力学2-加速度,质点运动学求解

解
(1) 由定义： a = dυ = 2t 由定义： dt 分离 变量 ∴
注意
∫ dυ = ∫ 2tdt
0 0
υ
t
dx =∫0 t 2 dt ∫0
1 3 x= t 3 8 m ≈ 2.67 m t =2 = 3
x
t
υ =t
2
t =2
=4 m s
积分初始值（下限） 积分初始值（下限）由初始条件确定 等式两边积分变量的积分限一一对应
v
υA
v
A
v ∆υn
υB
v
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讨论
2)
v 永指向曲线凹向的一侧。 ∴质点总加速度 a永指向曲线凹向的一侧。 v v v dυ dυ dυ a a aτ 注意 的区别
dt
dt
v v 1) 切向加速度 aτ沿切线， 沿切线， 指向曲率中心， 法向加速度 an指向曲率中心，
dt
3) 自然坐标系中
微分法
s
∫
∫
等式两端分别积分： 等式两端分别积分：
∴
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2 3 x = 2+t + t 3
2 3 x−2 =t + t 3
t =2
= 9.33 m
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第一章 质点运动学
例
已知t＝ 时 质点沿x轴运动， 质点沿 轴运动，加速度 a = 2t ，已知 ＝0时，质点的位置 轴运动 试求t＝ 时质点的速度和位置 时质点的速度和位置。 坐标 x0 = 0 ，速度 υ0 = 0 ，试求 ＝2s时质点的速度和位置。 ∵ a＝2t 是变量， 不能用匀变速直线运动公式 ＝ 是变量， a →υ → x 积分法 (2) 由定义： υ = dx = t 2 由定义： dt dt
r ∆v
v v (t + ∆t ) τ
切向加速度
大小变化
1、匀速圆周运动 （速度大小不变方向变） 、 速度大小不变方向变） v v v ∆υ ∆r υ (t +∆t) v = υ (t ) υ R v v ∆υ ∆r υ v
∆θ
v ∆υ
υ2
υ (t + ∆t )
v
∆θ υ (t )
v
a = lim
∆t →0
∆υ = ∆υn + ∆υτ
v
v
v
υ (t + ∆t )
v
∆θ
O R
按照加速度的矢量定义， 按照加速度的矢量定义，加速度既应反映速 度大小的变化率，又应反映速度方向的变化率。 度大小的变化率，又应反映速度方向的变化率。
v v v a = an + aτ
v dυn υ v an = = n dt R v dυτ dυ v v aτ = = τ dt dt
υ = (20t)2 + 9 = 400t 2 + 9
dυ 800t 400t aτ = = = 2 dt 2 400t + 9 400t 2 + 9
1600t 2 60 2 2 = an = a －aτ = 400 − 2 400t + 9 400t 2 + 9
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第一章 质点运动学
积分法
υ
y
微分法 积分法
aτ
A
g
例 抛体运动：求A、B两点的曲率。 抛体运动： 两点的曲率。 、 两点的曲率 由题意： 解 由题意： υ2 (υ0 cosθ ) A点： an = a = g = 点 = ∴ ρ=
v v0
υ cos θ
2 0 2
ρ
ρ
2 υ 2 υ0 2 υ0 an = g cosθ = = B点： a = g 点 ρ ρ ∴ ρ=
自然坐标系 （用自然坐标 s 表示质点位置） 表示质点位置）
设质点作曲线运动，且轨迹已知， 设质点作曲线运动，且轨迹已知，则 选参考点和正方向即可建立自然坐标。 选参考点和正方向即可建立自然坐标。运 动方程为： 动方程为： s = s(t )
O
v τ n S
v
v 单位切向量τ ： 长度为 ，沿切向指向运动方向 v 长度为1， 单位法向量 n： 长度为 ，沿法向指向凹的一侧 长度为1，
s →υ → aτ
—— 微分法（t为变量） 微分法（ 为变量 为变量）
根据速度和加速度的表示形式， 根据速度和加速度的表示形式，有
ds v = = 20 − 0.4t t=1 = 19.6 m/s dt 第一类问题） （第一类问题） v 2 ( 20 − 0.4t )2 dv an = = = 1.92 aτ = = −0.4 R R dt
§1-3 用直角坐标表示位移、速度和加速度 用直角坐标表示位移、
直角坐标系
v v v r υ a
在直角坐标系中可写成： 在直角坐标系中可写成：
y
v v j i vo k
z
v v v v r = xi + yj + zk v v v v υ = υxi +υy j +υz k v v v v a = axi + ay j + az k
2
υ 2 v dυ v = n+ τ
R dt
∆υ
v
υ (t )
v
v
υ
∆υτ v
——法向加速度 υ (t + ∆t ) 法向加速度 v ——切向加速度 切向加速度
第一章 质点运动学
∆υn
v
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3、一般曲线运动 、 在一般曲线运动中， 变化快慢与轨道形状有关， 在一般曲线运动中，速度方向 变化快慢与轨道形状有关， 显然，轨道弯曲越厉害，速度方向变化越快。 显然，轨道弯曲越厉害，速度方向变化越快。 B 如何描述曲线弯曲的程度？ 如何描述曲线弯曲的程度？ ———曲率半径 ρ 曲率半径 P
A
曲率半径越小，曲线就越弯。 曲率半径越小，曲线就越弯。
ρ
ρ =∞
v
ρ=R
υB
v ∆υ
v dυn υ 2 v = n （指向曲率中心） 指向曲率中心） an = ρ dt v v dυτ dυ v （沿切向） 沿切向） aτ = = τ dt dt
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第一章 质点运动学
v
B
υA
v ห้องสมุดไป่ตู้υτ
解 （x为参变量） 为参变量） 为参变量
dυυ 由定义： 由定义： aadx = υdυυdυ dx = dx = 0 dtυ0 1 2 2 2 2 ax = (υ −υ0 ) υ2 = υ0 + 2ax x=2 =υ0 + 4a 2
∫
x
∫
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第一章 质点运动学
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§1-4 用自然坐标表示平面曲线运 动中的速度和加速度
o
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∆t
= lim
∆t →0
∆t R
⋅
=
沿法向） R （沿法向）
R
v υ2 v a= n R
第一章 质点运动学
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2、变速圆周运动 、
v 将 ∆υ 分解为两个分量
υ (t )
v
v v v ∆υn ∆υτ ∆υ v a = lim = lim + lim ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t
g
O
g cosθ
•
θ
B g x
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第一章 质点运动学
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例 一汽车在半径 一汽车在半径R=200m 的圆弧形公路上行驶，其运动学方 的圆弧形公路上行驶， 程为s 程为 =20t - 0.2 t 2 (SI) . 求 时的速度和加速度。 汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度。
解 自然坐标中
∴
由题意
a →υ → x
υ
x
0
积分法
t 0 t
为参变量） （t为参变量） 为参变量
∫υ ∫ dx = ∫υdt = ∫ (υ
t x0 0 0
dυ = ∫ adt
速度方程） ∴ υ = υ0 + at （速度方程）
0
+ at)dt
1 2 运动方程） x = x0 +υ0t + at （运动方程） 2 若变换初始条件:已知 已知x＝ 时 υ ＝ 处 υ 若变换初始条件 已知 ＝0时， = υ0，求x＝2m处， = ?
大小
2 2 υ = υx +υy +υz2 2 2 2 a = ax + ay + az
(A)
v v v i j k
分别是x、 、 方 分别是 、y、z方 向的单位矢量
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第一章 质点运动学
1
由基本关系式
v v dr v= dt
r r dv a= dt
思考： 思考： (B)式中为 式中为 什么没有 出现
ds 大小： 大小： υ = dt
τ
vυ n v
v
υ
v
一、速度
方向：沿切向（ 方向：沿切向（τ ）
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v
ds v υ = υτ = τ dt v v
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第一章 质点运动学
二、加速度
用以描述速度随时间 t 变化的规律
法向加速度 方向变化
v v v a = aτ + an
v v (t ) τ
2
例
解
aτ →υ → s —— 积分法（t为变量） 积分法（ 为变量） 为变量
dυ ∴ υ = 3t t=1 = 3 m s 1) 由定义： aτ = 由定义： =3 dt 2 v v v v υ 9 （第二类问题） v τ ∴ a =a an = = = 3第二类问题） n + aτ = 3n + 3 R 3 s2 2 ds 2) 由定义： 由定义： υ = = 3t ds = 3tdt s1 1 dt