2018_2019学年高中数学第2章圆锥曲线与方程章末复习课学案苏教版选修2_1
[推荐学习]2018_2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质二学案苏教版选修2
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2.2.2 椭圆的几何性质(二)学习目标 1.巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的问题．知识点一 点与椭圆的位置关系已知点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．(1)当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b 2>1；(2)当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b2<1.知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？答案 有三种位置关系，分别是相交、相切、相离．思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系？答案 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程，则梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法：将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离． (2)根与系数的关系及弦长公式：设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长．AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中x 1＋x 2与x 1x 2均可由根与系数的关系得到．1．直线与椭圆有且只有一个公共点时，直线与椭圆相切．(√) 2．直线x 2－y ＝1被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长为 5.(√)3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与点P (b,0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．(×)4．直线y ＝k (x －a )与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的位置关系是相交．(√)类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1 点与椭圆位置关系的判断例1 已知点P (k,1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点P 在椭圆外，则实数k 的取值范围为____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－332∪⎝ ⎛⎭⎪⎫332，＋∞解析 依题意得，k 29＋14>1， 解得k <－332或k >332.引申探究若将本例中P 点坐标改为“P (1，k )”呢？ 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－423∪⎝ ⎛⎭⎪⎫423，＋∞解析 依题意得，19＋k 24>1，解得k 2>329，即k <－423或k >423.反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．跟踪训练1 已知点(1,2)在椭圆y 2n ＋x 2m＝1(n >m >0)上，则m ＋n 的最小值为________．答案 9解析 依题意得，1m ＋4n＝1，而m ＋n ＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n＝1＋4m n ＋nm ＋4＝5＋4m n＋n m≥5＋24m n ·nm＝9，(当且仅当n ＝2m 时等号成立) 故m ＋n 的最小值为9.命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断例2 对不同的实数m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64m 2－4×5×(4m 2－4)＝16×(5－m 2)． 当－5＜m ＜5时，Δ＞0，直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切； 当m ＜－5或m ＞5时，Δ＜0，直线与椭圆相离．反思与感悟 判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式Δ是解题关键．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22， 所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 类型二 弦长及中点问题例3 已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法 由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)． 将其代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1. 又M 为线段AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 经检验，当k ＝－12时，(*)式的判别式Δ＞0.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法二 点差法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2.∵M (2,1)为线段AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0， 于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－44×2＝－12， 即直线AB 的斜率k AB ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )，由于点M (2,1)为线段AB 的中点， 则另一个交点为B (4－x,2－y )．∵A ，B 两点都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16， ①(4－x )2＋4(2－y )2＝16.②①－②，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 引申探究在本例中求弦AB 的长．解 由上例得直线AB 方程为x ＋2y －4＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y24＝1，消去y 并整理，得x (x －4)＝0，得x ＝0或x ＝4，得两交点坐标A (0,2)，B (4,0)， 故AB ＝(0－4)2＋(2－0)2＝2 5.反思与感悟 直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式．而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程． 跟踪训练3 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程． 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310. (2)设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2336＋y 239＝1，x 2436＋y249＝1，两式相减得x 24－x 2336＋y 24－y 239＝0，整理得k AB ＝y 4－y 3x 4－x 3＝－9(x 4＋x 3)36(y 4＋y 3)，由于P (4,2)是AB 的中点， ∴x 3＋x 4＝8，y 3＋y 4＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2.所以当m ＝0时，AB 最大，此时直线方程为y ＝x . 反思与感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如PA ＋PB 的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时PA ＋PB 取得最值，即应用“化曲为直”的思想．(2)求解形如PA 的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．跟踪训练4 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，求|PM →|的最小值．解 由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动， ∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连结PA (如图)，则|PM →|＝|PA →|2－|AM →|2＝|PA →|2－1，∵由椭圆方程知a ＝5，c ＝3，∴当|PA →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________．答案 (－2，2)解析 由题意知a 24＋12<1，解得－2<a < 2.2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是________．答案 相离解析 把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1，得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离．3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________． 答案 27解析 由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a >2)，与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83·(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0，由Δ＝0，得a ＝7，所以椭圆的长轴长为27.4．若直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1恒有两个公共点，则b 的取值范围为________．答案 (－2,2)解析 ∵直线y ＝kx ＋b 恒过定点(0，b )，且直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1恒有两个公共点，∴点(0，b )在椭圆x 29＋y 24＝1内部，∴－2<b <2.5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且MN ＝423，求直线l 的方程．解 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k1＋2k2，x 1x 2＝0. 由MN ＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329，即(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k 22＝329，化简得k 4＋k 2－2＝0， 所以k 2＝1，所以k ＝±1.所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.1．直线与椭圆相交弦长的有关问题：(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2 ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线斜率)．(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 2．解决椭圆中点弦问题的三种方法：(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用点在曲线上，坐标满足方程，将点的坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y )， 则另一交点为B (2x 0－x,2y 0－y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，(2x 0－x )2a 2＋(2y 0－y )2b 2＝1，两式作差即得所求直线方程．特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错．一、填空题1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b ＝________. 答案 ±1解析 因为椭圆x 2＋y 210＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，所以b ＝1或－1.2．已知A 1，A 2，B 1，B 2，F 1，F 2是椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的左、右顶点，上、下顶点和左、右焦点，四边形A 1B 1A 2B 2的面积是四边形B 1F 2B 2F 1面积的2倍，则椭圆的离心率为________． 答案 12解析 依题意得，12×b ×2a ×2＝2×12×b ×2c ×2，即a ＝2c ，故离心率e ＝c a ＝12.3．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________． 答案 2解析 因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点， 所以|－4|m 2＋n2>2，所以m 2＋n 2<4，即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．4．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么F 1A ＋F 1B 的值为________．答案823解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，联立得3x 2－4x ＝0，可知A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，又F 1(－1,0)，∴F 1A ＋F 1B ＝2＋523＝823.5．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使PF 1·PF 2取最大值的点P 的坐标为________． 答案 (0,1)或(0，－1)解析 由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝4，∴PF 1·PF 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝4， 当且仅当PF 1＝PF 2＝2，即P (0，－1)或(0,1)时，取等号．6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为________．答案 ±22解析 根据椭圆的离心率为22，得c a ＝22. 设交点的纵坐标为y 0，由x 0＝b ，得y 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 2a 2＝b 2c 2a 2， ∴y 0＝±bca ，∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22. 7．已知椭圆：x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是________． 答案 3解析 由题意知a ＝2，所以BF 2＋AF 2＋AB ＝4a ＝8，因为BF 2＋AF 2的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3.8．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p 千米，远地点距地面q 千米，若地球半径为r 千米，则运行轨迹的短轴长为____________．答案 2(p ＋r )(q ＋r )解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋r ＝a －c ，q ＋r ＝a ＋c ， ∴b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝(q ＋r )(p ＋r )，∴2b ＝2(p ＋r )(q ＋r ).9．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是________． 答案 x ＋2y －3＝0解析 当所求直线的斜率不存在时不满足题意，故所求直线的斜率存在，设过点M (1,1)的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋1－k消去y ， 得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋2k 2－4k －2＝0，所以x 1＋x 22＝12×4k 2－4k 1＋2k 2＝1， 解得k ＝－12，所以所求直线方程为y ＝－12x ＋32， 即x ＋2y －3＝0.10．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．答案 6解析 由题意得，F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)， 则y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)， 因为OP →＝(x 0，y 0)，FP →＝(x 0＋1，y 0)所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2， 所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值6.11．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．答案 23或38解析 依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2. 由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k ， 所以21＋2k ＝1071＋4k 2， 化简得24k 2－25k ＋6＝0，由此解得k ＝23或k ＝38. 二、解答题12．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点． (1)求实数b 的取值范围；(2)当b ＝1时，求|AB →|.解 (1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1，消去y ， 整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.① 因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点， 所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2>0，解得－3<b < 3. 所以b 的取值范围是(－3，3)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43.相应地，y 1＝1，y 2＝－13. 所以|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝43 2. 13．设直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)相交于A ，B 两点，且l 过椭圆C 的右焦点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的左焦点，试求椭圆C 的方程．解 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)得c ＝a 2－(a 2－1)＝1，∴椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．又∵l 经过点F 2，∴m ＝－1，即直线l 的方程为y ＝x －1， 代入x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)得 (2a 2－1)x 2－2a 2x ＋2a 2－a 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝2a 2－a 42a －1. 又∵以AB 为直径的圆过点F 1，∴AF 1⊥BF 1.∴kAF 1·kBF 1＝－1，即y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1， ∴y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0.∵y 1＝x 1－1，y 2＝x 2－1，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，即x 1x 2＝－1，∴2a 2－a 42a 2－1＝－1， 解得a 2＝2± 3.又∵a 2>1，∴a 2＝2＋3，即a 2－1＝1＋ 3. 故所求椭圆的方程为x 22＋3＋y 21＋3＝1. 三、探究与拓展 14．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________．答案 13解析 设M (－c ，m )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c ，a ＝3c ，e ＝13. 15．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →⊥OQ →(O 为坐标原点)． (1)求证：1a 2＋1b2等于定值；(2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围． (1)证明 椭圆的方程可化为b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0，x ＋y －1＝0，消去y 得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0. 由Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)·a 2·(1－b 2)>0得a 2＋b 2>1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b 2. ∵OP →⊥OQ →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝0.∴2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，即2a 2(1－b 2)a 2＋b 2－2a 2a 2＋b2＋1＝0. ∴a 2＋b 2＝2a 2b 2，即1a 2＋1b 2＝2. ∴1a 2＋1b2等于定值． (2)解 ∵e ＝c a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－a 2e 2.又∵a 2＋b 2＝2a 2b 2，∴2－e 2＝2a 2(1－e 2)，即a 2＝2－e 22(1－e )＝12＋12(1－e ). ∵33≤e ≤22， ∴54≤a 2≤32，即52≤a ≤62， ∴5≤2a ≤6，即椭圆长轴长的取值范围是[5，6]．。
2018_2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学案苏教版选修2_12018
2.3.2 双曲线的几何性质学习目标 1.了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解 离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a ，b ，c ，e 间的关系．知识点一 双曲线的性质标准方程x 2 y 2 － ＝1 a 2 b 2 y2x 2－ ＝1a 2b 2(a >0，b >0)(a >0，b >0)图形范围 x ≥a 或 x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或 y ≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点性顶点顶点坐标：A 1(－a,0)，A 2(a,0) 顶点坐标：A 1(0，－a )，A 2(0，a )质b 渐近线 y ＝± xa a y ＝± x bc离心率e ＝ ，e ∈(1，＋∞)，其中 c ＝ aa 2＋b 2a ，b ，c 间的关系 c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)知识点二 等轴双曲线思考 求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点． (1)x 2－y 2＝1；(2)4x 2－4y 2＝1.答案 (1)的实半轴长为 1，虚半轴长为 1 1 1(2)的实半轴长为 ，虚半轴长为 . 2 2 它们的实半轴长与虚半轴长相等．梳理 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为 y ＝±x ，离心率为 2.x2 y2 y2 x21．双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(√)a2 b2 a2 b2x2 y2 y2 x22．双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(×)a2 b2 a2 b23．等轴双曲线的离心率为2.(√)4．离心率是2的双曲线为等轴双曲线．(√)类型一双曲线的几何性质例1求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．x2 y2解把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，m n由此可知，实半轴长a＝m，虚半轴长b＝n，c＝m＋n，焦点坐标为( m＋n，0)，(－m＋n，0)，c m＋n n离心率e＝＝＝1＋，a m m顶点坐标为(－m，0)，( m，0)，n mn所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.m m引申探究将本例改为“求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答．x2 y2解将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，9 4x2 y2即－＝1，32 22所以a＝3，b＝2，c＝13，因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－13，0)，( 13，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，c13 b 2离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.a 3 a 3反思与感悟由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．y2 x2解把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.42 32由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，c＝a2＋b2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)，c 5 4离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.a 4 3类型二由双曲线的几何性质确定标准方程例2求适合下列条件的双曲线标准方程：5(1)虚轴长为12，离心率为；43 (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；2(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．解(1)设双曲线的标准方程为x2 y2 y2 x2－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．a2 b2 a2 b2c 5由题意知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2，a 4∴b＝6，c＝10，a＝8.x2 y2 y2 x2∴所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.64 36 64 36b 3 9(2)当焦点在x轴上时，由＝且a＝3，得b＝，a 2 2x2 4y2∴所求双曲线的标准方程为－＝1.9 81a 3当焦点在y轴上时，由＝且a＝3，得b＝2.b 2y2 x2∴所求双曲线的标准方程为－＝1.9 4x2 x2(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k(k≠0)，将点(2，－2)代2 2入，得22k＝－(－2)2＝－2，2y2 x2∴双曲线的标准方程为－＝1.2 4反思与感悟由双曲线的性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，其步骤为(1)判断：利用条件判断焦点的位置．(2)设：设出双曲线的标准方程．(3)列：利用已知条件构造关于参数的方程．(4)求：解参数方程，进而得标准方程．y2 x2跟踪训练2(1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标4 3准方程；x2 y2 2 3(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原a2 b2 33点的距离为，求此双曲线的标准方程．2y2 x2解(1)设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．4 34 9∵点M(3，－2)在双曲线上，∴－＝λ，即λ＝－2.4 3x2 y2∴双曲线的标准方程为－＝1.6 82 3 c 2 3 a2＋b2 4(2)∵e＝，∴＝，∴＝，3 a 3 a2 3∴a2＝3b2.①又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，ab 3∴d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)．②a2＋b2 2解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.x2 ∴双曲线的标准方程为－y2＝1.3类型三双曲线的离心率x2 y2例3已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴a2 b2的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．考点双曲线的离心率与渐近线题点求双曲线的离心率c2 y2 解设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，a2 b2b2那么y＝±.a由PF2＝QF2，∠PF2Q＝90°，知PF1＝F1F2，b2所以＝2c，所以b2＝2ac，ac c所以c2－2ac－a2＝0，所以(a)2－2×－1＝0，a即e2－2e－1＝0，所以e＝1＋2或e＝1－2(舍去)．所以双曲线的离心率为1＋ 2.反思与感悟求双曲线离心率的三种方法c(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解．ab(a)2得解．(2)若已知a，b，可直接利用e＝1＋(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．x2 y2跟踪训练3设双曲线－＝1(b＞a＞0)的焦距为2c，直线l过点A(a,0)，B(0，b)，已a2 b23知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为________．4考点双曲线的离心率与渐近线题点求双曲线的离心率答案 2解析如图所示，在△OAB中，。
精品-苏教版2018_2019学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1圆锥曲线学案选修2_1
2.1 圆锥曲线学习目标：1.通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义．(重点、难点)2.通过用平面截圆锥面，感受、了解双曲线的定义．(难点)[自主预习·探新知]教材整理圆锥曲线阅读教材P27～P28例1以上内容，完成下列问题．圆、两条相交直线、1．用平面截圆锥面能得到的曲线图形是椭圆、抛物线．、双曲线2．设P为圆锥曲线上任意一点，常数为2a(a>0)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之和为10的动点的轨迹是椭圆．( )(2)在双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹不是双曲线．( )(3)在抛物线定义中，“F不在l上”可以省略．( )(4)在椭圆、双曲线、抛物线的定义中“平面内”这一条件都不能丢掉，否则动点的轨迹就是空间图形．( ) [解析] (1)×.因为|F1F2|＝10，所以动点轨迹是线段F1F2，不是椭圆，故不正确．(2)√.双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故正确．(3)×.抛物线定义中，“F不在l上”不能省略，因为F在l上时，轨迹是一条直线，故不正确．(4)√.圆锥曲线是平面图形，因此是正确的．[答案] (1)×(2)√(3)×(4)√[合作探究·攻重难]C的轨迹；(2)已知F1，F2为椭圆的两焦点，直线AB过点F1，交椭圆于A，B两点，若椭圆上任一点P满足PF1＋PF2＝5，求△ABF2的周长.【导学号：71392047】[精彩点拨](1)由△ABC的周长为16，AB＝6得CA＋CB＝10，根据椭圆的定义知，点C在椭圆上；(2)利用椭圆的定义，把△ABF2的周长分解为点A和点B到焦点的距离之和．[自主解答](1)由A(0，－3)，B(0,3)得AB＝6，又△ABC的周长为16，所以CA＋CB ＝16－6＝10＞6，由椭圆的定义可知，点C在以A、B为焦点的椭圆上，又因为A、B、C为三角形的顶点，所以A、B、C三点不共线，所以点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(除去与A、B所在同一直线的两个点)．(2)由椭圆的定义可知，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝PF1＋PF2＝5，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝5＋5＝10.1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a>0，a为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．[解析] 根据椭圆的定义，应填必要不充分．[答案] 必要不充分图形？(1)|(x＋5)2＋y2－(x－5)2＋y2|＝6；(2)(x＋4)2＋y2－(x－4)2＋y2＝6.[精彩点拨]把代数方程转化为几何问题解决，严格扣准双曲线的定义．[自主解答](1)∵|(x＋5)2＋y2－(x－5)2＋y2|表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线．(2)∵(x＋4)2＋y2－(x－4)2＋y2表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线的右支．2．已知A(0，－5)，B(0,5)，若|PA|－|PB|＝6，则P点的轨迹为________，若|PA|－|PB|＝10，则P点的轨迹为________.【导学号：71392048】[解析] ∵|PA|－|PB|＝6<10时，∴P的轨迹为双曲线的一支．又∵|PA|－|PB|＝10且|AB|＝10，∴P的轨迹为射线，是以B为端点向上的一条射线．[答案] 双曲线的一支一条射线M的轨迹．[精彩点拨]把条件式化为点M到点(1,2)与点M到直线3x＋4y＋1＝0的距离相等，利用抛物线的定义求解．[自主解答]选定直线l：3x＋4y＋1＝0，定点F(1,2)，则M到l的距离为d＝|3x＋4y＋1|，MF＝(x－1)2＋(y－2)2.由题意知d＝MF，且F∉l，由抛物线定义知，M的轨5迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．3．点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．[解析] 由题意可知，点P到F(4,0)的距离与到直线x＝－4的距离相等．根据抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线．[答案] 抛物线[1．已知F1(－2,0)，F2(2,0)，若PF1＋PF2＝6时，点P的轨迹是什么？若|PF1－PF2|＝2时，点P的轨迹是什么？【导学号：71392049】[提示]若PF1＋PF2＝6>4，则P的轨迹为椭圆；若|PF1－PF2|＝2<4，则P的轨迹为双曲线．理解椭圆关注几个词：“和”“定值”“大于焦距”；理解双曲线关注几个词：“差”“绝对值”“定值”“小于焦距”．2．抛物线的定义应注意什么？定点为F(2,0)，定直线为x＝－2时，动点P到F的距离与到直线x＝－2的距离相等，动点P的轨迹是什么？[提示]在抛物线定义中，要特别注意：①在平面内；②到定点距离等于到定直线距离；③定点不在定直线上．因为(2,0)不在直线x＝－2上，所以点P的轨迹为抛物线．已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和圆C2：(x－2)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹．[精彩点拨]根据M到C1，C2的距离的关系，扣住圆锥曲线的定义．[自主解答]由已知得，圆C1的圆心C1(－2,0)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2,0)，半径r2＝3.设动圆M的半径为r，因为动圆M与圆C1相外切，所以MC1＝r＋1.①又因为动圆M与圆C2相外切，所以MC2＝r＋3.②②－①得MC2－MC1＝2，且2<C1C2＝4.所以动圆圆心M的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．4．已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内有一定点B (3,0)，动圆M 过B 点且与圆A 内切，求证：圆心M 的轨迹是椭圆.【导学号：71392050】[证明] 设MB ＝r .∵圆M 与圆A 内切，圆A 的半径为10，∴两圆的圆心距MA ＝10－r ，即MA ＋MB ＝10(大于AB )，∴圆心M 的轨迹是以A ，B 两点为焦点的椭圆． [当 堂 达 标·固 双 基]1．已知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，动点P 满足PF 1＋PF 2＝6，则点P 的轨迹是________． [解析] ∵PF 1＋PF 2＝6＞F 1F 2，∴点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆． [答案] 以F 1，F 2为焦点的椭圆 2．已知抛物线上一点P 到焦点F 的距离为32，则点P 到抛物线准线的距离为________． [解析] 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离相等，故点P 到准线的距离为32. [答案] 323．以F 1，F 2为焦点作椭圆，椭圆上一点P 1到F 1，F 2的距离之和为10，椭圆上另一点P 2满足P 2F 1＝P 2F 2，则P 2F 1＝________. [解析] 由椭圆的定义可知P 2F 1＋P 2F 2＝10. 又∵P 2F 1＝P 2F 2，∴P 2F 1＝5. [答案] 5 4．已知M (－2,0)，N (2,0)，PM －PN ＝3，则动点P 的轨迹为________.【导学号：71392051】[解析] ∵MN ＝4，PM －PN ＝3<4，∴动点P 的轨迹为双曲线的右支．[答案] 双曲线的右支 5．动点P (x ，y )的坐标满足(x －5)2＋y2－(x ＋5)2＋y2＝4，试确定点P 的轨迹．[解](x －5)2＋y2的几何意义是点P 到定点A (5,0)的距离，(x ＋5)2＋y2的几何意义是点P 到定点B (－5，0)的距离，因此原式可化为PA －PB ＝4＜AB ＝10，故点P 的轨迹是以A，B为焦点靠近点B的双曲线的一支．。
2018-2019学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.6.1 曲线与方程讲义 苏教版选修2-1
1.下列命题正确的是___③_____． ①方程x－y 2＝1 表示斜率为 1，在 y 轴上截距为－2 的直线 的方程； ②△ABC 的三个顶点是 A(－3，0)，B(3，0)，C(0，3)，则 中线 CO(O 为坐标原点)的方程为 x＝0； ③方程 y＝ x2＋2x＋1表示两条射线．
解析：①中表示的直线中应除去点(2，0)；②中中线为一条 线段，而方程表示的是一条直线；③中化为y＝|x＋1|，当x≥ －1时；y＝x＋1；当x＜－1时，y＝－x－1，表示两条射线， ③正确．
[方法归纳] 求直线与圆锥曲线的交点时，注意利用一元二次方程根的判 别式、根与系数的关系来解决，在解题时应注意讨论二次项 系数为0和不为0的两种情况．
3.已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1的左支交于A，B两点 ，若另一条直线l过点P(－2，0)及线段AB的中点Q，求直线l 在y轴上的截距的取值范围．
[方法归纳] 判断点是否在曲线上，主要是验证该点的坐标是否是这个曲 线的方程的解．
2.方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0 的曲线经过点
A(0，－3)、B(0，4)、C(53，－74)、D(4，0)中的___1___个．
解析：由对数的真数大于 0，得 x＋2y>0， ∴A(0，－3)、C(53，－74)不符合要求； 将 B(0，4)代入方程检验，符合要求； 将 D(4，0)代入方程检验，不符合要求．
(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C 上的充要条件是__f_(x_0_，__y_0_)＝__0_____．
2.求两曲线的交点 (1)求两条曲线的交点，就是求方程组ff12（ （xx， ，yy） ）＝ ＝00的实数解． (2)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组 __没__有__实__数__解______，两条曲线就__没__有__公__共__点______． (3)根据方程组的解求直线被曲线截得的线段长： 若直线与曲线交于 A、B 两点，则
2018_2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.1曲线与方程学案苏教版选修2_120180829145
2.6.1 曲线与方程 学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点 曲线与方程的概念思考 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案 y ＝±x .在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M 的坐标(x 0，y 0)满足y 0＝x 0或y 0＝－x 0，即(x 0，y 0)是方程y ＝±x 的解；反之，如果(x 0，y 0)是方程y ＝x 或y ＝－x 的解，那么以(x 0，y 0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．梳理 如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解(条件①，即纯粹性)，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上(条件②，即完备性)，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C 的点集和方程f (x ，y )＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x ，y )建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．1．过点A (3,0)且垂直于x 轴的直线的方程为x ＝3.(√)2．到y 轴距离为2的点的直线方程x ＝－2.(×)3．方程＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线．(×)xy －2类型一 曲线与方程的概念例1 命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是________．(填序号)①方程f(x，y)＝0的曲线是C；②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C；③f(x，y)＝0是曲线C的方程；④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．答案 ②解析 不论方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以①，③，④错误．反思与感悟 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．跟踪训练1 设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，给出下列命题：①坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；②曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0；③坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0.其中判断正确的是________．(填序号)答案 ④解析 “坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故①③错，②显然错．类型二 点与曲线的位置关系例2 方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0表示的曲线经过点A(0，－3)，B(0,4)，(53，－74)C，D(8,0)中的________个．答案 2解析 由对数的真数大于0，得x＋2y＞0，∴A (0，－3)，C 不符合要求； (53，－74)将B (0,4)代入方程检验，符合要求；将D (8,0)代入方程检验，符合要求．反思与感悟 点与实数解建立了如下关系：C 上的点(x 0，y 0)??f (x ，y )＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可． 跟踪训练2 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x 2＋y 2＝25，并判断点M 1(3，－4)，M 2(－2，2)是否在这个圆上．5解 (1)设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于5，所以＝5，也x 20＋y 20就是x ＋y ＝25，即(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解．2020(2)设(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解，那么x ＋y ＝25，两边开方取算术平方根，得2020x 20＋y 20＝5，即点M (x 0，y 0)到原点的距离等于5，点M (x 0，y 0)是这个圆上的点．由(1)，(2)可知，x 2＋y 2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M 1(3，－4)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2(－2，2)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边不等，(－2，2)55不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上．类型三 曲线与方程关系的应用例3 判断下列结论的正误，并说明理由．(1)到x 轴距离为4的点的直线方程为y ＝－4；(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1；(3)△ABC 的顶点A (0，－3)，B (1,0)，C (－1,0)，D 为BC 的中点，则中线AD 的方程为x ＝0.解 (1)因到x 轴距离为4的点的直线方程还有一个y ＝4，即不具备完备性．所以结论错误．(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为|x |·|y |＝1，即xy ＝±1.所以所给问题不具备完备性．所以结论错误．(3)中线AD 是一条线段，而不是直线，应为x ＝0(－3≤y ≤0)，所以所给问题不具备纯粹性．所以结论错误．反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围． 解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－22＋. (a ＋12)12∴k ≤， 12∴k 的取值范围是. (－∞，12]1．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么下列说法正确的是________．(填序号)①曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0；②凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上；③不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0；④不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0.答案 ③2．已知方程＋＝1，下列所给的点在此方程表示的曲线上的为________．(填序号) 9(x －1)2y 24①(－2,0) ②(1,2) ③(4,0) ④(3,1)答案 ①③解析 将点(－2,0)和(4,0)代入方程后成立，而②，④代入后方程不成立，故只有①③符合题意．3．若点M 在方程x 2＋(y －1)2＝10所表示的曲线上，则实数m ＝________. (m 2，－m )答案 －或2 185解析 依题意得2＋(－m －1)2＝10， (m 2)解得m ＝2或m ＝－. 185所以m 的值为2或－. 1854．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形为________．答案 两条相交直线解析 原方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0，∴原方程表示直线2x －y ＝0和直线2x ＋y ＋3＝0.5．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．答案 4个点解析 由题意，得Error!∴Error!或Error!或Error!或Error!∴方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是4个点．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．一、填空题1．方程y＝3x－2 (x≥1)表示的曲线为________．(填序号)①一条直线②一条射线③一条线段④不能确定答案 ②解析 方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线．2．曲线C的方程为y＝2x－1(1<x<5)，则下列四个点中在曲线C上的是________．(填序号) ① (0,0) ②(7,15) ③(2,3) ④(4,4)答案 ③解析 由y＝2x－1(1<x<5)得①，②的横坐标不满足题意，④中坐标代入后不满足方程，故只有③符合题意．3．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线所围成的平面图形的面积为________．答案 2解析 由题得该曲线所围成平面图形如下图所示，故其面积为2.4．下列方程对应的曲线是同一条曲线的是________．(填序号)x23x3①y＝a log a x；②y＝；③y＝log a a x；④y＝.答案 ③④3x3解析 由y＝log a a x＝x，y＝＝x，得③④表示同一条曲线．y－25．方程(x－1)2＋＝0表示的是____________．答案 点(1,2)。
2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课学案苏教版
第二章 圆锥曲线与方程学习目标 1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．知识点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质1．椭圆的焦点三角形设P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点(不在x 轴上)，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝α，则△PF 1F 2为焦点三角形(如图)．(1)焦点三角形的面积为S ＝b 2tan α2.(2)焦点三角形的周长为L ＝2a ＋2c . 2．双曲线的焦点三角形 焦点三角形的面积为S ＝b 2tanα2.知识点三 求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． 1．定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．2．定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．3．定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．知识点四 离心率1．定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．2．方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．3．几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．知识点五 直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．2．直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．类型一 圆锥曲线的定义及应用例1 设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的左，右两个焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．反思与感悟 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．跟踪训练1 已知椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n－y 2＝1(n >0)有相同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是____________．类型二 圆锥曲线的性质及其应用例2 (1)已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线的斜率为______________． (2)已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．反思与感悟 有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．跟踪训练2 已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是____________________________________．类型三 直线与圆锥曲线的位置关系例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的点P 到左，右两焦点F 1，F 2的距离之和为22，离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若y 轴上一点M (0，37)满足MA ＝MB ，求直线l 的斜率k 的值．反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法： (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．跟踪训练3 如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B ，且AB →与n ＝(2，－1)共线．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．1．已知F 1、F 2是椭圆x 2k ＋2＋y 2k ＋1＝1的左、右焦点，弦AB 过F 1，若△ABF 2的周长为8，则椭圆的离心率为________．2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为__________．3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程为____________．4．若抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离的和是5，则线段AB 的中点P 到y 轴的距离是________．5．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，“设而不求”思想，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的繁杂、琐碎问题．提醒：完成作业 第2章 章末复习课答案精析题型探究 例12跟踪训练1 直角三角形 例2 (1)±22(2) 6 跟踪训练2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 例3 解 (1)由题意知，PF 1＋PF 2＝2a ＝22，所以a ＝ 2. 又因为e ＝ca ＝22， 所以c ＝22×2＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝2－1＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)已知椭圆的右焦点为F 2(1,0)，直线斜率显然存在， 设直线的方程为y ＝k (x －1)，两交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立直线与椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 22＋y 2＝1，化简得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k2. 所以AB 的中点坐标为(2k 21＋2k 2，－k1＋2k2)．①当k ≠0时，AB 的中垂线方程为y －－k 1＋2k 2＝－1k (x －2k21＋2k 2)，因为MA ＝MB ，所以点M 在AB 的中垂线上， 将点M 的坐标代入直线方程，得 37＋k 1＋2k 2＝2k 1＋2k 2， 即23k 2－7k ＋3＝0， 解得k ＝3或k ＝36； ②当k ＝0时，AB 的中垂线方程为x ＝0，满足题意． 所以斜率k 的取值为0，3或36. 跟踪训练3 解 (1)因为2c ＝2， 所以c ＝1.又AB →＝(－a ，b )，且AB →∥n ， 所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1， 所以b 2＝1，a 2＝2.所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1.Δ＝16k 2－8m 2＋8>0， 即m 2<2k 2＋1.(*)因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部， 所以OP →·OQ →<0， 即x 1x 2＋y 1y 2<0.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1. 由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1<0， 得m 2<23k 2＋23.依题意且满足(*)得，m 2<23，故实数m 的取值范围是(－63，63)． 当堂训练1.122.x 216＋y 212＝13.x 2－y 23＝1 4．2 5.3x ＋4y －13＝0。
2018版高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1圆锥曲线学案苏教版选修2-1
2.1 圆锥曲线[学习目标] 1.了解圆锥曲线的实际背景.2.经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程.3.掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形.4.了解双曲线的定义和几何图形．知识点一椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．思考1．若动点M到两个定点F1、F2距离之和满足MF1＋MF2＝F1F2，则动点M轨迹是椭圆吗？答案不是，是线段F1F2.2．若动点M到两个定点F1、F2距离之差满足MF1－MF2＝2a(2a＜F1F2)，则动点M轨迹是什么？答案是双曲线一支．题型一椭圆定义的应用例1 在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin B，sin A，sin C成等差数列．(1)顶点A的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．解(1)由sin B，sin A，sin C成等差数列，得sin B＋sin C＝2sin A．由正弦定理可得AB＋AC ＝2BC.又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为B、C，焦距为10.反思与感悟本题求解的关键是把已知条件转化为三角形边的关系，找到点A满足的条件．注意A、B、C三点要构成三角形，轨迹要除去两点．跟踪训练1 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，动圆M过B点且与圆A 内切，求证：圆心M的轨迹是椭圆．证明 设MB ＝r .∵圆M 与圆A 内切，圆A 的半径为10，∴两圆的圆心距MA ＝10－r ，即MA ＋MB ＝10(大于AB )．∴圆心M 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆．题型二 双曲线定义的应用例2 已知圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －2)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹．解 由已知得，圆C 1的圆心C 1(－2,0)，半径r 1＝1，圆C 2的圆心C 2(2,0)，半径r 2＝3.设动圆M 的半径为r .因为动圆M 与圆C 1相外切，所以MC 1＝r ＋1.①又因为动圆M 与圆C 2相外切，所以MC 2＝r ＋3.②②－①得MC 2－MC 1＝2，且2<C 1C 2＝4.所以动圆圆心M 的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．反思与感悟 设动圆半径为r ，利用动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切得两个等式，相减后消去r ，得到点M 的关系式．注意到MC 2－MC 1＝2中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又圆C 1与圆C 2相切于点(－1,0)，所以M 的轨迹不过(－1,0)．跟踪训练2 在△ABC 中，BC 固定，顶点A 移动．设BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝12sin A ，则顶点A 的轨迹是什么？解 因为|sin C －sin B |＝12sin A ，由正弦定理可得|AB －AC |＝12BC ＝12m ，且12m <BC ， 所以点A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与BC 的两交点)．题型三 抛物线定义的应用例3 已知动点M 的坐标(x ，y )满足方程2(x －1)2＋2(y －1)2＝(x ＋y ＋6)2，试确定动点M 的轨迹．解 方程可变形为x －12＋y －12|x ＋y ＋6|2＝1， ∵x －12＋y －12表示点M 到点(1,1)的距离，|x ＋y ＋6|2表示点M 到直线x ＋y ＋6＝0的距离， 又由x －12＋y －12|x ＋y ＋6|2＝1知点M 到定点(1,1)的距离等于点M 到直线x ＋y ＋6＝0的距离．由抛物线的定义知点M的轨迹是抛物线．反思与感悟若将方程两边展开整理，然后通过方程的特点来判断，将很难得到结果，而利用方程中表达式的几何意义，再由抛物线定义，问题就变得非常简单．跟踪训练3 点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．答案抛物线解析将直线l：x＝－6向右平移2个单位，得直线l′：x＝－4.依题意知，点P到F(4,0)的距离等于点P到l′：x＝－4的距离，可见点P的轨迹是抛物线．1．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件PF1＋PF2＝a(a>0)，则动点P的轨迹是__________________．答案椭圆或线段或不存在解析当a＜6时，轨迹不存在；当a＝6时，轨迹为线段；当a＞6时，轨迹为椭圆．2．已知△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A、B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支．3．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是________________．答案以O、A为焦点的椭圆解析∵QA＝QP，∴QO＋QA＝r＞OA.∴点Q的轨迹是以O、A为焦点的椭圆．4．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小于1，则点P的轨迹为________．答案抛物线解析依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．5．到定直线x＝－2的距离比到定点(1,0)的距离大1的点的轨迹是________________．答案抛物线解析到定点(1,0)和定直线x＝－1的距离相等，所以点的轨迹是以(1,0)为焦点的抛物线．1.一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面不经过顶点与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆．改变平面的位置，观察截得的图形变化情况，可得到三种重要的曲线，即椭圆、双曲线和抛物线，统称为圆锥曲线．2．椭圆定义中，常数>F1F2不可忽视，若常数<F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是线段F1F2.3．双曲线定义中，若常数>F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线．4．抛物线定义中F∉l，若F∈l，则点的轨迹是经过点F且垂直于l的直线．。
2018-2019学年高二数学讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2(一)
2.2.2 椭圆的几何性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考 观察椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案 (1)范围：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； (2)对称性：椭圆关于x 轴、y 轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )． 梳理 椭圆的几何性质知识点二 椭圆的离心率 思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？答案 用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁． 梳理 (1)焦距与长轴长的比ca 称为椭圆的离心率．记为：e ＝ca.(2)对于x 2a 2＋y 2b 2＝1，b 越小，对应的椭圆越扁，反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b越接近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图)1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长是a .(×)2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(×)3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(×)4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，M 为其上任一点，则MF 的最大值为a ＋c .(c为椭圆的半焦距)(√)类型一 由椭圆方程研究其几何性质例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)． 引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x 2＋16y 2＝1”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解 由已知得椭圆标准方程为x 219＋y 2116＝1，于是a ＝13，b ＝14，c ＝19－116＝712. ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝74.焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－712，0和⎝⎛⎭⎫712，0， 顶点坐标为⎝⎛⎭⎫±13，0，⎝⎛⎭⎫0，±14. 反思与感悟 解决由椭圆方程研究其几何性质的问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1 求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，焦点坐标为(0,62)，(0，－62)，顶点坐标为(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)． 离心率e ＝c a ＝223.类型二 椭圆几何性质的简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e ＝23，短轴长为8 5.解 (1)由题意知，2c ＝8，∴c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48， ∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由e ＝c a ＝23得c ＝23a ，又2b ＝85，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝144，b 2＝80， 所以椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或x 280＋y 2144＝1.反思与感悟 依据椭圆的几何性质求标准方程问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置． 跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为12. 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆方程为x 213＋y 252＝1.故所求椭圆的方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，2c ＝12，∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1.命题角度2 最值问题例3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程． 解 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵b a＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12，∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.设椭圆上点M (x ，y )到点P ⎝⎛⎭⎫0，32的距离为d ， 则d 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝4b 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＋y 2－3y ＋94＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3， 令f (y )＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3. 当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝4b 2＋3＝7， 解得b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.当－12<－b ，即0<b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7， 解得b ＝－32±7，与0＜b ＜12矛盾．综上所述，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.反思与感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．跟踪训练3 已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 2＝22－2y 20＋y 2＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1， ∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2. 类型三 求椭圆的离心率例4 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a ，b ，c . 则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，23b ， 且△MF 1F 2为直角三角形．在Rt △MF 1F 2中，F 1F 22＋MF 22＝MF 21，即4c 2＋49b 2＝MF 21.而MF 1＋MF 2＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.反思与感悟 求椭圆离心率的方法(1)直接求出a 和c ，再求e ＝ca，也可利用e ＝1－b 2a2求解． (2)若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成ca 的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e 的方程，进而求解．跟踪训练4 已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A (5,0)，求椭圆C 的离心率． 解 若焦点在x 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，∴c ＝a 2－b 2＝52－12＝26，∴e ＝c a ＝265；若焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，∴c ＝a 2－b 2＝252－52＝106， ∴e ＝c a ＝10625＝265.故椭圆C 的离心率为265.1．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为________． 答案33解析 由2x 2＋3y 2＝m (m >0)，得x 2m 2＋y 2m 3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m 6，∴e 2＝13，又∵0＜e ＜1，∴e ＝33.2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是________． 答案 x 2＋y 26＝1解析 由已知得c ＝5，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 又椭圆的焦点在y 轴上， 故椭圆的标准方程为y 26＋x 2＝1.3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 答案 35解析 由题意有，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ， 又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0，又∵0＜e ＜1，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．4．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．答案 32解析 ∵焦点在y 轴上，∴0<m <2， ∴a ＝2，b ＝m ，∴c ＝2－m ，又e ＝c a ＝12，∴2－m 2＝12，解得m ＝32. 5．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 答案 [4－23，4＋23]解析 因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置． 2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状． 3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x 轴上、y 轴上进行讨论．4．与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有相同焦点的椭圆可设为x 2a 2＋m ＋y 2b 2＋m＝1.一、填空题1．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是________． 答案 14,4，357解析 先将椭圆方程化为标准形式，得x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝3 5.2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为________． 答案 x 236＋y 216＝1解析 依题意得c ＝25，a ＋b ＝10， 又a 2＝b 2＋c 2从而解得a ＝6，b ＝4.3．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为________． 答案5－12解析 依题意得，4b 2＝4ac ，∴b 2a 2＝ca ，即1－e 2＝e .∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝5－12(舍去负值)．4．已知椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，F 1F 2＝2，离心率e ＝12，则椭圆的标准方程为________________． 答案 x 24＋y 23＝1解析 因为F 1F 2＝2，离心率e ＝12，所以c ＝1，a ＝2，所以b 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.5．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是________． 答案 x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝1解析 若焦点在x 轴上，则a ＝2. 又e ＝32，∴c ＝ 3.∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴方程为x 24＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝2.又e ＝32，∴b 2a 2＝1－34＝14，∴a 2＝4b 2＝16，∴方程为x 24＋y 216＝1.6．椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则点P的纵坐标是________． 答案 ±32解析 设椭圆的右焦点为F 2，由题意知PF 2⊥x 轴， 因为a 2＝12，b 2＝3，所以c 2＝a 2－b 2＝9，c ＝3. 所以点P 和点F 2的横坐标都为3. 故将x ＝3代入椭圆方程，可得y ＝±32.7．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是________． 答案2mm解析 椭圆方程可化简为x 211＋m ＋y 21m＝1，由题意知m >0，∴11＋m <1m，∴a ＝m m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2m m. 8．已知椭圆C 的上，下顶点分别为B 1，B 2，左，右焦点分别为F 1，F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则此椭圆的离心率e ＝________. 答案 22解析 因为四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，所以b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22. 9．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________．答案 x 25＋y 24＝1 解析 ∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线．∴椭圆的右焦点为A (1,0)，即c ＝1.设P ⎝⎛⎭⎫1，12，则k OP ＝12，∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0,2)．∴b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. 10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．考点 椭圆的离心率问题题点 求a ，b ，c 得离心率 答案 33解析 由题意可设PF 2＝m ，结合条件可知PF 1＝2m ，F 1F 2＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a＝F 1F 2PF 1＋PF 2＝3m 2m ＋m ＝33. 11．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．答案 34解析 设直线x ＝3a 2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°， 在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝3a 2－c ， 故cos60°＝F 2M PF 2＝3a 2－c 2c ＝12， 解得c a ＝34，故离心率e ＝34.二、解答题12．已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10， 短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35. (2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)，焦点坐标(0,6)，(0，－6)；④离心率：e ＝35. 13．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)．由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)． 如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且OF ＝c ，A 1A 2＝2b ， ∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1. 三、探究与拓展14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过点E ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0的直线与椭圆相交于点A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，F 1A ＝2F 2B ，则椭圆的离心率为________． 答案 33解析 由F 1A ∥F 2B ，F 1A ＝2F 2B ，得EF 2EF 1＝F 2B F 1A ＝12， 从而a 2c －c a 2c ＋c ＝12，整理得a 2＝3c 2.故离心率e ＝c a ＝33. 15．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围． 解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.①MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3. ∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32. ∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1)．。
2018-2019学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程讲义 苏教版选修2-1
解得
k－2≠5－k，
2<k<5
且
k≠72，
所以 2<k<5 且 k≠72⇒ 2<k<5. 而 2<k<5 推不出 2<k<5 且 k≠72. 所以，“2<k<5”是“方程k－x22＋5－y2 k＝1”表示椭圆的必要不
充分条件．
b2＝659
若椭圆的焦点在 y 轴上，设它的标准方程为ya22＋bx22＝
1(a>b>0)，
由条件知
a32＋b92＝1 ，解得：
a92＋b42＝1
a2＝659 ，
b2＝223
此时，椭圆的标准方程为6y92 ＋2x32＝1；
52
综上，椭圆的标准方程为6y92 ＋2x32＝1. 52
法二：由题意，可设椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，
设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，则 2a＝16，2c＝8.
∴a2＝64，c2＝16，b2＝a2－c2＝48， ∴动圆圆心的轨迹方程为6x42＋4y82 ＝1.
[方法归纳] 通过分析平面图形，利用平面几何知识，得到符合椭圆定义 的几何条件，从而判断点的轨迹是椭圆，再由待定系数法求 出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．
第2章 圆锥曲线与方程
2．2 椭 圆 2．2.1 椭圆的标准方程
第2章 圆锥曲线与方程
学习导航
学习 目标
1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭 圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程．(难点) 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．(重点、 难点)
学法 指导
通过椭圆标准方程的推导过程，培养分析探索能力， 熟练掌握解决解析几何问题的方法——坐标法．通 过对椭圆问题的探究，掌握数形结合、转化等数学 思想.
2018_2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆的标准方程学案苏教版选修2_1
2.2.1 椭圆的标准方程学习目标 1.理解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的标准方程及其所对应的几何图形．知识点 椭圆的标准方程思考 在椭圆的标准方程中a >b >c 一定成立吗？答案 不一定，只需a >b ，a >c 即可，b ，c 的大小关系不确定． 梳理 (1)椭圆标准方程的两种形式(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为y 25＋x 24＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0,1)，焦距F 1F 2＝2.1．椭圆的标准方程只与a ，b 的大小有关．(×)2．椭圆的标准方程中，有三个基本量，即a ，b ，c 且a 2＝b 2＋c 2.(√)类型一 求椭圆的标准方程命题角度1 用待定系数法求椭圆的标准方程例1 求焦点在坐标轴上，且经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12的椭圆的标准方程． 解 方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝14.由a >b >0知不合题意，故舍去．②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122a 2＋0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．则⎩⎪⎨⎪⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1， 故椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.引申探究求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程．解 据题可设其方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1(λ>－9)，又椭圆过点(3，15)，将此点代入椭圆方程，得 λ＝11(λ＝－21舍去)， 故所求的椭圆方程为x 236＋y 220＝1.反思与感悟 1.若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m >0，n >0)．2．与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(a >b >0，λ>－b 2)，与椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为y 2a 2＋λ＋x 2b 2＋λ＝1(a >b >0，λ>－b 2)．跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；(3)椭圆的焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)．解 (1)设其标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意得，2a ＝10，c ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，则⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，25A ＋B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝391，B ＝1691.故所求椭圆的标准方程为x 2913＋y 29116＝1. (3)设椭圆的标准方程为x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. 命题角度2 用定义法求椭圆的标准方程例2 已知一动圆M 与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程．解 依题意得C 1(－3,0)，r 1＝1，C 2(3,0)，r 2＝9， 设M (x ，y )，动圆的半径为R ， 则MC 1＝1＋R ，MC 2＝9－R ， 故MC 1＋MC 2＝10>6＝C 1C 2，据椭圆定义知，点M 的轨迹是一个以C 1，C 2为焦点的椭圆，且a ＝5，c ＝3，故b 2＝a 2－c 2＝16.故所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.反思与感悟 用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a ，b 的值．跟踪训练2 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过点P 作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程． 解 设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 不妨取PF 1＝453，PF 2＝253，由椭圆的定义，知2a ＝PF 1＋PF 2＝2 5. 即a ＝ 5.由PF 1>PF 2知，PF 2垂直于焦点所在的坐标轴． 在Rt △PF 2F 1中，4c 2＝PF 21－PF 22＝609，∴c 2＝53，∴b 2＝a 2－c 2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上， 故所求的椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y25＝1.类型二 椭圆中焦点三角形问题例3 已知P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．解 由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1，∴F 1F 2＝2.又由椭圆的定义，知PF 1＋PF 2＝2a ＝2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos ∠F 1PF 2， 即4＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2－2PF 1·PF 2cos30°， 即4＝20－(2＋3)PF 1·PF 2， ∴PF 1·PF 2＝16(2－3)． ∴12F PF S＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2 ＝12×16(2－3)×12＝8－4 3. 反思与感悟 1.在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形．这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数．2．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义MF 1＋MF 2＝2a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．跟踪训练3 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝α，点P 的坐标为(x 0，y 0)，求证：△PF 1F 2的面积12PF F S＝b 2tan α2.证明 在△PF 1F 2中，根据椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝2a . 两边平方，得PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4a 2.①根据余弦定理，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos α＝4c 2.② ①－②，得(1＋cos α)PF 1·PF 2＝2b 2， 所以PF 1·PF 2＝2b21＋cos α.根据三角形的面积公式，得12PF F S＝12PF 1·PF 2sin α＝12·2b 21＋cos α·sin α＝b 2·sin α1＋cos α. 又因为sin α1＋cos α＝2sin α2cos α22cos 2α2＝sinα2cosα2＝tan α2，所以12PF F S＝b 2tan α2. 类型三 求与椭圆有关的轨迹方程例4 已知B ，C 是两个定点，BC ＝8，且△ABC 的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解 以BC 的中点O 为坐标原点，过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示．由BC ＝8可知点B (－4,0)，C (4,0)． 由AB ＋AC ＋BC ＝18得AB ＋AC ＝10>8＝BC ，因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上． 由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．反思与感悟 求动点的轨迹方程常用的方法(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接求解．(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程．(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程．跟踪训练4 如图，设定点A (6,2)，P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的动点，求线段AP 中点M 的轨迹方程．考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程 解 设M (x ，y )，P (x 1，y 1)． ∵M 为线段AP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －6，y 1＝2y －2，又∵x 2125＋y 219＝1， ∴点M 的轨迹方程为(x －3)225＋(y －1)29＝14.1．椭圆8x 2＋3y 2＝24的焦点坐标为________________． 答案 (0，－5)，(0，5)解析 椭圆方程可化为y 28＋x 23＝1，它的焦点位于y 轴上，且c ＝5， 故两焦点坐标分别为(0，－5)，(0，5)．2．已知椭圆x 220＋y 2k＝1的焦距为6，则k 的值为________．答案 11或29解析 当焦点在x 轴上时，20－k ＝32，解得k ＝11；当焦点在y 轴上时，解得k －20＝32，即k ＝29.3．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是________三角形． 答案 直角解析 根据椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝8. 又PF 1－PF 2＝2，所以PF 1＝5，PF 2＝3.而F 1F 2＝4，所以F 1F 22＋PF 22＝PF 21， 所以△PF 1F 2是直角三角形．4．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件． 答案 充要解析 方程可化为x 21m＋y 21n＝1.若m >n >0，则0<1m <1n，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆．若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0.5．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，则PF 1·PF 2＝________. 答案 48解析 依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，F 1F 2＝2c ＝10.由于PF 1⊥PF 2，所以由勾股定理得PF 21＋PF 22＝F 1F 22， 即PF 21＋PF 22＝100.又由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝14， ∴(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝100，即196－2PF 1·PF 2＝100.解得PF 1·PF 2＝48.1．椭圆的定义式：PF 1＋PF 2＝2a (2a >F 1F 2)．在解题过程中将PF 1＋PF 2看成一个整体，可简化运算．2．椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”、“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．3．凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义MF 1＋MF 2＝2a (M 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M (x 0，y 0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算．1．椭圆x 2m ＋y 215＝1的焦距等于2，则m 的值为________．答案 16或14解析 由m －15＝±1得m ＝16或14.2．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为________． 答案 1解析 原方程可化简为x 2＋y 25k＝1，因为c 2＝5k－1＝4，得k ＝1.3．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的标准方程为________．答案x 26＋y 22＝1 解析 由题意知a 2－2＝4，∴a 2＝6， ∴所求椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.4．设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，π4 解析 由题意知，cos α>sin α>0，∴tan α<1， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0<α<π4. 5．过椭圆9x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的三角形ABF 2的周长是________． 答案 4解析 方程可化为x 219＋y 2＝1，∴焦点在y 轴上，且a 2＝1，∴a ＝1.∴△ABF 2的周长为AF 1＋AF 2＋BF 2＋BF 1＝2a ＋2a ＝4a ＝4.6．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则PM ＋PF 1的最大值为________．解析 由椭圆定义知PM ＋PF 1＝PM ＋2×5－PF 2， 而PM －PF 2≤MF 2＝5， 所以PM ＋PF 1≤2×5＋5＝15.7．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右两个焦点，若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是____________．答案x 24＋y 23＝1解析 由AF 1＋AF 2＝2a ＝4得a ＝2，∴原方程化为x 24＋y 2b 2＝1，将A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入方程得b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.8．已知椭圆经过点(3，0)且与椭圆x 24＋y 29＝1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为________________． 答案y 28＋x 23＝1 解析 椭圆x 24＋y 29＝1的焦点在y 轴上，且c ＝9－4＝5，故所求椭圆的焦点在y 轴上．又∵它过点(3，0)，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝8. 故这个椭圆的标准方程为y 28＋x 23＝1.9．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示椭圆”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 必要不充分解析 当方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，m －1≠3－m ，所以1<m <3且m ≠2；当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．10．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为x 21k 2－1＋y 213＝1. 由椭圆焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－1＞0，1k 2－1＜13.解得k ＞2或k ＜－2.11．若椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是________．答案 6433解析 由已知得PF 1＋PF 2＝2a ＝20，F 1F 2＝2c ＝12.由余弦定理，知(2c )2＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos60°，即144＝(PF 1＋PF 2)2－3PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2＝2563， ∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin60°＝6433. 二、解答题12．点A 在椭圆x 2900＋y 2324＝1上运动，B (－4,0)，C (4,0)，求△ABC 的重心G 的轨迹方程． 解 设G (x ，y )，A (x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋4＋x ′3，y ＝y ′3，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x ，y ′＝3y . 又点A 在椭圆x 2900＋y 2324＝1上，∴(3x )2900＋(3y )2324＝1. 故所求的轨迹方程为x 2100＋y 236＝1(y ≠0)． 13．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程． 解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A, ∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)．∴2a ＝AF 1＋AF 2 ＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32 ＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1. 三、探究与拓展14．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若F 2A ＋F 2B ＝12，则AB ＝________.答案 8解析 由题意，知(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)＝AB ＋AF 2＋BF 2＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得AB ＋(BF 2＋AF 2)＝20，即AB ＝8.15．已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m ，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m ，求这个椭圆的标准方程．解 以两个焦点连线的中点为坐标原点，两焦点F 1，F 2所在直线为x 轴，F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 依题意得，2a ＝3,2c ＝2.4，故a ＝1.5，c ＝1.2，所以b 2＝a 2－c 2＝0.81.所以这个椭圆的标准方程为x 22.25＋y 20.81＝1.。
2018_2019高中数学第2章圆锥曲线与方程疑难规律方法学案苏教版选修2_1
第2章 圆锥曲线与方程1 利用椭圆的定义解题椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明． 1．求最值例1 线段AB ＝4，PA ＋PB ＝6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是________．解析 由于PA ＋PB ＝6>4＝AB ，故由椭圆定义知P 点的轨迹是以M 为原点，A ，B 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝ 5.于是PM 的长度的最小值是b ＝ 5. 答案52．求动点坐标例2 椭圆x 29＋y 225＝1上到两个焦点F 1，F 2的距离之积最大的点的坐标是________．解析 设椭圆上的动点为P ，由椭圆的定义可知PF 1＋PF 2＝2a ＝10，所以PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1022＝25，当且仅当PF 1＝PF 2时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝10，PF 1＝PF 2，解得PF 1＝PF 2＝5＝a ，此时点P 恰好是椭圆短轴的两端点， 即所求点的坐标为(±3,0)． 答案 (±3,0)点评 由椭圆的定义可得“PF 1＋PF 2＝10”，即两个正数PF 1，PF 2的和为定值，结合基本不等式可求PF 1，PF 2乘积的最大值，结合图形可得所求点P 的坐标．3．求焦点三角形面积例3 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．解 由已知，得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝1，F 1F 2＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2·cos120°，即PF 22＝PF 21＋4＋2PF 1，① 由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4， 即PF 2＝4－PF 1.② 将②代入①，得PF 1＝65.所以S △PF 1F 2＝12PF 1·F 1F 2·sin120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是335.点评 在△PF 1F 2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于PF 1，PF 2的方程组，消去PF 2可求PF 1. 从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解．2 如何求椭圆的离心率1．由椭圆的定义求离心率例1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．解析 如图所示，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，由题意知∠F 1AF 2＝90°，∠AF 2F 1＝60°.∴AF 2＝c ，AF 1＝2c ·sin60°＝3c .∴AF 1＋AF 2＝2a ＝(3＋1)c . ∴e ＝c a＝23＋1＝3－1.答案3－1点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．2．解方程(组)求离心率例2 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c,0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，则椭圆的离心率e ＝________.解析 如图所示，直线AB 的方程为x －a ＋yb＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.∵点F 1(－c,0)到直线AB 的距离为b7，∴b7＝|－bc ＋ab |a 2＋b2， ∴7|a －c |＝a 2＋b 2，即7a 2－14ac ＋7c 2＝a 2＋b 2. 又∵b 2＝a 2－c 2，整理，得5a 2－14ac ＋8c 2＝0. 两边同除以a 2并由e ＝c a知，8e 2－14e ＋5＝0， 解得e ＝12或e ＝54(舍去)．答案 123．利用数形结合求离心率例3 在平面直角坐标系中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O 的半径为a ，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0作圆O 的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e ＝________. 解析 如图所示，切线PA ，PB 互相垂直，PA ＝PB.又OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，OA ＝OB ， 则四边形OAPB 是正方形， 故OP ＝2OA ，即a 2c ＝2a ，∴e ＝c a ＝22. 答案224．综合类例4 设M 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF 1F 2＝75°，∠MF 2F 1＝15°，求椭圆的离心率．解 由正弦定理得2c sin90°＝MF 1sin15°＝MF 2sin75°＝MF 1＋MF 2sin15°＋sin75°＝2asin15°＋sin75°， ∴e ＝c a ＝1sin15°＋cos15°＝12sin60°＝63.点评 此题可推广为若∠MF 1F 2＝α，∠MF 2F 1＝β，则椭圆的离心率e ＝cosα＋β2cosα－β2.3 活用双曲线定义妙解题在解双曲线中的有关求动点轨迹、离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作用．下面举例说明． 1．求动点轨迹例1 动圆C 与两定圆C 1：x 2＋(y －5)2＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋5)2＝16都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程．解 设动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ， 因为动圆C 与两定圆相外切， 所以⎩⎪⎨⎪⎧CC 1＝r ＋1，CC 2＝r ＋4，即CC 2－CC 1＝3<C 1C 2＝10，所以点C 的轨迹是以C 1(0,5)，C 2(0，－5)为焦点的双曲线的上支，且a ＝32，c ＝5，所以b 2＝914.故动圆圆心C 的轨迹方程为4y 29－4x 291＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y ≥32. 点评 依据动圆与两定圆外切建立关系式，可得到CC 2－CC 1＝3<C 1C 2，从而判断出C 的轨迹是双曲线的一支，最后求出a ，b 即可写出轨迹方程，这里一定要注意所求的轨迹是双曲线的一支还是两支． 2．求焦点三角形的周长例2 过双曲线x 216－y 29＝1左焦点F 1的直线与左支交于A ，B 两点，且弦AB 长为6，则△ABF 2(F 2为右焦点)的周长是________．解析 由双曲线的定义知AF 2－AF 1＝8，BF 2－BF 1＝8， 两式相加得AF 2＋BF 2－(AF 1＋BF 1)＝AF 2＋BF 2－AB ＝16， 从而有AF 2＋BF 2＝16＋6＝22，所以△ABF 2的周长为AF 2＋BF 2＋AB ＝22＋6＝28. 答案 28点评 与焦点有关的三角形周长问题，常借助双曲线的定义解决，注意解决问题时的拼凑技巧．3．最值问题例3 已知F 是双曲线x 23－y 2＝1的右焦点，P 是双曲线右支上一动点，定点M (4,2)，求PM＋PF 的最小值．解 设双曲线的左焦点为F ′， 则F ′(－2,0)， 由双曲线的定义知：PF ′－PF ＝2a ＝23，所以PF ＝PF ′－23， 所以PM ＋PF ＝PM ＋PF ′－23，要使PM ＋PF 取得最小值，只需PM ＋PF ′取得最小值，由图可知，当P 、F ′、M 三点共线时，PM ＋PF ′有最小值MF ′＝210，故PM ＋PF 的最小值为210－2 3.点评 本题利用双曲线的定义对F 的位置进行转换，然后再根据共线易求得最小值．另外同学们不妨思考一下：(1)若将M 坐标改为M (1,1)，其他条件不变，如何求解呢？(2)若P 是双曲线左支上一动点，如何求解呢？ 4．求离心率范围例4 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，试求该双曲线离心率的取值范围． 解 因为PF 1＝4PF 2，点P 在双曲线的右支上， 所以设PF 2＝m ，则PF 1＝4m ，由双曲线的定义，得PF 1－PF 2＝4m －m ＝2a ， 所以m ＝23a .又PF 1＋PF 2≥F 1F 2， 即4m ＋m ≥2c ，所以m ≥25c ，即23a ≥25c ，所以e ＝c a ≤53.又e >1，所以双曲线离心率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.点评 本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量a ，c 的不等关系，使问题得以巧妙地转化、获解．4 抛物线的焦点弦例1 如图所示，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，AB 的中点M (x 0，y 0)，过A ，M ，B 分别向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1，M 1，B 1，则有以下重要结论：(1)以AB 为直径的圆必与准线相切；(2)AB ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋p 2(焦点弦长与中点坐标的关系)；(3)AB ＝x A ＋x B ＋p ；(4)A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即x A x B ＝p 24，y A y B ＝－p 2；(5)A 1F ⊥B 1F ；(6)A ，O ，B 1三点共线； (7)1FA ＋1FB ＝2p.以下以第(7)条结论为例证明： 证明 当直线AB 的斜率不存在， 即与x 轴垂直时，FA ＝FB ＝p ， ∴1FA ＋1FB ＝1p ＋1p ＝2p.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，并代入y 2＝2px ，∴⎝⎛⎭⎪⎫kx －kp 22＝2px ，即k 2x 2－p (2＋k 2)x ＋k 2p 24＝0.由A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝p (k 2＋2)k 2，x A x B ＝p 24.∵FA ＝x A ＋p 2，FB ＝x B ＋p2， ∴FA ＋FB ＝x A ＋x B ＋p ，FA ·FB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x B ＋p 2＝x A x B ＋p 2(x A ＋x B )＋p 24＝p2(x A ＋x B ＋p )． ∴FA ＋FB ＝FA ·FB ·2p ，即1FA ＋1FB ＝2p.点评 该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB ⊥x 轴的情况．例2 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又F (1,0)． 由FA →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0， 即x 1＋x 2＋x 3＝3，|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.答案 65 求曲线方程的常用方法曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点．求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题．下面对其求法进行探究． 1．定义法求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法． 例1 如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中，设圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4a 2 (a >1)，A (1,0)，记点N 的轨迹为曲线E .(1)证明曲线E 是椭圆，并写出当a ＝2时该椭圆的标准方程；(2)设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ，点A 关于直线l 的对称点为点Q ，若椭圆E 的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，求点Q 的纵坐标的取值范围．解 (1)依题意，直线m 为线段AM 的垂直平分线， ∴NA ＝NM .∴NC ＋NA ＝NC ＋NM ＝CM ＝2a >2＝AC ，∴N 的轨迹是以C ，A 为焦点，长轴长为2a ，焦距为2的椭圆． 当a ＝2时，长轴长为2a ＝4，焦距为2c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由(1)知a 2－b 2＝1.又C (－1,0)，B (0，b )， ∴直线l 的方程为x －1＋yb ＝1，即bx －y ＋b ＝0.设Q (x ，y )，∵点Q 与点A (1,0)关于直线l 对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y x －1·b ＝－1，b ·x ＋12－y2＋b ＝0，消去x 得y ＝4bb ＋1. ∵离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，∴14≤e 2≤34，即14≤1a 2≤34，∴43≤a 2≤4.∴43≤b 2＋1≤4，即33≤b ≤3， ∵y ＝4b b 2＋1＝4b ＋1b≤2，当且仅当b ＝1时取等号． 又当b ＝3时，y ＝3；当b ＝33时，y ＝ 3.∴3≤y ≤2. ∴点Q 的纵坐标的取值范围是[3，2]．2．直接法若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、证明”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法．例2 已知直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0.有一动圆M (圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.求圆心M 的轨迹方程．解 如图，设M (x ，y )，圆半径为r ，M 到l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，则d 21＋132＝r 2，d 22＋122＝r 2， ∴d 22－d 21＝25， 即⎝⎛⎭⎪⎫|3x －2y ＋3|132－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2x －3y ＋2|132＝25， 化简得圆心M 的轨迹方程是(x ＋1)2－y 2＝65.点评 若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x ，y 的方程即可． 3．待定系数法若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解．例3 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OFA ＝23，求椭圆的方程．解 椭圆的长轴长为6，cos ∠OFA ＝23，所以点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点， 所以OF ＝c ，AF ＝OA 2＋OF 2＝b 2＋c 2＝a ＝3，c 3＝23，所以c ＝2，b 2＝32－22＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.4．相关点法(或代入法)如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P 与点Q 的坐标之间可以建立某种关系，借助于点P 的运动轨迹便可得到点Q 的运动轨迹．例4 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．分析 设P (x ，y )，因为P 是QN 的中点，为此需用P 点的坐标表示Q 点的坐标，然后代入双曲线方程即可．解 设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)， ∵点P 是线段QN 的中点， ∴N 点的坐标为(2x －x 0,2y －y 0)．又点N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 0＋2y －y 0＝2， 即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2.① 又QN ⊥l ，∴k QN ＝2y －2y 02x －2x 0＝1，即x 0－y 0＝x －y .②由①②，得x 0＝12(3x ＋y －2)，y 0＝12(x ＋3y －2)．又∵点Q 在双曲线上，∴14(3x ＋y －2)2－14(x ＋3y －2)2＝1. 化简，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12.∴线段QN 的中点P 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12. 点评 本题中动点P 与点Q 相关，而Q 点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P ，Q 两点坐标间的关系，用相关点法求解．5．参数法有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x ，y )中的x ，y 分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法．例5 已知点P 在直线x ＝2上移动，直线l 通过原点且与OP 垂直，通过点A (1,0)及点P 的直线m 和直线l 交于点Q ，求点Q 的轨迹方程． 解 如图，设OP 的斜率为k ，则P (2,2k )．当k ≠0时， 直线l 的方程：y ＝－1kx ，①直线m 的方程：y ＝2k (x －1)．②联立①②消去k 得2x 2＋y 2－2x ＝0 (x ≠1)．当k ＝0时，点Q 的坐标(0,0)也满足上式，故点Q 的轨迹方程为2x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠1)．6 解析几何中的定值与最值问题1．定点、定值问题对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．例1 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，OA →＋OB →与a ＝(3，－1)共线．设M 为椭圆上任意一点，且OM →＝λOA →＋μOB → (λ，μ∈R )，求证：λ2＋μ2为定值．证明 ∵M 是椭圆上任意一点，若M 与A 重合， 则OM →＝OA →，此时λ＝1，μ＝0，∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为N (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，①x 22a 2＋y 22b 2＝1，②①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b2＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a (y 1＋y 2)＝－b 2x 0a y 0， 又∵k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴y 0＝－b 2a 2x 0.∴直线ON 的方向向量为ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－b 2a 2，∵ON →∥a ，∴13＝b 2a2.∵a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2， 又直线方程为y ＝x －c .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －c ，x 2＋3y 2＝3b 2，得4x 2－6cx ＋3c 2－3b 2＝0.∴x 1＋x 2＝32c ，x 1x 2＝3c 2－3b 24＝38c 2.又设M (x ，y )，则由OM →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2，代入椭圆方程整理得λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2. 又∵x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2，x 1x 2＋3y 1y 2＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0， ∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值．例2 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →. (1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点． 解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2， 又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝3.∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 设l 方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝m y 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t (y －m )得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，∴(mt )2＝1， 由题意知mt <0，∴mt ＝－1，满足②，得l 的方程为x ＝ty ＋1，过定点(1,0)，即Q 为定点． 2．最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值．例3 已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则PF ＋PA的最小值为________．解析 设右焦点为F ′，由题意可知F ′坐标为(4,0)，根据双曲线的定义，PF －PF ′＝4，∴PF ＋PA ＝4＋PF ′＋PA ，∴要使PF ＋PA 最小，只需PF ′＋PA 最小即可，PF ′＋PA 最小需P ，F ′，A 三点共线，最小值即4＋F ′A ＝4＋9＋16＝4＋5＝9.答案 9点评 “化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．例4 已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．解 设动点P 的坐标为(x ，y )， 由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1. 化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0 (x <0)．如图，由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上述方程的两个实根， 于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →) ＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB → ＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →| ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2＋4k2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k2≥8＋4×2k 2·1k2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·EB →取得最小值16.7 圆锥曲线中存在探索型问题存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习． 1．常数存在型问题例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使A ，B 关于直线y ＝2x 对称？请说明理由．分析 先假设实数a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论． 解 设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，①又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，∴y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1， ∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，②由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2， 即(2－a )(x 1＋x 2)＝2，③联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0，∴x 1＋x 2＝2a3－a2，④ 把④代入③，得(2－a )·2a3－a2＝2， 解得a ＝32，经检验知满足Δ＝4a 2＋8(3－a 2)＞0，∴k AB ＝32，而k l ＝2，∴k AB ·k l ＝32×2＝3≠－1.故不存在满足题意的实数a . 2．点存在型问题例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆与直线y ＝x 相切于原点O ，椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．分析 假设满足条件的点Q 存在，根据其满足的几何性质，求出Q 的坐标，则点Q 存在，若求不出Q 的坐标，则点Q 就不存在． 解 (1)由题意知圆心在y ＝－x 上， 设圆心的坐标是(－p ，p )(p >0)， 则圆的方程可设为(x ＋p )2＋(y －p )2＝8， 由于O (0,0)在圆上，∴p 2＋p 2＝8，解得p ＝2， ∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a ＝10，a ＝5，∴椭圆右焦点为F (4,0)．假设存在异于原点的点Q (m ，n )使QF ＝OF ，则有⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，(m －4)2＋n 2＝16且m 2＋n 2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在满足条件的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125.3．直线存在型问题例3 试问是否能找到一条斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆x 23＋y 2＝1交于两个不同的点M ，N ，且使M ，N 到点A (0，1)的距离相等，若存在，试求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．分析 假设满足条件的直线l 存在，由平面解析几何的相关知识求解．解 设直线l ：y ＝kx ＋m 为满足条件的直线，再设P 为MN 的中点，欲满足条件，只要AP ⊥MN 即可． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2－3＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x P ，y P )，则x P ＝x 1＋x 22＝－3mk 1＋3k 2，y P ＝kx P ＋m ＝m 1＋3k2， ∴k AP ＝3k 2－m ＋13mk.∵AP ⊥MN ，∴3k 2－m ＋13mk ＝－1k (k ≠0)，故m ＝－3k 2＋12.由Δ＝36m 2k 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)＝9(1＋3k 2)(1－k 2)>0，得－1<k <1，且k ≠0. 故当k ∈(－1,0)∪(0,1)时，存在满足条件的直线l .8 圆锥曲线中的易错点剖析1．求轨迹方程时，动点坐标设法不当而致误例1 长为a 的线段AB ，两端点分别在两坐标轴上移动，求线段AB 中点P 的轨迹方程．错解 如图所示，设A (0，y )，B (x,0)．由中点坐标公式可得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，连结OP ，由直角三角形斜边上的中线性质有OP ＝12AB ＝12a .故⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，即所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.正解 设中点P (x ，y )，A (0，m )，B (n,0)， 则m 2＋n 2＝a 2，x ＝n 2，y ＝m2，于是所求轨迹方程为x 2＋y 2＝14a 2.2．忽视定义中的条件而致误例2 平面内一点M 到两定点F 1(0，－4)，F 2(0,4)的距离之和为8，则点M 的轨迹为________． 错解 根据椭圆的定义，点M 的轨迹为椭圆，故填椭圆．正解 因为点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为F 1F 2，所以点M 的轨迹是线段F 1F 2. 答案 线段3．忽视标准方程的特征而致误例3 设抛物线y ＝mx 2(m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程． 错解 抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线方程为y ＝－m4.又与直线y ＝1的距离为3的直线为y ＝－2或y ＝4. 故－m 4＝－2或－m4＝4.∴m ＝8或m ＝－16.∴抛物线的标准方程为y ＝8x 2或y ＝－16x 2.正解 由于y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1my ，其准线方程为y ＝－14m .由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116.则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y .4．求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误例4 抛物线的焦点F 在x 轴上，点A (m ，－3)在抛物线上，且AF ＝5，求抛物线的标准方程．错解一 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上， 所以抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)． 设点A 到准线的距离为d ，则d ＝AF ＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝2pm ，p2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12.所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .错解二 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上， 所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)．设点A 到准线的距离为d ，则d ＝AF ＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝9，m ＝12. 所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x . 当m <0时，点A 在第三象限， 抛物线方程可设为y 2＝－2px (p >0)， 设点A 到准线的距离为d ，则d ＝AF ＝p 2＋m ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝－2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5＋34，m ＝5－342或⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝5－34，m ＝5＋342(舍去)． 所以抛物线方程为y 2＝－2(5＋34)x . 综上所述，抛物线方程为y 2＝－2(5＋34)x 或y 2＝2x 或y 2＝18x . 错因分析 当抛物线的焦点位置无法确定时，需分类讨论.正解 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上，所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)，设点A 到准线的距离为d ， 则d ＝AF ＝p 2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝9，m ＝12， 所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .当m <0时，点A 在第三象限，抛物线的方程可设为y 2＝－2px (p >0)，设A 到准线的距离为d ，则d ＝AF ＝p 2－m ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝－2pm ，p 2－m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝－92或⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝9，m ＝－12. 所以抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x .综上所述，抛物线方程为y2＝－2x或y2＝－18x或y2＝2x或y2＝18x.9 圆锥曲线中的数学思想方法1．方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．本章中，方程思想的应用最为广泛．例1 已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，且a ＝2b ，若AB ＝25，求椭圆的方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y 并整理得x 2－4x ＋8－2b 2＝0， Δ＝16－4(8－2b 2)＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝8－2b 2. ∵AB ＝25，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25， ∴1＋14·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25， 即52·16－4(8－2b 2)＝25， 解得b 2＝4，故a 2＝4b 2＝16.∴所求椭圆的方程为x 216＋y 24＝1. 2．函数思想很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系．这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果．一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法． 例2 若点(x ，y )在x 24＋y 2b2＝1(b >0)上运动，求x 2＋2y 的最大值． 解 ∵x 24＋y 2b 2＝1(b >0)，∴x 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2≥0， 即－b ≤y ≤b .∴x 2＋2y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2＋2y ＝－4y 2b 2＋2y ＋4＝－4b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b 242＋4＋b 24.当b 24≤b ，即0<b ≤4时，若y ＝b 24，则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为4＋b 24；当b 24>b ，即b >4时，若y ＝b ，则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为2b .综上所述，x 2＋2y 的最大值为⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋b 24，0<b ≤4，2b ，b >4.3．转化和化归思想在解决圆锥曲线的综合问题时，经常利用转化和化归思想．转化题中的已知条件和所求，真正化归为直线和圆锥曲线的基本问题．这里的转化和化归非常关键，没有转化和化归，就很难找到解决问题的途径和方法．例3 如图所示，已知椭圆x 224＋y 216＝1，直线l ：x ＝12，P 是l 上任意一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在线段OP 上，且满足OQ ·OP ＝OR 2，当点P 在l 上运动时，求点Q 的轨迹方程．解 设P (12，y P )，R (x R ，y R )，Q (x ，y )，∠POx ＝α.∵OR 2＝OQ ·OP ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫OR cos α2＝OQ cos α·OP cos α. 由题意知x R >0，x >0，∴x 2R ＝x ·12.①又∵O ，Q ，R 三点共线，∴k OQ ＝k OR ，即y x ＝y R x R.②由①②得y 2R ＝12y 2x.③ ∵点R (x R ，y R )在椭圆x 224＋y 216＝1上，∴x 2R 24＋y 2R 16＝1.④ 由①③④得2(x －1)2＋3y 2＝2(x >0)，∴点Q 的轨迹方程是2(x －1)2＋3y 2＝2(x >0)．4．分类讨论思想本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以必须要注意分类讨论．例4 求与双曲线x 24－y 2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程． 分析 由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，将λ分为λ>0，λ<0两种情况进行讨论．解 由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)， 即x 24λ－y 2λ＝1(λ≠0)． 当λ>0时，c 2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5，∴所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1. 当λ<0时，c 2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25，即λ＝－5，∴所求双曲线的方程为y 25－x 220＝1. 综上所述，所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1. 5．数形结合思想利用数形结合思想，可以解决某些最值、轨迹、参数范围等问题．例5 在△ABC 中，BC 边固定，顶点A 在移动，设BC ＝m ，当三个角满足条件|sin C －sin B |＝12|sin A |时，求顶点A 的轨迹方程． 解 以BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0. 设点A 坐标为(x ，y )，由题设，得|sin C －sin B |＝12|sin A |. 根据正弦定理，得|AB －AC |＝m 2<m ＝BC . 可知点A 在以B ，C 为焦点的双曲线上．2a ＝m 2，∴a ＝m 4. 又c ＝m 2，∴b 2＝c 2－a 2＝m 24－m 216＝316m 2. 故所求点A 的轨迹方程为16x 2m 2－16y 23m 2＝1(y ≠0)．。
2018-2019高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程学案 苏教版选修2-1
2.2.1 椭圆的标准方程学习目标 1.理解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的标准方程及其所对应的几何图形．知识点 椭圆的标准方程思考 在椭圆的标准方程中a >b >c 一定成立吗？答案 不一定，只需a >b ，a >c 即可，b ，c 的大小关系不确定． 梳理 (1)椭圆标准方程的两种形式(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为y 25＋x 24＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0,1)，焦距F 1F 2＝2.1．椭圆的标准方程只与a ，b 的大小有关．(×)2．椭圆的标准方程中，有三个基本量，即a ，b ，c 且a 2＝b 2＋c 2.(√)类型一 求椭圆的标准方程命题角度1 用待定系数法求椭圆的标准方程例1 求焦点在坐标轴上，且经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12的椭圆的标准方程． 解 方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝14.由a >b >0知不合题意，故舍去．②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122a 2＋0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．则⎩⎪⎨⎪⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1， 故椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.引申探究求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程．解 据题可设其方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1(λ>－9)，又椭圆过点(3，15)，将此点代入椭圆方程，得 λ＝11(λ＝－21舍去)， 故所求的椭圆方程为x 236＋y 220＝1.反思与感悟 1.若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m >0，n >0)．2．与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(a >b >0，λ>－b 2)，与椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为y 2a 2＋λ＋x 2b 2＋λ＝1(a >b >0，λ>－b 2)．跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；(3)椭圆的焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)．解 (1)设其标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意得，2a ＝10，c ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，则⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，25A ＋B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝391，B ＝1691.故所求椭圆的标准方程为x 2913＋y 29116＝1. (3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. 命题角度2 用定义法求椭圆的标准方程例2 已知一动圆M 与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程．解 依题意得C 1(－3,0)，r 1＝1，C 2(3,0)，r 2＝9， 设M (x ，y )，动圆的半径为R ， 则MC 1＝1＋R ，MC 2＝9－R ， 故MC 1＋MC 2＝10>6＝C 1C 2，据椭圆定义知，点M 的轨迹是一个以C 1，C 2为焦点的椭圆，且a ＝5，c ＝3，故b 2＝a 2－c 2＝16.故所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.反思与感悟 用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a ，b 的值．跟踪训练2 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过点P 作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程． 解 设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 不妨取PF 1＝453，PF 2＝253，由椭圆的定义，知2a ＝PF 1＋PF 2＝2 5. 即a ＝ 5.由PF 1>PF 2知，PF 2垂直于焦点所在的坐标轴． 在Rt △PF 2F 1中，4c 2＝PF 21－PF 22＝609，∴c 2＝53，∴b 2＝a 2－c 2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上， 故所求的椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y25＝1.类型二 椭圆中焦点三角形问题例3 已知P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．解 由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1，∴F 1F 2＝2.又由椭圆的定义，知PF 1＋PF 2＝2a ＝2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos ∠F 1PF 2， 即4＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2－2PF 1·PF 2cos30°， 即4＝20－(2＋3)PF 1·PF 2， ∴PF 1·PF 2＝16(2－3)． ∴12F PF S＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2 ＝12×16(2－3)×12＝8－4 3. 反思与感悟 1.在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形．这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数．2．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义MF 1＋MF 2＝2a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．跟踪训练3 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝α，点P 的坐标为(x 0，y 0)，求证：△PF 1F 2的面积12PF F S＝b 2tan α2.证明 在△PF 1F 2中，根据椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝2a . 两边平方，得PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4a 2.①根据余弦定理，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos α＝4c 2.② ①－②，得(1＋cos α)PF 1·PF 2＝2b 2， 所以PF 1·PF 2＝2b21＋cos α.根据三角形的面积公式，得12PF F S＝12PF 1·PF 2sin α＝12·2b 21＋cos α·sin α＝b 2·sin α1＋cos α. 又因为sin α1＋cos α＝2sin α2cos α22cos 2α2＝sinα2cosα2＝tan α2，所以12PF F S＝b 2tan α2.类型三 求与椭圆有关的轨迹方程例4 已知B ，C 是两个定点，BC ＝8，且△ABC 的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解 以BC 的中点O 为坐标原点，过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示．由BC ＝8可知点B (－4,0)，C (4,0)． 由AB ＋AC ＋BC ＝18得AB ＋AC ＝10>8＝BC ，因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上． 由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．反思与感悟 求动点的轨迹方程常用的方法(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接求解．(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程．(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程．跟踪训练4 如图，设定点A (6,2)，P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的动点，求线段AP 中点M 的轨迹方程．考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程 解 设M (x ，y )，P (x 1，y 1)． ∵M 为线段AP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －6，y 1＝2y －2，又∵x 2125＋y 219＝1， ∴点M 的轨迹方程为(x －3)225＋(y －1)29＝14.1．椭圆8x 2＋3y 2＝24的焦点坐标为________________． 答案 (0，－5)，(0，5)解析 椭圆方程可化为y 28＋x 23＝1，它的焦点位于y 轴上，且c ＝5， 故两焦点坐标分别为(0，－5)，(0，5)．2．已知椭圆x 220＋y 2k＝1的焦距为6，则k 的值为________．答案 11或29解析 当焦点在x 轴上时，20－k ＝32，解得k ＝11；当焦点在y 轴上时，解得k －20＝32，即k ＝29.3．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是________三角形． 答案 直角解析 根据椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝8. 又PF 1－PF 2＝2，所以PF 1＝5，PF 2＝3.而F 1F 2＝4，所以F 1F 22＋PF 22＝PF 21， 所以△PF 1F 2是直角三角形．4．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件． 答案 充要解析 方程可化为x 21m＋y 21n＝1.若m >n >0，则0<1m <1n，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆．若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0.5．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，则PF 1·PF 2＝________. 答案 48解析 依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，F 1F 2＝2c ＝10.由于PF 1⊥PF 2，所以由勾股定理得PF 21＋PF 22＝F 1F 22， 即PF 21＋PF 22＝100.又由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝14， ∴(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝100，即196－2PF 1·PF 2＝100.解得PF 1·PF 2＝48.1．椭圆的定义式：PF 1＋PF 2＝2a (2a >F 1F 2)．在解题过程中将PF 1＋PF 2看成一个整体，可简化运算．2．椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”、“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．3．凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义MF 1＋MF 2＝2a (M 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M (x 0，y 0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算．1．椭圆x 2m ＋y 215＝1的焦距等于2，则m 的值为________．答案 16或14解析 由m －15＝±1得m ＝16或14.2．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为________． 答案 1解析 原方程可化简为x 2＋y 25k＝1，因为c 2＝5k－1＝4，得k ＝1.3．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的标准方程为________．答案x 26＋y 22＝1 解析 由题意知a 2－2＝4，∴a 2＝6， ∴所求椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.4．设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，π4 解析 由题意知，cos α>sin α>0，∴tan α<1， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0<α<π4. 5．过椭圆9x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的三角形ABF 2的周长是________． 答案 4解析 方程可化为x 219＋y 2＝1，∴焦点在y 轴上，且a 2＝1，∴a ＝1.∴△ABF 2的周长为AF 1＋AF 2＋BF 2＋BF 1＝2a ＋2a ＝4a ＝4.6．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则PM ＋PF 1的最大值为________．解析 由椭圆定义知PM ＋PF 1＝PM ＋2×5－PF 2， 而PM －PF 2≤MF 2＝5， 所以PM ＋PF 1≤2×5＋5＝15.7．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右两个焦点，若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是____________．答案x 24＋y 23＝1解析 由AF 1＋AF 2＝2a ＝4得a ＝2，∴原方程化为x 24＋y 2b 2＝1，将A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入方程得b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.8．已知椭圆经过点(3，0)且与椭圆x 24＋y 29＝1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为________________． 答案y 28＋x 23＝1 解析 椭圆x 24＋y 29＝1的焦点在y 轴上，且c ＝9－4＝5，故所求椭圆的焦点在y 轴上．又∵它过点(3，0)，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝8. 故这个椭圆的标准方程为y 28＋x 23＝1.9．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示椭圆”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 必要不充分解析 当方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，m －1≠3－m ，所以1<m <3且m ≠2；当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．10．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为x 21k 2－1＋y 213＝1. 由椭圆焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－1＞0，1k 2－1＜13.解得k ＞2或k ＜－2.11．若椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是________．答案 6433解析 由已知得PF 1＋PF 2＝2a ＝20，F 1F 2＝2c ＝12.由余弦定理，知(2c )2＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos60°，即144＝(PF 1＋PF 2)2－3PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2＝2563， ∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin60°＝6433. 二、解答题12．点A 在椭圆x 2900＋y 2324＝1上运动，B (－4,0)，C (4,0)，求△ABC 的重心G 的轨迹方程． 解 设G (x ，y )，A (x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋4＋x ′3，y ＝y ′3，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x ，y ′＝3y . 又点A 在椭圆x 2900＋y 2324＝1上，∴(3x )2900＋(3y )2324＝1. 故所求的轨迹方程为x 2100＋y 236＝1(y ≠0)． 13．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程． 解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A, ∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)．∴2a ＝AF 1＋AF 2 ＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32 ＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1. 三、探究与拓展14．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若F 2A ＋F 2B ＝12，则AB ＝________.答案 8解析 由题意，知(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)＝AB ＋AF 2＋BF 2＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得AB ＋(BF 2＋AF 2)＝20，即AB ＝8.15．已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m ，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m ，求这个椭圆的标准方程．解 以两个焦点连线的中点为坐标原点，两焦点F 1，F 2所在直线为x 轴，F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 依题意得，2a ＝3,2c ＝2.4，故a ＝1.5，c ＝1.2，所以b 2＝a 2－c 2＝0.81.所以这个椭圆的标准方程为x 22.25＋y 20.81＝1.本文档仅供文库使用。
2018_2019学年高中数学圆锥曲线与方程阶段复习课学案苏教版
第二课圆锥曲线与方程[体系构建][题型探究]可以优化解题过程，圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源”，“回归定义”是一种重要的解题策略．运用定义解题主要体现在以下几个方面：(1)在求动点的轨迹方程时，如果动点所满足的几何条件符合某种圆锥曲线的定义，则可直接根据圆锥曲线的方程写出所求的动点的轨迹方程；(2)涉及椭圆或双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常常运用圆锥曲线的定义并结合三角形中的正、余弦定理来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义，把抛物线上某一点到焦点的距离转化为到准线的距离，并结合图形的几何意义去解决．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，且PF 1＞PF 2，求PF 1|PF 2|的值. 【导学号：95902159】[思路探究] △PF 1F 2是直角三角形―――――→椭圆的定义求出PF 1与PF 2【规范解答】 由PF 1→·PF 2→＝0，知PF 1⊥PF 2，∴F 1F 22＝PF 21＋PF 22， 由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知a 2＝9，b 2＝4，∴c ＝9－4＝5，F 1F 2＝2 5.因此PF 21＋PF 22＝20. ① 又由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝6. ② 由题意知，PF 1＞PF 2，联立①、②得PF 1＝4，PF 2＝2.从而PF 1PF 2的值为2. [跟踪训练]1．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，PF 1·PF 2＝2，则双曲线的标准方程为________．【解析】 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理得PF 21＋PF 22＝(2c )2，即PF 21＋PF 22＝20.根据双曲线定义有PF 1－PF 2＝2a .两边平方并代入PF 1·PF 2＝2得：20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1，所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.【答案】 x 24－y 2＝11.(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点； (2)已知圆锥曲线的性质求其方程．2．对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法： (1)代入法就是代入公式e ＝c a求离心率；(2)列方程法就是根据已知条件列出关于a ，b ，c 的关系式，然后把这个关系式整体转化为关于e 的方程，解方程即可求出e 值．3．求曲线方程的基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量．”已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.[思路探究]双曲线的离心率为2→建立a ，b 的等量关系→求出A ，B 两点坐标――――→S △AOB ＝3求p【规范解答】 ∵e ＝2，∴b 2＝3a 2，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±3x ，不妨设A＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，3p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3p 2，则AB ＝3p ，又三角形的高为p 2，则S △AOB ＝12×p 2×3p ＝3，即p 2＝4，又p >0，∴p ＝2.【答案】 2 [跟踪训练]2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.【导学号：95902160】【解析】 在△ABF 中，由余弦定理得，cos∠ABF ＝AB 2＋BF 2－AF 22AB ·BF，∴BF 2－16BF ＋64＝0，∴BF ＝8，设右焦点为F 1，因为直线过原点，∴BF 1＝AF ＝6，∴2a ＝BF ＋BF 1＝14，∴a ＝7，∵O 为Rt△ABF 斜边AB 的中点，∴OF ＝12AB ＝5，∴c ＝5，∴e ＝57.【答案】 571.消元后的一元二次方程的判别式大于零，则直线与圆锥曲线有两个交点；等于零，则只有一个交点；小于零，则没有交点．2．涉及直线与圆锥曲线的两个交点坐标问题时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立消元后的方程根的情况，使用根与系数的关系进行整体代换，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本的方法．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．[思路探究] (1)利用过点F 且与x 轴垂直的直线方程，根据线段的长度求出交点的坐标并代入椭圆方程求出a 和b ，可得椭圆方程；(2)设出直线方程，和椭圆方程联立得到二次方程，利用韦达定理把向量式用点的坐标表示得到关于k 的方程，解方程可得k 的值．【规范解答】 (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有 －c 2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433，解得b ＝ 2. 又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1 ，x 23＋y22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k .由已知得6＋2k 2＋122＋3k ＝8，解得k ＝± 2.[跟踪训练]3．已知抛物线C ：y 2＝4x ，F 是抛物线C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)如果l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； (2)设FA ＝2BF ，求直线l 的方程.【导学号：95902161】【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，又∵直线l 的斜率为1，∴直线l 的方程为y ＝x －1，代入y2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝6x 1·x 2＝1，易得AB 的中点，即圆心的坐标为(3,2)，又AB ＝x 1＋x 2＋p ＝8，∴圆的半径r ＝4，∴所求的圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16. (2)∵FA ＝2BF ，∴FA →＝2BF →，而FA →＝(x 1－1，y 1)，BF →＝(1－x 2，－y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1－1＝2 1－x 2 ，y 1＝－2y 2，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2x 1·x 2＝1，∵x 1－1＝2(1－x 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x 2＝12，∴k ＝±22，∴直线l 的方程为y ＝±22(x －1).圆锥曲线中的许多问题，则往往能较快地找到解题的突破口．用函数思想求解圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题可以说是高中数学中永恒的话题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器．我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题．方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解．方程思想是高中数学中的最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位．在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决．点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.【导学号：95902162】[思路探究]由PA ⊥PF 得P 点的轨迹方程→与椭圆方程联立，求P 点的坐标→由M 到直线AP 的距离等于MB 求出M 点坐标→将距离d 表示成关于椭圆上点的横坐标的函数，转化为函数最值.【规范解答】 (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)．设点P (x ，y )，则k AP ·k PF ＝－1.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，y x ＋6·yx －4＝－1.则2x 2＋9x －18＝0.解得x ＝32，或x ＝－6(舍去)．所以x ＝32，由于y ＞0，故y ＝532.所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，532.(2)易知直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0.设点M (m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2.于是|m ＋6|2＝|m －6|.又－6≤m ≤6，解得m ＝2.椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离的平方为：d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎪⎫x －922＋15.由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取得最小值15.[跟踪训练]4.如图21，椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆，x 轴于B ，C 两点．图21(1)若AB →＝λBC →，求实数λ的值；(2)设点P 为三角形ACF 的外接圆上的任意一点，当三角形PAB 的面积最大时，求点P 的坐标.【导学号：95902163】【解】 (1)由条件得F (－1,0)，A (0，3)，k AF ＝ 3. ∵AB ⊥AF ，∴k AB ＝－33，AB ：y ＝－33x ＋ 3. 令y ＝0，得x ＝3，∴C (3,0) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋3，x 24＋y 23＝1，得13x 2－24x ＝0，解得x 1＝0(舍)，x 2＝2413，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2413，5313.∵AB →＝λBC →， ∴λ＞0，且λ＝|AB →||BC →|＝24133－2413＝85.(2)∵△ACF 是直角三角形，∴△ACF 的外接圆的圆心为D (1,0)，半径为2， ∴圆D 的方程为(x －1)2＋y 2＝4. ∵AB 长为定值，∴当△PAB 的面积最大时，点P 到直线AC 的距离最大．过D 作AC 的垂线m ，则点P 为直线m 与圆D 的交点．直线m ：y ＝3(x －1)与(x －1)2＋y 2＝4联立⎩⎨⎧y ＝3 x －1 ， x －1 2＋y 2＝4，解得x ＝2(舍)或x ＝0，∴点P 的坐标为(0，－3)．[链接高考]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为__________．【解析】 由双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52， ① 又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，∴a 2＋b 2＝9. ② 由①②联立可解得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.【答案】x 24－y 25＝1 2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EFA 的面积为b 22，则椭圆的离心率为__________.【导学号：95902164】【解析】 由已知可得12(c ＋a )c ＝b 22，又由b 2＝a 2－c 2，可得2e 2＋e －1＝0，又因为0＜e ＜1，解得e ＝12.【答案】 123．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P 、Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是__________．【解析】 由双曲线的方程得，双曲线的右准线为x ＝32，两条渐近线方程为y ＝±33x ，右准线与两条渐近线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±32，不妨设F 1(－2,0)，F 2(2,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32 则四边形F 1PF 2Q 的面积为S 四边形F 1PF 2Q ＝12|F 1F 2|·|PQ |＝12×4×3＝2 3.【答案】 2 34．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为__________.【导学号：95902165】【解析】 圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心为(2,0)，半径r ＝2.不妨设双曲线C 的一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0 因为该渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2所以|2b |b 2＋a 2＝4－1＝3，两边平方得3a 2＝b 2，即b 2a ＝3从而e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2. 【答案】 25.如图22，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8，点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.图22(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标． 【解】 (1)设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a ＝12，2a 2c＝8，解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3， 因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设P (x 0，y 0)，因为P 为第一象限内的点，故x 0>0，y 0>0. 当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符． 当x 0≠1时， 直线PF 1的斜率为y 0x 0＋1，直线PF 2的斜率为y 0x 0－1. 因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2， 所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0，直线l 2的斜率为－x 0－1y 0，从而直线l 1的方程为y ＝－x 0＋1y 0(x ＋1)， ① 直线l 2的方程为y ＝－x 0－1y 0(x －1)． ② 由①②，解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0，x 20－1y 0. 因为点Q 在椭圆E 上，由对称性，得x 20－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1. 又点P 在椭圆E 上，故x 204＋y 203＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 20＝1，x 204＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝477，y 0＝377；⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，x 204＋y 23＝1无解．因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫477，377.。
2018版高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质(一)学案苏教版选修2_1
椭圆的几何性质(一)[ 学习目标 ] 1. 依据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2. 依据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出图象．知识点一椭圆的简单几何性质焦点的地点焦点在 x 轴上焦点在y轴上图形标准方程范围极点轴长焦点焦距对称性离心率x2y2y2x2a2＋b2＝1(a>b>0)a2＋b2＝1(a>b>0)－ a≤ x≤ a，－ b≤ y≤ b－ b≤ x≤ b，－ a≤ y≤ a A (－ a, 0)， A ( a, 0)，A(0，－ a)， A (0， a)，1212B1(0，－ b)， B2(0， b)B1(－b, 0)， B2( b, 0)短轴长＝ 2b，长轴长＝ 2a( ±a2－b2， 0)(0 ，±a2－b2)1 2＝2a2－2F F b对称轴： x 轴、 y 轴对称中心：原点ce＝a∈(0,1)知识点二离心率的作用当椭圆的离心率越靠近1，则椭圆越扁；当椭圆离心率越靠近0，则椭圆越靠近于圆．题型一椭圆的简单几何性质例 1求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和极点坐标．2y2解把已知方程化成标准方程为＋x＝1，25则 a ＝ 5， b ＝ 1.所以 c ＝25－ 1＝ 2 6，所以，椭圆的长轴长2a ＝ 10，短轴长 2b ＝ 2，两个焦点分别是 F 1 (0，－2 6) ， F 2(0,2 6) ，椭圆的四个极点分别是 A (0 ，－ 5) ， A (0,5) ， B ( － 1,0) ， B (1,0) ．12 1 2反省与感悟 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准形式，而后依据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上， 再利用 a ，b ，c 之间的关系和定义，就能够获得椭圆相应的几何性质．追踪训练 12 22 2的长轴长、 短轴长、焦点坐标、 极点坐标和离心率．求椭圆 mx ＋ 4my ＝ 1 ( m >0) 解2222椭圆的方程 mx ＋ 4my ＝ 1 ( m >0) 可转变为x 2 y 21＋ 1 ＝1.2 2m 4m221 11 1∵m <4m ，∴ 2>2，∴椭圆的焦点在x 轴上，而且长半轴长 a ＝ ，短半轴长 b ＝ ，半焦距m 4mm2m3长 c ＝ 2m .∴椭圆的长轴长212a ＝ ，短轴长 2b ＝ ，mm焦点坐标为 ( － 23，0) ，( 23，0) ，mm极点坐标为 ( 111)，(0，1， 0) ，(－ ，0)，(0 ，－) ．m m2m2m3c2 3m离心率 e ＝ a ＝ 1 ＝ 2 .m题型二由椭圆的几何性质求方程例 2求知足以下各条件的椭圆的标准方程．(1)y 轴上，其离心率为 18；已知椭圆的中心在原点，焦点在 2，焦距为 (2) 已知椭圆的离心率为＝ 2，短轴长为 8 5.e 3解 (1) 由题意知， 2c ＝ 8， c ＝ 4，c 4 1∴ e ＝ a ＝ a ＝ 2，∴ a ＝ 8，从而 b 2＝ a 2－ c 2＝ 48，y 2x 2∴椭圆的标准方程是64＋ 48＝ 1.c 22(2) 由 e ＝a ＝ 3得 c ＝ 3a ，又 2b ＝ 8 5， a 2＝ b 2＋ c 2，所以 a 2＝144， b 2＝ 80，所以椭圆的标准方程为x 2＋ y 2＝ 1 或 x 2＋ y 2＝ 1.144 80 80 144反省与感悟 在求椭圆方程时， 要注意依据题目条件判断焦点所在的坐标轴， 从而确立方程的形式；若不可以确立焦点所在的坐标轴，则应进行议论，而后列方程 ( 组 ) 确立 a ， b ，这就是我们常用的待定系数法．6追踪训练2 椭圆过点 (3,0) ，离心率 e ＝3 ，求椭圆的标准方程．解 ∵所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点 (3,0) ，∴点 (3,0) 为椭圆的一个极点．①当椭圆的焦点在x 轴上时， (3,0)为右极点，则 a ＝ 3，c666∵e ＝ a ＝ 3 ，∴ c ＝ 3 a ＝ 3 ×3＝ 6，∴b 2＝ a 2－ c 2＝ 32－ ( 6) 2＝ 9－ 6＝ 3，∴椭圆的标准方程为x 2 y 2＝ 1.＋39②当椭圆的焦点在 y 轴上时， (3,0)为右极点，则 b ＝ 3，c66∵e ＝ a ＝ 3 ，∴ c ＝3 a ，∴ b 2＝ a 2－ c 2＝ a 2－ 2a 2＝ 1a 2，3322y 2 x 2∴a ＝ 3b ＝ 27，∴椭圆的标准方程为 27＋ 9＝1.综上可知，椭圆的标准方程是x 2 y 2y 2x 2＋ ＝ 1 或 ＋＝ 1.93279题型三 求椭圆的离心率例 3如下图， F 1， F 2 分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的点M的2横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的3，求椭圆的离心率．解设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a ，b ，c .2则焦点为 F 1( － c, 0) ， F 2( c, 0) ， M 点的坐标为 ( c ， 3b ) ，且△ MF 1F 2 为直角三角形．在 Rt △ 1 2 中， 1222 ，2＋2＝1MFFF F MFMF即 4 242＝2＋1.c 9bMF而1＋2＝4 c 2 ＋ 4 2＋ 2＝ 2 ，MFMF 9b3ba 整理得 3c 2＝ 3a 2－ 2ab .222b 24又 c ＝ a － b ，所以 3b ＝ 2a . 所以 a 2 ＝9.2 c 2 a 2－ b 2 b 25 5所以 e ＝ a 2＝ a 2＝ 1－ a 2＝ 9，所以 e ＝ 3 .反省与感悟求椭圆离心率的方法：cb 2①直接求出 a 和 c ，再求 e ＝a ，也可利用 e ＝1－ a 2求解．c②若 a 和 c 不可以直接求出， 则看能否可利用条件获得a 和 c 的齐次等式关系， 而后整理成 a 的 形式，并将其视为整体，就变为了对于离心率 e 的方程，从而求解．追踪训练 3 已知椭圆C 以坐标轴为对称轴， 长轴长是短轴长的 5 倍，且经过点(5,0) ，求A椭圆C 的离心率．解若焦点在 x 轴上，得2 ＝5×2 ，＝5，ab25 0解得 aa 2＋b 2＝1，b ＝1，∴c ＝ a 2－b 2＝ 52－12＝ 2 6，c 2 6∴ e ＝ a ＝ 5 ；2a ＝5× 2b ，若焦点在 y 轴上，得25a 2＋b2＝ 1，a ＝ 25，2222得∴ c ＝ a － b ＝ 25 － 5 ＝ 10 6，c 10 6 2 6∴ e ＝ a ＝ 25 ＝ 5 .2 6 故椭圆 C 的离心率为.51．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个极点是(0,13) ，另一个极点是 ( － 10,0) ，则焦点坐标为________．答案 (0 ，± 69)分析由题意知椭圆的焦点在y 轴上，且 a ＝ 13， b ＝ 10，则 c ＝a 2－b 2＝ 69，故焦点坐标为 (0 ，± 69) ．2. 如图，直线 l ： x － 2y ＋ 2＝ 0 过椭圆的左焦点 F 1 和一个极点 B ，该椭圆的离心率为 ________．2 5 答案5分析∵ x － 2y ＋ 2＝0，1b 1∴y ＝ 2x ＋ 1，而 c ＝2，即a 2－c 21 a2 5 c 2 5c 2＝ ，∴ c 2 ＝，＝.2 4 a 53．若一个椭圆长轴的长度、 短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ________．答案35分析 由题意有， 2a ＋ 2c ＝ 2(2 b ) ，即 a ＋ c ＝ 2b ，又c 2＝ 2－ 2 ，消去b 整理得 5c 2＝ 3 2－2ac ，a ba即 5e 2＋ 2e － 3＝ 0，∴ e ＝ 3或 e ＝－ 1( 舍去 ) ． 5x 2 y 214．若焦点在 y 轴上的椭圆 m ＋ 2 ＝ 1 的离心率为 2 ，则 m 的值为 ________．答案 32分析∵焦点在 y 轴上，∴ 0< m <2，∴ ＝ 2， ＝，∴＝ 2－，ab mc mc 12－ m 13又 e ＝ a ＝2，∴2 ＝ 2，解得 m ＝ 2.5．椭圆 25x 2＋ 9y 2＝ 225 的长轴长，短轴长，离心率挨次为________． 答案410,6 ，5y 2 x 2分析由题意，将椭圆方程化为标准式为25＋ 9＝1，由此可得 a＝5， b＝3， c＝4，4∴2a＝10,2 b＝6， e＝5.1.已知椭圆的方程议论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．依据椭圆的几何性质，能够求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确立种类的量有焦点、极点，而不可以确立类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形联合思想的应用．。
2018_2019学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.32.3.1双曲线的标准方程学案苏教版选修2_1
2.3.1 双曲线的标准方程学习目标：1.了解双曲线标准方程的推导过程．(难点)2.了解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程．(重点、难点)3.能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]教材整理 双曲线的标准方程阅读教材P 39～P 40例1以上部分，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(2)在双曲线标准方程中，a ，b 和焦点F 2(c,0)满足a 2＝b 2＋c 2.( ) (3)双曲线y 2－x 2＝1的焦点坐标在y 轴上．( ) (4)在双曲线y 29－x 24＝1中，焦点坐标为(±5,0)．( )[解析] (1)方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a >0，b >0.a ＝b 时也是双曲线，故不正确；(2)在双曲线标准方程中，都有a 2＋b 2＝c 2.故不正确． (3)根据标准方程特点，正确．(4)在y 29－x 24＝1中，c ＝9＋4＝13，所以焦点坐标为(0，±13)．[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×[合 作 探 究·攻 重 难](1)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上.【导学号：71392073】[精彩点拨] 解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a ，b ，c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式，将两点代入，简化运算过程．解答(2)利用待定系数法．[自主解答] (1)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154和Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9.(舍去)若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． ∵P ，Q 两点在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一：依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1. 法二：∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.．求双曲线标准方程的两个关注点定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解．[再练一题]1．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)，求双曲线的方程．[解] 椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0，3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1. 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5，故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(1)如果方程m ＋2＋m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是________． (2) “ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的________条件(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)．(3)若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围.【导学号：71392074】[精彩点拨] 根据双曲线标准方程的特征列不等式组求解．[自主解答] (1)由题意知(2＋m )(1＋m )＜0，解得－2＜m ＜－1.故m 的取值范围是(－2，－1)．(2)若ax 2＋by 2＝c 表示双曲线，即x 2c a ＋y 2c b＝1表示双曲线，则c 2ab <0，这就是说“ab <0”是必要条件，然而若ab <0，c 等于0时不表示双曲线，即“ab <0”不是充分条件．[答案] (1)(－2，－1) (2)必要不充分(3)由方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，得⎩⎪⎨⎪⎧5－m <0，m 2－2m －3>0，解得m >5.所以实数m 的取值范围是(5，＋∞)．2．讨论x 225－k ＋y 29－k＝1表示何种圆锥曲线？它们有何共同特征？[解] 由于k ≠9，k ≠25，则k 的取值范围为k <9,9<k <25，k >25，分别进行讨论． (1)当k <9时，25－k >0,9－k >0，所给方程表示椭圆，此时，a 2＝25－k ，b 2＝9－k ，a 2－b 2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．(2)当9<k <25时，25－k >0,9－k <0，所给方程表示双曲线，此时，a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．(3)当k >25时，所给方程没有轨迹.[1．双曲线上一点M 与双曲线的两个焦点F 1，F 2构成的三角形称为焦点三角形，其中MF 1，MF 2，F 1F 2为三角形的三边，在焦点三角形中，常用的关系式有哪些？[提示] 焦点三角形中，常用的关系式有： (1)MF 1－MF 2＝±2a ；(2)S △F 1MF 2＝12MF 1·MF 2·sin∠F 1MF 2；(3)F 1F 22＝MF 21＋MF 22－2MF 1·MF 2·cos∠F 1MF 2.2．在双曲线的焦点三角形中，如何确定它的面积？随着∠F 1PF 2的变化，△F 1PF 2的面积将怎样变化？[提示] 由公式S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2sin∠F 1PF 2，cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝(PF 1－PF 2)2－F 1F 22＋2PF 1·PF 22PF 1·PF 2＝4a 2－4c 2＋2PF 1·PF 22PF 1·PF 2＝－4b 2＋2PF 1·PF 22PF 1·PF 2＝－2b 2PF 1·PF 2＋1， ∴PF 1·PF 2＝2b21－cos∠F 1PF 2.从而得S △PF 1F 2＝b 2tanθ2(θ＝∠F 1PF 2)．∵0<θ<π，∴0<θ2<π2，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内，1tanθ2是单调递减的，∴当θ增大时，S △F 1MF 2＝b 2tanθ2减小．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 24＝1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的周长及△F 1PF 2的面积.【导学号：71392075】[精彩点拨] 由双曲线定义、勾股定理建立方程组，求出PF 1与PF 2的长，或利用整体代入法先求PF 1＋PF 2与PF 1·PF 2，再求周长与面积．[自主解答] 法一：∵点P 在双曲线x 24－y 24＝1上，∴|PF 1－PF 2|＝4，F 1F 2＝4 2.又∵∠F 1PF 2＝90°，∴△F 1PF 2为直角三角形， ∴PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝32.列方程组⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1－PF 2|＝4，PF 21＋PF 22＝32，解得⎩⎨⎧PF 1＝23＋2，PF 2＝23－2或⎩⎨⎧PF 1＝23－2，PF 2＝23＋2.∴△F 1PF 2的周长为PF 1＋PF 2＋F 1F 2＝43＋42，△F 1PF 2的面积为12PF 1·PF 2＝12(23＋2)(23－2)＝4.法二：同解法一得|PF 1－PF 2|＝4，F 1F 2＝42，PF 21＋PF 22＝32. ∴(|PF 1－PF 2|)2＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2， 即16＝32－2PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2＝8.∴(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝32＋16＝48， ∴PF 1＋PF 2＝4 3.∴△F 1PF 2的周长为PF 1＋PF 2＋F 1F 2＝43＋42， △F 1PF 2的面积为12PF 1·PF 2＝12×8＝4.3．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，PF 1＝2PF 2，则cos∠F 1PF 2＝________.[解析] 由双曲线方程得a ＝2，b ＝2，则c ＝a 2＋b 2＝2.因为PF 1－PF 2＝22，且PF 1＝2PF 2，所以PF 1＝42，PF 2＝22，而F 1F 2＝4，在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝34.[答案] 34[当 堂 达 标·固 双 基]1．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．[解析] 据题意知(k ＋3)(k ＋2)＜0， 解得－3＜k ＜－2. [答案] (－3，－2)2．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1－PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是________．[解析] 由条件可知，双曲线焦点在x 轴上，且a ＝3，c ＝5，则b 2＝c 2－a 2＝16，所以动点P 的轨迹方程为x 29－y 216＝1.[答案]x 29－y 216＝1 3．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________.[解析] 由条件可得4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1. [答案] 14．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k 的值为________． [解析] 方程可化为y 2－8k －x 2－1k＝1.由条件可知－8k －1k ＝9，解得k ＝－1. [答案] －15．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)以椭圆x 28＋y 25＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2).【导学号：71392076】[解] (1)依题意，双曲线的焦点在x 轴上且a ＝3，c ＝22， ∴b 2＝c 2－a 2＝5.∴双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.(2)法一：∵c 2＝16＋4＝20，∴c ＝25， ∴F (±25，0)，∴2a ＝|(32－25)2＋4－(32＋25)2＋4| ＝43，∴a 2＝12，∴b 2＝c 2－a 2＝8，∴双曲线方程为x 212－y 28＝1.法二：设所求双曲线方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(32，2)， ∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.。
2018_2019学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.62.6.1曲线与方程学案苏教版选修2_1
2.6.1 曲线与方程学习目标：1.了解曲线与方程的对应关系，了解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念．(难点、易错点)2.能根据曲线方程的概念解决一些简单问题．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]教材整理 曲线的方程 方程的曲线阅读教材P 60例1以上的部分，完成下列问题．1．方程与曲线的定义在直角坐标系中，如果曲线C (看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解满足以下关系：如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．2．方程与曲线的关系图2611．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线上，那么方程f (x ，y )＝0就是曲线的方程．( )(2)如果f (x ，y )＝0是某曲线C 的方程，则曲线上的点的坐标都适合方程．( )(3)若曲线C 上的点满足方程f (x ，y )＝0，则坐标不满足方程f (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．( )(4)方程x ＋y －2＝0是以A (2,0)，B (0,2)为端点的线段的方程．( )(5)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，则m ＝________. 【导学号：71392118】[解析] 据题意，有14m 2＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或－185. [答案] 2或－1853．方程|y|＝|2x|表示的曲线是________．[解析] ∵|y|＝|2x|，∴y＝±2x，表示两条直线．[答案] 两条直线4．已知曲线C的方程为x2－xy＋2y－7＝0，则下列四点中，在曲线C上的点有________(填序号)．①(－1,2)；②(1，－2)；③(2，－3)；④(3,6)．[解析] 把各点的坐标代入检验知，只有(－1,2)满足方程．[答案] ①[合作探究·攻重难]①过点A(3,0)且垂直于x轴的直线方程为x＝3；②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；③到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1；④△ABC的顶点A(0，－3)，B(1,0)，C(－1,0)，D为BC的中点，则中线AD的方程为x ＝0. 【导学号：71392119】[解析] ①正确，因为过点A(3,0)且垂直于x轴的直线上任意一点的横坐标都是3，满足方程x＝3，满足方程x＝3的解为坐标的点都在过点A(3,0)且垂直于x轴的直线上．②错误，因为到x轴距离为2的点的轨迹方程为|y|＝2，即y＝±2.③错误，因为到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为|x|·|y|＝1即xy＝±1.④错误，因为三角形中线AD是一条线段，而不是直线，AD方程应为x＝0(－3≤y≤0)．[答案] ①1．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题正确的是________(填序号)．①方程f(x，y)＝0的曲线是C；②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C；③f(x，y)＝0是曲线C的方程；④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．[解析] 只有正确地理解曲线与方程的定义，才能准确作答．易知①③④错误．[答案] ②[精彩点拨]由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图象，可由方程的特点入手分析．[自主解答]方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，∴2(x－1)2＝0，(y＋1)2＝0，∴x－1＝0且y＋1＝0，即x＝1，y＝－1.∴方程表示点(1，－1)．2．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示什么图形？[解]方程4x2－y2＋6x－3y＝0等价于(2x＋y)(2x－y)＋3(2x－y)＝0，等价于(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，等价于2x－y＝0或2x＋y＋3＝0.故方程表示两条相交直线2x－y＝0和2x＋y＋3＝0.25(x≤0)所表示的曲线上；(2)点P(a＋1，a＋4)在曲线y＝x2＋5x＋3上，则a的值是________.【导学号：71392120】[精彩点拨](1)由曲线与方程的关系知，只要点M的坐标适合曲线的方程，则点M就在方程所表示的曲线上；而若点M为曲线上的点，则点M的坐标(x0，y0)一定适合曲线的方程．(2)利用点在曲线上，则点的坐标满足方程，代入解方程可得．[自主解答](1)把点A(－4,3)的坐标代入方程x2＋y2＝25中，满足方程，且点A的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；把点B(－32，－4)的坐标代入x2＋y2＝25，因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．把点C (5，25)的坐标代入x 2＋y 2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x ≤0的条件，所以点C 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．(2)因为点P (a ＋1，a ＋4)在曲线y ＝x 2＋5x ＋3上，所以a ＋4＝(a ＋1)2＋5(a ＋1)＋3，即a 2＋6a ＋5＝0，解得a ＝－1或－5.[答案] (2)－1或－53．若曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )，a ∈R ，则实数k 的取值范围是________．[解析] ∵曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )，∴a 2＝－a 2＋2a ＋k ， ∴k ＝2a 2－2a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122－12， ∴k ≥－12， ∴k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞[1．怎样理解曲线与方程的概念？[提示] 定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形．2．理解曲线的方程与方程的曲线的概念时应注意什么？【导学号：71392121】[提示] (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，二者缺一不可．分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy ＝5.(2)第二、四象限角平分线上的点与方程x ＋y ＝0.[精彩点拨] 判断方程是不是曲线的方程的两个关键点：一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．[自主解答] (1)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，如点(1，－5)，但是，以方程xy ＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离的积等于5，因此，与两坐标轴距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5.(2)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限的角平分线上，因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.4．判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)以坐标原点为圆心，r 为半径的圆的方程是y ＝r 2－x 2；(2)过点A (2,0)平行于y 轴的直线l 的方程为|x |＝2.[解] (1)不正确，因为以原点为圆心，r 为半径的圆上的一点如点⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2，－32r 在圆上，但此点坐标不满足方程y ＝r 2－x 2.(2)不正确，因为坐标满足方程|x |＝2的点不一定在直线l 上，如|－2|＝2，但点(－2,0)不在直线l 上．因此方程|x |＝2不是直线l 的方程，l 的方程是x ＝2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．设方程F (x ，y )＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，则下面命题中正确的是________(填序号)．①坐标满足f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上；②曲线C 上的点的坐标不满足f (x ，y )＝0；③坐标满足f (x ，y )＝0的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上；④一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足f (x ，y )＝0.[解析] 因为命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，所以其否定：存在不在曲线C 上的点，其坐标满足f (x ，y )＝0，是正确的，即④正确．[答案] ④2．f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的________条件.【导学号：71392122】[解析] ∵f (x 0，y 0)＝0，可知点P (x 0，y 0) 在曲线f (x ，y )＝0上，又P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上时，有f (x 0，y 0)＝0，∴f (x 0，y 0)＝0是P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．[答案] 充要3．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为___________．[解析] ∵P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，∴4－9a ＝1，解得a ＝13. [答案] 134．如图262中，方程表示图中曲线的是________．图262[解析] ∵x 2＋y 2＝1表示单位圆，故①错；x 2－y 2＝0表示两条直线y ＝x 和y ＝－x ，故②错；lg x ＋lg y ＝0可化为xy ＝1(x >0，y >0)，故④错；只有③正确．[答案] ③5．方程(x ＋y －2)·x 2＋y 2－9＝0表示什么曲线？[解] (x ＋y －2)·x 2＋y 2－9＝0变形为x 2＋y 2－9＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x 2＋y 2－9≥0，表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线x ＋y －2＝0在圆x 2＋y 2－9＝0外面的两条射线．。
2018版高中数学第2章圆锥曲线与方程章末复习提升学案苏教版
第2章圆锥曲线与方程1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质(1)曲线与方程：如果曲线C 上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做曲线的方程．(2)圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比是定值e ；当0<e <1时，圆锥曲线是椭圆；当e >1时，圆锥曲线是双曲线；当e ＝1时，圆锥曲线是抛物线．3．直线与圆锥曲线的位置关系直线和圆锥曲线的位置关系有三种：相离、相切、相交．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，与圆锥曲线D 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f x ，y ＝0，可得(消去y )ax 2＋bx ＋c ＝0(*)．(1)当a ≠0时，若关于x 的方程(*)的判别式Δ>0，则直线与圆锥曲线有两个不同交点；若Δ<0，则直线与圆锥曲线没有交点；若Δ＝0，则直线与圆锥曲线相切． (2)当a ＝0时，若方程(*)有解，则直线与圆锥曲线有一个交点．1．数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．判断直线与圆锥曲线的位置关系、求最值等问题，可以结合图形，运用数形结合思想，化抽象为具体，使问题变得简单．例1 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若P 为双曲线上一点，且PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为________． 答案 (1,3] 解析 如图所示，由PF 1＝2PF 2知P 在双曲线的右支上，则PF 1－PF 2＝2a ， 又PF 1＝2PF 2， ∴PF 1＝4a ，PF 2＝2a ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝16a 2＋4a 2－4c 22·4a ·2a ＝54－c 24a 2＝54－e 24，∵0<∠F 1PF 2≤π，且当点P 是双曲线的顶点时，∠F 1PF 2＝π， ∴－1≤cos∠F 1PF 2<1，∴－1≤54－e24<1，由e >1，解得1<e ≤3.跟踪训练1 抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若AF ，BF ，CF 成等差数列，则下列说法正确的是________． ①x 1，x 2，x 3成等差数列 ②y 1，y 2，y 3成等差数列 ③x 1，x 3，x 2成等差数列 ④y 1，y 3，y 2成等差数列 答案 ①解析 如图，过A ，B ，C 分别作准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，由抛物线定义知： AF ＝AA ′，BF ＝BB ′，CF ＝CC ′.∵2BF ＝AF ＋CF ， ∴2BB ′＝AA ′＋CC ′.又∵AA ′＝x 1＋p 2，BB ′＝x 2＋p 2，CC ′＝x 3＋p2，∴2(x 2＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3.2．分类讨论思想分类讨论思想是指当所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的结果．如曲线方程中含有的参数的取值范围不同，对应的曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有时焦点位置也要讨论，直线的斜率是否存在也需要讨论．例2 如果双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±34x ，求此双曲线的离心率．解 当双曲线的焦点在x 轴上时，由已知可得b a ＝34，∵c 2＝a 2＋b 2，∴e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝a 2＋b2a 2＝1＋b 2a 2＝2516，∴双曲线的离心率e ＝54；同理，当焦点在y 轴上时，可求得离心率e ＝53.故双曲线的离心率为54或53.跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点P (2，－6)； (2)椭圆过点P (3,0)，且e ＝63. 解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知得a ＝2b .①∵椭圆过点P (2，－6)，∴4a 2＋36b 2＝1或36a 2＋4b2＝1.②由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13. 故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1. (2)当焦点在x 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴a ＝3. 又ca ＝63，∴c ＝ 6. ∴b 2＝a 2－c 2＝3.此时椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当焦点在y 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴b ＝3.又c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27. 此时椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.3．函数与方程思想圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口．用函数思想解决圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题是高中数学中常见的问题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器．我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题．方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，方程思想是高中数学中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位．在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决．例3 已知椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解 方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.①∵A ，B 为直线x ＋y －1＝0上的点，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－1. 由已知得y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入①式可得b ＝2a . 直线x ＋y －1＝0的斜率k ＝－1.又AB ＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， ∴|x 2－x 1|＝2.联立ax 2＋by 2＝1与x ＋y －1＝0可得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 且由已知得x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b， ∴4＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b .②将b ＝2a 代入②式，解得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 23＋23y 2＝1.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b， 且直线AB 的斜率k ＝－1， ∴AB ＝k 2＋x 1－x 22＝k 2＋x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2·4b 2－a ＋b b －a ＋b.∵AB ＝22， ∴2·4b 2－a ＋b b －a ＋b＝22，∴a ＋b －aba ＋b＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b，y ＝1－x ＝aa ＋b.∵OC 的斜率为22， ∴a b ＝22，将其代入①式得，a ＝13，b ＝23. ∴所求椭圆的方程为x 23＋23y 2＝1.跟踪训练3 若双曲线x 2a 2－y 216＝1(a >0)的离心率为53，则a ＝________.答案 3解析 由离心率公式，有a 2＋16a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532(a >0)，得a ＝3.4．化归与转化思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为化归与转化思想．一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式．转化与化归思想在圆锥曲线中经常应用，如把直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为方程组的解的个数问题，把求参数的取值范围问题转化为解不等式(组)问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，需要注意转化的等价性．例4 已知点A (4，－2)，F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，点M 在抛物线上移动，当MA ＋MF 取最小值时，点M 的坐标为________． 答案 (12，－2)解析 过点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义知MF ＝ME . 当点M 在抛物线上移动时，MF ＋MA 的值在变化， 显然M 移到M ′，AM ′∥Ox 时，A ，M ，E 共线，此时ME ＋MA 最小，把y ＝－2代入y 2＝8x ，得x ＝12，∴M (12，－2)．跟踪训练4 已知向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1,0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )． (1)求点Q (x ，y )的轨迹C 的方程；(2)设曲线C 与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当AM ＝AN 时，求实数m 的取值范围． 解 (1)由题意得，a ＋3b ＝(x ＋3，3y )，a －3b ＝(x －3，3y )，∵(a ＋3b )⊥(a －3b )，∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0， 即(x ＋3)(x －3)＋3y ·3y ＝0， 化简得x 23＋y 2＝1，∴点Q 的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1.得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1.①(ⅰ)当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，则x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又AM ＝AN ，∴AP ⊥MN .则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1，②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. (ⅱ)当k ＝0时，AM ＝AN ，∴AP ⊥MN ，m 2<3k 2＋1即为m 2<1，解得－1<m <1.综上，当k ≠0时，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2， 当k ＝0时，m 的取值范围是(－1,1)．1.圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是考查圆锥曲线的一个重要命题点．2．圆锥曲线的标准方程是用代数方法研究圆锥曲线的几何性质的基础，对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种：一是在解答题中作为试题的入口进行考查；二是在填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查．3．虽然考纲中没有直接要求关于直线与圆锥曲线相结合的知识，但直线与圆锥曲线是密不可分的，如双曲线的渐近线、抛物线的准线，圆锥曲线的对称轴等都是直线．考试不但不回避直线与圆锥曲线，而且在试题中进行重点考查，考查方式既可以是填空题，也可以是解答题．4．考纲对曲线与方程的要求是“了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系”，考试对曲线与方程的考查主要体现在以利用圆锥曲线的定义、待定系数法、直接法和代入法等方法求圆锥曲线的方程．5．对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用．。
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第2章圆锥曲线与方程[体系构建][自我校对]①x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ②y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ③(±a ，0)，(0，±b )或(0，±a )，(±b,0) ④2a ⑤2b ⑥(－c,0)，(c,0) ⑦2c ⑧c a ⑨x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) ⑩y ＝±bax ⑪y＝±ab x ⑫y 2＝±2px (p ＞0) ⑬x 2＝±2py (p ＞0) ⑭⎝ ⎛⎭⎪⎫±p2，0 ⑮y ＝±p 2 ⑯PFd ＝e[题型探究]应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离与到准线的距离互相转化，结合几何图形，利用几何意义去解决．已知A (4,0)，B (2,2)，M 是椭圆9x 2＋25y 2＝225上的动点，求MA ＋MB 的最大值与最小值．[精彩点拨] A (4,0)为椭圆的右焦点，B 为椭圆内一点，画出图形，数形结合，并且利用椭圆定义转化．[规范解答] 如图所示，由题意，知点A (4,0)恰为椭圆的右焦点，则A 关于O 的对称点为A 1(－4,0)(左焦点)．由椭圆的定义，得MA ＋MA 1＝2a ，∴MA ＝2a －MA 1， ∴MA ＋MB ＝(2a －MA 1)＋MB ＝2a ＋(MB －MA 1)．∵|MB －MA 1|≤A 1B ＝210，即－210≤MB －MA 1≤210，又2a ＝10，∴MA ＋MB 的最大值是10＋210，最小值为10－210.[再练一题]1．双曲线16x 2－9y 2＝144的左、右两焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且PF 1·PF 2＝64，求△PF 1F 2的面积.【导学号：71392145】[解] 双曲线方程16x 2－9y 2＝144化为x 29－y 216＝1，即a 2＝9，b 2＝16，所以c 2＝25，解得a ＝3，c ＝5，所以F 1(－5,0)，F 2(5,0)． 设PF 1＝m ，PF 2＝n ，由双曲线的定义， 可知|m －n |＝2a ＝6， 在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝m 2＋n 2－(2c )22mn ＝(m －n )2＋2mn －4c 22mn ＝36＋2×64－4×252×64＝12，所以∠F 1PF 2＝60°. 所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2·sin∠F 1PF 2＝12m ·n ·sin 60°＝163，所以△PF 1F 2的面积为16 3.1式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．2．待定系数法是求圆锥曲线标准方程的主要方法，其步骤是： (1)定位置：先确定圆锥曲线焦点的位置，从而确定方程的类型； (2)设方程：根据方程的类型，设出方程； (3)求参数：利用已知条件，求出a ，b 或p 的值； (4)得方程：代入所设方程，从而得出所求方程．求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程． [精彩点拨] 设出所求椭圆的方程，利用待定系数法求解．[规范解答] 因为c ＝9－4＝5，所以所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，因为e ＝c a ＝55，c ＝5，所以a ＝5， 所以b 2＝a 2－c 2＝20，所以所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1.[再练一题]2．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b >a >0)的焦半距长为c ，直线l 过点A (a,0)，B (0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________． [解析] 法一：如图，在△OAB 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OE ＝34c ，AB ＝a 2＋b 2＝c .由于AB ·OE ＝OA ·OB ， ∴c ·34c ＝ab ，∴34(a 2＋b 2)＝ab ，两边同时除以a 2，得34⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－b a ＋34＝0， ∴b a ＝3或b a ＝33(舍去)． ∴e ＝c a ＝a 2＋b2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2. 法二：直线l 方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，由原点到直线l 的距离为34c ，得|ab |b 2＋a2＝34c ，即ab ＝34c 2，两边平方得a 2b 2＝316c 4. ∴16a 2(c 2－a 2)＝3c 4， ∴3c 4－16a 2c 2＋16a 4＝0， 同除以a 4得3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43(舍去)，∴e ＝2. [答案] 2知曲线的定义，若符合，就可以直接利用已知曲线的方程，结合待定系数法求解；若动点满足的条件比较明了、简单，我们就使用直接法；若动点满足的条件不明了，但与之相关的另一点在已知的曲线上，我们就使用代入法；若动点的坐标之间没有什么直接关系，就需要引入参数，使用参数法．设圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C ，过原点作圆的弦OA ，求OA 中点B 的轨迹方程.【导学号：71392146】[精彩点拨] 画出图形，分别利用直接法，定义法，代入法，交轨法(参数法)求解． [规范解答]法一(直接法)：设B 点坐标为(x ，y )， 由题意，得OB 2＋BC 2＝OC 2，如图所示：即x 2＋y 2＋[(x －1)2＋y 2]＝1，即OA 中点B 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法二(定义法)：设B 点坐标为(x ，y )，由题意知，CB ⊥OA ，OC 的中点记为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则MB ＝12OC ＝12，故B 点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法三(代入法)：设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为(x 1－1)2＋y 21＝1， 所以(2x －1)2＋(2y )2＝1. 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法四(交轨法)：设直线OA 的方程为y ＝kx ，当k ＝0时，B 为(1,0)；当k ≠0时，直线BC 的方程为y ＝－1k(x －1)，直线OA ，BC 的方程联立，消去k 即得其交点轨迹方程y 2＋x (x －1)＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y2＝14(x ≠0,1)， 显然B (1,0)满足⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)即为所求．[再练一题]3．若动点P 在曲线y ＝2x 2＋1上移动，求点P 与Q (0，－1)连线中点M 的轨迹方程． [解] 设P (x 0，y 0)，中点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋02，y ＝y 0－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1.又P (x 0，y 0)在曲线y ＝2x 2＋1上， ∴2y ＋1＝2(2x )2＋1，即y ＝4x 2. ∴点M 的轨迹方程为y ＝4x 2.1数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．2．直线l 截圆锥曲线所得的弦长AB ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2或⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．如图21所示，O 为坐标原点，过点P (2,0)且斜率为k 的直线l 交抛物线y2＝2x 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点．图21(1)写出直线l 的方程； (2)求x 1x 2与y 1y 2的值； (3)求证：OM ⊥ON .【导学号：71392147】[精彩点拨] 设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，利用根与系数的关系求解． [规范解答] (1)过点P (2,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －2)． (2)把y ＝k (x －2)代入y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2－(4k 2＋2)x ＋4k 2＝0，由于直线与抛物线交于不同两点，故k 2≠0且Δ＝(4k 2＋2)2－16k 4＝16k 2＋4>0，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4＋2k2，∵M ，N 两点在抛物线上，∴y 21·y 22＝4x 1x 2＝16， 而y 1y 2<0，∴y 1y 2＝－4.(3)∵OM →＝(x 1，y 1)，ON →＝(x 2，y 2)， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝4－4＝0， ∴OM →⊥ON →，∴OM ⊥ON . [再练一题]4．求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆x 225＋y216＝1所截线段的中点坐标．[解] 过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线y ＝45(x －3)代入椭圆C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0， ∴x 1＋x 2＝3，∴x 1＋x 22＝32，y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65， 即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.(1)平面几何法：主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法：建立目标函数，解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．(3)判别式法：对二次曲线求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m . (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[精彩点拨] 联立、消元→一元二次方程→Δ判别式→m 的范围→韦达定理→弦长公式→求函数最值[规范解答] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0， 解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)．所以d ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2， 所以当m ＝0时，d 最大，此时直线方程为y ＝x . [再练一题]5．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若AF ＝4，求点A 的坐标； (2)求线段AB 长的最小值．[解] (1)抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，设A (x 1，y 1)，则由抛物线的定义，可知AF ＝x 1＋1＝4，∴x 1＝3，代入y 2＝4x 中，得y 21＝4×3，即y 1＝±23，故A 点的坐标为(3，±23)． (2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. ∵直线与抛物线相交于A ，B 两点， 则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝2＋4k2.由抛物线的定义可知，AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2＞4；当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时AB ＝4，∴|AB |≥4，即线段AB 的长的最小值为4.1们之间可能构成函数关系，利用函数思想来处理这类问题是常用的方法，如解析几何中的最值问题、参数取值范围问题都可用函数思想来处理．2．由于在解析几何中大多数题目都是以方程的形式给出直线和圆锥曲线，因此可用方程思想讨论直线与圆锥曲线的位置关系问题．一般是将直线方程代入圆锥曲线方程，消去一个未知数，转化为关于x (或y )的一元二次方程，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2(或y 1＋y 2，y 1y 2)进而去解决与“距离”“中点”有关的问题．点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.【导学号：71392148】[精彩点拨] (1)由PA ⊥PF 得P 点的轨迹方程，与椭圆方程联立，求P 点的坐标． (2)由M 到直线AP 的距离等于MB ，求出M 点坐标，将距离d 表示成关于椭圆上点的横坐标的函数，转化为函数最值．[规范解答] (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)．设点P (x ，y )，则k AP ·k PF ＝－1.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，y x ＋6·yx －4＝－1.消去y 整理得2x 2＋9x －18＝0， 解得x ＝32或x ＝－6(舍去)．所以x ＝32，由于y ＞0，故y ＝532.所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，532.(2)由(1)知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，532，A (－6,0)，由两点式方程得直线AP 的方程为y －0532－0＝x ＋632＋6，即x －3y ＋6＝0.设点M (m,0)，由点到直线的距离公式，得M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2.又MB ＝|m －6|， 于是|m ＋6|2＝|m －6|. 又－6≤m ≤6，解得m ＝2.椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离的平方为d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎪⎫x －922＋15. 由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取得最小值15. [再练一题]6．已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，若|AB |＝25，直线OM 的斜率为12(O 为坐标原点)，求椭圆的方程． [解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12x ＋2，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 消去y ，整理得(a 2＋4b 2)x 2－8a 2x ＋16a 2－4a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝8a 2a 2＋4b 2，x 1x 2＝16a 2－4a 2b 2a 2＋4b 2. 又设AB 的中点M (x M ，y M )，则x M ＝x 1＋x 22＝4a 2a 2＋4b 2，y M ＝－12x M ＋2＝8b 2a 2＋4b 2. ∵直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝12， ∴2b 2a 2＝12，∴a 2＝4b 2， 从而x 1＋x 2＝8a 2a 2＋4b 2＝4，x 1x 2＝16a 2－4a 2b 2a 2＋4b 2＝8－2b 2. 又∵AB ＝25，∴1＋14·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25，即52×16－4(8－2b 2)＝25，解得b 2＝4，∴a 2＝4b 2＝16， 故所求椭圆的方程为x 216＋y 24＝1. [链接高考]1．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．[解析] 由双曲线的方程得，双曲线的右准线为x ＝32，两条渐近线方程为y ＝±33x ，右准线与两条渐近线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±32.不妨设F 1(－2,0)，F 2(2,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32， 则四边形F 1PF 2Q 的面积为S 四边形F 1PF 2Q ＝12|F 1F 2|·|PQ |＝12×4×3＝2 3. [答案] 2 32．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为________.【导学号：71392149】[解析] 圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心为(2,0)，半径r ＝2，不妨设双曲线C 的一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0.因为该渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2， 所以|2b |b 2＋a 2＝4－1＝3，两边平方得3a 2＝b 2，即b 2a ＝3， 从而e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2. [答案] 2 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为________．[解析] 由双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52①.又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)， ∴a 2＋b 2＝9②.由①②联立可解得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1. [答案] x 24－y 25＝1 4．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. (1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (点B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程． [解] (1)设点F 的坐标为(－c,0)． 依题意，得c a ＝12，p 2＝a ，a －c ＝12，解得a ＝1，c ＝12，p ＝2，进而得b 2＝a 2－c 2＝34. 所以椭圆的方程为x 2＋4y 23＝1，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－2m ，故点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，2m . 将x ＝my ＋1与x 2＋4y 23＝1联立，消去x ， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my ＝0，解得y ＝0或y ＝－6m 3m 2＋4. 由点B 异于点A ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4. 由点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m ， 可得直线BQ 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2m ＝0， 令y ＝0，解得x ＝2－3m 23m 2＋2，故点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3m 23m 2＋2，0. 所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m 23m 2＋2. 又因为△APD 的面积为62，故12·6m23m2＋2·2|m|＝62，整理得3m2－26|m|＋2＝0，解得|m|＝63，所以m＝±63.所以直线AP的方程为3x＋6y－3＝0或3x－6y－3＝0.。