2014-2015年江苏省无锡市江阴市利港中学九年级(上)期中数学试卷和答案
【初三数学】江阴市九年级数学上期中考试测试题(解析版)
新九年级（上）期中考试数学试题(含答案)一、选择（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程x（x+5）＝0化成一般形式后，它的常数项是（）A．﹣5B．5C．0D．12．抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6的对称轴和顶点分别是（）A．x＝2和（2，﹣6）B．x＝2和（﹣2，﹣6）C．x＝﹣2和（﹣2，﹣6）D．x＝﹣2和（2，﹣6）3．下列几何图形中不是中心对称图形的是（）A．圆B．平行四边形C．正三角形D．正方形4．不解方程，判断方程x2﹣4x+9＝0的根的情况是（）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不相等实根D．以上三种况都有可能5．抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线解析式为（）A．y＝﹣（x+3）2+2B．y＝﹣（x﹣3）2+2C．y＝﹣（x+3）2﹣2D．y＝﹣（x﹣3）2﹣26．青山村种的水稻2016年平均每公项产7500kg，2018年平均每公顷产8500kg，求每公顷产量的年平均增长率．设年平均增长率为x，则可列方程为（）A．7500（1﹣x）2＝8500B．7500（1+x）2＝8500C．8500（1﹣x）2＝7500D．8500（1+x）2＝75007．如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB＝96°，则∠ACB的度数为（）A．192°B．120°C．132°D．l508．下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴C．相等的弧所对弦相等D．长度相等弧是等弧9．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，E是上一点，将沿BC翻折后E点的对称点F 落在OA中点处，则BC的长为（）A．B．2C．D．10．抛物线y＝ax2+bx+1的顶点为D，与x轴正半轴交于A、B两点，A在B左，与y轴正半轴交于点C，当△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点）时，b的值为（）A．2B．﹣2或﹣4C．﹣2D．﹣4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分11．如果x＝2是方程x2﹣c＝0的一个根，那么c的值是．12．与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标为．13．如果（m﹣1）x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围为．14．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣6t2+15t，则汽午刹车后到停下来需要秒．15．二次函数y＝（x﹣2）2当2﹣a≤x≤4﹣a，最小值为4，则a的值为．16．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B是x轴正半轴上一动点，将点A绕点B 顺时针旋转60°得点C，OB延长线上有一点D，满足∠BDC＝∠BAC，则线段BD长为．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣4＝0．（用配方法解答）18．（8分）如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．19．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少．20．（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．21．（8分）如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于H，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC＝DE，OB＝，AB＝5．（1）求证：∠AOB＝2∠ADC．（2）求AE长．22．（10分）名闻遐迩的采花毛尖明前茶，成本每厅400元，某茶场今年春天试营销，每周的销售量y（斤）是销售单价x（元/斤）的一次函数，且满足如下关系：（1）请根据表中的数据求出y与x之间的函数关系式；（2）若销售每斤茶叶获利不能超过40%，该茶场每周获利不少于30000元，试确定销售单价x的取值范围．23．（10分）（1）如图1，△AEC中，∠E＝90°，将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，AC与AB对应，AE与AD对应①请证明△ABC为等边三角形；②如图2，BD所在的直线为b，分别过点A、C作直线b的平行线a、c，直线a、b之间的距离为2，直线a、c之间的距离为7，则等边△ABC的边长为．（2）如图3，∠POQ＝60°，△ABC为等边三角形，点A为∠POQ内部一点，点B、C分别在射线OQ、OP上，AE⊥OP于E，OE＝5，AE＝2，求△ABC的边长．24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B（3，0），交y轴于点C（1）求a的值．（2）过点B的直线1与（1）中的抛物线有且只有一个公共点，则直线1的解析式为．（3）如图2，已知F（0，﹣7），过点F的直线m：y＝kx﹣7与抛物线y＝x2﹣2x﹣3交于M、N两点，当S＝4时，求k的值．△CMN2018-2019学年湖北省武汉市东湖高新区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程x（x+5）＝0化成一般形式后，它的常数项是（）A．﹣5B．5C．0D．1【分析】根据题目中的式子，将括号去掉化为一元二次方程的一般形式，从而可以解答本题．【解答】解：∵x（x+5）＝0∴x2+5x＝0，∴方程x（x+5）＝0化成一般形式后，它的常数项是0，故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，形式ax2+bx+c＝0（a≠0）这种形式的方程叫一元二次方程的一般形式．2．抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6的对称轴和顶点分别是（）A．x＝2和（2，﹣6）B．x＝2和（﹣2，﹣6）C．x＝﹣2和（﹣2，﹣6）D．x＝﹣2和（2，﹣6）【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴和顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝﹣5（x+2）2﹣6，∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣6），故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．下列几何图形中不是中心对称图形的是（）A．圆B．平行四边形C．正三角形D．正方形【分析】根据中心对称图形的概念结合圆、平行四边形、正三角形、正方形的特点求解．【解答】解：A、圆是中心对称图形，故本选项错误；B、平行四边形是中心对称图形，故本选项错误；C、正三角形不是中心对称图形，故本选项正确；D、正方形是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．不解方程，判断方程x2﹣4x+9＝0的根的情况是（）A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不相等实根D．以上三种况都有可能【分析】找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝9，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×9＝32﹣36＝﹣4＜0，则方程x2﹣4x+9＝0无实数根，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线解析式为（）A．y＝﹣（x+3）2+2B．y＝﹣（x﹣3）2+2C．y＝﹣（x+3）2﹣2D．y＝﹣（x﹣3）2﹣2【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．【解答】解：抛物线y＝﹣x2先向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2，再向左平移3个单位得到解析式：y＝﹣（x+3）2+2；故选：A．【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，解决本题的关键是熟记“左加右减，上加下减”．6．青山村种的水稻2016年平均每公项产7500kg，2018年平均每公顷产8500kg，求每公顷产量的年平均增长率．设年平均增长率为x，则可列方程为（）A．7500（1﹣x）2＝8500B．7500（1+x）2＝8500C．8500（1﹣x）2＝7500D．8500（1+x）2＝7500【分析】设年平均增长率为x，根据青山村种的水稻2016年及2018年平均每公项的产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设年平均增长率为x，根据题意得：7500（1+x）2＝8500．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB＝96°，则∠ACB的度数为（）A．192°B．120°C．132°D．l50【分析】如图作圆周角∠ADB，根据圆周角定理求出∠D的度数，再根据圆内接四边形性质求出∠C即可．【解答】解：如图做圆周角∠ADB，使D在优弧上，∵∠AOB＝96°，∴∠D＝∠AOB＝48°，∵A、D、B、C四点共圆，∴∠ACB+∠D＝180°，∴∠ACB＝132°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的关键．8．下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴C．相等的弧所对弦相等D．长度相等弧是等弧【分析】根据垂径定理，等弧的定义，圆的性质一一判断即可；【解答】解：A、错误．需要添加此弦非直径的条件；B、错误．应该是圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；C、正确．D、错误．长度相等弧是不一定是等弧，等弧的长度相等；故选：C．【点评】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，E是上一点，将沿BC翻折后E点的对称点F 落在OA中点处，则BC的长为（）A．B．2C．D．【分析】连接OC．由△AFC∽△ACO，推出AC2＝AF•OA，可得AC＝，再利用勾股定理求出BC即可解决问题；【解答】解：连接OC．由翻折不变性可知：EC＝CF，∠CBE＝∠CBA，∴＝，∴AC＝CE＝CF，∴∠A＝∠AFC，∵OA＝OC＝2，∴∠A＝∠ACO，∴∠AFC＝∠ACO，∵∠A＝∠A，∴△AFC∽△ACO，∴AC2＝AF•OA，∵AF＝OF＝1，∴AC2＝2，∵AC＞0，∴AC＝，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．10．抛物线y＝ax2+bx+1的顶点为D，与x轴正半轴交于A、B两点，A在B左，与y轴正半轴交于点C，当△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点）时，b的值为（）A．2B．﹣2或﹣4C．﹣2D．﹣4【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质和等腰三角形的性质，可以求得b的值，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+1，∴x＝0时，y＝1，∴点C的坐标为（0，1），∴OC＝1，∵△OBC为等腰直角三角形，∴OC＝OB，∴OB＝1，∴抛物线y＝ax2+bx+1与x轴的一个交点为（1，0），∴a+b+1＝0，得a＝﹣1﹣b，设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴的另一个交点A为（x1，0），∴x1×1＝，∵△ABD为等腰直角三角形，∴点D的纵坐标的绝对值是AB的一半，∴，∴﹣，解得，b＝﹣2或b＝﹣4，当b＝﹣2时，a＝﹣1﹣（﹣2）＝1，此时y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，与x轴只有一个交点，故不符合题意，当b＝﹣4时，a＝﹣1﹣（﹣4）＝3，此时y＝3x2﹣4x+1，与x轴两个交点，符合题意，故选：D．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分11．如果x＝2是方程x2﹣c＝0的一个根，那么c的值是4．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，知x＝2是方程的根，代入方程即可求解．【解答】解：∵x＝2是方程的根，由一元二次方程的根的定义代入可得，4﹣c＝0，∴c＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．12．与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标为（﹣3，﹣4）．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【解答】解：点P（3，4）关于中心对称的点的坐标为（﹣3，﹣4）．【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．13．如果（m﹣1）x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围为m≠1．【分析】一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．【解答】解：（m﹣1）x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，得m≠1，故答案为：m≠1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．14．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣6t2+15t，则汽午刹车后到停下来需要秒．【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时的初速度以及刹车时的加速度，由“刹车时间＝初速度÷刹车加速度”求出刹车后汽车行驶的时间．【解答】解：∵汽车刹车后行驶的距离s关于行驶的时间t的函数解析式是s＝15t﹣6t2，∴刹车前的初速度为15m/s，刹车的加速度为﹣12m/s2，∴汽车刹车后行驶的时间为：15÷12＝s，故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数关系式找出刹车的初速度以及加速度后计算出刹车时间是解题的关键．15．二次函数y＝（x﹣2）2当2﹣a≤x≤4﹣a，最小值为4，则a的值为4或﹣2．【分析】根据二次函数图象的开口方向知道，当x＝0或x＝4时，函数值的最小值是4，结合函数图象得到当x≤0或x≥4时，符合题意．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2当2﹣a≤x≤4﹣a，最小值为4，＝4．∴当x＝0或x＝4时，y最小值＝4．如图，当x≤0或x≥4时，y最小值∵2﹣a≤x≤4﹣a，∴a＝4或a＝﹣2．故答案是：4或﹣2．【点评】考查了二次函数的最值，解题时，采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得直观化．16．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B是x轴正半轴上一动点，将点A绕点B 顺时针旋转60°得点C，OB延长线上有一点D，满足∠BDC＝∠BAC，则线段BD长为2．【分析】如图，在DO上取一点H，使得DH＝CD．设AH交BC于点K．只要证明△ACH ≌△BCD（SAS），推出∠CAH＝∠CBD，AH＝BD，由∠AKC＝∠BKH，推出∠KHB＝∠ACB＝60°，求出AH即可解决问题；【解答】解：如图，在DO上取一点H，使得DH＝CD．设AH交BC于点K．∵BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵DC＝DH，∠CDH＝60°，∴△CDH是等边三角形，∴CA＝CB，CH＝CD，∠ACB＝∠HCD＝60°，∴∠ACH＝∠BCD，∴△ACH≌△BCD（SAS），∴∠CAH＝∠CBD，AH＝BD，∵∠AKC＝∠BKH，∴∠KHB＝∠ACB＝60°，在Rt△AOH中，∵OA＝3，∴AH＝＝2，∴BD＝AH＝2．故答案为2．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣4＝0．（用配方法解答）【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方后求解可得．【解答】解：∵x2﹣4x＝4，∴x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，∴x﹣2＝±2，则x＝2±2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（8分）如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．【分析】根据角的和差得到∠AOC＝∠BOD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC与△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练全等三角形的判定定理是解题的关键．19．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少．【分析】设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为（20﹣x）米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解．【解答】解：设矩形与墙平行的一边长为xm，则另一边长为（20﹣x）m．根据题意，得（20﹣x）x＝50，解方程，得x＝10．当x＝10时，（20﹣x）＝5．答：矩形的长为10m，宽为5m．【点评】此题不仅是一道实际问题，考查了一元二次方程的应用，解答此题要注意以下问题：（1）矩形的一边为墙，且墙的长度不超过45米；（2）根据矩形的面积公式列一元二次方程并根据根的判别式来判断是否两边长相等．20．（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．【分析】（1）先计算判别式的值得到△＝（m+2）2﹣4m×2＝（m﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法解方程得到x1＝1，x2＝，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，△＝（m+2）2﹣4m×2＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，而（m﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）＝0，x﹣1＝0或mx﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝，当m为正整数1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．21．（8分）如图，⊙O的半径OA⊥弦BC于H，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC＝DE，OB＝，AB＝5．（1）求证：∠AOB＝2∠ADC．（2）求AE长．【分析】（1）根据垂径定理可得，可得∠AOC＝∠AOB，根据圆周角定理可得∠AOB＝2∠ADC；（2）由题意可证AB＝BE＝5，根据勾股定理可求AH＝3，即可求EH的长，根据勾股定理可得AE的长．【解答】证明：（1）如图，连接OC，∵OA⊥BC，∴，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠AOB＝2∠ADC（2）∵DC＝DE∴∠DCE＝∠DEC∵∠DCE＝∠DAB，∠DEC＝∠AEB，∴∠AEB＝∠DAB，∴AB＝BE＝5∵AH2+BH2＝AB2，OH2+BH2＝OB2，∴AB2﹣AH2＝BH2＝OB2﹣（AO﹣AH）2，∴25﹣AH2＝﹣（﹣AH）2，∴AH＝3，∴BH＝4，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AE＝＝【点评】本题考查圆的有关知识、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）名闻遐迩的采花毛尖明前茶，成本每厅400元，某茶场今年春天试营销，每周的销售量y（斤）是销售单价x（元/斤）的一次函数，且满足如下关系：（1）请根据表中的数据求出y与x之间的函数关系式；（2）若销售每斤茶叶获利不能超过40%，该茶场每周获利不少于30000元，试确定销售单价x的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求解可得依次函数解析式；（2）根据“总利润＝每斤的利润×周销售量”可得函数解析式，再利用二次函数的性质结合x的取值范围可得答案；【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意，得：，解得：，则y＝﹣x+800；（2）w＝（x﹣400）（﹣x+500）＝﹣x2+1200x﹣320000，令w＝30000得：30000＝﹣x2+1200x﹣320000，解得：x＝500或x＝700，∵a＝﹣1＜0，∴500≤x≤700时w不小于30000，∵x﹣400≤400×40%，∴x≤560，∴500≤x≤560．【点评】本题主要考查一次函数的应用及一元二次方程的应用的知识，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、理解题意找到相等关系并列出函数解析式．23．（10分）（1）如图1，△AEC中，∠E＝90°，将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，AC与AB对应，AE与AD对应①请证明△ABC为等边三角形；②如图2，BD所在的直线为b，分别过点A、C作直线b的平行线a、c，直线a、b之间的距离为2，直线a、c之间的距离为7，则等边△ABC的边长为2．（2）如图3，∠POQ＝60°，△ABC为等边三角形，点A为∠POQ内部一点，点B、C分别在射线OQ、OP上，AE⊥OP于E，OE＝5，AE＝2，求△ABC的边长．【分析】（1）由旋转的性质可得：AB＝AC，∠BAC＝60°，即可证△ABC为等边三角形；（2）过点E作EG⊥直线a，延长GE交直线c于点H，可得GH＝7，AD＝2，由旋转的性质可得AD＝AE＝2，∠DAE＝60°，可求GE＝1，EH＝6，由锐角三角函数可求CE＝4，根据勾股定理可求等边△ABC的边AC的长；（3）过点A作∠AHO＝60°，交OQ于点G，交OP于点H，根据特殊三角函数值可求AH ＝4，通过证明△OBC≌△HCA，可求AH＝OC＝4，CE＝1，根据勾股定理可求△ABC 的边AC的长．【解答】解：（1）∵将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形．（2）过点E作EG⊥直线a，延长GE交直线c于点H，∵a∥b∥c，∴EH⊥直线c，∵直线a、c之间的距离为7，∴GH＝7∵将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△ADB，∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC＝90°，∠DAE＝60°，∵直线a、b之间的距离为2，∴AD＝2＝AE，∵∠GAE＝∠GAD﹣∠DAE＝90°﹣60°＝30°，∴GE＝AE＝1，∠AEG＝60°，∴EH＝7﹣1＝6，∵∠CEH＝180°﹣∠AEC﹣∠AEG，∴∠CEH＝30°，∴cos∠CEH＝∴CE＝4在Rt△ACE中，AC＝＝＝2，故答案为：2（3）过点A作∠AHO＝60°，交OQ于点G，交OP于点H，∵AE⊥OP，∠AHO＝60°∴sin∠AHO＝∴AH＝4∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°＝∠POQ，∵∠POQ+∠OBC+∠OCB＝180°，∠ACB+∠OCB+∠ACH＝180°，∴∠ACH＝∠OBC，且BC＝AC，∠O＝∠AHC＝60°，∴△OBC≌△HCA（AAS）∴AH＝OC＝4，∴CE＝OE﹣OC＝5﹣4＝1，在Rt△ACE中，AC＝＝＝，∴△ABC的边长为．【点评】本题是几何变换综合题，考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，本题的关键是添加恰当的辅助线构造全等三角形．24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B（3，0），交y轴于点C（1）求a的值．（2）过点B的直线1与（1）中的抛物线有且只有一个公共点，则直线1的解析式为x＝3或y＝4x﹣12．（3）如图2，已知F（0，﹣7），过点F的直线m：y＝kx﹣7与抛物线y＝x2﹣2x﹣3交于M、N两点，当S△CMN＝4时，求k的值．【分析】（1）把（3，0）代入y＝ax2﹣2x﹣3，即可求解；（2）当直线与y轴平行时，直线l的解析式为：x＝﹣3；当直线与y轴不平行时，设：直线1的解析式为：y＝kx+b，由△＝0即可求解；（3）联立得：x2﹣（2+k）x+4＝0，由S△CMN ＝|S△CFN﹣S△CFM|＝×CF×|x M﹣x N|＝4，即可求解．【解答】解：（1）把（3，0）代入y＝ax2﹣2x﹣3，得：0＝9a﹣6﹣3，∴a＝1；（2）当直线与y轴平行时，直线l的解析式为：x＝﹣3当直线与y轴不平行时，设：直线1的解析式为：y＝kx+b，将点B坐标代入上式，解得：b＝﹣3k则直线的表达式为：y＝kx﹣3k…①，抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…②，联立①②并整理得：x2﹣（k+2）x+（3k﹣3）＝0，△＝b2﹣4ac＝（k+2）2﹣4（3k﹣3）＝0，解得：k ＝4，故：直线的表达式为：x ＝3或y ＝4x ﹣12；（3）联立得：x 2﹣（2+k ）x +4＝0，x M +x N ＝k +2，x M •x N ＝4，∵S △CMN ＝|S △CFN ﹣S △CFM |＝×CF ×|x M ﹣x N |＝4，∴×4×＝4，即：（k +2）2＝20，解得：k ＝﹣2±2． 【点评】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、根的判别式、三角新人教版九年级数学上册期中考试试题(含答案)一.选择题（每小题3分，总分36分）1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A ．（x +1）2＝2（x +1）B ．C ．ax 2+bx +c ＝0D ．x 2+2x ＝x 2﹣12．若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2﹣2x +1＝0有实根，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜3B ．m ≤3C ．m ＜3且m ≠2D ．m ≤3且m ≠23．方程x （x ﹣1）＝x 的根是（ ）A ．x ＝2B ．x ＝﹣2C ．x 1＝﹣2，x 2＝0D ．x 1＝2，x 2＝04．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（ ）A ．（x +1）（x ﹣2）＝0B ．（x ﹣1）（x +2）＝1C ．（x +2）2＝1D ．5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）A ．y ＝3（x ﹣2）2+1B ．y ＝3（x +2）2﹣1C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+16．函数y ＝﹣x 2﹣4x +3图象顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣7）B ．（2，7）C ．（﹣2，﹣7）D ．（﹣2，7）7．抛物线y ＝（x +2）2+1的顶点坐标是（ ）A ．（2，1）B ．（﹣2，1）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，﹣1）8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝19．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．D ．10．当a ＞0，b ＜0，c ＞0时，下列图象有可能是抛物线y ＝ax 2+bx +c 的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．不论x 为何值，函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的值恒大于0的条件是（ ）A ．a ＞0，△＞0B ．a ＞0，△＜0C ．a ＜0，△＜0D ．a ＜0，△＞012．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（ ）A ．x （x +1）＝1035B ．x （x ﹣1）＝1035×2C ．x （x ﹣1）＝1035D ．2x （x +1）＝1035二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有实数根，则m 的取值范围是 ．14．方程x 2﹣3x +1＝0的解是 ．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y ＝3x 2②y ＝x 2③y ＝x 2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号） ．16．抛物线y ＝﹣x 2+15有最 点，其坐标是 ．17．水稻今年一季度增产a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度化肥增产的吨数为 ．18．已知二次函数y ＝+5x ﹣10，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系为三.解答题（本大题共8个小题，）19．（6分）解方程x 2﹣4x +1＝0x （x ﹣2）＝4﹣2x ；20．（6分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式．21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝1时，求另一个根x 2的值．22．（8分）已知：抛物线y ＝﹣x 2+x ﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？25．（10分）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B、C两点的坐标；（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？参考答案一.选择题1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2＝2（x+1），故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 【分析】由于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式△是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，∴m﹣2≠0，并且△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m≥0，∴m≤3且m≠2．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．此题切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．解：由原方程，得x 2﹣2x ＝0，∴x （x ﹣2）＝0，∴x ﹣2＝0或x ＝0，解得，x 1＝2，x 2＝0；故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．4．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（ ）A ．（x +1）（x ﹣2）＝0B ．（x ﹣1）（x +2）＝1C ．（x +2）2＝1D ． 【分析】根据因式分解法解方程对A 进行判断；根据方程解的定义对B 进行判断；根据直接开平方法对C 、D 进行判断．解：A 、x +1＝0或x ﹣2＝0，则x 1＝﹣1，x 2＝2，所以A 选项错误；B 、x ＝1或x ＝﹣2不满足（x ﹣1）（x +2）＝1，所以B 选项错误；C 、x +2＝±1，则x 1＝﹣1，x 2＝﹣3，所以C 选项错误；D 、x +＝±，则x 1＝1，x 2＝﹣2，所以D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程，5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）A ．y ＝3（x ﹣2）2+1B ．y ＝3（x +2）2﹣1C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+1【分析】变化规律：左加右减，上加下减．解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y ＝3（x +2）2+1．故选D ．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．6．函数y ＝﹣x 2﹣4x +3图象顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣7）B ．（2，7）C ．（﹣2，﹣7）D ．（﹣2，7）【分析】先把二次函数化为顶点式的形式，再得出其顶点坐标即可．解：∵原函数解析式可化为：y ＝﹣（x +2）2+7，∴函数图象的顶点坐标是（﹣2，7）．故选：D ．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意把二次函数的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键．7．抛物线y ＝（x +2）2+1的顶点坐标是（ ）A ．（2，1）B ．（﹣2，1）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，﹣1）【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 解：因为y ＝（x +2）2+1是抛物线的顶点式，由顶点式的坐标特点知，顶点坐标为（﹣2，1）．故选：B ．【点评】考查顶点式y ＝a （x ﹣h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x ＝h ．要掌握顶点式的性质．8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝1【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ≠0，且a ，h ，k 是常数），它的对称轴是x ＝h ，顶点坐标是（h ，k ）．解：y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线x ＝1．故选：B ．【点评】本题主要考查二次函数顶点式中对称轴的求法．9．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．D ．【分析】可以直接利用两根之和得到所求的代数式的值．解：如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2＝2．。
江苏省无锡 九年级(上)期中数学试卷-(含答案)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A. B.C. D.2.如图，CD是⊙O的直径，弦DE∥OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A.B.C.D.3.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．其中正确的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D.3个4.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A. 6B. 5C. 4D. 35.如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A. cmB.C. cmD. 1cm6.如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则满足的方程是（）A. B.C. D.7.下列命题是真命题的是（）A. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线B. 经过半径外端的直线是圆的切线C. 直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线D. 到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线8.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于（）A.B.C.D.9.如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A.B.C.D.10.如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=2，线段CP的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.已知=，则= ______ ．12.近年来全国房价不断上涨，我市2013年的房价平均每平方米为7000元，经过两年的上涨，2015年房价平均每平方米为8500元，设这两年房价的年平均增长率均为x，则关于的方程为______ ．13.若关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．14.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA= ______ °．15.小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为______ ．16.如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是______．17.如图，平面直角坐标系中，⊙A的圆心在x轴上，坐标为（a，0），半径为1，直线l为y=2x-2，若⊙A沿x轴向右运动，当⊙A与直线l有公共点时，点A横坐标a 的取值范围是______ ．18.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，点B落在点D的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.（1）3y（y-1）=2（y-1）（2）（x-1）（x+2）=70（3）2y2-3=4y（配方法）20.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）．21.在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．22.如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．（1）请找出该圆弧所在圆的圆心O的位置；（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①⊙O的半径为______ （结果保留根号）；②的长为______ （结果保留π）；③试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE⊥CD；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．24.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，以BC为直径的半圆交AB于点D，以A为圆心，AC为半径的扇形交AB 于点E．（1）以BC为直径的圆与AC所在的直线有何位置关系？请说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．25.某公司销售一种进价为20（元/个）的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）之间为一次函数关系，其变化如下表：40万元的净利润，且尽可能让顾客得到实惠，那么销售价格应定为多少？（注：净利润=总销售额-总进价-其他开支）26.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，BO=8，（1）如图①，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动，求当P、Q、C三点构成等腰三角形时点P的坐标．（2）如图②，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC 内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标．27.如图1，小红将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=15，AD=12．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E 点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2）求FB的长度；（2）在（1）的条件下，小红想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了两种包裹的方法如图3、图4，请问哪种包裹纸片的方法使得未包裹住的面积大？（纸片厚度忽略不计）请你通过计算说服小红．28.对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C 在点D的左侧．（1）当r=4时，①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是______；②若点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为______；（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是______．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、由原方程得到2x+1=0，即未知数的最高次数是1．故本选项错误；B、当a=0时．该方程不是一元二次方程．故本选项错误；C、由原方程得到x2-x-1=0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程中含有两个未知数．故本选项错误；故选C．本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2.【答案】A【解析】解：∵DE∥OA，∴∠AOD=∠D=50°，∴∠C=∠AOD=25°，故选：A．根据平行线的性质可得∠AOD=∠D，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.【答案】D【解析】解：∵等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，∴DE=1，DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴DE：AB=1：2，∴△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．故选D．由题意即可推出DE∥AB，推出DE=1，△CDE∽△CAB，△CDE的面积与△CAB 的面积之比为相似比的平方，即为1：4．本题主要考查相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理，关键在于推出DE∥AB．4.【答案】B【解析】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．5.【答案】A【解析】解：连接AC，过B作BD⊥AC于D；∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD=CD；∵此多边形为正六边形，∴∠ABC==120°，∴∠ABD=×120°=60°，∴∠BAD=30°，AD=AB•cos30°=2×=，∴a=2cm．故选A．连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．6.【答案】B【解析】解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，则（80+2x）（50+2x）=5400．故选：B．根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（树叶画的长+2个纸边的宽度）×（树叶画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．7.【答案】D【解析】解：A、应经过此半径的外端，故本选项错误；B、应该垂直于此半径，故本选项错误．C、应是圆心到直线的距离等于圆的半径，故本选项错误；D、根据切线的判定方法，故本选项正确；故选D．要正确理解切线的定义：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线．掌握切线的判定：①经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线．本题考查了命题和定理，知识点有：切线的判定方法．8.【答案】D【解析】解：∵∠C=∠E，且∠BDE=∠ADC，∴△BDE∽△ADC，∴=，∵BC=8，BD：DC=5：3，∴BD=5，DC=3，AD=4，∴=，解得DE=，故选：D．由条件可证明△BDE∽△ADC，且可求得BD和DC的长度，利用相似三角形的对应边的比相等可求得DE．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题时注意：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．9.【答案】B【解析】解：小正方形的面积是：1；当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形BAO，它的面积是．则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4×（1-）=4-π．故选：B．这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是就是小正方形的面积与扇形的面积的差的4倍．本题主要考查了轨迹、正方形和圆的面积的计算公式，正确记忆公式是关键．10.【答案】B【解析】解：∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，∴DE=CF，在△ADE和△DCF中，，∴∠DAE=∠CDF，∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，∴∠ADF+∠DAE=90°，∴∠APD=90°，取AD的中点O，连接OP，则OP=AD=×2=1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO===，所以，CP=CO-OP=-1．故选B．根据点E、F的运动速度判断出DE=CF，然后利用“边角边”证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠CDF，然后求出∠APD=90°，取AD的中点O，连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到AD的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，然后根据勾股定理列式求出CO，再求解即可．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P到AD的中点的距离是定值是解题的关键，也是本题的难点．11.【答案】【解析】解；由=，得=．由合比性质，得=．=，故答案为：．根据比例的性质，可得y：x的值，再根据倒数的意义，可得答案．本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单12.【答案】7000（1+x）2=8500【解析】解：设这两年房价的年平均增长率均为x，根据题意，可列方程：7000（1+x）2=8500，故答案为：7000（1+x）2=8500．由于设这两年房价的平均增长率均为x，那么2014年房价平均每平方米为7000（1+x）元，2015年的房价平均每平方米为7000（1+x）（1+x）元，然后根据2015年房价平均每平方米为8500元即可列出方程．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．13.【答案】k＞且k≠1【解析】解：根据题意得k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k＞且k≠1．故答案为：k＞且k≠1．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14.【答案】67.5【解析】解：∵PD切⊙O于点C，∴∠OCD=90°；又∵CO=CD，∴∠COD=∠D=45°；∴∠A=∠COD=22.5°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=22.5°（等边对等角），∴∠PCA=180°-∠ACO-∠OCD=67.5°．故答案是：67.5°．根据切线的性质知∠OCD=90°，然后在等腰直角三角形OCD中∠COD=∠D=45°；再由圆周角定理求得∠ACO=22.5°；最后由平角的定义即可求得∠PCA的度数．本题考查了圆的切线．解题的关键是根据切线的定义推知∠OCD=90°．15.【答案】216°【解析】解：母线长==15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，所以2π•9=，解得n=216，即该扇形薄纸板的圆心角为216°．故答案为216°．利用勾股定理计算出母线长=15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，利用弧长公式得到2π•9=，解得n=216．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16.【答案】4π【解析】解：弧CD的长是=，弧DE的长是：=，弧EF的长是：=2π，则曲线CDEF的长是：++2π=4π．故答案为：4π．弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．本题考查了弧长的计算公式，理解弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3是解题的关键．17.【答案】1-≤a≤1+【解析】解：如图：当⊙A在直线L的左侧，⊙A与直线L相切时，△BOD∽△ABC，∵直线l为y=2x-2，∴B（1，0），D（0，-2），∴OB=1，OD=2，∴，即，∴BC=，∴AB=，当⊙A在直线L的右侧，⊙A与直线L相切时，同理A′B=，∴A横坐标a的取值范围是1-≤a≤1+，故答案为：1-≤a≤1+．根据⊙A与L有公共点从左相切开始，到相交，到右相切，所以A移动的距离是左相切到右相切时的距离．此题主要考查了坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系，关键是知道点A 移动距离．18.【答案】（-，）【解析】解：如图，过D作DF⊥AF于F，∵点B的坐标为（1，3），∴AO=1，AB=3，根据折叠可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，∴（3-x）2=x2+12，∴x=．又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，∴AE=CE=3-=，∴==，即==．∴DF=，AF=．∴OF=-1=．∴点D的坐标为（-，）．故答案为：（-，）．如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．19.【答案】解：（1）∵3y（y-1）=2（y-1），∴（y-1）（3y-2）=0，∴y-1=0或3y-2=0，∴y1=1，y2=；（2）∵（x-1）（x+2）=70，∴x2+x-2=70，∴x2+x-72=0，∴（x+9）（x-8）=0，∴x+9=0或x-8=0，∴x1=-9，x2=8；（3）∵2y2-3=4y，∴2（y2-2y+1-1）-3=0，∴2（y-1）2=5，y=1±，y1=1+，y2=1-．【解析】（1）移项将方程右边化简为0，然后在提取公因式即可求解；（2）将方程左边去括号然后再化简成x2+x-72=0，利用因式分解即可求解；（3）移项然后在利用配方法即可求解．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20.【答案】解：根据题意可得：∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，（2分）∴△ABE∽△CDE，（5分）∴，（7分）∴，（8分）∴AB=13.44（米）．（11分）答：教学大楼的高度AB是13.44米．（12分）【解析】根据反射定律，∠1=∠2，又因为FE⊥EC，所以∠3=∠4，再根据垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．21.【答案】解：∵关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，∴△=（b+2）2-4（6-b）=0，即b2+8b-20=0；解得b=2，b=-10（舍去）；①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；②当b为底，a为腰时，则5-2＜5＜5+2，能够构成三角形；此时△ABC的周长为：5+5+2=12；答：△ABC的周长是12．【解析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．此题考查了根与系数的关系、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．22.【答案】2；π【解析】解：（1）如图所示：连接AC，作线段AC的垂线OE，交正方形网格于点O，则O点即为⊙O的圆心；（2）①在Rt△OCF中，∵CF=2，OF=4，∴OC===2；②在Rt△OAG与Rt△OCF中，AG=OF=4，OG=CF=2，OA=OC=2，∴∠OAG=∠COF，∠AOG=∠OCF，∵∠OAG+∠AOG=90°，∠OCF+∠COF=90°，∴∠AOG+∠COF=90°，∴∠AOC=90°，∴===π；③直线DC与⊙O相切．理由：∵连接CD，在△DCO中，CD=，CO=2，DO=5，∴CD2+CO2=25=DO2．∴∠DCO=90°，即CD⊥OC．∴CD与⊙O相切．（1）连接AC，作AC的垂直平分线，由垂径定理可知OE与网格的交点即为⊙O的圆心；（2）①直接根据正方形网格的特点及勾股定理求出OC的长即为⊙O的半径；②先根据直角三角形的性质得出∠AOC=90°，再根据弧长公式求出的度数；③连接CD，根据勾股定理得出CD、OD的长，由勾股定理的逆定理判断出△OCD的形状即可．本题考查的是垂径定理的应用、勾股定理、直线与圆的位置关系、勾股定理的逆定理及弧长的计算，在解答此题时要先根据垂径定理作出圆心，再根据勾股定理的相关知识进行解答．23.【答案】（1）证明：连接OA．∵AE是⊙O切线，∴OA⊥AE，∴∠OAE=90°，∴∠EAD+∠OAD=90°，∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠AED=90°，∴AE⊥CD；（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，∴四边形AOFE是矩形．∴OF=AE=4cm．又∵OF⊥CD，∴DF=CD=3cm．在Rt△ODF中，OD==5cm，即⊙O的半径为5cm．【解析】（1）欲证明AE⊥CD，只要证明∠EAD+∠ADE=90°即可；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF=AE，根据垂径定理得出DF=CD，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．24.【答案】解：（1）相切，理由是：∵∠ACB=90°，BC为半圆的直径，∴以BC为直径的圆与AC所在的直线相切；（2）在Rt△ACB中，∠B=30°，∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=×4=2，由勾股定理得：BC==2，∴S阴影=S半圆-（S△ABC-S扇形AEC），=π-×2×+，=-2，答：图中阴影部分的面积是-2．【解析】（1）切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，满足这两个条件，则与圆相切；（2）先根据条件求直角三角形的各边长和锐角∠A的度数，再利用差求阴影部分的面积．本题考查了直线和圆的位置关系、勾股定理及扇形的面积，属于常考题型，难度不大；熟练掌握直线和圆的位置关系，在求阴影部分面积时，要注意利用和或差来求解．25.【答案】解：设y与x的解析式为：y=ax+b，则，解得：，∴y=-0.1x+8，根据题意，得：（x-20）（-0.1x+8）-40=40，∴x1=40，x2=60，∵尽可能让顾客得到实惠，∴价格应定为40元．答：价格应定为40元．【解析】设y与x的解析式为：y=ax+b，将表格中的数代入解析式，求出a、b的值，求出解析式，然后表示出利润，根据利润为40万元，求出销售价格．本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．26.【答案】解：（1）设运动的时间为t秒，由勾股定理得，OC==10，当CQ=CP时，2t=10-4t，解得，t=，此时CP=2×=，∴AP=8-=，P点坐标为（，6），当PC=PQ时，如图①，过点Q作AC的垂线交AC于点E，CQ=10-4t，CP=2t．∵△CEQ∽△CAO，∴EQ=CQ=（10-4t）=6-t，PE=（10-4t）-2t=8-t-2t=8-t，由勾股定理得，（6-t）2+（8-t）2=（2t）2，整理得：36t2-140t+125=0，解得，t1=，t2=（舍去），此时，AP=8××2=，∴P点坐标为（，6），当QC=PQ时，如图②，过点Q作AC的垂线交AC于点F，CQ=10-4t，CP=2t，∵△CFQ∽△CAO，∴QF═（10-4t）=6-t，PF=2t-（10-4t）=t-8，则（6-t）2+（t-8）2=（10-4t）2，整理得，21t2-40t=0，解得，t1=，t2=0（舍去），此时，AP=8-×2=，则P点坐标为（，6），综上所述，P点坐标为（，6），（，6），（，6）；（2））如图③，连接EG，由题意得：△AOE≌△AFE，∴∠EFG=∠OBC=90°，∵E是OB的中点，∴EG=EG，EF=EB=4，在Rt△EFG和Rt△EBG中，，∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL）∴∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，∴△AOE∽△AEG，∴AE2=AO•AG，即36+16=6×AG，解得，AG=，由勾股定理得，CG==，∴BG=6-=，G的坐标为（8，）．【解析】（1）分CQ=CP、PC=PQ和QC=PQ三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可；（2）连接EG，由翻转变换的性质得到△AOE≌△AFE，根据全等三角形的性质得到∠EFG=∠OBC=90°，证明Rt△EFG≌Rt△EBG得到∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，得到△AOE∽△AEG，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是翻转变换的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握翻转变换的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．27.【答案】解：（1）∵BE=AB=15，在直角△BCE中，CE===9∴DE =6，∵∠EAD +∠BAE =90°，∠BAE =∠BEF ，∴∠EAD +∠BEF =90°，∵∠BEF +∠F =90°，∴∠EAD =∠F∵∠ADE =∠FBE∴△ADE ∽△FBE ，∴ ，， ∴BF =30；（2）①如图1，将矩形ABCD 和直角△FBE 以CD 为轴翻折，则△AMH 即为未包裹住的面积，∵Rt △F ′HN ∽Rt △F ′EG ，∴ ′ ′ = ，即 ，解得：HN =3，∴S △AMH = •AM •MH = ×12×24=144； ②如图2，将矩形ABCD 和Rt △ECF 以AD 为轴翻折，∵Rt △GBE ∽Rt △GB ′C ′，∴ ′ ′ ′，即′ ′ ，解得：GB ′=24， ∴S △B ′C ′G = •B ′C ′•B ′G = ×12×24=144， ∴按照两种包裹方法的未包裹面积相等．【解析】（1）先证明△ADE ∽△FBE ，利用相似的性质得BF ；（2）①利用相似三角形的判定，证明Rt △F′HN ∽Rt △F′EG ，利用相似三角形的性质，求得HN ，利用三角形的面积公式得结果；②利用相似三角形的判定，证明Rt △F′HN ∽Rt △F′EG ，利用相似三角形的性质，求得HN ，利用三角形的面积公式得结果．本题主要考查了相似三角形的判定和性质及翻折变化，以动态（平移和旋转）的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和直角三角形是解答此题的关键．28.【答案】P 2，P 3；（4，-2）或P （-4，6）；0＜r ＜ 或r ＞2 +2【解析】解：（1）①连接AC和BD，交于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴M到正方形ABCD四条边距离都相等∴⊙P一定通过点M，∵A（2，4）∴M（0，2）设⊙P的圆心坐标是（x，y），∴r=4时，∴x2+（y-2）2=（4）2，即，x2+（y-2）2=32，把P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）代入，只有P2，P3成立，∴可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P2，P3，故答案为：P2，P3；②∵点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，∴把y=-x+2代入x2+（y-2）2=32，得x2+x2=32，解得x=±4，∴y=-2或6，∴P（4，-2）或P（-4，6）．故答案为：（4，-2）或P（-4，6）．（2）如下图：①∵⊙P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，∴⊙P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I．∴点P在线段EI的中垂线上．∵A（2，4），正方形ABCD的边CD在x轴上；F（6，2），正方形EFGH的边HE 在y轴上，∴E（0，2），I（3，5）∴∠IEH=45°，设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，∴△LIE为等腰直角三角形，LI⊥y轴，∴L（0，5），∴△LOM为等腰直角三角形，LO=OM∴M（5，0），∴P在直线y=-x+5上，∴设P（p，-p+5）过P作PQ⊥直线BC于Q，连结PE，∵⊙P与BC所在直线相切，∴PE=PQ，∴p2+（-p+5-2）2=（p+2）2，解得：P1=5+2，P2=5-2，∴P1（5+2，-2），P2（5-2，2），∵⊙P过点E，且E点在y轴上，∴⊙P在y轴上截得的弦长为2|-2-2|=4或2|2-2|=4-4．②如图2，连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，当0＜r＜DT-DE1时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．∵HF所在的直线为：y=-x+8，DT所在的直线为：y=x-2，∴T（5，3），∵D（2，0），∴DT==3，∵DE=DE1∴DT-DE=DT-DE=3-2=，1∴当0＜r＜时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．当r＞HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．∵HE2=HD+DE2，DE2=DE，∴HE=HD+DE=+2=2+2，2∴当r＞2+2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．综上可知当0＜r＜或r＞2+2时线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，故答案为：0＜r＜或r＞2+2．（1）①连接AC和BD，交于点M，设⊙P的圆心坐标是（x，y），列出圆心到M的关系式，把P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）代入，看是否成立来逆定，②把y=-x+2代入x2+（y-2）2=32，求出x和y的值，再写出坐标．（2）①先求出△LIE为等腰直角三角形，得到L（0，5），进而得出△LOM为等腰直角三角形，设P（p，-p+5）据关系列出方程求了圆心，的坐标，最后得出弦长．②连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，当0＜r＜DT-DE1时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．当r＞HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．据此求解．本题考查圆的综合题，解题的关键是明确题意，根据题目给出的条件，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．此外对本题中的“等距圆”的定义正确理解也是解题的关键．。
江苏省江阴利港中学2013-2014学年初三数学12月月考试卷
利港中学初三12月数学练习命题人：于春波 审核：刘 杰注意事项：1．本卷考试时间为120分钟，满分130分一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内．）1．在函数y ＝x －3中，自变量x 的取值范围是………………………………………………（ ） A ．x ＞0 B ．x ≥0 C ．x ＞3 D ．x ≥32．若二次函数y ＝(a －1)x 2＋3x ＋a 2－1的图象经过原点，则a 的值必为 …………………（ ）A ．1或－1B ．1C ．－1D ．03．若两圆的半径分别是2和3，圆心距为5，则两圆的位置关系为 …………………………（ ） A ．外切 B ．内含 C ．相交 D ．外离4．已知tan (α－15°)=1，则锐角α的度数为……………………………………………………（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°5．已知圆锥的底面的半径为3cm ，高为4cm ，则它的侧面积为 …………………………（ ） A ．15πcm 2 B ．16πcm 2 C ．19πcm 2 D ．24πcm 26．在下列命题中，是真命题的是…………………………………………………………………（ ）A ．两条对角线相等的四边形是矩形B ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形D ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 7．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D = 35°，则∠OAC 的度数是……… （ ）A ．35°B ．55°C ．65°D ．70°8．如图5，等边△ABC 的边长为3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止，设运动时间为x (s)，y =PC 2，则y 关于x 的函数的图像大致为…（ ）9．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l 的解析式为 （ ） A ．y ＝3x B ．y ＝3x C ．y ＝9x D ．y ＝xx －1) 2+1x －1)2－1A ．B ．D ．第8题C ．10．如图，两条抛物线1)1(221+-=x y ,1)1(222--=x y 与分别经过点(－1,0)，(3,0)且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为…………………………………………（ ） Ａ．6 Ｂ．8 Ｃ．10 Ｄ．4二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分）11．已知关于x 的一元二次方程x 2－3x +1=0两实数根为x 1、x 2，则x 1+x 2= ． 12．已知一个样本1，2，3，x ，5的平均数是4，则这个样本的极差是 ．13．某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产160台．设二、三月份每月的平均增长率为x ，根据题意列出的方程是 ．14．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，其对称轴为直线x =－1．若其与x 轴的一个交点为A (2,0)，则由图象可知，当自变量x 的取值范围是 时，函数值y ＞0． 15．如图是市民广场到地下通道的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长约是20m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是 m ．16．圆弧的半径为3，弧所对的圆心角为60°，则该弧的长度为 ．17. 在矩形纸片ABCD 中，AB=8，BC=20，F 为BC 的中点，沿过点F 的直线翻折，使点B 落在边AD 上，折痕交矩形的一边于G ，则折痕FG= _________ ．18．如图，在正方形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，F 是CD 边上一点，且∠EBF =45°，则tan ∠EFB 的值为 ． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）计算：⑴ 12＋(3－π)0－2sin60° ⑵ 2×32＋(2－1)2 ． 20．（本题满分8分）解方程：⑴ x 2－2x －1＝0 ⑵ (x －3)2＋4x (x －3)＝0DF 第18题第15题第17题21．（本题满分8分）从甲、乙两种玉米苗中各取10株，分别测得他们的高度(单位：cm)如下： 甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42； 乙：26，14，44，26，43，15，39，39，15，39． (1)请计算说明，哪种玉米苗平均长得高？(2)这两组数据的方差分别是多少？哪种玉米苗长得更整齐？22．（本题满分8分）．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直，垂足为点E ．⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ，且AD =5，cos ∠BCD =45．(1)求弦CD 的长；(2)求⊙O 的半径．23．（本题满分8分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直，测得CD 长等于18米，在l 上点D 的同侧取点A 、B ，使∠CAD =30°，∠CBD =60°． (1) 求AB 的长（精确到0.1米，参考数据3=1.73，2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A 到B 用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．AD CB Al24．（本题满分8分）已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图，且C (4,0)、D (0,3)．现有两动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒．(1)填空：菱形ABCD 的边长是 、面积是 、 高BE 的长是 ；(2)若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度为每秒2个单位．当点Q 在线段BA 上时，求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式，以及S 的最大值．25．（8分）已知A 、B 、C 三点均在⊙O 上，且△ABC 是等边三角形． （1）如图，用直尺和圆规作出△ABC ；（不写作法，保留作图痕迹）（2）若点P 是⌒BC 上一点，连接PA 、PB 、PC ．探究PA 、PB 、PC 之间的等量关系并说明理由．（第25题）26．（8分）在函数中，我们规定：当自变量增加一个单位时，因变量的增加量称为函数的单位变化率．例如，对于函数y＝3x＋1，当自变量x增加1时，因变量y＝3(x＋1)＋1＝3x＋4，较之前增加3，故函数y＝3x＋1的单位变化率为3．（1）①列车已行驶的路程s（km）与行驶的时间t（h）的函数关系式是s＝300t，该函数的单位变化率是；其蕴含的实际意义是；②飞机着陆后滑行的距离y（m）与滑行的时间x（s）的函数关系式是y＝－1.5x2＋60x，求该函数的单位变化率；（2）通过比较（1）中不同函数的单位变化率，你有什么发现；（3）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过第一象限内的三点A、B、C，过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，AM⊥BE，垂足为M，BN⊥CF，垂足为N，DE＝EF，试探究△AMB与△BNC面积的大小关系，并说明理由．27．（本题满分10分）如图，点A(－10,0)，B(－6,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°．点P从点Q(8,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒．(1)求点C的坐标；(2)当∠BCP=15°，求t的值；(3)以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边ABCD的边(或边所在的直线)相切时，求t的值．（第26题）28．（本题满分10分）如图，在直角坐标系中，A点坐标为（0，6），B点坐标为（8，0），点P沿射线．．BO以每秒2个单位的速度匀速运动，同时点Q从A到O以每秒1个单位的速度匀速运动，当点．Q．运动到点．．．．．．．．．．．．．．O．时两点同时停止运动（1）设P点运动时间为t秒，M为PQ的中点，请用t表示出M点的坐标为；（2）设△BPM的面积为S，当t为何值时，S有最大值，最大值为多少?（3）请画出M点的运动路径，并说明理由；（4）若以A为圆心，AQ为半径画圆，t为何值时⊙A与点M的运动路径只有一个交点？x x。
2014-2015学年江苏省无锡市江阴市暨阳中学九年级(上)数学期中试卷带解析答案
2014-2015学年江苏省无锡市江阴市暨阳中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每题3分，共30分，每题的四个选项中，只有一个符合题意）1．（3分）3的算术平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±D．2．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=23．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等4．（3分）等腰△ABC的两边长分别是一元二次方程x2﹣9x+18=0的两个解，则这个等腰三角形的周长是（）A．9 B．12 C．15 D．12或155．（3分）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．π6．（3分）餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（）A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2C．（160+x）（100+x）=160×100 D．2（160x+100x）=160×1007．（3分）如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°8．（3分）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O 的位置关系是（）A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交9．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=20°．动点P、Q分别在直线BC 上运动，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ=y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．10．（3分）如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A 作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA 的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（2分）方程x（x﹣1）=2（x﹣1）的解是．13．（2分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5=0的两个根，则x1•x2=．14．（2分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a 为．15．（2分）一个底面直径为10cm，母线长为15cm的圆锥，它的侧面展开图圆心角是度．16．（2分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C=50°，则∠BAE=°．17．（2分）如图，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，经过秒后，点P在⊙O上．18．（2分）如图，平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线l分别与x轴、y轴相交于B、A两点，若OA=6，∠ABO=30°，点C在射线BA上以3厘米/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1厘米的⊙C．点P以2厘米/秒的速度在线段OA 上来回运动，过点P作直线l∥x轴．若点C与点P同时从点B、点O开始运动，设运动时间为t秒，则在整个运动过程中直线l与⊙C相切时t的值为．三、解答题（本大题共10小题，共计84分．解答时应写出必要的证明过程或演算步骤．）19．（8分）解下列方程（1）2x2﹣2x﹣5=0（2）9（x+1）2﹣（x﹣2）2=0．20．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x满足x2+x﹣2=0．21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．22．（6分）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．23．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，3）、B（﹣1，2）、C（﹣3，1），△ABC 绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．（1）在正方形网格中作出△A1B1C1；（2）在旋转过程中，点A经过的路径的长度为；（结果保留π）（3）在y轴上找一点D，使DB+DB1的值最小，并求出D点坐标．24．（8分）如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且BD=2AD，双曲线y=（k＞0）经过点D，交BC于点E．（1）求双曲线的解析式；（2）求四边形ODBE的面积．25．（10分）国家限购以来，二手房和新楼盘的成交量迅速下降．据统计，宁波六区限购前某季度二手房和新楼盘成交量为9500套．限购后，同一季度二手房和新楼盘的成交量共4425套．其中二手房成交量比限购前减少55%，新楼盘成交量比限购前减少52%．（1）问限购后二手房和新楼盘各成交多少套？（2）在成交量下跌的同时，房价也大幅跳水．某楼盘限购前均价为12000元/m2，限购后，无人问津，房价进行调整，二次下调后均价为7680元/m2，求平均每次下调的百分率？总理表态：让房价回归合理价位．合理价位为房价是可支配收入的3～6倍，假设宁波平均每户家庭（三口之家）的年可支配收入为9万元，每户家庭的平均住房面积为80m2，问下调后的房价回到合理价位了吗？请说明理由．26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．（1）求证：∠ACM=∠ABC；（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．27．（12分）在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，AC=8；（1）如图①，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标；（2）定义：若以不在同一直线上的三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点，这样的圆叫做黄金圆．如图②，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动；求：当PQC三点恰好构成黄金圆时点P的坐标．28．（12分）如图1，小红将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=15，AD=12．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2）求FB的长度；（2）在（1）的条件下，小红想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了两种包裹的方法如图3、图4，请问哪种包裹纸片的方法使得未包裹住的面积大？（纸片厚度忽略不计）请你通过计算说服小红．2014-2015学年江苏省无锡市江阴市暨阳中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每题3分，共30分，每题的四个选项中，只有一个符合题意）1．（3分）3的算术平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±D．【解答】解：∵（）2=3，∴3的算术平方根是．故选：D．2．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=2【解答】解：把方程x2﹣2x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=1+1配方得（x﹣1）2=2．故选：D．3．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选：B．4．（3分）等腰△ABC的两边长分别是一元二次方程x2﹣9x+18=0的两个解，则这个等腰三角形的周长是（）A．9 B．12 C．15 D．12或15【解答】解：x2﹣9x+18=0，（x﹣3）（x﹣6）=0，所以x1=3，x2=6，当腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边的关系，故舍去；当腰为6，底为3，则三角形周长=6+6=3=15．故选：C．5．（3分）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．π【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1，∴BC=ACtan60°=1×=，AB=2∴S△ABC=AC•BC=．根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC=S△AB′C′，AB=AB′．∴S阴影=S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC==．故选：A．6．（3分）餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（）A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2 C．（160+x）（100+x）=160×100 D．2（160x+100x）=160×100【解答】解：依题意得：桌布面积为：160×100×2，桌面的长为：160+2x，宽为：100+2x，则面积为=（160+2x）（100+2x）=2×160×100．故选：B．7．（3分）如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°【解答】解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，A、=，正确，故本选项错误；B、AF=BF，正确，故本选项错误；C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项符合题意；D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误；故选：C．8．（3分）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O 的位置关系是（）A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交【解答】解：当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l 相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2=r，⊙O与直线l相交．故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．故选：D．9．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=20°．动点P、Q分别在直线BC 上运动，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ=y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°∴∠ACB=80°又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=100°∴∠PAB+∠CAQ=80°△ABC中：∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°∴∠AQC=∠PAB同理：∠P=∠CAQ∴△APB∽△QAC∴，即=．则函数解析式是y=．故选：A．10．（3分）如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A 作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA 的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵点A坐标为（﹣1，1），∴k=﹣1×1=﹣1，∴反比例函数解析式为y=﹣，∵OB=AB=1，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∵PQ⊥OA，∴∠OPQ=45°，∵点B和点B′关于直线l对称，∴PB=PB′，BB′⊥PQ，∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，∴B′P⊥y轴，∴点B′的坐标为（﹣，t），∵PB=PB′，∴t﹣1=|﹣|=，整理得t2﹣t﹣1=0，解得t1=，t2=（不符合题意，舍去），∴t的值为．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥3．【解答】解：根据题意得x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．12．（2分）方程x（x﹣1）=2（x﹣1）的解是x1=1，x2=2．【解答】解：x（x﹣1）=2（x﹣1），x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，（x﹣1）（x﹣2）=0，x﹣1=0，x﹣2=0，x1=1，x2=2，故答案为：x1=1，x2=2．13．（2分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5=0的两个根，则x1•x2=﹣5．【解答】解：根据题意得x1x2=﹣5．故答案为﹣5．14．（2分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a 为2．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，∴a2﹣4=0且a+2≠0．解得a=2．故答案是：2．15．（2分）一个底面直径为10cm，母线长为15cm的圆锥，它的侧面展开图圆心角是120度．【解答】解：∵底面直径为10cm，∴底面周长为10π，根据题意得10π=，解得n=120．故答案为：120．16．（2分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C=50°，则∠BAE=50°．【解答】解：根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，得∠BAE=∠C=50°．故答案是：50．17．（2分）如图，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，经过2或秒后，点P在⊙O上．【解答】解：设x秒后点P在圆O上，∵原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，∴当第一次点P在圆上时，（2+1）x=7﹣1=6解得：x=2；当第二次点P在圆上时，（2+1）x=7+1=8解得：x=答案为：2或；18．（2分）如图，平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线l分别与x轴、y轴相交于B、A两点，若OA=6，∠ABO=30°，点C在射线BA上以3厘米/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1厘米的⊙C．点P以2厘米/秒的速度在线段OA 上来回运动，过点P作直线l∥x轴．若点C与点P同时从点B、点O开始运动，设运动时间为t秒，则在整个运动过程中直线l与⊙C相切时t的值为2，，．【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，∵直线AB的解析式分别与x轴、y轴相交于B、A两点，OA=6，∠ABO=30°，∴OB=6．∵在Rt△AOB中，∠ABO=30°．∴在Rt△BCD中，BC=2CD．如图1，直线l与⊙C第一次相切，由题意得：OP=2t，BC=3t，∴CD=2t﹣1．∴3t=2（2t﹣1），解得：t=2．如图2，直线l与⊙C第二次相切，由题意得：OP=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，∴CD=12﹣2t﹣1．∴3t=2（12﹣2t﹣1），解得：t=．如图3，直线l与⊙C第三次相切，由题意得：OP=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BC=3t，∴CD=12﹣2t+1．∴3t=2（12﹣2t+1），解得：t=．综上所述：直线l与⊙C相切时t的值为：2，，．故答案为：2，，．三、解答题（本大题共10小题，共计84分．解答时应写出必要的证明过程或演算步骤．）19．（8分）解下列方程（1）2x2﹣2x﹣5=0（2）9（x+1）2﹣（x﹣2）2=0．【解答】解：（1）△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=44，x==所以x1=，x2=；（2）[3（x+1）﹣（x﹣2）][3（x+1）+（x﹣2）]=0，3（x+1）﹣（x﹣2）=0或3（x+1）+（x﹣2）=0，所以x1=，x2=．20．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x满足x2+x﹣2=0．【解答】解：（1﹣）÷﹣=（﹣）×﹣=×﹣=，由x2+x﹣2=0，得x1=1，x2=﹣2 （舍去），则原式==．21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．【解答】（1）证明：∵b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×（﹣k2）=36+4k2＞0因此方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x1+x2=﹣=﹣=6，又∵x1+2x2=14，解方程组解得：将x1=﹣2代入原方程得：（﹣2）2﹣6×（﹣2）﹣k2=0，解得k=±4．22．（6分）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．【解答】证明：连接AD，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SSS），∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴DE=DF．23．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，3）、B（﹣1，2）、C（﹣3，1），△ABC 绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．（1）在正方形网格中作出△A1B1C1；（2）在旋转过程中，点A经过的路径的长度为π；（结果保留π）（3）在y轴上找一点D，使DB+DB1的值最小，并求出D点坐标．【解答】解；（1）如图所示：（2）在旋转过程中，点A经过的路径的长度为：=π；故答案为：π；（3）∵B，B1在y轴两旁，连接BB1交y轴于点D，设D′为y轴上异于D的点，显然D′B+D′B1＞DB+DB1，∴此时DB+DB1最小，设直线BB1解析式为y=kx+b，依据题意得出：，解得：，∴y=﹣x+，∴D（0，）．24．（8分）如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且BD=2AD，双曲线y=（k＞0）经过点D，交BC于点E．（1）求双曲线的解析式；（2）求四边形ODBE的面积．【解答】解：（1）作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，如图，∵点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），∴BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3，∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴==，即==，∴DN=2，AN=1，∴ON=OA﹣AN=4，∴D点坐标为（4，2），把D（4，2）代入y=得k=2×4=8，∴反比例函数解析式为y=；（2）S=S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD四边形ODBE=×（2+5）×6﹣×|8|﹣×5×2=12．25．（10分）国家限购以来，二手房和新楼盘的成交量迅速下降．据统计，宁波六区限购前某季度二手房和新楼盘成交量为9500套．限购后，同一季度二手房和新楼盘的成交量共4425套．其中二手房成交量比限购前减少55%，新楼盘成交量比限购前减少52%．（1）问限购后二手房和新楼盘各成交多少套？（2）在成交量下跌的同时，房价也大幅跳水．某楼盘限购前均价为12000元/m2，限购后，无人问津，房价进行调整，二次下调后均价为7680元/m2，求平均每次下调的百分率？总理表态：让房价回归合理价位．合理价位为房价是可支配收入的3～6倍，假设宁波平均每户家庭（三口之家）的年可支配收入为9万元，每户家庭的平均住房面积为80m2，问下调后的房价回到合理价位了吗？请说明理由．【解答】解：（1）设限购前二手房成交x套，新楼盘成交y套，根据题意得：，解得：，4500×（1﹣55%）=2025（套），5000×（1﹣52%）=2400（套），答：限购后二手房和新楼盘各成交2025套和2400套．（2）设每次调价百分比为m，根据题意得：12000（1﹣m）2=7680，解得：m=0.2=20%，m=1.8（舍去），∵90000×6÷80=6750＜7680，∴没有到合理价位．答：平均每次下调的百分率是20%，没有到合理价位．26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．（1）求证：∠ACM=∠ABC；（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，又∵CM是⊙O的切线，∴OC⊥CM，∴∠ACM+∠ACO=90°，∵CO=AO，∴∠BAC=∠ACO，∴∠ACM=∠ABC；（2）解：∵BC=CD，∠ACB=90°，∴∠OAC=∠CAD，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OCA=∠CAD，∴OC∥AD，又∵OC⊥CE，∴AD⊥CE，∴△AEC是直角三角形，∴△AEC的外接圆的直径是AC，又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，∴△ABC∽△CDE，∴=，⊙O的半径为3，∴AB=6，∴=，∴BC2=12，∴BC=2，∴AC==2，∴△AEC的外接圆的半径为AC的一半，故△ACE的外接圆的半径为：．27．（12分）在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，AC=8；（1）如图①，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标；（2）定义：若以不在同一直线上的三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点，这样的圆叫做黄金圆．如图②，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动；求：当PQC三点恰好构成黄金圆时点P的坐标．【解答】解：（1）如图①，连接EG，由题意得：△AOE≌△AFE，∴∠EFG=∠OBC=90°，又∵E是OB的中点，∴EG=EG，EF=EB=4．在Rt△EFG和Rt△EBG中∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），∴∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，∴△AOE∽△AEG，∴AE2=AO⋅AG，即36+16=6×AG，AG=，可得：CG=，BG=．∴G的坐标为（8，）；（2）设运动的时间为t秒，当点C为圆心时，则CQ=CP，即：2t=10﹣4t，得到t=，此时CP=，AP=，P点坐标为．当点P为圆心时，则PC=PQ，如图②，过点Q作AC的垂线交AC于点E，CQ=10﹣4t，CP=2t，∵EQ∥AO，∴△CEQ∽△CAO，∴EQ=CQ=，PE=，则，化简得：36t2﹣140t+125=0，解得：（舍去），此时，AP=，P点坐标为，当点Q为圆心时，则QC=PQ，如备用图，过点Q作AC的垂线交AC于点F，CQ=10﹣4t，CP=2t，∵EQ∥AO，∴△CFQ∽△CAO，∴QF=，PF=．则，整理得，解得：（舍去）．此时，AP=，P点坐标为，综上所述，P点坐标为，，．28．（12分）如图1，小红将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=15，AD=12．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2）求FB的长度；（2）在（1）的条件下，小红想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了两种包裹的方法如图3、图4，请问哪种包裹纸片的方法使得未包裹住的面积大？（纸片厚度忽略不计）请你通过计算说服小红．【解答】解：（1）∵BE=AB=15，在直角△BCE中，CE===9∴DE=6，∵∠EAD+∠BAE=90°，∠BAE=∠BEF，∴∠EAD+∠BEF=90°，∵∠BEF+∠F=90°，∴∠EAD=∠F∵∠ADE=∠FBE∴△ADE∽△FBE，∴，，∴BF=30；（2）①如图1，将矩形ABCD和直角△FBE以CD为轴翻折，则△AMH即为未包裹住的面积，∵Rt△F′HN∽Rt△F′EG，∴=，即解得：HN=3，∴S=•AM•MH=×12×24=144；△AMH②如图2，将矩形ABCD和Rt△ECF以AD为轴翻折，∵Rt△GBE∽Rt△GB′C′，∴，即，解得：GB′=24，=•B′C′•B′G=×12×24=144，∴S△B′C′G∴按照两种包裹方法的未包裹面积相等．。
2014-2015年江苏省无锡市江阴市要塞片九年级上学期期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年江苏省无锡市江阴市要塞片九年级（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）1．（3分）关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3=0是一元二次方程，则m的取值是（）A．任意实数B．m≠1 C．m≠﹣1 D．m＞12．（3分）下列说法正确的有几个（）①经过三个点一定可以作圆；②任意一个圆一定有内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆并且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径必平分弦；⑤经过不在同一直线上的四个点一定可以作圆．A．3 B．2 C．1 D．03．（3分）若两圆的半径分别为4和3，圆心距为5，则这两圆的位置关系是（）A．内含B．相交C．内切D．外切4．（3分）方程（x﹣1）2=2的根是（）A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．，D．，5．（3分）一元二次方程x（x﹣3）=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根6．（3分）已知实数a，b分别满足a2﹣4a+6=0，b2﹣4b+6=0，且a≠b，则+的值（）A．1.5 B．﹣1.5 C．D．﹣7．（3分）为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，结果如下表：则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法错误的是（）A．平均数是4.6 B．中位数是4C．众数是5 D．调查了10户家庭的月用水量8．（3分）如图，⊙O上有两定点A与B，若动点P点从点B出发在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的关系可能是下列图形中的（）A．①或④B．①或③C．②或③D．②或④9．（3分）某地区2010年投入教育经费2500万元，预计到2012年共投入8000万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=8000B．2500x2=8000C．2500（1+x）2=8000D．2500（1+x）+2500（1+x）2=800010．（3分）如图所示，小范从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小范第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=48°，则α的度数是（）A．60°B．51°C．48°D．76°二．填空题（本大题共有8小题，每空2分，共20分．）11．（2分）方程x2=2的解是．12．（2分）100件某种产品中有五件次品，从中任意取一件，恰好抽到次品的概率是．13．（2分）一组数据1、3、2、﹣4、﹣2的极差等于．14．（4分）已知图中，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，且∠AOC=80°，则∠D=，∠CBE=．15．（2分）已知x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣1=0的一个根，则m=．16．（4分）已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长20πcm，则此扇形的半径是cm，面积是cm2．17．（2分）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，AC=8，则它的内切圆半径是．18．（2分）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2017的坐标为．三．解答题（共有10小题，共80分．）19．（8分）解方程：（1）x2+4x﹣1=0；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）．20．（6分）已知⊙O1经过A（﹣4，2）、B（﹣3，3）、C（﹣1，﹣1）、O（0，0）四点，一次函数y=﹣x﹣2的图象是直线l，直线l与y轴交于点D．（1）在如图的平面直角坐标系中画出直线l，则直线l与⊙O1的交点坐标为；（2）若⊙O1上存在点P，使得△APD为等腰三角形，则这样的点P有个，试写出其中一个点P坐标为．21．（8分）有5张形状、大小和质地都相同的卡片，正面分别写有字母：A，B，C，D，E和一个等式，背面完全一致．现将5张卡片分成两堆，第一堆：A，B，C；第二堆：D，E，并从第一堆中抽出第一张卡片，再从第二堆中抽出第二张卡片，背面向上洗匀．（1）请用画树形图或列表法表示出所有可能结果；（卡片可用A，B，C，D，E 表示）（2）将“第一张卡片上x的值是第二张卡片中方程的解”记作事件M，求事件M 的概率．22．（6分）某校从甲乙两名优秀选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛（100米记录为12.2秒，通常情况下成绩为12.5秒可获冠军）．该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：根据测试成绩，请你运用所学过的统计知识做出合理的判断，派哪一位选手参加比赛更好？为什么？23．（8分）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．24．（6分）已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．求证：（1）AD=BD；（2）DF是⊙O的切线．25．（6分）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？26．（10分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）27．（10分）在长方形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．（1）填空：BQ=，PB=（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．28．（12分）如图甲，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+8分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为2个单位长度．点P为直线y=﹣x+8上的动点，过点P 作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．（1）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；（2）求点P的坐标；（3）如图乙，若直线y=﹣x+b将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值；（4）向右移动⊙O（圆心O始终保持在x轴上），试求出当⊙O与直线y=﹣x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．2014-2015学年江苏省无锡市江阴市要塞片九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）1．（3分）关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3=0是一元二次方程，则m的取值是（）A．任意实数B．m≠1 C．m≠﹣1 D．m＞1【解答】解：根据一元二次方程的定义得：m+1≠0，即m≠﹣1，故选：C．2．（3分）下列说法正确的有几个（）①经过三个点一定可以作圆；②任意一个圆一定有内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆并且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径必平分弦；⑤经过不在同一直线上的四个点一定可以作圆．A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：①经过不在同一条直线上的三点确定一个圆，故①错误；②任意一个圆一定有内接三角形，一个圆有无数个内接三角形，故②错误；③任意一个三角形一定有一个外接圆并且只有一个外接圆，故③正确；④垂直于弦（不过圆心的弦）的直径必平分弦，故④错误；⑤经过不在同一条直线上的三点确定一个圆，故⑤错误；故选：C．3．（3分）若两圆的半径分别为4和3，圆心距为5，则这两圆的位置关系是（）A．内含B．相交C．内切D．外切【解答】解：∵两圆的半径分别为3和4，圆心距为5，又∵3+4=7，4﹣3=1，1＜5＜7，∴两圆的位置关系是相交．故选：B．4．（3分）方程（x﹣1）2=2的根是（）A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．，D．，【解答】解：x﹣1=±∴x=1±．故选：C．5．（3分）一元二次方程x（x﹣3）=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【解答】解：x（x﹣3）=0，x=0，x﹣3=0，x1=0，x2=3，即方程有两个不相等的实数根，故选：A．6．（3分）已知实数a，b分别满足a2﹣4a+6=0，b2﹣4b+6=0，且a≠b，则+的值（）A．1.5 B．﹣1.5 C．D．﹣【解答】解：∵a2﹣4a+6=0，b2﹣4b+6=0，且a≠b，∴a、b可看作方程x2﹣4x+6=0的两根，∴a+b=4，ab=6，∴原式===．故选：C．7．（3分）为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，结果如下表：则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法错误的是（）A．平均数是4.6 B．中位数是4C．众数是5 D．调查了10户家庭的月用水量【解答】解：A、这组数据的平均数是：（3×2+4×3+5×4+8×1）÷10=4.6，故本选项正确；B、把这组数据从小到大排列，最中间的两个数的平均数是（4+5）÷2=4.5，则中位数是4.5，故本选项错误；C、5出现了4次，出现的次数最多，则众数是5，故本选项正确；D、调查的户数是2+3+4+1=10，故本选项正确；故选：B．8．（3分）如图，⊙O上有两定点A与B，若动点P点从点B出发在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的关系可能是下列图形中的（）A．①或④B．①或③C．②或③D．②或④【解答】解：点P顺时针旋转时，AP长度慢慢增大；当A，O，P在一条直线上时，AP为圆O的直径，此时最大；继续旋转，当P，0，B在一条直线上时，AP和一开始的长度相同；当和点A重合时，距离为0；继续旋转，回到点B，AP长也回到原来的长度．①对；同理，逆时针旋转时，有3次AP长是相等的，最后回到原来的位置，③对．故选：B．9．（3分）某地区2010年投入教育经费2500万元，预计到2012年共投入8000万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=8000B．2500x2=8000C．2500（1+x）2=8000D．2500（1+x）+2500（1+x）2=8000【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，则2011的教育经费为：2500×（1+x）2012的教育经费为：2500×（1+x）2．那么可得方程：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=8000．故选：A．10．（3分）如图所示，小范从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小范第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=48°，则α的度数是（）A．60°B．51°C．48°D．76°【解答】解：连接OD，∵∠BAO=∠CBO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∵∠AOE=48°，∴∠AOB==78°，∴α==51°．故选：B．二．填空题（本大题共有8小题，每空2分，共20分．）11．（2分）方程x2=2的解是±．【解答】解：x2=2，x=±．故答案为±．12．（2分）100件某种产品中有五件次品，从中任意取一件，恰好抽到次品的概率是．【解答】解：100件某种产品中有五件次品，从中任意取一件，恰好抽到次品的概率是=．故答案为．13．（2分）一组数据1、3、2、﹣4、﹣2的极差等于7．【解答】解：由题意可知，数据中最大的值3，最小值﹣4，所以极差为3﹣（﹣4）=7．故答案为：7．14．（4分）已知图中，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，且∠AOC=80°，则∠D=40°，∠CBE=40°．【解答】解：在⊙O中，∵∠AOC=80°，∴∠D=40°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠CBA=140°，∴∠CBE=40°．故答案为：40°，40°．15．（2分）已知x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣1=0的一个根，则m= 0．【解答】解：把x=﹣1代入方程x2+mx﹣1=0得：1﹣m﹣1=0，解得：m=0．故答案为：0．16．（4分）已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长20πcm，则此扇形的半径是24cm，面积是240πcm2．【解答】解：设扇形的半径是r，则=20π解得：r=24．扇形的面积是：×20π×24=240π．故答案是：24和240π．17．（2分）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，AC=8，则它的内切圆半径是2．【解答】解：根据勾股定理得：AB==10，设三角形ABC的内切圆O的半径是r，∵圆O是直角三角形ABC的内切圆，∴OD=OE，BF=BD，CD=CE，AE=AF，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，∴四边形ODCE是正方形，∴OD=OE=CD=CE=r，∴AC﹣r+BC﹣r=AB，8﹣r+6﹣r=10，∴r=2，故答案为：2．18．（2分）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2017的坐标为（1010，0）．【解答】解：∵A3是第一与第二个等腰直角三角形的公共点，A5是第二与第三个等腰直角三角形的公共点，A7是第三与第四个等腰直角三角形的公共点，A9是第四与第五个等腰直角三角形的公共点，…，∵2017=1008×2+1，∴A2017是第1008个与第1009个等腰直角三角形的公共点，∴A2017在x轴正半轴，∵OA5=4，OA9=6，OA13=8，…，∴OA2017=（2017+3）÷2=1010，∴点A2017的坐标为（1010，0）．故答案为：（1010，0）．三．解答题（共有10小题，共80分．）19．（8分）解方程：（1）x2+4x﹣1=0；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）．【解答】解：（1）方程变形得：x2+4x=1，配方得：x2+4x+4=5，即（x+2）2=5，开方得：x+2=±，解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）方程变形得：3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，分解因式得：（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，解得：x1=2，x2=3．20．（6分）已知⊙O1经过A（﹣4，2）、B（﹣3，3）、C（﹣1，﹣1）、O（0，0）四点，一次函数y=﹣x﹣2的图象是直线l，直线l与y轴交于点D．（1）在如图的平面直角坐标系中画出直线l，则直线l与⊙O1的交点坐标为（﹣4，2），（﹣1，﹣1）；（2）若⊙O1上存在点P，使得△APD为等腰三角形，则这样的点P有3个，试写出其中一个点P坐标为（﹣3，﹣1）．【解答】解：（1）先在坐标系中找到A（﹣4，2），B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），O（0，0）的坐标，然后画圆，过此四点．一次函数y=﹣x﹣2，当x=0时，y=﹣2；当y=0时，x=﹣2，从坐标系中先找出这两点，画过这两点的直线．即是一次函数y=﹣x﹣2的图象．该直线与圆的交点是点A、C，它们的坐标分别是（﹣4，2）、（﹣1，﹣1）；故答案是：（﹣4，2）、（﹣1，﹣1）；（2）作AD的垂直平分线，与圆的交点是所求的坐标（根据垂直平分线上的两点到线段两端的距离相等），以点D为圆心，以DA为半径画弧，弧与⊙O1的交点是A点和P3点，从图中可以看出这样的点有三个坐标，可求的其中一个是（﹣3，﹣1）．故答案是：2；（﹣3，﹣1）．21．（8分）有5张形状、大小和质地都相同的卡片，正面分别写有字母：A，B，C，D，E和一个等式，背面完全一致．现将5张卡片分成两堆，第一堆：A，B，C；第二堆：D，E，并从第一堆中抽出第一张卡片，再从第二堆中抽出第二张卡片，背面向上洗匀．（1）请用画树形图或列表法表示出所有可能结果；（卡片可用A，B，C，D，E 表示）（2）将“第一张卡片上x的值是第二张卡片中方程的解”记作事件M，求事件M 的概率．【解答】解：（1）画树形图得：共有6种等可能情况，（A，D）（A，E）（B，D）（B，E）（C，D）（C，E）；（2）由（1）中的树形图可知符合条件的有3种，P（事件M）=．22．（6分）某校从甲乙两名优秀选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛（100米记录为12.2秒，通常情况下成绩为12.5秒可获冠军）．该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：根据测试成绩，请你运用所学过的统计知识做出合理的判断，派哪一位选手参加比赛更好？为什么？【解答】解：秒秒，，推荐甲参加全市比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的8次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．23．（8分）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，解得k≤0．故K的取值范围是k≤0．（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1，x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0．∵k为整数，∴k的值为﹣1或0．24．（6分）已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．求证：（1）AD=BD；（2）DF是⊙O的切线．【解答】证明：（1）连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB．∵AC=BC，∴AD=BD．（2）连接OD；∵AD=BD，OB=OC，∴OD是△BCA的中位线，∴OD∥AC．∵DE⊥AC，∴DF⊥OD．∵OD为半径，∴DF是⊙O的切线．25．（6分）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？【解答】解：设购买了x件这种服装且多于10件，根据题意得出：[80﹣2（x﹣10）]x=1200，解得：x1=20，x2=30，当x=20时，80﹣2（20﹣10）=60元＞50元，符合题意；当x=30时，80﹣2（30﹣10）=40元＜50元，不合题意，舍去；答：她购买了20件这种服装．26．（10分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）【解答】解：（1）BC所在直线与小圆相切．理由如下：过圆心O作OE⊥BC，垂足为E；∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，∴OA⊥AC；又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，∴OE=OA，∴BC所在直线是小圆的切线．（2）AC+AD=BC．理由如下：连接OD．∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，∴CE=CA；∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，，∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），∴EB=AD；∵BC=CE+EB，∴BC=AC+AD．（3）∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，∴AC=6cm；∵BC=AC+AD，∴AD=BC﹣AC=4cm，∵圆环的面积为：S=π（OD）2﹣π（OA）2=π（OD2﹣OA2），又∵OD2﹣OA2=AD2，∴S=42π=16π（cm2）．27．（10分）在长方形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．（1）填空：BQ=2tcm，PB=（5﹣t）cm（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，∴AP=tcm，∵AB=5cm，∴PB=（5﹣t）cm，∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，∴BQ=2tcm；（2）由题意得：（5﹣t）2+（2t）2=52，解得：t1=0，t2=2；当t=0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm；（3）存在t=1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．理由如下：长方形ABCD的面积是：5×6=30（cm2），使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30﹣26=4（cm2），（5﹣t）×2t×=4，解得：t1=4（不合题意舍去），t2=1．即当t=1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2．28．（12分）如图甲，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+8分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为2个单位长度．点P为直线y=﹣x+8上的动点，过点P 作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．（1）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；（2）求点P的坐标；（3）如图乙，若直线y=﹣x+b将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值；（4）向右移动⊙O（圆心O始终保持在x轴上），试求出当⊙O与直线y=﹣x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．【解答】解：（1）四边形OCPD是正方形．证明过程如下：如图甲，连接OC、OD，∵PC、PD是⊙O的两条切线，∴∠PCO=∠PDO=90°．又∵PC⊥PD，∴四边形OCPD是矩形，又∵OC=OD，∴四边形OCPD是正方形；（2）如图甲，过P作x轴的垂线，垂足为F，连接OP．∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°，∴OD=PD=2，OP=2，∵P在直线y=﹣x+8上，设P（m，﹣m+8），则OF=m，PF=﹣m+8，∵∠PFO=90°，OF2+PF2=PO2，∴m2+（﹣m+8）2=（2）2，解得m=2或6，∴P的坐标为（2，6）或（6，2）；（3）设直线y=﹣x+b与圆交与点E，F，若直线y=﹣x+b将⊙O的圆周分成两段弧长之比为1：3，则∠EOF=90°，∴OE=OF=|b|，∴|b|=2，解得b=±2；（4）设向右移动⊙O到O′时，⊙O′与直线y=﹣x+8相切，切点为D，如图3，∴O′D⊥AB，由直线y=﹣x+8可知A（8，0），B（0，﹣8），∴OA=OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠OAB=45°，∴△O′AD是等腰直角三角形，∴O′D=AD=2，∴O′A=2，∴OO′=8﹣2或8+2，∴当⊙O与直线y=﹣x+8相交时圆心O的横坐标m的取值范围为：8﹣2≤m ≤8+2．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
【解析版】2014-2015年无锡市江阴二中九年级上期中数学试卷
2014-2015学年江苏省无锡市江阴二中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．在下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )A．B．C．D．2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，变形正确的是( )A．（x﹣2）2=9 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x+1）2=63．⊙A半径为5，圆心A的坐标为（1，0），点P的坐标为（﹣2，4），则点P与⊙A的位置关系是( )A．点P在⊙A上B．点P在⊙A内C．点P在⊙A外D．点P在⊙A上或外4．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为( )A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5．已知一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为( ) A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．66．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是( )A．3 B．6 C．9 D．127．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是( )A．CM=DM B．=C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD8．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，则cos∠AOB的值是( )A．B．C．D．9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan∠DBA=，则AD的长为( )A．2 B．C．D．110．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣3，1），点C的纵坐标是7，则B、C两点的坐标分别是( )A．（2，6）、（﹣1，7）B．（2，6）、（，7）C．（，）、（，7）D．（，）、（，7）二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）11．方程（x﹣1）2=4的解为__________．12．函数y=中，自变量x的取值范围是__________．13．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是__________．14．一个三角形的两边长分别为4cm和7cm，第三边长是一元二次方程x2﹣10x+21=0的实数根，则三角形的周长是__________cm．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosB=，则AC的长为__________．16．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是__________．17．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB 的长为__________．18．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为__________．三、解答题（本大题共10小题，共84分．）19．计算：（1）|2﹣3|﹣+（2）+sin45°cos45°．20．解下列方程：（1）x2﹣3x=2（2）x2﹣5x+6=0（3）（3x+1）2=4（x﹣2）2．21．先化简，再求值：（﹣）÷，其中，a是方程x2+3x+1=0的根．22．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C 与船B的距离是多少．（结果保留根号）23．雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？24．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y=的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．（1）填空：双曲线的另一支在第__________象限，k的取值范围是__________；（2）若点C的坐标为（1，1），请用含有k的式子表示阴影部分的面积S．并回答：当点E 在什么位置时，阴影部分面积S最小？（3）若=，S△OAC=2，求双曲线的解析式．27．阅读材料：例：说明代数式+的几何意义，并求它的最小值．解：+=+，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值为3．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B__________的距离之和．（填写点B的坐标）（2）代数式+的最小值．28．如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积；（2）动点P从点B出发，以2个单位/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以2个单位/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．2014-2015学年江苏省无锡市江阴二中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．在下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )A．B．C．D．考点：同类二次根式．分析：先把各根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同即可．解答：解：A、=3与被开方数不同，不是同类二次根式；B、=2与被开方数不同，不是同类二次根式；C、=3与被开方数相同，是同类二次根式；D、与被开方数不同，不是同类二次根式．故选C．点评：此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，变形正确的是( )A．（x﹣2）2=9 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x+1）2=6考点：解一元二次方程-配方法．分析：先移项，再配方，即可得出答案．解答：解：x2﹣2x﹣5=0，x2﹣2x=5，x2﹣2x+1=1+5，（x﹣1）2=6，故选B．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，即加上一次项系数一半的平方，难度适中．3．⊙A半径为5，圆心A的坐标为（1，0），点P的坐标为（﹣2，4），则点P与⊙A的位置关系是( )A．点P在⊙A上B．点P在⊙A内C．点P在⊙A外D．点P在⊙A上或外考点：点与圆的位置关系；坐标与图形性质．专题：计算题．分析：先根据两点间的距离公式计算出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．解答：解：PA==5，∵⊙A半径为5，∴点P点圆心的距离等于圆的半径，∴点P在⊙A上．故选A．点评：本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了坐标与图形性质．4．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为( )A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根考点：根的判别式．专题：计算题．分析：先计算判别式得到△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．解答：解：根据题意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：B．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．已知一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为( ) A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=1，再把x12x2+x1x22分解因式，然后利用整体代入的方法计算即可．解答：解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=1，所以x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=1×3=3．故选B．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．6．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△A BC的面积是3，则△A′B′C′的面积是( )A．3 B．6 C．9 D．12考点：位似变换．分析：利用位似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案．解答：解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC 的面积是3，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，则△A′B′C′的面积是：12．故选：D．点评：此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键．7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是( )A．CM=DM B．=C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD考点：垂径定理．专题：计算题．分析：由直径AB垂直于弦CD，利用垂径定理得到M为CD的中点，B为劣弧的中点，可得出A和B选项成立，再由AM为公共边，一对直角相等，CM=DM，利用SAS可得出三角形ACM与三角形ADM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出选项C成立，而OM不一定等于MD，得出选项D不成立．解答：解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；B为的中点，即=，选项B成立；在△ACM和△ADM中，∵，∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；而OM与MD不一定相等，选项D不成立．故选：D点评：此题考查了垂径定理，以及全等三角形的判定与性质，垂径定理为：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．8．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，则cos∠AOB的值是( )A．B．C．D．考点：圆周角定理；特殊角的三角函数值．分析：由点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，根据圆周角定理，即可求得∠AOB的度数，继而求得cos∠AOB的值．解答：解：∵点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，∴∠AOB=2∠ACB=60°，∴cos∠AOB=．故选C．点评：此题考查了圆周角定理以及特殊角的三角函数值．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan∠DBA=，则AD的长为( )A．2 B．C．D．1考点：解直角三角形．分析：想要求AD的长，求CD的长即可，根据tan∠DBA=和tan45°=1，即可求得tan∠CBD的值，即可解题．解答：解：∵∠CBD+∠DBA=∠ABC=45°，∴tan∠ABC==1，∵tan∠DBA=，∴tan∠CBD=，∴CD=BC•tan∠CBD=2，∴AD=3﹣2=1．故选D．点评：本题考查了直角三角形中正切值的运用，考查了两角和的正切公式，熟练运用两角和的正切公式是解题的关键．10．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣3，1），点C的纵坐标是7，则B、C两点的坐标分别是( )A．（2，6）、（﹣1，7）B．（2，6）、（，7）C．（，）、（，7）D．（，）、（，7）考点：矩形的性质；坐标与图形性质．分析：首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．解答：解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，∴∠CAF=∠BOE，在△ACF和△OBE中，，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE=CF=7﹣1=6，∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，∴∠AOD=∠OBE，∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△AOD∽△OBE，∴=，即=，∴OE=2，即点B（2，6），∴AF=OE=2，∴点C的横坐标为：﹣3+2=﹣1，∴点C（﹣1，7）．故选：A．点评：此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）11．方程（x﹣1）2=4的解为﹣1或3．考点：解一元二次方程-直接开平方法．分析：方程左边是一个完全平方式，右边是个常数，可用直接开平方法进行求解．解答：解：（x﹣1）2=4，x﹣1=±2，即x﹣1=2或x﹣1=﹣2，解得：x1=3，x2=﹣1．点评：解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而求解．12．函数y=中，自变量x的取值范围是x≤3．考点：函数自变量的取值范围．专题：计算题．分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，3﹣x≥0，解得x≤3．故答案为：x≤3．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．13．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是﹣1．考点：一元二次方程的解．分析：根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．解答：解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．∴a2﹣1=0，且a≠1．解得a=﹣1．故答案是：﹣1．点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．14．一个三角形的两边长分别为4cm和7cm，第三边长是一元二次方程x2﹣10x+21=0的实数根，则三角形的周长是18cm．考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．专题：计算题．分析：利用因式分解法求出方程的解确定出第三边，求出周长即可．解答：解：方程x2﹣10x+21=0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣7）=0，解得：x=3或x=7，当x=3时，三角形三边分别为3cm，4cm，7cm，3+4=7，不合题意，舍去；当x=7时，三角形三边为4cm，7cm，7cm，此时周长为4+7+7=18cm，故答案为：18点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及三角形三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosB=，则AC的长为6．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．分析：首先根据三角函数值计算出BC长，再利用勾股定理可计算出AC长．解答：解：∵AB=10，cosB=，∴BC=10×=8，∴AC==6，故答案为：6．点评：此题主要考查了三角函数，以及勾股定理，关键是掌握锐角三角函数定义．16．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是6．考点：垂径定理；勾股定理．专题：压轴题．分析：连接AO，得到直角三角形，再求出OD的长，就可以利用勾股定理求解．解答：解：连接AO，∵半径是5，CD=1，∴OD=5﹣1=4，根据勾股定理，AD===3，∴AB=3×2=6，因此弦AB的长是6．点评：解答此题不仅要用到垂径定理，还要作出辅助线AO，这是解题的关键．17．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB 的长为6m．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：根据斜面坡度为1：2，斜坡AB的水平宽度为12米，可得AC=12m，BC=6m，然后利用勾股定理求出AB的长度．解答：解：∵斜面坡度为1：2，AC=12m，∴BC=6m，则AB===（m）．故答案为：6m．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．18．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．考点：垂径定理；垂线段最短；勾股定理．专题：计算题．分析：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，由Rt△ADB为等腰直角三角形，则AD=BD=1，即此时圆的直径为1，再根据圆周角定理可得到∠EOH=60°，则在Rt△EOH中，利用锐角三角函数可计算出EH=，然后根据垂径定理即可得到EF=2EH=．解答：解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=，∴AD=BD=1，即此时圆的直径为1，∵∠EOF=2∠BAC=120°，而∠EOH=∠EOF，∴∠EOH=60°，在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=•sin60°=，∵OH⊥EF，∴EH=FH，∴EF=2EH=，即线段EF长度的最小值为．故答案为．点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了垂线段最短和解直角三角形．三、解答题（本大题共10小题，共84分．）19．计算：（1）|2﹣3|﹣+（2）+sin45°cos45°．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）根据绝对值的性质，有理数的负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，二次根式的性质进行计算即可得解；（2）把30°、45°、60°的特殊三角函数值代入进行计算即可得解．解答：解：（1）|2﹣3|﹣（﹣）﹣2+，=3﹣2﹣4+3，=﹣1；（2）+sin45°cos45°，=+×，=1+，=．点评：本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数，是基础题，是需要熟记的知识．20．解下列方程：（1）x2﹣3x=2（2）x2﹣5x+6=0（3）（3x+1）2=4（x﹣2）2．考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：（1）先把方程化为一般式，然后根据求根公式法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）先移项得到（3x+1）2﹣4（x﹣2）2=0，然后利用因式分解法解方程．解答：解：（1）x2﹣3x﹣2=0，△=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=17，所以x=，所以；（2）（x﹣2）（x﹣3）=0，x﹣2=0或x﹣3=0，所以x1=2，x2=3；（3）（3x+1）2﹣4（x﹣2）2=0，（3x+1+2x﹣4）（3x+1﹣2x+4）=0，3x+1+2x﹣4=0或3x+1﹣2x+4=0，所以x1=，x2=﹣5．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．也考查了公式法解一元二次方程．21．先化简，再求值：（﹣）÷，其中，a是方程x2+3x+1=0的根．考点：分式的化简求值；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a代入方程求出a2+3a的值，代入计算即可求出值．解答：解：原式=[+]÷=（+）•=•=，∵a是方程x2+3x+1=0的根，∴a2+3a=﹣1，则原式=﹣．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C 与船B的距离是多少．（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：压轴题．分析：首先过点B作BD⊥AC于D，由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，则可求得∠ACB的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案．解答：解：过点B作BD⊥AC于D．由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=30°，在Rt△ABD中，BD=AB•sin∠BAD=20×=10（海里），在Rt△BCD中，BC===20（海里）．答：此时船C与船B的距离是20海里．点评：此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．23．雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）2=第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；（2）第三天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．解答：解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，10000×（1+x）2=12100，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）；答：捐款增长率为10%．（2）12100×（1+10%）=13310元．答：第四天该单位能收到13310元捐款．点评：本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2=第三天收到捐款钱数．24．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：（1）方程有两个实数根，可得△=b2﹣4ac≥0，代入可解出k的取值范围；（2）结合（1）中k的取值范围，由题意可知，x1+x2=2（k﹣1）＜0，去绝对值号结合等式关系，可得出k的值．解答：解：（1）由方程有两个实数根，可得△=b2﹣4ac=4（k﹣1）2﹣4k2=4k2﹣8k+4﹣4k2=﹣8k+4≥0，解得，k≤；（2）依据题意可得，x1+x2=2（k﹣1），x1•x2=k2，由（1）可知k≤，∴2（k﹣1）＜0，x1+x2＜0，∴﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=x1•x2﹣1，∴﹣2（k﹣1）=k2﹣1，解得k1=1（舍去），k2=﹣3，∴k的值是﹣3．答：（1）k的取值范围是k≤；（2）k的值是﹣3．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种经常使用的解题方法；注意k的取值范围是正确解答的关键．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证；（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．解答：（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，∴AP=AP′，∴∠APP′=∠AP′P，∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠ABP；（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP，∵P′E⊥AC，∴∠EAP′+∠AP′E=90°，又∵∠PAD+∠EAP′=90°，∴∠PAD=∠AP′E，在△APD和△P′AE中，，∴△APD≌△P′AE（AAS），∴AE=DP，∴AE=CP；（3）解：∵=，∴设CP=3k，PE=2k，则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，在Rt△AEP′中，P′E==4k，∵∠C=90°，P′E⊥AC，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠EPP′=90°，∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠EP′P，又∵∠CBP=∠ABP，∴∠ABP=∠EP′P，又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，∴△ABP′∽△EPP′，∴=，即=，解得P′A=AB，在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2，即AB2+AB2=（5）2，解得AB=10．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DP并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出P′A=AB是解题的关键．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y=的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．（1）填空：双曲线的另一支在第三象限，k的取值范围是k＞0；（2）若点C的坐标为（1，1），请用含有k的式子表示阴影部分的面积S．并回答：当点E 在什么位置时，阴影部分面积S最小？（3）若=，S△OAC=2，求双曲线的解析式．考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义．分析：（1）根据反比例函数图象与性质得到：双曲线y=的一支在第一象限，则k＞0，得到另一支在第三象限；（2）根据梯形的性质，AC∥x轴，BC⊥x轴，根据点C的坐标为（1，1），可得A点的纵坐标为1，E点的横坐标为1，B点坐标为（1，0），然后表示出A、E的坐标，S阴影部分=S△ACE+S△OBE，再代入相应数值可得s=（k﹣）2+，再根据二次函数的最值可得答案；（3）设D点坐标为（a，），然后表示出C点坐标为（2a，），再表示出A点坐标，根据三角形面积公式由S△OAC=2得到×（2a﹣）×=2，然后解方程即可求出k的值，然后可得解析式．解答：解：（1）三，k＞0；（2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，∵点C的坐标为（1，1），∴A点的纵坐标为1，E点的横坐标为1，B点坐标为（1，0），把y=1代入y=得x=k；把x=1代入y=得y=k，∴A点的坐标为（k，1），E点的坐标为（1，k），∴S阴影部分=S△ACE+S△OBE=×（1﹣k）×（1﹣k）+×1×k，=k2﹣k+，=（k﹣）2+，当k﹣=0，即k=时，S阴影部分最小，最小值为；∴E点的坐标为（，1），即E点为BC的中点，∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小；（3）设D点坐标为（a，），∵=，∴2OD=OC，即D点为OC的中点，∴C点坐标为（2a，），∴A点的纵坐标为，把y=代入y=得x=，∴A点坐标为（，），∵S△OAC=2，∴×（2a﹣）×=2，∴k=，∴双曲线的解析式为y=点评：本题考查了反比例函数综合题：当k＞0时，反比例函数y=（k≠0）的图象分布在第一、三象限；点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；运用梯形的性质得到平行线段，从而找到点的坐标特点．27．阅读材料：例：说明代数式+的几何意义，并求它的最小值．解：+=+，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3，即原式的最小值为3．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）或（2，﹣3）的距离之和．（填写点B的坐标）（2）代数式+的最小值．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：（1）先把原式化为+的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；（2）先把原式化为+的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．解答：解：（1）∵原式化为+的形式，∴代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）的距离之和，故答案为（2，3）；（2）∵原式化为+的形式，∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，。
江阴初三期中数学试卷答案
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2014~2015学年度 江阴市2015届九年级第一次模拟考试数学试题及答案
14．若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k－1=0有两个实数根，则k的取值范围是▲．
15．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3∶4，则菱形的面积为____▲____cm2．
16．如图，正△ABC的边长为9cm，边长为3cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为2π____▲____cm．（结果保留π）
①在一个不透明的袋子中装一个红球（苏州）、一个白球（常州）、一个黄球（上海）和一个黑球（南京），这四个球除颜色不同外，其余完全相同；
②小英父亲先将袋中球摇匀，让小英从袋中随机摸出一球，父亲记录下其颜色，并将这个球放回袋中摇匀，然后让小英母亲从袋中随机摸出一球，父亲记录下它的颜色；
③若两人所摸出球的颜色相同，则去该球所表示的城市旅游，否则，前面的记录作废，按规则②重新摸球，直到两人所摸出球的颜色相同为止．
正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线交
直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B、
BA为邻边作□ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1、B1A1为邻边
作□A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则Cn的坐标是（▲ ）
A．（﹣ ×4n，4n）B．（﹣ ×4n-1，4n-1）
C．（﹣ ×4n﹣1，4n） D．（﹣ ×4n，4n-1）
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处）
无锡市2015届九年级上期中考试数学试题及答案
学校 班级 姓名 考试号………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（第4题图）（第5题图）（第7题图）2014～2015学年第一学期期中试卷初三数学 2014.11（考试时间：120分钟 满分：130分）一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）1．下列方程中，一元二次方程的是…………………………………………………（ ）A .3x －2x ＝0 B .x (x －1)＝1 C .x 2＝(x －1)2 D .ax 2＋bx ＋c ＝02．若△ABC ∽△DEF ，相似比为1:2．若BC ＝1，则EF 的长是…………………（ ）A . 12 B . 1 C . 2 D . 43．原价168元的商品连续两次降价a %后售价为128元，下列方程正确的是…（ ）A . 128(1＋a %)2＝168B . 168(1－a 2%)＝128C . 168(1－2a %)＝128D . 168(1－a %)2＝1284．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为（ ）A .2B .4C .6D .85．如图，在⊙O 中，AB 是直径，BC 是弦，点P 是 ⌒BC上任意一点．若AB ＝5，BC ＝3，则AP 的长不可能为………………………………………………………………（ ） A . 3 B . 4 C . 4.5 D . 56．已知扇形的圆心角为45º，半径长为12，则该扇形的弧长为…………………（ ）A . 34π B . 2π C . 3π D . 12π7．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接OC 交⊙O 于点D ，连接BD ， ∠C ＝40º，则∠ABD 的度数是……………………………………………………（ ） A . 25º B . 20º C .30º D .15º8．如图，边长为a 的正六边形内有两个三角形（数据如图），则S 阴影S 空白的值为……（ ）A . 3B . 4C . 5D . 69．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB ＝9，BD ＝3，则CF 等于…………………………………………………………（ ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 410．如图，Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AD 交AB 于点E ，M 为AE 的中点，BF ⊥BC 交CM 的延长线于点F ，BD ＝4，CD ＝3．下列结论：①∠AED ＝∠ADC ；②DEDA ＝12；③AC ·BE ＝12；④3BF ＝4AC ．其中正确结论的个数有（ ）（第8题图）（第9题图）FB A CD E M（第10题图）（第15题图）（第14题图）（第16题图）（第17题图）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分.）11．方程x 2＝0的解是 .12．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2＝1的一个根为0，则a ＝ .13．若一元二次方程mx 2＝n （mn ＞0）的两个根分别是k ＋1与2k －4，则nm ＝ .14．如图，已知AB 是△ABC 外接圆的直径，∠A ＝35º，则∠B 的度数是 . 15．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ．若AD ＝4，DB ＝2，则DEBC的值为 .16．如图，AB 、AC 、BD 是⊙O 的切线，P 、C 、D 为切点，如果AB ＝5，AC ＝3，则BD 的长为 . 17．如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E ，AD :DE ＝3:5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于 .18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以BC 为直径的半圆交AB 于点D ，P 是 ⌒CD上的一个动点，连接AP ，则AP 的最小值是 .19．如图，A 、B 、C 、D 依次为一直线上4个点，BC ＝2，△BCE 为等边三角形，⊙O 过A 、D 、E 3点，且∠AOD ＝120º．设AB ＝x ，CD ＝y ，则y 与x 的函数关系式为 .20．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝8，E 是边AB 上一点，且AE ＝14AB ．⊙O 经过点E ，与边CD 所在直线相切于点G （∠GEB 为锐角），与边AB 所在直线交于另一点F ，且 EG :EF ＝5:2．当边AD 或BC 所在的直线与⊙O 相切时，AB 的长是 .三．解答题（本大题共8小题，共80分. 解答需写出必要的文字说明或演算步骤）21．（16分）解方程：（1）x 2－5x －6＝0 （2）2x 2－4x －1＝0（3）(x －7)2＋2(x －7)＝0 （4）(3x ＋2)2＝4(x －3)2（第19题图）（第18题图） （第20题图）C B F E AD G O ·22．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2－1＝0. （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足(x 1－x 2)2＝16－x 1x 2，求实数m 的值.23．（8分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且∠D ＝2∠A ．（1）求∠D 的度数；（2）若CD ＝2，求BD 的长．24．（10分）如图，在□ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD 于E ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C . （1）求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB ＝4，∠BAE ＝30º，求AE 的长； （3）在（1）（2）的条件下，若AD ＝3，求BF 的长.25．（8分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？ACEF DBOABCDP。
江阴 2014—2015学年第一学期初三数学期中考试试卷
江阴 2014—2015学年第一学期初三数学期中考试试卷（注意：1.请考生将答案写在答题卷相应区域；2.本卷满分130分，考试时间120分钟。
）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．下列线段能构成比例线段的是 （ ▲ ）A ．1,2,3,4B ．1,2 ,2 ,2C ．2,5,3,1D ．2, 5, 3, 4 2．下列方程中，是一元二次方程的有（ ▲ ）①223x x x +=②270x = ③21252x x -= ④ 2250x y -= A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．一元二次方程x 2－5x +7=0根的情况是 （ ▲ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定4．如图，已知21∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法．．判定ABC △∽ADE △的是（ ▲ ） A ．AEAC ADAB = B ．DEBC ADAB =C ．D B ∠=∠ D ．AED C ∠=∠5．若12,x x 是方程2630x x -+=的两个根，则12x x +的值为( ▲ )A. 6B.6-C. 3D.3-6．某商品原价500元，连续两次降价%a 后售价为200元， 下列所列方程正确的是（ ▲ ） A ．200%)1(5002=+a B ．200%)1(5002=-a C ．200%)21(500=-a D ．200%)1(5002=-a 7．下列说法不正确．．．的是（ ▲ ） A ．半圆（或直径）所对的圆周角是直角 B.等边三角形的重心与外心重合C ．相等的弧所对的圆心角相等 D.平分弦的直径垂直于弦8．如图，在平面直角坐标系中，过格点A 、B 、C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ▲ ）A ．点（0，3）B ．点（2，3）C ．点（5，1）D ．点(6，1)9．如图，已知矩形A BCD ∽矩形ECDF ，且A B=BE ，那么BC 与A B 的比值是( ▲ )A.122+B.132+C.152+ D.162+10．李老师从“淋浴龙头”受到启发．编了一个题目：在数轴上截取从0到3的对应线段AB ，实数m 对应AB 上的点M ，如图1；将AB 折成正三角形，使点A ，B 重合于点P ，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y 轴对称，且点P 的坐标为（0，2），PM CBA E 12D（第4题图）FEDCBAxy11BCA（第8题图） (第9题图）A 、324-B 、432-C 、332-D 、332二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共18分．）11．在比例尺为1∶2000000的地图上，量得M 、N 两地的距离为2.5cm ，则这两地间的实际距离为__▲__千米． 12．已知x =－2是方程x 2+mx －6=0的一个根，则方程另一根为 ▲ .13．给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有_▲ _（填序号）．14．如图，⊙O 是ABC △的外接圆，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为 ▲ cm ．15．如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E ，AD ＝4，BC ＝8，BD :DC ＝5:3，则DE 的长等于 ▲ ． 16．已知圆内一点P 到圆上各点的距离中最短距离为2cm ，最长距离为8cm ，则过P 点的最短弦长为 ▲ ． 17．某班师生十年后再次聚会,见面时相互握手一次,共握手820次,问原来班级师生 ▲ 人.18．如图，已知AB 是半圆的直径，且AB=10，弦AC=6，将半圆沿过点A 的直线折叠，使点C 落在直径AB 上的点C′，则折痕AD 的长为 ▲ ．三、解答题（本大题共8小题，共82分．）19．（本题满分16分）解下列方程： （1）x 2－4=0 （2） 2y 2－3=4y （配方法）(3)3y (y －1)＝2(y －1) (4) (x －1)(x ＋2)＝7020.（本题满分6分）在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中a=5，若关于x 的方程x 2+(b +2)x +6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长． （第14题图） （第15题图） （第18题图）C'ADO BC（第10题图）21．（本题满分10分）已知，如图，直线MN 交⊙O 于A ，B 两点，AC 是直径，AD 平分∠CAM 交⊙O 于D ，过D 作DE ⊥MN 于E（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若DE=6cm ，AE=3cm ，求⊙O 的半径．22.（本题满分10分） 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题。
江阴初级中学2014-2015学年第二学期期中考试初三数学试卷(附答案、答卷纸)
江阴初级中学2014-2015学年第二学期期中考试初三数学试卷（满分130分，考试时间为120分钟）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．23-的相反数是 ( ▲ )A ．32B ．32-C ．23D ．23-2．下列运算正确的是 ( ▲ )A ．236x x x ⋅=B ．22124x x --=- C ．235()x x -= D ．22223x x x --=-3．如图所示的支架是由两个长方体构成的组合体，则它的主视图是 ( ▲ )4．□ABCD 的对角线交于点O ，下列结论错误的是 ( ▲ ) A ．△AOB≌△BOC B ．△AOB≌△CODC ．□ABCD 是中心对称图形 D ．△AOB 与△BOC 的面积相等5．分解因式2x 2—4x+2的最终结果是 ( ▲ )A ．2x(x －2)B ．2(x 2－2x+1)C ．(2x －2)2D ． 2(x －1)26．以下数据是10名学生测试跳绳项目的成绩（单位：个/分钟）: 176、180、184、180、170、176、172、164、186、180,则该组数据的众数、中位数、平均数分别为( ▲ ) A ．180、180、178 B ．180、178、178 C ．180、178、176.8 D ．178、180、176.8 7．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为10 cm ，圆心角为252°的扇形，则该圆锥的底面半径为 ( ▲ ) A ． 6 cm B ．7 cm C ．8 cm D ．10 cm8．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，以AB 为直径的⊙O 与CD 相切于E ，与BC 相交于F ，若AB=8，AD=2，则图中两阴影部分面积之和为 ( ▲ )A.C.3D.9．如图，已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC ，A 点的坐标为（10，0），对角线OB 、AC 相交于D 点，双曲线y ＝kx（x ＞0）经过D 点，交BC 的延长线于E 点，且OB •AC ＝160，有下列四个结论：①双曲线的解析式为y ＝40x（x ＞0）；②E 点的坐标是（5，8）；③sin∠COA ＝45；④AC ＋OB ＝125．其中正确的结论有 ( ▲ )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于 ( ▲ )A．3 D ．4（第8题图） （第9题图） （第10题图）二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11．5-的值等于 ▲ ．12．“辽宁号”航母是中国海军航空母舰的首舰，标准排水量57000吨，满载排水量67500吨，数据67500用科学记数法表示为 ▲ ． 13.函数x y -=3中自变量x 的取值范围是 ▲ ． 14.请写出一个无理数，使它是大于2-的负数： ▲ ．15.正六边形的每一个内角的度数是 ▲ °．16.如图，△ABC 中，CD⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，∠B=45°，若AD=6，DE=5，则BC 的长等于 ▲ ．（第16题图） （第17题图） （第18题图） 17.如图，直线x y 3=，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线交直线于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ，…，按此做法进行下去，点n A的坐标为 ▲ ．A DA E CB18.如图，在锐角△ABC 中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转,得到△111C B A ．点E 为线段AB 中点,点P 是线段AC 上的动点,在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中,点P 的对应点是点1P ,线段1EP 长度的最小值是 ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.（本题满分6分）计算：（1）()023200921)1(---+- （2）1a 21a 2a 2-+++20．（本题满分8分）（1）解方程：05x 6x 2=+-（2）解不等式组(1)(2)3(1)42,1.23x x x x +>+⎧⎪-⎨≥⎪⎩21．（本题满分6分）如图，在□ABCD 中，AE 、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC ，交CD 于点E 、F ，AE 、BF 相交于点M ．（1）试说明：AE ⊥BF ；（2）判断线段DF 与CE 的大小关系，并说明理由．22．（本题满分8分）如图，有一游戏棋盘和一个质地均匀的正四面体骰子（各面依次标有1，2，3，4四个数字）．游戏规则是游戏者每掷一次骰子，棋子按着地一面所示的数字前进相应的格数．例如：若棋子位于A 处，游戏者所掷骰子着地一面所示数字为3，则棋子由A 处前进3个方格到达B 处．请用画树形图法（或列表法）求掷骰子两次后，棋子恰好由A 处前进6个方格到达C 处的概率．MF E D CBA23．（本题满分8分）初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此无锡市教育局对我市部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A 级：对学习很感兴趣；B 级：对学习较感兴趣；C 级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了 名学生；（2）将图①补充完整；（3）求出图②中C 级所占的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近80000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A 级和B 级）？24．（本题满分8分）耘耙是一种清除水稻成长期缝隙间杂草的传统农具,大小款式不一，图1是其中的一种,图2是其示意图,现测得AC ＝40cm,∠C ＝30°,∠BAC ＝45°.为了使耘耙更加牢固,AB 处常用铁条制成,则制作此耘耙时需准备多长的铁条?（结果保留根号）学习态度层级图①C 级图②（图1） （图2） AB C25．（本题满分8分）如图,在△ABC,AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且12CBF CAB ∠=∠． （1）求证：直线BF 是⊙O 的切线； （2）若5AB =，sin 5CBF ∠=，求BC 和BF 的长．26．（本题满分10分）为推进节能减排，发展低碳经济，江阴某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式为：⎩⎨⎧≤<-≤≤-=)3530(5.025)3025(40x x x x y （年获利=年销售收入—生产成本—投资成本） （1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？（2）求该公司第一年的年获利W （万元）与销售单价x （元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z 万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．F AB。
2014-2015年江苏省无锡市江阴市华士片九年级上学期期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年江苏省无锡市江阴市华士片九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10题，每小题3分，满分30分）1．（3分）实数4的算术平方根是（）A．B．±C．2 D．±22．（3分）方程x2=2x的解是（）A．x=2 B．x1=2，x2=0 C．x1=﹣，x2=0 D．x=03．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠l D．a＜﹣24．（3分）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．100（1+x）=121 B．100（1﹣x）=121 C．100（1+x）2=121 D．100（1﹣x）2=1215．（3分）若圆的半径是5，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上D．点P在⊙O外或⊙O上6．（3分）如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°和40°，则∠1的度数（）A．15°B．30°C．40°D．70°7．（3分）已知⊙O中，圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB等于（）A．50°B．100°或50°C．130°或50°D．130°8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论正确的个数是（）①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（3分）三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）A．11 B．13 C．11或13 D．不能确定10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为h1，h2，则|h1﹣h2|等于（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题：（本大题共8题，每小题2分，满分16分）11．（2分）若方程x2﹣3x+1=0的两根为x1、x2，则代数式x1+x2的值为．12．（2分）如果=1﹣2a，则a的取值范围是．13．（2分）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外任选一点C，连接AC、BC分别取其三等分点M、N量得MN=28m．则AB的长为m．14．（2分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相似的三角形有对．15．（2分）已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为．16．（2分）如图是一张电脑光盘的表面，两个圆的圆心都是点O，大圆的弦AB 所在直线是小圆的切线，切点为C．已知大圆的半径为5cm，小圆的半径为1cm，则弦AB的长度为cm．17．（2分）如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为．18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，0）、（20，0）、（20，10）．在线段AC、AB上各有一动点M、N，则当BM+MN为最小值时，点M的坐标是．三、解答题：（本大题84分）19．（8分）计算：（1）（2）．20．（8分）解下列方程：（1）x2﹣2x﹣1=0；（2）﹣=0．21．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数．22．（8分）已知：AD是ABC的边BC上的高，AE是△ABC的外接圆的直径．求证：（1）△ADB∽△ACE；（2）AB•AC=AD•AE．23．（8分）如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=°，BC=；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．24．（8分）如图，在直角三角形ABC中∠C=90°．AC=4，BC=3，在直角三角形ABC外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，见图示．请在四个备用图中分别画出与示例图不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长．25．（8分）张家港永安旅行社为吸引市民组团去普陀山风景区旅游，推出了如下收费标准：（1）现有一个35人的团队准备去旅游，人均旅游费为元．（2）某单位组织员工去普陀山风景区旅游，共支付给永安旅行社旅游费用27000元，请问：该单位这次共有多少员工去普陀山风景区旅游？26．（8分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中A点在x轴上，M点坐标为（2，0）．（1）A点所表示的实际意义是；=；（2）求出AB所在直线的函数关系式；（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？27．（10分）问题探究：（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB=90°的一个点，并说明理由．（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由．问题解决：（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP'D=60度．请你在图③中画出符合要求的点和P和P′，并求出△APB的面积（结果保留根号）．28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=8，OC=4．点P从点O出发，沿x轴以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t 秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．（1）填空：当t=时，点D恰好落在AB上，即△DPA成为直角三角形；（2）若以点D为圆心，DP为半径的圆与CB相切，求t的值；（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为等腰三角形？若能，求t 的值；若不能，请说明理由；（4）填空：在点P从点O向点A运动的过程中，点D运动路线的长为．2014-2015学年江苏省无锡市江阴市华士片九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10题，每小题3分，满分30分）1．（3分）实数4的算术平方根是（）A．B．±C．2 D．±2【解答】解：实数4的算术平方根是2．故选：C．2．（3分）方程x2=2x的解是（）A．x=2 B．x1=2，x2=0 C．x1=﹣，x2=0 D．x=0【解答】解：x2=2x，x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，∴x=0，x﹣2=0，∴x1=0，x2=2，故选：B．3．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠l D．a＜﹣2【解答】解：△=4﹣4（a﹣1）=8﹣4a＞0得：a＜2．又a﹣1≠0∴a＜2且a≠1．故选：C．4．（3分）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．100（1+x）=121 B．100（1﹣x）=121 C．100（1+x）2=121 D．100（1﹣x）2=121【解答】解：设平均每次提价的百分率为x，根据题意得：100（1+x）2=121，故选：C．5．（3分）若圆的半径是5，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上D．点P在⊙O外或⊙O上【解答】解：由勾股定理得：OP==5，∵圆O的半径为5，∴点P在圆O上．故选：C．6．（3分）如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°和40°，则∠1的度数（）A．15°B．30°C．40°D．70°【解答】解：∵量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°和40°，∴∠AOB=70°﹣40°=30°，∴∠1=∠AOB=×30°=15°，故选：A．7．（3分）已知⊙O中，圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB等于（）A．50°B．100°或50°C．130°或50°D．130°【解答】解：当点C在优弧上时，如图1，则∠ACB=∠AOB=50°；当点C在劣弧上时，如图2，在优弧上找点D，连接DA、DB，则可得∠ADB=∠AOB=50°，又∵四边形ACBD为圆的内接四边形，∴∠ADB+∠ACB=180°，∴∠ACB=180°﹣50°=130°；故选：C．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论正确的个数是（）①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，故①正确；连接DO，∵点D是BC的中点，∴CD=BD，∴△ACD≌△ABD（SAS），∴AC=AB，∠C=∠B，∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，∴∠ODB=∠C，OD∥AC，∴∠ODE=∠CED，∴ED是圆O的切线，故④正确；由弦切角定理知，∠EDA=∠B，故②正确；∵点O是AB的中点，故③正确，故选：D．9．（3分）三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）A．11 B．13 C．11或13 D．不能确定【解答】解：（x﹣2）（x﹣4）=0x﹣2=0或x﹣4=0∴x1=2，x2=4．因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长必须大于3，故周长=3+6+4=13．故选：B．10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为h1，h2，则|h1﹣h2|等于（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：设AB、NM交于H，作OD⊥MN于D，连接OM．∵AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8，∴DN=DM=4，∵MO=5，∴OD=3．∵BE⊥MN，AF⊥MN，OD⊥MN，∴BE∥OD∥AF，∴△AFH∽△ODH∽△BEH，∴即，即=，∴（AF﹣BE）=﹣2，∴|h1﹣h2|=|AF﹣BE|=6．故选：B．二、填空题：（本大题共8题，每小题2分，满分16分）11．（2分）若方程x2﹣3x+1=0的两根为x1、x2，则代数式x1+x2的值为3．【解答】解：根据题意得x1+x2=3．故答案为3．12．（2分）如果=1﹣2a，则a的取值范围是a≤．【解答】解：∵=|2a﹣1|，∴|2a﹣1|=1﹣2a，∴2a﹣1≤0，∴a≤．故答案为a≤．13．（2分）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外任选一点C，连接AC、BC分别取其三等分点M、N量得MN=28m．则AB的长为84或42m．【解答】解：因为M、N分别为AC，BC的三等分点．∴设MC=x，则AC=3x，或MC=2x，AC=3x又∵△CMN∽△CAB，∴=．即=或=，解得：AB=84m或42m．故答案为84或42．14．（2分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相似的三角形有3对．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DF∥BC，AB∥CD，∴△EFD∽△EBC，△EFD∽△BFA，∴△ABF∽△CEB．共3对．故答案为3．15．（2分）已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为1．【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，∴m+n+1=0，∴m+n=﹣1，∴m2+2mn+n2=（m+n）2=（﹣1）2=1．故答案为：1．16．（2分）如图是一张电脑光盘的表面，两个圆的圆心都是点O，大圆的弦AB 所在直线是小圆的切线，切点为C．已知大圆的半径为5cm，小圆的半径为1cm，则弦AB的长度为4cm．【解答】解：连接OA、OC；∵AB切小圆于C，∴OC⊥AB；∴∠OCA=90°，AC=BC=AB；Rt△OCA中，OA=5cm，OC=1cm；由勾股定理，得：AC==2cm；∴AB=2AC=4cm．17．（2分）如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为65°．【解答】解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB=90°∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25°∴∠B=25°∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．故答案为：65°．18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，0）、（20，0）、（20，10）．在线段AC、AB上各有一动点M、N，则当BM+MN为最小值时，点M的坐标是（12，6）．【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B′，过点B′作OB的垂线垂足即为点N，该垂线与x轴的交点即为点M，则B′N=B′M+MN=BM+MN，B′N的长就是BM+MN的最小值．连接OB′，交DC于P．∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∴∠BAC=∠PCA，∵点B关于AC的对称点是B′，∴∠PAC=∠BAC，∴∠PAC=∠PCA，∴PA=PC．令PA=x，则PC=x，PD=20﹣x．在Rt△ADP中，∵PA2=PD2+AD2，∴x2=（20﹣x）2+102，∴x=12.5．∵cos∠B′ON=cos∠OPD，∴ON：OB′=DP：OP，∴ON：20=7.5：12.5，∴ON=12．∵tan∠MON=tan∠OCD，∴MN：ON=OD：CD，∴MN：12=10：20，∴MN=6．∴点M的坐标是（12，6）．故答案为（12，6）．三、解答题：（本大题84分）19．（8分）计算：（1）（2）．【解答】解：（1）原式=（2）2﹣（3）2=20﹣18=2；（2）原式=﹣+2=4﹣+2=4+．20．（8分）解下列方程：（1）x2﹣2x﹣1=0；（2）﹣=0．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1=0，∵a=1，b=﹣2，c=﹣1，∴x====±，∴x1=，x2=﹣；（2）﹣=0，2（x﹣1）﹣x=0，x=2，检验：当x=2时，x（x﹣1）=2≠0，x=2是原方程的解．21．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数．【解答】解：解法一：（用垂径定理求）如图，过点C作CE⊥AB于点E，交于点F，∴，又∵∠ACB=90°，∠B=25°，∴∠FCA=25°，∴的度数为25°，∴的度数为50°；解法二：（用圆周角求）如图，延长AC交⊙C于点E，连接ED，∵AE是直径，∴∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∠B=25°，∴∠E=∠B=25°，∴的度数为50°；解法三：（用圆心角求）如图，连接CD，∵∠ACB=90°，∠B=25°，∴∠A=65°，∵CA=CD，∴∠ADC=∠A=65°，∴∠ACD=50°，∴的度数为50°．22．（8分）已知：AD是ABC的边BC上的高，AE是△ABC的外接圆的直径．求证：（1）△ADB∽△ACE；（2）AB•AC=AD•AE．【解答】证明：（1）∵AD是ABC的边BC上的高，AE是△ABC的外接圆的直径．∴∠ACE=∠ADB=90°，∵∠B=∠E，∴△ADB∽△ACE；（2）∵△ADB∽△ACE，∴AB：AE=AD：AC，∴AB•AC=AD•AE．23．（8分）如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=135°，BC=2；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．【解答】解：（1）∵△BCG是等腰直角三角形，∴∠GBC=45°，∵∠ABG=90°，∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90°+45°=135°；∵在Rt△BHC中，BH=2，CH=2，∴BC===2．故答案为：135°；2；（2）相似．理由如下：∵BC=2，EC=，∴==，==，∴=，又∵∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．24．（8分）如图，在直角三角形ABC中∠C=90°．AC=4，BC=3，在直角三角形ABC外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，见图示．请在四个备用图中分别画出与示例图不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长．【解答】解：图中前3个三角形均为腰长为5的等腰三角形，第4个为腰长为的等腰三角形．25．（8分）张家港永安旅行社为吸引市民组团去普陀山风景区旅游，推出了如下收费标准：（1）现有一个35人的团队准备去旅游，人均旅游费为800元．（2）某单位组织员工去普陀山风景区旅游，共支付给永安旅行社旅游费用27000元，请问：该单位这次共有多少员工去普陀山风景区旅游？【解答】解：（1）人均旅游费=1000﹣（35﹣25）×20=800，故答案为800；（2）设该单位这次共有x名员工去普陀山风景区旅游，∵27000＞25×1000，∴x＞25；∴[1000﹣20（x﹣25）]x=27000，解得：x1=45，x2=30，∵1000﹣20（x﹣25）≥700∴x1=45（不符合题意，舍去），x2=30．答：该单位这次共有30名员工去普陀山风景区旅游．26．（8分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中A点在x轴上，M点坐标为（2，0）．（1）A点所表示的实际意义是小亮出发分钟回到了出发点；=；（2）求出AB所在直线的函数关系式；（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？【解答】解：（1）根据M点的坐标为（2，0），则小亮上坡速度为：=240（m/min），则下坡速度为：240×1.5=360（m/min），故下坡所用时间为：=（分钟），故A点横坐标为：2+=，纵坐标为0，得出实际意义：小亮出发分钟回到了出发点；==．故答案为：小亮出发分钟回到了出发点；．（2）由（1）可得A点坐标为（，0），设y=kx+b，将B（2，480）与A（，0）代入，得：，解得．所以y=﹣360x+1200．（3）小刚上坡的平均速度为240×0.5=120（m/min），小亮的下坡平均速度为240×1.5=360（m/min），由图象得小亮到坡顶时间为2分钟，此时小刚还有480﹣2×120=240m没有跑完，两人第一次相遇时间为2+240÷（120+360）=2.5（min）．（或求出小刚的函数关系式y=120x，再与y=﹣360x+1200联立方程组，求出x=2.5也可以．）27．（10分）问题探究：（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB=90°的一个点，并说明理由．（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由．问题解决：（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP'D=60度．请你在图③中画出符合要求的点和P和P′，并求出△APB的面积（结果保留根号）．【解答】解：（1）如图①，连接AC、BD交于点P，则∠APB=90度．∴点P为所求．（2）如图②，画法如下：①以AB为边在正方形内作等边△ABP；②作△ABP的外接圆O，分别与AD、BC交于点E、F．∵在圆O中，弦AB所对的上的圆周角均为60°，∴上的所有点均为所求的点P．（3）如图③，画法如下：①连接AC；②以AB为边作等边△ABE；③作等边△ABE的外接圆O，交AC于点P；④在AC上截取AP'=CP．则点P、P′为所求．（评卷时，作图准确，无画法的不扣分）过点B作BG⊥AC，交AC于点G．∵在Rt△ABC中，AB=4，BC=3．∴AC==5．∴BG=．在Rt△ABG中，AB=4，∴AG=．在Rt△BPG中，∠BPA=60°，∴PG=．∴AP=AG+PG=．∴S=AP•BG=．△APB28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=8，OC=4．点P从点O出发，沿x轴以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t 秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．（1）填空：当t=3时，点D恰好落在AB上，即△DPA成为直角三角形；（2）若以点D为圆心，DP为半径的圆与CB相切，求t的值；（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为等腰三角形？若能，求t 的值；若不能，请说明理由；（4）填空：在点P从点O向点A运动的过程中，点D运动路线的长为4．【解答】解：（1）如图1，∵∠COP=90°，∠CPD=90°，∠PAD=90°，∴△COP∽△PAD，∴=，PC=2PD，OC=4∴PA=2，2t+2=8，解得t=3；（2）如图2，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，延长ED交CB于F，则DF⊥CB，F 为切点则△PED∽△COP，∴=，∴PE=2，DE=t，∵DF=DP即DF2=DP2，得出t2+22=（4﹣t）2，t=；（3）△DPA是等腰三角形，有下列3种情况：①若DP=DA时，则EA=EP=2，8﹣2t=4，t=2；②若PA=PD时，t=；③若AP=AD时，t=2﹣4；综上所述，△DPA是等腰三角形时，t的值是2或或2﹣4．（4）如图3，当点P在点O位置时，PD=2，当点P在点A位置时，作DE⊥OA交OA的延长线于E，∵△AED∽△COA，CA=2AD，∴AE=2，DE=4，∴点D运动路线的长为=4．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
江阴利港中学2015届九年级上期中考试数学试题及答案
二、解答题ຫໍສະໝຸດ （共 82 分）19．(本题满分 4 分)计算： （1） 12－|－3|－2sin60°＋(－1＋ 2)0
20．（每小题 4 分，本题满分 8 分）解方程： （1）x（x－6）＝2 (用配方法) （2） （2x＋1）2＝3（2x－1）
21． （本题满分 8 分） 如图， 在 12×12 的正方形网格中， △TAB 的 顶点坐标分别为 T（1，1） 、A（2，3） 、 B（4，2） ． （1）以点 T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA′∶TA）3∶1 在位似中心的同侧将△TAB 放大为△TA′B′，放大后点 A、 B 的对应点分别为 A′、B′．画出△TA′B′，并直接写出 点 A′、B′的坐标； （2）在（1）中，若 C（a，b）为线段 AB 上任一点，直接写出变 化后点 C 的对应点 C′的坐标．
A D E A D B
）
7．如图，已知 D、E 分别是△ABC 的 AB、AC 边上的一点，DE∥BC，且△ADE 与四边形 DBCE 的面积之 ） C．1:2 D．2:3
C
B C （第 7 题图）
（第 9 题图）
（第 10 题图） ） ）
8．如果三角形满足一个角是另一个角的 3 倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形” ．下列各组数据中， 能作为一个“智慧三角形”三边长的一组是 ------------------------------------- （ A．3，4，5 A．1 对 B．1，1， 2 B．2 对 C．1，1， 3 C．3 对 D．1，2， 3 9．如图，已知在△MBC 中，AD∥BC，图中相似三角形共有 -------------------------- （
2
）
D．3 个 ） ）
2、已知三角形两边的长分别是 2 和 4，第三边的长是方程 x －4x＋3＝0 的一个根，则这个三角形的周长 为 ------------------------------------------------------------------------- （ A．7 或 9 B．19 或 9 C．9 D．7 3. 在 Rt△ABC 中，如果各边长度都扩大 3 倍,那么锐角 A 的各个三角函数值 ------------- （ 1 A．都缩小 B．都不变 C．都扩大 3 倍 D．无法确定 3 4．已知 x:y＝2:3，则(x＋y):y 的值为----------------------------------------------- （ A．2:5 A．－7，－5，14，5 B．5:2 C．5:3 D．3:5 ） C．3，5，9，12 D．2，3，6，12 ） 5．下列各组数中，成比例的是 ---------------------------------------------------- （ B．－6，－8，3，4 A 6．菱形 ABCD 的对角线 AC＝10cm，BD＝6cm，那么 tan 为 -------------------------- （ 2 3 4 5 3 A． B． C． D． 5 5 34 34 比为 1:3，则 AD: AB 为 ----------------------------------------------------- （ A．1:4 B．1:3
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2014-2015学年江苏省无锡市江阴市利港中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列关于x的方程：2x2﹣=0，x2=0，（x﹣1）（x﹣2）=3，x+2x2+1=0，（x﹣1）（2x+2）=2x2，ax2+x﹣3=0中，一元二次方程有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个2．（3分）已知三角形两边的长分别是2和4，第三边的长是方程x2﹣4x+3=0的解，则这个三角形的周长为（）A．7或9 B．19或9 C．9 D．73．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，那么锐角A的各个三角函数值（）A．都缩小B．都不变C．都扩大3倍D．无法确定4．（3分）已知x：y=2：3，则（x+y）：y的值为（）A．2：5 B．5：2 C．5：3 D．3：55．（3分）下列各组数中，成比例的是（）A．﹣7，﹣5，14，5 B．﹣6，﹣8，3，4 C．3，5，9，12 D．2，3，6，126．（3分）菱形ABCD的对角线AC=10cm，BD=6cm，那么tan为（）A．B．C．D．7．（3分）如图，已知D、E分别是ABC的AB、AC边上一点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE=1：3，那么AD：AB等于（）A．B．C．D．8．（3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，9．（3分）如图，已知在△MBC中，AD∥BC，图中相似三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对10．（3分）如图，△ACD∽△ABC，则下列式子：①CD2=AD•DB；②AC2=AD•AB；③=．其中一定成立的有（）A．3个 B．1个 C．2个 D．0个二、填空题（每空2分，共18分）11．（2分）方程x2=x的根是．12．（2分）若x=0是方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0的解，则m=．13．（4分）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两根，则x1+x2=，x1•x2=．14．（2分）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．15．（2分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则cos∠CPB的值是．16．（2分）已知，关于x的方程x2+2（m+2）x+9m=0，方程的左边是一个完全平方式，则m=．17．（2分）如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于．18．（2分）在Rt△BAC中，∠BAC=90°，cos∠ACB=，点D在BC 上，AC=AD=4，将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转到△EFC的位置，若点E落在AD的延长线上，连接BF交AD延长线于点G，那么BG=．二、解答题（共82分）19．（4分）计算：﹣|﹣3|﹣2sin60°+（﹣1+）0．20．（8分）解方程：（1）x（x﹣6）=2 （用配方法）（2）（2x+1）2=3（2x﹣1）21．（8分）如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T（1，1）、A（2，3）、B（4，2）（1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA′：TA）=3：1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△TA′B′，并写出点A′、B′的坐标；（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．22．（8分）如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩贵州”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为30°，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为60°，求宣传条幅BC的长．（小明的身高不计，结果精确到0.1米）23．（8分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．24．（8分）已知平行四边形ABCD中，AB=5，BC=，E为AB中点，F是BC边上的一动点．（1）如图①，若∠B=90°，作FG⊥CE交AD于点G，作GH⊥BC，垂足为H．求FH的长；（2）如图②，若sinB=，连接FA交CE于M，当BF为多少时，FA⊥CE？25．（8分）在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，AD∥BC，坝高10m，迎水坡面AB 的坡度，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE的坡度．（1）求原方案中此大坝迎水坡AB的长（结果保留根号）；（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC方向拓宽2.7m，求坝底将会沿AD方向加宽多少米？26．（10分）阅读下面的短文，并回答下列问题我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的立方体，立方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）．设S甲、S乙分别表示这两个立方体的表面积，则，又设V甲、V乙分别表示这两个立方体的体积，则．（1）下列几何体中，一定属于相似体的是A、两个球体B、两个圆锥体C、两个圆柱体D、两个长方体．（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长度的比等于；②相似体表面积的比等于；③相似体体积的比等于．（3）寒假里，康子帮母亲到市场去买鱼，鱼摊上有一种鱼，个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如下图所示，鱼长10厘米的每条10元，鱼长13厘米的每条15元．康子不知道买哪种更好些，你能否帮他出出主意．27．（10分）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA ＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．28．（10分）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E 在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．2014-2015学年江苏省无锡市江阴市利港中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列关于x的方程：2x2﹣=0，x2=0，（x﹣1）（x﹣2）=3，x+2x2+1=0，（x﹣1）（2x+2）=2x2，ax2+x﹣3=0中，一元二次方程有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【解答】解：2x2﹣=0，x2=0，x+2x2+1=0，符合一元二次方程的定义，属于一元二次方程；由（x﹣1）（x﹣2）=3得到：x2﹣3x=0，符合一元二次方程的定义，属于一元二次方程；由（x﹣1）（2x+2）=2x2得到：x﹣2=0，不含二次项，属于一元一次方程；在ax2+x﹣3=0中，当a=0时，它不是一元二次方程．综上所述，一元二次方程的个数是4个．故选：C．2．（3分）已知三角形两边的长分别是2和4，第三边的长是方程x2﹣4x+3=0的解，则这个三角形的周长为（）A．7或9 B．19或9 C．9 D．7【解答】解：x2﹣4x+3=0（x﹣3）（x﹣1）=0，所以x1=3，x2=1，当x=3时，三角形的周长为2+4+3=9；当x=1时，1+2＜4，不符合三角形三边的关系，应舍去．故选：C．3．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，那么锐角A的各个三角函数值（）A．都缩小B．都不变C．都扩大3倍D．无法确定【解答】解：由题意可知：如果各边长度都扩大3倍，那么锐角A的各个三角函数值不变．故选：B．4．（3分）已知x：y=2：3，则（x+y）：y的值为（）A．2：5 B．5：2 C．5：3 D．3：5【解答】解：设x=2k，y=3k，则（x+y）：y=（2k+3k）：3k=5：3．故选：C．5．（3分）下列各组数中，成比例的是（）A．﹣7，﹣5，14，5 B．﹣6，﹣8，3，4 C．3，5，9，12 D．2，3，6，12【解答】解：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．故选：B．6．（3分）菱形ABCD的对角线AC=10cm，BD=6cm，那么tan为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，AO⊥BO，AO=AC=5cm，BO=BD=3cm，则tan=tan∠BAO==．故选：A．7．（3分）如图，已知D、E分别是ABC的AB、AC边上一点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE=1：3，那么AD：AB等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵S△ADE ：S四边形DBCE=1：3，∴S△ADE ：S△ABC=1：4，又∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，相似比是1：2，∴AD：AB=1：2．故选：C．8．（3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，【解答】解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．9．（3分）如图，已知在△MBC中，AD∥BC，图中相似三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【解答】解：∵AD∥BC，∴△MAD∽△MBC，△ADO∽△CBO，共两对．故选：B．10．（3分）如图，△ACD∽△ABC，则下列式子：①CD2=AD•DB；②AC2=AD•AB；③=．其中一定成立的有（）A．3个 B．1个 C．2个 D．0个【解答】解：∵△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC=CD：BC，∴AC2=AD•AB，只有②正确．故选：B．二、填空题（每空2分，共18分）11．（2分）方程x2=x的根是x1=0，x2=1．【解答】解：x2﹣x=0，x（x﹣1）=0，∴x=0或x﹣1=0，∴x1=0，x2=1．故答案为x1=0，x2=1．12．（2分）若x=0是方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0的解，则m=2或﹣4．【解答】解：把x=0代入方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0，可得m2+2m﹣8=0，解得m=2或﹣4，当m=2时，方程为3x=0，当m=﹣4时，方程为﹣6x2+3x=0，满足条件，故答案为：2或﹣4．13．（4分）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两根，则x1+x2=3，x1•x2=﹣2．【解答】解：根据题意得则x1+x2=3，x1•x2=﹣2．故答案为3，﹣2．14．（2分）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜且k≠0．【解答】解：∵kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=1﹣4k＞0，且k≠0，解得，k＜且k≠0；故答案是：k＜且k≠0．15．（2分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则cos∠CPB的值是．【解答】解：如图，连接AE，交CD于点F，∵AC∥BD，且BD=3AC，∴==，又∵四边形ACED为正方形，∴AE⊥CD，DF=CF，∴=，∴=，在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x，由勾股定理可求得AP=x，∴==，∴cos∠APF=，又∵∠CPB=∠APF，∴cos∠CPB=．故答案为：．16．（2分）已知，关于x的方程x2+2（m+2）x+9m=0，方程的左边是一个完全平方式，则m=1或4．【解答】解：∵方程x2+2（m+2）x+9m=0，方程的左边是一个完全平方式，∴（m+2）2=9m，即m2﹣5m+4=0，解得：m=1或4．故答案为：1或417．（2分）如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于．【解答】解：如图，∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，∴四边形PFAE是以EF为直径的圆内接四边形，∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+42=80，∴BD=，∴PD=．18．（2分）在Rt△BAC中，∠BAC=90°，cos∠ACB=，点D在BC 上，AC=AD=4，将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转到△EFC的位置，若点E落在AD的延长线上，连接BF交AD延长线于点G，那么BG=14．【解答】解：∵△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转得到△EFC，∴AC=CE，BC=CF，∠ACE=∠BCF（为旋转角），∵∠CAD=（180°﹣∠ACE），∠CBF=（180°﹣∠BCF），∴∠CAD=∠CBF，又∵∠ADC=∠BDG，∴△ACD∽△BGD，∴=，∵AC=AD，∴BG=BD，过点A作AH⊥CD于H，则CD=2CH，∵cos∠ACB=，AC=4，∴==，即==，解得CH=1，BC=16，∴CD=2×1=2，BD=BC﹣CD=16﹣2=14，∴BG=14．故答案为：14．二、解答题（共82分）19．（4分）计算：﹣|﹣3|﹣2sin60°+（﹣1+）0．【解答】解：原式=2﹣3﹣+1=﹣2．20．（8分）解方程：（1）x（x﹣6）=2 （用配方法）（2）（2x+1）2=3（2x﹣1）【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣6x﹣2=0，配方得：x2﹣6x+9=11，即（x﹣3）2=11，解得：x1=3+，x2=3﹣；（2）方程整理得：2x2﹣x+4=0，∵△=1﹣32=﹣31＜0，∴方程无解．21．（8分）如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T（1，1）、A（2，3）、B（4，2）（1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA′：TA）=3：1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△TA′B′，并写出点A′、B′的坐标；（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．【解答】解：（1）如图，A′（4，7），B′（10，4）；（2）C′（3a﹣2，3b﹣2）．22．（8分）如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩贵州”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为30°，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为60°，求宣传条幅BC的长．（小明的身高不计，结果精确到0.1米）【解答】解：∵∠BFC=30°，∠BEC=60°，∠BCF=90°，∴∠EBF=∠EBC=30°．∴BE=EF=20米．在Rt△BCE中，BC=BE•sin60°=20×≈17.3（米）．答：宣传条幅BC的长是17.3米．23．（8分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 2.6（1+x）2万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．【解答】解：（1）由题意，得第3年的可变成本为：2.6（1+x）2，故答案为：2.6（1+x）2；（2）由题意，得4+2.6（1+x）2=7.146，解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．24．（8分）已知平行四边形ABCD中，AB=5，BC=，E为AB中点，F是BC边上的一动点．（1）如图①，若∠B=90°，作FG⊥CE交AD于点G，作GH⊥BC，垂足为H．求FH的长；（2）如图②，若sinB=，连接FA交CE于M，当BF为多少时，FA⊥CE？【解答】解：（1）如图①，∵∠FMC=∠B=90°，∵∠GFH+∠BCE=∠BEC+∠BCE=90°，∴∠BEC=∠GFH，∴△BEC∽△HFG，∴=，即=，解得FH=；（2）作AT⊥BC，ER⊥BC．∵∠ERC=∠ATF=90°，∵∠REC+∠RCE=∠AFC+∠FCE=90°，∴∠REC=∠AFC，∴△REC∽△TFA，∴=，∵AT=ABsinB=3，BT=4，ER=1.5，CR=4.5，∴=，解得FT=1，BF=BT﹣FT=3．25．（8分）在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，AD∥BC，坝高10m，迎水坡面AB 的坡度，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE的坡度．（1）求原方案中此大坝迎水坡AB的长（结果保留根号）；（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC方向拓宽2.7m，求坝底将会沿AD方向加宽多少米？【解答】解：（1）过点B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，∵i==，且BF=10m．∴AF=6m，．答：此大坝迎水坡AB的长是2m；（2）过点E作EG⊥AD于G．在Rt△AEG中，∵，且EG=BF=10m∴AG=12m，∵AF=6m，∴BE=GF=AG﹣AF=6m，如图，延长EC至点M，AD至点N，连接MN，=S梯形CMND，∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变．S△ABE∴即BE=MC+ND．DN=BE﹣MC=6﹣2.7=3.3（m）．答：坝底将会沿AD方向加宽3.3m．26．（10分）阅读下面的短文，并回答下列问题我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的立方体，立方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）．设S甲、S乙分别表示这两个立方体的表面积，则，又设V甲、V乙分别表示这两个立方体的体积，则．（1）下列几何体中，一定属于相似体的是AA、两个球体B、两个圆锥体C、两个圆柱体D、两个长方体．（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长度的比等于相似比；②相似体表面积的比等于相似比平方；③相似体体积的比等于相似比立方．（3）寒假里，康子帮母亲到市场去买鱼，鱼摊上有一种鱼，个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如下图所示，鱼长10厘米的每条10元，鱼长13厘米的每条15元．康子不知道买哪种更好些，你能否帮他出出主意．【解答】解：（1）A（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方（3）因为同一种鱼的密度一样，所以它们的质量比等于体积比设这两种鱼的质量分别为m、M，则有而它们的价格比为15：10=1.5，∴买15元一条的鱼更合算．27．（10分）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA ＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）x2﹣（+1）x+=0，（x﹣）（x﹣1）=0，解得x1=，x2=1，∵OA＜OB，∴OA=1，OB=，∴A（1，0），B（0，），∴AB=2，又∵AB：AC=1：2，∴AC=4，∴C（﹣3，0）；（2）∵AB=2，AC=4，BC=2，∴AB2+BC2=AC2，即∠ABC=90°，由题意得：CM=t，CB=2．①当点M在CB边上时，S=2﹣t（0≤t）；②当点M在CB边的延长线上时，S=t﹣2（t＞2）；（3）存在．①当AB是菱形的边时，如图所示，在菱形AP1Q1B中，Q1O=AO=1，所以Q1点的坐标为（﹣1，0），在菱形ABP2Q2中，AQ2=AB=2，所以Q2点的坐标为（1，2），在菱形ABP3Q3中，AQ3=AB=2，所以Q3点的坐标为（1，﹣2），②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，AP42=AO2+P4O2，即x2=12+（﹣x）2，解得x=，所以Q4（1，）．综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（﹣1，0），Q2（1，2），Q3（1，﹣2），Q4（1，）．28．（10分）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E 在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．【解答】解：（1）如图2作图，（2）如图3 ①、②作△ABC．①当AD=AE时，∵2x+x=30+30，∴x=20．②当AD=DE时，∵30+30+2x+x=180，∴x=40．所以∠C的度数是20°或40°；（3）如图4，CD、AE就是所求的三分线．设∠B=α，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE=AD=x，BD=CD=y，∵△AEC∽△BDC，∴x：y=2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2：x=（x+y）：2，所以联立得方程组，解得，即三分线长分别是和．。