ，AB =4x ， 由勾股定理得BC =√AB 2−AC 2=√7x ， ∴在Rt △ABC 中，cosB =BC AB =√7x 4x =√74． 26.解：(1)由题意得，；(2)∵三角形的三个内角的比是1：1：4， ∴三个内角分别为30°，30°，120°， ①当∠A =30°，∠B =120°时，方程的两根为12，−12， 将x =12代入方程得：4×(12)2−m ×12−1=0， 解得：m =0，经检验x =−12是方程4x 2−1=0的根， ∴m =0符合题意；②当∠A =120°，∠B =30°时，两根为√32，√32，不符合题意； ③当∠A =30°，∠B =30°时，两根为12，√32， 将x =12代入方程得：4×(12)2−m ×12−1=0， 解得：m =0，经检验x =√32不是方程4x 2−1=0的根． 综上所述：m =0，∠A =30°，∠B =120°． 27.解：在Rt △DGF 中，∵FG =DG ×tan∠FDG ，=CE ×tan∠FDG=25×tan44°=24.25，∴FE=FG+GE=FG+CD，=24.25+10≈34(米)答：铁塔FE的高度约为34米．。
九年级数学下册第一章检测题及答案解析
第一章 直角三角形的边角关系检测题【本检测题满分:120分；时间:120分钟】一、选择题（每小题3分；共30分）1.计算：A.B.232+ C.23 D.231+2.在△ABC 中；若三边BC 、CA 、AB 满足 BC ∶CA ∶AB =5∶12∶13；则cos B （ ）A ．125 B ．512 C ．135 D ．13123.（2015·浙江丽水中考）如图；点A 为∠α边上的任意一点；作AC ⊥BC 于点C ；CD ⊥AB 于点D ；下列用线段比表示cos α的值；错误的是（ ） A . B.C .D.第3题图 第4题图 第5题图4.如图；在△ABC 中；∠BAC =90゜；AB =AC ；点D 为边AC 的中点；DE ⊥BC 于点E ；连接BD ；则tan ∠DBC 的值为（ ）A. B.-1 C.2- D.5.如图；在网格中；小正方形的边长均为1；点A ；B ；C 都在格点上；则∠ABC 的正切值是( ) A.2B.C.D.6.已知在Rt ABC △中；390sin 5C A ∠==°，；则tan B 的值为（ ） A.43 B.45C.54D.347.如图；一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10 m ；此时小球距离地面的高度为( )A.5 mB.25 mC.45 mD.310 m8.如图；在菱形中；；3cos 5A =；；则tan ∠的值是（ ）A ．12 B ．2 C ．52 D ．559.直角三角形两直角边和为7；面积为6；则斜边长为（ ） A. 5 B. C. 7 D.10.（2015·哈尔滨中考）如图；某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ；此第7题图时飞行高度AC＝1 200 m；从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°；则飞机A与指挥台B的距离为（）A.1 200 mB.1 200mC. 1 200mD.2 400 m第10题图二、填空题（每小题3分；共24分）11.如图；有两棵树；一棵高12米；另一棵高6米；两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢；问小鸟至少飞行_________米．12.（2015·陕西中考）如图；有一滑梯AB；其水平宽度AC为5.3米；铅直高度BC为2.8米；则∠A的度数约为________.（用科学计算器计算；结果精确到0.1°）第12题图13.如图；小兰想测量南塔的高度.她在处仰望塔顶；测得仰角为30°；再往塔的方向前进50 m至处；测得仰角为60°；那么塔高约为_________ m.（小兰身高忽略不计；7323 ）.114.等腰三角形的腰长为2；腰上的高为1；则它的底角等于________ ．15.如图；已知Rt△中；斜边上的高；；则________.16.如图；△ABC的顶点都在方格纸的格点上；则_ ．17如图①是小志同学书桌上的一个电子相框；将其侧面抽象为如图②所示的几何图形；已知BC=BD＝15 cm；∠CBD=40°；则点B到CD的距离为___________cm(参考数据：sin 20°≈0.342；cos 20°≈0.940；sin 40°≈0.643；cos 40°≈0.766；结果精确到0.1 cm；可用科学计算器).①②第17题图18.如图；在四边形中；；；；；则__________.三、解答题（共66分） 19.（8分）计算下列各题： (1)()42460sin 45cos 22+- ；（2）2330tan 3)2(0-+--.20.（7分）在数学活动课上；九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度；设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A ；测得由点看大树顶端C 的仰角为35°； (2)在点A 和大树之间选择一点B （A ；B ；D 在同一直线上）；测得由点B 看大树顶端C 的仰角恰好为45°；(3)量出A ；B 两点间的距离为4.5 .请你根据以上数据求出大树CD 的高度.(精确到0.1 m)21.（7分）每年的5月15日是“世界助残日”.某商场门前的台阶共高出地面1.2米；为帮助残疾人便于轮椅行走；准备拆除台阶换成斜坡；又考虑安全；轮椅行走斜坡的坡角不得超过；已知此商场门前的人行道距商场门的水平距离为8米(斜坡不能修在人行道上)；问此商场能否把台阶换成斜坡? （参考数据：)22.（8分）如图；为了测量某建筑物CD 的高度；先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的仰角是30°；然后在水平地面上向建筑物前进了100 m ；此时自B 处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5 m ；请你计算出该建筑物的高度．（取3≈1.732；结果精确到1 m ）23.（8分）已知：如图；在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为 45°；沿着坡度为30°的斜坡前进400米到D 处（即 ∠；米）；测得A 的仰角为︒60；求 山的高度AB ．24.（8分）一段路基的横断面是直角梯形；如左下图所示；已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6；现不改变土石方量；全部充分利用原有土石方进行坡面改造；使坡度变小；达到如右下图所示的技术要求．试求出改造后坡面的坡度是多少？25.（10分）如图；已知在Rt △ABC 中；∠ACB ＝90°；CD 是斜边AB 上的中线；过点A作AE ⊥CD ；AE 分别与CD ；CB 相交于点H ；E ；AH ＝2CH . （1）求sin B 的值；（2）如果CD ＝5；求BE 的值.26.（10分）如图；在南北方向的海岸线MN 上；有A ；B 两艘巡逻船；现均收到故障船C 的求救信号．已知A ；B 两船相距100（3+1）海里；船C 在船A 的北偏东60°方向上；船C 在船B 的东南方向上；MN 上有一观测点D ；测得船C 正好在观测点D 的南偏东75°方向上． （1）分别求出A 与C ；A 与D 间的距离AC 和AD （如果运算结果有根号；请保留根号）. （2）已知距观测点D 处100海里范围内有暗礁；若巡逻船A 沿直线AC 去营救船C ；在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：2≈1.41；3≈1.73）第一章 直角三角形的边角关系检测题参考答案一、选择题 1.C 解析：2.C 解析：设；则；；则；所以△是直角三角形；且∠．所以在Rt △ABC 中；135135==x x AB BC ． 3.Ｃ 解析：在Rt △BCD 中；cos BDBCα=；故A 项正确；在Rt △ABC 中；cos BCABα=；故B 项正确； 90BAC α∠+∠=︒；90DAC DCA ∠+∠=︒；∴DCA α∠=∠；∴cos cos CD DCA ACα=∠=；故D 项正确；而sin sin AD DCA ACα=∠=；故C 项错误.4.A 解析：根据题意DE ⊥BC ；∠C =45°；得DE =CE ；设DE =CE =x ；则CD =2x ；AC =AB =22x ；BC =4x ；所以BE =BC -CE =3x .根据锐角三角函数；在Rt △DBE 中；tan ∠DBE =BE DE =3x x =31；即tan ∠DBC =. 5.D 解析：如图所示；连接AC ；则AC；2；AB 2 ；8； BC ；10.∵；∴ △ABC 是直角三角形；且∠BAC 是直角； 第5题答图∴ tan ∠ABC . 6.A 解析：如图；设则由勾股定理知；所以tan B .7.B 解析：设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为所以解得8.B 解析：设又因为在菱形中；所以所以所以由勾股定理知所以29.A 解析：设直角三角形的两直角边长分别为则所以斜边长10. D 解析：根据题意；得∠B ==30°；在Rt △ABC 中；∠C =90°；∴ AB =2AC .ABC第6题答图∵AC=1 200 m；∴AB=2 400 m.故选D.二、填空题11.10 解析：如图；过点A作AC⊥BC；则AC= 8米；BC=12-6=6（米）.在Rt△ACB中；根据勾股定理；得AB =22BC AC =2268+=100=10（米）.12. 27.8°解析：根据正切的定义可知2.8tan0.528 35.3BCAAC==≈；然后使用计算器求出A∠的度数约为27.8°.13.43.3 解析：因为；所以所以所以).14.15°或75°解析：如图；.在图①中；；所以∠∠；在图②中；；所以∠∠.15.解析：在Rt△中；∵；∴sin B=；．在Rt△中；∵；sin B=；∴．在Rt△中；∵；∴．16.55解析：设每个小方格的边长为1；利用网格；从点向所在直线作垂线；利用勾股定理得；所以sin A =55.第14题答图BCD②AAB CD①17. 14.1 解析：如图；过点B 作BE ⊥CD 于点E ；∵ BC =BD ；根据等腰三角形的“三线合一”性质；得∠CBE =12∠CBD =20°. 在Rt △BCE 中；cos ∠CBE =BE BC；∴ BE =BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940=14.1（cm ）.第17题答图18. 解析：如图；延长、交于点；∵ ∠；∴ ．∵ ；∴ ；∴ ．∵；∴．三、解答题19.解：（1）()46223222242460sin 45cos 22+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+-.226262262322=+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（2）2330tan 3)2(0-+--3231-+-=.323-=20.解：∵ ∠90°； ∠45°；∴∵ ；∴则 m ；∵ ∠35°； ∴ tan ∠tan 35°5.4+x x.整理；得35tan 135tan 5.4-⨯=x ≈10.5. 故大树的高约为10.521.解：因为所以斜坡的坡角小于；故此商场能把台阶换成斜坡. 22.解：设；则由题意可知；m ．在Rt △AEC 中；tan ∠CAE ＝AE CE；即tan 30°＝100+x x ； ∴33100=+x x ；即3x 3(x ＋100)；解得x 50＋503.经检验；50＋503是原方程的解．∴故该建筑物的高度约为 23.解:如图；过点D 分别作⊥于点；⊥于点；在Rt △中； ∠；米；所以（米）；（米）.在Rt △ADE 中；∠ADE =60°；设米；则（米）.在矩形DEBF 中；BE =DF =200 米； 在Rt △ACB 中； ∠；∴；即x x +=+32002003； ∴； ∴米．24.解：由原题左图可知：BE ⊥DC ； m ；.在Rt △BEC 中；)(506.030sin sin m BE BC BC BE ===∴=αα， （m ）. 由勾股定理得；m.在不改变土石方量；全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造；使坡度变小；则梯形的面积＝梯形的面积．1202120204030213020EC ⋅⨯+⨯=⨯⨯+⨯∴；解得＝80（m ）.∴ 改造后坡面的坡度4:180:20:11===EC E B i .25.分析：(1)根据已知条件得出∠B ＝∠DCB ＝∠CAE ；可以在Rt △ACH 中求出sin B 的值.（2）通过解Rt △ABC 求出AC 与BC 的长；解Rt △ACH 求出CE 的长；利用BE =BC -CE 得到答案. 解：（1）∵ CD 是斜边AB 上的中线； ∴ CD =BD ；∴ ∠B ＝∠DCB. ∵ ∠ACB ＝90°；AE ⊥CD ；∴ ∠DCB =∠CAE ；∴ ∠B =∠DCB =∠CAE . ∵ AH ＝2CH ； ∴ sin B =sin ∠CAE =CHAC=22CHAH CH+＝55. （2）∵ CD =5；∴ AB =25. ∴ BC =25·cos B =4；AC =25·sin B =2； ∴ CE =AC ·tan ∠CAE =1； ∴ BE =BC -CE =3.点拨：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；即直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形. 26.分析：（1）过点C 作CE ⊥AB 于点E ；构造直角三角形.设AE =a 海里；通过解直角三角形；用含a 的代数式表示出CE ；AC.在Rt △BCE 中；根据BE =CE ；列出方程；求出a ；进而求出A C.(2)判断巡逻船A 在沿直线AC 去营救船C 的途中有无触礁危险；只要求出观测点D 到AC 的距离；然后与100海里比较即可.因此；过点D 作DF ⊥AC ；构造出Rt △ADF ；求出DF ；将DF 与100海里进行比较. 解：（1）如图；过点C 作CE ⊥AB 于点E ；设AE =a 海里；则BE =AB -AE =100(3+1)-a （海里）. 在Rt △ACE 中；∠AEC =90°；∠EAC =60°； ∴ AC =cos 60AE ︒=12a=2a （海里）；CE =AE ·tan 60°=3a （海里）. 在Rt △BCE 中；BE =CE ；∴ 100(3+1)-a = 3a ；∴ a =100（海里）. ∴ AC =2a =200（海里）.在△ACD 和△ABC 中；∠ACB =180°-45°-60°=75°=∠ADC ；∠CAD =∠BAC ；∴ △ACD ∽△ABC ；∴ AD AC =AC AB ；即200AD =200100(31)+.∴ AD =200(3-1)(海里).答：A 与C 间的距离为200海里；A 与D 间的距离为200(3-1)海里. （2）如图；过点D 作DF ⊥AC 于点F . 在Rt △ADF 中；∠DAF =60°；∴ DF =AD ·sin 60°=200(3-1)×32=100(3-3)≈127>100. ∴ 船A 沿直线AC 航行；前往船C 处途中无触礁危险. 点拨：（1）解斜三角形的问题时；一般通过作高构造直角三角形求解；（2）已知两个直角三角形边长的和或边长的差；常通过列方程的方法解直角三角形.第一章 直角三角形的边角关系检测题参考答案一、选择题 1.C 解析：2.C 解析：设；则；；则；所以△是直角三角形；且∠．所以在Rt △ABC 中；135135==x x AB BC ． 3.Ｃ 解析：在Rt △BCD 中；cos BDBCα=；故A 项正确； 在Rt △ABC 中；cos BCABα=；故B 项正确；90BAC α∠+∠=︒；90DAC DCA ∠+∠=︒；∴DCA α∠=∠；∴cos cos CD DCA ACα=∠=；故D 项正确；而sin sin AD DCA ACα=∠=；故C 项错误.4.A 解析：根据题意DE ⊥BC ；∠C =45°；得DE =CE ；设DE =CE =x ；则CD =2x ；AC =AB =22x ；BC =4x ；所以BE =BC -CE =3x .根据锐角三角函数；在Rt △DBE 中；tan ∠DBE =BE DE =3x x =31；即tan ∠DBC =. 5.D 解析：如图所示；连接AC ；则AC ；2；AB 2 ；8； BC ；10. ∵ ；∴ △ABC 是直角三角形；且∠BAC 是直角； 第5题答图∴ tan ∠ABC.6.A 解析：如图；设则由勾股定理知；所以tan B.7.B 解析：设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为所以解得 8.B 解析：设又因为在菱形中；所以所以所以由勾股定理知所以 29.A 解析：设直角三角形的两直角边长分别为则所以斜边长10. D 解析：根据题意；得∠B ==30°；在Rt △ABC 中；∠C =90°；∴ AB =2AC . ∵ AC =1 200 m ；∴ AB =2 400 m.故选D. 二、填空题11.10 解析：如图；过点A 作AC ⊥BC ；则AC = 8米；BC =12-6=6（米）.在Rt △ACB 中；根据勾股定理；得AB =22BC AC =2268+=100=10（米）.12. 27.8° 解析：根据正切的定义可知 2.8tan 0.528 35.3BC A AC ==≈； 然后使用计算器求出A ∠的度数约为27.8°. 13.43.3 解析：因为；所以所以所以).14.15°或75° 解析：如图；.在图①中；；所以∠∠； 在图②中；；所以∠∠.15. 解析：在Rt △中；∵；∴ sin B =；．在Rt △中；∵；sin B =；∴．ABC第6题答图第14题答图 B CD ②A ABCD ①在Rt △中；∵ ；∴ ．16.55解析：设每个小方格的边长为1；利用网格；从点向所在直线作垂线；利用勾股定理得；所以sin A =55. 17. 14.1 解析：如图；过点B 作BE ⊥CD 于点E ；∵ BC =BD ；根据等腰三角形的“三线合一”性质；得∠CBE =12∠CBD =20°. 在Rt △BCE 中；cos ∠CBE =BE BC；∴ BE =BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940=14.1（cm ）.第17题答图18. 解析：如图；延长、交于点；∵ ∠；∴ ． ∵ ；∴ ； ∴ ．∵； ∴．三、解答题19.解：（1）()46223222242460sin 45cos 22+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+-.226262262322=+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（2）2330tan 3)2(0-+--3231-+-=.323-=20.解：∵ ∠90°； ∠45°；∴ ∵ ；∴则 m ； ∵ ∠35°； ∴ tan ∠tan 35°5.4+x x.整理；得35tan 135tan 5.4-⨯=x ≈10.5. 故大树的高约为10.521.解：因为所以斜坡的坡角小于；故此商场能把台阶换成斜坡. 22.解：设；则由题意可知；m ．在Rt △AEC 中；tan ∠CAE ＝AE CE；即tan 30°＝100+x x ；∴33100=+x x ；即3x 3(x ＋100)；解得x 50＋503.经检验；50＋503是原方程的解．∴故该建筑物的高度约为 23.解:如图；过点D 分别作⊥于点；⊥于点；在Rt △中； ∠；米；所以（米）； （米）.在Rt △ADE 中；∠ADE =60°；设米； 则（米）. 在矩形DEBF 中；BE =DF =200 米； 在Rt △ACB 中； ∠；∴；即x x +=+32002003； ∴； ∴米．24.解：由原题左图可知：BE ⊥DC ； m ；.在Rt △BEC 中；)(506.030sin sin m BE BC BC BE ===∴=αα， （m ）. 由勾股定理得；m.在不改变土石方量；全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造；使坡度变小；则梯形的面积＝梯形的面积．1202120204030213020EC ⋅⨯+⨯=⨯⨯+⨯∴；解得＝80（m ）.∴ 改造后坡面的坡度4:180:20:11===EC E B i .25.分析：(1)根据已知条件得出∠B ＝∠DCB ＝∠CAE ；可以在Rt △ACH 中求出sin B 的值.（2）通过解Rt △ABC 求出AC 与BC 的长；解Rt △ACH 求出CE 的长；利用BE =BC -CE 得到答案. 解：（1）∵ CD 是斜边AB 上的中线； ∴ CD =BD ；∴ ∠B ＝∠DCB. ∵ ∠ACB ＝90°；AE ⊥CD ；∴ ∠DCB =∠CAE ；∴ ∠B =∠DCB =∠CAE .∵ AH ＝2CH ；∴ sin B =sin ∠CAE =CHAC=22CHAH CH +＝55.（2）∵ CD =5；∴ AB =25. ∴ BC =25·cos B =4；AC =25·sin B =2； ∴ CE =AC ·tan ∠CAE =1； ∴ BE =BC -CE =3.点拨：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；即直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形. 26.分析：（1）过点C 作CE ⊥AB 于点E ；构造直角三角形.设AE =a 海里；通过解直角三角形；用含a 的代数式表示出CE ；AC.在Rt △BCE 中；根据BE =CE ；列出方程；求出a ；进而求出A C.(2)判断巡逻船A 在沿直线AC 去营救船C 的途中有无触礁危险；只要求出观测点D 到AC 的距离；然后与100海里比较即可.因此；过点D 作DF ⊥AC ；构造出Rt △ADF ；求出DF ；将DF 与100海里进行比较. 解：（1）如图；过点C 作CE ⊥AB 于点E ； 设AE =a 海里；则BE =AB -AE =100(3+1)-a （海里）. 在Rt △ACE 中；∠AEC =90°；∠EAC =60°； ∴ AC =cos 60AE ︒=12a=2a （海里）；CE =AE ·tan 60°=3a （海里）. 在Rt △BCE 中；BE =CE ；∴ 100(3+1)-a = 3a ；∴ a =100（海里）. ∴ AC =2a =200（海里）.在△ACD 和△ABC 中；∠ACB =180°-45°-60°=75°=∠ADC ；∠CAD =∠BAC ；∴ △ACD ∽△ABC ；∴ AD AC =AC AB ；即200AD =200100(31)+.∴ AD =200(3-1)(海里).答：A 与C 间的距离为200海里；A 与D 间的距离为200(3-1)海里. （2）如图；过点D 作DF ⊥AC 于点F . 在Rt △ADF 中；∠DAF =60°；∴ DF =AD ·sin 60°=200(3-1)×32=100(3-3)≈127>100. ∴ 船A 沿直线AC 航行；前往船C 处途中无触礁危险. 点拨：（1）解斜三角形的问题时；一般通过作高构造直角三角形求解；（2）已知两个直角三角形边长的和或边长的差；常通过列方程的方法解直角三角形.。
第一章《直角三角形的边角关系》单元检测卷(含答案)
第一章《直角三角形的边角关系》单元检测卷（全卷满分100分 限时90分钟）一、选择题：(每小题3分 共36分) 1．0)30(tan o 的值是( )A B ．0 C ．1 D 2．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A =35°，则直角边BC 的长是（ ） A ．sin35m ︒ B ．cos35m ︒ C ．sin 35m ︒ D ．cos35m︒(第2题) (第3题) (第4题)3．如图，△ABC 的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan ∠A 的值是（ ）A ．65 B ． 56C D4．一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（ ）A ．30海里B ．40海里C ．50海里D ．60海里 5．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ）A ．1米B 米C ．米D ．3米 6．在Rt ABC ∆中，已知90C ∠=︒，40A ∠=︒，3BC =，则AC =（ ） A ．3sin 40︒ B ．3sin50︒ C ．3tan 40︒ D ．3tan50︒ 7．sin 30°+tan 45°－cos 60°的值等于（ ）A B ．0 C ．1 D8．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB 的长为A ．米B ．米C ．D ． 24米(第8题) (第10题) (第11题)9在∆ABC 中，若∣sin A －12∣+(cos B 2=0则∠C =（ ）A. 300B. 600 C . 900 D. 120010．轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是（ ）海里．A ．B ．C ．50D ．2511．如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆A B ．已知观测点C 到旗杆的距离CE =8m ，测得旗杆的顶部A 的仰角∠ECA =30°，旗杆底部B 的俯角∠ECB =45°，那么，旗杆AB 的高度是（ ）A ．m ;B ．（m ;C ．（）m ;D ．（m 12．如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠CAB =30°， △ABD 是等边三角形，E 是AB 的中点，连结CE 并延长交AD 于F ，如图2，现将四边形ACBD 折叠，使D 与C 重合，HK 为折痕，则sin ∠ACH 的值为（ ）AB ．71C ．61D二.填空题：（每小题3分共12分） 13．若sinα=12，α是锐角，则α= 度． 14．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点E ，点E 为BD 的中点，∠BAC +∠BDC =180°,若AB =CD =5，tan ∠ACB =21,则AD =_________.(第14题) (第15题)15．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，对角线AC 、BD 交于点P ，且AB =BD ，AP =4PC =4，则cos ∠ACB 的值是 ．16．已知点P 是△ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫△ABC的费马点（Fermat point ），已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC 中，当∠APB =∠APC =∠BPC =120°时，P 就是△ABC 的费马点，若P 就是△ABC的费马点，若点P 的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD +PE +PF = ． 三.解答题：（共52分）17．(6分)计算：sin30cos45tan 601︒⨯︒-︒+18．(8分)如图，205国道旁的马鞍山南部承接产业示范园区里某幢大楼顶部有广告牌C D．习老师目高MA为1.60米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进14米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°．（计算结果保留根号）（1）求这幢大楼的高DH；（2）求这块广告牌CD的高度．19．(7分)如图所示，为了躲避海盗，一轮船由西向东航行，早上8点，在A处测得小岛P 在北偏东75°的方向上，以每小时20海里的速度继续向东航行，10点到达B处，并测得小岛P在北偏东60°的方向上，已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行,有无触礁的危险？20．(7分)如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）21．(7分)如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=40海里，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行半小时后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向．求该船航行的速度．22．(8分)南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732=1.732=1.414）23．（9分）在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B 在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A 位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？解析与答案1．C 【解析】试题分析：任何非零实数的零次幂都为1. 2．A. 【解析】试题分析：根据锐角三角函数定义可得sinA =mBCAB BC =，所以BC =sin35m ︒,故选A. 3．A 【解析】试题分析：利用三角函数的定义可知tan ∠A =65． 故选A ．4．B. 【解析】试题解析：由题意得∠ABC =60°，AB =BC ∴△ABC 是等边三角形 ∴AC =AB =40海里． 故选B ． 5．A 【解析】试题分析：首先画出符合题意的直角△ABC ，再根据坡角的定义可知∠A =30°，然后利用正弦函数的定义即可求解．解：如图，∵直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =2米， ∴他下降的高度BC =AB •sin 30°=1米．6．D ． 【解析】试题分析：如图所示：∵40A ∠=︒，∴50B ∠=︒，根据三角函数的定义可知tan ACB BC=，tan503AC︒=，所以AC =3tan50︒．故选D ． 7．C ． 【解析】 试题解析：原式=12+1－12=1． 故选C ． 8．B ． 【解析】试题解析：在Rt △ABC 中， ∵i =12BC AC =，AC =12米， ∴BC =6米， 根据勾股定理得：AB =故选B ． 9．D 【解析】试题分析：根据非负数的性质可知：sinA －12=0，cosB =0，然后根据特殊角的三角函数值计算可得：∠A =30°，∠B =30°，再根据三角形的内角和可求得∠C =180°－30°－30°=120°. 故选：D 10．D.试题分析：根据题意，∠1=∠2=30°，∵∠ACD =60°，∴∠ACB =30°+60°=90°，∴∠CBA =75°﹣30°=45°，∴∠A =45°，∴AB =AC.∵BC =50×0.5=25，∴AC =BC =25（海里）．故选D ．11．D 【解析】试题分析：利用∠ECA 的正切值可求得AE ；利用∠ECB 的正切值可求得BE ，有AB =AE +BE ． 解：在△EBC 中，有BE =EC ×tan 45°=8，在△AEC 中，有AE =EC ×tan 30°∴AB （米）． 故选D ． 12．B ． 【解析】试题分析：∵∠BAD =60°，∠CAB =30°，∴∠CAH =90°，在Rt △ABC 中，∠CAB =30°，设BC =a ，∴AB =2BC =2a ，∴AD =AB =2a ，设AH =x ，则HC =HD =AD ﹣AH =2a ﹣x ，在Rt △ABC中，2222(2)3AC a a a =-=，在Rt △ACH 中，222AH AC HC +=，即2223(2)x a a x +=-，解得14x a =，即AH =14a ，∴HC =2a ﹣x =2a ﹣14a =74a ，∴sin ∠ACH =17AH HC =，故选B ．二.填空题：（每小题3分共12分） 13．30° 【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值解答． 解：∵sinα=12，α是锐角， ∴α=30°． 14．210. 【解析】试题分析： 过点B 作BM ⊥CA ,过点D 作DN ⊥CA ,证△AMB ≌△CDN ,,得∠BAM =∠DCN ,而∠BAC +∠BDC =180°，得到CE =DE ,再根据点E 为BD 的中点，得BE =CE =DE , △BCD 是直角三角形.依据∠EBC =∠ECB , tan ∠ACB =21,DC =5得BC =10,在△BCM 中,根据tan ∠ACB =21得BM =,DN =,CM =,在△AMB 中,AM =,所以CN AN =△AND 是等腰直角三角形,根据勾股定理求得斜边AD =.15．33. 【解析】试题分析：如图：作BE ⊥AD 于E ，交AC 于O ，则BE ∥CD ，由AB =BD 得E 是AD 的中点，因此OE 是△ACD 的一条中位线，从而O 是AC 的中点，以O 为圆心，OA 为半径作圆，则由∠ABC =∠ADC =90°可知该圆经过A 、B 、C 、D 四点，易知 AP =4，PC =1，AC =AP +PC =5，因此，OA =OC =2.5．OP =OC ﹣PC =1.5，由BE ∥CD 得，BP ：PD =OP ：PC =1.5，因此BP =1.5PD ，从而 AB =BD =BP +PD =2.5PD ，由相交弦定理得 BP •PD =AP •PC =4，即 1.5PD 2=4，因此 PD 2=83，从而 AB 2=（2.5PD ）2=6.25PD 2=503，由勾股定理得BC 2=AC 2﹣AB 2=52﹣503=253，因此 BC =3，∴cos ∠ACB =BC ：AC =3．161．【解析】试题分析：如图：等腰Rt △DEF 中，DE =DF ，过点D 作DM ⊥EF 于点M ，过E 、F分别作∠MEP =∠MFP =30°，则EM =DM =1，故cos 30°=EMEP ，解得：PE =PF 3，则PM 故DP =1则PD +PE +PF +11．1．三.解答题：（共52分）17 1.- 【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值，和绝对值的性质可直接代入求值．试题解析：sin30cos45tan 601︒⨯︒-︒+112=-1.=- 18．（1）153+1.6（2）31﹣153 【解析】试题分析：根据题意构造直角三角形Rt △DME 与Rt △CNE ；应利用ME －NE =AB =14构造方程关系式，进而可解即可求出答案．试题解析：（1）在Rt △DME 中，ME =AH =45米；由tan 30DEME=，得DE =45×3又因为EH =MA =1.6米，因而大楼DH =DE +EH =（153+1.6）米；（2）又在Rt △CNE 中，NE =45﹣14=31米， 由tan 45CENE=，得CE =NE =31米； 因而广告牌CD =CE ﹣DE =（31﹣153）米；答：楼高DH 为（153+1.6）米，广告牌CD 的高度为（31﹣153）米． 19．无触礁危险 【解析】试题分析：过P 作AB 的垂线PD ，在直角△BPD 中可以求的∠P AD 的度数是30度，即可证明△APB 是等腰三角形，即可求得BP 的长，进而在直角△BPD 中，利用30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，从而求得PD 的长，即可确定继续向东航行是否有触礁的危险，确定是否能一直向东航行．试题解析：过点P 作PC ⊥AB 于点C ，∠P AB =15°，∠APB =15°， ∴BA =BP =2×20=40海里。
北师大九年级下第一章直角三角形的边角关系单元测试（含答案）
北师大九年级下第一章直角三角形的边角关系单元测试（含答案）第一章直角三角形的边角关系一、选择题1.cos60°的值等于（）A. B. C. 1 D.2.已知一个等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么腰与底边的比是（）A. 1：B. ：1C. 1：D. ：13.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（）A. B. C. D.4.如图，△ABC与△DEF都是等腰三角形，且AB=AC=3，DE=DF=2，若∠B+∠E=90°，则△ABC与△DEF的面积比为（）A. 9：4B. 3：2C. ：D. 3：25.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，且3a=4b，则∠A的度数为（）A. 53.48°B. 53.13°C. 53.13′D. 53.48′6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosB的值为（）A. B. C. D.7.某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，再往摩天轮的方向前进50m至D 处，测得最高点A的仰角为60°．问摩天轮的高度AB约是（）米（结果精确到1 米，参考数据： 1.41， 1.73）A. 120B. 117C. 118D. 1198.把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A、A′的余弦值的关系为（）A. cosA=cosA′B. cosA=3cosA′C. 3cosA=cosA′D. 不能确定9.如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°，则AB的长为（）A. 米B. 米C. 米D. 米10.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，AC=6cm，则BC的长度为（）A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9cm11.已知一个等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么腰与底边的比是（）A. 1：B. ：1C. 1：D. ：112.如图，已知AE与BF相交于点D，AB⊥AE，垂足为点A，EF⊥AE，垂足为点E，点C在AD上，连接BC，要计算A、B两地的距离，甲、乙、丙、丁四组同学分别测量了部分线段的长度和角的度数，各组分别得到以下数据：甲：AC、∠ACB；乙：EF、DE、AD；丙：AD、DE和∠DCB；丁：CD、∠ABC、∠ADB．其中能求得A、B两地距离的数据有（）A. 甲、乙两组B. 丙、丁两组C. 甲、乙、丙三组D. 甲、乙、丁三组二、填空题13.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则cosA=________．14.计算：tan45°﹣2cos60°=________．15. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于________．16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，sinA=，则BC的长是________17.十二边形的内角和是________度；cos35°≈________（结果保留四个有效数字）．18.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=，则CD=________19.已知∠A为锐角，且tan35°cotA=1，则∠A=________度．20.如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为________米．21.如图1，在综合实践活动中，同学们制作了两块直角三角形硬纸板，一块含有30°角，一块含有45°角，并且有一条直角边是相等的．现将含45°角的直角三角形硬纸板重叠放在含30°角的直角三角形硬纸板上，让它们的直角完全重合．如图2，若相等的直角边AC长为12cm，求另一条直角边没有重叠部分BD的长为________（结果用根号表示）．22.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE 的长度的最小值是________ ．三、解答题23.目前，我市正在积极创建文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并再进一步完善各类监测系统，如图，在某公路直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：=1.41，=1.73）24.如图，旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D处，某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆的底部A处测得点D的仰角为15°，AC=10米，又测得∠BDA=45°．已知斜坡CD的坡度为i=1：，求旗杆AB的高度（，结果精确到个位）．25.如图，某电信部门计划修建一条连接B，C两地的电缆．测量人员在山脚A点测得B，C两地的仰角分别为30°、45°，在B地测得C地的仰角为60°．已知C地比A地高200m，电缆BC至少长多少米（精确到1m）？26.为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具．如图1所示是一辆自行车的实物图，车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，车轮半径28cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2（1）求车座点E到地面的距离；（结果精确到1cm）（2）求车把点D到车架档直线AB的距离．（结果精确到1cm）．参考答案一、选择题A A C AB BC A B C A D二、填空题13.14.015.316.617.1800；0.819218.19.3520.21.（12 ﹣12）cm22.4.8三、解答题23.解：此车没有超速，理由：如图，过点C作CH⊥MN于H，在Rt△BCH中，∠CBN=60°，BC=200，∴CH=BC?sin60°=100 米，BH=BC?cos60°=100米，在Rt△AHC中，∠CAN=45°，∴AH=CH=100 米，∴AB=AH﹣BH=100 ﹣100≈73米，∴车速为=14.6m/s，∵60km/h= m/s，而14.6＜，∴此车没超速．24.解：延长BD，AC交于点E，过点D作DF⊥AE于点F．∵i=tan∠DCF= = ，∴∠DCF=30°．又∵∠DAC=15°，∴∠ADC=15°．∴CD=AC=10．在Rt△DCF中，DF=CD?sin30°=10× =5（米），CF=CD?cos30°=10× =5 ，∠CDF=60°．∴∠BDF=45°+15°+60°=120°，∴∠E=120°﹣90°=30°，在Rt△DFE中，EF= = =5∴AE=10+5 +5 =10 +10．在Rt△BAE中，BA=AE?tanE=（10 +10）× =10+ ≈16（米）．答：旗杆AB的高度约为16米．25.解：过B点分别作BE⊥CD、BF⊥AD，垂足分别为E、F．设BC=xm．∵∠CBE=60°，∴BE= x，CE= x．∵CD=200，∴DE=200﹣x．∴BF=DE=200﹣x，DF=BE= x．∵∠CAD=45°，∴AD=CD=200．∴AF=200﹣x．在Rt△ABF中，tan30°= = ，解得，x=200（﹣1）≈147m，答：电缆BC至少长147米．26.（1）解：作EF⊥AB于点F，如右图所示，∵AC=45cm，EC=20cm，∠EAB=75°，∴EF=AE?sin75°=（45+20）×0.9659≈63cm，即车座点E到车架档AB的距离是63cm，∵车轮半径28cm，∴车座点E到地面的距离是63+28=91cm。
2022年最新北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测试试题(含答案解析)
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在ABC 中，135ABC ∠=︒，点P 为AC 上一点，且90PBA ∠=︒，12CP PA =，则tan APB ∠的值为（ ）A ．3B ．2C ．13 D2、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AB ）A ．sin AB ．tan A ＝2C ．cos B ＝2D ．sin B 3、在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BC a =，AB c =，那么a c的值等于（ ）A ．sin AB ．cos AC ．tan AD ．cot A4、如图要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，点P 位于点A 正北方向，点C 位于点A 的北偏西46°，若测得PC ＝50米，则小河宽PA 为（ ）A ．50sin44°米B ．50cos44°C ．50tan44°米D ．50tan46°米5、一小球从斜坡的顶端沿斜坡向下滚落到斜坡底端，行了100米，下落的铅直高度为50米，则该斜坡的坡度为（ ）A ．30°B ．CD ．12 6、如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ．下列结论错误的是（ ）A ．AE ⊥BFB ．QB ＝QFC ．cos∠BQP ＝45 D ．14S 四边形ECFG ＝S △BGE7、△ABC 中，tan A ＝1，cos B ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形8、在直角△ABC 中，90C ∠=︒，3AB =，AC ＝2，则tan A 的值为（ ）A B C ．23D 9、如图，在菱形ABCD 中，8AC =，3tan 4BAO ∠=，则菱形ABCD 的面积是（ ）A ．12B ．24C ．48D ．2010、如图，将一块含30°角的三角板ABC 的直角顶点C 放置于直线m 上，点A ，点B 在直线m 上的正投影分别为点D ，点E ，若AB ＝10，BE ＝AB 在直线m 上的正投影的长是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点E ，则tan∠AEP ＝_____．2、如图，△ABC 中，BD ⊥AB ，BD 、AC 相交于点D ，AD ＝47AC ，AB ＝2，∠ABC ＝150°，则△DBC 的面积是______．3、如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，4cos A 5=，则tan∠DBE ＝__________．4、如图，点A 、B 、C 都在格点上，则∠CAB 的正切值为______．5、如图, 在 Rt ABC △ 中, 390,tan ,2ACB BAC CD ∠∠== 是斜边 AB 上的中线, 点 E 是直线AC 左侧一点, 联结 AE CE ED 、、, 若 ,EC CD EAC B ∠∠⊥=, 则 CDE ABC SS 的值为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：()1112cos30----︒2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，过点C 作CE ∥AB ，过点A 作AE ∥CD ，两线相交于点E ，连接DE ．（1）求证：四边形AECD 是矩形；（2）若BD ACE =∠=DE 的长． 3、计算：8cos60°＋（π－3.14）0－－4|＋（－1）2021．4、如图，已知反比例函数1k y x=1(0)k >与一次函数21y k x =+2(0)k ≠相交于A 、B 两点，AC x ⊥轴于点C ．若OAC ∆的面积为1，且tan 2AOC∠=．（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B 点的坐标，并指出当x 在什么范围取值时，使12(1)0k k x x-+> 5、计算：()()01sin 451+2cos30tan 60cot 60-︒-︒-︒-︒．-参考答案-一、单选题1、A【分析】过点P 作PD∥AB 交BC 于点D ，因为135ABC ∠=︒，且90PBA ∠=︒，则tan∠PBD =tan45°=1，得出PB =PD ，再有12CP PA =，进而得出tan∠APB 的值． 【详解】 解：如图，过点P 作PD AB ∥交BC 于点D ，∴CPD CAB △∽△， ∴AC AB PC PD=,∵135ABC ∠=︒，且90PBA ∠=︒，∴∠PBD =45°，∴tan tan 451PBD ∠=︒=，∴PB PD =， 又∵12CP PA =， ∴3AC PC=， ∴tan 3AB AB AC APB PB PD PC∠====． 故选A ．【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解．2、D【分析】根据正弦、余弦及正切的定义直接进行排除选项．【详解】解：在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AB∴2AC ==，∴1sin tan ,cos 2BC BC BC AC A A B B AB AC AB AB ======== 故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数的求法是解题的关键．3、A【分析】根据三角函数的比值即可得出答案．【详解】如图，sin a A c=． 故选：A ．【点睛】 本题考查锐角三角函数，sin A =对边斜边，cos A =邻边斜边，tan A =对边邻边，cot A =邻边对边，掌握三角函数的比值是解题的关键．4、C【分析】 先根据AP ⊥PC ，可求∠PCA =90°-46°=44°，在Rt△PCA 中，利用三角函数AP =tan 4450tan 44PC ︒⨯=︒米即可．【详解】解：∵AP ⊥PC ，∴∠PCA +∠A =90°，∵∠A =46°，∴∠PCA =90°-46°=44°，在Rt△PCA 中，tan∠PCA =AP CP，PC =50米， ∴AP =tan 4450tan 44PC ︒⨯=︒米．故选C ．【点睛】本题考查测量问题，掌握测量问题经常利用三角函数求边，熟悉锐角三角函数定义是解题关键．5、B【分析】画出对应图形，根据题意即勾股定理求出水平距离OB 的长度，利用坡度等于铅直距离与水平距离之比，求出坡度即可．【详解】解：如下图所示：由题意即图可知：100OA =，50AB =，在Rt AOB ∆中，由勾股定理可得：OB ==∴坡度为：1:AB OB =故选：B ．【点睛】本题主要是考查了坡度的定义以及勾股定理，熟练掌握坡度的定义，是求解该类问题的关键．6、C【分析】△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，利用角的关系求出QF =QB ，即可判断B ；首先证明△ABE ≌△BCF ，再利用角的关系求得∠BGE =90°，即可得到AE ⊥BF 即可判断A ；利用QF =QB ，解出BP ，QB ，根据正弦的定义即可求解即可判断C ；可证△BGE 与△BCF 相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解即可判断D ．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠C =90°，AB ∥CD ，由折叠的性质得：FP ＝FC ，∠PFB ＝∠BFC ，∠FPB =∠C ＝90°，∵CD∥AB ，∴∠CFB ＝∠ABF ，∴∠ABF ＝∠PFB ，∴QF ＝QB ，故B 选项不符合题意；②∵E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，∴CD =BC ，12CF CD =，12BE BC =，∠ABE =∠C =90°， ∴CF ＝BE ，在△ABE 和△BCF 中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，∴△ABE ≌△BCF （SAS ），∴∠BAE ＝∠CBF ，又∵∠BAE +∠BEA ＝90°，∴∠CBF +∠BEA ＝90°，∴∠BGE ＝90°，∴AE ⊥BF ，故A 选项不符合题意；令PF ＝k （k ＞0），则PB ＝2k ，在Rt △BPQ 中，设QB ＝x ，∵222QB QP PB =+，∴x 2＝（x ﹣k ）2+4k 2，∴x ＝52k，∴cos ∠BQP ＝35QP QB =，故C 选项符合题意；⑤∵∠BGE ＝∠BCF ，∠GBE ＝∠CBF ，∴△BGE ∽△BCF ，∵BE ＝12BC ，BF BC ，∴BE ：BF ＝1∴△BGE的面积：△BCF的面积＝1：5，∴S四边形ECFG＝4S△BGE，故D选项不符合题意．故选C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．7、C【分析】先根据△ABC中，tanA=1，cosB A及∠B的度数，进而可得出结论．【详解】解：∵△ABC中，tanA=1，cosB∴∠A=45°，∠B=45°，∴∠C=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．8、B【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后再求tanA的值．【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB=3，AC＝2，∴BC∴tanA=BC AC =故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．9、B【分析】根据菱形的性质可得AC ⊥BD ，AO =CO =12AC =4，BO =DO ，再根据正切函数的定义求出BD ，进而可求出菱形的面积；【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO =CO =12AC =4，BO =DO ， 在直角三角形ABO 中，∵3tan 4BO BAO AO ∠==， ∴344BO =， ∴BO =3，∴BD =6，∴菱形ABCD 的面积=168=242⨯⨯；【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理和锐角三角函数的定义，属于基础题型，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．10、C【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AC =5，根据锐角三角函数可得BC 的长，再根据勾股定理可得CE 的长；通过证明△ACD ∽△CBE ，再根据相似三角形的性质可得CD 的长，进而得出DE 的长．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ABC =30°，AB =10，∴AC =12AB =5，BC =AB •cos 53，在Rt △CBE 中，CE=∵∠CAD +∠ACD =90°，∠BCE +∠ACD =90°，∴∠CAD =∠BCE ，∴Rt △ACD ∽Rt △CBE ， ∴CD AC EB BC=，∴CD =3BE AC BC ⋅==，∴DE =CD +BE =3+即AB 在直线m 上的正投影的长是3+故选：C ．本题考查了平行投影，掌握相似三角形的判断与性质以及勾股定理是解答本题的关键．二、填空题1、12##【分析】如图，设小正方形边长为1，根据网格特点，∠PQF=∠C BF，可证得PQ∥BC，则∠QEB=∠ABC，即∠AEP=∠ABC，分别求出AC、BC、AB，根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，求出tan∠ABC即可．【详解】解：如图，设小正方形边长为1，根据网格特点，∠PQF=∠C BF=45°，∴PQ∥BC，∴∠QEB=∠ABC，∵∠AEP=∠QEB，∴∠AEP=∠ABC，∵AB=AC==BC=∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴tan∠ABC=12 ACBC==，∴tan∠AEP=tan∠ABC=12，故答案为：12【点睛】本题考查网格性质、勾股定理及其逆定理、平行线的判定与性质、正切、对顶角相等，熟知网格特点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答的关键．2【分析】过点C 作CE BD ⊥，交BD 延长线于点E ，先根据相似三角形的判定证出CDE ADB ，根据相似三角形的性质可得34CD CE DE AD AB BD ===，从而可得33,24CE DE BD ==，再解直角三角形可得BE =，从而可得BD =，然后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，过点C 作CE BD ⊥，交BD 延长线于点E ，BD AB ⊥，CE AB ∴∥，CDEADB ∴， CD CE DE AD AB BD∴==， 4,27AD AC AB ==，324CE DE BD ∴==， 解得33,24CE DE BD ==，又,150BD AB ABC ⊥∠=︒，1509060CBD ∴∠=︒-︒=︒，在Rt BCE 中，tan CE CBDBE ∠=，即32tan 60BE=︒=解得BE =，DE BD BE +==34BD BD ∴+=，解得BD =则DBC △的面积是113222BD CE ⋅==，【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．3、3【分析】根据DE ⊥AB ，cos A ＝45，设AE ＝4x ，AD ＝5x ，根据勾股定理DE 3x ==，根据四边形ABCD 为菱形，可得菱形的边AB ＝AD ＝5x ，可求BE =AB -AE =5x -4x =x ，根据正切定义求tan∠DBE =33DE x BE x==即可．【详解】解：∵DE⊥AB，cos A＝45，∴设AE＝4x，AD＝5x，在Rt△ADE中， DE3x==，∵四边形ABCD为菱形，∴菱形的边AB＝AD＝5x，∴BE=AB-AE=5x-4x=x，∴tan∠DBE=33 DE xBE x==．故答案为：3．【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，根据根据菱形的四条边都相等求出菱形的边长是解题的关键，利用∠A的余弦设AE=4x，AD=5x使求解更加简便．4、12【分析】过C作CD垂直于AB的延长线于点D，则ADC为直角三角形，解直角三角形即可求解．【详解】如图：过C作CD垂直于AB的延长线于点D，∴ADC 为直角三角形∴在Rt ADC 中1tan 2CD A AD ∠== 1tan 2CAB ∴∠= 故答案为：12【点睛】本题考查的是解直角三角形，解题关键是结合网格的特点构造直角三角形，利用锐角三角形函数解答．5、1336 【分析】先证明Rt AED Rt CED ≌，则AED CED S S =，进而证明DAE BCA ∽，据3tan 2BAC ∠=求得相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解：CD 是Rt ABC 斜边 AB 上的中线，12CD AB AD ∴== DCA DAC ∴∠=∠90ACB ∠=︒90CAB B ∴∠+∠=︒EAC B ∠=∠90EAC DAC ∴∠+∠=︒ 即90EAD ∠=︒又EC CD ⊥90ECD ∴∠=︒EAD ECD ∴∠=∠ Rt AED Rt CED ∴≌ AED CED S S ∴= ,DA DC EA EC == ED AC ∴⊥又90ACB ∠=︒ BC AC ∴⊥//ED BC ∴ADE B ∴∠=∠又90EAD ACB ∠=∠=︒ DAE BCA ∴∽ 2ADC ABC S AD S BC ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ 3tan 2BAC ∠= 32CB CA ∴=设3CB k =，则2AC k = AB∴=12AD AB ∴== AED CED S S =2CDE ADC ABC ABC SS AD S S BC⎛⎫∴== ⎪⎝⎭2132336k ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 故答案为：1336【点睛】 本题考查了解直角三角形，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，正切的定义，证明AED CED SS =是解题的关键．三、解答题1、0【分析】根据化简绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，进行混合运算即可【详解】解：()1112cos30---︒原式()112=---11=+0=【点睛】本题考查了化简绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值并正确的进行实数的混合运算是解题的关键．2、（1）见解析；（2）DE =5．【分析】（1）先证明四边形AECD 是平行四边形，再根据CD ⊥AB 于D ，即可证明；（2）根据矩形的性质，得出∠BCD=∠ACE，再根据sin ACE∠=sin BCD∠=△中即可得出．AE CD==Rt ACE【详解】证明：（1）CE∥AB，AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，CD⊥AB于D，∴∠CDA=90°，∴四边形AECD是矩形；（2）四边形AECD是矩形，∴∠DCE=∠AEC=90°，AC=DE，∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∠ACE+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACE，∠=sin ACEsin BCD∴∠=，⊥，CD AB∴∠=︒，90CDBBD=4∴==10,BC CDAE CD ∴==在Rt ACE △中，90,sin AEC ACE ∠=︒∠=，5AE AC ∴==，5DE AC ∴==．【点睛】本题考查了矩形的证明，锐角三角形的求解问题，解题的关键是根据正弦值求线段的长．3【分析】先计算特殊角三角函数值、0指数、绝对值和乘方，再加减即可．【详解】解：8cos60°＋（π－3.14）0－4|＋（－1）2021．=181412⨯+-=4141+-【点睛】本题考查了特殊角三角函数值、0指数、绝对值和乘方运算，解题关键是熟记特殊角三角函数值，准确计算0指数、绝对值和乘方．4、（1）2y x =，1y x =+；（2）(2,1)B --，2x <-或01x <<． 【分析】（1）先根据正切函数的定义可得点A 的坐标，再利用待定系数法即可得；（2）联立反比例函数和一次函数的解析式可得点B 的坐标，再利用函数图象法即可得．【详解】解：（1）设点A 的坐标为(,)A m n ，则,OC m AC n ==， OAC 的面积为1，且tan 2AOC ∠=，11,22n mn m∴==， 解得1,2m n ==或10,20m n =-<=-<（不符题意，舍去），(1,2)A ∴，将点(1,2)A 代入1k y x=得：1122k =⨯=， 则反比例函数的解析式为2y x =； 将点(1,2)A 代入21y k x =+得：212k +=，解得21k =，则一次函数的解析式为1y x =+；（2）联立21y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩， 解得12x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩， 则点B 的坐标是(2,1)B --，12(1)0k k x x-+>表示的是反比例函数的图象位于一次函数的图象的上方， 则2x <-或01x <<．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、正切，熟练掌握待定系数法是解题关键．5、【分析】先进行绝对值的化简，代入特殊角的三角函数值运算，然后合并．【详解】解：原式11+2---⎝⎭，=11=【点睛】本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．。
(必考题)初中数学九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》检测卷(答案解析)
一、选择题1．如图，在Rt ABC ∆中，90,3,2C BC AB ∠=︒==，则B 等于（ ）A ．15︒B ．20︒C ．30D ．60︒2．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，1cos 3B =，则tan A 的值为（ ） A ．311B ．33 C ．24D ．101033．角α，β满足045αβ<<<︒︒，下列是关于角α，β的命题，其中错误．．的是（ ） A ．20sin 2α<<B ．0tan 1β<<C ．cos sin βα<D ．sin cos βα<4．如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为()3,4，那么cos α的值是（ ）A ．34B ．43C ．35D ．455．在Rt △ABC 中，若∠C=90°，BC=2AC ，则cosA 的值为（ ） A ．12B ．32C 25D 5 6．如图，边长为23AOB 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点C 为AOB 的中心，将AOB 绕点O 以每秒60︒的速度逆时针旋转，则第2021秒，AOB 的中心C 的对应点2021C 的坐标为（ ）A ．()0,2-B ．()3,1-C ．()1,3D ．()1,3-7．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为（ ）A ．2B ．5C ．3D ．68．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，8BC =，D ，E 分别为边AB ，BC 上一点，且满足:1:3AD DB =．连接DE ，将ADBE 沿DE 翻折，点B 的对应点F 恰好落在边AC 上，则CF 的长度为（ ）A ．1952055-B ．275C ．52055+D ．3159．Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，sin A =（ ） A ．5 B ．2C ．32D ．1210．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=14，点E 在边CB 上，CE=2EB ，点D 在边AB 上，CD 垂直AE ，垂足为F ，则AD 的长为（ ）A ．2B ．4225C ．35D ．1511．如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使得BD=2DC ，连接AC ，如果5tanB 3=，则tan CAD ∠的值是（ ）A ．33B ．35C ．13D ．1512．如图，推动个小球沿倾斜角为α的斜坡向上行驶，若5sin 13α=，小球移动的水平距离12AC =米，那么小球上升的高度BC 是（ ）A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．7米二、填空题13．已知α，β均为锐角，且满足cos 0.5tan 30αβ-+-=，则αβ+的度数为_______．14．在ABC 中，若213sin cos 02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则C ∠的度数是_____________．15．在ABC 中，90,3,4ACB BC AC ∠=︒==，动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 移动到点B ，则BCP 为等腰三角形时，点P 的运动时间为_________． 16．如图是一个海绵施把，图1、图2是它的示意图，现用线段BC 表示拉手柄，线段DE 表示海绵头，其工作原理是：当拉动BC 时线段OA 能绕点O 旋转（设定转角AOQ∠大于等于0°且小于等于180°），同时带动连杆AQ 拉着DE 向上移动．图1表示拖把的初始位置（点O 、A 、Q 三点共线，P 、Q 重合），此时45cm OQ =，图2表示拉动过程中的一种状态图，若DE 可提升的最大距离10cm PQ =．（1）请计算：OA =______cm ；AQ =_____cm ．（2）当1sin 10OQA ∠=时，则PQ =______cm ． 17．如图，点D 在钝角ABC 的边BC 上，连接AD ，45B ∠=︒，CAD CDA ∠=∠，:5:7CA CB =，则CAD ∠的余弦值为__________．18．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC ，若sin C ＝1213，BC ＝12，则AD 的长_____．19．如图，边长为4的等边△ABC ，AC 边在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴上，以OB 为边作等边△OBA 1，边OA 1与AB 交于点O 1，以O 1B 为边作等边△O 1BA 2，边O 1A 2与A 1B 交于点O 2，以O 2B 为边作等边△O 2BA 3，边O 2A 3与A 2B 交于点O 3，…，依此规律继续作等边△O n ﹣1BA n ，记△OO 1A 的面积为S 1，△O 1O 2A 1的面积为S 2，△O 2O 3A 2的面积为S 3，…，△O n ﹣1O n A n ﹣1的面积为S n ，则S n ＝__．（n ≥2，且n 为整数）20．如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，AB ＝2km ，从A 测得灯塔P 在北偏东60°的方向，从B 测得灯塔P 在北偏东45°的方向，则灯塔P 到海岸线l 的距离为_____km ．三、解答题21．小强洗漱时的侧面示意图如图所示，洗漱台（矩形ABCD ）靠墙摆放，高80AD =cm ，宽48AB =cm ，小强身高166cm ，下半身100FG =cm ，洗漱时身体前倾，下半身与地面的夹角80FGK ∠=︒，上半身与下半身所成夹角125EFG ∠=︒，脚与洗漱台距离15GC =cm ，点D ，C ，G ，K 在同一直线上．（1）求此时小强腰部点F 到墙AD 的距离．（2）此时小强头部点E 是否恰好在洗漱盆AB 的中点O 的正上方？若是，请说明理由；若不是，则他应向前还是向后移动多少厘米，使头部点E 恰好在洗漱盆AB 的中点O 的正上方？（计算过程及结果的长度均精确到1cm ．参考数据；sin800.98︒≈，cos800.17︒≈，2 1.41≈）22．吴兴区某中学开展研学实践活动，来到了“两山”理论发源地—一安吉余村，看到了“两山”纪念碑．如图，想测量纪念碑AB 的高度，小明在纪念碑前D 处用测角仪测得顶端A 的仰角为60︒，底端B 的俯角为45︒；小明又在同一水平线上的E 处用测角仪测得顶端A 的仰角为30，已知8m DE =，求该纪念碑AB 的高度．（3 1.7≈，结果精确到0.1m ）23．如图，在边长为23的菱形ABCD 中，∠C ＝60°，E 是边BC 的中点，连接DE ，AE ．（1）直接写出DE 的长为 ．（2）F 为边CD 上的一点，连接AF ，交DE 于点G ，连接EF ，若AF ⊥EF ．①求证：△AGE ∽△DGF ． ②求DF 的长．24．如图，在直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B （0，1），1tan BAO 2∠=，反比例函数k y x=的图于直线AB 有公共点C ，且点C 的横坐标是－1． （1）求cos ∠ABO 的值； （2）求出反比例函数解析式．25．如图，小李从西边山脚的点A 走了300m 后到达山顶C ，已知30A ∠=︒，东边山坡的坡度3tan 4B =． （1）求山顶C 离地面的高度． （2）求B 、C 的距离．26．（1）计算：230360245sin tan cos ︒+-︒． （2）已知32a b =，求22a b a b -+的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】由锐角三角函数余弦的定义即可得出∠B=30°． 【详解】解：∵∠C=90°，，AB=2，∴cos 2BC B AB ==， ∴∠B=30°， 故选：C ． 【点睛】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2．C解析：C 【分析】 根据1cos 3B =，设AB=3x ，BC=x ，勾股定理求出AC ，根据三角函数的定义求tan A 即可． 【详解】解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，1cos 3B =， 设AB=3x ，BC=x ，AC ===，tan4BC A AC ===， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角函数，解题关键是根据三角函数值确定直角三角形三边关系，再根据三角函数的意义计算．3．C解析：C 【分析】由角α，β满足045αβ<<<︒︒，确定锐角三角函数的增减性，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小，tan β随β的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案． 【详解】解：角α，β满足045αβ<<<︒︒，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小，tan β随β的增大而增大，A.∵2sin 45=2︒,∴0<sin α<22,选项A 正确，不合题意； B ．∵tan 45=1︒,∴0tan 1β<<,选项B 正确，不合题意； C ．2sin 45=2︒，2cos 45=2︒，22cos ,sin 22βα><，cos sin βα>，选项C 不正确，符合题意； D ．2sin 45=2︒，2cos 45=2︒，22cos ,sin 22αβ><，sin cos βα<，选项D 正确，不符合题意． 故选择：C ． 【点睛】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键．4．C解析：C 【分析】作AB ⊥x 轴于B ，先利用勾股定理计算出OA ＝5，然后在Rt △AOB 中利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：作AB ⊥x 轴于B ，如图， ∵点A 的坐标为（3，4）， ∴OB ＝3，AB ＝4， ∴OA ＝2234+＝5， 在Rt △AOB 中，cosα＝35OB OA =． 故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、坐标与图形性质、勾股定理等知识；熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．5．D解析：D 【分析】设AC=k ，则BC=2k ，AB=5k ，根据三角函数的定义计算即可. 【详解】如图，设AC=k ，则BC=2k ，根据勾股定理，得AB= 22AC BC +=5k ，∴cosA=5AC AB k ==5， 故选D.【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟记三角函数的定义，并灵活运用勾股定理是解题的关键.6．B解析：B 【分析】通过计算画出第2021秒，AOB 的位置，过C′作C′D ⊥x 轴于点D ，连接OC′，BC′，求出DC′的长，即可求解． 【详解】 ∵360°÷60°=6，∴AOB 的位置6秒一循环，而2021=6×336+5，∴第2021秒，AOB 的位置如图所示，设点C 的对应点C′，过C′作C′D ⊥x 轴于点D ，连接OC′，BC′，则∠DOC′=30°，3，∴DC′=OD∙tan ∠3333=1， ∴C′)3,1-．故选B ．【点睛】本题主要考查图形于=与坐标，等边三角形的性质，锐角三角函数，找到图形的变化规律，画出图形，是解题的关键．7．A解析：A【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF 的值，继而求得答案．【详解】解：如图：连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF＝CF＝12CD，BF＝12BE，CD＝BE，BE⊥CD，∴BF＝CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，∴DP：DF＝1：2，∴DP＝PF＝12CF＝12BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF＝BFPF＝2，∵∠APD＝∠BPF，∴tan∠APD＝2．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，以及求角的正切值，灵活运用相似三角形的性质，并理解正切的定义是解题关键8．A解析：A【分析】如图，过D 作DM AC ⊥于,M 根据已知条件先求解：,,,AD BD AC 再利用A ∠的三角函数求解,,AM DM 由对折得到：,DF 再利用勾股定理求解MF ，从而由CF AC AM MF =--可得答案．【详解】解：如图，过D 作DM AC ⊥于,M4:1:3,AB AD DB ==，13AD DB ∴==，，90ABC ∠=︒，4AB =，8BC =，22224845,AC AB BC ∴=+=+=1,AD DM AC =⊥，sin ,45DM BC A AD AC ∴=== 25DM ∴=， 同理：5cos ,45AM AB A AD AC ==== 5AM ∴=， 由对折可得：3,DF DB == 222225205355MF DF DM ⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，520519520545555CF AC AM MF ∴=--=-= 故选：.A【点睛】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．9．A解析：A【分析】求出斜边AB ，再求∠A 的正弦值．【详解】解：∵90C ∠=︒，2AC =，1BC =， ∴2222215AB AC BC =+=+=， 5sin 5BC A AB ===， 故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理和锐角的正弦函数值的求法，解题关键是求出斜边长，熟知正弦的意义．10．B解析：B【分析】过D 作DH ⊥AC 于H ，根据等腰三角形的性质得到AC=BC=14，∠CAD=45°，求得AH=DH ，得到14CH DH =-，再证明△ACE ∽△DHC ，可得AC CE DH CH=，再列方程，解方程即可得到答案．【详解】解：过D 作DH ⊥AC 于H ，∵在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=14，∴AC=BC=14， ∠CAD=45°，∴AH=DH ，∴14CH DH =-，∵CF ⊥AE ，∴∠DHA=∠DFA=90°，90,DCH HDC DCH CAF ∴∠+∠=︒=∠+∠∴∠HAF=∠HDF ，∴△ACE ∽△DHC ，∴ AC CE DH CH =， ∵CE=2EB ， ∴283CE =， ∴ 28143,14DH DH=- ∴425DH = 经检验：425DH =符合题意， ∴42422sin 4552DH AD ==⨯=︒， 故选.B【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 11．D解析：D【分析】延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，由5tanB 3=，即53AD AB =，设AD ＝5x ，则AB ＝3x ，利用相似三角形的判定可证△CDE ∽△BDA ，由相似三角形的性质可得：12CE DE CD AB AD BD ===，进而可得CE ＝32x ，DE ＝52x ，从而可求得tan ∠CAD 的值． 【详解】解：如图，延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，∵5tanB 3=，即53AD AB =， ∴设AD ＝5x ，则AB ＝3x ， ∵∠CDE ＝∠BDA ，∠CED ＝∠BAD ，∴△CDE ∽△BDA ，∴12CE DE CD AB AD BD ===， ∴CE ＝32x ，DE ＝52x ， ∴AE ＝152x ， ∴tan ∠CAD ＝15CE AE =． 故选：D ．【点睛】 本题考查了锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD 放在直角三角形中．12．A解析：A【分析】在Rt △ABC 中，先根据三角函数求出5tan 12α=，再通过解直角三角形求出BC 即可． 【详解】解：如图，在Rt △ABC 中，∵5sin 13α=， ∴5tan 12α=， ∴5tan 12BC AC α==， ∵12AC =米，∴55×12=51212BC AC ==米． 故选：A ．【点睛】 此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．二、填空题13．【分析】根据非负数的性质列出算式根据特殊角的三角函数值计算即可【详解】解：由题意得cosα-05=0tanβ-=0∴cosα=05tanβ=解得α=60°β=60°则α+β的度数为120°故答案为：解析：120︒【分析】根据非负数的性质列出算式，根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：由题意得，cosα-0.5=0，tanβ，∴cosα=0.5，解得，α=60°，β=60°，则α+β的度数为120°，故答案为：120°．【点睛】本题考查的是非负数的性质和特殊角的三角函数值，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．14．120°【分析】直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算得出答案【详解】解：∵∴sinA-=0cosB-=0∴sinA=cosB=∴∠A=30°∠B=30°∴∠C 的度数是：180°-30°-3解析：120°【分析】直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算得出答案．【详解】解：∵21sin cos 022A B ⎛-+-= ⎝⎭，∴sinA-12=0，，∴sinA=12，cosB=2， ∴∠A=30°，∠B=30°，∴∠C 的度数是：180°-30°-30°=120°．故答案为：120°．【点睛】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 15．秒或1秒或秒【分析】根据利用勾股定理求出AB 的长设点P 的运动时间为t 秒则由①②③分三种情况求解即可【详解】解：在中设点P 的运动时间为t 秒则①由过点C 作CD ⊥AB 于D 在中解得当P 出发秒时是等腰三角形；解析：710秒或1秒或54秒． 【分析】根据90,3,4ACB BC AC ∠=︒==，利用勾股定理求出AB 的长，设点P 的运动时间为t 秒，则2AP tcm = ，()52BP t cm =-，由①CP BC =,②BC BP = , ③CP BP = 分三种情况求解即可．【详解】解： 在ABC 中，90,3,4ACB BC AC ∠=︒==，225AB BC AC ∴=+=，3cos 5B = 设点P 的运动时间为t 秒，则2AP tcm = ，()52BP t cm =-，①由CP BC =,过点C 作CD ⊥AB 于D ，()115222BD DP BP t ∴===-， 在Rt CPD △中，39cos 355BD BC B ==⨯=， ()152295t ∴-=， 解得，710t =， ∴ 当P 出发710秒时，BCP 是等腰三角形；②由BC BP =时，523t -= 解得，1t = ，∴当P 出发1秒时，BCP 是等腰三角形；③由CP BP =时，过点P 作PE BC ⊥于E ，2BC BE =，在Rt BPE 中，()3=525BE BP cosB t =-， ()352532t ∴⨯-= 解得，54t =， ∴当P 出发54秒时，BCP 是等腰三角形．综上所述，当点P 出发710秒或1秒或54秒时，BCP 是等腰三角形． 故答案为：710秒或1秒或54秒． 【点睛】 本题考查了勾股定理和等腰三角形的判定，解答此题的关键是首先根据勾股定理求出AB 的长，然后再利用等腰三角形的性质去判定．16．40或【分析】（1）由题意可知：OA 定义DE 使得最大值的一半AQ ＝OQ-OA 即可解决问题（2）分两种情形分别画出图形解直角三角形即可解决问题【详解】解：（1）由题意故答案为540（2）当是钝角时如图解析：40 421211-481211-【分析】（1）由题意可知：OA 定义DE 使得最大值的一半，AQ ＝OQ -OA 即可解决问题． （2）分两种情形分别画出图形，解直角三角形即可解决问题．【详解】解：（1）由题意11052OA cm =⨯=，45540AQ cm =-=， 故答案为5，40．（2）当OAQ ∠是钝角时，如图1中，作AH PQ ⊥于H ．在Rt AHQ ∆中，1sin 10AH AQH AQ ∠==，40AQ =， 4AH ∴=，22224041211QH AQ AH ∴=-=-=，在Rt QOH ∆中，223OHOA AH ，31211OQ ∴=+，45(31211)(421211)PQ cm ∴=-+=-， 当OAQ ∠是锐角时，如图2中，作AH OP ⊥交PO 的延长线于H ．同法可得：12113OQ =-，45(12113)(481211)PQ cm ∴=--=-．故答案为：421211-或481211-．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．17．【分析】作AH ⊥BC 于H 设AC ═CD=5k 则BC=7k 设AH=BH=x 在Rt △ACH 中利用勾股定理求得x 的值（x 用k 表示求得的值需淘汰不构成钝角三角形的值）然后表示ADDH 利用余弦的定义即可求得【详10 【分析】作AH ⊥BC 于H ，设AC ═CD=5k ，则BC=7k ，设AH=BH=x ，在Rt △ACH 中，利用勾股定理求得x 的值（x 用k 表示，求得的值需淘汰不构成钝角三角形的值），然后表示AD ，DH ，利用余弦的定义即可求得．【详解】解：如图作AH ⊥BC 于H ，∵CAD CDA ∠=∠，:5:7CA CB =，设AC ═CD=5k ，BC=7k ，∵∠B=45°，∠AHB=90°，∴AH=BH ，设AH=BH=x ，在Rt △ACH 中，∵AH 2+HC 2=AC 2，∴x 2+（7k-x ）2=（5k ）2，解得x=3k 或4k ，当x=4k 时，即AH=4k ，HC=7k-4k=3k ，AH>HC ，此时根据大边对大角，∠HAC<∠HCA ，又∠HAC+∠HCA=90°，∴∠HAC<45°，∴∠BAC<90°，与△ABC 为钝角三角形矛盾，故x=4k 舍去，当x=3k 时，∴BH=AH=3k ，HC=7k-3k=4k ，DH=k ， ∴2210AD AH DH k +, ∴10cos cos 1010DH CAD ADH AD k ∠=∠===． 10 【点睛】 本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定定理，勾股定理，一元二次方程的应用等．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，注意作辅助线时尽量不要破坏已给的角． 18．8【分析】在Rt △ADC 中利用正弦的定义得sinC ＝＝则可设AD ＝12x 所以AC ＝13x 利用勾股定理计算出DC ＝5x 由于cos ∠DAC ＝sinC 得到tanB ＝接着在Rt △ABD 中利用正切的定义得到B解析：8【分析】在Rt △ADC 中，利用正弦的定义得sin C ＝AD AC ＝1213，则可设AD ＝12x ，所以AC ＝13x ，利用勾股定理计算出DC ＝5x ，由于cos ∠DAC ＝sin C 得到tan B ＝1213，接着在Rt △ABD 中利用正切的定义得到BD ＝13x ，所以13x +5x ＝12，解得x ＝23，然后利用AD ＝12x 进行计算． 【详解】 在Rt △ADC 中，sin C ＝AD AC ＝1213， 设AD ＝12x ，则AC ＝13x ， ∴DC＝5x ，∵cos ∠DAC ＝sin C ＝1213， ∴tan B ＝1213， 在Rt △ABD 中，∵tan B ＝AD BD ＝1213， 而AD ＝12x ，∴BD ＝13x ，∴13x +5x ＝12，解得x ＝23， ∴AD ＝12x ＝8．故答案为8．【点睛】 本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．19．【分析】由题意：△△△△相似比：探究规律利用规律即可解决问题【详解】由题意：△△△△相似比：故答案为【点睛】此题考查等边三角形的性质解题关键在于结合题意找到图形的规律解析：13()4n - 【分析】由题意：△1OO A ∽△121O O A ∽△232O O A ，⋯，∽△11n n n O O A --，相似比：111sin 60O A OO OA OA ==︒，探究规律，利用规律即可解决问题． 【详解】由题意：△1OO A ∽△121O O A ∽△232O O A ，⋯，∽△11n n n O O A --，相似比：1113sin 60O A OO OA OA ==︒=， 1113132AOO S S ==⨯⨯=，2134S S =， 2134S S ∴=，2313()4S S =，⋯，111333()()44n n n S S --==， 故答案为133()4n -． 【点睛】此题考查等边三角形的性质，解题关键在于结合题意找到图形的规律.20．【分析】作PD ⊥AB 设PD=x 根据∠CBP=∠BPD=45°知BD=PD=xAD=AB+BD=2+x 由sin ∠PAD=列出关于x 的方程解之可得答案【详解】如图所示过点P 作PD ⊥AB 交AB 延长线于点D解析：13+【分析】作PD ⊥AB ，设PD=x ，根据∠CBP=∠BPD=45°知BD=PD=x 、AD=AB+BD=2+x ，由sin ∠PAD=PD AD列出关于x 的方程，解之可得答案． 【详解】如图所示，过点P 作PD ⊥AB ，交AB 延长线于点D ，设PD ＝x ，∵∠PBD ＝∠BPD ＝45°，∴BD ＝PD ＝x ，又∵AB ＝2，∴AD ＝AB +BD ＝2+x ，∵∠PAD ＝30°，且sin ∠PAD ＝PD AD ， ∴32x x =+， 解得：x ＝3即船P 离海岸线l 的距离为（3km ，故答案为3【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义及其应用．三、解答题21．（1）80cm ；（2）不是，他应向前移动9cm【分析】（1）过点F 作FN DK ⊥于点N ，作FM AD ⊥于点M ，利用锐角三角函数求出GN 的长度，即可得出DN 的长度，再证明四边形MDNF 是矩形，即可此时小强腰部点F 到墙AD 的距离；（2）过点E 作EP AB ⊥于点P ，延长OB 交FN 于点，由题意可求得EF=66，再利用锐角三角函数求出FQ=PH 的长度，由点O 为AB 的中点，可得24AO BO ==cm ，由17GN ≈cm ，15CG =cm ，可得此时OH 的长度，即可判断出此时小强头部点E 没有在洗漱盆AB 中点O 的正上方，以及计算给出小强应向前移动的距离．【详解】解：（1）如图，过点F 作FN DK ⊥于点N ，作FM AD ⊥于点M ．在Rt FGN △中，∵80FGK ∠=︒，100FG =cm ，∴cos 100cos8017GN FG FGK =⋅∠=⋅︒≈（cm ）．∴48151780DN DC CG GN =++=++=（cm ）．∵FN DK ⊥，FM AD ⊥，∴90FMD FND ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是矩形，∴90D ∠=︒．∴四边形MDNF 是矩形．∵80MF DN ==cm ．∴此时小强腰部点F 到墙AD 的距离为80cm ．（2）此时小强头部点E 没有在洗漱盆AB 中点O 的正上方．如图，过点E 作EP AB ⊥于点P ，延长OB 交FN 于点H ．∵125EFG ∠=︒，∴125109045EFM ︒︒=-︒∠+=︒．∵166********EF FG =-=-=（cm ），∴66sin 4547FQ =⋅︒≈（cm ）．∴47PH ≈cm ．∵48AB =cm ，点O 为AB 的中点，∴24AO BO ==cm ．∵17GN ≈cm ，15CG =cm ，∴24151756OH =++=（cm ）．∵5647>．∴此时小强头部点E 没有在洗漱盆AB 中点O 的正上方．∴56479OP OH PH =-=-≈（cm ）．∴他应向前移动9cm ．【点睛】本题考查直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22．8m【分析】设CD=x m ，解Rt △ACD 与Rt △DCB ，用含x 的代数式表示出AC 、CB ，然后根据△ACE 是含30度角的直角三角形列出方程，解方程即可求x 的值，进而可得AB ．【详解】解：设CD=x m ，∵∠ADC=60°，∠CDB=45°，∴3，CB=x•tan45°=x （m ），∵∠AED=30°，DE=8m ，∴3， ∴33，解得x=4（m ），∴343（m ）．答：该纪念碑AB 的高度约为10.8m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．23．（1）3；（2）①详见解析；②3 【分析】 （1）只要证明DE 是等边△DBC 的高即可解决问题；（2）①由△AGD ∽△EGF ，可得AG DG EG FG =，推出AG EG DG FG =，又∠AGE ＝∠DGF ，即可推出△AGE ∽△DGF ；②求出CF 的长即可解决问题；【详解】解：（1）连接BD ．∵四边形ABCD 是菱形，∴CB ＝CD ，∵∠C ＝60°，∴△CDB 是等边三角形，∴DB ＝DC ＝AB ＝23，∵BE ＝EC ，∴DE ⊥BC ，∴∠BDE=∠CDE=2BDC ∠=30° ∴DE ＝BD •cos30°＝2332⨯=3．（2）①∵AF ⊥EF ，∠CDE=30°，∠C=60°∴∠AFE=90°，∠DEC=90°∴∠ADE=∠AFE=90°∵∠AGD ＝∠EGF∴∠DAG ＝∠FEG∵∠DAG ＝∠FEG ，∠AGD ＝∠EGF ，∴△AGD ∽△EGF ，∴AG DG EG FG=，∴AG EG DG FG=， ∵∠AGE ＝∠DGF ，∴△AGE ∽△DGF ，②作EH ⊥CD 于H ．∵△AGE ∽△DGF ，∴∠EAG ＝∠GDF ＝30°，∵∠GFE ＝∠ADG ＝90°，∴EF 12=AE ===在Rt △ECH 中，CH ＝2，EH 32=，在Rt △EFH 中，FH ==== ，∴CF ＝2＝2，∴DF ＝CD ﹣CF 【点睛】 本题考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形30°角性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，所以中考常考题型．24．（1；（2）12y x =-． 【分析】（1）根据勾股定理求出AB ，再求三角函数值；（2）求出AB 解析式，再求出C 点坐标即可求．【详解】解：（1）如图，在直角坐标系中，B （0，1），1tan BAO 2∠=， ∴在RtΔAOB 中，OB =1，OA =2∴AB∴cos ∠ABO =5OB AB ==（2）由（1）可知B （0，1），A （-2,0），设直线AB 的解析式y=mx+n ，把B （0，1），A （-2,0）代入得，201m n n -+=⎧⎨=⎩， 解得，121m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式是y=12x+1 又∵C 点的横坐标是-1，∴C 点的纵坐标是11(1)122⨯-+=， ∴C （-1，12） C 点在反比例函数k y x =的图像上， ∴121k =-， 12k =- ∴1122y x x -==-， 即反比例函数解析式是12y x=-．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合和三角函数，解题关键是熟练运用三角函数和待定系数法．25．（1）山顶C 离地面的高度是150m ；（2）B 、C 的距离为250m ．【分析】（1）过点C 作CD ⊥AB 于D ，根据直角三角形的性质求出AC ；（2）根据正切的定义求出BD ，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：（1）过点C 作CD AB ⊥于D∵在Rt ACD △中，30A ∠=︒，300m AC =， ∴1150m 2CD AC ==， ∴山顶C 离地面的高度是150m ． （2）∵在Rt BCD 中，3tan 4CD B BD ==， ∴4150200m tan 3CD BD B ==⨯=， 由勾股定理得：2222150200250m BC CD BD +=+=，答：B 、C 的距离为250m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．26．（1）3；（2）47【分析】（1）将这些特殊角的三角函数值代入求解即可；（2）将比例式转换为等积式后得到a 、b 之间的关系，然后求得两个的比值即可．【详解】（1）230360245sin tan cos ︒+-︒ 12233222=⨯+ 131=+-3=；（2）设32a x b x ==，，则2624 2347 a b x xa b x x--==++.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，比例的基本性质以及实数的运算，解题的关键是熟记这些特殊角的三角函数值．。
(必考题)初中数学九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》检测(答案解析)
一、选择题1．尚本步同学家住“3D 魔幻城市”——重庆，他决定用所学知识测量自己居住的单元楼的高度．如图，小尚同学从单元楼CD 的底端D 点出发，沿直线步行42米到达E 点，在沿坡度i=1：0.75的斜坡EF 行走20米到达F 点，最后沿直线步行30米到达隔壁大厦的底端B 点，小尚从 B 点乘直行电梯上行到顶端A 点，从A 点观测到单元顶楼C 的仰角为28º，从点A 观测到单元楼底端的俯角为37 º，若A 、B 、C 、D 、E 、F 在同一平面内，且D 、E 和F 、B 分别在通一水平线上，则单元楼CD 的高度约为（ ）（结果精确到0.1米，参考数据：sin28 º≈0.47，cos28 º≈0.88，tan28 º≈0.53，sin37 º≈0.6，cos37 º≈0.8，tan37 º≈0.75）A ．79.0米B ．107.5米C ．112.6米D ．123.5米 2．如图，某河堤迎水坡AB 的坡比tan 1:3CAB i =∠=，堤高5BC m =，则坡面AB 的长是（ ）A ．5mB ．10mC ．3mD ．8m3．角α，β满足045αβ<<<︒︒，下列是关于角α，β的命题，其中错误．．的是（ ）A ．20sin α<<B ．0tan 1β<<C ．cos sin βα<D ．sin cos βα< 4．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（ ）A．34B．43C．35D．455．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3BC，则sin B的值为（）A．12B．22C．32D．2236．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了__米．(sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67) ( )A．415 B．280 C．335 D．2507．cos60︒的值是（）A．12B．33C．32D．38．如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，CD=2米，BC=5米，5sin13A=，则AB=（）A．8米B．10米C．12米D．14米9．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为（）A ．tan tan a βB ．tan tan a βC ．sin sin a βD ．cos cos aβ 10．已知ABC 的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tan A 的值为（ ）A ．12B ．210C ．10D ．25 11．tan60︒的值为( )A ．3B ．23C ．3D ．212．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若1cos 2B =，则sin A 的值为（ ） A ．1 B ．12 C ．3 D ．3 二、填空题13．如图，在Rt ABC 中，90,BAC AD BC ∠=︒⊥于点,D E 为BD 上一点，使得AE AC =．若3BE ED =，则sin BAE ∠=________．14．如图，已知△ABC 的顶点A 、B 在反比例函数y ＝23x（x ＜0）的图象上，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AC ⊥x 轴，点B 在点A 右下方，若AC ＝4，则点B 的坐标为_____．15．如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角（锐角）为∠1，则sin ∠1=______________．16．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝5，将△ABC 折叠，使点B 落在AC 边上的点D 处，EF 为折痕，若sin ∠CFD 的值为23，则BE ＝_____．17．在平面直角坐标系中，等边ABO 如图放置，其中()2,0B ，则过点A 的反比例函数的表达式为________．18．如图，四边形ABCD 中，AB=BC=3，∠A=∠C=90°，∠ABC=120°，点E 是对角线BD 上的一个动点，过点E 分别作AB ，BC ，CD ，AD 的垂线，垂足分别为点F ，H ，I ，G ，连结FG 和HI ，则FG+HI 的最小值为________．19．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC ＝6cm ，则AB 的长为_____．20．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AB =，点E 为AC 上任意一点（不与点A 、C 重合），连结EB ，分别过点A 、B 作BE 、AE 的平行线交于点F ，则EF 的最小值为__________．三、解答题21．某数学活动小组测量操场上路灯的高度．如图，已知观测员的目高AB 为1.5米，他先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为30°，向前走3米后站在C 处，此时看灯顶端O 的仰角为60°（3≈1.732），求灯顶端O 到地面的距离．（精确到0.1米）22．如图1，直线y ＝34x 和直线y ＝﹣12x+5相交于点A ，直线y ＝﹣12x+5与x 轴交于点C ，点P 在线段AC 上，PD ⊥x 轴于点D ，交直线y ＝34x 于点Q ． （1）点A 的坐标为 ；（2）当QP ＝OA 时，求Q 点的坐标及△APQ 的面积；（3）如图2，在（2）的条件下，∠OQP 平分线交x 轴于点M ．①直接写出点M 的坐标 ； ②点N 在直线y ＝34x 的上方，当OQN 和OQM 全等时直接写出N 点坐标 ．23．（3.14﹣π）0﹣3tan30°+|3﹣2|﹣11()2-．24．如图，广场上空有一个气球A ，地面上点B 、C 在一条直线上，BC =24m ．在点B 、C 分别测得气球A 的仰角为30°和60°，求气球A 离地面的高度．25．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，8BC =，点E ，F 分别为AB ，CD 的中点．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）如图，点P 是边AD 上一点，BP 交EF 于点O ，点A 关于BP 的对称点为点M ，当点M 落在线段EF 上时，则有OB OM =．请说明理由；（3）如图，若点P 是射线AD 上一个动点，点A 关于BP 的对称点为点M ，连接AM ，DM ，当AMD 是等腰三角形时，求AP 的长．26．计算：032|(3)126cos30+--︒π．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B【分析】作EG ⊥BF 交BF 的延长线于G ，AK ⊥CD 于K ．延长DE 交AB 于H ，解直角三角形求出CK 、AH 即可解决问题．【详解】解：作EG ⊥BF 交BF 的延长线于G ，AK ⊥CD 于K ．延长DE 交AB 于H ，如图，则四边形AKDH 是矩形，∴AK=DH ，KD=AH ， ∵140.753EG GF == ∴设EG=4x ，则FG=3x ，由勾股定理得，222EG FG EF +=∵EF=20m∴22169400x x +=解得，=4x （负值舍去）∴EG=16m ，FG=12m∵DE=42m ，BF=30m∴DH=DE+FG+BF=84m ，∴AK=84m ；在Rt △ADH 中，∠ADH=37°∴tan37°=AH DH, ∴AH=DH×tan37°=84×0.75=63（m ）同理，在Rt △AKC 中，∠KAC=28°∴tan28°=CK AK, ∴CK=AK×tan28°=84×0.53=44.52（m ）∴CD=CK+DK=63+44.52=107.5≈107.5(m)【点睛】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．2．B解析：B【分析】根据坡比求出AC 的长度，再利用勾股定理求出AB 即可．【详解】解：∵tanCAB BC i AC ==∠=，5BC m =， ∴AC =，∴10AB m ===， 故选：B ． 【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，熟记坡比的计算公式是解题的关键． 3．C解析：C【分析】由角α，β满足045αβ<<<︒︒，确定锐角三角函数的增减性，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小，tan β随β的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案．【详解】解：角α，β满足045αβ<<<︒︒，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小，tan β随β的增大而增大，A.∵sin 45=2︒,∴0<sin α<2,选项A 正确，不合题意； B ．∵tan 45=1︒,∴0tan 1β<<,选项B 正确，不合题意；C ．sin 45=2︒，cos 45=2︒，cos 22βα><，cos sin βα>，选项C 不正确，符合题意；D ．sin 45=2︒，cos 45=2︒，cos 22αβ><，sin cos βα<，选项D 正确，不符合题意．故选择：C ．【点睛】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键．4．C解析：C【分析】将α∠转换成β∠去计算正弦值．【详解】解：如图，βα∠=∠，4AB =，3BC =，∴5AC =， 则3sin sin 5BC AC αβ===． 故选：C ．【点睛】本题考查正弦值的求解，解题的关键是掌握网格图中三角函数值的求解．5．D解析：D【分析】设BC=a ，则AB=3a ，根据勾股定理求出AC ，再根据正弦的定义求sin B ．【详解】解：设BC=a ，则AB=3a ，2222922AC AB BC a a a -=-=，sin B =222233AC a AB a ==， 故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，解题关键是明确三角函数的意义，通过设参数，求出需要的边长．6．B解析：B【分析】根据正弦的定义求解即可；【详解】由题可知sin 340.56500280AC AB =︒=⨯=（米）；故选B ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确计算是解题的关键．7．A解析：A【分析】根据特殊角三角函数值直接判断即可．【详解】解：∵1cos 60=2︒， 故选：A ．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 8．D解析：D【分析】过点D 作DE ⊥AB 于E ，得到四边形DEBC 是矩形，得到BE=DC=2米，DE=BC=5米，根据5sin 13A =，求得AD=13米，根据勾股定理求出AE=12米，即可得到答案． 【详解】过点D 作DE ⊥AB 于E ，∴∠DEB=∠B =∠C =90°，∴四边形DEBC 是矩形，∴BE=DC=2米，DE=BC=5米， ∵5sin 13A =， ∴513DE AD =， ∴AD=13米，∴12=米，∴AB=AE+BE=12+2=14米，故选：D ．．【点睛】此题考查矩形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，正确引出辅助线构建直角三角形解决问题是解题的关键．9．C解析：C【分析】先在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，求出AB ＝sin AC a 、AD ＝sin AC β，再求长度之比即可． 【详解】解：在Rt △ABC 中，∵sin ∠ABC ＝AC AB ，即sinα＝AC AB ， ∴AB ＝sin AC a， 在Rt △ADC 中，∵sin ∠ADC ＝AC AD ，即sinβ＝AC AD ， ∴AD ＝sin AC β， ∴AD AB ＝sin sin ACAC βα＝sin sin a β， 故选：C ．【点睛】本题考查锐角的三角函数、解直角三角形的应用，借助中间参数AC ，利用正弦函数的定义求解是解答的关键．10．A解析：A【分析】作BD ⊥AC 于D ，根据勾股定理，可得BD 、AD 的长，根据正切为对边比邻边，可得答案．【详解】解：如图：作BD ⊥AC 于D ，，2，AD=22tanA=21222BDAD==，故选：A．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．11．C解析：C【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可.【详解】tan60°3，故选C.【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．12．B解析：B【分析】根据互余角的三角函数间的关系：sin（90°-α）=cosα，cos（90°-α）=sinα解答即可．【详解】解：解：∵在△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴sinA= cosB=12，故选：B．【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系式，掌握当∠A+∠B=90°时， sinA= cosB是解题的关键．二、填空题13．【分析】过点E作于点F根据等腰三角形三线合一的性质得设用x表示出BE和BC的长再由得到即可根据求出结果【详解】解：如图过点E作于点F∵∴设则∵∴∴∴∴故答案是：【点睛】本题考查锐角三角函数和相似三角 解析：35 【分析】 过点E 作EF AB ⊥于点F ，根据等腰三角形三线合一的性质得ED CD =，设ED x =，用x 表示出BE 和BC 的长，再由BEF BCA ，得到35BE EF BC CA ==，即可根据sin EF EF BAE AE CA∠==求出结果． 【详解】 解：如图，过点E 作EF AB ⊥于点F ，∵AD BC ⊥，AE AC =，∴ED CD =，设ED x =，则33BE ED x ==，35BC BE ED CD x x x x =++=++=，∵90BAC ∠=︒，EF AB ⊥，∴//EF AC ，∴BEF BCA ，∴3355BE EF x BC CA x ===， ∴3sin 5EF EF BAE AE CA ∠===． 故答案是：35． 【点睛】 本题考查锐角三角函数和相似三角形，解题的关键是掌握求锐角三角函数的方法，以及相似三角形的性质和判定．14．（﹣﹣2）【分析】过点B 作BD ⊥AC 于点D 解直角三角形求出BCBDCD 得出关于mn 的方程组求出方程组的解即可【详解】解：过点B 作BD ⊥AC 于点D ∵在Rt △ACB 中BC ＝AC•cos ∠ACB ＝2∴在R解析：32）【分析】过点B 作BD ⊥AC 于点D ，解直角三角形求出BC 、BD 、CD ，得出关于m 、n 的方程组，求出方程组的解即可．【详解】解：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，∵在Rt △ACB 中，BC ＝AC •cos ∠ACB ＝3∴在Rt △BCD 中，CD ＝BC •cos ∠ACB ＝3×32＝3，BD ＝12BC 3， ∴AD ＝AC ﹣CD ＝4﹣3＝1，设A （m 23），B （n 23）， 依题意知0＞n ＞m ，故BD ＝n ﹣m ，AD 2323， ∴323231n m mn ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 解得：33m n ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ∴点B 32）， 32）．【点睛】本题主要考查反比例函数与平面几何的综合以及解直角三角形，熟练掌握反比例函数图像上的点的坐标特征，是解题的关键．15．【分析】解：如图添加字母过A 作AB ∥ED 可得∠1=∠CAB 连结BC 在△ABC 中由勾股定理AC=AB=BC=由AB2+BC2=5+5=10=AC2证得∠ABC=90°由AB=BC 可得∠CAB=45°利 解析：22【分析】解：如图添加字母，过A 作AB ∥ED ，可得∠1=∠CAB ，连结BC ，在△ABC 中由勾股定理223+1=10，222+1=5221+2=5AB 2+BC 2=5+5=10=AC 2，证得∠ABC=90°，由AB=BC可得∠CAB=45°，利用三角函数定义sin∠CAB=52210BCAC===。
九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》单元测试卷及答案
九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》单元测试卷（满分150分）题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.在直角三角形中sin A的值为12，则cos A的值等于()A. 12B. √22C. √32D. √32.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A.若AC=4，cosA=45，则BD的长度为()A. 94B. 125C. 154D. 43.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB=a，BC=b，∠DAO=x，则点C 到x轴的距离等于()A. acosx+bsinxB. acosx+bcosxC. asinx+bcosxD. asinx+bsinx4.已知α为锐角，且sinα=√32，则α的度数为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°5.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为()A. tanαtanβB. sinβsinαC. sinαsinβD. cosβcosα6.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2AC，则sin A的值是()A. √3B. 12C. √32D. √337.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为()A. 7sin35°B. 7cos35∘C. 7cos35°D. 7tan35°8.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，sinB=0.5，若AC=6，则BC的长为()A. 8B. 12C. 6√3D. 12√39.如图，∠C=90°，AB=10米，∠B=36°，则AC为()A. 10tan36°B. 10cos36°C. 10sin36°D. 10sin36∘10.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，所以tan15°=ACCD =2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3.类比这种方法，计算tan22.5°的值为()A. √2+1B. √2−1C. √2D. 1211.．如图，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，则AC的长为()A. √2B. √52C. √5D. 212.2cos30∘−tan45∘−√(1−tan60∘)2的值是()A. 2√3−2B. 0C. 2√3D. 213.如图，在△ABC中AB=2√5，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，使得点B恰好落在BC的中点B′处，得到△AB′C′.若tan∠CB′C′=43，则BC的长为()A. 4√5B. 6C. 8D. 1014.若sin(∠A+15°)=√32，则tan∠A的值为()A. ．12B. √33C. 1D. √2215.中考结束后，小明和好朋友一起前往三亚旅游．他们租住的宾馆AB坐落在坡度为i=1：2.4的斜坡上．宾馆AB高为129米．某天，小明在宾馆顶楼的海景房A处向外看风景，发现宾馆前有一座雕像C(雕像的高度忽略不计)，已知雕像C距离海岸线D的距离CD为260米，与宾馆AB的水平距离为36米，远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°.则轮船E距离海岸线D的距离ED的长为()米(参考数据：tan27°≈0.5，sin27°≈0.45)A. 262B. 212C. 244D. 276二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）16.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE的值是________．EC17.如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE.若BE=9，BC=12，则cos C=________．18.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3,m)，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是4，则sinα3的值为________．19.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E在AD∠ACB，若AE=2，则上，且DE=CD，连接OE，∠ABE=12OE的长为______．20.如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是______m(结果保留根号)三、计算题（本大题共3小题，共30.0分）21.下图为某小区的两幢1O层住宅楼，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层的高度为3m，两楼间的距离AC=30m.现需了解在某一时段内，甲楼对乙楼的采光的影响情况．假设某一时刻甲楼楼顶B落在乙楼的影子长EC=ℎ，太阳光线与水平线的夹角为α．(1)用含α的式子表示h；(2)当α=30°时，甲楼楼顶B的影子落在乙楼的第几层？从此时算起，若α每小时增加10°，几小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？22. 先化简，再求值：(1−x +3x+1)÷x 2+4x+4x+1，其中x =tan45°+(12)−1．23. 计算：|2−tan60°|−(π−3.14)0+(−12)−2+12√12．四、解答题（本大题共4小题，共50.0分）24. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，M 是直角边AC 上一点，MN ⊥AB 于点N ，AN =3，AM =4，求cos B 的值．25. 对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin(180°−α)，cosα=−cos(180°−α)．(1)求sin120°，cos120°，sin150°的值；(2)若一个三角形的三个内角的比是1:1:4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2−mx−1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．26.如图，矩形ABCD中，AB=6，∠ABD=60°，点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB运动，到点B停止运动．过点E作EF//BD交AD于点F，将△AEF绕点E顺时针旋转得到△GEH，且点G落在线段EF上，设点E的运动时间为t(秒)(0<t<3)．(1)若t=1，求△GEH的面积；(2)若点G在∠ABD的平分线上，求BE的长；(3)设△GEH与△ABD重叠部分的面积为T，用含t的式子表示T，并直接写出当0<t<3时T的取值范围．27.先化简，再求代数式x2−1x+2÷(1−3x+2)的值，其中x=4sin45°−2cos60°．答案1.C2.C3.A4.C5.B6.C7.C8.C9.C10.B11.B12.B13.C14.C15.B16.√3317.2318.4519.√1320.40√321.解：(1)过E作EF⊥AB，垂足为F，则∠BEF=α，在Rt△AFE中，FE=AC=30，AB=10×3=30，∴BF=AB−EC=30−ℎ，∵tanα=BF，FE∴BF=EF×tanα，即30−ℎ=30×tanα，ℎ=30−30tanα；(2)当α=30°时，ℎ=30−30tan30°≈12.68，∴甲楼顶B的影子落在第五层，不影响乙楼的采光时，AB的影子顶部应刚好落在C处，此时，AB=30，AC=30，∴∠BCA=45°，则∠α’=45°，∵角α每小时增加10度，∴应在1个半小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光．22.解：原式=(1−x2x+1+3x+1)÷(x+2)2x+1=(2+x)(2−x)x+1⋅x+1(2+x)2=2−x2+x，当x=tan45°+(12)−1=1+2=3时，原式=2−32+3=−15．23.解：原式=|2−√3|−1+4+√3，=2−√3−1+4+√3，=5．24.解：∵∠C=90°，MN⊥AB，∴∠C=∠ANM=90°，又∵∠A=∠A，∴△AMN∽△ABC，∴ANAM =ACAB=34，设AC=3x，AB=4x，由勾股定理得BC=√AB2−AC2=√7x，∴在Rt△ABC中，cosB=BCAB =√7x4x=√74．25.解：(1)由题意得，；(2)∵三角形的三个内角的比是1：1：4，∴三个内角分别为30°，30°，120°，①当∠A =30°，∠B =120°时，方程的两根为12，−12， 将x =12代入方程得：4×(12)2−m ×12−1=0，解得：m =0，经检验x =−12是方程4x 2−1=0的根，∴m =0符合题意；②当∠A =120°，∠B =30°时，两根为√32，√32，不符合题意； ③当∠A =30°，∠B =30°时，两根为12，√32， 将x =12代入方程得：4×(12)2−m ×12−1=0，解得：m =0，经检验x =√32不是方程4x 2−1=0的根． 综上所述：m =0，∠A =30°，∠B =120°．26.解：(1)如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90°，∵EF//BD ，∴∠AEF =60°，∵AE =2，∴AF =AE ⋅tan60°=2√3，∴S △EGH =S △AEF =12⋅AE ⋅AF =12×2×2√3=2√3．(2)如图2中，由题意得，BG平分∠ABD，∠ABD=30°，∴∠EBG=12∵∠AEG=∠EBG+∠EGB=60°∴∠EBG=∠EGB=30°，∴BE=EG=AE=3．(3)如图1−1中，当点H落在BD上时，作EJ⊥BD于J．∵EF//BD，∴∠FEH=∠EHB=60°，∴△EBH是等边三角形，∴EH=EB=EF=2AE，∴AE=2，BE=4，∴t=1，×2t×2t×√3=2√3t2．如图3中，当0<t≤1时，重叠部分是△EGH，T=S△AEF=12如图4中，当1<t<3时，重叠部分是四边形MNGE，作EJ⊥BD于J．在Rt△EBJ中，∵BE=6−2t，∠EBJ=60°，∴BJ=12BE=3−t，EJ=√3BJ=3√3−√3t，∵△EBM是等边三角形，∴BJ=JM=3−t，∵四边形EGNJ是矩形，∴EG=NJ=2t，∴MN=NJ−MJ=3t−3，∴T=12⋅(MN+EG)⋅EJ=12⋅(3t−3+2t)⋅(3√3−√3t)=−5√32t2+9√3t−9√32．综上所述，T={2√3t2(0<t≤1)−5√32t2+9√3t−9√32(1<t<3)．27.解：x2−1x+2÷(1−3x+2)=(x+1)(x−1)x+2÷x+2−3x+2=(x+1)(x−1)x+2⋅x+2x−1=x+1，∵x=4sin45°−2cos60°=2√2−1，∴原式=2√2．。
精品试题北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评试卷(含答案解析)
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在Rt ABC 中，90,5,2C AB AC ∠=︒==，则cos A 的值是（ ）A B ．25C D ．522、已知锐角α满足tan （α+10°）=1， 则锐角用α的度数为（ ） A ．20°B ．35°C ．45°D ．50°3、在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sin A ＝23，则边AC 的长是（ ）A B ．3 C ．43D 4、比较下图长方形内阴影部分面积的大小，甲（ ）乙A ．＞B ．＜C ．＝D ．无法确定5、如图，在小正方形网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为（ ）A ．35B ．43C ．45D ．346、在Rt ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列式子一定成立的是（ ） A ．sin a c B =⋅B ．cos a c B =⋅C ．tan ac B=D ．sin c a A =⋅7、如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AC =12，则tanB 等于（ ）A ．512B ．125C ．513D ．12138、某山坡坡面的坡度i =100米，小刚上升了（ ）A ．B ．50米C ．D 9、将一矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 点恰好落在AD 边上的F 处，若:4:5AB BC =，则cos AFE ∠的值为（ ）A ．54B ．35C ．34D ．4510、图①是第七届国际数学教育大会（ICME ）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC ．若1AB BC ==，AOB α∠=，则tan BOC ∠的值为（ ）A ．sin αB ．cos αC ．tan αD ．1sin α第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，小明家附近有一观光塔CD ，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化．经测量发现，当小明站在点A 处时，塔顶D 的仰角为37°，他往前再走5米到达点B （点A ，B ，C 在同一直线上），塔顶D 的仰角为53°，则观光塔CD 的高度约为 _____.（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈34，tan53°≈43）2、如图，是拦水坝的横断面，堤高BC 为6米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB 的长为_______米．3、如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，若DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE 的长为__．4、在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC ==BC B ∠=______．5、如图，直线y =+b 与y 轴交于点A ，与双曲线y kx=在第三象限交于B 、C 两点，且AB •AC ＝16．下列等边三角形△OD 1E 1，△E 1D 2E 2，△E 2D 3E 3，…的边OE 1，E 1E 2，E 2E 3，…在x 轴上，顶点D 1，D 2，D 3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k ＝________，前25个等边三角形的周长之和为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩，在A 处观察到电视塔在北偏东37度的方向上，5分钟后在B 处观察到电视塔在北偏西53度的方向上．已知电视塔C 距离公路AB 的距离为300米，求小明的徒步速度．（精确到个位，sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan370.75︒≈，tan53 1.3︒≈）2、为了测量旗杆AB的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD，EF是两个长度为2m的标杆．（1）如果现在测得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗杆AB的高度；（2）如果CE的长为x，EG的长为y，请用含x，y的代数式表示旗杆AB的高度．3、如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx＋12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：（1）求点A、点B的坐标．（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝14，双曲线y＝mx（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、计算：112cos302-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭．5、如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，22.5B ∠=︒（1）尺规作图：作AB 的垂直平分线l 交BC 于点D ．（保留痕迹，不写作法） （2）在（1）的作图下，试求tan 67.5︒的值（结果保留根号）-参考答案-一、单选题 1、B 【分析】根据题意，画出图形，结合余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：由题意，可得图形如下：根据余弦函数的定义可得2 cos5ACAAB==，故选：B【点睛】此题考查了余弦函数的定义，解题的关键是根据题意画出图形，并掌握余弦函数的定义．2、B【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可；【详解】∵tan（α+10°）=1，且tan451︒=，∴1045α+︒=︒，∴35α=︒；故选B．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，准确计算是解题的关键．3、A【分析】先根据BC＝2，sin A＝23求出AB的长度，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵sin A＝BCAB =23，BC＝2，∴AB＝3,∴AC故选：A．【点睛】本题考查正弦的定义、勾股定理等知识，是重要考点，难度较小，掌握相关知识是解题关键．4、C【分析】如图，在三角形中，等底等高的两个三角形的面积相等，由此可得三角形1面积=三角形2面积，三角形3面积=三角形4面积，根据两个大三角形的面积相等，即甲的面积加上三角形1和三角形3的面积等于乙的面积加上三角形2和三角形4的面积，即可求得甲的面积等于乙的面积．【详解】解：如图，在三角形中，等底等高的两个三角形的面积相等，由此可得三角形1面积=三角形2面积，三角形3面积=三角形4面积，根据长方形的对边相等，则长方形对角线分成的两个三角形面积等相等，所以甲的面积加上三角形1和三角形3的面积等于乙的面积加上三角形2和三角形4的面积，则甲的面积等于乙的面积．故选：C．【点睛】此题考查了三角形的面积，等底等高的两个三角形的面积相等是解答此题的关键． 5、A 【分析】观察题目易知△ABC 为直角三角形，其中AC ＝3，BC ＝4，求出斜边AB ，根据余弦的定义即可求出cos A ．【详解】解：由题知△ABC 为直角三角形，其中AC ＝3，BC ＝4，∴AB cos A ＝35AC AB =， 故选：A ． 【点睛】本题考查解直角三角形知识，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在解直角三角形中的灵活应用是解题的关键． 6、B 【分析】根据题意，画出直角三角形，再根据锐角三角函数的定义对选项逐个判断即可． 【详解】解：由题意可得，如下图：sinaAc=，则sina c A=⋅，A选项错误，不符合题意；cosaBc=，则cosa c B=⋅，B选项正确，符合题意；tanbBa=，则tanacB≠，C选项错误，不符合题意；sinaAc=，则sinacA=，D选项错误，不符合题意；故选B，【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是画出图形，根据锐角三角函数的定义进行求解．7、B【分析】根据锐角三角函数求解即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，所以tanB＝ACBC＝125，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握正切的定义：正切是指是直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比，是正确解答的关键．8、B【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设小刚上升了x 米．根据勾股定理可得：)222100x +=． 解得50x =．即此时该小车离水平面的垂直高度为50米．故选：B ．【点睛】考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题和勾股定理，熟悉且会灵活应用公式：坡度=垂直高度÷水平宽度是解题的关键．9、D【分析】由∠AFE ＋∠CFD ＝90°得cos sin CD AFE CFD CF∠=∠=，根据折叠的定义可以得到CB ＝CF ，则CD AB CF BC=，即可求出cos AFE ∠的值，继而可得出答案． 【详解】∵∠AFE ＋∠CFD ＝90°， ∴cos sin CD AFE CFD CF∠=∠=，由折叠可知，CB ＝CF ，矩形ABCD 中，AB ＝CD ，4cos 5CD AB AFE CF BC ∠===． 故选：D ．【点睛】本题考查了折叠变换的性质及锐角三角函数的定义，解题关键是得到CB ＝CF ．10、A【分析】在Rt OAB 中，sin AB OB α=，可得OB 的长度，在Rt OBC 中，tan BC BOC OB ∠=，代入即可得出答案． 【详解】解：∵1AB BC ==，在Rt OAB 中，sin AB OB α=， ∴1sin OB α=， 在Rt OBC 中，1tan sin 1sin BC BOC OB αα∠===.故选：A ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键.二、填空题1、8.6米【分析】根据题意，利用锐角三角函数解直角三角形即可．【详解】解：由题意知，∠A =37°，∠DBC =53°，∠D =90°，AB =5，在Rt△CBD 中，tan∠DBC =CD BC ， ∴BC =tan 53CD ≈34CD ， 在Rt△CAD 中，tan∠A =CD AC ，即354CD CD +=tan37°≈34 ∴解得：CD =607≈8.6， 答：观光塔CD 的高度约为8.6米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数解直角三角形的方法是解答的关键． 2、【分析】由斜面坡度为1:2有12BC AC =，解得AC =12，再由勾股定理求得AB 即可． 【详解】∵斜面坡度为1:2 ∴12BC AC = ∴212AC BC ==∵ACB △是直角三角形，故有AB====故答案为：【点睛】本题考察了直角三角形应用题，解直角三角形应用题的一般步骤（1）弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；（2）将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形；（3）寻找直角三角形，并解这个三角形．3【分析】由已知的DE AB ⊥，根据垂直的性质得到90AED ∠=︒，即三角形ADE 为直角三角形，在此直角三角形中，根据正弦函数得到60DE sin AD︒=，将AD 的值代入，利用特殊角的三角函数值，化简即可求出DE ．【详解】解：∵DE AB ⊥，∴90AED ∠=︒，在Rt ADE 中，60BAD ∠=︒，2AD =， ∴60DE sin AD︒=，则·602DE AD sin =︒==题目主要考查利用锐角三角函数解三角形及特殊角的三角函数值，菱形的性质等，深刻理解锐角三角函数的性质是解题关键．4、30°【分析】根据正切定义，先求出tan B ，再求出B 的度数即可．【详解】解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC =，BC∴ tanAC B BC = 30B ∴∠=︒ ，故答案为：30【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形两锐角之间、三边之间和边角之间的关系是解题的关键．5、设直线y =+b 与x 轴交于点D ，作BE ⊥y 轴于E ，CF ⊥y 轴于F ．首先证明∠ADO ＝60°，可得AB＝2BE ，AC ＝2CF ，由直线y =+b 与双曲线y k x =在第一象限交于点B 、C 两点，可得+b kx=，整理得，2+bx ﹣k ＝0，由韦达定理得：x 1x 2=k ，即EB •FC k ，由此构建方程求出k 即可，第二个问题分别求出第一个，第二个，第三个，第四个三角形的周长，探究规律后解决问题．【详解】设直线y =+b 与x 轴交于点D ，作BE ⊥y 轴于E ，CF ⊥y 轴于F ．∵y =+b ，∴当y ＝0时，x =b ，即点D ，0）， 当x ＝0时，y ＝b ，即A 点坐标为（0，b ），∴OA ＝﹣b ，OD =．∵在Rt△AOD 中，tan∠ADO OA OD == ∴∠ADO ＝60°．∵直线y =+b 与双曲线y k x=在第三象限交于B 、C 两点，∴+bkx =，整理得，2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2，即EB•FC=k，∵EBAB=cos60°12=，∴AB＝2EB，同理可得：AC＝2FC，∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC=＝16，解得：k＝由题意可以假设D1（m，，∴m2∴m＝2∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，设D2（4+n），∵（4+n＝解得n＝2，∴E1E2＝4，即第二个三角形的周长为12，设D3（a），由题意（a＝解得a ＝…，∴第四个三角形的周长为∴前25个等边三角形的周长之和+=60，故答案为60．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．三、解答题1、126米/分钟【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，则300CD =米，由解直角三角形求出AD 和BD 的长度，则求出AB 的长度，即可求出小明的速度．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，则300CD =米，∴903753CAD ∠=︒-︒=︒，∴300tan tan 53 1.3CAD AD∠=︒=≈， ∴231AD ≈，同理：400BD ≈631AB AD BD =+= 速度：631÷5≈126（米/分钟）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，以及解直角三角形，解题的关键是正确求出AD 和BD 的长度．2、（1）15 m（2）2y AB y x=- 【分析】（1）设AB a ，则BE =，根据GEF GBA ∽，列出比例式即可得出关于a 的方程，解方程求解即可，（2）根据,CD AB EF AB ∥∥可得,ECD EBA GEF GBA ∽∽，进而得出比例式，代入已知量，将等式变形即可求得AB ．（1）设AB a ，由∠DEC ＝30°，CD BG ⊥在Rt ABE △中，tan AB BE AEB ==∠ EG ＝4，4BG BE EG ∴=+=+EF BG ⊥AB EF ∴∥∴GEF GBA ∽EF EG AB BG∴=即2a =解得815a =+≈∴旗杆AB 的高度为15m ；（2）,CD AB EF AB ∥∥∴,ECD EBA GEF GBA ∽∽,CD CE EF EG AB BE AB BG∴== CE 的长为x ，EG 的长为y ，2CD EF ==22,x y AB BE AB BE y∴==+ 2AB x BE ⋅∴= 22y ABx AB y ∴=+ 整理得：2y AB y x =- 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似三角形的应用，勾股定理，根据题意找到相似三角形是解题的关键．3、（1）A （16，0），B （-9，0）；（2）-24；（3）存在，（16，12）或（25，12）或（32，643）或（288384,2525）【分析】（1）解一元二次方程x 2﹣15x ﹣16＝0，对称点A （16，0），根据直线BC 的解析式为y ＝kx ＋12，求出与y 轴交点C 为（0，12），利用三角函数求出tan∠BCO = tan∠OAC =3=4OB OC ，求出OB =3312944OC =⨯=即可； （2）过点D 作DE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，利用勾股定理求出AC20=，BC，根据三角函数求出tan∠CAD ＝1204CD CD AC ==，求出12054CD =⨯=，利用三角函数求出DE = CD sin∠BCO =3535⨯=，再利用勾股定理求出点D （-3，8）即可；（3）过点A 作AP 1与过点C 与x 轴平行的直线交于P 1，先证四边形COAP 1为矩形，求出点P 1（16，12），再证△P 1CA ∽△CAB ，作P 2A ⊥AC 交CP 1延长线于P 2，可得∠CAP 2=∠BCA =90°，∠P 2CA =∠CAB ，可证△CAP 2∽△ACB ，先求三角函数值cos∠CAO =164205CO AC ==，再利用三角函数值cos∠P 2CA = cos∠CAO =222045AC CP CP ==，求出225CP =，得出点P 2（25,12）作∠P 3CA =∠OCA ，在射线CP 3截取CP 3=CO =12，连结AP 3，先证△CP 3A ≌△COA （SAS ）再证△P 3CA ∽△CAB ，设P 3（x ，y ）利用勾股定理列方程()()22222216161212x y y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解方程得出点P 3（2883842525，），延长CP 3与延长线交P 4，过P 4作PH ⊥x 轴于H ，先证△CAP 4∽△ACB ，再证△P 4P 3A ≌△P 4HA （ASA ），利用cos∠P 3CA =34123205PC CA CA CP ===，求得4510033CA CP ==即可． 【详解】解：（1）x 2﹣15x ﹣16＝0，因式分解得()()1610x x -+=，解得12161x x ==-，，点A 在x 轴的正半轴上，OA =16，∴点A （16，0），∵直线BC的解析式为y＝kx＋12，与y轴交点C为（0，12），∴tan∠OAC=123=164，∠OCA+∠OAC=90°，∵AC⊥BC，∴∠BCO+∠OCA=90°，∴∠BCO=∠OAC，∴tan∠BCO= tan∠OAC=3=4 OBOC，∴OB=33129 44OC=⨯=，∴点B（-9，0）；（2）过点D作DE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，在Rt△AOC中，AC20=，在Rt△BOC中，∵tan∠CAD＝1204 CD CDAC==，∴12054CD=⨯=，∵sin∠BCO=93155 OBBC==，∴DE= CD sin∠BCO=3535⨯=，∴CE4=，OE=OC-EC=12-4=8，∴点D（-3，8），∵双曲线y ＝m x（m ≠0）的一个分支经过点D ， ∴3824m xy ==-⨯=-;（3）过点A 作AP 1与过点C 与x 轴平行的直线交于P 1，则∠CP 1A =∠P 1CO =∠COA =90°，∴四边形COAP 1为矩形，∴点P 1（16，12），当点P 1（16,12）时，CP 1∥OA，∠P 1CA =∠CAB ，∠ACB =∠CP 1A ，∴△P 1CA ∽△CAB ，作P 2A ⊥AC 交CP 1延长线于P 2，∵∠CAP 2=∠BCA =90°，∠P 2CA=∠CAB，∴△CAP 2∽△ACB ，∴cos∠CAO =164205CO AC ==， ∴cos∠P 2CA = cos∠CAO =222045AC CP CP ==，∴225CP =，∴点P 2的横坐标绝对值=225CP =，纵坐标的绝对值=OC=12，∴点P 2（25,12），作∠P 3CA =∠OCA ，在射线CP 3截取CP 3=CO =12，连结AP 3，在△CP 3A 和△COA 中，33CP CO PCA OCA CA CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CP 3A ≌△COA （SAS ），∴AP 3=OA =16， ∴33124164,155205CP P A CB CA ====， ∴3334,905CP P A CP A BCA CB CA ==∠=∠=︒ ∴△P 3CA ∽△CAB ，设P 3（x ，y ）()()22222216161212x y y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 整理得22223224x y x y x y ⎧+=⎨+=⎩， 解得：2882538425x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P 3（2883842525，），延长CP 3与延长线交P 4，过P 4作PH ⊥x 轴于H ，∵∠P 4CA =∠CAB ，∠P 4AC =∠BAC =90°，∴△CAP 4∽△ACB ，∵∠BAC +∠HAP 4=∠CAP 3+∠P 3AP 4=90°，∠CAP 3=∠BAC ，∴∠HAP 4=∠P 3AP 4，∠P 4P 3A =180°-∠CP 3A =180°-90°=90°=∠P 4HA ，在△P 4P 3A 和△P 4HA 中，34444434P AP HAP AP AP P P A P HA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △P 4P 3A ≌△P 4HA （ASA ），∴AP 3=AH =16，P 3P 4=P 4H ，∵cos∠P 3CA =34123205PC CA CA CP ===， ∴4510033CA CP ==， ∴43443100641233P H P P CP CP ==-=-=，OH =OA +AH =OA +AP 3=16+16=32， ∴点464323P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 综合直线CB 下方，使以C 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似．点P 的坐标（16，12）或（25,12）或64323⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(2883842525，)．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，直线与y轴的交点，反比例函数解析式，锐角三角形函数，勾股定理，三角形全等判定与性质，矩形判定与性质，三角形相似，图形与坐标，解方程组，本题难度大，综合性强，涉及知识多，利用动点作出准确图形是解题关键．4、2【分析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值、二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】解：原式22=-=．2【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．5、（1）见解析；（21【分析】（1）作线段AB 的垂直平分线即可；（2）由垂直平分线的性质求出45ADC DAC ∠=∠=︒，设AC x =，BD AD ==，在三角形ABC 中利用三角函数即可求解．【详解】（1）作图如下，（2）根据垂直平分线的性质知， BD AD =，22.5DBE DAE ∠=∠=︒， 在三角形ACD 中，45ADC DAC ∠=∠=︒设AC x =，∴AD ，∴BD AD =，∴在三角形ABC 中，9022.567.5BAC ∠=︒-︒=︒，∴tan 67.51BC AC ︒===． 【点睛】 本题考查的是作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、三角函数，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．。
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九年级数学下第一章直角三角形的边角关系全章综合测评
题（附答案）
全综合测评题
一、选择题
1在中，，若，则的值是（）
A B D
2如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则的值是（）A B D 3在中，若，，则这个三角形一定是（）
A锐角三角形B直角三角形钝角三角形D等腰三角形
4如图，在平地上种树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为，如果在坡度为的坡上种树，也要求株距为，那么相邻两树间的坡面距离约为（）（参考数据：）A B D
在中，，若，，则斜边上的高等于（）
A B D
6甲、乙、丙三个梯子斜靠在一堵墙上（梯子顶端靠谱），小明测得：甲与地面的夹角为；乙的底端距离墙脚米，且顶端距离墙脚米；丙的坡度为，那么，这三张梯子的倾斜程度为（）
A甲较陡B乙较陡丙较陡D一样陡
7如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东方向的处，它以每小时海里的速度向正北方方向航行，小时后到达位于灯塔的北偏东方向的处，则处与灯塔的距离为（）
A 海里
B 海里海里D 海里8小亮在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，还原后，再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，这样就可以求出角的正切值是（）
A B D 二、填空题
9计算：________
10周长为的等腰三角形，一边长为，则底角的余弦值为______
11如图，小颖利用有一个锐角是的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离为，为（即小颖的眼睛与地面的距离），那么这棵树高是______ （结果保留根号）12如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为_____ 13如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度为米，引桥的坡角为，则引桥的水平距离的长是______米（精确到米，，，）14在平面直角坐标系中，已知，与轴所夹锐角为，则_____
1将一副三角尺如图所示叠放在一起，若，则阴影部分的面积是______ 16如图，已知直线，相邻两条平行直线间的距离都是，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，则______三、解答题
17水务部分为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形，如图所示，已知迎水坡面的长为米，，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面为梯形，的长为米
（1）已知需加固的大坝长为米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后大坝背水坡面的坡度18如图所示，秋千链子的长度
为，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面，秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？（参考数据：，）19如图，某校教学楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是是，教学楼在建筑物的墙上留下高的影子；而当光线与地面的夹角是时，教学楼顶在地面上的影子与墙角有的距离（、、在一条直线上）求教学楼的高度
（参考数据：，，）20小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图所示是晒衣架的侧面示意图，立杆、相交于点，、两点立于地面，经测量：，，，现将晒衣架完全稳固张开，扣链成一条线段，且
（1）求扣链与立杆的夹角的度数（精确到）
（2）小红的连衣裙挂在衣架后的总长度达到，垂挂在晒衣架上是否拖落到地面？通过计算说明理由
（参考数据：，，）聊旺角
认识新朋友——正弦：小菱形面积的性质
新朋友——正弦，它已帮我们解决了好几个题目，但我们对它了解得却并不多，现在就熟悉一下它
正弦性质1：，
道理很简单：菱形的一个角为或时，菱形就退化为线段；面积当然是，菱形的一个角为时，菱形就是正方形，因此，就是单位正方形的面积，当然是（如图1-1）正弦性质2：
这是因为，当菱形有一角为时，必有另一个角等于，因此，和按定义表示的是同一块面积（如图1-2）当菱形一个角为时，面积为，这个角慢慢变大时，菱形面积也随着增大，直到变为正方形，这个角继续变大时，菱形面积又变小，直到变成，这种性质也体现在正弦的性质上
在我们的书上，直接规定“直角三角形中锐角的正弦等于的对边与斜边之比”，这种用直角三角形的边长之比定义正弦的方法，是世纪的大数学家欧拉首先引进的，关于正弦的性质我们将在以后继续学习，有兴趣的同学可以试一试
创新寄语
提出新的疑问，新的可能，从新的角度看老问题，需要创造性的想象力，并且标志着科学的真正进步
答案
一、
1
2A
3A
4A
B
6D
7D
8B
二、
9
10 或
11
12
13
14
1
16
三、
17（1）立方米，（2）
18
19
20解：（1）如图，在中，，，
作于点，则，
，（2）小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面理由：，
过点作于点
在中，
，小红的连衣裙挂在晒衣架后总长度晒衣架高度，会拖落到地面上。