第6章 不定积分习题课
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第6章 不定积分【圣才出品】
第6章 不定积分6.1 复习笔记一、不定积分的概念和运算法则1．微分的逆运算——不定积分（1）原函数若在某个区间上，函数F （x ）和f （x ）成立关系F'（x ）=f （x ），则称函数F （x ）是f （x ）的一个原函数。
（2）不定积分一个函数f （x ）的原函数全体称为这个函数的不定积分，记作这里，“”称为积分号，f （x ）称为被积函数，x 称为积分变量。
2．不定积分的线性性质若函数f （x ）和g （x ）的原函数都存在，则对任意常数k 1和k 2，函数k 1f（x ）+k 2g （x）的原函数也存在，且有二、换元积分法和分部积分法1．换元积分法（1）在不定积分中，用u=g （x ）对原式作变量代换，这时相应地有du=g'（x ）dx ，于是，这个方法称为第一类换元积分法，也被俗称为“凑微分法”。
（2）找到一个适当的变量代换x=φ（t ）（要求x=φ（t ）的反函数t=φ-1（x ）存在），将原式化为这个方法称为第二类换元积分法。
2．分部积分法对任意两个可微的函数u （x ）、v （x ），成立关系式d[u （x ）v （x ）]=v （x ）d[u （x ）]+u（x）d[v （x ）]，两边同时求不定积分并移项，就有也即这就是分部积分公式。
三、有理函数的不定积分及其应用1．有理函数的不定积分（1）形如的函数称为有理函数，这里和分别是m 次和n 次多项式，n，m 为非负整数。
若m>n ，则称它为真分式；若m≤n，则称它为假分式。
（2）设有理函数是真分式，多项式有k 重实根α即则存在实数λ与多项的次数低于的次数，成立（3）设有理函数是真分式，多项式有l 重共轭复根，即其中则实数和多项式的次数低的次数，成立2．可化成有理函数不定积分的情况（1）类的不定积分。
这里R （u ，v ）表示两个变量μ、υ的有理函数（即分子和分母都是关于u ，v的二元多项式）。
对作变量代换，则。
不定积分习题课
定理 1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)]( x)dx [ f (u)du]u( x)
第一类换元公式（凑微分法）
常见类型:
1. f ( xn1 )xndx;
3. f (ln x) dx; x
5. f (sin x)cos xdx;
1
(3)2x 1
ln 3
dt t2 1
2
22
2
1 2 ln
3
(
t
1
1
t
1
)dt 1
1
ln t 1 C
2(ln 3 n
1 3
ln
2)
ln
3 3
x x
2x 2x
C.
例2. 求
da x a x lna dx
解:
原式
即：连续函数一定有原函数．
2、不定积分
(1) 定义
在区间I 内，函数 f ( x) 的带有任意常数项 的原函数称为 f ( x) 在区间I 内的不定积分，记
为 f ( x)dx ．
f ( x)dx F( x) C
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C ln a
(14) shxdx chx C
(15) ch xdx shx C
(16) tan xdx lncos x C
(20)
a2
不定积分习题课PPT文档共54页
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30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
不定积分习题课
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
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26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
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27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
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28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
高等数学不定积分课后习题详解
《高等数学》不定积分课后习题详解(总58页)不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)思路: 被积函数 52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22x x dx +⎰（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（） ★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x+⎰ 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
微积分不定积分-习题课
不定积分的几何意义
总结词
不定积分在几何上表示曲线下的面积。
详细描述
不定积分在几何上具有深刻的含义，它表示曲线下的面积。具体来说，对于一个给定的函数，其不定积分表示该 函数下的所有面积的代数和。这个概念在解决微积分问题时非常重要，尤其是在计算面积、体积和解决物理问题 时非常有用。
02
不定积分的计算方法
总结词
涵盖了不定积分的基本概念和计算方法，适 合初学者练习。
详细描述
这些习题主要涉及基本的不定积分计算，包 括直接积分法、换元积分法和分部积分法等。 通过这些练习，学生可以加深对不定积分概 念的理解，掌握基本计算技巧。
进阶习题解析
总结词
难度有所提高，需要学生灵活运用不定积分 的知识。
详细描述
这些习题涉及较为复杂的不定积分计算，需 要学生灵活运用不定积分的计算方法和技巧 。通过这些练习，学生可以提高解决复杂问
不定积分的性质
总结词
不定积分具有一些重要的性质，包括线性性质、可加 性、可乘性等。
详细描述
不定积分具有一些重要的性质，这些性质在解决微积分 问题时非常有用。其中，线性性质是指不定积分运算满 足线性性质，即对两个函数的和或差进行不定积分时， 可以分别对每个函数进行不定积分运算后再求和或求差 。可加性是指对一个函数在两个区间上进行不定积分时 ，其结果可以相加。可乘性则是指对一个函数进行不定 积分后得到的原函数，与另一个函数相乘时，其结果可 以再次进行不定积分。
直接积分法
总结词
直接积分法是最基础的不定积分计算方法，通过将原函数进行凑微分，然后进行 积分得到不定积分的结果。
详细描述
直接积分法主要依赖于不定积分的性质和基本初等函数的积分公式。通过观察被 积函数的特征，选择适当的基本初等函数进行凑微分，然后进行积分，即可得到 不定积分的结果。
《不定积分习题》课件
详细描述
不定积分具有一系列重要的性质，包括线性性质、可加性、可乘性等。线性性质是指∫[af(x) + bf'(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫f'(x)dx；可加性是指∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx；可乘性是指∫f(x) * g(x)dx = ∫f(x)dx * ∫g(x)dx。这些性质在解决不定积分问题时非常有用。
PART THREE
不定积分的基本公式与法则
3.1关键技术 3.2技术难点 3.3案例分析
积分公式表
包括基本积分公式、三角函数积分公式、指数函数积分公式等，这些公式是解决不定积分问题的基础。
常用积分公式
如贝塞尔函数、勒让德函数等，这些特殊函数在解决某些不定积分问题时非常有用。
特殊函数积分公式
不定积分的计算方法
总结词：不定积分的计算方法包括直接积分法、换元积分法、分部积分法等。 详细描述：不定积分的计算方法有多种，其中最常用的是直接积分法、换元积分法和分部积分法。直接积分法是将不定积分转化为求导的逆运算，即利用微分公式和基本初等函数的导数公式来计算不定积分。换元积分法是通过引入新的变量来简化不定积分，即通过换元将复杂的不定积分转化为简单的不定积分。分部积分法是将不定积分转化为乘积的形式，即通过分部相乘来计算不定积分。这些方法在解决实际问题中非常有用，可以帮助我们更好地理解和应用不定积分的概念和性质。
通过递推关系式，可以方便地求出一些复杂函数的积分。
递推积分公式
包括乘的积分问题化简为简单的积分问题。
线性积分法则
幂函数的积分可以通过分部积分法进行求解，幂函数的不定积分可以通过幂函数的原函数进行求解。
不定积分典型例题讲解课件PPT
dx
( n 为自然数)
n (x a)n1(x b)n1
解: I 令 则( xttn a)xx(xxxdxbabab, )nnt xxbad t (a( xannbt)dbtb)tdtdtx1 ((xxaabdb))(xxdxb) n (说(通注(通注说计 一一一一计一通二特使(一注注使注注二说 二通二一(使说一通一使计 一(说注一注(一注特使一(((通通注一二通(说计一P通 注使(通二计一计使二计二(注PP二通代代代代代代代代代代22112222)))))明过意过意明算、、般般算般过、别用、意意用意意、明般过、、用明般过般用算、明意般意、意别用、过过意般过明算般过意用、过、算、般算用、算、意、过000换换换换换换换换换换初初一一初555:简 常 简 常 :格经 经 格 经 简 几 :各 常 常 各 常 常 几 :几 经 简 几 各 :经 简 经 各 格:常 经 常 常 :各 简 简 常 经 几 简 :格 经 简常 各 简 几 格 经 格 各 几 格 几 常 几 简～ ～ ～求求求求求求求求求::::::::::等等般般等此此当此 此此当此单见单见式 验验式验单种种见见种见见种种验单种种验单验种式 见验见见种单单见验种单式验单 见种单种式验式种种式种见单PPP不不不不不不不不不函函方方函法技法技 技法法222uu变的变的:::::变特基的的基的的特特:变特基:变:基:的:的的基变变的:特变::变 的基变特:::基特特的特变000定定定定定定定定定数数法法数特巧为特巧 巧特为特666列 按按列按按按按列 按按列按列按列列形换形换形殊本换换本换换殊殊形殊本形本换换换本形形换殊形形 换本形殊本殊殊换殊形积积积积积积积积积公公公的的不不的别适别适 适别别表 ““表“n“““表 “n“表“表“表表元元类积元元积元元类类类积积元元元积元类元积类积类类元类,,,,,,,,,,,))))))))))分分分分分分分分分式式式原原一一原利利利利利利利利利 利利适用适用 用适适次次计 反反计反反反反计 反反计反计反计计积积型分积积分积积型型型分分积积积分积型积分型分型型积型的的的的的的的的的(((函函定定函用用用用用用用用用 用用用于用于 于用用多多111,,,,,,,,,,算 算算 算算算算分分的法分分法分分的的的法法分分分法分的分法的法的的分的666基基基基基基基基基对对对对对对对对对对数数是是数基基基基基基基基基 基基于形于形 形于于项项)))类类积类类类类积积积类类类类积类积积积类积,,,,,,,本本本本本本本本本~~~,,,,,,,,,,不 不 最 最 不简简简简简简简本本本本本本本本本本本为为 为式式幂幂幂幂幂幂幂幂幂幂(((型型分型型型型分分分型型型型分型分分分型分222方方方方方方方方方一一简简一便便便便便便便积积积积积积积积积 积积时时444,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,)))法法法法法法法法法指指指指指指指指指指定定便便定的的的如如计如如计如如计计如如如计如如计计如分分分分分分分分分 分分,, 是是的的是推推推掌掌算掌掌算掌掌算算掌掌掌算掌掌算算掌公公公公公公公公公 公公,,,,,,,,,, 三三三三三三三三三三初初方方初导导导握握握握握握握握握握握握式式式式式式式式式 式式.......””””””””””等等法法等方方方和和和和和和和和和 和和的的的的的的的的的的函函函,,法法法运运运运运运运运运 运运顺顺顺顺顺顺顺顺顺顺数数数算算算算算算算算算 算算序序序序序序序序序序法法法法法法法法法 法法,,, ,,,,,,,,,,则则则则则则则则则 则则
不定积分经典习题
第六次习题课通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求： 1、理解原函数、不定积分的概念。
2、掌握不定积分的基本性质，牢记基本积分公式，了解并能灵活应用若干常用积分公式。
3、理解不定积分的换元积分法和分部积分法的基本思想并能熟练运用于不定积分的计算。
4、掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分的计算方法和技巧。
⎧ 一、知识网络图 ⎧原函数 ⎪⎪⎪1.基本概念⎨不定积分⎪ ⎪⎪ ⎩不定积分的几何意义⎪ 不不定积分的性质 ⎪2.性质与公式⎨⎪⎧ ⎩基本积分公式⎪直接积分法⎪⎪⎧第一换元积分法(凑微分法)⎨⎪⎪⎪换元积分法⎨积 ⎪3.计算方法⎨⎩第二换元积分法⎪⎪⎪ ⎪分部积分法分⎪⎪⎪⎧有理函数积分⎪⎪⎪4.特殊函数的积分⎨三角函数有理式积分⎪⎪某些无理函数积分⎪⎩ ⎩一、求不定积分：例 1. 计算 ⎰ 2 arctan e x dx .e 2 x提示： ⎰2 arctan e x- ⎰ arctan e xde -2 x= -[ e -2 xarctan e x- ⎰de xdx =]e 2 x e 2 x (1 + e 2 x ) -2 x x dexde x = -[ e arctan e - ⎰ e2 x +⎰ ](1 + e 2 x )= - e -2 xarctan e x- 1- arctan e x + Ce x例 2．计算 ⎰ 1 dxx (1 + x )1[解一] ⎰ 1 dx = ⎰ 1d (x + 1 ) = ln (x + 1) + (x + 1 ) 2 - ( 1 ) 2 + C x (1 + x ) (x + 1 ) 2 - ( 1 ) 2 2 2 2 22 21+ x (x + 1) + C= ln x +2[解二] 1dx = 1dx =2d x= 2 ln( x + 1 + x ) + C 1⎰x (1 + x ) ⎰ x⎰1 + ( x ) 2(1 + x )1= ln x + + x (x + 1) + C2其中 C = C 1 - ln 2[方法小结]当被积函数含有根式时，通过巧妙的凑微分化成常用积分公式。
第6章不定积分练习
第6章不定积分§ 1不定积分概念和运算法则引入：不定积分问题是微分问题的反问题，积分运算是微分运算的反运算函数的导数求这个函数；从几何上讲已知一条曲线的切线斜率求这条曲线的方程讲已知变速直线运动的瞬时速度求运动方程.一.原函数与不定积分：1 原函数：,即已知一个；从物理例1填空：( 心a ;(1 +x )，=-2cosx ;—(dx)=x2dx=eX —sinX ; d( )=xdx ；( y = arctgx .12, 、[xarctgx—一1 n(1+x )]=arctgx. i、定义1设函数f (x)与F(x)在区间I上都有定义.若F \x)= f (x), I,则称F (x)是f (x)在区间I上的一个原函数.原函数问题的基本内容：存在性，个数,求法.⑴原函数的存在性：连续函数必有原函数. (下章给出证明).可见，初等函数在其定义域内有原函数；若f (x)在区间I上有原函数，则f (x)在区I上有介值性(Darboux定理).⑵原函数的个数：Th 若F(x)是f (x)在区间I上的一个原函数，则对V c —Const, F(x) +c都是f(x)在区间I上的原函数；若G(x)也是f(x)在区间I上的原函数，则必有G(x) = F(x) +c.可见，若f (x)有原函数F(x),则f (x)的全体原函数所成集合为{ F(X)+c I c亡R}. 例2已知F(x)为f(x) =2x的一个原函数，F(2) =5 .求F(x).2不定积分原函数族：定义，不定积分的记法，几何意义.[-x 2dx 1 +x2料dx .dx1例 3 f ------ =arctgx: ;Jx 2dx= — x 3+c .1 + X33不定积分的基本性质：以下设f(x)和g(x)有原函数.(Jf(x)dx ) = f(x), d Jf(x)dx = f (x)dx .(先积后导,形式不变).J f '(x)dx = f(X) + c, fdf(X)= f(X)+ c .(先导后积，多个常数)k H0时，Jkf (x)dx = k Jf(x)dx Kf(X)±g(x))dx= J f (x)dx± Jg(x)dx.由⑶、 ⑷可见，不定积分是线性运算，即对V k 1,k ^ R ,有J [ k i f (x) + k 2g(x)]dx = k i J f (x)dx + k 2 Jg(x)dx.(当k i = k 2 = 0时，上式右端应理解为任意常数 ).1 3J f (2x-1)dx =-x 3 +x + c .求 f(1).3.不定积分基本公式：(f (1)=2 ). [1]P179 公式 1 —14.三.利用初等化简计算不定积分： + a 1x n "1+-" +P(x) =a 0X a^x+a 求 JP(x)dx .『甞1dx 'X 2 +1j x 2 十三)dX.〕.1 +x§ 2换元积分法与分部积分法一. 第一类换元法 ——凑微法：544.4由 d sin 2x =5sin 2xd sin2x=5sin 2x(sin2x)dx=10sin 2xcos2xdx,=J 10sin 4 2xcos2xdx = 5 f sin 4 2x(sin 2x) dx = 5 J sin 4 2xdsin2xu zsin2x=====5ju 4du =u 5+c =sin 52x + c. 引出凑微公式.Thl 若 J f (x)dx = F(x) +c, ♦(x)连续可导，则 J f 忡⑴沖'(t)dt =FW(t)] + c.该定理即为：若函数g(t)能分解为 g(t)= f[*(t)]*'(t),就有Jg(t)dt = J f Z (t)]釈(t)dt = J f[%t)]d 叫t)X 边t)===Jf(x)dx =F(x)+c = F^(t)]+c . f(ax 中b)mdx, m 工 T, a 工0. JseC(5-3x)dx .1J cos3x cos2xdx = ? J (cosx + cos5x) dx10 ⑴ J (10x —10」)1 2dx ； ⑵ J22」e 3心dx.11「cos2x .f^_dxsin xsin x丿12d e co 80si凑法1 1 1=-J (1-cosx)dx =••■ =2(x--s in 2x)2 x^f (x k )dx = 1 f (x k )d(x k)=丄 f (u)du .特别地，有k kf(x 2)xdx =丄 f(x 2)d(x 2)=丄 f (u)du 和 f 电)dx = 2 f (以 d J 匚. 2 2例 9fxsinx 2dx ./= 2 f J 八"==2 arcs in J x + c. JxQ-x) O x TJsin 2xdx + C.dx dx 42X +1‘ x 2 +2x +3 '2+(x+1)2〒a y+ C.dx dx 1 2x +2x-3'(x+3)(x —1)\x —1dx =由例4— 7可见, ⑴ J xdx1+x 2■T nX —1+ c.常可用初等化简把被积函数化为 f(ax +b)型，然后用凑法1.id 10 I z 5 \ /c 、r - — 1 「xd(x )x 14dxx - 2arctg —+c. 2丿凑法例 10 f S ^1 L dx.• T X例11dxf (arctgx)dx = f (arctgx)darctgx = f (u)du .例12dx xdx .2「22 亠汽2)匚二丄心一丄〕dux(x 2 +1) x 2(x 2 +1) 2 x 2(x 2 +1) 2 \u u +1 丿=2lnuu 1 x 2+ c = — ln ——+c.凑法3f (sin x) cos xdx = f (sin x)d sin x = f (u)du;f (cosx)sin xdx = -f (cosx)d cosx = -f (u)du;2f (tgx)sec xdx = f (tgx)dtgx = f13 ⑴ Jsin 3xcosxdx.⑵fsin 3 xdx141 Csecxdx ="■ = —ln1 +sinx 15/sec 6 xdx = J(1 +tg 2X Y d t g 左… 16 2Jtg 5xsec 3 xdx = Jtg 4xsec 2 d secx = J (sec 2 xT ) sec 2 d secx凑法4 f (e x )e x d^ = f (e X )de X = f (u)du..例17 凑法5'2-edxf (ln X)——=f (ln x)d ln x =例18dx'x(1 +2ln x)凑法61+x 2例一肘"J 時皿二譽.== 2Jarctgtdarctgt =(arctgt)2 +c=(arctg 仮)2+c .其他凑法举例：t ------ X zsin t------------J(1 -x 2dx ===刖1 -sin 2td sin t = Jcos 2tdt =例20X _xe -e . -—dxe +e■ d （e J e」）=ln （eJe 」）+c . g X +e 」例21 J 也(xlnfdXn X) ' (xln X)2例222, , rSecx(secx+tgx) , ,sec x + secxtgx ,kecxdx = [ ---- ------ dx = f ------------- dx = secx +tgx = f d (sec x+tg x)=in|secx + tgx|+c . 、secx +tgx 例23,cosx +sin X , U inx -cosxdx .例24f C0S ^5sinXdx .‘ sin X + cosx例251 J 1X 2 dx =+丄2Xd X -- 二 1+2 X丿例26f X -5X +2x+2dx .第二类换元法拆微法:从积分Jcos2tdt 出发,从两个方向用凑微法计算，即=-f(1 +cos2t)dt+ -sin2t +c, 2」2 4引出拆微原理.Th2 设X =W (t)是单调的可微函数拼且W '(t) H 0；又 f[®(t)]®'(t)具有原函数.贝y有 换元公式J f(x)dx = [ J f [化t)W '(t)dt]t 少e常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,Euler 代换等. 我们着重介绍三角代换和无理代换1. 三角代换:的，目的是去掉根号.方法是：令x=as int, (a:>0),则=3 J cos2udu 孕 +4sin 2u +c -予csin 讦一宁 J 2+2x — x2 P⑵正切代换:正切代换简称为“切换”.是针对型如 J a 2+x 2 (aA0)的根式施行的，目的是去掉根号.方法是：利用三角公式sec21 -tg 2t = 1,即1 +tg 2t = sec t,令⑴ 正弦代换：正弦代换简称为“弦换”.是针对型如Ja 2-x 2 (a 》0)的根式施行例27解法 例28例29/ 2 2v a-xf^dxdx =acost, dx=acoSd,t t =(a >0).解法二用弦换.X arc s-hn aJ ； ----- 一 ===舒sintcost dt =2t +c = 2arcsin J x + c .、讥(1 -x) 、sintcost(参阅例11)tN4-------- t='3s inuJ (2 +2x -x 2dx = jj 3-(X - 1)2dx ===== J (3 -t 2dt ----2j 2 2 xX =atgt, dx =asec tdt .此时有 (a +x =asect, t =arctg-. 变量还原时，常用 a所谓辅助三角形法. dx X = J2tgt,有dx = J2sec 2tdt .禾悯例22的结果，并用辅助三角形，有=ln (J x 2+2 + x H c, c =c'-ln J 2.目的是去掉根号.方法是利用三角公式 sec 21 -1 = tg2t,令X = asect,有例30J 2 + x 2I = Jsecd = I nsect+tgt +c'=lnJ x 2 +2 + x+ c'例31dx 」(x 2+a 2)2'a>0.⑶正割代换：正割代换简称为“割换”.是针对型如J x ? - a? (a >0)的根式施行的，例32dx, (a A 0).J x 2 -a 2 dx解口22l x -axHsetc「asecttgtdt=戶 =at gt/sect d 匸 In seC + t g t 中 c'==Inx + J x 2 -a 2 aH a 2中 c, c = c 一 ln I a |.例 33 fdxx\/x^1J x 2 -a 2 =atgt, dx=xsect 寸gtdt.变量还愿时，常用辅助三角形法. 解法一(用割换)I===== f se? tgt dt = fcostdt =sint +c =1 J x 2—1 + c.、sec t tgtx解法二（凑微）参阅[1] P196 E10.无理代换：若被积函数是 阪，坂,…，坂的有理式时，设n 为口（1 < i < k ）的最2.r応.从中解出例36例37 匸严dx. XI x例38 fSinG ,Px.（给出两种解法）例39 J x3J x2-1dx t="x2 -4小公倍数作代换t =坂，有x=t n, dx = nt^dt.可化被积函数为t的有理函数.例34e存H dx.例35 dx X 2 K+ Ktg®(1+t)dt+6Lr=-6 + In 1 -V x J i + c.若被积函数中只有一种根式^/ax + b或n ax+b Vex +e,可试作代换t =W ax + b或dx例425 t?可（t4+t2）dt=L+n+c V（x2—i）J1（x2—i）J c.本题还可用割换计算，但较繁.3.双曲代换：利用双曲函数恒等式ch2x-sh2x = 1,令x = asht,可去掉型如J a2+x2的根式.dx = achtdt.化简时常用到双曲函数的一些恒等式，如:ch2t =1（ch2t+1）, sh2t =1（ch2t —1）, sh2t = 2shtcht. sh」x = ln（x + J x2+1）..---------- x Ysht例40 JV a2 +x2dx = = = = .facht “achtdt = a2Jch2t d t=2 2a a ■—sh2t +——t +c=2=x J a2 +x2 + — In（ X + J a2+ x2）+c.2 2本题可用切换计算，但归结为积分Jsec tdt，该积分计算较繁.参阅后面习题课例3.例41dxT^x2（例30曾用切换计算过该题.现用曲换计算）. dx，J2 +x2厂L dt = fdt =t + c' =In ” 72cht ，莘+Jd+1 +c'w \ 2丿./ 2 2 V X -a=ln（X + J x2+2）+c.c = c' TnJ2 .例32曾用割换计算过该题.现用曲换计算）.解I 叮asht dt = gt =t +c'=ln、asht倒代换例43■. i2 2 ‘=ln|x +v x -a | +c.=c' -In Ia |.4.倒代换：当分母次数高于分子次数1dx = -pdt.t2dx,且分子分母均为“因式”时，可试用X J x4+ x2d(x2) du2x2J x4+x22u J u2v dt dt5万能代换，応一Ei—1+万能代换常用于三角函数有理式的积分sin X =2si n-cos—22tg|2tx21 _______________________F+c—旦+c.|x|x(参[1]P194).令tg 2 ,就有2 xsec -21+t21 -t2 cosx = ---1+t tg2tdx2dt1+t2'dx例44 f 一dx、1+cosxt =tg-2 解法（用万能代换）1 +t22 dtE—t"dt+c吨弋1+t2规定：斜向乘积带“ + ”是已经积出的函数，横向乘积带“一”是新的被积函数解法二 (用初等化简)I 二1 f —d^ = [sec-d (约=tg x+c .2 '2X ' 2 2 2cos - 2解法三 例45(用初等化简，并凑微), F 1 —cosx 」 r 2 」,dsinx I = f --------- 厂 dx = fcsc X d I ——2—=1-cos 2x " si n 2x1 x=-ctgx + --- + c =cscx -ctgx + c =tg— +c . si nx 2. d O 1+sin +coSx t ztg- 2 1 2 dt ====丰 -------------- 厂 --- 2dt = f -- = In 11 +11 +c='一 2t 1-t 2 1+t 2 't +11+t 21+t 2x =1 n |tg 5 +1| +c .代换法是一种很灵活的方法 .分部积分法: Th 3 (分部积分公式)若u(x)与v(x)可导，不定积分Ju'(x)v(x)dx 存在,则Ju(x)v'(x)dx 也存在 拼有 Ju(x)v(x)dx = u(x)v(x) + fu \x)v(x)dx ,简写为 Juvdx =uv+ Ju'vdx . ▼将分部积分公式进行排列得分部积分算式 求导数 求积分函数介绍使用分部积分公式的一般原则 .1.幕X X 型函数的积分：分部积分追求的目标之一是 取求导，以使该因子有较大简化，特别是能降幕或变成代数函数 函数代替（一般会变繁）,但总体上应使积分简化或能直接积出 使用分部积分法可使“幕”注：分部积分算式可以连续多次使用 ，所有的斜向乘积都是已经积出的函数 ，所带的符号是 先“ + ”后依次交替出现；只有最后的横向乘积才是被积函数 ，其所带符号与前一个 斜向乘积所带的符号相反.2之一求导:对被积函数两因子之一争 .代价是另一因子用其原 .对“幕X ”型的积分，降次 ，或对“ X ”求导以使其成为代数函数.例46Jxin xdx.（幕对搭配） 例47Jxcosxdx.（幕三搭配） 例48 Jxe xdx.（幕指搭配）例49fxe x dx = (X 2 -2x +2)e X +c.求导数求积分（幕指搭配）例50 fe'x dx.例51 Jxar ctgxdX 幂反搭配) 例52Jar cc odx到关于原积分的一个方程.从该方程中解出原积分来V a +x=x J a 1 +x 2 -1 + a 21 n x + ^^a ^x 2)+5___________ 2 _____________________________解得 I = x V a ^x 2 + ln( X + J a2+x 2) + c-2 2= secxtgx + ln |secx+tgx| - Jsec xdx ,12例 56 Jcos xdx = Jcosxdsin x= cosxsinx + J sin xdx==cosxsin X + X - J cos 2xdx , f cos xdx = — +丄sin2x+c .2 4例53Je xsi rxdx54求I •, = fe axcosbxdx和 I 2 = jeaXsi nbxdx, (aH0).例55I 1 I 2 1 a^ b 1 =-e cos)x + —12, a a 1 ax b =—e si riox 丨仆 a解得I 1 I 2fJ a 2 3+x 2 dx,(a >0).I ^x J a 2 +x 212+2v a + xdx == x J a 2 +x 22,2a +xbs i rbx + ac o bx ax 丄 一 ------------- e + c, 2丄门a +b as i ibx — bc 0bx ax . ----- 2 ------- e + c. a 2 +b 2 解得= secxtgx- ftgxsecxtgxdx2 =secxtgx - J (sec x -1) 3= secxtgx- Jsec xdx+3 1 1解得J sec xdx = - secxtgx + -1n | secx + tgx | +c.§ 3有理函数的不定积分及其应用一有理函数的积分：1.代数知识复习：.例1见教材2.部分分式的积分：例2见教材.二.三角函数有理式的积分：万能代换.见教材.某些无理函数的积分：留为阅读.一些不能用初等函数有限表达的积分：见教材例以及s i rx , dxJe*dx,dx. /——x In X1 1f (ax +b)dx =— f(ax+b)d(ax + b) =— f (u)du.a a3 2例57 Jsec xdx = Jsecx sec xdx= Jsecxdtgx。
NUAA高数课件(参考同济第七版)不定积分习题课
习题课 3
第二类换元积分法之运用
f ( x )dx
＝
f ( (t )) ' (t )dt
F (t ) C
(作代换 x (t))
＝
（求出 f ( ( t ))' ( t ) 的不定积分）
1 F ( ( x)) C ＝
（得到 f(x) 的 不定积分）
习题课 4
分部积分法
设函数u u( x ) 和v v ( x )具有连续导数,
由 uv uv uv ,
所以
得 uv uv uv ,
uvdx uv uvdx, udv uv vdu.
分部积分公式
习题课 5
常用的选择 u 和 v 的方法
udv uv v du .
对数函数 幂函数或多项式 反三角函数 幂函数或多项式 指数函数 三角函数
指数函数 三角函数
三角函数 指数函数
习题课 6
填空
si nx 设F ( x )是 的一个原函数，则 dF ( x 2 ) ? x
设F ( x )为f ( x )的一个原函数，则 f (ax b)dx ?
习题课 1
基本积分法
第一类换元积分法（凑微分法） 第二类换元积分法 分部积分法
习题课 2
凑微分法的运用
g ( x )dx ＝ f ( ( x )) '( x )dx
＝
＝ ＝
（凑微分）
f (u)du
F (u) C
（引进中间变量）
（求出f(u)的不定积分）
F ( ( x )) C (得到g(x)的不定积分)
cos x 设 是f ( x )的 一 个 原 函 数 ， 则 xf ' ( x )dx ? x ex 设f ( x )的 一 个 原 函 数 为 ， 则 xf ' ( 2 x )dx ? x
(整理)第6章 不定积分习题课
第六章不定积分习题课一：主要内容1、基本概念要掌握两个基本概念：原函数，不定积分。
2、基本公式掌握不定积分计算的基本公式，这是整个不定积分计算的基础。
3、计算方法换元法，分部积分法，有理函数积分法，有理三角函数积分法。
特别注意掌握换元法和分部积分法的思想。
3、不定积分的计算涉及题型多，技巧性强，难度大，虽然针对一些特殊结构的题目给出了一般性的处理方法，但在实际的计算中，不要局限于这些一般性的方法，要针对具体的题型结构，掌握各种方法的实质，针对结构特点，灵活使用各种技巧，尽量选择简单的特殊的方法，只有这样才能收到事半功倍的效果。
计算不定积分的一般程序为：1）、利用各种方法和技巧如因式分解、有理化等，先简化被积函数，为进一步分析结构特点创造条件；2）、分析积分结构特点和难点，如困难因子，不同结构的因子，不同因子的关系等；3）、针对结构特点选择对应的方法和技巧。
二：典型题目。
通过一些典型题目说明计算中的方法，技巧问题。
下述的一些题目不难，关键掌握分析的方法。
例1 设F(x)为f(x)在区间I 上的原函数，且0x I Î为f(x)的间断点，证明0x 必为f(x)的第二类间断点。
分析 本题考察两个基本概念：原函数和间断点。
从要证明的结论看，要证明0x 为第二类间断点，按定义须证明 f(x)在此点的左右极限至少有一个不存在，我们知道在证明的结论中，证明肯定的结论比证明否定的结论简单，证明存在性要比不存在性简单，特别是对抽象函数，因此，在处理这类问题时通常采用反证法。
证明：设间断点0x 不是f （x ）的第二类间断点，则0lim ()x x f x +®和0lim ()x x f x -®都存在。
又利用原函数的定义，F(x)在0x 点可导且00()()F x f x ¢=，即 0000()()()lim x x F x F x f x x x ®-=-，因而，还有000()()()lim x x F x F x f x x x +®-=-，0000()()()lim x x F x F x f x x x -®-=-；但是，由L ”Hospital 法则，0000()()l i m l i m ()l i m ()x x xxx xF x F x F x f x x x +++-¢==-， 00000()()l i ml i m ()l i m ()x x xxx xF x F x F x f x x x ----¢==-， 故00()lim ()lim ()xx xx f x f x f x +-==，因而，f(x)在0x 点连续，矛盾。
不定积分与定积分 习题课73页PPT
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 ห้องสมุดไป่ตู้ 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
不定积分习题
1 2
x2
C,
x 1
故
max{1,
x
}dx
x 1 C, 2
1 x 1.
1 2
x2
1
C,
x 1
例8
求
f ( x) f 2 ( x) f ( x)
[
f ( x)
f 3 ( x) ]dx.
解
原式
f ( x) f 2 ( x) f 2 ( x) f ( x)
1 dx 1 x4
俗称“积不出来”
二、典型例题
例1
求
2x3x 9x 4x dx.
解
原式
(3)x
2 ( 3)2 x
dx 1
1 ln 3
2
2
d(3)x 2
令(3)x t 2
1
(3)2x 1 2
ln 3 2
dt t2 1
1 2 ln 3
(t
1 1
t
1 )dt 1
dx x
sin2 x sin 3
cos2 x cos x
xdx
sin
1 x cos
dx x
cos sin 3
x x
dx
sin cos
x x
cos sin
x x
dx
1 sin3
d x
(sin
x)
ln
tan
x
1 2 sin
2
x
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第六章不定积分习题课一：主要内容1、基本概念要掌握两个基本概念：原函数，不定积分。
2、基本公式掌握不定积分计算的基本公式，这是整个不定积分计算的基础。
3、计算方法换元法，分部积分法，有理函数积分法，有理三角函数积分法。
特别注意掌握换元法和分部积分法的思想。
3、不定积分的计算涉及题型多，技巧性强，难度大，虽然针对一些特殊结构的题目给出了一般性的处理方法，但在实际的计算中，不要局限于这些一般性的方法，要针对具体的题型结构，掌握各种方法的实质，针对结构特点，灵活使用各种技巧，尽量选择简单的特殊的方法，只有这样才能收到事半功倍的效果。
计算不定积分的一般程序为：1）、利用各种方法和技巧如因式分解、有理化等，先简化被积函数，为进一步分析结构特点创造条件；2）、分析积分结构特点和难点，如困难因子，不同结构的因子，不同因子的关系等；3）、针对结构特点选择对应的方法和技巧。
二：典型题目。
通过一些典型题目说明计算中的方法，技巧问题。
下述的一些题目不难，关键掌握分析的方法。
例1 设F(x)为f(x)在区间I 上的原函数，且0x I Î为f(x)的间断点，证明0x 必为f(x)的第二类间断点。
分析 本题考察两个基本概念：原函数和间断点。
从要证明的结论看，要证明0x 为第二类间断点，按定义须证明 f(x)在此点的左右极限至少有一个不存在，我们知道在证明的结论中，证明肯定的结论比证明否定的结论简单，证明存在性要比不存在性简单，特别是对抽象函数，因此，在处理这类问题时通常采用反证法。
证明：设间断点0x 不是f （x ）的第二类间断点，则0lim ()x x f x +®和0lim ()x x f x -®都存在。
又利用原函数的定义，F(x)在0x 点可导且00()()F x f x ¢=，即 0000()()()lim x x F x F x f x x x ®-=-，因而，还有000()()()lim x x F x F x f x x x +®-=-，0000()()()lim x x F x F x f x x x -®-=-；但是，由L ”Hospital 法则，0000()()l i ml i m ()l i m ()x x xxx xF x F x F x f x x x +++-¢==-，0000()()l i ml i m ()l i m ()x x xxx xF x F x F x f x x x ----¢==-， 故00()lim ()lim ()xx xx f x f x f x +-==，因而，f(x)在0x 点连续，矛盾。
注、从上述证明过程中，可以看到：若f(x)有第一类或可去间断点，则f(x)必不存在原函数。
例2 设112sin cos ,0()0,0x x f x x x x ìïï-?ï=íïï=ïî，讨论f(x)的原函数的存在性。
分析 处理这类问题有两种思路，其一是通过考察间断点的性质判断原函数的存在性，即若存在不是第二类的间断点，肯定不存在原函数，当然，若间断点是第二类的，并不一定保证原函数的存在性。
其二是通过计算不定积分判断原函数的存在性，此时，若能得到一个合理正确的原函数，则表明原函数的存在，若得不到原函数，则表明原函数不存在。
对本例，首先，x ＝0是f （x ）的第二类间断点，因此，由例1还不能得到结论，第一种思路不能解决问题。
考虑第二种思路，通过不定积分的计算判断原函数的存在性；我们知道，对给定的一个单一的表达式，可以直接计算对应的不定积分，但是，对分段函数来说，我们必须在不同的范围中，分段进行不定积分的计算，得到一个分段表达式，然后，利用原函数的性质（可导且导函数为给定的函数）验证得到的函数是否为给定函数的原函数。
解、当0x ¹时，由分部积分法，则2111(2sin cos )sin x dx x C x x x-=+ò，令21()sinF x x x=，0x ¹，则可以验证，在0x ¹时，()()F x f x ¢=。
补充F(x)在x=0的定义，注意到原函数一定连续，因而，如下补充定义21sin ,0()0,0x x F x x x ìïï¹ï=íïï=ïî， 进一步可以验证，F(x)在x ＝0点可导且(0)0(0)F f ¢==。
因而，对任意的x ，都有()()F x f x ¢=，因而，F(x)为f(x)的原函数。
注、原函数不唯一，事实上，21s i n ,0(),0x C x F x x C x ìïï+?ï=íïï=ïî都是其原函数。
注、例2中，x=0为第二类间断点，此例存在原函数。
将例2稍加修改为112sin cos ,0()1,0x x f x x x x ìïï-?ï=íïï=ïî， 则x=0仍是第二类间断点。
此时，若原函数存在，则必为21sin ,0(),0x C x F x x C x ìïï+?ï=íïï=ïî但是，由于对任意C ，都有(0)0(0)F f ¢=?，故F(x)不是f(x)的原函数。
因而，此时，f(x)的原函数不存在。
例3、设2,0()sin cos ,0x x f x x x x ìï³ï=íï+<ïî，讨论原函数的存在性。
分析 与例2类似可以考虑两种解决方法。
解、法一、由于x ＝0是f （x ）的第一类间断点，因而，原函数不存在。
法二、通过不定积分的计算判断原函数的存在性。
当0x ³时，计算对应的不定积分，则 23113x dx x C =+ò； 当x<0时，对应有2(sin cos )sin cos x x dx x x C +=-+ò。
令3121,0()3sin cos ,0x C x F x x x C x ìïï+?ï=íïï-+<ïî，要使F(x)为原函数，必须满足在x=0点的连续性，因此，必须有211C C =+，故3111,0()3sin cos 1,0x C x F x x x C x才有可能成为原函数，进一步考察其可导性质，由于0()(0)(0)l i m 0,x F x F F x+?-¢== 0()(0)(0)l i m 1x F x F F x -?-¢==， 则，F(x)在x ＝0点不可导，因而，f(x)不存在原函数。
注、在计算分段函数的不定积分时，在不同的段上，积分常数C 是不同的。
如，例3中若直接将F(x)中的两个积分常数取为同一个C ，可以看到，此时F(x)不连续，因而，不可能是原函数。
此时，需要借助原函数的连续性给出两个积分常数的关系。
例4、设2()(1)f x dx arctgx C x x =++ò，计算()f x e dx ò。
分析 解题的思路是：从已知的条件中计算出()f x 或()f x e ，然后代入计算。
解、由原函数的性质得22()1[](1)1f x arctgx C x x x¢=+=++ 故，f(x)=x ，因而，()f x edx ò＝x e C +。
注、例4中能够将被积函数简单计算出来，因而，我们采用了先计算被积函数，再计算相应的不定积分的方法，但是，对有些例子来说，被积函数的计算较为复杂，此时，不必计算被积函数，可以借助其它条件――通常为不定积分的计算性质――计算不定积分。
例5、1）、设()sin x x f e x e =+，计算()f x dx ò；2）、已知()f x 的一个原函数为ln arctgx ，计算()xf x dx ¢ò。
分析 对1），虽然能计算出()f x 的表达式，但事实上，没有必有这样做，只需通过变量代换将被积函数结构转化为已知的函数形式。
对2），也没有不要计算()f x ¢，只需利用积分性质将导数转移即可。
解、1）、作变量代换t x e =，则()()(s i n )t t ttf x d x f e e d t t e e d t==+蝌?211(sin cos )22t t e t t e C =-++， 2）、由条件得()l n f x d x a r c t g xC =+ò， 故21()(1)f x x arctgx=+。
利用分部积分公式，则()()()xf x dx xf x f x dx ¢=-蝌2l n ||(1)xa r c t g x C x a r c t g x=-++ 。
下面的例子属于不定积分的计算，有些例子较为简单，但是，希望从简单的求解过程中，领会解题的思想方法。
有些例子，技巧性强，需要认真理解和掌握。
例6 计算()⎰+dx x1001。
分析 若直接展开进行计算，计算量太大，必须利用技巧和方法减少计算量，注意到结构中，难点在于因子100(1+，因此，处理的重点就是复杂因子的简单化，这就决定了选择的变换为1t =+100(1t =+，注意在选择变换时，既要使复杂因子简单化，同时要尽量避免简单因子（包括积分变量的微分dx ）的复杂化，这是选择变换的原则，对本例，以上两个变换难度差别不是很大。
解、原式()211-==+=t x x t 2()c t t dt t t +-=-⎰101102100101210221。
例7 计算⎰--12x x dx 。
分析 难点出现在被积函数的分母上，有两类不同的因子；解决思想；去掉根式或分离不同的因子，使被积函数简单化。
由此决定采用方法：方法1、可以利用换元变换x=sect ，转化为三角函数有理式的积分，这是去掉根式的常规方法。
但注意，一般来说三角函数有理式的积分也不容易计算，因此，我们进一步分析其结构特点，找到又一种解题的方法――方法2、分母有理化方法简化被积函数，这是针对被积函数结构特点的方法。