山东省青岛胶南市黄山经济区中心中学九年级数学上学期期中试卷1解读
山东省青岛市九年级上学期数学期中考试试卷
山东省青岛市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分）(2018·阿城模拟) 下列四个图形中既是轴对称图形,又是中心称图形的是（）A .B .C .D .2. （1分）方程（m-2）=5是一元二次方程，则m的值是（）A . ±2B . －2C . 2D . 43. （1分）已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（）A . ﹣12B . -1C . 4D . 无法确定4. （1分）函数的图象可以由函数的图象（）得到A . 向左平移3个单位B . 向右平移3个单位C . 向上平移3个单位D . 向下平移3个单位5. （1分） (2016九上·潮安期中) 二次函数y=3x2+1和y=3（x﹣1）2 ，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，0）；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的．其中正确的说法有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. （1分）设x1 ， x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且x1+x2﹣x1x2=1，那么m的值为（）A . 2B . ﹣3C . 3D . ﹣27. （1分）已知是抛物线上的点，则（）A .B .C .D .8. （1分） (2016九上·大石桥期中) 下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（）A . 2x2﹣6x+1=0B . 3x2﹣x﹣5=0C . x2+x=0D . x2﹣4x+4=09. （1分）(2018·邯郸模拟) 已知面积为8的正方形边长是x，则关于x的结论中，正确的是（）A . x是有理数B . x不能在数轴上表示C . x是方程4x＝8的解D . x是8的算术平方根10. （1分） (2020九上·醴陵期末) 已知二次函数y=ax2+bx+c（）的图像如图所示，则下列结论：（1）ac>0;（2）方程ax2+bx+c=0的两根之积小于0；（3）a+b+c<0；（4）ac+b+1 <0,其中符合题意的个数（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题 (共8题；共8分)11. （1分） (2019八下·诸暨期中) 当x=________时，代数式6x2+15x+12的值等于21．12. （1分）(2018·泸县模拟) 已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+m2﹣4=0的一个根为0，则m=________．13. （1分） (2020九上·海曙期末) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有以下结论：①abc>0；②a+b+c<0；③4a+b=0：④若点(1，y1)和(3，y2)在该图象上，则y1=y2 ，其中正确的结论是________(填序号)14. （1分）如果点P（）关于原点的对称点为（–2，3），则x+y=________15. （1分） (2016九上·海盐期中) 如图所示，半径为1的圆心角为45°的扇形纸片OAB在直线L上向右做无滑动的滚动．且滚动至扇形O′A′B′处，则顶点O所经过的路线总长是________．16. （1分）(2016·姜堰模拟) 将边长为2的正方形OABC如图放置，O为原点．若∠α=15°，则点B的坐标为________．17. （1分）(2017·成华模拟) 定义新运算：a*b=a（b﹣1），若a、b是关于一元二次方程x2﹣x+ m=0的两实数根，则b*b﹣a*a的值为________．18. （1分）抛物线y=2（x﹣2）2﹣6的顶点为C，已知直线y=﹣kx+3过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为________．三、解答题 (共8题；共15分)19. （1分）(2018·安徽模拟) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B （﹣1，4），C（﹣3，2）①画出△ABC关于点B成中心对称的图形△A1BC1；②以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧画出△ABC放大后的图形△A2B2C2 ，并直接写出C2的坐标．20. （3分） (2019九上·宜兴月考) 解一元二次方程：（1） (x+1)2－144=0（2） x2－4x－32＝0（3） x（x﹣5）=2（x﹣5）（4）21. （1分）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0（1）当Mm取什么值时，原方程没有实数根；（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．22. （1分） (2018九上·宁县期中) 画出函数的图像，观察函数图像，请直接写出方程的根.23. （1分） (2017九上·临川月考) 某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程．已知2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元．求这两年内平均每年投资增长的百分率．24. （3分）(2014·淮安) 如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P 从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．（1）当t=时，△PQR的边QR经过点B________；（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）如图2，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y 轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值．25. （2分） (2017九上·抚宁期末) 某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，商场决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？（2）如果商场要想每月的销售利润最多，这种台灯的售价又将定为多少？这时应进台灯多少个？26. （3分）(2018·宜宾) 在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点 .如图，直线与抛物线交于点两点，直线为 .（1）求抛物线的解析式；（2）在上是否存在一点，使取得最小值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）已知为平面内一定点，为抛物线上一动点，且点到直线的距离与点到点的距离总是相等，求定点的坐标.参考答案一、单选题 (共10题；共10分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共8题；共8分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共8题；共15分)19-1、20-1、20-2、20-3、20-4、21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、25-2、26-1、26-2、26-3、。
_山东省青岛市2020——2021学年九年级上学期期中数学试卷 解析版
2020-2021学年山东省青岛市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x2+y＝1B．9y＝3y﹣1C．2x2＝1D．﹣2x2＝82．如图所示的4个三角形中，相似三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（）x00.51 1.52 ax2+bx+c﹣15﹣8.75﹣2 5.2513A．0＜x＜0.5B．0.5＜x＜1C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜24．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAB：∠EAD＝1：3，则∠EOA的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°5．青岛第四届海上马拉松比赛将在2020年11月举行，小明和小刚分别从A、B、C三个组中随机选择一个组参加志愿者活动，假设每人参加这三个组的可能性都相同，小明和小刚恰好选择同一组的概率是（）A．B．C．D．6．如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（）A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm7．下列结论正确的是（）A．如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形．B．如果一个四边形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，那么这个四边形一定是正方形．C．如果一个菱形绕对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个菱形是正方形．D．一个直角三角形绕斜边的中点旋转180°后，原图形与所得的图形构成的四边形一定是正方形．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点D分别作BC 和AB的平行线，交AB于点E，交BC于点H，连接EH交BD于点G，在AE上截取EF＝BE，连接DF．下列说法中正确的有（）（1）GH：FD＝1：2；（2）BD2＝BF•BC；（3）四边形EBHD是菱形；（4）S△ADF＝S．△ABCA．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题共6小题，毎小题3分，共18分）9．已知＝≠0，则＝．10．在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球30个，这些球除颜色外都相同．某学习小组进行摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回袋中，不断重复上述过程，试验数据如下表：摸球的次数10020050080010001200摸到白球的次4281201324402481数根据上表数据，估算口袋中黑球有个．11．如图，直线a∥b∥c，直线AC与DF交于点O，且与直线a、b、c分别交于点A、B、D、E、F，如果DE＝2，EF＝5，AC＝6，那么AB的长为．12．书香相伴，香满校园，某校9月份借阅图书500本，11月份借阅图书845本，该校这两个月借阅图书的月均增长率是．13．如图，四边形ABCD是面积为6cm2的正方形，△ACE是等边三角形，图中阴影部分的面积是cm2．14．现有30张相同的菱形纸片（如图1，有一个内角为60°），小亮用其中3张密铺成一个如图2所示的正六边形；若小芳想密铺出一个与图②相似但面积比它大的正六边形，则她至少要用张菱形纸片（不得将菱形纸片剪开）．三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．（4分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求作：一个菱形，使它的四个顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上．四、解答题（本题共10小题，共74分）16．（4分）解方程：x2+2x+2＝8x+4（配方法）．17．（4分）解方程：8x2﹣2x﹣3＝0．18．（4分）已知：关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．求：k的最小整数解．19．（6分）用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色“游戏：游戏者同时转动两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了．（1）利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果；（2）求游戏者获胜的概率．20．（8分）如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．21．（7分）有一个面积为54cm2的长方形，将它的一边剪短5cm，另一边剪短2cm，恰好变成一个正方形，求这个正方形的边长．22．（9分）已知：在△ABC中，CB＝CA，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长交外角∠ACM的平分线CN与点F．（1）求证：AD＝CF；（2）连接CD，AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形？请证明你的结论．23．（10分）尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是件（直接填写结果）；（2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．24．（10分）古希腊数学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比又被称为黄金比，其比值是．古希腊很多矩形建筑中，宽与长之比都等于黄金比，在艺术领域，许多优美的曲线也与黄金比有关，黄金比在我们的生活中彰显着丰富的美学价值．【探索发现】：如图1，若点P1是线段AB靠近点B的黄金分割点，则AP1＝AB，所以BP1＝（1﹣）AB＝AB．若P2是线段BP1靠近点B的黄金分割点，则BP2＝BP1，所以BP2＝AB．若P3是线段BP2靠近点B的黄金分割点，则BP3＝BP2，所以BP3＝AB．……【归纳提炼】若P n是线段BP n﹣1靠近点B的黄金分割点，则BP n＝AB．【解释应用】：如图2，矩形ABCD中，宽BC与长AB的比为黄金比，则称矩形ABCD为“黄金矩形”．在课本“想一想”中我们已经知道，该矩形有如下特点：作正方形①，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点P1为线段AB的黄金分割点；以此类推：作正方形②，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点Q1为线段BC的黄金分割点；作正方形③，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点P2为线段的黄金分割点；作正方形④，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点Q2为线段的黄金分割点；……显然，这样变换可以无限的进行下去．借助对“BP2与AB，BQ2与BC的比例关系”的探究，写出当“黄金矩形”ABCD的周长为a时，以BP2，BQ2为邻边的“黄金矩形”的周长y与a的关系式：．【拓展延伸】：（1）设图2中四个正方形①，②，③，④的边长分别为a1，a2，a3，a4，请直接写出a1+a2+a3+a4＝．（用含有a的代数式表示）（2）如图3，将正方形③和④的位置重新排列，再分别在每个正方形中作四分之一圆弧，四段弧可以连出一条优美的曲线，称为“黄金螺旋线”．请直接写出这条曲线的长度：．（用含有a的代数式表示）25．（12分）已知：如图1，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm．点P 从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s．过点Q作QE⊥AC，QE与BC相交于点E，连接PQ．设运动时间为t（s）（0＜t），解答下列问题：（1）连接BQ，当t为何值时，点E在线段BQ的垂直平分线上？（2）设四边形BPQC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）如图2，取点E关于AC的对称点F，是否存在某一时刻t，使△CDF为等腰三角形？若存在，直接写出t的值（不需提供解答过程）；若不存在，请说明理由．2020-2021学年山东省青岛市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x2+y＝1B．9y＝3y﹣1C．2x2＝1D．﹣2x2＝8【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．是一元二次方程，故本选项符合题意；D．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．2．如图所示的4个三角形中，相似三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】根据相似三角形的判定方法判断即可．【解答】解：观察图象可知，图中有3个直角三角形，一个锐角三角形，其中左边的两个直角三角形的直角边的比都是1：2，所以这两个直角三角形相似．故选：A．3．根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（）x00.51 1.52 ax2+bx+c﹣15﹣8.75﹣2 5.2513A．0＜x＜0.5B．0.5＜x＜1C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜2【分析】根据ax2+bx+c的符号即可估算ax2+bx+c＝10的解．【解答】解：由表格可知：当x＝1.5时，ax2+bx+c＝5.25，则ax2+bx+c﹣10＝﹣4.75，当x＝2时，ax2+bx+c＝13，则ax2+bx+c﹣10＝3，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝10（a≠0）的一个解x的范围是1.5＜x＜2，故选：D．4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAB：∠EAD＝1：3，则∠EOA的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】根据∠EAB：∠EAD＝1：3，∠BAD＝90°，可以求得∠BAE的度数，再根据矩形的性质和三角形内角和，即可得到∠EOA的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∠BAD＝90°，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠EAB：∠EAD＝1：3，∴∠EAB＝22.5°，∵AE⊥BD于点E，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝67.5°，∴∠OBA＝∠OAB＝67.5°，∴∠AOB＝45°，即∠EOA的度数为45°，故选：D．5．青岛第四届海上马拉松比赛将在2020年11月举行，小明和小刚分别从A、B、C三个组中随机选择一个组参加志愿者活动，假设每人参加这三个组的可能性都相同，小明和小刚恰好选择同一组的概率是（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及小明和小刚选到同一组的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一组的有3种情况，∴两人恰好选择同一组的概率为＝；故选：A．6．如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（）A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm【分析】由菱形的性质得出BD＝6cm，由菱形的面积得出AC＝8cm，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵BD＝6cm，S菱形ABCD═AC×BD＝24cm2，∴AC＝8cm，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝4cm，故选：B．7．下列结论正确的是（）A．如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形．B．如果一个四边形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，那么这个四边形一定是正方形．C．如果一个菱形绕对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个菱形是正方形．D．一个直角三角形绕斜边的中点旋转180°后，原图形与所得的图形构成的四边形一定是正方形．【分析】依据菱形、矩形以及正方形的判定方法，即可得出结论．【解答】解：A．若一个四边形是轴对称图形，且有两条互相垂直的对称轴，则这个四边形是菱形或矩形，故本选项不合题意；B．如果一个四边形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，那么这个四边形可以是菱形，故本选项不合题意；C．若一个菱形绕对角线的交点旋转90°后所得图形与原图形重合，则这个菱形是正方形，本选项符合题意；D．一个直角三角形绕斜边的中点旋转180°后，原图形与所得的图形构成的四辺形一定是矩形，故本选项不合题意；故选：C．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点D分别作BC 和AB的平行线，交AB于点E，交BC于点H，连接EH交BD于点G，在AE上截取EF＝BE，连接DF．下列说法中正确的有（）（1）GH：FD＝1：2；（2）BD2＝BF•BC；（3）四边形EBHD是菱形；（4）S△ADF＝S．△ABCA．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①由题意可证四边形DEBH是平行四边形，可得GH＝EG，BG＝DG，由三角形中位线定理可得EG∥DF，GE＝DF，可得GH＝DF；②通过证明△BDF∽△BCD，可得，可证BD2＝BC•BF；③由菱形的判定可证四边形EBHD是菱形；④条件不足，无法证明．【解答】解：∵DE∥BC，DH∥AB，∴四边形DEBH是平行四边形，∴GH＝EG，BG＝DG，又∵EF＝BE，∴EG∥DF，GE＝DF，∴GH＝DF，∴GH：DF＝1：2，故①正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE，∴BE＝DE＝EF，∴∠BDF＝90°＝∠C，又∵∠ABD＝∠DBC，∴△BDF∽△BCD，∴，∴BD2＝BC•BF，故②正确；∵BE＝DE，四边形DEBH是平行四边形，∴四边形DEBH是菱形，故③正确；条件不足，无法证明S△ADF＝S△ABC．故④错误，故选：C．二、填空题（本题共6小题，毎小题3分，共18分）9．已知＝≠0，则＝．【分析】直接利用已知得出y＝2x，即可代入化简得出答案．【解答】解：∵＝≠0，∴y＝2x，则＝＝．故答案为：．10．在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球30个，这些球除颜色外都相同．某学习小组进行摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回袋中，不断重复上述过程，试验数据如下表：摸球的次数100200500800100012004281201324402481摸到白球的次数根据上表数据，估算口袋中黑球有18个．【分析】根据图表给出的数据得出白球的频率，再用总球的个数乘以白球的频率，求出白球的个数，再用总个数减去白球的个数即可得出黑球的个数．【解答】解：根据图表给出的数据可得，摸到白球的频率将会接近0.4，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数是：30×0.4＝12（个），则口袋中黑球有30﹣12＝18（个）．故答案为：18．11．如图，直线a∥b∥c，直线AC与DF交于点O，且与直线a、b、c分别交于点A、B、D、E、F，如果DE＝2，EF＝5，AC＝6，那么AB的长为．【分析】平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵直线a∥b∥c，∴，∴，∴，解得：AB＝，故答案为：．12．书香相伴，香满校园，某校9月份借阅图书500本，11月份借阅图书845本，该校这两个月借阅图书的月均增长率是30%．【分析】该校这两个月借阅图书的月均增长率是x，根据该校9月份及11月份借阅图书数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：该校这两个月借阅图书的月均增长率是x，依题意，得：500（1+x）2＝845，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．故答案为：30%．13．如图，四边形ABCD是面积为6cm2的正方形，△ACE是等边三角形，图中阴影部分的面积是（）cm2．【分析】连接BE，交AC于O，依据等边三角形和正方形的性质，即可得到AO的长，依据勾股定理即可得到EO的长，最后根据阴影部分面积＝S△ACE﹣S△ACD进行计算．【解答】解：如图，连接BE，交AC于O，∵△ACE是等边三角形，四边形ABCD是正方形，∴EA＝EC，BA＝BC，∴BE垂直平分AC，∵四边形ABCD是面积为6cm2的正方形，△ACE是等边三角形，∴AB＝BC＝（cm），∴AC＝＝（cm），∴AE＝（cm），AO＝AC＝（cm），∴Rt△AOE中，EO＝＝3（cm），∴阴影部分面积＝S△ACE﹣S△ACD＝﹣＝﹣3＝（）cm2，故答案为：（）．14．现有30张相同的菱形纸片（如图1，有一个内角为60°），小亮用其中3张密铺成一个如图2所示的正六边形；若小芳想密铺出一个与图②相似但面积比它大的正六边形，则她至少要用12张菱形纸片（不得将菱形纸片剪开）．【分析】利用图象法，画出图形判断即可．【解答】解：观察图象可知，至少要用12张菱形纸片．故答案为：12．三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．（4分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求作：一个菱形，使它的四个顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上．【分析】过平行四边形的对角线的交点，画两条互相垂直直线EG，FH，J交平行四边形ABCD的边于E，G，F，H，连接EF，FG，GH，HE，四边形EFGH即为所求．【解答】解：如图，四边形EFGH即为所求．四、解答题（本题共10小题，共74分）16．（4分）解方程：x2+2x+2＝8x+4（配方法）．【分析】移项，合并同类项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2+2x+2＝8x+4，x2+2x﹣8x＝﹣2+4，x2﹣6x＝2，配方得：x2﹣6x+9＝2+9，（x﹣3）2＝11，开方得：x﹣3＝，解得：x1＝3+，x2＝3﹣．17．（4分）解方程：8x2﹣2x﹣3＝0．【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：8x2﹣2x﹣3＝0，b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×8×（﹣3）＝100，x＝＝，x1＝，x2＝﹣．18．（4分）已知：关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．求：k的最小整数解．【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出△＝22﹣4×（k﹣1）×（﹣1）＞0，结合一元二次方程的定义知k﹣1≠0，从而得出答案．【解答】解：根据题意，得：△＝22﹣4×（k﹣1）×（﹣1）＞0且k﹣1≠0，解得k＞0且k≠1，所以k的最小整数解为2．19．（6分）用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色“游戏：游戏者同时转动两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了．（1）利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果；（2）求游戏者获胜的概率．【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数即可；（2）找出一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意画图如下：共有6种等可能的结果数；（2）∵共有6种等可能的结果数，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的有3种，∴游戏者获胜的概率是＝．20．（8分）如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠B＝∠ADG，可证明△ABC∽△ADE；（2）由相似三角形的性质可得出答案．【解答】（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG，又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵，BC＝3，∴，∴BC＝．21．（7分）有一个面积为54cm2的长方形，将它的一边剪短5cm，另一边剪短2cm，恰好变成一个正方形，求这个正方形的边长．【分析】设这个正方形的边长为xcm，则原长方形的长为（x+5）cm，宽为（x+2）cm，根据原长方形的面积为54cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设这个正方形的边长为xcm，则原长方形的长为（x+5）cm，宽为（x+2）cm，依题意，得：（x+5）（x+2）＝54，整理，得：x2+7x﹣44＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．答：这个正方形的边长为4cm．22．（9分）已知：在△ABC中，CB＝CA，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长交外角∠ACM的平分线CN与点F．（1）求证：AD＝CF；（2）连接CD，AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形？请证明你的结论．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，根据外角的性质定理得到∠A＝ACM，由角平分线的定义得到∠ACF＝ACM，求得∠A＝∠ACF，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；（2）由已知条件得到△ACB是等腰直角三角形，求得∠BAC＝45°，推出AD∥CF，由（1）知AD＝CF，得到四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形的性质得到AD＝CD，求得∠ACD＝∠CAD＝45°，根据正方形的判定定理得到结论．【解答】（1）证明：∵CB＝CA，∴∠A＝∠B，∵∠ACM＝∠A+∠B，∴∠A＝ACM，∵CN平分∠ACM，∴∠ACF＝ACM，∴∠A＝∠ACF，∵E是AC的中点，∴AE＝CE，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（ASA），∴AD＝CF；（2）解：当∠ACB＝90°，四边形ADCF是正方形，理由：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∵CN平分∠ACM，∴∠ACF＝ACM＝45°，∴∠DAC＝∠ACF，∴AD∥CF，由（1）知AD＝CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵点D是AB的中点，∴AD＝CD，∴∠ACD＝∠CAD＝45°，∴∠DCF＝90°，∴矩形ADCF是正方形．23．（10分）尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是280件（直接填写结果）；（2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．【分析】（1）根据每天的平均销售量＝80+降低的价格÷0.5×20，即可求出结论；（2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25﹣15﹣x）元，平均每天可售出80+×20＝（40x+80）件，根据每天的总利润＝销售每件商品的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）由（2）的结论结合平均每天至少要销售200件该商品，可确定x的值，再将其代入（40x+80）中即可求出结论．【解答】解：（1）80+5÷0.5×20＝280（件）．故答案为：280．（2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25﹣15﹣x）元，平均每天可售出80+×20＝（40x+80）件，依题意，得：（25﹣15﹣x）（40x+80）＝1280，整理，得：x2﹣8x+12＝0，解得：x1＝2，x2＝6，∴25﹣x＝23或19．答：每件商品的定价应为23元或19元．（3）当x＝2时，40x+80＝160＜200，不合题意，舍去；当x＝6时，40x+80＝320＞200，符合题意，∴25﹣x＝19．答：商品的销售单价为19元．24．（10分）古希腊数学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比又被称为黄金比，其比值是．古希腊很多矩形建筑中，宽与长之比都等于黄金比，在艺术领域，许多优美的曲线也与黄金比有关，黄金比在我们的生活中彰显着丰富的美学价值．【探索发现】：如图1，若点P1是线段AB靠近点B的黄金分割点，则AP1＝AB，所以BP1＝（1﹣）AB＝AB．若P2是线段BP1靠近点B的黄金分割点，则BP2＝BP1，所以BP2＝（）2AB．若P3是线段BP2靠近点B的黄金分割点，则BP3＝BP2，所以BP3＝（）3AB．……【归纳提炼】若P n是线段BP n﹣1靠近点B的黄金分割点，则BP n＝（）n AB．【解释应用】：如图2，矩形ABCD中，宽BC与长AB的比为黄金比，则称矩形ABCD为“黄金矩形”．在课本“想一想”中我们已经知道，该矩形有如下特点：作正方形①，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点P1为线段AB的黄金分割点；以此类推：作正方形②，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点Q1为线段BC的黄金分割点；作正方形③，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点P2为线段BP1的黄金分割点；作正方形④，剩下的矩形仍是“黄金矩形”，且点Q2为线段BQ1的黄金分割点；……显然，这样变换可以无限的进行下去．借助对“BP2与AB，BQ2与BC的比例关系”的探究，写出当“黄金矩形”ABCD的周长为a时，以BP2，BQ2为邻边的“黄金矩形”的周长y与a的关系式：y＝（）4a．【拓展延伸】：（1）设图2中四个正方形①，②，③，④的边长分别为a1，a2，a3，a4，请直接写出a1+a2+a3+a4＝a+a+a+a．（用含有a的代数式表示）（2）如图3，将正方形③和④的位置重新排列，再分别在每个正方形中作四分之一圆弧，四段弧可以连出一条优美的曲线，称为“黄金螺旋线”．请直接写出这条曲线的长度：πa•[+++]．（用含有a的代数式表示）【分析】【探索发现】：根据黄金分割的定义计算即可；【归纳提炼】：探究规律，利用规律解决问题即可；【解释应用】：根据相似多边形的性质相似比等于周长比，解决问题即可；【拓展延伸】：（1）分别求出a1，a2，a3，a4即可解决问题；（2）利用弧长公式计算即可．【解答】解：【探索发现】：由题意可知：BP2＝（）2AB，BP3＝（）3AB，故答案为：（）2，（）3．【归纳提炼】：由规律可知：BP n＝（）n AB．故答案为：（）n．【解释应用】：且点P2为线段P1B的黄金分割点，点Q2为线段BQ1的黄金分割点，∵BC＝AB，BP1＝BC，BQ1＝BP1，BP2＝BQ1，所有矩形相似，∴BP2，BQ2为领边的“黄金矩形”的周长y与a的关系式：y＝（）4a．故答案为：BP1，BQ2，y＝（）4a．【拓展延伸】：（1）设图2中四个正方形①，②，③，④的边长分别为a1，a2，a3，a4，设AB＝x，BC＝y，则2x+2y＝a，∴2x+2x＝a，∴x＝a，y＝a，∴a1+a2+a3+a4＝a+a+a+a．（2）如图3，将正方形③和④的位置重新排列，再分别在每个正方形中作四分之一圆弧，四段弧可以连出一条优美的曲线，称为“黄金螺旋线”．请直接写出这条曲线的长度：•π（a1+a2+a3+a4）＝π•[a+a+a+a]＝πa•[+++]．故答案为：πa•[+++]．25．（12分）已知：如图1，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm．点P 从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s．过点Q作QE⊥AC，QE与BC相交于点E，连接PQ．设运动时间为t（s）（0＜t），解答下列问题：（1）连接BQ，当t为何值时，点E在线段BQ的垂直平分线上？（2）设四边形BPQC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）如图2，取点E关于AC的对称点F，是否存在某一时刻t，使△CDF为等腰三角形？若存在，直接写出t的值（不需提供解答过程）；若不存在，请说明理由．【分析】（1）证明△ECQ∽△ACB，可得＝＝，可得＝＝，推出EQ ＝t，EC＝t，由题意点E在BQ的垂直平分线上，推出EB＝EQ，由此构建方程，求解即可．（2）如图2中，过点Q作QH⊥AB于H，则AQ＝10﹣2t，QH＝AQ＝（10﹣2t），根据y＝S△ABC﹣S△APQ，求解即可．（3）分两种情形：①如图2﹣1中，当DC＝DF时，连接DF，取AC的中点J，连接BJ，和点B作BH⊥AC于H，过点F作FK⊥CD于K．证明∠BJH＝∠CFK，可得sin ∠BJH＝sin∠CFK，由此构建方程求解．②当CF＝CD时，构建方程，求解即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵AB＝6cm，BC＝9cm，∴AC＝＝＝10，∵EQ⊥AC，∴∠EQC＝∠B＝90°，∵∠ECQ＝∠ACB，∴△ECQ∽△ACB，∴＝＝，∴＝＝，∴EQ＝t，EC＝t，∵点E在BQ的垂直平分线上，∴EB＝EQ，∴8﹣t＝t，∴t＝2．（2）如图2中，过点Q作QH⊥AB于H，则AQ＝10﹣2t，QH＝AQ＝（10﹣2t），∵AP＝t，∴S△APQ＝•AP•QH＝•t•（10﹣2t）＝﹣t2+4t，∴y＝S△ABC﹣S△APQ＝×6×8﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣4t+24（0＜t≤）．（3）①如图2﹣1中，当DC＝DF时，连接DF，取AC的中点J，连接BJ，和点B作BH⊥AC于H，过点F作FK⊥CD于K．∵∠ABC＝90°，AJ＝JC，∴BJ＝AJ＝JC＝AC＝5，∴∠JBC＝∠JCB，∴∠BJH＝∠BCJ+∠JCB＝2∠JCB，∵E，F关于AC对称，∴∠ACE＝∠ACF，CF＝CE＝∴∠FCE＝2∠ACB＝∠BJH，∵FK⊥CD，CB⊥CD，∴FK∥CB，∴∠CFK＝∠FCE＝∠BJH，∵BH⊥AC，∴S△ACB＝•AB•CB＝•AC•BH，∴BH＝＝，∵FD＝FC，FK⊥CD，∴CK＝KD＝3，∵∠BJH＝∠CFK，∴sin∠BJH＝sin∠CFK，∴＝，∴＝，∴t＝，②当CF＝CD时，t＝6，∴t＝，综上所述，满足条件的t的值为或．。
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青岛版2019初三数学上学期期中测试卷(含答案解析)青岛版2019初三数学上学期期中测试卷(含答案解析) 一、选择题(每小题3分，共60分)1．方程的解是( ).A．2 B．-2或1 C．－1 D．2或－12. 用配方法解方程 ,则配方正确的是（）A． B． C． D．3、在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则的值是（）(A) (B) (C) (D)(第3题） (第4题）4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对5.如图在Rt ABC中， C=90o，AC=BC,点D在AC上， CBD=30o，则的值是（）（A）（B）（C） -1 （D）不能确定6.在 ABC中， B=45o， C=60o，BC边上的高AD=3，则BC的长为（）（A）3+3 （B）3+ （C）2+ （D） +7．如图，用高为6cm，底面直径为4cm的圆柱A的侧面积展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为（）A.24πcm3B. 36πcm3C. 36cm3D. 40cm38.如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm 的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为（）A．17cm B．4cm C．15cm D．3cm9．如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为和，则与的函数图象大致是（）10.下列语句中不正确的有：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④半圆是弧．（）A．1个Ｂ．2个 C．3个Ｄ．4个11．如图4，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB, ∠AOC=84°,则∠E等于（）A．42 ° B．28° C．21° D．20°12．如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）A、 B、 C、 D、13. 根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（）x －2 0 1y 3 p 0A．1 B．－1 C．3 D．－314.把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（）A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜415 . 已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A． y3＜y1＜y2 B． y1＜y2＜y3 C． y2＜y1＜y3 D． y3＜y2＜y116. 若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）A．0 B． 0或2 C． 2或﹣2 D． 0，2或﹣217.有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（）18．已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数的图象可能是（）A． B C D ．19. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．图象关于直线x=1对称B．函数ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4C．﹣1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根D．当x＜1时，y随x的增大而增大20. 若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n=．A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9青岛版201初三数学上学期期中测试卷(含答案解析)参考答案：一．选择题答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20答案二．填空题（每小题3分）21．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是．22.函数y= 与y=x－2图象交点的横坐标分别为a，b，则的值为_______________．23.同时抛掷A、B两个均匀的小立方体（每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），设两立方体朝上的数字分别为x、y，并以此确定点P（x，y），那么点P落在抛物线y=﹣x2+3x 上的概率为。
山东省青岛市九年级上学期期中考试数学试题及答案
九年级上学期期中数学试题第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共36分 1．把方程2103x x 左边化成含有x 的完全平方式，下列做法正确的是A ．2210+-528xx （）B ．2210+-522xx （）C ．22+10+522x xD ．210+52x x2．a,b,c,d 是四条线段，下列各组中这四条线段成比例的是A ．a ＝2cm ，b ＝5cm ，c ＝5cm ，d ＝10cmB ．a ＝30cm ，b ＝2cm ，c ＝0.8cm ，d ＝2cmC ．a ＝5cm ，b ＝3cm ，c ＝10cm ，d ＝6cmD ．a ＝5cm ，b ＝0.02cm ，c ＝7cm ，d ＝0.3cm 3．在一个不透明的袋中装着2个红球和1个黄球，它们除颜色外其他均相同，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好都是红球的概率为 A ．12B ．13C ．14D ．164．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是 A ．当AB =BC 时，它是菱形B ．当AC =BD 时，它是正方形C ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 D ．当∠ABC=90°时，它是矩形5．枣庄某工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改进技术，使明、后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，三年的总产量将达到1400件，若设这个百分数为x ，根据题意可列方程A ．200＋200(1＋x )＋200(1＋x )2＝1400B ．200＋200(1＋x )2＝1400C ．200(1＋x )2＝1400D ．200(1＋x )＋200(1＋x )2＝1400 6．如图，在矩形ABCD 中（AD ＞AB ），点E 是BC 上一点，且DE =DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F ，在下列结论中，不一定正确的是A ．△AFD ≌△DCEB ．AB =AFC ．AF =21AD D ．BE =AD ﹣DF 7．如果关于x 的方程240x x m 有两个不相等的实数根,那么在下列数值中,m 可以取的值是第6题图A ．3B ．5C ．6D ．88．如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为A ．15°或30°B ．30°或45°C ．45°或60°D ．30°或60°9．乐器上的一根琴弦AB ＝60厘米，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC )，则AC 的长为A ．（90－305)厘米B ．(30＋305)厘米C ．(305－30)厘米D ．(305－60)厘米 10．如图，在△ABC 中，∠A =78°，AB =4，AC =6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是A. B.C.D.11．若x 1，x 2是方程22210x mx m m 的两个根，且12121x x x x ，则m 的值为A ．﹣1或2B ．1或﹣2C ．﹣2D ．112．如图，点E 为边长为2的正方形ABCD 的对角线上一点，BE ＝BC ，点P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ ＋PR 的值为 A ．22 B ．12C ．32D ．2二、填空题（每小题4分，共24分）13．一元二次方程(1＋3x )(x －3)＝22x ＋1化为一般形式为 ． 14．若3ac e bd f，且b ＋d ＋f ＝4，则a ＋c ＋e ＝ ．第8题图第10题图第12题图15．如图，在平面直角坐标系中，已知A (1，0)，D (3，0)，△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心．若AB ＝1.5，则DE ＝ ． 16．现定义运算“★”,对于任意实数a,b ,都有a ★b =23aa b ,如：3★5=32-3×3+5,若x ★2=6,则实数x 的值是 . 17．如图，矩形ABCD 的边长AB ＝3cm ，BC ＝6cm.某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动，同时动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动．若以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似，则运动的时间t 为 秒．18．如图，已知正方形ABCD 边长为1，∠EAF =45°，AE =AF ，则有下列结论： ①∠1=∠2=22.5°；②点C 到EF 的距离是1-2； ③BE +DF ＞EF ；④△ECF 的周长为2. 其中正确的结论是 ． （写出所有正确结论的序号）三、解答题（本题共7道大题 满分60分） 19. 解方程（每小题5分，本题满分10分）（1）03722=+-x x （2）()2224x x -=-第15题图第17题图第18题图20.（本题满分6分）如图，已知AB BC AC AD DE AE，求证：△ABD∽△ACE.21．（本题满分8分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－1，2）、B（2，1）、C（4，5）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．第20题图22.（本题满分8分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m ，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n ．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m ，n ）可能的结果；（2）若m ，n 都是方程25+6=0x x 的解时，则小羽获胜；若m ，n 都不是方程25+6=0x x 的解时，则小利获胜，你认为这个游戏规则对二人公平吗？请说明理由.23.（本题满分8分）如图，在▱ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B 、F 为圆心，大于12BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ，则所得四边形ABEF 是菱形．（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF 是菱形；第21题图（2）若菱形ABEF 的周长为16，AE ＝43，求∠C 的大小．24.（本题满分10分）如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的8017． （1）求配色条纹的宽度；第23题图（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．第24题图25.（本题满分10分）如图，正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．第25题图答案13. 2840x x ； 14.12 ； 15.4.5；16. -1或4； 17. 2.4或1.5； 18.①②④． 19.解：（1）∵2,7,3a b c ……………………………………………………2分224(7)423250bac ………………………………………3分∴127254x ………………………………………………………………4分∴x 1=21，x 2=3…………………………………………………………………5分 （2）()2224x x -=-22)2(2)x x （………………………………………………………………7分2)220x x （……………………………………………………………9分∴x 1=4，x 2=2 ……………………………………………………………………10分20.证明：∵AB BC ACADDEAE， ∴△ABC ∽△ADE .………………………………………………………………2分 ∴∠BAC ＝∠DAE .∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE . …………………4分 又∵AB AC AD AE ，即ABADAC AE………………………………………………5分 ∴△ABD ∽△ACE ………………………………………………………………6分21.(本题满分8分）解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1就是所求三角形………………………………………………3分 (2)如图所示，△A 2B 2C 2就是所求三角形．……………………………………………6分 ∵A (－1，2)，B (2，1)，C (4，5)，△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且相似比为2，∴A 2(－2，4)，B 2(4，2)，C 2(8，10)， ∴S △A B C＝8×10－12×6×2－12×4×8－12×6×10＝28………………………………………8分22.（本题满分8分）解：（1）树状图如图所示：……3分结果：（1,2）（1,3）（1,4） （2,2）（2,3）（2,4） （3,2）（3,3）（3,4） （4,2）（4,3）（4,4）…4分（2）该游戏规则公平. ……………………………………………………………5分 ∵m ，n 都是方程25+6=0xx 的解，∴m ＝2，n ＝3，或m ＝3，n ＝2，…………………………………6分 由树状图得：共有12个等可能的结果，m ，n 都是方程25+6=0xx 的解的结果有2个，m ，n 都不是方程25+6=0xx 的解的结果有2个，小羽获胜的概率为＝，小利获胜的概率为＝，……………………7分∴小羽、小利获胜的概率一样大,该游戏规则公平.………………………………8分23.（本题满分8分）解：(1)由作图知，连接BP ，FP ，则AB =AF , AP =AP , BP =FP ∴△ABP ≌△AFP (SSS )，……………………2分 ∴∠EAB ＝∠EAF ，∵AD ∥BC ，∴∠EAF ＝∠AEB ＝∠EAB ，∴BE ＝AB ＝AF . ∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB ＝BE ，∴平行四边形ABEF 是菱形……………4分 (2)连接BF ，交AE 于G.∵菱形ABEF 的周长为16，AE ＝43，∴AB ＝BE ＝EF ＝AF ＝4，AG ＝12AE ＝23，∠BAF ＝2∠BAE ，AE ⊥BF . ………6分在Rt △ABG 中，∵∠AGB ＝90°，∴BG ＝2，BF ＝4，∴△ABF 是等边三角形，∴∠BAG ＝30°，∴∠BAF ＝2∠BAE ＝60°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠C ＝∠BAF ＝60°………………………………8分第23题图24.解：（1）设配色条纹的宽度为x米．依题意得2x×5+2x×4﹣4x2=×5×4，…………………………………………………3分解得：x1=（不符合，舍去），x2=．…………………………………5分答：配色条纹宽度为米．…………………………………………………6分（2）条纹造价：×5×4×200=850（元）……………………………………7分其余部分造价：（1﹣）×4×5×100=1575（元）………………………8分∴总造价为：850+1575=2425（元）…………………………………………9分答：地毯的总造价是2425元．………………………………………………10分25.证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C，在△ABM和△BCP中，AB=BC∠ABC=∠CBM=CP∴△ABM≌△BCP（SAS）．…………………………1分∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，………………………2分∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°，∴AM⊥BP．…………………………………………3分∵AM并将线段AM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM=MN，又∵AM BP，AM=BP，∴MN∥BP，MN=BP……………………………………………………………………4分∴四边形BMNP是平行四边形；………………………………………………………5分（2）解：BM=MC．……………………………………………………………………6分理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，∴∠BAM=∠CMQ，……………………………………………………………………7分又∵∠ABC=∠C=90°，∴△ABM∽△MCQ，∴AB AMMC MQ，…………………………………………………………………………8分∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，∴AB AMBM MQ，∴AB ABMC BM，∴BM=MC………………………………………………………………………………10分第25题图。
【初三数学】青岛市九年级数学上期中考试单元测试题(解析版)
新九年级（上）数学期中考试题(答案)一、选择题（每小题4分，共30分）1．下列二次根式中，最简二次根式为（）A．B．C．D．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：A、被开方数含分母，故A错误；B、被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；C、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故C错误；D、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式，规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．2．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据等式的性质，可得答案．解：A、两边都除以2y，得＝，故A符合题意；B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；C、两边都除以2y，得＝，故C不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键．3．下列事件中，是必然事件的是（）A．将油滴入水中，油会浮在水面上B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯C．如果a2＝b2，那么a＝bD．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故A符合题意；B、车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件，故B不符合题意；C、如果a2＝b2，那么a＝b是随机事件，D、掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上是随机事件，故选：A．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．解：根据勾股定理，AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝，所以△ABC的三边之比为：2：＝1：2：，A、三角形的三边分别为2，＝，＝3，三边之比为2：：3＝：：3，故A选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，＝2，三边之比为2：4：2＝1：2：，故B选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，＝，三边之比为2：3：，故C选项错误；D、三角形的三边分别为＝，＝，4，三边之比为：：4，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．5．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】首先求出一元二次方程x2﹣4x+5＝0根的判别式，然后结合选项进行判断即可．解：∵一元二次方程x2﹣4x+5＝0，∴△＝（﹣4）2﹣4×5＝16﹣20＝﹣4＜0，即△＜0，∴一元二次方程x2﹣4x+5＝0无实数根，故选：A．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，此题难度不大．6．用配方法解方程x2﹣2x﹣8＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x+1）2＝9B．（x+1）2＝7C．（x﹣1）2＝9D．（x﹣1）2＝7【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．解：x2﹣2x＝8，x2﹣2x+1＝9，（x﹣1）2＝9．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．7．如果代数式+有意义，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知a、b的取值范围，再根据直角坐标系内各象限点的特征确定所在象限．解：∵代数式+有意义，∴a≥0且ab＞0，解得a＞0且b＞0．∴直角坐标系中点A（a，b）的位置在第一象限．故选：A．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．同时考查了直角坐标系内各象限点的特征．8．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝13，sin B＝，则边BC的长为（）A．7B．8C．12D．17【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，利用锐角三角函数求出AD的长，利用勾股定理再分别求出BD和CD的长即得结果．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．∵sin B＝，即＝，∴AD＝12．在Rt△ABD中，BD＝＝12．在Rt△ACD中，CD＝＝＝5．∴BC＝BD+CD＝12+5＝17．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形，题目难度不大．构造直角三角形，充分利用∠B的正弦、AB、AC的长是解决本题的关键．9．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF＝2：3，则下列结论不正确的是（）A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形B．AD与AE的比是2：3C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：9【分析】本题主要考查了位似变换的定义及作图，位似变换就是特殊的相似，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，因而周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．解：∵四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形；A、四边形ABCD与四边形AEFG一定是相似图形，故正确；B、AD与AG是对应边，故AD：AE＝2：3；故错误；C、四边形ABCD与四边形AEFG的相似比是2：3，故正确；D、则周长的比是2：3，面积的比是4：9，故正确．故选：B．【点评】本题主要考查了位似的定义及性质：周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．10．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y ＝的图象上，且OA ⊥OB ，cos A ＝，则k 的值为（ ）A ．﹣3B ．﹣4C ．﹣D ．﹣2【分析】过A 作AE ⊥x 轴，过B 作BF ⊥x 轴，由OA 与OB 垂直，再利用邻补角定义得到一对角互余，再由直角三角形BOF 中的两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，又一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形BOF 与三角形OEA 相似，在直角三角形AOB 中，由锐角三角函数定义，根据cos ∠BAO 的值，设出AB 与OA ，利用勾股定理表示出OB ，求出OB 与OA 的比值，即为相似比，根据面积之比等于相似比的平方，求出两三角形面积之比，由A 在反比例函数y ＝上，利用反比例函数比例系数的几何意义求出三角形AOE 的面积，进而确定出BOF 的面积，再利用k 的集合意义即可求出k 的值．解：过A 作AE ⊥x 轴，过B 作BF ⊥x 轴，∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，∴∠BOF +∠EOA ＝90°，∵∠BOF +∠FBO ＝90°，∴∠EOA ＝∠FBO ，∵∠BFO ＝∠OEA ＝90°，∴△BFO ∽△OEA ，在Rt △AOB 中，cos ∠BAO ＝＝， 设AB ＝，则OA ＝1，根据勾股定理得：BO ＝， ∴OB ：OA ＝：1， ∴S △BFO ：S △OEA ＝2：1，∵A 在反比例函数y ＝上，∴S △OEA ＝1，∴S＝2，△BFO则k＝﹣4．故选：B．【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）11．在Rt△ABC中，sin A＝，则∠A等于30°．【分析】根据sin30°＝解答．解：在Rt△ABC中，sin A＝，∴∠A＝30°，故答案为：30．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．12．某服装原价为100元，连续两次涨价a%，售价为121元，则a的值为10．【分析】根据该服装的原价及经两次涨价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：根据题意得：100（1+a%）2＝121，解得：a1＝10，a2＝﹣210（舍去）．故答案为：10．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是红球．【分析】根据已知条件即可得到结论．解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是，∴这三种颜色的球的个数相等，∴添加的球是红球，故答案为：红球．【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率的概念是解题的关键．14．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则OD：OB＝1：2．【分析】依据BD，CE分别是边AC，AB上的中线，可得DE是△ABC的中位线，即可得到DE∥BC，DE＝BC，再根据△DOE∽△BOC，即可得到OD：OB的值．解：∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DOE∽△BOC，∴＝＝，故答案为：1：2．【点评】本题主要考查了三角形的重心，三角形中位线定理以及相似三角形的性质的运用，解题时注意：相似三角形的对应边成比例．15．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是0．【分析】由于方程的一个根是0，把x＝0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，把x＝0代入方程，得k2﹣k＝0，解得，k1＝1，k2＝0当k＝1时，由于二次项系数k﹣1＝0，方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0不是关于x的二次方程，故k≠1．所以k的值是0．故答案为：0【点评】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．16．如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB ＝4，BC＝6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则①CD＝10；②图中阴影部分面积为．【分析】①利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；②设AG与CF、BF分别相交于点M、N，根据等边对等角求出∠CAG＝∠CGA，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGA＝30°，然后求出AG⊥GD，再根据相似三角形对应边成比例求出CM，从而得到MF，然后求出MN，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．①解：∵△ABE、△CDG都是等边三角形，∴△ABE∽△CDG，∴＝，即＝，解得CD＝10；②解：如图，设AG与CF、BF分别相交于点M、N，∵AC＝AB+BC＝4+6＝10，∴AC＝CG，∴∠CAG＝∠CGA，又∵∠CAG+∠CGA＝∠DCG＝60°，∴∠CGA＝30°，∴∠AGD＝∠CGA+∠CGD＝30°+60°＝90°，∴AG⊥GD，∵∠BCF＝∠D＝60°，∴CF∥DG，∴△ACM∽△ADG，∴MN⊥CF，＝，即＝，解得CM＝5，所以，MF＝CF﹣CM＝6﹣5＝1，∵∠F＝60°，∴MN＝MF＝，＝MF•MN＝×1×＝，∴S△MNF即阴影部分面积为．故答案为：10；．【点评】本题考查了相似三角线的判定与性质等边三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于②判断出直角三角形．三、解答题（共86分）17．（8分）计算：÷+×﹣tan60°【分析】先利用二次根式的乘除法则和特殊角的三角函数值进行计算，然后合并即可．解：原式＝+﹣×＝4+﹣＝4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（8分）（1）（x﹣3）2﹣49＝0（2）5x2+2x﹣1＝0【分析】（1）先变形为（x﹣3）2＝49，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用求根公式法解方程．解：（1）（x﹣3）2＝49，x﹣3＝±7，所以x1＝10，x2＝﹣4；（2）△＝22﹣5×5×（﹣1）＝29，x＝所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．19．（8分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）若点C坐标为（2，4），则点A'的坐标为（﹣1，0），点C′的坐标为（1，2），周长比C△A′B′C′：C△ABC＝1：2．【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用（1）中所画图形得出对应点坐标．解：（1）如图所示：△A ′B ′C ′即为所求；（2）若点C 坐标为（2，4），则点A '的坐标为（﹣1，0），点C ′的坐标为 （1，2）， 周长比C △A ′B ′C ′：C △ABC ＝1：2．故答案为：（﹣1，0），（1，2），1：2．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．20．（8分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出至少有一个孩子是女孩的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）第二个孩子是女孩的概率＝；故答案为；（2）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，所以至少有一个孩子是女孩的概率＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．21．（9分）如图，小王在长江边某瞭望台D处测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE ＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为多少米？（结果精确到0.1，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【分析】延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP，可得CE＝PQ＝2、CQ＝PE，由i＝，可设CQ＝4x、BQ＝3x，根据BQ2+CQ2＝BC2求得x的值，即可知DP ＝11，由AP＝，结合AB＝AP﹣BQ﹣PQ可得答案．解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE＝PQ＝2（米），CQ＝PE，∵i＝，∴设CQ＝4x、BQ＝3x，由BQ2+CQ2＝BC2可得（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2或x＝﹣2（舍），则CQ＝PE＝8（米），BQ＝6（米），∴DP＝DE+PE＝11（米），在Rt△ADP中，∵AP＝≈13.1（米），∴AB＝AP﹣BQ﹣PQ＝13.1﹣6﹣2＝5.1（米）．【点评】此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．22．（10分）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE 与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若S＝5，BC＝10，求DE的长．△FCD【分析】（1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC＝∠ECB，而由AD＝AC 可以得到∠ADC＝∠ACD，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论；（2）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长．（1）证明：∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD．∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB．∴△ABC∽△FCD；（2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M．∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴＝．＝5，∵S△FCD＝20．∴S△ABC＝×BC×AM，BC＝10，又∵S△ABC∴AM＝4．又DM＝CM＝CD，DE∥AM，∴DE：AM＝BD：BM＝，∴DE＝．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，也利用了三角形的面积公式求线段的长．23．（9分）已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等实根，且3c＝a+3b（1）试判断△ABC的形状；（2）求sin A+sin B的值．【分析】（1）先把方程整理为一般式，再根据判别式的意义得到△＝4b2﹣4（c﹣a）（a+c）＝0，则a2+b2＝c2，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形形状；（2）由于a2+b2＝c2，3c＝a+3b，消去a得（3c﹣3b）2+b2＝c2，变形为（4c﹣5b）（c﹣b）＝0，则b＝c，a＝c，根据正弦的定义得sin A＝，sin B＝，所以sin A+sin B＝，然后把b＝c，a＝c代入计算即可．解：（1）方程整理为（c﹣a）x2+2bx+a+c＝0，根据题意得△＝4b2﹣4（c﹣a）（a+c）＝0，∴a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形；（2）∵a2+b2＝c2，3c＝a+3b∴（3c﹣3b）2+b2＝c2，∴（4c﹣5b）（c﹣b）＝0，∴4c＝5b，即b＝c，∴a＝3c﹣3b＝c∵sin A＝，sin B＝，∴sin A+sin B＝＝＝．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义．24．（12分）综合实践课上，某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上（所有横线都平行，且相邻两条平行线的距离为1），使直角三角形纸片的顶点恰巧在横线上，发现这样能求出三角形的边长．（1）如图1，已知等腰直角三角形纸片△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，同学们通过构造直角三角形的办法求出三角形三边的长，则AB＝；（2）如图2，已知直角三角形纸片△DEF，∠DEF＝90°，EF＝2DE，求出DF的长；（3）在（2）的条件下，若橫格纸上过点E的横线与DF相交于点G，直接写出EG的长．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出AD＝CE＝3，BE＝DC＝2，进而利用勾股定理解答即可；（2）过点E作横线的垂线，交l1，l2于点M，N，根据相似三角形的判定和性质解答即可；（3）利用梯形的面积公式解答即可．解：（1）如图1，∵∠DAC+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ECB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC与△BCE中，，∴△ADC≌△BCE，∴AD＝CE＝3，BE＝DC＝2，∴，∴AB＝＝；故答案为：（2）过点E作横线的垂线，交l1，l2于点M，N，∴∠DME＝∠EDF＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠1+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，∴△DME∽△ENF，∴，∵EF＝2DE，∴，∵ME＝2，EN＝3，∴NF＝4，DM＝1.5，根据勾股定理得DE＝2.5，EF＝5，，（3）根据（2）可得：，即，解得：EG＝2.5．【点评】此题考查三角形综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质进行解答．25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：＝；②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．先推出∠ACO＝30°，∠ACD＝60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，∠DCE＝∠EDC＝30°，推出∠DBC＝∠BCD＝60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC＝BC＝2，由此即可解决问题；（3）①先表示出DN，BM，再判断出△BMD∽△DNE，即可得出结论；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2，∠BCO＝∠BAO＝90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：∵OA＝2，OC＝2，∵tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°①如图1中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，∴∠DCE＝∠EDC＝30°，∴∠DBC＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC＝BC＝2，在Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2．∴当AD＝2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，∴∠ABD＝∠ADB＝75°，∴AB＝AD＝2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①如图1，过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，∵A（0，2）和C（2，0），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，设D（a，﹣a+2），∴DN＝﹣a+2，BM＝2﹣a∵∠BDE＝90°，∴∠BDM+∠NDE＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，∴∠DBM＝∠EDN，∵∠BMD＝∠DNE＝90°，∴△BMD∽△DNE，∴＝＝．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD＝x，∠DAH＝∠ACO＝30°，∴DH＝AD＝x，AH＝＝x，∴BH＝2﹣x，在Rt△BDH中，BD＝＝，∴DE＝BD＝•，∴矩形BDEF的面积为y＝[]2＝（x2﹣6x+12），即y＝x2﹣2x+4，∴y＝（x﹣3）2+，∵＞0，∴x＝3时，y有最小值．【点评】本题考查相似形综合题、四点共圆、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．新九年级上学期期中考试数学试题及答案一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ C ）2．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方后可得(A)A．(x＋5)2＝16 B．(x＋5)2＝1C．(x＋10)2＝91 D．(x＋10)2＝1093．(2018·济宁)如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x 轴上，点C的坐标为(－1，0)，AC＝2，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标是( A)A．(2，2) B．(1，2) C．(－1，2) D．(2，－1)4．(雅安中考)将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线的解析式为(D) A．y＝(x－2)2B．y＝(x－2)2＋6C．y＝x2＋6 D．y＝x25．某商品原售价为50元，10月份下降了10%，从11月份起售价开始增长，12月份售价为64.8元，设11、12月份每个月的平均增长率为x，则下列结论正确的是（D）A．10月份的售价为50(1＋10%)元B．11月份的售价为50(1＋10%)元C．50(1＋x)2＝64.8D．50(1－10%)(1＋x)2＝64.86．已知a≥2，m，n为x2－2ax＋2＝0的两个根，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值是（ A ）A．6 B．3 C．－3 D．07．(呼和浩特中考)在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx ＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是（D）8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是( A )A.7 B．2 2 C．3 D．2 3第8题图第9题图第10题图9．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为( A )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③10．(2018·达州)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：①abc<0； ②9a ＋3b ＋c>0；③若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 1、点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y 2是函数图象上的两点，则y 1<y 2；④－35<a<－25.其中正确结论有( D)A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)11．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为直线x＝2.第11题图第15题图第18题图12．一元二次方程(x＋3)2－x＝2(x2＋3)化成一般形式为x2－5x－3＝0，方程根的情况为有两个不相等的实数根．13．等边三角形绕中心点至少旋转120度后能与自身重合，正方形绕中心点至少旋转90度后能与自身重合．14．平面直角坐标系中有一个点A(－2，6)，则与点A关于原点对称的点的坐标是(2，－6)，经过这两点的直线的解析式为y＝－3x.15．(原创)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，不等于x2＋bx＋c＞x＋m的解集为x ＜1或x＞ 3.16．一位运动员投掷铅球的成绩是14 m，当铅球运行的水平距离是6 m时达到最大高度4 m，若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是1.75 m.17．已知方程(p－2)x2－x＋p2－3p＋2＝0的一个根为0，则实数p的值是1.18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B三、解答题(本大题共7小题，共66分)19．(8分)(1)解方程3x2－x－1＝0；解：∵a＝3，b＝－1，c＝－1∴b2－4ac＝(－1)2－4× 3×(－1)＝13＞0，∴x＝－（－1）±132× 3＝1±136，∴x1＝1＋136，x2＝1－136；(2)通过配方，写出抛物线y＝1＋6x－x2的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：y＝1＋6x－x2＝－(x－3)2＋10，开口向下，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是(3，10)．20．(8分)如图所示，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，AP＝5，则PP′的长是多少？解：由旋转易知AP′＝AP＝5，∠BAP＝∠CAP′，∵∠BAC ＝90°，∴∠PAP′＝∠CAP＋∠CAP′＝∠CAP＋∠BAP＝90°，则在Rt△PAP′中，由勾股定理得PP′＝AP2＋AP′2＝5 2.21(8分)(眉山中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－3，2)，B(－1，4)，C(0，2)．(1)将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C ；(2)平移△ABC ，若A 的对应点A 2的坐标为(－5，－2)，画出平移后的△A 2B 2C 2；(3)若将△A 2B 2C 2绕某一点旋转可以得到△A 1B 1C ，请直接写出旋转中心的坐标．解：(1)如图； (2)如图；(3)旋转中心的坐标为(－1，0)．22．(8分)如图，经过原点O 的抛物线y ＝ax 2＋bx(a ≠0)与x 轴交于另一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，在第一象限内与直线y ＝x 交于点B(2，t)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M在抛物线上，且∠MBO＝∠ABO，求点M的坐标．新九年级上学期期中考试数学试题及答案一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ C ）2．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方后可得(A)A．(x＋5)2＝16 B．(x＋5)2＝1C．(x＋10)2＝91 D．(x＋10)2＝1093．(2018·济宁)如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x 轴上，点C的坐标为(－1，0)，AC＝2，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标是( A)A．(2，2) B．(1，2) C．(－1，2) D．(2，－1)4．(雅安中考)将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线的解析式为(D) A．y＝(x－2)2B．y＝(x－2)2＋6C．y＝x2＋6 D．y＝x25．某商品原售价为50元，10月份下降了10%，从11月份起售价开始增长，12月份售价为64.8元，设11、12月份每个月的平均增长率为x，则下列结论正确的是（D）A．10月份的售价为50(1＋10%)元B．11月份的售价为50(1＋10%)元C．50(1＋x)2＝64.8D．50(1－10%)(1＋x)2＝64.86．已知a≥2，m，n为x2－2ax＋2＝0的两个根，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值是（ A ）A．6 B．3 C．－3 D．07．(呼和浩特中考)在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx ＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是（D）8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是( A )A.7 B．2 2 C．3 D．2 3第8题图第9题图第10题图9．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为( A )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③10．(2018·达州)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：①abc<0； ②9a ＋3b ＋c>0；③若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 1、点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y 2是函数图象上的两点，则y 1<y 2；④－35<a<－25.其中正确结论有( D)A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)11．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为直线x＝2.第11题图第15题图第18题图12．一元二次方程(x＋3)2－x＝2(x2＋3)化成一般形式为x2－5x－3＝0，方程根的情况为有两个不相等的实数根．13．等边三角形绕中心点至少旋转120度后能与自身重合，正方形绕中心点至少旋转90度后能与自身重合．14．平面直角坐标系中有一个点A(－2，6)，则与点A关于原点对称的点的坐标是(2，－6)，经过这两点的直线的解析式为y＝－3x.15．(原创)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，不等于x2＋bx＋c＞x＋m的解集为x ＜1或x＞ 3.16．一位运动员投掷铅球的成绩是14 m，当铅球运行的水平距离是6 m时达到最大高度4 m，若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是1.75 m.17．已知方程(p－2)x2－x＋p2－3p＋2＝0的一个根为0，则实数p的值是1.18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B三、解答题(本大题共7小题，共66分)19．(8分)(1)解方程3x2－x－1＝0；解：∵a＝3，b＝－1，c＝－1∴b2－4ac＝(－1)2－4× 3×(－1)＝13＞0，∴x＝－（－1）±132× 3＝1±136，∴x1＝1＋136，x2＝1－136；。
2019_2020学年山东青岛初三上学期期中数学试卷(局属四校)-详解版
2019~2020学年⼭东⻘岛初三上学期期中数学试卷（局⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题3分，共24分）2. A.D.【答案】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：【解析】如图，在平⾏四边形，添加下列条件不能判定四边形是菱形的只有（ ）．C根据对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形，可得到菱形，故错误；根据邻边相等的平⾏四边形是菱形，可得到菱形，故错误；根据对⾓线相等的平⾏四边形是矩形，可知不能判定其为菱形，故正确；∵⼜∵A.，【答案】【解析】⽅程的解是（ ）．D ，移项得提公因式得解得，故选．∴，∴，根据邻边相等的平⾏四边形是菱形，可得到菱形，故错误．故选 C .3. A.B.C.D.【答案】【解析】随着居⺠经济收⼊的不断提⾼以及汽⻋业的快速发展，家⽤汽⻋已越来越多地进⼊普通家庭，抽样调查显⽰，截⽌年底某市汽⻋拥有量为万辆．⼰知年底该市汽⻋拥有量为万辆，设年底⾄年底该市汽⻋拥有量的平均增⻓率为，根据题意列⽅程得（）．A 设年底⾄年底该市汽⻋拥有量的平均增⻓率为，根据题意，可列⽅程：．4. A.B.C.D.【答案】【解析】在数字，，，中任选两个组成⼀个两位数，这个两位数能被整除的概率为（ ）．A从个数中任意抽取两个组成两位数的所有可能有、、、、、、、、、、、共种，其中能被整除的数分别为、、、共种，所以根据概率的计算公式，可得．故选．事件可能出现的次数所有可能出现的次数5. A.B. C. D.【答案】如图，在中，，，，则的⻓是（ ）．A【解析】∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．故选．6. A. B. C. D.【答案】【解析】如图，把沿着的⽅向平移到的位置，它们重叠部分的⾯积是⾯积的⼀半，若，则移动的距离是（ ）．D ∵沿边平移到的位置，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．7. A.B.C.D.【答案】⼀个菱形的边⻓为，⾯积为，则该菱形的两条对⾓线的⻓度之和为（ ）．C【解析】如图所⽰：∵四边形是菱形，∴，，，∵⾯积为，∴①，∵菱形的边⻓为，∴②，由①②两式可得：．∴，∴，即该菱形的两条对⾓线的⻓度之和为．故选．8. A.B. C. D.【答案】【解析】如图，点为正⽅形的中⼼，，平分交于点，延⻓到点，使，连结交的延⻓线于点，连结交于点，连结．则以下四个结论中，①，②，③，④，⑤．正确结论的个数为（ ）．D①∵，，，∴≌，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴≌，∴，∵，∴是的中位线，∴，故①正确；②③∵点为正⽅形的中⼼，，，∴．由三⾓形中位线定理知，，，∴，故②错误，③正确；④∵四边形是正⽅形，是的平分线，∴，，，∵，∴≌，∴，∴，∵是的中位线，，∴是的垂直平分线，∴，∴，∴，∴，∵∴∴∴∵∴∵∴∴∴∴∴⑤正确．∴①③④⑤正确．故选．⼆、填空题（本⼤题共8⼩题，每⼩题3分，共24分）9.【答案】【解析】若⼀元⼆次⽅程 ．∵⼀元⼆次⽅程，∴把，∴故答案为：10.【答案】【解析】∵，是⼀个直⾓三⾓形两条直⾓边的⻓，设斜边为∴即∵∴解得则直⾓三⾓形的斜边⻓为 故答案为：11.【答案】【解析】若点是线段的⻩⾦分割点（ ．∵点是线段∴∴设∴∴∴∴∴12.【答案】【解析】⼀个不透明的⼝袋⾥装有除颜⾊外都相同的个⽩球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，⼩亮为估计⼝袋中红球的个数，采⽤了如下的⽅法：先把⼝袋中的球摇勻，再从⼝袋⾥随机摸出⼀球，记下颜⾊，然后把它放回⼝袋中，不断重复上述过程，⼩亮共摸了次，其中有次摸到⽩球，因此⼩亮估计⼝袋中的红球⼤约为 ．∵⼩亮共摸了次，其中次摸到⽩球，则有次摸到红球，∴⽩球与红球的数量之⽐为，∵⽩球有个，∴红球有（个）．13.【答案】【解析】经过三边都不相等的三⾓形的⼀个顶点的线段把三⾓形分成两个⼩三⾓形，如果其中⼀个是等腰三⾓形，另外⼀个三⾓形和原三⾓形相似，那么把这条线段定义为原三⾓形的“和谐分割线”．如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三⾓形，和相似，，则的度数为 ．或∵，∴，∵是等腰三⾓形，∵，∴，即，①当时，，∴，②当时，，∴．14.如图，为了测量⼀棵树的⾼度，测量者在处⽴了⼀根⾼为的标杆，观测者从处可以看到杆顶，树顶在同⼀条直线上，若测得，，，则树⾼为．【答案】【解析】如图，过点作交于，交于，则，∴，∵，，∴，∵、都与底⾯垂直，∴．∴，∴，即，解得：，所以⼤树⾼：．15.如图，将⼀张⻓⽅形纸板的四个⾓上分别剪掉个⼩正⽅形和个⼩⻓⽅形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成⼀个有盖的⻓⽅体盒⼦（纸板的厚度忽略不计）．若⻓⽅形纸板边⻓分别为和，且折成的⻓⽅体盒⼦表⾯积是，此时⻓⽅体盒⼦的体积为 ．【答案】【解析】设剪掉的⼩正⽅形的边⻓为，根据题意得：，整理得：，解这个⽅程得：，（不合题意，应舍去），当时，⻓⽅体盒⼦的体积为：．故此时⻓⽅体盒⼦的体积．16.【答案】【解析】如图，在平⾯直⾓坐标系中，矩形的两边、分别在轴和轴上，且，．在第⼆象限内，将矩形以原点为位似中⼼放⼤为原来的倍，得到矩形，再将矩形以原点为位似中⼼放⼤倍，得到矩形，以此类推，得到的矩形的对⾓线交点的坐标为 ．xyO∵在第⼆象限内，将矩形以原点为位似中⼼放⼤为原来的倍，∴矩形与矩形是位似图形，点与点是对应点，∵，．∵点的坐标为，∴点的坐标为，∵将矩形以原点为位似中⼼放⼤倍，得到矩形…，∴，∴，∵矩形的对⾓线交点，即．三、作图题（本⼤题共1⼩题，共4分）17.【答案】【解析】⽤圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段和．求作：菱形，使菱形的边⻓为，其中⼀个内⾓等于．画图⻅解析．四、解答题（本⼤题共8⼩题，共68分）18.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】⽤指定⽅法解⽅程：（配⽅法解）．（公式法解）．，．，．（2）或，．．∵，∴⽅程有两个不相等的实根，∴，．即，．19.【答案】【解析】第⼀盒中有个⽩球、个红球，第⼆盒中有个⽩球、个红球，这些球除颜⾊外⽆其他差别．分别从每个盒中随机取出个球，求取出的个球中有个⽩球、个红球的概率．请通过列表格或画树状图说明理由．，画图⻅解析．列表法①②⽩⽩红⽩⽩⽩⽩⽩⽩红红红⽩红⽩红红红红⽩红⽩红红∴取出个⽩球，个红球概率为．20.如图，梯形中．．且，，分别是，的中点．与相交于点．（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】求证：．若，求．证明⻅解析．．∵点、分别是、的中点且，∴．∵，∴四边形是平⾏四边形．∴．∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．21.（1）（2）（1）（2）【答案】⽅法⼀：（1）【解析】已知关于的⼀元⼆次⽅程有实数根．求的取值范围．如果⽅程的两个实数根为，，且，求的取值范围．．．根据题意得，解得．⽅法⼆：⽅法⼀：⽅法⼆：（2）根据题意得，，，．根据题意得，，⽽，所以，解得，⽽，所以的范围为．根据题意，，，，，，，，⼜∵，∴．22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】如图，四边形是正⽅形，点是边上⼀点，延⻓⾄使，连接．求证：．过点作，过点作，问四边形是什么特殊的四边形，并证明．证明⻅解析．四边形是正⽅形；证明⻅解析．∵四边形是正⽅形，（2）∴，，∴，在与中，∴≌∴．四边形是正⽅形，理由：∵，，∴四边形是平⾏四边形，∵≌，∴，∴四边形是菱形，∵，∴，∴四边形是正⽅形．23.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】某商店经销⼀种销售成本为每千克元的⽔产品，据市场分析，若每千克元销售，⼀个⽉能售出，销售单价每涨元，⽉销售量就减少，针对这种⽔产品情况，请解答以下问题：当销售单价定为每千克元时，计算销售量和⽉销售利润．商品想在⽉销售成本不超过元的情况下，使得⽉销售利润达到元，销售单价应为多少.千克，元．元．当销售单价定为每千克元时，⽉销量为（千克），所以⽉销售利润为：元．由于⽔产品不超过，定价为元，则，解得：，，当时，进货，符合题意，当时，进货，舍去．答：商品想在⽉销售成本不超过元的情况下，使得⽉销售利润达到元，销售单价应为元．24.（1）（2）【阅读资料】同学们，我们学过⽤配⽅法解⼀元⼆次⽅程，也可⽤配⽅法求代数式的最值．（）求的最⼩值．解：，因⼤于等于，所以⼤于等于，即的最⼩值是，此时．（）求的最⼤值．解：，因⼤于等于，所以⼩于等于，所以⼩于等于，即的最⼤值是，此时，．【探索发现】如图①，是⼀张直⾓三⾓形纸⽚，，，，⼩明想从中剪出⼀个以为内⾓且⾯积最⼤的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线、剪下时，所得的矩形的⾯积最⼤．下⾯给出了未写完的证明，请你阅读下⾯的证明并写出余下的证明部分，并求出矩形的最⼤⾯积与原三⾓形⾯积的⽐值．图解：在上任取点，作，，得到矩形．设，易证，则，，，，请你写出剩余部分．【拓展应⽤】矩形（3）（4）（1）（2）（3）（4）【答案】（1）【解析】如图②，在中，，边上的⾼，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，则矩形⾯积的最⼤值为 ．（⽤含，的代数式表⽰）图【灵活应⽤】如图③，有⼀块“缺⾓矩形”，，，，，⼩明从中剪出了⼀个⾯积最⼤的矩形（为所剪出矩形的内⾓），该矩形的⾯积为 ．（直接写出答案）图【实际应⽤】如图④，现有⼀块四边形的⽊块余料，经测量，，，且，⽊匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点、在边上且⾯积最⼤的矩形，该矩形的⾯积为 ．（直接写出答案）图证明⻅解析；矩形的最⼤⾯积与原三⾓形⾯积的⽐值为．【探索发现】，矩形（2）（3）∵，∴，∴矩形的⾯积的最⼤值为．∵原三⾓形⾯积，故矩形的最⼤⾯积与原三⾓形⾯积的⽐值为：．【拓展应⽤】设，∵，∴，∴，∵，边上的⾼，∴，，∴，∴的最⼤值为：．则矩形⾯积的最⼤值为．故答案为：．【灵活应⽤】如图③，延⻓、交于点，延⻓、交于点，延⻓、交于点，取中点，的中点，图由题意知四边形是矩形，∵，，，，∴，，∴，，在和中，矩形（4）∵，∴≌，∴，同理≌，∴，∴，∵，∴中位线的两端点在线段和上，过点作于点．由【探索发现】知矩形的最⼤⾯积为．故答案为：．【实际应⽤】如图④，延⻓、交于点，过点作于点．图∵，∴，∵，∴，∵，设，则，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴的中点在线段上，∵，∴的中点在线段上，∴中位线的两端点在线段、上，由【拓展应⽤】知，矩形的最⼤⾯积为，故答案为：．25.（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）【解析】如图，在矩形中，，，为对⾓线．点从点出发，沿线段向点运动，点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒个单位⻓度，当点运动到时，两点都停⽌．设运动时间为秒．（备⽤图）是否存在某⼀时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由．设四边形的⾯积为，求与之间的函数关系式．是否存在某⼀时刻，使得？若存在．求出的值；若不存在，则说明理由．是否存在某⼀时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由．存在，．．存在，．存在，．，．∵，∴∴．．，，四边形矩形四边形。
青岛版九年级上册数学期中考试试卷及答案
青岛版九年级上册数学期中考试试题一、选择题（每小题3分，共60分）1．下列方程中，一元二次方程共有（ ）①2320x x += ②22340x xy -+= ③214x x -= ④21x =⑤2303xx -+= A ． 2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个 2．一元二次方程x x 22=的根是（ ）A ．2=xB ．0=xC ．2,021==x xD ．2,021-==x x3．如图，下列四组条件中．不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）．A 、AB=DC ，AD=BCB 、AB ∥DC ，AD ∥BC C 、AB ∥DC ，AD=BCD 、AB ∥DC ，AB=DC4．下列关于矩形的说法，正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分5．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是（ ）． A ．一组邻边相等的四边形是菱形B ．四边都相等的四边形是菱形C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D ．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形6．一元二次方程x 2-x+2=0的根的情况是（ ）．A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根7．下列命题中，不正确的是（ ）A ．关于轴对称的两个图形是全等形B ．关于中心对称的两个图形是全等形C ．全等的两个三角形成中心对称D ．成中心对称的两个图形的对称点连线经过对称中心GF O EDCB A8．如图，在△ABC 中，BD 、CE 是△ABC 的中线，BD 与CE 相交于点O ，点F 、G 分别是BO 、 CO 的中点，连结AO.若AO=6cm ，BC=8cm ，则四边形DEFG 的周长是 （ ）．A. 14cmB. 18 cmC. 24cmD. 28cm9．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交与点O ．已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有（ ）． A 、2条B 、4条C 、5条D 、6条10．已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比为4∶3，则这个菱形的面积是（ ）． A ．12cm 2 B ．24cm 2 C ．48cm 2 D ．96cm 211．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，AF 平分∠DAE ，EF ⊥AE ，则CF 等于（ ）． A ．23B ．1C ．32D ．212．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣a=0有两个相等的实数根，则a 的值是（ ） A ． 1 B ﹣1C ．D ． ﹣13．给出以下四个命题：①一组对边平行的四边形是梯形；②一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形； ③对角线互相垂直的矩形是正方形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形． 其中真命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个14．图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A ．点MB ．点NC ．点OD ．点P15．如图：等腰梯形ABCD 中 ，AD ∥BC ，AB=DC ，AD=3，AB=4,∠B=60︒，则梯形ABCD 的面积是（ ）．A.310B.320C.346+D.3812+16．对于任意实数x ，x 2-4x+7的值是一个（ ）A 负数B 非正数C 正数D 不确定17．在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的▱ABCD ，点A 的坐标是（0，2）．现将这张胶片平移，使点A 落在点A′（5，-1）处，则此平移可以是（ ） A ．先向右平移5个单位，再向下平移1个单位 B ．先向右平移5个单位，再向下平移3个单位 C ．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位 D ．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位18．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（ ） A ．25° B ．30° C ．35° D ．40°19．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ）A 、1米B 、1.5米C 、2米D 、2.5米20．如图，在正方形ABCD 中，点O 为对角线AC 的中点，过点0作射线OM 、ON 分别交AB 、BC 于点E 、F ，且∠EOF=900 ,BO 、EF 交于点P ．则下列结论中： (1)图形中全等的三角形只有两对；(2)正方形ABCD 的面积等于四边形OEBF 面积的4倍；(3)BE+BF=2 0A ；(4)AE 2+CF 2=20P •OB ，正确的结论有（ ）． A ．1 8．2 C ．3 D ．4A DB C二、填空题（每小题3分，共12分）21．将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD 的形状是．22．如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C ′与AB相交于点D，则C′D= .23．写一个以2和-3为根的一元二次方程.24．已知ABCD的周长为28，自顶点A作AE⊥DC于点E，AF⊥BC于点F. 若AE=3，AF=4，则CE－CF= .三、解答题（共48分）25．解方程（每小题5分，共10分）（1）3x2 －9x＋2=0（配方法）（2）（3x+2）（x+3）=x+1426．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．(1) 求证：BE = DF；(6分)(2) 若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状(不必说明理由)．(2分)27．近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（6分）（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．（2分）28．已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，BC=2AD ，E 是BC 的中点，连接AE 、AC ．（1）点F 是DC 上一点，连接EF ，交AC 于点O （如图1），求证：△AOE ∽△COF ；（4分）（2）若点F 是DC 的中点，连接BD ，交AE 与点G （如图2），求证：四边形EFDG 是菱形．（6分）图 1OFDCE BA29．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=AB ，过点A 作AE ∥DB 交CB 的延长线于点E ．（1）求证：∠ABD=∠CBD ；（4分） （2）若∠C=2∠E ，求证：AB=DC ；（4分）（3）在（2）的条件下，sinC ＝45，AD ＝2，求四边形AEBD 的面积．（4分）附加题：在一次研究性学习活动中，某小组将两张互相重合的正方形纸片ABCD 和EFGH 的中心O 用图钉固定住，保持正方形ABCD 不动，顺时针旋转正方形EFGH ，如图所示. （1）小组成员经观察、测量，发现在旋转过程中，有许多有趣的结论. 下面是旋转角度小于90°时他们得到的一些猜想：①ME ＝MA ；②两张正方形纸片的重叠部分的面积为定值；③∠MON 保持45°不变.请你对这三个猜想做出判断（正确的在序号后的括号内打上“√”，错误的打上“×”）： ①（ ）；②（ ）；③（ ）.（2）小组成员还发现：（1）中的△EMN 的面积S 随着旋转角度∠AOE 的变化而变化. 请你指出在怎样的位置时△EMN 的面积S 取得最大值. （不必证明）NHME DA O（3）上面的三个猜想中若有正确的，请选择其中的一个给予证明；若都是错误的，请选择其一说明理由.答案：1—5 :BCCDB 6—10：CCADB 11—15：CBBDA 16—20：CBBAC21．将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是等腰梯形．22．如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C ′与AB相交于点D，则C′D=2.5 .23．写一个以2和-3为根的一元二次方程 （x-2）(x+3)=0 . 24．已知ABCD 的周长为28，自顶点A 作AE ⊥DC 于点E ，AF ⊥BC 于点F. 若AE=3，AF=4，则 CE －CF= . 【答案】2＋3或2－3。
山东省青岛市九年级(上)期中数学试卷(含解析)
山东省青岛市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共30分）1．下列一组数值中，是方程x2﹣3x+2=0的解是（）A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．1或22．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（）A．k=﹣4 B．k=4 C．k≥﹣4 D．k≥43．下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形4．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）A．频率等于概率；B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近；C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近；D．实验得到的频率与概率不可能相等5．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积为（）A．2B．4 C．4D．86．一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（）A．x1=x2=B．x1=0，x2=﹣2C．x1=，x2=﹣3D．x1=﹣，x2=37．一元二次方程x2﹣10x+21=0可以转化的两个一元一次方程正确的是（）A．x﹣3=0，x+7=0 B．x+3=0，x+7=0C．x﹣3=0，x﹣7=0 D．x+3=0，x﹣7=08．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE 的长为（）A．B．C．D．9．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α=60°．若AB=OD=2，则▱ABCD的面积是（）A．8 B．C．2D．410．用配方法解方程3x2﹣4x﹣2=0时，配方正确的是（）A．B．C．D．11．为了塑造宜居宜业的“皖北江南”，我县决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（）A．19% B．20% C．21% D．22%12．已知正方形ABCD的边长是10cm，△APQ是等边三角形，点P在BC上，点Q在CD上，则BP的边长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm13．有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为（）A．B．C．D．14．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．4.8 B．5 C．6 D．7.215．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A．28°B．52°C．62°D．72°二、填空题（每小题3分，共24分）16．如图，菱形ABCD中，BD=24，AC=10，则该菱形的周长为．17．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总个数为．18．已知一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22=．19．两个数的积为12，和为7，设其中一个数为x，则依题意可列方程．20．代数式﹣x2+bx+c与x的部分对应值如下表：x﹣3 ﹣2 ﹣1 1﹣x2+bx+c﹣14 ﹣7 ﹣2 2根据表格中的信息得知：一元二次方程﹣x2+bx+c=0的一个解的范围在与之间．21．甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红球的概率是．22．如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向向右平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于．23．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是．三、解答题（66分）24．（12分）解下列方程：（1）2（x+1）2﹣8=0；（2）x2﹣3x﹣1=0（配方法）；（3）3x2﹣5x+1=0（公式法）．25．（8分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？26．（8分）如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC=∠DA C．（1）求证：AB=BC；（2）若AB=2，AC=2，求▱ABCD的面积．27．（8分）如图矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P点，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，且使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E．找出图中与P A相等的线段．并说明理由．28．（8分）在一个布口袋中装有只有颜色不同，其它都相同的白、红、黑三种颜色的小球各1只，甲乙两人进行摸球游戏；甲先从袋中摸出一球看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球．（1）试用树状图（或列表法）表示摸球游戏所有可能的结果；（2）如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙胜，否则为负，试求乙在游戏中能获胜的概率．29．（10分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．30．（12分）如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，EF=DG=1，DF=2．（1）AE=，正方形ABCD的边长=；（2）如图2，将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上．①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；②若α=30°，求菱形AB′C′D′的边长．参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共30分）1．下列一组数值中，是方程x2﹣3x+2=0的解是（）A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．1或2【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣3x+2=0，（x﹣2）（x﹣1）=0，x﹣2=0，x﹣1=0，x1=2，x2=1，即方程x2﹣3x+2=0的解是1或2，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．2．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（）A．k=﹣4 B．k=4 C．k≥﹣4 D．k≥4【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4k=0，然后解一次方程即可．【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，∴△=42﹣4k=0，解得：k=4，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3．下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．4．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）A．频率等于概率；B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近；C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近；D．实验得到的频率与概率不可能相等【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．【解答】解：A、频率只能估计概率；B、正确；C、概率是定值；D、可以相同，如“抛硬币实验”，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同．故选：B．【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．5．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积为（）A．2B．4 C．4D．8【分析】连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCED的面积即可．【解答】解：连接OE，与DC交于点F，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，∵OD∥CE，OC∥DE，∴四边形ODEC为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形ODEC为菱形，∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，∵DE∥OA，且DE=OA，∴四边形ADEO为平行四边形，∵AD=2，DE=2，∴OE=2，即OF=EF=，在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF==1，即DC=2，则S菱形ODEC=OE•DC=×2×2=2．故选：A．【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．6．一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（）A．x1=x2=B．x1=0，x2=﹣2C．x1=，x2=﹣3D．x1=﹣，x2=3【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，再根据x=，将a，b 及c的值代入计算，即可求出原方程的解．【解答】解：∵a=1，b=2，c=﹣6∴x====﹣±2，∴x1=，x2=﹣3；故选：C．【点评】此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式≥0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．7．一元二次方程x2﹣10x+21=0可以转化的两个一元一次方程正确的是（）A．x﹣3=0，x+7=0 B．x+3=0，x+7=0C．x﹣3=0，x﹣7=0 D．x+3=0，x﹣7=0【分析】先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程．【解答】解：∵（x﹣3）（x﹣7）=0，∴x﹣3=0或x﹣7=0，故选：C．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．8．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE 的长为（）A．B．C．D．【分析】由于四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，所以首先根据已知条件可以证明△ABE≌△ADF，再根据全等三角形的性质得到BE=DF，设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1﹣x，那么在Rt△ABE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出BE．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1﹣x，在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，在Rt△CEF中，FE2=CF2+CE2，∴AB2+BE2=CF2+CE2，∴x2+1=2（1﹣x）2，∴x2﹣4x+1=0，∴x=2±，而x＜1，∴x=2﹣，即BE的长为=2﹣．故选：A．【点评】此题主要考查了正方形、等边三角形的知识，把求线段长放在正方形的背景中，利用勾股定理列出一元二次方程解决问题．9．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α=60°．若AB=OD=2，则▱ABCD的面积是（）A．8 B．C．2D．4【分析】根据等边三角形的判定得出△DOC是等边三角形，再根据平行四边形的性质和的面积公式即可求解．【解答】解：∵在▱ABCD中，∴AB=DC，∵α=60°．AB=OD=2，∴△DOC是等边三角形，∴△DOC的面积=，∴▱ABCD的面积=4△DOC的面积=4，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质和面积，解此题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．10．用配方法解方程3x2﹣4x﹣2=0时，配方正确的是（）A．B．C．D．【分析】方程常数项移到右边，二次项系数化为1，两边加上一次项系数一半的平方，变形得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程整理得：x2﹣x=，配方得：x2﹣x+=+，即（x﹣）2=，故选：B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11．为了塑造宜居宜业的“皖北江南”，我县决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（）A．19% B．20% C．21% D．22%【分析】设两年平均每年绿地面积的增长率是x，原来的景区绿地面积为1，那么经过第一年景区绿地面积为（1+x），再过一年景区绿地面积为（1+x）（1+x），然后根据风景区绿地面积增加44%，即可列出方程解决问题．【解答】解：设两年平均每年绿地面积的增长率是x，依题意得（1+x）2=1+44%，∴1+x=±1.2，∴x=0.2=20%或x=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：这两年平均每年绿地面积的增长率是20%．故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用中增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，增长用+，减少用﹣．12．已知正方形ABCD的边长是10cm，△APQ是等边三角形，点P在BC上，点Q在CD上，则BP的边长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm【分析】在Rt△ABP和△PCQ中，可将等边三角形的AP和PQ的长表示出来，根据等边三角形的性质，两边长相等进行求解．【解答】解：设BP的长为x，则PC=CQ=10﹣x在Rt△ABP中，AP==在Rt△PCQ中，PQ=（10﹣x）∵AP=PQ，∴=（10﹣x）解得：x1=，x2=＞10（舍去）∴BP的边长是；故选C．【点评】本题主要考查正方形和等边三角形的性质及应用．13．有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为（）A．B．C．D．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出差为负数的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表得：2 3 43 （2，3）（3，3）（4，3）4 （2，4）（3，4）（4，4）5 （2，5）（3，5）（4，5）所有等可能的情况有9种，其中差为负数的情况有6种，∴差为负数的概率为=，故选：D．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．4.8 B．5 C．6 D．7.2【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA=OD=5，△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF求得答案．【解答】解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，∴S矩形ABCD∴OA=OD=5，∴S△ACD=S矩形ABCD=24，∴S△AOD=S△ACD=12，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF）=12，解得：PE+PF=4.8．故选：A．【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运用是解题的关键．15．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A．28°B．52°C．62°D．72°【分析】根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB=BC，∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO=CO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC=90°，∵∠DAC=28°，∴∠BCA=∠DAC=28°，∴∠OBC=90°﹣28°=62°．故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．二、填空题（每小题3分，共24分）16．如图，菱形ABCD中，BD=24，AC=10，则该菱形的周长为52．【分析】先根据菱形的性质得AB=CD=AD=BC，AC⊥BD，OA=OC=5，BO=DO=12，再在Rt△AOB中利用勾股定理计算出AB的长，然后求菱形的周长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=CD=AD=BC，AC⊥BD，OA=OC=5，BO=DO=12，在Rt△AOB中，AB==13，∴该菱形的周长=4×13=52．故答案为52．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．17．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总个数为15．【分析】由在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为，∴口袋中球的总个数为：3÷=15．故答案为：15．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．已知一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22=13．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣3，x1x2=﹣4，再利用完全平方公式变形得到x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣3，x1x2=﹣4，所以x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2=（﹣3）2﹣（﹣4）=13．故答案为13．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．19．两个数的积为12，和为7，设其中一个数为x，则依题意可列方程x2﹣7x+12=0．【分析】如果设其中一个数为x，那么另一个数为（6﹣x），根据乘积等于5，那么可列出方程．【解答】解：设其中一个数为x，那么另一个数为（7﹣x），∵两个数的积为12，∴x（7﹣x）=12，整理得：x2﹣7x+12=0．故答案为：x2﹣7x+12=0．【点评】此题考查一元二次方程的运用，题目不难，重在看准题．20．代数式﹣x2+bx+c与x的部分对应值如下表：x﹣3 ﹣2 ﹣1 1﹣x2+bx+c﹣14 ﹣7 ﹣2 2根据表格中的信息得知：一元二次方程﹣x2+bx+c=0的一个解的范围在﹣1与1之间．【分析】观察表格可知，随x的值逐渐增大，﹣x2+bx+c的值在﹣1～1之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在﹣1～1之间．【解答】解：根据表格可知，ax2+bx+c=0时，对应的x的值在﹣1～1之间．故答案为：﹣1，1．【点评】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系．关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围．21．甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红球的概率是．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的两个球都是红的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，取出的两个球都是红的有1种情况，∴取出的两个球都是红的概率为：．故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向向右平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于4或8．【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=12﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．【解答】解：设AC交A′B′于H，∵A′H∥CD，AC∥CA′，∴四边形A′HCD是平行四边形，∵∠A=45°，∠D=90°∴△A′HA是等腰直角三角形设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=12﹣x∴x•（12﹣x）=32∴x=4或8，即AA′=4或8cm．故答案为：4或8．【点评】考查了平移的性质及一元二次方程的解法等知识，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．23．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是15°或165°．【分析】利用正方形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ADF（SSS），有相似三角形的性质和已知条件即可求出当BE=DF时，∠BAE的大小，应该注意的是，正三角形AEF可以再正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解．【解答】解：①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE=DF时，∴，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE=∠F AD，∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠F AD=30°，∴∠BAE=∠F AD=15°，②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时．∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE=DF时，∴AB=AD BE=DF AE=AF，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE=∠F AD，∵∠EAF=60°，∴∠BAE=（360°﹣90°﹣60°）×+60°=165°，∴∠BAE=∠F AD=165°故答案为：15°或165°．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定和全等三角形的性质和分类讨论的数学思想，题目的综合性不小．三、解答题（66分）24．（12分）解下列方程：（1）2（x+1）2﹣8=0；（2）x2﹣3x﹣1=0（配方法）；（3）3x2﹣5x+1=0（公式法）．【分析】（1）直接开平方法求解可得；（2）配方法求解可得；（3）公式法求解可得．【解答】解：（1）2（x+1）2﹣8=0，（x+1）2﹣8=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=﹣3；（2）x2﹣3x﹣1=0，x2﹣3x+=1+，即（x﹣）2=，∴x﹣=±，∴x1=，x2=；（3）3x2﹣5x+1=0，∵a=3，b=﹣5，c=1，△=25﹣4×3×1=13，∴x==，∴x1=，x2=．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．25．（8分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？【分析】利用销售利润=售价﹣进价，根据题中条件可以列出利润与x的关系式，求出即可．【解答】解：设每个商品的定价是x元，由题意，得（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]=2000，整理，得x2﹣110x+3000=0，解得x1=50，x2=60．当x=50时，进货180﹣10（50﹣52）=200个＞180个，不符合题意，舍去；当x=60时，进货180﹣10（60﹣52）=100个＜180个，符合题意．答：当该商品每个定价为60元时，进货100个．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．26．（8分）如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC=∠DA C．（1）求证：AB=BC；（2）若AB=2，AC=2，求▱ABCD的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠DAC=∠BCA，再由已知条件得出∠BAC=∠BCA，即可得出AB=BC；（2）连接BD交AC于O，证明四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，OA=OC=AC=，OB=OD= BD，由勾股定理求出OB，得出BD，▱ABCD的面积=AC•BD，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠BCA，∴AB=BC；（2）解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC=AC=，OB=OD=BD，∴OB===1，∴BD=2OB=2，∴▱ABCD的面积=AC•BD=×2×2=2．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、菱形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．27．（8分）如图矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P点，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，且使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E．找出图中与P A相等的线段．并说明理由．【分析】可由∠B=∠C=90°，AB=PC，∠APB=∠PEC，证得△ABP≌△PCE，所以P A=PE．【解答】解：图中与P A相等的线段是PE．理由如下：∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDC=45°，又∵AD∥BC，∴∠ADP=∠DPC，∴∠PDC=∠DPC，所以PC=D C．∵AB=DC，∴AB=P C．∵直角三角板的直角顶点放在点P处，∴∠APE=90°．∵∠APB+∠EPC=90°．∵∠EPC+∠PEC=90°．∴∠APB=∠PE C．在△P AB和△EPC中，∵∠B=∠C=90°，AB=PC，∠APB=∠PEC，∴△P AB≌△EPC（AAS），∴PE=P A．【点评】本题把角平分线置于矩形的背景之中，与平行线组合使用，沟通了角与角之间的关系．由于角平分线、平行线都具有转化角的作用，在两者共存的图形中常会出现等腰三角形，所以命题者常将两者组合，设计出精彩纷呈的题目．28．（8分）在一个布口袋中装有只有颜色不同，其它都相同的白、红、黑三种颜色的小球各1只，甲乙两人进行摸球游戏；甲先从袋中摸出一球看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球．（1）试用树状图（或列表法）表示摸球游戏所有可能的结果；（2）如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙胜，否则为负，试求乙在游戏中能获胜的概率．【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：（1）树状图如下；列表如下白红黑甲乙白白，白红，白黑，白红白，红红，红黑，红黑白，黑红，黑黑，黑（2）乙摸到与甲相同颜色的球有三种情况，∴乙能取胜的概率为．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．29．（10分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．【分析】（1）由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得证；（2）若OD=AC，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OD=AC，得到OB=AC，即OD=OA=OC=OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证．【解答】（1）证明：∵DF∥BE，∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，∵O为AC的中点，∴OA=OC，∵AE=CF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（AAS）；（2）若OD=AC，则四边形ABCD是矩形，理由为：证明：∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD，∵OD=AC，∴OA=OB=OC=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BD=AC，∴平行四边形ABCD为矩形．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．30．（12分）如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，EF=DG=1，DF=2．（1）AE=1，正方形ABCD的边长=；（2）如图2，将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上．①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；②若α=30°，求菱形AB′C′D′的边长．【分析】（1）利用已知得出△AED≌△DGC（AAS），即可得出AE，以及正方形的边长；（2）①过点B′作B′M垂直于l1于点M，进而得出Rt△AE′D′≌Rt△B′MA（HL），求出∠B′AD′与α的数量关系即可；②首先过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l2于点O，N，若α=30°，则∠E′D′N=60°，可求出AE′=1，E′O，E′N，ED′的长，进而由勾股定理可知菱形的边长．【解答】解：（1）由题意可得：∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，在△AED和△DGC中，，∴△AED≌△DGC（AAS），∴AE=GD=1，又∵DE=1+2=3，∴正方形ABCD的边长==，故答案为：1，；（2）①∠B′AD′=90°﹣α；理由：过点B′作B′M垂直于l1于点M，在Rt△AE′D′和Rt△B′MA中，，。
2019届山东省青岛市市南区九年级数学(上)期中检测试卷(解析版)
山东省青岛市市南区2018-2019学年第一学期九年级数学（上）期中检测试卷(时间:120分钟满分:120分)注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共24分，共8小题，每小题3分1.如果，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用b表示a，代入即可求出答案．【详解】∵，∴a=，即，故答案为：B．【点睛】本题主要考查了简单的比例问题，能够熟练掌握是关键．2.在一个不透明的盒子中装有个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为（）A. 18B. 12C. 9D. 24【答案】B【解析】【分析】首先设黄球的个数为x个，根据概率的定义得：，解此方程即可求出答案．【详解】设黄球的个数为x个根据题意得：，解得：x=12．故答案为：B．【点睛】本题属于概率初步类型的问题，比较简单，掌握知识点是解决本题的关键．3.已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A. k<B. k>-C. k<且k≠0D. k>-且k≠0【答案】A【解析】【分析】关于x的方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2-4ac>0．即可得到关于k的不等式，从而求得k的范围．【详解】∵a=1，b=-2，c=3k，∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×3k=4-12k>0，解得：k<．故答案为：A．【点睛】此题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△>0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△<0⇔方程没有实数根．4.如果一个四边形绕对角线的交点旋转后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是（）A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 对角线垂直的任意四边形【答案】A【解析】【分析】根据旋转对称图形的概念与平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质作答．【详解】A、正方形绕对角线交点旋转能够与原来的图形重合的最小的度数是90度，正确；B、菱形绕对角线交点旋转能够与原来的图形重合的最小的度数是180度，错误；C、矩形绕对角线交点旋转能够与原来的图形重合的最小的度数是180度，错误；D、对角线垂直的任意四边形绕对角线交点旋转能够与原来的图形重合的最小的度数是180度，错误．故答案为：A．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．5.如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为（）A. 4B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】【分析】由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．【详解】∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，∴OD=OC=AC=2，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．故选B.【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质，证明四边形CODE是菱形是解决本题的关键.6.如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是（）学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例即可得出答案．【详解】A项，因为DE // BC，根据"两直线平行，同位角相等”，所以∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，所以△ADE∽△ABC，所以；因为DE // BC，根据“两直线平行，内错角相等”，所以∠EDF=∠BCF，∠DEF=∠CBF，所以△DEF∽△CBF，所以；所以。
【初三数学】青岛市九年级数学上期中考试单元测试卷及答案
新人教版九年级（上）期中模拟数学试卷(答案)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.观察下列汽车标志，其中是中心对称图形的是（）A. B.C. D.3.x=2不是下列哪一个方程的解（）A. B. C. D.4.已知一元二次方程3x2-2x+a=0有实数根，则a的取值范围是（）A. B. C. D.5.若一元二次方程x2=m有解，则m的取值为（）A. 正数B. 非负数C. 一切实数D. 零6.函数y=（m+2）x+2x+1是二次函数，则m的值为（）A. B. 0 C. 或1 D. 17.函数y=ax2与函数y=ax+a，在同一直角坐标系中的图象大致是图中的（）A. B.C. D.8.若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（）A. 抛物线开口向上B. 抛物线的对称轴是C. 当时，y的最大值为4D. 抛物线与x轴的交点为，9.若三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（）A. 13B. 16C. 12或13D. 11或1610.如图，△ABC绕点O旋转180°得到△DEF，下列说法错误的是（）A. 点B和点E关于点O对称B.C. △ ≌△D. △与△关于点B中心对称11.如图所示，△ABC绕着点A旋转能够与△ADE完全重合，则下列结论成立的有（）①AE=AC；②∠EAC=∠BAD；⑧BC∥AD；④若连接BD，则△ABD为等腰三角形A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.二次函数y=ax2+bx+c中，b=4a，它的图象如图所示，有以下结论：①c＞0；②a+b+c＞0；③b2-4ac＜0；④abc＜0；⑤4a＞c．其中正确的是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.已知一元二次方程2x2+x+m=0的一个根是1，则m的值是______．14.在直角坐标系中，点（-3，6）关于原点的对称点是______．15.经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是______．16.若抛物线y=-x2-8x+c的顶点在x轴上，则c的取值是______．17.把二次函数y=x2+2的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象对应的解析式为______．18.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1=20°，则∠B=______度．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）19.已知抛物线y=ax2+bx-1的图象经过点（-1，2），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式．20.如图，A（-1，0）、B（2，-3）两点在一次函数y2=-x+m与二次函数y1=ax2+bx-3的图象上（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）请直接写出y2＞y1时，自变量x的取值范围．四、解答题（本大题共5小题，共46.0分）21.用适当的方法解下列方程（1）（y+3）2-81=0（2）2x（3-x）=4（x-3）（3）x2+10x+16=0（4）x2-x-=022.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？23.已知：关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．24.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个．为了赚得8000元的利润，每个商品售价应定为多少元？这时应进货多少个？25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、2x-y=1，是二元一次方程，故此选项错误；B、x+3xy+y2=2，是二元二次方程，故此选项错误；C、=，是一元二次方程，正确；D、x2+=3，含有分式，故此选项错误．故选：C．直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握方程定义是解题关键．2.【答案】C【解析】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、是中心对称图形，本选项正确；D、不是中心对称图形，本选项错误．故选：C．结合中心对称图形的概念求解即可．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】D【解析】解：A，当x=2时，方程的左边=3×（2-2）=0，右边=0，则左边=右边，故x=2是A中方程的解；B，当x=2时，方程的左边=2×22-3×2=2，右边=2，则左边=右边，故x=2是B中方程的解；C，当x=2时，方程的左边=0，右边=0，则左边=右边，故x=2是C中方程的解；D，当x=2时，方程的左边=22-2+2=4，右边=0，则左边≠右边，故x=2不是D中方程的解；故选：D．把x=2分别代入各个方程的两边，根据方程的解的定义判断即可．本题考查的是一元二次方程的解的定义，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：∵一元二次方程3x2-2x+a=0有实数根，∴△≥0，即22-4×3×a≥0，解得a≤．故选：A．根据△的意义得到△≥0，即22-4×3×a≥0，解不等式即可得a的取值范围．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5.【答案】B【解析】解：当m≥0时，一元二次方程x2=m有解．故选：B．利用平方根的定义可确定m的范围．本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．6.【答案】D【解析】解：∵函数y=（m+2）x+2x+1是二次函数，∴m2+m=2，m+2≠0，解得：m=1．故选：D．直接利用二次函数的定义分析得出答案．此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．7.【答案】B【解析】解：当a＞0时，y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向上，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第一、二、三象限，故选项A、D错误，选项B正确，当a＜0时，y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第二、三、四象限，故选项C错误，故选：B．根据题目中的函数解析式，讨论a＞0 和a＜0时，两个函数的函数图象，从而可以解答本题．本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8.【答案】C【解析】解：把（0，-3）代入y=x2-2x+c中得c=-3，抛物线为y=x2-2x-3=（x-1）2-4=（x+1）（x-3），所以：抛物线开口向上，对称轴是x=1，当x=1时，y的最小值为-4，与x轴的交点为（-1，0），（3，0）；C错误．故选：C．把（0，-3）代入抛物线解析式求c的值，然后再求出顶点坐标、与x轴的交点坐标．要求掌握抛物线的性质并对其中的a，b，c熟悉其相关运用．9.【答案】A【解析】解：∵x2-5x+6=0，∴（x-3）（x-2）=0，解得：x1=3，x2=2，∵三角形的两边长分别是4和6，当x=3时，3+4＞6，能组成三角形；当x=2时，2+4=6，不能组成三角形．∴这个三角形的第三边长是3，∴这个三角形的周长为：4+6+3=13故选：A．首先利用因式分解法求得一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，又由三角形的两边长分别是4和6，利用三角形的三边关系，即可确定这个三角形的第三边长，然后求得周长即可．此题考查了因式分解法解一元二次方程与三角形三边关系的知识．此题难度不大，解题的关键是注意准确应用因式分解法解一元二次方程，注意分类讨论思想的应用．10.【答案】D【解析】解：A、点B和点E关于点O对称，说法正确；B、CE=BF，说法正确；C、△ABC≌△DEF，说法正确；D、△ABC与△DEF关于点B中心对称，说法错误；故选：D．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可知△ABC≌△DEF，再根据全等的性质可得EC=BF，进而可得答案．此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．11.【答案】C【解析】解：∵△ABC绕着点A旋转能够与△ADE完全重合，∴△ABC≌△ADE，∴AE=AC，故正确；∠CAB=∠EAD，AB=AD，∴∠CAB-∠EAB=∠EAD-∠EAB，∴∠EAC=∠BAD，故正确；连接BD，则△ABD为等腰三角形，故正确，故选：C．根据旋转的性质得到△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质即可得到结论．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：由图象可得，c＞0，a＞0，b＞0，故正确，当x=1，y=a+b+c＞0，故正确，函数图象与x轴两个不同的交点，故b2-4ac＞0，故错误，∵b=4a，＜0，a＞0，解得，4a＞c，故正确，∵c＞0，a＞0，b＞0，∴abc＞0，故错误，故选：C．根据函数图象可以判断a、b、c的正负，根据b=4a可以得到该函数的对称轴，从而可以判断各个小题是否正确，本题得以解决．本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．13.【答案】-3【解析】解：∵一元二次方程2x2+x+m=0的一个根为1，∴2×12+1+m=0，解得m=-3．故答案是：-3．把x=1代入已知方程列出关于m的一元一次方程，通过解该一元一次方程来求m 的值．本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．14.【答案】（3，-6）【解析】解：点（-3，6）关于原点的对称点为（3，-6）．故答案为：（3，-6）．根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答．本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．15.【答案】50（1-x）2=32【解析】解：由题意可得，50（1-x）2=32，故答案为：50（1-x）2=32．根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．16.【答案】-16【解析】解：∵抛物线y=-x2-8x+c的顶点在x轴上，∴=0，解得，c=-16，故答案为：-16．根据题意，可知抛物线顶点的纵坐标等于0，从而可以求得c的值．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．17.【答案】y=（x-2）2-3【解析】解；将二次函数y=x2+2的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数表达式是y=（x-2）2+2-5，即y=（x-2）2-3，故答案为：y=（x-2）2-3．根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得答案．本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是左加右减，上加下减．18.【答案】65【解析】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，∴∠ACA′=90°，CA=CA′，∠B=∠CB′A′，∴△CAA′为等腰直角三角形，∴∠CAA′=45°，∵∠CB′A′=∠B′AC+∠1=45°+20°=65°，∴∠B=65°．故答案为65．先根据旋转的性质得到∠ACA′=90°，CA=CA′，∠B=∠CB′A′，则可判断△CAA′为等腰直角三角形，所以∠CAA′=45°，然后利用三角形外角性质计算出∠CB′A′，从而得到∠B的度数．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．19.【答案】解：由题意得，，解得，，则抛物线的解析式为y=-3x2-6x-1．【解析】利用待定系数法求出抛物线的解析式．本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的性质，待定系数法求解析式的一般步骤是解题的关键．20.【答案】解：（1）把A（-1，0）代入y=-x+m得1+m=0，解得m=-1，∴一次函数解析式为y=-x-1；把A（-1，0）、B（2，-3）代入y=ax2+bx-3得，解得，∴抛物线解析式为y=x2-2x-3；（2）当-1＜x＜2时，y2＞y1．【解析】（1）利用待定系数法求一次函数和抛物线解析式；（2）利用函数图象，写出一次函数图象在二次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了二次函数与不等式（组）：函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围或利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．21.【答案】解：（1）（y+3）2-81=0y+3=±9，解得：y1=-12，y2=6；（2）2x（3-x）=4（x-3）2x（3-x）-4（x-3）=0，2（3-x）（x+2）=0，解得：x1=3，x2=-2；（3）x2+10x+16=0（x+2）（x+8）=0，解得：x1=-2，x2=-8；（4）x2-x-=0∵△=b2-4ac=3+1=4，∴x=，解得：x1=，x2=．【解析】（1）利用直接开平方法解方程得出答案；（2）直接利用提取公因式法分解因式进而得出答案；（3）直接利用十字相乘法分解因式解方程即可；（4）利用公因式法解方程得出答案．此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握相关解方程的方法是解题关键．22.【答案】解：设邀请x个球队参加比赛，依题意得1+2+3+…+x-1=21，即=21，∴x2-x-42=0，∴x=7或x=-6（不合题意，舍去）．答：应邀请7个球队参加比赛．【解析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x-1）场球，第二个球队和其他球队打（x-2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x-1）场球，然后根据计划安排21场比赛即可列出方程求解．此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．23.【答案】解：（1）∵一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根，∴△=（-3）2-4×1×（-k）＞0，解得k＞-；（2）当k=-2时，方程为x2-3x+2=0，因式分解得（x-1）（x-2）=0，解得x1=1，x2=2．【解析】（1）根据方程有两个不相等的实数根根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于k 的不等式，求出k的取值范围；（2）k取负整数，再解一元二次方程即可．本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根是解答此题的关键．24.【答案】解：设涨价x元能赚得8000元的利润，即售价定为每个（x+50）元，应进货（500-10x）个，…（1分）依题意得：（50-40+x）（500-10x）=8000，…（5分）解得x1=10 x2=30，当x=10时，x+50=60，500-10x=400；当x=30时，x+50=80，500-10x=200 …（8分）答：售价定为每个60元时应进货400个，或售价定为每个80元时应进货200个．…（9分）【解析】总利润=销售量×每个利润．设涨价x 元能赚得8000元的利润，即售价定为每个（x+50）元，应进货（新人教版九年级数学上册期中考试试题(含答案)一.选择题（每小题3分，总分36分）1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A ．（x +1）2＝2（x +1） B ．C ．ax 2+bx +c ＝0D ．x 2+2x ＝x 2﹣12．若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2﹣2x +1＝0有实根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜3B ．m ≤3C ．m ＜3且m ≠2D ．m ≤3且m ≠23．方程x （x ﹣1）＝x 的根是（ ） A ．x ＝2B ．x ＝﹣2C ．x 1＝﹣2，x 2＝0D ．x 1＝2，x 2＝04．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（ ） A ．（x +1）（x ﹣2）＝0 B ．（x ﹣1）（x +2）＝1 C ．（x +2）2＝1D ．5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A ．y ＝3（x ﹣2）2+1 B ．y ＝3（x +2）2﹣1 C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+16．函数y ＝﹣x 2﹣4x +3图象顶点坐标是（ ） A ．（2，﹣7）B ．（2，7）C ．（﹣2，﹣7）D ．（﹣2，7）7．抛物线y ＝（x +2）2+1的顶点坐标是（ ） A ．（2，1）B ．（﹣2，1）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，﹣1）8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（ ） A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝19．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ） A ．﹣1B ．2C ．D ．10．当a＞0，b＜0，c＞0时，下列图象有可能是抛物线y＝ax2+bx+c的是（）A．B．C．D．11．不论x为何值，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的值恒大于0的条件是（）A．a＞0，△＞0 B．a＞0，△＜0 C．a＜0，△＜0 D．a＜0，△＞0 12．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035×2C．x（x﹣1）＝1035 D．2x（x+1）＝1035二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是．14．方程x2﹣3x+1＝0的解是．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2②y＝x2③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）．16．抛物线y＝﹣x2+15有最点，其坐标是．17．水稻今年一季度增产a吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x，则第三季度化肥增产的吨数为．18．已知二次函数y＝+5x﹣10，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且﹣3＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系为三.解答题（本大题共8个小题，）19．（6分）解方程x 2﹣4x +1＝0 x （x ﹣2）＝4﹣2x ；20．（6分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式． 21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2． （1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝1时，求另一个根x 2的值． 22．（8分）已知：抛物线y ＝﹣x 2+x ﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？25．（10分）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（﹣1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）直接写出B 、C 两点的坐标；（3）求过O ，B ，C 三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？参考答案一.选择题1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2＝2（x+1），故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 【分析】由于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式△是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，∴m﹣2≠0，并且△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m≥0，∴m≤3且m≠2．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．此题切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．解：由原方程，得x 2﹣2x ＝0，∴x （x ﹣2）＝0，∴x ﹣2＝0或x ＝0，解得，x 1＝2，x 2＝0；故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．4．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（ ）A ．（x +1）（x ﹣2）＝0B ．（x ﹣1）（x +2）＝1C ．（x +2）2＝1D ． 【分析】根据因式分解法解方程对A 进行判断；根据方程解的定义对B 进行判断；根据直接开平方法对C 、D 进行判断．解：A 、x +1＝0或x ﹣2＝0，则x 1＝﹣1，x 2＝2，所以A 选项错误；B 、x ＝1或x ＝﹣2不满足（x ﹣1）（x +2）＝1，所以B 选项错误；C 、x +2＝±1，则x 1＝﹣1，x 2＝﹣3，所以C 选项错误；D 、x +＝±，则x 1＝1，x 2＝﹣2，所以D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程，5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）A ．y ＝3（x ﹣2）2+1B ．y ＝3（x +2）2﹣1C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+1【分析】变化规律：左加右减，上加下减．解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y ＝3（x +2）2+1．故选D ．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．6．函数y ＝﹣x 2﹣4x +3图象顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣7）B ．（2，7）C ．（﹣2，﹣7）D ．（﹣2，7）【分析】先把二次函数化为顶点式的形式，再得出其顶点坐标即可．解：∵原函数解析式可化为：y ＝﹣（x +2）2+7，∴函数图象的顶点坐标是（﹣2，7）．故选：D ．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意把二次函数的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键．7．抛物线y ＝（x +2）2+1的顶点坐标是（ ）A ．（2，1）B ．（﹣2，1）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，﹣1）【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 解：因为y ＝（x +2）2+1是抛物线的顶点式，由顶点式的坐标特点知，顶点坐标为（﹣2，1）．故选：B ．【点评】考查顶点式y ＝a （x ﹣h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x ＝h ．要掌握顶点式的性质．8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝1【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ≠0，且a ，h ，k 是常数），它的对称轴是x ＝h ，顶点坐标是（h ，k ）．解：y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线x ＝1．故选：B ．【点评】本题主要考查二次函数顶点式中对称轴的求法．9．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．D ．【分析】可以直接利用两根之和得到所求的代数式的值．解：如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2＝2．故选：B．【点评】本题考查一元二次方程ax2+bx+c＝0的根与系数的关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．10．当a＞0，b＜0，c＞0时，下列图象有可能是抛物线y＝ax2+bx+c的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的图象与系数的关系可知．解：∵a＞0，∴抛物线开口向上；∵b＜0，∴对称轴为x＝＞0，∴抛物线的对称轴位于y轴右侧；∵c＞0，∴与y轴的交点为在y轴的正半轴上．故选：A．【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系．11．不论x为何值，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的值恒大于0的条件是（）A．a＞0，△＞0 B．a＞0，△＜0 C．a＜0，△＜0 D．a＜0，△＞0【分析】根据二次函数的性质可知，只要抛物线开口向上，且与x轴无交点即可．解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为正，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a＞0且△＜0．故选：B．【点评】当x取一切实数时，函数值y恒为正的条件：抛物线开口向上，且与x轴无交点；当x取一切实数时，函数值y恒为负的条件：抛物线开口向下，且与x轴无交点．12．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035×2C．x（x﹣1）＝1035 D．2x（x+1）＝1035【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1035．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是m≤．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：在有实数根下必须满足△＝b2﹣4ac≥0．解：一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，△＝b2﹣4ac＝9﹣4m≥0，解得m．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．方程x2﹣3x+1＝0的解是x1＝，x2＝．【分析】观察原方程，可用公式法求解；首先确定a、b、c的值，在b2﹣4ac≥0的前提条件下，代入求根公式进行计算．解：a＝1，b＝﹣3，c＝1，b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0，x＝；∴x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．【点评】在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，用直接开平方法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2②y＝x2③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）①③②．【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．解：①y＝3x2，②y＝x2，③y＝x2中，二次项系数a分别为3、、1，∵3＞1＞，∴抛物线②y＝x2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄．故依次填：①③②．【点评】抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．16．抛物线y＝﹣x2+15有最高点，其坐标是（0，15）．【分析】根据抛物线的开口方向判断该抛物线的最值情况；根据顶点坐标公式求得顶点坐标．解：∵抛物线y＝﹣x2+15的二次项系数a＝﹣1＜0，∴抛物线y＝﹣x2+15的图象的开口方向是向下，∴该抛物线有最大值；当x＝0时，y取最大值，即y最大值＝15；∴顶点坐标是（0，15）．故答案是：高、（0，15）．【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．17．水稻今年一季度增产a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度化肥增产的吨数为 a （1+x ）2 ．【分析】第二季度的吨数为：a （1+x ），第三季度是在第二季度的基础上增加的，为a （1+x ）（1+x ）＝a （1+x ）2．关键描述语是：以后每季度比上一季度增产的百分率为x ．解：依题意可知：第二季度的吨数为：a （1+x ），第三季度是在第二季度的基础上增加的，为a （1+x ）（1+x ）＝a （1+x ）2．故答案为a （1+x ）2．【点评】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，需注意第三季度是在第二季度的基础上增加的．18．已知二次函数y ＝+5x ﹣10，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系为 y 1＜y 2＜y 3【分析】先利用抛物线的对称轴方程得到抛物线的对称轴为直线x ＝﹣5，而﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，然后根据二次函数的性质得到y 1，y 2，y 3的大小关系．解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣＝﹣5，抛物线开口向上，所以当x ＞﹣5时，y 随x 的增大而增大，而﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，所以y 1＜y 2＜y 3．故答案为y 1＜y 2＜y 3．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．三.解答题（本大题共8个小题，）19．（6分）解方程x 2﹣4x +1＝0x （x ﹣2）＝4﹣2x ；【分析】先移项得x 2﹣4x ＝﹣1，再把方程两边加上4得到x 2﹣4x +4＝﹣1+4，即（x ﹣2）2＝3，然后利用直接开平方法求解；。
2021-2022学年山东省青岛市胶州市、黄岛区、西海岸新区九年级(上)期中数学试卷(附详解)
2021-2022学年山东省青岛市胶州市、黄岛区、西海岸新区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列各组中的四条线段成比例的是()A. 1，1，2，3B. 1，2，3，4C. 2，3，4，5D. 2，3，6，92.下列式子是一元二次方程的是()A. x2−2x−3B. x2+1=yC. 5−x(x−1)=5D. 2x−1=03.“十一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：转动转盘的次数n1001502005008001000落在“铅笔”区域的次数m68108140355560690落在“铅笔”区域的频率m0.680.720.700.710.700.69n下列说法错误的是()A. 转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”铅笔文具盒B. 转动转盘一次，获得“铅笔”的概率大约是0.70C. 再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68次D. 如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次4.如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC=10km，BC=24km，则M、C两点之间的距离为()A. 13kmB. 12kmC. 11kmD. 10km5.如图，在平行四边形ABCD中，EF//AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为()A. 4B. 7C. 3D. 126.定义运算：m☆n=mn2−mn−1.例如：4☆2=4×22−4×2−1=7.则方程1☆x=0的根的情况为()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 只有一个实数根7.如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为()A. 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C. 平行四边形→正方形→菱形→矩形D. 平行四边形→菱形→正方形→矩形8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，延长EA交BG于点M，连接IM交BC于点N，若M是BG的中点，则INIM的值是()A. 23B. 13C. √52D. 12二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.在学校举办的“美德少年”评选活动中，九年级一班有甲，乙，丙，丁共4名学生获奖．班主任决定在这4名获奖学生中随机选出2名学生在班级进行主题演讲，则甲被选中的概率为______．10.如图，C，D是线段AB的两个黄金分割点，且AD=√5−1，则线段CD的长为______．11.某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程______．12.如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，AD=1，BD=3，则AC=______．13.如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为______．14.如图，已知直线l：y=x，过点A1(1,0)作x轴的垂线交直线l于点B1，以A1B1为边作正方形A1B1C1A2，过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2A3，…，按此规律进行，则点C n的坐标为______．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.已知：如图，线段a．求作：菱形ABCD，使该菱形边长和其中一条对角线长都为a．16.(1)用配方法解方程：x2−2x−8=0；(2)若关于x的一元二次方程(k−1)x2+3x+k2−1=0有一个解为x=0，求k的值．17.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，请你添加一个条件使之变为菱形，并说明理由．18.有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小明先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字(若指针指在分界线上则重转)，小刚再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．若得到的两数字之和是3的倍数，则小明赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小刚赢，你认为这个游戏公平吗？请说明理由．19.某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度．20.如图，在△ABC中，BC=6，D为AC延长线上一点，AC=3CD，∠CBD=∠A，过点D作DE//AB交BC的延长线于点E．(1)求证：△ECD∽△EDB；(2)求DE的长度．21.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC．(1)求证：△ABE≌△FCE；(2)若AD=AF，判断四边形ABFC是什么特殊四边形，并说明理由．22.在“乡村振兴”行动中，某村办企业开发了一种成本价为50元/盒的有机产品，如果每盒的售价为60元时，每天可以销售200盒，通过市场调查发现，每盒售价每提高1元，每天少卖出10盒．该村办企业要想每天获得2240元利润，该有机产品的售价可以定为多少元/盒？23.问题提出：将正m边形(m≥3)不断向外扩展，每扩展一个，正m边形每条边上的点的个数(以下简称“点数”)就增加一个，则n个正m边形的点数总共有多少个？问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：n个正三角形的点数总共有多少个？如图1−1，1个正三角形的点数总共有1+2=3个；如图1−2，2个正三角形的点数总共有1+2+3=6个；如图1−3，3个正三角形的点数总共有1+2+3+4=10个；…n个正三角形的点数总共有1+2+⋯+(n+1)=(n+1)(n+2)2=(n+1)×12(n+2)个．探究二：n个正四边形的点数总共有多少个？如图2−1，连接AC，得到两个三角形△ABC和△ADC，这两个三角形相同之处在于，BC边与CD边都有相同个数的点，即2个点．每个三角形都有3个点，两个三角形就是2×3个点，因为这两个三角形在AC上有2个点重合，所以1个正四边形的点数总共有2×3−2=4(个)；如图2−2，连接AC，得到两个三角形△ABC和△ADC，这两个三角形相同之处在于，BC边与CD边都有相同个数的点，即3个点，每个三角形都有6个点，两个三角形就是2×6个点，因为这两个三角形在AC上有3个点重合，所以2个正四边形的点数总共有2×6−3=9(个)；如图2−3，连接AC，得到两个三角形△ABC和△ADC，这两个三角形相同之处在于，BC边与CD边都有相同个数的点，即4个点．每个三角形都有10个点，两个三角形就是2×10个点，因为这两个三角形在AC上有4个点重合，所以3个正四边形的点数总共有2×10−4=16(个)；…n个正四边形的点数总共有2×[1+2+⋯(n+1)]−1×(n+1)=2×(n+1)×12(n+2)−1×(n+1)=(n+1)×[2×12(n+2)−1]=(n+1)×(n+1)，即(n+1)2个．探究三：n个正五边形的点数总共有多少个？类比探究二的方法：1个正五边形的点数总共有5个；2个正五边形的点数总共有12个；3个正五边形的点数总共有______个；…n个正五边形的点数总共有______个．探究四：n个正六边形的点数总共有______个．问题解决：n个正m边形的点数总共有______个．实际应用：若9个正m边形的点数总共有820个，则m的值为______．24.如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ，设运动时间为t 秒(0<t<4)．(1)连接AN，CP，当t为何值时，四边形ANCP为平行四边形；(2)设四边形DMQC的面积为y，求y与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形DMQC的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)将△AQM沿AD翻折，得到△AKM.在运动过程中，是否存在某时刻t，使四边形AQMK为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、∵1×3≠1×2，∴四条线段不成比例；B、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例；C、∵2×5≠3×4，∴四条线段不成比例；D、∵2×9=3×6，∴四条线段成比例．故选：D．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．2.【答案】C【解析】解：A、x2−2x−3是代数式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、是一元二次方程，故本选项符合题意；D、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．3.【答案】A【解析】解：A、转动转盘20次，不一定有6次获得“文具盒”铅笔文具盒，它是随机事件，结果不确定，故A选项不正确，符合题意；B、大量重复试验中频率稳定在0.7左右，故用频率估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故B选项正确，不符合题意；C、由B可知再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68次，故C选项正确，不符合题意；D、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有3000×0.3=900次，故D选项正确，不符合题意；故选：A．根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率，另外概率是多次实验的结果，因此不能说转动转盘20次，一定有6次获得文具盒．本题要理解用面积法求概率的方法．注意概率是多次实验得到的一个相对稳定的值．4.【答案】A【解析】解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+CB2∵AC=10km，BC=24km，∴AB=26km，∵M点是AB中点∴MC=12AB=13km，故选：A．由勾股定理可得AB，根据斜边上的中线等于斜边的一半，于是得到结论．本题考查了勾股定理和斜边中线的性质，综合了直角三角形的线段求法，是一道很好的问题．5.【答案】B【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，由EF//AB，可证明△DEF∽△DAB，即可求得DEDA =EFAB，则可求得AB的长，又由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得CD的长．【解答】解：∵DE：EA=3：4，∴DE：DA=3：7∵EF//AB，∴∠DEF=∠DAB，∠DFE=∠DBA，∴△DEF∽△DAB，∴DEDA =EFAB，∵EF=3，∴37=3AB，解得：AB=7，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=7．故选B．6.【答案】A【解析】解：由题意可知：1☆x=x2−x−1=0，∴Δ=1−4×1×(−1)=5>0，故选：A．根据新定义运算法则以及根的判别式即可求出答案．本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．7.【答案】B【解析】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：B．根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据EF与AC的位置关系即可求解．8.【答案】A【解析】解：∵四边形AEDC是正方形，∴∠EAC=∠DCA=90°，EA⊥DC，∴∠MAB=∠CBA，又∵四边形AFGB是正方形，∴AB=BG，∠ABG=90°，∴∠ACB=∠ABM=90°，∵∠ABC=∠MAB，∴△ACB∽△MBA，∴ACMB =ABMA=BCAB，又M是BG的中点，设BM=a，∴AB=BG=2a，∴ACBC =12，∵BC//AM，∴INIM =ICIA=23，故选：A．首先证明△ACB∽△MBA，根据对应边成比例得ACBC =12，再由平行线分线段成比例即可得出答案．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，正方形的性质等知识，证明出ACBC =12是解题的关键．9.【答案】12【解析】解：画树状图如下：所有出现的等可能性结果共有12种，其中甲被选中的结果有6种，所以甲被选中的的概率为612=12．故答案为：12．先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出甲被选中进行主题演讲的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．10.【答案】2√5−4【解析】解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点，且AD=√5−1，∴ADAB =√5−12，BC=AD=√5−1，∴AB=2，∴CD=AD+BC−AB=√5−1+√5−1−2=2√5−4．故答案为：2√5−4．由黄金分割点的定义得ADAB =√5−12，BC=AD=√5−1，则AB=2，再由CD=AD+BC−AB进行计算即可．此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键．11.【答案】180(1+x)2=461【解析】解：依题意得：180(1+x)2=461．故答案为：180(1+x)2=461．观察函数图象，找出该厂家2月及4月的口罩产量，再利用该厂家4月份的口罩产量=该厂家2月份的口罩产量×(1+增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12.【答案】2【解析】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ACAD =ABAC，∵AD=1，BD=3，∴AB=4，∴AC1=4AC，∴解得：AC=2．故答案为：2．由∠ACD=∠B，∠A=∠A，可判定△ACD∽△ABC，由相似三角形的性质可得等式，将已知数据代入，可解得AC的长．本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定定理及其性质，是解题的关键．13.【答案】245【解析】解：连结BP，如图，∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，∴BA=BC=5，S△ABC=12S菱形ABCD=12，∵S△ABC=S△PAB+S△PBC，∴12×5×PE+12×5×PF=12，∴PE+PF=245，故答案为：245．连结BP，如图，根据菱形的性质得BA=BC=5，S△ABC=12S菱形ABCD=12，然后利用三角形面积公式，由S△ABC=S△PAB+S△PBC，得到12×5×PE+12×5×PF=12，再整理即可得到PE+PF的值．本题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．14.【答案】(2n,2n−1)【解析】解：∵直线y=x，点A1坐标为(1,0)，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，∴B1点的坐标为(1,1)，∵以A1B1为边作正方形A1B1C1A2，∴A1B1=A1A2=1，∴OA2=1+1=2，∴点A2的坐标为(2,0)，C1的坐标为(2,1)，∴B2的坐标为(2,2)，∵以A2B2为边作正方形A2B2C2A3，∴A2B2=A2A3=2，∴OA3=2+2=4，∴点A3的坐标为(4,0)，C2的坐标为(4,2)，以此类推，点C n的坐标为(2n,2n−1).故答案为：(2n,2n−1).先根据一次函数方程式求出B1点的坐标，再根据B1点的坐标求出A2、C1的坐标，以此类推总结规律便可求出点C n的坐标．本题考查一次函数的图象及性质，点的坐标规律；理解题意，结合一次函数的图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解题的关键．15.【答案】解：如图，菱形ABCD为所作．【解析】先在射线AM上截取AC=a，再分别以A、C为圆心，a为半径画弧得到B、D，则四边形ABCD满足条件．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质．16.【答案】解：(1)x2−2x−8=0；移项得：x2−2x=8，配方得：x2−2x+1=8+1，即(x−1)2=9，开方得：x−1=±3，则x1=4，x2=−2．(2)将x=0代入(k−1)x2+3x+k2−1=0，∴k2−1=0，∴k=±1，∵k−1≠0，∴k=−1．【解析】(1)方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解；(2)把x=0代入(k−1)x2+3x+k2−1=0即可求出k的值．本题考查一元二次方程的解，配方法解一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．17.【答案】解：添加AB=BC，∵四边形ABCD是对角线互相平分的四边形，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．【解析】添加AB=BC，首先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形．18.【答案】解：此游戏公平，理由如下：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有9种等可能的结果，即(2,1)(2,3)(2,5)(4,1)(4,3)(4,5)(6,1)(6,3)(6,5)；得到的两数字之和是3的倍数的有3个，得到的两数字之和是7的倍数有3个，则小刚赢的概率=小明赢的概率=39=13，所以这个游戏公平．【解析】画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求出各自的概率，从而得出游戏的公平性．本题考查了游戏公平性、列表法或树状图法以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．19.【答案】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，(18−3x)(6−2x)=60，化简整理得，(x−1)(x−8)=0．解得x1=1，x2=8(不合题意，舍去)．答：人行通道的宽度是1m．【解析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米 2，列出一元二次方程．本题考查了一元二次方程的应用，利用两块相同的矩形绿地面积之和为60米 2得出等式是解题关键．20.【答案】(1)证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠A，又∵∠CBD=∠A，∴∠EDC=∠CBD，∵∠E=∠E，∴△ECD∽△EDB．(2)解：∵△ECD∽△EDB，∴ECED =EDEB，即ED2=EC⋅EB，∵BC=6，AC=3CD，∴BC=3CE，∴CE=2，∴EB=CE+BC=2+6=8，∴DE=√EC⋅EB=√2×8=4．【解析】(1)先由平行得到∠EDC=∠A，再由∠CBD=∠A得∠EDC=∠CBD，再根据两角相等证明相似．(2)由(1)中相似可得，通过BC=6，AC=3CD可得CE=2代入可求解DE的长度．本题考查相似三角形的判定及性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法及性质．21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DF，∴∠ABC=∠BCF，∵E为BC中点，∴BE=CE，在△ABE和△FCE中，{∠ABE=∠FCE BE=CE∠BEA=∠CEF，∴△ABE≌△FCE；(2)当AD=AF时，四边形ABFC是矩形，理由：∵AD=AF，四边形ABFC为平行四边形，∴AE=12AF=12AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，∵AE=12BC，∴AF=BC，∴四边形ABFC为矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．【解析】(1)由平行四边形的性质得到AB//DF，从而证得∠ABC=∠BCF，利用ASA可证明结论；(2)根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可．本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定和性质，属于中考常考题型．22.【答案】解：设该有机产品的售价可以定为x元/盒，根据题意，得(x−50)[200−10(x−60)]=2240．解得x1=66，x2=64．答：该有机产品的售价可以定66元/盒或64元/盒．【解析】设该有机产品的售价可以定为x元/盒，则销售数量为[200−10(x−60)]盒，根据利润=销售数量×(销售价−成本价)列出方程并解答．本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键的读懂题意，找出等量关系，列出方程．23.【答案】2212(n+1)(3n+2)(n+1)(2n+1)(n+1)[n(m−2)2+1]20【解析】解：探究三：如图3−1，1个正五边形的点数总共有5个，即5=12×2×5；如图3−2，连接AC，AD，得到三个三角形，每个三角形都有6个点，就是3×6=18个点，因为每两个三角形有3个点重合，所以，2个正五边形的点数总共有：3×6−2×3=12个，即12=12×3×8；如图3−3，连接A′C′，A′D′，得到三个三角形，每个三角形都有10个点，就是3×10=30个点，因为每两个三角形有4个点重合，所以，3个正五边形的点数总共有：3×10−2×4=22个，即22=12×4×11；如图3−4，连接AC，AD，得到三个三角形，每个三角形都有15个点，就是3×15=45个点，因为每两个三角形有5个点重合，所以，4个正五边形的点数总共有：3×15−2×5=35个，×5×14；即35=12(n+1)(3n+2)个；同理得：n个正五边形的点数总共有：12(n+1)(3n+2)；故答案为：22；12探究四：如图4−1，1个正六边形的点数总共有6个，即6=2×3；如图4−2，连接A′C′，A′D′，A′E′，得到4个三角形，每个三角形都有6个点，就是4×6=24个点，因为每两个三角形有3个点重合，所以，2个正六边形的点数总共有：4×6−3×3=15个，即15=3×5；如图4−3，连接AC，AD，AE，得到4个三角形，每个三角形都有10个点，就是4×10=40个点，因为每两个三角形有4个点重合，所以，3个正六边形的点数总共有：4×10−3×4=28个，即28=4×7；同理得：4个六五边形的点数总共有：5×9=45个；n个正六边形的点数总共有：(n+1)(2n+1)个；故答案为：(n+1)(2n+1)；问题解决：n+1)个；∵n个正三角形的点数总共有(n+1)(12n个正四边形的点数总共有(n+1)(n+1)个；n+1)个；n个正五边形的点数总共有(n+1)(32n个正六边形的点数总共有(n+1)(2n+1)个；∴n个正m边形的点数总共有：(n+1)[n(m−2)+1]个；2故答案为：(n+1)[n(m−2)2+1]；实际应用：由规律得：n=9时，(9+1)(9×m−22+1)=820，解得：m=20，故答案为：20．探究三：如图3−1，直接数点的个数为5个，如图3−2，连接AC，AD，得到三个三角形，每个三角形都有6个点，就是3×6=18个点，因为每两个三角形有3个点重合，所以，2个正五边形的点数总共有：3×6−2×3=12个；同理得如图3−3，3个正五边形的点数总共有：3×10−2×4=22个；如图3−4，4个正五边形的点数总共有：3×15−2×5=35个，确定规律得：n个正五边形的点数总共有：12(n+1)(3n+2)个；探究四：如图3−1，直接数点的个数为6个，如图4−2，连接A′C′，A′D′，A′E′，得到4个三角形，每个三角形都有1+2+3=6个点，就是24个点，因为每两个三角形有3个点重合，所以，2个正五边形的点数总共有：4×6−3×3=15个；同理得点的个数依次为：28，45=5×9，…，(n+1)(2n+1)个；问题解决：根据以上规律可得结论；实际应用：将n=9代入问题解决的等式中解方程即可．本题考查规律型问题，三角形、多边形等知识，理解题意，学会模仿例题解决问题是解题关键．24.【答案】解：(1)根据题意可得BN=t，DM=2t，∴CN=DP=BC−BN=6−t，∴AP=AD−DP=8−(6−t)=2+t，∵四边形ANCP为平行四边形，CN=AP，∴6−t=2+t，解得：t=2，∴当t=2时，四边形ANCP为平行四边形．(2)设PQ=m，则NQ=6−m，由BC//AD知△CQN∽△AQP，∴CNAP =NQPQ，即6−t2+t=6−mm，解得m=6+3t4，∴y=12⋅AD⋅CD−12AM⋅PQ=12×8×6−12×(8−2t)⋅6+3t4=34t2−32t+18；(3)存在，理由如下：根据题意知34t2−32t+18=12×6×6，整理，得：34t2−32t=0，解得t1=0(舍去)，t2=2；所以t=2时，四边形DMQC的面积与△ABC的面积相等．(4)存在．理由如下：∵将△AQM沿AD翻折得△AKM，∵NP⊥AD，QP=PK，∴当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，∴6−t−2t=8−(6−t)，解得t=1，∴t=1，四边形AQMK为菱形．【解析】(1)由BN=t，DM=2t知CN=DP=BC−BN=6−t，从而得AP=AD−DP=8−(6−t)=2+t，根据四边形ANCP为平行四边形知CN=AP，据此列出方程求解可得；(2)设PQ=m，则NQ=6−m，由BC//AD知△CQN∽△AQP，据此得CNAP =NQPQ，即6−t2+t=6−m m ，从而求出m=6+3t4，再根据y=12⋅AD⋅CD−12AM⋅PQ可得函数解析式；(3)根据题意知34t2−32t+18=12×6×6，解之求出t的值即可．(4)由△AQM沿AD翻折得△AKM，知NP⊥AD，QP=PK，据此得PM=PA时有四边形AQMK为菱形，从而列出关于t的方程，解之可得．本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理及翻折变换的性质．。
山东省青岛市市南区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题(含答案解析)
山东省青岛市市南区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．21x y +=B ．323x x =-C ．220x -=D ．131x x+= 2．观察下列表格，一元二次方程x 2﹣x ＝1.1的一个解x 所在的范围是（ ）A ．1.5＜x ＜1.6B ．1.6＜x ＜1.7C ．1.7＜x ＜1.8D ．1.8＜x ＜1.93．某地新高考有一项“6选3”选课制，高中学生李鑫和张锋都已选了地理和生物，现在他们还需要从“物理、化学、政治、历史”四科中选一科参加考试．若这四科被选中的机会均等，则他们恰好一人选物理，另一人选化学的概率为（ ）A ．18B ．14C ．38D ．124．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x ，则可列方程为（ ） A ．210(3)(3)x x x +-=- B ．210(3)x x x ++= C ．210(3)(3)x x x ++=+ D ．210(3)(3)x x x ++=+5．已知：问题1，某厂用2年时间把总产值增加了原来的b 倍，求每年平均增长的百分数； 问题2，总产值用2年的时间在原来a 万元的基础上增加了b 万元，求每年平均增长的百分数；问题3，某厂用2年的时间把总产值增加到原来的b 倍，求每年平均增长的百分数． 设每年平均增长的百分数x ，那么下面的三个方程： ①（1+x ）2＝b ，②a （1+x ）2＝a +b ， ③（1+x ）2＝b +1，按问题1、2、3的序号排列，相对应的是（ ） A ．①②③B ．③②①C ．①③②D ．②①③6．如图，△ABC 的两条高AD ，BE 交于点F ，连接ED ，则下列结论：①△ADC ∽△BDF ；②△BEC ∽△ADC ；③△ABD ∽△ABE ；④△ABC ∽△DEC ；⑤△BDE ∽△AED ；⑥△BDF ∽△AEF ．正确的为（ ）A ．①②③④B ．①②④⑥C ．①②⑤⑥D ．②③④7．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，画出来的螺旋曲线．如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将其圆弧连接起来得到的．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．4πB ．39160πC ．19180π+ D ．19280π+ 8．如图，在▱ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝BC ，AE ⊥BC 于点E ，连接DE ，交AC 于点G ．以DE 为边作等边△DEF ，连接AF ，交DE 于点N ，交DC 于点M ，且M 为AF 的中点．在下列说法中：①∠EAN ＝45°，②12AE ，③S △AGE ＝S △DGC ，④AF ⊥DE ．正确的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．若13aa b=+，则ba的值为_____．10．某厂一月份的产值为10万元，第一季度产值共为33.1万元，且每个月的增长率相同，若设该增长率为x，则根据题意，可列方程：___．11．如果有12升纯酒精，倒出一部分后注满水，第二次倒出与前次同量的混合液再注满水，此时容器内的水是纯酒精的3倍，则每次倒出液体的数量是___升．12．如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO 并延长交BC于E，则BE：EC＝___．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠ACB＝30°，E，F分别为对角线AC与边CD 上的点，且AE＝CF，则BE+BF的最小值为___．14．如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的顶点A，A1，A2，A3，…，在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…，在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设△ACD与△B1DE的面积之和为S1，△A1C1D1与△B2D1E1的面积之和为S2，△A2C2D2与△B3D2E2的面积之和为S3，…，若AB＝2，则S n等于__．（用含有正整数n的式子表示）三、解答题15．请作出一个以线段a为对角线，且对角线夹角为60°的矩形ABCD．16．计算：请解下列方程（1）（y+3）（1﹣3y）＝1+2y2．（2）x2+2x+2＝8x+4（配方法）17．若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2＝0有不相等实数根，求k的取值范围. 18．某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张茶艺表演门票，他们决定采用抽卡片的办法确定谁去．规则如下：将正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片（除数字外其余都相同）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回；重新洗匀后背面朝上放置在桌面上，再随机抽出一张记下数字．如果两个数字之和为奇数，则小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去．（1）请用列表或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字之和的所有可能出现的结果；（2）你认为这个规则公平吗？请说明理由．19．已知：如图，△ABC中，D是边BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC交AB于点E，EC交AD于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）求FCEF的值．20．如图，我区荷兰花海景区东北角有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此扩建一个新品种花卉观光区，其中阴影部分为观览通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将种植新品种花卉．（1）设观览通道的宽度为x米，则a＝（用含x的代数式表示）；（2）若新品种花卉总占地面积为2430平方米．请求出观览通道的宽度为多少米？21．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．（1）求证：△ECG≌△GHD；（2）当∠B为多少度时，四边形AEGF是否为菱形，请说明理由．22．青岛某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨1 3 .下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变，经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满：如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间.不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入可为42025元？23．（模型引入）我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．（模型探究）如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CB于点F．（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．（模型应用）（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F 作FH⊥AE于F，过H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有个．（4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；DE＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE BF；正确的结论有个．（模型变式）（5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线与点N，求证：MD＝MN（6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则∠FMN和∠NMB 之间有怎样的数量关系？请给出证明．（拓展延伸）（7）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．如图7，在线段BO 上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．（8）如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E 作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是．24．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E，F分别为AD，BC边的中点．动点P从点E出发沿ED向点D运动，速度为1cm/s，同时，动点Q从点F出发沿FB向点B运动，速度为2cm/s，过点Q作QM∥AC，交AB于点M，连接PM，PQ，分别交AC于点G，H．设运动时间为t（s）（0＜t＜2）．（1）连接DF，当t为何值时，四边形PDFQ是平行四边形？（2）当△PQM的面积等于矩形ABCD面积的18时，求出t的值；（3）是否存在某一时刻t，使点P在线段MQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（4）如图2，过点C作CN⊥PQ，垂足为N，连接AN，请你求出线段AN的最小值．参考答案1．C 【分析】根据一元二次方程的定义可直接进行排除选项． 【详解】解：A 、由21x y +=可得是二元一次方程，故不符合题意； B 、由323x x =-可得是一元三次方程，故不符合题意； C 、由220x -=可得是一元二次方程，故符合题意； D 、由131x x+=可得是分式方程，故不符合题意； 故选C ． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2．B 【分析】利用表中数据可判断方程解的范围为1.6＜x ＜1.7． 【详解】解：因为x =1.6时，x 2-x =0.96， x =1.7时，x 2-x =1.19，所以一元二次方程x 2﹣x =1.1的一个解的范围为1.6＜x ＜1.7． 故选：B ． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 3．A 【分析】利用列表的方法把所有可能性列出来，并找到符合题意的可能性求出概率． 【详解】解：列表如图所示：他们恰好一人选物理，另一人选化学的概率是21 168=．故选：A．【点睛】本题考查概率，解题的关键是掌握利用列表法求概率的方法．4．C【分析】根据题意可得个位数为x+3，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可；【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则个位数上的数字是x+3，由题意可得：210(3)(3)x x x++=+．故答案选C．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确列式是解题的关键．5．B【分析】问题1，设每年平均增长的百分数是x，根据某厂用2年时间把总产值增加了原来的b倍，把两年前的看作单位1，可列方程求解．问题2，设每年平均增长的百分数是x，根据某工厂总产值用2年的时间在原来a万元的基础上增加了b万元，可列方程求解．问题3，设每年平均增长的百分数是x，根据某厂用2年时间把总产值增加到原来的b倍，把两年前的看作单位1，可列方程求解．【详解】解：问题1，设每年平均增长的百分数是x，则（1＋x）2＝b＋1．问题2，设每年平均增长的百分数是x，则．a（1＋x）2＝a＋b．问题3，设每年平均增长的百分数是x，则．（1＋x）2＝b．故选：B．【点睛】考查理解题意的能力，关键是设出增长率，根据两年前和两年后的产量，列方程求解．本题注意区分增加了和增加到表示的意思．6．B【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【详解】解：∵△ABC的两条高AD，BE交于点F，∴∠AEF＝∠FDB＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠EAF＝∠DBF，∴△AFE∽△BFD，故⑥正确，∵∠ADC＝∠BDF＝90°，∴△ADC∽△BDF，故①正确，∵∠BEC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，∴△BEC∽△ADC，故②正确，∴BC EC AC CD=，∴BC AC EC CD=，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△DEC，故④正确，③⑤不满足相似的条件，结论错误．故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．7．D【分析】求出阴影部分的面积，利用概率公式即可求解．【详解】解：由已知可得：矩形ABCD的长为8，宽为5，即面积S矩＝8×5＝40，阴影部分的面积S阴＝49251911 444442ππππππ⎛⎫-++++=+⎪⎝⎭，设在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分为事件A，则P（A）＝SS阴矩＝191240π+=19280π+，故选：D．【点睛】本题考查了几何概型中的面积型，属中档题，解题的关键是熟知概率公式的运用．8．B【分析】连接CF，过点A作AH⊥DC于点H，首先通过SAS证明△DAE≌△DCF，得AE＝CF，∠DAE ＝∠DCF＝90°，则∠ACF＝150°，由AC≠CF，则∠EAN≠45°，故①错误；易证△AHM≌△FCM（AAS），得HM＝CM＝12a，＝12AE，故②正确；因为AD//BC，得S△AEC＝S△DCE，从而可证③正确；因为△EDF是等边三角形，若AF⊥DE，则AF垂直平分DE，则AD＝AE，显然AD≠AE，故AF与AD不垂直，故④错误．【详解】解：连接CF，过点A作AH⊥DC于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC、△ADC都是等边三角形，AD//BC，∵AE⊥BC，∴BE＝CE，∠BAE＝∠CAE＝30°，设BE＝CE＝a，则AB＝BC＝AC＝2a，∴AE，∵∠ADC＝∠EDF＝60°，∴∠ADE＝∠CDF，在△DAE和△DCF中，AD CDADE CDF ED FD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAE≌△DCF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∴∠DCF＝∠DAE＝90°，∴∠ACF＝150°，∵AC≠CF，∴∠CAF≠∠CF A≠15°，∴∠EAN≠45°，故①错误；∵∠AHM＝∠FCM＝90°，MA＝MF，∠AMH=∠FMC，∴△AHM≌△FCM（AAS），∴HM＝CM＝12a，＝12AE，故②正确；∵AD//BC，∴S△AEC＝S△DCE，∴S△AEC−S△GCE＝S△DCE−S△GCE，即S△AGE＝S△DGC，故③正确；∵△EDF是等边三角形，若AF⊥DE，则AF垂直平分DE，则AD＝AE，显然AD ≠AE ，故AF 与AD 不垂直，故④错误； ∴正确的是②③，一共2个， 故选：B ． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，以及线段垂直平分线的性质等知识，通过作辅助线，构造出△DAE ≌△DCF 是解题的关键． 9．2 【分析】由题意，计算得到2a b =，即可求出答案． 【详解】 解：∵13a ab =+， ∴3a a b =+， ∴2a b =， ∴2ba=； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确得到2a b =． 10．21010(1)10(1)33.1x x ++++= 【分析】由增长率公式求出二月份和三月份的产值，根据题意可列等量关系式：一月份的产值+二月份的产值+三月份的产值=33.1，把相关数值代入即可． 【详解】∵一月份的产值为10万元，增长率为x ，∴二月份产值为：10(1)x +，三月份产值为：210(1)x +，第一季度产值共为33.1万元， 21010(1)10(1)33.1x x ∴++++=，故答案为：21010(1)10(1)33.1x x ++++=． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，若变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过2次变化后的数量关系为()21a x b ±=，列到第一季度产值的等量关系是解决本题的关键． 11．6 【分析】设每次倒出总量的百分比为x ，最后水是酒精的3倍，总体积还是12升，则酒精剩余12×14＝3升．可列方程：12（1−x ）2＝3，解方程即可解决问题； 【详解】解：设每次倒出总量的百分比为x ，最后水是酒精的3倍，总体积还是12升，则酒精剩余12×14＝3升．可列方程：12（1−x ）2＝3，解之得x ＝12，（x =32舍去）∴倒出的酒精味12×12＝6升．即每次到出液体的数量为6升． 故答案为：6． 【点睛】掌握每次倒液后质量分数的变化．要注意每次倒出液体后剩余的酒精和水各是多少，然后根据题意求解，舍去不合题意的解． 12．1：3 【分析】作DF //AE 交BC 于F ，如图，利用OE ∥DF 得到BE BOEF OD=＝1，所以BE ＝EF ，利用DF //AE 得到EF AD FC DC=＝12，所以CF ＝2EF ，然后计算BE ：EC ． 【详解】解：作DF //AE 交BC 于F ，如图， ∵OE //DF ， ∴BE BOEF OD=＝1， 即BE ＝EF ，∵DF//AE，∴EF ADFC DC＝12，∴CF＝2EF，∴BE：EC＝BE：3BE＝1：3故答案为1：3．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．13．【分析】连接矩形ABCD的对角线BD，交AC于点O，则点O为AC，BD中点；作O关于CD 的对称点H，连接OH，交CD于G，过H作直线BC的垂线，垂足为M，连接BH 交CD于F，连OF，此时BF + BE最小，根据勾股定理求出即可；【详解】解：如图所示，连接矩形ABCD的对角线BD，交AC于点O，则点O为AC，BD中点；作O关于CD的对称点H，连接OH，交CD于G，过H作直线BC的垂线，垂足为M，连接BH交CD于F，连OF，此时BF + BE最小，∵四边形 ABCD 为矩形，∴CD = AB =4，BC = AD ， AD ∥ BC ， AB ∥CD ，∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = ∠BAD =90° ∴∠BAE =∠OCF ， ∵∠ACB =30°∴ AC =2AB =8，BC= 在△BAE 和△OCF 中 AB CO BAE OCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAE ≌OCF ( SAS )， ∴BE = OF ， ∴BE + BF = OF + BF ,由对称性得：OF = FH ，OG = GH ， ∴BE + BF = BF + FH = BH ， ∵OC = OD ，OH ⊥CD ， ∴OG = DG =12CD =12AB =2， ∵∠ CGH = ∠GCM = ∠M =90°， ∴四边形 GCMH 为矩形， ∴ CM = GH =12BC=12⨯，HM = CG =2，BM = BC + CM=在 Rt △BHM 中，BH ===即 BF + BE的最小值为故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理解答本题的关键． 14．n-11449⨯ 【分析】设△ADC 的面积为S ，利用相似三角形的性质求出1S ，2S ，…n S 与S 的关系即可解决问题． 【详解】解：设△ADC 的面积为S ，由题意得，AC ∥12B B ，AC ＝AB ＝2，12B B ＝4， ∴△ACD ∽△21B B D ∴2121214S ADC AC S B B D B B ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴12B B DS =4S∵11212CD AC DB B B == ，1CB =2 ∴1DB =2×212+=43同理12D B =83∵1DB ∥12D B ∴121212DB DE EB D B == ∴143DB ES S =∴14733S S S S =+= ∵111AC D ∽△ACD∴2111114S AC D AC S ACD AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴111A C D S=4S同理可得，121163D BE SS =∴21628744333S S SS S =+==⨯ (1)743n n S S -=⨯ ∵S=1222233⨯⨯=∴11449n n S -=⨯ 故答案为：11449-⨯n 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是学会探究规律的方法，熟练掌握正方形的性质，三角形的面积，相似三角形的判定和性质． 15．见解析 【分析】作线段AC 的垂直平分线交AC 于点O ，作等边△AOB ，延长BO ，截取OD ＝OB ，连接BC ，CD ，AD 即可． 【详解】解：如图，四边形ABCD 即为所求作．【点睛】本题考查了尺规作图-线段垂直平分线，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解答本题的关键．16．（1）y 1=45-y 2=45-2）x 1，x 2．【分析】（1）先化简，再利用公式法即可求解； （2）先化简，再利用配方法即可求解． 【详解】（1）（y +3）（1﹣3y ）＝1+2y 2 -3y 2-8y +3=1+2y 2 -5y 2-8y +2=0 a =-5，b =-8，c =2 ∴△=64+40=104∴y ==∴y 1=45-y 2=45-（2）x 2+2x +2＝8x +4 x 2-6x -2＝0 x 2-6x =2 （x -3）2=11x∴x 1+3，x 2． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法与配方法的运用． 17．k ＞12且k≠1. 【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k ﹣1≠0且△＝4﹣4(k ﹣1)×(﹣2)＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可. 【详解】解：根据题意得k ﹣1≠0且△＝4﹣4(k ﹣1)×(﹣2)＞0，解得k ＞12， 所以k 的范围为k ＞12且k≠1. 故答案为k ＞12且k≠1. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的定义及根的判别式；掌握和灵活运用根的判别式是解题的关键；当△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．18．（1）见解析（2）公平，理由见解析【分析】（1）用列表法将所有等可能的结果一一列举出来即可；（2）求得两人获胜的概率，若相等则公平，否则不公平．【详解】解：（1）根据题意列表得：（2）由列表得：共16种情况，其中奇数有8种，偶数有8种，∴和为偶数和和为奇数的概率均为12，∴这个游戏公平．点评：本题考查了游戏公平性及列表与列树形图的知识，难度不大，是经常出现的一个知识点．19．（1）见解析（2）3【分析】（1）由AD＝AC，利用等边对等角得到一对角相等，再求出∠B＝∠ECB，利用两对对应角相等的三角形相似即可得证；（2）由相似三角形的性质得到CD DFBC AC=，由D是BC边的中点，得到BC＝2CD，于是得到AD＝AC＝2FD，由于∠ACD＝∠ADC，∠B＝∠FCD，推出∠EAD＝∠ACE，得到△EAF∽△ECA，根据相似三角形的性质得到12EA EF AFEC EA AC===，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACB，∵D是边BC的中点，DE⊥BC ∴DE是BC的中垂线∴BE=CE∴∠B＝∠ECB，∴△ABC∽△FCD；（2）解：∵△ABC∽△FCD，∴CD DF BC AC=，∵D是BC边的中点，∴BC＝2CD，∴AD＝AC＝2FD，∵∠ACD＝∠ADC，∠B＝∠FCD，∴∠EAD＝∠ACE，∴△EAF∽△ECA，∴12 EA EF AFEC EA AC===，∴EC＝2EA＝4EF，∴FCEF＝3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．20．（1）6032x-；（2）通道的宽度为2米【分析】（1）设通道的宽度为x米，表示出a即可；（2）根据矩形面积-通道面积=新品种花卉面积，列出关于x的方程，求这个方程的解即可得出答案．【详解】（1）设通道的宽度为x 米，则2603a x =-，解得6032x a -=， 故答案为：6032x -； （2）根据题意，603(502)(603)24302x x x x ----⋅=， 解得：122,38x x ==（不合题意，舍去）．答：通道的宽度为2米．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，弄清题意是解决本题的关键．21．（1）见解析（2）∠B ＝30°时，是菱形，理由见解析【分析】（1）依据条件得出∠C ＝∠DHG ＝90°，∠CGE ＝∠GED ，依据F 是AD 的中点，FG ∥AE ，即可得到FG 是线段ED 的垂直平分线，进而得到GE ＝GD ，∠CGE ＝∠GDE ，利用AAS 即可判定△ECG ≌△GHD ；（2）依据∠B ＝30°，可得∠ADE ＝30°，进而得到AE ＝12AD ，故AE ＝AF ＝FG ，再根据四边形AEGF 是平行四边形，即可得到四边形AEGF 是菱形．【详解】解：（1）∵AF ＝FG ，∴∠F AG ＝∠FGA ，∵AG 平分∠CAB ，∴∠CAG ＝∠F AG ，∴∠CAG ＝∠FGA ，∴AC //FG ，∵DE ⊥AC ，∴FG ⊥DE ，∵FG ⊥BC ，∴DE //BC ，∴AC ⊥BC ，∴∠C ＝∠DHG ＝90°，∠CGE ＝∠GED ，∵F 是AD 的中点，FG //AE ，∴H 是ED 的中点，∴FG 是线段ED 的垂直平分线，∴GE ＝GD ，∠GDE ＝∠GED ，∵DE ∥BC ，∴∠CGE ＝∠GED ＝∠GDE ，∴△ECG ≌△GHD （AAS ）；（2）当∠B ＝30°时，四边形AEGF 是菱形，理由如下：证明：∵∠B ＝30°，∴∠ADE ＝30°，∴AE ＝12AD ， ∴AE ＝AF ＝FG ，由（1）得AE //FG ，∴四边形AEGF 是平行四边形，∴四边形AEGF 是菱形．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质，以及含30°角的直角三角形的性质的综合运用，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键．22．(1)豪华间有50间，旺季每间价格为800元；(2)豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元.【分析】(1)根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格；(2)根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题.【详解】解：(1)设淡季每间的价格为x 元，酒店豪华间有y 间，(10)2400011400003x y x y -=⎧⎪⎨⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得，60050x y =⎧⎨=⎩， ∴x+13x ＝600+13×600＝800， 答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；(2)设该酒店豪华间的价格上涨a 元，日总收入为w 元，w ＝(800+a)(50﹣a 25)＝﹣125 (a ﹣225)2+42025， ∴当a ＝225时，w 取得最大值，此时w ＝42025，答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元.【点睛】本题考查二次方程组及二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．23．（1）AE EF =，证明见解析；（2）)BE BC BF =-；（3）4；（4）3；（5）见解析；（6）NMF NMB ∠=∠，证明见解析；（7）β的大小不变，45β=︒，理由见解析；（8）152 【分析】（1）过点E 作YZ AD ⊥，交AD 于Y ，交BC 于Z ,证明ZBE △是等腰直角三角形，进而证明AEY △≌EFZ △，即可证明AE EF =；（2）过E 分别向,AB BC 作垂线，垂足分别为,T U ，证明四边形TBUE 是正方形，证明TEA △≌UEF △，过A 作AV BD ⊥于V ,过F 作FW BD ⊥的延长线于点W ，设正方形的边长为a ，在Rt ABD △中，求得BD ，进而求得12AV BD ==，证明AEV △≌EFW △，进而可得BW =，由BE BW BE EV BV AV +=+===，可得)BE BC BF =- （3）①由（1）直接判断①；根据AFH 是等腰直角三角形，即可判断②；过A 作AR BD⊥于R ,证明ARF FGH △≌△可得AR FG =，进而判断；③过点A 作AQ HE ⊥于点Q ，延长CB至Q ，使BP DE =，证明APH AEH △≌△，进而可得△CEH 的周长为2BC ，即可判断④；（4）①由（1）直接判断①；过E 作//PQ DC ,交,AD BC 分别为点,P Q ，证明,DPE EQB△△是等腰直角三角形，证明Rt EFQ ≌Rt AEP △，进而可得DE ==，即可判断②；过F 作//KF PQ 交BD 于点K ,KN PQ ⊥于N ，可得KB =，由②可知PD QF =，进而证明DPE KNE △≌△，BE BK EK DE =+=可判断④，由于M 点的位置不确定，无法判断AEM S △和MCF S △的关系，即可判断③；（5）在OD 上取OH OM =，连接HM ，证明HDM △≌BMN △即可； （6）延长BO 至点A ，使得AO CF =，连接AD ，过点M 作MP DN ⊥于点F ，证明AOD FCD △≌△，可得CDF ODA ∠=∠，进而证明ADM △≌FDM ，由45NMF FMP NMP ∠+∠=∠=︒，根据角度的等量换算可得NMF MDO ∠=∠，NMB MDO ∠=∠，进而可得NMF NMB ∠=∠；（7）过点C 作//CF OB ，且CF OA =，连接AF 交CE 于点G ，连接BF ，证明BOA ACF △≌△，可得,12BA AF =∠=∠，进而可得545∠=︒，进而证明四边形BECF 是平行四边形，根据平行线的性质，三角形的外角的性质可得7145∠+∠=︒，即β=45︒ （8）过E 作PQ DC ⊥，交DC 于P ，交AB 于Q ，连接BE ，证明 PE PC =，设,PC x =则,6PE x PD x ==-，6EQ x =-，证明DEF 是等腰直角三角形，证明DEC BEC ≌△△，在Rt DEP 中，勾股定理求得DE =EF ，过点F 作FH AC ⊥于点H ，证明DGC FGA △∽△，进而求得AG =GE ，在Rt HGF 中，勾股定理求得FG ，进而求得EFG S，根据翻折的性质求得EFM S △，根据EDM S S =△四边形DFME DFM DEF EFM DFM S S S S -=+-△△△△即可求得152EDM S =△． 【详解】（1）若点F 在线段BC 上，AE EF =,理由如下， 过点E 作YZ AD ⊥，交AD 于Y ，交BC 于Z ,四边形ABCD 是正方形，AD AB BC ∴==，90DAB ABC C ADC ∠=∠=∠=∠=︒又YZ AD ⊥∴四边形ABZY 是矩形，AY BZ ∴= =AD AB ，90BAD ∠=︒45ADB ABD DBC ∴∠=∠=∠=︒ ZBE ∴△是等腰直角三角形BZ EZ ∴=BZ AY =ZE AY ∴=AE EF ⊥90AEY FEZ ∴∠+∠=︒90AYE ∠=︒90EAY AEY ∴∠+∠=︒∴FEZ EAY ∠=∠//,AD BC YZ AD ⊥YZ BC ∴⊥90AYE EZF ∴∠=∠=︒在AEY △与EFZ △中，FEZ EAY ZE AYEZF AYE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AEY △≌EFZ △AE EF ∴=（2）若点F 在线段CB的延长线上，)BE BC BF =-，理由如下，过E 分别向,AB BC 作垂线，垂足分别为,T U ， 四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，90BAD ∠=︒∴四边形TBUE 是矩形，45ADB ABD DBC ∴∠=∠=∠=︒ ,ET AB EU BC ⊥⊥TB TE ∴=，EU BU =，∴四边形TBUE 是正方形TE EU ∴=,//TE FUTEF EFU ∴∠=∠AE EF ⊥90TEF AET ∴∠+∠=︒ET AB ⊥90EAT AET ∴∠+∠=︒TEF EAT ∴∠=∠EFU EAT ∴∠=∠在TEA △与UEF △中90ATE FUE EAT EFUTE UE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴TEA △≌UEF △AE EF ∴=过A 作AV BD ⊥于V ,过F 作FW BD ⊥的延长线于点W ，如图，四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，90BAD ∠=︒45ADB ABD ∴∠=∠=︒设正方形的边长为a ，AV BD ⊥AV BV VD ∴==在Rt ABD △中，BD ===，12AV BD ∴== AE EF ⊥，AV EV ⊥90,90AEV EFW AEV EAV ∴∠+∠=︒∠+∠=︒ EFW EAV ∴∠=∠,FW WD AV BD ⊥⊥90FWE AVE ∴∠=∠=︒在AEV △和EFW △中EFW EAV FWE AVE AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEV △≌EFW △EV FW ∴=45FBW DBC ∠=∠=︒，FW WB ⊥ 9045FBW BFW ∴∠=︒-∠=︒WFB WBF ∴∠=∠FW WB ∴=BF ∴即BW = BW EV ∴=∴BE BW BE EV BV AV +=+===BE += BC a =BE BC +即)2BE BC BF =- （3）如图由（1）可得AF FH =，故①正确， ,AF FH AF FH ⊥=AFH ∴是等腰直角三角形， 45HAE ∴∠=︒故②正确，过A 作AR BD ⊥于R , ,90AD AB BAD =∠=︒12AR BR DR BD ∴===,AR BD HG BD ⊥⊥90ARF FGH ∴∠=∠=︒90,90AFR FAR AFR GFH ∠+∠=︒∠+∠=︒FAR HFG ∴∠=∠又AF FH =ARF FGH ∴△≌△AR FG ∴=12FG BD ∴=故③正确，如图，过点A 作AQ HE ⊥于点Q ，延长CB 至Q ，使BP DE =，90,,ADE ABP AB AD DE BP ∠=∠=︒==ABP ADE ∴△≌△ DAE BAP ∴∠=∠45EAH ∠=︒，90DAB ∠=︒ 45DAE HAB ∴∠+∠=︒45BAP HAB ∴∠+∠=︒即HAP EAH ∠=∠ ,AP AE AH AH ==APH AEH ∴△≌△ HE HP ∴=PH PB BH DE BH EH =+=+=∴△CEH 的周长为2CE EH HC CE DE BH HC CD BC BC ++=+++=+=正方形的边长为4∴△CEH 的周长为2BC 8=．故④正确，综上所述，故正确的结论有①②③④，共计4个 故答案为：4 （4）如图4，由（1）可得AE EF =,故①正确；如图，过E 作//PQ DC ,交,AD BC 分别为点,P Q四边形ABCD 是正方形90ADC DCB ∴∠=∠=︒//PQ DC90DPQ PQC ∴∠=∠=︒∴四边形PDCQ 是矩形同理，四边形ABQP 是矩形， DP CQ ∴=，AP BQ =45PDE EBQ ∠=∠=︒∴,DPE EQB △△是等腰直角三角形PE DP ∴=，EQ QB =四边形ABQP 是矩形BQ AP ∴=EQ AP ∴=在Rt EFQ 与Rt AEP △中，AE EFAP EQ =⎧⎨=⎩∴Rt EFQ ≌Rt AEP △PE QF ∴= 12DP QF CF ∴==45,90PDE DPE ∠=︒∠=︒DE ∴=CF ∴= 故②正确如图，过F 作//KF PQ 交BD 于点K ,KN PQ ⊥于N则四边形KNQF 是矩形， NK QF ∴=45,90KBF KFB ∠=︒∠=︒KB ∴= 由②可知PD QF =NK DP ∴=，90DPE KNE ∠=∠=︒，KEN DEP ∠=∠，DPE KNE ∴△≌△，DE EK ∴=，BE BK EK DE ∴=+=，故④正确；由于M 点的位置不确定，无法判断AEM S △和MCF S △的关系，故③不正确， 综上所述正确的结论由①②④，共计3个； 故答案为：3，（5）如图5，在OD 上取OH OM =，连接HM ，,OD OB OH OM == ,HD MB OHM OMH ∴=∠=18045135DHM ∴∠=︒-︒=︒ BN 平分CBE ∠45NBE ∴∠=︒135MBN ∴∠=︒ DHM MBN ∴∠=∠ DM MN ⊥，90AOB ∠=︒90DMO NMB ∴∠+∠=︒90DMO HDM ∠+∠=︒ HDM NMB ∴∠=∠HDM △与BMN △中HDM BMN DH BMDHM MBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴HDM △≌BMN △DM MN ∴=（6）如图6，在上一问的条件下，连接DN 交BC 于点F ，连接FM ，NMF NMB ∠=∠，理由如下，延长BO 至点A ，使得AO CF =，连接AD ，过点M 作MP DN ⊥于点F ，,90,DC DO DOA DCF CF AO =∠=∠=︒=AOD FCD ∴△≌△CDF ODA ∴∠=∠，AD DF = ,DM MN DM MN =⊥45MDN ∴∠=︒ 90CDO ∠=︒9045CDF MDO FDM ∴∠+∠=︒-∠=︒ 45ODA ODM ADM ∴∠+=︒=∠ ADM FDM ∴∠=∠在ADM △与FDM 中，AD AF ADM FDM DM DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADM △≌FDMDFM DAM ∴∠=∠MP DF ⊥90PMF PFM ∴∠+∠=︒ 90DAO ADO ∠+∠=︒ PMF ODA ∴∠=∠45MDO ODA ∠+∠=︒ 45PMF MDO ∴∠+∠=︒ ,DM MN MP DN =⊥PM PN ∴=45PMN ∴∠=︒45NMF FMP NMP ∴∠+∠=∠=︒ NMF MDO ∴∠=∠ NMB MDO ∠=∠ NMF NMB ∴∠=∠（7）β的大小不变，45β=︒，理由如下，过点C 作//CF OB ，且CF OA =，连接AF 交CE 于点G ，连接BF ，如图， //CF OB ，180BOA ACF ∴∠+∠=︒90BOA ∠=︒90ACF ∴∠=︒BOA ACF ∴∠=∠又,OB AC OA CF == BOA ACF ∴△≌△,12BA AF ∴=∠=∠45∴∠=∠1390∠+∠=︒2390∴∠+∠=︒180(23)90BAF ∴∠=︒-∠+∠=︒ 545∴∠=︒17276∠+∠=∠+∠=∠ //,BE CF BE OA CF ==∴四边形BECF 是平行四边形//BF CE ∴5645∴∠=∠=︒7145∴∠+∠=︒（8）如图，过E 作PQ DC ⊥，交DC 于P ，交AB 于Q ，连接BE ，DC AB ⊥PQ AB ∴⊥四边形ABCD 是正方形， 45ACD ∴∠=︒,PEC 是等腰直角三角形，∴ PE PC =设,PC x =则,6PE x PD x ==-，6EQ x =- PD EQ ∴=90DPE EQF ∠=∠=︒，PED EFQ ∠=∠()AAS DPE EQF ∴△≌△DE EF∴=DE EF ⊥∴DEF 是等腰直角三角形,45,DC BC DCE BCE CE CE =∠=∠=︒=()SAS DEC BEC ∴≌△△DE BE ∴=EF BE ∴=EQ FB ⊥12FQ BQ BF ∴==6AB AD ==,F 是AB 的中点32FQ BQ PE ∴===92CE PD ∴==在Rt DEP 中，DE ===EF DE ∴==过点F 作FH AC ⊥于点H ，如图，6AD CD ==AC ∴=//DC ABDGC FGA ∴△∽△∴623CG CD AG AF === 2CG AG ∴=∴=AGGE AC AG CE ∴=--==45,FAC HF AC ∠=︒⊥ 45FAC AFH ∴∠=∠=︒3AF =AH HF ∴==。
青岛胶南市黄山经济区中心中学九年级数学上学期期中试卷2(无答案) 北师大版
山东省青岛胶南市黄山经济区中心中学九年级数学上学期期中试卷2北师大版（考试时间90分钟，满分100分）题号 一 二 三 总分 1-10 11-116 17 18 19 20 21 22 得分第二卷一、选择题：（本大题共10题，每小题3分，共30分，每小题给出四个答案，其中只有一个符合题目的要求，请把选出的答案编号填在下面的答题表一内，否则不给分. ）答题表一题号 12345678910答案二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将答案填入答题表二内，否则不给分）答题表二题号 11 12 13 14 15 答案三、解答题：（共7题，共55分）16、已知，如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱.AB=5m ，某一时刻AB 在阳光下的投影BC = 3m.（1）请在图中画出此时DE 在阳光下的投影；（3分）（2）陈静雅在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为6m ，请你帮忙计算立柱DE 的长.（4分）17、按要求解方程：（每题4分，共8分）A E DC 第16题 B（1）3x 2+5(2x +1)=0（用公式法） （2）()()752652x x x +=+（用因式分解法）18、已知：反比例函数xky =和一次函数12-=x y ，其中一次函数的图像经过点（k ，5）. （1） 试求反比例函数的解析式；（3分）（2） 若点A 在第一象限，且同时在上述两函数的图像上，求A 点的坐标；（5分）19、若每件工艺品的进价是155元，按200元售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件。
若每件工艺品降价l 元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润4900元?（7分）20、一布袋中有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其它都一样。
小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球。
请你利用列举法（列表或画树状图）分析并求出小亮两次都能摸到白球的概率。
山东省青岛市2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷 含解析
2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1．方程x2＝x的解是（）A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝0 2．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠23．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列方程得（）A．10（1+x）2＝16.9 B．10（1+2x）＝16.9C．10（1﹣x）2＝16.9 D．10（1﹣2x）＝16.94．在数字1，2，3，4中任选两个组成一个两位数，这个两位数能被3整除的概率为（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，BD＝3AD，BC＝12，则DE的长是（）A．3 B．4 C．5 D．66．如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC＝，则△ABC移动的距离是（）A．B．C．D．﹣7．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A．8 B．12 C．16 D．328．如图，点O为正方形ABCD的中心，AD＝1，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使BD＝BF，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：OH∥BF；②OG：GH＝2：1；③GH＝；④∠CHF＝2∠EBC；⑤CH2＝HE•HB．正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）9．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝．10．若是一个直角三角形两条直角边的长a，b，满足（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为．11．若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝8cm，则AC＝．12．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中红球的个数，采用了如下的方法：先把口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为．13．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为．14．如图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在B处立了一根高为2.5m的标杆，观测者从E处可以看到杆顶A，树顶C在同一条直线上，若测得BD＝7m，FB＝3m，EF＝1.6m，则树高为m．15．如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．若长方形纸板边长分别为40cm和30cm，且折成的长方体盒子表面积是950cm2，此时长方体盒子的体积为cm3．16．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A n O∁n B n的对角线交点的坐标为．三．解答题（共72分）17．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a和∠α．求作：菱形ABCD，使菱形ABCD的边长为a，其中一个内角等于∠α．18．用指定方法解方程：（1）2x2+4x﹣3＝0（配方法解）（2）5x2﹣8x＝﹣2（公式法解）19．第一盒中有2个白球、1个红球，第二盒中有1个白球、2个红球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个红球的概率．请通过列表格或画树状图，说明理由．20．如图梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M（1）求证：△EDM∽△FBM；（2）若DB＝9，求BM．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．22．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边AB上一点，延长AD至F使DF＝BE，连接CF．（1）求证：∠BCE＝∠DCF；（2）过点E作EG∥CF，过点F作FG∥CE，问四边形CEGF是什么特殊的四边形，并证明．23．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出50kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克56元时，计算销售量和月销售利润；（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？24．【阅读资料】同学们，我们学过用配方法解一元二次方程，也可用配方法求代数式的最值．（1）求4x2+16x+19的最小值．解：4x2+16x+19＝4x2+16x+16+3＝4（x+2）2+3因（x+2）2大于等于0，所以4x2+16x+19大于等于3，即4x2+16x+19的最小值是3．此时，x＝﹣2（2）求﹣m2﹣m+2的最大值解：﹣m2﹣m+2＝﹣（m2+m）+2＝﹣因大于等于0，所以﹣小于等于0，所以﹣+小于等于，即﹣m2﹣m+2的最大值是，此时，m＝﹣．【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大．下面给出了未写完的证明，请你阅读下面的证明并写出余下的证明部分，并求出矩形的最大面积与原三角形面积的比值．解：在AC上任取点E，作ED⊥BC，EF⊥AB，得到矩形BDEF．设EF＝x易证△AEF∽△ACB，则，，，…请你写出剩余部分【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），该矩形的面积为．（直接写出答案）【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝70cm，BC＝108cm，CD＝76cm，且∠B＝∠C＝60°，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，该矩形的面积为．（直接写出答案）25．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，BD为对角线．点P从点B出发，沿线段BA向点A运动，点Q从点D出发，沿线段DB向点B运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到A时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）是否存在某一时刻t，使得PQ∥AD？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（2）设四边形BPQC的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（3）是否存在某一时刻t，使得S四边形BPQC：S矩形ABCD＝9：20？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使得PQ⊥CQ？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．方程x2＝x的解是（）A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝0 【分析】利用提公因式法解方程即可．【解答】解：x2＝x，移项得x2﹣x＝0，提公因式得x（x﹣1）＝0，解得x1＝1，x2＝0．故选：D．2．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．【解答】解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．故选：C．3．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列方程得（）A．10（1+x）2＝16.9 B．10（1+2x）＝16.9C．10（1﹣x）2＝16.9 D．10（1﹣2x）＝16.9【分析】根据题意可得：2013年底该市汽车拥有量×（1+增长率）2＝2015年底某市汽车拥有量，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程：10（1+x）2＝16.9，故选：A．4．在数字1，2，3，4中任选两个组成一个两位数，这个两位数能被3整除的概率为（）A．B．C．D．【分析】先列举出所有满足条件的两位数，然后找出能被3整除的两位数，即可得到能被3整除的概率．【解答】解：可以得到的所有两位数为：12，13，14，23，24，34，43，42，41，32，31，21，共有12个．其中能被3整除的有4个，所以两位数能被3整除的概率是＝，故选：A．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，BD＝3AD，BC＝12，则DE的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由DE∥BC，可以判断△ADE∽△ABC，根据AD：BD＝1：3即可得出结论．【解答】解：∵BD＝3AD，∴AD：BD＝1：3，∴AD：AB＝1：4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵BC＝12，∴DE＝3，故选：A．6．如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC＝，则△ABC移动的距离是（）A．B．C．D．﹣【分析】移动的距离可以视为BE或CF的长度，根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以EC：BC＝1：，推出EC的长，利用线段的差求BE的长．【解答】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，∴AB∥DE，∴△ABC∽△HEC，∴＝（）2＝，∴EC：BC＝1：，∵BC＝，∴EC＝，∴BE＝BC﹣EC＝﹣．故选：D．7．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A．8 B．12 C．16 D．32【分析】由菱形的性质可知AC⊥BD，2OD•AO＝28①，进而可利用勾股定理得到OD2+OA2＝36②，结合①②两式化简即可得到OD+OA的值．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝AC，DO＝BO＝BD，AC⊥BD，∵面积为28，∴AC•BD＝2OD•AO＝28 ①∵菱形的边长为6，∴OD2+OA2＝36 ②，由①②两式可得：（OD+AO）2＝OD2+OA2+2OD•AO＝36+28＝64．∴OD+AO＝8，∴2（OD+AO）＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．故选：C．8．如图，点O为正方形ABCD的中心，AD＝1，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使BD＝BF，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：OH∥BF；②OG：GH＝2：1；③GH＝；④∠CHF＝2∠EBC；⑤CH2＝HE•HB．正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①只要证明OH是△DBF的中位线即可得出结论；②③根据OH是△BFD的中位线，得出OH＝BF＝BD可得出结论；④根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC＝22.5°即可求出结论；⑤证明△HEC∽△HCB，则HC：HB＝HE：HC，即HC2＝HE•HB，由HC＝HF，即可得到⑤正确．【解答】解：①∵EC＝CF，∠BCE＝∠DCF，BC＝DC，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴∠CBE＝∠CDF，∵∠CBE+∠BEC＝90°，∠BEC＝∠DEH，∴∠DEH+∠CDF＝90°，∴∠BHD＝∠BHF＝90°，∵BH＝BH，∠HBD＝∠HBF，∴△BHD≌△BHF（ASA），∴DH＝HF，∵OD＝OB∴OH是△DBF的中位线∴OH∥BF；故①正确；②③∵点O为正方形ABCD的中心，AD＝1，BD＝BF，∴BD＝BF＝．由三角形中位线定理知，OG＝BC＝，GH＝CF＝（﹣1），∴OG：GH＝1：（﹣1），故②错误，③正确；④∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCF＝90°，∠EBC＝22.5°，∵CE＝CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS），∴∠EBC＝∠CDF＝22.5°，∴∠BFH＝90°﹣∠CDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，∴OH是CD的垂直平分线，∴DH＝CH，∴∠CDF＝∠DCH＝22.5°，∴∠HCF＝90°﹣∠DCH＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠CHF＝180°﹣∠HCF﹣∠BFH＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∴∠CHF＝2∠EBC．故④正确；⑤∵∠ECH＝∠CBH，∠CHE＝CHB，∴△HEC∽△HCB，∴HC：HB＝HE：HC，即HC2＝HE•HB，而HC＝HF，∴HF2＝HC•HB，故⑤正确．故选：D．二．填空题（共8小题）9．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝2019 ．【分析】直接把x＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0中即可得到a+b的值．【解答】解：把x＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0得a+b﹣2019，所以a+b＝2019．故答案为2019．10．若是一个直角三角形两条直角边的长a，b，满足（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为．【分析】根据勾股定理c2＝a2+b2代入方程求解即可．【解答】解：∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长设斜边为c，∴（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，根据勾股定理得：c2（c2+1）﹣12＝0即（c2﹣3）（c2+4）＝0，∵c2+4≠0，∴c2﹣3＝0，解得c＝或c＝﹣（舍去）．则直角三角形的斜边长为．故答案为：11．若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝8cm，则AC＝4（﹣1）cm．【分析】根据黄金分割的定义：如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．列出方程即可求解．【解答】解：设AC的长为xcm，根据黄金分割定义可知：＝即AC2＝AB•BC，x2＝8（8﹣x）x2+8x﹣64＝0，解得x1＝4（﹣1），x2＝﹣4（+1）（不符合题意，舍去）．所以AC的长为4（﹣1）cm．故答案为4（﹣1）cm．12．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中红球的个数，采用了如下的方法：先把口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为40 ．【分析】由条件共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球；所以摸到白球与摸到红球的次数之比可求出，由此可估计口袋中白球和红球个数之比，进而可计算出红球数．【解答】解：∵小亮共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球，∴白球与红球的数量之比为1：4，∵白球有10个，∴红球有4×10＝40（个）．故答案为：40．13．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为113°或92°．【分析】由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC≠CD，分两种情形讨论①当AC＝AD时，②当DA＝DC时，分别求解即可．【解答】解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝46°，∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣46°）＝67°，∴∠ACB＝67°+46°＝113°，②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°，∴∠ACB＝46°+46°＝92°，故答案为113°或92°．14．如图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在B处立了一根高为2.5m的标杆，观测者从E处可以看到杆顶A，树顶C在同一条直线上，若测得BD＝7m，FB＝3m，EF＝1.6m，则树高为 4.6 m．【分析】作EH⊥CD于H，交AB于G，如图，易得EG＝BF＝3m，GH＝BD＝7m，GB＝HD＝EF＝1.6m，则AG＝0.9，再证明△EAG∽△EHC，利用相似比计算出CH＝3，然后利用CD ＝CH+DH进行计算．【解答】解：作EH⊥CD于H，交AB于G，如图，则EG＝BF＝3m，GH＝BD＝7m，GB＝HD＝EF＝1.6m，所以AG＝AB﹣GB＝2.5﹣1.6＝0.9（m），∵AG∥CH，∴△EAG∽△EHC，∴＝，即＝，解得：CH＝3，∴CD＝CH+DH＝4.6（m）．故答案为：4.6．15．如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．若长方形纸板边长分别为40cm和30cm，且折成的长方体盒子表面积是950cm2，此时长方体盒子的体积为1500 cm3．【分析】设剪掉的小正方形的边长为xcm，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，求出所求即可．【解答】解：设剪掉的小正方形的边长为xcm，根据题意，得：2x2+20x×2＝30×40﹣950，x2+20x﹣125＝0，解这个方程得：x1＝5，x2＝﹣25（不合题意，应舍去），当x＝5时，长方体盒子的体积为：x（30﹣2x）（20﹣x）＝5×（30﹣2×5）×（20﹣5）＝1500（cm2），答：此时长方体盒子的体积1500cm3故答案为：1500．16．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A n O∁n B n的对角线交点的坐标为（﹣，）．【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得B n的坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标．【解答】解：∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，∵OA＝2，OC＝1．∵点B的坐标为（﹣2，1），∴点B1的坐标为（﹣2×，1×），∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，∴B2（﹣2××，1××），∴B n（﹣2×，1×），∵矩形A n O∁n B n的对角线交点（﹣2××，1××），即（﹣，），故答案为：（﹣，）．三．解答题（共9小题）17．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a和∠α．求作：菱形ABCD，使菱形ABCD的边长为a，其中一个内角等于∠α．【分析】①作∠MAB＝∠α．②在∠MAN的两边截取AD＝AB＝a，③分别以D、B为圆心a为半径画弧，两弧交于点C．菱形ABCD即为所求．【解答】解：如图菱形ABCD即为所求．18．用指定方法解方程：（1）2x2+4x﹣3＝0（配方法解）（2）5x2﹣8x＝﹣2（公式法解）【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据公式法即可求出答案；【解答】解：（1）∵2x2+4x﹣3＝0，∴x2+2x＝，∴（x+1）2＝，∴x+1＝，∴x＝﹣1±（2）∵5x2﹣8x＝﹣2，∴a＝5，b＝﹣8，c＝2，∴△＝64﹣4×5×2＝24，∴x＝＝；19．第一盒中有2个白球、1个红球，第二盒中有1个白球、2个红球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个红球的概率．请通过列表格或画树状图，说明理由．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出取出的2个球中有1个白球、1个红球的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表如下：所有等可能的情况有9种，其中取出的2个球中有1个白球、1个红球的情况有5种，所以P（取出的2个球中有1个白球、1个红球）＝．20．如图梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M（1）求证：△EDM∽△FBM；（2）若DB＝9，求BM．【分析】（1）先证明四边形BCDE为平行四边形，从而得到ED∥BC，于是得到∠EDB＝∠FBM，又因为∠DME＝∠BMF，从而可证明△EDM∽△FBM；（2）由F为BC的中点，得到BC＝2FB，又由（1）得到的四边形BCDE为平行四边形，可得对边BC＝ED，等量代换可得DE＝2FB，由（1）得到的三角形EDM与三角形FMB相似，可得相似比为2：1，即得到DM：MB＝2：1，设出DM＝2k与MB＝k，根据BD的长列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，从而得到BM的长．【解答】（1）证明：∵AB＝2CD，点E是AB的中点，∴DC＝EB．又∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形．∴ED∥BC．∴∠EDB＝∠FBM．又∵∠DME＝∠BMF，∴△EDM∽△FBM．（2）解：由F为BC的中点，得到BC＝2FB，又四边形DCBE为平行四边形，得到DE＝BC，则DE＝2FB，即FB：DE＝1：2，∴△FMB与△EMD的相似比为1：2，即DM：MB＝2：1，又BD＝9，设DM＝2k，MB＝k，所以BD＝BM+MD＝k+2k＝9，解得k＝3，则BM＝3．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1x2＝2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，解得m≤4；（2）根据题意得x1+x2＝6，x1x2＝2m+1，而2x1x2+x1+x2≥20，所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．22．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边AB上一点，延长AD至F使DF＝BE，连接CF．（1）求证：∠BCE＝∠DCF；（2）过点E作EG∥CF，过点F作FG∥CE，问四边形CEGF是什么特殊的四边形，并证明．【分析】（1）由正方形的性质得到∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝CD，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据已知条件得到四边形CEGF是平行四边形，根据全等三角形的性质得到CE＝CF，证得四边形CEGF是菱形，求得∠ECF＝∠BCD＝90°，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝CD，∴∠B＝∠CDF＝90°，在△BCE与△DCF中，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴∠BCE＝∠DCF；（2）解：四边形CEGF是正方形，理由：∵EG∥CF，FG∥CE，∴四边形CEGF是平行四边形，∵△BCE≌△DCF，∴CE＝CF，∴四边形CEGF是菱形，∵∠BCE＝∠DCF，∴∠ECF＝∠BCD＝90°，∴四边形CEGF是正方形．23．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出50kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克56元时，计算销售量和月销售利润；（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？【分析】（1）根据“销售单价每涨2元，月销售量就减少20千克”，可知：月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×．由此可得出售价为55元/千克时的月销售量，然后根据利润＝每千克的利润×销售的数量来求出月销售利润；（2）销售成本不超过10000元，即进货不超过10000÷40＝250kg．根据利润表达式求出当利润是8000时的售价，从而计算销售量，与进货量比较得结论．【解答】解：（1）当销售单价定为每千克56时，月销售量为：500﹣（56﹣50）×10＝44（千克），所以月销售利润为：（56﹣40）×4407040；（2）由于水产品不超过10000÷40＝250kg，定价为x元，则（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，解得：x1＝80，x2＝60．当x1＝80时，进货500﹣10（80﹣50）＝200kg＜250kg，符合题意，当x2＝60时，进货500﹣10（60﹣50）＝400kg＞250kg，舍去．答：商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为80元．24．【阅读资料】同学们，我们学过用配方法解一元二次方程，也可用配方法求代数式的最值．（1）求4x2+16x+19的最小值．解：4x2+16x+19＝4x2+16x+16+3＝4（x+2）2+3因（x+2）2大于等于0，所以4x2+16x+19大于等于3，即4x2+16x+19的最小值是3．此时，x＝﹣2（2）求﹣m2﹣m+2的最大值解：﹣m2﹣m+2＝﹣（m2+m）+2＝﹣因大于等于0，所以﹣小于等于0，所以﹣+小于等于，即﹣m2﹣m+2的最大值是，此时，m＝﹣．【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大．下面给出了未写完的证明，请你阅读下面的证明并写出余下的证明部分，并求出矩形的最大面积与原三角形面积的比值．解：在AC上任取点E，作ED⊥BC，EF⊥AB，得到矩形BDEF．设EF＝x易证△AEF∽△ACB，则，，，…请你写出剩余部分【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），该矩形的面积为720 ．（直接写出答案）【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝70cm，BC＝108cm，CD＝76cm，且∠B＝∠C＝60°，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，该矩形的面积为1458cm2．（直接写出答案）【分析】【探索发现】利用配方法解决问题即可．【拓展应用】利用相似三角形构建二次三项式，再利用配方法解决问题即可．【灵活应用】如图③，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，转化为图②中模型解决问题即可．【实际应用】如图④，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，转化为图②中模型解决问题即可．【解答】解：【探索发现】＝﹣（x﹣3）2+12，∵﹣（x﹣3）2≤0，∴＝﹣（x﹣3）2+12＝﹣（x﹣3）2+12≤12，∴矩形BDEF的面积的最大值为12．【拓展应用】设PN＝b，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，∵BC＝a，BC边上的高AD＝h，∴＝，PQ＝，∴S＝b•PQ＝＝﹣b2+bh＝﹣（x﹣）2+≥∴S的最大值为：；则矩形PQMN面积的最大值为；故答案为：．【灵活应用】如图③，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，∵AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，∴EH＝20、DH＝16，∴AE＝EH、CD＝DH，在△AEF和△HED中，∵，∴△AEF≌△HED（ASA），∴AF＝DH＝16，同理△CDG≌△HDE，∴CG＝HE＝20，∴BI＝＝24，∵BI＝24＜32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG•BF＝×（40+20）×（32+16）＝720，故答案为720．【实际应用】如图④，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，∵∠B＝∠C＝60°，∴EB＝EC，∵EH⊥BC，∴BH＝HC，∵＝tan60°＝设CH＝BH＝x，Z则EH＝x，∵BC＝BH+CH＝108＝2x，x＝54，∴BH＝CH＝54，EH＝54，∴EBEC＝2BH＝108，∵AB＝70，∴AE＝38，∴BE的中点Q在线段AB上，∵CD＝76，∴CE的中点P在线段CD上，∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC•EH＝×108×54＝1458cm2，故答案为1458cm2．25．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，BD为对角线．点P从点B出发，沿线段BA向点A运动，点Q从点D出发，沿线段DB向点B运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到A时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）是否存在某一时刻t，使得PQ∥AD？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（2）设四边形BPQC的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（3）是否存在某一时刻t，使得S四边形BPQC：S矩形ABCD＝9：20？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使得PQ⊥CQ？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．【分析】（1）利用平行线的性质构建方程即可解决问题．（2）如图1中，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F．利用平行线的性质构建方程求出QE，QF 即可解决问题．（3）根据S四边形BPQC：S矩形ABCD＝9：20，构建方程解决问题即可．（4）如图1中，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F．当PQ⊥QC时，△QEP∽△QFC，则＝，由此构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝4，AD＝BC＝3，∴BD＝＝＝5，由题意BP＝t，DQ＝t，∵PQ∥AD，∴＝，∴＝，∴t＝，∴满足条件的t的值为．（2）作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F．∵QE∥AD，∴＝，∴＝，∴QE＝（5﹣t），∵QF∥CD，∴＝，∴＝，∴QF＝（5﹣t），∴S＝S△PBQ+S△BCQ＝•PB•QE+•BC•QF＝•t•（5﹣t）+×3×（5﹣t）＝﹣t2+t+6．（3）由题意：（﹣t2+t+6）：12＝9：20，整理得：t2﹣t﹣2＝0，解得t＝2或﹣1（舍弃），∴满足条件的t的值为2．（4）如图1中，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F．当PQ⊥QC时，△QEP∽△QFC，则＝，∴＝，解得t＝，∴满足条件的t的值为．。
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山东省青岛胶南市黄山经济区中心中学九年级数学上学期期中试卷1 北师大版
第一卷
一、选择题：（本大题共10题，每小题3分，共30分）
每小题给出四个答案，其中只有一个符合题目的要求，请把选出的答案编号填在第二卷的答题表一内，否则不给分.
1、我们从不同的方向观察同一物体时，可以看到不同的平面图形，如图，从图的左面看这个几何体的左视图是
A B C D
2、方程x 2 = 2x 的解是
A 、x=2
B 、x 1=2-，x 2= 0
C 、x 1=2，x 2=0
D 、x = 0 3、函数y=x
k （k ≠0）的图象过点（2，-2），则此函数的图象在平面直角坐标系中的 A 、第一、三象限 B 、第三、四象限 C 、A 、第一、二象限 D 、第二、四象限 4、在同一坐标系中，函数x k y =和3+=kx y 的图像大致是
A B C D
5、方程2650x x +-=的左边配成完全平方后所得方程为
A 、 14)3(2=+x
B 、14)3(2=-x
C 、2
1)6(2=+x D 、以上答案都不对 6、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是
E 、F.现有下列结论：（1）DE=D
F ；（2）BD=CD ；（3）AD 上任意一点到 AB 、
AC 的距离相等；（4）AD 上任意一点到BC 两端点的距离相等，其中正确结
论的个数有 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 7、等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为 A 、17 B 、22 C 、13 D 、17或22
8、当你乘车沿一条平坦的大道向前行驶时，你会发现，前方那些高一些的建
筑物好像“沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了。
这是因为
A 、汽车开的很快
B 、盲区减小
C 、盲区增大
D 、无法确定
(第13题)F
E D C B A 第6题
9、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番。
在本世纪的头二十年（2001年～2020年），要实现
这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是x ，那么
x 满足的方程为 A 、(1+x)2=2 B 、(1+x)2=4 C 、1+2x=2 D 、(1+x)+2 (1+x)=4
10、小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如
图所示的风筝，点E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 各边的中点.其中阴影部分用甲
布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）.若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料 A 、15匹 B 、20匹 C 、30匹 D 、60匹
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
请将答案填入第二卷的答题表二内，否则不给分。
11、如图，ABCD 是一张矩形纸片，点O 为对角线的交点。
直线MN 经过点O 交AD 于M ，
交BC 于N ，操作：先沿直线MN 剪开，并将直角梯形MNCD 绕点O 旋转 度后(填入
一个你认为正确答案的序号：① 90；② 180；③ 270；④ 360)，恰好与直角
梯形NMAB 完全重合；再将重合后的直角梯形MNCD 以直线MN 为轴翻转180°后所得
的图形是下列中的 (填写正确图形的代号).
A B C D
12、菱形的一条对角线长是60，周长是200，则菱形的边长是 ；另一条对角线长是 .
13、已知m 是方程022=--x x 的一个根，则代数式m m -2的值等于 .
14、已知，如图，O 是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC = 10 cm ，则△ODE 的周长是 cm ；
15、如图，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC = DB ，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌△DC B ，则还需增加一个条件是 。
A B C O D E 第14题
A D
B
C 第15题 A E H D
F G B C 第10题。