专题3 填空压轴题之几何求值-备战2022年中考数学满分真题模拟题分类之压轴题汇编(深圳专用解析版)

专题03 填空压轴题之几何求值
1．（2021•深圳）如图，在ABC ∆中，D ，E 分别为BC ，AC 上的点，将CDE ∆沿DE 折叠，得到FDE ∆，连接BF ，CF ，90BFC ∠=︒，若//EF AB ，43AB =，10EF =，则AE 的长为 ．
【答案】1043-
【详解】如图，延长ED 交FC 于G ，延长BA ，DE 交于点M ，
将CDE ∆沿DE 折叠，得到FDE ∆，
EF EC ∴=，DF DC =，FED CED ∠=∠，
EG CF ∴⊥，
又90BFC ∠=︒，
//BF EG ∴，
//AB EF ，
∴四边形BFEM 是平行四边形，
10BM EF ∴==，
1043AM BM AB ∴=-=-，
//AB EF ，
M FED
∴∠=∠，
M CED AEM
∴∠=∠=∠，
1043 AE AM
∴==
-
2．（2020•深圳）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O ，90
ABC DAC
∠=∠=︒，
1
tan
2
ACB
∠=，
4
3
BO
OD
=，则ABD
CBD
S
S
∆
∆
=．
【答案】
3
32
【详解】如图，过点D作//
DM BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，//
DM BC，
ABC ANM
∴∆∆
∽，OBC ODM
∆∆
∽，
∴
1
tan
2
AB AN
ACB
BC NM
==∠=，
4
3
BC OB
DM OD
==，
又90
ABC DAC
∠=∠=︒，
90
BAC NAD
∴∠+∠=︒，
90
BAC BCA
∠+∠=︒，
NAD BCA
∴∠=∠，
ABC DAN
∴∆∆
∽，
∴
1
2
AB DN
BC NA
==，
设4
BC a
=，
由
4
3
BC OB
DM OD
==得，3
DM a
=，
2
AB a
∴=，
3
5
DN a
=，
6
5
AN a
=，
616
2
55
NB AB AN a a a
∴=+=+=，
∴
2
2
3
1
3
5
2
13232
25
ABD
BCD
a
AB DN
S
S BC NB a
∆
∆
⋅
===
⋅
．
3．（2019•深圳）如图，在正方形ABCD 中，1BE =，将BC 沿CE 翻折，使B 点对应点刚好落在对角线AC 上，将AD 沿AF 翻折，使D 点对应点刚好落在对角线AC 上，求EF = ．
【答案】6 【详解】如图，作FM AB ⊥于点M ．
四边形ABCD 是正方形，
45BAC CAD ∴∠=∠=︒．
将BC 沿CE 翻折，B 点对应点刚好落在对角线AC 上的点X ，
1EX EB AX ∴===，90EXC B ∠=∠=︒，
222AE AX EX ∴=+=．
将AD 沿AF 翻折，使D 点对应点刚好落在对角线AC 上的点Y ，
1AM DF YF ∴===，
∴正方形的边长21AB FM ==+，21EM =-，
2222(21)(21)6EF EM FM ∴=+=-++=．
4．（2018•深圳）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，BE 平分ABC ∠，AD 、BE 相交于点F ，且4AF =，2EF =，则AC = ．
【答案】8105 【详解】如图，过点E 作EG AD ⊥于G ，连接CF ， AD ，BE 是分别是BAC ∠和ABC ∠的平分线， CAD BAD ∴∠=∠，CBE ABE ∠=∠，
90ACB ∠=︒，
2()90BAD ABE ∴∠+∠=︒，
45BAD ABE ∴∠+∠=︒，
45EFG BAD ABE ∴∠=∠+∠=︒，
在Rt EFG ∆中，2EF =，
1FG EG ∴==，
4AF =，
3AG AF FG ∴=-=，根据勾股定理得，2210AE AG EG =+=，
AD 平分CAB ∠，BE 平分ABC ∠，
CF ∴是ACB ∠的平分线，
45ACF AFE ∴∠=︒=∠，
CAF FAE ∠=∠，
AEF AFC ∴∆∆∽，
∴AE AF AF AC
=， 216810510
AF AC AE ∴===
5．（2017•深圳）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，Rt MPN ∆，90MPN ∠=︒，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当2PE PF =时，AP = ．
【答案】3
【详解】如图作PQ AB ⊥于Q ，PR BC ⊥于R ．
90PQB QBR BRP ∠=∠=∠=︒，
∴四边形PQBR 是矩形，
90QPR MPN ∴∠=︒=∠，
QPE RPF ∴∠=∠，
QPE RPF ∴∆∆∽， ∴2PQ PE PR PF ==， 22PQ PR BQ ∴==，
//PQ BC ，
::::3:4:5AQ QP AP AB BC AC ∴==，设4PQ x =，则3AQ x =，5AP x =，2BQ x =， 233x x ∴+=，
35
x ∴=， 53AP x ∴==．
6．（2021•深圳模拟）如图，在四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠交CD 于点E ，且AB AE =，
12
CBA D BAD ∠=∠+∠，过点E 作EG AB ⊥，垂足为G ．延长BC 和AE 交于点F ，若:2:1BF ED =，2EG =，三角形ABF 的面积为7，则AD = ．
【答案】72 【详解】解法一： 如图，过A 作AM BF ⊥于M ，作AN CD ⊥于N ，过E 作EH AD ⊥于H ，
90AMB ANE ∴∠=∠=︒，
AE 平分BAD ∠交CD 于点E ，
12
BAE DAE BAD ∴∠=∠=∠， 12
CEA DAE ADE BAD ADE ∠=∠+∠=∠+∠， 12
CBA D BAD ∠=∠+∠， CEA CBA ∴∠=∠，
AED ABM ∴∠=∠，
AB AE =，
()ABM AEN AAS ∴∆≅∆，
AM AN ∴=，
12ABF S BF AM ∆=⋅，12AED S DE AN ∆=⋅，且2BF ED =， 2ABF AED S S ∆∆∴=， 7ABF S ∆=，
72
AED S ∆∴=， AE 平分BAD ∠，EG AB ⊥，EH AD ⊥，
2EH EG ∴==，
1722AED S AD EH ∆∴=
⋅=， 72
AD ∴=； 解法二：过D 作DM AE ⊥于M ，过F 作FN AB ⊥，交AB 的延长线于N ， AE 平分BAD ∠交CD 于点E ，
12
BAE DAE BAD ∴∠=∠=∠， 12
CEA DAE ADE BAD ADE ∠=∠+∠=∠+∠， 12
CBA D BAD ∠=∠+∠， CEA CBA ∴∠=∠，
AED FBN ∴∠=∠，
90DME FNB ∠=∠=︒，
DME FNB ∴∆∆∽，
∴12
ED DM BF FN ==， 2FN DM ∴=，
112722
ABF S AB FN AE DM ∆=⋅=⋅=， 7AE DM ∴⋅=，
BAE DAE ∠=∠，90AGE AMD ∠=∠=︒，
AGE AMD ∴∆∆∽，
∴
EG AE DM AD =， ∴2AE DM AD
=，
722DM AE AD ⋅∴==．
7．（2021•龙岩模拟）将含30︒角且大小不等的两个三角板按如图摆放，使直角顶点重合，连接AE 、BD ，则AE BD = ．
【答案】3
【详解】EDC ∆与ACB ∆为两个直角三角形，且30DEC BAC ∠=∠=︒，90ACB ECD ∠=∠=︒， ACB DCA ECD DCA ∴∠+∠=∠+∠，
DCB ECA ∴∠=∠，
在Rt ACB ∆中，
tan tan30BC CAB AC
∠==︒， 在Rt ECD ∆中，
tan tan30DC CED EC ∠=
=︒， ∴BC DC AC EC
=， ∴在ECA ∆与DCB ∆中，
DC BC EC AC
=， DCB ECA ∠=∠，
ECA DCB ∴∆∆∽，
∴AE AC BD BC
=，
在Rt ACB ∆中，
tan tan 603AC ABC BC =∠=︒= 8．（2021•南山区一模）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BE ，AF 分别是ABC ∠，CAB ∠平分线，BE ，AF 交于点O ，OM AB ⊥，10AB =，8AC =，则OM = ．
【答案】2
【详解】过O 作OG AC ⊥于G ，OH BC ⊥于H ，连接OC ，
AF 平分CAB ∠，BE 平分ABC ∠，
OG OH OM ∴==，
90C ∠=︒，10AB =，8AC =，
221086BC ∴=-=
11112222ABC S AC BC AB OM AC OG BC OH ∆∴=
⋅=⨯⋅+⋅+⋅， ∴11118610862222
OM OG OH ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯， 2OM ∴=
9．（2021•深圳模拟）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，62AB =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若3BF DG =，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的长为 ．
【答案】4或2
【详解】如图，过点B 作BT BF ⊥交ED 的延长线于T ，过点B 作BH DT ⊥于H ．
DG BF ⊥，BT BF ⊥，
//DG BT ∴，
AD DB =，AE EC =，
//DE BC ∴，
∴四边形DGBT 是平行四边形，
BG DT ∴=，DG BT =，45BDH ABC ∠=∠=︒， 32AD DB ==， 3BH DH ∴==， 90TBF BHF ∠=∠=︒，
90TBH FBH ∴∠+∠=︒，90FBH F ∠+∠=︒，
TBH F ∴∠=∠，
1tan tan 3BT DG F TBH BF BF ∴∠=∠=
==， ∴13
TH BH =， 1TH ∴=，
134DT TH DH ∴=+=+=，
4BG ∴=．
当点F 在ED 的延长线上时，同法可得312DT BG ==-=．
10．（2021•福田区二模）如图，点M 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，过点M 作DM CM ⊥，交AC 于点D ，若2AD =，5BC =，则CD = ．
【答案】29
【详解】延长CM，使CM MN
=，连接AN，
点M是Rt ABC
∆斜边AB的中点，
AM BM
∴=，
在AMN
∆和BMC
∆中，
AM BM
AMN BMC
MN CM
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
()
AMN BMC SAS
∴∆≅∆，
5
BC AN
∴==，NAM B
∠=∠，
//
AN BC
∴，
90
BCA
∠=︒，
90
NAD
∴∠=︒，
2222
5229
DN AN AD
∴=+=+=，
DM CM
⊥，CM MN
=，
29
CD DN
∴==．
11．（2021•深圳模拟）如图，在Rt ABC
∆中，90
BAC
∠=︒，D为BC的中点，过点D作DE DF
⊥，交BA的延长线于点E，交AC的延长线于点F．若
7
2
CF=，4
AC=，2
AB=．则AE=．
【答案】10
【详解】延长FD 至G ，使GD FD =，连接BG ，如图所示： D 为BC 的中点，BD CD ∴=，
在BDG ∆和CDF ∆中，BD CD BDG CDF GD FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()BDG CDF SAS ∴∆≅∆，
72BG CF ∴==，G F ∠=∠， //BG CF ∴， BGH AFH ∴∆∆∽， ∴772715
42
GH BH BG FH AH AF ====+， ∴411
DH FD =，15152211AH AB ==， 90BAC ∠=︒，152
AF AC CF =+=， 221515755()()21122
HF ∴=+=， 41051511
DH FH ∴==， DE DF ⊥，
90EDH BAC ∴∠=︒=∠，
90E EHD F EHD ∴∠+∠=∠+∠=︒，
E F ∴∠=∠，
DHE AHF ∴∆∆∽，
∴HE DH HF AH
=
，即
105
11
15
755
11
22
HE
=，
解得：
125
11
HE=，
12515
10
1111
AE HE AH
∴=-=-=；
12．（2021•宝安区二模）如图，在等腰Rt ABC
∆中，90
B
∠=︒，BA BC
=，D为BC上一点，且3
BD=，E为AD上一点，连接CE，45
CED
∠=︒，2
CE AE
=，则CE的长为．【答案】
185
5
【详解】过A作AN CE
⊥的延长线于N，过C作CM AD
⊥交AD延长线于M，2
CE AE
=，
∴设AE a
=，则2
CE a
=，
3445
∠=∠=︒，
AN NE ∴=，45ECM ∠=︒，
90B ∠=︒，BA BC =，
45ACD ∴∠=︒，
12∴∠=∠，
AEN ∴∆，CEM ∆都是等腰直角三角形， 2CE a =，AE a =， CM EM a ∴==，22AN NE a ==， 12∠=∠，
CDM CAN ∴∆∆∽，
∴CM CD CN AC
=， 22NE a =
，2CE a =， 322
NC a ∴=， 222213255222AC AN NC a a a a ∴=+=
+==， ∴3252a
CD a a =，
103
CD a ∴=， 1033BC a ∴=+
， 在Rt ABC ∆中，
45BAC ∠=︒，
sin BC BAC AC
∴∠=， sin45BC AC ∴=︒⋅，
即1023532a a +
=⨯， 9105
a ∴=， 9101852255CE a ∴==
⨯=． 13．（2021•宝安区期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 是BC 边上两点，连接AD ，
以AD 为腰作等腰直角ADF ∆，90ADF ∠=︒，作FE BC ⊥于点E ，FE CE =，若2BD =，5CE =，则CDF S ∆=
． 【答案】30 【详解】过点A 作AH BC ⊥于H ，
90AHD ∴∠=︒，
FE BC ⊥，
90DEF ∴∠=︒，
ADF ∆是等腰直角ADF ∆，
AD DF ∴=，
90ADF ADH EDF ∠=∠+∠=︒，
90ADH DAH ∴∠+∠=︒，
EDF DAH ∴∠=∠，
在ADH ∆和DFE ∆中，
DAH EDF AHD DEF AD FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ADH DFE AAS ∴∆≅∆，
5CE =，
5DH EF ∴==，
7BH CH ∴==（三线合一）
， ∴12
CDF S DC EF ∆=⨯⨯
1
125
2
=⨯⨯
30
=．
14．（2021•罗湖区期末）如图，在ABC
∆中，90
ACB
∠=︒，点D 是BC上的一点，AC DC
=，AB AE
⊥，且AE AB
=，连接DE交AC的延长线于点F，
3
2
AC
CF
=，则
BD
CD
=．【答案】
4
3
【详解】在DC上截取CG CF
=，连接AG，
3
2
AC
CF
=，
设3
AC x
=，2
CF x
=，
AC DC
=，
3
CD x
∴=，
CG CF
=，
2
CG x
∴=，
90
ACB
∠=︒，
在Rt ACG
∆和Rt DCF
∆中，
AC CD
ACD DCF
CG CF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
()
ACG DCF SAS
∴∆≅∆，
CAG CDF
∴∠=∠，
90
AGB CAG
∠=∠+︒，90
EFA CDF
∠=︒+∠，
AGB EFA
∴∠=∠，
AB AE
⊥，
90
EAB
∴∠=︒，
90
ACD
∠=︒，AC CD
=，
45
CAD
∴∠=︒，
45EAF BAD ∴∠+∠=︒，
45ADC ABC BAD ∠=︒=∠+∠，
EAF ABC ∴∠=∠，
在EAF ∆和ABG ∆中，
EAF ABC EFA AGB AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()EAF ABG AAS ∴∆≅∆，
5BG AF x ∴==，
32GD x x x =-=，
4BD x ∴=， ∴43
BD
CD =
15．（2020•崇州市模拟）如果点P 是ABC ∆内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫ABC ∆的费马点．已经证明：在三个内角均小于120︒的ABC ∆中，当120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒时，P 就是ABC ∆的费马点．若点P 是腰长为2的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD PE PF ++= ．
【答案】31+
【详解】如图：过点D 作DM EF ⊥于点M ，在BDE ∆内部过E 、F 分别作30MEP MFP ∠=∠=︒，则120EPF FPD EPD ∠=∠=∠=︒，点P 就是费马点， 在等腰Rt DEF ∆中，2DE DF ==，DM EF ⊥，
22EF DE ∴==
1EM DM ∴==， 故cos30EM PE ︒=， 解得：233PE =，则33PM =， 故313DP =-，同法可得233
PF = 则233213133PD PE PF ++=⨯
+-=+．
16．（2021•深圳模拟）如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，45BC =，D 为边AB 上一动点
(B 点除外）
，以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 ．
【答案】8
【详解】过点C 作CG BA ⊥于点G ，作EH AB ⊥于点H ，作AM BC ⊥于点M ． 5AB AC ==，45BC =，
25BM CM ∴==，
易证AMB CGB ∆∆∽，
∴BM AB GB CB
=， 即25545
GB = 8GB ∴=，
设BD x =，则8DG x =-，
易证()EDH DCG AAS ∆≅∆，
8EH DG x ∴==-，
2111(8)(4)8222BDE S BD EH x x x ∆∴==-=--+， 当4x =时，BDE ∆面积的最大值为8．
17．（2021•光明区二模）如图，扇形OPQ 可以绕着正六边形ABCDEF 的中心O 旋转，若120POQ ∠=︒，OP 等于正六边形ABCDEF 边心距的2倍，2AB =，则阴影部分的面积为 ．
【答案】423π-
【详解】连接OE ，OD ，OC ．设EF 交OP 于T ，CD 交OQ 于J ．
120POQ EOC ∠=∠=︒，
EOT COJ ∴∠=∠，
OE OJ =，60OET OCJ ∠=∠=︒，
()EOT COJ ASA ∴∆≅∆，
2322234OTEDJ OEDC S S ∴==⨯
⨯=五边形四边形， 2120(23)23423360
OPQ OTEDJ S S S ππ⋅⋅∴=-=-=-阴扇形五边形 18．（2021•深圳二模）如图Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点P 为BC 上任意一点，连接PA ，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值
为．
【答案】12 5
【详解】90
BAC
∠=︒，3
AB=，4
AC=，
225
BC AC AB
∴=+=，
四边形APCQ是平行四边形，
PO QO
∴=，CO AO
=，
PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP'，
ACB P CO
∠=∠'，90
CP O CAB
∠'=∠=︒，CAB
∴∆∽△CP O'，
∴CO OP BC AB
'
=，
∴2
53
OP' =，
6
5 OP
∴'=，
∴则PQ的最小值为
12
2
5 OP'=，
方法二：不用相似的方法，只利用等面积得，OC AB BC OP'
=，求得OP'，而其他部分的步骤共用．
19．（2020•九龙坡区校级月考）如图，Rt ABC
∆中，AB BC
⊥，6
AB=，4
BC=，点D是ABC
∆内一个动点，且满足DAB DBC
∠=∠，当线段CD取最小值时，记BCDα
∠=，线段AB 上一动点E绕着点D顺时针旋转得到点F，且满足EDFα
∠=，则AF的最小
值 ．
【答案】125 【详解】AB BC ⊥，6AB =、4BC =， 90DBC ABD ∴∠+∠=︒，
DAB DBC ∠=∠，设DAB DBC β∠=∠=，
90DAB ABD ∴∠+∠=︒，
90ADB ∴∠=︒，
∴点D 在以AB 为直径的圆上，设圆心为O ，半径为132
AB =，则当O 、D 、C 三点共线时CD 最小，
3OD OB OA ∴===，
225OC OB BC ∴=+=，
将DA 绕点D 逆时针旋转α，得到DG ，连接GE ，
DG DA ∴=，
GDA EDF α∠=∠=，
GDE ADF ∴∠=∠，
DE DF =，
()GDE ADF SAS ∴∆≅∆，
GE AF ∴=，
∴当GE AB ⊥时，GE 最小，即AF 最小，
过点D 作DM AB ⊥于M ，过点G 作GH DM ⊥，交DM 的延长线于点H ，
//DM BC ∴，四边形GHME 为矩形．
OMD OBC ∴∆∆∽，GE HM =，
∴DM OM OD BC OB OC ==， ∴3435DM OM ==， 125DM ∴=，95OM =， 924355AM OM OA ∴=+=
+=， DAB DBC β∠=∠=，OA OD =，
ODA OAD β∴∠=∠=，
2BOC ODA OAD β∴∠=∠+∠=．
在Rt OBC ∆中，90OCB BOC ∠=︒-∠，
902αβ∴=︒-，
90MAD MDA ∠+∠=︒，
90GDH βα∴++∠=︒，
GDH DAM β∴∠==∠，
90DHG AMD ∠=∠=︒，AD DG =，
()GDH DAM AAS ∴∆≅∆．
245
DH AM ∴==， 125HM DH DM ∴=-=，即AF 的最小值为125
． 20．（2021•南山区二模）矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E 为BC 的中点，沿AE 将AEB ∆翻折得到AFE ∆，sin FCE ∠= ．
【答案】4
5
【详解】如图，
过E 作EH CF ⊥于H ，
由折叠的性质得：BE EF =，BEA FEA ∠=∠，
点E 是BC 的中点，
3CE BE ∴==，
3EF CE ∴==，
FEH CEH ∴∠=∠，
90AEB CEH ∴∠+∠=︒，
在矩形ABCD 中，
90B ∠=︒，
90BAE BEA ∴∠+∠=︒，
BAE CEH ∴∠=∠，B EHC ∠=∠，
ABE EHC ∴∆∆∽， ∴AB AE EH CE =， 22435AE =+=，
125
EH ∴=， 4sin 5EH ECF CE ∴∠=
=． 21．（2021•龙岗区二模）如图，已知在菱形ABCD ，9BC =，60ABC ∠=︒，点E 在BC 上，且6BE =，将ABE ∆沿AE 折叠得到△AB E '，其中B E '交CD 于点F ，则CF = ．
【答案】9
5
【详解】过点A 作AG BC ⊥交BC 于G ，取HG 使HG GE =，过H 作HM AE ⊥于H ，过F 作FN BC ⊥交BC 延长线于N ，
四边形ABCD 是菱形，
在Rt ABG ∆中，60B ∠=︒， 3sin sin 602AG B AB ∴=︒==， 39322AG AB ∴==， 1cos cos602BG B AB =︒=
=， 1922
BG AB ∴==， 6BE =，
922()2(6)32
HE GE BE BG ∴==-=⨯-=， 在Rt AGE ∆中，
222439633744
AE AG GE =+=+==， 1122
AHE S HE AG AE HM ∆=⨯⨯=⨯⨯， ∴131337222
HM ⨯⨯=⨯⨯， 解得，92114HM =
， HG GE =，AG HE ⊥，
AHE ∴∆是等腰三角形，
AH AE ∴=，AHE HEA ∠=∠，
在Rt AHM ∆中，
222229211064739763()1419614AM AH HM AE HM =-=-=-==， //AB CD ，
60FCN B ∴∠=∠=︒，
∴tan 603FN CN
=︒=， 折叠，
AEB HEA ∴∠'=∠，
在Rt AHE ∆中，
1801802HAE HEA AHE HEA ∠=︒-∠-∠=︒-∠，
又1801802FEN HEA AEB HEA ∠=︒-∠-∠'=︒-∠，
设CN x =，
3FN x =， tan tan FN HM FEC HAM EN AM ∠=∠==，
∴921
3143397
14
x x =+， ∴333313
x x =+， 910x ∴=
， 9931010
CN FN ∴==， 22189105
CF CN FN ∴=+==． 22．（2021•深圳模拟）如图，矩形ABCD 中，13AE AD =
，将ABE ∆沿BE 折叠后得到GBE ∆，延长BG 交CD 于F 点，若3CF FD ==，则BC 的长为 ．
【答案】66
【详解】延长BF 交AD 的延长线于点H ，
四边形ABCD 是矩形，
AD BC ∴=，//AD BC ，90A BCF ∠=∠=︒， H CBF ∴∠=∠，
在BCF ∆和HDF ∆中，
CBF H BCF DFH CF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()BCF HDF AAS ∴∆≅∆，
将ABE ∆沿BE 折叠后得到GBE ∆，
90A BGE ∴∠=∠=︒，AE EG =，
90EGH ∴∠=︒， 13
AE AD =， ∴设AE EG x ==，则3AD BC DH x ===， 2ED x ∴=，
5EH ED DH x ∴=+=， 在Rt EGH ∆中，1sin 55EG x H EH x ∠===， 1sin 5CF CBF BF ∴∠=
=， ∴315
BF =， 15BF ∴=，
222215366BC BF CF ∴=-=-=
23．（2021•葫芦岛二模）如图，在矩形ABCD 中，15AB =，8AD =，E 为AB 边上一点，将BEC ∆沿CE 翻折，点B 落在点F 处，当AEF ∆为直角三角形时，AE = ．
【答案】7或51
5
【详解】①如图，若90AEF ∠=︒，
90B BCD AEF ∠=∠=︒=∠，
∴四边形BCFE 是矩形，
将BEC ∆沿着CE 翻折，
∴四边形BCFE 是正方形，
8BE BC AD ∴===，
1587AE AB BE ∴=-=-=；
②如图，若90AFE ∠=︒，
将BEC ∆沿着CE 翻折，
8CB CF ∴==，90B EFC ∠=∠=︒，BE EF =， 180AFE EFC ∠+∠=︒，
∴点A ，点F ，点C 三点共线， 222215817AC AB BC ∴=+=+=，
9AF AC CF ∴=-=，
222AE AF EF =+，
2281(15)AE AE ∴=+-，
515
AE ∴=， ③若90EAF ∠=︒，
158CD CF BC =>==，
∴点F 不可能落在直线AD 上，
∴不存在90EAF ∠=︒，
综上所述：7AE =或515
． 24．（2020•青羊区校级期末）如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，P 是边AD 上一点，将ABP ∆沿着直线BP 翻折得到△A BP '．当8AP =时，A D '= ．如图2，连接A C '，当2AP =时，此时△A BC '的面积为 ．
【答案】217；60017 【详解】如图1，当8AP =时，
由折叠知AB AP =，APB BPA '∠=∠，ABP A BP '∠=∠，90A BA P '∠=∠=︒， ∴四边形ABA P '是正方形，
8A P '∴=，2PD =，
222282217A D A P PD ''∴=+=+=．
如图2，当2AP =时，过点A '作//MN AB ，交AD 于点M ，交BC 于点N ，
∴四边形ABNM 为矩形，
8AB MN ∴==，AM BN =，90AMN BNM ∠=∠=︒， 设A M x '=，则8A N x '=-，设BN y =，则2PM y =-， 在Rt PMA '∆中，222PM A M PA ''+=，
222(2)2y x ∴-+=①，
在Rt BNA '∆中，222BN A N A B ''+=，
222(8)8y x ∴+-=②，
由①②可得，4y x =，
把4y x =代入①得，222(42)2x x -+=， 解得，1617x =， 1612081717A N '∴=-=， 1112060010221717A BC S BC A N ''∴=⨯⨯=⨯⨯=． 25．（2021•坪山区二模）如图，在ABC ∆和ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，60C E ∠=∠=︒，点D 在BC 边上，AC 与DE 相交于点F ，3DF CF =，则AD BD
= ．
【答案】3
【详解】连接EC ，如图，
90BAC DAE ∠=∠=︒，60ACB AED ∠=∠=︒， AED ACB ∴∆∆∽，
∴AE AD AC AB
=， 即AE AC AD AB
=， 90BAC DAE ∠=∠=︒，
BAC CAD DAE CAD ∴∠-∠=∠-∠，
EAC DAB ∴∠=∠，
EAC DAB ∴∆∆∽，
∴AD BD AE EC
=，ACE ABD ADE ∠=∠=∠， 在Rt EAD ∆中，60AED ∠=︒，
∴3AD AE
=，
∴3BD EC =， ∴33EC BD
=，
EFC
AFD ∠=∠，ECF ADF ∠=∠， EFC AFD ∴∆∆∽，
∴3AD DF EC CF
==， ∴3333
AD AD EC BD EC BD =⋅=⨯= 26．（2021•深圳模拟）如图所示的网格是正方形网格，则BAC DAE ∠-∠= ︒（点
A ，
B ，
C ，
D ，
E 是网格线交点）
．
【答案】45
【详解】如图，连接CG 、AG ，
由勾股定理得：2222125AC AG ==+=，2221310CG =+=， 222AC AG CG ∴+=，
90CAG ∴∠=︒，
CAG ∴∆是等腰直角三角形，
45ACG ∴∠=︒，
//CF AB ，
ACF BAC ∴∠=∠，
在CFG ∆和ADE ∆中，
90CF AD CFG ADE FG DE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，
()
CFG ADE SAS
∴∆≅∆，
FCG DAE
∴∠=∠，
45
BAC DAE ACF FCG ACG
∴∠-∠=∠-∠=∠=︒
27．（2021•深圳模拟）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将ADE
∆沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若4
AD=，则图中阴影部分的面积为．
【答案】23 9
【详解】连接OG，QG，
将ADE
∆沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，4
AD DF
∴==，2
BF CF
==，
矩形ABCD中，90
DCF
∠=︒，
30
FDC
∴∠=︒，
60
DFC
∴∠=︒，
O与CD相切于点G，
OG CD
∴⊥，
BC CD
⊥，
//
OG BC
∴，
DOG DFC
∴∆∆
∽，
∴DO OG DF FC
=，
设OG OF x
==，则4
42
x x
-
=，
解得：43x =，即O 的半径是43． 连接OQ ，作OH FQ ⊥， 60DFC ∠=︒，OF OQ =， OFQ ∴∆为等边三角形；同理OGQ ∆为等边三角形； 60GOQ FOQ ∴∠=∠=︒，32323OH OQ =
=， 3232333QH ∴=
⨯=， 23
CQ ∴= 四边形OHCG 为矩形，
233
OH CG ∴==， 232311222339CGQ S S CQ CG ∆∴==
⨯⨯=⨯⨯=阴影． 28．（2020•扬州）如图，在ABCD 中，60B ∠=︒，10AB =，8BC =，点E 为边AB 上的一个动点，连接ED 并延长至点F ，使得14
DF DE =
，以EC 、EF 为邻边构造EFGC ，连接EG ，则EG 的最小值为 ．
【答案】93
【详解】作CH AB ⊥于点H ，
在ABCD 中，60B ∠=︒，8BC =，
43CH ∴=，
四边形ECGF 是平行四边形，
//EF CG ∴，
EOD GOC ∴∆∆∽，
∴EO DO ED GO OC GC
==，
14DF DE =， ∴45DE EF =， ∴45ED GC =， ∴45
EO GO =， ∴当EO 取得最小值时，EG 即可取得最小值，
当EO CD ⊥时，EO 取得最小值，
CH EO ∴=，
43EO ∴=，
53GO ∴=，
EG ∴的最小值是93
29．（2021•锡山区一模）如图，在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，4BC =，点E 为边AB
上的一个动点，连接ED 并延长至点F ，使得13
DF DE =，以EC 、EF 为邻边构造平行四边形EFGC ，连接EG ，则EG 的最小值为 ．
【答案】1433
【详解】作CH AB ⊥于点H ，
在ABCD 中，60B ∠=︒，4BC =，
23CH ∴=，
四边形ECGF 是平行四边形，
//EF CG ∴，
EOD GOC ∴∆∆∽， ∴EO DO ED GO CO GC ==， 13DF DE =， ∴34DE EF =， ∴34
ED GC =， ∴34
EO GO =， ∴当EO 取得最小值时，EG 即可取得最小值，
当EO CD ⊥时，EO 取得最小值，
CH EO ∴=，
23EO ∴=，
833
GO ∴=， EG ∴的最小值是814233333
+=
30．（2021•龙岗区校级一模）如图，在矩形ABCD 中，5AC =，AE 平分DAC ∠交CD 于E ，CF 平分ACD ∠交AE 于点F ，且:1:2EF AF =，则CF = ．
【答案】10
【详解】作FG AC ⊥于点G ，作FM CD ⊥于点M ，作FN AD ⊥于点N ， CF 平分ACD ∠交AE 于点F ，且:1:2EF AF =，
:1:2CE CA ∴=，
5AC =， 52CE ∴=， AE 平分DAC ∠，CF 平分ACD ∠， FG FM FN ∴==， FM CD ⊥，AD CD ⊥，:1:2EF AF =， EMF EDA ∴∆∆∽，
∴13
MF EF DA EA ==， 设FM x =，
则3AD x =，
同理可得，ANF AED ∆∆∽，
则32
DE x =， 5322
CD x ∴=+， 90D ∠=︒，3AD x =，5AC =， 22253()(3)522
x x ∴++=， 解得11x =，253
x =-（舍去）， 1FM ∴=，5311322
CM =+⨯-=， 又90CMF ∠=︒，
221310CF ∴=+=，
故答案为：10．。