2021高考数学一轮复习第10讲导数的概念及运算学案含解析.doc
北师大版版高考数学一轮复习函数导数及其应用导数的概念及运算教学案理解析版
[考纲传真] １．了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.２．能根据导数定义求函数y＝C （C为常数），y＝x，y＝x２，y＝x３，y＝错误!，y＝错误!的导数.３．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax＋b）的复合函数）的导数．１．导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率．相应地，切线方程为y—f（x0）＝f′（x0）（x—x0）．２．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f（x）＝C（C为常数）f′（x）＝0f（x）＝xα（α是实数）f′（x）＝αxα—１y＝sin x y′＝cos xy＝cos x y′＝—sin xf（x）＝e x f′（x）＝e xf（x）＝a x（a＞0，a≠１）f′（x）＝a x ln_af（x）＝ln x f′（x）＝错误!f（x）＝log a xf′（x）＝错误!（a＞0，且a≠１）（１）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）；（２）[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；（３）错误!′＝错误!（g（x）≠0）．４．复合函数的导数复合函数y＝f（φ（x））的导数和函数y＝f（u），u＝φ（x）的导数间的关系为y x′＝[f（φ（x））]′＝f′（u）·φ′（x）．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）f′（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率．（）（２）f′（x0）与[f（x0）]′表示的意义相同．（）（３）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（）（４）函数f（x）＝sin（—x）的导数是f′（x）＝cos x．（）[答案] （１）×（２）×（３）×（４）×２．已知f（x）＝x ln x，若f′（x0）＝２，则x0等于（）Ａ．e２Ｂ．eＣ．错误!Ｄ．ln ２B[∵f′（x）＝ln x＋x·错误!＝ln x＋１，由f′（x0）＝ln x0＋１＝２得ln x0＝１，∴x0＝e.]３．有一机器人的运动方程为s（t）＝t２＋错误!（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻t＝２时的瞬时速度为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[由题意知，机器人的速度方程为v（t）＝s′（t）＝２t—错误!，故当t＝２时，机器人的瞬时速度为v（２）＝２×２—错误!＝错误!.]４．曲线y＝x２＋错误!在点（１,２）处的切线方程为________．x—y＋１＝0 [∵y′＝２x—错误!，∴y′|x＝１＝１，即曲线在点（１,２）处的切线的斜率k＝１，∴切线方程为y—２＝x—１，即x—y＋１＝0．]５．设f（x）＝ln（３—２x）＋cos ２x，则f′（0）＝________.—错误![∵f′（x）＝错误!—２sin ２x，∴f′（0）＝—错误!.]导数的计算１．已知f（x）＝x２＋２xf′（１），则f′（0）＝________.—４[∵f′（x）＝２x＋２f′（１），∴f′（１）＝２＋２f′（１），∴f′（１）＝—２．∴f′（0）＝２f′（１）＝２×（—２）＝—４．]２．求下列函数的导数：（１）y＝（x＋１）（x＋２）（x＋３）；（２）y＝sin 错误!错误!；（３）y＝错误!.[解] （１）因为y＝（x２＋３x＋２）（x＋３）＝x３＋6x２＋１１x＋6，所以y′＝３x２＋１２x＋１１．（２）因为y＝sin 错误!错误!＝—错误!sin x，所以y′＝错误!′＝—错误!（sin x）′＝—错误!cos x.（３）y′＝错误!′＝错误!＝—错误!.[规律方法] 导数计算的技巧１求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量.２复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.►考法１求切线方程【例１】（２0１8·全国卷Ⅰ）设函数f（x）＝x３＋（a—１）x２＋ax.若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为（）Ａ．y＝—２xＢ．y＝—xＣ．y＝２xＤ．y＝xD[因为函数f（x）＝x３＋（a—１）x２＋ax为奇函数，所以f（—x）＝—f（x），所以（—x）３＋（a—１）（—x）２＋a（—x）＝—[x３＋（a—１）x２＋ax]，所以２（a—１）x２＝0，因为x∈R，所以a＝１，所以f（x）＝x３＋x，所以f′（x）＝３x２＋１，所以f′（0）＝１，所以曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为y＝x.故选Ｄ．]►考法２求切点坐标【例２】已知曲线y＝错误!—３ln x的一条切线的斜率为—错误!，则切点的横坐标为（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．错误!B[因为y＝错误!—３ln x，所以y′＝错误!—错误!.再由导数的几何意义，令错误!—错误!＝—错误!，解得x＝２或x＝—３（舍去）．故选Ｂ．]►考法３切线的条数问题【例３】过点A（２,１）作曲线f（x）＝x３—３x的切线最多有（）Ａ．３条Ｂ．２条Ｃ．１条Ｄ．0条A[由题意得，f′（x）＝３x２—３，设切点为（x0，x错误!—３x0），那么切线的斜率为k＝３x错误!—３，利用点斜式方程可知切线方程为y—（x错误!—３x0）＝（３x错误!—３）（x—x0），将点A（２,１）代入可得关于x0的一元三次方程２x错误!—6x错误!＋7＝0，令y＝２x错误!—6x错误!＋7，则y′＝6x错误!—１２x0.由y′＝0得x0＝0或x0＝２．当x0＝0时，y＝7＞0；x0＝２时，y＝—１＜0．结合函数y＝２x错误!—6x错误!＋7的单调性可得方程２x错误!—6x错误!＋7＝0有３个解，故过点A（２,１）作曲线f（x）＝x３—３x的切线最多有３条，故选Ａ．]►考法４求参数的值（范围）【例４】（２0１6·全国卷Ⅱ）若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋２的切线，也是曲线y＝ln（x＋１）的切线，则b＝________.１—ln ２[设直线y＝kx＋b与两曲线的切点分别为P１（x１，ln x１＋２），P２（x２，ln（x２＋１））．∵y′１＝错误!，y′２＝错误!，∴错误!＝错误!，∴x１＝x２＋１．此时切点P１（x２＋１，ln（x２＋１）＋２）．故切线斜率k＝错误!＝２．由错误!＝２，得切点P１的坐标为错误!，∴切线方程为y—２＋ln ２＝２错误!.令x＝0，得y＝１—ln ２，即b＝１—ln ２．][规律方法] １求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f x在点P x0，f x0处的切线方程是y—f x0＝f′x0x—x0；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.２处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：１切点处的导数是切线的斜率；２切点在切线上；３切点在曲线上.切线方程为（）Ａ．y＝x—１Ｂ．y＝２x—１Ｃ．y＝２x—２Ｄ．y＝x（２）若曲线y＝ln x＋ax２（a为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．（0，＋∞）Ｄ．[0，＋∞）（３）（２0１9·青岛模拟）已知函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的图像如图所示，则曲线y＝f （x）在点P处的切线方程是________．（１）C（２）D（３）x—y—２＝0 [（１）∵f（x）＝ln（２x—１），∴f′（x）＝错误!.∴f′（１）＝２，又∵f（１）＝0，∴切线方程是：y＝２x—２，故选Ｃ．（２）由题意得y′＝错误!＋２ax（x＞0）．因为曲线不存在斜率为负数的切线，则y′≥0恒成立，即a≥错误!m ax.因为x＞0，所以—错误!＜0，即a≥0，故选Ｄ．（３）根据导数的几何意义及图像可知，曲线y＝f（x）在点P处的切线的斜率k＝f′（２）＝１，又过点P（２,0），所以切线方程为x—y—２＝0．]１．（２0１6·全国卷Ⅲ）已知f（x）为偶函数，当x<0时，f（x）＝ln（—x）＋３x，则曲线y＝f （x）在点（１，—３）处的切线方程是________．y＝—２x—１[因为f（x）为偶函数，所以当x>0时，f（x）＝f（—x）＝ln x—３x，所以f′（x）＝错误!—３，则f′（１）＝—２．所以y＝f（x）在点（１，—３）处的切线方程为y＋３＝—２（x—１），即y＝—２x—１．]２．（２0１8·全国卷Ⅲ）曲线y＝（ax＋１）e x在点（0,１）处的切线的斜率为—２，则a＝________.—３[y′＝（ax＋１＋a）e x，由曲线在点（0,１）处的切线的斜率为—２，得y′|x＝0＝（ax＋１＋a）e x|x＝0＝１＋a＝—２，所以a＝—３．]。
高考数学一轮专项复习讲义-导数的概念及其意义、导数的计算(北师大版)
§3.1导数的概念及其意义、导数的计算课标要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．知识梳理1．导数的概念(1)设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值y 从f (x 0)变到f (x 1)，则函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝()()101010lim x x f x f x x x →--＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义．3．基本初等函数的导数公式函数导数y ＝c (c 是常数)y ′＝0y ＝x α(α是实数)y ′＝αx α－1y ＝a x (a >0，a ≠1)y ′＝a x ln_a ，特别地(e x )′＝e x y ＝log a x (a >0，a ≠1)y ′＝1x ln a ，特别地(ln x )′＝1xy ＝sin x y ′＝cos_x y ＝cos x y ′＝－sin_x y ＝tan xy ′＝1cos 2x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)；[kf (x )]′＝kf ′(x )(k ∈R )．5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (φ(x ))对x 的导数为：y ′x ＝[f (φ(x ))]′＝f ′(u )φ′(x )，其中u ＝φ(x )．常用结论1．在点处的切线与过点的切线的区别(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．(2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．2.1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.(×)(4)(e －x )′＝－e －x .(√)2．若函数f (x )＝3x ＋sin 2x ，则()A ．f ′(x )＝3x ln 3＋2cos 2xB ．f ′(x )＝3x ＋2cos 2xC ．f ′(x )＝3xln 3＋cos 2xD ．f ′(x )＝3xln 3－2cos 2x答案A3．曲线y ＝12x 2－2处的切线的倾斜角是．答案π4解析y ′＝x ，所以切线的斜率k ＝1，所以倾斜角为π4.4．设曲线y ＝e 2ax 在点(0,1)处的切线与直线2x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为．答案－14解析∵y ＝e 2ax ，∴y ′＝e 2ax ·(2ax )′＝2a ·e 2ax ，∴在点(0,1)处的切线斜率k ＝2a e 0＝2a ，又∵切线与直线2x －y ＋1＝0垂直，∴2a ×2＝－1，∴a ＝－14.题型一导数的运算例1(1)(多选)下列求导正确的是()A ．[(3x ＋5)3]′＝9(3x ＋5)2B ．(x 3ln x )′＝3x 2ln x ＋x 2′＝2x cos x ＋4sin xx 3D ．(ln 2x )′＝12x答案AB解析对于A ，[(3x ＋5)3]′＝3(3x ＋5)2(3x ＋5)′＝9(3x ＋5)2，故A 正确；对于B ，(x 3ln x )′＝(x 3)′ln x ＋x 3(ln x )′＝3x 2ln x ＋x 2，故B 正确；对于C ＝(2sin x )′x 2－2sin x (x 2)′x 4＝2x cos x －4sin x x 3，故C 错误；对于D ，(ln 2x )′＝2·12x ＝1x，故D 错误．(2)(2023·河南联考)已知函数f (x )满足f (x )＝2f ′(1)ln x ＋xe (f ′(x )为f (x )的导函数)，则f (e)等于()A ．e －1 B.2e ＋1C ．1D ．－2e＋1答案D解析f ′(x )＝2f ′(1)x＋1e ，当x ＝1时，f ′(1)＝2f ′(1)＋1e ，解得f ′(1)＝－1e，故f (x )＝－2ln x e ＋xe，所以f (e)＝－2ln e e ＋e e ＝－2e＋1.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1(多选)下列命题正确的是()A ．若f (x )＝x sin x －cos x ，则f ′(x )＝sin x －x cos x ＋sin xB ．设函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝eC ．已知函数f (x )＝3x 2e x ，则f ′(1)＝12eD ．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝－94答案BD解析对于选项A ，f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋sin x ，故选项A 不正确；对于选项B ，f ′(x )＝ln x ＋1，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e ，故选项B 正确；对于选项C ，f ′(x )＝6x e x ＋3x 2e x ，则f ′(1)＝6e ＋3e ＝9e ，故选项C 不正确；对于选项D ，f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，则f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94，故选项D正确．题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例2(1)(2023·全国甲卷)曲线y ＝e xx ＋1在点()A ．y ＝e4xB ．y ＝e2xC ．y ＝e 4x ＋e4D ．y ＝e 2x ＋3e4答案C解析因为y ＝e xx ＋1，所以y ′＝e x (x ＋1)－e x (x ＋1)2＝x e x(x ＋1)2，所以当x ＝1时，y ′＝e4，所以曲线y ＝e x x ＋1在点y －e 2＝e 4(x －1)，即y ＝e 4x ＋e4.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y ＝ln|x |过坐标原点的两条切线的方程为，.答案y ＝1ex y ＝－1ex解析先求当x >0时，曲线y ＝ln x 过原点的切线方程，设切点为(x 0，y 0)，则由y ′＝1x ，得切线斜率为1x 0，又切线的斜率为y 0x 0，所以1x 0＝y0x 0，解得y 0＝1，代入y ＝ln x ，得x 0＝e ，所以切线斜率为1e ，切线方程为y ＝1e x .同理可求得当x <0时的切线方程为y ＝－1e x .综上可知，两条切线方程为y ＝1e x ，y ＝－1e x .命题点2求参数的值(范围)例3(1)(2024·泸州模拟)若直线y ＝kx ＋1为曲线y ＝ln x 的一条切线，则实数k 的值是()A ．eB ．e 2 C.1eD.1e 2答案D解析设直线y ＝kx ＋1在曲线y ＝ln x 上的切点为P (x 0，y 0)，因为y ＝ln x ，所以y ′＝1x ，所以切线在点P 处的斜率k ＝1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，又y 0＝ln x 0，所以切线方程为y ＝1x 0·x －1＋ln x 0，又切线方程为y ＝kx ＋1，＝1x 0，＝－1＋ln x 0，0＝e 2，＝1e2.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是．答案(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为000(,()e )xA x x a +，O 为坐标原点，依题意得，切线斜率k OA ＝0000()e (1)e x x x a x a x +++=，化简，得x 20＋ax 0－a ＝0.因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以关于x 0的方程x 20＋ax 0－a ＝0有两个不同的根，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．(2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 的切线”．跟踪训练2(1)(2023·深圳质检)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝x 3－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程是()A ．2x －y －2＝0B ．4x －y －4＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．4x ＋y －4＝0答案C解析当x <0时，f (x )＝x 3－x ，则f ′(x )＝3x 2－1，所以f ′(－1)＝2，由f (x )为偶函数，得f ′(1)＝－f ′(－1)＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程是y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.(2)若函数f (x )＝x －1x ＋a ln x 存在与x 轴平行的切线，则实数a 的取值范围是．答案(－∞，－2]解析f ′(x )＝1＋1x 2＋ax(x >0)，依题意得f ′(x )＝1＋1x 2＋ax ＝0有解，即－a ＝x ＋1x有解，∵x >0，∴x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号，∴－a ≥2，即a ≤－2.题型三两曲线的公切线例4(1)(2024·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为()A ．2B ．5C ．1D ．0答案C解析根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a ＞0，由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率k ＝f ′(a )＝－4a ，由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率k ＝g ′(a )＝－3a－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a －1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ，可得m ＝1.(2)若两曲线y ＝ln x －1与y ＝ax 2存在公切线，则正实数a 的取值范围是()A ．(0,2e] B.12e －3，12e －3D ．[2e ，＋∞)答案B解析设公切线与曲线y ＝ln x －1和y ＝ax 2的切点分别为(x 1，ln x 1－1)，(x 2，ax 22)，其中x 1>0，对于y ＝ln x －1有y ′＝1x，则切线方程为y －(ln x 1－1)＝1x 1(x －x 1)，即y ＝xx 1＋ln x 1－2，对于y ＝ax 2有y ′＝2ax ，则切线方程为y －ax 22＝2ax 2(x －x 2)，即y ＝2ax 2x －ax 22，2ax 2，x 1－2＝－ax 22，则－14ax 21＝ln x 1－2，即14a＝2x 21－x 21ln x 1(x 1>0)，令g (x )＝2x 2－x 2ln x ，x >0，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝32e ，当x ∈32(0,e )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈32(e ,) 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )max ＝32(e )g ＝12e 3，故0<14a ≤12e 3，即a ≥12e －3.思维升华公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3(1)(2023·青岛模拟)若曲线C 1：f (x )＝x 2＋a 和曲线C 2：g (x )＝4ln x －2x 存在有公共切点的公切线，则a ＝.答案－3解析f (x )＝x 2＋a ，g (x )＝4ln x －2x ，则有f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝4x －2.设公共切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝4x 0－2，f (x 0)＝x 20＋a ，g (x 0)＝4ln x 0－2x 0.x 0＝4x 0－2，20＋a ＝4ln x 0－2x 0，0>0，0＝1，＝－3.(2)已知f (x )＝e x －1，g (x )＝ln x ＋1，则f (x )与g (x )的公切线有()A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条答案C解析根据题意，设直线l 与f (x )＝e x －1相切于点(m ，e m －1)，与g (x )相切于点(n ，ln n ＋1)，对于f (x )＝e x －1，有f ′(x )＝e x ，则直线l 的斜率k ＝e m ，则直线l 的方程为y ＋1－e m ＝e m (x －m )，即y ＝e m x ＋(1－m )e m －1，对于g (x )＝ln x ＋1，有g ′(x )＝1x ，则直线l 的斜率k ＝1n，则直线l 的方程为y －(ln n ＋1)＝1n (x －n )，即y ＝1n x ＋ln n m ＝1n ，－m )e m ＝ln n ＋1，可得(1－m )(e m －1)＝0，即m ＝0或m ＝1，则切线方程为y ＝e x －1或y ＝x ，故f (x )与g (x )的公切线有2条．课时精练一、单项选择题1．若函数f (x )＝e x sin 2x ，则f ′(0)等于()A ．2B ．1C ．0D ．－1答案A解析因为f (x )＝e x sin 2x ，则f ′(x )＝e x (sin 2x ＋2cos 2x )，所以f ′(0)＝e 0(sin 0＋2cos 0)＝2.2.函数y ＝f (x )的图象如图所示，f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列大小关系正确的是()A ．2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)B ．2f ′(3)<2f ′(5)<f (5)－f (3)C ．f (5)－f (3)<2f ′(3)<2f ′(5)D ．2f ′(5)<2f ′(3)<f (5)－f (3)答案A解析由图可知，f ′(3)<f (5)－f (3)5－3<f ′(5)，即2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)．3．(2023·榆林模拟)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2的图象在x ＝1处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，则a ＋b 等于()A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案B解析因为f (x )＝a ln x ＋x 2，所以f ′(x )＝ax＋2x .又函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，所以f ′(1)＝a ＋2＝3，解得a ＝1，则f (x )＝ln x ＋x 2，所以f (1)＝1，代入切线方程得3－1＋b ＝0，解得b ＝－2，故a ＋b ＝－1.4．(2023·成都川大附中模拟)若点P 是曲线y ＝ln x －x 2上任意一点，则点P 到直线l ：x ＋y －4＝0距离的最小值为()A.22B.2C ．22D ．42答案C解析过点P 作曲线y ＝ln x －x 2的切线，当切线与直线l ：x ＋y －4＝0平行时，点P 到直线l ：x ＋y －4＝0的距离最小．设切点为P (x 0，y 0)(x 0>0)，又y ′＝1x－2x ，所以切线斜率k ＝1x 0－2x 0，由题意知1x 0－2x 0＝－1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍)，所以P (1，－1)，此时点P 到直线l ：x ＋y －4＝0的距离d ＝|1－1－4|2＝2 2.5．直线l 与曲线y ＝e x ＋1和y ＝e x ＋1均相切，则l 的斜率为()A.12B ．1C ．2D ．e答案B解析由y ＝e x ＋1，可得y ′＝e x ；由y ＝e x ＋1，可得y ′＝e x ＋1，设两个切点分别为(x 1，1e x ＋1)和(x 2，21e x +)，直线l 的斜率k ＝121e e x x +=，故x 1＝x 2＋1，即x 1≠x 2，所以k ＝21121e e 1x x x x +---＝－1－1＝1，即直线l 的斜率为1.6．若函数f (x )＝x 2－2ax2＋ln(x ＋1)的图象上不存在互相垂直的切线，则a 的取值范围是()A ．a ≤1B ．a <0C ．a ≥1D ．a ≤0答案A解析因为函数f (x )＝x 2－2ax2＋ln(x ＋1)(x >－1)，所以f ′(x )＝x ＋1x ＋1－a ＝x ＋1＋1x ＋1－a －1≥2(x ＋1)·1x ＋1－a －1＝1－a ，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，等号成立，因为函数f (x )的图象上不存在互相垂直的切线，所以f ′(x )min ≥0，即1－a ≥0，解得a ≤1.二、多项选择题7．对于函数f (x )＝ln x －1，则下列判断正确的是()A ．直线y ＝xe 2是f (x )过原点的一条切线B ．f (x )关于y ＝x 对称的函数是y ＝e x－1C ．若过点(a ，b )有2条直线与f (x )相切，则ln a <b ＋1D ．f (x )≤x －2答案ACD解析对于A ，设切点为(m ，ln m －1)，则k ＝f ′(m )＝1m ＝ln m －1－0m －0，∴ln m －1＝1m ·m ，∴ln m ＝2，∴m ＝e 2，k ＝1e2∴过原点的切线方程为y ＝xe2，故A 正确；对于B ，由反函数的概念可得y ＋1＝ln x ⇒e y ＋1＝x ，故与f (x )关于y ＝x 对称的函数为y ＝e x ＋1，故B 错误；对于C ，若过点(a ，b )有2条直线与f (x )相切，则点(a ，b )在f (x )上方，如图所示，即b >f (a )，即b >ln a －1，故C 正确；对于D ，由于∀x >0，设g (x )＝x －ln x －1⇒g ′(x )＝x －1x ，令g ′(x )>0⇒x >1，令g ′(x )<0⇒0<x <1，∴g (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，∴g (x )≥g (1)＝0⇒ln x ≤x －1⇒f (x )≤x －2，故D 正确．8．(2023·唐山质检)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D ()A ．f (x )＝sin x －cos xB ．f (x )＝ln x －3xC ．f (x )＝－x 3＋3x －1D ．f (x )＝x e －x答案BCD解析对于A ，f ′(x )＝cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－sin x ＋cos x ＝－2sin当x ，f ″(x )＝－2sin ，故A 错误；对于B ，f ′(x )＝1x －3，f ″(x )＝－1x 2<0B 正确；对于C ，f ′(x )＝－3x 2＋3，f ″(x )＝－6x <0C 正确；对于D ，f ′(x )＝e －x －x e －x ＝(1－x )e －x ，f ″(x )＝－e －x －(1－x )e －x ＝－(2－x )e －x ，因为x 2－x >0，所以f ″(x )＝－(2－x )e －x<0D 正确．三、填空题9．(2024·呼和浩特模拟)若曲线y ＝2sin x －2cos x x －ay ＋1＝0垂直，则实数a ＝.答案－2解析∵y ＝2sin x －2cos x ，∴y ′＝2cos x ＋2sin x ，∴曲线y ＝2sin x －2cos x k ＝2cos π2＋2sin π2＝2，∵切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，∴直线x －ay ＋1＝0的斜率为－12，即1a ＝－12，∴a ＝－2.10．(2023·本溪模拟)请写出与曲线y ＝sin x 在原点(0,0)处具有相同切线的另一个函数．答案y ＝x 3＋x (答案不唯一)解析∵y ＝sin x 的导函数为y ′＝cos x ，又y ＝sin x 过原点，∴y ＝sin x 在原点(0,0)处的切线斜率k ＝cos 0＝1，∴y ＝sin x 在原点(0,0)处的切线方程为y ＝x .所求曲线只需满足过点(0,0)且在x ＝0处的导数值y ′＝1即可，如y ＝x 3＋x ，∵y ′＝3x 2＋1，∴y ＝x 3＋x 在原点处的切线斜率为1，又y ＝x 3＋x 过原点，∴y ＝x 3＋x 在原点(0,0)处的切线方程为y ＝x .11．(2023·南京模拟)若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝ax 2和y ＝ln x 均相切，则a ＝.答案14解析设直线y ＝x ＋m 与y ＝ln x 相切于点(x 0，ln x 0)，因为y ＝ln x 的导函数为y ′＝1x ，所以1x 0＝1，且ln x 0＝x 0＋m ，解得x 0＝1，m ＝－1.因为直线y ＝x －1与曲线y ＝ax 2相切，联立得ax 2－x ＋1＝0，a ≠0且Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14.12．已知直线y ＝k 1x 与y ＝k 2x (k 1>k 2)是曲线y ＝ax ＋2ln|x |(a ∈R )的两条切线，则k 1－k 2＝.答案4e解析由已知得，曲线的切线过点(0,0)，当x >0时，曲线为y ＝ax ＋2ln x ，设x 1>0，直线y ＝k 1x 在曲线上的切点为(x 1，ax 1＋2ln x 1)，y ′＝a ＋2x 1，∴切线方程为y －(ax 1＋2ln x 1)x －x 1)，又切线过点(0,0)，∴－ax 1－2ln x 1－x 1)，∴x 1＝e ，k 1＝a ＋2e；同理，当x <0时，曲线为y ＝ax ＋2ln(－x )，设x 2<0，直线y ＝k 2x 在曲线上的切点为(x 2，ax 2＋2ln(－x 2))，y ′＝a ＋2x 2，∴切线方程为y －[ax 2＋2ln(－x 2)]x －x 2)，又切线过点(0,0)，∴－ax 2－2ln(－x 2)－x 2)，∴x 2＝－e ，k 2＝a －2e ，∴k 1－k 2＝4e .四、解答题13．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x .(1)求f ′(e)及f (e)的值；(2)求f (x )在点(e 2，f (e 2))处的切线方程．解(1)∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，∴f ′(e)＝－1e ，f (x )＝－2xe ＋ln x ，∴f (e)＝－2ee＋ln e ＝－1.(2)∵f (x )＝－2x e ＋ln x ，f ′(x )＝－2e ＋1x ，∴f (e 2)＝－2e 2e ＋ln e 2＝2－2e ，f ′(e 2)＝－2e ＋1e2，∴f (x )在点(e 2，f (e 2))处的切线方程为y －(2－2e)－2e ＋x －e 2)，即(2e －1)x ＋e 2y －e 2＝0.14．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12，又∵f ′(x )＝a ＋bx 2，a －b 2＝12，＋b 4＝74，＝1，＝3，∴f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为yx －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，∴切线与直线x ＝0令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，∴切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．∴曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12|－6x 0|·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.15．已知函数f (x )＝ln x ＋x 的零点为x 0，过原点作曲线y ＝f (x )的切线l ，切点为P (m ，n )，则00e x mx 等于()A.1eB ．e C.1e 2D ．e 2答案B解析f ′(x )＝1x＋1，切点为P (m ，ln m ＋m )，则切线方程为yx －m )＋ln m ＋m ，因为l 过原点，所以0－m )＋ln m ＋m ，解得m ＝e ，则P (e ，e ＋1)，由ln x 0＋x 0＝0，可得x 0＝－ln x 0，故00e xmx ＝e x 0·0ln ex －＝e x 0·1x 0＝e.16．(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f (x )＝|e x －1|，x 1<0，x 2>0，函数f (x )的图象在点A (x 1，f (x 1))和点B (x 2，f (x 2))的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则|AM ||BN |的取值范围是．答案(0,1)解析由题意得，f (x )＝|e x －1|－e x ，x <0，x －1，x ≥0，则f ′(x )e x ，x <0，x ，x ≥0，所以点A (x 1,1－1e x)和点B (x 2，2e x－1)，k AM ＝1e x－，k BN ＝2e x，所以12e e xx⋅－＝－1，x 1＋x 2＝0，所以AM ：y －1＋1e x＝11111(),(0,e e 1),e x x xM x x x -+－－所以|AM |=x 1|，同理|BN |·|x 2|，所以|AM ||BN |1e x ===∈(0,1)．。
2021高考数学一轮复习导数及其应用学案理
2021高考数学一轮复习导数及其应用学案理知识点一、导数的差不多运算1．差不多初等函数的导数公式2．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．3、复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 小题速通1．下列求导运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3xlog 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x2．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)3．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.1034．(2021·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．5．函数y ＝ln 2x ＋1x的导数为________．易错点1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范畴及符号，如(x n)′＝nxn －1中n ≠0且n ∈Q *，(cos x )′＝－sin x .2．注意公式不要用混，如(a x )′＝a x ln a ，而不是(a x )′＝xa x －1.1、已知函数f (x )＝sin x －cos x ，若f ′(x )＝12f (x )，则tan x 的值为( )A ．1B ．－3C ．－1D ．2 2、若函数f (x )＝2x＋ln x 且f ′(a )＝0，则2aln 2a＝( )A ．－1B ．1C ．－ln 2D ．ln 2知识点二、导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度确实是位移函数s (t )对时刻t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)． 小题速通1.(2020·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 2．设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________． 3．已知曲线y ＝2x 2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．4．函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 易错点1．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别． 1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或72.(2021·兰州一模)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________．知识点三、利用导数研究函数的单调性1．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系(1)若f ′(x )>0，则f (x )在那个区间上是增加的． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在那个区间上是减少的． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在那个区间内是常数． 2．利用导数判定函数单调性的一样步骤(1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)依照结果确定f (x )的单调性及单调区间．小题速通1．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)和(2，＋∞) 2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )3．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范畴为( )A ．(－∞，－26] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞) D ．[－5，＋∞) 易错点若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立． 若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范畴是________．知识点四、利用导数研究函数的极值与最值1．函数的极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值． 2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点． 3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 小题速通1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．(2021·济宁一模)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12B ．1C ．0D ．不存在4．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，则a 的取值范畴为________．5．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范畴是________． 易错点1．f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的既不充分也不必要条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点；又如f (x )＝|x |，x ＝0是它的极小值点，但f ′(0)不存在．2．求函数最值时，易误认为极值点确实是最值点，不通过比较就下结论． 1．(2021·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝ln(－x )C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x2．设函数f (x )＝x 3－3x ＋1，x ∈[－2,2]的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.知识点五、定积分1．定积分的概念在∫ba f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1) ⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a b f (x )d x (k 为常数)； (2) ⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3) ⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．3．微积分差不多定理一样地，假如f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，同时F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，那个结论叫做微积分差不多定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x ) ⎪⎪⎪ba，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x ) ⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．小题速通1．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2 2.⎠⎛01(e x＋x)d x ＝________.3．(2020·天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 易错点定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果能够为负． 由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(如图所示)的面积为( )A .23 B.13 C .12 D.14过关检测练习一、选择题1．已知函数f (x )＝log a x (a>0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( )A ．e B.1e C.1e 2 D.122．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A(1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－23．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情形为( )A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1D ．以上都不对4．若f(x)＝－12x 2＋m ln x 在(1，＋∞)是减函数，则m 的取值范畴是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)5．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．37．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴所围成的封闭图形的面积是( )A .⎠⎛02(x 2－1)d x B.⎠⎛02|x 2－1|d x C .⎠⎛02(x 2－1)d x D .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范畴是( )A ．[2,3]B ．(2,3]C ．(－∞，2]D ．(－∞，2) 二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范畴是________． 10．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________.11．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f (1)＋f ′(1)＝________.12．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)e x －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m －1≥g (x 0)成立，则实数m的取值范畴为________． 三、解答题13．已知函数f (x )＝x ＋a x＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若关于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立，求实数b 的取值范畴．14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．高考研究课：一 导数运确实是基点、几何意义是重点、定积分应用是潜考点考点 考查频度 考查角度导数的几何意义5年7考 求切线、已知切线求参数、求切点坐标定积分未考查题型一、导数的运算[典例] (1)(2020·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( ) A ．－3π2 B ．－1π2 C ．－3π D ．－1π(2)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 018(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．sin x ＋cos xD ．cos x －sin x (3)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e 方法技巧1、可导函数的求导步骤(1)分析函数y ＝f (x )的结构特点，进行化简； (2)选择恰当的求导法则与导数公式求导； (3)化简整理答案． 2、求导运算应遵循的原则求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，如此能够减少运算量，提高运算速度，减少差错． 即时演练1．(2020·江西九校联考)已知y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，则y ′＝( )A ．3x 2－12x ＋6 B ．x 2＋12x －11 C ．x 2＋12x ＋6 D ．3x 2＋12x ＋11 2．已知函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________.题型二、导数的几何意义导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常显现在解答题的第1问中，难度较低，属中、低档题. 常见的命题角度有： 1求切线方程； 2确定切点坐标；3已知切线求参数值或范畴； 4切线的综合应用.角度一：求切线方程1．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________．角度二：确定切点坐标2．已知函数f (x )＝exx(x >0)，直线l ：x －ty －2＝0.若直线l 与曲线y ＝f (x )相切，则切点横坐标的值为________．角度三：已知切线求参数值或范畴3．(2021·武汉一模)已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 上存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范畴是________．4．若两曲线y ＝x 2－1与y ＝a ln x －1存在公切线，则正实数a 的取值范畴是________．角度四：切线的综合应用5．已知函数f (x )＝m ln(x ＋1)，g (x )＝xx ＋1(x >－1)．(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )在(－1，＋∞)上的单调性；(2)若y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且仅有一条公切线，试求实数m 的值．方法技巧利用导数解决切线问题的方法(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解．题型三、定积分及应用[典例] (1)(2020·东营模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈1，2]，则⎠⎛02f(x)d x 等于( )A.34B.45C.56D ．不存在 (2)设f (x )＝)⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1，x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛-12f (x )dx 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43 D.π4＋3 (3)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.方法技巧求定积分的2种方法及注意事项(1)定理法运用微积分差不多定理求定积分时要注意以下几点： ①对被积函数要先化简，再求积分；②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； ③关于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； ④注意用“F′(x )＝f (x )”检验积分的对错． (2)面积法依照定积分的几何意义可利用面积求定积分． 即时演练1．(2020·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －12．直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2所围成封闭图形的面积为________．3．如图，在长方形OABC 内任取一点P ，则点P 落在阴影部分的概率为________．高考真题演练1．(2020·全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．32．(2021·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．3．(2021·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝________. 4．(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 5．(2020·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.高考达标检测一、选择题1．若a ＝⎠⎛02x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a ＋1x 6展开式中的常数项是( ) A ．20 B ．－20 C ．－540 D ．5402．(2020·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －23．(2020·济南一模)已知曲线f (x )＝ln x 的切线通过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－eC .1eD ．－1e4．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－25．(2020·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范畴为( )A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π C .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π6 6．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( ) A ．x ＋4y －2＝0 B ．x －4y ＋2＝0 C ．4x ＋2y －1＝0 D ．4x －2y －1＝0二、填空题7．若a 和b 是运算机在区间(0,2)上产生的随机数，那么函数f(x)＝lg (ax 2＋4x ＋4b)的值域为R 的概率为________． 8．已知函数f (x )＝e ax＋bx (a <0)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝5x ＋1，且f (1)＋f ′(1)＝12.则a ，b 的值分别为________．9．(2021·东营一模)函数f (x )＝x ln x 在点P(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P(x 0，f (x 0))的坐标为________．10．设过曲线f (x )＝－e x－x(e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，则m 的取值范畴是________． 三、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范畴；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范畴．12．已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(3－a )ln x ，a ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＋1＝0垂直，求a 的值； (2)设f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)>－5.能力提高训练题1．(2020·广东七校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12B.12<x 0<1 C.22<x 0< 2 D.2<x 0< 32．函数y ＝f (x )图象上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k M ，k N ，规定φ(M ，N )＝|k M －k N ||MN |(|MN |为线段MN 的长度)叫做曲线y ＝f (x )在点M 与点N 之间的“弯曲度”．设曲线f (x )＝x 3＋2上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且x 1x 2＝1，则φ(M ，N )的取值范畴是________．高考研究课：二、函数单调性必考，导数工具离不了全国卷5年命题分析[典例] (2021·山东高考节选)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x2，a ∈R ，讨论f (x )的单调性．方法技巧导数法判定函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的阻碍进行分类讨论． 即时演练1．(2021·芜湖一模)函数f (x )＝e x－e x ，x ∈R 的单调递增区间是( )A.()0，＋∞B.()－∞，0C.()－∞，1D.()1，＋∞ 2．(2021·全国卷Ⅱ节选)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x＋x ＋2>0. 题型二、利用导数研究函数单调性的应用函数的单调性是高考命题的重点，其应用是考查热点.,常见的命题角度有： 1y ＝f (x )与y ＝f ′(x )的图象辨识；2比较大小；3已知函数单调性求参数的取值范畴； 4构造函数解不等式.角度一：y ＝f (x )与y ＝f ′(x )的图象辨识1.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，若函数f (x )的图象如图所示，则一定有( )A ．b >0，c >0B ．b <0，c >0C ．b >0，c <0D ．b <0，c <02.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )角度二：比较大小3．设定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (2－x )＝f (x )，f ′xx －1<0，若x 1＋x 2>2，x 1<x 2，则( ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)>f (x 2) D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定角度三：已知函数单调性求参数的取值范畴4．(2020·宝鸡一检)已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋a ln x ，若函数f (x )在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范畴是( )A ．(－6，＋∞)B ．(－∞，－16)C ．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)D ．(－∞，－16)∪(－6，＋∞)5．(2020·成都模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范畴是________．方法技巧由函数的单调性求参数的范畴的方法(1)可导函数f (x )在D 上单调递增(或递减)求参数范畴问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)对x ∈D 恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上确实是f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)在该区间上存在解集，如此就把函数的单调性问题转化成不等式问题．(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范畴．(4)若已知f (x )在D 上不单调，则f (x )在D 上有极值点，且极值点不是D 的端点．角度四：构造函数解不等式6．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (3)＝0.则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)7．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)－f (－1)<0的解集为________．高考真题演练1．(2021·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范畴是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 2．(2020·全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范畴是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞) 3．(2021·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x(e x－a )－a 2x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范畴．高考达标检测一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－3x (a ∈R)，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12和(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(1，＋∞) 2．(2021·浙江高考)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3．关于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－xf ′x≤0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)＞2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)＜2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)4．已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且f (x 1)＜f (x 2)，那么( ) A ．x 1－x 2＞0 B ．x 1＋x 2＞0 C ．x 21－x 22＞0 D ．x 21－x 22＜05．(2021·吉林长春三模)定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)＜e x 2f (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定6．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f (x ＋4)＝－f (x )，且函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈[－2,0)时，f (x )的最小值为3，则a 的值为( ) A ．e 2B ．eC ．2D ．1 二、填空题7．设函数f (x )＝x (e x－1)－12x 2，则函数f (x )的单调增区间为________．8．已知函数f (x )＝x ln x －ax 2－x .若函数f (x )在定义域上为减函数，则实数a 的取值范畴是________． 9．(2020·兰州诊断)若函数f (x )＝x 2－e x－ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范畴是________． 三、解答题10．已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a ＞0.讨论f (x )的单调性．11．(2020·武汉调研)已知函数f (x )＝x ln x .(1)若函数g (x )＝f (x )＋ax 在区间[e 2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范畴； (2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值．12．(2020·湖南十校联考)函数f (x )＝13x 3＋|x －a |(x ∈R ，a ∈R)．(1)若函数f (x )在R 上为增函数，求a 的取值范畴；(2)若函数f (x )在R 上不单调时，记f (x )在[－1,1]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，求M (a )－m (a )．能力提高训练题1．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则b a的最小值为________．2．已知函数f (x )＝(a －1)ln x －a 2x 2＋x (a ∈R)，g (x )＝－13x 3－x ＋(a －1)ln x .(1)若a ≤12，讨论f (x )的单调性；(2)若过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13可作函数y ＝g (x )－f (x )(x >0)图象的两条不同切线，求实数a 的取值范畴．高考研究课：三、极值、最值两考点，利用导数巧推演全国卷5年命题分析极值 5年6考 求极值、由极值求参数 最值 5年5考 求最值、证明最值的存在性题型一、运用导数解决函数的极值问题函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题.常见的命题角度有：1知图判定函数极值；2已知函数求极值；3已知极值求参数值或范畴.角度一：知图判定函数极值1.(2020·赤峰模拟)设函数f (x )在定义域R 上可导，其导函数为f ′(x )，若函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)角度二：已知函数求极值2．已知函数f (x )＝x －1＋aex (a ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．角度三：已知极值求参数值或范畴3．设函数f (x )＝ln x －1ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范畴是( )A ．(－1,0)B ．(－1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)4．已知函数f (x )＝ax －x 2－ln x ，若函数f (x )存在极值，且所有极值之和小于5＋ln 2，则实数a 的取值范畴是________．方法技巧利用导数研究函数极值的一样流程题型二、运用导数解决函数的最值问题[典例] (2020·日照模拟)设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2(k ∈R)． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M .方法技巧 求函数f (x )在[a ，b ]上的最值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．即时演练1．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范畴是( ) A ．[－5,0)B ．(－5,0)C ．[－3,0)D ．(－3,0)2．(2020·南昌模拟)已知函数f (x )＝(2x －4)e x ＋a (x ＋2)2(x >0，a ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)若f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数，求实数a 的取值范畴；(2)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，证明：函数f (x )有最小值，并求函数f (x )的最小值的取值范畴．高考真题演练1．(2021·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·ex －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．12．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝3sin πx m.若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范畴是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)3．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则 f ′(x 0)＝04．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范畴．5．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝x 2e －x .(1)求f (x )的极小值和极大值； (2)当曲线y ＝f (x )的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范畴．6．(2021·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R)有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b 2>3a ；(3)若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范畴．7．(2021·山东高考)已知函数f(x)＝x2＋2cos x，g(x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)，其中e＝2.718 28…是自然对数的底数．(1)求曲线y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程；(2)令h(x)＝g(x)－af(x)(a∈R)，讨论h(x)的单调性并判定有无极值，有极值时求出极值．高考达标检测一、选择题1．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝0 2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b 的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－233．(2020·浙江瑞安中学月考)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.163题：①f (x )的解析式为：f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]；②f (x )的极值点有且仅有一个；③f (x )的最大值与最小值之和等于零．其中正确的命题个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 5．(2021·长沙二模)已知函数f (x )＝x x 2＋a (a ＞0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为( ) A.3－1 B.34 C.43 D.3＋16．已知直线l 1：y ＝x ＋a 分别与直线l 2：y ＝2(x ＋1)及曲线C ：y ＝x ＋ln x 交于A ，B 两点，则A ，B 两点间距离的最小值为( ) A.355 B ．3 C.655 D ．3 2二、填空题7．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范畴是________．8．已知函数f (x )＝e x x 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯独一个极值点，则实数k 的取值范畴为________． 9．(2020·湘中名校联考)已知函数g (x )＝a －x 21e≤x ≤e，e 为自然对数的底数与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范畴是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．11．设函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x ，a >0. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)讨论函数f (x )的零点个数．12．已知函数f(x)＝ln x＋x2－ax(a∈R)．(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1∈(0,1]，证明f(x1)－f(x2)≥－34＋ln 2.能力提高训练题1．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的图象与x轴相切于点(c,0)，且f(x)有极大值4，则c＝( ) A．－3 B．－1C．1 D．32．已知函数f (x )＝12x 2＋(1－m )x ＋ln x .(1)若函数f (x )存在单调递减区间，求实数m 的取值范畴；(2)设x 1，x 2(x 1<x 2)是函数f (x )的两个极值点，若m ≥72，求f (x 1)－f (x 2)的最小值．高考研究课：四、综合问题是难点，3大题型全冲关全国卷5年命题分析[典例] 一辆火车前行每小时电力的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的电价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？ 方法技巧利用导数解决生活中的优化问题的4步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回来实际问题作答． 即时演练1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家猎取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C．9万件D．7万件2．据环保部门测定，某处的污染指数与邻近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k ＞0)．现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．(1)试将y表示为x的函数；(2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值．题型二、利用导数研究函数的零点或方程根[典例] 已知函数f(x)＝(x＋a)e x，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＜1时，试确定函数g(x)＝f(x－a)－x2的零点个数，并说明理由．方法技巧利用导数研究零点或方程根的方法研究方程根的情形，能够通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，依照题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，能够使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． 即时演练1．已知函数f (x )＝e 2x－ax 2＋bx －1，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数，若f (1)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，函数f ′(x )在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范畴是( )A ．(e 2－3，e 2＋1) B ．(e 2－3，＋∞) C ．(－∞，2e 2＋2)D ．(2e 2－6,2e 2＋2)2．(2021·西安一模)已知函数f (x )＝x ＋1＋ax－a ln x ．若函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线与直线2x ＋y －1＝0平行．(1)求a 的值；(2)若方程f (x )＝b 的区间[1，e]上有两个不同的实数根，求实数b 的取值范畴．题型二、利用导数研究与不等式有关的问题导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题. 常见的命题角度有： 1证明不等式； 2不等式恒成立问题.角度一：证明不等式1．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x (a >0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明：当0<x <1a时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ；(3)设函数y ＝f (x )的图象与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 的中点的横坐标为x 0，证明：f ′(x 0)<0.方法技巧利用导数证明不等式的方法能够从所证不等式的结构和特点动身，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明，其一样步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论．如：证明：f (x )＞g (x )(x ∈D )，令F (x )＝f (x )－g (x )，x ∈D ，只需证明F (x )min ＞0(x ∈D )即可，从而把证明不等式问题转化求F (x )min 问题．角度二：不等式恒成立问题2．(2021·四川高考)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R.(1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )＞1x－e 1－x在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)．方法技巧1．利用导数研究不等式恒成立问题的思路第一要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范畴；也可分离变量，构造函数，直截了当把问题转化为函数的最值问题． 2．不等式成立(恒成立)问题常见转化方法(1)f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，f (x )≥a 成立⇒f (x )max ≥a . (2)f (x )≤b 恒成立⇔f (x )max ≤b ，f (x )≤b 成立⇔f (x )min ≤b . (3)f (x )＞g (x )恒成立F x ＝f x －g xF (x )min ＞0.(4)①∀x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)＞g (x 2)⇔f (x 1)min ＞g (x 2)max .②∀x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)＞g (x 2)⇔f (x 1)min ＞g (x 2)min .③∃x 1∈M ，∃x 2∈N ，f (x 1)＞g (x 2)⇔f (x 1)max ＞g (x )min .④∃x 1∈M ，∀x 2∈N ，f (x 1)＞g (x 2)⇔f (x 1)max ＞g (x 2)max .高考真题演练1．(2021·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝a e 2x＋(a －2)e x－x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范畴．2．(2021·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x －1－a ln x .(1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且关于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <m ，求m 的最小值．3．(2021·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2有两个零点．(1)求a的取值范畴；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.4．(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝e mx＋x2－mx.(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若关于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范畴．高考达标检测1．(2020·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.(1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1，求a 的取值范畴．2．已知函数f (x )＝ln x －a x ＋a x2(a ∈R)．(1)若a ＝1，求函数f (x )的极值；(2)若f (x )在[1，＋∞)内为单调增函数，求实数a 的取值范畴； (3)关于n ∈N *，求证：11＋12＋22＋12＋33＋12＋…＋n n ＋12<ln(n ＋1)．3．已知函数f (x )＝sin x －x cos x (x ≥0)．(1)求函数f (x )的图象在⎝⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线方程；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，不等式f (x )<ax 3恒成立，求实数a 的取值范畴； (3)设m ＝∫π20f(x)d x ，g(x)＝6m 4－πx 2f(x)，证明：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫132·…·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <e .4．(2021·天津高考)设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数f (x )＝2x 4＋3x 3－3x 2－6x ＋a 在区间(1,2)内有一个零点x 0，g (x )为f (x )的导函数．(1)求g (x )的单调区间；(2)设m ∈[1，x 0)∪(x 0,2]，函数h (x )＝g (x )(m －x 0)－f (m )，求证：h (m )h (x 0)<0；(3)求证：存在大于0的常数A ，使得关于任意的正整数p ，q ，且pq∈[1，x 0)∪(x 0,2]，满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪p q－x 0≥1Aq 4.。
导数的概念及其意义、导数的运算课件-高三数学一轮复习
y′
⋅
u′
u
x
间具有关系′ =__________,这个关系用语言表达就是“对的
导数等于对的导数与对的导数的乘积”
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］
已知函数f x =
[解析] f 6 = 108,f 2 =
2
3x ，则y
=f x
24
在[2,6]上的平均变化率为____.
2−x
e
= 3−
2
x
2−x
e .
探究点二 导数的几何意义
角度1 求切线方程
例2（1）
[2023·南京模拟] 函数f x =
方程为(
)
B
A.y = −2x − 1
4
x
B.y = −2x + 1
−
3
2x 的图象在点
C.y = 2x − 3
1, f 1 处的切线
D.y = 2x + 1
［思路点拨］（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，从而求切线的方程.
e .故选C.
=
m
e
m
e
+m=
m
e
− 1)(x − m .
− 1)(e − m ，
e+1
e
− 1)(x − e − 1 − e − 1，
角度2 求切点坐标
例3
已知f x =
3
x
−
2
3x
+ ax − 1，若曲线y = f x 在点 x0 , f x0 处的切线经
1
1或−
过坐标原点，则x0 =_________.
2
［思路点拨］ 根据导数的几何意义及切线过原点写出切线方程，由切线过切点
高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.10导数的概念及运算课件文
；
(3)gfxx′＝f′xg[xg－ xf]2xg′x(g(x)≠0)．
[ 必会结论] 1．f′(x0)与 x0 的值有关，不同的 x0，其导数值一般也 不同． 2．f′(x0)不一定为 0，但[f(x0)]′一定为 0. 3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数， 周期函数的导数还是周期函数． 4．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化 趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变 化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
命题角度 3 求参数的值 例 5 [2015·全国卷Ⅱ]已知曲线 y＝x＋ln x 在点(1,1)处 的切线与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切，则 a＝____8____.
[解析] ∵y′＝1＋1x，∴k＝y′x＝1 ＝2， ∴切线方程为 y＝2x－1. 由 y＝2x－1 与 y＝ax2＋(a＋2)x＋1 联立，得 ax2＋ax＋2 ＝0，再由相切知 Δ＝a2－8a＝0，解得 a＝0 或 a＝8. ∵当 a＝0 时，y＝ax2＋(a＋2)x＋1 并非曲线而是直线， ∴a＝0 舍去，故 a＝8.
1－ln 2 4．[2016·长春二模]若函数 f(x)＝lnx x，则 f′(2)＝___4___.
解析
由
f′(x)＝1－xl2n
x，得
f′(2)＝1－4ln
2 .
5．[2017·太原模拟]函数 f(x)＝xex 的图象在点(1，f(1)) 处的切线方程是____y_＝__2_e_x_－__e______．
[解析] 令 x>0，则－x<0，f(－x)＝ln x－3x， 又 f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ln x－3x(x>0)， 则 f′(x)＝1x－3(x>0)，∴f′(1)＝－2，∴在点(1，－3) 处的切线方程为 y＋3＝－2(x－1)，即 y＝－2x－1.
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10节导数的概念及运算教学案含解析理
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10节导数的概念及运算教学案含解析理第十节 导数的概念及运算[考纲传真] 1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数y ＝c(c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：①定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率＝为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′| x ＝x 0，即f ′(x 0)＝＝.②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li m Δx→0f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c(c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a ＞0)f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ](g (x )≠0)．[常用结论]1．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．2．直线与二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相切只有一个公共点；直线与非二次曲线相切，公共点不一定只有一个．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( )(2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( )(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． ( ) (4)若f (a )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(a )＝3a 2＋2x . ( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194 B.174C.154D.134D [由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3t2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝134.]3．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x B [y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，故选B.] 4．若f (x )＝x e x，则f ′(1)＝________.2e [f ′(x )＝e x ＋x e x ，则f ′(1)＝e 1＋e 1＝2e.]5．曲线y ＝sin xx在点M (π，0)处的切线方程为________．x ＋πy －π＝0 [y ′＝x cos x －sin x x 2，则y ′|x ＝π＝πcos π－sin ππ2＝－1π，则切线方程为y ＝－1π(x －π)，即x ＋πy －π＝0.]导数的计算1．f (x )＝x (2 01800A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．eB [f ′(x )＝2 018＋ln x ＋1＝2 019＋ln x ，则f ′(x 0)＝2 019＋ln x 0＝2 019，解得x 0＝1，故选B.]2．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________.－4 [f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，则f ′(1)＝2＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－2 所以f ′(x )＝2x －4，则f ′(0)＝－4.] 3．求下列函数的导数． (1)y ＝cos x e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)y ＝x 2ex －1.[解] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝cos x ′e x －cos x e x′e x 2＝－sin x ＋cos x e x. (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(3)∵y ＝e －1x 2e x，∴y ′＝e －1(2x ·e x ＋x 2e x )＝ex －1(x 2＋2x )．[规律方法] 导数运算的常见形式及其求解方法 连乘积形式 先展开化为多项式的形式，再求导公式形式 观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 对数形式 先化为和、差的形式，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导含待定系数 如含f ′(x 0)，a ，b 等的形式，先将待定系数看成常数，再求导导数的几何意义►考法1 【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________．(1)D (2)x －y －1＝0 [(1)因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，由此可得a ＝1，故f (x )＝x 3＋x ，f ′(x )＝3x 2＋1，f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)． 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝1＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1， 即x －y －1＝0.] ►考法2 求切点坐标【例2】 设函数f (x )＝x 3＋ax 2.若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)D [由f (x )＝x 3＋ax 2得f ′(x )＝3x 2＋2ax ，记y 0＝f (x 0)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 20＝y 0，①x 0＋y 0＝0，②3x 20＋2ax 0＝－1.③由①②可得x 30＋ax 20＝－x 0，即x 0(x 20＋ax 0＋1)＝0.④ 由③可得3x 20＋2ax 0＋1＝0.⑤由⑤可得x 0≠0，所以④式可化为x 20＋ax 0＋1＝0.⑥ 由⑤⑥可得x 0＝±1，代入②式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝1.即P (1，－1)或P (－1,1)．故选D.] ►考法3 求参数的值【例3】 (1)已知函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x(其中e 是自然对数的底数，a ∈R )，若f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，则a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2(2)已知直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．2B ．－1C ．－12D ．1(1)C (2)B [(1)f ′(x )＝(x 2＋ax －1)′e x＋(x 2＋ax －1)(e x)′ ＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x＝[x 2＋(a ＋2)x ＋(a －1)]e x，故f ′(0)＝[02＋(a ＋2)×0＋(a －1)]e 0＝a －1.因为f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，故f ′(0)＝1，即a －1＝1，解得a ＝2.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－12＋1x，则y ′|x ＝x 0＝－12＋1x 0，由－12＋1x 0＝12得x 0＝1，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，又切点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1，故选B.][规律方法] 导数几何意义的应用类型及求解思路 1已知切点A x 0，f x 0求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′x 0. 2若求过点P x 0，y 0的切线方程，可设切点为x 1，y 1，由求解即可.3已知斜率k ，求切点Ax 1，f x 1，即解方程f ′x 1＝k .,4函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.(1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(2)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于________． (1)(e ，e) (2)1 [(1)由题意得y ′＝ln x ＋1，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．(2)依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1.]1．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为________．y ＝2x －2 [由题意知，y ′＝2x，所以曲线在点(1,0)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝2，故所求切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2.]2．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.1 [先用“导数法”求出切线方程，然后代入点(2,7)求出a 的值． ∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.] 3．(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．2x －y ＝0 [设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ex －1＋x .∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝e x －1＋x .∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1，∴f ′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)， 即2x －y ＝0.]4．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.8 [法一：∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x，y ′| x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋a ＋2x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′| x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋a ＋2＝2，ax 20＋a ＋2x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.]自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。
2021新高考数学新课程一轮复习学案：第二章第10讲导数的概念及运算
第10讲导数的概念及运算[考纲解读] 1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义．2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测2021年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.1．变化率与导数(1)平均变化率概念对于函数y＝f(x)，□01f(x2)－f(x1)x2－x1＝ΔyΔx叫做函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率几何意义函数y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的□02斜率物理意义若函数y＝f(x)表示变速运动的质点的运动方程，则ΔyΔx就是该质点在[x1，x2]上的□03平均速度函数(x>0，a>0，且a≠1)(x>0)四则运算法则加减[f(x)±g(x)]′＝□08f_′(x)±g′(x)—乘法[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)[cf(x)]′＝cf′(x)除法⎣⎢⎡⎦⎥⎤f(x)g(x)′＝f′(x)g(x)－g′(x)f(x)g2(x)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g(x)′＝－g′(x)g2(x)复合函数导数复合函数y＝f[g(x)]的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间具有关系y′x＝□09 y′u·u′x，这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”1．概念辨析(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．()(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()(3)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．()(4)函数f(x)＝sinπ的导数f′(x)＝cosπ.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小题热身(1)下列函数求导运算正确的个数为()①(3x)′＝3x log3e；②(log2x)′＝1x·ln 2；③(e1－x)′＝e1－x；④⎝⎛⎭⎪⎫1ln x′＝x.A．1 B．2 C．3 D．4答案 A解析①中，(3x)′＝3x ln 3，错误；②中，(log2x)′＝1x·ln 2，正确；③中，(e1－x )′＝－e 1－x ，错误；④中，⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝0·ln x －1x(ln x )2＝－1x (ln x )2，错误，因此求导运算正确的个数为1.(2)有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B.174C.154D.134 答案 D解析 s ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t ′＝2t －3t 2，当t ＝2时，s ′＝2×2－322＝134，所以该机器人在t ＝2时的瞬时速度为134.(3)函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( ) A ．10 B ．5 C ．－1 D ．－37 答案 D解析 ∵f (x )＝x 3＋4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4， ∴f ′(1)＝7，即切线的斜率为7， 又f (1)＝10，故切点坐标为(1,10)， ∴切线的方程为y －10＝7(x －1)，当y ＝0时，x ＝－37，切线在x 轴上的截距为－37.(4)已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________. 答案 e 2解析 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a ·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2.题型一 导数的运算1．(2019·华中师范大学第一附中模拟)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝x 3＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，则f ′(1)＝________. 答案 0解析 因为f (x )＝x 3＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，所以f ′(x )＝3x 2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1.所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1.解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1.所以f ′(x )＝3x 2－2x －1，所以f ′(1)＝0. 2．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)； (2)y ＝x －sin2x cos2x ； (3)y ＝e x cos x ； (4)y ＝ln (2x ＋1)x. 解 (1)因为y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1， 所以y ′＝18x 2＋4x －3.(2)因为y ＝x －sin2x cos2x ，所以y ＝x －12sin4x ， 所以y ′＝1－12cos4x ×4＝1－2cos4x . (3)y ′＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′ ＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )． (4)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln (2x ＋1)x ′ ＝[ln (2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2＝(2x＋1)′2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 2＝2x2x ＋1－ln (2x ＋1)x 2＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2.1.谨记一个原则先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导.2.熟记求导函数的五种形式及解法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导，如举例说明2(1)； (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．如举例说明2(2).3.求复合函数的导数的一般步骤(1)确定复合关系．注意内层函数通常为一次函数.(2)由外向内逐层求导．如举例说明2(4)中对ln (2x ＋1)的求导.求下列函数的导数： (1)y ＝ln x ＋1x ；(2)y ＝sin x x ； (3)y ＝(x 2＋2x －1)e 2－x .解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x ′＝(sin x )′x －sin x ·x ′x 2＝x cos x －sin x x 2.(3)y ′＝(x 2＋2x －1)′e 2－x ＋(x 2＋2x －1)(e 2－x )′＝(2x ＋2)e 2－x ＋(x 2＋2x －1)(－e 2－x )＝(3－x 2)e 2－x .题型二 导数的几何意义角度1 求切线方程1.过点(1，－2)且与y ＝x 3－3x 相切的直线方程为( ) A.y ＝－2或9x ＋4y －1＝0 B.y ＝－2 C.9x ＋4y ＋1＝0 D.y ＝0或9x ＋4y ＋1＝0 答案 A解析 y ′＝3x 2－3，设切点坐标为(x 0，x 30－3x 0)，此时在切点处的斜率为y ′x ＝x 0＝3x 20－3，所以切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，将点(1，－2)代入切线方程，整理得2x 30－3x 20＋1＝0，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12，分别代入切线方程可得y ＝－2或9x ＋4y －1＝0.2.(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________. 答案 y ＝3x解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3)，∴斜率k ＝e 0×3＝3，∴切线方程为y ＝3x .角度2 求切点坐标3.(2019·广州模拟)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A.(0,0) B ．(1，－1) C.(－1,1) D ．(1，－1)或(－1,1)答案 D解析 f ′(x )＝(x 3＋ax 2)′＝3x 2＋2ax ，由题意得f ′(x 0)＝－1，x 0＋f (x 0)＝0，所以⎩⎨⎧3x 2＋2ax 0＝－1， ①x 0＋x 30＋ax 20＝0， ②由①知x 0≠0，故②可化为1＋x 20＋ax 0＝0，所以ax 0＝－1－x 20，代入①得3x 20＋2(－1－x 20)＝－1，即x 20＝1，解得x 0＝±1.当x 0＝1时，a ＝－2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝－1；当x 0＝－1时，a ＝2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝1，所以点P的坐标为(1，－1)或(－1，1).角度3 求参数的值(范围)4.(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A.a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C.a ＝e －1，b ＝1 D ．a ＝e －1，b ＝－1答案 D解析 y ′＝a e x ＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1，∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1.又∵切线方程为y ＝2x ＋b ，∴⎩⎨⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.故选D.5.若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞C.(0，＋∞) D ．[0，＋∞) 答案 D解析 f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞).求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．如举例说明2.(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．如举例说明1，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)； ②根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎨⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程.1.若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝( ) A.e－ 12B ．2e － 12C ．e12D ．2e 12答案 B解析 依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，则a ＝2x 0＝2e－ 12，故选B.2.已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 3－ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(－1，－1)处的切线的斜率为________.答案 2解析 因为当x >0时，f (x )＝x 3－ln x ，所以当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3－ln (－x )，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝x 3＋ln (－x )，则f ′(x )＝3x 2＋1x ，所以f ′(－1)＝2，所以曲线y ＝f (x )在点(－1，－1)处的切线的斜率为2.3.已知直线l 为曲线y ＝a ＋ln xx 在点(1，a )处的切线，当直线l 与坐标轴围成的三角形面积为12时，实数a 的值为________.答案 0或34解析 因为y ′＝1－a －ln xx 2，所以切线l 的斜率为1－a ，则切线l 的方程为y－a ＝(1－a )(x －1)，令x ＝0得y ＝2a －1.令y ＝0得x ＝2a －1a －1.所以直线l 与坐标轴围成的三角形面积为12|2a －1|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －1a －1＝12，即|2a －1|2＝|a －1|.则4a 2－4a ＋1＝1－a ，①或4a 2－4a ＋1＝a －1，② 由方程①解得a ＝0或a ＝34，方程②无解. 所以a ＝0或a ＝34.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
高考数学一轮复习 第2章 第10节 导数的概念及其运算课件 新人教A版
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第十节 导数的概念及其运算
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心
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考
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向
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[考情展望] 1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线 方程.2.考查导数的有关计算．
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一、导数的概念
1．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数： (1)定义：称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率
f′(x)＝_n_·_x_n_－_1_
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f′(x)＝_c_o_s_x___ f′(x)＝_－__s_in__x_
f(x)＝ax
f′(x)＝_a_x_ln__a__ (a＞0)
f(x)＝ex
f′(x)＝__e_x__
f(x)＝logax f(x)＝ln x
1 f′(x)＝_x_l_n__a___
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导数的运算法则特例及推广 (1)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，其中 a，b 为常数． (2)f1x′＝－f[′ fxx]2(f(x)≠0)． (3)导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有 限 个 可 导 函 数 的 情 形 ， 即 [u(x)±v(x)±…±ω(x)] ＝ u′(x)±v′(x)±…±ω′(x)．
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔxy＝
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(2)几何意义：函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是
【2021新高考数学】导数的概念及计算导数的概念及计算(含答案)
等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0)
f(x)＝ln x
f(x)＝logax (a＞0，a≠1)
三.导数的运算法则 若 f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f′(x)＝ex f′(x)＝axlna
f′(x)＝1 x
f′(x)＝ 1 xln a
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f（x） (3) g（x） ′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）(g(x)≠0).
[g（x）]2
四.复合函数的导数
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′.
【举一反三】
1．下列求导运算正确的是（ ）
A．㺀 ʒ산 ᙰ ʒ ʒ
B．㺀 ʒ산 ᙰ ʒ（其中 e 为自然对数的底数）
C．㺀ʒ ͳ ʒ 산 ᙰ ʒ ͳ ʒ 【答案】B
D．㺀
ʒ cosʒ
산
ᙰ
cosʒ ʒsinʒ cos ʒ
【解析】分析：运算导数的加减乘除的运算法则进行计算．
详解：㺀 ʒ산 ᙰ ʒln ，㺀 ʒ산 ᙰ 㺀 ʒ산 ᙰ
ᙰ
；②若
ʒ
ᙰ
ʒ，则
ᙰ
⚪㺀ʒ산 ᙰ ʒ，则 ⚪ 㺀 산 ᙰ ，其中正确的个数是________________．
ʒ；③若 ᙰ ʒ ，则 ᙰ
全国近年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第10讲导数的概念及运算学案(2021年整理)
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第10讲导数的概念及运算板块一知识梳理·自主学习[必备知识］考点1 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数1．定义称函数y＝f（x)在x＝x0处的瞬时变化率,错误!错误!＝错误!错误!为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0）或y′｜ x＝x0即f′(x0)＝错误!错误!＝错误!错误!.2．几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x）上点(x0，f(x0）)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s（t)对时间t的导数)．相应地,切线方程为y－f(x0)＝f′(x）(x－x0)．考点2 基本初等函数的导数公式考点3 导数的运算法则若y＝f(x),y＝g（x)的导数存在，则（1）［f（x)±g(x）]′＝f′（x)±g′(x);(2)[f（x）·g（x)]′＝f′（x)g(x）＋f(x）g′(x）；（3)错误!′＝错误!(g(x)≠0）．［必会结论]1．f′(x0）与x0的值有关，不同的x0,其导数值一般也不同．2．f′（x0）不一定为0，但[f(x0)]′一定为0。
3．奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数．4．函数y＝f(x）的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)｜反映了变化的快慢，｜f′(x）|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．[考点自测］1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）f′(x0)与［f(x0)］′表示的意义相同．（)（2）f′（x0）是导函数f′（x）在x＝x0处的函数值．( )(3）错误!′＝cos错误!.( ）（4)若（ln x）′＝错误!，则错误!′＝ln x．（）答案（1)×(2)√（3)×(4）×2．[课本改编］f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′（－1)＝4，则a的值等于( )A。
新高考数学一轮复习课件 导数的概念及其意义、导数的运算
01
走进教材·夯实基础
梳理·必备知识 激活·基本技能
第一节 导数的概念及其意义、导数的运算
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
1．导数的概念 (1)如果当 Δx→0 时，平均变化率ΔΔyx无限趋近于一个确定的值， 即ΔΔyx有极根，则称 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，并把这个确定的值叫做 y ＝f(x)在 x＝x0 处的导数(也称为瞬时变化率 )，记作f ′(x0) 或_y_′_|x_＝_x_0 _， 即 f ′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0.
的实际背景.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.了解利用导数定义，求基本初等函数的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简
单函数的导数.
5.能求简单的复合函数(形如 f(ax＋b))的导数．
第一节 导数的概念及其意义、导数的运算
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
他在 0.5 秒时的瞬时速度为( )
A．9.1 米/秒
B．6.75 米/秒
C．3.1 米/秒
D．2.75 米/秒
C [h ′(t)＝－9.8t＋8，
∴h ′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.]
第一节 导数的概念及其意义、导数的运算
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
2.已知函数 f(x)的图象如图，f ′(x)是 f(x)的导函数，则下列数值排
第一节 导数的概念及其意义、导数的运算
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第10讲导数的概念及运算[考纲解读] 1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义．2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测2021年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.1．变化率与导数(1)平均变化率概念对于函数y＝f(x)，□01f(x2)－f(x1)x2－x1＝ΔyΔx叫做函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率几何意义函数y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的□02斜率物理意义若函数y＝f(x)表示变速运动的质点的运动方程，则ΔyΔx就是该质点在[x1，x2]上的□03平均速度定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，称它为函数y＝f(x)在□04x＝x0处的导数，记为□05f′(x0)或y′|x＝x0，即□06f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是函数图象在该点处切线的□07斜率．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程是□08y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)物理意义函数y ＝f (x )表示变速运动的质点的运动方程，则函数在x ＝x 0处的导数就是质点在x ＝x 0时的□09瞬时速度 常用 导数 公式原函数导函数特例或推广常数函数 C ′＝0(C 为常数)—幂函数 (x α)′＝αx α－1(α∈Q *) ⎝⎛⎭⎫1x ′＝□01－1x2三角函数 (sin x )′＝□02cos x ， (cos x )′＝□03－sin x 偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数，周期函数的导数是周期函数指数函数 (a x )′＝□04a x ln_a (a >0，且a ≠1) (e x )′＝□05e x对数函数 (log a x )′＝□061x ln a(x >0，a >0，且a ≠1)(ln x )′＝□071x(x >0)四则 运算 法则加减[f (x )±g (x )]′＝ □08f _′(x )±g ′(x ) —乘法[f (x )·g (x )]′＝ f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )[cf (x )]′＝cf ′(x )除法⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝ f ′(x )g (x )－g ′(x )f (x )g 2(x )⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x )复合 函数 导数复合函数y ＝f [g (x )]的导数与函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数之间具有关系y ′x ＝□09y ′u ·u ′x ，这个关系用语言表达就是“y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积”1．概念辨析(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(3)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．( ) (4)函数f (x )＝sinπ的导数f ′(x )＝cosπ.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．小题热身(1)下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ·ln 2；③(e 1－x )′＝e 1－x ；④⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝x . A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 ①中，(3x )′＝3x ln 3，错误；②中，(log 2x )′＝1x ·ln 2，正确；③中，(e 1－x )′＝－e 1－x ，错误；④中，⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝0·ln x －1x (ln x )2＝－1x (ln x )2，错误，因此求导运算正确的个数为1. (2)有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B.174C.154D.134 答案 D解析 s ′＝⎝⎛⎭⎫t 2＋3t ′＝2t －3t 2，当t ＝2时，s ′＝2×2－322＝134，所以该机器人在t ＝2时的瞬时速度为134.(3)函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( ) A ．10 B ．5 C ．－1 D ．－37答案 D解析 ∵f (x )＝x 3＋4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4， ∴f ′(1)＝7，即切线的斜率为7， 又f (1)＝10，故切点坐标为(1,10)， ∴切线的方程为y －10＝7(x －1)，当y ＝0时，x ＝－37，切线在x 轴上的截距为－37.(4)已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a·e x图象的切线，则实数a ＝________.答案 e 2解析 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a ·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2.题型一 导数的运算1．(2019·华中师范大学第一附中模拟)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝x 3＋⎣⎡⎦⎤f ′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ，则f ′(1)＝________.答案 0解析 因为f (x )＝x 3＋⎣⎡⎦⎤f ′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ， 所以f ′(x )＝3x 2＋2⎣⎡⎦⎤f ′⎝⎛⎭⎫23x －1. 所以f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2⎣⎡⎦⎤f ′⎝⎛⎭⎫23×23－1. 解得f ′⎝⎛⎭⎫23＝－1.所以f ′(x )＝3x 2－2x －1，所以f ′(1)＝0. 2．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)； (2)y ＝x －sin2x cos2x ； (3)y ＝e x cos x ； (4)y ＝ln (2x ＋1)x.解 (1)因为y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1， 所以y ′＝18x 2＋4x －3.(2)因为y ＝x －sin2x cos2x ，所以y ＝x －12sin4x ，所以y ′＝1－12cos4x ×4＝1－2cos4x .(3)y ′＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′ ＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )． (4)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln (2x ＋1)x ′＝[ln (2x ＋1)]′x －x ′ln(2x ＋1)x 2＝(2x ＋1)′2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 2＝2x2x ＋1－ln (2x ＋1)x 2＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2.1.谨记一个原则先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导. 2.熟记求导函数的五种形式及解法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导，如举例说明2(1)；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．如举例说明2(2). 3.求复合函数的导数的一般步骤(1)确定复合关系．注意内层函数通常为一次函数.(2)由外向内逐层求导．如举例说明2(4)中对ln (2x ＋1)的求导.求下列函数的导数： (1)y ＝ln x ＋1x ；(2)y ＝sin xx ；(3)y ＝(x 2＋2x －1)e 2－x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x 2. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′＝(sin x )′x －sin x ·x ′x 2＝x cos x －sin x x 2. (3)y ′＝(x 2＋2x －1)′e 2－x ＋(x 2＋2x －1)(e 2－x )′＝(2x ＋2)e 2－x ＋(x 2＋2x －1)(－e 2－x )＝(3－x 2)e 2－x .题型二 导数的几何意义角度1 求切线方程1.过点(1，－2)且与y ＝x 3－3x 相切的直线方程为( ) A.y ＝－2或9x ＋4y －1＝0 B.y ＝－2 C.9x ＋4y ＋1＝0 D.y ＝0或9x ＋4y ＋1＝0 答案 A解析 y ′＝3x 2－3，设切点坐标为(x 0，x 30－3x 0)，此时在切点处的斜率为y ′x ＝x 0＝3x 2－3，所以切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，将点(1，－2)代入切线方程，整理得2x 30－3x 20＋1＝0，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12，分别代入切线方程可得y ＝－2或9x ＋4y －1＝0.2.(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________. 答案 y ＝3x解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3)，∴斜率k ＝e 0×3＝3，∴切线方程为y ＝3x .角度2 求切点坐标3.(2019·广州模拟)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A.(0,0) B ．(1，－1) C.(－1,1) D ．(1，－1)或(－1,1)答案 D解析 f ′(x )＝(x 3＋ax 2)′＝3x 2＋2ax ，由题意得f ′(x 0)＝－1，x 0＋f (x 0)＝0，所以⎩⎨⎧3x 20＋2ax 0＝－1， ①x 0＋x 30＋ax 20＝0， ②由①知x 0≠0，故②可化为1＋x 20＋ax 0＝0，所以ax 0＝－1－x 20，代入①得3x 20＋2(－1－x 20)＝－1，即x 20＝1，解得x 0＝±1.当x 0＝1时，a ＝－2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝－1；当x 0＝－1时，a ＝2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝1，所以点P 的坐标为(1，－1)或(－1，1).角度3 求参数的值(范围)4.(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A.a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C.a ＝e －1，b ＝1 D ．a ＝e －1，b ＝－1答案 D解析 y ′＝a e x ＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1，∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1.又∵切线方程为y ＝2x ＋b ，∴⎩⎨⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.故选D.5.若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ C.(0，＋∞) D ．[0，＋∞)答案 D解析 f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞).求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．如举例说明2.(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．如举例说明1，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)； ②根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎨⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程.1.若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝( ) A.e － 12 B ．2e － 12 C ．e 12 D ．2e 12 答案 B解析 依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，则a ＝2x 0＝2e － 12 ，故选B. 2.已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 3－ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(－1，－1)处的切线的斜率为________.答案 2解析 因为当x >0时，f (x )＝x 3－ln x ，所以当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3－ln (－x )，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝x 3＋ln (－x )，则f ′(x )＝3x 2＋1x ，所以f ′(－1)＝2，所以曲线y ＝f (x )在点(－1，－1)处的切线的斜率为2.3.已知直线l 为曲线y ＝a ＋ln xx 在点(1，a )处的切线，当直线l 与坐标轴围成的三角形面积为12时，实数a 的值为________.答案 0或34解析 因为y ′＝1－a －ln xx 2，所以切线l 的斜率为1－a ，则切线l 的方程为y －a ＝(1－a )(x －1)，令x ＝0得y ＝2a －1.令y ＝0得x ＝2a －1a －1.所以直线l 与坐标轴围成的三角形面积为12|2a －1|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －1a －1＝12，即|2a －1|2＝|a －1|. 则4a 2－4a ＋1＝1－a ，①或4a 2－4a ＋1＝a －1，② 由方程①解得a ＝0或a ＝34，方程②无解.所以a ＝0或a ＝34.。