刚体力学

2、说明 、
•转动惯量是标量； 转动惯量是标量； 转动惯量是标量 •转动惯量有可加性； 转动惯量有可加性； 转动惯量有可加性 •单位：kg·m2 单位： 单位
Δ mi
3、转动惯量的计算 、
若质量离散分布
J＝∑ ∆m i ri
i
2
若质量连续分布
J = ∫ r dm
2
故
∑ M ＝∑ ∆m r
i
2
i i
在垂直于转轴的平面内 力臂： 力臂：转轴和力的作用线 之间的距离d称为力对转 之间的距离 称为力对转 轴的力臂。 轴的力臂。 力矩： 力矩：力的大小与力臂的 乘积，称为力F对转轴的 乘积，称为力 对转轴的 力矩。 力矩。M=Fd o r d F φ
z 情况3： 情况 ：
若力F不在垂直于转轴的平面内 若力 不在垂直于转轴的平面内 与转轴平行的分力F 与转轴平行的分力 1， 在垂直与转轴平面内的分力F 在垂直与转轴平面内的分力 2 只有分力F 只有分力 2才对刚体的转动状态有 影响。 影响。
对 解： M：M ′＝T1 R＝Jα
对m : mg − T1 = ma
解方程得： 解方程得：
1 2 J＝ MR 2
m a = m + M
a = Rα
g 2
4mgh v = 2ah = 2m + M v 1 4mgh ω= = R R 2m + M
r = Rsinθ
R sin θ dθ
m dm = 2π rRdθ 2 4πR
J = ∫ r 2dm
π
= 2∫ mR2 sin3 θdθ
0
2
2 = mR2 3
例5、质量为m 半径为 的匀质球体绕过球心轴的转动惯量 质量为 半径为R 把球体看作无数个同心薄球壳的组合
M
R
3m 2 dm = 4πr dr = 3 r dr 4 3 R πR 3
第四章
刚体力学
引言
物体的形状和大小不发生变化，即物体内任意两 物体的形状和大小不发生变化， 点之间的距离都保持不变——刚体。 点之间的距离都保持不变
说明 1) 理想化的力学模型； 2) 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变；
3)刚体可以看成是无数质点组成的质点系 刚体可以看成是无数质点组成的质点系 刚体可以看成一个包含由大量质点、 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距离保持不变 的质点系。 的质点系。
例1、求长为L、质量为 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯 求长为 、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯 量。 B A 取如图坐标， = 解：取如图坐标，dm=λdx X L L 2 2
JA =
∫

x λ dx = mL / 3
JC =
∫
L 2 L − 2
x 2 λ dx = mL 2 / 12
A L/2
法向力
质点的角加速度与质点所受的力矩成正比 2、内力矩 、 两个内力的合力矩为零。 两个内力的合力矩为零。 推广：刚体的内力力矩之和为零。 推广：刚体的内力力矩之和为零。 f f’
d
3、刚体的情况 、
把刚体看成是由许多质点所组 成的，对于质点i， 成的，对于质点 ，假设它的质 量为△ 所受的外力为F 量为△mi，所受的外力为 i， 内力为f 内力为 i，则 2 i i i
dθ
复杂运动= 平动+ 复杂运动 平动 转动
4-1 刚体的定轴转动
一、刚体运动
1、平动 、
平动是刚体的一种基本运动形式， 平动是刚体的一种基本运动形式 ，刚体做 平动时，刚体上所有点运动都相同， 平动时 ， 刚体上所有点运动都相同 ， 可用其上 任何一点的运动来代表整体的运动。 任何一点的运动来代表整体的运动。
62 .5 θ −θ0 N = = = 10圈。 2π 2 × 3.14
例: 一条缆索绕过一定滑论拉动一升降机,滑 一条缆索绕过一定滑论拉动一升降机 滑 论半径为 0.5m, 如果升降机从静止开始以
a = 0.4 m
(1) 滑轮的角加速度。 滑轮的角加速度。 (2) 开始上升后 秒末滑轮的角速度 开始上升后,5 (3) 在这5 秒内滑轮转过的圈数。 在这5 秒内滑轮转过的圈数。 (4) 开始上升后 秒末滑轮边缘上 开始上升后,1 一点的加速度(不打滑 一点的加速度 不打滑) 。 不打滑
当刚体中所有点的运动轨迹都 保持完全相同时 或者说刚体 保持完全相同时，或者说刚体 内任意两点间的连线总是平行 于它们的初始位置间的连线时， 于它们的初始位置间的连线时 刚体的运动叫作平动。
2、转动 、
刚体中所有的点都绕同一 条直线作圆周运动， 条直线作圆周运动，这种 运动称为转动。这条直线 叫作转轴。
s
2
匀加速上升， 匀加速上升，求：
r
解: (1) 轮缘上一点的切向加速度与
a
物体的加速度相等
a β = r
= 0 . 8 rad s2
(2) (3)
ω = β t = 0.8×5 = 4(rad s )
1 2 1 2 θ = β t = × 0.8×5 = 10 ( rad ) 2 2 圈
r
(4)
α=
ω－ω 0
t
10 − 15 = = −1rad/s 2 5
(2) 利用公式
2 ω 2 − ω0 102 − 152 θ −θ0 = = = 62.5rad 2α 2 × (−1)
ω 0 = 10 rad/s ω =0 ω −ω0 t= α
5秒内转过的圈数 秒内转过的圈数
0 − 10 = = 10 s −1
dr r
R
dm = σ ⋅ 2πrdr
dJ = r dm = σ ⋅ 2πr dr
2 3
J =
∫ dJ
=
∫
R 0
1 σ ⋅ 2 π r dr = σπ R 2
3
4
m Qσ = πR 2 1 ∴ J = mR 2
2
内半径为R 外半径为R 质量为m 例 3 、 内半径为 1 外半径为 2 质量为 的匀质中空圆柱绕 其对称轴的转动惯量
α 可写为：
dω M = Jα = J dt
刚体定轴 转动定律
dω M = Jα = J dt
讨论： 讨论：
一定， （1） M 一定，J 惯性大小的量度； 惯性大小的量度；
α
转动惯量是转动
的符号： （2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正； 的力矩为正； （3）J 和质量分布有关； 和质量分布有关； 和转轴有关， （4）J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。 动惯量不同。
1、引入 、
外力对刚体转动的影响，与力的大小、 外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的 位置有关。 位置有关。
•力通过转轴：转动状态不改变 力通过转轴： 力通过转轴 •力离转轴远： 力离转轴远： 力离转轴远 容易改变 •力离转轴近： 力离转轴近： 力离转轴近 2、力对点的力矩 、
不易改变
F
2
ω
三、匀变速转动
当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内， 当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内，角速度 的增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变速转动。 的增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变速转动。
角加速度 角速度 角位移 角位置
α＝const ω＝ω 0 + α t 1 2 ∆ θ＝ ω 0 t + α t 2 1 2 θ＝θ 0＋ω 0 t + α t 2 ω
M
M＝Fr sin θ ＝
v v v M = r ×F
O r
F
r
θ
3、力对转轴的力矩 、
力对O点的力矩在通过 点的轴上的 力对 点的力矩在通过O点的轴上的 点的力矩在通过 投影称为力对转轴的力矩
•情况 ：力与轴平行，则M=0 情况1：力与轴平行， 情况 •情况 ：刚体所受的外力 情况2：刚体所受的外力F 情况
ω' = β t ' = 0.8(rad / s)
an = r ω
a
2
( )
2 n
' 2
= 0.32 m / s
2 t
(
a =
'
a + a
= 0.51 m
( s)
2
)
at
合加速度的方向与轮缘切线方向夹角
a
α
an α = arctan = 38.70 at
an
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
一、力矩
C L/2
B X
例2、求质量为m、半径为 的均匀圆环的转 求质量为 、半径为R的均匀圆环的转 动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。 动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。 解：
J = ∫ R dm = R ∫ dm = mR
2 2
2
O
R dm
例2、求质量为m、半径为R均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平 求质量为 、半径为 均匀圆盘的转动惯量。 均匀圆盘的转动惯量 面垂直并通过盘心。 面垂直并通过盘心。 宽为d 的薄圆环, 解：取半径为r宽为dr的薄圆环, 取半径为 宽为 的薄圆环
2
m
2 J = ∫ dJ = ∫ ⋅ dm⋅ r 2 3
2m 4 = 3 ∫ r dr R 0 2 = mR2 5
R
4、几种刚体的转动惯量 、
•垂直于杆的轴通过杆的中心 垂直于杆的轴通过杆的中心 • 杆的端点 •对通过盘心垂直盘面的转轴 对通过盘心垂直盘面的转轴 J=M l 2/12 J=M l 2/3 J=MR 2/2
M ＝∆m r α
i
其中Mi为外力矩和内力矩之和。 其中 为外力矩和内力矩之和。
∑ M ＝∑ ∆m r
2 i i
2