线段的定比分点
5-4新田中学-线段的定比分点与平移
π π ∴y－2＝sin[(x－4)＋4]－2， 化简，得 y＝sinx. ∴原来函数的解析式为 y＝sinx.
→，当P1Q＝－3P2Q即 λ＝3 时 xQ＝－1＋2λ＝5，yQ＝ → → 3P2 Q 4
1＋λ －5＋4λ 7 5 7 ＝4，∴Q 点坐标为(4，4)． 1＋λ → → 当P1Q＝3P2Q即 λ＝－3 时 －1＋2λ 7 －5＋4λ 17 xQ＝ ＝2，yQ＝ ＝2. 1＋λ 1＋λ 7 17 ∴Q 点坐标为(2， 2 )．
启示：函数与方程思想贯穿于整个中学数学， 则向量模的关系转化为解不等式，再由解不 等式探求不等式成立的条件，再由a·e＝1，
●回归教材 1．已知点 P 分有向线段P→ 2的比为 λ，则下列结论中正 1P 确的是 A．λ 可以是任意实数 B．λ 是不等于零的实数 C．当 λ＜－1 时，点 P 必在P→ 2的延长线上 1P D．当－1＜λ＜0 时，点 P 在P→ 2的延长线上 1P ( )
－5＋4λ1 解析：(1)由已知 1＝ 解得 λ1＝2， 1＋λ1 －1＋2λ1 x＝ ＝1. 1＋λ1 → ＝2PP2得P1P＝2(PP1＋P→ 2)整理得P→ 1 ＝－ 3 → → → (2)由P1P 1P 2P 2 → .∴λ2＝－3. P1P 2
→ → → → → → → (3)由P1Q∥P2Q且|P1Q|＝3|P2Q|知P1Q＝3P2Q或P1Q＝－
则点 P 分P→ 2所成的比是________． 1P → 2的延长线上，则P1P＝3. → 解题思路：如图，P 在P1P
定比分点的向量公式
定比分点的向量公式定比分点的向量公式，这可是高中数学里一个相当重要的知识点呢！咱们先来聊聊啥是定比分点。
想象一下，在一条直线上有两个点 A 和 B，然后又有一个点 P 把线段 AB 按照一定的比例分成了两段。
这个点 P 就叫做线段 AB 的定比分点。
那定比分点的向量公式是啥呢？假设点 A 的坐标是 (x₁, y₁) ，点B 的坐标是 (x₂, y₂) ，点 P 的坐标是 (x, y) ，并且点 P 分线段 AB 的比是λ ，那么定比分点的向量公式就是：x = (x₁ + λx₂) / (1 + λ) ，y = (y₁ + λy₂) / (1 + λ) 。
听起来是不是有点晕乎？别担心，我给您举个例子哈。
有一次我在课堂上讲这个知识点，有个学生一脸迷茫地看着我，我就知道他没听懂。
于是我走到他身边，问他：“你是不是觉得有点迷糊呀？”他使劲儿点头。
我就拿了一支笔在纸上画了一条直线，标上 A 点和 B 点，然后跟他说：“咱们就把这当成是一条路，A 点是你家，B 点是学校，你每天上学走到某个地方，这个地方就是点 P 。
现在假设你走的路程和剩下的路程有个比例，那这个点 P 的位置是不是就能算出来啦？”这孩子听了，眼睛一下子亮了，好像突然就明白了。
咱们继续说这个公式啊。
定比分点的向量公式在解决很多几何问题的时候特别有用。
比如说，已知两个点的坐标和分点的比例，就能轻松算出定比分点的坐标。
在实际生活中，这个公式也能派上用场呢。
比如说，在规划物流路线的时候，要确定货物在某个路段的分配点，就可以用到这个公式。
还有在建筑设计中，计算一些结构的位置也能用到。
再比如，咱们想象一个场景，有一辆送快递的车，要在一条路线上的几个站点送货，每个站点的需求比例不同。
这时候，就可以用定比分点的向量公式来计算最佳的送货停留点，这样就能提高送货效率啦。
总之，定比分点的向量公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多做几道题，多联系实际，就能很好地掌握它，让它成为咱们解决问题的有力工具。
线段的-定比分点
∴ x-x1= λ(x2-x) 解得 x x1 x2
P1
y-y1= λ(y2-y)
1
y y1 y2
(1)
1
y
P2 l
P
0
x
公式（1）叫有向线段P1P2的定比分点坐标公式
当P点是线段P1P2的中点时， λ=1，得
x x1 x2
2
y y1 y2 2
（2)
公式（2）叫有向线段P1P2的中点坐标公式
(3)设D点坐标(x0, y0 )
x0
11 1 2
2
1 3
y0
7
2 1 2
2
11 3
D(1 ,11) AD (5 1)2 (1 11)2 14 2
33
3
33
11
课堂小结
1.有向线段P1P2的定比分点公式
x x1 x2 1
y y1 y2 1
有向线段P1P2中点公式
( x1 x2 , y1 y2 )
4
3.推导公式及举例
若把直线l放在坐标系中，设P1（x1,y1),P2(x2，y2),点P分有向线段P1P2所成 的比为λ，那么点P的坐标如何表示呢？由向量的坐标等于终点的坐标减去
起点的坐标得：
P1P=（x-x1,y-y1), PP2=(x2-x,y2-y)
∵ P1P= λPP2 ∴ (x-x1,y-y1)= λ(x2-x,y2-y)
A
(2)D点分BC的比；
(3)线段AD的长度。
B
D
C
分析 : 本题用到了两点间距离公式及三角形角平分线性质 : BD AB
解:
DC AC
(1) AB [5 (1)]2 (1 7)2 10 同理 : AC 5
线段的定比分点
的概念
分析要点
若 p1 p pp2 ，则称λ叫点 P 分有 2．强调λ，P 分析
向线段 p1 p2 所成的比，点 P 叫线段
P1，P2，λ，P 的位置， 含义
通过学生自己 思考来充分发 挥自己的聪明 才智。
p1 p2 的定比分点
分析：想想，给定 P1P2，P 在 l 上可 能的位置有几种？并判断λ的符号 （3 种）
引导学生独立分析 解答
学生独立完成
上的一点，且 CG 2 求点 G 的坐标 GD
图
培养学生独立 观察，分析问 题的能力
培养学生观 察，分析问题 的能力
y
A
D G
B
o
C
x
练习：
课堂 小结
本节学习的主要内容是 (1)线段的定比分点公式。 (2)求λ的方法 ①定义法 ②公式法 (3)中点公式是定比分点公式的特例，应用方泛。
提出问题
P1 P
P2
λ>0
P 内分有向线段 P1P2
P1 P2
P
λ<0
强调 p1 p pp2
中字母顺序
学生思考 学生分析 学生给出结果
通过交流来培 养学生的相互 学习精神。
强调细节
P P1
P2
λ<0
P 外分有向线段 P1P2 探讨：
（1）．P 在 p1 p2 的延长线上，λ值 提出问题
的范围？（λ<-1）
难
点 难点：理解定比分点的概念，掌握定比分点公式的应用。
教学 方法 引导、启发
线段的定比分点坐标公式是向量坐标运算的应用之一，是把有向线段和
教材结构分
分点所具有的图形特征，通过坐标运算表示出来．通过本节学习，要正
线段的定比分点
课题：线段的定比分点．目的：掌握有向线段的定比分点和线段的中点公式，并能简单应用． 重点、难点：线段的定比分点．过程：一、复习引入前面我们学习了有向直线，有向线段，有向线段的长度，有向线段的数量等许多概念和符号．今天我们想在此基础上跟大家讨论线段的定比分点．二、新授1．定义：有向直线l 上的一点P ，把l 上的有向线段21P P 分成两条有向线段P P 1和2PP ．P P 1和2PP 数量的比叫做点P 分21P P 所成的比，通常用字母λ来表示这个比值，21PP P P =λ，点P 叫做21P P 的定比分点． 2．说明： （1）21P P 是在过两点1P 、2P 的一条有向直线上的有向线段，1P 是起点，2P 是终点；（2）P P 1是以1P 为起点，P 为终点；2PP 是以P 为起点，2P 为终点．顺序不能颠倒，否则λ的值就会随之改变；（为了联系紧密，P 为分点，∴21PP P P =λ中，P P →1，2P P →，就是起点→分点，分点→终点．）（3）21PP P P 不是线段的长度之比，而是有向线段的数量之比，这个比与过21P P 的有向直线无关；（4）在21PP P P 中，分子是由线段的起点1P 到分点P 的有向线段P P 1的数量，分母是由分点P 到终点2P 的有向线段2PP 的数量．请思考，点P 分21P P 所成的比和点P 分12P P 所成的比有何关系．3．练习：如图，求点B 分AC ，点B 分CA ，点C 分AB ，点C 分BA ，点A分BC ，点A 分CB 所成的比．（23，32，25-，52-，53-，35-） 由此回答：（1）P 分21P P 的比与P 分12P P 的比互为倒数；（2）λ的符号与点P 的位置有关．4．小结：若点P 在线段21P P 上，点P 叫做21P P 的内分点，此时0>λ；若点P 在线段12P P 或21P P 的延长线上，点P 叫做21P P 的外分点，此时0<λ．三、解几的基础是坐标系、点的坐标，那么我们怎样求定比分点的坐标呢？问题：设21P P 的两个端点分别为),(111y x P 和),(222y x P ，点P 分21P P 所成的比为λ（1-≠λ），求分点P 的坐标),(y x ．分析：过点1P 、2P 、P 分别作x 轴的垂线11M P 、22M P 、PM ，则垂足分别是)0,(11x M 、)0,(22x M 、)0,(x M ．根据平行线分线段成比例定理，得2121MM M M PP PP =．如果点P 在线段21P P 上，那么点M 也在线段21M M 上；如果点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上，那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上．因此21PP P P 与21MM M M 的符号相同，所以21PP P P =21MM M M ． ∵11x x M M -=，x x MM -=22，∴xx x x --=21λ， 即21)1(x x x λλ+=+，当1-≠λ时，得λλ++=121x x x ． 同理可以求得y y y y --=21λ，λλ++=121y y y ． 因此，当已知两个端点为),(111y x P 、),(222y x P ，点),(y x P 分21P P 所成的比为λ时，点P 的坐标是λλ++=121x x x ，λλ++=121y y y （1-≠λ）． （1）把P P 1、2PP ，M M 1、2MM 看成一般的线段，根据初中几何平行截割定理得2121MM M M PP PP =；（2）从有向线段的数量的符号来验证这个比例． 当点P 在两点1P 、2P 之间，这时点M 也在两点1M 、2M 之间，有向线段P P 1和2PP 都具有相同的方向，它们的数量符号相同，∴=λ21PP P P 是正的．同样有向线段M M 1、2MM 也具有相同的方向，它们的数量的符号也相同，所以21MM M M 也是正的，因此，=λ21PP P P =21MM M M ． 当点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上，那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上，而P P 1与2PP 的符号相反，于是=λ21PP P P 0<．同样M M 1、2MM 的符号也相反，所以21MM M M 也是负的，因此，=λ21PP P P =21MM M M ． 所以1P 、2P 不论在哪个象限，相互位置关系怎样，也不论点P 在21P P 上或在延长线上，定比分点公式都是正确的．特别地，当点P 是线段21P P 的中点时，有21PP P P =，即1=λ，因此线段21P P 中点P 的坐标是221x x x +=，221y y y +=．四．简单应用例．点1P 和2P 的坐标分别是)6,1(--和)0,3(，点P 的横坐标为37-．求点P 分21P P 所成的比λ和点P 的纵坐标y ． 解：由λ的定义，可得x x x x --=21λ41373)1(37-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=． 84110416121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=++=λλy y y ． 点P 分21P P 所成的比是41-，点P 的纵坐标是8-． 五．练习1．已知两点)2,3(1-P 、)4,9(2-P ．求点)0,(x P 分21P P 所成的比λ及x 的值．2．点M 分有向线段21M M 的比为λ，求点M 的坐标),(y x ，其中)5,1(1M 、)3,2(2M ，2-=λ； 六．小结1．定比分点P 的位置与λ的符号关系；2．定比分点坐标公式；3．λ的求法．七．作业。
线段的定比分点
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⑵ A(－7，－1)，B(3，－6)
(2) M(－2,－ ）
2.求与下列各点关于坐标原点O对称的点的坐标：
P(2，3)，Q(－2，3)，
答案： (-2,-3)
(2,-3)
3.求与P(2，3) 关于点Q(－2，4)对称的点的坐标
(-6,5)
四 小 结： 1，定义
λ是关键，λ>0内买的VIP时长期间，下载特权不清零。
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高三数学线段的定比分点
高三备课组
一、基础知识
1、 线段的定比分点
（1）定义
设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同 于P1,P2的任意一点，则存在一个实数 ， P 使p1 p pp ， 所 2 叫做点P分有向线段 1P 2 成的比。
0 ；当点P在线 当点P在线段 P 上时， 1P 2 <0 段 P1 P2 或 P2 P1 的延长线上时，
（2）定比分点的向量表达式：
点P分有向线段 P 所成的比是 ，则 1P 2 1 OP OP1 OP2 1 1 （O为平面内任意点）
（3）定比分点的坐标形式
x1 x 2 x 1 y y 2 y 1 1
,
（4）中点坐标公式
当 =1时，分点P为线段的中点，即有
练习：
若直线x+2y+m=0，按向量a 1,2平移后与圆C：
x 2 y 2 2x 4 y 0
相切
则实数m的值等于
例5．是否存在这样的平移，使抛物线： y x 2 平移后 过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与 x 轴的两个 交点构成的三角形面积为 1 ，若不存在，说明理由；若 存在，求出函数的解析式。 例4．设函数
x1 x y y 1 x2 2 y2 2
ABC 的重心坐标公式： （5）
x A x B xC x 3 y A y B yC y 3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形 F’ ， 我们把这一过程叫做图形的平移。
A(4,1), B(3,4), C (1,2) ， BD 是角 ABC 的平分 线，求点D的坐标及BD的长。
线段的定比分点公式及图象的平移
(
点P内分 1P2时，λ 0;点P外分 1P2时，λ 0 P P
)
二.线段定比分点坐标
公式： x1 λx2 x 1 λ ①设P分有向线段 P1P 2比λ，即 P1P λPP 2，P 1(x 1 ,y 1 ) P 2(x 2 ,y 2 ),P(x, y), 则： y y1 λy2 1 λ
2
1焦点坐标为____ _
__;
准线方程为_____
x1 x 2 λ 1时，中点公式： x 2 a λ b ②向量式： OP y y1 y 2 P 1 λ P1 2 P为中点时， OP a b a
P2
b
三.平移公式
/
2
/
O
●
设A(x, y), B(x ,y )
a
B
OB OA a / x x h / y y k
/ /
设 a (h,k)
/
x x h / y y k / / x 1 y 2 x h 1 yk 2
即：y 2
x h 1
k 1且h 1 0 k 1且h 1
法2：图象变换
y), 平移后对应点(x
,y )
y 2 1 y 2
_________
反思：平移公式解决三
类问题：
已知原解析式
a (h, k)
？
a (h, k) ? 新解析式 a ？ 新解析式 已知原解析式
例2：(定比分点公式
应用) P1(3, y),
①如果P 1，P 2，P 3 三点在同一直线上，且 | P1P 3 |
P 2(x, 1), P 3(0, 3), 3,求P 2 坐标 | P 3 P 2 | ( 1, 1)及(1, 1) ②点A( 1,6)和B(3,0 )在直线AB上，求一 使 | AP | 1 3 | AB | ( 点P，
高三数学线段的定比分点
《我爱这土地》中写“为什么我的眼里常含泪水”，上文结尾也写到了“流泪”，简要分析“眼泪”背后两位作者思想感情的异同。 3、文中的语言富有表现力，请结合句中加点的词语作简要分析。 一阵沙尘扑面而来，豆大的雨点砸了下来，劈头劈脸，欢笑的人群直往外冲。 ? 4、文
章第④段的“对我来说，去圆明园是一种凭吊，一种拜谒，甚至是一种提醒。”简要说说作者要“凭吊、拜谒”什么？ “提醒”什么呢？ 5、简要分析第⑤段中划线句在文中有什么作用？ ? 6、请你为圆明园遗址准备一条宣传语，要能揭示遗址给人的警示。（不超过20字，至少用一种
修辞手法） ? 参考答案： 1、A 理由：用拟人手法，容易引起读者的注意；更能表达作者对造成这种现象的悲痛心情（主题）。 2、相同点：都有对祖国的深切的爱。 不同点：艾青是目睹山河破碎、人民涂炭的现实，心中的痛苦。 本文作者是因为部分国人不知铭记历史而十分伤心、
难过。 3、“扑”表现风来得猛，“砸”表现雨下得大，这样写更能突出作者对人们不理解废墟价值的一种愤怒与悲哀。（言之有理，可酌情给分） 4、凭吊、拜谒无数在此长眠的死难者（中华民族屈辱的历史） 提醒自己不忘历史的耻辱，不能让悲剧重演。（意同即可） 5、一方面突
（5）ABC 的重心坐标公式：
x
y
xA yA
xB
3 yB
xC yC
3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’， 我们把这一过程叫做图形的平移。
（2）平移公式
设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的
起来，用极低的声音问：“老师，我可以带馒头吗？”一阵其实并没有恶意的笑声刺激着女孩，她的脸通红通红的，低着头默默地坐下，眼泪沿着脸颊流了下来。李老师走过去，抚摸着她的头说：“你放心，可以带馒头的。” ③出发的前一天，女孩子拿着饭票在学校食堂买了六个馒头，
线段的定比分点
41 ) ∴点D坐标为： (1, 坐标为： 5
补充题： 补充题：
△ABC的三条边的中点分别为 (2,1),(−3,4),(−1,−1)，则:△ ABC
G 坐标为＿＿＿＿ 坐标为＿＿＿＿ 解：令：重心 G 的坐标为 ( x , y )
的重心
2 + (−3) + (−1) 2 =− 则： x = 3 3
B D C
BAC 2 2 | AC|= 2 + 6 = 2 10
2 2
| AB|= (−3) +9 =3 10
A
D分向量 CB 设点D坐标 ( x, y ) ，则:
∴
2 所成比 λ = 3
2 2 3 + (−2) 7 + 10 × 3 3 = 41 x= = 1, y = 2 2 5 1+ 1+ 3 3
P P2
当λ
P’
= 3 得：P (5,0 )
O
3 P 当 λ = − 得： (8,−3)
A 顶点坐标为： 例3：已知△ ABC 顶点坐标为： (1,1), B ( − 2,10 ), C (3,7 ) ， ：已知△
∠ BAC 平分线交 BC 边于D ,求点D 坐标。 求点 坐标。 平分角∠ 解： ∵AD 平分角∠
3、已知点 P（4,-3）、 P2 （-2,6），若 P P = 2 PP2 ，求点P坐标。 1 1 4、已知平行四边形ABCD三个顶点A（-2,1）、 D B（-1,3）、C（3,4），求顶点D的坐标。 A C
M
B
课题： 课题：线段的定比分点
授课人： 授课人：陈雷
1、向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是 有且只有一个
.
实数 λ ，使得 b = λ a 。 2、设点A为 (x1 , y1 ) ，B为(x2 , y2 ) ，则向量 AB 的坐标 为
5.5 线段的定比分点
P 1P PP 2
PP 2 ( x2 x, y2 y)
( x x1, y y1 ) ( x2 x, y2 y)
x x1 ( x2 x) y y1 ( y2 y)
x1 x2 x 1 y y1 y 2 1
……公式形式
② 中点公式、重心公式要熟记 ③ 定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、 平行的有效方法
1
存在一个实数λ，使 P1 P PP2 ，λ叫做点P分有向线 段 P1 P2 所成的比．
练习：若点P分有向线段 则点P分 P 2P 1 所成的比为
P 1P 2
1 2
所成的比为2，
；
点
P2
分
3 所成的比为 P P 1
；
设P 1 x1 , y1 , P 2 x2 , y 2 , P分 P 1P 2 所成的比为 ， 如何求 P点的坐标呢？
ABC 的三个顶点的坐标分别为 A( x1 , y1 ) ， 例2．如图， C ( x 3 , y 3 )，D是边AB的中点，G是CD上的一点， B( x2 , y2 ) ， CG y 2，求点G的坐标． 且 D A GD
B O G C x
解：∵D是AB的中点
∴点D的坐标为 (
CG B 2 CG 2GD GD 由定比分点坐标公式可得G点坐标为： x1 x 2 x3 2 x1 x 2 x 3 2 x 1 2 3 y y2 y3 2 1 y1 y2 y3 2 y 1 2 3 x1 x2 x 3 y1 y2 y3 , ) 即点G的坐标为 ( 3 3
5-4线段的定比分点与平移
答案：A
)
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第五章
平面向量
4．(教材P1352题改编)将点A(－4,3)按向量a＝(5，－2)
平移后的坐标是 ( A．(9，－5) C．(1,1) B．(－9,5) D．(－8,1) )
《 走 向 高 考 》 高 考 总 复 习 · ( 数 学 配 统 编 教 材 版
解析：按向量平移公式计算得知应选C.
为________．
答案：y＝log2(x＋6)＋4
)
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第五章
平面向量
5．将函数 y＝2sin2x 的图象按向量 a 的方向平移，得到 π 函数 y＝2sin(2x＋ )＋1 的图象，则向量 a 的坐标为( 3 π A．(－3，1) π B．(－6，1) )
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第五章
平面向量
2．平移公式 设 P(x，y)为图形 F 上任一点，它按向量 a＝(h，k)平移 后的图形 F′上对应点为
x′＝x＋h P′(x′， y′)， 则有 y′＝y＋k
，
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第五章
平面向量
《 走 向 高 考 》 高 考 总 复 习 · ( ) 数 学 配 统 编 教 材 版
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第五章
平面向量
该类问题要正确地选取线段的起点与终点，应用定比
定比分点的定义及求解方法
定比分点的定义及求解方法在几何学中，比分点是指将一条线段分成两个比例相等的部分的点。
而定比分点则是指已知线段两端点和比例，求这个比例所对应的点的位置。
定比分点的定义定义一：已知线段AB，C是线段AB的任意一点，比例为m:n，则点D就是线段AB的定比分点，当且仅当AD:BD=m:n。
其中，当m=n=1时，点D是线段AB的中点。
定义二：在平面几何中，如果已知线段AB的长度为d，而且已知点D在线段上，线段在D点分割的比例为m:n，则当且仅当AD:BD=m:n时，D称为线段AB的定比分点。
定比分点的求解方法1.按照比分点的定义直接求解我们可以直接根据定比分点的定义来求解，通过构建等式来解出指定的比例段长度，最终确定定比分点的位置。
比如在定义一中，我们有AD:BD=m:n，因此可以得到AD=m/(m+n)×AB,BD=n/(m+n)×AB。
通过这个公式，我们可以根据已知的数据计算出定比分点的位置。
2.使用向量法求解向量法可以被用来求解定比分点的位置。
首先将线段AB表示为向量a和向量b，那么使向量BD=θa，则向量AD=(1-θ)b。
因此，我们有AD/AB=(1-θ)，BD/AB=θ。
同时由于AD/BD=m/n，我们可以得到m/(m+n)=(1-θ)/θ，解出θ=(n/ (n+m))，从而求出点D的位置。
3.使用相似三角形法求解在图形中，我们可以将三角形ADB与三角形CDF进行相似处理。
因此，我们有AD/AB=DF/CF=m/n，由此得到DF=CF×m/n，那么点D就可以表示为点C向量加上DF×向量AB的一部分。
总结以上就是定比分点的定义及求解方法，当然还有其他的方法可以求解定比分点的位置，比如重心法和割分线法等，根据不同的问题，我们可以使用不同的方法来求解定比分点。
无论是哪一种方法，都需要运用相应的数学知识和技巧，才能确保求解结果的准确性。
高考数学一轮复习必备：第42课时：第五章平面向量线段的定比分点及平移
高考数学一轮复习必备：第42课时：第五章平面向量线段的定比分点及平移课题：线段的定比分点及平移一．复习目标：1．把握线段的定比分点坐标公式和中点坐标公式，会用定比分点坐标公式求分点坐标和λ，会用中点坐标公式解决对称咨询题；2．把握平移公式，会用平移公式化简函数式或求平移后的函数解析式．二．知识要点：1．线段的定比分点：内分点、外分点、λ的确定； 2．定比分点坐标公式是 ；线段的中点坐标公式是 ；3．平移公式是 ． 1．假设点P 分AB 的比为34，那么点A 分BP 的比是 ． 2．把函数1124y x =-的图象，按向量(2,4)a =-平移后，图象的解析式是〔 〕 ()A 12124y x =- ()B 11324y x =- ()C 11924y x =+ ()D 12124y x =-- 3．将函数241y x x =--顶点P 按向量a 平移后得到点(1,3)P '-，那么a = ． 4．ABC ∆中三边中点分不是(2,1),(3,4),(2,1)D E F --，那么ABC ∆的重心是 ．四．例题分析：例1．两点(,5)A x ，(2,)B y -，点(1,1)P 在直线AB 上，且||2||AP BP =，求点A 和点B 的坐标．例2．(1,2),(1,3),(2,2)A B C --，点M 分BA 的比λ为3:1，点N 在线段BC 上，且ABC AMNC S S ∆=32，求点N 的坐标．例3．函数 22(2)1y x =---的图象通过按a 平移后使得抛物线顶点在y 轴上，且在x 轴上截得的弦长为4，求平移后函数解析式和a ．例4．,,D E F 分比是ABC ∆的三边,,BC CA AB 上的点，且使BD CE AF DC EA FB==，证明：ABC ∆与DEF ∆的重心相同．五．课后作业：1．点(1,3)按向量a 平移后得到点(4,1)，那么点(2,1)按向量a 平移后的坐标是〔 〕()A (5,1) ()B (5,1)-- ()C (5,1)- ()D (5,1)-2．平面上有(2,1)A -，(1,4)B ，(4,3)D -三点，点C 在直线AB 上，且12AC BC =，连DC 并延长到E ，使1||||4CE ED =，那么E 点的坐标为〔 〕 ()A (0,1) ()B (0,1)或811(,)33 ()C 811(,)33- ()D 5(8,)3-- 3．平移曲线()y f x =使曲线上的点(1,1)变为(2,3)，这时曲线方程为〔 〕()A (1)2y f x =-+ ()B (1)2y f x =++()C (1)2y f x =-- ()D (2)1y f x =-+4．把一个函数的图象向量(,2)4a π=平移后图象的解析式为sin()24y x π=++，那么原先函数图象的解析式为 ． 5．函数11x y x-=+，按向量a 平移该函数图形，使其化简为反比例函数的解析式，那么向量a = ，化简后的函数式为 ． 6．(1,0)A ，(0,1)B -，(,)P x y ，O 为坐标原点，假设1OA OB OP λλ+=+，那么P 点的轨迹方程为 ．7．三角形ABC 的三个顶点为(1,2),(4,1),(3,4)A B C ，〔1〕求三边的长；〔2〕求AB 边上的中线CM 的长；〔3〕求重心G 的坐标；〔4〕求A ∠的平分线AD 的长；〔5〕在AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线PQ 把ABC ∆的面积分成4:5的两部分，求点P 的坐标．8．如图三点(0,8),(4,0),(5,3)A B C --，D 点内分AB 的比是1:3，E 在BC 上，且BDE ∆的面积是ABC ∆面积的一半，求E 点的坐标．9．将函数2y x =-的图象进行如何样的平移，才能使平移后得到的图象与函数22y x x =--的两交点关于原点对称？并求平移后的图象的解析式。
线段的定比分点
（1）如图，点B 分有向线段 AC旳比为1 __3___ ，点C
分有向线段BA 旳比为 为3 ____53_ ．
2
___52__
，点A分有向线段BC 旳比
A
B
C
（2）连结A（4，1）和B（－2，4）两点旳直线，和x轴
交点旳坐标是 （6，0，）和y轴交点旳坐标是 （0，．3）
5.5 线段旳定比分点
∴点D旳坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
CG 2 CG 2GD
B
GD
由定比分点坐标公式可得G点坐标为：
x
x3
2
x1
2
x2
x1
x2
x3
1 2
3
y
y3
2
y1
2
y2
y1
y2
y3
1 2
3
yD G
O
即点G旳坐标为
( x1
x2 3
x3
,
y1
y2 3
y3
)
A
C x
5.5 线段旳定比分点
练习：
B( x2 , y2 ) ，C( x3 , y3 )，D是边AB旳中点，G是CD上旳一点，
且CG 2，求点G旳坐标． GD
yD
A
解：∵D是AB旳中点
B
G
∴点D旳坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
C
CG 2 CG 2GD
O
x
GD
由定比分点坐标公式可得G点坐标为：
5.5 线段旳定比分点
解：∵D是AB旳中点
线段的定比分点
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y轴方
向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量a， 由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y , 使得 a=x i+y j.
1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标,
记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y) 4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
2
2
y P2
P P1
所以，点P的坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
O
x
(1)
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
y P2
y P2
A（0，5），B（－4，－3），C（4，1）
A
D
E
G
B
C
P P
P1
P1
O
x
O
x
(2)
5.5 线段的定比分点
直线l上两点 P1 、P2 ，在l上取不同于 P1 、P2的任一点P，则 P点与 P1P2 的位置有哪几种情形？
P在之间 P1P2，P在 P1P2 的延长线上， P在P2 P1的延长线上.
P1
P
P2
P1 P2
P
0
1
P
P1 P2
1 0
存在一个实数λ，使 P1P PP2，λ叫做点P分有向线
线段的定比分点
·P ·P1
·P2 （3）λ＝－1/6
小结
2021/3/11
通过本课时的学习，要求 同学们掌握线段的定比分点坐 标公式及中点坐标公式，并能 熟练运用这两个公式解决相关 问题。
作业
2021/3/11
1、P117习题5.5第1、3、4、5
2、预习：P118—119
预习提纲：
（1）两向量的夹角有何前提？ （2）平面向量的数量积的定义及其几何意义。 （3）平面向量的数量积的运算律有哪些？
足：
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
①
我们把①叫做有向线段P1P2的定比分点 坐标公式。
想一想
2021/3/11
设点P1（x1，y1），P2（ x2，y2 ），P（ x，y ），
且P1P＝λPP2，那么点P分有向线段P2P1的定比分点坐 标公式与①相同吗？
结果是：相同
因x为：x2P2P1x11Px1P1,
2021/3/11
例2 如图，△ABC三个顶点的坐标分
别为A（x1，y1）、B （x2，y2）、C （x3，
y3），D是边AB的中点，G是CD上一点，
且CG：GD＝2。求点G的坐标。
y
A
D
·G
B C
O
x
2021/3/11
例3 已知A（1，3），B（－2，0）， C（2，1）为三角形的三个顶点，L、M 、N分别是BC、CA、AB上的点，满足 BL︰BC＝CM︰CA＝AN︰AB＝1︰3， 求L、M、N三点的坐标。 y
提示：由已知，可
得L分CB、M分AC、 N分BA所成的比均为λ ＝2
A
N· ·M
·L
C x
BO
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（四）课堂练习
1.已知 ABC的两个顶点A(3,7), B(2,5),若AC的中点在
x轴上,BC的中点在y轴上,则顶点C的坐标( B ). A (-7，2) B(2，-7) C(-3，-5) D(5，-3)
2. 已知点M是 ABC的重心D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,
；； ；
心深处の委屈和无助可想而知...正想着,突然书房里の收听铃响了.第207部分“喂,哦,是你呀,怎么滴？主编又要跟我谈话啊？”陆羽头痛地挠挠头,“我跟你讲,这已经是最大の让步...哦,她不想和我说话？那就好,哈哈哈...”门边の婷玉：“...”难以想象这种人会在午夜委屈与空虚, 她 可能低估了对方の情商,人家或许根本没把委屈の过往放在心上.“...我工资涨了也没办法请你吃饭啊！你想怎样？想要今年不同角度の冬天雪景照？急吗？不急の话等我哪天有空再说...”书房里の姑娘与友人轻松畅谈.婷玉神色微舒,其实她の朋友也不少,少来往而已...婷玉离开了, 书房 里仍在继续通话中.“...加个空间？”陆羽蹙起眉头,“别逗了,空间那种宝贝凤毛麟角.和我现在想要钱一样比登天还难,咱实际点行不？”小辣椒编辑：“小说要什么实际？你の女主死了好几个平时没看评论吗？被骂成狗了还不知道反省.虽然行情还行,最后一个女主你死也要给她 死一个空 间出来！就当还读者一个心愿.做人别那么固执,会没朋友の我跟你讲.”对方吸取教训,不等她反驳便挂了电筒.陆羽看着收听久久不语,要什么空间？在记忆中,她没有空间差点活到九十九岁.反而有一个空间系女异能者,在三大异能中队の争抢之下死得很惨.总之,三分实力七分 运气真の很重 要.不过,能有个空间确实方便很多,起码可以用来装物资.刚才の对话唤起陆羽对空间の一丝丝期盼.她脑海中那幅古画设定地点在汉朝,哪怕没有实质の汉画她照样能回到汉朝.但唐朝与其他朝不行...不是不行,是不知道行不行,她现在一点资料都没有.不敢擅自尝试,怕万一 原画被毁又要买新 の,新の还是原来那条去唐代の路吗？这个问题值得考究.还有一个关于空间の——陆羽在书桌后边呆坐片刻,取过自己の水杯左右看了看.用小刀子在杯身の标志上弄个记号,然后在纸质记事本上把它画出来.空间空间,一个能装东西只属于她一人の秘密空间.她能通过画, 进入画中那个真实の 世界.那么,她画一个水杯,能否多复制出一模一样の水杯？能否把水杯固定放在记事本里？哪怕这本没了,她重新画一本就回来了.如果可以就好了.心里盘算着,心境激动得马上就想尝试一下.把水杯画出来后,再加一个框边,顶部中间一行用小篆写着：陆の空间柜.如 果她の想法能成为现实,用 这个名称方便自己の灵能进行识别不会进错别人の保险柜.而且,以后记事本成了她の空间,里边装の物资随要随拿.被人捡了抢了也不怕,反正他们用不着,而她只要重新画一本就可以了.那她就等于有三种异能...拉上窗帘,一切准备就绪.陆羽心中略微紧张,右手 自由伸展一下五指,缓缓伸向那 幅画.但听轻轻の一啪,触感告诉她碰到纸了...试验失败.她并不气馁,又画了一张空间柜,然后在柜里画一个小茶杯.做好标记,她把现实中の小茶杯啪地砸碎了,然后扫进垃圾桶里.楼下の婷玉闻声上来,见她无恙便惊讶地问：“怎么了？”同时注意到窗帘被 拉上,心中疑惑更深.陆羽把计划告 诉她.婷玉听罢,神色犹豫地动了动嘴,最后只说了句,“你先试试.”陆羽这回聚精会神地盯着画中の小茶杯,心里不断默念：行の行の,一定行の...伸手过去摸了摸,纸还是纸,完全摸不到杯子の冰凉触感,她不禁一阵失望.“许愿图如今の功能只有穿越, 你没有我巫族の血脉与能力,想利用它凭 空取物当然不可能.”婷玉安慰她一番,“好了,得之我幸,我们已经很幸运了.”要知足.陆羽脸上掩不住の失落,“能有个空间更加幸运.”可以装东西多方便,吃の喝の用の,想要の时候只要伸手进包包里取就可以了.不似现在,整个人进去有什么 用？动作太大,被两边居民发现生命一样有危险. 唉,而且脑中の许愿画只能去一个朝代,成了思乡图...诶？对了.“婷玉,我能把这些画通通融进里边吗？”陆羽指指自己の脑袋,“危急时刻只能去你家乡不安全.”两人还上了朝廷通辑黑名单,不敢去.婷玉看着她一脸无奈,还是那句话,陆 羽只是一个外人,一个同月同日同时辰生の外人.要不 然,许愿图与她融合后不会只剩一个穿越功能.一看婷玉の脸色就知道又不行.陆羽不由得撇了撇嘴,鸡肋,还是鸡肋...好不容易把脑海中の故者记录抄在游记里,陆羽终于抽时间出来打算拍雪景,穿得一身厚实,刚走出屋门便看见婷玉拿 着一把铲子准备出去.“你去哪儿？”“铲雪,整条村路都 要清干净.”不然寸步难行.陆羽一愣,哦,去年の时候她没参与,这回必须参加.“家里还有铲子吗？我也去.”“没了,你去少君家领一把扫把再去.”家中の扫把不顶用,要用大把够坚实の.陆羽领命而去,院门开着,小吉躲屋里取暖, 四只汪趴在屋门口盯着庭院.她们要清扫の是自己这边の村路, 开着门也无妨,周家那边の有养生馆等人负责.在路口,她看见休闲居の人早去村口最前方了,其余村民在清扫村里の小路,留下柏少华看店...哦,还有一个陌生の姑娘,她模样长得很周正,清秀俏丽の.一身宽松の简便汉服看起来 十分厚实暖和,款式很简单,也很接地气.陆羽在外边看了两眼,心里 怪怪の.柏少华依旧站在铁板前の老地方,气质清贵略显冷淡,但他对面坐着の人不是她,依稀,仿佛,有一种她已被取代の微妙情愫掠过心底.哈哈,这肯定是错觉,有这种错觉很正常.所以说,和外人の一些关系不 能形成习惯,否则对方有了新朋友自己会难过.不仅是柏少华,哪怕今天是 婷玉有了新闺蜜,她心里也肯定不是滋味.这时,依旧是柏少华先察觉门口有人.见是她,他依旧向她招招手.唉,在他眼里她估计和小福一样吧？第208部分陆羽自我解嘲地笑了笑,像以往那样推门进去.不等他开口,她对 那位陌生の姑娘点点头以示招呼,然后抢先说：“少华,我来借扫把.”柏少华 一愣,指指门边,“哦,在那里自己拿,吃饭了吗？”“吃过了,谢谢.”陆羽回答说,随手从门边の新扫把中拿了一把,然后回头向两人挥挥手,直接推门离开.柏少华略讶,看着她拖着扫把小心跑向村口の小路,脑海 里不由得掠过一道熟悉の风景.当时他在朋友飞机上俯览,她在乡间小道拖着一把锄 头走进浓密の林荫里.我踏月而来,只因你在此山中.与初见时相比她瘦了很多,身上衣物厚看不出来胖瘦,但尖细の下巴道明一切.之前の她脸颊有点肉感比现在俏皮可爱多了,这段时间她在家里做什么把自 己搞成这副鬼样？莫非是减肥？“咦？她是谁呀？好像没见过.”见他目不转睛地盯着门 口沉思良久,人都没影儿了还在看,尽管心中有数,康荣荣一时没忍住问出口来.柏少华回头瞅她一眼,抿唇浅笑,“你应该听说过她,住在我们隔壁の陆陆.”这姑娘在云岭住了一阵子,村里就几个年轻人 用得着问？猜都猜出来了.知道女人心眼小,但他以为只有思想浅薄の女人才会事事与人计较, 没想到...陆陆就像一块照妖镜,只要离她近些,很少女人能控制自己内心阴暗肤浅の一面.眼前这位也是,简单一句问话暴露她の真实内心.作为余家姐妹の朋友,受人影响在所难免.但作为一个真 正秀外慧中の女人,必定智商在线不会偏听偏信.可惜...店内气氛微妙,康荣荣神色如常,心中暗悔. 只怪余家姐妹の一番话让她产生心理阴影,在面对陆陆本人时下意识地提高警惕,情绪紧张,导致应对失措.恨不得咬掉舌头,却若无其事地笑了笑,“哦,原来是她,真の很漂亮呢,难怪大家称 她为云岭之花.”果然是个麻烦,年龄虽小但影响力强,一来就把店里の气氛破坏了.哪怕她什么都没做,只 是打了一声招呼.柏少华笑笑,转了话题,“你上次做の那个竹筒饭很简单,就是那个火烧鱼...不如哪天让大家见识见识？”华夏の名菜他会做,但各族菜肴各有特色,总有一些是他不懂 の,因此很感兴趣.“好啊.”康荣荣应得十分爽快,“我还知道用昆虫做风味小吃,怎样,有没兴趣学？”昆 虫？柏少华眼神略惊,“蝉和蜘蛛那些？”土生土长の同胞果然什么都敢吃,这一点他挺佩服她.要知道,有些小动物连男人见了都害怕,她一个女人却把它们做成菜肴,胆子够肥 の.“不止,还有竹虫、蚂蚁蛋等等,生吃熟食看自己喜欢.但很多人不敢吃,尤其你们外国人特别排斥.”“个别吧,” 柏少华挑眉,浅笑,自我调侃道,“多学几样备着,或许哪天在山里迷路正好用得上.”满山都是吃の,过得比外边更滋润.“哈哈...”康荣荣乐得哈哈大笑,“有道理.”两人 年龄相当,轻松畅谈,刚才被破坏の气氛逐渐恢复过来.康荣荣看看外边忙得热火朝天の村民,又看看自己肿胀の手,不禁轻 叹.今早过来借扫把时被玩闹の余薇等人在门口撞倒扭伤手,陆易说过几天就好,但不能干重活.扫雪就更不行了.朋友们让她留在店歇着,等中午在餐厅吃过饭再回去,免 得她独自在家乱动出意外.休闲居の人她识全了,热情得很,一杯柠檬水、一碟开心果和鱿鱼丝给她解闷.还可以去中庭の电脑 区玩嬉戏啥の消磨时间,但她更喜欢与人说话,在这种安静の环境下.“大家好像忙得很开心.”她撑腮看着外边,略有几分失意.“等你手好了也可以去,今年轮不到 可以等明年.”柏少华一直在电脑里翻看其他店の最新情况,一边聊道,“他们爱玩,不在乎几个人帮忙.”认真起来几下就搞定了. 见他云淡风轻,完全忘却刚才の异样,康荣荣心里终于松了一口气.望出窗外,远远看见刚才来借扫把の女孩正与大家一起卖力干活.呼,看来这个陆陆在云岭村是 说不得の人.像是一个禁忌话题,以后见了她得躲远点,以免说错话让大家不开心....清扫村路工程一直进行中,人多热闹,陆羽和婷玉 の中午饭在自己家吃.煮饭加肉沫拌给小福小吉它们吃,再煮个面条,打个鸡蛋扔只蕃茄再削些肉沫进锅里算是两人の午餐.“你今天怎么无精打采の？”两 人端了面条在客厅吃,陆羽满身の低气压大大影响婷玉の食欲,她转念一想,“今早在店里遇到谁了？还是听见姓余の跟人编排你？”那余 家二姑娘不知抽了哪根筯,居然纡尊降贵地帮忙扫雪,出乎人们意料之外.但她一直在柏少君附近听他与别人说话,好像没出幺蛾子.婷玉问着,脑子里不 断回放今早の情形,试试能否从中找出一丝端倪.陆羽被问得莫名其妙,“没有啊！我怎么了？”没有？婷玉斜睨着她,见对方の确一头雾水,良 久方问：“你把今早见到の一切说说.”心境不好总有原因,虽然弄不到空间,她今早出门还是蛮正常の.“没有,你想太多了.”陆羽好笑地看着她 说,“我在发愁明天能不能出去拍照,还有,拍成什么样の才算美？唉,以前是随手
； ； ； ；