自然数的排列问题
四年级数学专题讲义第十五讲 规律与归纳
第十五讲规律与归纳无论是在奥数的学习中，还是在日常生活中，我们都会发现很多很多规律，它可以帮助我们更好的认识问题.特别是在奥数学习中，一些数列、数阵的排列，图形周长、面积的变化、庞大数字的计算等等都有一定的规律.只有经过观察、思考和试算，发现数与数、图形与图形相互之间的关系，才能得到题目的答案. 同学们，通过学习，希望你在平时多积累，多归纳，善于发现、总结一些规律，因为学会发现往往比学会几道题目重要得多.〖经典例题〗例1、流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此继续涂下去，到第1993个小球该涂什么颜色？在前1993个小球中，涂黑色的小球有多少个？分析:根据题意，小木球涂色的次序是：“5红、4黄、3绿、2黑、1白”，也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、1白”循环一次.这里，给小木球涂色的周期是：5＋4＋3＋2＋1=15.1993÷15=132……13，第1993个小球出现在上面所列一个周期中第13个，所以第1993个小球是涂黑色。
每个周期黑球共有2个，则一共有2×132＋1=265(个).例2、右图的图案表示一个花圃的设计方案，汉字表示每盆花的颜色，请问第7行第5盆花的颜色？第20行第5盆花的颜色？ (从左往右计数)分析：从上往下，从左至右，排列周期是：红、蓝、白、黄；第7行第5盆花的颜色：1+2+3+4+5+6+5=26(盆)，26÷4=6……2，所以是蓝色；第20行第5盆花的颜色：1+2+……+19+5=195，195÷4=48……3，所以是白色的.例3、在下图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为(共社)，第二组为(产会)．那么，第340组是什么？分析：因为“共产党好”有4个字，“社会主义好”有5个字，4与5的最小的公共倍数是20，所以再连续写完5个“共产党好”与4个“社会主义好”之和，将重头写起，出现周期循环，而且每个周期是20组数．而340÷20＝17，所以第340组正好写完第17个周期，第340组是(好，好)．〖巩固练习〗练习1：1991年1月1日是星期二，(1)该月的22日是星期几？该月28日是星期几？(2)1994年1月1日是星期几？分析：(1)一个星期是7天，因此，7天为一个循环，这类题在计算天数时，可以采用“算尾不算头”的方法。
第十讲 自然数串趣题
第十讲 自然数串趣题从1开始，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12……连起来成一串，像一串糖葫芦，我们把这样的一串数叫作自然数串（也叫自然数列），其中的每一个数都叫作自然数。
自然数串的特点是：①从1开始，1是头；②在相邻的两个数中，后一个数比前一个数大1；③后面的数要多大有多大，也就是说，自然数串是有头无尾的。
在自然数串中，如果写到某一个数为止，就叫做有限自然数串，也简称自然数串。
这一讲的题目，都是与（有限）自然数串有关的。
例1 如下页图所示。
一份学习材料放在桌上，一阵风把材料吹落了一地。
小军拣起来一看，糟糕，少了两张。
根据下面拣到的材料的页码，你能说出少了哪几页吗？解：一张材料的正反两面用两个自然数作页码，这两个自然数是相邻的。
仔细观察找到的材料的页码，根据自然数串的特点，可知少了的两张纸的页码是（7、8）和（13、14）。
例2 从1连续地写到100，“0”出现了多少次？解：“0”出现了11次。
因为从1到100含有“0”的自然数是：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100。
数一数，这些自然数中共有11个“0”。
例3 把1，2，3，4，5，……28，29，30这三十个数，从左往右依次排列起来，成为一个数，你知道这个数共有多少个数字吗？解：把这个数写出一部分来看看：123456789101112131415 (282930)下面，分段计算这个数共包含有多少个数字：1至9共有9个数字；10至19共有10个自然数，每个都由两个数字组成，这一段共有2×10=20个数字。
20至29这一段也有10个自然数，共有20个数字。
30这个数由两个数字组成。
所以这个数所包含的数字总数是：9+20+20+2=51（个）。
例4 小青每年都和家长一起参加植树节劳动。
七岁那年，他种了第一棵树，以后每年都比前一年多种一棵。
现在他已经长到15岁了，连续地种了九年树。
请你算一算，这九年中小青一共种了多少棵树？解：先把小青每年种几棵树写出来再把每年种树的棵树加起来1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（棵）。
排列组合专题各方法题型及其答案
排列组合题型总结一．直接法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。
例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例44名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种五．阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共多少种六．平均分堆问题例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法七．染色问题例7 某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分，现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）．561432八．递推法例八一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法九.几何问题1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有种十．先选后排法例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有多少种十一．用转换法解排列组合问题例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．十二．转化命题法例 11.圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。
排列与组合,分步乘法计数原理,分类加法计数原理
排列：1、排列的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做这n个元素的一个全排列。
3、排列数的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号白；表示。
4、阶乘：自然数1到n的连乘积，用n!=1X2X3X・・・Xn表示。
规定：0!=15、排列数公式：*”n (n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)='卡—活"。
组合：1、组合的概念：从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
2、组合数的概念：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号C；表示。
b=屋=题…---掰+。
_ /3、组合数公式：1H史耀！的I一对；4、组合数性质：K - …,5、排列数与组合数的关系：量二5,排列与组合的联系与区别：从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m个(mWn, n, m£N) 元素，这是排列与组合的共同点。
它们的不同点是：排列是把取出的元素再按顺序排列成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列，否则就不相同；而对于组合，只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合，如a, b与b, a是两个不同的排列，但却是同一个组合。
排列应用题的最基本的解法有:(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，称为元素分析法，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置，称为位置分析法;(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数。
排列的定义的理解：①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列；②只有元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列，元素完全相同，但排列顺序不一样或元素不完全相同，排列顺序相同的排列，都不是同一个排列；③定义中规定了 mWn,如果m<n,称为选排列；如果m=n,称为全排列；④定义中“一定的顺序”，就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意；⑤可以根据排列的定义来判断一个问题是不是排列问题，只有符合排列定义的说法，才是排列问题。
连续自然数是什么意思
连续自然数是什么意思“连续自然数”指的是一个无限不循环小数，这里的无限不是指没有尽头，而是指在实数轴上，从正无穷到负无穷，即无限大和无限小。
1。
连续自然数：数列1。
连续自然数：数列2。
定义：连续自然数在n个相邻的非零数之间所以的数字关系是：|3。
公式： n个连续自然数的和等于它们中任何两个的乘积。
|4。
定理：|n为偶数，|n的平方等于偶数个自然数的乘积。
|n为奇数，|n的平方等于奇数个自然数的乘积。
|n为0或者0的倍数，|n 的平方等于0或者0的平方的乘积。
|n的立方根等于它本身。
|5。
例子：|1。
直接证明：|2。
有关联的定义：|3。
特殊情况：|4。
更多见解：|5。
扩展资料：2。
定义：连续自然数在n个相邻的非零数之间所以的数字关系是：|3。
公式： n个连续自然数的和等于它们中任何两个的乘积。
|4。
定理：|n为偶数，|n的平方等于偶数个自然数的乘积。
|n为奇数，|n的平方等于奇数个自然数的乘积。
|n为0或者0的倍数，|n 的平方等于0或者0的平方的乘积。
|n的立方根等于它本身。
|5。
例子：|1。
直接证明：|2。
有关联的定义：|3。
特殊情况：|4。
更多见解：|5。
扩展资料：3。
证明如下：|1。
因为有序，所以存在一个整数N>1， N个元素按照逆时针方向依次排好，使得N>1， N=2的数集合是有界的，而且是唯一的。
|2。
那么2的所有连续自然数所组成的有界子集就是可列空间。
|3。
再利用集合论基本知识可知：|4。
证明结束。
|5。
以上便是连续自然数的定义。
4。
证明如下：|1。
分别考虑N>2， N>1的连续自然数，它们都能被排列成有界子集，并且该子集是可列空间。
|2。
因此N>1的连续自然数都可以被排列成有界子集，且这些子集是可列空间。
|3。
假设这些子集是可列空间，则必然存在N>1的连续自然数，使得所有排列都在有界子集内，其逆序也都在有界子集内。
|4。
由条件3知道：|5。
对于每个在有界子集内的排列，都存在这样一个自然数使得这些排列逆序也在有界子集内。
小学数学《数列规律》练习题(含答案)
小学数学《数列规律》练习题（含答案）日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：（1）自然数：1，2，3，4，5，6，7， (1)（2）年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996（3）某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45 像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n个数就称为第n项．如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项是45．根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列．（一）找数列中的规律【例1】观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.(1)100，88，76，64，52，（），28(2)1，3，6，10，（），21，28，36，（）(3)2，1，3，4，7，（），18，29，47(4)1，3，9，27，（），243(5)1，8，27，64，125，（），343(6)1，2，6，24，120，（），5040(7)2， 1， 4， 3， 6， 9， 8， 27， 10，（）(8)1，1，1，3，5，9，17，（）分析：（1） 100，88，76，64，52，（），28通过观察不难发现，从第2项开始，每一项都比它前面一项少12，也就是说每相邻两项所得的差都等于12.因此，括号中应填的数是40，即：52-12=40．像（1）这样，相邻两项之间的差是定值，我们把这样的数列叫做等差数列．（2） 1，3，6，10，（），21，28，36，（）（方法一）先计算相邻两数的差，有：3-1=2，6-3=3，10-6=4 ，……，28-21=7，36-28=8，……由此可以推知这些差一次为2、3、4、5、6……，所以这列数从小到大地排列规律是相邻两数的差按2、3、4、5、6……增加，括号里应填15，45，即10+5=15，36+9=45.(方法二)继续考察相邻项之间的关系，可以发现：因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第5项为15，即15=10+5，最后一项即第 9项为 45，即 45＝36＋9.代入验算，正确．（方法三)这一列数还有如下的规律：第1项：1=1,第2项：3=1＋2,第3项：6=1+2+3,第4项：10=1+2+3+4,第6项：21=1+2+3+4+5+6,……即这个数列的规律是：每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此，第5项为15，即：15=1+2+3+4+5；第9项为45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9．（3） 2，1，3，4，7，（），18，29，47这个数列即不是等差数列，也不是等比数列，但是可以发现，从第三项开始每一项都等于前面两项地和，即：3=1+2，4=1+3，7=3+4，……，47=18+29，所以括号中的数应该是：4+7=11（4） 1，3，9，27，（），243此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=1×3，9= 3×3，27=9×3，也就是说相邻两项之间的商相等．因此，括号中应填 81，即81= 27×3，代入后， 243也符合规律，即 243＝81×3．像（4）这样，相邻两项之间的商是定值，我们把这样的数列叫做等比数列．（5）1，8，27，64，125，（），343通过观察可以发现： 1=1×1×1，8=2×2×2，27=3×3×3，64=4×4×4，125=5×5×5，343=7×7×7，根据这个规律，括号中应填：6×6×6=216我们把这样的数列叫做立方数列，即每一项等于其项数乘以项数再乘以项数.（6）1，2，6，24，120，（），5040（方法一）这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看不出任何规律.考虑到等比数列，我们不妨研究相邻项的商，显然：所以，这个数列的规律是：除第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积.因此，括号中的数为第6项720，即720=120×6．（方法二）本题也可以考虑连续自然数，显然：第1项 1=1，第2项2=1×2，第3项6=1×2×3，第4项24=1×2×3×4，……，所以，第6项应为1×2×3×4×5×6=720（7） 2， 1， 4， 3， 6， 9， 8， 27， 10，（）。
排列组合问题2：加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理导言：加法原理和乘法原理，是排列组合中的二个基本原理，在解决计数问题中经常运用。
把握这两个原理，并能正确区分这两个原理，至关重要。
一、概念（一）加法原理如果完成某件事共有几类不同的方法，而每类方法中，又有几种不同的方法，任选一种方法都可以完成此事，那么完成这件事的方法总数就等于各种方法的总和，这一原理称为加法原理。
例：从甲地到乙地，一天中火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？解析：把乘坐不同班次的车、船称为不同的走法。
要完成从甲地到乙地这件事，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，一天中，乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法。
而乘坐火车、汽车、轮船中的任何一班次，都可以从甲地到乙地，符合加法原理。
所以从甲地到乙地的总的走法=乘火车的4种走法+乘汽车的2种走法+乘轮船的3种走法=9种不同的走法（二）乘法原理如果做某件事，需要分几个步骤才能完成，而每个步骤又有几种不同的方法，任选一种方法都不能完成这件事，那么完成这件事的方法总数，就等于完成各步骤方法的乘积。
例：用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个不同的三位数？解析：要完成组成一个三位数这件事，要分三个步骤做，首先选百位上的数，再选十位上的数，最后选个位上的数。
选百位上的数这一步骤中，可选1、2、3、4任何一个，共4种方法选十位上的数这一步骤中，可选除百位上已选好那个数字之外的三个数字，共3种方法选个位上的数这一步骤中，可选除百、十位上已选好的两个数字之外的另两个数字，共2种方法单独挑上面的任何一步中的任何一种方法，都不能组成一个三位数，符合乘法原理所以，可以组成：4×3×2=24（个）不同的三位数二、加法原理和乘法原理的区别什么时候使用加法原理，什么时候使用乘法原理，最关键是要把握住加法原理与乘法原理的区别。
从上面两个例子我们容易发现，加法原理与乘法原理最大的区别就是：如果完成一件事有几类方法，不论哪一类方法，都能完成这件事时，运用加法原理，简称为“分类-----加法”；如果完成一件事要分几个步骤，而无论哪一个步骤，都只是完成这件事的一部分，只有每一步都完成了，这件事才得以完成，这里运用乘法原理，简称为“分步----乘法”。
计数问题·排列组合试题与解答
计数问题·排列组合试题与解答1.【题目】从1～2004这2004个自然数中，共有多少个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位。
【解答】这个题如果顺向思考，就特别复杂，我们逆向思考，把不能进位的个数找出来，我们再从2004个数中减少这么多个，就是满足条件的了。
8866加一个数，如果不发生进位，千位上只能是0和1，百位上也只能是0和1，十位上只能是0～3，个位也是0～3，所有不进位的情况共有2×2×4×4－1＝63种，为什么减去1呢，因为四位数字都选0时的0000这个数不存在。
所以至少发生一次进位的数有2004－63＝1941个数。
2.【题目】五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。
如果贝贝和妮妮不相邻，共有多少种不同的排法。
【解答】这个题的基本思想是从总的排列中去掉相邻的排列就行了。
五个同学共有5×4×3×2×1＝120种排法其中两人相邻的共有4×3×2×1＝24种排法则其中两人不相邻的排法共有120－24＝96种。
3.【题目】甲乙丙丁四个同学排成一排，从左到右数，如果甲不排第一个位置上，乙不排第二个位置上，丙不排第三个位置上，丁不排第四个位置上，那么不同的排法共有多少种？【解答】此题方法很多，谈谈分类讨论。
甲不排第一个位置，则第一个位置可以是乙、丙、丁当乙排第一个位置时有以下3种排法：乙甲丁丙，乙丙丁甲，乙丁甲丙当丙和丁排第一个位置时同样分别有3种排法，因此共有3×3＝9种不同的排法。
4.【题目】高速公路入口处的收费站有1号、2号、3号、4号共四个收费窗口，有A、B、C三辆轿车要通过收费窗口购票进入高速公路。
那么三辆轿车共有多少种不同的购票次序？【解答】A轿车进入高速公路时，有4种情况；B轿车进入时，除了每个入口有一种外，和A同进一个入口时，有在A 前和A后两种情况，因此B轿车进入时，对应有5种情况；C轿车进入时，分成两类来分析：如果A和B分别从不同的入口进入的，则C进入时，可以从两个入口和A前A后，B前B后，共6种进入方式。
20181125小学奥数练习卷(知识点：数阵图中找规律)含答案解析
小学奥数练习卷（知识点：数阵图中找规律）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共1小题）1．把自然数按如图所示的方法排列，那么排在第10行第5列的数是（）A．79B．87C．94D．101第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共42小题）2．如图，将1至400这400个自然数填入下面的三角形中，每个小三角形内填有一个数，“1”所处的位置为第1行，“2、3、4”所处的位置为第2行，那么第8行中间数是．3．如图，按照表中规律把自然数填入表格，那么2016所在的行号和列号的和是．4．观察下面数表中的规律，可知x=．5．沿着虚线将如图划分为若干“中环块”（表格内每个小正方形的面积均为1），任意两个相邻“中环块”的面积均不同（如果两个“中环块”有至少一条公共边，就称为相邻“中环块”）．图中标了一些数字，每个数字都表示其所在“中环块”的面积．每个“中环块”中可能不含数字，可能含有一个数字，也可能含有多个相同的数字．每列中都画有两个圆圈，其中一个圆圈在表格中，另一个在表格下方．在表格内的圆圈中填上圆圈所在“中环块”的面积，并把这个数字填在与之同列的表格下方圆圈内．最后，表格下方的七个圆圈从左至右构成一个七位数，这个七位数为．6．在下面“而”字型数阵图的圆圈内填入适当的数字（数字可以重复使用），使得每条直线上的数字之和都相等，那么左下角的圆圈内应填．7．将日期5月2日中的5称为“月”，2称为“日”，把2016年1月1日至12月31日中的所有“日”按顺序填入下表，那么，12这个数在左数第三列中出现了次．8．在空格里填入数字1～6，使得每行、每列和每宫数字都不重复，并且两个灰色正方形中相同位置的数字完全相同，那么，五位数是．9．如图，把从1开始的自然数按一定规律排列起来，如图46在这个数表的第a 行，第b列，那么a×b=．10．所有自然数如图排列，数300位于字母的下面．11．在空格内填入1﹣6，使得每行和每列的数字都不重复．图中相同符号所占的两格数字组合相同，数字顺序不确定，那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数是．12．图中三角形数表中第4行第5列是．13．将1～9这9个数分别填入图中的圆圈内，使得每个三角（共7个）的3个顶点上的数之和都等于15．现在已经填好了其中的3个，则标有“☆”的圆圈内应填．14．观察下面的三角形数表，第10行的所有数字之和是．15．在空格里填入数字1～6，使得每行、每列和每宫数字不重复．盘面外的数字表示斜线方向所有格的和．那么，第四行从左往右的前5个数字组成的五位数是．16．如图，6×6的正方形表格被粗线分成了9个粗线框，每个粗线框有N个格子就在这N个格子中分别填入1～N的数字，要求每个数字和其周围相邻（包括对角相邻）的数字都不相同．那么，四位数=．17．（如图1）6×6的方格中，每行每列2、0、1、5四个数字各出现一次，空格把每行每列的数字隔成四位数、三位数、两位数或者一位数．右边和下面的数表示该行或列里的几个数字之和，0不能作为多位数的首位．（图2是一个1、2、3、0四个数字各出现一次的例子）那么，大正方形两条对角线上所有数字之和是．18．我们可以将全体正整数和正分数按照下图所示的方法，从1开始，一层一层地“生长”出来：是第一层：第二层是，；第三层是，，，，…按照这个规律，在层．19．观察下表中的数的规律，可知第8行中，从左向右第5个数是．20．如图的9个圆圈间，连有10条直线，每条直线上有3个圆圈，甲先乙后轮流选择一个未被选择的圆圈；如果谁选的圆圈中有3个在同一直线上，谁就获胜．现在，甲选择了“1”，乙接着可选择“5”．甲要获胜，接下来的一步能够选择的编号总乘积是．21．从左上角开始，沿着轨道出现的数字依次是1，2，3，1，2，3，…每行和每列的数字都是1个1，1个2，1个3（另外两个格子不填），那么，第四行的5个数字从左至右组成的五位数是（没有数字的格子看作0）22．从左上角开始，沿着轨道出现的数字依次是1，2，3，1，2，3，…每行和每列的数字都是1个1，1个2，1个3（另外两个空不填），那么，第三行的5个位置从左到右组成的五位数是．（如果是没有数字的位置则写0）23．我们可以将全体正整数和正分数按照如图所示的方法，从1开始，一层一层地“生长”出来；是第一层；第二层是，，第三层是，，，，…按照这个规律，在第层．24．在空格内填入数字1﹣6，使得每行每列数字不重复，黑点两边的数是两倍的关系，白点两边的数差为1．那么第四行所填数字从左往右前5位组成的五位数是．25．如图，用小正方形摆成下列图形，按摆放规律，第25个图形需要小正方形个．26．若如图中方框里填上不同的正偶数后，每个正方形顶点方框内的四个数之和都相等，这个和的最小值是．27．请在下面的“木”字形数阵图中填入0～9各1个，满足4条直线的和都等于15，那么“☆”位置上的数是．28．古希腊的数学家们将自然数按以下方式与多边形联系起来，定义了多边形数：三边形数：1，3，6，10，15，…四边形数：1，4，9，16，25，…五边形数：1，5，12，22，35，…六边形数：1，6，15，28，45，……则按照上面的顺序，第6个七边形数为．29．在下面的数表中，上、下两行都是等差数列，上、下对应的两数中，大数减去小数的差，最小是．5 10 15 20…1430 1435 14402013 2006 1999 1992…18 11 4．30．如图数阵的数字是按一定的规律排列的，其中第201行左起第3个数字是31．观察上边数阵中各行数字的和的规律，根据这个规律，则第10行中各数的和等于．32．将1至5分别填入图中的圆圈内，使得两条线段上3个数的和相等．那么，共有种不同的填法．33．对自然数按如下操作：是3的倍数则除以3，不是3 的倍数则加1，直至出现1才停止．如果这样的操作进行了5次恰停止．开始的数有个．34．将1﹣16填入4×4的表格中，要求同一行右面的比左面的大；同一列下面的比上面的大．其中4和13已经填好，其余14个整数有种不同的填法．35．有16名学生，他们做成一个4×4的方阵，某次考试中他们的得分互不相同，得分公布后，每位同学都将自己的成绩与相邻的同学（相邻指前、后、左、右，如坐在角上的同学只有2人与他相邻）进行比较，如果最多只有1名同学的成绩高于他，那么他会认为自己是“幸福的”．则最多有名同学会认为自己是“幸福的”．36．将1﹣9填入3×3的表格中，要求同一行右面的数字比左面的数大；同一列下面的数比上面的数大，其中1，4，9已经填好，那么其余6个整数有种不同的填法．37．图1的3×3表格中已经填好了数，选择一个格为起点，如果对这个黑格和与它相邻的白格中所填数进行加减乘除中的一次运算（计算时大数在前），计算结果是与白格相邻的另一个黑格所填数的整数倍，就能经过这个白格走到下一个黑格．要求每个格子恰好进过一次．（例如图2中，从7经过8可以走到5，并且图2中箭头走向是一种正确走法）请在图1中找出正确的走法．若图1中正确走法的前3个格子所填数依次为A，B，C，那么三位数=．38．分别姓赵、钱、孙、李、周、吴、王的七位同学站成一排，按下列方式依次报数：报“l998”的是姓的同学．39．有一串数如图排列，第50行的最后一个数是．40．如图，圆点组成了一系列图形，每个图形的圆点个数依次为：1，3，6，10，15…．按这样排列，圆点个数为105的是第个图形．41．如图是一个由数字组成的三角形，它的组成有着一定的规律，第九行从左往右第7个数是．42．观察下列九个数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的排列方式．第一行：1 2 3 4 5 6 7 8 9第二行：2 3 4 1 6 7 5 9 8第三行：3 4 1 2 7 5 6 8 9…按以上规律排列，第一行的排列方式，从第一行起到100行，一共能出现次．43．观察下图，？代表的数是．三．解答题（共7小题）44．自然数如图的规则排列：求：（1）上起第10行，左起第13列的数；（2）数127应排在上起第几行，左起第几列？45．如图，把从1开始的自然数按照一定的顺序排列成数表，如果这个数表有31行31列，那么这个数表中的第1行第1列的数是．46．古希腊数学家们将一些自然数按照以下方式与正方形联系起来：并将这些数称为正方形数．1770年，法国数学家拉格朗日证明：任何一个自然数都可以表示为最多4个正方形数的和．比如2=1+1，7=1+1+1+4等．请将80表示为最多4个正方形数的和的所有可能情形．47．如图，将1、2、3…按规律排成一个沙漏型的数表，那么，（1）下5行从左向右数的第5个数是多少？（2）上6行最左边的数是多少？（3）2016排在哪一行的从左向右数的第多少个？48．把从1开始的自然数按照如图方式排列（如图只给出了这个数表的一部分）．如果我们认为1在第0行第0列，6在第上2行第0列，12在第0行第左2列，19在第下2行第右1列．请问：（1）在第上2行第右3列的数是多少？（2）自然数2014在第几行第几列？（要求写出方向）（3）从1开始向上数100个数（1算作第1个，向后依次是2，6，14…），那么，这100个数的和是多少？49．如图，将1、2、3…按规律排成一个沙漏型的数表，那么，（1）下5行从左向右数的第5个数是多少？（2）上6行最左边的数是多少？（3）2013排在哪一行的从左向右数的第多少个？50．观察下列图形的规律，然后填空：参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．把自然数按如图所示的方法排列，那么排在第10行第5列的数是（）A．79B．87C．94D．101【分析】从表中可知排列的规律是以左上角为顶点的一个等腰三角形，斜着的每组数的个数是1，2，3，4，5…，那么第10行的第一列就应在斜行的第14行上，求出斜行第14行的最后一个数，再减4即可．据此解答．【解答】解：根据以上分析知第14斜行的最后一个数是：1+2+3+ (14)=（14+1）+（13+2）+…+（8+7），=15×7，=105，105﹣4=101．故选：D．【点评】本题的关键是求出第10行第5列的数，在斜行的第几行上，然后再进行计算．二．填空题（共42小题）2．如图，将1至400这400个自然数填入下面的三角形中，每个小三角形内填有一个数，“1”所处的位置为第1行，“2、3、4”所处的位置为第2行，那么第8行中间数是57．【分析】根据图形知第n行的最后一个数为n×n，可得第8行第1个数为7×7+1，第8行最后一个数为8×8，从而得出第8行中间数为．【解答】解：由图可知，第1行的数为1，第2行最后一个数为2×2=4，第3行最后一个数为3×3=9，…所以第7行最后一个数为7×7=49，第8行第1个数为49+1=50，第8行最后一个数为8×8=64，则第8行中间数是=57，故答案为：57．【点评】本题主要考查数阵图中找规律，根据图形得出第n行的最后一个数为n ×n是解题的关键．3．如图，按照表中规律把自然数填入表格，那么2016所在的行号和列号的和是54．【分析】观察数阵图中对角线上的数字2、6、12、20…，其特点是每个数字恰好是两个相邻自然数的乘积，并且，从对角线上的这个数往左边数，依次增加1，往上边数，依次减少1．另外，最顶层一排数字：1、4、9、16…全是完全平方数．因此，只要确定2016这个数对应的对角线上的数字就可以解决问题了．【解答】解：注意到对角线上的数字：2=1×2、6=2×3、12=3×4、20=4×5…，这些数字的最上方的数字1、4、9、16…为完全平方数，比2016小的完全平方数为1936=44×44，因此，从1936这个数字竖着往下数到底得到对角线上的数字为44×45=1980，1980在第45行第45列，从1980往左数36次得到2016，45﹣36=9，因此2016在第45行第9列．所以45+9=54．故答案为54．【点评】本题为数阵图中找规律的题目，主要考查同学们对数阵图中数字排列规律的观察能力以及对特殊位置上的数字结构的识别能力．解答本题的关键是观察并识别出对角线上的数字和最顶部数字的特征．4．观察下面数表中的规律，可知x=45．【分析】每一行最后一个数为完全平方数，当完全平方数为a2时，前面的数字分别为a，3a，5a，7a，据此规律解答即可．【解答】解：根据分析可得，81=92，所以，x=9×5=45；故答案为：45．【点评】一般地说，数表中的规律，应抓住以下几点来考虑问题：（1）数表中前后数的变化和特征；（3）数表中上下数的变化和特征；然后再利用这个规律，解决问题．5．沿着虚线将如图划分为若干“中环块”（表格内每个小正方形的面积均为1），任意两个相邻“中环块”的面积均不同（如果两个“中环块”有至少一条公共边，就称为相邻“中环块”）．图中标了一些数字，每个数字都表示其所在“中环块”的面积．每个“中环块”中可能不含数字，可能含有一个数字，也可能含有多个相同的数字．每列中都画有两个圆圈，其中一个圆圈在表格中，另一个在表格下方．在表格内的圆圈中填上圆圈所在“中环块”的面积，并把这个数字填在与之同列的表格下方圆圈内．最后，表格下方的七个圆圈从左至右构成一个七位数，这个七位数为4251257．【分析】由题意得，图中标了一些数字，每个数字都表示其所在“中环块”的面积，并且表格内每个小正方形的面积均为1，所以中环块内的一旦一个小正方形中被标为n的话就表示这个中环块由n个小正方形构成，并且，每个小正方形上面都是标示着n．（n=0，1，2…），因此，题目的要求就是通过题目中所给的一系列的数字将题目中所空出来的部分补全，从最大的数字7开始入手．【解答】解：由题意得，图中标了一些数字，每个数字都表示其所在“中环块”的面积，并且表格内每个小正方形的面积均为1，所以中环块内的一旦一个小正方形中被标为n的话就表示这个中环块由n个小正方形构成，并且，每个小正方形上面都是标示着n．（n=0，1，2…）因此，题目的要求就是通过题目中所给的一系列的数字将题目中所空出来的部分补全．先从最大的数字7开始入手．考虑右下角填数字5，结合任意两个相邻“中环块”的面积均不同，填右边数字4，填下方数字3，填数字5，左上角填入4，中间填2，接着填入3，填入3，2剩下的部分填1，2，所以这个七位数为4251257，故答案为4251257．【点评】本题考查数阵图中找规律，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解题意是关键．6．在下面“而”字型数阵图的圆圈内填入适当的数字（数字可以重复使用），使得每条直线上的数字之和都相等，那么左下角的圆圈内应填7．【分析】因为每条直线上的数字之和都相等，所以左下角的圆圈内应填2+0+1+6﹣2=7；【解答】解：因为每条直线上的数字之和都相等，所以左下角的圆圈内应填2+0+1+6﹣2=7，故答案为7．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是理解题意，根据每条直线上的数字之和都相等，即可解决问题．7．将日期5月2日中的5称为“月”，2称为“日”，把2016年1月1日至12月31日中的所有“日”按顺序填入下表，那么，12这个数在左数第三列中出现了三次．【分析】2016年的“日”只有29，30，31三种，由于一行有十个数，所以当1个月有30“日”时，12所在的列不变，一个月有29“日”时，12所在的列往前移动一列，一个月有31“日”时，12所在的列往后移动一列，由下表可知，2月份12第一次出现在第五行第三列，2016年2月份有29日，所以3月份12在第二列；2106年3月份有31日，所以4月份12在第三列，2016年4月份30日，所以5月份12在第三列，2016年5月份有31日，所以6月份12在第四列，由此即可解决问题．【解答】解：2016年的“日”只有29，30，31三种，由于一行有十个数，所以当1个月有30“日”时，12所在的列不变，一个月有29“日”时，12所在的列往前移动一列，一个月有31“日”时，12所在的列往后移动一列，由下表可知，2月份12第一次出现在第五行第三列，2016年2月份有29日，所以3月份12在第二列；2106年3月份有31日，所以4月份12在第三列，2016年4月份30日，所以5月份12在第三列，2016年5月份有31日，所以6月份12在第四列，…再往后最多往后移动四列，所以第三列不会出现12了，一共出现三次．故答案为三．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是理解题意，熟悉年历的变化规律．8．在空格里填入数字1～6，使得每行、每列和每宫数字都不重复，并且两个灰色正方形中相同位置的数字完全相同，那么，五位数是12346．【分析】由题意每宫数字都不重复，A、B只能是1和2或2和1，F、G只能是4和1或1和4，由此作出假设，即可解决问题．【解答】解：由题意每宫数字都不重复，A、B只能是1和2或2和1，F、G只能是4和1或1和4，再根据每行、每列和每宫数字都不重复，可知A为1，B为2，F为4，G为1，由此可以得出如图的结论，所以五位数是12346，故答案为12346．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是学会全面观察、勤于思考就一定能抓住规律，解决问题．9．如图，把从1开始的自然数按一定规律排列起来，如图46在这个数表的第a 行，第b列，那么a×b=156．【分析】由表得出每行4个数且第n行的第1个数位于第n列，由46÷4=11 (2)知46位于第12行第2个数，即第13列，据此可得答案．【解答】解：由表可知，每行4个数，且第n行的第1个数位于第n列，46÷4=11…2，则46位于第12行，第2个数，即第13列，a×b=12×13=156，故答案为：156．【点评】本题主要考查数阵图中找规律，根据表格得出每行4个数且第n行的第1个数位于第n列是解题的关键．10．所有自然数如图排列，数300位于字母D的下面．【分析】观察数阵可知每7个数一个循环周期，用300除以7求出商和余数，然后根据余数即可确定数300位于哪个字母的下面．【解答】解：每一循环周期中的相对应的数除以7的余数都相同．因为300÷7=42…6，所以300与6位于同一列，所以，数300应在D字母下面．故答案为：D．【点评】本题考查了数阵图中找规律的问题，关键是明确每一循环周期中的相对应的数除以7的余数都相同．11．在空格内填入1﹣6，使得每行和每列的数字都不重复．图中相同符号所占的两格数字组合相同，数字顺序不确定，那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数是46123．【分析】首先是第二行第二列的数字只能是5，第三行第四列只能是6．根据题意即可求解．【解答】解：依题意可知：首先是第二行第二列的数字只能是5，第三行第四列只能是6．继续推理可知答案如图所示：故答案为：46123．【点评】本题考查对数阵图的理解和运用，突破口就是第二行第二列的数字只能是5，第三行第四列只能是6．问题解决．12．图中三角形数表中第4行第5列是63．【分析】首先分析衡行是二次等差数列．数列也是二次等差数列．继续分析求解即可．【解答】解：依题意可知：第四行的首个数字是19，这是一个二次等差的等差数列．19+8=27．27+10=37．37+12=49．49+14=63．故答案为：63【点评】本题考查对数阵图规律的理解和运用，关键是找到二次等差数列的关系．问题解决．13．将1～9这9个数分别填入图中的圆圈内，使得每个三角（共7个）的3个顶点上的数之和都等于15．现在已经填好了其中的3个，则标有“☆”的圆圈内应填7．【分析】根据每个三角形（共7个）的3个顶点上的数之和都等于15，求出E，C，B，即可求出标有“☆”的圆圈内应填的数字．【解答】解：图中共有7 个三角形，每个三角形的 3 个顶点数的和都是15．E=15﹣9﹣4=2，C=15﹣1﹣9=5，B=15﹣4﹣C=6，★=15﹣B﹣E=7．故答案为7．【点评】本题考查数阵图，考查学生的计算能力，正确运用每个三角形（共7个）的3个顶点上的数之和都等于15是关键．14．观察下面的三角形数表，第10行的所有数字之和是256．【分析】观察规律，推出第十行的数字为10个13，9个14，由此即可解决问题．【解答】解：因为第10行的前面有1+3+5+…+17=81个数，又因为1+2+…+12=78，所以第十行的19个数为，10个13，9个14，所以第10行的所有数字之和是130+9×14=256．故答案为256．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是学会全面观察、勤于思考就一定能抓住规律，解决问题．15．在空格里填入数字1～6，使得每行、每列和每宫数字不重复．盘面外的数字表示斜线方向所有格的和．那么，第四行从左往右的前5个数字组成的五位数是35126．【分析】首先确定四个角上的数字，盘面外的数字7和5，可以确定相应的数字，再用类似的方法，即可解决问题．【解答】解：首先确定四个角上的数字，盘面外的数字7和5，可以确定相应的数字，再用类似的方法，即可得出图中的结论．所以第四行从左往右的前5个数字组成的五位数是35126．故答案为35126．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是学会全面观察、勤于思考就一定能抓住规律，解决问题．16．如图，6×6的正方形表格被粗线分成了9个粗线框，每个粗线框有N个格子就在这N个格子中分别填入1～N的数字，要求每个数字和其周围相邻（包括对角相邻）的数字都不相同．那么，四位数=3521．【分析】由题意一个格只能填1，2个格只能填1，2，三个格只能填1，2，3．且和周围8个数均不相同，用此方法，先确定1格，2格，3格的数字，由此即可解决问题．【解答】解：由题意一个格只能填1，2个格只能填1，2，三个格只能填1，2，3．且和周围8个数均不相同，用此方法，先确定1格，2格，3格的数字，可得如图所示的答案．∴四位数=3521，故答案为3521．【点评】本题考查数阵图中找规律，解题的关键是学会全面观察、勤于思考就一定能抓住规律，解决问题．17．（如图1）6×6的方格中，每行每列2、0、1、5四个数字各出现一次，空格把每行每列的数字隔成四位数、三位数、两位数或者一位数．右边和下面的数表示该行或列里的几个数字之和，0不能作为多位数的首位．（图2是一个1、2、3、0四个数字各出现一次的例子）那么，大正方形两条对角线上所有数字之和是18．【分析】观察第五行，第三列可知，521，152或150必须邻，再根据第一行可知，2015必须相邻，由此可以确定第一行，第五行，第三列（如图所示），由此即可解决问题．【解答】解：观察第五行，第三列可知，521，152或150必须邻，再根据第一行可知，2015必须相邻，由此可以确定第一行，第五行，第三列（如图所示），再结合题意，认真思考，即可得出图中结论．因为5+5+5+1+2=18，故答案为18．【点评】本题考查数阵图中找规律，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题．18．我们可以将全体正整数和正分数按照下图所示的方法，从1开始，一层一层地“生长”出来：是第一层：第二层是，；第三层是，，，，…按照这个规律，在8层．【分析】找到数阵图规律数阵图的规律是上边数字的乘积是下方的数字．同时发现的和是8，在相乘的分数中8即是小数3分子又是大数5的分母．继续推理即可．【解答】解：依题意可知：根据数阵图规律可知；；；；数阵图的规律是上边数字的乘积是下方的数字．同时发现的和是8，在相乘的分数中8即是小数3分子又是大数5的分母．那么对应相乘的数字就是，他们之前的是数字积是．那么与相乘的就是前一个数字就是．所以×=，×=.×=；在第三层，后面的数字为，，，，．故答案为：8【点评】本题考查对数阵图的理解和运用，关键问题是找到数阵图规律，问题解决．19．观察下表中的数的规律，可知第8行中，从左向右第5个数是54．【分析】由图形中数字的排列得出第n行的最后一个数为n×n，从而知第7行最后一个数为7×7、第8行中，从左向右第5个数为7×7+5．【解答】解：由图可知，第1行的数为1，第2行的最后一个数为2×2=4，第3行的最后一个数为3×3=9，…所以第7行最后一个数为7×7=49，则第8行第1个数为49+1=50，第5个数为50+4=54，故答案为：54．【点评】本题主要考查数阵图中找规律，根据数字排列规律得出第n行的最后一个数为n×n是解题的关键．20．如图的9个圆圈间，连有10条直线，每条直线上有3个圆圈，甲先乙后轮流选择一个未被选择的圆圈；如果谁选的圆圈中有3个在同一直线上，谁就获胜．现在，甲选择了“1”，乙接着可选择“5”．甲要获胜，接下来的一步能够选择的编号总乘积是504．。
自然数排列方面的规律题研究
自然数排列方面的规律题研究经常见到有关自然数排列方面的规律题，我在想，能否用行n和列m的代数式来表示任一位置上的数呢？多次试探，只用行n（或只用列m）来表示还可以写出一个一般式来，但用二元函数f（n、m）来表示，觉得十分困难，近日又一次试钻研，终于有了一点进步，下面把它写出来。
一、每行数字个数相同1、七个一排的规律题1 、2 、3、4 、5 、6 、78 、9 、10、11、12、13、1415、16、17、18、19、20、2122、23、24、25、26、27、2829、30、31、32、33、34、3536、……1）每行七个数；2）横向相邻两数相差1，纵向相邻两数相差7；3）第一列为7n-6；第二列为7n-5；第三列为7n-4；第四列为7n-3；第五列为7n-2；第六列为7n-1；第七列为7n-0；上面有共同的规律是“减数等于七减列数”推广为第m列为7n-（7-m）=7n+m-7（这就是已知行数和列数位置上的数）（1≤m≤7）亦可用行的规律来推导第一行为m+（1-1）×7第二行为m+（2-1）×7第三行为m+（3-1）×7第四行为m+（4-1）×7第五行为m+（5-1）×7第六行为m+（6-1）×7……第n行为m+（n-1）×7 （1≤m≤7）2、推广与特殊化先特殊化1、2 1、2、3 1、2 、3 、4 1、2、3、4、5、1、2、3、4 、5 、6 3、4 4、5、6 5、6 、7 、86、7、8、9、10 7、8、9、10、11、12 5、6 7、8、9 9、10、11、12 11 13 …………………………第n行第m列上的数分别是：2n+m-2 3n+m-3 4n+m-4 5n+m-5 6n+m-61≤m≤2 1≤m≤3 1≤m≤4 1≤m≤5 1≤m≤6再推广第一行 1 2 3 4 5 …n第二行n+1 n+2 n+3 n+4 n+5 …2n第三行2n+1 2n+2 2n+3 2n+4 2n+5 …3n第四行3n+1 3n+2 3n+3 3n+4 3n+5 …4n ………第n行（n-1）n+1、（n-1）n+2、……n2 …………第m行（m-1）n+1、（m-1）n+2、……（m-1）n+n这两个排列阵也可以特殊化，也可能以推广。
【思维拓展】数学一年级思维拓展之自然数串趣题(附答案)
一年级奥数题-自然数串趣题1、如下页图所示。
一份学习材料放在桌上，一阵风把材料吹落了一地。
小军拣起来一看，糟糕，少了两张。
根据下面拣到的材料的页码，你能说出少了哪几页吗?2、从1连续地写到100，“0”出现了多少次?3、把1，2，3，4，5，……28，29，30这三十个数，从左往右依次排列起来，成为一个数，你知道这个数共有多少个数字吗？4、小青每年都和家长一起参加植树节劳动。
七岁那年，他种了第一棵树，以后每年都比前一年多种一棵。
现在他已经长到15岁了，连续地种了九年树。
请你算一算，这九年中小青一共种了多少棵树?5、如下图所示。
商店的货架上堆放着一堆火腿肠。
你能很快地算出它的总数有多少根吗?6、如果全体自然数如下表排列，请问①数20在哪个字母下面? ②数27在哪个字母下面?③数70在哪个字母下面? ④数71在哪个字母下面?7、一只老猫捉了12只老鼠，其中有一只小白鼠。
老猫自言自语地说：“我要分三批吃它们。
不过吃以前叫它们站好队，我从头一个开始吃，隔一个吃掉一个，也就是：我第一次吃掉站在第1，3，5，7，9，11号位置的小老鼠；剩下的叫它们不许动，第二次还是从头一个吃起，隔一个吃一个；第三次也是照这个办法吃。
但把最后剩下的一个放了。
”这话被聪明的小白鼠听见了，于是它站在了某个号的位置上，最后没有被吃掉。
小朋友，你知道小白鼠站的是第几号位置吗?8、一个排版工人给一本1至50页的书排页码，如果书的页码的每一个数字都用不同的铅字块，问他一共要用多少铅字块?9、把1至16这十六个自然数巧妙地填入正方形的十六空格里，可以做成有趣的幻方。
右图是个未完成的幻方，当它被填满时，它的每行、每列和每条对角线上四个数字的和都相等。
请你继续把这个幻方完成。
10、所有自然数都按下表排列，问：(1)21排在第几列的下面?(2)30排在第几列的下面?参考答案1、解：一张材料的正反两面用两个自然数作页码，这两个自然数是相邻的。
仔细观察找到的材料的页码，根据自然数串的特点，可知少了的两张纸的页码是(7、8)和(13、14)。
自然数和整数(有答案)
评卷人得分一．选择题（共14小题）1．两个质数的积一定是（）A．质数B．合数C．奇数D．偶数2．a，b是两个自然数，且a=2×3×5×b，则b一定是a的（）A．质因数B．质数C．约数D．互质数3．在自然数中，凡是5的倍数（）A．一定是质数B．一定是合数C．可能是质数，也可能是合数4．一个合数的因数有（）A．无数个B．2个C．三个或三个以上5．正方形的边长是质数，它的周长和面积一定是（）A．奇数B．合数C．质数6．一个两位数个位数字既是偶数又是质数，十位数字既不是质数又不是合数，则这个两位数是（）A．32 B．16 C．127．有5个不同质因数的最小自然数是（）A．32 B．72 C．180 D．23108．在任何质数上加1，它们的和是（）A．合数B．偶数C．奇数D．不能确定9．下面四句话中，正确的有（）句．（1）最小合数是最小质数的倍数；（2）三角形的面积一定，它的底和高成反比例；（3）某厂去年一至十二月份的生产数量统计后，制成条形统计图，它更能反映月与月之间的变化情况；（4）据统计，大多数的汽车事故发生在中等速度的行驶中，极少数事故发生的速度大于150km/h的行驶过程中，这说明高速行驶比较安全．A．1句 B．2句 C．3句 D．4句10．两个质数的积一定是（）A．质数B．奇数C．合数D．偶数11．把60分解质因数是60=（）A．1×2×2×3×5 B．2×2×3×5 C．3×4×512．要使三位数43□是2和3的公倍数，在□中有（）种填法．A．0 B．1 C．2 D．313．下面四个数都是自然数，其中S表示0，N表示任意的非零数字，那么这四个数中（）一定既是2的倍数，又是3的倍数．A．NNNSNN B．NSSNSS C．NSNSNS D．NSNSSS14．下列算式中是整除的是（）A．14÷=20 B．11÷5= C．143÷13=11 D．15÷2=评卷人得分二．填空题（共16小题）15．30以内的质数中，有个质数加上2以后，结果仍然是质数．16．如果a是质数，那么它有个因数，最大的因数是；如果b=a ×3，那么a和b的最小公倍数是．17．1到9的九个数字中，相邻的两个数都是质数的是和，相邻的两个数都是合数的是和．18．连续三个非零的自然数中，必有一个是合数．．（判断对错）19．公因数的两个数，叫做互质数．相邻的两个非0整数是互质数；1和其他任意一个自然数一定组成互素数．20．的两个自然数叫做互素数．分子、分母是的分数叫做简分数．21．在2，5，9，15，23，57这些自然数中，是素数，是合数；是奇数，是偶数；即是偶数又是素数，即是奇数又是合数．22．A，B，C为三个不同的素数，已知3A+2B+C=22，则A=，B=，C=．23．甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，甲、乙的最大公因数是，最小公倍数是．24．三个质数相乘的积是30，这三个质数分别是．25．分解质因数：45=64=．26．最小的自然数是．27．温度0℃就是没有温度．（判断对错）28．填上＞、＜或=．56+25﹣1756+（25﹣17）25×（40×8）25×40×25×8900平方厘米平方米．29．在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于120，而差是减数的3倍，那么差等于．30．从1005个桃子中最少拿出个后，正好平均分给10只猴子．评卷人得分三．计算题（共2小题）31．计算下面各题，能简算的要简算45+（1115+310 ）38+47+5866﹣（34﹣25 ）415+79﹣415+29．32．递等式计算91﹣39÷13+2375×（96﹣144÷24）692﹣[（430+870）÷13]．评卷人得分四．解答题（共6小题）33．两个互素数的最小公倍数是111，这两个数是和或者和．34．一胎所生的哥俩叫孪生兄弟．数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”或“双生质数”．请写出5对孪生质数．35．在下面的□中填上数字，使所得的数是既是3的倍数，又是5的倍数：21□34□57□005□1□36．□里最大能填几74□995≈74万74□9950000≈75亿565050＞5□5049365874□021≈365875万．37．口算：42÷6+43=9×8÷12=125﹣5×5=54﹣18+9=48÷6×5=36×0+64=0÷12÷6=35÷7×16=17+0÷17=+=﹣=+=﹣=+=7﹣=+=+=+=﹣=+=+=38．脱式计算75×12+280÷35 180÷[36÷（12+6）]38×101﹣38680+21×15﹣36024×134﹣34×24 848﹣800÷16×1265×102 81+82+86+79+75+782018年03月17日小学数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．两个质数的积一定是（）A．质数B．合数C．奇数D．偶数【分析】根据质数和合数的含义解决本题，一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有其它因数，这样的数叫做合数；也就是只要是找到除了1和它本身外的1个因数，那么这个数就是合数．【解答】解：质数×质数=积，积是两个质数的倍数，这两个质数也就是这个积的因数，这样积的因数除了1和它本身外还有这两个质数，所以它们的积一定是合数；故选：B．2．a，b是两个自然数，且a=2×3×5×b，则b一定是a的（）A．质因数B．质数C．约数D．互质数【分析】因为a，b是两个自然数，且a=2×3×5×b，b是a的因数，a是b的倍数，据此解答即可．【解答】解：a，b是两个自然数，且a=2×3×5×b，则b一定是a的约数．故选：C．3．在自然数中，凡是5的倍数（）A．一定是质数B．一定是合数C．可能是质数，也可能是合数【分析】根据倍数、质数、与合数的意义，即可作出选择．【解答】解：因为5的倍数中，除了5是质数外，其他都是合数．故选C．4．一个合数的因数有（）A．无数个B．2个C．三个或三个以上【分析】质数又称素数是指一个大于1的自然数，除了1和它本身两个因数外，再也没有其它的因数；合数是指一个大于1的自然数，除了1和它本身两个因数外，还有其它的因数，说明一个合数有3个或3个以上的因数．据此做出选择即可．【解答】解：一个合数有3个或3个以上的因数．故选：C．5．正方形的边长是质数，它的周长和面积一定是（）A．奇数B．合数C．质数【分析】根据质数与合数的定义，及正方形的周长和面积的计算方法，可知它的周长和面积一定是合数．【解答】解：正方形的周长=边长×4；正方形的面积=边长×边长；它的周长和面积都至少有三个约数，所以说一定是合数．答：它的周长和面积一定是合数．故选B．6．一个两位数个位数字既是偶数又是质数，十位数字既不是质数又不是合数，则这个两位数是（）A．32 B．16 C．12【分析】一个两位数个位数字既是偶数又是质数，说明个位数字是2；十位数字既不是质数又不是合数，说明十位数字是1，进一步写出此数，再做选择．【解答】解：十位数字既不是质数又不是合数，说明十位数字是1，个位数字既是偶数又是质数，说明个位数字是2，所以此数是：12．故选：C．7．有5个不同质因数的最小自然数是（）A．32 B．72 C．180 D．2310【分析】根据质数的定义，最小的五个质数是2，3，5，7，11．由此即可解决问题．【解答】解：根据质因数的定义可以得出最小的五个质数是2，3，5，7，11；2×3×5×7×11=2310；所以有五个不同质因数的最小自然数是2310；故选：D．8．在任何质数上加1，它们的和是（）A．合数B．偶数C．奇数D．不能确定【分析】任何一个质数加上1，它可能是合数，如5+1=6，又是偶数，也可能是奇数，如2+1=3，又是奇数，无法确定．【解答】解：任何一个质数加上1，它是合数、质数、奇数、偶数的可能性都有，不能确定；故选：D9．下面四句话中，正确的有（）句．（1）最小合数是最小质数的倍数；（2）三角形的面积一定，它的底和高成反比例；（3）某厂去年一至十二月份的生产数量统计后，制成条形统计图，它更能反映月与月之间的变化情况；（4）据统计，大多数的汽车事故发生在中等速度的行驶中，极少数事故发生的速度大于150km/h的行驶过程中，这说明高速行驶比较安全．A．1句 B．2句 C．3句 D．4句【分析】根据题意，对各选项进行依次分析、进而得出结论．【解答】解：（1）最小的合数是4，最小的质数是2，4是2的倍数，所以最小合数是最小质数的倍数，说法正确；（2）因为三角形的底×高=面积×2（一定），是乘积一定，符合反比例的意义，所以当三角形的面积一定时，它的高和底成反比例；（3）因为折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况，所以某厂去年一至十二月份的生产数量统计后，制成条形统计图，它更能反映月与月之间的变化情况，说法错误；（4）据统计，大多数的汽车事故发生在中等速度的行驶中，极少数事故发生的速度大于150km/h的行驶过程中，这说明高速行驶比较安全，说法不正确；因为交通事故的原因不一定是车速过高，资料统计的交通事故原因包括酒驾、疲劳驾驶等，高速行驶不安全；故选：B．10．两个质数的积一定是（）A．质数B．奇数C．合数D．偶数【分析】自然数中除了1和它本身外还有别的因数的数为合数．由此可知，两个质数的积的因数除了1和它本身外，还有这两个质数，所以两个质数的积一定为合数．【解答】解：根据合数的定义可知，两个质数的积一定为合数．故选：C．11．把60分解质因数是60=（）A．1×2×2×3×5 B．2×2×3×5 C．3×4×5【分析】对于此类选择题应采用逐一排除的方法进行分析排除，然后选出正确的答案．【解答】解：A：因为1既不是质数也不是合数所以错，B：2、3、5都是60的质因数，且2×2×3×5=60，所以B正确．C：4不是质数，利用短除法可以求得60=2×2×3×5，故选：B．12．要使三位数43□是2和3的公倍数，在□中有（）种填法．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据2、3的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数，要使三位数43□是2和3的公倍数，空格里面可以填2或8．据此解答．【解答】解：要使三位数43□是2和3的公倍数，空格里面可以填2或8．也就是有2种填法．故选：C．13．下面四个数都是自然数，其中S表示0，N表示任意的非零数字，那么这四个数中（）一定既是2的倍数，又是3的倍数．A．NNNSNN B．NSSNSS C．NSNSNS D．NSNSSS【分析】同时有因数2和3的数，也就是同时是2和3的倍数的数，这样的数要满足个位上是0、2、4、6、8，而且各个数位上的数的和是3的倍数；据此逐项分析得解．【解答】解：A、N+N+N+S+N+N=5N+S，由于N是任意自然数，所以此数不一定有因数2，5N+S也不一定是3的倍数，所以此数也不一定有因数3，不符合题意；B、N+S+S+N+S+S=2N+4S，由于N是任意自然数，所以此数不一定有因数2，2N+4S 也不一定是3的倍数，所以此数也不一定有因数3，不符合题意；C、N+S+N+S+N+S=3N+3S，由于S等于0，所以此数一定有因数2，3N+3S一定是3的倍数，所以此数一定有因数3，符合题意；D、N+S+S+N+S+S=2N+4S，由于N是任意自然数，所以此数不一定有因数2，2N+4S 也不一定是3的倍数，所以此数也不一定有因数3，不符合题意．故选：C．14．下列算式中是整除的是（）A．14÷=20 B．11÷5= C．143÷13=11 D．15÷2=【分析】整除：是指一个整数除以一个不为0的整数，得到的商是整数，而没有余数，我们就说第一个整数能被第二个整数整除；根据整除的意义，逐项分析后再选择．【解答】解：A、14÷=20，除数是小数，不是整除算式；B、11÷2=，商是小数，不是整除算式；C、143÷13=11，被除数、除数和商都是整数，是整除算式；D、15÷2=，商是小数，不是整除算式；故选：C．二．填空题（共16小题）15．30以内的质数中，有5个质数加上2以后，结果仍然是质数．【分析】根据质数的意义可知，30以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，将它们与2相加即可知结果仍是质数的有几个．【解答】解：30以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，加2后结果还是质数的是3+2=5，5+2=7，11+2=13，17+2=19，，29+2=31；即加2后还是质数的有3、5、11、17、29共五个；故答案为：5．16．如果a是质数，那么它有2个因数，最大的因数是a；如果b=a×3，那么a和b的最小公倍数是b．【分析】质数只有1和它本身两个因数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；因为b=a×3，所以a是b的倍数，当两个数是倍数关系时，较大的数是它们的最小公倍数，据此判断即可．【解答】解：如果a是质数，那么它有2个因数，最大的因数是a；如果b=a ×3，那么a和b的最小公倍数是b；故答案为：2，a，b．17．1到9的九个数字中，相邻的两个数都是质数的是2和3，相邻的两个数都是合数的是8和9．【分析】根据质数与合数的定义，及自然数的排列规律，最小的质数是2，最小的合数是4，由此解答．【解答】解：最小的质数是2，那么相邻的两个数都是质数的是2和3；相邻的两个数都是合数的是8和9；故答案为：2和3，8和9．18．连续三个非零的自然数中，必有一个是合数．错误．（判断对错）【分析】根据自然数的排列规律，相邻的自然数相差1；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；由此解答．【解答】解：根据自然数的排列规律和质数与合数的意义，连续三个非零的自然数中，必有一个是合数．此说法错误．例如：1，2，3，是连续三个非零的自然数，其中1既不是质数也不是合数，2和3都是质数；故答案为：错误．19．公因数只有1的两个数，叫做互质数．相邻的两个非0整数是互质数；1和其他任意一个自然数一定组成互素数．【分析】根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数．据此解答．【解答】解：公因数只有1的两个数叫做互质数．相邻的两个非0整数是互质数；两个不同的质数是互质数；2和任何一个奇数是互质数；1和任意一个非0偶数是互质数．故答案为：只有1．20．公因数只有1的两个自然数叫做互素数．分子、分母是互质数的分数叫做简分数．【分析】根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数，根据最简分数的定义：当分子和分母是互质数时，这个分数就是最简分数．【解答】解：公因数只有1的两个自然数叫做互素数．分子、分母是互质数的分数叫做简分数；故答案为：公因数只有1，互质数．21．在2，5，9，15，23，57这些自然数中，2、5、23是素数，9、15、57是合数；5、9、15、23、57是奇数，2是偶数；2即是偶数又是素数，9、15、57即是奇数又是合数．【分析】自然数中，能被2整除的数为偶数，不能被2整除的数为奇数；自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了1和它本身外还有别的因数的数为合数．【解答】解：在2，5，9，15，23，57这些自然数中，2、5、23是素数，9、15、57是合数；5、9、15、23、57是奇数，2是偶数；2即是偶数又是素数，9、15、57即是奇数又是合数．故答案为：2、5、23；，9、15、57；5、9、15、23、57；2；2；9、15、57．22．A，B，C为三个不同的素数，已知3A+2B+C=22，则A=5，B=2，C= 3．【分析】先根据质数的含义：除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；列举出小于22的质数，然后结合题意，进行假设，继而得出结论．【解答】解：小于22的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，先考虑A=2，发现3A为偶数，2无论与什么数相乘都是偶数，22位偶数，偶数减去偶数还是得偶数，而是偶数又是质数的数只有2，而A=2，C就不能为2，所以，A不能为2；同理可得：C不能为2；考虑B=2，A=3，则C=9，不是质数，不符合题意；若B=2，A=5，则C=3，符合题意；所以B=2，A=5，则C=3；故答案为：5，2，3．23．甲=2×2×2×3，乙=2×2×3×5，甲、乙的最大公因数是12，最小公倍数是120．【分析】求两个数的最大公约数和最小公倍数的方法：这两个数所有的公因数的乘积就是这两个数的最大公约数；这两个数的所有公因数和它们各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数，由此即可解决问题．【解答】解：，甲、乙的最大公因数是2×2×3=12，最小公倍数：2×2×2×3×5=120；故答案为12，120．24．三个质数相乘的积是30，这三个质数分别是2、3、5．【分析】分解质因数的意义：把一个质数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数，据此把30分解质因数，然后求出这三个质数．【解答】解：30=2×3×5，所以三个质数相乘的积是30，这三个质数分别是2、3、5；故答案为：2、3、5．25．分解质因数：45=3×3×564=2×2×2×2×2×2．【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解．【解答】解：45=3×3×564=2×2×2×2×2×2故答案为：3×3×5，2×2×2×2×2×2．26．最小的自然数是0．【分析】根据自然数的意义（包括0和正整数），求出即可．【解答】解：最小的自然数是0，故答案为：0．27．温度0℃就是没有温度×．（判断对错）【分析】温度0℃是水结成冰时的温度，同时也是零上温度和零下温度的分界点，据此可知温度0℃不是没有温度，也是温度中的一个具体的值．【解答】解：因为温度0℃是水结成冰时的温度，也是零上温度和零下温度的分界点，是一个具体的温度值；所以温度0℃就是没有温度的说法是错误的；故答案为：×．28．填上＞、＜或=．56+25﹣17=56+（25﹣17）25×（40×8）＜25×40×25×8900平方厘米=平方米＜．【分析】（1）、（2）可以先算出两边的得数，再比较大小．（3）面积单位之间的换算，根据面积单位之间的换算的进率完成．（4）这两个小数的大小比较，由于它们的整数部分不同，整数部分大的就大．据此得出答案．【解答】解：（1）56+25﹣17=64，56+（25﹣17）=64；所以56+25﹣17=56+（25﹣17）．（2）25×（40×8）=25×320=8000，25×40×25×8=200000．（3）1平方米=10000平方厘米，900÷10000=（平方米）（4）0＜6，所以＜．故答案为：=，＜，=，＜．29．在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于120，而差是减数的3倍，那么差等于45．【分析】因为被减数、减数与差的和等于120，又被减数=减数+差，所以被减数是60；再根据差是减数的3倍，如果减数是1份数，则差为3份数，被减数60相当于是4份数，差占了60的，即为45．【解答】解：120÷2=60；1+3=4；60×=45；故答案为：45．30．从1005个桃子中最少拿出5个后，正好平均分给10只猴子．【分析】要想正好平均分给10只猴子，那么桃子的总数必须是10的倍数，所以确定出只要从1005个桃子中最少拿出5个即可．【解答】解：1005﹣5=1000（个），因为1000是10的倍数，所以从1005个桃子中最少拿出5个后，正好平均分给10只猴子．故答案为：5．三．计算题（共2小题）31．计算下面各题，能简算的要简算45+（1115+310 ）38+47+5866﹣（34﹣25 ）415+79﹣415+29．【分析】（1）根据加法结合律简算；（2）按照从左到右的顺序计算；（3）先算小括号里面的减法，再算括号外的减法；（4）根据加法交换律和结合律简算．【解答】解：（1）45+（1115+310 ）=45+1115+310=1160+310=1470（2）38+47+58=85+58=143（3）66﹣（34﹣25 ）=66﹣9=57（4）415+79﹣415+29=（415﹣415）+（79+29）=0+108=10832．递等式计算91﹣39÷13+2375×（96﹣144÷24）692﹣[（430+870）÷13]．【分析】（1）先算除法，再算减法，最后算加法；（2）先算小括号里面的除法，再算小括号里面的减法，最后算括号外的乘法；（3）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后算括号外的减法．【解答】解：（1）91﹣39÷13+23=91﹣3+23=88+23=111（2）75×（96﹣144÷24）=75×（96﹣6）=75×90=6750（3）692﹣[（430+870）÷13]=692﹣[1300÷13]=692﹣100=592四．解答题（共6小题）33．两个互素数的最小公倍数是111，这两个数是1和111或者3和37．【分析】先把111分解质因数，进而确定质因数即可．【解答】解：111=3×37；所以这两个数可能是：1和111，3和37．故答案为：1、111，3、37．34．一胎所生的哥俩叫孪生兄弟．数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”或“双生质数”．请写出5对孪生质数．【分析】根据“孪生质数”的定义，找出相邻并且相差2的质数进行书写即可．【解答】解：根据“孪生质数”的定义可以写出如下：3和5，5和7，11和13，17和19，29和31．35．在下面的□中填上数字，使所得的数是既是3的倍数，又是5的倍数：21□34□57□005□1□【分析】根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；要想同时是3、5的倍数，这个数的个位一定是0或5，各位上数的和一定是3的倍数，解答即可．【解答】解：由分析可知：21□，既是3的倍数，又是5的倍数，□可填0；34□5，既是3的倍数，又是5的倍数，□可填0、3、6、9；7□00，既是3的倍数，又是5的倍数，□可填2、5、8；5□1□，既是3的倍数，又是5的倍数，□可都填0．故答案为：0；0、3、6、9；2、5、8；0．36．□里最大能填几74□995≈74万74□9950000≈75亿565050＞5□5049365874□021≈365875万．【分析】74□995≈74万，显然是用“四舍”法求得，所以口里能填0～4；74□9950000≈75亿，显然是用五入法求得，所以口里能填5～9；565050＞5□5049，最高位相同，后四位5050＞5049，所以口里能填0～6；365874□021≈365875万，显然是用五入法求得，所以口里能填5～9．【解答】解：74□995≈74万，显然是用“四舍”法求得，所以口里能填0～4，最大是4；74□9950000≈75亿，显然是用五入法求得，所以口里能填5～9，最大是9；565050＞5□5049，最高位相同，后四位5050＞5049，所以口里能填0～6，最大是6；365874□021≈365875万，显然是用五入法求得，所以口里能填5～9，最大是9．故答案为：4，9，6，9．37．口算：42÷6+43=9×8÷12=125﹣5×5=54﹣18+9=48÷6×5=36×0+64=0÷12÷6=35÷7×16=17+0÷17=+=﹣=+=﹣=+=7﹣=+=+=+=﹣=+=+=【分析】根据整数加减乘除法和小数加减法的计算方法进行计算．【解答】解：42÷6+43=509×8÷12=6125﹣5×5=10054﹣18+9=4548÷6×5=4036×0+64=640÷12÷6=035÷7×16=8017+0÷17=17+=﹣=+=7﹣=+=7﹣=+=+=+=﹣=4+=12+=938．脱式计算75×12+280÷35 180÷[36÷（12+6）]38×101﹣38680+21×15﹣36024×134﹣34×24 848﹣800÷16×1265×102 81+82+86+79+75+78【分析】（1）先同时计算乘法和除法，再算加法；（2）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后算括号外的除法；（3）运用乘法分配律简算；（4）先算乘法，再算加法，最后算减法；（5）运用乘法分配律简算；（6）先算除法，再算乘法，最后算减法；（7）先把102分解成100+2，再运用乘法分配律简算；（8）根据加法交换律和结合律简算．【解答】解：（1）75×12+280÷35=900+8=908；（2）180÷[36÷（12+6）]=180÷[36÷18]=180÷2=90；（3）38×101﹣38=38×（101﹣1）=38×100=3800；（4）680+21×15﹣360 =680+315﹣360=995﹣360=635；（5）24×134﹣34×24 =24×（134﹣34）=24×100=2400；（6）848﹣800÷16×12 =848﹣50×12=848﹣600=248；（7）65×102=65×（100+2）=65×100+65×2=6500+130=6630；（8）81+82+86+79+75+78=（81+79）+（82+78）+（86+75）=160+160+161=481．。
整数自然数素数的关系
整数自然数素数的关系1.引言【1.1 概述】整数、自然数和素数是数学中的基本概念，它们具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文将着重探讨整数、自然数和素数之间的关系。
首先，整数是由自然数、负整数和0所组成的数集。
整数具有加法、减法和乘法等基本运算，且满足封闭性、结合性、交换性和分配性等运算规律。
在数学中，整数是研究代数结构和数论的基础，它们在抽象代数、方程解法和密码学等领域都有广泛的应用。
而自然数是从1开始的正整数集合，用来表示事物的个数或顺序。
自然数是人们在生活中最早接触到的数，从小学开始就学习和应用自然数的基本运算。
自然数在数学建模、概率统计和算法设计等领域具有重要作用，尤其是在计算机科学中，自然数是算法设计和性能分析的基础。
另外，素数是指在大于1的自然数中，除了1和自身，不能被其他自然数整除的数。
素数是数论中的重要研究对象，具有许多奇特而有趣的性质。
素数在密码学、数据安全和编码理论中扮演着重要的角色，如RSA 公钥加密算法就是基于素数的因数分解难题而设计的。
整数、自然数和素数之间有着密切的联系和相互依赖关系。
自然数是整数的一个子集，而整数又是自然数的扩展，二者共同构成了整数集合。
同时，素数是自然数的一种特殊情况，它既属于自然数，也属于整数。
研究整数、自然数和素数之间的关系，不仅有助于深入理解数学的基本概念和运算规律，还能拓宽数学应用领域的研究范围。
本文将就整数的定义与性质、自然数与整数的关系、素数的定义与性质以及整数、自然数和素数之间的关系展开论述，旨在全面探讨它们之间的内在联系和相互作用。
通过对这些基本概念的深入研究，我们可以更好地理解数学的本质和应用意义，并为相关领域的发展提供理论支持和方法指导。
下一节将对整数的定义与性质展开论述。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：文章结构：本文共分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了整数、自然数和素数的基本概念，接着介绍了文章的结构和目的。
小学四年级奥数(周期问题)
小学四年级奥数第8讲周期问题知识方法…………………………………………………我们发现在日常生活和学习中，有许多现象都是按照一定的规律、依次不断重夏出现的，我们把这种现象叫周期现象，而重复出现一次的时间或重复出现一次的个数做周期。
在研究这些筒单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环一次的个数，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数的大小得出正确的结果。
重点点拨…………………………………………………【例1】假设所有的自然数排列起来，如下所示，49应该排列在第几个循环及哪个字母下面?(1) A B C D E1 2 3 4 56 7 8 9 1011 ……(2) A B C D E1 2 3 4 510 9 8 7 611 ……分析与解从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大5个数一个循环，我们可以根据这些数除以5所得的余数来分析判断:(1)49÷5=9 (4)49应该排在第10个循环第4个字母D下面。
(2)49÷10=4…9应该在B的下面。
【例2】用1，2，3，4这四张卡片可以组成不同的四位数，如把它们从小到大依次排列，第一个是1234，第二个是1243，第20个是多少?分析与解每个数字在千位上都出现6次，一共可以组成24个不同的四位数，以6次为一周期。
20÷6=3 (2)应是第四周期中的第2个数，千位上是4的数从小到大是4123，4132，4213等，所以第20个数是4132。
【例3】下面是一个11位数，它的每三个相邻的数字之和都是位a1，a2， (11)每三个相邻数字和都是24可知，a1+a2+a3=a2+a+a4=a+a1+a3=24 因为a1=8，所以a2+a3=16，而a2+a3+a1=24，所以a4=8，同理a7=8，a10=8，由此可见这个数字的周期是3。
数的整除问题(含答案)——第一部分-精品
数的整除问题(含答案)——第一部分-精品2020-12-12【关键字】方法、条件、问题、矛盾、分析2014年5月20日星期二【例题1】：试问，能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明．考点：数的整除特征．分析：根据题意，可采用假设的方法进行分析，100个自然数任意的5个数相连，可以分成20个组，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除，那么会有40个数是3的倍数，事实上在1至100的自然数中只有33个是3倍数，所以不能．解答：假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数，按所排列顺序将它们每5个分为一组，可得20组，其中每两组都没有共同的数，于是，在每一组的5个数中都至少有两个数是3的倍数．从而一共会有不少于40个数是3的倍数．但事实上在1至100的这100个自然数中只有33个数是3的倍数，导致矛盾，所以不能．答：不能．点评：此题主要考查的是在1至100的100个自然数中能被3整除的有多少．【例题2】：找出四个互不相同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除，如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这四个数里中间两个数的和是多少？考点：整除．分析：如果最小的数是1，则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有2和3两数，因此最小的数必须大于或等于2；我们先考察2、3、4、5这四个数，仍不符合要求，因为5+2=7，不能被5-2=3整除；再往下就是2、3、4、6，经试算，这四个数符合要求．所以，本题的答案是（3+4）=7．解答：这四个自然数为2、3、4、6，因为4-3=1；7÷1=7，得出：3+4=7；答：这四个数里中间两个数的和是7．点评：此题应结合题意进行分析，进而进行验证，排除与题目不符的数字，继而得出正确结论．【例题3】：任取一个四位数乘3456，用A表示其积的各位数字之和，用B表示A的各位数字之和，C表示B的各位数字之和，那么C是（）。
解排列问题的常用技巧
精美文档 1 解排列问题的常用技巧1、特殊元素优先法：例1、用0，1，2，3，4这五个数字，组成没有重复数字的两位数，其中偶数共有 个；302、总体淘汰法——正难则反：如例1，也可用此法；3、合理分类与准确分步：例2：五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有 种；784、相邻问题“捆绑法”例3：7人站成一排照相，要求甲、乙、两三人相邻，分别有多少种不同的排法？3355A A ⋅5、不相邻问题插空法；例4：在例3中，若要求甲、乙、两三人不相邻，则又有多少种不同的排法？3544A A ⋅6、顺序问题用“除法”例5：五人排队甲在乙前面的排法有几种？2255A A 练习：用0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的个位数字小于十位数字的五位数有多少个？24556A A - 练习：用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字的七位数中，若2，4，6次序一定，有多少种不同的七位数？3377A A 若奇数次序一定，有多少种不同的七位数？4477A A 7、分排问题用“直排法”例6：7人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有 种排法；77A8、试验例7：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 种；BA 、6；B 、9；C 、11；D 、239、探索例8：从1-100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法种数有 ；DA 、50；B 、100；C 、1275；D 、2500；10、消序例9：有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？840147=⋅A ； 11、住店法例10：七名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能的种数有（ ）AA 、57B 、75C 、57AD 、57C12、对应例11：在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场比赛？99场13、特征分析例12：由1，2，3，4，5，6六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？120个。
自然数 排序
自然数排序自然数排序在数学中，自然数是从1开始的整数。
自然数排序是将一组自然数按照从小到大的顺序排列的过程。
自然数排序是一种基本的数学概念，在实际生活中也有广泛的应用。
下面将从不同角度介绍自然数排序的相关内容。
一、自然数排序的定义自然数排序是指将一组自然数按照从小到大的顺序排列。
这种排序方法是基于自然数的大小关系进行的，即较小的自然数排在前面，较大的自然数排在后面。
二、自然数排序的方法1. 冒泡排序冒泡排序是一种简单而常用的排序算法。
它的基本思想是从第一个元素开始，依次比较相邻的两个元素的大小关系，如果前一个元素大于后一个元素，则交换它们的位置。
通过多次遍历，直到所有元素都按照从小到大的顺序排列。
2. 选择排序选择排序是一种简单而直观的排序算法。
它的基本思想是在未排序的序列中选择最小（或最大）的元素，将其放置在已排序序列的末尾。
通过不断选择剩余元素中的最小（或最大）元素，并放置到已排序序列的末尾，最终得到一个有序序列。
3. 插入排序插入排序是一种简单而有效的排序算法。
它的基本思想是将待排序的元素按照顺序逐个插入到已排序的序列中。
通过不断将待排序元素插入到已排序序列的适当位置，最终得到一个有序序列。
三、自然数排序的应用自然数排序在实际生活中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 学生成绩排名在学校中，学生成绩往往需要按照从高到低的顺序排名。
通过自然数排序，可以将学生成绩按照从高到低的顺序进行排列，方便学校和学生对成绩进行评估和管理。
2. 图书馆书籍分类图书馆中的书籍通常需要按照一定的分类规则进行排序。
通过自然数排序，可以将书籍按照分类号从小到大的顺序进行排列，方便读者查找和借阅。
3. 购物网站商品排序在购物网站上，商品往往需要按照价格、销量等指标进行排序展示。
通过自然数排序，可以将商品按照指定的指标进行排序，方便消费者选择和购买。
四、自然数排序的优化为了提高排序的效率和性能，人们对自然数排序进行了不断的优化。
找顺序的数学题
找顺序的数学题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：找顺序的数学题是数学中一个非常有趣的课题，它挑战着我们的逻辑思维能力和数学推理能力。
在这篇文章中，我们将探讨一些关于找顺序的数学题，并一起解答这些有趣的问题。
1. 题目一：有1、2、3、4、5这五个数字，能组成多少个不重复的三位数？解答：这是一个排列组合的题目。
我们可以从5个数字中选择3个数字进行排列，即5P3 = 5!/(5-3)! = 5*4*3 = 60个不重复的三位数。
解答：这是一个排列组合的题目。
我们可以将这五个数字排成一个顺序，即5! = 120种排列方式。
但是要求数字间差值不小于2，即相邻数字之间至少相差2。
我们可以将这5个数字排成一排，然后在相邻数字之间插入空格，表示相差2。
这样问题转化为在4个空格中插入空格的排列问题，即C(4,2) = 6种排列方式。
满足条件的排列方式有120*6 = 720种。
3. 题目三：一张01组成的卡片上写了1到100这100个数字，将所有卡片都随机洗牌后，再将它们按照从小到大的顺序排列，问第50张卡片上写的数字是多少？4. 题目四：有一个长度为11的排列，其中包含5个1和6个0，求满足数字间至少相差2的排列方式的个数。
通过以上几道题目的解答，我们可以看出找顺序的数学题既有趣又具有挑战性。
它不仅能锻炼我们的逻辑推理能力，还能培养我们的数学思维。
希望大家能够通过解答这些题目，提高自己的数学水平，享受数学带来的乐趣！第二篇示例：找顺序的数学题是一种常见的逻辑推理题型，通过给出一组无序的数字或符号，要求参与者按照一定规则归纳、排序，找出规律并正确排列顺序的数学题。
这类题目既能锻炼思维逻辑能力，又能拓展数学思维，是一种充满挑战性和乐趣的数学学习方式。
在找顺序的数学题中，常见的题型有序列排序题、逻辑推理题、数学表达式填空题等。
这些题目涉及到数学知识、逻辑推理、空间思维等多个方面，对参与者的智力综合素质提出了挑战。
排列组合基础知识及解题技巧
排列组合根底知识及习题分析在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下根本的运算公式！ 35C ＝〔5×4×3〕/〔3×2×1〕 26C ＝〔6×5〕/〔2×1〕通过这2个例子 看出n mC 公式 是种子数M 开场及自身连续的N 个自然数的降序乘积做为分子。
以取值N 的阶层作为分母35P ＝5×4×3 66P ＝6×5×4×3×2×1通过这2个例子n m P＝从M 开场及自身连续N 个自然数的降序乘积 当N ＝M 时 即M 的阶层排列、组合的本质是研究“从n 个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序与无序摆放的各种可能性〞.区别排列及组合的标志是“有序〞及“无序〞.解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列〞，无序用“组合〞； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法〞，分步用“乘法〞.分 类：“做一件事，完成它可以有n 类方法〞，这是对完成这件事的所有方法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进展分类；其次，分类时要注意满足两条根本原那么：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤〞，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.两个原理的区别在于一个与分类有关，一个及分步有关.如果完成一件事有n类方法，这n类方法彼此之间是相互独立的，无论那一类方法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有假设干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理.在解决排列及组合的应用题时应注意以下几点：1．有限制条件的排列问题常见命题形式：“在〞及“不在〞“邻〞及“不邻〞在解决问题时要掌握根本的解题思想与方法：⑴“相邻〞问题在解题时常用“合并元素法〞，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.⑵“不邻〞问题在解题时最常用的是“插空排列法〞.⑶“在〞及“不在〞问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：“含〞及“不含〞“至少〞及“至多〞在解题时常用的方法有“直接法〞或“间接法〞.3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最根本的，也是最重要的思想方法.********************************************************************** *******提供10道习题供大家练习1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为〔C 〕(A)25个(B)26个(C)36个(D)37个------------------------------------------------------【解析】根据三角形边的原理两边之与大于第三边，两边之差小于第三边可见最大的边是11那么两外两边之与不能超过22 因为当三边都为11时是两边之与最大的时候因此我们以一条边的长度开场分析如果为11，那么另外一个边的长度是11，10，9，8，7，6，。
数的序号与排列规律初步认识模板
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目
CONTENCT
录
• 数的序号概述 • 数的排列规律 • 数列的基本操作 • 数的序号与排列规律的应用 • 总结与展望
01
数的序号概述
数的序号定义
序号概念
数的序号是表示集合中元素顺序的自然数。在一个有限集合中， 每个元素都有一个唯一的序号。
起始序号
通常，序号的起始值为1，即第一个元素的序号为1，第二个元素 的序号为2，以此类推。
04
数的序号与排列规律的应用
在计算机科学中的应用
数组
数组是一种线性数据结构，通过数的序号可以快速访问数组中的元素。数组在 内存中是连续排列的，因此通过下标可以迅速找到对应元素的位置。
链表
链表是由一个个节点组成的数据结构，每个节点包含数据和指向下一个节点的 指针。在链表中，元素的排列顺序是通过指针链接实现的，数的序号体现在链 表的顺序遍历上。
在数学中的应用
数列求和
数列是一系列按一定顺序排列的数，通过数的序号可以表示数列中的每一项。数 列求和就是将数列中所有数加起来，一些常见的数列求和公式如等差数列和等比 数列的求和公式就利用了数的序号来表示每一项。
数列极限
数列极限是研究数列变化趋势的重要概念，通过考察数列中序号逐渐增大时数列 项的变化情况，可以确定数列的极限值。数的序号在数列极限的定义和计算中起 到关键作用。
03
数列的基本操作
数列的查找
线性查找
线性查找是一种简单的查找方法 ，它按顺序检查数列中的每一个 元素，直到找到目标元素为止。
二分查找
二分查找是一种高效的查找方法 ，它要求数列是预先排序的。通 过不断将搜索区间减半，快速定 位目标元素。