圆周运动的实例分析
2.3圆周运动实例分析
gR
小球与轨道内侧外侧均
竖直平面内圆周运动几种模型比较
最高点受力特点
最高点特征方程
做完整圆运动的 条件
凸桥(外轨) 轻绳(内轨) 轻杆(圆管)
产生背离圆心的 力(支持力) 产生指向圆心的 力(拉力或压力)
既可产生背离指 向圆心的力也可 产生指向圆心的 力(支持力或拉力)
mg- N = mV2/R
O
RF mg
g = l cos
g cos 2 l
g cos 2 l
由此可见，缆绳与中心 轴的夹角跟“旋转秋千”的 角速度和绳长有关，而与所 乘坐人的体重无关，在绳长 一定的情况下，角速度越大 则缆绳与中心轴的夹角也越 大。 想一想，怎么样求 出它的运动周期？
l cos T =2 g
当Ｖ＞ gR 时，T>0; 当Ｖ < gR 时，小球不能到达顶点.
四.杆（有内外轨）
问题: 质量为m的小球,套在长为L轻杆上 在竖直平面内转动,在最高点, 试讨论小球 的速度在什么范围内,杆对小球有支持力? 在什么范围内,杆对小球有向下的拉力?速 度为何值时,杆对小球无作用力?
解: (1).杆对小球有支持力N, mg -N = 根据题意, N>0, mV2/R 所以 N = mg 代入上式, V< mV2/R
例题：设内外轨间的距离为d，内外轨 的高度差为h，火车转弯的半径为R，则 火车转弯的规定速度（内外轨均不受轮 缘挤压的时的速度，即临界速度）v0= ？ 解：由题意，对火车受力分析并由牛 顿第二定律和向心力公式有：
N
α
F向
v0 F向=mgtanα = m R v0 gR tan
2
由于α很小，所以可近似地认为： h tanα≈sinα= d Rgh 故有： v0 d
圆周运动的实例及临界问题
圆周运动的实例及临界问题一、汽车过拱形桥1．汽车在拱形桥最高点时，向心力：F 合＝mg －N ＝m v 2R.支持力：N ＝mg －mv 2R＜mg ，汽车处于失重状态． 2．汽车对桥的压力N ′与桥对汽车的支持N 是一对相互作用力，大小相等，所以汽车通过最高点时的速度越大，汽车对桥面的压力就越小．例1 一辆质量m ＝2 t 的轿车，驶过半径R＝90 m 的一段凸形桥面，g ＝10 m/s 2，求：(1)轿车以10 m/s 的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？(2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少？解析 (1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示：合力F ＝mg －N ，由向心力公式得mg －N ＝m v 2R，故桥面的支持力大小N ＝mg －m v2R＝(2 000×10－2000×10290) N ≈×104 N 根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对桥面压力的大小为×104N. (2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心力F ′＝mg －N ′＝，而F ′＝m v ′2R ，所以此时轿车的速度大小v ′＝错误!＝错误! m/s ≈21.2 m/s 答案 (1)×104N (2)21.2 m/s 二、圆锥摆模型 1．运动特点：人及其座椅在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面． 图12．运动分析：将“旋转秋千”简化为圆锥摆模型(如图1所示) (1)向心力：F 合＝mg tan_α(2)运动分析：F 合＝mω2r ＝mω2l sin α(3)缆绳与中心轴的夹角α满足cos α＝g ω2l. 图6例2 如图6所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是( )A ．速度v A ＞vB B ．角速度ωA ＞ωBC ．向心力F A ＞F BD ．向心加速度a A ＞a B解析 设漏斗的顶角为2θ，则小球的合力为F 合＝mgtan θ，由F ＝F 合＝mgtan θ＝mω2r ＝m v 2r＝ma ，知向心力F A ＝F B ，向心加速度a A ＝a B ，选项C 、D错误；因r A ＞r B ，又由v ＝ grtan θ和ω＝gr tan θ知v A ＞v B 、ωA ＜ωB ，故A 对，B 错．答案 A三、火车转弯1．运动特点：火车转弯时做圆周运动，具有向心加速度，需要向心力． 2．铁路弯道的特点：转弯处外轨略高于内轨，铁轨对火车的支持力斜向弯道的内侧，此支持力与火车所受重力的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力．例3 铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图7所示，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度等于gR tan θ，则( ) A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C ．这时铁轨对火车的支持力等于mgcos θD ．这时铁轨对火车的支持力大于mgcos θ解析 由牛顿第二定律F 合＝m v 2R，解得F 合＝mg tanθ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，N cos θ＝mg ，则N ＝mg cos θ，内、外轨道对火车均无侧向压力，故C 正确，A 、B 、D 错误． 答案 C课后巩固训练2．(圆锥摆模型)两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图9所示，A 运动的半径比B 的大，则( )A ．A 所需的向心力比B 的大 B ．B 所需的向心力比A 的大C ．A 的角速度比B 的大D ．B 的角速度比A 的大解析 小球的重力和绳子的拉力的合力充当向心力，设悬线与竖直方向夹角为θ，则F ＝mg tanθ＝mω2l sin θ，θ越大，向心力F 越大，所以A 对，B 错；而ω2＝gl cos θ＝gh.故两者的角速度相同，C 、D 错．答案 A3．半径为R 的光滑半圆球固定在水平面上(如图2所示)，顶部有一小物体A ，今给它一个水平初速度v 0＝Rg ，则物体将( )A ．沿球面下滑至M 点B ．沿球面下滑至某一点N ，便离开球面做斜下抛运动C ．沿半径大于R 的新圆弧轨道做圆周运动D ．立即离开半圆球做平抛运动答案 D解析 当v 0＝gR 时，所需向心力F ＝m v 20R＝mg ，此时，物体与半球面顶部接触但无弹力作用，物体只受重力作用，故做平抛运动．4．质量为m 的飞机，以速率v 在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等于( )A ．m g 2＋v 4R 2 B ．m v 2RC ．mv 4R 2－g 2D ．mg解析 空气对飞机的作用力有两个作用效果，其一：竖直方向的作用力使飞机克服重力作用而升空；其二：水平方向的作用力提供向心力，使飞机可在水平面内做匀速圆周运动．对飞机的受力情况进行分析，如图所示．飞机受到重力mg 、空气对飞机的作用力F 升，两力的合力为F ，方向沿水平方向指向圆心．由题意可知，重力mg 与F垂直，故F 升＝m 2g 2＋F 2，又F ＝m v 2R ，联立解得F升＝m g 2＋v 4R2. 图3答案 A5．质量不计的轻质弹性杆P 插在桌面上，杆端套有一个质量为m 的小球，今使小球沿水平方向做半径为R 的匀速圆周运动，角速度为ω，如图4所示，则杆的上端受到的作用力大小为( )A ．m ω2RD ．不能确定 答案 C解析 小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动．这两个力的合力充当向心力必指向圆心，如图所示．用力的合成法可得杆对球的作用力：N ＝(mg )2＋F 2＝m 2g 2＋m 2ω4R 2，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的作用力N ′＝N ，C 正确．图56．火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定．若在某转弯处规定行驶速度为v ，则下列说法中正确的是( )A ．当以v 的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力B ．当以v 的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力C ．当速度大于v 时，轮缘挤压外轨D ．当速度小于v 时，轮缘挤压外轨解析 当以v 的速度通过此弯路时，向心力由火车的重力和轨道的支持力的合力提供，A 对，B 错；当速度大于v 时，火车的重力和轨道的支持力的合力小于向心力，外轨对轮缘有向内的弹力，轮缘挤压外轨，C 对，D 错．答案 AC解析 设赛车的质量为m ，赛车受力分析如图所示，可见：F 合＝mg tan θ，而F 合＝m v 2r，故v ＝gr tan θ.7.如图11，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R ＝0.5 m ，离水平地面的高度H ＝0.8 m ，物块平抛落地过程水平位移的大小x ＝0.4 m ．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s 2.求：图11(1)物块做平抛运动的初速度大小v 0； (2)物块与转台间的动摩擦因数μ. 答案 (1)1 m/s (2)解析 (1)物块做平抛运动，竖直方向有 H ＝12gt 2① 水平方向有x ＝v 0t ②联立①②两式得v 0＝x g 2H ＝1 m/s ③ (2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有 μmg ＝m v 20R ④ 联立③④得μ＝v 20gR ＝ 8．(多选)如图5所示，质量为m 的物体，沿着半径为R 的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v ，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是( )图5 A ．受到的向心力为mg ＋m v 2RB ．受到的摩擦力为μm v 2RC ．受到的摩擦力为μ(mg ＋m v 2R)D ．受到的合力方向斜向左上方解析 物体在最低点做圆周运动，则有F N －mg ＝m v 2R ，解得F N ＝mg ＋m v 2R，故物体受到的滑动摩擦力F f ＝μF N ＝μ(mg ＋m v 2R)，A 、B 错误，C 正确．物体受到竖直向下的重力、水平向左的摩擦力和竖直向上的支持力(支持力大于重力)，故物体所受的合力斜向左上方，D 正确． 答案 CD临界问题分析一：水平面内圆周运动的临界问题处理临界问题的解题步骤(1)判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应着临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往对应着临界状态．(2)确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来． (3)选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后列方程求解．例1 如图8所示，高速公路转弯处弯道圆半径R ＝100 m ，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ＝.最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，若路面是水平的，问汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所允许的最大速率v m 为多大？当超过v m 时，将会出现什么现象？(g ＝9.8 m/s 2)解析 在水平路面上转弯，向心力只能由静摩擦力提供，设汽车质量为m ，则f m ＝μmg ，则有m v 2m R＝μmg ，v m ＝μgR ，代入数据可得v m ≈15 m/s ＝54 km/h.当汽车的速度超过54 km/h 时，需要的向心力m v 2R大于最大静摩擦力，也就是说提供的合外力不足以维持汽车做圆周运动所需的向心力，汽车将做离心运动，严重的将会出现翻车事故．答案 54 km/h 汽车做离心运动或出现翻车事故2．[相对滑动的临界问题](2014·新课标全国Ⅰ·20)(多选)如图6所示，两个质量均为m 的小木块a 和b (可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO ′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g .若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )图6A．b一定比a先开始滑动B．a、b所受的摩擦力始终相等C．ω＝kg2l是b开始滑动的临界角速度D．当ω＝2kg3l时，a所受摩擦力的大小为kmg解析小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：f a＝mω2a l，当f a＝kmg时，kmg＝mω2a l，ωa＝kgl；对木块b：f b＝mω2b·2l，当f b＝kmg时，kmg＝mω2b·2l，ωb＝kg2l，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则f a＝mω2l，f b＝mω2·2l，f a<f b，选项B错误；当ω＝kg2l时b刚开始滑动，选项C正确；当ω＝2kg3l时，a没有滑动，则f a＝mω2l＝23kmg，选项D错误．答案AC3．[接触与脱离的临界问题]如图8所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg 的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为F T.(g取10 m/s2，结果可用根式表示)求：图8(1)若要小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？解析(1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示．小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：mg tan θ＝mω20l sin θ解得：ω20＝gl cos θ即ω0＝gl cos θ＝522 rad/s.(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得：mg tan α＝mω′2l sin α解得：ω′2＝gl cos α，即ω′＝gl cos α＝2 5 rad/s.二：竖直面内圆周运动的临界问题1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”．210．[过山车的分析](多选)如图9所示甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁(由上、下、侧三个轮子组成)把轨道车套在了轨道上，四个图中轨道的半径都为R，下列说法正确的是( )图9A．甲图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最高点时，座椅一定给人向上的力B．乙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，安全带一定给人向上的力C．丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向上的力D ．丁图中，轨道车过最高点的最小速度为gR 解析 在甲图中，当速度比较小时，根据牛顿第二定律得，mg －F N ＝m v 2R，即座椅给人施加向上的力，当速度比较大时，根据牛顿第二定律得，mg＋F N ＝m v 2R，即座椅给人施加向下的力，故A 错误；在乙图中，因为合力指向圆心，重力竖直向下，所以安全带给人一定是向上的力，故B 正确；在丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，合力方向向上，重力竖直向下，则座椅给人的作用力一定竖直向上，故C 正确；在丁图中，由于轨道车有安全锁，可知轨道车在最高点的最小速度为零，故D 错误． 答案 BC11.[杆模型分析](2014·新课标Ⅱ·17)如图10所示，一质量为M 的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m 的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g .当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为( )图10A ．Mg －5mgB ．Mg ＋mgC ．Mg ＋5mgD ．Mg ＋10mg解析 设大环半径为R ，质量为m 的小环下滑过程中遵守机械能守恒定律，所以12mv 2＝mg ·2R .小环滑到大环的最低点时的速度为v ＝2gR ，根据牛顿第二定律得F N －mg ＝mv 2R ，所以在最低点时大环对小环的支持力F N ＝mg ＋mv 2R＝5mg .根据牛顿第三定律知，小环对大环的压力F N ′＝F N ＝5mg ，方向向下．对大环，据平衡条件轻杆对大环的拉力T ＝Mg ＋F N ′＝Mg ＋5mg .根据牛顿第三定律，大环对轻杆拉力的大小为T ′＝T ＝Mg ＋5mg ，故选项C正确，选项A 、B 、D 错误． 答案 C。
圆周运动的实例分析
物体沿圆的内轨道运动
A
mg
N
N
N
【例题5】质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经最高点不脱离轨道的临界速度为v，则当小球以2v速度经过最高点时，小球对轨道的压力大小为（ ） 0 mg 3mg 5mg
C
2、轻杆模型
五、竖直平面内圆周运动
质点被一轻杆拉着在竖直面内做圆周运动
质点在竖直放置的光滑细管内做圆周运动
过最高点的最小速度是多大?
V=0
Ｌ
R
【例题6】用一轻杆栓着质量为m的物体,在竖直平面内做圆周运动,则下列说法正确的是（ ） A.小球过最高点时,杆的张力可以为零 B.小球过最高点时的最小速度为零 C.小球刚好过最高点是的速度是 D.小球过最高点时,杆对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
BD
【例题4】如图所示，火车道转弯处的半径为r，火车质量为m，两铁轨的高度差为h（外轨略高于内轨），两轨间距为L(L>>h)，求： 火车以多大的速率υ转弯时，两铁轨不会给车轮沿转弯半径方向的侧压力？ υ是多大时外轨对车轮有沿转弯半径方向的侧压力？ υ是多大时内轨对车轮有沿转弯半径方向的侧压力？
四、汽车过拱形桥
T
mg
T
mg
过最高点的最小速度是多大?
O
【例题1】如图所示,一质量为m的小球用长为L的细绳悬于O点,使之在竖直平面内做圆周运动,小球通过最低点时速率为v,则小球在最低点时细绳的张力大小为多少? O mg T
【例题2】用细绳栓着质量为m的物体,在竖直平面内做圆周运动，圆周半径为R。则下列说法正确的是 A.小球过最高点时,绳子的张力可以为零 B.小球过最高点时的最小速度为零 C.小球刚好过最高点是的速度是 D.小球过最高点时,绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
圆周运动的实例分析
圆周运动的实例分析圆周运动是指物体在固定圆周上做匀速旋转的运动。
它在生活中有着广泛的应用，例如车轮的旋转、地球绕太阳的公转等。
本文将通过分析两个具体实例来说明圆周运动的特点和应用。
实例一：车轮的旋转当车辆行驶时，车轮就会以一个轴为中心进行匀速旋转，这就是典型的圆周运动。
车轮的旋转不仅能够驱动车辆前进，还可以改变行驶方向。
根据牛顿第一定律，车轮受到的作用力与向心加速度成正比。
当车辆加速时，作用力增加，车轮的旋转速度也会增加，从而使车辆更快地行驶。
相反，当车辆减速或停止时，车轮的旋转速度也会相应减小或停止。
这种以车轮为例的圆周运动，为我们提供了便利的交通工具。
实例二：地球绕太阳的公转地球围绕太阳做匀速的圆周运动，这就是地球的公转。
这种公转使地球维持着相对稳定的轨道，保持了恒定的距离和倾斜角度，从而使我们能够有四季的交替和昼夜的变化。
地球公转的轨迹是一个近似于椭圆的轨道，太阳位于椭圆焦点之一。
地球公转的周期是365.24天，也就是一年的长度。
这个周期的长短决定了季节的变化和地球上生物的繁衍。
除了以上两个实例，圆周运动还广泛应用于其他领域。
例如，在工程中，我们常常需要使用电机来驱动各种设备的旋转，如风扇、洗衣机等。
这些旋转运动都是圆周运动的实例。
在体育竞技中，篮球、足球等球类运动都有着明显的圆周运动特点。
球员的投篮和射门都需要进行准确的角度和力度的控制，以确保球能够按照预定的轨道运动。
总之，圆周运动在我们的生活中随处可见，它是物体在固定圆周上做匀速旋转的运动。
不仅在自然界中存在着典型的实例，如车轮的旋转和地球的公转，而且在我们的日常生活和工程技术中也广泛应用。
圆周运动的特点和应用使得我们的生活更加便利、丰富多样，并为科学研究和技术发展提供了基础。
6.4圆周运动的实例分析1（火车转弯）
N
向心 F力
G
火车弯道内低外高，这样的设计有什么道理？
1.铁路弯道的特点：弯道处外轨 略高于 内轨
2.火车转弯时铁轨对火车的支持力不是竖直向 上的，而是斜向弯道的 内侧 .支持力与重力的 合力指向 圆心 .
火车质量为m在倾角为θ、半径为r的轨道上转 弯时，若铁轨不受侧向压力，求此时火车的 这个速度多大？
mgtan m v2
第4节 生活中的圆周运动
实例一：旋转秋千
1、“旋转秋千”中揽绳跟中心 轴的夹角与哪些因素有关？ 2、体重不同的人做在秋千上旋 转时，揽绳与中心轴的夹角相 同吗？
Tα
F合
mg
实例二：火车转弯
在铁道弯道处，稍微留意一下， 就能发现内、外轨道的高度略 有不同。你能解释其中的原因 吗？
一、火车转弯
如果轨道高度相同，火车转弯向心力谁来提供？ 如果铁道弯道的内外轨一样高，火车转弯时， 由外轨对轮缘的弹力提供向心力，由于质量太 大，因此需要很大的向心力，靠这种方法得到 向心力，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能使 火车侧翻.
r
v gr tan
高速公路转弯处和场地自行车比赛的赛道，路 面往往有一定的倾斜度。说说这样设计的原因。
拓展：改变速度
讨论：
a. 当火车转弯所需的向心力完全由重力 与轨道对它的支持力的合力提供时,轮 缘与内外轨均无测向压力,此时火车行 使的速度称为理想行驶速度V0.
F = mV20/R.
b. 当火车行驶速度V> V0 时,重力与支持 的合力不足以提供火车转弯所需的向心 力,火车轮缘与外轨相互挤压,外轨对轮缘 有测向压力.
2.3 圆周运动的实例分析(交通工具转弯)
4 、火车在拐弯时，对于向心力的分析，下 列说法正确的是 ( D )． A．由于火车本身作用而产生了向心力 B ．主要是由于内外轨的高度差的作用，车 身略有倾斜，车身所受重力的分力产生了 向心力 C ．火车在拐弯时的速率小于规定速率时， 内轨将给火车侧压力，侧压力就是向心力 D ．火车在拐弯时的速率大于规定速率时， 外轨将给火车侧压力，侧压力作为火车拐 弯时向心力的一部分
（2）若V<V临界时：
外侧
N
F合
mg
θ 内侧
火车向内侧运动（向 心），内轨对轮缘有 侧压力
列车速度过快，造成翻车事故
巩固练习：
1、下列说法正确的是 ( B )
A、作匀速圆周运动的物体，在所受合外力突然消 失时，将沿圆周半径方向离开圆心
B、作匀速圆周运动的物体，在所受合外力突然 消失时，将沿圆周切线方向离开圆心 C、作匀速圆周运动的物体，它自己会产生一个 向心力，维持其作圆周运动
2.3圆周运动的实例分析
一、飞机在空中转弯
N
F合 G
飞机转弯时，机身倾斜，飞机所受升力 和重力的合力提供向心力
推广：鸟儿在空中盘旋与此相似。
二、汽车在水平路面上转弯
N f
O
mg
提供向心力 f =mV2/r 所需的向心力
思考：
质量为m的汽车在水平路 面上转弯，设转弯半径为 R，汽车与路面动摩擦因 数为μ，若要汽车转弯时 不发生侧滑，则汽车速度 不能超过多少？ 汽车恰好不侧滑时速度最大 由μmg=mv2/R 得v=√μgR
N
R
f
mg
f
Ｆ１赛车过弯道
三、汽车在倾斜路面上转弯
若公路设计成内侧低外侧 高，使路面与水平面有一 倾角α，如图，汽车以多 大速度转弯时，可使车与 路面间无摩擦力？
2.3+圆周运动实例分析(竖直面内的圆周运动)课件
mg
当FN = 0 时，汽车脱离桥面，做平抛运动，汽车及其
中的物体处于完全失重状态.
FN＝0 时，
汽车的速
度为多大？
思考：质量为m的汽车以速度 =
通过半径为R的
半圆形拱形桥最高点后落在何处？
v
mg
R
o
2R
例2、求质量为m的汽车以速度v通过半径为R的凹形桥
最低点时对桥的压力多大？
o
N
v
R
mg
（２）汽车的速度越大，汽车对桥的压力越大
试比较质量为m的汽车，以速度v，通过不同的桥面对
桥的压力？ N
v
最高点
mg
N
失重
a
v
=
mg
a
N
超重
v
最低点
mg
思考：汽车有无可能做这样的运动？
如果可能应满足怎样的条件？
N
mg
绳球模型、质量为m的小球,用长为L的细绳拉着上在竖直
平面内转动, 试讨论小球最高点速度在什么范围内能保证小球做
§2.3 圆周运动的实例分析
汽车过桥
拱形桥
水平桥
F压=FN=mg
凹形桥Biblioteka 例1、质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，若桥面
的圆弧半径为R，试画出受力分析图，分析汽车通过桥的
最高点时对桥的压力。
FN
mg
a
由牛顿第三定律得，汽车通过桥的最高点时对桥的压力：
思考：若汽车通过拱桥的速度增大，会出现什么情况？
完整圆周运动？
解：小球受力如图所示，在最高点:
T
mg
杆（双轨） 例4、质量为m的小球，固定在长为L轻杆上
在竖直平面内转动，在最高点，试讨论：小球的速度在什
圆周运动实例分析
圆周运动实例分析圆周运动是一种物体绕固定轴旋转的运动方式，它在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
下面将以多种实例来分析圆周运动。
实例一：地球公转地球绕着太阳公转是一个经典的圆周运动实例。
地球绕着太阳运动的轨道近似为一个椭圆，但是由于地球到太阳的距离相对较远，可以近似为一个圆周运动。
地球与太阳之间的重力提供了地球公转的向心力，使得地球保持在固定的轨道上。
这个圆周运动的周期为一年，即将地球绕公转一周所需要的时间。
实例二：卫星绕地球运动人造卫星绕地球运动也是一个常见的圆周运动实例。
卫星在地球轨道上运行时，地球的引力提供了卫星运动所需的向心力，使得卫星保持在圆周轨道上。
卫星的圆周运动速度称为轨道速度，是卫星绕地球一周所需的时间和轨道的半径所决定的。
实例三：风车旋转风车旋转也可以看作是一种圆周运动。
当风吹来时，风叶会受到风的力推动，从而开始转动。
风叶的运动轨迹是一个近似于圆周的曲线。
旋转的轴心是固定的，风向则决定了旋转的方向。
风车的旋转速度取决于风的强度和风叶的设计。
实例四：车轮滚动车轮的滚动也可以看作是一种圆周运动。
当车轮开始滚动时，轮胎与地面之间的摩擦力提供了一个向心力，使得车轮保持在一条直线上。
我们可以观察到车轮的外侧速度较大，而内侧速度较小，这是因为车轮在滚动过程中，中心处的点相对于半径较大的外侧点要走更长的路程。
实例五：转盘游乐设备转盘游乐设备也是一个典型的圆周运动实例。
当转盘开始旋转时，内侧的座椅相对于外侧的座椅要经历一个更小的半径，因此内侧的座椅速度较小，而外侧的座椅速度较大。
这种圆周运动会给乘坐者带来旋转的感觉，增加乘坐的刺激性。
总的来说，圆周运动在日常生活和科学研究中非常常见，上述实例仅仅是其中的几个例子。
人们通过对圆周运动的观察和研究，不仅可以深化对运动规律的理解，还可以为工程设计和科学实验提供有价值的参考。
3圆周运动的实例分析
3圆周运动的实例分析圆周运动是物体在绕着固定轴线做旋转运动的一种形式。
在自然界和科学实验中，圆周运动是非常常见的现象。
本文将通过分析三个实例来说明圆周运动的特点和应用。
第一个实例是地球围绕太阳的公转。
地球每年绕着太阳做一圈，形成一个近似椭圆的轨道。
这个运动符合圆周运动的特征：地球始终围绕着太阳旋转，轴线是固定不变的。
地球的公转速度恒定且方向一致，因此地球与太阳之间的距离也是保持不变的。
这个实例的重要应用是确定地球的运行轨道和计算地球公转的时间。
第二个实例是电子在原子核周围的轨道运动。
原子核带正电荷，电子带负电荷，它们之间形成静电力。
因此，电子会受到中心力的作用，绕着原子核做圆周运动。
这个实例也符合圆周运动的特点：电子的运动轨道是固定的，轴线是静止的原子核。
电子的速度恒定且方向一致，因此距离原子核的距离保持不变。
这个实例的重要应用是解释原子的结构和性质。
第三个实例是汽车在直道上行驶时的转弯运动。
当汽车在直道上行驶时，可以看作是做着圆周运动。
汽车的轮胎信号和地面之间会产生摩擦力，并提供一个向心力。
这个向心力使汽车沿着弯道做圆周运动。
这个实例也符合圆周运动的特点：汽车的运动轨道是固定的，轴线是路面。
汽车的速度恒定且方向一致，因此转弯时，汽车与弯道之间的距离保持不变。
这个实例的重要应用是研究汽车的制动和转向性能。
总结起来，圆周运动是一种常见的物理现象，在自然界和科学实验中有广泛的应用。
地球围绕太阳的公转、电子在原子核周围的轨道运动和汽车在直道上行驶时的转弯运动都是典型的圆周运动实例。
通过分析这些实例，我们可以深入了解圆周运动的特点和应用。
2.3圆周运动的实例分析+教学设计-2024-2025学年高一下学期物理教科版(2019)必修第二册
《圆周运动的实例分析》教学设计一、教材依据本节课是教科版高中物理必修2第二章《研究圆周运动》的第3节《圆周运动的实例分析》。
二、设计思路（一）、指导思想①突出科学的探究性和物理学科的趣味性；②体现了以学生为主体的学习观念；注重了循序渐进性原则和学生的认知规律，使学生从感性认识自然过渡到理性认识。
（二）、设计理念本节对学生来说是比较感兴趣的，要使学生顺利掌握本节内容。
引导学生在日常生活经验的基础上通过观察和主动探究和归纳，就成为教学中必须解决的关键问题。
所以在本节课的设计中，结合新课改的要求，利用“六步教学法”：教师主导——提出问题；学生探求——发现问题；主体互动——研究问题；课堂整理——解决问题；课堂练习——巩固提高；反思小结——信息反馈，为学生准备了导学提纲，重视创设问题的情境，引导学生分析现象，归纳总结出实验结论。
（三）教材分析本节是《研究圆周运动》这一章的核心，它既是圆周运的向心力与向心加速度的具体应用，也是牛顿运动定律在曲线运动中的升华，它也将为学习后续的万有引定律应用、带电粒子在磁场中运动等内容作知识与方法上的准备。
本节通过对汽车、火车等交通工具等具体事例的分析，理解圆周运动规律分析和解决物理问题的方法。
在本节教学内容中，圆周运动与人们日常生活、生产技术有着密切的联系，本节教材从生活场景走向物理学习，又从物理学习走向社会应用，体现了物理与生活、社会的密切联系。
三、教学目标1.通过对自行车、交通工具等具体事例的分析，理解圆周运动规律分析和解决物理问题的方法。
2.将生活实例转换为物理模型进行分析研究。
3.通过探究性物理学习活动，使学生获得成功的愉悦，培养学生对参与物理学习活动的兴趣，提高学习的自信心。
4.通过对日常生活、生产中圆周运动现象的解释，敢于坚持真理、勇于应用科学知识探究生活中的物理学问题。
四、教学重点理解向心力不是一种特殊的力，同时学会分析实际的向心力来源。
五、教学难点能用向心力公式解决有关圆周运动的实际问题，其中包括分析汽车过拱桥、火车拐弯等问题。
圆周运动实例分析的全面分析
圆周运动实例分析的全面分析圆周运动指的是物体沿着一条固定半径的圆周路径进行运动。
在物理学中，圆周运动是一种常见的运动形式，涉及到转速、角度、力的作用等多个因素。
下面我们将以钟摆和行星绕太阳的运动为例，对圆周运动的全面分析进行说明。
一、钟摆的圆周运动钟摆是一种简单的圆周运动示例，其中重物连接到一个固定点，并通过绳子或杆支撑。
钟摆的运动是一个反复来回摆动的运动，具体分析如下：1.转速：钟摆的转速指的是摆动的快慢程度，可以通过摆动的周期来衡量。
周期定义为钟摆从一个极端位置运动到另一个极端位置所需的时间。
转速与摆动的周期成反比，即转速越大，周期越短。
2.角度：钟摆的运动可以通过摆角来描述，摆角是摆锤与竖直方向的夹角。
在理想情况下，钟摆的摆角保持不变。
当摆角小于摆锤所能达到的最大角度时，钟摆会产生稳定的圆周运动。
3.力的作用：钟摆的圆周运动由重力产生的恢复力驱动。
当钟摆从最高点开始运动时，它受到重力的作用而加速下降。
在达到最底点后，重力会使钟摆发生反向运动，并且带有一定缓冲，然后又开始往返。
这是一个周期性的过程，重力提供了必要的力来维持钟摆的圆周运动。
二、行星绕太阳的圆周运动行星绕太阳的运动是一个更加复杂的圆周运动示例，涉及到引力、转动力矩等因素。
具体分析如下：1.引力：行星绕太阳的圆周运动是由太阳的引力驱动的。
根据开普勒定律，行星和太阳之间的引力使行星沿椭圆形轨道运动。
当行星沿着椭圆的一条较短的轴运动时，其速度较快；而当行星沿着较长轴运动时，速度较慢。
2.动量守恒：根据角动量守恒定律，行星绕太阳的圆周运动可以通过转动力矩来描述。
行星的角动量保持不变，因此在运动过程中，行星围绕太阳的速度和轨道半径成反比。
当行星靠近太阳时，速度增加，而当行星离太阳较远时，速度减小。
3.公转周期：行星围绕太阳的圆周运动的周期称为行星的公转周期。
公转周期与行星到太阳的距离有关，根据开普勒第三定律，公转周期的平方与行星到太阳的平均距离的立方成正比。
第4章 第4讲 圆周运动的实例分析
④变速圆周运动：合外力并不指向圆心．
沿半径方向(或沿法线方向)的合外力等于 向心力，产生向心加速度，改变速度的方向， F法＝F向＝ma向．
沿切线方向的合外力产生切向加速度，改 变速度的大小．F切＝ma切．
二、离心运动和向心运动
v2 当物体沿半径方向的合外力F＜m (即F供＜F需 )， r 物体就做 离心 运动； v2 当F＞m 时(即F供＞F需 )，物体就做 向心 运动； r v2 只有F＝m (即F供＝F需 )物体才做 圆周 运动． r
例1：汽车在水平弯道上拐弯(拐弯半 径为r)，汽车与地面间的动摩擦因数为μ， 那么不使汽车发生滑动的最大速率是 ( )
A. rG C. g B. rg D.
g
r
解析：汽车在水平弯道上做圆周运动，受到 重力、支持力和静摩擦力作用，其中重力和支持 力大小相等方向相反，作用相互抵消．所以静摩 擦力一定沿弯道半径指向圆心，做向心力．随汽 车行驶速率增大，需要的向心力也增大，则静摩 擦力增大．因此静摩擦力达到最大值时，汽车速 率不能再增大，否则会出现滑动．由牛顿运动定 mv 2 律可得：f max＝ FN，FN＝mg，f max＝ mg＝ ， r 得到v＝ gr，因此选项B正确．
解析：雨滴离开伞时速度的大小 v＝ R＝2 0.8m / s＝1.6 m / s 2h 2 1.8 t＝ ＝ s＝0.6s g 10 雨滴落地时的水平位移，如右图 x＝vx t＝1.6 0.6m＝0.96 m 则雨滴在地面上所围圆的半径为r，有 r＝ R 2 +x 2 ＝ 0.82 + 0.96 2 m＝3.12m 雨滴落地时竖直方向速度的大小： v y＝gt＝10 0.6m / s＝6m / s
答案：B
点评：解决此类问题的思路和主要步骤： (1)审清题意，确定研究对象． (2)选取参考系，确定物体(质点)圆周运动轨道平面、 圆心和半径．向心力公式F＝mv2/r是根据向心加速度a＝ v2/r和牛顿第二定律F＝ma推导出来的．公式中的半径是 指质点的轨道曲率半径；公式中的速度是指质点相对于 静止或做匀速直线运动的参考系(即惯性系)的速度． (3)对物体作受力分析，画受力图，确定向心力的来 源． (4)据牛顿运动定律及向心力公式列方程．
生活中的圆周运动
第7节生活中的圆周运动1.火车转弯处，外轨略高于内轨，使得火车所受支持力和重力的合力提供向心力。
2．汽车过拱形桥时，在凸形桥的桥顶上，汽车对桥的压力小于汽车重力，汽车在桥顶的安全行驶速度小于gR ；汽车在凹形桥的最低点处，汽车对桥的压力大于汽车的重力。
3．绕地球做匀速圆周运动的航天器中，宇航员具有指向地心的向心加速度，处于失重状态。
4．做圆周运动的物体，当合外力突然消失或不足以提供向心力时， 物体将做离心运动。
1．铁路的弯道(1)火车在弯道上的运动特点：火车在弯道上运动时做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力。
(2)转弯处内外轨一样高的缺点：如果转弯处内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力，这样铁轨和车轮极易受损。
(3)铁路弯道的特点： ①转弯处外轨略高于内轨。
②铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道内侧。
③铁轨对火车的支持力与火车所受重力的合力指向轨道的圆心，它提供了火车做圆周运动的向心力。
2．拱形桥(1)向心力来源(最高点和最低点)：汽车做圆周运动，重力和桥面的支持力的合力提供向心力。
(2)动力学关系：①如图5－7－1所示，汽车在凸形桥的最高点时，满足的关系为mg －F N ＝m v 2R ，F N ＝mg －m v 2R，由牛顿第三定律可知汽车对桥面的压力大小等于支持力，因此汽车在凸形桥上运动时，对桥的压力小于重力。
当 图5－7－1v ＝gR 时，其压力为零。
②如图5－7－2所示，汽车经过凹形桥的最低点时，F N－mg ＝m v 2R ，F N ＝mg ＋m v 2R，汽车对桥面的压力大小F N ′＝F N 。
图5－7－2汽车过凹形桥时，对桥的压力大于重力。
3．航天器中的失重现象 (1)航天器在近地轨道的运动：①对于航天器，重力充当向心力， 满足的关系为mg ＝m v 2R ，航天器的速度v ＝gR 。
②对于航天员，由重力和座椅的支持力提供向心力，满足的关系为mg －F N ＝m v 2R 。
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(2)明确向心力的来源，以及速 度与轨道压力的关系
在修筑铁路时，要根据转弯处轨
道的半径和规定的行驶速度，适 当调整内、外轨的高度差，使转 弯时所需的向心力完全由重力G 和支持力N的合力提供，从而使
外轨不受轮缘的横向挤压(如所
示)．
图2－3、4－6
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竖直平面内的圆周运动 【典例1】 如图2-3、4-9所示，质量 为0.5 kg的小桶里盛有1 kg的水，
用细绳系住小桶在竖直平面内做
“水流星”表演，转动半径为1 m， 小桶在最高点的速度为5 m/s，g取 10 m/s2.求：
图2－3、4－9
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3 圆周运动的实例分析
4 圆周运动与人类文明(选学)
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1．分析铁轨拐弯处的设计、骑自行车转弯等实例的动力学
关系． 2．认识向心力是以效果命名的力；知道什么是离心现象， 说出物体做离心运动的条件． 3．通过列举实例，感受圆周运动在生活、生产中的应用价
值，说明离心运动的应用和防止．
内外轨道对轮缘都没有侧压力．②当火车转弯速率v大于v0 时，F<F向，外轨对轮缘有侧压力．③当火车转弯速率v小于 v0时，F>F向，内轨对轮缘有侧压力．
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三、稳定圆周运动、离心运动、向心运
动的比较
向心运动 如果做匀速圆周运动的物体所受指向 圆心的力突然变大，此力大于做圆周 运动所需的向心力，则物体就会做靠
力．
(1)在最高点应是桶和水整体受到的合力提供向心
(2)抓住绳类模型通过最高点的临界条件(绳拉力恰好为零)是 解题的关键．
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【变式 1】 一汽车通过拱形桥顶点时速度为 10 m/s，车对桥顶的压 3 力为车重的 ，如果要使汽车在桥顶时对桥面没有压力， 4 车速至少为 A．15 m/s C．25 m/s B．20 m/s D．30 m/s ( )．
时， ω越大 ，α 也 越大 ．
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火车转弯
(1)运动特点
火车转弯时做的是圆周运动．因而具有向心加速度，需 要 向心力 ． (2)转弯处内外轨一样高的缺点 如果转弯处内外轨一样高，则由 外轨对轮缘的弹力 提供
向心力．这样铁轨和车轮极易受损．
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(2)以水为研究对象， 其向心力是由重力 m2g 和桶底对水的压 力 N 的合力提供，由向心力公式得 m2v2 m2g＋N＝ ， r m2v2 解得 N＝ －m2g. r 代入数值解得 N＝15 N. 由牛顿第三定律可知水对桶底的压力大小 N′＝15 N， 方向竖 直向上．
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解析
v2 v2 3 1 当 N＝ G 时，因为 G－N＝m ，所以 G＝m ；当 r r 4 4
v′2 N＝0 时，G＝m r ，所以 v′＝2v＝20 m/s.
答案
B
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水平面内的圆周运动
【典例2】 汽车与公路面的动摩擦因数为μ＝0.1，公路某转
(2)拱形桥上汽车的受力特点 ①汽车在凸形桥最高点时(如图 2－3、4－1) v2 向心力：Fn＝ G－N＝m R ； v2 支持力：N＝G－m R <G，汽车处于失重状态． 图2－3、4－1 由以上两式可得：v越大，支持力N 越小，向心力F 越大 ，
n
当 Fn＝G 时，N＝0.
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(3)在水平公路上行驶的汽车， 转弯时所需的向心力由车轮与 路面间的静摩擦力提供．如果转弯时速度过大，所需向心力 Fn 很大， 大于最大静摩擦力时， 最大静摩擦力不足以提供向 v2 心力，即 Fmax<m ，汽车将做离心运动. R
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二、对火车转弯的理解 弯道设计特点：在实际的火车转弯处，外轨高于内轨． 分析转弯的思路 (1)首先明确圆周平面是在水平面上
虽然外轨高于内轨，但整个外轨是等高的，整个内轨是等
高的．因而火车在行驶的过程中，重心的高度不变，即火 车重心的轨迹在同一水平面内．故火车的圆周平面是水平 面，而不是斜面．所以，火车的向心加速度和向心力均是 沿水平面指向圆心．
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离心运动 (1)做圆周运动的物体，在向心力突然 消失 逐渐远离圆心 ，这样的运动叫做离心运动． 惯性 (2)做圆周运动的物体，由于本身 切线 ，总有沿着圆周 或
合力不足以提供所需的向心力时，物体沿切线方向飞去 或
方向飞去的倾向．当物体所受合力F＝mRω2时，物体 做圆周运动；当F＝0时，物体沿切线方向飞出；当 F<mRω2时，物体逐渐远离圆心．
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设车轨间距为 L，两轨高度差为 h，转弯处的半径为 R，行 驶的火车质量为 m， 两轨所在平面与水平面之间的夹角为 θ， h 则由三角形边角关系可得 sin θ ＝ L 对火车进行受力分析有 F＝mgtan θ 因为 θ 很小，由三角函数知识，可认为 sin θ ＝tan θ . mv2 又由向心力公式 F＝ R 可得 v0＝ ghR L .
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②运动分析 由力的分解和几何关系可得： F 合＝ mgtanα
2
r＝ lsinα g g ，cos α ＝ 2 . lcos α ω l
由 F 合＝mω ·r 得 ω＝
结论：缆绳与中心轴的夹角 α 跟“旋转秋千”的 角速度 和 绳长 有关，而与乘坐人的质量无关 ．在 l 一定
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②汽车在凹形桥最低点时(如图 2－3、4－2) v2 向心力：Fn＝ N－G＝m R ； v2 支持力： N＝G＋m >G， 汽车处于超重状态． R 由以上两式可得：v 越大，支持力 N 越大 ， 向心力 Fn 越大 ．
图2－3、4－2
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弯处的圆弧半径为R＝4 m.
(1)若路面水平，要使汽车转弯时不发生侧滑，汽车速度 不能超过多少？(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g ＝10 m/s2) (2)当超过vm时，将会出现什么现象？
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(1)汽车在水平路面上转弯不发生侧滑时， 沿圆弧运动
所需向心力由静摩擦力提供．当车速增大时，静摩擦力也随 着增大，当静摩擦力达到最大值 μmg 时，其对应的车速即 为不发生侧滑的最大行驶速度．
2 v临界 m r ，上式中的 v
临界
是小球能够通过最高点的最小速度，
通常叫临界速度 v 临界＝ rg. (2)能过最高点的条件：v≥v 临界(此时，绳、轨道对球分别产 生拉力、压力)．析
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杆模型
如图2－3、4－5所示，有物体支撑的小球在竖直平面内做
圆周运动过最高点的情况．
4．列举实例，指出圆周运动在人类文明进程中的广泛应 用．认识到圆周运动对人类文明发展有重大影响．
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汽车过拱形桥 (1)汽车过拱形桥时做圆周运动，所需向心力由 重力G 和桥 对汽车的 支持力N 的合力提供．
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(3)铁路弯道的特点
①转弯处 外轨 的 内侧 ． ③铁轨对火车的支持力与火车所受重力的合力指向圆心 ，它 提供了火车做圆周运动所需的 向心力 ． 略高于 内轨 ．
② 铁 轨 对 火 车 的 支 持 力 不 是竖 直 向 上的 ， 而 是斜 向 弯 道
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近圆心的曲线运动．如图2－3、4－7
所示，当绳的拉力为F时，球在光滑的 水平面上做匀速圆周运动，若拉力F逐 渐增大，则球做曲线运动的同时向圆 心靠近．
自主学习 名师解疑 分类例析 课堂对点演练 活页规范训练
图2－3、4－7
动力学分析
物体做圆周运动时需要有 提供向心力的合外力，合 外力的大小决定了物体的 运动，情况如所示．
图2－3、4－8
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mv2 (1)若 F 合＝ r ，物体做稳定的圆周运动，即匀速圆周运动． (2)若 F 合＝0，物体将沿切线方向飞出而做匀速直线运动． mv2 (3)若 F 合< r ， 物体将沿圆周和切线之间的螺旋线做远离圆 心的运动． mv2 (4)若 F 合> ，物体将做靠近圆心的向心运动． r
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一、竖直平面内圆周运动的两种模型
绳模型
如图2－3、4－4所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面 内做圆周运动在最高点的情况．