2018-2019学年高二数学选修1-2学业分层测评试题1
2018-2019学年高中数学人教A版选修1-2创新应用：阶段质量检测(一) Word版含解析
阶段质量检测(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列关系：①人的年龄与他拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是() A．①②③B．①②C．②③D．①③④2．对于回归分析，下列说法中错误的是()A．在回归分析中，若变量间的关系是非确定性关系，则因变量不能由自变量唯一确定B．相关系数可以是正的也可以是负的C．回归分析中，如果R2＝1，说明变量x与y之间是完全线性相关D．样本相关系数r∈(－∞，＋∞)3．在一次调查后，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则()A．两个分类变量关系较弱B．两个分类变量无关系C．两个分类变量关系较强D．无法判断4．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有()A．b与r的符号相同B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反D．a与r的符号相反5．下表显示出样本中变量y随变量x变化的一组数据，由此判断它最可能是()A.C．指数函数模型D．对数函数模型6．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a ^＝( )A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．5.257．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据并整理、分析，得到“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%的把握认为这个结论成立．下列说法正确的个数是( )①在100个吸烟者中至少有99个人患肺癌；②如果一个人吸烟，那么这个人有99%的概率患肺癌；③在100个吸烟者中一定有患肺癌的人；④在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有．A ．4B ．3C ．2D ．18．下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：若热茶杯数y ( ) A.y ^＝x ＋6 B.y ^＝x ＋42 C.y ^＝－2x ＋60 D.y ^＝－3x ＋789．如图，5个(x ，y )数据，去掉D (3,10)后，下列说法错误的是( )A ．相关系数r 变大B ．残差平方和变大C ．相关指数R 2变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强10．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程为y ^＝7.19x ＋73.93，若用此方程预测儿子10岁时的身高，有关叙述正确的是( )A ．身高一定为145.83 cmB ．身高大于145.83 cmC ．身高小于145.83 cmD ．身高在145.83 cm 左右11．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：( ) A ．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B ．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 C ．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D ．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关12．两个分类变量X 和Y ，值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数分别是a ＝10，b ＝21，c ＋d ＝35.若X 与Y 有关系的可信程度不小于97.5%，则c 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 附：二、填空题(本大题共) 13．下面是一个2×2列联表：则表中b －a ＝________.14．已知样本容量为11，计算得∑i ＝111x i ＝510，∑i ＝111y i ＝214，回归方程为y ^＝0.3x ＋a ^，则x≈________，a ^≈________.(精确到0.01)15．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝－2.现预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________.16．某部门通过随机调查89名工作人员的休闲方式是读书还是健身，得到的数据如下表：三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)x与y有如下五组数据，试分析x与y由．18．(本小题12分)有两个分类变量x与y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：其中a,15－a0.1的前提下认为x与y之间有关系？19．(本小题12分)某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学)，现用分层抽样方法(按A类、B类分两层)从该年级的学生中共抽取100名同学，如果以身高达165 cm 作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：(1)(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系(K2的观测值精确到0.001)?20．(本小题12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：(1)(2)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)试预测加工10个零件需要的时间．21．(本小题12分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50,60)，[60,70)， [70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？22．(本小题)之间的一组数据如下表：(1)画出散点图；(2)求出y 对x 的线性回归方程，并在(1)的图形上画出它的图象； (3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少．(结果精确到0.01 t)．答案1．解析：选D 曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系——函数关系，故②不正确．其余均为相关关系．2．解析：选D 在回归分析中，样本相关系数r 的范围是|r |≤1，故选D.3．解析：选C 从条形图中可以看出，在x 1中y 1比重明显大于x 2中y 1的比重，所以两个分类变量的关系较强．4．解析：选A 因为b >0时，两变量正相关，此时r >0；b <0时，两变量负相关，此时r <0.5．解析：选A 画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近，故最可能是线性函数模型．6．解析：选D 样本点的中心为(2.5,3.5)，将其代入线性回归方程可解得a ^＝5.25. 7．解析：选D 有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，指的是“吸烟与患肺癌有关”这个结论成立的可能性或者可信程度有99%，并不表明在100个吸烟者中至少有99个人患肺癌，也不能说如果一个人吸烟，那么这个人就有99%的概率患肺癌；更不能说在100个吸烟者中一定有患肺癌的人，反而有可能在100个吸烟者中，一个患肺癌的人也没有．故正确的说法仅有④，选D.8．解析：选C 由表格可知，气温与杯数呈负相关关系．把x ＝4代入y ＝－2x ＋60得y ＝52，e ^＝52－51＝1.把x ＝4代入y ＝－3x ＋78得y ＝66，e ^＝66－51＝15.故应选C.9．解析：选B 由散点图知，去掉D 后，x 与y 的相关性变强，且为正相关，所以r 变大，R 2变大，残差平方和变小．10．解析：选D 用线性回归方程预测的不是精确值，而是估计值．当x ＝10时，y ＝145.83，只能说身高在145.83 cm 左右．11．解析：选D 根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．12．解析：选A 列2×2列联表如下：故K 2的观测值k ＝66×[10(35－c )－21c ]31×35×(10＋c )(56－c )≥5.024.把选项A ，B ，C ，D 代入验证可知选A. 13．解析：b －a ＝8. 答案：814．解析：由题意得x ＝111∑i ＝111x i ＝51011≈46.36，y ＝111∑i ＝111y i ＝21411，因为y ＝0.3x ＋a ^，所以21411＝0.3×51011＋a ^，可得a ^≈5.55.答案：46.36 5.5515．解析：由题意可知x ＝14(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14(24＋34＋38＋64)＝40，b ^＝－2.又回归直线y ^＝－2x ＋a ^过点(10,40)，故a ^＝60， 所以当x ＝－4时，y ^＝－2×(－4)＋60＝68. 答案：6816．解析：由列联表中的数据，得K 2的观测值为 k ＝89×(24×26－31×8)255×34×32×57≈3.689>2.706，因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与休闲方式有关系． 答案：0.1017．解：作出散点图，如图所示：由散点图可以看出，x 与y 不具有线性相关关系．18．解：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系，则k ≥2.706，而k ＝65×[a (30＋a )－(20－a )(15－a )]220×45×15×50＝65×(65a －300)220×45×15×50＝13×(13a －60)260×90. 由k ≥2.706得a ≥7.19或a ≤2.04.又a >5且15－a >5，a ∈Z ，解得a ＝8或9，故a 为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系． 19．解：(1)填写列联表如下：(2)k ＝100×(40×15－35×10)275×25×50×50≈1.333<3.841.所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系．20．解：(1)散点图如图所示：(2)由表中数据得x ＝3.5，y ＝3.5，∑i ＝14(x i －x )(y i －y )＝3.5，∑i ＝14(x i －x )2＝5，由公式计算得b ^＝0.7，a ^＝y －－b ^x －＝1.05， 所以所求线性回归方程为y ^＝0.7x ＋1.05. (3)当x ＝10时，y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05， 所以预测加工10个零件需要8.05小时．21．解：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名． 所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中， 25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)， 记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)， 记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中， “25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)， “25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)， 据此可得2×2列联表如下：所以得K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(15×25－15×45)260×40×30×70＝2514≈1.79. 因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”． 22．解：(1)散点图如图所示．(2)x －＝1.8，y －＝7.4，∑i ＝15x i y i ＝62，∑i ＝15x 2i ＝16.6，b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝62－5×1.8×7.416.6－5×1.82＝－4.60.4＝－11.5，a ^＝y －－b ^x －＝7.4＋11.5×1.8＝28.1.所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝－11.5x ＋28.1.画出图象如图．(3)当价格定为1.9万元，即x ＝1.9时，y ＝－11.5×1.9＋28.1＝6.25.所以商品价格定为1.9万元时，需求量大约是6.25t.。
高二数学试题-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试
章末综合测评(一)统计案例(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在下列各量与量的关系中是相关关系的为()①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电费之间的关系．A．①②③B．③④C．④⑤D．②③④【解析】①⑤是一种确定性关系，属于函数关系．②③④为相关关系．【答案】 D2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】y与x正(或负)相关时，线性回归直线方程y＝bx＋a中，x的系数b>0(或b<0)，故①④错．【答案】 D3．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了15 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是()A ．0.75B ．0.60C ．0.48D ．0.20【解析】 记“开关了10 000次后还能继续使用”为事件A ，记“开关了15 000次后还能继续使用 ”为事件B ，根据题意，易得P (A )＝0.80，P (B )＝0.60，则P (AB )＝0.60，由条件概率的计算方法，可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.600.80＝0.75. 【答案】 A4．一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型y ＝73.93＋7.19x ，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是( )A ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cmB ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm 以上C ．她儿子10岁时的身高在145.83 cm 左右D ．她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm 以下【解析】 由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值，而不是精确值，故选C ．【答案】 C5．已知一个线性回归方程为y ＝1.5x ＋45，其中x 的取值依次为1,7,5,13,19，则y ＝( )A ．58.5B ．46.5C ．60D ．75【解析】 ∵x ＝15(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回归直线过样本点的中心(x －，y －)，∴y －＝1.5×9＋45＝58.5. 【答案】 A6．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝{两个点数互不相同}，B ＝{出现一个5点}，则P (B |A )＝( )A ．13B ．518C．16D．14【解析】出现点数互不相同的共有6×5＝30种，出现一个5点共有5×2＝10种，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝13.【答案】 A7．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度，如果k>5.024，那么就有把握认为“X 和Y有关系”的百分比为()AC．2.5% D．97.5%【解析】查表可得χ2>5.024.因此有97.5%的把握认为“X和Y有关系”．【答案】 D8．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军．若两队每局胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A．12B．35C．23D．34【解析】由题意知，乙队获得冠军的概率为12×12＝14，由对立事件概率公式得，甲队获得冠军的概率为P＝1－14＝34.【答案】 D9．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为()A．p＋q－2pq B．p＋q－pqC．p＋q D．pq【解析】甲花卉成活而乙花卉不成活的概率为p(1－q)，乙花卉成活而甲花卉不成活的概率为q(1－p)，故恰有一株成活的概率为p(1－q)＋q(1－p)＝p＋q－2qp.【答案】 A10．同时抛掷三颗骰子一次，设A：“三个点数都不相同”，B：“至少有一个6点”，则P(B|A)为()A．12B．6091C．518D．91216【解析】P(A)＝6×5×46×6×6＝120216，P(AB)＝3×4×56×6×6＝60216，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝60216×216120＝12.【答案】 A11．以下关于线性回归分析的判断，正确的个数是()①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图1中的A，B，C点；③已知直线方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．图1A．0 B．1C．2 D．3【解析】能使所有数据点都在它附近的直线不只一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a，b得到的直线y＝bx＋a才是回归直线，∴①不对；②正确；将x＝25代入y＝0.50x－0.81，得y＝11.69，∴③正确；④正确，故选D．【答案】 D12．根据下面的列联表得到如下四个判断：①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关” .A．0B．1C．2D．3【解析】由列联表中数据可求得随机变量χ2＝992×(700×32－60×200)2 760×232×900×92≈7.349＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”，因此②③正确．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知x，y的取值如下表：1.02x＋a，则a ＝________.【解析】由题意得x＝4，y＝5，又(x，y)在直线y＝1.02x＋a上，所以a ＝5－4×1.02＝0.92.【答案】 0.9214．已知P (B |A )＝12，P (A )＝35，则P (AB )＝________. 【解析】 由P (B |A )＝P (AB )P (A )得P (AB ) ＝P (B |A )·P (A )＝12×35＝310. 【答案】 31015．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (χ2≥3.841) χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________.【解析】 χ2≈4.844>3.841，故判断出错的可能性为0.05. 【答案】 0.0516．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：5℃时，热茶销售量为________杯.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫已知回归系数b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ＝y －b x【解析】 根据表格中的数据可求得x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40.∴a ＝y －b x ＝40－(－2)×10＝60，∴y ＝－2x ＋60，当x ＝－5时，y ＝－2×(－5)＋60＝70. 【答案】 70三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取1个球，试问：取得同色球的概率是多少？【解】 设从甲袋中任取1个球，事件A ：“取得白球”，由此事件A ：“取得红球”，从乙袋中任取1个球，事件B ：“取得白球”，由此事件B ：“取得红球”，则P (A )＝23，P (A )＝13，P (B )＝12，P (B )＝12.因为A 与B 相互独立，A 与B 相互独立， 所以从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P (AB ＋A B )＝P (AB )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×12＋13×12＝12.18．(本小题满分12分)吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表是性别与吃零食的列联表：【解】 χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，把相关数据代入公式，得χ2＝85×(5×28－40×12)217×68×45×40≈4.722>3.841.因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关”．19．(本小题满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图2：图2将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：χ2＝n (ad －bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，【解】 (1)“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2χ2＝n(ad－bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)＝100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，其中a i表示男性，i＝1,2,3，b j表示女性，j＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任选2 人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝7 10.20．(本小题满分12分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．P(B)＝42＋4＝23.P(B)＝1－P(B)＝1 3.(1)P(A|B)＝3＋18＋1＝49.(2)∵ P (A |B )＝38＋1＝13， ∴P (A )＝P (AB )＋P (A B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝1127.21．(本小题满分12分)在一个文娱网络中，点击观看某个节目的累计人次和播放天数如下数据：(2)判断两变量之间是否有线性相关关系，求线性回归方程是否有意义？ (3)求线性回归方程；(4)当播放天数为11天时，估计累计人次为多少？ 【解】 (1)散点图如下图所示：(2)由散点图知：两变量线性相关，求线性回归方程有意义．借助科学计算器，完成下表：利用上表的结果，计算累计人次与播放天数之间的相关系数，r＝∑i＝110x i y i－10x y∑i＝110x2i－10x2∑i＝110y2i－10y2＝19 749－10×5.5×288.7385－10×5.52× 1 020 953－10×288.72≈0.984.这说明累计人次与播放天数之间存在着较强的线性相关关系，所以求线性回归方程有实际意义．(3)b＝∑i＝110x i y i－10x y∑i＝110x2i－10x2＝19 749－10×5.5×288.7385－10×5.52≈46.9，a＝y－b x≈288.7－46.9×5.5≈30.8，因此所求的线性回归方程是y＝30.8＋46.9x.(4)当x＝11时，y的估计值是46.9×11＋30.8≈547.因此，当播放天数为11天时，估计累计人次为547.22．(本小题满分12分)为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：“非高收入族”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？已知：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，当χ2<2.718时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>2.718时，有90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>3.841时，有95%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关.(2)赞成楼市限购令的概率．【解】 (1)χ2＝50×(25×7－15×3)40×10×22×28≈3.43，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关．(2)设月收入在[55,65)的5人的编号为a ，b ，c ，d ，e ，其中a ，b 为赞成楼市限购令的人，从5人中抽取两人的方法数有ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de 共10种，其中ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be 为所求事件数，因此所求概率P ＝710.。
2018-2019年人教版高中《数学选修1-2》试题(题后含答案)106
2018-2019年人教版高中《数学选修1-2》试题
（题后含答案）
单选题（共5道）
1、下面说法正确的有()
（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；
（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；
（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；
（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
A1个
B2个
C3个
D4个
2、用三段论推理：“指数函数y=ax是增函数，因为y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数”，你认为这个推理（）
A大前提错误
B小前提错误
C推理形式错误
D是正确的
3、在复平面内，复数i（2-i）对应的点位于（）
A第一象限
B第二象限
C第三象限
D第四象限
4、证明不等式的最适合的方法是（）
A综合法
B分析法
C间接证法
D合情推理法
5、以下说法不正确的是（）
A顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，每一个算法都离不开顺序结构B循环结构是在一些算法中从某处开始按照一定条件，反复执行某一处理步骤，故循环结构中一定包含选择结构
C循环结构中不一定包含选择结构
D用程序框图表示算法，使之更加直观形象，容易理解
简答题（共5道）
6、用三段论证明：．
7、已知复数．
(1)求z的共轭复数；
(2)若，求实数的值．
8、用分析法证明：
9、已知z=1+i，a，b为实数．
（1）若ω=z2+3-4，求|ω|；
（2）若=1-i，求a，b的值．
10、设复数z=cosθ+isinθ，θ∈（π，2π），求复数z2+z的模和辐角．。
高二数学试题-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题16 最新
章末综合测评(三) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y －2＝0，则a 的值是( )A.18 B ．－18 C ．8D ．－8【解析】 抛物线y ＝ax 2的标准方程为x 2＝1a y ， 所以－14a ＝2，即a ＝－18. 【答案】 B2.如图1，已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝100，点A (－6,0)，M 为圆O 上任意一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，则点P 的轨迹是( )图1A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．两条直线【解析】 ∵P 为AM 垂直平分线上的点． ∴|PM |＝|P A |. 又∵|OP |＋|PM |＝10， ∴|P A |＋|PO |＝10.故P 点的轨迹是以A ，O 为焦点，长轴长为10的椭圆． 【答案】 C3．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA ＝π4.若AB ＝4，BC ＝2，则椭圆的焦距为( )A.33 B ．263 C.463D ．233【解析】 如图，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意可知，2a ＝4，a ＝2.因为∠CBA ＝π4，BC ＝2，所以C (－1，1)．因为点C 在椭圆上，所以14＋1b 2＝1，所以b 2＝43.由公式a 2＝b 2＋c 2得c ＝263，所以焦距为463.【答案】 C4．双曲线x 2－4y 2＝4的焦点坐标为( ) A ．(±3，0) B ．(0，±3) C ．(0，±5)D ．(±5，0)【解析】 依题意a ＝2，b ＝1，∴c ＝5，又x 24－y 2＝1焦点在x 轴上， ∴焦点坐标为(±5，0)． 【答案】 D5．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D ． 2【解析】 结合图形，用a 表示出点M 的坐标，代入双曲线方程得出a ，b 的关系，进而求出离心率．不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ， 3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2b 2＝1，a ＝b ， ∴c ＝2a ，e ＝ca ＝ 2.故选D. 【答案】 D6．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .【答案】 D7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1B ．x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1D ．x 22－y 25＝1【解析】 右焦点为F (3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上且c ＝3.又离心率为c a ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y25＝1，选B.【答案】 B8．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( ) A ．9 B ．4 C ．3D ．2【解析】 由题意得：m 2＝25－42＝9，因为m >0，所以m ＝3，故选C. 【答案】 C9．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】 根据双曲线的性质和两直线的位置关系求解． 由题作出图像如图所示．由x 2a 2－y 2b 2＝1可知A (a,0)，F (c ，0)．易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .∵k AB ＝b 2a c －a ＝b 2a (c －a )，∴k CD ＝a (a －c )b 2.∵k AC ＝b 2a a －c ＝b 2a (a －c )，∴k BD ＝－a (a －c )b 2.∴l BD ：y －b 2a ＝－a (a －c )b 2(x －c )，即y ＝－a (a －c )b 2x ＋ac (a －c )b 2＋b 2a ，l CD ：y ＋b 2a ＝a (a －c )b 2(x －c )，即y ＝a (a －c )b 2x －ac (a －c )b 2－b 2a .∴x D ＝c ＋b 4a 2(a －c ).∴点D 到BC的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 4a 2(a －c ).∴b 4a 2(c －a )<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ，∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2，∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1.∴0<b a <1或－1<b a <0.【答案】 A10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c ，若直线y ＝2x 与椭圆一个交点的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率等于( )A.2－22 B ．22－12 C.3－1D ．2－1【解析】 当x ＝c 时，由c 2a 2＋y 2b 2＝1， 得y ＝±b 2a .又交点在y ＝2x 上，所以交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .所以2c ＝b 2a ＝a 2－c 2a ＝a －c 2a .所以2c a ＝1－c 2a 2，即e 2＋2e －1＝0， 解得e ＝－1＋ 2. 【答案】 D11．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )【导学号：32550189】A ．3B ．6C ．9D ．12【解析】 根据已知条件求出椭圆的方程，|AB |＝2|y A |，只需求出|y A |即可． 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴椭圆中c ＝2， 又c a ＝12，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12， 从而椭圆方程为x 216＋y 212＝1. ∵抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2， ∴x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3， 由图像可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B. 【答案】 B12．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454x C ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y【解析】 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，则抛物线过点(40,30)，则有302＝2p ×40,2p ＝452，所以所求的抛物线方程应为y 2＝452x ，所给选项中没有y 2＝452x ，同理若设x 2＝－2py ，则抛物线过点(30，－40)，求得抛物线方程为x 2＝－452y .故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 满足的方程为________．【解析】 P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )，∴P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2. 即(－2－x )(3－x )＋(－y )(－y )＝x 2，即y 2＝x ＋6. 【答案】 y 2＝x ＋614．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为3π4的直线交抛线于P 、Q 两点，O 为坐标原点，则△POQ 的面积等于________．【解析】 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，F 为抛物线焦点，由⎩⎨⎧y ＝－(x －1)，y 2＝4x ，得y 2＋4y －4＝0，|y 1－y 2|＝42＋42＝42，S △POQ ＝12|OF ||y 1－y 2|＝2 2.【答案】 2 215．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为________．【解析】 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)， ∴双曲线x 2m －y 2n ＝1的焦点在x 轴上．m ＞0，n ＞0，a ＝m ，b ＝n ，∴c ＝m ＋n ＝1，∴e ＝m ＋nm ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝34，∴mn ＝316. 【答案】 31616．平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．【导学号：32550100】【解析】 利用三角形垂心的性质建立关于a ，b ，c 的等式求离心率．双曲线的两条渐近线方程为y ＝±ba x ，与抛物线方程联立得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a ，2pb 2a 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，2pb 2a 2， 抛物线焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，由三角形垂心的性质，得BF ⊥OA ，即k BF ·k OA ＝－1，又k BF ＝p 2－2pb 2a 22pb a ＝a 4b －b a ，k OA ＝b a ，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4b －b a ba ＝－1，即b 2a 2＝54，故C 1的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝1＋54＝32.【答案】 32三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，求椭圆C 的方程．【解】 设椭圆的半焦距为c ，依题意知 ⎩⎨⎧c a ＝63，a ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝3，c ＝ 2.∴b 2＝1，∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.18．(本小题满分12分)若双曲线的一条准线为x ＝4，其相应的焦点为(10,0)，离心率为2，求此双曲线的方程．【解】 设P (x ，y )是所求双曲线上的任一点， 由双曲线的第二定义，得(x －10)2＋y 2|x －4|＝2，化简整理，得(x －2)216－y 248＝1.19．(本小题满分12分)直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C ：(1)相切；(2)相交；(3)相离．【解】 将直线l 和抛物线C 的方程联立，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋1 ①，y 2＝4x ②，将①代入②，并整理，得k 2x 2＋2(k －2)x ＋1＝0. 当k ＝0时，x ＝14，y ＝1，得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.当k ≠0时，方程为一元二次方程，所以Δ＝16(1－k )． (1)当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 相切； (2)当Δ＞0，即k ＜1且k ≠0时，l 与C 相交； (3)当Δ＜0，即k ＞1时，l 与C 相离．综上(1)k ＝1时相切；(2)k <1且k ＝0时相交；(3)k >1时相离．20．(本小题满分12分)求以(1，－1)为中点的抛物线y 2＝8x 的弦所在直线的方程．【解】 设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，. ① ②由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝－1，得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2， ③y 1＋y 2＝－2， ④k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1. ⑤由②－①，得(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝8(x 2－x 1)， ∴y 2－y 1x 2－x 1＝8y 2＋y 1.将④⑤代入上式可得k AB ＝－4. ∴弦所在直线方程为y ＋1＝－4(x －1)，即4x ＋y －3＝0.21．(本小题满分12分)点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【解】 (1)由已知可得点A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)．设点P 的坐标为(x ，y )，∵P A ⊥PF ，∴k AP ·k PF ＝－1.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，y x ＋6·yx －4＝－1，则2x 2＋9x －18＝0， 解得x ＝32或x ＝－6(舍去)． ∴x ＝32，由于y ＞0，故y ＝532. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，532. (2)易知直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0.设点M 的坐标为(m,0)，则点M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2.于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2. 故点M 的坐标为(2,0)．椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d 的平方为： d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋15.由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取得最小值，最小值为15.22．(本小题满分12分)如图2，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t,0)(t >0)作不过原点O 的直线P A ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．图2(1)求点A ，B 的坐标；(2)求△P AB 的面积．【解】 (1)由题意知直线P A 的斜率存在，故可设直线P A 的方程为y ＝k (x －t )．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －t )，y ＝14x 2消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线P A 与抛物线相切，得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0,1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)．由题意知：点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧ y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2t 1＋t 2，y 0＝2t 21＋t 2，因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2. (2)由(1)知|AP |＝t ·1＋t 2，直线P A 的方程为tx －y －t 2＝0.点B 到直线P A 的距离是d ＝t 21＋t 2. 设△P AB 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AP |·d ＝t 32.。
高二数学试题-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题41 最新
章末综合测评(三)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个推理不是合情推理的是()A．由圆的性质类比推出球的有关性质B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．【答案】 C2．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的序号顺序为()A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.【答案】 B3．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.【答案】 B4．用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是() A．假设a，b，c都小于0B．假设a，b，c都大于0C．假设a，b，c中都不大于0D．假设a，b，c中至多有一个大于0【解析】用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.【答案】 C5．下面给出了四个类比推理．①a，b为实数，若a2＋b2＝0则a＝b＝0；类比推出：z1，z2为复数，若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；②若数列{a n}是等差数列，b n＝1n(a1＋a2＋a3＋…＋a n)，则数列{b n}也是等差数列；类比推出：若数列{c n}是各项都为正数的等比数列，d n＝nc1c2c3…c n，则数列{d n}也是等比数列；③若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)；类比推出：若a，b，c为三个向量，则(a·b)·c＝a·(b·c)；④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出：若椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆的面积为πab.上述四个推理中，结论正确的是()A．①②B．②③C．①④D．②④【解析】①在复数集C中，若z1，z2∈C，z21＋z22＝0，则可能z1＝1且z2＝i，故错误；②在类比等差数列性质推理等比数列性质时，一般思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故正确；③由于向量的数量积运算结合律不成立，错误；④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出，若椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆面积为πab，正确．【答案】 D6．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.以上通过类比得到的结论正确的个数为()A．1B．2C．3 D．4【解析】平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b －c)，故④错误．故选B.【答案】 B7．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9【解析】根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.【答案】 D8．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B.【答案】 B9．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有()A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－nD．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n【解析】令n＝10时，验证即知选B.【答案】 B10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2 016－5＝()图1A．2 018×2 014 B．2 018×2 013C．1 010×2 012 D．1 011×2 015【解析】a n－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n ＋2个．∴a n －5＝(n －1)(n ＋6)2，∴a 2 016－5＝2 015×2 0222＝2 015×1 011. 【答案】 D11．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图2中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝( )图2A ．1 018B ．1 018C ．1 018D ．1 018【解析】 依题意a 1＝1，a 2＝1；a 3＝－1，a 4＝2；a 5＝2，a 6＝3；…，归纳可得a 1＋a 3＝1－1＝0，a 5＋a 7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a 2 015＋a 2 017＝0，a 2＝1，a 4＝2，a 6＝3，…，进而可归纳得a 2 016＝12×2 016＝1 018，a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝1 018.故选C.【答案】 C12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【解析】【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为__________．【解析】 圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.【答案】 经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1 14．观察下列等式： 13＝1， 13＋23＝9， 13＋23＋33＝36， 13＋23＋33＋43＝100， …照此规律，第n 个等式可为__________．【解析】 依题意，注意到13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×1×(1＋1)2,13＋23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2×(2＋1)2＝9,13＋23＋33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3×(3＋1)2＝36，…，照此规律，第n 个等式可为13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n (n ＋1)2.【答案】 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n (n ＋1)215．当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________．【解析】 根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，左边第二个因式可知为a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n ，那么对应的表达式为(a －b )·(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋1.【答案】 (a －b )(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋116．如图3，如果一个凸多面体是n (n ∈N ＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________，f (n )＝__________.(答案用数字或n 的解析式表示)图3【解析】 所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n ＋n ＋n (n －3)2＝n (n ＋1)2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f (4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f (n )＝n (n －2)＋n (n －3)2·(n －2)＝n (n －1)(n －2)2. 【答案】 n (n ＋1)2 12 n (n －1)(n －2)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lga ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】 (1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ， ∴lg a ＋b2≥lg ab ， ∴lga ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b2. (2)要证6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立的， 所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)观察以下各等式： sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34， sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34， sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【解】 猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°) ＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝3 4.19．(本小题满分12分)点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM ⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．【解】(1)证明：因为PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，所以BB1⊥平面PMN，所以BB1⊥MN.又CC1∥BB1，所以CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cos α.其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角．证明如下：因为CC1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP，所以PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，所以S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cos α.20．(本小题满分12分)如图4，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：图4(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .【证明】 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A . 又因为P A ⃘平面DEF ，DE 平面DEF ， 所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC 平面ABC ，EF 平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC . 又DE 平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABC .21．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n (n ≥2)．(1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明； (2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1， 求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n 3.【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110. 故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N ＋.下面利用数学归纳法加以证明： ①显然当n ＝1,2,3,4时，结论成立，②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，结论也成立，即 a k ＝13k －2. 那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知：a k ＋1＝(k －1)a k k －a k ＝(k －1)×13k －2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1(3k ＋1)(k －1) ＝13k ＋1＝13(k ＋1)－2. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上，对任意n ∈N ＋，a n ＝13n －2成立． (2)证明：b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1＝13n －2·13n ＋113n －2＋13n ＋1 ＝13n ＋1＋3n －2＝13(3n ＋1－3n －2)， 所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n ＋1－3n －2)]＝13(3n ＋1－1)，所以只需要证明13(3n ＋1－1)<n 3⇔3n ＋1<3n ＋1⇔3n ＋1<3n ＋23n＋1⇔0<23n (显然成立)，所以对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n3. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x cos x －sin x ＋1(x >0). 【导学号：67720022】(1)求f (x )的单调区间； (2)记x i 为f (x )的从小到大的第i (i ∈N *)个零点，证明：对一切n ∈N *，有1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n <23.【解】 (1)f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .令f ′(x )＝0，得x ＝k π(k ∈N *)．当x ∈(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )时，sin x >0，此时f ′(x )<0；当x ∈((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )时，sin x <0，此时f ′(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )，单调递增区间为((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )．(2)由(1)知，f (x )在区间(0，π)上单调递减．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，故x 1＝π2. 当n ∈N *时，因为f (n π)·f ((n ＋1)π)＝[(－1)n n π＋1]×[(－1)n ＋1(n ＋1)π＋1]<0，且函数f (x )的图像是连续不断的，所以f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)内至少存在一个零点．又f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)上是单调的，故n π<x n ＋1<(n ＋1)π.因此，当n ＝1时，1x 21＝4π2<23； 当n ＝2时，1x 21＋1x 22＜1π2(4＋1)＜23； 当n ≥3时，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n<1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋122＋…＋1(n －1)2 <1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋11×2＋…＋1(n －2)(n －1)＝ 1π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1 ＝1π2⎝ ⎛⎭⎪⎫6－1n －1<6π2<23. 综上所述，对一切n ∈N *，1x 21＋1x 22＋…＋1x 2n<23.。
高二数学试题-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题8 最新
学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．椭圆x2169＋y225＝1的焦点坐标为()A．(5,0)，(－5,0)B．(12,0)，(－12,0)C．(0,12)，(0，－12) D．(13,0)，(－13,0)【解析】∵a2＝169，b2＝25，∴c2＝169－25＝144，∴c＝12，又∵焦点在x轴上，∴焦点为(12,0)，(－12,0)．【答案】 B2．对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【解析】mn＞0，若m＝n则mx2＋ny2＝1不是椭圆．若方程mx2＋ny2＝1是椭圆则“mn＞0一定成立．”【答案】 B3．过点(3，－2)且与椭圆x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆的方程是()A.x215＋y210＝1 B．x2225＋y2100＝1C.x210＋y215＝1 D．x2100＋y2225＝1【解析】椭圆x29＋y24＝1的焦点在x轴上，且c2＝5.设所求的椭圆方程为x2a2＋y2a2－5＝1，将(3，－2)代入方程得9a2＋4a2－5＝1，解得a2＝15，故所求椭圆方程为x215＋y210＝1.【答案】 A4．已知A(0，－1)、B(0,1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是( )A.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) B ．y 24＋x 23＝1(y ≠±2) C.x 24＋y 23＝1(x ≠0)D ．y 24＋x 23＝1(y ≠0)【解析】 ∵2c ＝|AB |＝2，∴c ＝1， ∴|CA |＋|CB |＝6－2＝4＝2a ，∴顶点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆(A 、B 、C 不共线)． 因此，顶点C 的轨迹方程y 24＋x 23＝1(y ≠±2)． 【答案】 B5．若方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )【导学号：32550186】A ．a ＞3B ．a ＜－2C ．a ＞3或a ＜－2D ．a ＞3或－6＜a ＜－2【解析】 由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎨⎧ a 2＞a ＋6，a ＋6＞0.即⎩⎨⎧(a ＋2)(a －3)＞0，a ＞－6，⇔a ＞3或－6＜a ＜－2. 故选D. 【答案】 D 二、填空题6．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________．【导学号：32550187】【解析】 当m ＞4时，m －4＝1，∴m ＝5. 当0＜m ＜4时，4－m ＝1，∴m ＝3. 【答案】 3或57．若方程y 26－k ＋x 2k －2＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．【解析】 若方程y 26－k ＋x 2k －2＝1表示椭圆．则⎩⎨⎧6－k ＞0k －2＞06－k ≠k －2，∴2＜k ＜6且k ≠4.【答案】 (2,4)∪(4,6)8．在平面直角坐标系中，A (4,0)，B (－4,0)，且sin A ＋sin B sin C＝54，则△ABC的顶点C 的轨迹方程为________．【解析】 由正弦定理，得 |BC |＋|AC ||AB |＝54，又|AB |＝8， ∴|BC |＋|AC |＝10.由椭圆定义可知，点C 的轨迹是以点A 、B 为焦点的椭圆． 又∵a ＝12×10＝5，c ＝12×8＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.又∵点A 、B 、C 不共线， ∴点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)． 【答案】 x 225＋y 29＝1(y ≠0) 三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．【解】 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)． ∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. ∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.10．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，曲线E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持|P A |＋|PB |的值不变，求曲线E 的方程．【解】 如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝322，∵|P A |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋322＝22，且|P A |＋|PB |＞|AB |， ∴由椭圆定义知，动点P 的轨迹E 为椭圆，且a ＝2，c ＝1，b ＝1. ∴所求曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.[能力提升]1．已知曲线C ：x 2k －5＋y 23－k ＝－1，则“4≤k ＜5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 将曲线C 的方程化为：x 25－k ＋y 2k －3＝1，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则有k －3＞5－k ＞0，即4＜k ＜5，故“4≤k ＜5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件．【答案】 A2．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8【解析】 设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204.又∵F (－1,0)，∴OP →·FP→＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2.又x 0∈[－2,2]，∴(OP →·FP →)∈[2,6]，∴(OP →·FP →)max ＝6.【答案】 C3．已知椭圆x 25＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，当∠F 1PF 2为直角时，点P 的横坐标x 0＝________.【解析】 由题意知F 1(2,0)，F 2(－2,0)，F 1P →＝(x 0－2，y 0) F 2P →＝(x 0＋2，y 0)，∵∠F 1PF 2＝90°， ∴F 1P →·F 2P →＝(x 0－2)(x 0＋2)＋y 20＝0， 又∵y 20＝1－x 205，∴x 20－4＋1－x 205＝0，∴x 0＝±152. 【答案】 ±1524．设M (x ，y )是椭圆x 216＋y 29＝1上的任意一点，求x ＋y 的最值．【解】 设x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，θ∈[)0，2π，则x ＋y ＝4cos θ＋3sin θ＝5sin (θ＋φ)，其中tan φ＝43.∵sin (θ＋φ)∈[]－1，1，∴x ＋y ∈[－5,5]． ∴(x ＋y )min ＝－5，(x ＋y )max ＝5.。
2017-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题30
学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列语句不是命题的有()①《非常学案》是最畅销的教辅材料吗？②2x－1＞3.③7＋6＝14.④两直线平行内错角相等．A．①②B．①③C．②④D．①②③【答案】 A2．若命题p的逆命题是假命题，则下列判断一定正确的是()A．命题p是真命题B．命题p的否命题是假命题C．命题p的逆否命题是假命题D．命题p的否命题是真命题【解析】一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，故它们同真假，故选B.【答案】 B3．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是() A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形【解析】此命题可改为“若一个四边形是平行四边形则它的对角线互相平分，也互相垂直”，故结论为选项C.【答案】 C4．在下列命题中，真命题是()A．“x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题B．“若b＝3，则b2＝9”的逆命题C．若x∈R，则x2＋3＜0D．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题【解析】“相似三角形的对应角相等”是真命题，又因为原命题与逆否命题为等价命题，故选D.【答案】 D5．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是() A．3B．2C．1D．0【解析】易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．【答案】 C二、填空题6．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的________命题．【导学号：32550002】【解析】根据四种命题的关系，易知s是t的否命题．【答案】否7．把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)＝3＋log2x 的图像与g(x)的图像关于________对称，则函数g(x)＝________.(填上你认为可以成为真命题的一种情况既可)【解析】该题将函数的图像和性质与命题综合在一起，要综合利用各部分的知识．部分可能情况有：x轴，－3－log2x；y轴，3＋log2(－x)；原点，－3－log2(－x)；直线y＝x,2x－3等．【答案】x轴－3－log2x8．给定下列命题：①“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中真命题的序号是________．【解析】①Δ＝4＋4k∵k＞0，∴Δ＞0方程有实根，故①为真命题．②，④易判断为真命题．③对角线相等的四边形有可能是梯形．【答案】①②④三、解答题9．将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图像关于原点对称．【解】(1)若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题．(2)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称．真命题．10．分别写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断这四个命题的真假：(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除；(2)四条边相等的四边形是正方形．【解】找出原命题的条件和结论，依照定义写出另外三种命题．(1)逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0；否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除；逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0.逆命题和否命题是假命题，原命题和逆否命题是真命题．(2)原命题可以改写成：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形；逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等．原命题和逆否命题是假命题，逆命题和否命题是真命题．[能力提升]1．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．①②B．②③C．①③D．③④【解析】①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题是“若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等”，是假命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题是“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”，是真命题；④“不等边三角形的三个内角相等”是假命题，其逆否命题是假命题．【答案】 C2．若命题p的逆否命题是q，q的逆命题是r，则p与r是() A．互逆命题B．互否命题C．互逆否命题D．不确定【解析】p，q互为逆否命题，又q的逆命题是r，故p、r为互否命题．【答案】 B3．下列说法正确的是________．①“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”的否命题为“若x2＋y2≠0，则x，y全不为零”．②“正多边形都相似”的逆命题是真命题．③“若x －312是有理数，则x 是无理数”的逆否命题是真命题．【解析】 ①中否命题：“若x 2＋y 2≠0则x ，y 不全为0”，故是错误的． ②中逆命题：“若两个多边形相似，则这两个多边形是正多边形”，是假命题，故此说法错误．③中逆否命题：“若x 不是无理数，则x －312不是有理数”，是真命题，故说法正确．【答案】 ③4．若方程x 2＋2px －q ＝0(p ，q 是实数)没有实数根，则p ＋q <14. (1)判断上述命题的真假，并说明理由．(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由．【解】 (1)上述命题是真命题，由题意，得方程的判别式Δ＝4p 2＋4q <0，得q <－p 2，∴p ＋q <p －p 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫p －122＋14≤14， ∴p ＋q <14.(2)逆命题：如果p ，q 是实数，p ＋q <14，则方程x 2＋2px －q ＝0没有实数根．逆命题是假命题，如当p ＝1，q ＝－1时，p ＋q <14，但原方程有实数根x ＝－1.。
2019-2020学年高二数学北师大版选修1-2学业分层测评1 Word版含答案
学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．为了考查两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两名同学各自独立地做了10次试验和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都为s，对变量y的观测数据的平均数都为t，那么下列说法中正确的是( )A．直线l1和l2都过点(s，t)B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)C．直线l1和l2必平行D．直线l1和l2必重合【解析】线性回归方程y＝bx＋a恒过点(x，y)，故直线l1和l2都过点(s，t)．【答案】 A2．已知人的年龄x与人体脂肪含量的百分数y的回归方程为y＝0.577x－0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量( )A．一定是20.3%B．在20.3%附近的可能性比较大C．无任何参考数据D．以上解释都无道理【解析】将x＝36代入回归方程得y＝0.577×36－0.448≈20.3.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B．【答案】 B3．关于回归分析，下列说法错误的是( )A．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法B．线性相关系数可以是正的或负的C．回归模型中一定存在随机误差D．散点图反映变量间的确定关系【解析】用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差，故D错误．【答案】 D4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组试验数据如下表：A ．y ＝2x －2B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)【解析】 代入检验，当x 取相应的值时，所得y 值与已知数据差的平方和最小的便是拟合程度最高的．【答案】 D5．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0C ．12D ．1【解析】 所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为1，故选D ． 【答案】 D 二、填空题6．回归分析是处理变量之间________关系的一种数量统计方法． 【解析】 回归分析是处理变量之间相关关系的一种数量统计方法． 【答案】 相关7．已知某个样本点中的变量x ，y 线性相关，相关系数r ＜0，则在以(x ，y )为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第________象限．【解析】 ∵r ＜0时b ＜0， ∴大多数点落在第二、四象限． 【答案】 二、四8．某中学期中考试后，对成绩进行分析，从某班中选出5名学生的总成绩和外语成绩如下表：【解析】 ∵x ＝482＋383＋421＋364＋3625＝402.4，y ＝78＋65＋71＋64＋615＝67.8，∑i ＝15x 2i ＝232324＋146689＋177241＋132496＋131044＝819794. ∑i ＝15x i y i ＝37596＋24895＋29891＋23296＋22082＝1337760b ＝∑i ＝15xiyi －5x y∑i ＝15x2i －5x 2＝1337760－5×402.4×67.8819794－5×402.42≈0.132，∴a ＝67.8－0.132×402.4≈14.68， ∴方程为y ＝0.132x ＋14.68. 【答案】 y ＝0.132x ＋14.68 三、解答题9．关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)，有如下的统计资料：若由资料可知y 对x (1)线性回归方程；⎝⎛⎭⎪⎪⎪⎪⎫a ＝y －b x －，b ＝∑i ＝1nxiyi －n x －y －∑i ＝1n x2i －n x 2(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ 【解】 (1)x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5，∑i ＝15x2i ＝90，∑i ＝15x i y i＝112.3， b ＝∑i ＝15xiyi －5x －y－∑i ＝15x2i －5x 2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23.于是a ＝y －b x ＝5－1.23×4＝0.08. 所以线性回归方程为y ＝1.23x ＋0.08.(2)当x ＝10时，y ＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)， 即估计使用10年时维修费用是12.38万元．10．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表.【解】 画出散点图如图所示．x ＝16(26＋18＋13＋10＋4－1)≈11.7，y ＝16(20＋24＋34＋38＋50＋64)≈38.3，∑ 6i ＝1x i y i ＝26×20＋18×24＋13×34＋10×38＋4×50－1×64＝1 910， ∑ 6 i ＝1x 2i ＝262＋182＋132＋102＋42＋(－1)2＝1 286， ∑ 6 i ＝1y 2i ＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10 172，∑ ni ＝1 由r ＝∑ ni ＝1 x i y i －n x y ∑ ni ＝1x 2i －n x 2∑ ni ＝1y 2i －n y 2，可得r ≈-0.97.由于r 的绝对值接近于1，所以x 与y 具有很强的线性相关关系．[能力提升]1．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：若x ，y 6月份生产甲胶囊产量为()A ．8.1万盒B ．8.2万盒C ．8.9万盒D ．8.6万盒 【解析】 由题意知x ＝3，y ＝6，则a ＝y －0.7x ＝3.9， ∴x ＝6时，y ＝8.1. 【答案】 A2．已知x 与y 之间的几组数据如下表：(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( ) 【导学号：67720002】A ．b >b ′，a >a ′B ．b >b ′，a <a ′C ．b <b ′，a >a ′D ．b <b ′，a <a ′【解析】 由(1,0)，(2,2)求b ′，a ′. b ′＝2－02－1＝2，a ′＝0－2×1＝－2. 求b ，a 时， ∑i ＝16x i y i＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，x ＝3.5，y ＝136，∑i ＝16x2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91， ∴b ＝58－6×3.5×13691－6×3.52＝57，a ＝136－57×3.5＝136－52＝－13，∴b <b ′，a >a ′. 【答案】 C3．已知x ，y 的取值如下表所示，由散点图分析可知y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ＝0.95x ＋2.6，那么表格中的数据m 的值为________.【解析】 x ＝0＋1＋3＋44＝2，y ＝2.2＋4.3＋4.8＋m 4＝11.3＋m 4，把(x －，y －)代入回归方程得11.3＋m4＝0.95×2＋2.6，解得m ＝6.7.【答案】 6.74．某商店各个时期的商品流通率y (%)和商品零售额x (万元)资料如下：散点图显示出x 与y 的变动关系为一条递减的曲线．经济理论和实际经验都证明，流通率y 决定于商品的零售额x ，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y ＝a ＋b x.试根据上表数据，求出a 与b 的估计值，并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．【解】 设u ＝1x，则y ≈a ＋bu ，得下表数据：进而可得n ＝10，u ≈0.060 4，y ＝3.21， ∑10i ＝1u 2i －10u 2≈0.004 557 3， i ＝110u i y i－10uy ≈0.256 35，b ≈0.256 350.004 557 3≈56.25， a ＝y －b ·u ≈－0.187 5，所求的回归方程为y＝－0.187 5＋56.25 x.当x＝30时，y＝1.687 5，即商品零售额为30万元时，商品流通率约为1.687 5%.。
2018-2019学年高二数学选修2-1学业分层测评3.1.5 空间向量的数量积
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________.【解析】 ∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，∴c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)，∴(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝－2，∴x ＝2. 【答案】 22．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于________. 【导学号：09390077】【解析】 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ， AC 1→2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·c ＋2b·c ＋2c·a ＝25，因此|AC 1→|＝5. 【答案】 53．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为________．【解析】 AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝332×2＝12，∴〈AB →，AC →〉＝60°. 【答案】 60°4．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝________. 【解析】 a ·b ＝2×3×cos 60°＝3，∴|2a －3b |＝4|a |2－12a ·b ＋9|b |2＝4×4－12×3＋81＝61. 【答案】615．如图3-1-32,120°的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在两个半平面内，且都垂直于AB .若AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为________．图3-1-32【解析】 ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ， ∴AC →·AB →＝0， BD →·AB →＝0.又∵二面角为120°， ∴〈CA →，BD →〉＝60°，∴CD 2→＝|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋CA →·BD →＋AB →·BD →)＝164，∴|CD →|＝241. 【答案】 2416．如图3-1-33，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD ，则异面直线BF 与ED 所成角的大小是________．图3-1-33【解析】 分别以AB ，AD ，AF 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12.则BF →＝(－1,0,1)，ED →＝(0,1，－1)，∴cos 〈BF →，ED →〉＝BF →·ED →|BF →|·|ED →|＝0＋0－12·2＝－12，∴〈BF →，ED →〉＝120°.所以异面直线BF 与ED 所成角的大小为180°－120°＝60°. 【答案】 60°7．如图3-1-34所示，已知直线AB ⊥平面α，BC ⊂α，BC ⊥CD ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，则A ，D 两点间的距离为________．图3-1-34【解析】 ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →， ∠DCF ＝30°，DF ⊥平面α， ∴∠CDF ＝60°， ∴|AD →|2＝(AB →＋BC →＋CD →)2 ＝4＋4＋4＋2×2×2×cos 120° ＝8， ∴|AD →|＝2 2. 【答案】 2 28．若AB →＝(－4,6，－1)，AC →＝(4,3，－2)，|a |＝1，且a ⊥AB →，a ⊥AC →，则a ＝________.【解析】 设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，|a |＝1，代入坐标可解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝313，y ＝413，z ＝1213，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313，y ＝－413，z ＝－1213.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫313，413，1213或⎝ ⎛⎭⎪⎫－313，－413，－1213二、解答题9.如图3-1-35，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，CD ′与DC ′相交于点O ，连接AO ，求证：图3-1-35(1)AO ⊥CD ′；(2)AC ′⊥平面B ′CD ′.【证明】 (1)因为AO →＝AD →＋DO →＝AD →＋12(DD ′→＋DC →)， 因为CD ′→＝DD ′→－DC →， 所以AO →·CD ′→＝12(DD ′→＋DC →＋2AD →)·(DD ′→－DC →)＝12(DD ′→·DD ′→－DD ′→·DC →＋DC →·DD ′→－DC →·DC →＋2AD →·DD ′→－2AD →·DC →)＝12(|DD ′→|2－|DC →|2)＝0，所以AO →⊥CD ′→，故AO ⊥CD ′.(2)因为AC ′→·B ′C →＝(AB →＋BC →＋CC ′→)·(B ′B →＋BC →)＝AB →·B ′B →＋AB →·BC →＋BC →·B ′B →＋BC →·BC →＋CC ′→·B ′B →＋CC ′→·BC →， 可知AB →·B ′B →＝0，AB →·BC →＝0， BC →·B ′B →＝0，BC →·BC →＝|BC →|2，CC ′→·B ′B →＝－|CC ′→|2，CC ′→·BC →＝0， 所以AC ′→·B ′C →＝|BC →|2－|CC ′→|2＝0， 所以AC ′→⊥B ′C →，所以AC ′⊥B ′C . 同理可证，AC ′⊥B ′D ′.又B ′C ，B ′D ′⊂平面B ′CD ′，B ′C ∩B ′D ′＝B ′，所以AC ′⊥平面B ′CD ′.10.如图3-1-36，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E ，F ，G 分别为AB ，SC ，SD 的中点．若AB ＝a ，SD ＝b ，图3-1-36(1)求|EF →|；(2)求cos 〈AG →，BC →〉．【解】 如图，建立空间直角坐标系D -xyz ，则A (a,0,0)，S (0,0，b )，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，b 2，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，b 2，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，0，b 2，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，0，b 2，BC →＝(－a,0,0)．(1)|EF →|＝(－a )2＋02＋b 24＝4a 2＋b 22. (2)cos 〈AG →，BC →〉＝AG →·BC →|AG →|·|BC →|＝a 2a 2＋b 24·a＝2a 4a 2＋b2.[能力提升]1．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________.【导学号：09390078】【解析】 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95， ∴当t ＝15时，|b －a |取得最小值355. 【答案】3552．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)，则以AB →，AC →为边的平行四边形的面积为________．【解析】 由题意可得，AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3，2)， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝714＝12.∴sin 〈AB →，AC →〉＝32，∴以AB →，AC →为边的平行四边形的面积S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3.【答案】7 33．如图3-1-37所示，已知P A⊥平面ABC，∠ABC＝120°，P A＝AB＝BC＝6，则PC等于________．图3-1-37→＝P A→＋AB→＋BC→，【解析】法一：因为PC所以PC→2＝P A→2＋AB→2＋BC→2＋2AB→·BC→＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以|PC→|＝12，即PC＝12.法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0,0,6)，C(0,63，0)，∴PC＝(63)2＋62＝12.【答案】124．如图3-1-38所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．图3-1-38(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长．→＝p，AC→＝q，AD→＝r.【解】(1)证明：设AB由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三向量两两夹角均为60°. ∴MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q·p ＋r·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. ∴MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD . (2)由(1)可知，MN →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝MN →2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q·r －p·q －r·p )]＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22＝14×2a 2＝a 22，∴|MN →|＝22a ，∴MN 的长为22a .。
高中数学选修1-2学业分层测评1
学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．为了考查两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两名同学各自独立地做了10次试验和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都为s，对变量y的观测数据的平均数都为t，那么下列说法中正确的是()
A．直线l1和l2都过点(s，t)
B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)
C．直线l1和l2必平行
D．直线l1和l2必重合
【解析】线性回归方程y＝bx＋a恒过点(x，y)，故直线l1和l2都过点(s，t)．
【答案】 A
2．已知人的年龄x与人体脂肪含量的百分数y的回归方程为y＝0.577x－0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量()
A．一定是20.3%
B．在20.3%附近的可能性比较大
C．无任何参考数据
D．以上解释都无道理
【解析】将x＝36代入回归方程得y＝0.577×36－0.448≈20.3.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B．【答案】 B
3．关于回归分析，下列说法错误的是()
A．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法
B．线性相关系数可以是正的或负的。
高二数学试题-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题32 最新
学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】根据充分、必要条件的定义直接利用数轴求解即可．将p，q对应的集合在数轴上表示出来如图所示，易知，当p成立时，q不一定成立；当q 成立时，p一定成立，故p是q成立的必要不充分条件．【答案】 C2．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】分别判断由“x>1”能否推出“x3>1”和由“x3>1”能否推出“x>1”．由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．因此“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.【答案】 C3．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则()A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【解析】 根据空间两条直线的位置关系和充要条件的定义进行判断． 若l 1，l 2异面，则l 1，l 2一定不相交；若l 1，l 2不相交，则l 1，l 2是平行直线或异面直线，故p ⇒q ，qp ，故p 是q 的充分不必要条件．【答案】 A4．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 当a ＝1时，N ＝{1}，显然满足N ⊆M ，所以充分性成立；因为N ⊆M ，所以a 2＝1或a 2＝2，即a ＝±1或a ＝±2，故必要性不成立，所以选A.【答案】 A5．已知a ，b 为实数，命题甲：ab ＞b 2，命题乙：1b ＜1a ＜0，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当a ＝2，b ＝1时，ab ＞b 2，但1b ＜1a ＜0不成立；当1b ＜1a ＜0时，ab 2＜0，则1b ×ab 2＞1a ×ab 2，即ab ＞b 2成立，所以选B.【答案】 B 二、填空题6．若p ：x 2－1＞0，q ：(x ＋1)(x －2)＞0，则綈p 是綈q 的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”其中一个)．【解析】 綈p ：x 2－1≤0，∴－1≤x ≤1， 綈q ：(x ＋1)(x －2)≤0，－1≤x ≤2， ∴－1≤x ≤1⇒－1≤x ≤2而－1≤x ≤1－1≤x ≤2，∴綈p 是綈q 的充分不必要条件． 【答案】 充分不必要7．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R 的充要条件是________． 【解析】 对a 分a ＝0和a ≠0两种情况讨论． 【答案】 ⎩⎨⎧ a ＞0b 2－4ac ＜0或⎩⎨⎧a ＝b ＝0c ＞08．若命题“若p ，则q ”为真，则下列说法正确的是________． ①p 是q 的充分条件； ②p 是q 的必要条件； ③q 是p 的充分条件； ④q 是p 的必要条件．【解析】 由充分条件与必要条件的定义知，①④正确． 【答案】 ①④ 三、解答题9．命题p ：x ＞0，y ＜0，命题q ：x ＞y ，1x ＞1y ，则p 是q 的什么条件？【导学号：32550018】【解】 p ：x ＞0，y ＜0，则q ：x ＞y ，1x ＞1y 成立；反之，由x ＞y ，1x ＞1y ⇒y －xxy ＞0，因y －x ＜0，得xy ＜0，即x ，y 异号，又x ＞y ，得x ＞0，y ＜0.所以“x ＞0，y ＜0”是“x ＞y ，1x ＞1y ”的充要条件．10．已知a ，b ，c 均为实数，求证ac ＜0是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件．【证明】 ①充分性．若ac ＜0， 则Δ＝b 2－4ac ＞0.所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根，设其两根为x 1，x 2， 因为ac ＜0， 所以x 1·x 2＝ca ＜0，即x1，x2的符号相反，所以方程有一个正根和一个负根．②必要性．若方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，设其两根为x1，x2，不妨设x1＜0，x2＞0，则x1·x2＝ca＜0，所以ac＜0.由①②知ac＜0是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件．[能力提升]1．“若a，b∈R＋，a2＋b2＜1”是“ab＋1＞a＋b”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】a，b∈R＋，若a2＋b2＜1，则a2＋2ab＋b2＜1＋2ab＜1＋2ab＋(ab)2，即(a＋b)2＜(1＋ab)2，所以a＋b＜1＋ab成立；当a＝b＝2时，有1＋ab＞a＋b 成立，但a2＋b2＜1不成立，所以“a2＋b2＜1”是“ab＋1＞a＋b”的充分不必要条件．【答案】 C2．已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(a x＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵f(x)＝(a x＋b)2＝a2x2＋2a·b x＋b2，且f(x)＝(a x＋b)2为偶函数，∴2a·b＝0，即a·b＝0，所以a⊥b；若a⊥b，则有a·b＝0，∴f(x)＝(a x＋b)2＝a2x2＋2a·b x＋b2＝a2x2＋b2为偶函数，∴“函数f(x)＝(a x＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件，故选C.【答案】 C3．已知命题p：实数x满足－2≤1－x－13≤2；命题q：实数x满足x2－2x＋(1－m2)≤0(m＞0)．若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．【导学号：32550018】【解析】 令A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2≤1－x －13≤2＝{x |－2≤x ≤10}， B ＝{x |x 2－2x ＋(1－m 2)≤0，m ＞0} ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．∵“若綈p ，则綈q ”的逆否命题为“若q ，则p ”， 而綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，∴p ⇒q ，即A ⊆B ，故⎩⎨⎧m ＞0，1－m ≤－2，10≤1＋m ，解得m ≥9.【答案】 [9，＋∞)4．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数x 都成立的充要条件是0<a <4.【解】 (1)必要性：若ax 2－ax ＋1>0对x ∈R 恒成立，由二次函数性质有：⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0，即⎩⎨⎧a >0a 2－4a <0， ∴0<a <4.(2)充分性：若0<a <4，对函数y ＝ax 2＋ax ＋1，其中Δ＝a 2－4a ＝a (a －4)<0且a >0，∴ax 2－ax ＋1>0(x ∈R )恒成立． 由(1)(2)命题得证．。
2018-2019学年(新课标)北师大版高中数学选修1-2全册学业分层测评3及解析
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-2学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．有两个分类变量X 与Y 的一组数据，由其列联表计算得χ2≈4.523，则认为“X 与Y 有关系”犯错误的概率为( )A ．95%B ．90%C ．5%D ．10%【解析】 χ2≈4.523＞3.841.这表明认为“X 与Y 有关系”是错误的可能性约为0.05，即认为“X 与Y 有关系”犯错误的概率为5%.【答案】 C2．在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列说法正确的是( )A ．男、女患色盲的频率分别为0.038,0.006B ．男、女患色盲的概率分别为19240，3260C ．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲与性别是有关的D ．调查人数太少，不能说明色盲与性别有关 【解析】 男人中患色盲的比例为38480，要比女人中患色盲的比例6520大，其差值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪38480－6520≈0.0676，差值较大． 【答案】 C3．为了探究中学生的学习成绩是否与学习时间长短有关，在调查的500名学习时间较长的中学生中有39名学习成绩比较好，500名学习时间较短的中学生中有6名学习成绩比较好，那么你认为中学生的学习成绩与学习时间长短有关的把握为( )A．0 B．95% C．99% D．都不正确【解析】计算出χ2与两个临界值比较，χ2＝1 000×(39×494－6×461)245×955×500×500≈25.340 3＞6.635.所以有99%的把握说中学生的学习成绩与学习时间长短有关，故选C．【答案】 C4．某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．( ) A．99.9% B．99.5%C．99% D．97.5%【解析】可以先作出如下列联表(单位：人)：糖尿病患者与遗传列联表：糖尿病发病糖尿病不发病总计阳性家族史16 93 109阴性家族史17 240 257总计33 333 366 根据列联表中的数据，得到χ2＝366×(16×240－17×93)2109×257×33×333≈6.067＞5.024.故我们有97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．【答案】 D5．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：y 1y2总计x1a b a＋bx2c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d以下各组数据中，对于同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为( )A ．a ＝5，b ＝4，c ＝3，d ＝2B ．a ＝5，b ＝3，c ＝4，d ＝2C ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝5D ．a ＝2，b ＝3，c ＝5，d ＝4 【解析】 比较⎪⎪⎪⎪⎪⎪a a ＋b －c c ＋d . 选项A 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪59－35＝245；选项B 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪58－46＝124；选项C 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－49＝245；选项D 中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－59＝745.故选D ．【答案】 D 二、填空题6．调查者通过随机询问72名男女中学生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)：性别与喜欢文科还是理科列联表：喜欢文科喜欢理科 总计 男生 8 28 36 女生 20 16 36 总计284472中学生的性别和喜欢文科还是理科________关系．(填“有”或“没有”) 【解析】 通过计算χ2＝72×(16×8－28×20)236×36×44×28≈8.42＞7.879.故我们有99.5%的把握认为中学生的性别和喜欢文科还是理科有关系． 【答案】 有7．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表： 【导学号：67720006】专业性别非统计专业统计专业男13 10女7 20为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，因为χ2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________.【解析】∵χ2＞3.841，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性为5%.【答案】5%8．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若统计量χ2>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________.(填序号)【解析】统计量χ2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①错误；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．【答案】③三、解答题9．某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)试问喜欢电脑游戏与认为作业多少是否有关系？【解】由题意列出2×2列联表：认为作业多认为作业不多总计喜欢玩电脑游戏10 2 12 不喜欢玩电脑游戏 3 7 10 总计13 9 22 (2)由公式得：χ2＝22×(10×7－3×2)212×10×13×9≈6.418，∵6.418＞3.841，∴有95%的把握认为玩电脑游戏与认为作业多少有关系．10．在一次天气恶劣的飞行航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：在天气恶劣的飞行航程中，男乘客是否比女乘客更容易晕机？【解】根据题意，列出2×2列联表如下：晕机不晕机总计男乘客24 31 55女乘客8 26 34总计32 57 89由公式可得χ2＝89×(24×26－31×8)255×34×32×57≈3.689＞2.706，故我们有90%的把握认为“在天气恶劣的飞行航程中，男乘客比女乘客更容易晕机”．[能力提升]1．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110由χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)算得，χ2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828参照附表，得到的正确结论是( )A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】根据独立性检验的思想方法，正确选项为C．【答案】 C2．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：认为作业量大认为作业量不大总计男生18 9 27女生8 15 23总计26 24 50 若推断“学生的性别与认为作业量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过( )A．0.01 B．0.025C．0.10 D．0.05【解析】χ2＝50×(18×15－8×9)226×24×27×23≈5.059＞5.024，因为P(χ2＞5.024)＝0.025，所以这种推断犯错误的概率不超过0.025.【答案】 B3．某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某中学随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2列联表，根据列联表中的数据，可以在犯错误的概率不超过________的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.超重不超重总计偏高 4 1 5不偏高 3 12 15总计7 13 20【解析】根据公式χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)得，χ2＝20×(4×12－1×3)25×15×7×13≈5.934，因为χ2>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系．【答案】0.0254．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.甲乙0 9 0 1 5 6 87 7 3 2 8 0 1 2 5 6 6 8 98 4 2 2 1 0 7 1 3 59 8 7 7 6 6 5 7 8 98 8 7 7 5图12 4(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.甲班乙班总计优秀不优秀总计下面临界表仅供参考： P(χ2≥k)0.150.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828⎝⎛⎭⎪⎫参考公式：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )【解】 (1)记成绩为87分的同学为A ，B ，其他不低于80分的同学为C ，D ，E ，“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(C ，D)，(C ，E)，(D ，E)，共10个．“至少有一个87分的同学被抽到”所组成的基本事件有(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，共7个，所以P ＝710.(2)甲班 乙班 总计 优秀 6 14 20 不优秀 14 6 20 总计202040χ2＝40×(6×6－14×14)220×20×20×20＝6.4＞5.024，因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．。
2018-2019学年高二下学期数学(人教版选修1-2)第一章章末综合检测 含答案
气温(℃) 18 13 10 4 －1 杯数 24 34 39 51 63 若热茶杯数 y 与气温 x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是( ) A ． y ＝x ＋6 B．y＝x＋42 C．y＝－2x＋60 D．y＝－3x＋78 解析：选 C.由表格可知，气温与杯数呈负相关关系． ^ 把 x＝4 代入 y＝－2x＋60，得 y＝52，e＝52－51＝1. ^ 把 x＝4 代入 y＝－3x＋78，得 y＝66，e＝66－51＝15.故应选 C. 7．医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对甲型 H1N1 流感的预防作用，把 1 000 名注射了疫苗的人与另外 1 000 名未注射疫苗的人的半年感冒记录作比较，提出假设 H0：“这种疫苗不能起到预防甲型 H1N1 流感的作用”，并 计算出 P(K2≥6.635)≈0.01，则下列说法正确的是( ) A．这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的有效率为 1% B．若某人未使用该疫苗，则他在半年中有 99%的可能性得甲型 H1N1 C．在犯错误的概率不超过 0.99 的前提下认为这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的作用 D．在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的作用 解析：选 D.由 P(K2≥6.635)≈0.01 可知在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的作用，故选 D. 8.如图，5 个(x，y)数据，去掉 D(3,10)后，下列说法错误的是( ) A．相关系数 r 变大 B．残差平方和变大 C．相关指数 R2 变大 D．解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强 解析：选 B.由题中散点图知，去掉 D 后，x 与 y 的相关性变强，且为正相关，所以 r 变大， R2 变大，残差平方和变小． ^ ^ 9．(2014·平顶山高二检测)已知一组样本点(xi，yi)，其中 i＝1,2,3，…，30，根据最小二乘法求得的回归方程是y＝bx ^ ＋a，则下列说法正确的是( ) ^ ^ ^ A．若所有样本点都在y＝bx＋a上，则变量间的相关系数为 1 ^ ^ ^ B．至少有一个样本点落在回归直线y＝bx＋a上 ^ ^ C．对所有的解释变量 xi(i＝1,2,3，…，30)，bxi＋a的值与 yi 有误差 ^ ^ ^ ^ D．若y＝bx＋a斜率b>0，则变量 x 与 y 正相关 ^ ^ ^ 解析：选 D.A 中，当所有样本点都在y＝bx＋a上时，r＝±1，故错误；B 中，可能样本点都不在回归方程上，故错 ^ ^ 误；C 中，所有预报变量中，bxi＋a与 yi 也可能没有误差，故错误；只有 D 正确． 10．两个分类变量 X 和 Y 可能的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数满足 a＝10，b＝21，c＋d＝35，若认 为 X 与 Y 有关系的犯错误的概率不超过 0.1，则 c 的值可能等于( ) A． 4 B ．5 C ．6 D． 7 解析：选 B.若认为 X 和 Y 有关系的犯错误的概率不超过 0.1，则 K2 的观测值 k 所在的范围为 2.706≤k<3.841，根据 nad－bc2 计算公式 K2＝ ，其中 n＝a＋b＋c＋d，及 a＝10，b＝21，c＋d＝35 可估算出 c 的值． a＋bc＋da＋cb＋d 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．把答案填在题中横线上) 11．从某地区 15 000 位老人中随机抽取 500 人，其生活能否自理的情况如下表所示： 男 女 能 178 278 不能 23 21 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多________人． 23 解析：由表中数据可知，男性不能自理的频率为 ， 500 21 女性不能自理的频率为 ， 500 23 21 － 故 15 000× 500 500 ＝60(人)．
2018-2019学年高二数学选修2-1学业分层测评1.1.1 四种命题
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②三角函数是周期函数吗？③一个数不是正数就是负数；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5>0.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．【答案】 ①③⑤ ⑤2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．【解析】 同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．【答案】 若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜33．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的________命题．【解析】 不妨设p：若A则B；则q：若B则A；那么q的否命题r为：若非B则非A.故p是r的逆否命题．【答案】 逆否4．命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题的个数有________个．【解析】 由x2－8x＋15＝0，得x＝3或5.所以原命题正确，而逆命题和否命题不正确，逆否命题是正确的，故真命题有1个．【答案】 15．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为________．【答案】 若a ≤b ，则2a ≤2b －16．命题“若实数a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆命题是________，是________命题．(填“真”或“假”)【解析】 “若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”．【答案】 若b 2＝ac ，则实数a ，b ，c 成等比数列 假7．(2016·聊城高二检测)原命题为“若＜a n ，n ∈N *，则{a n }为递an ＋an ＋12减数列”，其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是________个.【导学号：09390004】【解析】 由<a n ，得a n ＋1<a n ，所以数列{a n }为递减数列，故原an ＋an ＋12命题是真命题，其逆否命题为真命题．易知原命题的逆命题为真命题，所以其否命题也为真命题．【答案】 38．给出下列命题：①命题“若b 2－4ac <0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根”的否命题；②命题“在△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，那么△ABC 为等边三边形”的逆命题；③命题“若a >b >0，则>>0”的逆否命题；3a 3b ④“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ”的逆命题．其中真命题的序号为________．【解析】 ①否命题为“若b 2－4ac ≥0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实数根”，是真命题；②逆命题为“若△ABC 为等边三角形，则AB ＝BC ＝CA ”，是真命题；③因为命题“若a >b >0，则>>0”是真命题，故其逆否命题为真命题；3a 3b ④逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ，则m >1”，是假命题．【答案】 ①②③二、解答题9．写出命题“若xy＝0，则x＝0”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．【解】 (1)逆命题：若x＝0，则xy＝0，显然是真命题；(2)否命题：若xy≠0，则x≠0，因为逆命题和否命题互为逆否命题，逆命题为真命题，所以否命题也是真命题；(3)逆否命题：若x≠0，则xy≠0，为假命题，例如x＝2，y＝0，满足x≠0，但xy＝0，所以逆否命题为假命题．10．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．【解】 ∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．[能力提升]1．(2016·上海高三模拟)原命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”和它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数共有________个．【解析】 若c＝0，则原命题不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真．由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．【答案】 22．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则－1＜x＜2”的逆否命题为真命题，则实数m的取值范围是________．【解析】 因为命题“若m－1＜x＜m＋1，则－1＜x＜2”的逆否命题为真命题，所以原命题也是真命题，则Error!解得0≤m≤1，则实数m的取值范围是[0,1]．【答案】 [0,1]3．下列四个命题：①“如果x2－x－6≥0，则x＞2”的否命题；②“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为真命题；③命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为假命题．其中真命题的序号是________．【解析】 对于①，命题的否命题为“如果x2＋x－6＜0，则x≤2”，由x2＋x－6＜0，得－3＜x＜2，能得到x≤2，是真命题；对于②，“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”为假命题，例如a＝2≥1，b＝－1，则a＋b＝1＜2，故②是假命题；对于③，命题“若x＝y，则sin x＝sin y”为真命题，所以它的逆否命题为真命题，故③错误．【答案】 ①4．已知命题p：函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个不等的负零点；命题q：函数g(x)＝4x2＋4(m－2)x＋1无零点．若命题p和q只有一个为真命题，求实数m的取值范围．【解】 ∵命题p：函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个不等的负零点，∴方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根，∴Error!解得m>2.又∵命题q：函数g(x)＝4x2＋4(m－2)x＋1无零点，∴方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0没有实数根，∴Δ＝16(m－2)2－16<0，解得1<m<3.若命题p为真，命题q为假，则m≥3.若命题p为假，命题q为真，则1<m≤2.综上可知，实数m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞).。
高二数学试题-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题14 最新
学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．方程|x |＋|y |＝1表示的曲线是( )【解析】 原方程可化为⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ＝1，或⎩⎨⎧ x ≥0，y ≤0，x －y ＝1，或⎩⎨⎧x ≤0，y ≤0，x ＋y ＝－1，或 ⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，－x ＋y ＝1. 作出其曲线为D. 【答案】 D2．方程4x 2－y 2＋4x ＋2y ＝0表示的曲线是( ) A ．一个点B ．两条互相平行的直线C ．两条互相垂直的直线D ．两条相交但不垂直的直线 【解析】 ∵4x 2－y 2＋4x ＋2y ＝0， ∴(2x ＋1)2－(y －1)2＝0， ∴2x ＋1＝±(y －1)，∴2x ＋y ＝0或2x －y ＋2＝0，这两条直线相交但不垂直． 【答案】 D3．已知定点A (－1,0)，B (1,0)，动点P 满足直线P A ，PB 的斜率之积为－1，则动点P 满足的方程是( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)C．x2＋y2＝1(x≠0) D．y＝1－x2(x≠±1)【解析】设动点P的坐标为(x，y)，则k P A＝yx＋1(x≠－1)，k PB＝yx－1(x≠1)．∵k P A·k PB＝－1，∴yx＋1·yx－1＝－1，整理得x2＋y2＝1(x≠±1)．【答案】 B4．已知两定点A(－2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|P A|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π【解析】根据题意，用直译法．设动点P的坐标为(x，y)，由已知|P A|＝2|PB|，得(x＋2)2＋y2＝2(x－1)2＋y2，两边平方，得x2＋4x＋4＋y2＝4x2－8x ＋4＋4y2，化简得(x－2)2＋y2＝4.所以P点的轨迹是半径为2的圆，所以面积是4π.【答案】 B5．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.4x221－4y225＝1 B．4x221＋4y225＝1C.4x225－4y221＝1 D．4x225＋4y221＝1【解析】∵M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C、A为焦点的椭圆，∴a＝52，c＝1，则b2＝a2－c2＝214，∴其标准方程为4x225＋4y221＝1.【答案】 D 二、填空题6．若曲线C ：xy ＋3x ＋ky ＋2＝0，当k ＝________时，曲线经过点(2，－1)．【导学号：32550183】【解析】 将点(2，－1)代入曲线C 的方程xy ＋3x ＋ky ＋2＝0，由曲线与方程的概念知，方程成立，即2×(－1)＋3×2＋k ×(－1)＋2＝0，解得k ＝6.【答案】 67．已知点M 到定点F (1,0)的距离和它到定直线l ：x ＝4的距离的比是常数12，设点M 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的轨迹方程是________．【解析】 设点M (x ，y )则 (x －1)2＋y 2|x －4|＝12整理得x 24＋y 23＝1.【答案】 x 24＋y 23＝18．下列结论正确的是________．(填序号) ①方程xy －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线； ②△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AD 的方程是x ＝0；③到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；④曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0.【解析】 ①③不符合曲线与方程概念中的条件(1)；②不满足曲线与方程概念中的条件(2)；只有④正确．【答案】 ④ 三、解答题9．光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．【解】 由⎩⎨⎧ x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2.即反射点M 的坐标为(－1,2)．又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5,0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，Q 点在l 上，即3·x 0－52－2·y 02＋7＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32(x 0－5)－y 0＋7＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.10．A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，已知|BC |＝4，A 到l 的距离为3，求△ABC 的外心的轨迹．【解】 建立平面直角坐标系，使x 轴与l 重合，A 点在y 轴上(如图所示)，则A (0,3)．设外心P (x ，y )．∵P 在BC 的垂直平分线上， ∴B (x ＋2,0)，C (x －2,0)．∵P 也在AB 的垂直平分线上，∴|P A |＝|PB |， 即x 2＋(y －3)2＝22＋y 2. 化简，得x 2－6y ＋5＝0.故外心的轨迹方程为x2－6y＋5＝0.所以，△ABC的外心的轨迹是抛物线x2－6y＋5＝0.[能力提升]1.如图3-4-1，△P AB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，若tan∠ADP＋2tan∠BCP＝10，则点P在平面α内的轨迹是()图3-4-1A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【解析】由题意可得P AAD＋2PBBC＝10，则P A＋PB＝40＞AB＝6，又因P、A、B三点不共线，故点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆的一部分，故选B.【答案】 B2．在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L－距离”定义为||P1P2|＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L－距离”之和等于定值(大于||F1F2|)的点的轨迹可以是()【解析】 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x ，y )，则点P 满足：||PF 1|＋||PF 2|＝2a (2a >||F 1F 2|)，代入坐标，得|x ＋c |＋|x －c |＋2|y |＝2a .当y >0时，y ＝⎩⎨⎧x ＋a ，x <－c ，a －c ，－c ≤x ≤c ，－x ＋a ，x >c ；当y ≤0时，y ＝⎩⎨⎧－x －a ，x <－c ，c －a ，－c ≤x ≤c ，x －a ，x >c .所以图像应为A.【答案】 A3．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称； ③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中，所有正确结论的序号是________．【解析】 设曲线C 上任一点P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2，可得(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2(a ＞1)，将原点(0,0)代入等式不成立，故①不正确． ∵点P (x ，y )在曲线C 上，点P 关于原点的对称点P ′(－x ，－y )，将P ′代入曲线C 的方程等式成立，故②正确．设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确． 【答案】 ②③4．如图3-4-2所示，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN (M 、N )为切点，使得|PM |＝2|PN |.试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图3-4-2【解】 以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)．由已知|PM|＝2|PN|，∴|PM|2＝2|PN|2.又∵两圆的半径均为1，∴|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33.∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.。
高二数学北师大版选修1-2学业分层测评10 Word版含答案
学业分层测评(十)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．若，∈，则>成立的一个充分不必要条件是( )．>．>．(－)<．<<【解析】由<<⇒<<⇒>，但>不能推出<<，∴<<是>成立的一个充分不必要条件．【答案】．求证：－>－.证明：要证－>－，只需证＋>＋，即证＋＋>＋＋，即证>，∵>，∴原不等式成立．以上证明应用了( )．分析法．综合法．分析法与综合法配合使用．间接证法【解析】该证明方法符合分析法的定义，故选.【答案】．要证＋－－≤，只要证明( )．－－≤．＋－－≤－－≤．(－)(－)≥【解析】要证＋－－≤，只要证明(－)＋(－)≤，只要证明(－)(－)≤，即证(－)(－)≥.【答案】．在不等边三角形中，为最大边，要想得到∠为钝角的结论，三边，，应满足什么条件( )．＝＋．<＋．≤＋．>＋【解析】由余弦定理得＝<，∴＋－<，即＋<.【答案】．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设>>，且＋＋＝，求证：<”，索的因应是( )．－>．－>．(－)(－)<．(－)(－)>【解析】由题意知<⇐－<⇐＋(＋)<⇐＋＋<⇐＋<⇐－－>⇐－＋－>⇐(－)＋(＋)(－)>⇐(－)－(－)>⇐(－)(－)>，故选.【答案】二、填空题．设＝＋，＝(>，>)，则，的大小关系为．【解析】∵－＝－＝＝≥，∴≥.【答案】≥．如果>，则实数，应满足的条件是．【解析】要使>成立，只需()>()，只需>>，即，应满足>>.【答案】>>．如图--，四棱柱-的侧棱垂直于底面，满足时，⊥.(写出一个条件即可)。
高中数学选修1-2学业分层测评12.docx
学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．－(2－2i)的虚部是( )A．－2 B．－ 2C. 2 D．2【解析】∵－(2－2i)＝－2＋2i，∴其虚部是 2.【答案】 C2．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵sin 2>0，cos 2<0，∴复数z对应的点(sin 2，cos 2)在第四象限．故选D.【答案】 D3．若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝( )A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2i【解析】由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i.【答案】 B4．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )A．a≠2或a≠1 B．a≠2，且a≠1C．a＝0 D．a＝2或a＝0【解析】由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2.故选D.【答案】 D5．如果复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z＝( )A ．－34＋iB.34－i C ．－34－iD ．34＋i【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝34，b ＝1，即z ＝34＋i.【答案】 D 二、填空题6．设i 为虚数单位，若复数z ＝(m 2＋2m －3)＋(m －1)i 是纯虚数，则实数m ＝__________.【解析】 依题意有⎩⎨⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3.【答案】 －37．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是__________．【解析】 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，所以所求的复数是3－3i.【答案】 3－3i8．复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________．【解析】 ∵|z |＝3，∴(x ＋1)2＋(y －2)2＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．【答案】 以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆 三、解答题9．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时； (1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z ＝12－4i?【解】 (1)∵z ∈R ， ∴⎩⎨⎧ m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3，∴当m ＝－3时，z ∈R . (2)∵z 是虚数， ∴⎩⎨⎧m 2＋2m －3≠0，m －1≠0，即⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－3，m ≠1，∴当m ≠1且m ≠－3时，z 是虚数． (3)∵z 是纯虚数，∴⎩⎨⎧m 2＋2m －3≠0，m (m ＋2)m －1＝0，即⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－3，m ＝0或m ＝－2，∴当m ＝0或m ＝－2时，z 是纯虚数． (4)∵z ＝12－4i ，∴⎩⎨⎧m (m ＋2)m －1＝12，m 2＋2m －3＝－4，即⎩⎨⎧m ＝－1或－12，m ＝－1，∴m ＝－1时，z ＝12－4i.10．已知O 为坐标原点，OZ →1对应的复数为－3＋4i ，OZ →2对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若OZ →1与OZ →2共线，求a 的值．【解】 因为OZ →1对应的复数为－3＋4i ，OZ →2对应的复数为2a ＋i ，所以OZ →1＝(－3,4)，OZ →2＝(2a,1)．因为OZ →1与OZ →2共线，所以存在实数k 使OZ →2＝kOZ →1，即(2a,1)＝k (－3,4)＝(－3k,4k )，所以⎩⎨⎧2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，a ＝－38，即a 的值为－38.[能力提升]1．若复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为( )A ．－7B ．－17C ．7D ．－7或－17【解析】 ∵复数z 是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－35＝0，cos θ－45≠0，∴sin θ＝35且cos θ≠45，∴cos θ＝－45.∴tan θ＝sin θcos θ＝－34.∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7，故选A.【答案】 A2．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°，且复数z 的模为2，则复数z 为( )A ．1＋3iB ．2C ．(－1, 3)D ．－1＋3i【解析】 设复数z 对应的点为(x ，y )，则 x ＝|z |·cos 120°＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y ＝|z |·sin 120°＝2×32＝3， ∴复数z 对应的点为(－1, 3)，∴z ＝－1＋3i.【答案】 D3．复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为__________．【解析】复数z＝－5－12i在复平面内对应点Z(－5，－12)，所以点Z 与原点O的距离为|OZ|＝(－5)2＋(－12)2＝13.【答案】134．若m为实数，z1＝(m2＋1)＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝(4m＋2)＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1<z2的m的值的集合又是什么？【导学号：67720024】【解】当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，解得m＝0或m＝－1或m＝－2，∴z1＝1或z1＝2或z1＝5.当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，解得m＝0或m＝1或m＝4，∴z2＝2或z2＝6或z2＝18.上面m的公共值为m＝0，此时，z1与z2同时为实数，且z1＝1，z2＝2.∴当z1>z2时，m值的集合为空集；当z1<z2时，m值的集合为{0}．。
2018-2019学年高二数学选修2-1学业分层测评2.6.2 求曲线的方程
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足·＝x 2－6，则点P 的轨PA→ PB → 迹方程是________．【解析】 ＝(3－x ，－y )，＝(－2－x ，－y )，PB → PA→ ∴·＝(3－x )·(－2－x )＋y 2＝x 2－x －6＋y 2＝x 2－6，∴y 2＝x .PA→ PB → 【答案】 y 2＝x2．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的__________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】 必要不充分3．平面内有两定点A ，B ，且AB ＝4，动点P 满足|＋|＝4，则点P 的PA→ PB → 轨迹方程是________．【解析】 以AB 的中点为原点，以AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设A (－2,0)，B (2,0)．∵|＋|＝|2|＝4，PA → PB → PO→ ∴||＝2.PO → 设P (x ，y )，∴＝2，即x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2∴点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝4.【答案】 x 2＋y 2＝44．已知定点F (1,0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且·＝0，延长MP 到点N ，使得||＝||，则点N 的轨迹方程是PM → PF → PM → PN→ __________________．【解析】 由于||＝||，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x,0)，PM → PN→ P ，由·＝0，得·＝0，所以(0，y2)PM → PF → (－x ，－y 2)(1，－y2)(－x )·1＋·＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .(－y 2)(－y2)【答案】 y 2＝4x5．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是________．【解析】 由两点式，得直线AB 的方程是＝，即y －04－0x ＋12＋14x －3y ＋4＝0，AB ＝＝5.设C 点的坐标为(x ，y )，则×5×(2＋1)2＋4212＝10，|4x －3y ＋4|5即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.【答案】 4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝06．(2016·沈阳高二检测)已知AB ＝3，A ，B 分别在x 轴和y 轴上滑动，O 为坐标原点，＝＋，则动点P 的轨迹方程是________.OP → 23OA → 13OB→ 【导学号：09390060】【解析】 设P (x ，y )，A (x 0,0)，B (0，y 0)．∵AB ＝3，∴x ＋y ＝9，＝(x ，y )＝＋＝(x 0,0)＋(0，y 0)2020OP → 23OA → 13OB → 2313＝.(23x 0，13y 0)所以Error!即Error!又x ＋y ＝9，所以x 2＋9y 2＝9，即＋y 2＝1.202094x 24【答案】 ＋y 2＝1x 247．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．【解析】 如图，AD ＝AE ＝8，BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ，所以CA －CB ＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x >3)．x 29y 216【答案】 －＝1(x >3)x 29y 2168．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若＝，则点P 的轨迹方程是________．RA→ AP → 【解析】 ∵＝，∴R ，A ，P 三点共线，且A 为RP 的中点，设RA→ AP → P (x ，y )，R (x 1，y 1)，则由＝，得(1－x 1，－y 1)＝(x －1，y )，则Error!即RA→ AP → x 1＝2－x ，y 1＝－y ，将其代入直线y ＝2x －4中，得y ＝2x ，∴点P 的轨迹方程为y ＝2x .【答案】 y ＝2x 二、解答题9．已知点Q 在椭圆C ：＋＝1上，点P 满足＝(＋)(其中x 216y 210OP → 12OF1→ OQ → O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，求点P 的轨迹方程．【解】 因为点P 满足＝(＋)，所以P 是线段 QF 1的中点，设OP → 12OF1→ OQ → P (x ，y )，由于F 1为椭圆C ：＋＝1的左焦点，则F 1(－，0)，故Qx 216y 2106，由点Q 在椭圆C ：＋＝1上，则点P 的轨迹方程为(2x ＋6，2y )x 216y 210＋＝1，故点P 的轨迹方程为＋＝1.(2x ＋6)216(2y )210(2x ＋3)282y 2510．如图264，过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．图264【解】 法一：设点M 的坐标为(x ，y )．∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y )．∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2,4)，∴PA ⊥PB ，k PA ·k PB ＝－1.而k PA ＝(x ≠1)，k PB ＝，∴·＝－1(x ≠1)．4－02－2x 4－2y2－021－x 2－y1整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二：设M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y )，连结PM .∵l 1⊥l 2，∴2PM ＝AB .而PM ＝，(x －2)2＋(y －4)2AB ＝，(2x )2＋(2y )2∴2＝，(x －2)2＋(y －4)24x 2＋4y 2化简，得x ＋2y －5＝0，即为所求轨迹方程．法三：∵l 1⊥l 2，OA ⊥OB ，∴O ，A ，P ，B 四点共圆，且该圆的圆心为M ，∴MP ＝MO ，∴点M 的轨迹为线段OP 的垂直平分线．∵k OP ＝＝2，OP 的中点坐标为(1,2)，4－02－0∴点M 的轨迹方程是y －2＝－(x －1)，12即x ＋2y －5＝0.[能力提升]1．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是________．【解析】 设P (x ，y )，∵△MPN 为直角三角形，∴MP 2＋NP 2＝MN 2，∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得x 2＋y 2＝4.∵M ，N ，P 不共线，∴x ≠±2，∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．【答案】 x 2＋y 2＝4(x ≠±2)2．P 是椭圆＋＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标x 2a 2y 2b 2原点，＝1＋2，则动点Q 的轨迹方程是________．OQ→ PF → PF → 【解析】 由＝1＋2，又1＋2＝＝2OQ → PF → PF → PF→ PF → PM →＝－2，PO → OP → 设Q (x ，y )，则＝－OP → 12OQ→ ＝－(x ，y )＝，12(－x2，－y2)即P 点坐标为，又P 在椭圆上，(－x 2，－y 2)则有＋＝1，即＋＝1.(－x 2)2a 2(－y2)2b 2x 24a 2y 24b 2【答案】 ＋＝1x 24a 2y 24b 23．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆x 2＋2y 2＝4交于A ，B 两点，P 是l 上满足·＝1的点，则点P 的轨迹方程是________．PA→ PB → 【解析】 如图，设P 点的坐标为(x ，y )，则由方程x 2＋2y 2＝4得2y 2＝4－x 2，∴y ＝±，4－x 22∴A ，B 两点的坐标分别为，.(x ，4－x 22)(x ，－4－x 22)又·＝1，PA→ PB → ∴·＝1，(0，4－x 22－y )(0，－4－x 22－y)即y 2－＝1，4－x 22∴＋＝1.x 26y 23又直线l 与椭圆交于两点，∴－2<x <2，∴点P 的轨迹方程为＋＝1(－2<x <2)．x 26y 23【答案】 ＋＝1(－2<x <2)x 26y 234．过点A (2,1)的直线l 与椭圆＋y 2＝1相交，求l 被截得的弦的中点的轨x 22迹方程．【解】 法一：设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y －1＝k (x －2)，设弦两端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为M (x ，y )，则把l 方程代入椭圆方程消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(1－2k )2－2＝0，Δ＝16k 2(1－2k )2－8(1＋2k 2)[(1－2k )2－1]>0，得－2k 2＋4k >0，∴0<k <2，x ＝＝－.x 1＋x 222k (1－2k )1＋2k 2∵中点满足Error!消去k 得轨迹方程x 2＋2y 2－2x －2y ＝0，所以弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0(椭圆内部)．法二：设弦两端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为M (x ，y )，由Error!得＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＝0，∴＝－×，又∵k PQ ＝k AM ，∴＝－×，∴2y (y －1)y 1－y 2x 2－x 112x 1＋x 2y 1＋y 2y －1x －212xy ＝－x (x －2)，即x 2＋2y 2－2x －2y ＝0，所以弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0(椭圆内部)．。
2019-2020学年高二数学选修1-2学业分层测评 1.2 回归分析
学业分层测评(二)第1章 1.2 回归分析(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.如图1-2-1所示，对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2).由这两个散点图可以判断________.图1-2-1①变量x与y正相关，u与v正相关②变量x与y正相关，u与v负相关③变量x与y负相关，u与v正相关④变量x与y负相关，u与v负相关【解析】 由图(1)知，x与y是负相关，由图(2)知，u与v是正相关，故③正确.【答案】 ③2.设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过计算得到的线性回归直线(如图1-2-2)，以下结论正确的是________.(填序号)图1-2-2①x 和y 的相关系数为直线l 的斜率②x 和y 的相关系数在0到1之间③当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同④直线l 过点(，)x - y - 【答案】 ④3.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元)4235销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程＝x ＋中的为9.4，据此模型，预报广告费用为y ^ b ^ a ^ b^6万元时销售额为________万元.【解析】样本中心点是(3.5,42)，则＝-＝42-9.4×3.5＝9.1，所以回归a ^ y - b ^ x- 直线方程是＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入得＝65.5.y ^ y^ 【答案】 65.54.对两个具有线性相关关系的变量进行回归分析时，得到一个回归方程＝1.5x ＋45，x ∈{1,5,7,13,14}，则＝________.y ^ y- 【解析】由＝8，得＝1.5×8＋45＝57.x - y- 【答案】 575.已知x ，y 的取值如下表：x0134y 2.2 4.3 4.8 6.7画出散点图，从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且＝0.95x ＋，则y ^ a ^ ＝________.a^【导学号：97220005】【解析】因为回归方程必过样本点的中心(，)，解得＝2，＝4.5，x - y - x - y- 将(2,4.5)代入＝0.95x ＋可得＝2.6.y ^ a ^ a ^ 【答案】 2.66.一轮又一轮的寒潮席卷全国.某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：月平均气温x /℃171382月销售量y /件24334055由表中数据算出线性回归方程＝x ＋中的≈-2.气象部门预测下个月的平y ^ b ^ a ^ b^均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量的件数约为________.【解析】 ∵样本点的中心为(10,38)，∴38＝-2×10＋.a^ ∴＝58，即＝-2x ＋58.a ^ y^ ∴当x ＝6时，y ＝46.【答案】 467.对具有线性相关关系的变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，它们之间的线性回归方程是y ＝3x ＋20，若i ＝18，则i ＝________.10∑i ＝1x 10∑i ＝1y【解析】 由于i ＝18，10∑i ＝1x则＝1.8，∵(，)在回归方程上，x - x - y- ∴＝3×1.8＋20＝25.4，y- ∴i ＝10＝254.10∑i ＝1yy - 【答案】 2548.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________.【解析】 由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得-5＝1.23(x -4)，即＝1.23x ＋0.08.y ^ y^【答案】 ＝1.23x ＋0.08y^ 二、解答题9.对于数据组：x 1234y1.94.16.17.9(1)作散点图，你能直观上得到什么结论；(2)求线性回归方程.【解】 (1)作图略.x ，y 具有很好的线性相关性.(2)设＝＋x ，y ^ a ^ b ^ 因为＝2.5，＝5，x i y i ＝60，x - y - ∑4i ＝1x ＝30，∑4i ＝12i故＝＝2，b^ 60-4×2.5×530-4×2.52＝-＝5-2×2.5＝0，a ^ y - b ^ x- 故所求的回归直线方程为＝2x .y^ 10.下表为某地近几年机动车辆数与交通事故的统计资料，求出y 关于x 的线性回归方程.机动车辆数x /千台95110112120129135150180交通事故数y /千件6.27.57.78.58.79.810.213【解】 x i ＝1 031，y i ＝71.6，x ＝137 835，x i y i ＝9 ∑8 i ＝1∑8 i ＝1∑8i ＝12i ∑8i ＝1611.7，＝128.875，＝8.95，将它们代入x - y- Error!计算得≈0.077 4.＝-1.025，b ^ a ^ 所以，所求线性回归方程为＝0.077 4x -1.025.y^[能力提升]1.已知x 与y 之间的几组数据如下表：x 123456y21334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x ＋.若某同学根据上表中y ^ b ^ a^ 的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则__________b ′，______a ′(填><＝).b ^ a^ 【解析】 ＝＝，x 1＋2＋3＋4＋5＋6672＝＝，y 0＋2＋1＋3＋3＋46136＝＝，b^n∑i ＝1xiyi -nx yn∑i ＝1x 2i -nx 257＝-＝-，a ^ y b^x 13b ′＝＝2>，a ′＝-2<.2-02-1b ^ a^ 【答案】 < >2.(2016·徐州月考)已知对一组观测值(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )作出散点图后，确定具有线性相关关系，若对于＝＋x ，求得y ^ a ^ b^＝0.51，＝61.75，＝38.14，则线性回归方程为________.b ^ x - y- 【解析】 ∵＝-＝38.14-0.51×61.75a ^ y - b ^ x- ＝6.647 5≈6.65.∴＝0.51x ＋6.65.y^ 【答案】 y ＝0.51x ＋6.653.(2016·南京检测)若线性回归方程中的回归系数＝0，则相关系数b^ r ＝________.【解析】 ＝，b^n∑i ＝1(xi -x - )(yi -y -)n∑i ＝1(xi -x -)2r ＝n∑i ＝1(xi -x - )(yi -y -)n∑i ＝1(xi -x - )2n∑i ＝1(yi -y -)2由计算公式知，若b ＝0，则r ＝0.【答案】 04.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x (℃)101113128发芽y (颗)2325302616该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，剩下的2组数据用于回归方程检验.(1)若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程＝x ＋；y ^ b ^ a^ (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？(3)请预测温差为14 ℃的发芽数.【导学号：97220006】【解】 (1)由数据求得，＝12，＝27，x y 由公式求得，＝，＝-＝-3.b ^ 52a ^ y b^ x 所以y 关于x 的线性回归方程为＝x -3.y^ 52(2)当x ＝10时，＝×10-3＝22，|22-23|<2；y^ 52当x ＝8时，＝×8-3＝17，|17-16|<2.y^ 52所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的.(3)当x ＝14时，有＝×14-3＝35-3＝32，y^ 52所以当温差为14 ℃时的发芽数约为32颗.。
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学业分层测评(十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若a ，b ∈R ，则1a 3>1
b 3成立的一个充分不必要条件是( ) A ．ab >0 B ．b >a C ．a <b <0
D ．ab (a －b )<0
【解析】 由a <b <0⇒a 3
<b 3
<0⇒1a 3>1b 3，但1a 3>1
b 3不能推出a <b <0， ∴a <b <0是1a 3>1
b 3成立的一个充分不必要条件． 【答案】 C
2．求证：7－1>11－ 5. 证明：要证7－1>11－5， 只需证7＋5>11＋1，
即证7＋27×5＋5>11＋211＋1，即证35>11， ∵35>11， ∴原不等式成立． 以上证明应用了( ) A ．分析法 B ．综合法
C ．分析法与综合法配合使用
D ．间接证法
【解析】 该证明方法符合分析法的定义，故选A. 【答案】 A
3．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0
B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b
42≤0
C.(a＋b)2
2－1－a
2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
【解析】要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要证明(a2－1)(1－b2)≤0，即证(a2－1)(b2－1)≥0.
【答案】 D
4．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件()
A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2
C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2
【解析】由余弦定理得
cos A＝b2＋c2－a2
2bc<0，
∴b2＋c2－a2<0，
即b2＋c2<a2.
【答案】 C
5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a”，索的因应是()
A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
【解析】由题意知b2－ac<3a⇐b2－ac<3a2
⇐b2＋a(a＋b)<3a2⇐b2＋a2＋ab<3a2
⇐b2＋ab<2a2⇐2a2－ab－b2>0
⇐a2－ab＋a2－b2>0⇐a(a－b)＋(a＋b)(a－b)>0
⇐a(a－b)－c(a－b)>0⇐(a－b)(a－c)>0，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．设A＝1
2a＋
1
2b，B＝
2
a＋b
(a>0，b>0)，则A，B的大小关系为________．
【解析】∵A－B＝a＋b
2ab－
2
a＋b
＝
(a＋b)2－4ab
2ab(a＋b)
＝
(a－b)2
2ab(a＋b)
≥0，∴A≥B.
【答案】A≥B
7．如果a a>b b，则实数a，b应满足的条件是________．
【解析】要使a a>b b成立，只需(a a)2>(b b)2，只需a3>b3>0，即a，b 应满足a>b>0.
【答案】a>b>0
8．如图3-3-7，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C.(写出一个条件即可)
图3-3-7
【解析】要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.
【答案】AC⊥BD(或底面为菱形)
三、解答题
9．设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
【证明】法一：分析法
要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，
又因a＋b>0，
只需证a2－ab＋b2>ab成立，
只需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，
由此命题得证．
法二：综合法
a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2>0⇒a2－2ab＋b2>0⇒a2－ab＋b2>ab.
注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得
(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，
∴a3＋b3>a2b＋ab2.
10．已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥43 S.
【证明】要证a2＋b2＋c2≥43S，
只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2ab cos C)≥23ab sin C，
即证a2＋b2≥2ab sin(C＋30°)，
因为2ab sin(C＋30°)≤2ab，
只需证a2＋b2≥2ab，
显然上式成立，所以a2＋b2＋c2≥43S.
[能力提升]
1．已知a，b，c，d为正实数，且a
b<
c
d，则()
A.a
b<
a＋c
b＋d
<
c
d B.
a＋c
b＋d
<
a
b<
c
d
C.a
b<
c
d<
a＋c
b＋d
D．以上均可能
【解析】先取特殊值检验，∵a
b<
c d，
可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，
则a＋c
b＋d
＝
2
5，满足
a
b<
a＋c
b＋d
<
c
d.
∴B，C不正确．
要证a
b<
a＋c
b＋d
，∵a，b，c，d为正实数，
∴只需证a(b＋d)<b(a＋c)，即证ad<bc.
只需证a
b<
c
d，而
a
b<
c
d成立，
∴a
b<
a＋c
b＋d
.同理可证
a＋c
b＋d
<
c
d.故A正确，D不正确．
【答案】 A
2．下列不等式不成立的是() A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
B.a ＋b >a ＋b (a >0，b >0)
C.a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)
D.2＋10>2 6
【解析】 对于A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；
对于B ，∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴a ＋b >a ＋b ； 对于C ，要证a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)成立，只需证明a ＋a －3<a －2＋a －1，两边平方得2a －3＋2a (a －3)<2a －3＋
2(a －2)(a －1)，即a (a －3)<(a －2)(a －1)，两边平方得a 2－3a <a 2－3a ＋2，即0<2.因为0<2显然成立，所以原不等式成立；
对于D ，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)<0，∴2＋10<26，故D 错误．
【答案】 D
3．使不等式3＋22>1＋p 成立的正整数p 的最大值是________． 【解析】 由3＋22>1＋p ，得p <3＋22－1， 即p <(3＋22－1)2， 所以p <12＋46－42－23，
由于12＋46－42－23≈12.7，因此使不等式成立的正整数p 的最大值是12.
【答案】 12
4．已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0<x <1，求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x
a ＋c
2
<log x a ＋log x b ＋log x c . 【证明】 要证明log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c
2<log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫
a ＋
b 2·b ＋
c 2·a ＋c 2<log x (abc )，
而已知0<x <1，故只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c
2>abc . ∵a ，b ，c 是不全相等的正数，
∴a＋b
2≥ab>0，
b＋c
2≥bc>0，
a＋c
2≥ac>0，
∴a＋b
2·
b＋c
2·
a＋c
2>a
2b2c2＝abc，
即a＋b
2·
b＋c
2·
a＋c
2>abc成立，
∴log x a＋b
2＋log x
b＋c
2＋log x
a＋c
2<log x a＋log x b＋log x c成立．。