定比分点的坐标计算方法

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定比点差法及其应用解说

定比点差法及其应用解说一、定比分点若，则称点为点、的定比分点．当时，点在线段上，称为内分点；当（）时，点在线段的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为二、点差法点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。

若点在有心二次曲线上，则有两式作差得此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．1、弦的中点点差法一个妙用：例1 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为的中点，求证：为定值。

分析用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。

解设，，在椭圆上：，作差得：即：，因为所以，为定值。

以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。

考虑当椭圆为圆的时候，，则，，正好也符合圆的“垂径定理”。

在双曲线中同样有类似的结论，但定值为，在这里就不再推导了。

2、弦上的定比分点当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：设，，，则点坐标可以表示为：，证明设，，化简可得：，同理这时候就出现了这样形式的式子。

如果再凑出，可能大家就会有点感觉了：可以将椭圆的方程乘上一个再作差，得到这样的式子。

因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。

例2 已知椭圆，在椭圆外，过作直线交椭圆于两点，在线段上且满足：，求证：点在定直线上。

分析按照以上思路，要出现和这样的式子，很容易想到设的坐标，再表示出的坐标。

解设，，，则，结合图形得：则，在椭圆上：①，②得：即，所以在定直线上。

下面介绍定比点差法：若点在有心二次曲线上，则有两式作差得这样就得到了例7、过异于原点的点引椭圆的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足．求证：点在直线上．证明：直接运用定比点差法即可．设，则有，设，则有又因为点在椭圆上，所以有两式作差得两边同除以，即可得到命题得证．例8、已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于两点（可以重合），求的取值范围．解析：设，，则．于是，于是又因为点在椭圆上，所以有两式相减得将(1)代入(2)中得到由(1)(3)解得从而解得的取值范围为，于是的取值范围为．例9、设、为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，直线分别交椭圆于异于的点、，若，，求证：．证明：设，，，则于是有又由点在椭圆上得到两式相减得从而有结合(4)式可解得同理可得结合(5)式得到于是有整理得，命题得证．例10、已知椭圆，点，过点作椭圆的割线，为关于轴的对称点．求证：直线恒过定点．解析：因为三点共线，三点也共线，且三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．设，，则，设与轴的交点为，，，则于是有由点在椭圆上得两式相减得将(2)代入(3)得。

《线段定比分点》课件

分享一些有用的网站资源，供学习者深入了解线段定比分点。
案例三：求P点坐标
给出一个复杂的几何问题，通过使用分部计算求得线段上的特定点的坐标。
总结
1
线段定比分点的应用
总结线段定比分点在数学和几何学中的实际应用。
2
需要注意的Байду номын сангаас题
强调学习线段定比分点时需要注意的一些常见问题。
参考资料
相关书籍
提供一些推荐的书籍来进一步学习线段定比分点和相关数学概念。
相关网址
线段定比分点
介绍线段定比分点，包括什么是线段定比分点以及为什么需要线段定比分点。
线段内分点
线段内分点
定义线段内分点并解释它的意义。
求线段内分点
介绍如何通过使用比例和坐标计算方法来求得线段内分点。
实际应用举例
提供具体的实际问题，使用线段内分点的概念来解决。
线段外分点
1 线段外分点
定义线段外分点并说明其用途。
2 求线段外分点
通过使用比例和坐标计算方法，解释如何求得线段外分点。
3 实际应用举例
展示具体的实例，说明线段外分点在实际问题中的应用。
相关习题
案例一：求C点坐标
案例二：求M点坐标
提供一个简单的几何问题，通过计算求得线段上的特定点的坐标。
展示另一个几何问题，通过分割线段并计算求得线段上的特定点的坐标。

定比、定比分点公式

（3）定比、定比分点公式一、教学内容分析本节是的第三节课，是学习向量坐标表示及运算、向量的模与平行之后的又一个新的知识点.它既是对前两节内容复习与巩固，又是对向量知识的进一步深化与拓展，如式子 12PP PP λ=中的λ由实数推广到定比.同时，经历定比分点公式的推导过程，让学生领悟定比分点的多元化表示方法.本节的教学重点是定比分点公式的形成、深化、拓展与应用.难点是定比λ的理解、确定及定比分点公式中分点、始点、终点坐标位置的识别.根据本节特点，教师采取启发、提问为主的教学方法；学生则进行自主学习.即课前进行主动预习，课中进行讨论与交流，课后进行探索研究. 二、教学目标设计1理解定比的概念，掌握定比分点公式；2通过定比分点公式的推导过程，巩固向量的运算方法；感悟定比分点的几种表达方式；3通过本节的学习，提升发现能力、推理能力，渗透数形结合思想. 三、教学重点及难点定比的概念，定比分点公式的推导和应用. 四、教学流程设计五、教学过程设计一、情景引入观察思考，引入新课问题1：设)1,2(A ，)1,2(--B ，)2,4(C 三点共线，可知BA ∥AC ，即存在实数λ，使BA = λAC ??，那么实数λ= . 而若?BC CA λ=，则λ= .[说明]（1）本问题由共线三点坐标求实数λ，它既是对前一节向量平行的复习与巩固，同时又为定比λ的产生作好铺垫（2）通过本题可以看出使两向量平行的实数λ的取值可正可负. 问题2：设1P （1，1），2P (4,4), λ=1.当12PP PP λ=时，你能求出点P的坐标吗（引出课题）[说明]问题2是由共线三点中的两点坐标和定比λ的值求第三点坐标，本题给出的点具有一定的特殊性，这样便于学生利用数形结合思想猜出结果，尝试成功的快乐. 二、学习新课 1．定比分点公式一般地，设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 12PP PP λ=，求点P 的坐标.解：由12PP PP λ= ，可知{)()(2121x x x x y y y y -=--=-λλ，因为λ≠-1，所以⎩⎨⎧++=++=λλλλ112121x x x y y y ，这就是点P 的坐标.师生通过上面的结论共同解决（一）中的问题2.[说明]此例题的结论可作为公式掌握，此公式叫线段21P P 的定比分点公式. 2．小组交流（1）定比分点公式中反映了那几个量之间的关系当λ=1时，点P的坐标是什么（2）满足式子12PP PP λ=的点P 称为向量 12PP 的分点.思考：上式中正确反映 P 1，P ，2P 三点位置关系的是（） A 、始→分，分→终.B 、始→分，终→分.C 、终→分，分→始（3）关于定比λ和分点P 叙述正确的序号是1）点P 在线段21P P 中点时，λ=1;2）点P 在线段21P P 上时，λ≥0 3）点P 在线段21P P 外时，λ﹤0; 4）定比λR ∈[说明]由定比分点公式可知λ=1 时有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121x x x y y y ，此公式叫做线段21P P 的中点公式. 此公式应用很广泛.3．例题辨析例1、已知平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为A （),11y x ， ),(22y x B ， ),(33y x C ，G 是△ABC 的重心，求点G 的坐标.解：由于点G 是△ABC 的重心，因此CG 与AB 的交点D 是AB 的中点，于是点D 的坐标是（2,22121y y x x ++）. 设点G 的坐标为),(y x ，且2CG GD =则由定比分点公式得 ⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=21222122213213x x x x y y y y ，整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=3332121x x x x y y y y 这就是△ABC 的重心G 的坐标.[说明]本题难度不大，但综合性却比较强.不仅涉及到定比的概念，而且用到了中点公式、定比分点公式.（2）此结论可作为三角形重心的坐标公式.例2、)15,12(),0,3(),5,2(21P P P - 且有12PP PP λ=求实数λ的值.解1：由已知可求 1(10,10)PP =，2(15,15)PP λλ=-- 故10=λ .（-15），所以定比λ=-32.解2：因为12PP PP λ=，所以P 1，P ，2P 三点共线，由定比分点公式得12=λλ+-⨯+1)3(2 解出实数λ=-32.解3：由图形可知点P 在线段21P P 外，故λ﹤0 ，又21PP PP = 32，所以λ=-32 .[说明] 本题已知三点坐标求定比λ的值，学生往往偏爱第一种解法；解法二是定比分点公式的一个应用，其前提是三点共线，代公式时要注意始点、终点、分点坐标的位置；解法三是求定比λ的有效方法，简洁方便，鼓励学生大胆去尝试.三、演练反馈，巩固知识1设12PP PP λ= ，21P P PPλ'= ，则下列正确的是（）（A ）λλ'= （B ）λλ'=- （C ） 1λλ=' （D ）1λλ=-'2、△ABC 中，A （2，3），B （-3，4），重心G （-)34,32，求C 点的坐标.3、已知：A （3，-1），B （-4，-2），点P 在直线AB 上，且2AP =3BP ，求P 点坐标.四、知识梳理，提升思维1知识与技能小结：（1）主要的知识点有定比λ的概念，中点公式、定比分点公式，及定比分点公式的多元化表示.（2）主要的应用有定比λ的意义与范围，三点共线问题，三角形重心公式及综合应用.2 学生的体会和感悟：对本节学习过程的认识、理解和体会；提出新的疑点和问题.五、作业布置，课后探究 1、填空题（1）已知三点A 、B 、C 满足AB =2BC ，设1AC CB λ=2BA AC λ=则=•21λλ（2）△ABC 中，A （1，2），B （-2，3），C （4，-1），D 为BC 中点，且 3= ，则G 点坐标是 2、选择题（1）若 2143PP P -=，则下列各式中不正确的是（）（A ） 12P P =P P 131 （B ）P P 1234= （C ） 2113P P P -= （D ）1224P PP =(2) 设点P 是12PP 反向延长线上任意一点且12PP PP λ=，则实数λ的范围是（）（A ）（-∞，0）（B ）（—∞，-1）（C ）（-1，0）（D ）［-1，0)3、解答题（1）△ABC 中，已知A （3，1），AB 的中点D （2，4），△ABC 的重心G （3，4），求B 、C 两点的坐标.（2）已知设1P （3，2），2P (-8,3) , P （12，y ），若12PP PP λ=，求λ与y 的值.。

定比分点坐标公式在解题中的应用

定比分点坐标公式在解题中的应用河北陈庆新许多同窗可能已经能够熟练地应用有向线段的定比分点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 及定比的坐标公式λ＝x －x 1x 2－x ，求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比了．事实上用这两个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题进程显得别具一格，简捷明快，充分展现咱们思维的独创性．下面举例说明其解题中的应用．一、在几何问题中的应用（一）关于公式的正用例1．证明：三角形内角平分线分其对边之比等于夹那个角的两边长度之比．证明：以ΔOAB 的极点O 为原点，∠AOB 的平分线OC 因此直线为x 轴，成立平面直角坐标系如下图，设|OA|＝m ，|OB|＝n ，∠AOC ＝∠COB ＝θ，那么A(m cos θ，m sin θ)，B(n cos θ，－nsin θ)，设C 点分−→−AB 的所成的比为λ，由定比分点的坐标公式：m sin θ－λn sin θ1＋λ＝0，解之得，λ＝m n ，即|AC||CB|＝|OA||OB|．点评：本例的结论在解题中有着很多的应用。

请看下面的例子。

例2．已知△ABC 三个极点的坐标别离为A(－1，1)，B(3，1)，C(2，5)，角A 的内角平分线交对边于D ，那么向量AD −−→的坐标为．解析：容易计算|AB −−→|＝4，|AC −−→|＝5。

依照三角形内角平分线的性质知：ABAC＝BD DC ，于是可知点D 分有向线段BC −−→所成的比为45，从而由定比分点坐标公式可求得点D 的坐标（239，259），于是AD −−→＝（329，169）．例3．已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线把△ABC 的面积分成4∶5两部份，求点P 的坐标．A C OBx y解析：由题意得：ABCAPQ S S ∆∆＝2⎪⎭⎫ ⎝⎛AB AP ＝49．因此AP AB ＝23，即−→−AP ＝2−→−PB ，λ＝2，设P(x ，y )，那么x ＝1＋2×41＋2＝3，y ＝2＋2×11＋2＝43．因此P 点的坐标为(3，43)．例4．已知在△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，且A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)，求△ABC 的内心坐标．解析：设I 为△ABC 的内心，AD 为∠A 的平分线，那么AB AC ＝BD DC ＝cb ，∴点D 分−→−BC 所成的比为cb ，∴由定比分点的坐标公式可求得D 点的坐标：x D ＝x 2＋c b ×x 31＋c b＝bx 2＋cx 3b ＋c，y D ＝by 2＋cy 3b ＋c．又AI ID ＝AB BD ＝AC CD ，∴AI ID ＝AB ＋AC BD ＋CD＝b ＋ca ，即点I 分−→−AD 所成的比b ＋c a ． ∴xI＝acb c b cx bx a c b x ++++⋅++1321＝ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，同理yI＝ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c ．∴△ABC 的内心坐标为(ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c)．（二）公式的逆用例5．已知一次函数y ＝－mx －2图象与线段AB 有交点，假设A(－2，3)、B(3，2)，求实数m 的取值范围．解析：设一次函数的图象直线l 交AB 于点P(x ，y )且−→−AP ＝λ−→−PB (λ≥0)，当λ＝0时，直线过A 点，那么由定比分点坐标公式知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=λλλλ123132y x ，又因P 在直线l 上，故m ·－2＋3λ1＋λ＋3＋2λ1＋λ＋2＝0，解得：λ＝2m －53m ＋4≥0，从而m ≥52或mACBDI＜－43．又当点P 与点B 重合时符合题意，因此将B(3，2)代入直线l 的方程，求得m ＝－43．故m 的取值范围为m ≥52或m ≤－43．本例能够推行为：已知定点P 1（x 1，y 1）、P 2(x 2，y 2)及直线l ：A x ＋B y ＋C=0，设直线l 与直线P 1P 2相交于点P ，求证：点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C．略解：设点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ，由定比分点坐标公式可求得点P的坐标为：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，将点P 的坐标代入直线l 的方程：A 121x x λλ++＋B 121y y λλ++＋C=0，整理得：（A x 1＋B y 1＋C ）＋λ(A x 2＋B y 2＋C)=0，解之得：λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ．点评：假设利用那个结论来解答一下例5，就显得超级简捷：设点P(x ，y )分有向线段AB −−→所成的比为λ，则λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ＝－－2m ＋3＋23m ＋2＋2＝2m －53m ＋4，因为P 为内分点，因此λ＝2m －53m ＋4≥0，解之得：m ≥52或 m ＜－43，当直线l 过点B时，有m ＝－43．综上知：m ≥52或m ≤－43．二、在代数问题中的应用（一）、解不等式例6．解不等式2－x1＋3x≥1．解析：令y ＝2－x 1＋3x －1≥0，那么x ＝1－y 4＋3y＝14＋3y 4×(－13)1＋3y 4，且y ≥0，于是此问题可转化为：数轴上以P 1(14)为起点，P 2(－13)为终点，定比λ＝34y ≥0时，求分点P 的坐标x 的范围问题．由λ＝34y ≥0知点P 为有向线段−→−21P P 的内分点，或与点P 1重合，故应有－13＜x ≤14．例7．解不等式1＜x 2－2x －1x 2－2x －2＜2．解析：在数轴上取P 1，P ，P 2点依次表示1，x 2－2x －1x 2－2x －2，2，由−→−P P 1＝λ−→−2PP 得λ＝1x 2－2x －3，因为P 内分有向线段−→−21P P ，因此λ＞0，即x 2－2x －3＞0，解之即得原不等式的解集为：{x |x ＜－1或x ＞}3．（二）、求函数的值域例8．求函数y ＝1＋3x ＋11－x ＋1的值域．解析：令λ＝－x ＋1，那么λ≤0，依题意有y ＝－1＋λ(－3)1＋λ，依照上式可知λ为点P(y )分有向线段−→−21P P 所成的比，其中P 1(1)、P 2(－3)，于是函数y 为分点P 的坐标，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ＝y －1－3－y≤0，解之得y ＜－3或y ≥1．即原函数的值域为(－∞，－3)∪[1，＋)∞．例9．求函数y ＝e x －1e x ＋1的反函数的概念域．解析：问题等价于求原函数的值域．令λ＝e x ＞0，P 1(－1)，P(y )，P 2(1)，那么y ＝e x －1e x ＋1＝－1＋e x ·11＋e x ＝－1＋λ1＋λ，∵λ＞0，∴P 为有向线段−→−21P P 的内分点，∴－1＜y ＜1，故原函数的值域为(－1，1)，即其反函数的概念域为(－1，1)．例10．求函数y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1(1＜x ＜)3的值域．解析：将原函数式变形为：y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝－1＋(x ＋1x )·11＋(x ＋1x )，设P 1(－1，0)、P 2(1，0)，λ＝x ＋1x ，其中1＜x ＜3．由函数λ＝x ＋1x 的单调性可求得，2＜λ＜103．又当λ＝2时，y ＝13；λ＝103时，y ＝713，因此所求函数的值域为(13，713)．（三）、求函数的解析式例11．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像通过点(－1，0)且x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，对一切实数x 都成立，求f (x )．解析：因为当x ∈R ，总有x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，为此不妨设P 1(x )、P[f (x )]、P 2(x 2＋12)为数轴上三点，那么−→−P P 1＝λ−→−2PP ，其中λ≥0，于是由定比分点坐标公式得： f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ，又因为y ＝ f (x )通过点(－1，0)，代入上式得，0＝－1＋λ1＋λ，解得λ＝1，再将λ＝1代入f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ得，f (x )＝ 14x 2＋12x ＋14．（四）、用于处置三角问题例12．证明：y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．证明：①当sin x ＝1时，y ＝3∉(13，3)； ②当sin x ＝－1时，y ＝－1∉(13，3)；③当sin x ≠±1时，将P(y )视为数轴上的点A(13)与B(3)的分点，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ，得λ＝y －133－y ＝sin x ＋13(sin x －1)＜0，即点P(y )为有向线段−→−AB 的外分点，故有y ∉(13，3)．综上可知，y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．（六）、用于解决数列问题数列是概念在正整数集上的特殊函数．而等差数列的通项公式为：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )为变量n 的一次函数(d ≠0)，其图象为直线．故而有A(m ，a m )、B(n ，a n )、C(p ，a p )三点共线(其中a m 、a n 、a p 别离为项数是m 、n 、p 的数列中的项)．为此咱们把C 视为−→−AB 的一个定比分点，那么有λ＝p －mn －p，a p＝a m ＋λa n 1＋λ．例13 ．在3与19之间插入31个数，使它们成等差数列，求通项公式．解析：设通项为a n ，令点P(n ，a n )分A(1，a 1)，B(33，a 33)两点连成的线段所成的比为λ，那么有λ＝n －133－n ，又由题意，a 1＝3，a 33＝19，于是有a n ＝a 1＋λa 331＋λ＝3＋n －133－n ×191＋n －133－n ＝12n ＋52．即通项a n ＝12n ＋52．命题2．设数列{ a n }是等差数列，S n 是数列的前n 项和，其中S P 、S m 、S n 知足λ＝p －m n －p (λ≠－1)，那么S m m ＝S p p＋λS n n1＋λ．例14．设S n 是等差数列的前n 项和，已知S 10＝100，S 100＝10，求S 110．解析：取λ＝110－10100－110＝－10，那么S 110110＝S 1010＋λS 1001001＋λ ＝10010＋(－10)101001＋(－10) ＝－1，因此S 110＝－110．。

线段的-定比分点

∴ x-x1= λ(x2-x) 解得 x x1 x2
P1
y-y1= λ(y2-y)
1
y y1 y2
(1)
1
y
P2 l
P
0
x
公式（1）叫有向线段P1P2的定比分点坐标公式
当P点是线段P1P2的中点时， λ=1，得
x x1 x2
2
y y1 y2 2
（2)
公式（2）叫有向线段P1P2的中点坐标公式
(3)设D点坐标(x0, y0 )
x0
11 1 2
2
1 3
y0

7
2 1 2
2
11 3
D(1 ,11) AD (5 1)2 (1 11)2 14 2
33
3
33
11
课堂小结
1.有向线段P1P2的定比分点公式
x x1 x2 1
y y1 y2 1
有向线段P1P2中点公式
( x1 x2 , y1 y2 )
4
3.推导公式及举例
若把直线l放在坐标系中，设P1（x1,y1),P2(x2，y2),点P分有向线段P1P2所成的比为λ，那么点P的坐标如何表示呢？由向量的坐标等于终点的坐标减去
起点的坐标得：
P1P=（x-x1,y-y1), PP2=(x2-x,y2-y)
∵ P1P= λPP2 ∴ (x-x1,y-y1)= λ(x2-x,y2-y)
A
(2)D点分BC的比；
(3)线段AD的长度。
B
D
C
分析 : 本题用到了两点间距离公式及三角形角平分线性质 : BD AB
解:
DC AC
(1) AB [5 (1)]2 (1 7)2 10 同理 : AC 5

定比分点典型例题

定比分点定理典型例题例1．已知P 外分BA 的比为λ求点B 分AP 所成的比。

错解：由BP PA λ= ，不妨设1PA = ，则BP λ= ，1AB λ=- ，所以B 分AP 的比为 1AB BP λλ-= 。

错因分析:错因是把定比理解为是分得的两线段的长度之比.实质上AP PB λ= 中λ是有向线段AP 与PB 的数量之比. λ可以转化为有向线段的长度之比,但需加一个正负号,即P 为AB 的内分点时AP PB λ= ,当P 为AB 的外分点时, AP PB λ=- ,故求定比时一定要记住向量具有方向性.正确解法: 因P 外分AB 的比为λ,0λ∴<.设1PA = ,则BP λ=- ,1AB λ=-- .又由于AB 与BP 反向,所以B 分AP 的比为111AB BP λλλ---=-=--- .例2 已知点12(2,1),(4,3)PP -.求出下列情况下,点P 分有向线段12PP所成的比λ及P 点的坐标:(1)点P 在12PP 上且11234PP PP = ;(2)点P 在12PP 的延长线上,且1123PP PP = ;(3) 点P 在12PP 的反向延长线上,且2123P P PP = ;分析：本题主要考查向量定比分点公式的应用.要注意,起点、分点、终点是相对而言的, 起点、分点、终点不同时, λ一般是不同的.解 (1)∵1233PPPP λ=∴=由定比分点公式,得234713213(3)213x y +⨯⎧==⎪⎪+⎨+⨯-⎪==-⎪+⎩所以P 点坐标为7(,2)2-. (2)123322PP PP λ=-∴=- 32()42831()231()(3)21131()2x y ⎧+-⨯⎪==⎪⎪+-⎪∴⎨⎪+-⨯-⎪==-⎪+-⎪⎩所以P 点坐标为(8,11)-.(3)122233PP PP λ=-∴=- 22()43221()321()(3)3921()3x y ⎧+-⨯⎪==-⎪⎪+-⎪∴⎨⎪+-⨯-⎪==⎪+-⎪⎩所以P 点坐标为(2,9)-.说明有关定比分点问题中的定比λ最好画出草图来确定.本题计算量大,容易出现计算错误,如坐标公式中计算出现错误和定比λ计算错误等.本题也可以利用向量的坐标运算,由12PPPP λ=代入坐标的方程组,求出分点P 的坐标.这样可不必死记定比分点坐标公式.例 3 设ABCD 的顶点A 的坐标为(2,1)-,一组对边AB 、CD 的中点分别为(3,0),(1,2)M N --，求其余顶点坐标.分析：本题考查中点坐标公式及用向量方法解决问题的能力.解法1: 设其余三个顶点的坐标分别为112233(,),(,),(,)B x y C x y D x yM 是AB 的中点, 11232102x y -+⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩118(8,1)1x B y =⎧∴∴-⎨=-⎩有MN 的中点(1,1)P -且P 是AC 的中点,22212112x y -+⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=-⎪⎩224(4,3)3x C y =⎧∴∴-⎨=-⎩由N 为CD 的中点,得333341623122x x y y +⎧=-⎪=-⎧⎪∴∴⎨⎨-+=-⎩⎪=-⎪⎩所以顶点坐标分别为(8,1),(4,3),(6,1)B C D ----解法2:设B 点坐标为(,)x y ,则AM MB = .(5,1)(3,).351x y x y ∴-=--=⎧∴⎨=-⎩8(8,1)1x B y =⎧∴∴-⎨=-⎩ 同理由AM DN NC ==,得(4,3),(6,1)C D ---所以ABCD 其余顶点坐标为(8,1),(4,3),(6,1)B C D ----.说明利用线段的定比分点公式与向量式运算是相一致的.前者需要记忆,后者需要思维的灵活性和深刻性,而不需记忆,要求较高.例4 已知三点(0,8),(4,0),(5,3)A B C --,D 内分AB 的比为13,E 点在BC 边上,且使BDE 的面积是ABC 面积的一半,求DE 中点坐标.分析将面积转化为线段的比,利用定比分点坐标公式来求. 解：设BDE 边BE 以及ABC 的边BC 的高分别为1,h h , 由已知有13AD DB = ,所以34DB AB = ,134h h = 又1=,2BDE ABC S S1112122BE h BC h ∴=1223BE h h BC ∴==由点E 在BC 上 2BE EC ∴=∴点E 分BC 所成的比为2λ=由定比分点坐标公式有42521202(3)212E E x y -+⨯⎧==⎪⎪+⎨+⨯-⎪==-⎪⎩+即(2,2)E -又由10(4)3111386113D D x y ⎧+⨯-⎪==-⎪⎪+⎨⎪==⎪⎪+⎩即(1,6)D -即线段DE 的中点为(,)M x y ,则2(1)1222622E x y +-⎧==⎪⎪⎨-+⎪==⎪⎩1(,2)2M ∴即为所求.说明:线段比的平方等于面积的比.。

5.4 线段的定比分点与平移

1 ∵ | AP | | AB | ， 3
又A（-1，6），B（3，0），
1 3 1 2 x 1 3 1 1 2 λ = 时， 2 1 6 0 y 2 4 1 1 2
设P（x，y），则由定比分点坐标公式得
1 1 3 7 4 x 1 3 1 1 4 λ = 时, 1 4 6 0 y 4 8 1 1 4
思维启迪
（1）利用向量的夹角公式求解；
（2）先把c·d化简整理成Asin(ωx+φ )+B的形成，再利用角x的范围求最大值；（3）先化简f(x)=Asin(ωx+φ )，再设m的坐标，按平移公式理顺关系求解. π 解（1）∵x= , 4 ∴a= 6 ， 2 ）,b=(0, 2 ), （ 2 2 2 2 1 则a·b= （ 6 ， 2 ）（ 0，） , · 2 2 2 2 a· b cos〈a，b〉= |a|· |b|
1 , 2 2 2· 2 1 2
［1分］
［3分］
π ∴向量a、b的夹角为 . 3
［4分］
（2）c·d=(sin x,cos x)·(sin x,sin x) =sin2x+sin xcos x
1 cos 2 x sin 2 x 1 1 (sin 2x-cos 2x) 2 2 2 2 π 1 2 = sin(2x) 4 2 2 π π π 3π ∵x∈［0, ］,∴ 2 x . 2 4 4 4 π π 3π 当2x- ,即x= 时， 4 2 8 2 1 c·d取最大值 . 2
λ =1 P为中点内分点
λ >1 在中点与P2 之间
（2）线段定比分点坐标公式设点P分有向线段 P P 所成的比为λ ，即 P P PP ， 1 2 1 2 x1 x2 并且P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)，则x= 1 ,y= y1 y2 1 (λ ≠-1)，特别地，当P(x,y)是 P P 的中点时， 1 2 x1 x2 y1 y2 有x= ,y= .2 2

线段的定比分点

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⑵ A(－7，－1)，B(3，－6)
(2) M(－2,－）
2.求与下列各点关于坐标原点O对称的点的坐标：
P(2，3)，Q(－2，3)，
答案： (-2,-3)
(2,-3)
3.求与P(2，3) 关于点Q(－2，4)对称的点的坐标
(-6,5)
四小结： 1，定义
λ是关键，λ>0内买的VIP时长期间，下载特权不清零。
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定比分点1

定比分点（1）教学目标：要求学生理解点P 分有向线段12P P u u u u r 所成的比λ的含义和有向线段的定比分点坐标公式，并能应用解题。

教学重、难点：1．线段的定比分点和中点坐标公式及其应用；2．用线段的定比分点坐标公式解题时区分0λ>还是0λ<。

教学过程：（一）复习： 1．向量的加减，实数与向量积的运算法则；2．向量的坐标运算。

（二）新课讲解：1．线段的定比分点及λ12,P P 是直线l 上的两点，P 是l 上不同于12,P P 的任一点，存在实数λ，使12PP PP λ=u u u r u u u r ，λ叫做点P 分12P P u u u u r 所成的比。

有三种情况：0λ>(内分) (外分) 0(1)λλ<<- ( 外分)0(10)λλ<-<<注意几个问题：①λ是关键，0λ>内分 0λ<外分 1λ≠-； ②12||||||PP PP λ=u u u r u u u r ，λ的符号由1P P uuu r 和2PP uuu r 方向的异同确定，当1P P uuu r 和2PPuuu r 方向相同时0λ>；当1P P uuu r 和2PPuuu r 方向相反时0λ<． ③始点终点很重要，如P 分21P P 的定比12λ=，则P 分12P P 的定比2λ=． 2．线段定比分点坐标公式：设12PP PP λ=u u u r u u u r ，点12,,P P P 坐标分别为1122(,),(,),(,x y x y x y由向量的坐标运算：111(,)PP x x y y =--u u u r 222(,)PP x x y y =--u u u r ， ∵12PP PP λ=u u u r u u u r 即：11(,)x x y y --22(,)x x y y λ=--， P P P 222P P P∴⎩⎨⎧-=--=-)()(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇒λλλλ112121y y y x x x ——定比分点坐标公式。

高三数学线段的定比分点

线段的定比分点与平移
高三备课组
一、基础知识
1、线段的定比分点
（1）定义
设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1,P2的任意一点，则存在一个实数， P 使p1 p pp ，所 2 叫做点P分有向线段 1P 2 成的比。
0 ；当点P在线当点P在线段 P 上时， 1P 2 <0 段 P1 P2 或 P2 P1 的延长线上时，
（2）定比分点的向量表达式：
点P分有向线段 P 所成的比是，则 1P 2 1 OP OP1 OP2 1 1 （O为平面内任意点）

（3）定比分点的坐标形式
x1 x 2 x 1 y y 2 y 1 1
,

（4）中点坐标公式
当 =1时，分点P为线段的中点，即有
练习：
若直线x+2y+m=0，按向量a 1,2平移后与圆C：
x 2 y 2 2x 4 y 0
相切
则实数m的值等于
例5．是否存在这样的平移，使抛物线： y x 2 平移后过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与 x 轴的两个交点构成的三角形面积为 1 ，若不存在，说明理由；若存在，求出函数的解析式。例4．设函数
x1 x y y 1 x2 2 y2 2
ABC 的重心坐标公式：（5）
x A x B xC x 3 y A y B yC y 3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形 F’ ，我们把这一过程叫做图形的平移。
A(4,1), B(3,4), C (1,2) ， BD 是角 ABC 的平分线，求点D的坐标及BD的长。

定比分点

[编辑本段]定比分点定义对于轴上两个已给的点Ｐ，Ｏ，它们的坐标分别为Ｘ１，Ｘ２，在轴上有一点Ｌ，可以使ＰＬ/ＬＯ等于已知常数λ。

即ＰＬ/ＬＯ＝λ，我们就把Ｌ叫做有向线段ＰＯ的定比分点。

若设Ｌ的坐标为Ｘ，则Ｘ＝（Ｘ１+λＸ２）/（１+λ）,Y＝（Y１+λY ２）/（１+λ）[编辑本段]定比分点相关概念1.线段的定比分点及λ：P1，P2是直线L上的两点，P是L上不同于P1，P2的任一点，存在实数λ，使向量P1P=λ向量PP2,λ叫做点P分P1P2所成的比。

P点位置与λ的关系以P1P2中点为原点，x轴表示P相对P1 P2的位置，y轴表示λ的取值根据右图，从左往右看，λ 的取值有以下五种情况①P在P1左边（P在向量P1P2反向延长线上），λ∈（-1，0）②P与P1重合，λ=0③P在P1与P2之间（P在向量P1P2上），λ∈（0，+∞）*i. P在P1与原点之间，即P1P＜PP2，λ∈（0，1）*ii. P与原点重合，即P1P=PP2，λ=1*iii. P在原点与P2之间，即P1P＞PP2，λ∈（1，+∞）④P与P2重合，λ∈Φ⑤P在P2右边（P在向量P1P2正向延长线上），λ∈（-∞，-1）2 定比分点公式：若设点P1（x1,y1），P2（x2,y2），λ为实数，且向量P1P=λ向量PP2即P1P=λPP2由向量的坐标运算，得P1P=（x-x1,y-y1），PP2=（x2-x, y2-y）∴（x-x1,y-y1）=λ（x2-x, y2-y）∴定比分点公式为，λ=（x-x1）/（x2-x）λ=（y-y1）/（y2-y）3.定比分点坐标公式：∴λ=（x-x1）/（x2-x）∴λx2-λx=x-x1λx2+x1=λx+x得，x=（λx2+x1）/（λ+1）同理，y=（λy2+y1）/（λ+1）注：当λ=1时，即中点坐标公式。

定比分点定理目录[隐藏]证明定比分点补充公式补充公式证明已知线段PQ上有一点T,且PT/PQ=a,AB是与PQ无交点的一条线段，则S(AT B)=a*S(ABQ)+(1-a)*S(ABP)其中S(AQB)表示AQB的面积，以此类推。

高三数学线段的定比分点

《我爱这土地》中写“为什么我的眼里常含泪水”，上文结尾也写到了“流泪”，简要分析“眼泪”背后两位作者思想感情的异同。 3、文中的语言富有表现力，请结合句中加点的词语作简要分析。一阵沙尘扑面而来，豆大的雨点砸了下来，劈头劈脸，欢笑的人群直往外冲。 ? 4、文
章第④段的“对我来说，去圆明园是一种凭吊，一种拜谒，甚至是一种提醒。”简要说说作者要“凭吊、拜谒”什么？ “提醒”什么呢？ 5、简要分析第⑤段中划线句在文中有什么作用？ ? 6、请你为圆明园遗址准备一条宣传语，要能揭示遗址给人的警示。（不超过20字，至少用一种
修辞手法） ? 参考答案： 1、A 理由：用拟人手法，容易引起读者的注意；更能表达作者对造成这种现象的悲痛心情（主题）。 2、相同点：都有对祖国的深切的爱。不同点：艾青是目睹山河破碎、人民涂炭的现实，心中的痛苦。本文作者是因为部分国人不知铭记历史而十分伤心、
难过。 3、“扑”表现风来得猛，“砸”表现雨下得大，这样写更能突出作者对人们不理解废墟价值的一种愤怒与悲哀。（言之有理，可酌情给分） 4、凭吊、拜谒无数在此长眠的死难者（中华民族屈辱的历史）提醒自己不忘历史的耻辱，不能让悲剧重演。（意同即可） 5、一方面突
（5）ABC 的重心坐标公式：

x

y

xA yA

xB
3 yB

xC yC

3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’，我们把这一过程叫做图形的平移。
（2）平移公式
设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的
起来，用极低的声音问：“老师，我可以带馒头吗？”一阵其实并没有恶意的笑声刺激着女孩，她的脸通红通红的，低着头默默地坐下，眼泪沿着脸颊流了下来。李老师走过去，抚摸着她的头说：“你放心，可以带馒头的。” ③出发的前一天，女孩子拿着饭票在学校食堂买了六个馒头，

高中数学解题方法系列：解析几何中的定比分点

高中数学解题方法系列：解析几何中的定比分点
解析几何是我们高中阶段的重要内容，很多同学怕解析几何，说到底是怕解析几何中的
计算，特别是方法用得好不好会直接影响到计算的繁简，而定比分点是我们解析几何中十分
重要的一块内容，无论是课本还是平时的练习题，定比分点内容都占一定的比重，定比分点
用得好会简化较多的计算。
N 在动点 P 的轨迹上，且 DM DN ，求实数的取值范围。
解：（1）点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 94
（2）解法一：设 M (x1, y1) ， N (x2 , y2 )
OM (x1, y1) ， DN (x2, y2 3)
(x1, y1) (x2, y2 3)
（2）不妨设
l1
：
y
b a
x
l1
：
y
a b
(x
c)
y
a b
即 P( a2 , ab )
ybx a
y
ab c
cc
设 A 分 FP 的比为
c a2
，则 A(
c
1
ab
,
1
c
)
代入，并整理
2
(2
e2 )
2 2 e2
3
而 e (0,1) 所以 2 2 2 3 ( 2 1)2
三、求某些值或者某些最值时，可转化为定比分点，从而使问题清晰化。
例、已知椭圆 E 的方程为
x2 a2
y2 b2
1（ a
b 0 ），双曲线 H：
x2 a2
y2 b2
1的两条
渐近线为 l1 ， l2 ，过椭圆 E 的右焦点 F 的直线 l l1 ，又 l 与 l2 交于点 P,设与椭圆 E 的两个

空间向量定比分点坐标公式及应用

《空间向量定比分点坐标公式及应用》教学设计量P P 1、2PP 有何位置关系?结合定理1.4.1和定理1.4.6,引入空间向量定比分点的定义...定义 P 为向量→21P P 所在的直线上任意一点,点P 把向量→21P P 分成了两个共线向量→P P 1、→2PP ,如果→→≠02PP ,设→→=21PP P P λ,称P 为分向量→21P P 定比为λ的分点. 引入定义后,让学生理解两点: (1)P 位于向量→21P P 所在的直线上,但P 的位置是相当自由的;(2)向量→P P 1是→2PP 的λ倍,这里的λ也是相当自由的.与此同时,引导学生紧紧使用向量的方法来理解这个定义,还应该关注两个向量→P P 1、→2PP 的方向问题,于是提出问题4. 问题4. 点P 的位置与λ的取值有什么关系?三、向量定比分点的坐标公式法国数学家笛卡尔为把几何与代数有机结合,发明了标架.有了标架后,空间中的任何向量就可以进行坐标化, 也就是代数化.既然我们用点P 把向量→21P P 分成了两个向量→P P 1、→2PP 我们就特别关心分点P 的坐标.下面是从向量(几何)与坐标(代数)两个方面同时研究这个问题.从而提出问题5 问题 5 取定标架⎭⎬⎫⎩⎨⎧→→→321,,;e e e O ,()i i i i z y x P ,,.点P 的坐标是什么?在老师的提示下,引导学生分析解决问题的办法.教学过程中,根据实际情况,可以让学生只使用两种方法之一解决即可. 具体过程:由于→→=21PP P P λ所以→→+=211PP P P λλ,代向量坐标公式入此式,即有 {}{}121212111,,1,,z z y y x x z z y y x x ---+==---λλ,即()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=--+=--+=-121121121111z z z z y y y y x x x x λλλλλλ 化简即得定比侵占的坐标公式是⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++λλλλλλ1,1,1212121z z y y x x ..是只需直接代定比分点公式就可以直接得到任意空间三角形的重心的必须得先确定对边中点坐标.为了突出向量的教学中可以补充介绍三角形重心的向量表示法。

教案高教版(数学)第二册——7.7 线段的中点坐标公式和定比分点坐标公式

线段的中点坐标公式和定比分点坐标公式教学目标1、理解点P 分有向线段所成的比λ的含义，能确定λ的正负号；明确点P 的位置与λ的范围的关系；2、掌握有向线段的定比分点和中点的坐标公式，并能熟练运用这两个公式解决实际问题；3、向学生渗透数形结合的思想，培养学生的思维能力，发现事物间的变化规律。

教学重点线段的定比分点和中点坐标公式的应用。

教学难点利用线段定比分点坐标公式解题时确定λ的值。

教学过程一、定比分点设P 1、P 2是直线l 上的两个点，P 是l 上不同于P 1，P 2的点，则存在一个实数λ，使得12PP PP λ=，则λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比，点P 叫做定比分点。

注意：1、1212,,PP PP PP 均是有向线段，P 1为起点，P 2为终点，P 为分点，这三条有向线段的顺序不能颠倒，否则λ的值会改变.记忆规律：1PP ：起点到分点；2PP ：分点到终点。

2、当点P 在线段P 1P 2上时，λ>0，这时称P 为内分点；当点P 在线段P 1P 2或P 2P 1的延长线上时，λ<0(1λ=-)，此时称P 为外分点。

具体地说，当点P 在线段P 1P 2的延长线上时，1λ<-；当点P 在线段P 2P 1的延长线上时，10λ-<<。

3、具体解题时，起点、分点、终点可根据情况灵活决定.这样计算过程稍有不同，但结果一样。

二、定比分点公式 1、坐标形式设点P 分有向线段12PP 所成的比为λ，即12PP PP λ=，则12111OP OP OP λλλ=+++ (线段的定比分点的向量公式) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)（1）2、特别地，当1λ=时，显然此时点P 为12PP 的中点，1212121212(1)12x x x x x x y y y y y y λλλλλ++⎧⎧==⎪⎪⎪⎪+≠⇒⎨⎨++⎪⎪==⎪⎪+⎩⎩……….中点坐标公式（2）我们将（2）式称为有向线段12PP 的中点坐标公式。

定比分点

第二节定比分点1．基础知识：定比分点的定义、定比及分点的坐标公式例1．若点P 在线段AB 上，且λ =PB AP =21，试画出点P 的位置. 解说：定比分点的定义，内分点、外分点的概念练习1：已知点A 、B 、C 在同一直线上，且满足下列条件，试用指出分点并加以描述，说出哪些点是内分点、外分点. （1）2=BC AB（2）21-=AC BA 解：（1）B 分AC 的比是2，B 是AC 的内分点（2）A 分BC 的比是21-，A 是BC 的外分点例2．在例1中，若A( -2, 3 ), B( 1, 5 ), 求点P 的坐标. 解说：定比分点的坐标公式(中点公式)例3．在例1中，若A( -2, 3 ), B( 1, 6 ), P( -1, 4 ), 求P 分线段AB 所成的比λ. 解说：会用定比的坐标公式：yy y y x x x x PP P P --=--==212121λ 解：21)1(1)2(1=-----=--==B P A P x x x x PB AP λ 练习2：1．线段AB 的端点为A( 7, 5 )、B( -2, -1)，点C 分AB 的比是2，求点C 的坐标. 2．已知A( 4, 2 ), B( -6, -4 ), C( x, 542-)三点共线，求C 点分所成的比λ和x.2．常用解法（1）用线段的长表示定比|PP ||P P |21=λ（内分点），|PP ||P P |21-=λ（外分点）（2）求三角形重心：三角形顶点是A( x A , y A )、B( x B , y B )、C( x C , y C ), 重心( x, y ). 重心的坐标公式：3c B A x x x x ++=，3CB A y y y y ++=例4．线段| P 1P 2 | = 1, 点P 在P 1P 2的延长线上, | PP 2 | = 2, 求点P 分P 1P 2所成的比λ . 解：∵ P 外分P 1P 2, 且| P 1P | = | P 1P 2 | + | PP 2 | = 1 + 2 = 3∴ 232121-=-==λ|PP ||P P |PP P P练习3：xP P 2P 11．已知P 1( 0, 4 ), P 2( -2, 6 )，若P 在12P 的延长线上，且|PP ||P P |21=43，求点P 的坐标. 2．已知|P 1P 2| = 1, 点P 在P 1P 2的延长线上，|PP 2| = 2，则点P 2分P 1P 所成的比是( ) ( A ) 2 ( B ) 21 ( C ) 23- ( D ) 32- 解答：1．要点：（1）找出分点线段：点P 分P 1P 1的外分点（2）P 分P 1P 2所成的比λ = -43||||21-=PP P P 利用定比分点公式得：P(6, -2)2．要点：分清分点P 2和线段P 1P ，答案选B （注意比较与例4的异同）例5．已知三角形顶点是A( -1, 2 ), B( 2, -3 ), C( 5, 4 ), 求∆ABC 的重心G 的坐标( x, y ) . 解：设BC 边的中点为D, 由中点公式可知：D(2127,) ∵ AD 为中线, G 为重心即知G 分线段AD 所成的比λ =2=GDAG由定比分点公式 x =2212721=+⨯+-, y = 1212122=+⨯+ ∴ 重心G 的坐标是( 2 , 1 )注：最后归纳为三角形重心的坐标公式：3c B A x x x x ++=，3CB A y y y y ++=，其中：三角形顶点是A( x A , y A )、B( x B , y B )、C( x C , y C ), 重心( x, y ).然后用公式做.〖课外练习3〗1．若三点A( x A , y A ), B( x B , y B ), C( x C , y C )在同一直线上，λ+λ+=1CB A y y y , 则起点是 ,终点是 , 分点是 . 2．在定比公式x =λ+λ-132, y =λ+λ+-151中表示的起点坐标是 , 终点坐标是 , 分点坐标是 .3．线段AB 的端点为A( 7, 5 )、B(-2, -1 )，点C 分AB 的比是2, 求点C 的坐标. 4．已知A( 4, 2 ), B(-6, -4 ), C( x,542-)三点共线，求C 点分AB 所成的比λ和x. 5．已知|AB| = 5，根据下列条件写出点P 分线段的定比（1）点P 在线段AB 上，|AP| = 1；（2）点P 在线段BA 的延长线上，|BP| = 23．综合应用例6．已知两点A( 4, 1 )、B( -1, 3 )，求线段AB 与y 轴交点M 的坐标. 解说：（1）先找出点M 的坐标特点：纵坐标为0（2）知道三点A 、B 、M 的纵坐标可求出点M 分线段AB 所成的比λ （3）利用定比分点公式即可求出点M 的坐标解：设M( 0, y ), 则M 分的比λ =140---= 4, y =51341341=+⨯+⇒ M( 4,513)例7．△ABC 的顶点A( 0, 0 ), B( 2, 4 ), C( 3, -2 ), AB 上一点M 分的比为3︰1，AC 上一点N ，且MN//BC ，求点N 的坐标.解说：关键在于求出点N 分线段AC 所成的比λN , 由点M 分线段AB 所成的比λM = 3, 而在△ABC 中MN//BC ⇒N 分AC 所成的比λN = 3, 由定比分点公式可求出点N 的坐标. 解：∵在△ABC 中，MN//AC ⇒3==NCANMB AM ∴ 点N 分线段AC 所成的比λN = λM =MBAM= 3设点N 的坐标为(x, y )∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-⨯+==+⨯+=2331)2(304931330y x ⇒ 点N 的坐标为(49,23-)练习4：已知点B 分的比为32，则点A 分的比是 . 解答：如图所示，A 是BC 的外分点A 分BC 所成的比λ ==-||||AC BA 52- 〖课外练习4〗1．已知A( 1, 4 ), B( 3, 2 ), 23=, 求点P 的坐标. 2．已知点P 1, P 2, P 3共线，且322331-=P P P P ，则1321P P P P = . 3．在直线l 上从左到右有A 、B 、C 三点，若点D 分AC 的比为32，点C 分BD 的比为43-，求点B 分AC 的比λ.ACB2 定比分点公式：若设点P1（x1,y1），P2（x2,y2），λ为实数，且向量P1P=λ向量PP2即 P1P=λPP2由向量的坐标运算，得P1P=（x-x1,y-y1），PP2=（x2-x, y2-y）∴ （x-x1,y-y1）=λ（x2-x, y2-y）∴ 定比分点公式为，λ=（x-x1）/（x2-x）λ=（y-y1）/（y2-y）3.定比分点坐标公式：∴λ=（x-x1）/（x2-x）∴λx2-λx=x-x1λx2+x1=λx+x得，x=（λx2+x1）/（λ+1）同理，y=（λy2+y1）/（λ+1）注：当λ=1时，即中点坐标公式。

巧用定比分点坐标公式解题

巧用定比分点坐标公式解题
杜蓉;陈昌全;熊锡成
【期刊名称】《成都教育学院学报》
【年(卷),期】2000(014)007
【摘要】有向线段P1P2-(其中P1（x1,y1),P2(x2,y2))的定分点坐标公式是
x=x1+λ·x2/1+λ,y=y1+λ·y2/1+λ(λ≠-1），这是一个结构整齐，对称，数学美感强的公式，当且仅当λ>0时，分点位于p1,p2之间；当且仅当λ<0且λ≠-1时，分点位于p1p2-的延长线上或反向延长线上，或者p1p2-退缩为一点。

【总页数】3页(P60-62)
【作者】杜蓉;陈昌全;熊锡成
【作者单位】四川崇州市蜀城中学，崇州611230
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.也谈用定比分点坐标公式解题 [J], 王辉;刘康宁
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5.应用定比分点坐标公式解题例说 [J], 杜青文
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解析几何之定比点差法

解析几何之“定比点差法”文章来源：作者：意琦行时间：2016年1月5日介绍定比点差法之前，先介绍一些解析几何中的基础知识：一、定比分点若λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则称点M 为点A 、B 的λ定比分点．当λ>0时，点M 在线段AB 上，称为内分点；当λ<0(λ≠−1)时，点M 在线段AB 的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 的坐标为M (x 1+λx 21+λ,y 1+λy21+λ).二、点差法若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在有心二次曲线x 2a 2±y 2b 2=1上，则有x 12a 2±y 12b 2=1,x 22a 2±y 22b2=1, 两式作差得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2±(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0.此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．下面介绍定比点差法：若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在有心二次曲线x 2a 2±y 2b 2=1上，则有x 12a 2±y 12b 2=1,λ2x 22a 2±λ2y 22b2=λ2 两式作差得(x 1+λx 2)(x 1−λx 2)a 2±(y 1+λy 2)(y 1−λy 2)b2=1−λ2. 这样就得到了1a 2⋅x 1+λx 21+λ⋅x 1−λx 21−λ±1b 2⋅y 1+λy 21+λ⋅y 1−λy 21−λ=1. 例1 过异于原点的点P(x 0,y 0)引椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的割线PAB ，其中点A,B 在椭圆上，点M 是割线PAB 上异于P 的一点，且满足AM MB =AP PB．求证：点M 在直线x 0x a 2+y 0y b 2=1上．证明直接运用定比点差法即可．设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M )，则有 x 0=x 1+λx 21+λ,y 0=y 1+λy 21+λ;x M =x 1−λx 21−λ,y M =y 1−λy 21−λ.又因为点A,B 在椭圆上，所以有x 12a 2+y 12b 2=1,λ2x 22a 2+λ2y 22b2=λ2 两式作差得(x 1+λx 2)(x 1−λx 2)a 2+(y 1+λy 2)(y 1−λy 2)b2=1−λ2. 两边同除以1−λ2，即可得到x 0x M a 2+y 0y M b 2=1.命题得证．练习1 (2008高考数学安徽卷理科)设椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M(√2,1)，且焦点为F 1(−√2,0)． (1)求椭圆的方程；(2)过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于不同点A,B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP|⋅|QB|=|AQ|⋅|PB|，证明：点Q 总在某定直线上．答案 (1)x 24+y 22=1；(2)点Q 在直线2x +y −2=0上．例2 已知椭圆x 29+y 24=1，过定点P(0,3)的直线与椭圆交于两点A,B (A,B 可以重合)，求PAPB的取值范围．解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PAPB =−λ．于是P (x 1+λx 21+λ,y 1+λy 21+λ)=(0,3)，于是x 1+λx 2=0,y 1+λy 2=3(1+λ) (1)又因为点A,B 在椭圆上，所以有x 129+y 124=1,λ2x 229+λ2y 224=λ2,两式相减得(x 1+λx 2)(x 1−λx 2)9+(y 1+λy 2)(y 1−λy 2)4=1−λ2.(2)将(1)代入(2)中得到y 1−λy 2=43(1−λ).(3)由(1)(3)解得y 1=3(1+λ)+43(1−λ)2=136+56λ∈[−2,2].从而解得λ的取值范围为[−5,−15]，于是PAPB 的取值范围为[15,5]．练习2 设D(0,16)，M,N 是椭圆x 225+y 216=1上的两个动点(可以重合)，且DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ的取值范围．答案 [35,53]．例3 设F 1(−c,0)、F 2(c,0)为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，直线PF 1,PF 2分别交椭圆于异于P 的点A 、B ，若PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μF 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：λ+μ=2⋅a 2+c 2a 2−c 2．证明设P(x 0,y 0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则F 1(x 0+λx 11+λ,y 0+λy 11+λ),F 2(x 0+μx 21+μ,y 0+μy 21+μ).于是有x 0+λ x 1=−(1+λ )c,y 0+λ y 1=0;(4) x 0+μ x 2=(1+μ )c,y 0+μ y 2=0.(5)又由点P,A 在椭圆上得到x 02a2+y 02b 2=1,λ2x 12a 2+λ2y 12b 2=λ2,两式相减得(x 0+λx 1)(x 0−λx 1)a 2+(y 0+λy 1)(y 0−λy 1)b2=1−λ2.(6) 从而有 λx 1=a 2c(λ−1).结合(4)式可解得 2x 0=a 2c(λ−1)−c(1+λ).同理可得 x 0−μx 2=a 2c (1−μ).结合(5)式得到 x 0=a 2c(1−μ)+c(1+μ).于是有 a 2c (λ−1)−c(1+λ)=a 2c(1−μ)+c(1+μ).整理得λ+μ=2⋅a 2+c 2a 2−c 2，命题得证．练习3 已知过椭圆x 22+y 2=1的左焦点F 的直线交椭圆于A,B 两点，且有FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点A 的坐标．答案 A(0,±1)．定比点差法实际上是直线的参数方程的变异形式，只不过将其中的t 变作了λ，也就是说只要是共线点列的问题都可以在考虑运用直线的参数方程的同时考虑定比点差法．定比点差法在处理圆锥曲线上过定点的直线的证明题时往往可以起到简化运算的作用．但定比点差法无法应用于抛物线，并且它采用的参数λ在解析几何问题中并不通用，在求解具体的斜率、弦长与面积时往往会引起运算上的麻烦(当然，求坐标还是很简便的)，所以并不是所有的共线问题都适用用定比点差法解决．。

定比分点的坐标计算方法

定比点差法及其应用解说

《线段定比分点》课件

定比、定比分点公式

定比分点坐标公式在解题中的应用

线段的-定比分点

定比分点典型例题

5.4 线段的定比分点与平移

线段的定比分点

定比分点1

高三数学线段的定比分点

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