yygltj-13,14,15

∞ ∞ ⎧ ∑ ∑ ( x − EX )( y − EY ) p , 对D.R.V .( X , Y ); j ij ⎪i =1 j =1 i ⎪ +∞ +∞ Cov( X , Y ) = ⎨∫−∞ ∫−∞ ( x − EX )( y − EY ) f ( x, y ) dxdy, 对C.R.V .( X , Y ); ⎪ E ( XY ) − EXEY , 对任意( X , Y ). ⎪ ⎩
⎧∑ E ( X Y = y j ) P (Y = y j ), 对D.R.V .Y ; ⎪ j (2) EX = ⎨ (3.4.3) ⎪∫ + ∞ E ( X Y = y ) f Y ( y )dy, 对C.R.V .Y . ⎩ −∞
一般， E[g(X)]=E[E(g (X)︱Y)] 特别，对 ⎧1, ω ∈ A; X = I A (ω ) = ⎨ ⎩0, ω ∉ A, (3.4.3)化为全概率公式：
结论: ρXY 是反映随机变量X与Y线性相关的可能性程度的 量;而Cov(X,Y)≠0,则表明X与Y存在一定程度的线性关系.
• 一般,当ρXY =0时,称X与Y不相关; 当ρXY ≠0时,称X与Y相关; 当ρXY >0时,称X与Y正相关; 当ρXY <0时,称X与Y负相关.
计算举例
例1 设随机变量X=CosΘ,Y=Cos(Θ+a),Θ~U[0,2π],求 ρXY . 认识:① “X与Y不相关”并不等同于“X与Y独立”; ②D(X±Y)=DX+DY±2Cov(X,Y); n n ③若X , X , ···, X 两两不相关,则 D(∑ X i ) = ∑ DX i .
1 2 n
i =1 i =1
例2 设二维随机变量(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12, σ22, ρ),求ρXY . 结论(N5): 若(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12, σ22, ρ),则 Cov(X,Y)=ρσ1σ2, ρXY = ρ. 例3(两线性函数的相关系数)设随机变量 ξ=aX+b, η =cY+d, 其中a,b,c,d为常数,a≠0,c≠0.若ρXY已知,求ρξη . 例4设随机变量(X,Y)的分布列为 0 1⎤ ⎡X Y ⎢ 0 1− p 0 ⎥ 求Cov(X,Y). ⎢ ⎥ 0 p⎥ ⎢ 1 ⎣ ⎦
⎧∑ P ( A Y = y j ) P (Y = y j ), 对D.R.V .Y ; ⎪ P ( A) = ⎨ j ⎪∫ + ∞ P( A Y = y ) fY ( y )dy, 对C.R.V .Y . ⎩ −∞
3.4.3条件期望性质
定理3.4.2 条件期望具有如下性质: (1)若X与Y独立,则E(X︱Y)=EX; (2) E(C︱Y)=C, E[g (Y)︱Y]=g(Y); (3) E[CX︱Y]=CE(X︱Y), E[g (Y)X︱Y)= g (Y)E(X ︱Y); (4) E(X1+X2+···+Xn︱Y) =E(X1︱Y)+ E(X2︱Y) +···+ E(Xn︱Y); (5) E[X- E(X︱Y)]2 ≤ E[X- g(Y)]2.
3. 4 条件期望
3.4.1 条件期望定义
∞
定义3.4.1 (1)如果 ∑ xi P( X = xi Y = y j ) < ∞ ,则称 i =1
E ( X Y = y j ) = ∑ xi P ( X = xi Y = y j )
i =1
∞
(3.4.1)
为D.R.V.X在条件Y=yj下的条件数学期望； +∞ (2)如果 ∫−∞ x f X ( x y )dx < ∞, 则称
D(∑ X i ) = ∑ DX i ;
i =1 i =1 n n
(5)设X,Y相互独立,则 D(XY)=DXDY+(EX)2DY+(EY)2DX; (6) 对一切实数C,有 DX=E(X-EX)2≤E(X-C)2.
应用举例:
例2 设X~B(n,p),试用方差的性质(4)求DX.
3.2.4 随机变量的中心化、标准化及变异系数
应用举例
例1 一矿工被困在有三个门的矿井里。从第一个门走3小 时可达地面，从第二个门走5小时会回到原处；从第 三个门走7小时也会回到原处。假定该矿工精神紧张， 总是等可能地选三个门的任一进入，试问该矿工到达 地面平均需要多少小时？ 例2 某日进入某超市购物的顾客数为随机变量N，顾客i在 该超市的花费为随机变量Xi ， 设X1, X2, ···独立同分 布，求该超市这一日的期望营业额。
3.3.3 协方差矩阵
定义:设(X1, X2, ···, Xn)为n维随机变量,若 Cij=Cov(Xi, Xj), i,j=1,2, ···, n 存在,则
⎡ C11 C12 L C1n ⎤ ⎢C C22 L C2 n ⎥ ⎥ Σ = ⎢ 21 M L M ⎥ ⎢ M ⎢C Cn 2 L Cnn ⎥ ⎦ ⎣ n1 称为(X1, X2, ···, Xn)的协方差矩阵.
协方差性质 定理 设以下所涉及的协方差均存在,则 (1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X); (2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b为任意常数; (3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y).
讨论: Cov(X,Y)值是否度量了X与Y相关联的程度?
3.3.2 相关系数
比值
DX δX = EX
称为X的变异系数。
3.2.5 随机变量的矩
定义3.2.3设X,Y为随机变量,k,l为非负整数. (1)若EXk存在,则称EXk为X的k阶原点矩,称E|X|k为X 的k阶原点绝对矩;分别记为 υk= E|X|k; αk= EXk, (2)若E(X-EX)k存在,则称E(X-EX)k 为X的k阶中心矩, 称E|X-EX|k为X的k阶中心绝对矩,分别记为 mk= E(X-EX)k, νk= E|X-EX|k. (3)若E(XkYl)存在,则称它为X与Y的(k,l)阶联合原点 akl= E(XkYl). 矩,记为 (4)若E[(X-EX)k (Y-EY)l]存在,则称为X与Y的(k,l)阶联 合中心矩,记为 bkl= E[(X-EX)k (Y-EY)l].
k
高阶矩与低阶矩关系： 若EXk存在，则EXk-1也存在。
3.3 协方差和相关系数
问题:构造数字特征量,以反映 1)两随机变量是否有关; 2)两随机变量相关联的程度.
3.3.1 协方差
定义3.3.1设(X,Y)为二维随机变量,若 E[(X-EX)(Y-EY)] 存在,则称它为随机变量X与Y的协方差,记为 Cov(X,Y)= E[(X-EX)(Y-EY)].
计算举例 例1 设X~P(λ), Y~N(μ,σ2),求DX和DY.
3.2.2 切比雪夫不等式
定理(Chebyshev不等式)设随机变量X的数学 期望和方差均存在,则对任意ε>0,有 DX P( X − EX ≥ ε ) ≤ 2 , ε 也即 DX P( X − EX < ε ) ≥ 1 − 2 .
X − EX Y = X − EX , Y = . DX Y﹡和Y分别称为X的中心化随机变量和标准化随机变量。 期望和方差特性： EY﹡ =0, DY﹡=DX； EY=0 , DY=1
∗
中心化与标准化： 定义：设对随机变量X，EX、DX存在, DX >0,作变换：
变异系数：设对随机变量X，EX 、DX存在, EX ≠0,
应用
偏度(skewness)：S(X)= m3 / m23/2 峰度(kurtosis)：K(X)= m4 / m22
原点距与中心距关系：
mk = E ( X − EX ) k = ∑ (−1) k −i Cki α1α k
k i =0
α k = EX k = ∑ Cki mk −iα1i
i =0
ε
C-不等式的应用: ①估计X在一关于EX对称的区域取值的概率;②理论证明. C-不等式的另一涵义: X取值相对于其集中位置EX的集中程度完全由其DX给定.
3.2.3 方差的性质
定理 随机变量的方差具有如下性质: (1) 对任意随机变量X,有DX≥0,且DX=0的充分必 要条件是P(X=EX)=1; (2)设C为常数,则 D(C)=0; (3) 设C为常数,则 D(CX)=C2DX; (4)若X1, X2, ···, Xn 相互独立(n≥2),则
3.2 随机变量的方差
3.2.1 方差的定义
定义3.2.1 设X为一随机变量.若E(X-EX)2存在,则 称它为随机变量X的方差(variance),记为DX或 Var(X).即 DX= Var(X)= E(X-EX)2 . 称方差的平方根 DX 为X的标准差(standard deviation). ⎧ ∞ ( xk − EX ) 2 pk , 对D.R.V . X ; ∑ ⎪k =1 ⎪ +∞ DX = ⎨∫−∞ ( x − EX ) 2 f ( x)dx, 对C.R.V . X ; ⎪ EX 2 − ( EX ) 2 , 对任意R.V . X . ⎪ ⎩
定义3.3.2 设(X,Y)为二维随机变量,称 Cov( X , Y ) ρ XY = DX DY 为随机变量X与Y的相关系数.
相关系数性质 • 定理3.3.1 相关系数ρXY 具有 如下性质: (1) | ρXY |≤1; (2) | ρXY |＝1的充分必要条件是X与Y依概率1线性 相关,即P(Y=aX+b)=1,其中a,b为常数,a≠0.
E ( X Y = y ) = ∫−∞ xf X ( x y )dx
=y下的条件数学期望. (3)对于随机变量X和Y,称E(X︱Y) 为X关于Y 的条件数学期望.
3.4.2 重期望公式与全期望公式
定理3.4.1设(X,Y)是二维随机变量,且EX存在，则
(1) EX = E[ E ( X Y )];