122组合二组合数的两个性质
排列组合二项式定理知识点
排列组合二项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理．排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质．考试要求：1掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．2理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题．3理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题．4掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题．排列组合二项定理知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．的排列.．．重复．．元素从m个不同元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个,所以从m 个不同元素中,每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例如：n 件物品放入m个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法解：n m种二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n个不同的元素中任取mm≤n个元素,按照一定顺序．．．．．．排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列.如果；两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数.从n 个不同元素中取出mm≤n 个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号m n A 表示.⑷排列数公式：注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0 = 1111--++=⋅+=m nm n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ,且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如：已知数字3、2、2,求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取mm≤n 个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m nm mm nmn-=+--==⑶两个公式：①;mn nm n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ ①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素,因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.或者从n+1个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取m 个不同小球其不同选法,分二类,一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素,所以有C 1-m n ,如果不取这一元素,则需从剩余n 个元素中取出m 个元素,所以共有C m n 种,依分类原理有mn m n m n C C C 11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系.⑸①几个常用组合数公式 ②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n利用!1)!1(1!1n n n n --=- ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法即用m n m n m n C C C 11+-=+递推如：413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数,左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ,而右边nn C 2=四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,一般地,n 个不同元素排成一列,要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”,而m m A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位,A 、B 两个不能相邻,则有排列法种数为-2n A 2211A An ⋅-. ②有n 件不同商品,若其中A 、B 排在一起有2211A An n ⋅--.③有n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有112--⋅n n nA A. 注：①③区别在于①是确定的座位,有22A 种；而③的商品地位相同,是从n 件不同商品任取的2个,有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列,其中m 个元素互不相邻,不同的排法种数为多少mm n m n m n A A 1+---⋅插空法,当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种,)(n m m 个元素的全排列有mm A 种,由于要求m 个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若n个元素排成一列,其中m 个元素次序一定,共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列,其中m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法解法一：逐步插空法m+1m+2…n = n/ m；解法二：比例分配法mm n n A A /.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组,每组n 个,共有k knnn n k n kn A C C C )1(-⋅.例如：从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法有3!224=C 平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了又例如将200名运动员平均分成两组,其中两名种子选手必在一组的概率是多少!2/102022818C C C P =注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列,其中某m 个元素互不相邻且顺序不变,共有多少种排法有m m m m n m n m n A A A /1+---⋅,当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板,把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ,故2,x 是方程的一组解.反之,方程的任何一组解),,,(4321y y y y ,对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式如图所示故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数,即用na a a , (21)ia 等于1+i x ,有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321,进而转化为求a 的正整数解的个数为2x 41-+n n A C .⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内,并且都排在某r 个指定位置则有rk r n r r A A --.例如：从n 个不同元素中,每次取出m 个元素的排列,其中某个元素必须固定在或不固定在某一位置上,共有多少种排法固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A 一类是不取出特殊元素a,有mn A 1-,一类是取特殊元素a,有从m-1个位置取一个位置,然后再从n-1个元素中取m-1,这与用插空法解决是一样的 ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列或组合,规定某r 个元素都包含在内 ;先C 后A 策略,排列k k r k r n r r A C C --；组合r k r n r r C C --.ii. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列或组合,规定某r 个元素都不包含在内;先C 后A 策略,排列k k k r n A C -；组合k r n C -.iii 从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列或组合,规定每个排列或组合都只包含某r 个元素中的s 个元素;先C 后A 策略,排列kk sk r n sr A C C --；组合sk r n sr C C --.II. 排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列；④正难则反,等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.2. 组合问题中分组问题和分配问题.①均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组,假定其中r 组元素个数相等,不管是否分尽,其分法种数为r r A A /其中A 为非均匀不编号分组中分法数.如果再有K 组均匀分组应再除以k k A .例：10人分成三组,各组元素个数为2、4、4,其分法种数为1575/224448210=A C C C .若分成六组,各组人数分别为1、1、2、2、2、2,其分法种数为44222224262819110/A A C C C C C C ⋅②非均匀编号分组: n 个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间的顺序,其分法种数为m mA A ⋅ 例：10人分成三组,各组人数分别为2、3、5,去参加不同的劳动,其安排方法为：335538210A C C C ⋅⋅⋅种.若从10人中选9人分成三组,人数分别为2、3、4,参加不同的劳动,则安排方法有334538210A C C C ⋅种③均匀编号分组：n 个不同元素分成m 组,其中r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序,其分法种数为m mr r A A A ⋅/. 例：10人分成三组,人数分别为2、4、4,参加三种不同劳动,分法种数为33224448210A A C C C ⋅ ④非均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组,每组元素数目均不相同,且不考虑各组间顺序,不管是否分尽,其分法种数为1m n C A =21m m -n C …k m )m ...m (m -n 1-k 21C +++例：10人分成三组,每组人数分别为2、3、5,其分法种数为25205538210=C C C若从10人中选出6人分成三组,各组人数分别为1、2、3,其分法种数为126003729110=C C C .五、二项式定理.1. ⑴二项式定理：nn n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n rn n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的,即为n 次,展开式依a 的降幕排列,b 的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b aC T r rn r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n 是偶数时,中间项是第12+n 项,它的二项式系数2nn C 最大；II. 当n 是奇数时,中间项为两项,即第21+n 项和第121++n 项,它们的二项式系数2121+-=n nn n C C最大.③系数和：附：一般来说b a by ax n ,()(+为常数在求系数最大的项或最小的项．．．．．．．．．．．时均可直接根据性质二求解. 当11≠≠b a 或时,一般采用解不等式组11111(,+-+-+⎩⎨⎧≤≤⎩⎨⎧≥≥k k k kk k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数的绝对值的办法来求解. ⑷如何来求n c b a )(++展开式中含r q p c b a 的系数呢其中,,,N r q p ∈且n r q p =++把n n c b a c b a ])[()(++=++视为二项式,先找出含有rC 的项r r n rnC b a C -+)(,另一方面在rn b a -+)(中含有q b 的项为q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=,故在n c b a )(++中含r q p c b a 的项为r q p q r n r n c b a C C -.其系数为r r q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --==---⋅-=!!!!)!(!)!()!(!!. 2. 近似计算的处理方法.当a 的绝对值与1相比很小且n 不大时,常用近似公式na a n +≈+1)1(,因为这时展开式的后面部分nn n n n aC a C a C +++ 3322很小,可以忽略不计;类似地,有na a n -≈-1)1(但使用这两个公式时应注意a 的条件,以及对计算精确度的要求.高中数学第十一章-概率考试内容：随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验．考试要求：1了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．2了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率;3了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．4会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率．。
1.2.2组合二
所以，一共有90+360+90＝540种方法．
变式：若10本不同的书，分成6:2:2三堆，有 多少种分法？
C160 C42 C22 A22
练习：
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法?
(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
解：（1）根据分步计数原理得到：
C62C42C22 90种
例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种 不同的选法：
(2)分为三份，每份2本； 解析：(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C62C42C22 种
方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每
份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、
先选双,在挑只
课堂练习：
在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
●思悟小结
1. 排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合 中常见的问题有：选派问题、抽样问题、图形问 题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键 是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排， 合理分类、分步.
练习： 在11名工人中，有5人只能当钳工， 4人只能当车工，另外2人既能当钳工，又能 当车工，现从11人中选出4人当钳工，4人当 车工，问有多少种不同的选法？
例7：10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中， 从中任意抽取4只，试求各有多少种情况出现如 下结果： (1)4只鞋子没有成双；(2) 4只鞋子恰好成双； (3) 4只鞋子有2只成双，另2只不成双。
解：（1）根据分步计数原理：一共有 44 256 种方法；
数学课件：1.2.2.2 组合数的两个性质
C������������-1 = C������������+1 − C������������ ,为某些项相互抵消提供了方便,在解题时要注意 灵活运用.
(1)只有一名女生; (2)两名队长都当选; (3)至少有一名队长当选; (4)至多有两名女生当选; (5)既要有队长,又要有女生当选.
(2)证明:C���0��� + C���1���+1 + C���2���+2+…+C������������+-1������-1 = C������������+-1������ .
分析(1)解答的突破口在“C������������ = C���2��������� ”,因为等号两边是下标相同 的两个组合数,所以由组合数的性质 1 可得 y=2y 或 y=x-2y.(2)证明
反思 (1)若C������������ = C������������ ,则 x=y 或 x+y=n. (2)对于第(2)小题,证明的关键是要能看出C���0��� = C���0���+1=1.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二
组合应用题
【例2】 课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、 女生各指定一名队长.现从中选5人主持某项活动,依下列条件各有 多少种选法?
∴x=15.
∴方程组的解为
������ ������
= =
15, 5.
题型一 题型二 题型三 题型四
课件4：1.2.2 组合——组合数的两个性质
C C 9 2
11
11
C C 3 7
10
10
组合数的性质
用组合的定义思考
从n个不同元素中取出m个不同的元素的方法 一一对应
从n个不同元素中取出n－m个不同的元素的方法
C Cnm =
nm n
即从n个不同的元素中取出m个元素的组合数,等于 从这n个元素中取出n-m个元素的组合数
C C 性质一
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞 3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否
选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱
的5人中没有人选上唱歌人员共有_C_32_C_32 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人
员__C_15_C_13C__24_种,只会唱的5人中只有2人
选上唱歌人员有_C_52C_5_2 种，由分类计数
12
12
13
C C C C (
3 7
2 7
2 7
3 7
35)
(2). 求证
C C C C m1 m1 2 m m1
n
n
n
n2
C C C C 证明: 原式 ( m1 m) ( m m1)
n
n
n
n
C C
m1
n 1
m n 1
C
m1
n2
得证
例3.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱歌,5人会 跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选 派方法?
1 n1
1 n
n
(n
1)}
C C C C (2)
m m1 m m1
n1
n
n1
n1
C C C (
m1 n
m n
组合数的性质(2)
（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
（5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；
（6）分给5个人，每人至少一本； （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
C C C C 14
1 2 3 4 2 2 2 4
C C C 1 14
4 6 4 4 2 6
二、多面手问题 例2.现有8名青年，其中有5名胜任英语翻译工作， 有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年 两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承 担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从 事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
计 C C C C 算
2 2 2 3 2 4
2 10
有简洁明快的计算方法吗？
新课教学：
引例1：某小组有7人: ⑴选出3人参加植树劳动,可以有多少种不同的 3 选法? C 7 35 ⑵选出4人参加清扫校园劳动,可以有多少种不 4 同的选法? C 35
7
即选出3人参加植树劳动或选出4人参加清扫校 园劳动都有35种不同的选法. 思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同? 这一结果的组合的意义是什么？
思考：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
一般地，从a1 , a2 , , an1这n 1个不同的元素中取
m 出m个元素的组合数是Cn1， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
含有a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出
数学课件：1.2.2.2 组合数的两个性质
解析:C11C552·C0315 = 37.
答案:37
1234 5
5.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同
一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数
是
.
解析:第一类,每级最多站一人,则有A37种站法;第二类,有一级台阶站 2 人,另一级台阶站 1 人,则有C32 ·A27种,故共有A37 + C32 ·A27=336(种).
【做一做 1-1】 若C225������ = C2������5+4,则 x 的值是( ) A.4 B.7 C.4或7 D.无解 解析:由题意可知,2x=x+4或2x+(x+4)=25, 解得x=4或x=7. 答案:C
【做一做 1-2】 C19000 − C9899等于(
A. C18090
B. C9990
知识拓展 要注意C������������+1 = C������������ + C������������-1的顺用、逆用、变形应用. 顺用是将一个组合数拆成两个;逆用则是“合二为一”;还可变形为
C������������-1 = C������������+1 − C������������ ,为某些项相互抵消提供了方便,在解题时要注意 灵活运用.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型四 易错辨析
【例4】 从1~9这九个数字中,取出5个数字作排列,并把五个位置 自右至左编号,则奇数数字必在奇数位置上的排列有多少个?
错解:从 1,3,5,7,9 五个奇数数字中取 3 个排列在奇数位置上,有 A35种方法,再由 2,4,6,8 四个偶数数字取 2 个排列在偶数位置上,有 A24种方法,故符合题意的排列共有A35 ·A24=720(个).
教学设计5 : 1.2.2 组合（二）
1.2.2 组合（二）教学重点：组合数的性质教学难点：组合数的性质一、讲解新课：1.组合数的性质1：C C m n m n n -=．一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：C C m n m n n-=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想 证明：∵!!C ()![()]!!()!n m n n n n m n n m m n m -==---- 又 !C !()!mn n m n m =-，∴C C m n m n n -= 说明：①规定：0C 1n =；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； ③此性质作用：当2n m >时，计算C m n 可变为计算C n m n -，能够使运算简化. 例如20012002C ＝200220012002C -＝12002C =2 002；④C C x y n n =y x =⇒或n y x =+．2.组合数的性质2：1C m n +＝C m n +1C m n -．一般地，从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是1C m n +，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1C m n -个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有C mn 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想． 证明：1!!C C !()!(1)![(1)]!m m n n n n m n m m n m -+=+---- )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n)!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n 1C m n += ∴1C m n +＝C m n +1C m n -．说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形，简化运算二、例题讲解例1.一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：（1）38C 56=,或38C =27C +37C ，；（2）27C 21=；（3）37C 35=．例2．（1）计算：34567789C C C C +++；（2）求证：2C n m +＝C n m +12C n m -+2C n m -．解：（1）原式4565664889991010C C C C C C C 210=++=+===；证明：（2）右边1121112(C C )(C C )C C C n n n n n n n m m m m m m m ----+++=+++=+==左边 例3．解方程：（1）1231313C C x x +-=；（2）解方程：2332231C C A 10xx x x x --++++=． 解：（1）由原方程得123x x +=-或12313x x ++-=，∴4x =或5x =，又由111312313x x x +≤+≤⎧⎪≤-≤⎨⎪∈⎩N 得28x ≤≤且x +∈N ，∴原方程的解为4x =或5x =上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x =和5x =代入检验,这样运算量小得多.（2）原方程可化为23331C A 10xx x -++=，即53331C A 10x x ++=，∴(3)!(3)!5!(2)!10!x x x x ++=-⋅， ∴11120(2)!10(1)(2)!x x x x =-⋅-⋅-，∴2120x x --=，解得4x =或3x =-， 经检验：4x =是原方程的解例4．证明：C C C C n p p n pm n m m p --⋅=⋅.证明：原式左端可看成一个班有m 个同学，从中选出n 个同学组成兴趣小组，在选出的n 个同学中，p 个同学参加数学兴趣小组，余下的p n -个同学参加物理兴趣小组的选法数.原式右端可看成直接在m 个同学中选出p 个同学参加数学兴趣小组，在余下的p m -个同学中选出p n -个同学参加物理兴趣小组的选法数.显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立.例5．求证：011C C C C m m n m n m -++…0C C C m m n m m n ++=（其中m n ≥）.证明：设某班有n 个男同学、m 个女同学，从中选出m 个同学组成兴趣小组，可分为1+m 类：男同学0个，1个，…，m 个，则女同学分别为m 个，1-m 个，…，0个，共有选法数为011C C C C m m n m n m -++…0C C m n m +.又由组合定义知选法数为C m m n +，故等式成立.例6．求证：123C 2C 3C n n n +++…1C 2n n n n n -+=.证明：左边=123C 2C 3C n n n +++…C n n n +=111213123C C C C C C n n n +++…1C C n n n +，其中1C C i i n 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选一个的组合数.设某班有n 个同学，选出若干人（至少1人）组成兴趣小组，并指定一人为组长.把这种选法按取到的人数i 分类（，，21=i …n ，），则选法总数即为原式左边.现换一种选法，先选组长，有n 种选法，再决定剩下的1-n 人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有12-n 种，所以选法总数为12-n n 种.显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立.三、课堂练习：1.如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ）A.15对B.对C.30对D.20对2.设全集{},,,U a b c d =，集合A 、B 是U 的子集，若A 有3个元素，B 有2个元素， 且{}A B a =，求集合A 、B ，则本题的解的个数为 （ ）A.42B.21C.7D.33.圆上有10个点：（1）过每2个点画一条弦，一共可画 条弦；（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形4.（1）凸五边形有 条对角线；（2）凸n 五边形有 条对角线5．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？6．写出从,,,,a b c d e 这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合？【答案】1. A 2. D3.（1）45 （2）1204.（1）5 （2）(3)/2n n -5. 123444444C C C C 2115+++=-=6. ,,,a b c d ； ,,,a b c e ； ,,,a b d e ； ,,,a c d e ； ,,,b c d e四、小结：利用组合数的性质解决组合的综合应用问题五、板书设计（略）六、教学反思：排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样新颖且贴近生活，解法灵活独到但不易掌握，许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施，尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗.教科书在研究组合数的两个性质①C C m n m n n -=，②11C C C m m m n n n -+=+时，给出了组合数定义的解释证明，即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法，由组合个数相等证出要证明的组合等式.这种构造法证明构思精巧，把枯燥的公式还原为有趣的实例，能极大地激发学习兴趣.本文试给几例以说明.。
高中数学-组合数的两个性质-教学设计
教学目标：1.掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑推理能力。
2.利用组合数的两个性质进行有关计算，培养学生的应用意识和计算能力。
3 .引导学生由特殊到一般，从具体到抽象，归纳出一般的规律，从而渗透概括、归纳等思想方法。
4.在上述学习过程中发展学生主动探索的精神。
教学重点、难点：重点：组合数的两个性质及其应用难点：用组合的定义理解组合数两个性质，以及灵活应用（特别是第二个性质的理解与应用） 教学方法：启发式教学法、探究发现法 教学手段：电化教学辅助设计 教学过程：第一阶段：课前准备（提出问题，让学生思考）问题：在同一直角坐标系中,画出函数()=xn f x C （1,2,3,4,5,6,7,=n x ≤n 且x ∈*N ）的图像,根据图像回答下列问题:(1) 函数的图像有何特征？怎样用数量关系来描述这些函数的特征？(2) 请从数与形两个方面来分析函数()x n f x C =的特征（设计意图：让学生预习教学内容，查阅与课题有关的资料，在主动求知中扫除部分障碍，为进一步理解构架好底座，并培养良好的学习习惯，同时拓宽学习渠道，在自学范围上实现“超文本”） 第二阶段：实际教学 一．课堂引入1．复习排列和组合的有关内容：强调：排列——有序性；组合——无序性． 2．练习一1. 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？2. 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？练习二： 计算：①34C 和14C ；35C 和25C ② 3276C C -与36C ；5466C C +与57C 二．新课探究探究一、组合数的性质1问题1、通过结合课前问题及计算练习二中的①，你有何发现？怎样对这一结果进行解释？能否借此简化97100C 的运算？（设计意图：让学生体验数形结合及特殊到一般和一般到特殊的思想方法，通过对特殊组合数的计算发现性质，并进行证明或设计实际问题背景来解释这性质） 创设情境例1：现有4名同学（1）从中选出3名同学参加某一活动，有多少种不同的选派方法？ （2）从中选出1名同学不参加这项活动，有多少种不同的选派方法？（设计意图：直接用组合的定义，结合具体的例子对性质加以说明，避免用组合数公式去证明，符合学生的实际要求。
122组合二
例2.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线 段共有多少条？
(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向 线段共有多少条？
例4：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品 检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成 一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个
数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
3、组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
我们规定：Cn0 1.
C C 定理 1:
m
nm
n
n
例1：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以 前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时 一个足球队的上场队员是11人。问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上 场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守 门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类 法或间接法求解。
122组合第一课时组合的概念及组合数公式
(2)性质 2:
Cmn＋1＝Cmn ＋_C__mn_－_1____.
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第一章 计数原理
做一做 2.C27＝________,C1280＝________. 答案:21 190
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题型一 组合的概念
第一章 计数原理
例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题:
(1)设集合A＝{a,b,c,d,e},则集合A的子集中含有3个元素的有多少
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备选例题
1.求值:C5n－n＋C9n－＋n1.
5－n≤n
5－n≥0 解:由于 9－n≤n＋1,可得 4≤n≤5,
9－n≥0
∵n∈N*,∴n＝4 或 n＝5, 当 n＝4 时,原式＝C14＋C55＝5; 当 n＝5 时,原式＝C05＋C46＝16.
第一章 计数原理
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2.已知C15m－C1m6 ＝107Cm7 , 求 Cm8 .
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第一章 计数原理
【名师点评】 区分排列与组合问题,关键是利用排列与组合的 定义,组合是“只选不排、并成一组,与顺序无关”.只要两个组 合中的元素完全相同,则不论元素的顺序如何,都是相同的组合. 只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.
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变式训练
第一章 计数原理
1.判断下列问题是排列问题,还是组合问题.
(4)甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,无顺序区别,为
组合问题.
(5)发信人与收信人是有区别的,是排列问题.
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题型二 有关组合数的计算与证明
第一章 计数原理
例2 计算下列各式的值.
(1)3C38－2C25;
【解】(1) 3C83－2C25＝3×83× ×72× ×61－2×25××14＝148.
高二数学组合数的两个性质
组合数的两个性质教学目的：熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题。
教学重点：组合数的两个性质的理解和应用。
教学难点：利用组合数性质进行一些证明。
教学过程：一、复习回顾：1强调：排列——次序性；组合——无序性． 2．练习1：求证：11--=m n mn C mn C ． （本式也可变形为：11--=m n m n nC mC ）2：计算：① 310C 和710C ； ② 2637C C -与36C ；③ 511411C C +（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）二、新授内容：1．组合数的 性质1：m n n m n C C -=．理解： 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n - m 个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C mn -=∴m n n m n C C -=注：1︒ 我们规定 10=n C2︒ 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标． 3︒ 此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算mn n C -，能够使运算简化． 例如：20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002．4︒ yn x n C C =y x =⇒或n y x =+2．例4一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：⑴ 5638=C ⑵ 2127=C ⑶ 3537=C 引导学生发现：=38C +27C 37C ．为什么呢？我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．一般地，从121,,,+n a a a Λ这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是mn C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m nC 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m n C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．3．组合数的 性质2：m n C1+＝m n C +1-m n C ．证明： )]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n)!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n)!1(!)!1(+-+=m n m n mn C 1+= ∴ m n C 1+＝mn C +1-m n C ．注：1︒ 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．2︒ 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．4．补充例题⑴ 计算：69584737C C C C +++⑵ 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C⑶ 解方程：3213113-+=x x C C⑷ 解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ⑸ 计算：4434241404C C C C C ++++和554535251505C C C C C C +++++ 推广：nn n n n n n n C C C C C 21210=+++++-Λ5．组合数性质的简单应用： 证明下列等式成立：⑴ （讲解）11321++---=+++++k n k k k k k n k n k n C C C C C C Λ ⑵ （练习）1121++++++=++++k k n k n k k k k k k k C C C C C Λ⑶ )(23210321n n n n nn n n n C C C n nC C C C +++=++++ΛΛ 三、作业： 课堂作业：P 103 1#，2#课外作业：课本习题10.3；5#—8#四、小结：1．组合数的两个性质；2．从特殊到一般的归纳思想．酒钢三中高二数学组。
组合数的两个性质--自制
2(1 5 10) 25
推广：C
0 n
C
1 n
C
2 n
C
n1 n
C
n n
2n
一、计算：
课堂练习
C C （1） 3 2
8
7
C （2）
3 7
C74
C85
C96
C73 C72 C72 C73 35
C84 C85 C96
C59
C
6 9
C160
C C （3）
n
n1
n1 n
C140 210
C1 n1
C1n
n (n
1)
课堂练习
二、证明：
C C C C （1）
m
n1
m1
n
m
n1
m1 n1
(右
Cnm1
Cmn
C
m n 1
左)
C C C C （2）
m1
n
m1 2
n
m
n
m1 n2
C C C C 证明: 原式 ( m1 m) ( m m1)
n
n
n
n
C C
m1
n1 nm1
3、课本P115 1(4) 2(2)
1、组合数的两个性质
C C C Cnm
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一、复习回顾
1、组合数与排列数的区别？
2、组合数 C
m n
与排列数
Anm
的关系？
3、组合数公式
C
m n
?
n(n ? 1)(n ? 2)? m!
(n ? m ? 1)
C
m n
?
n! m!(n ?
m)!
组合数性质：Leabharlann 性质1：C
m n
?
C n?m n
(规定：C
0 n
?
1
)
性质 2:
:C
n0+C
1n+1+C
2n+2+…+C
m-1 n+m-1
=C
n+m
m-1
（2）求证：
Cmm
?
Cm m?1
?
Cm m?2
?
?
?
Cm n?3
?
Cm n?2
?
Cm n?1
?
Cm?1 n
例3：(1)若
C x2? x 16
?
C5x?5 16
，求x.
先考虑条件，相当于先考虑函数的定义域。
（2）解不等式：
C
20n-5+C
20n-4<C
21n-2<C
20n-1+C
n-2 20
解：由C
n
m+C
m-1 n
=C
m n+1
∴原不等式化为C
n-4 21
<C
n-2 21
<C
n-1 21
∴原不等式化为:
21! (n-4)!(21-n+4)!
<
21! (n-2)!(21-n+2)!
<
21! (n-1)!(21-n+1)!
∴ (24-n)(25-n)>(n-3)(n-2) 23-n>n-1
Cm n?1
?
C
m n
?
C m?1 n
例1：计算(1)
C 198 200
(2) C939 ? C929
(3)
C 95 97
?
C 96 97
?
C 97 98
?
C 98 99
(4)C22 ? C32 ? C42 ? L
?
C2 100
(5)C31 ? C42 ? C53 ? L
?
C197 199
例2(1)证明
n<12 又 n-5≥0
∴不等式的解集为{5，6，7，8，9，10，11}
组合数应用
例4、一个口袋内装有大小不同的 7个白球和 1个黑球，
①从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
②从口袋内取出 3个球，使其中含有 1个黑球， 有多少种取法？
③从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有 多少种取法？
例5 在100件产品中，有98件合格品，2件 次品。从这100件产品中任意抽出3件。
（1） 一共有多少种不同的抽法？ （2） 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有
多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有
多少种？
例6：某医院有内科医生 12名，外科医生8名，现 选派5名参加赈灾医疗队，其中：
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有
多少种不同的选法？ C138
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？C158
组合数的性质：
C
m n
?
C n? m n
Cm n?1
?
C
m n
?
C m?1 n
2．用途，求值及化简证明
3．注意公式左、右、上、下标字母特征。
[布置作业] 《作业本》P12-13+成才
(3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？
C21C148 ? C22C138
(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有
多少种选法？ 错解：C112C81C138
C112C84 ? C122C83 ? C132C82 ? C142C81
C250 ? (C85 ? C152 )
[课堂小结]
1．