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高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析

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二次函数考试题目及答案

二次函数考试题目及答案

二次函数考试题目及答案1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且经过点(1,0)和(3,0)，求二次函数的解析式。

答案：由于二次函数的图象开口向上，所以a>0。

又因为函数图象经过点(1,0)和(3,0)，可以设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3)。

将点(2,-4)代入，得到-4=a(2-1)(2-3)，解得a=4。

因此，二次函数的解析式为y=4(x-1)(x-3)。

2. 抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0)，且抛物线的顶点在直线y=-2x上，求抛物线的解析式。

答案：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)。

由于顶点在直线y=-2x上，设顶点坐标为(m,n)，则有n=-2m。

根据抛物线的对称性，顶点的横坐标m=(3-1)/2=1，所以n=-2。

将顶点坐标(1,-2)代入抛物线解析式，得到-2=a(1+1)(1-3)，解得a=1。

因此，抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)。

3. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(0,2)和(2,0)，且对称轴为直线x=1，求二次函数的解析式。

答案：由于二次函数的对称轴为直线x=1，可以设二次函数的解析式为y=a(x-1)^2+k。

将点(0,2)代入，得到2=a(0-1)^2+k，即2=a+k。

又因为函数图象经过点(2,0)，代入得到0=a(2-1)^2+k，即0=a+k。

解得a=-2，k=2。

因此，二次函数的解析式为y=-2(x-1)^2+2。

4. 抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点为A(-2,0)和B(4,0)，且抛物线经过点(1,3)，求抛物线的解析式。

答案：设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)。

将点(1,3)代入，得到3=a(1+2)(1-4)，解得a=-1/3。

因此，抛物线的解析式为y=-1/3(x+2)(x-4)。

5. 二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向下，且经过点(-1,0)和(3,0)，求二次函数的解析式。

二次函数经典测试题及答案解析

二次函数经典测试题及答案解析

二次函数经典测试题及答案解析一、选择题1．如图，ABC ∆为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意．【详解】根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，∴选项B 符合题意，选项A 不合题意．故选B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．0＜t ＜5B ．﹣4≤t ＜5C ．﹣4≤t ＜0D ．t ≥﹣4【答案】B【解析】【分析】先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解；【详解】解：∵对称轴为直线x ＝2，∴b ＝﹣4，∴y ＝x 2﹣4x ，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4，∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5，∴﹣4≤t ＜5；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ）A ．原数与对应新数的差不可能等于零B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为21100m ， 设新数与原数的差为y 则2211100100y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵10100-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，21100m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．故答案选：D ．【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．4．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b+＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝222ax bx +，且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤【答案】D【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】解：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴为x=1，则-2b a=1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值∴+a b ＞2am bm +（故③正确）：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误）由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误）⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0∵1x ≠2x∴a(x 1+x 2)+b=0∴x 1+x 2=2b a a a-=-=2 （故⑤正确） 故选D ．考点：二次函数图像与系数的关系.5．已知抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，若四边形''ABA B 为矩形，则c 的值为（ ）A ．32-B ．3C ．32D ．52【答案】D【解析】【分析】先求出A(2，c-4)，B(0，c)，'(24),'(0)A c B c ---，，，，结合矩形的性质，列出关于c 的方程，即可求解．【详解】∵抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ， ∴A(2，c-4)，B(0，c)，∵将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，∴'(24),'(0)A c B c ---，，，， ∵四边形''ABA B 为矩形，∴''AA BB =，∴[][]2222(2)(4)(4)(2)c c c --+---=，解得：52c =． 故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．6．将抛物线y ＝x 2﹣4x +1向左平移至顶点落在y 轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y ＝﹣3和x 轴围成的图形的面积S （图中阴影部分）是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】【分析】B ，C 分别是顶点，A 是抛物线与x 轴的一个交点，连接OC ，AB ，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO 的面积.【详解】抛物线y ＝x 2﹣4x +1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y 轴上,此时顶点B(0,-3)，点A 是抛物线与x 轴的一个交点，连接OC ，AB ，如图，阴影部分的面积就是ABCO 的面积，S=2×3=6；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键．7．在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点（x 1，m ）、（x 2，m ）、（x 3，m ），则x 1+x 2+x 3的结果是（ ） A ．3122m -+ B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D【解析】【分析】 根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果．【详解】 解：如图，在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点A （x 1，m ）、B （x 2，m ）、C （x 3，m ），∵y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）∴抛物线的对称轴为直线x ＝m+1， ∴232x x +＝m+1， ∴x 2+x 3＝2m+2，∵A（x1，m）在直线y＝﹣12x上，∴m＝﹣12x1，∴x1＝﹣2m，∴x1+x2+x3＝﹣2m+2m+2＝2，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形．8．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A5B 453C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】【详解】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM．∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=12OA=2．由勾股定理得：DE=5．设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．∴BF OF CM AMDE OE DE AE==，，即BF x CM2x2255-==，，解得：()52x5BF?x CM22-==，．∴BF+CM=5．故选A．9．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为()①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n；②c＝a+3；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】试题分析：由抛物线与x 轴有两个交点，可知b 2-4ac ＞0，所以①错误；由抛物线的顶点为D （-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，所以②正确；由抛物线的顶点为D （-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x=2b a=-1，可得b=2a ，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选C ．考点：二次函数的图像与性质10．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】【分析】【详解】 解：∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x ﹣1，和x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a ﹣2b+c ＞0，∴4a+c ＞2b ，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c ＜0，∴2a+2b+2c ＜0，∵b=2a ，∴3b ，2c ＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a ﹣b+c 的值最大，即把（m ，0）（m≠0）代入得：y=am 2+bm+c ＜a ﹣b+c ，∴am 2+bm+b ＜a ，即m （am+b ）+b ＜a ，∴④正确；即正确的有3个，故选B ．考点：二次函数图象与系数的关系11．如图，已知()4,1A --，线段AB 与x 轴平行，且2AB =，抛物线2y x mx n =-++经过点()0,3C 和()3,0D ，若线段AB 以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t （秒）.若抛物线与线段AB 有公共点，则t 的取值范围是（ ）A ．010t ≤≤B ．210t ≤≤C ．28t ≤≤D ．210t <<【答案】B【解析】【分析】 直接利用待定系数法求出二次函数，得出B 点坐标，分别得出当抛物线l 经过点B 时，当抛物线l 经过点A 时，求出y 的值，进而得出t 的取值范围；【详解】解：（1）把点C （0，3）和D （3，0）的坐标代入y=-x 2+mx+n 中，得，23330n m n =⎧⎨-++=⎩解得32n m =⎧⎨=⎩∴抛物线l 解析式为y=-x 2+2x+3，设点B 的坐标为（-2，-1-2t ），点A 的坐标为（-4，-1-2t ），当抛物线l 经过点B 时，有y=-（-2）2+2×（-2）+3=-5，当抛物线l 经过点A 时，有y=-（-4）2+2×（-4）+3=-21，当抛物线l 与线段AB 总有公共点时，有-21≤-1-2t≤-5，解得：2≤t≤10．故应选B【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关于t 的不等式是解题关键．12．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画，下列结论错误的是( )A ．斜坡的坡度为1: 2B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．当小球抛出高度达到7.5m 时，小球距O 点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断A 、C ；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B ；求出当7.5y =时，x 的值，判定D ．【详解】解：214212y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得，1100x y =⎧⎨=⎩，22772x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 72∶7=1∶2，∴A 正确； 小球落地点距O 点水平距离为7米，C 正确；2142y x x =- 21(4)82x =--+， 则抛物线的对称轴为4x =，∴当4x >时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，B 正确，当7.5y =时，217.542x x =-， 整理得28150x x -+=，解得，13x =，25x =，∴当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m 或5m ，D 错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．13．一次函数y=ax+b 与反比例函数y=c x在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据题中给出的函数图像结合一次函数性质得出a ＜0，b ＞0，再由反比例函数图像性质得出c ＜0，从而可判断二次函数图像开口向下，对称轴：2b x a =-＞0，即在y 轴的右边，与y 轴负半轴相交，从而可得答案.【详解】解：∵一次函数y=ax+b 图像过一、二、四，∴a ＜0，b ＞0，又∵反比例 函数y=c x图像经过二、四象限， ∴c ＜0，∴二次函数对称轴：2b x a=-＞0， ∴二次函数y=ax 2+bx+c 图像开口向下，对称轴在y 轴的右边，与y 轴负半轴相交， 故答案为B.【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y 轴的交点坐标等确定出a 、b 、c 的情况是解题的关键．14．已知抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点．下列结论：①4c <；②当1x =时，y 有最小值2c -；③方程22420x x c -+-=有两个不等实根；④若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则52c =；其中正确的结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B【解析】【分析】根据“抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点”即可判断①③；根据抛物线的对称轴为直线x=1即可判断②；根据等腰直角三角形的性质，用c 表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断④．【详解】解：∵抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点，∴2242x x c -+=有两个不相等的实数根，即22420x x c -+-=有两个不相等的实数根，故③正确，∴1642(2)0c ∆=-⨯⨯->，解得：4c <，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上，∴当x=1时，2y c =-为最小值，故②正确；若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则顶点（1，c-2）到直线y=2的距离等于两交点距离的一半，∵顶点（1，c-2）到直线y=2的距离为2-（c-2）=4-c ，∴两交点的横坐标分别为1-（4-c ）=c-3与1+（4-c ）=5-c∴两交点坐标为（c-3,2）与（5-c,2），将（c-3,2）代入224y x x c =-+中得：22(3)4(3)2c c c ---+= 解得：72c =或4c = ∵4c <，∴72c =，故④错误， ∴正确的有①②③，故选：B ．【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系．15．已知二次函数2()y x h =-- (h 为常数),当自变量x 的值满足25x ≤≤时,与其对应的函数值y 的最大值为-1,则h 的值为( )A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或6【答案】B【解析】分析：分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况考虑：当h ＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h ＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．详解：如图，当h ＜2时，有-（2-h ）2=-1，解得：h 1=1，h 2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=-（x-h ）2的最大值为0，不符合题意；当h ＞5时，有-（5-h ）2=-1，解得：h 3=4（舍去），h 4=6．综上所述：h 的值为1或6．故选B ．点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况求出h 值是解题的关键．16．如图1，△ABC 中，∠A ＝30°，点P 从点A 出发以2cm /s 的速度沿折线A →C →B 运动，点Q 从点A 出发以vcm /s 的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x （s ），△APQ 的面积为y （cm 2），y 关于x 的函数图象由C 1，C 2两段组成，如图2所示，有下列结论：①v ＝1；②sin B ＝13；③图象C 2段的函数表达式为y＝﹣13x2+103x；④△APQ面积的最大值为8，其中正确有（）A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】A【解析】【分析】①根据题意列出y＝12AP•AQ•sin A，即可解答②根据图像可知PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，再代入即可③把sin B＝13，代入解析式即可④根据题意可知当x＝﹣522ba时，y最大＝2512【详解】①当点P在AC上运动时，y＝12AP•AQ•sin A＝12×2x•vx＝vx2，当x＝1，y＝12时，得v＝1，故此选项正确；②由图象可知，PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，当P在BC上时y＝12•x•（10﹣2x）•sin B，当x＝4，y＝43时，代入解得sin B＝13，故此选项正确；③∵sin B＝13，∴当P在BC上时y＝12•x（10﹣2x）×13＝﹣13x2+53x，∴图象C2段的函数表达式为y＝﹣13x2+53x，故此选项不正确；④∵y＝﹣13x2+53x，∴当x＝﹣522ba时，y最大＝2512，故此选项不正确；故选A．【点睛】此题考查了二次函数的运用，解题关键在于看图理解17．下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝2ax+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的大致图象．正确的（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而得到结论．【详解】令ax2+（a+c）x+c=ax+c，解得，x1=0，x2=-ca，∴二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的交点为（0，c），（−ca，0），选项A中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，故选项A不符题意，选项B中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B不符题意，选项C中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项D符合题意，选项D中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，故选项C不符题意，故选：D．【点睛】考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC的中点时，PQ的长为（）A．2 B．4 C．3D．3【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为33x＝2，y＝3P、Q运动的速度，即可求解．【详解】解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC3a，设P、Q同时到达的时间为T，则点P的速度为3aT，点Q的速度为3aT，故点P、Q的速度比为33故设点P、Q的速度分别为：3v3，由图2知，当x＝2时，y＝3P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝3＝3，y＝12⨯AB×BQ＝12⨯6v3v＝3v＝1，故点P、Q的速度分别为：33AB＝6v＝6＝a，则AC＝12，BC＝3如图当点P在AC的中点时，PC＝6，此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ3＝3CQ＝BC﹣BQ＝33＝3，过点P作PH⊥BC于点H，PC ＝6，则PH ＝PC sin C ＝6×12＝3，同理CH ＝3，则HQ ＝CH ﹣CQ ＝333，PQ 22PH HQ +39+3，故选：C ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．19．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()1,2，将抛物线21322y x x =-+沿坐标轴平移一次，使其经过点P ，则平移的最短距离为（ ）A ．12B ．1C ．5D ．52【答案】B【解析】【分析】先求出平移后P 点对应点的坐标，求出平移距离，即可得出选项．【详解】 解：21322y x x =-+=()215322x --， 当沿水平方向平移时，纵坐标和P 的纵坐标相同，把y=2代入得：解得：x=0或6，平移的最短距离为1-0=1；当沿竖直方向平移时，横坐标和P 的横坐标相同，把x=1代入得：解得：y=12-， 平移的最短距离为152=22⎛⎫--⎪⎝⎭， 即平移的最短距离是1，故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能求出平移后对应的点的坐标是解此题的关键．20．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；根据二次函数的对称轴在y 左侧，a ，b 同号，对称轴在y 轴右侧a ，b 异号，以及当a 大于0时开口向上，当a 小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y 轴于正半轴，常数项为负，交y 轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．【详解】解：由方程组2y ax bx y bx a⎧=+⎨=-⎩得ax 2＝−a ， ∵a ≠0∴x 2＝−1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B ．A ：二次函数开口向上，说明a ＞0，对称轴在y 轴右侧，则b ＜0；但是一次函数b 为一次项系数，图象显示从左向右上升，b ＞0，两者矛盾，故A 错；C ：二次函数开口向上，说明a ＞0，对称轴在y 轴右侧，则b ＜0；b 为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b ＜0，两者相符，故C 正确；D ：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D 错．故选C ．【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．。

二次函数测试题及答案

二次函数测试题及答案

二次函数测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = 2x + 1B. y = x^2 + 3x + 2C. y = 3x^3 - 5D. y = 4/x答案：B2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为（h, k），那么h的值为：A. -b/2aB. -b/aC. b/2aD. b/a答案：C3. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的对称轴方程是：A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -2答案：A4. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，那么a的值：A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 可以是任意实数答案：A5. 二次函数y = -x^2 + 4x - 3的顶点坐标是：A. (1, 2)B. (2, 1)C. (3, 0)D. (3, 4)答案：C6. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 5的图象与x轴的交点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C7. 二次函数y = x^2 - 4x + 4的最小值是：A. 0B. 4C. -4D. 1答案：A8. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的图象开口方向是：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案：A9. 二次函数y = -x^2 + 2x + 3的图象与y轴的交点坐标是：A. (0, 3)B. (0, -3)C. (0, 5)D. (0, -5)答案：A10. 二次函数y = 5x^2 - 10x + 8的图象与x轴的交点坐标是：A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (1, 0)D. (-1, 0)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且经过点（2, 0），则a的值至少为______。

答案：02. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的顶点坐标是（______, ______）。

高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析

高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析

高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.已知函数．（1）设，，求的单调区间；（2）若对任意，，试比较与的大小．【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；（2）．【解析】（1）根据题意，可以考虑利用导数来研究的单调性，当，时：，从而可得当时，，单调递减当时，，单调递增，因此单调递减区间是，单调递增区间是；（2）由条件可知为极小值点，从而有，，即，接下来考虑用作差法比较与的大小关系，，因此构造函数，通过导数研究的单调性，从而判断的取值情况：，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，即，故．试题解析：（1）由，，得， 2分∵，，∴， 3分令，得，当时，，单调递减， 4分当时，，单调递增，∴单调递减区间是，单调递增区间是； 6分（2）由题意可知，在处取得最小值，即是的极值点，∴，∴，即， 8分令，则，令，得， 10分当时，，单调递增，当时，，单调递减， 12分∴，∴，即，故． 14分．【考点】1．利用导数研究函数的单调性；2．函数与不等式综合．2.已知lgx＋lgy＝2 lg(2x－3y)，求的值．【答案】2【解析】解：依题意可得：lg(xy)＝lg(2x－3y)2，即xy＝(2x－3y)2，整理得：4()2－13()＋9＝0，解得：＝1或＝，∵x>0，y>0,2x－3y>0，∴＝，∴＝2.3.（2013•重庆）关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：x2﹣x1=15，则a=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），所以x1+x2=2a…①，x1•x2=﹣8a2…②，又x2﹣x1=15…③，①2﹣4×②可得（x2﹣x1）2=36a2，代入③可得，152=36a2，解得a==，因为a＞0，所以a=．故选A．4.若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，，解得．【考点】二次函数的图象和性质.5.椭圆c：（a>b>0）的离心率为，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1，（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，点P是直线x=1上的动点，直线PA与椭圆的另一个交点为M，直线PB与椭圆的另一个交点为N，求证：直线MN经过一定点.【答案】（1）；（2）证明详见解析【解析】（1）由已知可得，＝１，解出a，b即可.（2）设Ｐ（１，ｔ）,则直线，联立直线PA方程和椭圆方程可得，同理得到，由椭圆的对称性可知这样的定点在轴，不妨设这个定点为Ｑ，由，求得m的存在即可.试题解析：（1）依题意过焦点Ｆ与长轴垂直的直线ｘ＝ｃ与椭圆联立解答弦长为＝１， 2分所以椭圆的方程. 4分（2）设Ｐ（１，ｔ），直线，联立得：即，可知所以，则 6分同理得到 8分由椭圆的对称性可知这样的定点在轴，不妨设这个定点为Ｑ， 10分又，，，，. 12分【考点】1.椭圆方程的性质；2.点共线的证法.6.已知是虚数单位，以下同)是关于的实系数一元二次方程的一个根，则实数，．【答案】【解析】由题意是方程的另一根，因此，，．【考点】实系数二次方程的复数根．7.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数f(x)的解析式．【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7【解析】(解法1：利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，解得∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.(解法2：利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n，∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝，即m＝；又根据题意，函数最大值ymax＝8，∴n＝8，∴f(x)＝a2＋8.∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4.∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.(解法3：利用两根式)由题意知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即＝8，解得a＝－4或a＝0(舍)，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2－(－4)x－2×(－4)－1＝－4x2＋4x＋78.设a＞0，a≠1，函数f(x)＝ax2＋x＋1有最大值，则不等式log(x－1)＞0的解集为________．a【答案】(1,2)【解析】因为x2＋x＋1有最小值，函数f(x)＝ax2＋x＋1有最大值，所以0＜a＜1，所以log(x－a 1⇔0＜x－1＜1，解得1＜x＜2.1)＞0＝loga9.设二次函数的图象在点的切线方程为，若则下面说法正确的有： .①存在相异的实数使成立；②在处取得极小值；③在处取得极大值；④不等式的解集非空;④直线一定为函数图像的对称轴.【答案】①④⑤【解析】设，则，所以在点处的切线方程为，即，所以，这是二次函数，则①正确；当的正负不确定，故不能确定其为极大值还是极小值，所以②③不正确；而当时，，所以其解集非空，④正确；易知一定是图像的对称轴.故①④⑤正确.【考点】1.二次函数的性质；2.函数的切线方程求解.10.函数在同一直角坐标系中的图像可能是（）【答案】D【解析】，∴或，∴由图像可知，即，∴是减函数，∴A错，B错；C中，由图像可知，即，∴是增函数；D中，，即，∴是减函数，∴D正确；∴综上可知：D正确.【考点】二次函数和对数函数的图像.11.定义：如果函数在区间上存在，满足，则称是函数在区间上的一个均值点。

中学一次函数与二次函数答案解析

中学一次函数与二次函数答案解析

中考数学试题分类（3）——一次函数与二次函数参考答案与试题解析一．一次函数的图象（共2小题）1．【解答】解：由题意知，k ＝2＞0，b ＝﹣1＜0时，函数图象经过一、三、四象限．故选：B ．2．【解答】解：A 、由图可知：直线y 1＝ax +b ，a ＞0，b ＞0．∴直线y 2＝bx +a 经过一、二、三象限，故A 正确； B 、由图可知：直线y 1＝ax +b ，a ＜0，b ＞0．∴直线y 2＝bx +a 经过一、四、三象限，故B 错误； C 、由图可知：直线y 1＝ax +b ，a ＜0，b ＞0．∴直线y 2＝bx +a 经过一、二、四象限，交点不对，故C 错误； D 、由图可知：直线y 1＝ax +b ，a ＜0，b ＜0，∴直线y 2＝bx +a 经过二、三、四象限，故D 错误．故选：A ．二．一次函数的性质（共1小题）3．【解答】解：设该函数的解析式为y ＝kx +b ，∵函数满足当自变量x ＝1时，函数值y ＝0，当自变量x ＝0时，函数值y ＝1，∴{k +k =0k =1 解得：{k =−1k =1， 所以函数的解析式为y ＝﹣x +1，故答案为：y ＝﹣x +1（答案不唯一）．三．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题）4．【解答】解：∵函数y ＝ax +a （a ≠0）的图象过点P （1，2），∴y ＝x +1，∴直线交y 轴的正半轴于点（0，1），且过点（1，2），故选：A ．5．【解答】解：∵直线y ＝2x +2和直线y =23x +2分别交x 轴于点A 和点B ． ∴A （﹣1，0），B （﹣3，0）A 、y ＝x +2与x 轴的交点为（﹣2，0）；故直线y ＝x +2与x 轴的交点在线段AB 上；B 、y =√2x +2与x 轴的交点为（−√2，0）；故直线y =√2x +2与x 轴的交点在线段AB 上；C 、y ＝4x +2与x 轴的交点为（−12，0）；故直线y ＝4x +2与x 轴的交点不在线段AB 上；D 、y =2√33x +2与x 轴的交点为（−√3，0）；故直线y =2√33x +2与x 轴的交点在线段AB 上；故选：C ．6．【解答】解：设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y ＝kx +b ， ∴{4=k +k 7=2k +k ∴{k =3k =1， ∴y ＝3x +1，将点（a ，10）代入解析式，则a ＝3；故选：C ．四．一次函数的应用（共10小题）7．【解答】解：令150t ＝240（t ﹣12），解得，t ＝32，则150t ＝150×32＝4800，∴点P 的坐标为（32，4800），故答案为：（32，4800）．8．【解答】解：（1）设函数表达式为y ＝kx +b （k ≠0）， 把（1.6，0），（2.6，80）代入y ＝kx +b ，得{0=1.6k +k 80=2.6k +k ， 解得：{k =80k =−128， ∴y 关于x 的函数表达式为y ＝80x ﹣128；由图可知200﹣80＝120（千米），120÷80＝1.5（小时），1.6+1.5＝3.1（小时），∴x 的取值范围是1.6≤x ≤3.1．∴货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y 关于x 的函数表达式为y ＝80x ﹣128（1.6≤x ≤3.1）；（2）当y ＝200﹣80＝120时，120＝80x ﹣128，解得x ＝3.1，由图可知，甲的速度为801.6=50（千米/小时），货车甲正常到达B 地的时间为200÷50＝4（小时），18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），设货车乙返回B 地的车速为v 千米/小时，∴1.6v ≥120，解得v ≥75．答：货车乙返回B 地的车速至少为75千米/小时．9．【解答】解：（1）C 点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23h ．∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长＝23﹣（420÷20）＝23﹣21＝2（h ）．（2）①280÷20＝14h ，∴点A （14，280），点B （16，280），∵36÷60＝0.6（h ），23﹣0.6＝22.4，设BC 的解析式为s ＝20t +b ，把B （16，280）代入s ＝20t +b ，可得b ＝﹣40，∴s ＝20t ﹣40（16≤t ≤23），同理由D （14，0），E （22.4，420）可得DE 的解析式为s ＝50t ﹣700（14≤t ≤22.4），由题意：20t ﹣40＝50t ﹣700，解得t ＝22，∵22﹣14＝8（h ），∴货轮出发后8小时追上游轮．①相遇之前相距12km 时，20t ﹣40﹣（50t ﹣700）＝12，解得t ＝21.6．相遇之后相距12km 时，50t ﹣700﹣（20t ﹣40）＝12，解得t ＝22.4，当游轮在刚离开杭州12km 时，此时根据图象可知货轮就在杭州，游轮距离杭州12km ，所以此时两船应该也是想距12km ，即在0.6h 的时候，两船也相距12km∴0.6h 或21.6h 或22.4h 时游轮与货轮相距12km ．10．【解答】解：（1）观察图象可知：x ＝7，y ＝2.75这组数据错误．（2）设y ＝kx +b ，把x ＝1，y ＝0.75，x ＝2，y ＝1代入可得{k +k =0.752k +k =1， 解得{k =14k =12， ∴y =14x +12， 当x ＝16时，y ＝4.5，答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤．11．【解答】解：（1）由题意得，高度增加2百米，则气温降低2×0.6＝1.2（℃），∴13.2﹣1.2＝12（℃），∴高度为5百米时的气温大约是12℃；（2）设T 关于h 的函数表达式为T ＝kh +b ，则：{3k +k =13.25k +k =12， 解得{k =−0.6k =15， ∴T 关于h 的函数表达式为T ＝﹣0.6h +15（h ＞0）；（3）当T ＝6时，6＝﹣0.6h +15，解得h ＝15．∴该山峰的高度大约为15百米，即1500米．12．【解答】解：（1）设3月份购进x 件T 恤衫，18000k +10=390002k ，解得，x ＝150，经检验，x ＝150是原分式方程的解，则2x ＝300，答：4月份进了这批T 恤衫300件；（2）①每件T 恤衫的进价为：39000÷300＝130（元），（180﹣130）a +（180×0.8﹣130）（150﹣a ）＝（180﹣130）a +（180×0.9﹣130）b +（180×0.7﹣130）（150﹣a ﹣b ）化简，得b =150−k 2； ①设乙店的利润为w 元，w ＝（180﹣130）a +（180×0.9﹣130）b +（180×0.7﹣130）（150﹣a ﹣b ）＝54a +36b ﹣600＝54a +36×150−k 2−600＝36a +2100， ∵乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量， ∴a ≤b ， 即a ≤150−k 2， 解得，a ≤50，∴当a ＝50时，w 取得最大值，此时w ＝3900，答：乙店利润的最大值是3900元．13．【解答】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：15060−35=6千米；（2）设y ＝kx +b （k ≠0），把点（150，35），（200，10）代入，得{150k +k =35200k +k =10， ∴{k =−0.5k =110， ∴y ＝﹣0.5x +110，当x ＝180时，y ＝﹣0.5×180+110＝20，答：当150≤x ≤200时，函数表达式为y ＝﹣0.5x +110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．14．【解答】解：（1）设y 关于x 的函数解析式是y ＝kx +b ，{k =615k +k =3，解得，{k =−15k =6， 即y 关于x 的函数解析式是y =−15x +6；（2）当h ＝0时，0=−310x +6，得x ＝20，当y ＝0时，0=−15x +6，得x ＝30， ∵20＜30，∴甲先到达地面．15．【解答】解：（1）由题意得，可设函数表达式为：y ＝kx +b （k ≠0）， 把（20，0），（38，2700）代入y ＝kx +b ，得{0=20k +k 2700=38k +k ，解得{k =150k =−3000， ∴第一班车离入口处的路程y （米）与时间x （分）的函数表达为y ＝150x ﹣3000（20≤x ≤38）；（2）把y ＝1500代入y ＝150x ﹣3000，解得x ＝30，30﹣20＝10（分），∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟；（3）设小聪坐上了第n 班车，则30﹣25+10（n ﹣1）≥40，解得n ≥4.5，∴小聪坐上了第5班车，等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1200÷150＝8（分），步行所需时间：1200÷（1500÷25）＝20（分），20﹣（8+5）＝7（分），∴比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟．16．【解答】解：（1）由图可得，甲步行的速度为：2400÷30＝80（米/分），乙出发时甲离开小区的路程是10×80＝800（米），答：甲步行的速度是80米/分，乙出发时甲离开小区的路程是800米；（2）设直线OA的解析式为y＝kx，30k＝2400，得k＝80，∴直线OA的解析式为y＝80x，当x＝18时，y＝80×18＝1440，则乙骑自行车的速度为：1440÷（18﹣10）＝180（米/分），∵乙骑自行车的时间为：25﹣10＝15（分钟），∴乙骑自行车的路程为：180×15＝2700（米），当x＝25时，甲走过的路程为：80×25＝2000（米），∴乙到达还车点时，甲乙两人之间的距离为：2700﹣2000＝700（米），答：乙骑自行车的速度是180米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是700米；（3）乙步行的速度为：80﹣5＝75（米/分），乙到达学校用的时间为：25+（2700﹣2400）÷75＝29（分），当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如右图所示．五．一次函数综合题（共2小题）17．【解答】解：（1）令y＝0，则−12x+4＝0，∴x＝8，∴B（8，0），∵C（0，4），∴OC＝4，OB＝8，在Rt△BOC中，BC=√82+42=4√5，又∵E为BC中点，∴OE=12BC＝2√5；（2）如图1，作EM⊥OC于M，则EM∥CD，∵E 是BC 的中点∴M 是OC 的中点∴EM =12OB ＝4，OE =12BC ＝2√5∵∠CDN ＝∠NEM ，∠CND ＝∠MNE ∴△CDN ∽△MEN ， ∴kk kk =kk kk =1，∴CN ＝MN ＝1，∴EN =√12+42=√17，∵S △ONE =12EN •OF =12ON •EM ，∴OF =√17=1217√17， 由勾股定理得：EF =√kk 2−kk 2=(2√5)2−(12√1717)2=1417√17，∴tan ∠EOF =kk kk =14√171712√1717=76， ∴kk =17×76=16， ∵n =−12m +4， ∴m ＝6，n ＝1，∴Q 2（6，1）；（3）①∵动点P 、Q 同时作匀速直线运动，∴s 关于t 成一次函数关系，设s ＝kt +b ，∵当点P 运动到AO 中点时，点Q 恰好与点C 重合，∴t ＝2时，CD ＝4，DQ 3＝2， ∴s ＝Q 3C =√22+42=2√5，∵Q 3（﹣4，6），Q 2（6，1），∴t ＝4时，s =√(6+4)2+(6−1)2=5√5，将{k =2k =2√5和{k =4k =5√5代入得{2k +k =2√54k +k =5√5，解得：{k =32√5k =−√5， ∴s =3√52k −√5，∵s ≥0，t ≥0，且32√5＞0， ∴s 随t 的增大而增大， 当s ≥0时，3√52k −√5≥0，即t ≥23，当t =23时，Q 3与Q 重合，∵点Q 在线段Q 2Q 3上，综上，s 关于t 的函数表达式为：s =3√52k −√5（23≤t ≤4）； ①（i ）当PQ ∥OE 时，如图2，∠QPB ＝∠EOB ＝∠OBE ， 作QH ⊥x 轴于点H ，则PH ＝BH =12PB ， Rt △ABQ 3中，AQ 3＝6，AB ＝4+8＝12，∴BQ 3=√62+122=6√5，∵BQ ＝6√5−s ＝6√5−3√52t +√5=7√5−3√52t ，∵cos ∠QBH =kk kk 3=kk kk =6√5=25√5，∴BH ＝14﹣3t ，∴PB ＝28﹣6t ， ∴t +28﹣6t ＝12，t =165；（ii ）当PQ ∥OF 时，如图3，过点Q 作QG ⊥AQ 3于点G ，过点P 作PH ⊥GQ 于点H ，由△Q 3QG ∽△CBO 得：Q 3G ：QG ：Q 3Q ＝1：2：√5，∵Q 3Q ＝s =3√52t −√5，∴Q 3G =32t ﹣1，GQ ＝3t ﹣2， ∴PH ＝AG ＝AQ 3﹣Q 3G ＝6﹣（32t ﹣1）＝7−32t ，∴QH ＝QG ﹣AP ＝3t ﹣2﹣t ＝2t ﹣2，∵∠HPQ ＝∠CDN ，∴tan ∠HPQ ＝tan ∠CDN =14，∴2t ﹣2=14(7−32k )，t =3019， （iii ）由图形可知PQ 不可能与EF 平行，综上，当PQ 与△OEF 的一边平行时，AP 的长为165或3019． 18．【解答】解：（1）x =13（﹣1+7）＝2，y =13（5+7）＝4， 故点C 是点A 、B 的融合点；（2）①由题意得：x=13（t+3），y=13（2t+3），则t＝3x﹣3，则y=13（6x﹣6+3）＝2x﹣1；①当∠DHT＝90°时，如图1所示，点E（t，2t+3），则T（t，2t﹣1），则点D（3，0），由点T是点D，E的融合点得：t=k+33，2t﹣1=2k+3 3，解得：t=32，即点E（32，6）；当∠TDH＝90°时，如图2所示，则点T（3，5），由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；当∠HTD＝90°时，如图3所示，过点T作x轴的平行线交过点D与y轴平行的直线于点M，交过点E与y轴的平行线于点N，则∠MDT＝∠NTE，则tan∠MDT＝tan∠NTE，D （3，0），点E （t ，2t +3），则点T （k +33，2k +33）则MT ＝3−k +33=6−k 3，MD =2k +33，NE =2k +33−2t ﹣3=−2(2k +3)3，NT =k +33−t =3−2k 3， 由tan ∠MDT ＝tan ∠NTE得：6−k 32k +33=2(2k +3)33−2k 3， 解得：方程无解，故∠HTD 不可能为90°． 故点E （32，6）或（6，15）． 六．反比例函数的性质（共1小题）19．【解答】解：（1）∵k ＞0，2≤x ≤3，∴y 1随x 的增大而减小，y 2随x 的增大而增大，∴当x ＝2时，y 1最大值为k 2=k ，①； 当x ＝2时，y 2最小值为−k 2=a ﹣4，①； 由①，①得：a ＝2，k ＝4；（2）圆圆的说法不正确，理由如下：设m ＝m 0，且﹣1＜m 0＜0，则m 0＜0，m 0+1＞0， ∴当x ＝m 0时，p ＝y 1=k k 0＜0， 当x ＝m 0+1时，q ＝y 1=k k 0+1＞0， ∴p ＜0＜q ，∴圆圆的说法不正确．七．反比例函数系数k 的几何意义（共3小题）20．【解答】解：∵CD ＝DE ＝OE ，∴可以假设CD ＝DE ＝OE ＝a ，则P （k 3k ，3a ），Q （k 2k ，2a ），R （k k ，a ）， ∴CP =k 3k ，DQ =k 2k ，ER =k k ，∴OG ＝AG ，OF ＝2FG ，OF =23GA ， ∴S 1=23S 3＝2S 2， ∵S 1+S 3＝27，∴S 3=815，S 1=545，S 2=275， 故答案为275．21．【解答】解：连接OD ，过C 作CE ∥AB ，交x 轴于E ， ∵∠ABO ＝90°，反比例函数y =k k （x ＞0）的图象经过OA 的中点C ，∴S △COE ＝S △BOD =12k ，S △ACD ＝S △OCD ＝2，∵CE ∥AB ，∴△OCE ∽△OAB ，∴k △kkkk △kkk =14， ∴4S △OCE ＝S △OAB ， ∴4×12k ＝2+2+12k ，∴k =83， 故答案为：83．22．【解答】解：连接OC ，BD ，∵将△AOD 沿y 轴翻折，使点A 落在x 轴上的点E 处，∴OA ＝OE ，∵点B 恰好为OE 的中点，∴OE ＝2OB ，∴OA ＝2OB ，设OB ＝BE ＝x ，则OA ＝2x ，∴AB ＝3x ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝3x ，∵CD ∥AB ，∴△CDF ∽△BEF ，∴kk kk =kk kk =k 3k =13， ∵S △BEF ＝1，∴S △BDF ＝3，S △CDF ＝9，∴S △BCD ＝12，∴S △CDO ＝S △BDC ＝12，∴k 的值＝2S △CDO ＝24．八．反比例函数图象上点的坐标特征（共3小题）23．【解答】解：∵k ＞0，∴函数y =k k （k ＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y 随x 的增大而减小， ∵﹣2＜0＜2＜3，∴b ＞c ＞0，a ＜0，∴a ＜c ＜b ．故选：C ．24．【解答】解：过点M 作MN ⊥AD ，垂足为N ，则MN ＝CD ＝3， 在Rt △FMN 中，∠MFN ＝30°，∴FN =√3MN ＝3√3，∴AN ＝MB ＝8√3−3√3=5√3，设OA ＝x ，则OB ＝x +3，∴F （x ，8√3），M （x +3，5√3），又∵点F 、M 都在反比例函数的图象上，∴8√3x ＝（x +3）×5√3，解得，x ＝5，∴F （5，8√3），∴k ＝5×8√3=40√3．故答案为：40√3．25．【解答】解：∵D （5，3），∴A （k 3，3），C （5，k 5），∴B （k 3，k 5），设直线BD 的解析式为y ＝mx +n ，把D （5，3），B （k 3，k 5）代入得{5k +k =3k 3k +k =k 5，解得{k =35k =0， ∴直线BD 的解析式为y =35x ． 故答案为y =35x ． 九．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）26．【解答】解：（1）过点A 作AC ⊥OB 于点C ，∵△OAB 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°，OC =12OB ，∵B （4，0），∴OB ＝OA ＝4，∴OC ＝2，AC ＝2√3． 把点A （2，2√3）代入y =k k ，得k ＝4√3．∴反比例函数的解析式为y =4√3k ；（2）分两种情况讨论：①点D 是A ′B ′的中点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ．由题意得A ′B ′＝4，∠A ′B ′E ＝60°，在Rt △DEB ′中，B ′D ＝2，DE =√3，B ′E ＝1．∴O ′E ＝3，把y =√3代入y =4√3k ，得x ＝4，∴OE ＝4，∴a ＝OO ′＝1；①如图3，点F 是A ′O ′的中点，过点F 作FH ⊥x 轴于点H ．由题意得A ′O ′＝4，∠A ′O ′B ′＝60°，在Rt △FO ′H 中，FH =√3，O ′H ＝1．把y =√3代入y =4√3k，得x ＝4， ∴OH ＝4，∴a ＝OO ′＝3，综上所述，a 的值为1或3．一十．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）27．【解答】解：如图，连接AC ，OE ，OC ，OB ，延长AB 交DC 的延长线于T ，设AB 交x 轴于K ．由题意A ，D 关于原点对称，∴A ，D 的纵坐标的绝对值相等，∵AE ∥CD ，∴E ，C 的纵坐标的绝对值相等，∵E ，C 在反比例函数y =k k的图象上， ∴E ，C 关于原点对称，∴E ，O ，C 共线，∵OE ＝OC ，OA ＝OD ，∴四边形ACDE 是平行四边形，∴S △ADE ＝S △ADC ＝S 五边形ABCDE ﹣S 四边形ABCD ＝56﹣32＝24，∴S △AOE ＝S △DEO ＝12，∴12a −12b ＝12， ∴a ﹣b ＝24，∵S △AOC ＝S △AOB ＝12，∴BC ∥AD ，∴kk kk =kk kk ，∵S △ACB ＝32﹣24＝8，∴S △ADC ：S △ABC ＝24：8＝3：1，∴BC ：AD ＝1：3，∴TB ：TA ＝1：3，设BT ＝m ，则AT ＝3m ，AK ＝TK ＝1.5m ，BK ＝0.5m ，∴AK ：BK ＝3：1，∴k △kkk k △kkk =12k −12k =3， ∴k k =−3，即k k =−13， 故答案为24，−13． 28．【解答】解：连接OE ，CE ，过点A 作AF ⊥x 轴，过点D 作DH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥AF ， ∵过原点的直线与反比例函数y =k k （k ＞0）的图象交于A ，B 两点， ∴A 与B 关于原点对称，∴O 是AB 的中点，∵BE ⊥AE ，∴OE ＝OA ，∴∠OAE ＝∠AEO ，∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAE ＝∠AEO ，∴AD ∥OE ，∴S △ACE ＝S △AOC ，∵AC ＝3DC ，△ADE 的面积为8，∴S △ACE ＝S △AOC ＝12，设点A （m ，k k ），∵AC ＝3DC ，DH ∥AF ，∴3DH ＝AF ，∴D （3m ，k 3k ），∵CH ∥GD ，AG ∥DH ，∴△DHC ∽△AGD ，∴S △HDC =14S △ADG ，∵S △AOC ＝S △AOF +S梯形AFHD +S △HDC =12k +12×（DH +AF ）×FH +S △HDC =12k +12×4k 3k ×2m +12×14×2k 3k ×2k =12k +4k 3+k 6=12，∴2k ＝12，∴k ＝6；故答案为6；（另解）连结OE ，由题意可知OE ∥AC ，∴S △OAD ＝S △EAD ＝8，易知△OAD 的面积＝梯形AFHD 的面积，设A 的纵坐标为3a ，则D 的纵坐标为a ，∴（3a +a ）（k k −k 3k ）＝16，解得k ＝6．29．【解答】解：令x ＝0，得y =12x ﹣1＝﹣1， ∴B （0，﹣1），∴OB ＝1，把y =12x ﹣1代入y 2=2k k （x ＜0）中得，12x ﹣1=2k k （x ＜0）， 解得，x ＝1−√4k +1，∴k k =1−√4k +1， ∴k △kkk =12kk ⋅|k k |=12√4k +1−12， ∵CE ⊥x 轴， ∴k △kkk =12k ，∵△COE 的面积与△DOB 的面积相等，∴12√4k +1−12=12k ， ∴k ＝2，或k ＝0（舍去）．经检验，k ＝2是原方程的解．故答案为：2．一十一．反比例函数的应用（共3小题）30．【解答】解：由表格中数据可得：xy ＝100，故y 关于x 的函数表达式为：y =100k ． 故选：A ．31．【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为：y =k k （k ≠0，x ＞0），把（3，400）代入y =k k 得，400=k 3，解得：k ＝1200，∴y 与x 之间的函数关系式为y =1200k （x ＞0）；（2）把x ＝6，8，10分别代入y =1200k 得，y 1=12006=200，y 2=12008=150，y 3=120010=120，∵y 1﹣y 2＝200﹣150＝50，y 2﹣y 3＝150﹣120＝30，∵50＞30，∴y 1﹣y 2＞y 2﹣y 3，故答案为：＞．32．【解答】解：（1）∵vt ＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时， ∴v 关于t 的函数表达式为：v =480k ，（t ≥4）．（2）①8点至12点48分时间长为245小时，8点至14点时间长为6小时将t＝6代入v=480k得v＝80；将t=245代入v=480k得v＝100．∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．①方方不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：8点至11点30分时间长为72小时，将t=72代入v=480k得v=9607＞120千米/小时，超速了．故方方不能在当天11点30分前到达B地．。

一次函数与二次函数综合题

一次函数与二次函数综合题

一次函数与二次函数综合题1. 一次函数与二次函数的定义和特点：一次函数是指形如y = ax + b的函数，其中a和b是常数，a不等于0。

一次函数的图像是一条直线，具有恒定的斜率。

二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是常数，a不等于0。

二次函数的图像是一个抛物线，具有顶点和对称轴。

2. 一次函数与二次函数的图像和图像性质：一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点确定。

一次函数的图像是线性的，斜率代表了直线的倾斜程度，截距代表了直线与y轴的交点。

二次函数的图像是一个抛物线，可以通过顶点和对称轴确定。

二次函数的图像的开口方向由二次项的系数a的正负决定，开口向上为正，开口向下为负。

3. 一次函数与二次函数的解和零点：一次函数的解是指使得函数等于零的x值，即解方程ax + b = 0。

一次函数的解只有一个，可以通过解方程求得。

二次函数的解是指使得函数等于零的x值，即解方程ax^2 + bx + c = 0。

二次函数的解可能有两个，可以通过求根公式或配方法求得。

4. 一次函数与二次函数的最值：一次函数没有最值，因为直线是无限延伸的。

二次函数的最值是指抛物线的最高点（最大值）或最低点（最小值），可以通过求顶点的坐标来确定。

5. 一次函数与二次函数的应用：一次函数的应用广泛，例如在物理学中描述匀速直线运动的位移与时间的关系，经济学中描述成本与产量的关系等。

二次函数的应用也很多，例如在物理学中描述抛体运动的轨迹，经济学中描述成本与产量的关系中存在固定成本和变动成本等。

综上所述，一次函数与二次函数在定义、图像、解、最值和应用等方面有着不同的特点和性质。

它们在数学和实际问题中都有重要的应用价值。

二次函数数学试题及答案

二次函数数学试题及答案

二次函数数学试题及答案一、选择题1. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，则a的取值范围是（）。

A. a>0B. a<0C. a=0D. a≠0答案：A2. 二次函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标为（h, k），则该函数的顶点式为（）。

A. y=a(x-h)^2+kB. y=a(x+h)^2+kC. y=a(x-h)^2-kD. y=a(x+h)^2-k答案：A3. 对于二次函数y=ax^2+bx+c，若b^2-4ac>0，则该函数的图象与x 轴的交点个数为（）。

A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C二、填空题1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的对称轴为直线x=2，且图象经过点（1，3），则a+b+c=______。

答案：32. 若二次函数y=-2x^2+4x+1的顶点坐标为（h，k），则h=______，k=______。

答案：1，3三、解答题1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点（-1，0）和（3，0），且图象开口向下，求a的取值范围。

解：由题意可知，二次函数的两个根为-1和3，因此可以设二次函数为y=a(x+1)(x-3)。

由于图象开口向下，所以a<0。

因此，a的取值范围为a<0。

2. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标为（2，1），且图象经过点（0，5），求该二次函数的解析式。

解：根据顶点式，二次函数可以表示为y=a(x-2)^2+1。

将点（0，5）代入，得到5=a(0-2)^2+1，解得a=2。

因此，该二次函数的解析式为y=2(x-2)^2+1。

结束语：通过以上题目的练习，可以加深对二次函数性质的理解，提高解题能力。

高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析

高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析

高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.设函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a≠0)，若不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)．(1)求a，b的值；(2)若函数f(x)在x∈[m,1]上的最小值为1，求实数m的值．【答案】（1）a＝－1，b＝4 （2）1－【解析】(1)由条件得，解得：a＝－1，b＝4.(2)f(x)＝－x2＋2x＋3，对称轴方程为x＝1，∴f(x)在x∈[m,1]上单调递增．∴x＝m时，f(x)＝－m2＋2m＋3＝1，min解得m＝1±.∵m＜1，∴m＝1－.2.设为坐标原点，给定一个定点，而点在正半轴上移动，表示的长，则中两边长的比值的最大值为．【答案】【解析】由题意得：当时，取最大值，为.【考点】二次函数最值3.已知关于x的一元二次函数(1)设集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率；(2)设点（，）是区域内的随机点，求函数上是增函数的概率.【答案】（1）；（2）【解析】(1)考查古典概型，满足条件的是5个，总的基本事件个数是15个，求两者的比即可；（2）考查几何概型，求出满足条件的区域面积比上总的区域面积即可.试题解析：(1)∵函数的图象的对称轴为要使在区间上为增函数，当且仅当>0且，若=1则=－1；若=2则=－1，1；若=3则=－1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为. 6分(2)由（1）知当且仅当且>0时，函数上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为三角形部分.由∴所求事件的概率为. 12分【考点】(1)古典概型；（2）几何概型.4.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则()A．a>0,4a+b=0B．a<0,4a+b=0C．a>0,2a+b=0D．a<0,2a+b=0【答案】A【解析】由f(0)=f(4)>f(1),可得函数图象开口向上,即a>0,且对称轴-=2,所以4a+b=0,故选A.5.对于任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,那么x的取值范围是() A．(1,3)B．(-∞,1)∪(3,+∞)C．(1,2)D．(3,+∞)【答案】B【解析】f(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+x2-4x+4,令g(a)=(x-2)a+x2-4x+4,由题意知即解得x>3或x<1,故选B.6.二次函数f(x)的二次项系数为正,且对任意x恒有f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则x的取值范围是.【答案】(-2,0)【解析】【思路点拨】由题意知二次函数的图象开口向上,且关于直线x=2对称,则距离对称轴越远,函数值越大,依此可转化为不等式问题.解：由f(2+x)=f(2-x)知x=2为对称轴,由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴越远,函数值越大, ∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,即|2x2+1|<|x2-2x+1|,∴2x2+1<x2-2x+1,∴-2<x<0.7.“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【答案】（1）不能获利，政府每月至少补贴元；２、每月处理量为400吨时，平均成本最低.【解析】（1）该项目利润等于能利用的生物柴油价值与月处理成本的差，当时，，故，故该项目不会获利，而且当时，获利最大为，故政府每月至少不要补贴元；（2）每吨的平均处理成本为，为分段函数，分别求每段的最小值，再比较各段最小值的大小，取较小的那个值，为平均成本的最小值．试题解析：(1)当时，设该项目获利为，则，所以当时，.因此，该项目不会获利.当时，取得最大值，∴政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损.(2)由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为：①当时，，∴当时，取得最小值240；②当时，.当且仅当，即时，取得最小值200.∵200<240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.【考点】1、分段函数；2、二次函数的值域；3、基本不等式.8.已知点，点在曲线:上.（1）若点在第一象限内，且，求点的坐标；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】 (1) 本小题可以通过坐标法来处理，首先根据点在第一象限内设其（），然后根据两点间距离公式，再结合点在曲线:上，联立可解得，即点的坐标为；(2) 本小题根据(1)中所得其中代入可得（），显然根据二次函数可知当时，.试题解析：设（）,（1）由已知条件得 2分将代入上式，并变形得，，解得（舍去）或 4分当时，只有满足条件，所以点的坐标为 6分（2）其中 7分（） 10分当时， 12分（不指出，扣1分）【考点】1.坐标法；2.二次函数求最值9.已知数列满足且是函数的两个零点，则等于（）A．24B．32C．48D．64【答案】D【解析】由题意，则，两式相除，所以成等比数列，成等比数列，而，则，所以，又，所以.故选D【考点】1.二次函数根与系数的关系；2.等比数列的性质.10.已知函数若命题“”为真，则m的取值范围是___.【答案】【解析】命题“”为真，即方程有两个不相等的实数根，且至少有一个正根.因为函数为二次函数，开口向上，且.所以.即m的取值范围是.【考点】一元二次方程根的分布、命题11.设函数在区间上是增函数，则实数的最小值为 .【答案】【解析】函数的图象开口向上，对称轴为，由其在上是增函数得，所以，所以实数的最小值为.【考点】二次函数的单调性.12.已知二次函数，满足，且，若在区间上，不等式恒成立，则实数m的取值范围为 .【答案】【解析】由可知，那么，所以由，化简整理得：，所以有，，所以二次函数的解析式为：.由已知得在区间上，不等式恒成立，即恒成立，只要即可.又，对称轴是，开口向上，所以函数在区间是单调递减的，所以函数在区间上的最小值是：，所以.【考点】1.求二次函数的解析式；2.二次函数的图像与性质；3.二次函数在闭区间上的最值；4.函数与不等式的恒成立问题13.已知函数和．其中．（1）若函数与的图像的一个公共点恰好在轴上，求的值；（2）若和是方程的两根，且满足，证明：当时，．【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题考查一次函数与二次函数图像的关系以及作差法比较大小证明不等式问题，考查学生分析问题解决问题的能力.第一问，先求与轴的交点，由已知得此交点同时也在图像上，所以代入到解析式中，解出的值；第二问，作差法比较与的大小，再用作差法比较与的大小.试题解析：(1)设函数图象与轴的交点坐标为，又∵点也在函数的图象上，∴.而，∴.(4分)(2)由题意可知．∵，∴，∴当时，，即．(8分)又，，且，∴，∴，综上可知，.(13分)【考点】1.作差法比较大小；2.一次函数、二次函数.14.已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】，当时取最小值2，又.作出其图象如图所示：结合图形可知：的取值范围是.【考点】二次函数的最值.15.函数.若的定义域为，求实数的取值范围.【答案】.【解析】由的定义域为可知恒成立，这时要分和两种情况讨论，当时，比较简单，易得结果，当时，函数为二次函数，要使恒成立，由二次函数的图象应有，，如此便可求出的取值范围.试题解析：（1）当时，，的定义域为，符合题意；（2）当时，，的定义域不为，所以；（3）当时，的定义域为知抛物线全部在轴上方（或在上方相切），此时应有，解得；综合（1），（2），（3）有的取值范围是.【考点】二次函数、函数的定义域.16.二次函数f(x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x且f (0)＝1．⑴求f (x)的解析式；⑵在区间[－1，1]上，y＝f (x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）根据二次函数满足条件，及，可求，，从而可求函数的解析式；（2）在区间上，的图象恒在的图象上方，等价于在上恒成立，等价于在上恒成立，求出左边函数的最小值，即可求得实数的取值范围．试题解析：（1）由，令，得；令，得.设,故解得故的解析式为.（2）因为的图像恒在的图像上方,所以在上，恒成立.即：在区间恒成立.所以令 ,故在上的最小值为，∴ .【考点】二次函数的性质.17.已知二次函数.（1）若对任意、，且，都有，求证：关于的方程有两个不相等的实数根且必有一个根属于；（2）若关于的方程在上的根为，且，设函数的图象的对称轴方程为，求证：.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）先构造新函数，利用证明方程有两个不相等的实数根，然后利用存在定理证明方程必有一个根属于，即利用来证明；（2）将的代入方程得到的表达式，结合证明.试题解析：（1）构造函数，由于函数为二次函数，所以，对于二次函数而言，，若，则有且有，从而有，这与矛盾，故，故方程有两个不相等，由于，，所以，由零点存在定理知，方程必有一个根属于；（2）由题意知，化简得，即，则有，，由于，则，故，即.【考点】1.二次方程根的个数的判断；2.零点存在定理；3.二次函数图象的对称轴18.若函数有两个零点，其中，那么在两个函数值中 ( ) A．只有一个小于1B．至少有一个小于1C．都小于1D．可能都大于1【答案】B【解析】若则不妨设，于是即，作图如图所示，显然可以发现点满足的区域有，于是，即在两个函数值中至少有一个小于1.【考点】本小题主要考查根的分布、零点、函数的图象等知识点，考查学生的理解、分析能力19.已知函数，若,且，则的最小值是 .【答案】【解析】画出函数图象，从图象上可知，所以由可得，所以，设，，当时，，当时，，所以函数在上的最小值为.【考点】二次函数、导数的应用.20.如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】由二次函数在区间上为减函数，则，即．【考点】二次函数的性质．21.函数在区间上是增函数,则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的增区间为 ,由已知可得⋯①,⋯②由①②得: .【考点】二次函数的单调区间,不等式运算.22.对一元二次方程的两个根的情况，判断正确的是A．一根小于1，另一根大于3B．一根小于－2，另一根大于2C．两根都小于0D．两根都大于2【答案】A【解析】，所以该方程的两个根一个小于1，一个大于3.【考点】本小题主要考查一元二次方程的根的判断.点评：解决本小题的关键是根据已知条件得出，通过解一元二次不等式即可得根的情况，要注意数形结合的应用.23.（本题满分12分）设函数f(x)＝x3－ax2＋3x＋5(a＞0)．(1)已知f(x)在R上是单调函数，求a的取值范围；(2)若a＝2，且当x∈[1,2]时，f(x)≤m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1) 0＜a≤6 ；(2) [15，＋∞)．【解析】(1)f′(x)＝3x2－ax＋3， 2分其判别式Δ＝a2－36.当0＜a≤6时，f′(x)≥0恒成立， 4分此时f(x)在R上为增函数． 6分(2)a＝2时，f′(x)＝3x2－2x＋3＞0恒成立，因此f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 8分从而f(x)在[1,2]上递增，则f(x)＝f(2)＝15， 10分max要使f(x)≤m在x∈[1,2]上恒成立，只需15≤m，解得m∈[15，＋∞)．故m的取值范围是[15，＋∞)． 12分【考点】利用导数研究函数的单调性。

2023高考数学二轮复习专项训练《一次函数与二次函数》(含解析)

2023高考数学二轮复习专项训练《一次函数与二次函数》(含解析)

2023高考数学二轮复习专项训练《一次函数与二次函数》一 、单选题（本大题共12小题，共60分） 1.（5分）关于x 的不等式1x +4x a⩾4在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (0,43] B. (1,43] C. [1,43] D. [167,43] 2.（5分）若函数f(x)=x 2+2x +m ，x ∈R 的最小值为0，则实数m 的值是()A. 9B. 5C. 3D. 13.（5分）函数y=x2-2x ，x ∈[0，3]的值域为（ ）A. [0，3]B. [1，3]C. [-1，0]D. [-1，3]4.（5分）函数y =x 2−8x +2的增区间是()A. (−∞,−4]B. [−4,+∞)C. (−∞,4]D. [4,+∞)5.（5分）二次函数y =x 2−2x −3在x ∈[−1,2]上的最小值为( )A. 0B. −3C. −4D. −56.（5分）某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的x%的管理费(即销售100元要征收x 元)，于是该产品定价每件比第一年增加了70.x%1−x%元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于万元，则x 的最大值是( )A. 2B. 6.5C. 8.8D. 107.（5分）函数y =−x 2+2x −3在闭区间[0,3]上的最大值、最小值分别为()A. 0，−2B. −2，−6C. −2，−3D. −3，−68.（5分） 函数f(x)=|x 2−3x +2|的单调递增区间是( )A. [1,32]和[2,+∞)B. [32,+∞)C. (−∞,1]和[32,2]D. (−∞,32]和[2,+∞)9.（5分）下列命题正确的是( )A. 命题“∃x ∈R ，使得2x <x 2”的否定是“∃x ∈R ，使得2x ⩾x 2”B. 若a >b ，c <0，则ca >cbC. 若函数f(x)=x 2−kx −8(k ∈R)在[1,4]上具有单调性，则k ⩽2D. “x >3”是“x 2−5x +6>0”的充分不必要条件10.（5分）已知函数y=b+a x2+2x(a,b是常数，且0<a<1)在区间[−32,0]上有最大值3，最小值52，则ab的值是()A. 1B. 2C. 3D. 411.（5分）已知f(x)=x2+2(a−2)x+5在区间[4,+∞)上是增函数，则实数a的范围是()A. (−∞,−2]B. [−2,+∞)C. [−6,+∞)D. (−∞,−6]12.（5分）函数f(x)=ln x+12x2−ax(x>0)在区间[12,3]上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是()A. (52,3] B. [52,103)C. (52,103] D. [2,103]二、填空题（本大题共6小题，共30分）13.（5分）设b>0，二次函数y=ax2+bx+a2−1的图象为下列图象之一：则a的值为______．14.（5分）已知f(x)=m(x−2m)(x+m+3)，g(x)=2x−2，若对任意x∈R有f(x)<0或g(x)<0，则m的取值范围是____.15.（5分）函数y=x2+2ax+1在区间[2,+∞)上是增函数，那么实数a的取值范围是______ ．16.（5分）函数f(x)=log2(4−x2)的值域为__________________.17.（5分）若不等式−1<ax2+bx+c<1的解集为(−1,3)，则实数a的取值范围为_______.18.（5分）f(x)=x2−ax+3a−1在(3,+∞)上是增函数，实数a的范围是 ______ .三、解答题（本大题共6小题，共72分）19.（12分）求函数f（x）=x2+2ax+3在[-5，5]上的最大值和最小值．20.（12分）已知关于x的一元二次方程(m2−1)x2+(2m−1)x+1=0(m∈R)的两个实根是x1、x2.(1)求1x1+1x2的取值范围；(2)是否存在m，使得|x1−x2|=11−m2若存在，求m的值；若不存在，说明理由．21.（12分）已知函数f(x)=x2+bx+c，且f(1)=0．(1)若函数f(x)是偶函数，求f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在区间[t,t+1]上的最小值．22.（12分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]．（1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值和最小值．（2）当a∈R时，求函数f（x）在区间[-5，5]上的最值．23.（12分）某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)={400x−12x2,0⩽x⩽400 80000,x>400，其中x是仪器的月产量．(总收益=总成本+利润．)(1)将利润表示为月产量的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？24.（12分）平阳木偶戏又称傀偏戏、木头戏，是浙江省温州市的传统民间艺术之一.平阳木偶戏是以提线木偶为主，活跃于集镇乡村、广场庙会，演绎着古今生活百态.其表演形式独特，活泼多样，具有浓厚的地方色彩和很高的观赏性与研究价值.现有一位木偶制作传人想要把一块长为4dm(dm是分米符号)，宽为3dm的矩形木料沿一条直线MN切割成两部分来制作不同的木偶部位.若割痕MN(线段)将木料分为面积比为1:λ的两部分(含点A的部分面积不大于含点C的部分面积，M，N可以和矩形顶点重合)，有如下三种切割方式如图：①M点在线段AB上，N点在线段AD上;②M点在线段AB上，N点在线段DC上;③M点在线段AD上;N点在线段BC上.设AM=xdm，割痕MN(线段)的长度为ydm，(1)当λ=1时，请从以上三种方式中任意选择一种，写出割痕MN的取值范围(无需求解过程，若写出多种以第一个答案为准);(2)当λ=2时，判断以上三种方式中哪一种割痕MN的最大值较小，并说明理由.四、多选题（本大题共6小题，共30分）25.（5分）已知函数f(x)=&#x007Bln(x+1),x⩾0x2−2ax+1,x<0，其中实数a∈R，则下列关于x的方程f2(x)−(1+a)⋅f(x)+a=0的实数根的情况，说法正确的有()A. a取任意实数时，方程最多有5个根B. 当−1−√52<a<1+√52时，方程有2个根C. 当a=−1−√52时，方程有3个根D. 当a⩽−4时，方程有4个根26.（5分）若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(2+x)=f(2-x)，则下列结论错误的是()A. b=cB. 2a+b=0C. 4a=-bD. a+b=027.（5分）已知函数f(x)=e2x-2e x-3，则()A. f(ln3)=0B. 函数f(x)的图象与x轴有两个交点C. 函数f(x)的最小值为-4D. 函数f(x)的单调增区间是[0,+∞)28.（5分）设a，b均为正数，且2a+b=1，则下列结论正确的是()A. ab有最大值18B. √2a+√b有最小值√2C. a2+b2有最小值15D. a−12a−1−4bb有最大值1229.（5分）已知函数f(x)=x，g(x)=√x，则下列说法正确的是()A. 函数y=1f(x)+g(x)在(0,+∞)上单调递增B. 函数y=1f(x)−g(x)在(0,+∞)上单调递减C. 函数y=f(x)+g(x)的最小值为0D. 函数y=f(x)−g(x)的最小值为−1430.（5分）已知f(x)是定义域为R的奇函数，x>0时，f(x)=x(1−x)，若关于x的方程f[f(x)]=a有5个不相等的实数根，则实数a的可能取值是()A. 132B. 116C. 18D. 14答案和解析1.【答案】A;【解析】由1x +4xa⩾4，分离变量a得1a⩾−14(1x−2)2+1，由x∈[1,2]求得1x∈[12,1]，则−14(1x−2)2+1∈[716,3 4 ].∴1a ⩾34，由此求得实数a的取值范围．该题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，属于中档题．解：由1x +4xa⩾4，得4xa⩾4−1x=4x−1x，即1a⩾4x−14x2=−14(1x)2+1x=−14(1x−2)2+1，∵x∈[1,2]，∴1x ∈[12,1]，则−14(1x−2)2+1∈[716,34].∴1a ⩾34，则0<a⩽43．∴实数a的取值范围为(0,43].故选：A．2.【答案】D;【解析】解：由题知y=(x+1)2+m−1，易知当x=−1时，f(x)min=m−1=0，故m=1即为所求．故选：D.将二次函数配方，易求得最小值，据此求解．此题主要考查利用配方法求二次函数的最值．3.【答案】D;【解析】解：∵函数y=x2-2x=（x-1）2-1，x∈[0，3]，∴当x=1时，函数y取得最小值为-1，当x=3时，函数取得最大值为 3，故函数的值域为[-1，3]，故选D．4.【答案】D;【解析】解：函数y=x2−8x+2=(x−4)2−14，对称轴为x=4，则函数的增区间为[4,+∞).故选：D.求出二次函数的对称轴，结合二次函数的图象和性质，即可得到所求增区间．此题主要考查二次函数的单调区间的求法，注意结合二次函数的对称轴，属于基础题．5.【答案】C;【解析】此题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，属于基础题.解：∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，x∈[−1,2]，∴x=1时，函数取得最小值为−4.故选C.6.【答案】D;【解析】由已知有，第二年的年销售收入为(％2070％20+％2070x%％20％20)(11.8％20−％20x)万元，商场对该商品征收1％20−％20x%％20的管理费记为y，y％20=％20(％2070％20+％2070x%％20％20)(11.8％20−％20x)x%％20(x％20％3E％200)1％20−％20x%％20，则y⩾14，所以(％2070％20+％2070x%％20％20)(11.8％20−％20x)x%％20％20⩾％2014，1％20−％20x%％20化简得x2−12x+20⩽0，所以2⩽x⩽10，故x得最大值为10，选D.7.【答案】B;【解析】此题主要考查二次函数的最值的求法，属于简单题.解：函数y=−x2+2x−3的开口向下，对称轴为x=1，结合图象可得当x=3是y有最小值−6，当x=1时，y有最大值−2，所以本题选B.8.【答案】A; 【解析】此题主要考查函数的单调性和函数的单调区间，考查函数图象的应用，考查数形结合思想，属于基础题.由题函数f(x)=|x 2−3x +2|={x 2−3x +2,x ⩽1或x ⩾2−(x 2−3x +2),1<x <2，利用数形结合即可得到答案.解：由题可知函数f(x)=|x 2−3x +2|， 等价于f(x)={x 2−3x +2,x ⩽1或x ⩾2−(x 2−3x +2),1<x <2，画图可得如下图所示：∴函数的单调递增区间是[1,32]和[2,+∞) ，故选A.9.【答案】D;【解析】解：对于A ，命题“∃x ∈R ，使得2x <x 2”的否定是“∀x ∈R ，使得2x ⩾x 2”，故A 错误；对于B ，由条件知，比如a =2，b =−3，c =−1，则ca=−12<cb=13，故B 错误；对于C ，若函数f(x)=x 2−kx −8(k ∈R)在[1,4]上具有单调性，则k 2⩽1或k2⩾4，故k ⩽2或k ⩾8，故C 错误；对于D ，x 2−5x +6>0的解集为{ x |x <2或x >3}，故“x >3”是“x 2−5x +6>0”的充分不必要条件，正确． 故选：D.A 由命题的否命题，既要对条件否定，也要对结论否定，注意否定形式，可判断；B 由条件，注意举反例，即可判断；C 由二次函数的图象，即可判断；D 先求出不等式x 2−5x +6>0的解集，再由充分必要条件的定义，即可判断． 此题主要考查函数的单调性，充分必要条件的判断、命题的否定、不等式的性质，属于基础题．10.【答案】A;【解析】复合指数函数，当0<a<1时，整体指数为减函数，指数部分为二次函数，根据复合函数同增异减原则，对该区间内进行分块讨论，从而得到最值点−1，0本题着重考察求复合函数最值问题，通常利用图象法法讨论函数单调性的最值问题．解：A.令u=x2+2x=(x+1)2−1，当0<a<1时，整体指数为减函数，则借助二次函数图象，再由复合函数同增异减原则，在已知区间内，x=0取得最大值，x=−1取得最小值时．即{b+a−1=3b+a0=52，解得{a=23b=32，有ab=1．故选：A．11.【答案】B;【解析】解：∵函数f(x)=x2+2(a−2)x+5的图象是开口方向朝上，以x=2−a为对称轴的抛物线若函数f(x)=x2+2(a−2)x+5在区间[4,+∞)上是增函数，则2−a⩽4，解得a⩾−2．故答案为：B．由函数f(x)=x2+2(a−2)x+5的解析式，根据二次函数的性质，判断出其图象是开口方向朝上，以x=2−a为对称轴的抛物线，此时在对称轴右侧的区间为函数的递增区间，由此可构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．该题考查的知识点是函数单调性的性质，及二次函数的性质，其中根据已知中函数的解析式，分析出函数的图象形状，进而分析函数的性质，是解答此类问题最常用的办法．12.【答案】C;【解析】此题主要考查导数与二次方程根的分布，考查学生分析能力及运算能力，属于中档题. 对f(x)求导，问题转化为f′(x)=0在区间[12,3]上有且只有一解，根据二次方程根的分布建立不等式即解.解：f ′(x )=1x +x −a =x 2−ax +1x，x >0，令g(x)=x 2−ax +1，函数f (x )=ln x +12x 2−ax (x >0)在区间[12,3]上有且仅有一个极值点， 所以g (12).g (3)⩽0，即(14−12a +1)(9−3a +1)⩽0，且Δ≠0； 解得52⩽a ⩽103.当a =52时，令g(x)=x 2−52x +1=0，解得x 1=12，x 2=2，此时f (x )在(0,12]上单调递增，在[12,2]上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，故f (x )在x =2处取得极小值，在x =12处取得极大值.不符合题意； 当a =103时，令g(x)=x 2−103x +1=0，解得x 1=13，x 2=3，此时f (x )在(0,13]上单调递增，在[13,3]上单调递减，在(3,+∞)上单调递增， 故f (x )在x =3处取得极小值，在x =13处取得极大值. 此时f (x )在区间[12,3]上有且仅有一个极值点，符合题意； 故选C.13.【答案】-1;【解析】解：若a >0，即图象开口向上，∵b >0，∴对称轴x =−b 2a<0，故排除第2和4两图，若a <0，即图象开口向下，∵b >0∴对称轴x =−b2a >0，故函数图象为第3个图， 由图知函数过点(0,0)，∴a 2−1=0， ∴a =−1 故答案为−1先根据二次函数的开口方向和对称轴的位置，选择函数的正确图象，再根据图象性质计算a 值即可该题考查了二次函数的图象和性质，排除法解图象选择题14.【答案】(−4,0); 【解析】此题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键．解：∵g(x)=2x −2，当x ⩾1时，g(x)⩾0， 又∵∀x ∈R ，f(x)<0或g(x)<0，∴此时f(x)=m(x −2m )(x +m +3)<0在x ⩾1时恒成立，则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在(1,0)的左面，则{m<0−m−3<12m<1，∴−4<m<0故答案为(−4,0).15.【答案】[-2，+∞）;【解析】解：函数y=x2+2ax+1的对称轴为：x=−a，函数y=x2+2ax+1在区间[2,+∞)上是增函数，可得−a⩽2，解得a⩾−2，即a∈[−2,+∞)．故答案为：[−2,+∞)．求出二次函数的对称轴，结合函数的单调性，写出不等式求解即可．该题考查二次函数的简单性质的应用，是基础题．16.【答案】(−∞,2];【解析】此题主要考查了复合函数，先求出定义域，再根据复合函数的值域，属基础题. 解：由4−x2>0，得−2<x<2，即函数f(x)的定义域为(−2,2)，且0<4−x2⩽4，所以，f(x)⩽log24=2，即函数f(x)的值域为(−∞,2].故答案为(−∞,2].17.【答案】(−12,12);【解析】此题主要考查一元二次不等式得解法，考查二次函数的性质，是中档题. 分a=0，a>0和a<0三类讨论，结合二次函数的性质求解即可.解：当a=0时，b≠0，不等式的解集(−1,3)，适当选取b，c可以满足题意.当a>0时，不等式−1<ax2+bx+c<1对应的二次函数的对称轴为x=1，开口向上，所以x=−1时，a−b+c=1，x=3时，9a+3b+c=1，最小值为x=1时，a+b+c>−1，联立解这个不等式组得：a<12，所以0<a<12;当a<0时，不等式−1<ax2+bx+c<1对应的二次函数的对称轴为x=1，开口向下，所以x=−1时，a−b+c=−1，x=3时，9a+3b+c=−1，最大值为x=1时，a+b+c<1，联立解这个不等式组得：a>−12，所以−12<a<0;综上所述得−12<a<12.所以实数a的取值范围为(−12,12).故答案为(−12,12).18.【答案】（-∞，6]; 【解析】解：由题意得：对称轴x=−−a2=a2，∴a2⩽3，∴a⩽6；故答案为：(−∞,6].由已知得，函数图象开口向上，由题意读出对称轴x=a2⩽3，解出即可．本题考察了二次函数的对称轴，单调性，是一道基础题．19.【答案】解：∵函数f（x）=x2+2ax+3=（x+a）2+3-a2的对称轴为x=-a，①当-a＜-5，即a＞5时，函数y在[-5，5]上是增函数，故当x=-5时，函数y取得最小值为28-10a；当x=5时，函数y取得最大值为28+10a．②当-5≤-a＜0，即0＜a≤5时，x=-a时，函数y取得最小值为3-a2；当x=5时，函数y取得最大值为28+10a．③当0≤-a≤5，即-5≤a≤0时，x=-a时，函数y取得最小值为3-a2；当x=-5时，函数y取得最大值为28-10a．④当-a＞5，即a＜-5时，函数y在[-5，5]上是减函数，故当x=-5时，函数y 取得最大值为28-10a ； 当x=5时，函数y 取得最小值为28+10a ．;【解析】由于二次函数的对称轴为x=-a ，分①当-a ＜-5、②当-5≤-a ＜0、③当0≤-a≤5、④当-a ＞5四种情况，分别利用二次函数的性质求得函数的最值．20.【答案】解：（1）由题意知，Δ=（2m−1）2−4（m 2−1） =4m 2−4m+1−4m 2+4 =5−4m ⩾0， ∴m ⩽54， ∵m 2−1≠0， ∴m≠±1，∴m 的取值范围是(−∞，−1)∪(−1，1)∪(1，54]，由题意x 1+x 2=1−2m m 2−1，x 1x 2=1m 2−1 ∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=1−2m ，又m ∈(−∞，−1)∪(−1，1)∪(1，54]， ∴2m ∈(−∞，−2)∪(−2，2)∪(2，52]，∴1−2m ∈[−32，−1)∪(−1，3)∪(3，+∞)，所以1x 1+1x 2的取值范围是[-32，−1）∪（-1，3）∪（3，+∞）．（2）(x 1−x 2)2=(x 2+x 2)2−4x 1x 2 =(1−2m )2(m 2−1)2−4m 2−1=5−4m (m 2−1)2，∴|x 1−x 2|=√5−4m |m 2−1|， 若|x 1−x 2|=−1m 2−1， 则m 2−1＜0， 即m ∈（−1，1）， ∴5−4m=1，即m=1∉（−1，1）， 故不存在．; 【解析】(1)由一元二次方程有两个根，则Δ>0，求出m 的范围，再利用韦达定理求解即可， (2)由(1)中结论，对所求式子进行变形，再求解．此题主要考查一元二次方程及韦达定理求参数的范围，属于中档题．21.【答案】解：（1）由f （1）=0，得：1+b+c=0， 由f （x ）是偶函数，得：b=0 ∴c=-1，因此f （x ）=x 2-1，（2）当t+1＜0，即t ＜-1时，函数f （x ）在区间[t ，t+1]上为减函数， 当x=t+1时，取最小值t 2+2t ，当t≤0≤t+1，即-1≤t≤0时，函数f （x ）在区间[t ，0]上为减函数，在[0，t+1]上是增函数 当x=0时，取最小值-1，当t ＞0时，函数f （x ）在区间[t ，t+1]上为增函数， 当x=t 时，取最小值t 2-1; 【解析】(1)利用函数的奇偶性，求出b ，利用f(1)=0求出c ， (2)分类讨论区间[t,t +1]与对称轴的关系，可得答案．该题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．22.【答案】解：（1）当a=-1时，f （x ）=x 2-2x+2=（x-1）2+1，对称轴x=1， 在[-5，5]上，最大值为f （-5）=37，最小值为f （1）=1； （2）函数f （x ）的对称轴是：x=-a ， ①当-a≤-5，即a≥5时，f （x ）在[-5，5]递增，f （x ）最小值=f （-5）=-10a+27，f （x ）最大值=f （5）=10a+27； ②当-5＜-a≤0，即0≤a ＜5时，f （x ）在[-5，-a ）递减，在（-a ，5]递增，f （x ）最小值=f （-a ）=-a 2+2，f （x ）最大值=f （5）=10a+27； ③当0＜-a≤5，即-5≤a ＜0时，f （x ）在[-5，-a ）递减，在（-a ，5]递增，f （x ）最小值=f （-a ）=-a 2+2，f （x ）最大值=f （-5）=-10a+27； ④-a≥5，即a≤-5时，f （x ）在[-5，5]递减，f （x ）最小值=f （5）=10a+27，f （x ）最大值=f （-5）=-10a+27．;【解析】（1）直接将a=-1代入函数解析式，求出最大最小值，（2）先求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的位置，得到函数的单调性，从而求出函数的最值．23.【答案】解：(1)设月产量为x 台，则总成本为20000+100x ， 从而利润f(x)={−12x 2+300x −20000,0⩽x ⩽40060000−100x ,x >400.(2)当0⩽x ⩽400时，f(x)=−12(x −300)2+25000， 所以当x =300时，有最大值25000；当x >400时，f(x)=60000−100x 是减函数，所以f(x)<60000−100×400<25000． 所以当x =300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．;【解析】该题考查了一次函数与二次函数的单调性、函数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设月产量为x 台，则总成本为20000+100x ，即可得出利润f(x)．(2)当0⩽x ⩽400时，f(x)=−12(x −300)2+25000，利用二次函数的单调性即可最大值．当x >400时，f(x)=60000−100x 是减函数，利用一次函数的单调性即可得出最大值．24.【答案】解：(1)选①y =5， 选②y ∈[3,5]， 选③y ∈[4,5]， (2)选①令AN =z ，则S =12xz =4，z =8x，y =√x 2+z 2=√x 2+64x 2，∵{0<x ⩽40<z ⩽3z =8x∴83⩽x ⩽4，∴x ∈[83,2√2]时，y =f(x)为减函数，∴x ∈[2√2,4]时，y =f(x)为增函数， 当x =83时，y =√1453，当x =4时，y =2√5，∴y max =2√5;选②令DN =z ，则S =12(x +z)×3=4，z =83−x ，y =√(x −z)2+9=√(2x −83)2+9，∵{0<x ⩽40⩽z ⩽4,∴0⩽x ⩽83,z =83−x∴x ∈[0,43]时，y =f(x)为减函数，∴x ∈[43,83]时，y =f(x)为增函数， 当∴x =0或x =83时，y max =√1453; 选③令BN =z ，则S =12(x +z)×4=4，z =2−x ，y =√(x −z)2+16=2√(x −1)2+4，∵{0⩽x⩽30⩽z⩽3,∴0⩽x⩽2z=2−x∴x∈[0,1]时，y=f(x)为减函数，∴x∈[1,2]时，y=f(x)为增函数，当∴x=0或x=2时，y max=2√5，综上所述，方式②割痕MN的最大值较小，值为√1453.;【解析】此题主要考查了函数最值的综合应用，属于中档题.25.【答案】CD;【解析】此题主要考查分段函数，二次函数及对数函数的性质，函数图象的应用，函数与方程的综合应用，属难题.求解方程f2(x)−(1+a)⋅f(x)+a=0，可得f(x)=1或f(x)=a，即可得原方程的实数根的个数，即为f(x)=1和f(x)=a的根的个数之和.分别对0⩽a⩽1，a>1，−1−√52<a<0，a=−1−√52和a<−1−√52时讨论画图即可判定.解：对于方程f2(x)−(1+a)⋅f(x)+a=0，解得f(x)=1或f(x)=a.所以原方程的实数根的个数，即为f(x)=1和f(x)=a的根的个数之和.对于函数f(x)=&#x007Bln(x+1),x⩾0x2−2ax+1,x<0，若a⩾0，当x∈[0,+∞)时，f(x)单调递增，且f(x)⩾0，当x∈(−∞,0)时，f(x)单调递减，且f(x)>1.如图：，由f(x)=1可得x=e−1，方程有1个根；又由f(x)=a可得，当0⩽a⩽1时，方程有1个根；当a>1时，方程有2个根.所以当0⩽a⩽1时，原方程共有2个根；当a>1时，原方程共有3个根.若a<0，当x∈[0,+∞)时，f(x)单调递增，且f(x)⩾0，当x∈(−∞,0)时，f(x)在(−∞,a)单调递减，在(a,0)单调递增，且f(x)⩾1−a2.又由{1−a2=aa<0，可得a=−1−√52.所以当−1−√52<a<0时，1−a2>a，如图：，由f (x)=1可得，方程有2个根；又由f(x)=a可得，方程无解.所以此时原方程有2个根；当a=−1−√52时，1−a2=a，如图：，由f(x)=1可得，方程有2个根；又由f(x)=a可得，方程有1个根.所以此时原方程有3个根；当a<−1−√52时，1−a2<a，如图：，由f(x)=1可得，方程有2个根；又由f(x)=a可得，方程有2个根.所以此时原方程有4个根；综上所述，当0⩽a⩽1或−1−√52<a<0时，原方程有2个根；当a>1或a=−1−√52时，原方程有3个根；当a<−1−√52时，原方程有4个根.对于A，对于a∈R，方程最多有4个根，故A错误；对于B，当1<a<1+√52时，方程有3个根，故B错误；对于C，当a=−1−√52时，方程有3个根，故C正确；对于D，当a<−1−√52时，方程有4个根，所以a⩽−4时，方程有4个根成立，故D正确. 故选：CD.26.【答案】ABD;【解析】【解析】此题主要考查二次函数性质，属于基础题.由f(2+x)=f(2−x)可知对称轴x=2，即−b2a=2，即可得到答案.解：由f(2+x)=f(2−x)可知对称轴x =2，即−b 2a=2，得4a =−b ，只有C 正确.故选A 、B 、D.27.【答案】ACD; 【解析】此题主要考查了函数定义域与值域，二次函数的最值，复合函数的单调性以及函数零点与方程根的关系，属于基础题．A 选项，将x =ln 3代入f(x)求解即可；B 选项，令f(x)=0，根据方程根的个数判断f(x)的图象与x 轴有几个交点；C 选项，求二次函数f(x)=(e x -1)2-4的最值即可；D 选项，利用复合函数的单调性判断即可．解：A 选项，f(ln 3)=e 2ln 3-2e ln 3-3=9-6-3=0，正确；B 选项，令f(x)=0，得(e x -3)(e x +1)=0，得e x =3或e x =-1(舍)，所以x =ln 3， 即函数f(x)的图象与x 轴只有1个交点，错误；C 选项，f(x)=(e x -1)2-4，当e x =1，即x =0时，f(x)min =-4，正确；D 选项，因为函数y =e x 在[0,+∞)上单调递增且值域为[1,+∞),函数y =x 2-2x -3在[1,+∞)上单调递增，所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，正确． 故选ACD .28.【答案】ACD; 【解析】此题主要考查基本不等式的应用和函数的最值，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解答该题的关键，属于中档题.利用基本不等式分别判断选项A ，B ，D 的对错，对于C ，由b =1−2a ，且0<a <12，转化为关于a 的二次函数，由函数的性质可得最值，可判断对错.解：∵正实数a ，b 满足2a +b =1，由基本不等式可得2a +b =1⩾2√2ab ， ∴ab ⩽18，当2a =b =12时等号成立，故ab 有最大值18，故A 正确； 由于(√2a +√b)2=2a +b +2√2ab =1+2√2ab ⩽2 ， ∴√2a +√b ⩽√2，当且仅当2a =b =12时等号成立， 故√2a +√b 有最大值为√2，故B 错误；由a ，b 均为正数，且2a +b =1，则b =1−2a ，且0<a <12，则a 2+b 2=a 2+(1−2a )2=5a 2−4a +1，当a =25∈(0,12)时，a 2+b 2有最小值15，故C 正确； b2a+2a b⩾2√b 2a =2,当且仅当2a =b =12时等号成立，a−12a −1−4b b=−a−b 2a −2a −3b b=52−b 2a−2a b⩽52−2=12,当且仅当b2a =2ab 时等号成立， 所以a−12a−1−4b b有最大值12，故D 正确，故选ACD .29.【答案】BCD; 【解析】此题主要考查函数的单调性、最值，属中档题.对于A ，求x =12和x =1时的函数值，即可判断不为单调递增，对于BC ，根据常见函数的单调性即可判断组合函数单调性、最值，对于D ，利用配方法求最值即可得解. 解：对于A:函数y =1f(x)+g(x)=1x+√x ，当x =12时，y =2+√22，当x =1时， y =2，所以函数y =1f(x)+g(x)在(0,+∞)上不单调递增，A 错误. 对于B:函数y =1f(x)−g(x)=1x −√x ，因为函数y =1x 和函数y =−√x 在(0,+∞)上单调递减， 所以y =1f(x)−g(x)在(0,+∞)上单调递减，B 正确.对于C:因为函数y =f(x)+g(x)=x +√x 在[0,+∞)上单调递增， 且当x =0时，y =0，所以y =f(x)+g(x)的最小值为0，C 正确. 对于D:函数y =f(x)−g(x)=x −√x =(√x −12)2−14，当√x =12时，函数y =f(x)−g(x)取得最小值，且最小值为−14，D 正确. 故选BCD.30.【答案】ABC; 【解析】根据函数的奇偶性，由已知区间的解析式，画出函数图象，令f(x)=t ，分别讨论a >14，a =14，316⩽a <14，0⩽a <316，四种情况，得出0⩽a <316满足题意，再根据对称性，得a <0时，−316<a <0满足题意，最后结合选项，即可得出结果．此题主要考查数形结合解决函数的零点个数，考查转化思想以及计算能力，是中档题．解：因为f(x)是定义域为R 的奇函数，x >0时，f(x)=x(1−x)=−(x −12)2+14⩽14，且f(12)=14，画出函数f(x)的图象如下：令f(x)=t ，f(14)=316，当a >14时，由图象可得y =a 与y =f(t)有一个交点，且t <−1， 由图象可得f(x)=t 只有一个根，不满足题意，当a =14时，由图象可得y =a 与y =f(t)有两个不同交点，交点的横坐标分别记作t 1，t 2，则t 1<−1，t 2=12， 则f(x)=t 1与f(x)=t 2共有两个根，不满足题意，当316⩽a <14时，由图象可得y =a 与y =f(t)有三个不同的交点， 记作t 1，t 2，t 3，不妨令t 1<t 2<t 3， 由图象可得，t 1<−1<14⩽t 2<12<t 3<1，则f(x)=t 1与f(x)=t 3各有一个根，而f(x)=t 2有一个或两个根，共三个或四个根，不满足题意，当0⩽a <316时，由图象可得y =a 与y =f(t)有三个不同的交点， 记作t 1，t 2，t 3，不妨令t 1<t 2<t 3，由图象可得，t 1⩽−1<0⩽t 2<14<12<t 3⩽1，则f(x)=t 1与f(x)=t 3以及f(x)=t 2共有5个根，满足题意，根据函数图象的对称性，当a <0时，为使关于x 的方程f[f(x)]=a 有5个不相等的实数根，只需要−316<a <0，综上，满足条件的a 的取值范围是(−316,316). 故选：ABC .。

2023高考数学二轮复习专项训练《一次函数与二次函数》(含答案)

2023高考数学二轮复习专项训练《一次函数与二次函数》(含答案)

2023高考数学二轮复习专项训练《一次函数与二次函数》一、单选题（本大题共12小题，共60分）的图象大致是()1.（5分）函数y=2x−x2e xA. B.C. D.cos2x+bcosx+c，若对任意x1，x2∈R，都有|f(x1)−2.（5分）已知函数f(x)=14f(x2)|⩽4，则b的最大值为()A. 1B. 2√2C. 2D. 43.（5分）x∈(1,2]时，不等式(x−1)2⩽log a x恒成立，则a的取值范围是(),2]A. (0,1)B. (1,2)C. (1,2]D. [124.（5分）二次函数f(x)=x2−ax+a2−3有两个零点分别为x1，x2，且x1<1<x2，则a的取值范围是()A. (−2,1)B. (−1,2)C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(1,+∞)5.（5分）若函数f(x)=x2+2(a−1)x+2在区间(−∞,2]上单调递减，则实数a的取值范围是()A. a<−1B. a⩽0C. a⩾2D. a⩽−1x−6=0在区间[3,m]上都有实数解，6.（5分）若对任意a∈[3,5]关于x的方程x2−ma−1则实数m的取值范围是()A. { m|m⩾4}B. { m|m⩾2√3}C. { m|m⩽2√3或m⩾4}D. { m|4⩽m⩽2√3}7.（5分）若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.8.（5分）平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =1,AB →⋅AD →=−1，点M 在边CD 上，则MA →⋅MB →的最大值为( )A. √2−1B. √3−1C. 0D. 29.（5分）若实数x ，y 满足0<x ⩽2，0<y ⩽2，且使关于t 的方程t 2+2xt +y =0与t 2+2yt +x =0均有实数根，则2x +y 有( )A. 最小值2B. 最小值3C. 最大值2+2√2D. 最大值4+√210.（5分）已知a >0，函数f(x)=ax 2+bx +c ，若x 0满足关于x 的方程2ax +b =0，则下列选项的命题中为假命题的是()A. ∃x ∈R ，f(x)⩽f(x 0)B. ∃x ∈R ，f(x)⩾f(x 0)C. ∀x ∈R ，f(x)⩽f(x 0)D. ∀x ∈R ，f(x)⩾f(x 0)11.（5分）如图在三棱锥S −ABC 中，CA =CB =3，∠ACB =30°，高SO =8，动点M 、N 分别在线段BC 上SO 上，且SN =2CM =2x ，则下列四个图象中大致描绘了四面体AMCN 的体积V 与x 变化关系(其中x ∈(0,3])的是( )A. B.C. D.12.（5分）已知函数f(x)=x 2+mx +n ，则存在m ，n ∈R ，对任意的x ∈R 有( )A. f(x)<f(x +2022)B. 2022f(f(x))⩾2022xC. f(x 2−1)<f(x −2022)D. f(√x 2+2022)⩾f(2022√2022x 2+2022) 二 、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）定义在R 上的函数f(x)满足f(x +2)=2f(x)，当x ∈[0,2]时，f(x)=x 2−2x ，则当x ∈[−4,−2]时，函数f(x)的最小值为 ______ .14.（5分）已知函数f(x)=x 2−2ax −3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为______．15.（5分）已知函数f(x)={(3a −1)x +4a ,x <1a x ,x ⩾1是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是________.16.（5分）已知函数y =2x 2+ax +5在[1,+∞)上是递增的，那么a 的取值范围是______17.（5分）设关于x 的方程x 2−8x +m =0的两根分别为p 和q ，且3p +2q =18，则m =______.三 、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f(x)=sin 2x +a cos x +58a -32，a ∈R.(1)当a =1时，求函数f(x)的最大值；(2)如果对于区间[0,π2]上的任意一个x ，都有f(x)⩽1成立，求a 的取值范围．19.（12分）已知二次函数y =f(x)(x ∈R)的图象过点(0,−3)，且f(x)>0的解集(1,3)． (1)求f(x)的解析式；(2)求函数y =f(sin x),x ∈[0,π2]的最值．20.（12分）(1)已知函数y =12x 2−3x −34.①求函数图象的顶点坐标、对称轴方程和最值; ②若x ∈[1,4]，求函数值的取值范围.(2)已知函数y =−x 2+2ax +1−a 在x ∈[0,1]上有最大值2，求a 的值. 21.（12分）已知二次函数f(x)=ax 2+x +1，a ∈R ，a ≠0)． (1)若不等式f(x)>0的解集为(−13,12)，求实数a 的值；(2)当a ∈[−2,0]时，不等式f(x)>0恒成立，求实数x 的取值范围； (3)对x ∈[0,2]时，不等式f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围． 22.（12分）已知二次函数f(x)=x 2+bx +c(其中b ，c 为实常数)．(Ⅰ)若b >2，且y =f(sin x)(x ∈R)的最大值为5，最小值为−1，求函数y =f(x)的解析式；(Ⅱ)是否存在这样的函数y =f(x)，使得{ y |y =x 2+bx +c,−1⩽x ⩽0}=[−1，0]，若存在，求出函数y =f(x)的解析式；若不存在，请说明理由． (Ⅲ)记集合A ={ x |f(x)=x,x ∈R}，B ={ x |f(f(x))=x,x ∈R}．①若A≠∅，求证：B≠∅；②若A=∅，判断B是否也为空集．23.（12分）设x>1，且x+449(x−1)−1的最小值为m．(1)求m；(2)若关于x的不等式ax2−ax+m⩾0的解集为R，求a的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x⩾0时，f(x)=x−x2，则下列说法正确的是()A. f(x)的最大值为14B. f(x)在(−1,−12)是增函数C. f(x)>0的解集为(−1,1)D. f(x)+2x⩾0的解集为[0,3]25.（5分）已知函数f(x)=x2+mx−2，若对于区间(−∞,2)上的任意实数x1,x2，当x1<x2时恒有f(x1)>f(x2)成立，那么m的取值可以是()A. −2B. −4C. −6D. 026.（5分）已知函数f(x)=x2-4x+1-a，若存在x∈[-1,1]，使得f(x)<0，则符合条件的实数a的取值区间有()A. (2,+∞)B. (0,2)C. (-2,0)D. (-3,-2)27.（5分）设d为正项等差数列{a n}的公差，若d>0，a3=2，则()A. a2a4<4B. a22+a4⩾154C. 1a1+1a5>1D. a1a5>a2a428.（5分）已知函数f(x)=log2(x2-2ax-3a2),(a>0)在[3,+∞)单调递增，则实数a不可能取的值是()A. 12B. 32C. 1D. 2答案和解析1.【答案】D; 【解析】此题主要考查了根据函数解析式判断函数的大致图像，考查了基本初等函数性质，属于中档题.将函数分为指数函数和二次函数，根据它们的性质逐一比较即可得到结果.解：∵函数y =2x −x 2e x，设f(x)=2x ，g(x)=x 2， ∵e x >0，y =2x −x 2e x符号只需判断f(x)−g(x)符号即可，当x <0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，故f(x)−g(x)在x <0上单调递增，即函数y =2x −x 2e x在x <0上单调递增，当x >0时，f(x)单调递增，g(x)也单调递增，当x =2时f(x)−g(x)=0，在0<x <2这一段有f(x)−g(x)>0，当x =4时又有f(x)−g(x)=0，且在2<x <4这一段有f(x)−g(x)<0， 又根据指数函数的增长速度快于二次函数增长速度，故当x >4时f(x)−g(x)>0， 根据以上分析可知D 符合题意， 故选D.2.【答案】C;【解析】解：函数f(x)=14cos2x +bcosx +c =12cos 2x +bcosx +c −14， 设t =cosx ，则t ∈[−1,1]；问题等价于g(t)=12t 2+bt +c −14，对任意的t 1、t 2∈[−1.1]，都有|g(t 1)−g(t 2)|⩽4；即|g(t)max −g(t)min |⩽4，欲使满足题意的b 最大，只需考虑b >0；当0<b <1时，函数g(t)=12t 2+bt +c −14的图象与函数ℎ(t)=12t 2的图象形状相同； 则|g(t 1)−g(t 2)|⩽2⩽4，所以0<b <1时显然成立；当b ⩾1时，|g(t)max −g(t)min |=g(1)−g(−1)=2b ⩽4，解得b ⩽2，所以1<b ⩽2； 综上知，b 的取值范围是0<b ⩽2，最大值是2． 故选：C ．化函数f(x)为cosx的二次函数，利用换元法设t=cosx，问题等价于g(t)对任意的t1、t2∈[−1.1]，都有|g(t1)−g(t2)|⩽4，即|g(t)max−g(t)min|⩽4；再讨论b>0时，利用二次函数的图象与性质，即可求出b的最大值．该题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了二次函数的性质应用问题，是难题．3.【答案】C;【解析】解：∵函数y=(x−1)2在区间(1,2)上单调递增，∴当x∈(1,2)时，y=(x−1)2∈(0,1)，若不等式(x−1)2<log a x恒成立，则a>1且1⩽loga2即a∈(1,2]，故选：C．根据二次函数和对数函数的图象和性质，由已知中当x∈(1,2)时，不等式(x−1)2<loga x恒成立，则y=logax必为增函数，且当x=2时的函数值不小于1，由此构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案．该题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据二次函数和对数函数的图象和性质，结合已知条件构造关于a的不等式，是解答本题的关键．4.【答案】B;【解析】解：二次函数f(x)=x2−ax+a2−3的开口向上，有两个零点分别为x1，x2，且x1<1<x2，可得12−a+a2−3<0，解得a∈(−1,2)．故选：B．利用二次函数的性质以及函数的零点列出不等式求解即可．此题主要考查二次函数的性质以及函数的零点的应用，是基础题．5.【答案】D;【解析】解：函数f(x)对称轴是x=1−a；∵f(x)在(−∞,2]上单调递减；∴1−a⩾2，a⩽−1．故选D．先求出二次函数f(x)的对称轴x=1−a，根据二次函数的单调性便可得：1−a⩾2，这样便求出a的取值范围．考查二次函数的对称轴，以及二次函数的单调性及单调区间的分布．6.【答案】A;【解析】解：对任意a ∈[3,5]关于x 的方程x 2−m a−1x −6=0在区间[3,m]上都有实数解，可得m >3，所以，C ，D 不正确；当m =2√3时，关于x 的方程x 2−ma−1x −6=0化为：x 2−2√3a−1x −6=0，命题转化为：对任意a ∈[3,5]关于x 的方程x 2−2√3a−1x −6=0在区间[3,2√3]上都有实数解，令y =x 2−2√3a−1x −6，则y′=2x −2√3a−1，x ∈[3,2√3]，a ∈[3,5]，y′>0，函数y =x 2−2√3a−1x −6是增函数，f(2√3)=6−12a−1⩾0，所以对任意a ∈[3,5]关于x 的方程x 2−ma−1x −6=0在区间[3,m]上没有实数解， 所以m =2√3不成立． 故选：A ．利用[3,m]推出m >3，排除选项，然后利用特殊值验证即可．该题考查函数的导数的综合应用，选择题的解法，考查分析问题解决问题的能力．7.【答案】A; 【解析】此题主要考查利用函数的最值解决函数的有解问题，属于中档题.解：若关于x 的不等式x 2−4x −2−a >0在区间(1,4)内有解， 则x 2−4x −2>a 在区间(1,4)内有解， 令f(x)=x 2−4x −2,x ∈(1,4)， 只需f(x)max >a 即可，f(x)=x 2−4x −2,x ∈(1,4)⇒f(x)<f(4)=−2， ∴a <−2， 故选A.8.【答案】D; 【解析】此题主要考查了向量的数量积运算和函数的最值问题，属于中档题．先根据向量的数量积的运算，求出∠DAB =120°，再把MA →,MB →用向量AB →,AD →表示出来，转化为向量AB →,AD →的数量积的运算求解.解：∵AB =2，AD =1，AB →⋅AD →=−1， ∴|AB →|⋅|AD →|cos ∠DAB =−1， ∴cos ∠DAB =−12 ∴∠DAB =120°， 设DM →=tøverrightarrowDC (0⩽t ⩽1)，则MA →=MD →+DA →=−tøverrightarrowDC −AD →=−tøverrightarrowAB −AD →, MB →=MA →+AB →=(1−t)AB →−AD →，∴MA →.MB →=(t 2−t)AB →2+(2t −1)|AB →||AD →|cos 120∘+|AD →|2=4t 2−6t +2=4(t −34)2−14，则当t =0时，MA →.MB →有最大值2. 故选D.9.【答案】B;【解析】解：由于实数x ，y 满足0<x ⩽2，0<y ⩽2，且使关于t 的方程t 2+2xt +y =0与t 2+2yt +x =0均有实数根，则{ 4x 2−4y ⩾04y 2−4x ⩾00<x ⩽20<y ⩽2，作出不等式组对应的平面区域如图： 由z =2x +y 得y =−2x +z ， 平移直线y =−2x ，由图象可知，当直线y =−2x +z 经过点A 时，y =−2x +z 的截距最小，此时z 最小． 当直线y =−2x +z 经过点B(2,2)时，y =−2x +z 的截距最大，此时z 最大． 由于{x 2=y y 2=x ，则A(1,1)，故z =2x +y 有最小值3，最大值6. 故选：B.作出不等式组对应的平面区域，利用z =2x +y 的几何意义，即可求出z =2x +y 的最值．此题主要考查线性规划的应用，利用2x +y 的几何意义结合数形结合，即可求出2x +y 的最值．10.【答案】C;【解析】此题主要考查二次函数及量词，属于基础题.由已知得x0=−b2a，利用二次函数的知识即可求解.解：当a>0时，函数f(x)=ax2+bx+c的图象为开口向上的抛物线，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则x0=−b2a为抛物线顶点的横坐标，f(x)min= f(x0)，故对于∀x∈R，f(x)⩾f(x0)成立，从而选项A、B、D为真命题，选项C为假命题．故选：C.11.【答案】B;【解析】解：底面三角形ABC的边AC=3，CM=x，∠ACB=30°，∴ΔACM的面积为：12x⋅3⋅sin30°=34x，又∵三棱锥N−AMC的高NO=PO−PN=8−2x所以三棱锥N−AMC的体积V=13(8−2x)⋅34x=−12x2+2x当x=2时取得最大值，开口向下的二次函数，故选：B．由题意直接求出三棱锥N−AMC的体积V与x变化关系，通过函数表达式，确定函数的图象即可．该题考查几何体的体积与函数之间的关系，求出底面三角形的面积，是本题的一个关键步骤，通过二次函数研究几何体的体积的变化趋势是本题的特点，是好题，新颖题目，属于中档题．12.【答案】D;【解析】解：对于选项A：当x+2022⩽−m2时，有f(x)>f(x+2022)，故选项A错误，对于选项B：f(f(x))为四次函数，y=2022x为指数函数，且是单调递增的，当x取得足够大的实数时，不存在m，n∈R，2022f(f(x))⩾2022x，故选项B错误，对于选项C：要使f(x2−1)<f(x−2022)，必须满足|x2−1−(−m2)|<|x−2022−(−m2)|，即恒有|x2−1|<|x−2022|，当x=100时，就有|x2−1|>|x−2022|，故选项C错误．对于选项D：√x2+2022×(x2+2022)⩾2022√2022，即√x2+2022⩾2022√2022x2+2022，此时若m⩾0，则−m2⩽0，那么对任意的x∈R，都有f(√x2+2022)⩾f(2022√2022x2+2022)恒成立，故选项D正确，故选：D.考虑到二次函数f(x)=x2+mx+n的对称轴的不同情况，结合二次函数的单调性，即可判断每个选项的正确与否．此题主要考查了二次函数的图象和性质，是中档题．13.【答案】−14;【解析】解：由题意定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)，任取x∈[−4,−2]，则f(x)=12f(x+2)=14f(x+4)，由于x+4∈[0,2]，当x∈[0,2]时，f(x)=x2−2x，故f(x)=12f(x+2)=14f(x+4)=14[(x+4)2−2(x+4)]=14(x2+6x+8)=14[(x+3)2−1]，x∈[−4,−2]当x=−3时，f(x)的最小值是−14.故答案为：−14.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，可得出f(x−2)=13f(x)，由此关系求出求出x∈[−4,−2]上的解析式，再配方求其最值．此题主要考查函数的最值及其几何意义，解答该题的关键是正确正解定义在R 上的函数f(x)满足f(x +2)=2f(x)，且由此关系求出x ∈[−4,−2]上的解析式，做题时要善于利用恒等式．14.【答案】{a|a≤1，或a≥2};【解析】解：∵函数y =x 2−2ax −3在区间[1,2]上具有单调性， 函数y =x 2−2ax −3的对称轴为 x =a ， ∴a ⩽1，或a ⩾2，故m 的取值范围为{ a |a ⩽1，或a ⩾2}， 故答案为：{ a |a ⩽1，或a ⩾2}．由函数y =x 2−2ax −3在区间[1,2]上具有单调性，且函数的对称轴为 x =a ，可得 a ⩽1，或a ⩾2，从而得到a 的取值范围．该题考查的知识点是二次函数，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．15.【答案】[16,13); 【解析】此题主要考查分段函数的单调性，其中根据分段函数单调性的确定方法，构造出满足条件的关于a 的不等式，是解答本题的关键．由已知中函数f(x)={(3a −1)x +4a ,x <1a x ,x ⩾1在R 上单调递减，则在两个分段上函数均单调递减，且当x =1时，按照x <1得到的函数值不小于按照x ⩾1得到的函数值，由此得到关于a 的不等式组，解不等式组即可得到答案．解：∵函数f(x)={(3a −1)x +4a ,x <1a x ,x ⩾1在R 上单调递减，∴{3a −1<00<a <13a −1+4a ⩾a 1， 解得：16⩽a <13，故答案为[16,13) .16.【答案】[-4，+∞）．;【解析】解：函数y =2x 2+ax +5的图象对称轴为x =−a4， 由于图象开口向上，故区间[1,+∞)在对称轴的右边， 则−a4⩽1， 解得a ⩾−4． 故答案为：[−4,+∞)．求出对称轴方程，由图象开口向上，故区间[1,+∞)在对称轴的右边，即可求出a 的范围．该题考查二次函数的图象和性质，考查二次函数的单调性及运用，注意在某区间单调和单调区间的区别，本题是易错题．17.【答案】12;【解析】解：根据题意，判别式Δ=(−8)2−4m ⩾0，解得，m ⩽16， ∵关于x 的方程x 2−8x +m =0的两根分别为p 和q ， ∴p +q =8，pq =m ， 由{3p +2q =18，解得{q =6， 所以m =pq =2×6=12. 故答案为：12.根据题意可得p +q =8，pq =m ，结合3p +2q =18即可求出p 与q 的值，进一步根据m =pq 即可求出m 的值．此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意可知，f (x )=sin 2x +cos x -78=1-cos 2x +cos x -78=-(cos x -12)2+38， ∅当cos x =12，函数的最大值f (x )max =38； (2)f (x )=-(cos x -12a)2+a 24+5a 8-12，当0⩽x ⩽π2时，0⩽cos x ⩽1，当0⩽a2⩽1时，即0⩽a ⩽2时，当cos x =a2时，f (x )max =a 24+5a 8-12⩽1，解得-4⩽a ⩽32，则0⩽a ⩽32，当a2<0，即a <0时，当cos x =0时，f (x )max =5a 8-12⩽1， 解得a ⩽125，即a <0，当a 2>1，即a >2时，则当cos x =1时，f (x )max =a +5a 8-32⩽1解得a ⩽2013，无解，综上可知，a 的取值范围(-∞,32].;【解析】此题主要考查了余弦函数的图象与性质、不等式的恒成立问题和利用基本不等式求最值，属于中档题.(1)当a =1时，f (x )=sin 2x +cos x -78=1-cos 2x +cos x -78=-(cos x -12)2+38.由二次函数即可得出最大值；(2)依题意f(x)=−(cos x −12a)2+a 24+5a 8−12⩽1对任意x ∈[0,π2]恒成立．由基本不等式即可得出结果.19.【答案】解：（1）因为f （x ）＞0的解集（1，3），所以二次函数与x 轴的交点为（1，0）和（3，0）则设f （x ）=a （x-1）（x-3），又因为函数图象过（0，-3），代入f （x ）得：a=-1．所以f（x）的解析式为f（x）=-（x-1）（x-3）=-x2+4x-3；（2）由（1）得f（x）=-（x-2）2+1，所以f（sinx）=-（sinx-2）2+1，因为x∈[0，π2]，所以sinx∈[0，1]，由正弦函数和f（x）都在[0，1]上单调递增，所以x∈[0，1]时，f（sinx）最小值为-3，最大值为0．;【解析】(1)根据题意可得二次函数与x轴的交点分别为(1,0)和(3,0)，可设此二次函数的两根式，把(0,−3)代入即可求出解析式；(2)由(1)求出的二次函数的解析式，利用二次函数在sin x值域的区间求最值的方法得到函数的最值即可．此题主要考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，会求复合函数的最值．学生在求函数最值时应注意自变量的取值范围．20.【答案】(1)解①配方，得y=12x2−3x−34=12(x−3)2−214，所以函数图象的顶点坐标为(3,−214)，对称轴方程为x=3，最小值为−214，无最大值.②由于3∈[1,4]，所以函数值在区间[1,3]上随x的增大而减小，在区间[3,4]上随x 的增大而增大，所以当x=3时，y min=−214，当x=1时，y max=12×4−214=−134，所以x∈[1,4]时，函数值的取值范围为[−214,−134].(2)解函数y=−x2+2ax+1−a=−(x−a)2+a2−a+1，对称轴为x=a.当a<0，x=0时，y max=1−a，所以1−a=2，所以a=−1.当0⩽a⩽1时，y max=a2−a+1，所以a2−a+1=2，所以a2−a−1=0，所以a=1±√52(舍去).当a>1，x=1时，y max=a，所以a=2.综上可知，a=−1或a=2.;【解析】此题主要考查二次函数的图象与性质，以及已知二次函数的最值求参问题，属于中等题.(1)①将原式化简为顶点式即可得到二次函数的顶点坐标、对称轴方程和最值；②结合①中的化简结果，可得二次函数的单调性，再结合单调性求函数值的取值范围即可；(2)先将式子化为顶点式，这是一个轴动区间定的问题，通过对a 的分类讨论即可得出取最值时的自变量x 的值，代入即可求出a 的值.21.【答案】解：1)由题设知，方程ax 2+x +1=0的两个根是−13,12，且a <0；所以{a 9−13+1=0a 4+12+1=0，解得a =−6；(2)由题意可知，当a ∈[−2,0)时，不等式x 2⋅a +x +1>0恒成立， 设g(a)=x 2⋅a +x +1，a ∈[−2,0)；所以{g(−2)>0g(0)>0，即{−2x 2+x −1>0x +1>0，解得−12<x <1；故实数x 的范围是−12<x <1；(3)对x ∈[0,2]恒有f(x)>0，即ax 2+x +1>0，变形为ax 2>−(x +1) 当x =0时对任意的a 都满足f(x)>0， 只须考虑x ≠0的情况，a >−(x+1)x 2即a >−1x −1x 2．要满足题意只要保证a 比右边的最大值大． 现求−1x −1x 2，在x ∈(0,2]上的最大值．令t =1x∴t ⩾12，g(t)=−t 2−t =−(t +12)2+14(t ⩾12)，g(t)max =g(12)=−34， 所以a >−34又f(x)=ax 2+x +1是二次函数， ∴a ≠0所以a >−34且a ≠0． ; 【解析】(1)由题设方程ax 2+x +1=0的两个根是−13,12，且a <0；代入方程求解即可． (2)当a ∈[−2,0)时，不等式x 2⋅a +x +1>0恒成立，设g(a)=x 2⋅a +x +1，a ∈[−2,0)；通过{g(−2)>0g(0)>0，求解实数x 的范围．(3)对x ∈[0,2]恒有f(x)>0，即ax 2+x +1>0，变形为ax 2>−(x +1)，当x =0时，x ≠0的情况，a >−(x+1)x 2即a >−1x −1x 2.要满足题意只要保证a 比右边的最大值大．现求−1x −1x 2，在x ∈(0,2]上的最大值．利用二次函数的最值求解即可．该题考查二次函数的简单性质的应用，函数恒成立，考查转化思想以及计算能力．22.【答案】解：（Ⅰ）由条件知f （x ）=x 2+bx+c 的最大值为5，最小值为-1 而b ＞2，则对称轴x =−b2＜−1，则{f(−1)=−1f(1)=5，即{c −b +1=−1b +c +1=5，解得{c =1b =3则f （x ）=x 2+3x+1．--------------------------------------------（3分） （Ⅱ）f （x ）=x 2+bx+c ，-1≤x≤0，对称轴x=-b2，若b≥2，则x =−b 2≤−1，则{c −b +1=−1c =0，解得{c =0b =2，此时f （x ）=x 2+2x ，若b≤0，则x =−b 2≥0，则{c −b +1=0c =−1，解得{c =−1b =0，此时f （x ）=x 2-1，若0＜b≤1，则x =−b 2∈[−12，0)，则{c −b +1=0c −b 24=−1，解得{c =−1b =0（舍）或{c =3b =4（舍），此时不存在函数f （x ），若1＜b ＜2，则x =−b2∈(−1，−12)，则{c =0c −b 24=−1，解得{c =0b =2（舍）或{c =0b =−2（舍），此时不存在函数f （x ）， 综上所述存在函数f （x ）=x 2-1和f （x ）=x 2+2x 满足条件-----------------------------（8分） （Ⅲ）由f （x ）=x 2+bx+c 得f （f （x ））=f 2（x ）+bf （x ）+c 及c=f （x ）-x 2-bx ， 由f （f （x ））=x 得到f 2（x ）+bf （x ）+c=x ，即f 2（x ）+bf （x ）+f （x ）-x 2-bx=x ， 整理得到f 2（x ）-x 2+b （f （x ）-x ）+（f （x ）-x ）=0， 即（f （x ）-x ）（f （x ）+x+b+1）=0① 即f （x ）-x=0或f （x ）+x+b+1=0，即x 2+（b-1）x+c=0②或x 2+（b+1）x+b+c+1=0③ 方程②的判别式△=（b-1）2-4c方程③的判别式△1=(b +1)2−4b −4c −4=(b −1)2−4c −4=△−4， ①若A≠ϕ，即f （x ）-x=0有解，即x 2+（b-1）x+c=0有解，即△≥0，则①有解， 即B≠ϕ，②若A=ϕ，即△＜0，则△1＜0，②和③均无解，则①无解，即B=ϕ．----------------（12分）; 【解析】(Ⅰ)求出函数的对称轴小于−1，得到关于b ，c 的方程组，解出即可；(Ⅱ)求出f(x)的对称轴，通过讨论对称轴的位置，结合函数的值域求出b ，c 的值，从而求出f(x)的表达式即可；(Ⅲ)通过整理方程得到x 2+(b −1)x +c =0或x 2+(b +1)x +b +c +1=0，结合二次函数的性质进行证明即可．该题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、值域问题，考查求函数的解析式，以及集合问题，是一道综合题．23.【答案】解：（1）因为x ＞1，所以x-1＞0， 所以x +449(x−1)−1=x −1+449(x−1)⩾2√449=47，当且仅当x −1=449(x−1)，即x −1=27，也即x =97时等号成立， 故m =47．（2）由（1）知，m =47，若不等式ax 2−ax +47⩾0 的解集为 R ，则 当a=0 时，47⩾0 恒成立，满足题意；当a≠0时，{a >0Δ=a 2−167a ⩽0，解得0＜a ⩽167，综上，0⩽a ⩽167，所以a 的取值范围为[0，167]．; 【解析】(1)直接利用基本不等式即可求得x +449(x−1)−1的最小值；(2)不等式ax 2−ax +m ⩾0的解集为R ，分a =0与a ≠0进行分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式求解即可．该题考查基本不等式的应用，二次函数的图象及其性质，主要考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．24.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查函数的奇偶性，单调性、最值问题及解不等式、考查学生的计算能力，属于中档题.对四个命题分别进行判断，即可得出结论.解：x ⩾0时，f(x)=x −x 2=−(x −12)2+14， ∴f(x)的最大值为14，故A 正确；因为当x ⩾0时，f(x)=x −x 2，其对称轴为x =12，由二次函数图像可知f(x)在(12,1)上单调递减，由偶函数的性质知f(x)在(−1,−12)是增函数 故B 正确；当x⩾0时，f(x)=x−x2，f(x)>0的解集为(0,1)，函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(x)>0的解集为(−1,0)∪(0,1)，故C不正确；x⩾0时，f(x)+2x=3x−x2⩾0的解集为[0,3]，x<0时，f(x)=f(−x)=−x−(−x)2=−x−x2，所以f(x)+2x=x−x2⩾0无解，所以f(x)+2x⩾0的解集为[0,3]，故D正确.故选ABD.25.【答案】BC;【解析】此题主要考查二次函数的单调性，属于基础题.由题意，得函数f(x)=x2+mx−2在(−∞,2)递减，利用二次函数的性质即可求解.解：由题意，得函数f(x)=x2+mx−2在(−∞,2)递减，⩾2，解得m⩽−4，故−m2由选项可知BC符合，故选BC.26.【答案】ABC;【解析】此题主要考查了二次函数的存在性问题，属于基础题.由题意，可以得到a>x2−4x+1=(x−2)2−3(−1⩽x⩽1)有解，求出[(x−2)2−3]min，再根据选项判断即可求解.【解析】解：由题意知存在x∈[−1,1]，使得f(x)<0，即等价于a>x2−4x+1=(x−2)2−3(−1⩽x⩽1)有解，而[(x−2)2−3]min=−2，所以a>−2，根据选项可得A，B，C满足，故选ABC.27.【答案】ABC;【解析】此题主要考查等差数列的性质，基本不等式等基础知识，考查逻辑推理、运算求解等能力，属于中档题.结合等差数列的知识和基本不等式及二次函数，逐一分析求解即可.解：由题意得a1+a5=a2+a4=2a3=4，0<a1<a2<a3<a4<a5，所以a3=2，由a 1=a 3−2d =2−2d >0，可知0<d <1. 因为a 2≠a 4，a 2>0，a 4>0，所以a 2.a 4<(a 2+a 42)2=4，故A 正确；因为a 22+a 4=(a 3−d)2+(a 3+d)=(d −32)2+154>(1−32)2+154>154，故B 正确；因为a 1≠a 5，a 1>0，a 5>0，所以1a 1+1a 5=14(a 1+a 5)(1a 1+1a 5)=14(2+a 5a 1+a 1a 5)>14(2+2√a5a1)=1，故C 正确； 因为a 1.a 5−a 2.a 4=a 1(a 1+4d)−(a 1+d)(a 1+3d)=−3d 2<0，所以a 1.a 5<a 2.a 4，故D 错误． 故选ABC .28.【答案】BCD; 【解析】【试题解析】此题主要考查复合函数的单调性，涉及对数函数，二次函数的单调性，属于基础题. 由y =log 2x 在定义域内是增函数，由题意得到a ⩽3，9−6a −3a 2>0，a >0，解：∵y =log 2x 在定义域内是增函数，∴f(x)=log 2(x 2−2ax −3a 2)在[3,+∞)单调递增即为y =x 2−2ax −3a 2在[3,+∞)单调递增，且x 2−2ax −3a 2>0在[3,+∞)上恒成立， 故a ⩽3，9−6a −3a 2>0，a >0， 故a 的范围是(0,1). 故选BCD .。

二次函数真题及答案解析

二次函数真题及答案解析

二次函数真题及答案解析二次函数是高中数学中的重要知识点，也是大学数学及工科类专业课的基础。

掌握二次函数的概念、性质和解题方法对学生的数学学习有着重要的作用。

本文就为大家选取了一些经典的二次函数真题，并对其答案进行详细解析，希望对大家的学习有所帮助。

一、真题及解析1已知函数f(x)=ax²+bx+c，其中a>0。

若对于任意的x，f(x)≥0，且不等式f(x)-c<x成立，求证：b²-4ac≥0。

解析：首先，根据题目要求，对于任意的x，都有f(x)≥0。

这意味着函数图像上的所有点都在x轴或者x轴以上。

所以，二次函数的开口一定向上，即a>0。

其次，不等式f(x)-c<x成立。

我们可以将函数f(x)进行整理，得到ax²+bx+(c-x)>0。

进一步整理可得ax²+(b-1)x+(c)>0。

根据二次函数的性质，当a>0时，二次函数的图像与x轴有两个交点，或者与x轴有一个切点。

对于这道题来说，如果函数图像与x轴有两个交点，则不可能对于任意的x，f(x)≥0。

所以只能是与x轴有一个切点。

综上所述，我们可以得知b²-4ac≥0。

二、真题及解析2已知函数f(x)=x²-4bx+4b+1，其中b为常数。

若对于任意的x，不等式f(x)≥0成立，则b的取值范围为多少？解析：根据题目要求，对于任意的x，都有f(x)≥0。

这意味着函数图像上的所有点都在x轴或者x轴以上。

所以，二次函数的开口一定向上，即a>0。

由于题目给出了函数f(x)=x²-4bx+4b+1，我们可以根据二次函数的性质来分析。

首先，根据a>0，可以得知开口是向上的。

其次，由于f(x)≥0，即对于任意x，函数图像都在x轴或者x 轴以上，我们可以知道判别式∆=b²-4ac≤0。

带入题目给出的函数，我们可以得到b²-(4b+4)≤0。

高三数学一次函数与二次函数试题

高三数学一次函数与二次函数试题

高三数学一次函数与二次函数试题1.定义在R上的函数，如果存在函数(k,b为常数），使得对一切实数x都成立，则称为函数的一个承托函数．现有如下命题：①对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数个．②函数为函数的一个承托函数．③定义域和值域都是R的函数不存在承托函数．其中正确命题的序号是：( )A．①B．②C．①③D．②③【答案】A【解析】对于①，若，则，就是它的一个承托函数，且有无数个，再如就没有承托函数，∴命题①正确；对于②，∵当时，，∴，∴不是的一个承托函数，故错误；对于③如存在一个承托函数，故错误；故选A．【考点】新定义函数，一次函数、指数函数的性质.2.已知向量，，其中.函数在区间上有最大值为4,设.(1)求实数的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)1;(2) .【解析】（1）通过向量的数量积给出，利用数量积定义求出，发现它是二次函数，利用二次函数的单调性可求出；（2）由此，不等式在上恒成立，观察这个不等式，可以用换元法令，变形为在时恒成立，从而，因此我们只要求出的最小值即可．下面我们要看是什么函数，可以看作为关于的二次函数，因此问题易解．试题解析：（1）由题得又开口向上，对称轴为，在区间单调递增，最大值为4,所以，（2）由（1）的他，令,则以可化为,即恒成立,且,当,即时最小值为0,【考点】（1）二次函数的单调性与最值；（2）换元法与二次函数的最小值．3.已知点，点在曲线:上.（1）若点在第一象限内，且，求点的坐标；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】 (1) 本小题可以通过坐标法来处理，首先根据点在第一象限内设其（），然后根据两点间距离公式，再结合点在曲线:上，联立可解得，即点的坐标为；(2) 本小题根据(1)中所得其中代入可得（），显然根据二次函数可知当时，.试题解析：设（）,（1）由已知条件得 2分将代入上式，并变形得，，解得（舍去）或 4分当时，只有满足条件，所以点的坐标为 6分（2）其中 7分（） 10分当时， 12分（不指出，扣1分）【考点】1.坐标法；2.二次函数求最值4.已知函数f(x)=a|x|+(a>0,a≠1)（1）若a>1，且关于x的方程f(x)=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；（2）设函数g(x)=" f(" x)，x∈[ 2，+∞），满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关.试求a的取值范围．【答案】（1）实数的取值范围为区间；（2）实数a的取值范围是.【解析】（1）令,换元将问题转化为关于的方程有相异的且均大于1的两根，利用二次函数的性质解答即可；（2）算得，分类讨论①当，②当，再分，讨论解答.试题解析：(1)令，，因为，所以，所以关于的方程有两个不同的正数解等价于关于的方程有相异的且均大于1的两根，即关于的方程有相异的且均大于1的两根， 2分所以， 4分解得，故实数的取值范围为区间. 6分(2)①当时，a)时，，，所以，b)时，，所以 8分ⅰ)当即时，对，，所以在上递增，所以，综合a) b)有最小值为与a有关，不符合 10分ⅱ)当即时，由得，且当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，综合a) b) 有最小值为与a无关，符合要求． 12分②当时，a) 时，，，所以b) 时，，，所以，在上递减，所以，综合a) b) 有最大值为与a有关，不符合 15分综上所述，实数a的取值范围是． 16分【考点】二次函数、利用导数求函数单调区间、利用导数求函数最值、分类讨论思想.5.若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的定义域是R，则有恒成立.设，当时，恒成立；当时，要使得恒成立，则有，解得.所以实数的取值范围是，选B.【考点】1.对数函数的定义域；2.二次函数的图像与性质6.已知，当时，．（1）证明：；（2）若成立，请先求出的值，并利用值的特点求出函数的表达式．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）根据题中条件并利用得到；（2）先利用题中条件得到，并结合得到的取值范围，结合（1）中的结论求出值，然后借助题中条件分析出函数是的图象关于轴对称，从而求出与的值，从而最终确定函数的解析式.试题解析：（1）时4分（2）由得到5分又时即将代入上式得又8分又时对均成立为函数为对称轴 10分又12分13分【考点】1.函数不等式；2.二次函数的对称性7.二次函数f(x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x且f (0)＝1．⑴求f (x)的解析式；⑵在区间[－1，1]上，y＝f (x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）根据二次函数满足条件，及，可求，，从而可求函数的解析式；（2）在区间上，的图象恒在的图象上方，等价于在上恒成立，等价于在上恒成立，求出左边函数的最小值，即可求得实数的取值范围．试题解析：（1）由，令，得；令，得.设,故解得故的解析式为.（2）因为的图像恒在的图像上方,所以在上，恒成立.即：在区间恒成立.所以令 ,故在上的最小值为，∴ .【考点】二次函数的性质.8.如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】由二次函数在区间上为减函数，则，即．【考点】二次函数的性质．9.已知函数的两个零点分别在区间和区间内，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，∴，∴即实数的取值范围是，故选A【考点】本题考查了一元二次方程根的分布点评：熟练掌握常见的一元二次方程根的分布规律是解决此类问题的关键，属基础题10.已知函数y＝4x－3×2x＋3，当其值域为[1,7]时，则变量x的取值范围是A．[2,4]B．(－∞，0]C．(0,1]∪[2,4]D．(－∞，0]∪[1,2]【答案】D【解析】令，则，又值域为[1,7]，所以或，故或.【考点】函数的值域．点评：本题主要考查了二次函数的值域的求解，解答中要注意善于利用二次函数的图象，结合图象熟悉函数的单调性是解决本题的关键．11.已知定义在上的函数满足，且的导函数则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令则原不等式为因为所以于是单调增于是当时解集为【考点】导数，不等式解法，构造函数的思想。

二次函数经典测试题含答案解析

二次函数经典测试题含答案解析

二次函数经典测试题含答案解析一、选择题1．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确；根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误； 根据函数对称轴可得：-2b a=3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确；根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.2．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a -b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】 利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a =1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a-=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.3．将抛物线243y x x =-+平移，使它平移后图象的顶点为()2,4-，则需将该抛物线（ ）A ．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位B ．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位C ．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位D ．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位【答案】C【解析】【分析】先把抛物线243y x x =-+化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】∵抛物线243y x x =-+可化为()221y x =--∴其顶点坐标为：(2,−1)，∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位． 故选C.【点睛】本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.4．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：下列结论错误的是( )A ．0ac <B ．3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根；C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小；D ．当13x -<<时，()210.ax b x c +-+>【答案】C【解析】【分析】根据函数中的x 与y 的部分对应值表，可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断．【详解】解：根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知：当1x =-时，1y =-，即1a b c -+=-，当0x =时，3y =，即3c =，当1x =时，5y =，即5a b c ++=，联立以上方程：135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴233y x x =-++；A 、1330=-⨯=-<ac ，故本选项正确；B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=， 将3x =代入得：232339630-+⨯+=-++=，∴3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确； C 、233y x x =-++化为顶点式得：2321()24=--+y x ， ∵10a =-<，则抛物线的开口向下， ∴当32x >时，y 的值随x 值的增大而减小；当32x <时，y 的值随x 值的增大而增大；故本选项错误； D 、不等式()210ax b x c +-+>可化为2230x x -++>，令2y x 2x 3=-++， 由二次函数的图象可得：当0y >时，13x -<<，故本选项正确；故选：C ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．5．函数25y ax bx =++(0)a ≠，当1x =与7x =时函数值相等，则8x =时，函数值等于( )A ．5B ．52-C ．52D ．－5【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的对称性，求得函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴，进而判断与8x =的函数值相等时x 的值，由此可得结果．【详解】∵函数25y ax bx =++(0)a ≠，当1x =与7x =时函数值相等，∴函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴为：1742x +==， ∴8x =与0x =的函数值相等，∴当8x =时，250055y ax bx a b =++=⨯+⨯+=，即8x =时，函数值等于5，故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和对称性．掌握二次函数的对称性和对称轴的求法，是解题的关键．6．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，有以下结论：①a +b +c ＜0；②a ﹣b +c ＞1；③abc ＞0；④9a ﹣3b +c ＜0；⑤c ﹣a ＞1．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③④C ．①②③④D ．①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向可得出a 的符号，再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可．【详解】由图象可知，a ＜0，c=1，对称轴：x=b12a-=-， ∴b=2a ， ①由图可知：当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，正确；②由图可知：当x=−1时，y ＞1，∴a −b+c ＞1，正确；③ab c=2a 2＞0，正确；④由图可知：当x=−3时，y ＜0，∴9a −3b+c ＜0，正确；⑤c−a=1−a ＞1，正确；∴①②③④⑤正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．7．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论①24b ac >，②0abc <，③20a b c +->，④0a b c ++<．其中正确的是（ ）A ．①④B ．②④C ．②③D ．①②③④【答案】A【解析】【分析】 ①抛物线与x 轴由两个交点，则240b ac ->，即24b ac >，所以①正确；②由二次函数图象可知，0a <，0b <，0c >，所以0abc >，故②错误；③对称轴：直线12b x a=-=-，2b a =，所以24a b c a c +-=-，240a b c a c +-=-<，故③错误；④对称轴为直线1x =-，抛物线与x 轴一个交点132x -<<-，则抛物线与x 轴另一个交点201x <<，当1x =时，0y a b c =++<，故④正确．【详解】解：①∵抛物线与x 轴由两个交点，∴240b ac ->，即24b ac >，所以①正确；②由二次函数图象可知，0a <，0b <，0c >，∴0abc >，故②错误；③∵对称轴：直线12b x a=-=-， ∴2b a =，∴24a b c a c +-=-，∵0a <，40a <， 0c >，0a <，∴240a b c a c +-=-<，故③错误；④∵对称轴为直线1x =-，抛物线与x 轴一个交点132x -<<-，∴抛物线与x 轴另一个交点201x <<，当1x =时，0y a b c =++<，故④正确．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．8．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a +2b +c ＜0；（2）方程ax 2+bx +c ＝0两根都大于零；（3）y 随x 的增大而增大；（4）一次函数y ＝x +bc 的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 由图可知，x=2时函数值小于0，故（1）正确，函数与x 轴的交点为x=1.x=3，都大于0，故（2）正确 ，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a ＞0，与y 轴交于正半轴，c ＞0，对称轴x=﹣＝1，故b ＜0，bc ＜0，即可判断一次函数y ＝x +bc 的图象. 【详解】①由x ＝2时，y ＝4a +2b +c ，由图象知：y ＝4a +2b +c ＜0，故正确；②方程ax 2+bx +c ＝0两根分别为1，3，都大于0，故正确；③当x ＜2时，由图象知：y 随x 的增大而减小，故错误；④由图象开口向上，a ＞0，与y 轴交于正半轴，c ＞0，x=﹣＝1＞0，∴b ＜0， ∴bc ＜0，∴一次函数y ＝x +bc 的图象一定过第一、三、四象限，故正确；故正确的共有3个，故选：C ．【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.9．已知抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点．下列结论：①4c <；②当1x =时，y 有最小值2c -；③方程22420x x c -+-=有两个不等实根；④若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则52c =；其中正确的结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】【分析】根据“抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点”即可判断①③；根据抛物线的对称轴为直线x=1即可判断②；根据等腰直角三角形的性质，用c 表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断④．【详解】解：∵抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点，∴2242x x c -+=有两个不相等的实数根，即22420x x c -+-=有两个不相等的实数根，故③正确，∴1642(2)0c ∆=-⨯⨯->，解得：4c <，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上，∴当x=1时，2y c =-为最小值，故②正确；若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则顶点（1，c-2）到直线y=2的距离等于两交点距离的一半，∵顶点（1，c-2）到直线y=2的距离为2-（c-2）=4-c ，∴两交点的横坐标分别为1-（4-c ）=c-3与1+（4-c ）=5-c∴两交点坐标为（c-3,2）与（5-c,2），将（c-3,2）代入224y x x c =-+中得：22(3)4(3)2c c c ---+= 解得：72c =或4c = ∵4c <， ∴72c =，故④错误， ∴正确的有①②③，故选：B ．【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系．10．如图，ABC ∆为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意．【详解】根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，∴选项B 符合题意，选项A 不合题意．故选B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．11．已知二次函数223(0)y ax ax a a =--≠，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是( )A ．该图象的顶点坐标为()1,4a -B ．该图象与x 轴的交点为()()1,0,3,0-C ．若该图象经过点()2,5-，则一定经过点()4,5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：y=a （x 2-2x-3）=a （x-3）（x+1）令y=0，∴x=3或x=-1，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（3，0）与（-1，0），故B 成立；∴抛物线的对称轴为：x=1，令x=1代入y=ax 2-2ax-3a ，∴y=a-2a-3a=-4a ，∴顶点坐标为（1，-4a ），故A 成立；由于点（-2，5）与（4，5）关于直线x=1对称，∴若该图象经过点（-2，5），则一定经过点（4，5），故C 成立；当x ＞1，a ＞0时，y 随着x 的增大而增大，当x ＞1，a ＜0时，y 随着x 的增大而减少，故D 不一定成立；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．12．如图，四边形ABCD 是正方形，8AB =，AC 、BD 交于点O ，点P 、Q 分别是AB 、BD 上的动点，点P 的运动路径是AB BC →，点Q 的运动路径是BD ，两点的运动速度相同并且同时结束.若点P 的行程为x ，PBQ △的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】 分点P 在AB 边和BC 边上两种情况画出图形，分别求出y 关于x 的函数关系式，再结合其取值范围和图象的性质判断即可.【详解】解：当点P 在AB 边上，即08x ≤≤时，如图1，由题意得：AP=BQ=x ，∠ABD =45°，∴ BP =8－x ，过点Q 作QF ⊥AB 于点F ，则QF =2222BQ x =， 则2122(8)22224y x x x x =-⋅=-+，此段抛物线的开口向下；当点P 在BC 边上，即882x <≤时，如图2，由题意得：BQ=x ，BP=x －8，∠CBD =45°， 过点Q 作QE ⊥BC 于点E ，则QE =2222BQ x =， 则2122(8)22224y x x x x =-⋅=-，此段抛物线的开口向上. 故选A. 【点睛】本题以正方形为依托，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、等腰直角三角形的性质和二次函数的图象等知识，分情况讨论、正确列出二次函数的关系式是解题的关键.13．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画，下列结论错误的是( )A ．斜坡的坡度为1: 2B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．当小球抛出高度达到7.5m 时，小球距O 点水平距离为3m 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线与直线的交点，判断A 、C ；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B ；求出当7.5y =时，x 的值，判定D ． 【详解】解：214212y xxy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得，11xy=⎧⎨=⎩，22772xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，72∶7=1∶2，∴A正确；小球落地点距O点水平距离为7米，C正确；2142y x x=-21(4)82x=--+，则抛物线的对称轴为4x=，∴当4x>时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，当7.5y=时，217.542x x=-，整理得28150x x-+=，解得，13x=，25x=，∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，D错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．14．如图，已知将抛物线21y x=-沿x轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界），在这个区域内有5个整点（点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”）.现将抛物线()()2120y a x a=++<沿x轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有11个整点，则a的取值范围是（）A ．1a ≤-B ．12a ≤-C ．112a -<≤D ．112a -≤<-【答案】D 【解析】 【分析】画出图象，利用图象可得m 的取值范围 【详解】 解：∵ ()()2120y a x a =++<∴该抛物线开口向下，顶点(-1，2)，对称轴是直线x=-1.∴点(-1,2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1,-1)、点(-1，-2)符合题意，此时x 轴.上的点(-2, 0)、(0, 0)也符合题意，将(0，1)代入()()2120y a x a =++<得到1=a+2.解得a=-1. 将(1, 0)代入()()2120y a x a =++<得到0= 4a+2.解得a=1-2∵有11个整点，∴点(0，-1)、点(-2, -1)、点(-2,1)、点(0，1)也必须符合题意.综上可知:当1-1a<-2≤ 时，点(-1，2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1，-1)、点(-1，-2)、点(-2, 0)、(0，0)、点(0，-1)、点(-2，-1)、点(-2，1)、点(0, 1)，共有11个整点符合题意, 故选: D. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键.15．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：给出以下结论：（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当﹣12＜x＜2时，y＜0；（3）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4时，y1＞y2．上述结论中正确的结论个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】根据表格的数据，以及二次函数的性质，即可对每个选项进行判断.【详解】解：（1）函数的对称轴为：x＝1，最小值为﹣4，故错误，不符合题意；（2）从表格可以看出，当﹣12＜x＜2时，y＜0，符合题意；（3）﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4时，x2离对称轴远，故错误，不符合题意；故选择：B．【点睛】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．已知抛物线y=x2+2x上三点A（﹣5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的关系式为（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2【答案】C【解析】【分析】首先求出抛物线y=x2+2x的对称轴，对称轴为直线x=-1；然后根据A、B、C的横坐标与对称轴的位置，接着利用抛物线的增减性质即可求解；由B离对称轴最近，A次之，C最远，则对应y的值大小可确定.【详解】∵抛物线y=x2+2x，∴x=-1，而A（-5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），∴B离对称轴最近，A次之，C最远，∴y2＜y1＜y3．故选:C．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．17．下列函数（1）y=x（2）y=2x﹣1 （3）y=1x（4）y=2﹣3x（5）y=x2﹣1中，是一次函数的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】【分析】分别利用一次函数、二次函数和反比例函数的定义分析得出即可．【详解】解：（1）y=x是一次函数，符合题意；（2）y=2x﹣1是一次函数，符合题意；（3）y=1x是反比例函数，不符合题意；（4）y=2﹣3x是一次函数，符合题意；（5）y=x2﹣1是二次函数，不符合题意；故是一次函数的有3个．故选：B．【点睛】此题考查一次函数、二次函数和反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．18．在函数2yx=，3y x=+，2y x=的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解．【详解】y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x2图象不是中心对称图形；只有函数2yx=符合条件．故选：B．【点睛】本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．19．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③3a+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】试题解析：①由开口向下，可得0,a < 又由抛物线与y 轴交于正半轴，可得0c >，再根据对称轴在y 轴左侧，得到b 与a 同号，则可得0,0b abc ， 故①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->， 故②正确； ③当2x =-时，0,y < 即420a b c -+< ……（1） 当1x =时，0y <,即0a b c ++< ……（2） （1）+（2）×2得，630a c +<， 即20a c +<， 又因为0,a <所以()230a a c a c ，++=+< 故③错误；④因为1x =时，0y a b c =++<，1x =-时，0y a b c =-+> 所以()()0a b c a b c ++-+<即()()22()0,a c b a c b a c b ⎡⎤⎡⎤+++-=+-<⎣⎦⎣⎦所以22().a c b +< 故④正确，综上可知，正确的结论有2个. 故选B ．20．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．【详解】解：由方程组2y ax bxy bx a⎧=+⎨=-⎩得ax2＝−a，∵a≠0∴x2＝−1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．故选C．【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．。

2020-2021学年高考总复习数学(理)一次函数和二次函数(2)专项复习答案及解析

2020-2021学年高考总复习数学(理)一次函数和二次函数(2)专项复习答案及解析

最新高三数学复习精选练习（理数，含解析）一次函数和二次函数（2）1、设函数1(1)|-1|)=1(=1)x x f x x ⎧≠⎪⎨⎪⎩（，若关于x 的方程2[()]+()+c=0f x bf x 有三个不同的实数根123,,x x x ，则222123++x x x 等于 （ ）A ．13B ．5C ．223c +2cD ．222b +2b【答案】B2、已知二次函数()f x 满足：(0)3f =；(1)()2.f x f x x +=+ （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()y f x =在[1,4]-上的最值． 【答案】（1）2()3f x x x =-+ （2）min 111()()24f x f ==；max ()(4)15f x f == 思路点拨：（1）求函数解析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；对于本题已知函数的类型，就可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围；求分段函数的解析式时，一定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系;（2）求函数的最值没有固定的模式，常用的方法主要有配方法，数形结合及函数的单调性试题解析：（1）设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(0)3f =得3c =， 又(1)()2f x f x x +=+，所以有22(1)(1)2a x b x c ax bx c x ++++=+++，整理得：(22)0a x a b -++=，此式对x R ∈恒成立，所以220,0a a b -=+=，解得1,1a b ==-，所以函数2()3f x x x =-+； （2）2111()()24f x x =-+在1[1,]2-上单减，在1[,4]2上单增，所以min 111()()24f x f ==，又(1)5f -=，(4)15f =，所以max ()(4)15f x f ==3、已知函数()322,()2,03a f x x ax cx g x ax ax c a =++=++≠，则它们的图象可能是()【答案】B4、若函数2(),f x x x ax =+∈R ，常数a ∈R ，则（ ）A ．存在,a 使()f x 是奇函数B ．存在,a 使()f x 是偶函数C ．,a f x ∀∈R ()在(0,)+∞上是增函数D ．,a f x ∀∈R ()在(,0)-∞上是减函数 【答案】B5、如果函数2(1)2y x a x =+-+在区间(∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A ． a ≥5B ．a ≤3C ．a ≥9D ．a ≤7 【答案】C6、某工厂去年产值是a,计划今后五年内每年比上一年产值增长10%,从今年起到第五年这个工厂的总产值是 ( )A. 1.14aB. 1.1(1.15-1)aC. 10(1.15-1)aD. 11(1.15-1)a 【答案】D7、对一切实数x ，所有的二次函数()c bx ax x f ++=2（a ＜b ）的值均为非负实数．则cb a ab ++-的最大值是（ ）A ．31B ．21 C ．3D ．2【答案】A8、已知实数,x y 分别满足：3(3)2014(3)1x x -+-=，3(23)2014(23)1y y -+-=-，则2244x y x ++的最小值是（ ） A ．0 B ．26 C ．28D ．30【答案】C9、已知函数22()1(,)f x x ax b b a R b R =-++-+∈∈，对任意实数x 都有(1)=(1+)f x f x -成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立，则b 的取值范围是（ ） A ．10b -<< B ．2b > C ．1b <-或2b > D ．不能确定【答案】C 10、设函数f(x)=1x,g(x)=ax 2+bx(a,b ∈R,a ≠0),若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则下列判断正确的是（ ） A ．当a<0时,x 1+x 2<0,y 1+y 2<0 B ．当a<0时,x 1+x 2>0,y 1+y 2>0 C ．当a>0时,x 1+x 2>0,y 1+y 2<0 D ．当a>0时,x 1+x 2<0,y 1+y 2>0 【答案】D11、已知函数22(1)()714(1)x axx f x a x a x ⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩,若1212,x x R x x ∃∈≠，且,使得12()()f x f x =,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)(3,5)-∞⋃B ．[](]2,3,-5⋃-∞C ．[]2,3D ．[)5,+∞【答案】A12、如果抛物线2y a x b x c =++经过点（-1，0）和（3，0），那么它的对称轴是直线 A.x = 0 B.x = 1C.x = 2D.x = 3【答案】B【解析】抛物线2y a x b x c =++经过点（-1，0）和（3，0），则对称轴是x=1312-+=. 13、若函数2()2f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是.【答案】[4,0]-14、已知函数2()(,),f x x bx c b c R =++∈对任意的x R ∈，恒有'()f x ≤()f x .若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式22()()()f c f b M c b -≤-恒成立，则M 的最小值为．【答案】23.【解析】易知b x x f +='2)(．由题设有，对任意的x ∈R ，2x+b ≤x 2+bx+c ，即x 2+（b-2）x+c-b ≥0恒成立，所以（b-2）2-4（c-b ）≤0，从而142+≥b c ．于是1≥c ，且b b c =⨯≥1222，即c ≥|b|当b c >时，有c b cb bc b bc b c b c b f c f M ++=--+-=--≥2)()(2222222， 令c b t =则-1＜t ＜1，1121122+-=++=++t t t c b c b ， 而函数11,112)(<<-+-=t t t g 的值域)23,(-∞；因此，当c ＞|b|时M 的取值集合为),23[+∞．当c=|b|时，由0)(4)2(2≤---b c b 知，b=±2，c=2.此时,0,,8)()(or b f c f -=-而c 2-b 2=0，从而)(23)()(22b c b f c f -≤-恒成立． 综上所述，M 的最小值为23．15、设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的高调函数．如果定义域为[)1,-+∞的函数()2f x x =为[)1,-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是_________.【答案】[)2,+∞.【解析】由题意，22)(x m x ≥+在[-1，+∞）上恒成立，∴2kx+m 2≥0在[-1，+∞）上恒成立20202≥∴⎩⎨⎧≥+->∴m m m m 故答案为：2≥m ．16、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，)2,(n Q 是图象上的一点，且BQ AQ ⊥，则a 的值为．【答案】21-. 【解析】首先设出02=++c bx ax 的两根分别为21,x x ，然后由韦达定理得，a b x x -=+21，ac x x =21，再根据BQ AQ ⊥得到：222AB BQ AQ =+，即221222)(4)(4)(1x x n x n x -=+-++-，化简得：04)(21212=+++-x x x x n n ，即042=+++acn a b n ，所以a c bn an 42-=++.最后由点)2,(n 是图像上的一点，所以，22=++c bn an ，所以24=-a ，即21-=a .故答案为21-=a .17、设二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x ，不等式x x f 4)(≥恒成立． （Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）设()1g x kx =+，若2()log [()()]F x g x f x =-在区间[1，2]上是增函数，求实数k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 试题分析：第一问根据函数图像过点可以确定，根据函数图像过点可以确定，从而得到，此时可以求得，利用恒成立，可以确定恒成立，从而得到，解得，进而求得函数解析式，第二问利用题的条件，确定出函数的解析式，根据函数在区间上单调增的条件，得出621222≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≥-kkk，从而求得结果.试题解析：（Ⅰ），，，即恒成立，得，（Ⅱ）))2((log))()((log)(222xkxxfxgxF-+-=-=由在区间上是增函数得在上为增函数且恒正故621222≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≥-kkk考点：求二次函数的解析式，复合函数的单调性法则.18、已知：，（1）当时，恒有，求的取值范围；（2）当时，恰有成立，求的值．（3）当时，恒有，求的取值范围；【答案】（1）；（2）．试题分析：考虑f（x）是否为二次函数，首先要进行分类讨论，若f（x）为二次函数则由图像分布的位置可知，f（x）开口向下且与x轴无交点．（2）构造一个新函数g（x）=f（x）-mx+7,这样问题转化为二次函数问题．（3）对于二次函数在区间上的恒成立问题只需要考虑将f（x）的最大值小于零．试题解析：（1）当a=2时，f（x）=-4＜0满足；当a≠2时，解得-2＜x＜2综上，a的取值范围为（2）∵f （x ）＜mx-7，∴f （x ）-mx+7＜0，即（a-2）x2+（2a-4-m ）x+3＜0， 令g （x ）=（a-2）x 2+（2a-4-m ）x+3＜0，∵x ∈（1，3）时，恰有f （x ）＜mx-7成立所以1，3为方程g （x ）=0的根，由韦达定理知：1+3=；1×3=解得a=3m=6（3）由（1）得a=2，成立，当a ≠2，对称轴x=-1解得：综上，a 的取值范围为考点：1、二次函数；2、一元二次方程．19、某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么可卖出400件，如果每提高单价1元，那么销售量Q （件）会减少20，设每件商品售价为x （元）； （1）请将销售量Q （件）表示成关于每件商品售价x （元）的函数； （2）请问当售价x （元）为多少，才能使这批商品的总利润y （元）最大？ 【答案】（1）()10002Q x x =-，()30,50x ∈（2）故当35x =时总利润最大 试题分析：（1）销售量在原销售量400的基础上，减去价格上引起的减少量即可得到与售价的函数关系式（2）总利润=每件日用品的利润×可卖出的件数，利用公式法可得二次函数的最值，减去原价即为提高的售价试题解析：（1）()()400203010002Q x x x =--=-x ∈（30，50）（2）2(20)(100020)20(701000)y x x x x =--=--+（3050x <<）二次函数对称轴为35x =由二次函数性质可知当35x =时总利润最大 考点：二次函数的实际应用20、已知f （x ）=﹣3x 2+m （6﹣m ）x+6（Ⅰ）若关于x 的不等式f （x ）＞n 的解集为（﹣1，3），求实数m ，n 的值； （Ⅱ）解关于m 的不等式f （1）＜0. 【答案】试题分析：（Ⅰ）根据二次函数和不等式的关系，得到方程组，解出即可；（2）由已知f （1）=﹣m 2+6m+3，得不等式﹣m 2+6m+3＜0，解出即可． 试题解析：解：（Ⅰ）∵f （x ）＞n ， ∴3x 2﹣m （6﹣m ）x+n ﹣6＜0，∴﹣1，3是方程3x 2﹣m （6﹣m ）x+n ﹣6=0的两根，，∴；（Ⅱ）由已知f （1）=﹣m 2+6m+3， ∴﹣m 2+6m+3＜0， ∴m 2﹣6m ﹣3＞0， ∴，∴不等式f （1）＜0的解集为：．考点：二次函数的性质．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了不等式和二次函数的关系，是一道基础题．21、已知二次函数2()f x ax bx =+（,a b 为常数且0a ≠）满足(1)(1),f x f x -=+且方程()f x x =有等根． （1）求()f x 的解析式;（2）设()12()(1)g x f x x =->的反函数为1(),g x -若12(2)(32)x xg m ->-对[1,2]x ∈恒成立,求实数m 的取值范围． 【答案】（1）()212f x x x =-+；（2）53m -<< 试题分析：（1）先由()()11f x f x -=+得函数对称轴，再由方程()f x x =有等根，得方程()f x x =的判别式等于零，最后解方程即可；（2）由（1）得出()g x 的解析式，再将x 用y 表示，最后交换x y 、，即可求出反函数的解析式，从而得()1232x xm +>-对[]12x ∈，恒成立，2x t =，转化成关于的一次函数恒成立问题，根据函数在[]24，上的单调性建立不等式，从而求出所求．试题解析：解：（1）∵()()11f x f x -=+， ∴函数的对称轴为1x =，即12ba-= ∵方程()f x x =有等根，∴()210b ∆=-=∴112b a ==-， ∴()212f x x x =-+． （2）由（1）得()221g x x x =-+， 当1x >时，())2110110y x x g x x -=-⇒=+⇒=>＞（），∵()()12232x x g m ->-对[]12x ∈，恒成立， 即()1232x x m +>-对[]12x ∈，恒成立， 令2x t =，则()1130m t m ++->，对[]24t ∈，恒成立， ∴()()2113041130m m m m ++->⎧⎪⎨++->⎪⎩53m ⇒-<<． 考点：1.待定系数法求函数解析式；2.二次函数的性质；3.反函数．22、已知函数2()(2)f x x a x b =+++，2)1(-=-f ，对于R x ∈，x x f 2)(≥恒成立．(Ⅰ)求函数)(x f 的解析式； (Ⅱ)设函数4)()(-=xx f x g . ①证明：函数)(x g 在区间在),1[+∞上是增函数；②是否存在正实数n m <,当n x m ≤≤时函数)(x g 的值域为]2,2[++n m ．若存在，求出n m ,的值，若不存在，则说明理由．【答案】(Ⅰ)()241f x x x =++；(Ⅱ)①详见解析；②详见解析。

二次函数测试题及答案

二次函数测试题及答案

二次函数测试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是二次函数的一般形式？A. y = ax^2 + bx + cB. y = 3x^2 - 2x + 1C. y = 5x^2 + 3D. y = 2x答案：D2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标是：A. (-b, c)B. (-b/2a, c)C. (-b/2a, 4ac - b^2 / 4a)D. (-b/a, 4ac - b^2 / 4a)答案：C3. 若二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，则a的取值范围是：A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 0答案：A二、填空题4. 二次函数y = x^2 - 2x + 1的顶点坐标是_________。

答案：(1, 0)5. 当a > 0时，二次函数y = ax^2 + bx + c的图象与x轴的交点个数最多为_______。

答案：2三、解答题6. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 3，求其顶点坐标。

解：首先，我们可以将二次函数写成顶点形式：y = 2(x - 1)^2 + 1。

因此，顶点坐标为(1, 1)。

7. 某二次函数的图象经过点(1, 1)和(2, 4)，且对称轴为直线x = 2。

求该二次函数的解析式。

解：设二次函数的解析式为y = a(x - 2)^2 + k。

将点(1, 1)代入得：1 = a(1 - 2)^2 + k1 = a + k将点(2, 4)代入得：4 = a(2 - 2)^2 + k4 = k由上述两个方程组可得a = -3，k = 4。

因此，该二次函数的解析式为y = -3(x - 2)^2 + 4。

四、应用题8. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 0.5x^2 - 10x + 100，其中x表示产品数量。

求该工厂生产多少件产品时，平均成本最低。

解：平均成本为C(x)/x = 0.5x - 10 + 100/x。

高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析

高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析

高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点与左右两焦点、构成的三角形中面积的最大值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点，连接与椭圆的另一交点记为，若与椭圆相切时、不重合，连接与椭圆的另一交点记为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用已知条件列举出有关、、的方程组，结合三者之间满足的勾股关系求出、、的值，从而确定椭圆的方程；（2）设直线与的方程分别为以及，将两条直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得到点与点之间的关系（关于轴对称），从而得到两点坐标之间的关系，最后将利用点的坐标进行表示，注意到坐标的取值范围，然后利用二次函数求出的取值范围.（1）由题可知：，，解得：，，，故椭圆的方程为：；（2）不妨设、、，由题意可知直线的斜率是存在的，故设直线的斜率为，直线的斜率为的方程为：代入椭圆方程，得，，将，代入解得：，的方程为：代入椭圆方程，得，，将，，代入解得：，，又、不重合，，，.【考点】1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.二次函数；4.向量的数量积2.设函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a≠0)，若不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)．(1)求a，b的值；(2)若函数f(x)在x∈[m,1]上的最小值为1，求实数m的值．【答案】（1）a＝－1，b＝4 （2）1－【解析】(1)由条件得，解得：a＝－1，b＝4.(2)f(x)＝－x2＋2x＋3，对称轴方程为x＝1，∴f(x)在x∈[m,1]上单调递增．∴x＝m时，f(x)＝－m2＋2m＋3＝1，min解得m＝1±.∵m＜1，∴m＝1－.3.已知函数在区间（）上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】作出函数的图象如下图所示，从图可以看出当时，函数在区间（）上的最大值为4，最小值为3.故选A.【考点】二次函数.4.设二次函数满足条件：①；②函数的图像与直线相切．（1）求函数的解析式；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】由的图象的对称轴方程是，于是有，依题意，方程组有且只有一解，利用即可求得与，从而得函数的解析式；（2）利用指数函数的单调性质，知在时恒成立，构造函数，由即可求得答案．试题解析：（1）由①可知，二次函数图像对称轴方程是，；又因为函数的图像与直线相切，所以方程组有且只有一解，即方程有两个相等的实根，，所以，函数的解析式是．（2），等价于，即不等式在时恒成立，问题等价于一次函数在时恒成立，即，解得：或，故所求实数的取值范围是．【考点】1、函数恒成立问题；2、二次函数的性质．5.椭圆c：（a>b>0）的离心率为，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1，（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，点P是直线x=1上的动点，直线PA与椭圆的另一个交点为M，直线PB与椭圆的另一个交点为N，求证：直线MN经过一定点.【答案】（1）；（2）证明详见解析【解析】（1）由已知可得，＝１，解出a，b即可.（2）设Ｐ（１，ｔ）,则直线，联立直线PA方程和椭圆方程可得，同理得到，由椭圆的对称性可知这样的定点在轴，不妨设这个定点为Ｑ，由，求得m的存在即可.试题解析：（1）依题意过焦点Ｆ与长轴垂直的直线ｘ＝ｃ与椭圆联立解答弦长为＝１， 2分所以椭圆的方程. 4分（2）设Ｐ（１，ｔ），直线，联立得：即，可知所以，则 6分同理得到 8分由椭圆的对称性可知这样的定点在轴，不妨设这个定点为Ｑ， 10分又，，，，. 12分【考点】1.椭圆方程的性质；2.点共线的证法.6.设二次函数f(x)=ax2+bx+c,如果f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则f(x1+x2)等于()A．-B．-C．c D．【答案】C【解析】∵f(x1)=f(x2),∴f(x)的对称轴为x=-=,得f(x1+x2)=f-=a×+b×+c=c,故选C.7.函数的图象和函数的图象的交点个数是。

二次函数经典测试题附答案解析

二次函数经典测试题附答案解析

二次函数经典测试题附答案解析一、选择题1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c＜0；（2）方程ax2+bx+c＝0两根都大于零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数y＝x+bc 的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】由图可知，x=2时函数值小于0，故（1）正确，函数与x轴的交点为x=1.x=3，都大于0，故（2）正确，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，对称轴x=﹣＝1，故b＜0，bc＜0，即可判断一次函数y＝x+bc的图象.【详解】①由x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＜0，故正确；②方程ax2+bx+c＝0两根分别为1，3，都大于0，故正确；③当x＜2时，由图象知：y随x的增大而减小，故错误；④由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，x=﹣＝1＞0，∴b＜0，∴bc＜0，∴一次函数y＝x+bc的图象一定过第一、三、四象限，故正确；故正确的共有3个，故选：C．【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.2．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（）A．原数与对应新数的差不可能等于零B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为21100m ，设新数与原数的差为y 则2211100100y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵10100-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，21100m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．故答案选：D ．【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．3．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b+＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝222ax bx +，且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤【答案】D【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】解：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴为x=1，则-2b a=1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值∴+a b ＞2am bm +（故③正确）：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误）由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误）⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0∵1x ≠2x∴a(x 1+x 2)+b=0∴x 1+x 2=2b a a a-=-=2 （故⑤正确） 故选D ．考点：二次函数图像与系数的关系.4．对于二次函数()21202y ax a x a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，下列说法正确的个数是（ ） ①对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()2,1和()0,0两点；②若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有001x <<；③当0x ≥时，y 随x 的增大而增大；④若()14,P y ，()()24,0Q m y m +>是函数图象上的两点，如果12y y >总成立，则112a ≤-． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）逐个判断即可．【详解】 对于()21202y ax a x a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭当2x =时，142(2)12y a a =+-=，则二次函数的图象都经过点()2,1当0x =时，0y =，则二次函数的图象都经过点()0,0则说法①正确 此二次函数的对称轴为1212124a x a a-=-=-+ 0a <Q1114a∴-+> 01x ∴>，则说法②错误 由二次函数的性质可知，抛物线的开口向下，当114x a<-+时，y 随x 的增大而增大；当114x a ≥-+时，y 随x 的增大而减小 因11104a-+>> 则当1014x a <-≤+时，y 随x 的增大而增大；当114x a≥-+时，y 随x 的增大而减小 即说法③错误 0m >Q44m ∴+>由12y y >总成立得，其对称轴1144x a=-+≤ 解得112a ≤-，则说法④正确 综上，说法正确的个数是2个故选：B ．【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．5．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ，b ，c 的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解．【详解】∵函数的图象开口向上，与y 轴交于负半轴∴a>0,c<0∵抛物线的对称轴为直线x=－2b a=1 ∴b<0∴abc ＞0；①正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，所以②不正确；∵抛物线的顶点坐标为（1，m ）， ∴244ac b a =m ， ∴b 2=4ac-4am=4a （c-m ），所以③正确；∵抛物线与直线y=m 有一个公共点，∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选:C ．【点睛】考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键．6．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,0)和点(3,0)，有下列说法：①bc ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③2a ＋b ＝0；④4ac ＞b 2．其中错误的是( )A ．②④B ．①③④C ．①②④D ．②③④【答案】C【解析】【分析】 利用抛物线开口方向得到0a >，利用对称轴在y 轴的右侧得到0b <，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到0c <，则可对A 进行判断；利用当1x =时，0y <可对B 进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线12b x a=-=，则可对C 进行判断；根据抛物线与x 轴的交点个数对D 进行判断．【详解】解：Q 抛物线开口向上， 0a ∴>，Q 对称轴在y 轴的右侧，a ∴和b 异号，0b ∴<，Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，0c ∴<，0bc ∴>，所以①错误；Q 当1x =时，0y <，0a b c ∴++<，所以②错误；Q 抛物线经过点(1,0)-和点(3,0)，∴抛物线的对称轴为直线1x =， 即12b a-=， 20a b ∴+=，所以③正确；Q 抛物线与x 轴有2个交点，∴△240b ac =->，即24ac b <，所以④错误．综上所述：③正确；①②④错误．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置（左同右异）．常数项c 决定抛物线与y 轴交点(0,)c ．抛物线与x 轴交点个数由△决定．7．将抛物线243y x x =-+平移，使它平移后图象的顶点为()2,4-，则需将该抛物线（ ）A ．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位B ．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位C ．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位D ．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位【答案】C【解析】【分析】先把抛物线243y x x =-+化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】∵抛物线243y x x =-+可化为()221y x =--∴其顶点坐标为：(2,−1)，∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位． 故选C.【点睛】本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.8．将抛物线y ＝x 2﹣4x +1向左平移至顶点落在y 轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y ＝﹣3和x 轴围成的图形的面积S （图中阴影部分）是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】【分析】 B ，C 分别是顶点，A 是抛物线与x 轴的一个交点，连接OC ，AB ，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO 的面积.【详解】抛物线y ＝x 2﹣4x +1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y 轴上,此时顶点B(0,-3)，点A 是抛物线与x 轴的一个交点，连接OC ，AB ，如图，阴影部分的面积就是ABCO 的面积，S=2×3=6；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键．9．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（）A．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）B．当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3 2C．当m≠0时，函数图象经过同一个点D．当m<0时，函数在x>14时，y随x的增大而减小【答案】D【解析】分析：A、把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B、令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；D、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．详解：因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；A、当m=﹣3时，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确；B、当m＞0时，令y=0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0，解得：x1=1，x2=﹣12﹣12m，|x 2﹣x 1|=32+12m ＞32，所以当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32，此结论正确； C 、当x=1时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=2m+（1﹣m ）+（﹣1﹣m ）=0 即对任意m ，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．D 、当m ＜0时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=14m m-，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时，11114444m m m -=->，即对称轴在x=14右边，因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．故选D ．点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c ＞0；②b 2－4ac ＜0；③ a －b ＋c ＞0；④当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据抛物线与x 轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知，a ＜0，c ＞0，故①正确；抛物线与x 轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0， 故③正确;由图象可知，图象开口向下，对称轴x ＞-1，在对称轴右侧， y 随x 的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y 随x 的增大而减小，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线92t ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】【详解】解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③，故选B．12．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为()①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n；②c＝a+3；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】试题分析：由抛物线与x 轴有两个交点，可知b 2-4ac ＞0，所以①错误；由抛物线的顶点为D （-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，所以②正确； 由抛物线的顶点为D （-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x=2b a-=-1，可得b=2a ，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确． 故选C ．考点：二次函数的图像与性质13．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）过原点O ，与x 轴另一交点为A ，顶点为B ，若△AOB 为等边三角形，则b 的值为（ ）A 3B ．﹣3C ．﹣3D ．﹣3【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出B （﹣2,24b b a a-），由△AOB 为等边三角形，得到2b 4a ＝tan60°×（﹣2b a ），即可求解； 【详解】解：抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）过原点O ，B（﹣2,24b ba a），∵△AOB为等边三角形，∴2b4a＝tan60°×（﹣2ba），∴b＝﹣23；故选B．【点睛】本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三角形的边关系是解题的关键．14．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③13＜a＜23；④b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④【答案】B【解析】【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称性得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（-1，0）可得到a、b、c 之间的关系，从而对④作判断；从图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c的大小得出③的正误．【详解】①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴abc ＞0， 故①正确；②∵图象与x 轴交于点A （-1，0），对称轴为直线x=1， ∴图象与x 轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=2时，y ＜0， ∴4a+2b+c ＜0， 故②错误；③∵图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间， ∴-2＜c ＜-1∵-12ba ， ∴b=-2a ，∵函数图象经过（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴c=-3a ， ∴-2＜-3a ＜-1， ∴13＜a ＜23；故③正确 ④∵函数图象经过（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴b-c=a ， ∵a ＞0，∴b-c ＞0，即b ＞c ； 故④正确； 故选B ． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．15．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：给出以下结论：（1）二次函数y ＝ax 2+bx +c 有最小值，最小值为﹣3；（2）当﹣12＜x ＜2时，y ＜0；（3）已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在函数的图象上，则当﹣1＜x 1＜0，3＜x 2＜4时，y 1＞y 2．上述结论中正确的结论个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】【分析】根据表格的数据，以及二次函数的性质，即可对每个选项进行判断.【详解】解：（1）函数的对称轴为：x＝1，最小值为﹣4，故错误，不符合题意；（2）从表格可以看出，当﹣12＜x＜2时，y＜0，符合题意；（3）﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4时，x2离对称轴远，故错误，不符合题意；故选择：B．【点睛】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．已知抛物线y＝x2+（2a+1）x+a2﹣a，则抛物线的顶点不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】【分析】求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得．【详解】抛物线y＝x2+（2a+1）x+a2﹣a的顶点的横坐标为：x＝﹣212a+＝﹣a﹣12，纵坐标为：y＝()()224214a a a--+＝﹣2a﹣14，∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y＝2x+34，∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）A ．ac ＞0B ．b ＞0C ．a +c ＜0D ．a +b +c ＝0【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】A.由图象可知：a ＜0，c ＞0， ∴ac ＜0，故A 错误；B.由对称轴可知：x ＝2ba-＜0， ∴b ＜0，故B 错误； C.由对称轴可知：x ＝2ba-＝﹣1， ∴b ＝2a ， ∵x ＝1时，y ＝0， ∴a +b +c ＝0， ∴c ＝﹣3a ，∴a +c ＝a ﹣3a ＝﹣2a ＞0，故C 错误； 故选D ． 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．18．若二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象于x 轴的交点坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），且x 1＜x 2，图象上有一点M （x 0，y 0）在x 轴下方，对于以下说法：①b 2﹣4ac ＞0②x ＝x 0是方程ax 2+bx +c ＝y 0的解③x 1＜x 0＜x 2④a （x 0﹣x 1）（x 0﹣x 2）＜0其中正确的是（ ） A ．①③④ B ．①②④C ．①②③D ．②③【答案】B 【解析】 【分析】①根据二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，结合根的判别式即可得出△=b 2-4ac ＞0，①正确；②由点M （x 0，y 0）在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出x=x 0是方程ax 2+bx+c=y 0的解，②正确；③分a ＞0和a ＜0考虑，当a ＞0时得出x 1＜x 0＜x 2；当a ＜0时得出x 0＜x 1或x 0＞x 2，③错误；④将二次函数的解析式由一般式转化为交点式，再由点M （x 0，y 0）在x 轴下方即可得出y 0=a （x 0-x 1）（x 0-x 2）＜0，④正确． 【详解】①∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象于x 轴的交点坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），且x 1＜x 2，∴方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴△=b 2-4ac ＞0，①正确； ②∵图象上有一点M （x 0，y 0）， ∴a+bx 0+c=y 0，∴x=x 0是方程ax 2+bx+c=y 0的解，②正确； ③当a ＞0时，∵M （x 0，y 0）在x 轴下方， ∴x 1＜x 0＜x 2；当a ＜0时，∵M （x 0，y 0）在x 轴下方， ∴x 0＜x 1或x 0＞x 2，③错误；④∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象于x 轴的交点坐标分别为（x 1，0），（x 2，0）， ∴y=ax 2+bx+c=a （x-x 1）（x-x 2）， ∵图象上有一点M （x 0，y 0）在x 轴下方， ∴y 0=a （x 0-x 1）（x 0-x 2）＜0，④正确； 故选B ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的相关知识逐一分析四条结论的正误是解题的关键．19．在同一平面直角坐标系中，函数3y x a =+与2+3y ax x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数及二次函数的图像性质，逐一进行判断． 【详解】解：A.由一次函数图像可知a ＞0，因此二次函数图像开口向上，但对称轴302a-<应在y 轴左侧，故此选项错误；B. 由一次函数图像可知a ＜0，而由二次函数图像开口方向可知a ＞0，故此选项错误；C. 由一次函数图像可知a＜0，因此二次函数图像开口向下，且对称轴32a->在y轴右侧，故此选项正确；D. 由一次函数图像可知a＞0，而由二次函数图像开口方向可知a＜0，故此选项错误；故选：C．【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是利用数形结合思想分析图像，本题属于中等题型．20．在同一直角坐标系中，反比例函数图像与二次函数图像的交点的个数至少有() A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】【分析】根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数．【详解】若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y轴是对称轴；反比例函数的图象在第一，三象限，故两个函数的交点只有一个，在第三象限．同理，若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y轴是对称轴；反比例函数的图象在第二，四象限，故两个函数的交点只有一个，在第四象限．故答案为：B．【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象问题，掌握二次函数和反比例函数的图象性质是解题的关键．。

高三数学一次函数与二次函数试题

高三数学一次函数与二次函数试题

高三数学一次函数与二次函数试题1.函数f(x)＝ax2＋ax－1在R上恒满足f(x)<0，则a的取值范围是()A．a≤0B．a<－4C．－4<a<0D．－4<a≤0【答案】D【解析】当a＝0时，f(x)＝－1在R上恒有f(x)<0；当a≠0时，∵f(x)在R上恒有f(x)<0，∴，∴－4<a<0.综上可知：－4<a≤0.2.函数f(x)=-对任意实数有成立，若当时恒成立，则的取值范围是_________.【答案】【解析】这题涉及到函数的一个性质：函数满足，则其图象关于直线对称，因此本题函数图象关于直线对称，而它又是二次函数，因此可得，从而在区间上单调递增，那么由题设条件得，解得或．【考点】函数图象的对称性，二次函数的单调性．3.已知函数，h（x）=2alnx，.（1）当a∈R时，讨论函数的单调性；（2）是否存在实数a，对任意的，且，都有恒成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）不存在.【解析】(1)讨论函数的单调性，在定义域内研究其导函数的符号即可.先求导函数，因为定义域为，故只需讨论分子符号，可结合二次函数的图象判断，此时①需讨论交点的大小，②注意根与定义域比较，所以需和-2和0比较大小；（2）由对称性，不妨设，去分母得，构造函数，则其在定义域内单调递减，故在恒成立，而，分子二次函数开口向上，不可能永远小于0，故不存在.试题解析：(1)，∴, 的定义域为.①当时，在上是减函数，在在上是增函数；②当时，在上是增函数；在是是减函数；在上是增函数；③当时，在上是增函数；④当时，在上是增函数；在上是减函数；在上是增函数.（2）假设存在实数，对任意的，且，都有恒成立，不妨设，要使，即.令，只要在为减函数.又，由题意在上恒成立，得不存在.【考点】1、导数在单调性上的应用；2、二次函数的图象；3、函数思想的应用.4.已知二次函数的值域为，则的最小值为 .【答案】3【解析】由题意得：.【考点】二次函数及重要不等式.5.已知一元二次不等式的解集为{，则的解集为 .【答案】{|<－1，或>1}【解析】由不等式的解集为{.所以的解集为.所以要符合或.解得x<-1或x>1.及不等式的解集为{| <－1，或>1}.故填{|<－1，或>1}.本小题以二次函数为背景考查了含指数函数的不等式.【考点】1.二次函数的解法.2.指数函数的解法.6.已知实数a,b,c满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b的取值范围是．【答案】[1,5]【解析】依题意，，代入得；整理得在实数范围内有解，即，解得 .【考点】1.构造一元二次方程；2.一元二次方程根的分布.7.已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】，当时取最小值2，又.作出其图象如图所示：结合图形可知：的取值范围是.【考点】二次函数的最值.8.（本小题12分）已知函数（）在区间上有最大值和最小值．设，(1）求、的值；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】（1）先求出函数g(x)的对称轴x=1，则，解之即可.（2）首先求出的解析式，则，再由二次函数的性质求出即可解得k的取值范围.试题解析：（1），因为，对称轴为，所以在区间上是先减后增，故，解得．（2）由（1）可得，所以在上有解，可化为在上有解。

高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析

高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析

高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.已知lgx＋lgy＝2 lg(2x－3y)，求的值．【答案】2【解析】解：依题意可得：lg(xy)＝lg(2x－3y)2，即xy＝(2x－3y)2，整理得：4()2－13()＋9＝0，解得：＝1或＝，∵x>0，y>0,2x－3y>0，∴＝，∴＝2.2.已知a∈(0，＋∞)，函数f(x)＝ax2＋2ax＋1，若f(m)<0，比较大小：f(m＋2)________1(用“<”“＝”或“>”连接)．【答案】>【解析】由f(x)＝ax2＋2ax＋1(a>0)知f(x)过定点(0,1)．又f(x)＝ax2＋2ax＋1＝a(x＋1)2－a＋1(a>0)，设f(x)＝0的两个实数根为x1，x2，且x1<x2，如图所示．所以x1＋x2＝－2，x1x2＝，由Δ>0得a>1，所以x2－x1＝＝∈(0,2)．又因为对称轴为直线x＝－1，f(0)＝1，所以x2∈(－1,0)．由f(m)<0，得x1<m<x2，所以m＋2>0，所以f(m＋2)>1.3.在边长为2的等边中，是的中点，为线段上一动点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设,.由.所以.故选A.【考点】1.向量的运算.2.二次函数的最值.3.平面向量的基本定理.4.设为坐标原点，给定一个定点，而点在正半轴上移动，表示的长，则中两边长的比值的最大值为．【答案】【解析】由题意得：当时，取最大值，为.【考点】二次函数最值5.已知函数，若，则实数（）A．B．C．2D．9【答案】C【解析】因为，所以．∴．即．6.设max{f(x)，g(x)}=,若函数n(x)=x2+px+q(p，q∈R)的图象经过不同的两点（，0）、（，0），且存在整数n使得n<<<n+1成立，则（）A．max{n(n),n(n+1)}>1B．max{n(n),n(n+1)}<1C．max{n(n),n(n+1)}>D．max{n(n),n(n+1)}>【答案】B【解析】∵n（x）=x2+px+q的图象经过两点（α，0），（β，0），∴n（x）=x2+px+q=（x-α）（x-β）∴n（n）=（n-α）（n-β）=（α-n）（β-n），n（n+1）=（n+1-α）（n+1-β），令α-n=t1，β-n=t2，由于n<α<β<n+1,则0<t1<1,0<t2-<1,且0<t1+t2<2，n(n+1)=(1-t1)(1-t2)，则n(n)= t1t2，即n(n)<1；n（n+1）=(1-t1)(1-t2)，∵，∴n（n+1）<1，∴，∴max{n(n),n(n+1)}<1,故选B.【考点】基本不等式；二次函数的性质．7.某通讯公司需要在三角形地带区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域内，乙中转站建在区域内．分界线固定，且=百米，边界线始终过点，边界线满足．设()百米，百米.(1)试将表示成的函数，并求出函数的解析式；(2)当取何值时？整个中转站的占地面积最小，并求出其面积的最小值．【答案】（1）；（2）：当米时，整个中转站的占地面积最小，最小面积是平方米.【解析】（1）要求函数关系式，实际上是建立起之间的等量关系，分析图形及已知条件，我们可借助于三角形有面积，，从这个等式中，解出，即得要求的函数式；（2）有了（1）中的关系式，就可表示为一个字母的式子，它是一个分式函数，由于分母是一次，而分子是二次的，故可这样变形，正好这个表达式可以用基本不等式来求得最小值.试题解析：(1)结合图形可知，．于是，，解得．(2)由(1)知，，因此，(当且仅当，即时，等号成立)．答：当米时，整个中转站的占地面积最小，最小面积是平方米.12分【考点】求函数解析式，三角形的面积公式，分式函数的最值与基本不等式.8.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c图象的顶点为(－1，10)，且方程ax2＋bx＋c＝0的两根的平方和为12，求二次函数f(x)的表达式．【答案】f(x)＝－2x2－4x＋8【解析】由题意可设f(x)＝a(x＋1)2＋10，即f(x)＝ax2＋2ax＋a＋10；∴b＝2a，c＝a＋10，设方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1、x2，则＋＝12，即(x1＋x2)2－2x1x2＝12，∴－2×＝12.又b＝2a，c＝a＋10，∴－2×＝12，解得a＝－2，∴f(x)＝－2x2－4x＋89.设二次函数f(x)=ax2+bx+c,如果f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则f(x1+x2)等于()A．-B．-C．c D．【答案】C【解析】∵f(x1)=f(x2),∴f(x)的对称轴为x=-=,得f(x1+x2)=f-=a×+b×+c=c,故选C.10.二次函数f(x)的二次项系数为正,且对任意x恒有f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则x的取值范围是.【答案】(-2,0)【解析】【思路点拨】由题意知二次函数的图象开口向上,且关于直线x=2对称,则距离对称轴越远,函数值越大,依此可转化为不等式问题.解：由f(2+x)=f(2-x)知x=2为对称轴,由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴越远,函数值越大, ∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,即|2x2+1|<|x2-2x+1|,∴2x 2+1<x2-2x+1,∴-2<x<0.11.定义运算：，例如：，，则函数的最大值为____________.【答案】4【解析】且当时，；当或时，易知：当时，当时，所以的最大值是4.【考点】1、函数（分段函数）的概念；2、二次函数的图象和性质；3、分段函数的最值问题.12.定义在R上的函数，如果存在函数(k,b为常数），使得对一切实数x都成立，则称为函数的一个承托函数．现有如下命题：①对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数个．②函数为函数的一个承托函数．③定义域和值域都是R的函数不存在承托函数．其中正确命题的序号是：( )A．①B．②C．①③D．②③【答案】A【解析】对于①，若，则，就是它的一个承托函数，且有无数个，再如就没有承托函数，∴命题①正确；对于②，∵当时，，∴，∴不是的一个承托函数，故错误；对于③如存在一个承托函数，故错误；故选A．【考点】新定义函数，一次函数、指数函数的性质.13.设函数．（1）求函数在上的值域；（2）证明对于每一个，在上存在唯一的，使得；（3）求的值．【答案】(1) ；（2）证明见解析；（3）当时，为，当且时，为．【解析】(1)由于可以看作为的二次函数，故可利用换元法借助二次函数知识求出值域；（2）这类问题的常用方法是证明在区间是单调的，且或者或，即可得证；本题中证时也可数学归纳法证明；（3）要求的值，注意分类讨论，时直接得结论，那么求时，只要用分组求和即可，在时，中除第一项外是一个公比不为1的等比数列的和，因此先求出，同样在求时用分组求和的方法可求得结论．试题解析：（1），由令，．，在上单调递增，在上的值域为． 4分（2）对于，有，，从而，,,在上单调递减,,在上单调递减．又.. 7分当时，（注用数学归纳法证明相应给分）又，即对于任意自然数有对于每一个，存在唯一的，使得 11分（3）．当时，．. 14分当且时，．18分【考点】(1)换元法与二次函数的值域；（2）函数的零点；（3）分类讨论与分组求和．14.已知函数是奇函数．(1)求m的值：(2)设．若函数与的图象至少有一个公共点．求实数a的取值范围．【答案】（1）. （2）.【解析】（（1）由函数是奇函数可知：，即得.（2）根据函数与的图象至少有一个公共点，转化得到方程至少有一个实根.即方程至少有一个实根，令，则方程至少有一个正根.接下来可有两种思路，一是通过分离参数，应用基本不等式；二是利用二次函数知识.试题解析：（1）由函数是奇函数可知：， 2分解得. 4分（2）函数与的图象至少有一个公共点即方程至少有一个实根 6分即方程至少有一个实根 8分令，则方程至少有一个正根方法一：由于∴a的取值范围为. 12分方法二：令，由于，所以只须，解得.∴a的取值范围为.【考点】函数的奇偶性，指数函数的性质，二次函数的性质，基本不等式.15.已知函数对的图象恒在x轴上方，则m的取值范围是（）A．2－2＜m＜2+2B．m＜2C．m＜2+2D．m≥2+2【答案】C【解析】.设，因为，所以时，对称轴，若，则，解得，即；若，则，即，综上知，m的取值范围是，选C.【考点】指数函数的性质，二次函数的图象和性质.16.已知二次函数的值域为，则的最小值为 .【答案】3【解析】由题意得：.【考点】二次函数及重要不等式.17.已知数列满足且是函数的两个零点，则等于（）A．24B．32C．48D．64【答案】D【解析】由题意，则，两式相除，所以成等比数列，成等比数列，而，则，所以，又，所以.故选D【考点】1.二次函数根与系数的关系；2.等比数列的性质.18.已知定义在R上的偶函数f(x)满足：∀x∈R恒有f(x+2)=f(x)－f(1)．且当x∈［2，3］时，(x+1)在(0，+∞)上至少有三个零点，则实数a的取值范围为f(x)=－2(x－3)2．若函数y=f(x)－loga___________.【答案】.【解析】由题意得当时，即，又函数为偶函数，则有，所以，则有，可知函数的周期为2，并且当时，，可得函数在上的图像如图所示，要使在上至少有三个零点，则，且，所以，即，则.【考点】二次函数和对数函数的图像与性质.19.已知一元二次不等式的解集为，则的解集为 .【答案】.【解析】由于一元二次不等式的解集为，故一元二次不等式的解集为，解不等式，得，解得，故不等式的解集为.【考点】1.一元二次不等式的解集与系数的关系；2.指数不等式20.设函数在区间上是增函数，则实数的最小值为 .【答案】【解析】函数的图象开口向上，对称轴为，由其在上是增函数得，所以，所以实数的最小值为.【考点】二次函数的单调性.21.若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围是() A．B．C．D．【答案】B【解析】二次函数的对称轴是，开口向上，最小值是，在处取得，所以由函数的值域是可知，应该在对称轴的右边，.当函数值是是，对应的自变量的值是或，如果比3大，那么函数值就超出的范围了，所以的取值范围是.【考点】1.二次函数的图像与性质；2.二次函数在闭区间上的最值22.已知二次函数，满足，且，若在区间上，不等式恒成立，则实数m的取值范围为 .【答案】【解析】由可知，那么，所以由，化简整理得：，所以有，，所以二次函数的解析式为：.由已知得在区间上，不等式恒成立，即恒成立，只要即可.又，对称轴是，开口向上，所以函数在区间是单调递减的，所以函数在区间上的最小值是：，所以.【考点】1.求二次函数的解析式；2.二次函数的图像与性质；3.二次函数在闭区间上的最值；4.函数与不等式的恒成立问题23.若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的定义域是R，则有恒成立.设，当时，恒成立；当时，要使得恒成立，则有，解得.所以实数的取值范围是，选B.【考点】1.对数函数的定义域；2.二次函数的图像与性质24.对于函数，当实数属于下列选项中的哪一个区间时，才能确保一定存在实数对（），使得当函数的定义域为时，其值域也恰好是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】函数f（x）=-3x3+k的图象开口向下，对称轴为y轴，若存在实数对a，b（a＜b＜0），使得当函数f（x）的定义域为[a，b]时，其值域也恰好是[a，b]，从而-3a2+k=a，-3b2+k=b，所以方程3t2+t-k=0有两个不等的负根a，b，∴△=1+12k>0且a+b=<0且ab=>0,所以，故选D.【考点】二次函数的性质．25.（本小题满分12分）定义域为的函数满足,当∈时，(1）当∈时，求的解析式；(2）当x∈时，≥恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知条件可求出f（x+4）=9f（x），设x∈[-4，-2]，则4+x∈[0，2],由已知可得f（x+4）的解析式，即可得解.（2）首先求出，x∈时的值域，由已知可得，解不等式即可.试题解析：（1）由f（x+2）=3f（x）,得f（x+4）=3f（x+2）=9f（x）,设x∈[-4，-2]，则4+x∈[0，2],∴f（x+4）=（x+4）2-2（x+4）=x2+6x+8,因为f（x+4）=9f（x）.（2）因为x∈时，≥恒成立，所以x∈时，恒成立.而x∈时，，所以，即，解得【考点】1.分段函数；2.二次函数的性质；3.分式不等式的解法.26.若函数有两个零点，其中，那么在两个函数值中 ( ) A．只有一个小于1B．至少有一个小于1C．都小于1D．可能都大于1【解析】若则不妨设，于是即，作图如图所示，显然可以发现点满足的区域有，于是，即在两个函数值中至少有一个小于1.【考点】本小题主要考查根的分布、零点、函数的图象等知识点，考查学生的理解、分析能力27.已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（）A．B．C．{x|}D．{x| }【答案】D【解析】由一元二次不等式的解集为，可以设函数解析式为：，将代入得，由指数函数的值域可得，，则D正确.【考点】一元二次不等式与指数不等式的考察.28.关于x、y的方程组的解是，则m－n的值是A．1B．－1C．2D．不确定【答案】B【解析】因为关于x、y的方程组的解是，所以将代入方程可得：【考点】本小题主要考查方程组的解与方程组的关系的应用.点评：已知方程组的解，代入方程组可以适合方程，从而可得m－n的值.29.已知函数的两个零点分别在区间和区间内，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】由题意，∴，∴即实数的取值范围是，故选A【考点】本题考查了一元二次方程根的分布点评：熟练掌握常见的一元二次方程根的分布规律是解决此类问题的关键，属基础题30.已知函数y＝4x－3×2x＋3，当其值域为[1,7]时，则变量x的取值范围是A．[2,4]B．(－∞，0]C．(0,1]∪[2,4]D．(－∞，0]∪[1,2]【答案】D【解析】令，则，又值域为[1,7]，所以或，故或.【考点】函数的值域．点评：本题主要考查了二次函数的值域的求解，解答中要注意善于利用二次函数的图象，结合图象熟悉函数的单调性是解决本题的关键．31.已知函数，若，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】根据已知的函数函数，而f(3)=-14.若,结合对数函数的性质可知，实数的取值范围是，故答案为。

(完整版)二次函数解答题(含答案)

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一、简答题1、已知抛物线y = ax2－x + c经过点Q（－2，），且它的顶点P的横坐标为－1．设抛物线与x轴相交于A、B 两点，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）求A、B两点的坐标；（3）设PB于y轴交于C点，求△ABC的面积．2、如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B．⑴求该抛物线的解析式；⑵若点C(m，)在抛物线上，求m的值．3、如图，已知二次函数的图象经过A(2，0)、B(0，-6)两点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．(3) 若抛物线的顶点为D，在轴上是否存在一点P，使得⊿PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，－3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）求此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标；（3）根据图象回答：当x取何值时，y＜0？5、如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．（1）求三点的坐标；（2）证明为直角三角形；（3）在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．6、已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5）。

①求该函数的关系式；②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积.7、如图，抛物线=与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3.(1) 求抛物线的解析式. (2)若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.注：二次函数（≠0）的对称轴是直线= -8、已知二次函数y=ax2＋bx－3的图象经过点A（2，－3），B（－1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）若把图象沿轴向下平移5个单位，求该二次函数的图象的顶点坐标.9、如图，二次函数的图象与轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数的图象经过该二次函数图象上点A（1,0）及点B.（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足≥的的取值范围.10、已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）。

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高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围；（3）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．【答案】（1）极大值；（2）；（3）.【解析】本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将代入中，对求导，令，，判断函数的单调性，所以当时，函数取得极值；第二问，将题目转化为在上恒成立，再转化为在上恒成立，再转化为，利用配方法求函数的最小值，解出a的取值范围；第三问，将题目转化为当时，不等式恒成立，即，讨论a的值，在每一种情况下判断单调性，求函数最值，验证.试题解析：（1）当时，，，由解得，由解得，故当时，的单调递增；当时，单调递减，∴当时，函数取得极大值.（2），∵函数在区间上单调递减，∴在区间上恒成立，即在上恒成立，只需2a不大于在上的最小值即可． 6分而，则当时，，∴，即，故实数a的取值范围是． 8分（3）因图象上的点在所表示的平面区域内，即当时，不等式恒成立，即恒成立，设（），只需即可．由，（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，故成立．（ⅱ）当时，由，令，得或，①若，即时，在区间上，，函数在上单调递增，函数在上无最大值，不满足条件；②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件．（ⅲ）当时，由，因，故，则函数在上单调递减，故成立．综上所述，实数a的取值范围是． 12分【考点】导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值.2.若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于________．【答案】1【解析】函数f(x)＝x2－ax－a的图像为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，∴或解得a＝1.3.已知a、b为非零向量，，若，当且仅当时，取得最小值，则向量a、b的夹角为___________.【答案】【解析】设向量的夹角为，则，构造函数，因为当且仅当时，取得最小值，所以当时，函数有最小值，即时，函数有最小值，又，所以解得.【考点】1.向量；2.二次函数.4.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)且满足f(－1)＝0，对任意实数x，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)时，f(x)≤.(1)求f(1)的值；(2)证明：a>0，c>0；(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx (x∈R)是单调函数，求证：m≤0或m≥1.【答案】（1）f(1)＝1. （2）见解析（3）见解析【解析】(1)解∵对x∈R，f(x)－x≥0恒成立，当x＝1时，f(1)≥1，又∵1∈(0,2)，由已知得f(1)≤＝1，∴1≤f(1)≤1.∴f(1)＝1.(2)证明∵f(1)＝1，∴a＋b＋c＝1.又∵a－b＋c＝0，∴b＝.∴a＋c＝.∵f(x)－x≥0对x∈R恒成立，∴ax2－x＋c≥0对x∈R恒成立．∴，∴∴c>0，故a>0，c>0.(3)证明∵a＋c＝，ac≥，由a>0，c>0及a＋c≥2，得ac≤，∴ac＝，当且仅当a＝c＝时，取“＝”．∴f(x)＝x2＋x＋.∴g(x)＝f(x)－mx＝x2＋x＋＝[x2＋(2－4m)x＋1]．∵g(x)在[－1,1]上是单调函数，∴2m－1≤－1或2m－1≥1.∴m≤0或m≥1.5.已知函数对任意的满足，且当时，．若有4个零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由题意得函数为偶函数，因此当有4个零点时，在上有且仅有两个零点，所以即【考点】二次函数的图象与性质，零点问题6.已知是虚数单位，以下同)是关于的实系数一元二次方程的一个根，则实数，．【答案】【解析】由题意是方程的另一根，因此，，．【考点】实系数二次方程的复数根．7.若x1，x2是函数f(x)＝x2＋mx－2(m∈R)的两个零点，且x1<x2，则x2－x1的最小值是________．【答案】2【解析】Δ＝m2＋8>0(m∈R)，x2－x1＝＝≥28.已知函数f(x)＝(1)若x<a时，f(x)<1恒成立，求a的取值范围；(2)若a≥－4时，函数f(x)在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围．【答案】（1）a≤log2（2）a>时，函数f(x)有最小值【解析】(1)因为x<a时，f(x)＝4x－4×2x－a，所以令t＝2x，则有0<t<2a.当x<a时f(x)<1恒成立，转化为t2－4×<1，即>t－在t∈(0，2a)上恒成立．令p(t)＝t－，t∈(0，2a)，则p′(t)＝1＋>0，所以p(t)＝t－在(0，2a)上单调递增，所以≥2a－，所以2a≤，解得a≤log2.(2)当x≥a时，f(x)＝x2－ax＋1，即f(x)＝＋1－，当≤a时，即a≥0时，f(x)＝f(a)＝1；min当>a时，即－4≤a<0，f(x)＝f＝1－.min当x<a时，f(x)＝4x－4×2x－a，令t＝2x，t∈(0，2a)，则h(t)＝t2－t＝－，＝h＝－；当<2a，即a> 时，h(t)min当≥2a，即a≤时，h(t)在开区间t∈(0，2a)上单调递减，h(t)∈(4a－4，0)，无最小值．综合x≥a与x<a，所以当a> 时，1>－，函数f(x)＝－；min当0≤a≤时，4a－4<0<1，函数f(x)无最小值；当－4≤a<0时，4a－4<－3≤1－，函数f(x)无最小值．综上所述，当a>时，函数f(x)有最小值．9.设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数n使得对于任意x∈M(M⊆D)，有x＋n∈D，且f(x ＋n)≥f(x)，则称f(x)为M上的n高调函数．如果定义域为[－1，＋∞)的函数f(x)＝x2为[－1，＋∞)上的k高调函数，那么实数k的取值范围是________．【答案】[2，＋∞)【解析】即(x＋k)2≥x2在[－1，＋∞)上恒成立，即2kx＋k2≥0在x∈[－1，＋∞)上恒成立，故实数k满足2k>0且－2k＋k2≥0，解得k≥2.10.已知函数的值域是，则实数的取值范围是 ( )A．；B．；C．；D．.【答案】C【解析】二次函数的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在时取得，而当或时，，（也可考虑在是单调递增，在上单调递减），故本题中的取值范围是.【考点】二次函数的的值域.11.已知向量，，其中.函数在区间上有最大值为4,设.(1)求实数的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)1;(2) .【解析】（1）通过向量的数量积给出，利用数量积定义求出，发现它是二次函数，利用二次函数的单调性可求出；（2）由此，不等式在上恒成立，观察这个不等式，可以用换元法令，变形为在时恒成立，从而，因此我们只要求出的最小值即可．下面我们要看是什么函数，可以看作为关于的二次函数，因此问题易解．试题解析：（1）由题得又开口向上，对称轴为，在区间单调递增，最大值为4,所以，（2）由（1）的他，令,则以可化为,即恒成立,且,当,即时最小值为0,【考点】（1）二次函数的单调性与最值；（2）换元法与二次函数的最小值．12.如图，长为20m的铁丝网，一边靠墙，围成三个大小相等、紧紧相连的长方形，那么长方形长、宽、各为多少时，三个长方形的面积和最大？【答案】小长方形的长和宽分别是，2.5时，三个长方形的面积最大为25.【解析】通过假设小长方形的一边再根据周长为20m，即可表示出小长方形的另一边.因为这三个长方形是大小相等长方形，所以可以表示出三个长方形的面积和并求出面积的最大值.本小题主要是以二次函数的最值为知识点形成一个简单的应用题.试题解析：设长方形长为x m，则宽为 m，所以，总面积= =．所以，当时，总面积最大，为25，此时，长方形长为 2.5 m，宽为 m．【考点】1.二次函数的应用.2.二次最的求法.13.已知点，点在曲线:上.（1）若点在第一象限内，且，求点的坐标；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】 (1) 本小题可以通过坐标法来处理，首先根据点在第一象限内设其（），然后根据两点间距离公式，再结合点在曲线:上，联立可解得，即点的坐标为；(2) 本小题根据(1)中所得其中代入可得（），显然根据二次函数可知当时，.试题解析：设（）,（1）由已知条件得 2分将代入上式，并变形得，，解得（舍去）或 4分当时，只有满足条件，所以点的坐标为 6分（2）其中 7分（） 10分当时， 12分（不指出，扣1分）【考点】1.坐标法；2.二次函数求最值14.已知数列满足且是函数的两个零点，则等于（）A．24B．32C．48D．64【解析】由题意，则，两式相除，所以成等比数列，成等比数列，而，则，所以，又，所以.故选D【考点】1.二次函数根与系数的关系；2.等比数列的性质.15.已知定义在R上的偶函数f(x)满足：∀x∈R恒有f(x+2)=f(x)－f(1)．且当x∈［2，3］时，(x+1)在(0，+∞)上至少有三个零点，则实数a的取值范围为f(x)=－2(x－3)2．若函数y=f(x)－loga___________.【答案】.【解析】由题意得当时，即，又函数为偶函数，则有，所以，则有，可知函数的周期为2，并且当时，，可得函数在上的图像如图所示，要使在上至少有三个零点，则，且，所以，即，则.【考点】二次函数和对数函数的图像与性质.16.设不等式的解集为M.（1）如果，求实数的取值范围；（2）如果，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】本题考查含参一元二次不等式的解法及二次函数图像的性质等基础知识，考查转化思想、分类讨论思想等数学思想方法.第一问，由于抛物线开口向上，要使不等式的解集不为，只需；第二问，一元二次不等式含参数，对应的一元二次方程是否有解取决于，所以本问讨论的三种情况，在每一种情况下，求出方程的根，写出不等式的解集，利用子集关系列出不等式，求的取值范围.试题解析：（1），，∴或. 4分（2）①当，即时，，满足题意； 6分②当时，或，时，，不合题意；时，，满足题意； 8分③当，即或时，令，要使，只需， 10分得，综上，. 12分【考点】1.二次函数的判别式；2.含参一元二次不等式的解法.17.已知函数的定义域是R，则实数的取值范围是( )A．（0,2）B．（-2,2）C．[-2,2]D．【解析】由已知得，恒成立，所以，解得.【考点】二次函数的图像与性质18.椭圆的左右焦点分别为、，点是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由椭圆定义知，，且椭圆的长轴长为，焦距为，所以，令，则，令，由二次函数的性质可知，函数在处取得最大值，即，函数在或处取得最小值，由于，故，即的取值范围是，故选D.【考点】1.椭圆的定义；2.二次函数的最值19.已知二次函数，满足，且，若在区间上，不等式恒成立，则实数m的取值范围为 .【答案】【解析】由可知，那么，所以由，化简整理得：，所以有，，所以二次函数的解析式为：.由已知得在区间上，不等式恒成立，即恒成立，只要即可.又，对称轴是，开口向上，所以函数在区间是单调递减的，所以函数在区间上的最小值是：，所以.【考点】1.求二次函数的解析式；2.二次函数的图像与性质；3.二次函数在闭区间上的最值；4.函数与不等式的恒成立问题20.已知函数，若且对任意实数均有成立.（1）求表达式；（2）当是单调函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查导数的运算以及二次函数的判别式、单调性等基础知识，考查运算能力和分析问题解决问题的能力，考查数形结合思想.第一问，对求导得到解析式，因为，所以得到，又因为恒成立，所以，两式联立解出和，从而确定解析式；第二问，先利用第一问的结论，得到的解析式，再根据二次函数的单调性，确定对称轴与区间端点的大小关系解出的取值.试题解析：(1)∵,∴.∵，∴，∴，∴.∵恒成立，∴∴∴，从而，∴.(6分)(2) .∵在上是单调函数，∴或，解得，或.∴的取值范围为.(12分)【考点】1.导数的运算；2.二次函数的性质.21.设,二次函数的图象为下列之一，则的值为（）A．B．C．1D．【答案】D【解析】因为，故对称轴不可能为轴，由给出的图可知对称轴在轴右侧，故，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故又，所以，选D.【考点】二次函数图象和性质.22.函数.若的定义域为，求实数的取值范围.【答案】.【解析】由的定义域为可知恒成立，这时要分和两种情况讨论，当时，比较简单，易得结果，当时，函数为二次函数，要使恒成立，由二次函数的图象应有，，如此便可求出的取值范围.试题解析：（1）当时，，的定义域为，符合题意；（2）当时，，的定义域不为，所以；（3）当时，的定义域为知抛物线全部在轴上方（或在上方相切），此时应有，解得；综合（1），（2），（3）有的取值范围是.【考点】二次函数、函数的定义域.23.二次函数f(x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x且f (0)＝1．⑴求f (x)的解析式；⑵在区间[－1，1]上，y＝f (x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）根据二次函数满足条件，及，可求，，从而可求函数的解析式；（2）在区间上，的图象恒在的图象上方，等价于在上恒成立，等价于在上恒成立，求出左边函数的最小值，即可求得实数的取值范围．试题解析：（1）由，令，得；令，得.设,故解得故的解析式为.（2）因为的图像恒在的图像上方,所以在上，恒成立.即：在区间恒成立.所以令 ,故在上的最小值为，∴ .【考点】二次函数的性质.24.已知函数是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12．（1）求的解析式；（2）设函数在上的最小值为，求的表达式．【答案】（1）；（2）①当，即时，；②当时，；③当，即时，．【解析】（1）由题意先设函数的解析式，再由条件解其中的未知数，可得二次函数解析式；（2）由（1）知函数的解析式，可得函数的对称轴为，再讨论对称轴是在区间上，还是在区间外，分别得的表达式．试题解析：（1）是二次函数，且的解集是可设 2分在区间上的最大值是由已知，得 5分． 6分（2）由（1）知，开口向上，对称轴为， 8分①当，即时，在上是单调递减，所以； 10分②当时，在上是单调递减，所以； 12分③当，即时，在对称轴处取得最小值，所以． 14分【考点】1、二次函数的解析式的求法；2、二次函数的性质．25.设为实数，则___________【答案】4【解析】本题先得到x的范围，然后利用配方法将关于x的二次函数配方，进而求出最大值。

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