定比分弦公式讲解
定比点差法及其应用解说
定比点差法及其应用解说一、定比分点若，则称点为点、的定比分点．当时，点在线段上，称为内分点；当（）时，点在线段的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为二、点差法点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。
若点在有心二次曲线上，则有两式作差得此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．1、弦的中点点差法一个妙用：例1 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为的中点，求证：为定值。
分析用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。
解设，，在椭圆上：，作差得：即：，因为所以，为定值。
以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。
考虑当椭圆为圆的时候，，则，，正好也符合圆的“垂径定理”。
在双曲线中同样有类似的结论，但定值为，在这里就不再推导了。
2、弦上的定比分点当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：设，，，则点坐标可以表示为：，证明设，，化简可得：，同理这时候就出现了这样形式的式子。
如果再凑出，可能大家就会有点感觉了：可以将椭圆的方程乘上一个再作差，得到这样的式子。
因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。
例2 已知椭圆，在椭圆外，过作直线交椭圆于两点，在线段上且满足：，求证：点在定直线上。
分析按照以上思路，要出现和这样的式子，很容易想到设的坐标，再表示出的坐标。
解设，，，则，结合图形得：则，在椭圆上：①，②得：即，所以在定直线上。
下面介绍定比点差法：若点在有心二次曲线上，则有两式作差得这样就得到了例7、过异于原点的点引椭圆的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足．求证：点在直线上．证明：直接运用定比点差法即可．设，则有，设，则有又因为点在椭圆上，所以有两式作差得两边同除以，即可得到命题得证．例8、已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于两点（可以重合），求的取值范围．解析：设，，则．于是，于是又因为点在椭圆上，所以有两式相减得将(1)代入(2)中得到由(1)(3)解得从而解得的取值范围为，于是的取值范围为．例9、设、为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，直线分别交椭圆于异于的点、，若，，求证：．证明：设，，，则于是有又由点在椭圆上得到两式相减得从而有结合(4)式可解得同理可得结合(5)式得到于是有整理得，命题得证．例10、已知椭圆，点，过点作椭圆的割线，为关于轴的对称点．求证：直线恒过定点．解析：因为三点共线，三点也共线，且三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．设，，则，设与轴的交点为，，，则于是有由点在椭圆上得两式相减得将(2)代入(3)得。
定比分点公式
定比分点公式
定比分点坐标介绍
定比分点坐标公式是数学中一种重要的工具，如果应用得当，常常可以巧妙地解决函数、等差数列、解析几何和不等式中的一些数学难题。
和两点间的中点公式一样，定比分点公式是一种给出中点坐标的公式。
定比分点应该理解为：“固定比例分割点的坐标公式”，中点公式是他的一种特殊情况。
我们可以用它寻找三角形的内心、质心和外心。
他是在一个线段中按照固定比例将线段分为两部分。
定比分点坐标公式是：
x=(x1+kx2)/(1+k)
设x轴上点A(x1)，B(x2)，坐标分别为x1，x2，点M(x)分AB为定比k：AM：MB=K
则（x-x1)：（x2-x)=k
去分母得：x-x1=kx2-kx
所以x(1+k)=x1+kx2
所以x=(x1+kx2)/(1+k)
这就是定比分点的坐标公式
类似的方法可以推导平面上的定比分点的坐标公式
设A(X1,Y1),B(X2,Y2),点M(X,Y)分AB为定比k：AM：MB=K
则有公式x=(x1+kx2)/(1+k) , y=(y1+ky2)/(1+k)。
椭圆定比分弦公式例题
椭圆定比分弦公式例题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：椭圆是一种几何图形，它的形状类似于椭圆形的球体，其在平面上的表示方式是一条围绕两个焦点的曲线。
在数学中，椭圆有许多性质和公式，其中最重要的之一就是椭圆的定比分弦公式。
椭圆的定比分弦公式是一个关于椭圆焦点、椭圆长轴的长度和椭圆的焦距之间的关系。
在椭圆中，如果我们有一条分弦，它与椭圆焦点的距离的平方与椭圆长轴的长度的平方之比是一个常数，这个常数就称为椭圆的定比分弦常数。
椭圆的定比分弦公式可以表示为：\[\frac{FP^2}{a^2} - \frac{FP'^2}{a^2} = 1\]\(F\) 和\(F'\) 是椭圆的两个焦点，\(P\) 是椭圆上的一点，\(a\) 是椭圆的长轴长度。
为了更好地理解椭圆的定比分弦公式，我们可以通过一个例题来说明。
例题：给定一个椭圆，其长轴长度为6，短轴长度为4，求椭圆上一点到两个焦点的距离之比为5:3的点。
解：我们知道椭圆的焦距可以通过椭圆的长轴和短轴长度来计算，即：\[c = \sqrt{a^2 - b^2}\]椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离可以表示为：\[\frac{-4ax}{36} = 1\]此时，我们已经求得椭圆上与两个焦点的距离之比为5:3的点的横坐标为\(-\frac{3}{4}\)，为了求得该点的纵坐标，我们可以将其代入椭圆的方程中。
椭圆的标准方程为：代入已知值，得到：\[1 + 4y^2 = 64\]椭圆上与两个焦点的距离之比为5:3的点的坐标为\((-\frac{3}{4},\frac{3\sqrt{7}}{2})\)。
通过这个例题，我们可以更加深入地理解椭圆的定比分弦公式，并且掌握如何利用这个公式求解具体问题。
在实际应用中，椭圆的定比分弦公式可以帮助我们解决各种工程和科学问题，比如在天文学中用来描述行星轨道的形状，或者在工程中用来设计汽车和船只的轨迹。
学好椭圆的定比分弦公式对于提高数学能力和解决实际问题都具有重要的意义。
定比分点的向量公式及应用
定比分点的向量公式及应用向量是在数学中广泛应用的一种重要概念。
在向量中，可以定义加法、减法和数量乘法等运算，这些运算规则以及向量的模、方向等性质，使得向量在数学、物理和工程等领域的应用中具有重要的意义。
在计算机科学和计算机图形学中，向量被广泛用于表示三维空间中的点、方向和位移等概念。
这些向量通常表示为[x,y,z]，其中x、y和z分别表示在三个坐标轴上的分量。
定比分点的向量公式可以用于计算两个点之间的中点、分点以及线段的长度。
假设有两个点A和B，它们的坐标分别为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，我们可以使用如下的公式来计算两个点之间的中点：M=(A+B)/2其中M是点A和点B之间的中点，"+"表示向量的加法运算，"/"表示向量与标量的除法运算。
通过这个公式，我们可以计算出两个点之间的中点的坐标。
在计算两个点之间的分点时，可以使用类似的方法。
假设有一个分点P，它位于点A和点B之间的t比例处，我们可以使用如下的公式来计算分点的坐标：P=A+t*(B-A)其中t是一个介于0和1之间的比例值。
当t等于0时，分点P的坐标就是点A的坐标；当t等于1时，分点P的坐标就是点B的坐标。
通过改变t的值，我们可以在点A和点B之间找到任意位置的分点。
除了计算中点和分点之外，向量的长度也是一个重要的概念。
在三维空间中，向量的长度可以通过计算其模来获得。
一个向量的模定义为其各个分量的平方和的平方根。
对于一个三维向量V=[x,y,z]，其模的计算公式如下：V， = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)通过计算向量的模，我们可以获得向量的长度信息。
定比分点的向量公式在计算机图形学中有许多应用。
例如，在三维建模中，我们经常需要计算物体的表面上的点的位置和属性。
通过定比分点的向量公式，我们可以在物体的两个顶点之间找到任意位置的点，从而进行物体的细分或者其他形变操作。
此外，向量的线性插值也是一个重要的应用。
定比分点公式的推导和应用教案
定比分点公式的推导和应用教案教学目的使学生掌握线段定比分点的意义和公式，并能应用此公式来解题．教学过程一、启发学生提出问题(在教师帮助下，让学生通过分析事物的内在联系，自己得出研讨的问题——“求线段的定比分点”．)师：在平面几何中曾学过，给出一线段，就可以定出它的中点及三分点．如图1，以上三个定点问题，怎样改用解析几何的语言呢？师：对！我们先分析一下，这些问题之间有没有什么联系，能不能用一个更一般的问题来概括它们呢？[教师引导学生将特殊问题一般化，让学生逐步了解熟悉这种认识事物的重要的思维方法．]要知道这些问题之间的联系，首先要分析一下，在平面几何里，是用什么方法来定出线段的三等分点的？其方法如下：现在请同学们想一想：在上面分别定出三个点的位置的方法中，有哪些是相同的，这样，我们知道，定出这些点的位置，可以用一种本质上相同的方法．先取定(可根据学生实际情况，调整填充的空格．)由图 4(1)～(5)可知：________之间，且|BC|越大，λ________，点P越近________．[继续让学生分析图 5(1)～(5)，进行讨论．]线段________，且|BC|越小，λ越________．P点越接近________．线段________，且|BC|越大，λ越________，P点越接近________．师：对上述十个图的分析归纳，可以发现：除了λ=－1以外，对每一个定比λ二、引导学生解决问题让学生自己解决所提出的问题．教师针对实际情况给子启发，帮助学生找到问题的解法．一要注意指导“解法”是如何想到的；二要注意结合学生自己的思路来指导．一部分学生将图画成图6，并按这一特殊情况来解．这时向他们指出不足，并启的解法是否适用？于给我们的条件是“几何的”，因此想到从寻找与这些“数”对应的“几何元素”之当一个问题有许多可能情形时，一般可以先考虑简单的情况．(这是一种有用的思考同样可得出结论．有些学生列出公式时，要指出：这样想是合理的，但要从这个式子中求出点P的坐标x、y是不可能的．于得到，于是有式子：解由①②组成的方程组，求出x、y，但运算太繁了．最后教师归纳得出定比分点的公式：时，点P的坐标是三、培养学生编制问题导出了定比分点公式以后，组织学生自己编制练习问题，使学生加深对定比分点公式的认识，并培养他们运用数学知识解决问题的能力．(1)先提出一些可以用公式来解的问题．是独立的(已知其中三个，另一个就被确定)，所以应该讲已知独立的五个，可以利用公式求得另外两个．如果像上面的问题那样，给了四个不独立的量，那么或者点立量的问题，不能只看形式，要看实质．[学生边编题、边解答，有利于知识的巩固．]四、布置作业针对不同情况的学生布置作业．有些学生可以做课本上的练习；有些学生可以做段AB的一个定比分点？如果是的话，P在AB上还是在它的延长线上？”还可以让有些同学编制“练习题”作为作业．自我评述(1)在中学数学教学中，对发现问题和提出问题的能力的培养，还远不如解决问题来得重视．学生只习惯于从教师或书本上得到题目，自己却不善于提出问题，编制题目．对科学发展来说，提出问题和解决问题是同样重要的．这里设计了培养学生这方面能力的一个教学过程．但从培养发现问题的能力来看，还是不充分的．这是考虑到当前使用的教材和学生的实际情况，目前在课内的步子只能小一点．例如，如放弃现行课本上定比分点公式的形式，就可较多地放手让学这里λ可取任意实数，而且0＜λ＜1时，P为内分点；当λ＞1时，P为外分点，在目前情况下，我认为培养学生发现问题与提出问题的能力，可以采取延续到课外的补救措施．例如，在上一节课结束时，可布置给学生思考：“给定两点位置后，除了两点间距离外，还有什么别的随之确定下来的东西．”或“给定三个点，它们有哪些可能的位置关系？有哪些东西随这三个点的位置的确定而被确定下来？能不能用它们的坐标来反映？”这些问题不要求全体同学去做，课后教师可在有兴趣、有余力的学生间作些了解和引导．在这一节课上课时，就可以让这些学生提出获得的结果与存在的问题，然后在此基础上展开教学．(2)在解决问题的教学过程中，教师主要的任务是揭示“解法”是如何“想到”的．凡是学生自己能够得出的要让他们自己去解．同时让学生自己编出一些应用某一数学公式可以解得的题目，更能使学生理解所学的知识，培养他们应用知识于实际问题的能力．这是符合数学知识的抽象性与应用的广泛性的特点的，这样做也更能提高学生的学习积极性，发展它们思维与联想能力．(3)不同学生应布置不同的作业．有些学生应该解一些理解公式和记住公式的练习题；有些学生则可要求他们编一些“有质量”的问题，并且互相交换着解这些问题．如果编的题目中出现一些矛盾，那么也可以促使学生去研究，这样有利于因材施教，使学生学得更加主动．数学教学中，要让学生记住一些概念、公式、法则．有时教师可以指出一些帮助记住“某一公式”的记忆方法；有时教师要系统地考虑“某一公式”出现的次数与间隔．但我认为，这不等于培养记忆能力．“能力”是要通过“实践”才能得到的，在数学教学中考虑如何安排“记忆”的实践，至少目前还不现实．所以，本课中我考虑了定比分点公式的记忆，但没有提培养记忆能力．。
定比分点、正余弦定理知识讲解
定比分点、正余弦定理知识讲解1．若→→=21PP P P λ，则称点P 分有向线段→21P P 所成的比为λ。
注意：“定比”不是“比”，点分有向线段所成的比，是用数乘向量定义的，而不是两个向量的比。
当P 为外分点时λ为负，内分点时λ为正，P 为中点时λ=1，若起点1P (x 1,y 1)，终点2P (x 2,y 2)，则分点P (x 0,y 0)的坐标为：x 0=λλ++121x x ,y 0=λλ++121y y 。
由此推出：中点公式及三角形的重心公式:在⊿ABC中，若A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）、C （x 3,y 3），则⊿ABC 的重心G （1233x x x ++，1233y y y ++）。
[举例1]设O （0，0），A （1，0），B （0，1），点P 是线段AB 上的一个动点，λ=，若⋅≥⋅，则λ的去值范围是： A ．21≤λ≤1 B ．1-22≤λ≤1 C ．21≤λ≤1+22 D ．1-22≤λ≤1+22解析：思路一：λ=⇒)(+=λ⇒→→-=PB AP λλ1，即P 分有向线段所成的比为λλ-1，由定比分点坐标公式得：P （1-λ，λ）,于是有OP =（1-λ，λ），=(-1,1),=（λ，-λ），=（λ-1，1-λ），∴λ-1+λ≥λ(λ-1)- λ(1-λ)⇒ 2λ2-4λ+1≤0⇒1-22≤λ≤1+22。
思路二：记P(x,y)，由λ=得： (x-1,y)=(-λ, λ)⇒x=1-λ,y=λ即P （1-λ，λ），以下同“思路一”。
思路三：=(-1,1)，=（-λ，λ），=（λ，-λ），=+=（1-λ，λ）， PB =AB PA +=（λ-1，1-λ），以下同“思路一”。
[举例2]已知⊿ABC 中，点B （-3，-1），C （2，1）是定点，顶点A 在圆（x+2）2+(y-4)2=4上运动，求⊿ABC 的重心G 的轨迹方程。
解析：记G （x,y ）,A(x 0,y 0),由重心公式得：x=310-x ,y=30y,于是有：x 0=3x+1,y 0=3y ，而A 点在圆（x+2）2+(y-4)2=4上运动，∴（3x+1+2）2+(3y-4)2=4,化简得：94)34()1(22=-++y x 。
定比分点的定义及求解方法
定比分点的定义及求解方法在几何学中，比分点是指将一条线段分成两个比例相等的部分的点。
而定比分点则是指已知线段两端点和比例，求这个比例所对应的点的位置。
定比分点的定义定义一：已知线段AB，C是线段AB的任意一点，比例为m:n，则点D就是线段AB的定比分点，当且仅当AD:BD=m:n。
其中，当m=n=1时，点D是线段AB的中点。
定义二：在平面几何中，如果已知线段AB的长度为d，而且已知点D在线段上，线段在D点分割的比例为m:n，则当且仅当AD:BD=m:n时，D称为线段AB的定比分点。
定比分点的求解方法1.按照比分点的定义直接求解我们可以直接根据定比分点的定义来求解，通过构建等式来解出指定的比例段长度，最终确定定比分点的位置。
比如在定义一中，我们有AD:BD=m:n，因此可以得到AD=m/(m+n)×AB,BD=n/(m+n)×AB。
通过这个公式，我们可以根据已知的数据计算出定比分点的位置。
2.使用向量法求解向量法可以被用来求解定比分点的位置。
首先将线段AB表示为向量a和向量b，那么使向量BD=θa，则向量AD=(1-θ)b。
因此，我们有AD/AB=(1-θ)，BD/AB=θ。
同时由于AD/BD=m/n，我们可以得到m/(m+n)=(1-θ)/θ，解出θ=(n/ (n+m))，从而求出点D的位置。
3.使用相似三角形法求解在图形中，我们可以将三角形ADB与三角形CDF进行相似处理。
因此，我们有AD/AB=DF/CF=m/n，由此得到DF=CF×m/n，那么点D就可以表示为点C向量加上DF×向量AB的一部分。
总结以上就是定比分点的定义及求解方法，当然还有其他的方法可以求解定比分点的位置，比如重心法和割分线法等，根据不同的问题，我们可以使用不同的方法来求解定比分点。
无论是哪一种方法，都需要运用相应的数学知识和技巧，才能确保求解结果的准确性。
等弦长定比弦长及定比弓高两圆
等弦长定比弦长及定比弓高两圆
南江石 2018年3月25日
圆的割线，与圆（圆弧）有两个公共点的直线叫做圆的割线。
圆的弦，圆（圆弧）上两点的连接线段叫做圆（圆弧）的弦。
弦是割线的一部分线段。
公共弦线：两圆相交，两交点的连线为公共弦线——共弦线，共割线。
相交弦定理
相交弦定理（Intersecting Chords Theorem ），数学术语，是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。
相交弦定理推论
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。
几何语言：
若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P ， 则
PB PA PC ∙=2（相交弦定理推论）
共弦线垂直于连心线
AE 、BE 、CE 、DE 为弓高
DE CE BE AE ∙=∙
两圆相交，共弦线对应弓高成反比
BE
DE
CE AE =
题目1，等弦长两圆
解题1
解题2
解题3
题目2，定比弦长两圆
解题1 解题2
解题3 解题4
题目2，定比弓高的圆解题1
解题2 解题3。
抛物线焦点分弦成定比的性质及应用
320*****护B图当入在ACBB'中bb ' rBF\ = 2.由性质(2) I AFI ：l BF\ ：p = A ：1 :尹yA + 1十，得I BCACB~BB廿，得 P =' FF ‘ABB'\ 艮&FF f I ，即入+入—=I BBT 即 丨BC =I 4"丨'即I BC 丨+入入+ 1a - r由勾股定理得I CB'2你入一 1A ：1:rr-^-7.所以 I AFI ：丨 BFI ：p =入：1 :尹A + 1 A +入+1/A -r「丄孑 I CB f \ 2A 、…八1时怡締=「站=厂万；当°<入中学数学研究2019年第6期参考文献[1]刘亚利，张旭艳.圆锥曲线中三点共线问题的解题策略抛物线焦点分弦成定比的性质及应用N 三点共线.证明过程与猜想2的证明过程类似，在此不再赘述.探究[J].数学教学,2017(11):44-46.福建省漳州市厦门大学附属实验中学(363123)张发斌抛物线的焦点弦具有很多性质，在解题过程中 灵活应用这些性质能简化运算，起到事半功倍的作 用.本文就抛物线的焦点分焦点弦成定比的性质及 其应用进行举例说明：性质 过抛物线y =2px(p >0)焦点F 的直线2交抛物线于两点，且看=5—皿加,所以麗鸽爲例1过抛物线長=4x 的焦点F 作斜率为舛的直线，交抛物线于两点，若石=A FB(A >1),则 A = ()•A. 3B.4C.5D.6解：由性质(1)：% =扌各=存，解得入=3.故选4.例2 设抛物线y 2 = 2px(p > 0)的焦点为F,过焦点且斜率为2Q 的直线交拋物线于A 、B 两点,且\ AB\ =6.则拋物线的方程为_________.解:根据性质(1):% =書 = 2Q,解得入=2,即石 =2FB .又因为= 6,所以IAFI = 4,得P = y-所以拋物线的方程为y 2 =学皿例3 已知4』是过抛物线犷=2px(p >0)的 焦点F 的直线与拋物线的交点，F 是坐标原点，且满A FB(A > 0 且 A # 1).贝Q(1)直线AB 的斜率k AB=-^-；(2) \ AF\： \ BF\ :p A — 1证明:设抛物线准线交％轴于F,分别过A /作 准线的垂线，垂足为A\B',直线2交准线于C,如图1所示.不妨设丨 BF I = 1, I AF I = /I .则丨 BB' I = 1,I 止4'丨=入由ACBB'^ACAA',^以行右晋需= 茗所以直线AP 的斜率A — L33PA I BF X图方程组得 p =2,PB I ~FB\3 Q所以 I BF I 二寺故 I 4B I =3 \ BF\ = y心•皆\ c AA f I BB' I =2019年第6期中学数学研究过圆锥曲线准线上一点的切割线性质江西省赣州市第一中学(341000) 宁荣富足石=3 FB,S aoab =^-\ AB \,则 I M I 的值为再由性质（2）知丨BF\：p = 1 :芒y = 1 :y,到直线的距离"占普p.所以S aw =-----Yi (c£ (a a /c 212 + b 4 - ct 2) ,62 ( ct 2 - a b + c £。
高中数学解题方法系列：解析几何中的定比分点
3
OP
1
OB
1
1
OA
OAOP
OA( 1
OB
1 1
OA)
1
6
1 1
9
6 9 1
6
3 1
[0,
)
1
[1,
)
3 1
(0, 3]
，所以答案选
C
。
这种题显然是利用 的取值范围来求值简单。
七、比而不求，转化为向量平行来解决。
我们看这样一道题目，看似定比分点，仔细审题，这道题其实可以比而不求，转化为向
解：（1） m 1；（2）设 P(x0 , y0 )
点
P
在椭圆上得
x02 m 1
y02
1
……㈠
因为直线 PF1 与直线 PF2 垂直
所以
y0 y0 1 （ c m ）……㈡
P
x0 c x c
由㈠
㈡ 得 x0
m2 1 m
PF
由 QF2 (2 3)F2P 知
QF2 PF2
QF2 PF2
(
3k 2 6k 3k 2 1
1
,
3k 2 3k 2
2k 1
1)
所以
kCD
3k 2 2k 1
3k 2 1 3k 2 6k 1
3k 2 2k 1 3k 2 1
3k 2 6k 1
1 3
，
3k 2 1
3k 2 1
而 kAB
1 3
所以 CD∥AB
所以 存在 ，使得 AB CD
当然，与定比分点的题型解法，多种多样，这里只简单提几种情况，有待进一步发掘和学
N 在动点 P 的轨迹上，且 DM DN ，求实数 的取值范围。
定点分比定理公式
定点分比定理公式
特定点分比定理（proportion at a point theorem）又称为特定点
分比定理或分数定律，是描述一定范围内的相似形状之间两点之间比例关
系的几何定律，其几何性质是：两个相似形状之间，将其分割成两部分，
比较其中的两点，它们之间的比例关系一定是相同的（即比分比），只不
过缩放的比例因子不同罢了。
特定点分比定理通常是指以下形式：
设两个形状相似，A1A2和B1B2之间的比例关系为A1:B1=A2:B2，若
知B1B2的长度为l，则A1A2的长度为l×A1:B1
通常，当两个相似形状里有三个特定点时，就可以用特定点分比定理
计算出缩放比例因子，其形式为：
设两个形状相似，A1A2和B1B2之间的比例关系为A1:B1=A2:B2，
A2C2,B2C2之间比例关系为A2:B2=C2:B2，若知A1A2的长度为l1，B1B2
的长度为l2，则A2C2的长度为l1×A2:B2，B2C2的长度为l2×A2:B2它的应用也很多，例如：可以用来校核几何设计，计算多边形中角度
大小和边长大小，计算放大和缩小比例，计算弦问题，等等。
特定点分比定理可以与正方形分解定理，圆心角定理，差分平方定理，三角函数定理，反三角函数定理等结合起来，用于求解更加复杂的几何问题，比如计算三角形的面积。
浅谈解析几何中的定比分点
浅谈解析几何中的定比分点解析几何是我们高中阶段的重要内容，很多同学怕解析几何，说到底是怕解析几何中的计算，特别是方法用得好不好会直接影响到计算的繁简，而定比分点是我们解析几何中十分重要的一块内容，无论是课本还是平时的练习题，定比分点内容都占一定的比重，定比分点用得好会简化较多的计算。
定比分点用法较多，大体分为：直接与间接。
直接用法有三种：1、定义直接用： （采用向量来解决）AP PB λ=例如在OAB 中，，OD 是AB 边上的高，若，则实数等于∆,OA a OB b ==AD AB λ= λ（ ）ABC D2()a b a b a⋅-- 2()a ab a b⋅-- ()a b a b a⋅-- ()a a b a b⋅--本题直接采用向量来解答：AD AB λ= ⇒()OD OA OB OA λ-=- ⇒(1)OD OB OAλλ=+-0OD AB = A ⇒2()a a b a bλ⋅-=-2、直接用公式；1ABpxx xλλ+=+1ABpy yyλλ+=+3、直接用向量相等 。
,()(,)P A B P PABPyyy yx x x x λ--=--直接用定义做的题比较少，因为直接用定义，不能较好训练学生的思维，采用间接的题型比较多，大致有以下几种：一、将线段比转化为定比分点例如：已知 ,，且 ，求适合条件的点P 坐标。
1(4,3)P -2(2,6)P -122PPPP =分析：这你种题较简单，解题过程不赘述，这是典型的将线段转化为定比分点来解决。
二、将定比分点转化为线段的比，从而用几何法解题。
例如：设椭圆E ： 的两个焦点是与 （），且椭圆上存在一2211x y m +=+1(,0)F c -2(,0)F c 0c >点P ，使得直线PF 1与直线PF 2垂直，（1） 求实数m 的取值范围；（2）设是相应焦点的准l 2F 线，直线PF 2与相交于点Q ，若，求直线PF 2方程。
l 22(2QF F P =解：（1） ；（2）设 点P 在椭圆上得……㈠1m ≥00(,)P x y 220011x y m +=+因为直线PF 1与直线PF 2垂直所以（）……㈡0001y yx c x c⨯=-+-c =由㈠㈡ 得0x =由知22(2QF F P =22222Q Q x cQF Q F PF P F c x '-====-'-（1）时 无解。
圆与椭圆内定点分弦成定比问题的探究
ì0 < b < 1 0 <b ≤a ⇔í ⇔ í b2 a= ≥b > 0 1 1 - 2b î S ΔBMK = î 2 < 1 . 2
用等价的 充 要 条 件 求 出 的 变 量 的 取 值 范 围
参考文献
b “ , 因为必须 a > 0) ⇔0 < b ≤ a ” - 1 ≤- < 0 ( a
, 这两条弦对应于定理中结论 ( 3 )的情况 . - 1)
2 ( 4m y 0 x 0 + Δ ) x 0 +( 4m y 0 -λ y0 μ)
( l2: 4m y 0 x 0 + Δ ) x +( 4m y -λ y = μ) 1 当λ > 4 ( - 1 )时 , 方程 ③ 无实 Δ∗ < 0 , μ 评注 ( 在对斜率 i )在定理 的 证 明 过 程 中 , ④
2y = 7 和 7 x - 2y = 7 . 评注 从本例题的求解可以看到 , 定理 2 对 解决椭圆内 定 点 分 弦 成 定 比 问 题 是 非 常 快 速 有 效的 , 本 例 题 也 可 采 用 一 般 的 方 法 进 行 求 解, 但 由于比例 妨一试 . 2 是 个 分 数, 所 以 计 算 量 偏 大, 读者不 3
y0 - 4mx 0 y 0 实根 k = 满足条件的弦有且仅 = , 2 4m y 0 -λ μ x0
有一条 , 方程为 y 0 x - x 0 y = 0 ; 1 当 0 <λ < 4 ( - 1 ) 时, 方程 ③ 有 Δ∗ > 0 , μ - 4mx 0 y 0 ± Δ , 满足条件 2 4m y 0 -λ μ
S ΔBMK =
围被扩大了 . ì0 < b < 1