高考数学一轮复习专题三函数的概念性质与基本初等函数3二次函数与幂函数综合集训含解析新人教A版
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第三章 函数与基本初等函数-第四节 二次函数与幂函数
知识梳理
一、幂函数
1.幂函数的定义
=
一般地，形如________的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数.
2.五种常见的幂函数
函数
=
=
2
=
3
=
1
2
= −1
图象
___
值域
___
奇
奇偶性 ____函数
在___上
___
{| ≥ 0}
__________
偶
[解析]由幂函数的性质可知， = 与 = 恒过点 , ，即两函数图象在第一象
限的交点为 , ，故当 < < 时， >
称，∴ = 为偶函数，∴ −
数，为奇数.故选B.
=
−
，则
< .又 = 的图象关于轴对
= =
故解集为{| < < }.故答案为{| < < }.
[对点训练1] （1）如图，这是函数 = (,均为正整数且,互质)的图象，则
() B
A.,是奇数,且
<1
B.是偶数，是奇数，且 < 1
C.是偶数，是奇数，且 > 1
D，则
− = − + .
第三种情况： 具有①③④三个性质.由①④可设 = −
根据③可得 = − = ，解得 = ，所以 = −
浙江高考数学一轮复习第三章函数的概念性质与基本初等函数33二次函数与幂函数课件
其最小值是f
-
b 2a
=
4ac-b2 4a
;若-
b 2a
≤
m
2
n
,
则f(x)的最大值为f(n);若-
b 2a
≥
m n ,则f(x)的最大值为f(m).
2
②当- b ∉[m,n],即给定的区间在对称轴的一侧时, f(x)在[m,n]上是单调函
2a
数,若- b <m,则f(x)在[m,n]上是增函数, f(x)的最小值是f(m),最大值是f(n);若
③当1<- 2a-1<3,即- 5 <a<- 1 时, f(x)max在端点处取得,
2
22
浙江高考数学一轮复习第三章函数的概
2021/4/17
念性质与基本初等函数33二次函数与幂
10
函数课件
令f(1)=1+2a-1-3=1,得a=2(舍去),令f(3)=9+3(2a-1)-3=1,得a=- 1 (舍去).综上,
-
b 2a
,
4ac-b2 4a
b
图象关于⑦ 直线x=- 2a 对称
浙江高考数学一轮复习第三章函数的概
念性质与基本初等函数33二次函数与幂
5
函数课件
知识拓展 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m,n]上的最大值或最小值
如下:
①当- b ∈[m,n],即对称轴在所给区间内时, f(x)的最小值在对称轴处取得,
则f(3)=3a= 3 ,解得a= 1 ,
2
1
则f(x)= x2 = x ,是非奇非偶函数,
且在(0,+∞)上是增函数.故选D.
【高考第一轮复习数学】函数专题三
专题三、导数1、导数的定义对于函数y=f(x)，如果自变量x 在x 0处有增量△x ，那么函数y 相应的有增量△y=f(x 0+△x)-f(x 0).比值xy ∆∆叫做函数y=f(x)在x 0到x 0+△x 之间的平均变化率，即xy ∆∆=x)f(-x)f(x x 00∆∆+.如果当△x →0时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x 0处的导数，记作)(0x f '或0x x y ='，即)(0x f '=xf x f xy x x x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(000limlim.2、利用定义求函数y=f(x)在点x 0处的导数的步骤 （1）求函数的增量△y=f(x 0+△x)-f(x 0)； （2）求平均变化率xy ∆∆=x)f(-x)f(x x 00∆∆+；（3）取极限，得导数)(0x f '=xf x f xy x x x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(000limlim.3、导函数如果函数f （x ）在开区间（a,b ）内每一点都可导，就说f(x)在开区间（a,b ）内可导，这时，对于开区间（a,b ）内每个确定的值x 0，都对应一个确定的导数)(x f '，这样就在开区间（a,b ）内构成一个新函数，我们把这一新函数叫f(x)在开区间（a,b ）内的导函数.记作)(x f '或y '. 4、导数的几何意义函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P （yx 00,）处切线的斜率.5.基本初等函数导数公式);1,0(ln1)(log;))())(0(;ln )((1≠>='='='='='-a a x ax x C C axxxaeea a xx ；为常数；为常数αααα;1)(ln xx='x x x sin cosx cos )(sin -='='）；（ 5、函数的和、差、积、商的导数（1） []()()''()'()f x g x f x g x ±=±（2）[]()'()'c f x c f x=（3）[]()()''()()()'()f xg x f x g x f x g x=+（4）'2()'()()()'()(()0) ()()f x f xg x f x g xg xg x g x⎛⎫-=≠⎪⎝⎭6、利用导数判断函数的单调性设函数y=f(x)在区间（a,b）内可导，（1）如果在（a,b）内，)(xf'>0，则f(x)在此区间是增函数；（2）如果在（a,b）内，)(xf'<0，则f(x)在此区间是减函数.反之，若f(x)在某区间上单调递增，则在该区间上有)(xf'≥0恒成立（但不恒等于0）；若f(x)在某区间上单调递减，则在该区间上有)(xf'≤0恒成立（但不恒等于0）.7、函数的极值（1）定义：函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点都有f(x)<f(x0),则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值= f(x0)；如果对x0附近的所有点都有f(x)>f(x0),则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0).极大值与极小值统称为极值，x0称为极值点. 8、求函数极值的步骤（1）求导数)(xf'；（2）求方程)(xf'=0的所有实数根；（3）列表，检验)(xf'在方程)(xf'=0的根的左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则f(x)在这个根处取得极大（小）值.9、求函数的最值（1）求函数f(x)在区间（a,b）上的极值；（2）将极值与区间断点函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.。
【2022高考数学一轮复习(步步高)】目录
第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.1集合§1.2 充分条件与必要条件§1.3 全称量词与存在量词§1.4 不等关系与不等式§1.5 一元二次不等式及其解法§1.6 基本不等式强化训练1不等式中的综合问题第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数的概念及其表示第1课时函数的概念及其表示第2课时函数的定义域与值域§2.2 函数的基本性质第1课时单调性与最大(小)值第2课时奇偶性、对称性与周期性第3课时函数性质的综合问题§2.3 幂函数与二次函数§2.4 指数与指数函数§2.5 对数与对数函数§2.6 函数的图象§2.7 函数与方程强化训练2函数与方程中的综合问题§2.8 函数模型及其应用第三章导数及其应用§3.1 导数的概念及运算§3.2 导数与函数的单调性§3.3 导数与函数的极值、最值强化训练3导数中的综合问题高考专题突破一高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题第2课时利用导函数研究函数的零点第3课时利用导数证明不等式第四章三角函数、解三角形§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式§4.3 简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时简单的三角恒等变换§4.4 三角函数的图象与性质§4.5 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用强化训练4三角函数中的综合问题§4.6 解三角形高考专题突破二高考中的解三角形问题第五章平面向量、复数§5.1 平面向量的概念及线性运算§5.2 平面向量基本定理及坐标表示§5.3 平面向量的数量积强化训练5平面向量中的综合问题§5.4 复数第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示法§6.2 等差数列及其前n项和§6.3 等比数列及其前n项和强化训练6数列中的综合问题高考专题突破三高考中的数列问题第七章立体几何与空间向量§7.1空间几何体及其表面积、体积强化训练7空间几何体中的综合问题§7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系§7.3 直线、平面平行的判定与性质§7.4 直线、平面垂直的判定与性质强化训练8空间位置关系中的综合问题§7.5 空间向量及其应用高考专题突破四高考中的立体几何问题第八章解析几何§8.1直线的方程§8.2 两条直线的位置关系§8.3 圆的方程§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系强化训练9直线与圆中的综合问题§8.5 椭圆第1课时椭圆及其性质第2课时直线与椭圆§8.6 双曲线§8.7 抛物线强化训练10圆锥曲线中的综合问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第1课时范围与最值问题第2课时定点与定值问题第3课时证明与探索性问题第九章统计与统计案例§9.1 随机抽样、用样本估计总体§9.2 变量间的相关关系、统计案例强化训练11统计中的综合问题第十章计数原理、概率、随机变量及其分布§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理§10.2 排列、组合§10.3 二项式定理§10.4 随机事件的概率与古典概型§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差§10.6 二项分布与正态分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题。
2024年新高考版数学专题1_3.5 函数与方程及函数的综合应用(分层集训)
B.3
答案 B
C.4
D.5
)
3.(2022南京师范大学附中期中,7)用二分法研究函数f(x)=x3+2x-1的零点
时,第一次计算,得f(0)<0,f(0.5)>0,第二次应计算f(x1),则x1等于 (
A.1
B.-1
答案 C
C.0.25
D.0.75
)
4.(多选)(2022湖南师大附中三模,11)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x
1.(2023届长春六中月考,7)若函数f(x)=ln x+x2+a-1在区间(1,e)内有零点,则
实数a的取值范围是 (
A.(-e2,0)
C.(1,e)
答案 A
B.(-e2,1)
D.(1,e2)
)
2.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,
A型
0.4
3
B型
0.3
4
C型
0.5
3
D型
0.4
4
则保温效果最好的双层玻璃的型号是 (
A.A型
答案 D
B.B型
C.C型
D.D型
)
3.(2020课标Ⅲ理,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行
病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=
1 e
K
0.23( t 53)
,其中K为最大确诊病例数.
当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) (
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第3章函数与基本初等函数 第4节幂函数、对勾函数及一次分式函数
{x|x≥0}
{y|y≥0}
奇函数
非奇非
偶函数
单调
性
在(-∞,0)上单调
在(-∞,0)和
在R上单
在R上单调 在[0,+∞)上
递减,在(0,+∞)
(0,+∞)上单
调递增
递增
单调递增
上单调递增
调递减
偶函数
y=
y=x-1
{x|x≠0}
{y|y≠0}
奇函数
函数
y=x
图象
过定点
(1,1)
y=x2
y=x3
y=
3
y=x+在区间[
3+x+x 2
y= 1+x 的最小值为(
C )
D.4
1+x=t,因为 x∈[2,5],所以 t∈[3,6],
3,+∞)上单调递增,所以函数
区间[3,6]上单调递增,因此函数在 t=3 时取最小值
3
3+3-1=3,故选
3
y=t+ -1
C.
在
(2)函数
+
f(x)= 2+5 在[0,2 ]上的值域为
1
2
y=x-1
微思考幂函数的图象可以经过第四象限吗?
提示 不可以.因为当x>0时,y=xα>0,所以幂函数的图象一定经过第一象限,
且一定不经过第四象限.
微点拨1.幂函数在(0,+∞)上都有定义;
2.当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
3.当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
高考一轮函数知识点总结
高考一轮函数知识点总结高中数学中的函数是一个重要的概念，也是高考中常见的考点之一。
函数作为数学中的一种关系，具有广泛的应用和深厚的理论基础。
在高考中，对函数的理解和掌握是考生们取得好成绩的重要基础。
下面就来总结一下高考中一轮函数知识点。
1. 函数的定义与性质函数是一种将一个集合的每个元素映射到另一个集合的规则。
函数的定义包括自变量、因变量、定义域和值域等要素。
同时，函数还具有单调性、奇偶性、周期性和有界性等性质。
2. 基本初等函数基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
这些函数在数学和物理等领域具有广泛的应用，考生需要掌握它们的图像、性质和基本运算法则。
3. 函数的运算函数的运算包括加减乘除、函数的复合和函数的逆等。
加减乘除是函数之间最基本的运算，函数的复合是将一个函数的输出作为另一个函数的输入进行运算，函数的逆是一个与原函数互为反函数的函数。
4. 函数的图像与性质函数的图像是函数在坐标系中的表现形式，通过观察函数的图像，可以了解函数的性质。
例如，当函数的图像在整个定义域上单调递增或递减时，可以推断函数的单调性；当函数的图像关于某一直线对称时，可以推断函数的奇偶性。
5. 函数的应用函数在各个学科中都有广泛的应用。
在物理中，速度函数、加速度函数和位移函数等描述物体运动的规律；在经济学中，收益函数、成本函数和利润函数等描述企业生产的规律；在生物学中，生长函数、衰变函数和变异函数等描述生物体的数量变化规律。
6. 解函数方程解函数方程是高考中常见的考点之一。
函数方程是一个方程中含有未知函数的方程，如f(x) = g(x)。
解函数方程的关键就是找到未知函数的表达形式，从而求出满足方程的函数解。
7. 函数的极限函数的极限是函数在某一点上的无穷接近某一值的性质。
通过求函数的极限，可以求解函数的导数和积分等相关问题。
函数的极限是微积分中的重要概念，也是高考中涉及的重要内容。
高考总复习一轮数学精品课件 第3章 函数与基本初等函数 课时规范练 幂函数、对勾函数及一次分式函数
9.(2024·安徽安庆模拟)若函数
和-3,则 a-b=
解析 由于
-2
2+1
f(x)=
-2
2+1
1
f(x)= -2 在[a,b]上的最大值和最小值分别为3
.
=
2-4+5
5
=2+ ,
-2
-2
依题意必有[a,b]⊆(-∞,2),且在[a,b]上单调递减,
() =
于是
() =
2+1
7.(2024·辽宁大连模拟)函数 f(x)=
解析 由于 f(x)=
令
2
由于
2 +6
2 +5
=
( 2 +5)+1
+ 5=t,则 t≥ 5且
2 +5
2 +6
2
=
+5+
1
.
,
2 +5
1
y=t+ ,
1
y=t+ 在[1,+∞)内单调递增,所以
故当 t= 5时
的值域为
2 +5
5.(2024·辽宁大连模拟)幂函数 f(x)=(m -6m+9)
2
2 -3-2
在(0,+∞)内单调递
增,若f(2x-1)≥1,则x的取值范围是( D )
A.(-∞,0]
B.[1,+∞)
C.[0,1]
D.(-∞,0]∪[1,+∞)
解析 因为 f(x)=(m -6m+9)
2
2 -3-2
2
=4 即 x= 15时取得最小值为 8,所以 0<
2023年高考数学一轮复习讲义——二次函数与幂函数
§2.5二次函数与幂函数考试要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1212x 是幂函数．( × )(2)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．( × )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( √ )(4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．( × ) 教材改编题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f ⎝⎛⎭⎫14等于( ) A ．－12B.12 C ．±12D.22答案 B解析 设f (x )＝x α， ∴2α＝2，α＝12，∴f (x )＝12x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫14＝12.2．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上单调，则实数k 的取值范围为________．答案 (－∞，40]∪[160，＋∞) 解析 依题意知，k 8≥20或k8≤5，解得k ≥160或k ≤40.3．已知y ＝f (x )为二次函数，若y ＝f (x )在x ＝2处取得最小值－4，且y ＝f (x )的图象经过原点，则函数解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－4x解析 因为y ＝f (x )在x ＝2处取得最小值－4， 所以可设f (x )＝a (x －2)2－4(a >0)，又图象过原点，所以f (0)＝4a －4＝0，a ＝1， 所以f (x )＝(x －2)2－4＝x 2－4x .题型一 幂函数的图象与性质例1 (1)若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<m <12C ．－1<m <0<n <12D ．－1<n <0<m <1 答案 D解析 幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸， ∴0<m <1.当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减． 不妨令x ＝2，由图象得2－1<2n ，则－1<n <0.综上可知，－1<n <0<m <1.(2)(2022·长沙质检)幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象关于y 轴对称，则实数m ＝________. 答案 2解析 由幂函数定义，知m 2－3m ＋3＝1， 解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，f (x )＝x 的图象不关于y 轴对称，舍去， 当m ＝2时，f (x )＝x 2的图象关于y 轴对称， 因此m ＝2. 教师备选1．若幂函数f (x )＝()12255a a a x ---在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( )A ．1B ．6C ．2D ．－1 答案 D解析 因为函数f (x )＝()12255a a a x---是幂函数，所以a 2－5a －5＝1，解得a ＝－1或a ＝6. 当a ＝－1时，f (x )＝12x 在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＝6时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上单调递减， 所以a ＝－1.2．若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是( ) A.⎣⎡⎭⎫2，167 B ．(0,2] C.⎝⎛⎭⎫－∞，167 D ．[2，＋∞)答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f (x )>f (8x －16)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，8x －16≥0，x >8x －16，即2≤x <167，所以不等式的解集为⎣⎡⎭⎫2，167. 思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 跟踪训练1 (1)(2022·宝鸡检测)已知a ＝432，b ＝233，c ＝1225，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A解析 由题意得b ＝233<234＝432＝a ， a ＝432＝234<4<5＝1225＝c ， 所以b <a <c .(2)已知幂函数y ＝p qx (p ，q ∈Z 且p ，q 互质)的图象关于y 轴对称，如图所示，则( )A ．p ，q 均为奇数，且pq >0B ．q 为偶数，p 为奇数，且pq <0C ．q 为奇数，p 为偶数，且pq >0D ．q 为奇数，p 为偶数，且pq <0答案 D解析 因为函数y ＝p q x 的图象关于y 轴对称，于是函数y ＝p qx 为偶函数，即p 为偶数， 又函数y ＝p qx 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有pq <0，又因为p ，q 互质，则q 为奇数，所以只有选项D 正确． 题型二 二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解 方法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎨⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为 f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1， 解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 方法三 (利用“零点式”解题)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a(－2a－1)－(－a)24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)．故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.教师备选若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)满足条件f(－x)＝f(x)，定义域为R，值域为(－∞，4]，则函数解析式f(x)＝________.答案－2x2＋4解析f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.∵f(－x)＝f(x)，∴2a＋ab＝0，∴f(x)＝bx2＋2a2.∵f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，∴b<0，且2a2＝4，∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4.思维升华求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2(1)已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)等于()A．x2－2x＋1 B．x2＋2x＋1C．2x2－2x＋1 D．2x2＋2x－1答案 B解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由f (x )＝x 2＋f ′(x )－1可得 ax 2＋bx ＋c ＝x 2＋2ax ＋(b －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2a ，c ＝b －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝1，因此，f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－4x ＋3解析 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2， 又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3，设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， ∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象与性质 命题点1 二次函数的图象例3 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，那么可知， 在A 中，a <0，b <0，c <0，不符合题意； B 中，a <0，b >0，c >0，不符合题意； C 中，a >0，c <0，b >0，不符合题意，故选D. 命题点2 二次函数的单调性与最值 例4 已知函数f (x )＝x 2－tx －1.(1)若f (x )在区间(－1,2)上不单调，求实数t 的取值范围； (2)若x ∈[－1,2]，求f (x )的最小值g (t )． 解f (x )＝x 2－tx －1＝⎝⎛⎭⎫x －t 22－1－t 24. (1)依题意，－1<t2<2，解得－2<t <4，∴实数t 的取值范围是(－2,4)．(2)①当t2≥2，即t ≥4时，f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝3－2t . ②当－1<t2<2，即－2<t <4时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫t 2＝－1－t24. ③当t2≤－1，即t ≤－2时，f (x )在[－1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－1)＝t .综上有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≤－2，－1－t24，－2<t <4，3－2t ，t ≥4.延伸探究 本例条件不变，求当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值G (t )． 解 f (－1)＝t ，f (2)＝3－2t ， f (2)－f (－1)＝3－3t ， 当t ≥1时，f (2)－f (－1)≤0， ∴f (2)≤f (－1)， ∴f (x )max ＝f (－1)＝t ； 当t <1时，f (2)－f (－1)>0， ∴f (2)>f (－1)， ∴f (x )max ＝f (2)＝3－2t ，综上有G (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≥1，3－2t ，t <1.教师备选1．(多选)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是( )A ．当x >3时，y <0B ．4a ＋2b ＋c ＝0C ．－1≤a ≤－23D ．3a ＋b >0答案 AC解析 依题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )， ∴函数与x 轴的另一交点为(3,0)， ∴当x >3时，y <0，故A 正确；当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c >0，故B 错误；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1,0)，且a <0， ∴a －b ＋c ＝0，∵b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0， ∴3a ＋b <0，c ＝－3a ，∵2≤c ≤3，∴2≤－3a ≤3，∴－1≤a ≤－23， 故C 正确，D 错误．2．(2022·沈阳模拟)已知f (x )＝ax 2－2x ＋1.(1)若f (x )在[0,1]上单调，求实数a 的取值范围；(2)若x ∈[0,1]，求f (x )的最小值g (a )．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1单调递减；当a >0时，f (x )的对称轴为x ＝1a ，且1a>0， ∴1a≥1，即0<a ≤1； 当a <0时，f (x )的对称轴为x ＝1a 且1a<0， ∴a <0符合题意．综上有，a ≤1.(2)①当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1在[0,1]上单调递减，∴f (x )min ＝f (1)＝－1.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a. (ⅰ)当1a<1，即a >1时，f (x )＝ax 2－2x ＋1图象的对称轴在[0,1]内， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上单调递增． ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＋1＝－1a＋1. (ⅱ)当1a≥1，即0<a ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x ＋1在[0,1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，a ≤1，－1a ＋1，a >1.思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C ．[－3，－22]D ．[－4，－3] 答案 B解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，当x >0时，f (x )＝x 2＋ax ＋2，对称轴为x ＝－a 2，∴2≤－a 2≤3， 解得－6≤a ≤－4.(2)(2022·抚顺模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋5在区间[0，m ]上有最大值6，最小值5，则实数m 的取值范围是________．答案 [1,2]解析 由题意知，f (x )＝－(x －1)2＋6，则f (0)＝f (2)＝5＝f (x )min ，f (1)＝6＝f (x )max ，函数f (x )的图象如图所示，则1≤m ≤2.课时精练1．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2x 2－3xB ．g (x )＝3x 2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x答案 B解析 二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，设二次函数为g (x )＝ax 2＋bx ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，a －b ＝5，解得a ＝3，b ＝－2，所求的二次函数为g (x )＝3x 2－2x .2．(2022·延吉检测)若函数y ＝()222433mm m m x +--+为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值为( )A ．0B ．1或2C ．1D ．2答案 C解析 由于函数y ＝()222433m m m m x +--+为幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，y ＝x －1＝1x，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意． 当m ＝2时，y ＝x 4，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．3．(2022·长沙模拟)已知函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，则实数m 的值为( )A ．－2或1B ．－2C ．1D ．1或2答案 A解析 因为f (x )＝x 2－2mx －m ＋2＝(x －m )2－m 2－m ＋2≥－m 2－m ＋2，且函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，所以－m 2－m ＋2＝0，解得m ＝－2或m ＝1.4．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1.下面四个结论中正确的是( )A ．b 2<4acB ．2a －b ＝1C ．a －b ＋c ＝0D ．5a <b 答案 D解析 因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，9a －3b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，c ＝－3a ，因为二次函数的图象开口方向向下，所以a <0，对于A ，因为二次函数的图象与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＝4a 2＋12a 2＝16a 2>0， 所以b 2>4ac ，故选项A 不正确；对于B ，因为b ＝2a ，所以2a －b ＝0，故选项B 不正确；对于C ，因为a －b ＋c ＝a －2a －3a ＝－4a >0，故选项C 不正确；对于D ，因为a <0，所以5a <2a ＝b ，故选项D 正确．5．(多选)(2022·宜昌质检)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个零点x 1，x 2，以下结论正确的是( )A ．a <1B ．若x 1x 2≠0，则1x 1＋1x 2＝2aC ．f (－1)＝f (3)D ．函数y ＝f (|x |)有四个零点答案 ABC解析 二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a ＝4－4a >0，a <1，故A 正确； 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2a，故B 正确； 因为f (x )的对称轴为x ＝1，点(－1，f (－1))，(3，f (3))关于对称轴对称，故C 正确； 当a <0时，y ＝f (|x |)只有两个零点，故D 不正确．6．(多选)已知幂函数f (x )＝()2231m m m m x +---，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，若a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，则下列结论可能成立的有( ) A ．a ＋b >0且ab <0B ．a ＋b <0且ab <0C ．a ＋b <0且ab >0D ．以上都可能答案 BC解析 因为f (x )＝()2231mm m m x +---为幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.依题意f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以m ＝2，此时f (x )＝x 3，因为f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，所以f (x )＝x 3为奇函数．因为a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，所以f (a )<f (－b )．因为y ＝f (x )为增函数，所以a <－b ，所以a ＋b <0.7．(2022·张家口检测)已知幂函数f (x )＝mx n ＋k 的图象过点⎝⎛⎭⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝________. 答案 0解析 因为f (x )是幂函数，所以m ＝1，k ＝0，又f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫116，14，所以⎝⎛⎭⎫116n ＝14，解得n ＝12， 所以m －2n ＋3k ＝0.8．(2022·江苏海安高级中学模拟)函数f (x )＝x 2－4x ＋2在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]，则b －a 的取值范围是________．答案 [2,4]解析 解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝2，解得x ＝0或x ＝4，解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝－2，解得x ＝2，由于函数f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]．若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，则[a ，b ]＝[0,2]或[a ，b ]＝[2,4]，此时b －a 取得最小值2；若函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，且当b －a 取最大值时，[a ，b ]＝[0,4]，所以b －a 的最大值为4.所以b －a 的取值范围是[2,4]．9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3，且－1，3是函数f (x )的零点．(1)求f (x )的解析式，并解不等式f (x )≤3；(2)若g (x )＝f (sin x )，求函数g (x )的值域．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋3＝－b －2a ，－1×3＝3a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4， ∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴当－x 2＋2x ＋3≤3时，即x 2－2x ≥0，解得x ≥2或x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)．(2)令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2＋2t ＋3＝－(t －1)2＋4，t ∈[－1,1]，当t ＝－1时，g (t )有最小值0，当t ＝1时，g (t )有最大值4，故g (t )∈[0,4]．所以g (x )的值域为[0,4]．10．(2022·烟台模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[t ，t ＋2](t ∈R )时，求函数f (x )的最小值g (t )(用t 表示)．解 (1)因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2x ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2ax ＋b ＋a ＝2x ＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝2，b ＋a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，a ＝1，b ＝0，因此f (x )＝x 2＋2.(2)因为f (x )＝x 2＋2是图象的对称轴为直线x ＝0，且开口向上的二次函数，当t ≥0时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递增，则f (x )min ＝f (t )＝t 2＋2；当t ＋2≤0，即t ≤－2时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递减，则f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2＋2＝t 2＋4t ＋6；当t <0<t ＋2，即－2<t <0时，f (x )min ＝f (0)＝2，综上g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋2，t ≥0，2，－2<t <0，t 2＋4t ＋6，t ≤－2.11．(2022·福州模拟)已知函数f (x )＝2x 2－mx －3m ，则“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝2－4m <0，f (3)＝18－6m <0， 解得m >3，{m |m >3}是{m |m >2}的真子集，所以“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件．12. 幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b 等于( )A ．0B ．1 C.12D ．2 答案 A解析 由BM ＝MN ＝NA ，点A (1,0)，B (0,1)，∴M ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛⎭⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝132log 3，b ＝231log 3， ∴a －1b ＝132log 3－2311log 3＝0.13．(多选)关于x 的方程(x 2－2x )2－2(2x －x 2)＋k ＝0，下列命题正确的有( )A ．存在实数k ，使得方程无实根B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根D ．存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根答案 AB解析 设t ＝x 2－2x ，方程化为关于t 的二次方程t 2＋2t ＋k ＝0.(*)当k >1时，方程(*)无实根，故原方程无实根；当k ＝1时，可得t ＝－1，则x 2－2x ＝－1，原方程有两个相等的实根x ＝1；当k <1时，方程(*)有两个实根t 1，t 2(t 1<t 2)，由t 1＋t 2＝－2可知，t 1<－1，t 2>－1.因为t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以x 2－2x ＝t 1无实根，x 2－2x ＝t 2有两个不同的实根．综上可知，A ，B 项正确，C ，D 项错误．14．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0()m ∈R 的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．答案 7解析 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2m ，αβ＝2－m ， 且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0，解得m ≤－2或m ≥1，α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14， 且m ≤－2或m ≥1，所以f (m )min ＝f (1)＝7.15．(2022·台州模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，则f (x )的值域是________．答案 [－16，＋∞)解析 因为f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b )＝(x －3)(x ＋1)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)＝f (3)＝0，f (1)＝f (－1)＝0， 代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－3a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3. 所以f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋2x －3)＝(x 2－3)2－4x 2＝x 4－10x 2＋9＝(x 2－5)2－16≥－16.16．已知a ，b 是常数且a ≠0，f (x )＝ax 2＋bx 且f (2)＝0，且使方程f (x )＝x 有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使得f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]? 解 (1)由f (x )＝ax 2＋bx ，且f (2)＝0，则4a ＋2b ＝0，又方程f (x )＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根，得b ＝1，从而a ＝－12， 所以f (x )＝－12x 2＋x . (2)假定存在符合条件的m ，n ，由(1)知f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12， 则有2n ≤12，即n ≤14. 又f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则f (x )在[m ，n ]上单调递增，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m <n ≤14，f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧ m <n ≤14，－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ， 解方程组得m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n ＝0，使函数f (x )在[－2,0]上的值域为[－4,0]．。
浙江专用2021届高考数学一轮复习专题三函数的概念性质与基本初等函数3.2函数的基本性质试题含解析
§3.2 函数的基本性质基础篇固本夯基【基础集训】考点一 函数的单调性及最值1。
下列说法中正确的个数是（ ） ①若对任意x 1,x 2∈I,当x 1〈x 2时,f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0，则y=f(x)在I 上是增函数;②函数y=x 2在R 上是增函数; ③函数y=-1x在定义域上是增函数;④函数y=1x的单调区间是（-∞,0)∪（0，+∞）.A 。
0B 。
1C 。
2 D.3 答案 B2.下列函数在(0，2)上是单调递增函数的是( ） A 。
y=1x -2B.y=lo g 12（2-x ）C.y=(12)x -2 D 。
y=√2-x答案 B3.函数y=lo g 12（-x 2+x+6）的单调增区间为( )A.(12,3) B 。
(-2,12)C.（—2,3） D 。
(12,+∞)答案 A4。
已知函数f （x ）为R 上的增函数,若f(a 2-a)〉f （a+3)，则实数a 的取值范围为 。
答案 （—∞，-1）∪（3，+∞)考点二函数的奇偶性5。
函数f(x)=x｜x｜+px，x∈R，则f（x)（)A。
是偶函数 B。
是奇函数C.既不是奇函数又不是偶函数 D.奇偶性与p有关答案B6。
设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时， f（x）=3x-7x+2b（b为常数）,则f（-2）=（)A。
6B。
-6 C.4D。
-4答案A7。
已知奇函数f(x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，若f(x—1)〉0,则x的取值范围为(）A。
｛x|0<x〈1或x>2} B.{x｜x<0或x>2}C。
{x｜x〈0或x>3}D。
{x|x〈—1或x>1｝答案A考点三函数的周期性8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，并且满足f（x+2）=-,当2≤x≤3时， f（x)=x，则f(105。
5）=(）1f(x)A.-2.5B。
2。
5 C.5。
5D。
—5.5答案B9.奇函数f（x)的定义域为R，若f(x+1）为偶函数,且f(—1)=-1,则f（2 018）+f（2 019)=（）A.—2B。
2024年新高考版数学专题1_3.2 二次函数与幂函数
b 2a
,
4ac 4a
b2
图象关于直线x=- b 对称
2a
考点二 幂函数 1.定义:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 2.几个常用幂函数的图象
3.几个常用幂函数的性质
y=x
y=x2
y=x3
定义域
R
R
R
值域
R
[0,+∞)
R
奇偶性 单调性 定点
奇
偶
奇
y=x
y=x2
y=x3
3
故m的取值范围为
2 3
,1
.
例4 已知f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t. (1)求证:对于任意t∈R,关于x的方程f(x)=1必有实数根;
(2)若方程f(x)=0在区间(-1,0)和
0,
1 2
内各有一个实数根,求实数t的取值范
围.
解析 (1)证明:方程f(x)=1⇒x2+(2t-1)x-2t=0,因为Δ=(2t-1)2+8t=4t2+4t+1=(2 t+1)2≥0,所以方程f(x)=1必有实数根.
例1 (2022广东深圳六校联考二,2)若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2<x <1},则二次函数y=2bx2+4x+a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为
()
A.-1,-7 B.0,-8
C.1,-1 D.1,-7
解析 ∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2<x<1},∴-2,1是关于x的方程ax2 +bx+2=0的两个实数根,且a<0,
高考数学一轮复习幂函数与二次函数
[方法技巧] 求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
[针对训练] 1．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 满足以下条件：图象与 x 轴交于(－2,0)，
(4,0)两点，且过点1，－29，则函数解析式为________． 解析：设函数解析式为 y＝a(x＋2)(x－4)，则－92＝a(1＋2)(1－4)，解 得 a＝21.故所求函数的解析式为 y＝12(x＋2)(x－4)，即 y＝12x2－x－4. 答案：y＝21x2－x－4
单调性 调递增
_(0_，__＋__∞__)_上单调 调递增
∞) 上单 调递增
递增
在(_－__∞__，__0_) 和_(0_，__＋__∞__) 上单调递减
过定点
(0,0)，(1,1)
__(_1_,1_)__
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ，图象的对称轴是 x＝－2ba，顶点 一般式
()
A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0 C．f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0
[解析] (1)因为二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象过点 A(－3,0)，对称轴 为直线 x＝－1，
所以－2ba＝－1， 9a－3b＋c＝0，
解得bc＝＝－2a3，a，
因为二次函数开口方向向下，所以 a< 0，因为二次函数的图象与 x 轴
二、易错易混小题的矫正纠偏
1．(忽视对二次项系数的讨论)若函数 f(x)＝ax2＋2ax＋1 在[－1,2]上有最
大值 4，则 a 的值为
()
A .38 B ．－3 C .38或－3 D .4 解析：由题意得 f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.①当 a＝0 时，函数 f(x)在区间[－
2025届高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第四节二次函数与幂函数
(3)零点式:若函数的两个零点为x1,x2,则y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
常用结论
1.所有幂函数的图象都经过点(1,1),所有幂函数的图象都不经过第四象限.
2.幂函数f(x)=xα,当α>0时f(x)在(0,+∞)上单调递增,当α<0时f(x)在(0,+∞)上
下结论,其中正确的是(
)
A.f(x)在区间[-1,0]上的最小值为1
B.f(x)在区间[-1,2]上既有最小值,又有最大值
C.f(x)在区间[2,3]上的最小值为2,最大值为5
D.f(x)在区间[0,a](a>1)上的最大值为f(a)
答案 BC
解析函数f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图象开口向上,对称轴为直线x=1.在选项
和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的
思想即可完成.
对点训练5已知函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1,+∞),则
小值为(
1 4
+
)
A.-3
B.3
C.-4
D.4
答案 B
解析由题意知a≠0.
因为二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1,+∞),所以a>0,且
A⊆(-∞,-
2
](A⊆[-
2
,+∞)),即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧).
对点训练4已知函数y=ax2+bx-1在(-∞,0]上是单调函数,则y=2ax+b的图象
【配套新教材】专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 第三讲 二次函数与幂函数新高考数学一轮复习
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数第三讲 二次函数与幂函数（一）核心知识整合考点1：二次函数的图像和性质 1. 二次函数的解析式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠.（2）顶点式：若二次函数图像的顶点坐标为(,)h k ，则其解析式为2()()(0)f x a x h k a =-+≠. （3）两根式：若相应的一元二次方程的两根为12,x x ，则其解析式为()()12()(0)f x a x x x x a =--≠.2. 二次函数的图像和性质[典型例题]1.如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点0()3,A -，对称轴为1x =-.给出四个结论:①24b ac >；②20a b +=；③0a b c -+=；④5a b <.其中正确结论是( )A.②④B.①④C.②③D.①③[答案]：B[解析] ①∵二次函数的图象是抛物线,∴与x 轴有两个交点,240b ac ∴->,即24b ac >,正确;②∵抛物线的开口向下,0a ∴<．∵与y 轴的交点在y 轴的正半轴上,0c ∴>．∵对称轴为1,2,24,02bx a b a b a a a=-=-∴=∴+=≠,错误;③1x =-时y 有最大值,由图象可知0y ≠,错误;④把1,3x x ==-代入解析式得0,930a b c a b c ++=-+=,两边相加整理得50a b c -=-<,即5a b <,正确．故选B.2.函数256y x x -+的递增区间为（ ） A. 5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.(),2-∞D.()3,+∞[答案]：D[解析] ∵函数256y x x =-+，∴2560x x -+，解得2x 或3x ，256t x x =-+的减区间是(2]5,-∞,增区间是[5,2)+∞，∴y t 是增函数，∴函数256y x x -+递增区间是[)3,+∞，故选D. 考点2：幂函数 1.幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2.幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，12y x =的图象3.幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，12y x =的性质[典型例题] 1.幂函数122()(21)m f x m m x-=-+,满足(2)(3)f f >,则m 的值为（ ）A. 0B. 2C. 0或2D. 0或1[答案]：A[解析] 由2211m m -+=，解得：0m =或2m =，故()12f x x -=或()12f x x =，若满足()()23f f >，则0m =.故选A.2.已知函数2(),()(2)(),x x a f x f x x a ⎧>=⎨+⎩且(2)4f -=，则实数a 的取值范围为( )A.(,2)-∞B.(0,)+∞C.[0,2)D.[0,)+∞[答案]：C [解析] 242=，(2)(0)(2)f f f ∴-==，则0a 且2a >，∴实数a 的取值范围为[0,2)，故选C.。
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二次函数与幂函数
基础篇
【基础集训】
考点一二次函数的图象与性质
1.若二次函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是单调递增函数,则实数k的取值范围为()
A.[2,+∞)
B.(2,+∞)
C.(-∞,0)
D.(-∞,2)
答案 A
2.已知函数y=2x2-6x+3,x∈[-1,1],则y的最小值是.
答案-1
考点二幂函数
3.函数y=√x2
3的图象大致是()
答案 C
4.函数f(x)=(m2-m-1)·x x2-2x-3是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m的值为
()
A.2
B.3
C.4
D.5
答案 A
5.已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点(1
2,√2
2
),则k+α等于 ()
A.1
2B.1 C.3
2
D.2
答案 C
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一二次函数的图象与性质
1.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的x都有f(x+1)=f(-x),那么()
A.f(-2)<f(0)<f(2)
B.f(0)<f(-2)<f(2)
C.f(2)<f(0)<f(-2)
D.f(0)<f(2)<f(-2)
对称.
答案D由f(1+x)=f(-x)知f(x)的图象关于直线x=1
2
∵f(x)的图象开口向上,∴f(0)<f(2)<f(-2).
方法总结“f(x)=f(2a-x)”等价于“函数f(x)图象的对称轴为直线x=a”.
2.(2018河北衡水武邑中学开学考试,6)若存在非零的实数a,使得f(x)=f(a-x)对定义域上任意的x恒成立,则函数f(x)可能是()
A.f(x)=x2-2x+1
B.f(x)=x2-1
C.f(x)=2x
D.f(x)=2x+1
答案A由存在非零的实数a,使得f(x)=f(a-x)对定义域上任意的x恒成立,可得函数图象≠0,只有f(x)=x2-2x+1满足题意,而f(x)=x2-1;f(x)=2x;f(x)=2x+1都不满的对称轴为x=x
2
足题意,故选A.
(2-m)x2+(n-8)x+1(m>2)在区间3.(2018湖北武汉高中毕业班2月调研,11)如果函数f(x)=1
2
[-2,-1]上单调递减,那么mn的最大值为 ()
A.16
B.18
C.25
D.30
≤-2,8-n≥-2(2-m),n≤12-2m,故nm≤答案B因为m>2,所以抛物线的开口向下,所以8-x
2-x
(12-2m)m=-2m2+12m=-2(m-3)2+18≤18,当且仅当m=3,n=6时等号成立,所以mn的最大值为18.故选B.
方法总结处理多变量函数最值问题的方法有:(1)消元法:把多变量问题转化为单变量问题,消元时可以用等量消元,也可以用不等量消元.(2)基本不等式:即给出的条件是和为定值或积为定值,此时可以利用基本不等式来处理,用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.(3)线性规划:如果题设给出的是二元一次不等式组,而目标函数也是二元一次的,那么我们可以用线性规划来处理.
考点二幂函数
1.(2018安徽巢湖柘皋中学第三次月考,3)已知p:|m+1|<1,q:幂函数y=(m2-m-1)x m在(0,+∞)上单调递减,则p是q的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 答案 B p :由|m +1|<1得-2<m <0,
∵幂函数y =(m 2
-m -1)x m
在(0,+∞)上单调递减, ∴m 2
-m -1=1,且m <0, 解得m =-1,
∴p 是q 的必要不充分条件,故选B .
2.(2018山东济宁微山第二中学第一次月考,10)下列命题正确的是 ( ) A.y =x 0的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1)
C.若幂函数y =x n 是奇函数,则y =x n
是增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限
答案 D 对于A,函数y =x 0
的图象是一条直线除去点(0,1),故A 错误;对于B,幂函数的图象都经过点(1,1),当指数大于0时,都经过点(0,0),当指数小于0时,不经过点(0,0),故B 错误;对于C,若幂函数y =x n
是奇函数,且n >0,y =x n
是定义域上的增函数,n <0,y =x n
在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减函数,故C 错误;由幂函数的性质,幂函数的图象一定过第一象限,不可能出现在第四象限,知D 正确,故选D.
3.(2018宁夏石嘴山三中模拟,6)若函数f (x )是幂函数,且满足x (4)
x (2)
=3,则f (1
2)的值为
( )
A.-3
B.-13
C.3
D.13
答案 D 设f (x )=x α
(α为常数), ∵x (4)
x (2)=3,∴4x
2x =3, ∴α=log 23.
∴f (x )=x log 23.则f (12)=2-log 23=1
3.故选D.
4.(2018陕西西安检测,3)函数y =√x 23
的图象大致是 ( )
答案 C y =√x 23
=x 2
3,其定义域为x ∈R,排除A,B .又0<2
3
<1,图象在第一象限为上凸的,排除
D,故选C .
综合篇 【综合集训】
考法一 求二次函数在闭区间上的最值(值域)
1.(2019广东珠海模拟,6)已知函数y =x 2
-4x +5在闭区间[0,m ]上有最大值5,最小值1,则m 的取值范围是
( )
A.[0,1]
B.[1,2]
C.[0,2]
D.[2,4] 答案 D
2.已知函数f (t )=log 2(2-t )+√x -1的定义域为D. (1)求D ;
(2)若函数g (x )=x 2
+2mx -m 2
在D 上存在最小值2,求实数m 的值. 考法二 一元二次方程根的分布
3.已知一元二次方程x 2
+mx +3=0(m ∈Z)有两个实数根x 1,x 2,且0<x 1<2<x 2<4,则m 的值为
( )
A.-4
B.-5
C.-6
D.-7 答案 A
4.方程x 2
+ax -2=0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围为 ( ) A.(-235,+∞) B.(1,+∞) C.[-235
,1] D.(-∞,-23
5
)
答案 C
5.已知方程x 2
+2(a +2)x +a 2
-1=0.
(1)当该方程有两个负根时,求实数a 的取值范围;
(2)当该方程有一个正根和一个负根时,求实数a 的取值范围.
考法三 幂函数的图象及性质的应用
6.(2020湘赣皖十五校第一次联考(4月))设a =ln 1
2
,b =-5-1
2,c =lo g 13
2,则
( )
A.c <b <a
B.a <c <b
C.c <a <b
D.b <a <c 答案 B
7.若幂函数y =x -1
,y =x m 与y =x n
在第一象限内的图象如图所示,则m 与n 的取值情况为
( )
A.-1<m <0<n <1
B.-1<n <0<m
C.-1<m <0<n
D.-1<n <0<m <1 答案 D
8.已知点(x ,1
2)在幂函数f (x )=(a -1)x b
的图象上,则函数f (x )是 ( )
A.奇函数
B.偶函数
C.定义域内的减函数
D.定义域内的增函数 答案 A
9.幂函数y =x α
,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y =x a
,y =x b
的图象三等分,即有BM =MN =NA ,那么a -1
x =
( )
A.0
B.1
C.1
2 D.2
答案 A。