24.4.1 弧长和扇形面积1

(1)已知圆的半径为10cm,半圆的弧长为 ( 10πcm )
(2)已知圆的半径为9cm ，60°圆心角所对的弧 长为( 3πcm )
(3)已知半径为3，则弧长为π 的弧所对的圆心角 0 60 为_______ (4)已知圆心角为150°，所对的弧长为20π ，则 24 。 圆的半径为_______
1. 你还记得圆面积公式吗？ 2. 圆面积可以看作是多少度的圆心角所对 的扇形的面积？ 3. 1°的圆心角所对的扇形面积 是多少？ 4. n°的圆心角呢？ O· 1° 2 圆的面积公式： S R ， n° R 360°的圆心角所对的扇形的面积,
1 2 2 R ， 1°的圆心角所对的扇形面积是 360


例3、如图所示，AB是⊙O的直径，弦DE垂 直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相 交于点P，连接EF，EO，若DE= ， ∠DPA=45° （1）求⊙O的半径 （2）求S阴影
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2， 则这个扇形的面积，S扇=_ .
2、如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副 图案，它是一扇形图形，其中∠ AOB 为 1200 ， OC 长为8cm，CA长为12cm，则贴纸部分的面积为 112π _______
弧长公式
问题2.已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对 弧长． 若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长 为l，则
nR l 180
注意 ： 在应用弧长公式 l
要注意公式中 n的意义．n表示1°圆心角的倍数， 它是不带单位的。 应用：已知公式中的任意两个量，可以求第三个 量。
n R ， 进行计算时， 180

例2、如图所示，△ABC内接于⊙O，⊙O的 半径R=3cm，若∠B=45°，则弧AC的长是 ______ 1.5π
如图：在△AOC中，∠AOC=900，∠C=150，以O为 圆心，AO为半径的圆交AC与B点，若OA=6， 求弧AB的长。 C
B
O
A
1.已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧 2π 长为______ 2. 已知一条弧的半径为9，弧长为8 π ，那么 160° 这条弧所对的圆心角为_____ 。 3. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过 40分钟,分针针端转过的弧长是( B ) 50 20 25 10 cm D. 3 cm cm C. A. B. cm 3 3 3
在Rt△OAD中，OA=0.6，利用勾股定理可得：AD=0.3√3
在Rt△ OAD中，∵OD=1/2OA
∴∠ OAD=30° ∴∠A OD=60°， ∠ AOB=120° 有水部分的面积
0 A
D
B
C
变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截 面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面 上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。
O
B A
归纳
nR l 180
小结
2
S扇形
n R 360
S 扇形
1 lR 2
1.扇形的弧长和面积大小与哪些因素有关？ （1）与圆心角的大小有关 （2）与半径的长短有关 2.扇形面积公式与弧长公式与圆的知识的联系：
n l弧＝ 360
C圆
S扇形＝
n 360
S圆

例5、（1）如图，AB⊥BC，AB=BC=2cm， 弧OA与弧AC关于点O中心对称，则AB、BC、 弧OA与弧AC所围成的图形的面积是 2 ________

（2）如图，水平地面上有一面积为30π平方 厘米的扇形AOB，半径OA=6cm，且OA与 地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向 右滚动至OB与地面垂直为止，则O点移动的 10π 距离为_______

4. 已知等边三角形ABC的边长为 a a ，分别以 A 、 B 、 C 为圆心，以 2 为 半径的圆相切于点 D 、 E 、 F ， 求图中 阴影部分的面积S.
5. 如 图 , 一 根 3m 5m长的绳子, 一端栓在柱子 上 , 另一端栓着 一只羊, 羊的 活 动 最 大 区 域 .
5
5m
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆） .

例1、如图所示，两个同心圆被两条半径截得 的弧AB的长是5π，弧CD的长是7π， AC=4cm，求S阴影

例2、如图是圆心角为30°，半径分别是 1,3,5,7…的扇形组成的图形，阴影部分的面积 66π 依次记为S1，S2，S3 …，则S50=______
A. 3 2 C.４
4 B. 3 3 2
D.２＋
解析
8 已知矩形ABCD的长AB=4,宽AD=3,按如图 放置在直线AP上,然后不滑动地转动,当它转动一 周时( A A/),顶点A所经过的路线长等 6π 于 。
D C
A
B
A/
如下图，由组成圆心角的两条半径 和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
例3、如图，把两个扇形OAB与扇形OCD的 圆心重合叠放在一起，且∠AOB=∠COD， 连接AC （1）求证：△AOC≌△BOD （2）若OA=3cm，OC=2cm，弧AB的长为 1.5π，弧CD的长为π，求S阴影


例4、如图，已知点A、B、C、D均在已知圆 上，AD∥BC，AC平分∠BCD， ∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为 10cm，求图中的S阴影
4m
A o
5m
4m
o B
C
6.两个同心圆被两条半径截得 的 AB 10 CD 6 ，AC=12，求阴影部 分面积。
7.如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、 a C 为圆心，以 为半径的圆相切于点D、E、F， 2 求图中阴影部分的面积．
解：连接AD，则
AD BC
2
4 3
例2：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截 面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面 上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。
弓形的面积 = S扇- S⊿
A
D
0 B
C
解：如图，连接OA、OB，过圆心O作AB的垂线，垂足为D， 交弧AB于点C. ∵OC=0.6，DC=0.3 ∴OD=OC-DC=0.3
B B
O
弧 圆心角
A
扇形 O A
从 练习 中 悟 方 法
由组成圆心角的两条半径和圆心角
所对的弧所围成的图形叫做扇形.
A
O B
AB所 在⊙O中，由半径OA,OB和 构成的图形是扇形.
ACB所 在⊙O中，由半径OA,OB和 构成的图形是扇形.
C
在同圆或等圆中，由于相等的圆心角所对的弧相等， 所以具有相等圆心角的扇形，其面积也相等.

B
C
2. 如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离,它 们的半径都是1,顺次连接四个圆心得到四边形 ABCD,则图形中四个扇形(空白部分)的面积之和 是___________.

B A
D
C
变式：如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交， 且半径都是2cm，求图中阴影部分的面积。
B A
D
C
3.如图所示，分别以n边形的顶点为圆心， 以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之 和为 个平方单位．
4.弧长相等的两段弧是等弧吗？
答：不一定，因为它们不一定 完全重合.也就是说形状不一定相同.
5.有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧 所对的圆心角是81°，求这段圆弧的半径R.
解：道长l 12m,圆心角为81， 即n 81,由弧长公式得 nR l , 所以 180 12m 180l 18012 R 8.5m. n 81 答：圆弧弯道的半径约 为8.5m.
D
弓形的面积 = S扇+ S⊿
A
E
B
0
C
思考：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？
如果扇形的半径为R的圆中，圆心角为no ，那么扇 形面积的计算公式为：
nr r 1 n 2 lr s r 180 2 2 360
扇形的弧长与扇形面积的关系为：
S 扇形
1 lR 2
议一议
扇形所对的弧长 扇形的面积是 S扇形
C B
O
A
2.已知扇形的圆心角为 120，半径为 12cm, 则扇形的面积为
48cm

2
.
3.已知扇形的圆心角为120 ，半径为6 ， 则扇形的弧长为 （ B ） A. 3 B.4π C.5π D.6π
4 ， 4、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 4 3 ． 则这个扇形的面积，S扇= 3
圆心角为n°的扇形 面积是
S扇形
nR 2 . 360
扇形面积公式 问题3.已知⊙O半径为R，求圆心角为n°的扇形 的面积？ 若设⊙ O 半径为 R ，圆心角为 n°的扇形的面积 为：
S扇形
nR 360
2
nR 2 注意: （1）在应用扇形的面积公式S扇形= 进行计 360
算时，要注意公式中 n 的意义． n 表示 1°圆心角的倍 数，它是不带单位的；
（3）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD= 以AD的长为半径的⊙A交BC于点E，则图中 S阴影=_______


（4）如图，直径AB为6的半圆O，绕A点逆 时针旋转60°，此时点B到了点B’，则图中S 6π 阴影______
巩固练习
1、如图几7-4-3，A是半径为1的圆O外一点，
且OA=2，AB是⊙O的切线，BC//OA，连结AC， 则阴影部分面积等于 。
1. 你还记得圆周长的计算公式吗？
2. 圆的周长可以看作是多少度的圆 心角所对 的弧长？ 3. 1°的圆心角所对弧长是多少？ 4. n°的圆心角呢？
半径为R圆的周长为C 2R
1 1°的圆心角所对弧长是 2R 360 1
可以看作是360°圆心角所对的弧长