高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析

高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析

1.已知函数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围；

（3）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取

值范围．

【答案】（1）极大值；（2）；（3）.

【解析】本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值等基础

知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将代入中，对求导，令，，判断函数的单调性，所以当时，函数取得极值；第二问，将题目转化为在上恒成立，再转化为在上恒成立，再转化为，利用配方法求函数的最小值，解出a的取值范围；第三问，将题目转化为当

时，不等式恒成立，即，讨论a的值，在每一种情况下判断单调性，

求函数最值，验证.

试题解析：（1）当时，，

，

由解得，由解得，

故当时，的单调递增；当时，单调递减，

∴当时，函数取得极大值.

（2），∵函数在区间上单调递减，

∴在区间上恒成立，即在上恒成立，

只需2a不大于在上的最小值即可． 6分

而，则当时，，

∴，即，故实数a的取值范围是． 8分

（3）因图象上的点在所表示的平面区域内，即当时，不等式恒成立，即恒成立，设（），只需即可．由，

（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，故

成立．

（ⅱ）当时，由，令，得或，

①若，即时，在区间上，，函数在上单调递增，函数在

上无最大值，不满足条件；

②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样

在上无最大值，不满足条件．

（ⅲ）当时，由，因，故，则函数在上单调

递减，故成立．

综上所述，实数a的取值范围是． 12分

【考点】导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值.

2.若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于________．

【答案】1

【解析】函数f(x)＝x2－ax－a的图像为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，

∴或解得a＝1.

3.已知a、b为非零向量，，若，当且仅当时，取得最小值，则向量a、b的夹角为___________.

【答案】

【解析】设向量的夹角为，则，构造函数

，因为当且仅当时，取得最小值，所以当时，函数有最小值，即时，函数有最小值，又，所以解得.

【考点】1.向量；2.二次函数.

4.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)且满足f(－1)＝0，对任意实数x，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)时，f(x)≤.

(1)求f(1)的值；

(2)证明：a>0，c>0；

(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx (x∈R)是单调函数，求证：m≤0或m≥1.

【答案】（1）f(1)＝1. （2）见解析（3）见解析

【解析】(1)解∵对x∈R，f(x)－x≥0恒成立，

当x＝1时，f(1)≥1，

又∵1∈(0,2)，由已知得f(1)≤＝1，

∴1≤f(1)≤1.∴f(1)＝1.

(2)证明∵f(1)＝1，∴a＋b＋c＝1.

又∵a－b＋c＝0，∴b＝.∴a＋c＝.

∵f(x)－x≥0对x∈R恒成立，

∴ax2－x＋c≥0对x∈R恒成立．

∴，∴∴c>0，故a>0，c>0.

(3)证明∵a＋c＝，ac≥，

由a>0，c>0及a＋c≥2，得ac≤，

∴ac＝，当且仅当a＝c＝时，取“＝”．

∴f(x)＝x2＋x＋.

∴g(x)＝f(x)－mx＝x2＋x＋

＝[x2＋(2－4m)x＋1]．

∵g(x)在[－1,1]上是单调函数，

∴2m－1≤－1或2m－1≥1.∴m≤0或m≥1.

5.已知函数对任意的满足，且当时，．若有4个零点，则实数的取值范围是．

【答案】

【解析】由题意得函数为偶函数，因此当有4个零点时，在上有且仅有两个零点，所以即

【考点】二次函数的图象与性质，零点问题

6.已知是虚数单位，以下同)是关于的实系数一元二次方程的一个根，则实数，．

【答案】

【解析】由题意是方程的另一根，因此，，．【考点】实系数二次方程的复数根．

7.若x

1，x

2

是函数f(x)＝x2＋mx－2(m∈R)的两个零点，且x

1

2

，则x

2

－x

1

的最小值是

________．【答案】2

【解析】Δ＝m2＋8>0(m∈R)，x

2－x

1

＝＝≥2

8.已知函数f(x)＝

(1)若x

(2)若a≥－4时，函数f(x)在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围．

【答案】（1）a≤log

2

（2）a>时，函数f(x)有最小值

【解析】(1)因为x

当x

即>t－在t∈(0，2a)上恒成立．

令p(t)＝t－，t∈(0，2a)，则p′(t)＝1＋>0，所以p(t)＝t－在(0，2a)上单调递增，

所以≥2a－，所以2a≤，解得a≤log

2

.

(2)当x≥a时，f(x)＝x2－ax＋1，即f(x)＝＋1－，