利用matlab实现齿轮滚刀快速设计

利用matlab实现齿轮滚刀齿形快速设计
随着齿轮行业发展近几十年，人们对齿轮的研究越来越
深入，其中涉及到很多高等数学的运算，在早期，工程师们
用纸笔的方式，进行大量的计算，计算过程非常复杂，工作
量非常大，所以也很辛苦。

目前很多公司研发出专门针对高
等数学运算的软件，非常好用，也节省了大量的计算工作量，
不得不佩服当今科学发展的飞跃性速度。

现在我们借助matlab设计一款标准齿轮滚刀齿形：
齿轮1：m=2,z=37,α=20°,d a1=φ78,r1=37,r b1=34.77
齿轮2：z=41,d a2=φ86
这里我们借用公式
dnf=
√[d−2(h∗an−x n−x f)m n]2+4[(h∗an−x n−x f)m n /tanαt]2 (因为标准齿轮，此处x n=0，x f=0，m n=m，αt=α)
计算渐开线起始圆d nf=φ70.86,r nf=35.43
起始圆压力角α0=arccos(r b1/r nf)=11.076°，转换成弧度为
0.1933
起始圆展角（及该点渐开线函数）θ0=tanα0-α0=0.0024;
同样利用d a1=φ78, r b1=34.77计算出终止圆展角θa=0.038
我们先看齿廓部分渐开线方程组：
x=R b cosθ+R bθsinθ
y=R b sinθ-R bθcosθ
该方程组在齿轮手册中的图形解释如下：
可以看出，当l0=0时，渐开线起点在x轴上，起点在基圆，而我们一般研究时以y轴为纵坐标，且渐开线偏离y轴半个基圆弧齿厚。

所以，我们先旋转90°，即将x轴和y轴切换：
x=R b sinθ-R bθcosθ
y=R b cosθ+R bθsinθ
基圆弧齿厚计算公式：
S b=[s+mzinv(α)]cosα
此处s为分度圆齿厚s=πm/2,
由以上两公式计算出s b=3.99
基圆半弧齿厚s b/2=1.995
基圆周长l=πd b=218.47
故我们可以计算出齿形实际渐开线起点在基圆上偏离y轴的角度为s b/2/l×360°=3.29°
于是，我们将渐开线方程组绕齿轮中心作旋转，旋转变换如
下：
Aφ1=[cos3.29°，sin3.29°,0]
[-sin3.29°，cos3.29°，0]
[0 , 0 , 1]
渐开线方程组写成矩阵形式：
A=[ R b sinθ-R bθcosθ]
[R b cosθ+R bθsinθ ]
[ 0 ]
经过变换的齿廓曲线方程组如下：
B= Aφ1*A，我们将这两个矩阵及变换输入matlab中，计算结
果如下：
B =
[rb*sin(θ) - (57*rb*cos(θ))/10000 - (57*a*rb*sin(θ))/10000 -θ*rb*cos(θ)]
[ rb*cos(θ) + (57*rb*sin(θ))/10000 +θ*rb*sin(θ) - (57*θ*rb*cos(θ))/10000 ] [ 0 ]
即x= rb*sin(θ) - (57*rb*cos(θ))/10000 - (57*a*rb*sin(θ))/10000 -θ*rb*cos(θ)
Y= rb*cos(θ) + (57*rb*sin(θ))/10000 +θ*rb*sin(θ) - (57*θ*rb*cos(θ))/10000 当然该式中数字显示和我们平时习惯有点不一样，可以不理
会它，这就是我们齿轮1齿廓曲线的实际方程组。

在滚齿运动中，齿轮和刀具实际运动变换如下：
从o0到o1的变换为：从O1到O的变换为：
A2=[cosθ,-sinθ,0] A3=[ 0 ]
[sinθ,cosθ,0 ] [-r1]
[0, 0, 1] [ 0]
从O到O2的变换为：
A4=[r1*θ]
[ 0 ]
[ 0 ]
根据滚齿展成原理，最终滚刀齿形的方程组矩阵为：
D= A2*（Aφ1*A）+ A3+ A4
我们将以上变换矩阵及公式输入matlab中，经过计算，得出滚刀齿形方程组的矩阵：
D =
[θ*r1 - cos(θ)*((57*rb*cos(θ))/10000 - rb*sin(θ) + (57*θ*rb*sin(θ))/10000
+θ*rb*cos(θ)) - sin(θ)*(rb*cos(θ) + (57*rb*sin(θ))/10000 +θ*rb*sin(θ) - (57*θ*rb*cos(θ))/10000)]
[cos(θ)*(rb*cos(θ) + (57*rb*sin(θ))/10000 +θ*rb*sin(θ) - (57*θ
*rb*cos(θ))/10000) - r1 - sin(θ)*((57*rb*cos(θ))/10000 - rb*sin(θ) + (57*θ*rb*sin(θ))/10000 +θ*rb*cos(θ))]
[0 ]
即：
x=θ*r1 - cos(θ)*((57*rb*cos(θ))/10000 - rb*sin(θ) + (57*θ*rb*sin(θ))/10000
+θ*rb*cos(θ)) - sin(θ)*(rb*cos(θ) + (57*rb*sin(θ))/10000 +θ*rb*sin(θ) - (57*θ*rb*cos(θ))/10000)
y= cos(θ)*(rb*cos(θ) + (57*rb*sin(θ))/10000 +θ*rb*sin(θ) - (57*θ
*rb*cos(θ))/10000) - r1 - sin(θ)*((57*rb*cos(θ))/10000 - rb*sin(θ) + (57*θ*rb*sin(θ))/10000 +θ*rb*cos(θ))
其中：
r1=37,rb=34.77,θ=[0.0024:0.0001:0.038]
我们将其在matlab中代入D式中，即可出来一系列x,y数
值，即刀具齿形的坐标点。

将matlab中的x,y数值用xlswrite命令导出到excel中并
进行整合后，就可以得到一个关于x,y的坐标数据列，将其
复制。

然后打开autocad，输入spline命令，并粘贴excel中的数
据列后，就在cad中绘出了我们滚刀的刀具齿形，按照前面
给出的齿轮1参数，最终得到的刀具齿形如下：
总结：我们在齿轮计算及微积分，微分几何等学习和研究过
程中，可以尽量借用matlab等数学计算软件，把它们当作
一种高级的计算器来使用，可以大大的节省我们计算的工作量及计算时间，使技术及科学研究变得简单和轻松很多。

何顺洪于2023年10月。