实际问题第三课时
21.3 实际问题与一元二次方程 第3课时
某店销售一种小工艺品。该工艺品每 件进价12元，售价为20元。每周可售 出40件。经调查发现，若把每件工艺 品的售价提高1元，就会少售出2件。 设每件工艺品售价提高x元，请完成下 面问题： 1.填空:每件工艺品售价提高x元后的 利润为___元,每周可售出工艺品___件; 2.若每周的利润达到384元，则每件工 艺品的售价应确定为多少元？
1 8 2 9 3 4 6 7
5
10 11 12
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
循环类问题
单循环公式（握手、签合同、比赛）
双循环公式（送礼品、比赛）
n(n 1) 2
n(n 1)
生物兴趣小组的同学，将自己 收集的标本向本组其他成员各 赠送一件，•全组共互赠了182 件，如果全组有名同学，则根 据题意列出的方程是
21.3 实际问位 数字与个位数字之和是8. 如果把十位数字与个位数 字调换，所得的两位数与 原来的两位数的乘积为 1855.求原来的两位数。
下表是某月的一张月历，在此月 历上用一个正方形任意画出2×2 个数，它们组成正方形（如2、3、 9、10），如果圈出的4个数中， 最小数与最大数的积为128，求这 四个数的和是多少？
如图,在长方形ABCD中,AB=5cm,BC=7cm,点P 从点A开始沿线段AB向点B以1cm/s的速度移 动,点Q从点B开始沿线段BC向点C以2cm/s的 速度移动,点P,Q分别从A,B两点同时出发t 秒钟,直至两动点中某一点到达端点后停止 (0＜t≤3.5) (1)经过几秒钟后,PQ的长度等于5cm？ (2)经过几秒钟后,△BPQ的面积等于4cm？
一个小组有若干人，新 年互送贺卡，若全组共 送贺卡72张，这个小组 共有多少人？
苏教版六年级上册数学第五单元第《稍复杂的分数乘法实际问题(第3课时)》说课稿
苏教版六年级上册数学第五单元第《稍复杂的分数乘法实际问题（第3课时）》说课稿一. 教材分析苏教版六年级上册数学第五单元《稍复杂的分数乘法实际问题（第3课时）》这一课时，是在学生已经掌握了分数乘法的基本运算方法的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是让学生能够运用分数乘法的知识解决一些稍复杂的实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材中通过两个实际问题，引导学生运用分数乘法的方法进行解答，并在解决问题的过程中，进一步巩固分数乘法的运算规则和应用。
二. 学情分析六年级的学生在学习了分数乘法的基本运算方法后，对于如何将实际问题转化为数学问题，并运用分数乘法进行解答，已经有了初步的认识和能力。
但是，学生在解决稍复杂的实际问题时，可能会遇到一些困难，例如对于问题的理解不够深入，对于分数乘法的运算规则理解不透彻等。
因此，在教学过程中，需要引导学生深入理解问题的本质，运用已学的分数乘法知识进行解答。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解稍复杂的实际问题中的数量关系，运用分数乘法的方法进行解答，并能够正确地进行计算。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，学生能够进一步巩固分数乘法的运算规则，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生在解决实际问题的过程中，能够感受到数学与生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够运用分数乘法的方法解决稍复杂的实际问题。
2.教学难点：学生对于问题的理解不够深入，对于分数乘法的运算规则理解不透彻。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将以引导为主，让学生通过自主探究、合作交流的方式，解决实际问题。
同时，我会运用多媒体教学手段，如PPT、视频等，帮助学生更好地理解问题的本质，掌握分数乘法的运算规则。
六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的实际问题，引导学生运用已学的分数乘法知识进行解答，激发学生的学习兴趣。
7.3用一元一次方程解决实际问题(第三课时)
（15×4=60千米）
通过这节课的学习 我的收获是 ：
课本21页
习题1.2.3.4
你学会了吗？
2.A、B两车分别停靠在相距115千米的甲、乙两地， A车每小时行50千米，B车每小时行30千米，A车 出发1.5小时后B车再出发。 （1）若两车相向而行，请问B车行了多长时间后与 A车相遇？ A B
乙 甲 （2）若两车同向而行（B车在A车前面），请问B 车行了多长时间后被A车追上？ B A 乙 甲 （3）若两车相向而行，请问B车行了多长时间后 两车相距10千米？ B A 甲 乙
问 教 材
A
375km
B
甲、乙两车自西向东行驶，甲车的速度是每小时48千米 ，乙车的速度是每小时72千米，甲车开出25分钟后乙车 开出，问几小时后乙车追上甲车？
分析： 设x小时后乙车追上甲车
A
甲先走25分 甲走 X 小时所走的路程 钟的路程 48x
25 60 ×48
B
C
乙走 X 小时所走的路程 72x
问中考
例1
甲、乙两人分别从相距60千米的A，B 两地相向而 行，甲每小时比乙多走1千米，4小时后两人相遇。 （1）问甲乙两人每小时各走多少千米？
4［x+（x-1）］=60
（8千米、7千米）
（2）若甲带了一条狗，狗每小时走15千米，狗与 甲 一起出发，当狗遇到乙后又掉头赶往甲,当直到两人相遇，
问 课 标
教学目标： 1. 通过用一元一次方程解决实际问题，进一步 体会方程这一数学模型的重要作用。 2. 掌握从实际问题中分析数量关系的方法，把 握行程问题中的等量关系。 3.通过解决实际问题，激发学生学好数学的信 心。
问 例3 A、B两地间的公路长为375km，一 教 辆轿车和一辆公共汽车分别从A、B两地同时 材
《用一元一次方程解决实际问题(第3课时)》教学设计
《用一元一次方程解决实际问题（第3课时）》教学设计 目标知识与技能1.知道行程问题中速度、时间、路程之间的关系；2.会用不同的方法分析题目中量与量之间的关系。
过程与方法经历解决问题的过程，提高分析问题的能力。
情感态度与价值观培养学生应用方程的意识。
重点分析行程问题中量与量之间的关系。
难点从不同的角度地分析量与量之间的关系。
过程：活动1路程、速度、时间之间的关系是什么？,,s s v s vt t t v=== 相遇问题的时间、路程有什么特点？追及问题的时间、路程有什么特点？活动2请看例4某运动员在一条公路上进行骑摩托车训练，平均速度为90Km/h 。
出发时有一辆公共汽车和摩托车同时同地出发并同向行驶。
公共汽车行驶的平均速度为60Km/h 。
摩托车跑完80Km 掉头返回，途中和公共汽车相遇。
这次相遇是在出发后多长时间？此时公共汽车行驶的路程是多少千米？如果我们设汽车行驶的路程为x ，由于路程和为160Km ，可知摩托车行驶的路程为160-x ，根据路程、速度、时间之间的关系，我们可以知道，汽车、摩托车的行驶时间分别为60x 、16090x -由于他们的行驶时间相等，所以，可以列出来方程60x =16090x -。
请同学们写出完整的解答过程。
我们看表格中，同一行之间的关系、同一列之间的关系有什么特点？请以行驶时间为x，再把表格填一遍，并列出方程。
请看课本，P21提出的问题。
你能通过分析量与量之间的关系列出方程解决问题吗？你可以设计一个表格，来表示量与量之间的关系吗？请同学们完成“做一做”。
课堂小结今天，我们学习了行程问题。
在行程问题中，一定涉及到速度、时间、路程，它们之间有固定的关系，你知道是什么关系吗？在分析问题时，你学到了什么新的方法？布置作业：课后习题（P21）第1、2、3、3题。
第三课时用两步计算解决实际问题
第三课时用两步计算解决实际问题教学内容：教科书第43-44例题和想想做做1-4题。
教学目标：1、初步掌握只给出两个已知条件的两步计算应用题的结构和解题方法；2、培养学生分析、解答应用题的能力以及口头叙述的表述能力；3、培养良好学习情绪以及乐于动脑，积极思维的学习品质。
教学重点：掌握两步计算应用题的解答方法；教学难点：初步学会分析综合法分析两步应用题。
教学准备：教学光盘、两个盒子和动物玩具。
教学过程：一、新授1、出示情景图玲玲妈妈带着玲玲去去买衣服。
说说你看到了什么？（指名说，齐读两个条件）你可以提出什么问题吗？指名提问，问到“上衣多少钱”时，请学生口头解答，老师板书出算式）。
2、教学例题（1）（1）理解题意妈妈想考考玲玲，问道：“买一套衣服要多少钱？”你能理解“一套衣服”的意思吗？（指名说）这里要强调（2）画线段图今天老师还请来了一位数学小助手，它的名字叫线段图，听过吗？我们先用一条线段表示裤子的价钱（画线段图），表示上衣价钱的线段画多长呢？（指名说，然后再画）为什么画3份这样长？（指名说）这里我认为可以让孩子也在草稿本上画一画。
不做硬性要求，培养孩子自己画图的能力。
要求一套衣服一共要多少钱，也就是求裤子和衣服一共要多少，我们可以这样表示问题。
你会解答吗？做在草稿本上。
（3）解答谁来说说你是怎样列式的？（指名说，老师板书）先算什么，再算什么？多找几个孩子说一说每一步求的是什么？（4）比较，提示课题这题和刚才那题比有什么不同？为什么这题要两步计算？这就是我们今天要学习的用两步计算解决实际问题。
（出示课题）（5）第二种解法要求“一共要多少元？”还能想出其他方法吗？（同桌讨论，再指名说，老师板书）4表示什么？同桌讨论。
指名说结合线段图说一说这里的“4”表示有4个这样的一份。
3、教学试一试。
（1）理解题意妈妈还想考考玲玲，她把问题改了改，谁来读读问题。
（指名读）（2）线段图这里的线段图可以给孩子一点时间试试画。
百分数实际问题(第三课时)
百分数实际问题（第3课时）教学内容：信息窗3第三个红点内容（已知比一个数多或少百分之几的数是多少，求这个数）及自主练习3、4、11、13。
教学目的：1．使学生掌握已知比一个数多或少百分之几的数是多少，求这个数的百分数应用题的分析与解答的方法，提高学生的分析解题能力。
2．通过练习，体会列方程解答稍复杂的百分数的实际问题，正确理解数量之间的相等关系的重要性。
教学重、难点：掌握稍复杂的百分数应用题的分析与解答的方法，提高学生的分析解题能力。
教学过程一、创设情境，提出问题1．出示题目：2004年“十一”黄金周来青岛旅游的约102万人，比2003年同期增长2%。
2．让学生根据信息窗中告诉的数学信息提出问题：2003年同期来青岛旅游的约有多少万人？（板书）二、合作探究，解决问题1．学生读题，思考：（1）比2003年同期增长2%，这里的2%是哪两个数量比较的结果？（2）这两个数量比较时，要把哪个量看作单位“1”？单位“1”是已知还是未知？（3）2003年的2%是哪个数量？2．谈话：你打算怎样来表示你理解到的题意？引导让学生画线段图，根据图进一步理解以上3个问题？万人2003年比2003年同期增长2%2004年“十一”黄金周青岛旅游102万人学生回答得出：（1）这道题是把2003年黄金周来青旅游的人数看作单位“1”，它是未知的数量。
（2）这里的2%是2004年比2003年同期多的人数相当于2003年的2%。
（3）2003年的2%也就是增长的人数。
3．让学生根据自己的理解，试着找出题中的等量关系。
[设计意图]尽量先给学生自主探索的空间，让他们尝试自己来解决问题，同时注意尊重学生的想法，给他们相互交流的机会，调动学生学习的积极性，同时也能够培养学生灵活解决实际问题的能力，发展学生的思维。
4．让学生列方程解答解：设2003年同期来青岛旅游的约有x万人。
X+2%X=1021.02X=102X=100答：2003年同期来青岛旅游的约有100万人。
223 实际问题与二次函数(第3课时)(教案)
备课人：王 帅 审核人：胡哲 授课时间：2015年10月 日
一、新知探究 ： 3]：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水 2 m 时，水面宽 4 m . 水面下降 1 m 水面宽度增加多少？ 想一想：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．从而求出水面下降
1 m 时，水面宽度增加多少?
②可设这条抛物线表示的二次函数为：
【归纳】(1)用二次函数知识解决拱桥类的
实际问题一定要建立适当的直角坐标系．解题简便．
教学内容 课前预习：1.函数y=ax 2
条_______，它的______，对称轴是______，当时，开口向上，当a______O
抛物线y=2
1x 的顶点坐标是有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面20米，拱顶距离水面如图26-3-12所示的直角坐标系中，求（3）你学到了哪些思考问题的方法？1．能力培养
2．学案中课后作业部分．
22.3 实际问题与二次函数（第例3： 习题。
人教版七年级数学上册3.4.3《实际问题与一元一次方程(第3课时)》说课稿
人教版七年级数学上册3.4.3《实际问题与一元一次方程(第3课时)》说课稿一. 教材分析《实际问题与一元一次方程(第3课时)》是人教版七年级数学上册3.4.3的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了方程的解法的基础上进行学习的，通过这部分的学习，让学生能够运用一元一次方程解决实际问题，培养学生的实际问题解决能力。
教材中通过丰富的例题和练习题，引导学生掌握一元一次方程的实际应用，同时培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习这部分内容之前，已经掌握了方程的基本概念和解法，但是对于如何将实际问题转化为方程，并运用方程解决实际问题，还有一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将实际问题转化为方程，并通过实际问题，让学生理解一元一次方程的实际意义。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解一元一次方程的实际意义，并能够运用一元一次方程解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过实际问题的解决，培养学生将实际问题转化为方程的能力，培养学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生积极解决问题的态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解一元一次方程的实际意义，并能够运用一元一次方程解决实际问题。
2.教学难点：学生能够将实际问题转化为方程，并理解方程的实际意义。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，通过实际问题的解决，引导学生掌握一元一次方程的实际应用。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示实际问题，引导学生进行思考和讨论。
六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决这个问题，从而引出一元一次方程的实际意义。
2.新课导入：介绍一元一次方程的基本概念，并通过例题引导学生理解一元一次方程的实际意义。
3.课堂讲解：通过实际的例题，讲解如何将实际问题转化为方程，并引导学生进行思考和讨论。
4.练习巩固：通过练习题，让学生运用一元一次方程解决实际问题，巩固所学知识。
【教案】实际问题与 一元一次方程(第3课时)
第三章一元一次方程3.4 实际问题与一元一次方程第3课时一、教学目标【知识与技能】学会解决信息图表问题的方法.【过程与方法】经历探索球赛积分中数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型，明确用方程解决实际问题时，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义.【情感态度与价值观】1.让学生进一步感受数学的应用价值;2.感受与同伴交流的乐趣.二、课型新授课三、课时第3课时，共4课时。
四、教学重难点【教学重点】经历探索球赛积分中数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型．【教学难点】学会解决信息图表问题的方法五、课前准备教师：课件、三角尺、比赛积分表等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。
六、教学过程（一）导入新课你喜欢看篮球比赛吗？你对篮球比赛中的积分规则有了解吗？（出示课件2）（二）探索新知1.师生互动，探究比赛积分问题某次男篮联赛常规赛最终积分榜：（出示课件4）教师问1：从这张表格中，你能得到什么信息？（出示课件5）学生回答：（1）每队的胜场数＋负场数＝这个队比赛场次；（2）每队胜场总积分＋负场总积分＝这个队的总积分；（3）每队胜场总积分=胜1场得分×胜场数……教师问2：你能从表格中看出负一场积多少分吗？（出示课件6）学生回答：由钢铁队得分可知负一场积1分.教师问3：你能进一步算出胜一场积多少分吗？师生共同讨论后解答如下：（出示课件7）分析：设胜一场积x 分，根据表中其他任何一行可以列方程求解，这里以第一行为例.解：设胜一场积x 分，依题意，得10x＋1×4＝24.解得x＝2.经检验，x＝2符合题意.所以，胜一场积2分.教师问4：怎样用式子表示总积分与胜、负场数之间的关系？（出示课件8）师生共同解答如下：解：若一个队胜m场，则负(14－m) 场，胜场积分为2m，负场积分为14－m，总积分为：2m + (14－m) = m +14.即胜m场的总积分为(m +14) 分.教师问5：某队胜场总积分能等于它负场总积分吗？（出示课件9）师生共同解答如下：解：设一个队胜x 场，则负(14－x) 场，依题意得2x＝14－x.解得x＝143教师问6：x 表示什么量？它可以是分数吗？不符合实际.学生回答：x 表示所胜的场数，必须是整数，所以x＝143由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分.总结点拨：解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符合实际.例1：某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下：（出示课件10）根据表格提供的信息，你能求出胜一场、负一场各积多少分吗?师生共同解答如下：（出示课件11）分析：关键信息是由C队的积分得出等量关系：胜场积分+负场积分=3.解：由C队的得分可知，胜场积分+负场积分=27÷9=3分.设胜一场积x分，则负一场积(3-x)分.根据A队得分，可列方程为14x+4(3-x)=32，解得x=2，则3-x=1.答：胜一场积2分，则负一场积1分.教师问7：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？学生讨论后回答：能. 胜6场、负12场时，胜场总积分等于它的负场总积分.（三）课堂练习（出示课件15-19）1. 篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是（）A．2 B．3 C．4 D．52. 某球队参加比赛，开局9 场保持不败，积21 分，比赛规则：胜一场得3 分，平一场得1分，则该队共（）A. 4场B. 5场C. 6场D. 7场3. 中国男篮CBA职业联赛的积分办法是：胜一场积 2 分，负一场积1 分，某支球队参加了12 场比赛，总积分恰是所胜场数的4 倍，则该球队共胜____ 场.4. 某次知识竞赛共20道题，每答对一题得8分，答错或不答要扣3分. 某选手在这次竞赛中共得116 分，那么他答对几道题？5. 把探究新知中积分榜的最后一行删去(如下表)，如何求出胜一场积几分，负一场积几分.参考答案：1.B 解析：设该队获胜x场，则负了（6﹣x）场，根据题意得：3x+（6﹣x）=12，解得：x=3．答：该队获胜3场．2.C3.44. 解：设答对了x 道题，则有(20－x) 道题答错或不答，由题意得：8x－(20－x)×3＝116.解得x＝16.答：他答对16道题．5. 解：从雄鹰队或远大队的积分可以看出胜一场与负一场共得21÷7 = 3 (分)，设每队胜一场积x 分，则负一场积(3－x) 分，根据前进队的信息可列方程为：10x + 4(3－x) = 24.解得x = 2.所以3－x =1.答：胜一场积2 分，负一场积1 分.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.解决有关图表信息问题，要充分利用图表中的数据信息；2.利用方程解决实际问题时，不仅可以求解，还要看解是否符合实际意义，由此，可以利用方程对一些问题进行推理判断。
初中九年级初三数学课件 实际问题与一元二次方程(第3课时)
21
2．动脑思考，解决问题
问题2 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如 果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一， 上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边 衬的宽度（结果保留小数点后一位） ？
分析：封面的长宽之比是
解:相设等每关盆系花:苗增平加均的单株株数盈为利x株×,株则数每=盆10花元苗有_(_x_+_3__)株,平均单 株盈利为__(_3_-_0_._5_x_)_元. 由题意,得
(x+3)(3-0.5x)=10 化简，整理，得 x2-3x+2=0
经检验，x1=1,x2=2解都这是个方方程程的,解得，:x且1=1符, x合2=题2 意. 答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株.
列一元二次方程解应题
6、放铅笔的V形槽如图，每往上一层可以多 放一支铅笔．现有190支铅笔，则要放几层 ? 解:要放x层,则每一 层放(1+x) 支铅笔. 得
x (1+x) =190×2 X2＋ X －380＝0
解得X1＝19， X2＝ － 20(不合题意)
答:要放19层.
列一元二次方程解应题
补充练习：
解：设截去正方形的边长x厘米，
则图中虚线部分长等于_6_0__2_x_厘米，
宽等于___4_0_-_2_x__厘米
依题意得：60- 2x40- 2x 800
解得：x1 10, x2 40 经检验, x2 40不合题意,应舍去.
x 10
答：截去正方形的边长为10厘米。
例1 在长方形钢片上冲去一个 长方形，制成一个四周宽相等的
九年级 上册
21.3 实际问题与一元二次方程 （第3课时）
五上 实际问题与方程(第3课时)精品课件
3.《科学家》丛书有4本，《发明家》丛书有多少本？
我买了两套丛书， 共花了22元。
2.5元/本 4元/本
解：设《发明家》丛书有x本。 2.5×4＋4x＝22
10＋4x＝22 4x＝12 x＝3
答：《发明家》丛书有3本。
巩固练习
4.妈妈到水果店买水果，买香蕉用了15.8元， 比2千克苹果多花了2.4元，每千克苹果多 少钱？
2x＋5.6－5.6＝10.4－5.6 2x＝4.8
自己解答 。
2x÷2＝4.8÷2 x＝2.4
答：苹果每千克2.4元。
探究新知
分析与解答
方法二： 两种水果的单价总和×2＝总价钱
解：设苹果每千克x元。 （2.8＋x）×2＝10.4 （2.8＋x）×2 ÷2＝10.4÷2
2.8＋x＝5.2
2.8＋x－ 2.8＝5.2－2.8
5
简易方程
实际问题与方程（3）
优 翼
情境导入
你最喜欢吃哪种水果？
探究新知 （教材第77页例3） 知识点1：形如ax±ab=c的方程的应用
3 苹果和梨
各要2kg。
共10.4元。
梨每千克2.8元，苹果每千克多少钱？
探究新知
从上图中你获得 了哪些数学信息？
阅读与理解
已知条件 所求问题
苹果和梨各2kg， 共10.4元。梨每 千克2.8元。
x＝2.4 答：苹果每千克2.4元。
把什么看成一个整体？
探究新知 回顾与反思
通过苹果、梨两种水果数 量之间的相等关系分析。
通过两者数量之间的 相等关系来列方程。
方法小结
1.根据乘法分配律，可以把形如ax±ab=c的方程 转化为形如a（x±b）=c的方程。
《实际问题与一元二次方程》教学设计(第3课时)
《实际问题与一元二次方程》教学设计（第3课时）可以作为列方程依据的主要等量关系，并根据它列出一元二次方程，正确求解一元二次方程，能根据实际问题检验结果是否正确，进而找出合乎实际的结果;(2)完整地经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程，积累数学活动经验，培养模型思想，会用一元二次方程解决简单的“图形面积问题”.三、教学问题诊断分析探究3与以前的实际问题相比，它在分析数量关系方面更复杂，问题情境与实际情况也更接近，对于这样的综合性问题，学生缺乏解决问题的经验，而且探究3的问题中没有明确求什么，学生感觉无从下手.学生一般可以意识到要“设元”用方程解决问题，但如何设元，如何与几何知识结合，挖掘题目图形中隐蔽的相等关系，构造方程模型对学生来说存在不同程度的困难，这也是本节课的难点所在.由于探究3的问题中，方程的两个根都是正数，但它们并不都是问题的解，因此由数学问题的解得到实际问题的答案对于学生来说也是一个难点.四、教学过程设计1.弄清题意问题1 怎么理解“应如何设计边衬的宽度”这句话?师生活动教师提问，学生思考、回答.根据学生的回答情况，教师可通过追问：“设计边衬的宽度要求几个未知数?哪几个，为什么?”加以引导.一般情况下，学生都能根据“上下边衬等宽，左右边衬等宽”得出“设计边衬的宽度要求两个未知数(上面的边衬宽度和左面的边衬宽度)”.【设计意图】使学生明确“封面设计问题”中求的是什么，初步体会未知之间、已知与未知之间的联系.问题2 题目中还有哪些已知量、未知量，它们之间存在怎样的数量关系?师生活动学生读题，思考，可以适当讨论.根据学生的回答情况，教师可通过追问加以引导.如：如何理解“正中央是一个与整个封面长度比例相同的矩形”这句话?“四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一”能告诉我们什么?学生经过思考、讨论不难得出：中央长方形的长宽之比是9:7 ，长宽之积为.【设计意图】培养学生读题、审题能力.2.实现由文字语言、图形语言到数学符号语言的转换问题3 如何把文字语言、图形语言翻译成数学符号语言?师生活动学生思考并回答问题.这里要让学生充分表达自己的观点，教师可根据学生的回答，适时提示学生关注题目中的未知量、未知量之间的关系，以及它们与已知量的关系.设上面边衬宽度和左面边衬宽度分别为cm和cm，中央长方形的长和宽分别为x cm和y cm.把“正中央是一个与整个封面长度比例相同的矩形，四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一”翻译成数学符号语言可得：.教师追问：四个未知数、、、，它们之间还存在怎样的数量关系?这是这节课的一个难点，要给学生充分的时间独立思考，如学生确有困难，教师可适时提示：探究3的问题中还有一个重要的条件“图形”，同学们看看“图形”告诉了我们什么?把“图形语言”翻译成数学符号语言可得：.【设计意图】把“探究3”符号化，为应用数学知识解决问题创造条件.3.解决问题问题4 怎么解决“封面设计问题”?师生活动教师与学生一起梳理，看看通过前面的分析都得到了哪些结论.前面我们设了4个“元”和、和，它们分别代表中央长方形的长和宽、上面边衬宽度和左面边衬宽度，它们之间存在如下的数量关系：，.教师引导学生发现，这就是一个以、、、为未知数的四元方程组，找到这个方程组中的a、b的值，“封面设计问题”就迎刃而解了.【设计意图】树立方程意识，渗透方程思想.问题5 请你解这个方程组，并与同学交流一下你的解法.师生活动学生独立思考、解题，并与同学交流.教师请同学展示解法并进行点评.学生可能的解法：(1)，(2)，(3)，(4).方法一：由(1)、(2)求出x、y的值，分别代入(3)、(4)求出a、b的值.说明1：在由(1)、(2)求、的过程中，可以依据，设简化计算.说明2：实际解题时，可以简化“设元”部分，只设中央长方形的长和宽分别为cm和cm，解方程求出的值，进而求出中央长方形的长和宽，再用算术方法就可求出上面边衬宽度和左面边衬宽度.方法二：由(3)、(4)变形得，把(5)、(6)分别代入(1)、(2)可得关于、的二元方程组，解这个方程组求出、的值.说明：把(5)、(6)代入(2)化简可得，可以依据，设，把代入(5)、(6)得到，再把(7)、(8)代入(1)求出值，进而求出、的值.【设计意图】在体验解法多样性的基础上，树立优化意识，简化计算，优化解题形式.问题6 你求出的、的值都是实际问题的解吗?师生活动教师提出问题，学生通过计算得出结论.【设计意图】与实际问题结合，检验数学问题的解是否为实际问题的解.4.回顾反思问题7 通过这节课，你对“封面设计问题”有什么新的认识，有何收获和体会?师生活动请学生回顾“封面设计问题”的探究过程，回答以下问题：(1)探究解题的过程大致包含哪几个步骤?(2)在“封面设计问题”的探究过程中，你遇到了哪些困难，是如何解决的?【设计意图】更好地体会建模思想，理解建模的一般步骤和方法.5.布置作业教科书习题21.3第5，8，9题.五、目标检测设计1.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为( ).A.B.C.D.【设计意图】发现几何图形中隐蔽的相等关系.2.(2019年,镇江)学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.(1)若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案.(2)在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米?如果能，请求出长方形花圃的长和宽;如果不能，请说明理由.【设计意图】考查学生的审题能力及用一元二次方程模型解决简单的图形面积问题.。
实际问题与一元一次方程(第三课时)
实际问题与一元一次方程（第三课时）“自学互帮导学法”课堂教学设计课题课时第3课时课型新课修改意见教学目标1.掌握“盈亏问题”中的相关概念及数量关系；掌握解决“盈亏问题”的一般套路；感受方程与生活的密切联系，增强应用意识.教学重点探究解决“盈亏问题”的过程.教学难点探究解决“盈亏问题”的过程.学情分析1、在前面已经学会初步掌握解决实际问题的一般方法与步骤，学生需要得到进一步的提高。
培养学生分析、解决问题的能力及逻辑思维能力。
学法指导自学互帮导学法教学过程教学内容教师活动学生活动效果预测补救措施修改意见一、问题的引入几个基本概念你能根据自己的理解说出它的意思吗？进价、售价、利润、利润率你能用公式说明售价、进价、利润之间的关系吗？也写成：售价=进价+利润你能说出利润率的计算公式吗？售价=进价+进价×利润率某商品的进价是200元，售价是260元。
则商品的利润是元、利润率是%。
某商品的进价是50元,利润率为20％，则商品的利润是元。
某商品的进价是200元，售价是160元。
则商品的利润是元，它的含义是。
某商品的售价是60元，利润率为20％。
求商品的进价二、问题的探究一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?三、巩固应用一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售,此时售价为60元.请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？一台电视机进价为XX元，若以8折出售，仍可获利10%，求该电视机的标价.四、课堂小结这节课你学习了哪些内容？通过学习你有哪些收获？五、课后作业教科书第106页练习1；教科书第107页习题3.4第6,11题1、教师利用复习提问的方式导入，帮助学生掌握销售中的基本概念。
教师展示简单应用，并巡视学生独立完成情。
教师展示教材例题，引导学生分析问题并解决问题，并巡视。
教师依次展示两道练习题，引导学生或独立或合作完成。
实际问题与一元二次方程 (第3课时)
2x
30-4x
剩余面积是矩形面积
的四分之三
2x
3x
20-6x
30-4x
20㎝
3x
30㎝
解:设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x，
于是可列方程
3
(30-4x)(20-6x)= ×20×30.
4
4x
20-6x
6x
探究新知
21.3 实际问题与一元二次方程/
方法点拨
我们利用“图形经过移动，它的面积大
左、右的边衬的宽为（21-7 2.6） 0.5=1.4cm.
探究新知
21.3 实际问题与一元二次方程/
素养考点 1 利用一元二次方程解答一般面积问题
例1 有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布
铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的
长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）
x
20
20-x
x
32-2x
32
探究新知
21.3 实际问题与一元二次方程/
x
如图，在宽为20m, 长为32m的
矩形地面上修筑同样宽的道路,
x
x
20
x
余下的部分种上草坪,要使草坪
的面积为540m2,求这种方案下的
32
道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米
可列方程为
(32-2x)(20-2x)=540.
整理得：x²-17x+52=0.
解方程，得：（x-13）（x-4）=0.
解得：x1=4，x2=13（舍去）.
因此剪去的小正方形的边长应为3cm.
素养目标
21.3 实际问题与一元二次方程/
六年级下册数学毕业总复习第七章解决实际问题第三课时人教新课标
x=96 1.5x=1.5×96=144 答：五年级做了96朵，六年级做了144朵。
三、一桶油，用去总质量的75%，又买来85千
克，这时油的质量恰好是原来的 6 ，原来有油 7
多少千克？
解：设原来有油x千克。
(1-75%)x+85=
答案：设黑兔有x只,则白兔有3x只。 3x－x＝10
x＝5 白兔：5×3＝15(只) 答：白兔有15只，黑兔有5只。
举一反三 7. 一张课桌比一把椅子贵10元。如果椅子的单价是课
桌单价的60%，课桌和椅子的单价各是多少元？
解：设课桌的单价是x元，则椅子的单价是60%x元。 x－60%x＝10
x＝25 25×60%＝15(元) 答：课桌的单价是25元，椅子的单价是15元。
(1)一般应用题； (2)和倍、差倍问题； (3)几何形体的周长、面积、体积计算； (4)分数、百分数应用题； (5)比和比例应用题。
典例精析及训练
题型一 【例1】一根绳子长48米，截成甲、乙两段，其中乙绳 长度是甲绳的60%。甲、乙两绳各长多少米？
精析：乙绳长度是甲绳的 60%，把甲绳长度看作单位 “1”。根据等量关系式：甲绳长度＋乙绳长度＝总长度， 可列式计算。
x=48 答：慢车每小时行48千米。
题型三
【例3】白兔的只数是黑兔的3倍，白兔比黑兔多10只， 白兔和黑兔各有多少只？
精析：白兔的只数和黑兔的只数都是未知的，但白兔的
只数是黑兔的3倍，如果设黑兔的只数为x只，那么白兔 的只数就是3x只。从“白兔比黑兔多10只”就知道数量
关系是：白兔的只数－黑兔的只数＝10，然后根据等量 关系列出方程。
人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数第三课时课件
6．(15 分)隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为 8 m， 宽为 2 m，隧道最高点 P 位于 AB 的中央且距地面 6 m，建立如图所示 的坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆货车高 4 m，宽为 2 m，能否从该隧道内通过，为什么？
(3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什 么？
解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2＋6. 依题意，得B(10，0)，∴a×102＋6＝0.解得a＝－0.06.即y＝－ 0.06x2＋6.当y＝4.5时，－0.06x2＋6＝4.5.解得x＝±5，∴DF＝ 5，EF＝10.即水面宽度为10米
10．(14 分)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到
看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的
手间距为4 m，距地面均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿
绳子的手的水平距离1 m，2.5 m处．绳子在甩到最高处时刚
好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m，则学生 m
C．1.66 m
D．1.67 m
由题意可知，抛物线经过点 A(0，2)，P(4，6)，B(8，2)．设抛物线的 方程为 y＝ax2＋bx＋c，将 A，P，B 三点的坐标代入抛物线方程，解 得抛物线解析式为 y＝－14x2＋2x＋2
(2)令 y＝4，则有－14x2＋2x＋2＝4.解得 x1＝4＋2 2，x2＝4－2 2，∵ |x2－x1|＝4 2＞2，∴货车可以通过
D．12.1 m
2．(5分)某幢建筑物，从10 m高的窗口A用水管向外喷水，
喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与地面垂直)．如果抛物
线的最高点M离墙1 m，离地面 m(如图所示)，则水流落地点
人教版七年级数学下册8.3实际问题与二元一次方程组(第3课时)优秀教学案例
5.作业小结的设置：教师在课堂的最后布置了相关的作业，让学生运用所学的二元一次方程组解决实际问题。作业小结的设置使得学生能够及时巩固所学知识，提高他们的实际应用能力。同时，作业反馈环节也使得学生能够分享心得体会，促进彼此的进步。
（三）小组合作
小组合作是我教学过程中的另一个重要策略。我将根据学生的学习情况，将他们分成若干小组，鼓励他们在小组内进行讨论、交流，共同解决问题。在小组合作过程中，我会引导学生学会倾听他人意见，学会与他人分享成果，培养他们的团队协作能力。同时，小组合作也有利于激发学生的思维，使他们从不同角度思考问题，从而提高解决问题的效果。
2.掌握解二元一次方程组的基本方法，包括代入法、消元法等，并能灵活运用这些方法解决实际问题。
3.能够运用二元一次方程组解决生活中的实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过分析实际问题，培养学生抽象思维能力，能够将实际问题转化为数学问题。
2.通过合作交流，培养学生团队协作能力，学会倾听他人意见，学会与他人分享成果。
（二）问题导向
问题导向是我教学过程中的重要策略。在学生掌握了二元一次方程组的解法的基础上，我会设置一系列问题，引导学生运用二元一次方程组解决实际问题。这些问题将贯穿整个教学过程，引导学生逐步深入，从而达到理解并掌握二元一次方程组的目的。通过问题导向，我期望学生能够提高解决问题的能力，培养他们的思维习惯。
案例背景：某商场举行促销活动，购买一件商品需要支付x元，购买第二件商品需要支付y元。如果一个顾客购买了两件商品，总共支付了100元，并且顾客表示购买第二件商品比第一件商品便宜。请根据这个实际情况，列出相应的二元一次方程组，并求解。
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课件说明
模型思想这一章已经接触了多次，与之前不同的 是“探究3”中的信息量很大，原料数量、公路长度、 铁路长度、公路运费、铁路运费、原料费、销售款 等．分析清楚众多数量之间的关系是列方程组的关 键．借助表格可以清晰表达题目中的数量信息，体现 数学的条理性，加深对建模过程的认识．在探究过程 中需要关注如何设间接未知数，以及如何用数学问题 的答案解释具体的实际问题．这一典型的数学建模过 程，需要学生在方程、方程组以及后续的不等式、函 数的学习中，逐步体会．
练习
教科书 习题8.3
第8 题
布置作业
教科书 习题8.3 第5、题
课件说明
学习目标： 能分析“探究3”中的数量关系，会设间接未 知数，列方程组并求解，得到实际问题的答 案，体会数学建模思想．
学习重点： 分析复杂问题中的数量关系，建立方程组 ．
“探究3”的教学
探究3 如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路 相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运 回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．公路运价 为1. 5元/(t· km)，铁路运价为1.2元/(t· km)，这两次运 输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元．这 批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
铁路运费(元) 1.2×110x 1.2×120y 1.2(110x+120y) 价值(元) 问题4 8 000x 1 000y
你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？
1.5 20 x 10 y 15000， 1.2 110 x1、此题要解决 的问题是什么？
这批产品的销售额 -（原料费+运输费）=？ 销售款 原料费
2、待求的量是
和
.
3 、销售额=产品数量 X 产品单价
,
原料费=
原料数量
X 原料单价
. .
运输费=路程X运价X 货物重量
4、 根据上题中的关系式，未知的量是 产品数量 和 原料数量 5、根据前面的这些分析，你知道怎么设未知数了吗?
“探究3”的教学
1.5 20 x 10 y 15 000 ， 1.2 110 x 120 y 97 200 ． 解：先化简，得 代入③ ，得 2 x y 1 000， ①
11x 12y 8 100 ．② 由①，得 y 1 000 2 x ③ 代入② ，得
归纳总结
（1）在什么情况下考虑选择设间接未知数？ 当直接将所求的结果当作未知数无法列出方程 时，考虑选择设间接未知数． （2）如何更好地分析“探究3”这样数量关系比较 复杂的实际问题？
解决比较复杂的应用题时，可以先从问题入手，看要解决的 问题是什么，再画 表格或图形 ，分析题 中的数量关 系，从而找到 等量关系 ，列出方程（组）
产品x吨 公路运费(元) 1.5×20x
原料y吨 1.5×10y
合计 1.5(20x+10y)
铁路运费(元) 1.2×110x 1.2×120y 1.2(110x+120y) 价值(元) 8 000x 1 000y
“探究3”的教学
产品x吨 公路运费(元) 1.5×20x 原料y吨 1.5×10y 合计 1.5(20x+10y)
设原料数量（y吨）和产品数量（x吨）两个未知数
6、对于这个问题而言，运输费用包括哪些？
运回原料时的公路的运输费、运回原料时的铁路运输费、运出产品时 的公路运输费、运出产品时的铁路运输费
请完成101页的表格
产品x吨
公路运费(元)
原料y吨
合计
铁路运费(元)
价值(元)
“探究3”的教学
问题3 你能完成教材上的表格吗？
y 400
x 300， y 400
11x 12 （ 1 000 2 x ） 8 100 x 300
是原方程组的解．
“探究3”的教学
问题5 这个实际问题的答案是什么？
销售款：8 000×300=2 400 000； 原料费：1 000×400=400 000； 运输费：15 000+97 200=112 200． 这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 1 887 800元．